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Ecuaciones del movimiento de un fluido
Forma fundamental
El tensor de tensiones
Relacion constitutiva para un fluido Newtoniano
La ecuacion de Navier-Stokes
El tensor de tensiones para flujos incompresibles
Condiciones de contorno
2
Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas (flujo incompre-sible)
Ecuaciones del movimiento en coordenadas cilındricas (flujo incompresi-ble)
Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfericas (flujo incompresible)
Ecuacion de la vorticidad
Vorticidad y circulacion
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Forma fundamental
El cambio de momento dentro de un volumen V , rodeado por unasuperficie S depende de:
Flujo de momento:
−∫
S
ρviv · dS.
Suma de fuerzas actuando en el interior de V :∫V
ρFidV.
Suma de fuerzas actuando sobre S:∫S
σijdSj.
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Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento son
d
dt
∫V
ρvidV = −∫
S
ρviv · dS +∫
V
ρFidV +∫
S
σijdSj.
Usando el teorema de la divergencia y notando que
ρviv · dS = ρvivjdSj.
obtenemos∫V
{∂
∂t(ρvi) +
∂
∂xj(ρvivj)− ρFi −
∂
∂xjσij
}dV = 0,
donde hemos tenido en cuenta que V es independiente del tiempo. Como
5
V es arbitrario
∂
∂t(ρvi) +
∂
∂xj(ρvivj)− ρFi −
∂
∂xjσij.
Usando la ecuacion de continuidad
∂ρ
∂t+
∂(ρvj)∂xj
= 0
obtenemos
ρ∂vi
∂t+ ρvj
∂vi
∂xj= ρFi +
∂σij
∂xj.
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El tensor de tensiones
El tensor de tensiones ha de ser simetrico, σij = σji.
Las componentes i = j son las tensiones normales.
Las componentes i 6= j son las tensiones tangenciales (o de cizalla).
En un fluido en reposo el tensor de tensiones es isotropico, σij = −pδij,p es la presion hidrostatica.
En un fluido en movimiento, podemos separar σij en una parte isotropicay otra no isotropica
σij =13σkkδij + (σij −
13σkkδij).
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definimos la presion mecanica (en general distinta de la presion ter-modinamica) como P = −1
3σii y escribimos
σij = −Pδij + sij,
donde la parte no isotropica sij se debe al movimiento del fluido.
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Relacion constitutiva para un fluido newtoniano
Fluido isotropico.
El tensor de tensiones depende linealmente del tensor velocidad dedeformacion, eij = 1
2(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi).
σij = −(p−Kekk)δij + 2µ(eij −13ekkδij)
donde p = P + Kekk es la presion termodinamica.
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La ecuacion de Navier-Stokes
En la ecuacion del movimiento
ρDvi
Dt= ρFi +
∂σij
∂xj.
Substituimos la expresion del tensor de tensiones teniendo en cuenta que
eij =12(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi),
ekk = ∂vk/∂xk = ∇ · v.
La ecuacion completa de Navier-Stokes es
10
ρDvi
Dt= ρFi −
∂p
∂xj+
∂
∂xj
{µ
∂vi
∂xj+ µ
∂vj
∂xi
}+
∂
∂xj
{(K − 2
3µ)
∂vk
∂xk
}
despreciando las pequenas variaciones de µ y K con la posicion (debidassobre todo a cambios de temperatura), podemos escribir
ρDvDt
= ρF−∇p + µ∇2v + (K +13µ)∇∇ · v
Flujo incompresible, ∇ · v = 0 (lıquidos y gases),
ρDvDt
= ρF−∇p + µ∇2v
11
Flujo no viscoso µ = K = 0,
ρDvDt
= ρF−∇p
12
El tensor de tensiones para flujos incompresibles
Como ekk = ∇ · v = 0,
σij = −pδij + µ(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi)
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Condiciones de contorno
Contorno rıgido: velocidad del contorno y fluido iguales.
Contorno flexible: velocidad y tensiones del contorno y fluido iguales.
Condiciones de contorno asintoticas.
Condiciones de contorno en la presion.
