Ing. Loayza Rivas, Adolfo
INTEGRANTES: ANCAJIMA SILVA, JHAN PIER CALDERON TABOADA, HOBER CALLE TERRONES, OSCAR CΓRDENAS SALDAΓA, BRYAN MONSALVE DIAZ, NELSON NARRO VIDAURRE, ESTEFANY REGALADO MAMANI, MILAGROS RODRIGUEZ TABOADA, FERNANDO SICCHA SANTOS, ASLY
INTRODUCCIΓNEn el presente informe denominado βEcuaciΓ³n de continuidad y principio de cantidad de movimientoβ mostramos la recopilaciΓ³n de datos referidos a los principios base de la ecuaciΓ³n de continuidad y cantidad de movimiento; asΓ como su demostraciΓ³n y aplicaciΓ³n a determinados casos en fluidos lΓquidos.
OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL.
- Demostrar y aplicar la EcuaciΓ³n de Continuidad y el Principio de cantidad de Movimiento
OBJETIVOS ESPECΓFICOS.
β Definir los conceptos de Sistema y Volumen de control β Demostrar el principio de la conservaciΓ³n de la materia β Demostrar la ecuaciΓ³n diferencial de la continuidad β Deducir la ecuaciΓ³n diferencial de la continuidad para una
vena liquidad β Demostrar el principio de cantidad de movimiento β Definir casos especiales de aplicaciΓ³n del principio de
cantidad de movimiento β Realizar ejemplos aplicativos de la ecuaciΓ³n de continuidad y
el principio de cantidad de movimiento.
ECUACIΓN DE LA CONTINUIDADI.- DEFINICIONES PREVIAS:A. SISTEMA:El sistema se define como una porciΓ³n fija de materia. Aunque su forma y su tamaΓ±o pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definiciΓ³n es que la masa del material que comprende el sistema no se altere con el tiempo.Ejemplo:
B. VOLUMEN DE CONTROL: 1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento, respecto a un sistema absoluto.
2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, estΓ‘ en movimiento en un instante dado.
PRINCIPIO DE LA
CONSERVACIΓN DE LA MATERIA
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIΓN DE LA MATERIA
βEl aumento de masa, en un tiempo , del fluido contenido en un volumen dado, serΓ‘ igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de las que salenβ.
III MM VC
2m
IM IIM
1m
em smVC
Donde: VC
2m
IM IIM
1m
em smVC
masa del sistema en el tiempo
masa del sistema en el tiempo
masa en el volumen de control en el instante
masa en el volumen de control en el instante
masa que entra en el volumen de control en el intervalo
masa que sale en el volumen de control en el intervalo
Es decir la masa en el sistema permanece invariable:
1 2 s em m m m
VC VC S Em(t) m(t t) m m
Dividiendo entre ordenando y tomando lΓmites cuando
VC VC E Sm(t t) m(t) m mlim lim( ) ( )
t 0 t t 0 t
VC E S
dm d( ) (m m )
dt dt
M
MQ
t
VC
2m
IM IIM
1m
em smVC
Donde:
VC
dm M( )
dt t
E S M
d(m m ) Q
dt
Rapidez de variaciΓ³n de la masa contenida en el volumen de control
Gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo.
