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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
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Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación en la queintervienen derivadas de una o más funciones.Según el número de derivadas, las ecuacionesdiferenciales se dividen en:Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas quecontienen derivadas respecto a una sola variableindependiente.Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas quecontienen derivadas respecto a dos o más variables.
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Ejemplos
es una ecuación diferencial ordinaria, donde y = f(x) esla variable dependiente, x la variable independiente e
12' xyy
dx
dyy '
0
v
u
x
u
La expresión
es la derivada de y con respecto a x.La expresión
es una ecuación en derivadas parciales.
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Ejemplos
Crecimiento de bacterias: La cantidad de bacteriasen un cultivo crece a un ritmo que es proporcional alnúmero de bacterias presente.
kQdt
dQ
Qdt
dQ07,0
Crecimiento de inversiones: Una inversión crece auna razón igual al 7% de su tamaño.
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Ejemplos
Cambio de temperatura: La razón a la que cambiala temperatura de un objeto es proporcional a ladiferencia entre su propia temperatura y la del medioque lo rodea.
donde M es la temperatura del medio que le rodea y kes una constante positiva.
)( QMkdt
dQ
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Orden de la ecuación
Se llama orden de la ecuación al de la derivada másalta.
Ejemplos:
a) y ' = y es una ecuación diferencial ordinaria deprimer orden.b) y '' = y es una ecuación diferencial ordinaria desegundo orden.
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Soluciones de ecuaciones diferenciales
Una función es solución de una ecuación diferencial
si reemplazada, ella y sus derivadas o diferenciales,
según corresponda, en la ecuación diferencial, se
obtiene una identidad.
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Verificación de la solución cuando está dada como función explícita
Obtenida la solución explícita y = f(x) de la ecuacióndiferencial:1) Se deriva f respecto de su variable independientehasta el orden de derivación que aparezca en laecuación diferencial.2) Se reemplaza en la ecuación diferencial y por f(x) yy’, y’’,…,y(n) respectivamente por las derivadas f’(x),f’’(x), …, f(n)(x), obtenidas a partir de la solución.
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Verificación de la solución cuando está dada como función explícita
3) Se opera algebraicamente sobre la ecuación en la
cual se efectuaron los reemplazos, habiendo quedado
únicamente en función de la variable independiente.
De esta manera, debe llegarse a una identidad.
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Verificación de la solución cuando está dada como función implícita
Cuando en la solución no es posible o no esconveniente despejar la variable dependiente, se llevatoda la función a la forma implícita F(x,y) = 0.Se deriva F(x,y) = 0 hasta el orden requerido por laecuación diferencial y se reemplaza en ésta solamentey’ y las demás derivadas que aparezcan. No sereemplaza la variable dependiente y. Se obtiene asíuna expresión algebraica que contiene las variables xe y. Al operar debe llegarse a una identidad.
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Solución General de una Ecuación Diferencial de Primer Orden
La solución de una ecuación diferencial de primerorden es general, cuando se obtiene calculando una“primitiva” de dicha ecuación diferencial, sindeterminar el valor de la constante deintegración.
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Solución General de una Ecuación Diferencial de Primer Orden
Interpretación geométrica.La solución general de una ecuación diferencial seinterpreta geométricamente como una familia decurvas integrales.
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Ejemplo
Para la ecuación diferencial xy’ + y = 0 queremosobtener la familia de curvas integrales asociadas a susolución general.Sea
x
Cy
su solución general.Construimos una tabla de valores para graficarcualquiera de las funciones, por ejemplo la quecorresponde a C = 1
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Ejemplo
x
xy
1
xy
2
xy
1
-2 -1/2 -1 1/2
-1 -1 -2 1
-0,1 -10 -20 10
0,1 10 20 -10
1 1 2 -1
2 ½ 1 -1/2
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Ejemplo
Una solución particular de una ecuación diferenciales una solución en que no aparecen constantes adeterminar.Una forma posible de obtener una solución particulares a partir de la solución general fijando condicionesiniciales que permiten la sustitución de los parámetrospor valores numéricos concretos.
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Ejemplo
Interpretación geométrica.Se interpreta como una curva determinada de lafamilia de curvas integrales obtenidas como solucióngeneral.
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Nos dedicaremos a mostrar cada una de las
principales técnicas de resolución de ecuaciones
diferenciales de primer orden.
Recordemos la forma general que adoptan estas
ecuaciones diferenciales ),(' yxfy
0)',,( yyxFó
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Ecuaciones de Variables Separables
Una ecuación diferencial es de variables
separables cuando puede ser llevada a la forma
),(' yxfy
dyyNdxxM )()(
donde M es función solamente de la variable x y N es
de la variable y.