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Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas(flujo incompresible)
∂vx
∂t+ (v · ∇)vx = −1
ρ
∂p
∂x+ ν∆vx
∂vy
∂t+ (v · ∇)vy = −1
ρ
∂p
∂y+ ν∆vy
∂vz
∂t+ (v · ∇)vz = −1
ρ
∂p
∂z+ ν∆vz
donde
(v · ∇)f = vx∂f
∂x+ vy
∂f
∂y+ vz
∂f
∂z
∆f =∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2+
∂2f
∂z2
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La ecuacion de continuidad es
∂vx
∂x+
∂vy
∂y+
∂vz
∂z= 0
El tensor de tensiones tiene la forma
σik = −pδik + η
(∂vi
∂xk+
∂vk
∂xi
)
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Ecuaciones del movimiento en coordenadas cilındricas(flujo incompresible)
∂vr
∂t+ (v · ∇)vr −
v2φ
r= −1
ρ
∂p
∂r+ ν
(∆vr −
2r2
∂vφ
∂φ− vr
r2
)∂vφ
∂t+ (v · ∇)vφ +
vrvφ
r= − 1
ρr
∂p
∂φ+ ν
(∆vφ +
2r2
∂vr
∂φ− vφ
r2
)∂vz
∂t+ (v · ∇)vz = −1
ρ
∂p
∂z+ ν∆vz
donde
(v · ∇)f = vr∂f
∂r+
vφ
r
∂f
∂φ+ vz
∂f
∂z
∆f =1r
∂
∂r
(r∂f
∂r
)+
1r2
∂2f
∂φ2+
∂2f
∂z2
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La ecuacion de continuidad es
1r
∂(rvr)∂r
+1r
∂vφ
∂φ+
∂vz
∂z= 0
El tensor de tensiones tiene la forma
σrr = −p + 2η∂vr
∂r
σφφ = −p + 2η
(1r
∂vφ
∂φ+
vr
r
)σzz = −p + 2η
∂vz
∂z
σrφ = η
(1r
∂vr
∂φ+
∂vφ
∂r− vφ
r
)
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σφz = η
(∂vφ
∂z+
1r
∂vz
∂φ
)σzr = η
(∂vz
∂r+
∂vr
∂z
)
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Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfericas(flujo incompresible)
∂vr
∂t+ (v · ∇)vr −
v2θ + v2
φ
r=
−1ρ
∂p
∂r+ ν
(∆vr −
2r2 sin2 θ
∂(vθ sin θ)∂θ
− 2r2 sin θ
∂vφ
∂φ− 2vr
r2
)
∂vθ
∂t+ (v · ∇)vθ +
vrvθ
r−
v2φ cot θ
r=
− 1ρr
∂p
∂θ+ ν
(∆vθ −
2 cos θ
r2 sin2 θ
∂vφ
∂φ+
2r2
∂vr
∂θ− vθ
r2 sin2 θ
)
20
∂vφ
∂t+ (v · ∇)vφ +
vrvφ
r+
vθvφ cot θ
r=
− 1ρr sin θ
∂p
∂φ+ ν
(∆vφ +
2r2 sin θ
∂vr
∂φ+
2 cos θ
r2 sin2 θ
∂vθ
∂φ− vφ
r2 sin2 θ
)
donde
(v · ∇)f = vr∂f
∂r+
vθ
r
∂f
∂θ+
vφ
r sin θ
∂f
∂φ
∆f =1r2
∂
∂r
(r2∂f
∂r
)+
1r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂f
∂θ
)+
1r2 sin2 θ
∂2f
∂φ2
La ecuacion de continuidad es
1r2
∂(r2vr)∂r
+1
r sin θ
∂(vθ sin θ)∂θ
+1
r sin θ
∂vφ
∂φ= 0
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El tensor de tensiones tiene la forma
σrr = −p + 2η∂vr
∂r
σφφ = −p + 2η
(1
r sin θ
∂vφ
∂φ+
vr
r+
vθ cot θ
r
)σθθ = −p + 2η
(1r
∂vθ
∂θ+
vr
r
)σrθ = η
(1r
∂vr
∂θ+
∂vθ
∂r− vθ
r
)σθφ = η
(1
r sin θ
∂vθ
∂φ+
1r
∂vφ
∂θ− vφ cot θ
r
)σφr = η
(∂vφ
∂r+
1r sin θ
∂vr
∂φ− vφ
r
)
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Ecuacion de la vorticidad
Tomando el rotacional de la ecuacion de Navier-stokes obtenemos laecuacion de la vorticidad, ω = ∇× v,
∂ω
∂t+ v · ω − ω · ∇v = ν∇2ω
donde hemos utilizado ∇ · v = 0.
Podemos reescribir la ecuacion como
Dω
Dt= ω · ∇v + ν∇2ω
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Vorticidad y circulacion
Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a traves de unasuperficie es igual a la circulacion de la velocidad a lo largo del contorno dedicha superficie: ∫
v · dl =∫∇× v · dS =
∫ω · dS