La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie
de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ,
mΓ‘s la rapidez de variaciΓ³n de la masa contenida en
el volumen , es igual a ceroβ
0t
MQM
ECUACIΓN DIFERENCIAL
DE CONTINUIDAD
ππ π§ππ₯ππ¦ππ‘
(ππ π§+(π ππ π§
ππ§ )ππ§)ππ₯ππ¦ππ‘
ππ π¦ππ₯ππ§ππ‘ππ§
ππ₯ππ¦ ππ π₯ππ¦ππ§ππ‘
(ππ π¦+(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ )ππ₯ππ§ππ‘
(ππ π₯+(π ππ π₯
ππ₯ )ππ₯)ππ¦ππ§ππ‘A
B
C
D
E
F
G
H
En el eje βyβ, en un instante de tiempo βdtβ, por la cara ABCD, entra una masay por la cara EFGH, sale una masa
xyz
ππ π¦ππ₯ππ§ππ‘ (ππ π¦+(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ )ππ₯ππ§ππ‘
Luego el paralelepΓpedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, luego, la masa perdida o cantidad neta de masa que atraviesa estas caras serΓ‘:
πππ¦=(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ππ₯ππ§ππ‘Trasladando βdtβ al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje βyβ, en la unidad de tiempo, tambiΓ©n conocido como gasto mΓ‘sico:
ππππ‘
=(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ππ₯ππ§ πππ¦=(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ππ₯ππ§Por razonamiento similar
πππ₯=(π ππ π₯
π π₯ )ππ₯ π π¦ ππ§ππ π§=(π ππ π§
π π§ )ππ§ ππ₯π π¦
Caudal de masa o gasto de masa (QM), serΓ‘:
ππ=πππ₯+πππ¦+ππ π§
Sustituyendo:
ππ=(πππ π₯
π π₯ )ππ₯ππ¦ππ§+(πππ π¦
π π¦ )ππ¦ππ₯ππ§+(π ππ π§
ππ§ )ππ§ππ₯ππ¦calculemos la β rapidez de variaciΓ³n de la masa contenida en el volumen de control diferencial:
Sustituyendo en la ecuaciΓ³n de conservaciΓ³n ππ+ππππ‘=0
(π ππ π₯
π π₯ )ππ₯ππ¦ππ§+(π ππ π¦
π π¦ )ππ¦ππ₯ππ§+(π ππ π§
π π§ )ππ§ππ₯ππ¦+ π(π ππ₯ππ¦ππ§ )ππ‘=0
(π ππ π₯
π π₯ )+(π ππ π¦
π π¦ )+(π ππ π§
π π§ )+ π πππ‘ =0
π» β (ππ )
οΏ½οΏ½ β (ππ )+ π πππ‘=0 EcuaciΓ³n Diferencial de Continuidad
( οΏ½οΏ½ π ) β π + (οΏ½οΏ½ β π ) π+π πππ‘=0 aplicando las propiedades vectoriales
Simplificaciones:
FLUJO COMPRESIBLE PERMANENTE
Resulta:
FLUJO IMCOMPRESIBLE NO PERMANENTE
Resulta:00
FLUJO IMCOMPRESIBLE PERMANENTE
Resulta:
0
βPor lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la divergencia de es ceroβ.
ECUACIΓN DE CONTINUIDAD
PARA UNA VENA LΓQUIDA
Ad
1v
1A 1
22A
1
2
2vAd
..cs
dss
ECUACIΓN DE CONTINUIDAD PARA UNA VENA LΓQUIDA
vAdss
)vA(vAQM
Aplicando el principio de la conservaciΓ³n de la materia,
al volumen elemental en
estudio
dssvA
QM
)(
MQtM
+ = 0
El principio de conservaciΓ³n de la masa establece
dss
)vA(+
t
)Ads(
= 0
Rapidez de variaciΓ³n de la masa contenida en el volumen
elemental
MQtM
+ = 0
La longitud βdsβ del elemento de volumen considerado no depende del tiempo.
0t
At
A
svA
s
Av
s
vA
Ο, v, A; son funciones de βsβ y βtβNOTA:
0t
At
A
svA
s
Av
s
vA
t
sv
t
sv
0t
At
A
sA
dt
ds
s
A
dt
ds
s
vA
0dt
dA
dt
dA
s
vA
v 1 dA 1 d0
s A dt dt
DIVIDMOS ENTRE ΟA:La expresiΓ³n, es la EcuaciΓ³n de Continuidad para una vena lΓquida donde se produce un flujo no permanente y compresible.
s
)vA(= 0
O, bien:
v A Cte. vA = Cte. (ΞΎ)
Q =V1 A1 = V2
A2el gasto que circula por cada secciΓ³n de la vena lΓquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena lΓquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante.
PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento de un elemento de masa βmβ, es el producto de esta por su velocidad.Sea βCβ la cantidad de movimiento:
C mv
La ecuaciΓ³n de la cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente:
Calculando el d(C)
C mv
dF (mv)
dt
dF (C)..........(1)
dt
βLa suma vectorial de todas las fuerzas F que actΓΊan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluidoβ, es decir:Si:
d mv dmv
AdemΓ‘s:
dm d
dC v d
C v d ..........(2)
Remplazando (2) en (1)
dF v d ........(3)
dt
Haciendo: v (x,y,z,t)
Una funciΓ³n vectorial ligada al movimiento.
Luego, de la expresiΓ³n (3):
I v d
I d
Y sea ββ la funciΓ³n βIβ incrementada un
1
1 1I d d .........(4)
Para hallar el valor de ββ necesitamos los valores de: y , sabiendo que:
dzz
dyy
dxx
dtt
d
Dividiendo la expresiΓ³n anterior entre dt:
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xdt
dt
tdt
d
AdemΓ‘s se sabe:
x y z
dx dy dzv ; v ; v
dt dt dt
x y z
dv v v
dt t x y z
d(v )
dt t
d dt (v ) dt.....................(5)t
AdemΓ‘s se sabe por deformaciΓ³n volumΓ©trica de los fluidos que βla velocidad de deformaciΓ³n volumΓ©trica relativa , coincide con la suma de velocidades de la deformaciΓ³n linealβ, es decir:
y1 x zvd d v v
d dt x y z
1d dv
d dt
Despejando :
1
1
d ( v)d dt d
d ( v)dt 1 d ....................(6)
Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuaciΓ³n (4).
1
11 d)d(I
1I dt (v ) dt ( v)dt 1 dt
1I dt (v ) dt ( v)dt ( v)dt dt ( v)dt(v ) dt dt t
Siendo βdtβ un tiempo muy pequeΓ±o, por lo tanto ββ, es una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciΓ©ndose la expresiΓ³n anterior a:
1I ( (v )dt dt ( v) dt)dt
1I dt (v )dt ( v) dt dt
Por definiciΓ³n de producto escalar:
( v) ( ) v ( v)
Luego:
1I ( v) dt dt
β¦β¦β¦ (7)
Ahora:
1I I ( v) dt d dt
1I I ( v) dt dt
1I I ( v) dt dt
Dividiendo ( - I) entre dt.
1I I( v) d
dt t
dId ( v)d
dt t
dId ( v) d
dt t
al considerar un volumen de control de profundidad la unidad.
Elemento:
1u
dA ππ΄=π»ππ΄
A
dId ( v) dA
dt t
La definiciΓ³n del d es perpendicular al Γ‘rea, es decir:
Se sabe que:
dI
A
Advdt
dtdt
d )()(
A
Advdt
ddtd
)(
TambiΓ©n se sabe que:
v
A
d ( v)( v d ) d ( v)(v dA)
dt t
Pero de (3) se sabe que:d
F vddt
; por lo tanto:
A
( v)F d ( v)(v dA)
t
Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecΓ‘nica de los fluidos conocida como la ecuaciΓ³n o principio de la cantidad de movimiento.
Para el caso especial del movimiento permanente la ecuaciΓ³n general de la cantidad de movimiento se simplifica a:
)()( AdvvFA
Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad en un punto permanecen constantes.
Se sabe que el vector velocidad y el vector Γ‘rea son ambos perpendiculares al Γ‘rea, es decir:
v dA
v // dA v dA vdA cos0
v dA vdA
La fuerza quedarΓa:
A
F v (v dA)
A
F v (vdA) ( v)(v A)
Se sabe que: pero como //, entonces
Q v AEntonces las fuerza quedarΓa:
F Qv
Si tuviΓ©ramos el siguiente volumen de control:
Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porciΓ³n de fluido entre ambas secciones actΓΊa una fuerza, como se muestra en el grΓ‘fico.
