Gustavo Zamar Sofa Torres

ACTIVIDAD 5 MATEMATICA I

ACTIVIDAD D

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica):a) El vector genrico TX.b) El ncleo de esta TL.c) Los autovalores de la TL.d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.Adems:e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.f)Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?h)Plantee la transformacin inversa.

1 1 010 1 2 1

0 1 1A

TRANSFORMACIN: TX

1 1 010 1 2 1

0 1 1A

[ xyz ] = [ x yx+2 yz y+z ]

NUCLEO DE LA TRANSFORMACION

Para calcularlo planteamos el SELH:

x y=0

x+2 yz=0 y tiene la matriz ampliada [ 1 1 0 01 2 1 00 1 1 0] y+z=0

cuya resolucin por el mtodo de reduccin Gauss-Jordan nos devuelve como resultado :

VECTOR GENERICO TXMatriz de

transformacin

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entonces el ncleo sera : [000]

Lo que implica que el ncleo de la transformacin slo admite el vector nulo.

AUTOVALORES DE LA TRANSFORMACIN

AX=kX

[ 1 1 01 2 10 1 1 ] . [ xyz ]=k [ xyz ] x y=kxx+2 yz=ky y+z=kz x (1k) y=0x+ y (2k )z=0 y+ z(1k )=0

|1k 1 01 2k 10 1 1k|=0 (2k)(1k )+1+(1k )+1=0 k24k+3=0resolviendo la ecuacin cuadrtica tenemos su forma factorizada con la races: (x1)(x3)y los autovalores sern 1 y 3.

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BASE DE AUTOVECTORES

Para determinar todos los autovectores de A asociados a los autovalores anteriormente mencionamos debemos desarrollar la siguiente igualdad

AX=kX donde k es el autovalor asociado a la matriz.

Tenemos para el auto valor 1:

[ 1 1 01 2 10 1 1 ] [xyz ] = 1 [

xyz ] Entonces tenemos

[ x y=xx+2 yz= yy+z=z ] = [ x yx=0x+2 yz y=0y+zz=0 ]Luego: s [ y=0x+ yz=0 y=0 ] simplificando tenemos que [ y=0x+ yz=0]y reemplazando x+0z=0 x=z por lo tanto, un autovector asociado al autovalor 1 sera:

[z0z ] o, lo que es lo mismo decir: z [101 ]

Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 3:

[ 1 1 01 2 10 1 1 ] [xyz ] = 3 [

xyz ] Entonces tenemos

[ x y=3 xx+2 yz=3 yy+z=3 z ] = [ x y3 x=0x+2 yz3 y=0y+z3 z=0 ]Luego: [ 2 x y=0x yz=0y2 z=0 ] y=2 z y=2 zx+2 zz=0x+z=0 x=z2 z+2z=0 con lo cual tenemos que el autovector quedara [ z2 zz ] o lo que es lo mismo z [ 121 ]

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Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 0:

[ 1 1 01 2 10 1 1 ] [xyz ] = 0 [

xyz ] Entonces tenemos

[ x y=0 xx+2 yz=0 yy+z=0 z ] Luego: x+2 zz=0x+z=0 x=z y+z=0 y=zcon lo cual tenemos que el autovector quedara [zzz ] o lo que es lo mismo z [111]DIAGONALIZACION

Construimos la matriz P con los autovectores obtenidos y verificamos si sta admite inversa:

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construimos la matriz D con los autovalores

[0 0 00 3 00 0 1 ] y hacemos A=PDP1

y efectivamente nos devuelve la matriz A. Lo que implica que A s es diagonalizable. Y las diferencias que observamos se deben a las aproximaciones decimales utilizadas para poder operar con las calculadoras.

Grfica adjunta en la pagina siguiente.

Inversa de P

PD

P*D

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