Prof. Jos Luis Quintero 33
ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)
SEMANA 03 CLASE 07 LUNES 23/04/12
1. Aplicaciones de inters. A continuacin se presentarn algunas aplicaciones de
las ecuaciones diferenciales de primer orden, entre las que destacan:
Trayectorias ortogonales
Trayectorias isogonales
Problemas geomtricos
Crecimiento poblacional
Desintegracin radioactiva
Ley de enfriamiento de Newton
Salida de lquidos por orificios
2. Rectas perpendiculares. Dos rectas 1L y 2L , que no son paralelas a los ejes
coordenados, son perpendiculares si y slo si sus pendientes respectivas satisfacen la relacin 1 2m .m 1= .
3. Curvas ortogonales. Dos curvas 1C y 2C son ortogonales en un punto, si y slo
si sus tangentes 1T y 2T son perpendiculares en el punto de interseccin.
4. Problema 1. Demuestre que las curvas 3y x= y 2 2x 3y 4+ = son ortogonales en
su(s) punto(s) de interseccin.
Solucin. Los puntos de interseccin de las grficas son (1,1) y ( 1, 1) . Ahora bien, la
pendiente de la recta tangente a 3y x= en un punto cualquiera es
2dy dx y ' 3x= = ,
de modo que y '(1) y '( 1) 3= = . Para obtener dy dx de la segunda curva se
utilizar derivacin implcita dy dy x
2x 6y 0dx dx 3y
+ = = .
Por tanto, 1
y '(1,1) y '( 1, 1)3
= = .
As, tanto en (1,1) como en ( 1, 1) se tiene que
C C1 2
dy dy. 1
dx dx
=
.
5. Trayectorias ortogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas
1G(x,y,c ) 0= cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia
2H(x,y,c ) 0= , se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de
la otra.
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En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el
ngulo recto a toda curva de otra familia.
6. Problema 2. En la figura 1 se ve que la familia de rectas que pasan por el origen
1y c x= y la familia de crculos concntricos con centro en el origen 2 2 2x y c+ =
son trayectorias ortogonales.
Figura 1. Algunas trayectorias ortogonales
7. Observacin de inters. Para encontrar las trayectorias ortogonales de una
familia de curvas dada, se halla en primer lugar la ecuacin diferencial dy
f(x,y)dx
=
que describe a la familia. La ecuacin diferencial de la segunda familia, ortogonal a
la familia dada, es pues dy 1
dx f(x,y)= .
8. Problema 2. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hiprbolas
rectangulares
1cyx
= .
Solucin.
La derivada de
1cyx
=
es
12
cdy
dx x= .
Reemplazando 1c por 1c x.y= se obtiene la ecuacin diferencial de la familia dada:
dy y
dx x= .
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En tal caso, la ecuacin diferencial de la familia ortogonal es dy x
dx y= .
Se resuelve esta ltima ecuacin por separacin de variables:
2 22ydy xdx ydy xdx y x c= = = .
Las grficas de las dos familias se observan en la figura 2 para diferentes valores de 1c y 2c .
Figura 2. Algunas trayectorias ortogonales
9. Trayectorias isogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas
1G(x,y,c ) 0= cortan a todas las curvas de otra familia 2H(x,y,c ) 0= , formando
ngulo constante especificado, 2 pi , se dice que las familias son, cada una,
trayectorias isogonales de la otra.
10. Observacin de inters. Para encontrar las trayectorias isogonales de una
familia de curvas dada, formando un ngulo constante se usa la ecuacin
diferencial '
' dp '
d
y tg( )y
1 y tg( )
+ =
,
donde es el ngulo entre la familia dada, denotada por dy y la familia pedida,
denotada por py .
11. Problema 3. Encuentre una familia de trayectorias isogonales que corten a la
familia de circunferencias 2 2 2x y r+ = , con un ngulo de 45 .
Solucin. La ecuacin diferencial de la familia dada es 2yy ' 2x 0+ = , luego
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xy '
y= ,
como tg(45 ) 1= , la ecuacin diferencial asociada a la familia pedida ser entonces
x1
y xyy '
x y x1
y
= =
++.
Esta ecuacin diferencial es homognea, se toma por lo tanto la sustitucin y
ux
= ,
resultando la EDO 21 u
u'x1 u
+=
+,
resolviendo, devolviendo el cambio y simplificando resulta la familia solucin:
2 2y 1arctg ln(x y ) cx 2
+ + =
12. Problemas geomtricos. Los problemas que se tratarn en esta seccin
consisten en encontrar una familia de curvas que satisfaga ciertas condiciones
geomtricas dadas.
13. Problema 4. Determine la curva sabiendo que la pendiente en un punto (x,y)
cualquiera de la misma, es igual a
y1
x+ ,
y adems que dicha curva pase por el punto (1,1).
Solucin.
La curva buscada pertenece a una familia que debe cumplir la condicin dada, es
decir, y
y ' 1x
= + ,
luego esta ecuacin diferencial se asocia a la familia buscada y al resolverla se
llega a a la solucin del problema. Como la ecuacin es homognea, se usa la
sustitucin y
ux
= .
Sustituyendo y simplificando resulta u'x 1= , esta ecuacin es de variables
separadas, integrando se tiene
dxdu
x= ,
luego u ln x c= + , devolviendo el cambio y x ln x cx= + . De esta familia interesa
solo la curva que pasa por el punto (1,1), se determina por lo tanto el valor del parmetro c para cuando x 1= , y 1= , de modo que c 1= . La curva buscada es
y x ln x x= + .