1
2
1
21F
2F
2V
1V
Q
Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza serΓa:
F Qv
Entonces las fuerzas serΓan:
1 1F Qv
2 2F Qv
Las velocidades son:
Las fuerzas quedarΓan:1 1X 1Yv v i v j
2 2X 2Yv v i v j
1 1X 1YF Q(v i v j)
2 2X 2YF Q(v i v j)
Las sumatorias de las fuerzas en los ejes βXβ y βYβ son:
X 1X 2XF Q(v v )
Y 1Y 2YF Q(v v )
PRINCIPIO DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
APLICADO A LA CORRIENTE
LΓQUIDA
PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO A LA CORRIENTE LΓQUIDASea la vena liquida siguiente:
1
1
2
2
1S
2S
1V
1Sd
2Sd
2V
Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:
Pero como el flujo es lΓquido y se sabe que los lΓquidos son incompresibles, por lo tanto la densidad de un punto a otro no varΓa, es decir: , y la fuerza resultarΓa:
1
1
2
2
1S
2S
1V
1Sd
2Sd
2V
Si se acepta que los filetes son rectos y a lo mΓ‘s con suave curvatura, se puede decir que las velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y ademΓ‘s que el sentido es opuesto al sentido de , se puede escribir que:
1
1
2
2
1S
2S
1V
1Sd
2Sd
2V
La fuerza quedarΓ‘:
Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales:
1
1
2
2
1S
2S
1V
1Sd
2Sd
2V
Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la mΓ‘s suave curvatura, entonces se puede decir que:
Por lo tanto:
Entonces: 1
1
2
2
1S
2S
1V
1Sd
2Sd
2V
EJERCICIOS
Por TuberΓa de 3.81cm de diΓ‘metro circula agua a una velocidad de 3m/s, en una parte de la tuberΓa hay un estrechamiento y el diΓ‘metro es de 2.54cm tal como se muestra en el grΓ‘fico. ΒΏQuΓ© velocidad llevara el agua en el estrechamiento?
3.81 cm 2.54 cm
Q1
V2
Q2
V1
EJERCICIO 1
β’ Datos: D1 = 3.81cm = 0.0381mD2 = 2.54cm = 0.0254mV1 = 3m/sV2 = ?
β’ SoluciΓ³n:EcuaciΓ³n de continuidad Q1 = Q2 A1 V1 = A2 V2
El problema nos pide encontrar V2, entonces:
Donde y son
Remplazando valores:
SOLUCIΓN
EJERCICIO 2
Determine las componentes de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre el codo de salida doble que ilustra la figura. El volumen del agua dentro del codo es de y la velocidad en el punto de una presiΓ³n de 25 kpa es de . El flujo es permanente.
2
3
45
5m/sU1
m/s 10U2
m18.0
m5.0
m2.0
2
3
45
W
yF
xF
5m/sU1
m/s 10U2
1F
3U
πΈπ=π½ ππ¨π
πΈπ=π½ ππ¨π
πΈπ=(ππ /π )(π π (π .ππ)π)πΈπ=π .πππππ/π
πΈπ=(πππ/π)(π π (π .πππ)π)πΈπ=π .πππππ/π
π½ π=πΈπβπΈπ
π¨π
π½ π=π .πππππ/π
(π π (π .ππ)π) π½ π=ππ .πππ/π
1Β° Si:
ππ=π·π π¨π
ππ=πππ²π·π( π π (π .ππ)π)
ππ=π .πππ²π΅
2ΒΊ La fuerza de presiΓ³n en el punto 1.
