Ecuaciones Diferenciales
La realidad económica está ligada al tiempo, ya que los fenómenos económicos ocurren y
se transforman a lo largo del mismo. Al estudiar una situación donde se introduce la
perspectiva temporal, se trata de determinar o al menos, obtener, información sobre las
trayectorias que siguen las variables en el tiempo, conocidos algunos datos sobre su evolución.
Dependiendo de como se interprete el tiempo, se tendrán dos nuevos objetos de estudio. Al
considerar el tiempo como una variable continua, se tienen las ecuaciones diferenciales. Si el
tiempo es discreto, entonces se estudian las ecuaciones en diferencia finita.
Definición de ecuación diferencial
Una ecuación diferencial ante todo es una ecuación, es decir, una igualdad que se satisface
para ciertos y determinados valores. Contiene incógnitas, y lo más importante, incluye
derivadas. Por lo que se define de la siguiente manera: una ecuación diferencial es una
ecuación que relaciona una o varias variables independientes, una función de dicha o dichas
variables, que es la incógnita, y las derivadas sucesivas de esta función hasta un determinado
orden.
Orden de una ecuación diferencial
Es el orden más alto de las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial. Así, una
ecuación diferencial de primer orden tendrá sólo una primera derivada. Ejemplo:
es una ecuación diferencial de orden tres porque el orden de
la derivada mas grande es tres.
Grado de una ecuación diferencial
Viene dado por el exponente más alto que tenga la derivada de mayor orden en la
ecuación diferencial.
Tipos de ecuaciones diferenciales
Entre los tipos de ecuaciones diferenciales están:
a) Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que son aquellas donde la incógnita es
función de una única variable. Ejemplo: , donde x = x(t) es la función incógnita.
Variables separables
Primer orden Reducibles a lineales
Exactas
Homogéneas
EDO Lineales
No homogéneas
No lineales
b) Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, las cuales contienen una función de
dos o más variables como incógnita y la ecuación tiene una o más derivadas parciales de la
función. Ejemplo: , donde z = z(x,y) es la función incógnita.
Se estudiarán ahora diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, las cuales son
importantes para el estudiante de economía.
Problema de valor inicial
Una ED tiene en general infinitas soluciones. El conjunto de todas las soluciones de una
ED se llama la solución general de la ED. Una EDO1O tiene una solución general que
usualmente depende de una constante. Si se exige que la solución pase por un punto del plano,
la constante está unívocamente determinada. Cuando se da el valor de t = to al instante
inicial, x(to) = xo será una condición inicial, y el problema ser{a un problema de valor
inicial.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (EDL1O)
Una EDL1O se puede escribir
o bien,
Aquí, a y b, o bien, u y w, son funciones continuas de t en in intervalo I, x = x(t) es la
función incógnita. La ecuación es lineal porque es una función lineal de x y de .
Ejemplo:
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes (EDL1OCC)
Caso homogéneo Si u y w fueran funciones constantes y w = 0, la ecuación se escribe
, la cual es una ecuación homogénea. Esta ecuación se puede rescribir .
Al ordenar los términos queda . Se integran ambos miembros y da lo
siguiente: ln(y) + lnC = -at. Se aplican propiedades de logaritmos y se obtiene lny(t)C = -
at, que al simplificar se convierte en y(t)C = e-at. Si se despeja C, se escribe y se
reescribe y(t) = Ae-at con .
La solución general de la ecuación será y(t) = Ae-at y la solución definida será y(t) =
y(0) e-at
Nótese que A es una constante arbitraria. Existe un infinito número de soluciones
particulares, una por cada valor de A. Para el caso de A = y(0), se tiene el caso cuando la
ecuación satisface la condición inicial.
Caso no homogéneo . Véase que el término independiente es una constante.
En el caso no homogéneo, la solución contempla la suma de dos términos, uno de los
cuales se llama función complementaria yc, y el otro se conoce como la integral particular yp.
La función complementaria viene dada por la solución del caso homogéneo y tiene la forma: yc
= Ae-at.
La integral particular es cualquier solución particular de la ecuación completa. Entonces:
a) Dado que el término independiente es una constante, entonces, suponga como solución
y = k, donde k es una constante
b) Dada la forma de la solución y = k , halle su primera derivada, que en este caso es
c) De acuerdo con (b) se tiene, sustituyendo,
d) Entonces, como y = k sirve si y solo si a 0, entonces yp = , a
e) La solución general de será y(t) = yc + yp = Ae-at + , a
f) Si y = y(0) cuando t = 0, queda y(0) = A + A = y(0) - . Entonces, en definitiva
queda y(t) = [y(0) - ] e-at + , a
g) El uso de la condición inicial para definir la constante arbitraria es el paso final después
de haber hallado la solución general de la ecuación completa
Ejemplo: Hallar la solución de con y(0) = 10. Al buscar la forma de la
solución general queda y(t) = [10 – 3]e-2t + 3 = 7e-2t + 3.
