Ejercicio [1.25.14] de MRUA (o de cómo resolver un problema de varias formas)
I.E.S. “LA AZUCARERA”
Dpto. de Fª. y Qª.
2009-10
4º ESO
TODOS los caminos LLEVAN a SANTIAGO 2010 Año Santo Jacobeo
I.E.S. "La Azucarera" (Zaragoza) Dpto. Fª y Qª 2
TODOS los caminos LLEVAN a SANTIAGO 2010 Año Santo Jacobeo
O de cómo se puede resolver un problema de distintas formas [Ejercicio 14 (página 25)]
1er. camino: Camino [Francés] Aragonés: (Puerto de Somport, (Canfranc), Villanua, Jaca,
Sta. Cilia, Arrés, Artieda, Undués de Lerda... Puente de la Reina... Logroño... León... Santiago)
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U.D.1 - (página 25) - Ejercicio 14
Con los datos de la tabla (1.2):
a) Calcula el espacio recorrido por el móvil en cada intervalo.
b) Representa en una gráfica el espacio recorrido frente al tiempo
Tabla 1.2
v(m/s) 0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,8
t(s) 0 5 10 15 20 25 30
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a) Calcula el espacio recorrido por el móvil en cada intervalo
v(m/s) 0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,8
t(s) 0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
0
6.9
13.9
20.8
27.8 27.8 27.8
Espacio recorrido (e) por el movil desde el inicio hasta t=5s
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espacio recorrido desde t=0 a t=5 s
0 5
6,9
El área de un triángulo es base por altura dividido por 2
Nuestro triángulobase = 5 saltura = 6,9 m/s
Área de nuestro triángulo5 s · 6,9 (m/s) / 2 = 34,5 (s ·m/s) / 2 =17,25 mSolución e=17,25 m
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espacio recorrido desde t=0 a t=10 s
0
10
13,9
El área de un triángulo es base por altura dividido por 2
Nuestro triángulobase = 10 saltura = 13,9 m/s
Área de nuestro triángulo10 s ·13,9 (m/s) / 2 = 139 (s ·m/s) / 2 =69,5 mSolución e=69,5 m
Para t=15 s y t=20 s, las figuras que siguen siendo triángulos
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espacio desde t=0 a t=15 ó 20 s
0
15 - (20)
20,8 - (27,8)Nuestro triángulo negrobase = 15 saltura = 20,8 m/s
Área de nuestro triángulo15 s ·20,8 (m/s) / 2 = 312 (s ·m/s) / 2 =156 mSolución e=156 m
Nuestro triángulo rojobase = 20 saltura = 27,8 m/s
Área de nuestro triángulo20 s ·27,8 (m/s) / 2 = 556 (s ·m/s) / 2 =278 mSolución e=278 m
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espacio recorrido desde t=0 hasta t=25 o t=30 s
v(m/s) 0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,8
t(s) 0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
0
6.9
13.9
20.8
27.8 27.8 27.8
Espacio recorrido (e) por el móvil desde el inicio hasta t=25s
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espacio recorrido desde t=0 hasta t=25 o t=30 s
v(m/s) 0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,8
t(s) 0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
0
6.9
13.9
20.8
27.8 27.8 27.8
Espacio recorrido (e) por el móvil desde el inicio t=0s hasta t=25s (azul + rojo).t=30s (azul + rojo + verde)
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espacio recorrido desde t=0 hasta t=25 o t=30 s
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
0
6.9
13.9
20.8
27.8 27.8 27.8
Espacio recorrido (e) por el móvil desde el inicio t=0s hasta t=25s (azul + rojo).t=30s (azul + rojo + verde)
El espacio recorrido desde t=0 hasta t=25 s es el área del triángulo azul (= 278) + el rectángulo rojo (base = 5 s y altura = 27,8 m/s). Para t= 30 s será el área anterior más el área del rectángulo verde que vale lo mismo que la del rojo (tiene la misma base y altura)
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Nuestro triángulo ya calculado antes:base = 20 saltura = 27,8 m/s
Área de nuestro triángulo20 s ·27,8 (m/s) / 2 = 556 (s ·m/s) / 2 =278 mSolución e=278 m
Nuestro rectángulos (cada uno tiene de):base = 5 saltura = 27,8 m/s
Área de nuestros rectángulos:5 s ·27,8 (m/s) = 139 (s ·m/s) =139 mSolución e=139 m
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Área de nuestro triánguloSolución e=278 m
Área rectángulo rojo:Solución e=139 m
Área rectángulo verde:Solución e=139 m
El espacio recorrido desde t=0 hasta t=25 s es el área del triángulo azul (= 278) + el área rectángulo rojo (base = 5 s y altura = 27,8 m/s) (= 139).