πΊπ π=π (πΈΒΏΒΏππ½ ππππππΒ° βπΈππ½ π)ΒΏ
π π=πππππ²π /ππ(π.πππππ
πβππ .ππ
πππππππΒ° βπ .πππ
ππ
πβπππ/π)
π π=π ,ππππ²π΅
πΊπ π=ππΈππ½π πππππΒ° βπΈππ½ π
βπΎ +π π=πππππ²π/ππ(π .πππππ
πββππ .ππ
πππππππΒ°βπ .πππ
ππ
πββππ /π )
π π=π .ππππ²π΅+π .πππ²π΅+π .πππ²π΅π π=π .πππ²π΅
πΎ=πΎβ πΎ=ππβ
πΎ=π .πππππβππππ
π²πππ βππ
π πΎ=π .πππ²π΅
3Β°
4ΒΊ Hallamos la resultante de las fuerzas.
π πΉ=β (π .πππ )π (π .ππ )π
π πΉ=ππ .πππ²π΅
2
3
45
W
yF
xF
5m/sU1
m/s 10U2
1F
3U
Una tuberΓa de 180mm de diΓ‘metro transporta agua a razΓ³n de 0.09. La tuberΓa se ramifica en dos de menor diΓ‘metro tal y como se indica en la figura, si la velocidad en el tubo de 60mm de diΓ‘metro es de 15 m/s ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la velocidad en la tuberΓa de 120mmm de diΓ‘metro?
60mm
Q1=0.09 m3/s
V3=15m/sπ1 = π2 + π3 βπ΄1π1 + π΄2π2 + π΄3π3
π1 = 180ππ = 0.18π
π2 = 120ππ = 0.12π
π·1 = 60ππ = 0.06π
EJERCICIO 3
Calculo del Q3:
π3=π΄3π 3
π3=π π2
4Γπ 3
π3=π (0.06π)2
4Γ15π /π
π3=0.0424π3/ π
Calculo del Q2:
π1=π2+π3
π2=π1βπ3
π2=0.09π3 /π β0.0424π3/π
Para calcular la velocidad de la tuberΓa de 120mm:
π2=π΄2π 2
π 2=π2
π΄2
π 2=π2
π π2
4
π 2=0.0476π3/π π (0.12π)2
4
π 2=4.21π/π
EJERCICIO 4
1
2
2ZFlujo
referencia de Nivel
1V
2V2P
1Z
1P
Tener en cuenta:
β’ En la figura el diΓ‘metro interior del tubo en las secciones 1 y 2 es de 50 mm y 100 mm respectivamente. EstΓ‘ fluyendo agua a 70 β°C con una velocidad promedio de 8 m/s en la secciΓ³n 1. Calcule lo siguiente:
a) La velocidad en la secciΓ³n 2.b) La rapidez de flujo de volumen.c) La rapidez de flujo de peso.d) La rapidez de flujo de masa.
SoluciΓ³n: a) Velocidad en la secciΓ³n 2
Entonces la velocidad en la secciΓ³n es
b)Rapidez de flujo de volumen. (Q)
De la tabla Q = AU . Debido al principio de continuidad, podrΓamos utilizar las condiciones en la secciΓ³n 1 o en la secciΓ³n 2 para calcular Q. en la secciΓ³n 1 tenemos:
TENER EN CUENTA c) Rapidez de flujo de peso (W)
De acuerdo con la tabla W= Ξ³Q. A 70 β°C el peso especΓfico del agua es de 9.59 KN/. Entonces, la rapidez de flujo de peso es:
d) Rapidez de flujo de masa.( M)
De acuerdo con la tabla M= ΟQ. A 70 β°C la densidad del agua es de 978 kg/. Entonces la rapidez de flujo de masa es:
Se fuerza agua hacia adentro del aparato mostrado con un caudal de a travΓ©s del tubo A, a la vez que un aceite con un caudal de a travΓ©s del tubo B. ΒΏCuΓ‘l es la velocidad promedio que sale a travΓ©s del tubo C que tiene un diΓ‘metro de ?
Aceite
BMezcla
C
OH 2
A
EJERCICIO 5
GRACIA
S
Recommended