ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY EULER DE ORDEN Son ecuaciones diferenciales de la forma:

(1) Donde Estas ecuaciones diferenciales se resuelven, reducindolas a Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, mediante el siguiente cambio de variable:

Y mediante la regla de la cadena se obtienen las derivadas:a) .b) Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:

Ejemplo 1: Resolver: SolucinSea ; simplificando se tiene: (1)Resolviendo (1) por variacin de parmetros:1 Polinomio caracterstico:

2 Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:

a) Determinacin de Las funciones obtener :-) -) -) Luego: As: Reponiendo la variable inicial se tiene:

Ejemplo 2: Resolver: SolucinLa EDO dada es equivalente a: Sea ; simplificando se tiene: (1)Resolviendo (1) por variacin de parmetros:1 Polinomio caracterstico: 2 Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:

b) Determinacin de Las funciones obtener :-) -) -) Luego: As: Reponiendo la variable inicial se tiene:

Imponiendo las condiciones iniciales: Finalmente se tiene:

NOTA: 1. Las EDO de Cauchy Euler tambin se pueden resolver mediante el siguiente reemplazo: ()Cuando el polinomio caracterstico tiene races complejas, es importante recordar y utilizar la frmula de Moivre: . As:

:

2. Son Tambin Ecuaciones diferenciales de este tipo las siguientes:

Las mismas que se resuelven haciendo el reemplazo siguiente:

Procediendo similarmente como en las EDO (1), por medio de la regla de la cadena se obtiene:

Ejemplo 3. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Finalmente:

Ejemplo 4. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: : Son soluciones particulares si:a) b) Luego, la combinacin lineal de y es la solucin de la EDO planteada:

Ejemplo 5. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Son soluciones particulares si:c) d) Luego, la combinacin lineal de y es la solucin de la EDO planteada:

Ejemplo 6. Resolver la EDO: SolucinUtilizando () en la EDO planteada, es decir, hacer: Finalmente: Ejemplo 7. Resolver la EDO: SolucinEn estos casos se recomienda trabajar primero con la EDO homognea asociada, esto es: Utilizando () en esta EDO, es decir, hacer: Conociendo la solucin complementaria, expresamos la EDO planteada en la forma:

y procedemos a resolverla por variacin de parmetros: Clculo de la solucin particular: a) Determinacin y solucin del sistema de ecuaciones:

.

b) Determinacin de Las funciones :-) -)

Luego, si: As: Luego:

Solucin general

EJERCICIOS PROPUESTOSRESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES QUE SE PROPONEN:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ; y 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. .