Lo que nos da un espacio recorrido (entre t=0 y t=25 s) es de e = 417 m
El espacio recorrido desde t=0 hasta t= 30 s será el área anterior más el área del rectángulo verde que vale lo mismo que la del rojo (tiene la misma base y altura)Área (triángulo azul + rectángulo rojo) + (rectángulo verde) = 417 + 139 = 556
Lo que nos da un espacio recorrido (entre t=0 y t=30 s) es de e = 556 m
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b) Representa en una gráfica el espacio recorrido frente al tiempo
Ahora podemos escribir una nueva tabla e-t
0 5 10 15 20 25 30 35
0
20.85
41.7
62.55
83.4
104.25
125.1
145.95
166.8
187.65
208.5
229.35
250.2
271.05
291.9
312.75
333.6
354.45
375.3
396.15
417
437.85
458.7
479.55
500.4
521.25
542.1
562.95
017.25
69.5
156
278
417
556
t(s) e(m)
0 0
5 17,25
10 69,5
15 156
20 278
25 417
30 556
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TODOS los CAMINOS LLEVAN a SANTIAGO: 2010 Año Santo Jacobeo
O de como se puede resolver un problema de distintas formas [Ejercicio 14 (página 25)]
2º camino: Camino del Ebro(Tortosa – Caspe- Zaragoza – Logroño -
León- Astorga-Santiago)
I.E.S. "La Azucarera" (Zaragoza) Dpto. Fª y Qª 15
Ahora utilizamos una hoja de cálculo
0,0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,80 5 10 15 20 25 30
#DIV/0! 1,3800 1,3900 1,3867 1,3900
0 25 100 225 400#DIV/0! 34,50 139,00 312,00 556,00#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00
417 556
Luego nuestra tabla espacio tiempo queda como sigue
0 5 10 15 20 25 30#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00 417,00 556,00
v (m/s)t (s)a=v/te=(1/2)·a·t2
·t2
a·t2
e=(1/2)·a·t2
e=e0+v·t (e
0=278)
t (s)e (m)
Comparamos los resultados con los obtenidos con anterioridad
t(s) e(m)
0 0
5 17,25
10 69,5
15 156
20 278
25 417
30 556
I.E.S. "La Azucarera" (Zaragoza) Dpto. Fª y Qª 16
0 5 10 15 20 25 30 35
0
100
200
300
400
500
600
017.25
69.5
156
278
417
556
t (s) 0 5 10 15 20 25 30
e (m) 0 17,25 69,50 156,00 278,00 417,00 556,00
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TODOS los CAMINOS LLEVAN a SANTIAGO: 2010 Año Santo Jacobeo
O de como se puede resolver un problema de distintas formas [Ejercicio 14 (página 25)]
3er. camino: Camino de la “Vía de la Plata”(Sevilla – Merida - Salamanca –
Leon - Santiago)
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Ahora utilizamos una otra hoja de cálculo
0,0 6,9 13,9 20,8 27,8 27,8 27,80 5 10 15 20 25 30
#DIV/0! 1,3800 1,3900 1,3867 1,3900
0 48 193 433 7732.a #DIV/0! 2,76 2,78 2,77 2,78
#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00
417 556
Luego nuestra tabla espacio tiempo queda como sigue
0 5 10 15 20 25 30#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00 417,00 556,00
v (m/s)t (s)a=v/te=(v2-v
0
2) /2·a v0
2=0
v2
e=(v2-v0
2) /2·a
e=e0+v·t (e
0=278)
t (s)e (m)
Comparamos los resultados con los obtenidos con anterioridad, son los mismos que en los 2 caminos anteriores, por lo que también su gráfica será la misma
La gráfica parece una parábola, pero en realidad es la unión de una parábola y una recta (vamos a dibujar las 2 )
t(s) e(m)
0 0
5 17,25
10 69,5
15 156
20 278
25 417
30 556
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Estudio de la gráfica
Entre t=0 y t=20 s el movimiento es movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Su a=13,9 m/s2
Vamos a calcular todos los espacios como si hasta 30 s fuese un MRUA
Entre t=20 y t=30 s el movimiento es movimiento rectilíneo uniforme.
a=0m/s2 y v=27,8 m/s
Vamos a calcular todos los espacios como si este MRU hubiese empezado en t=0s y no en t=20s
I.E.S. "La Azucarera" (Zaragoza) Dpto. Fª y Qª 20
Ahora utilizamos la 1ª hoja de cálculo
0,0 6,9 13,9 20,8 27,80 5 10 15 20 25 30
#DIV/0! 1,3800 1,3900 1,3867 1,3900 1,3900 1,3900
0 25 100 225 400 625 900#DIV/0! 34,50 139,00 312,00 556,00 868,75 1251,00#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00 434,38 625,50
-278
-278 -139 0 139 278 417 556
Luego nuestra tabla espacio tiempo queda como sigue
0 5 10 15 20 25 30#DIV/0! 17,25 69,50 156,00 278,00 434,38 625,50
0 139 278 417 556 695 834
v (m/s)t (s)a=v/t
e=(1/2)·a·t2
·t2
a·t2
e=(1/2)·a·t2
e=e0+v·t (e
0=278)
e=e0+v·t (e
0=278)
t (s)e (m) MRUAe(m) MRU
Los RESULTADOS son ahora distintos que los calculados antesVamos a dibujar las gráficas
t(s) e(m)
0 0
5 17,25
10 69,5
15 156
20 278
25 417
30 556
I.E.S. "La Azucarera" (Zaragoza) Dpto. Fª y Qª 21
0 5 10 15 20 25 30 35
-400
-200
0
200
400
600
800
-278
-139
0
139
278
417
556
0 17.9569.5
156
278
434.38
625.8
MRUAMRU
La gráfica de nuestro movimiento inicial (datos de problema)sería:Desde t=0 hasta t=20 la línea azul y desde t=20 hasta t=30 la línea roja
Si fuesen 2 móviles distintos qué podrían significar los siguientes puntos:(0, 0); (10, 0) (20, 278) y (0, -278) ¿Qué significa ese signo(-) del último punto?