¿Qué pasa si a = 0? En ese caso la ecuación será , de donde se obtiene la expresión
y(t) = bt + C. La solución particular es bt y la solución complementaria es C. Como a = 0, y p =
Ae-at = Ae0 = A, donde A es una constante arbitraria.
Para la función particular, la solución constante y = k no sirve, por ser a = 0. Esto
significa que se debe buscar una solución no constante. Se elige entonces y = kt. Al hallar la
primera derivada y’ = k. Entonces la solución completa se reducirá a k = b, por lo que la
solución particular será yp = bt.
La solución general de será y(t) = yc + yp = A + bt, a = 0, que al dar la condición
inicial para hallar la constante arbitraria quedará y(t) = y(0) + bt.
Ejemplo: con y(0) = 5. Quedará y(t) = 5 + 2t
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y término
independiente constante (EDL2OCCTC)
Se estudiarán sólo las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Una
ecuación de este tipo tiene la siguiente forma:
y”(t) + a1y’(t) + a2y = b
La solución de una EDL2OCCTC tiene dos componentes: una, llamada solución
particular, la cual consta de un término; la otra, llamada solución complementaria, que tiene
dos términos. La solución complementaria proviene de la ecuación homogénea, y la particular,
de la ecuación inhomogénea.
Solución particular o integral particular. Para hallar la integral particular se resuelve
la ecuación y”(t) + a1y’(t) + a2y = b de la siguiente manera. Dado que el término
independiente es constante, se supone una solución constante. Así, yp = k. Se tendrá entonces
que la primera y segunda derivada de esa solución es cero:
y’ = 0, y” = 0.
Se sustituye en la ecuación y queda a2k = b, de donde , a2 0. Por tanto, la
solución particular es , a2 0.
¿Qué pasa si a2 = 0? La ecuación será y” + a1 y’ = b. En este caso se supondrá yp = kt.
De aquí, y’ = k y y” = 0.
Se sustituye en la ecuación y queda: a1k = b, de donde k = , a1 0, a2 = 0, por lo que la
solución particular es yp = t, a1 0, a2 = 0.
¿Qué pasa si a1 = 0 y a2 = 0? La ecuación pasa a ser y” = b. Se supondrá entonces yp =
kt2. Al derivar dos veces queda y” = 2k. Se sustituye y da 2k = b, de donde k = . Entonces yp
= t2, a1 = 0 y a2 = 0.
Función complementaria. Para hallar la función complementaria se resuelve la
ecuación homogénea, es decir, y”(t) + a1y’(t) + a2y = 0. Se supondrá la forma de la solución yc
= Aekt. De allí se obtiene que y’ = Akekt, y” = Ak2ekt. Se sustituye en la ecuación y queda:
Ak2ekt.+ a1 Akekt + a2 Aekt = 0.
Se extrae Aekt como factor común, y resulta la ecuación, denominada ecuación
característica, k2 +a1k + a2 = 0. Esta es una ecuación cuadrática que tiene dos raíces, y
dependiendo del discriminante, habrá tres naturalezas para las mismas:
a) Raíces reales distintas. Es el caso cuando . Aquí la solución complementaria
adopta la forma siguiente: , k1 k2.
Estos términos se suman, constituyendo así una combinación lineal.
b) Caso raíces reales iguales. . La solución complementaria toma la
siguiente forma: al ser k = y necesariamente deben haber dos términos, uno de ellos se
multiplicará por t, por lo que queda: .
c) Caso raíces complejas: . Se adoptarán las siguientes expresiones:
k1, k2 = h i h= , = . Con el uso del teorema de Moivre,
y luego de hacer varias transformaciones trigonométricas, la solución toma la siguiente forma:
yc = eht[A5cost + A6sent]
Estabilidad dinámica del equilibrio
La naturaleza de las raíces en la solución de una EDL2CCTC indicará el
comportamiento dinámico de la misma. Para el caso de las raíces reales, la solución particular
indicará el nivel de equilibrio y la solución complementaria, las desviaciones del mismo. Si el
exponente en la solución complementaria es positivo, el comportamiento será explosivo,
mientras que si el exponente es negativo, el comportamiento de la solución es convergente al
nivel de equilibrio. En el caso de las raíces complejas, la presencia de senos y cosenos genera
un comportamiento oscilatorio, que es modulado por el término exponencial. Así, si h > 0,
será una sinusoide que se va amplificando en el tiempo, siendo este un comportamiento
explosivo. Si h = 0, la sinusoide tendrá amplitud constante, mientras que si h < 0, la sinusoide
decrecerá en el tiempo, siendo este un comportamiento convergente.