Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
1) Estudiar segn los valores del parmetro a el sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo cuando sea compatible: a)
01
0,0,1
0111
111
122
.30
.32
2000
1010
1001
0
002
2200
110
101
110
110
101
2
112
110
101
,,
:112
110
101
12
1
1
233
13332
21
==+
=====+
====
==
=
===
=
=
=++=+=+
yaxy
aSolucin
aaaxzaxz
axax
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAa
LEINCOMPATIBSISTrgArgAa
aAaA
a
a
a
ffF
a
a
a
ffF
a
a
a
xzy
incgnitas
cc
cc
a
a
a
zyax
zax
yax
b)
( )
( ) ( )( )
( ){ }
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
3
12
3
1462
3
1
3
422222
3
2
3
1111111
3
1
32
2
65
2265
332
,1,343422222
1
22
1
32
0000
1110
2121
2
32
1000
1210
2121
3
2302365
26500
1110
2121
4
2240
1110
2121
2242
111
2121
242
1
22
22
2
2
233133
122
+=
+++=
++
++=+==+
+=
+++=++==++
+=
+++=
+++==++
==
=
=+=+==
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
c)
( )
( ){ }
( )
( ) ( )( )( ) ( )32
32
32
43132
3
2
2
1
2
112
3
223
33
,1,343422222
1
22
1
32
6000
2020
3111
3
3032
2300
1020
111
333
1111
111
33
1
2
133
122
+=
++=
+=+==+
==
==
==
=
=+=+==
=+=
==
=
===
==
=+=++=+
a
aa
a
aaaaa
a
aaazyaxazyx
ayay
a
azaza
ODETERMINADCOMPATIBLEsistemargArgAa
zzzzSzzzzyx
zy
zyx
zy
LEINCOMPATIBsistemargArgAa
aAaA
aa
a
a
ffF
ffF
aa
a
aazyx
zyx
azyx
d)
e)
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+=+
=++=++
==
=
=+=
=++=+
==
======
+=++=
=
=+=++
=+
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
zyxtrivialSolucinadoDeterCompatibleSistemargAaaSi
aaparacerovaleanteerEste
aaaa
a
a
Acompatibleessiempre
ogneosistemaunEs
zyax
zyx
zayx
,35,28Re7
281214
07
0471220
71
422712
,2,5Re7
432
07
04320
11
3223
0min37123
7123mindet
12733697
131
711
42hom
013
07
0422
( )( )
1,1523
235mindet25
335
50
7553518
32
23
23
32
23
2323
==
=+=+
====
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
2) a) Es siempre cierta la propiedad conmutativa del producto de matrices? En caso afirmativo prubalo, en caso negativo pon un ejemplo en el que no se verifique b) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 demostrar AB=BA
c) Determina las matrices diagonales A tales que
=
10
01AA
a) El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ni para matrices rectangulares ni para matrices cuadradas:
Matrices rectangulares: A de dimensin 2x1; B de dimensin 2x2 AB no se puede calcular y BA si se puede calcular, es una matriz 2x1
Matrices cuadradas:
=
=
=
=
00
13
30
10
00
10
13
21BAABBA
b)
==
=
=
=
db
caBA
bd
acAB
d
cB
b
aA
0
0
0
0
0
0
0
0
c)
==
==
=
=
=
10
01;
10
01;
10
01;
10
01
1
1
1
1
10
01
0
0
0
02
2
2
2
solucionescuatroHayb
a
b
a
b
aAA
b
aA
3) Resuelve
4) Resuelve la ecuacin matricial AXB=C siendo
=
=
=
00
21
31
21
10
01CBA
( )
=
=
=
=
==
=
=====
00
01
11
23
00
21
11
23
00
21
10
01
11
23
12
131
10
01
11
1
11111111
X
BBAdjBB
identidadlaserPorA
BCAXBCAXBBCAXBCAAXBACAXB
=====
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
5) Resolver la ecuacin matricial PX+3I=Q siendo
=
=
21
32
22
01QP e I la identidad
( )
( )
=
=
=
=
==
=
===+
2529
35
11
35
211
01
10
013
21
32
211
01
211
01
10
222
22
01
333
1
1
X
PPAdjPP
IQPXIQPXQIPX
6) Calcular el valor de los determinantes bac
cba
acb
cba
cba
+++
1
1
1
;
333
101010
777
222
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )bcacabcb
acab
cb
acab
accabb
acabaffF
affF
cba
cba
cba
cba
==
==
==
==
21011
210
0
110
111
210
0
0
111
210
111
3107
333
101010
777
233
122
222222
( ) ( ) 0011
11
11
1
1
1
1
1
1
233 =++=++=++++++
+==+++
cba
c
a
b
cba
cbac
cbaa
cbab
ccC
bac
cba
acb
7) Determinar los valores del parmetro t para que el sistema
=++
=++
0
12
32
zytx
tzytxt tenga solucin.