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Ecuaciones de Variables Separables
Para resolver esta ecuación diferencial se integranambos miembros:
dyyNdxxM )()(
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
Una ecuación diferencial exacta es una expresión del
tipo: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, donde la forma
diferencial dada es exacta.
Decimos que: P(x,y)dx + Q(x,y)dy es una forma
diferencial exacta si existe una función u(x,y), que
llamaremos potencial, de la cual dicha expresión es su
diferencial, es decir:
du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
¿Cómo es posible reconocer que una forma diferenciales exacta?Utilizando el teorema de Schwarz y supuesto elcumplimiento de las condiciones de continuidad, elteorema nos asegura que a partir de un campo escalaru(x,y) sus derivadas parciales segundas cruzadas soniguales, es decir,
y
u
xx
u
y
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
En nuestro caso la función u(x,y), es la función
potencial que queremos determinar. Luego, si la forma
diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy es la diferencial de
u(x,y), entonces esta diferencial coincidirá con la
diferencial dada
dyyxQdxyxPdyy
udx
x
udu ),(),(
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
Determinamos las derivadas parciales segundas
cruzadas,
y
yxP
x
u
y
),(
x
yxQ
y
u
x
),(
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
debiendo entonces cumplirse:
x
Q
y
P
Así pues, dada una forma diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dysi se verifica que
x
Q
y
P
siendo estas derivadas parciales continuas, entoncesdicha forma diferencial es exacta.
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Ecuaciones diferenciales lineales
Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que
aparece con frecuencia en las aplicaciones es la
ecuación lineal. Una ecuación lineal de primer orden
es una ecuación que puede expresarse en la forma:
a1(x) y’+ a0(x) y = b(x) (1)
donde a1(x) y a0(x) sólo dependen de la variable
independiente x, no así de y, además son funciones
continuas de x en la región en que se pida integrar la
ecuación.
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Ecuaciones diferenciales lineales
Si b(x) 0, la ecuación se llama lineal no homogénea.
Si b(x) = 0, se dice que la ecuación es lineal
homogénea.
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Ecuaciones diferenciales lineales
Hay dos situaciones por las que la solución de una
ecuación lineal es casi inmediata. La primera surge
cuando a0(x) es idénticamente cero, ya que entonces
la ecuación (1) se reduce a
a1(x) y’ = b(x) (2)
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Ecuaciones diferenciales lineales
Que es equivalente a
cdx
xa
xbxy
1
)()(
La segunda es menos trivial. Si a0(x) fuese igual a la
derivada de a1(x), es decir, a0(x) = a’1(x), entonces,
los dos términos del lado izquierdo de la ecuación (1)
conforman la derivada del producto a1(x).y
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Ecuaciones diferenciales lineales
Por lo tanto la ecuación lineal (1) se convierte en:
yxadx
dyxayxayxayxa )()('')()(')( 11101
)()(1 xbyxadx
d
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Ecuaciones diferenciales lineales
Y la solución es elemental nuevamente
cdxxbyxa )()(1
cdxxbxa
y )()(
1
1
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Ecuaciones diferenciales lineales
Pocas veces es posible reescribir una ecuación
diferencial lineal tan sencilla como (2).
La forma más sencilla consiste en dividir primero la
ecuación diferencial (1) por a1(x)
y’ + P(x) y= Q(x) (3)
donde P(x) = a0(x)/a1(x) y Q(x) = b(x)/a1(x)
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Ecuaciones diferenciales lineales
Si multiplicamos la ecuación (3) por u(x), obtenemos
u(x)y’ + u(x)P(x) y= u(x)Q(x) (4)
Determinemos u(x) de modo que el lado izquierdo de
la ecuación multiplicada por u(x) sea precisamente la
derivada del producto u(x)y
yxuyxuyxudx
dyxPxuyxu )('')()()()(')(
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Ecuaciones diferenciales lineales
Para esto u debe satisfacer:
u’(x)=u(x)P(x) (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial a variables
separables, entonces,
dxxP
exu)(
)(
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Ecuaciones diferenciales lineales
Con esta elección de u(x), la ecuación (4) se convierte
en:
cuya solución es:
cdxxQxuxu
xy )()()(
1)(
)()()( xQxuyxudx
d
Esta función es la solución general de (3)
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Ecuaciones diferenciales lineales. Método de Cálculo
1) Escribir la ecuación en la forma:
y’ + P(x) y= Q(x)
2) Calcular u(x) mediante la fórmula:
dxxP
exu)(
)(
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Ecuaciones diferenciales lineales. Método de Cálculo
3) Multiplicar la ecuación del paso 1 por u(x)
u(x)y’ + u(x)P(x) y = u(x)Q(x)
)()()( xQxuyxudx
d
4) Integrar la última ecuación y pasar u(x) dividiendo
al otro miembro, para obtener la solución.