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
=
=
=+
=+
==++
=
==+
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
8) Resuelve la ecuacin matricial
=
011
001
110
013
100
025
X
=
=
====
======
=
===
=
001
325
112
011
001
110
010
503
201
010
503
201
010
503
201
1
011
001
110
013
100
025
1
332313
322212
3121111
111
X
A
AAA
AAA
AAA
AA
BAXBAAXABAXX
9) Discute y resuelve, cuando se pueda, los siguientes sistemas en funcin del parmetro K
( ){ }
( ) 01,3,7:713333
3121212
1
.
3
0
,21,34
342133
21
12
3.
2
0
00
00
1210
3111
1210
1210
3111
2532
2121
3111
532
22
3
133133
122
=+++===++
=+=+==
==
==
+=
=+==
+=
=
=++
==
=
===
=
=
=
+
=++
+=+
=++
kkkSolucin
kkkzyxzyx
kkkzykzy
zkkz
ODETERMINAD
COMPATIBLESist
rgArgA
k
zzzzS
zzzzyx
zy
zy
zyx
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESist
rgArgA
k
kAkA
kk
k
ffF
k
kffF
ffF
k
k
kzyx
kzyx
zyx
( )
( )
12
264
11
320168
4320168
816000
1100
6410
2111
55
475500
1100
6410
2111
8
1
475500
8800
6410
2111
1
2
21110
4020
6410
2111
111
2111
8321
2111
2
1
832
2
34444
344
233
134
133
122
==++==
======+
==+
+=
+
=
+
=
+=
===
=+=
=+=++
xzyx
yzy
zz
ODETERMINADCOMPATIBLESistemargArgAkk
LEINCOMPATIBSistemargArgAkk
k
fkfF
kk
fF
kk
fkfF
ffF
kkkkffF
ffF
ffF
kzyx
zykx
zyx
zyx
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )
( ){ }
( )
( )11
1
1111
1
1
1111
11.310
.32
1000
1110
2121
1
0,,11
0
1
0.2
0100
0000
1011
0
1001
100
0
111
010
0
111
010
1011
111
0
1
11
2
233122
=
++
+=+=+++
=
===+=
====
==
=
=
==
=+=
==
=
====
++
+=
++
=
++
=+=+
+=+++
k
k
k
k
k
kkxkkzykx
kk
kzyzykkzky
k
kzkzkODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAkk
LEINCOMPATIBSistrgArgAk
yyySyx
z
yx
z
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kkAkkA
kk
kkk
kkk
ffF
k
kkk
kkk
ffF
k
kkk
zky
yx
kkzykx
( )
( )
( )
=
==+==
=
=++=+
==
=
====+=
++=
+++
+==
+
=++=++=+++
zzzS
zzzyx
zy
zyx
zy
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kporrsimplificadeantesobtenidasmatriceslasenkcasoelanalizarquehayAdems
kkAkkA
kk
k
fkfF
kkkk
k
k
Suponemos
kkkk
kkk
k
fkfF
ffF
k
kk
k
ee
ee
kzkyx
kzyx
zyxk
,5
9,
5
2
5
2
5
18522
5
185224
5
9
422
955.2
9550
0000
4221
2
22
3003
1300
2110
421
12
141120
2110
421
02
141120
42220
421
13111
221
421
22
42
31
2
2233
2
2133
122
23
12
( )
( )kk
k
kk
k
kk
kkxkzyx
kk
kk
kkzyzy
kkzzkk
ODETERMINAD
COMPATIBLESistrgArgAkkk
LEINCOMPATIBSistrgALEINCOMPATIBSistrgA
rgAkrgAk
3
2
33
1622442
3
162
3
1222
3
113
.3230
.3.3
2
1000
2110
4021
02
1000
2110
4321
3
222
2
2
2
2
2
2
++=
++
++==++
++=
+=+==
+==+
==
==
=
==
=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) 22
22
2
22
3
2
2
133133
122
)1(3
22
)1(3
01
23
111
)1(3
1
)1(3
101
43
11
)1(3
23
33)1(
10
42
11
.31
.32
1000
4110
111
1
10131)1(333)1(
2233)1(00
33410
111
1
1110
33410
1113
011
423
111
0
423
1
+=
=
+=
=
+=+
=
==
==
=
====+=
+++
+=
+
+=+=
=++=++
=
k
kk
k
k
k
zk
kk
k
k
k
yk
kk
kk
k
k
k
x
CramerPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAk
LEINCOMPATIBSISTrgArgA
k
k
kAkkkkkA
kkkk
kk
k
fkfF
kk
kk
k
ffF
ffF
k
k
k
zkyx
kzyx
kzyx
10) Hallar el rango de la siguiente matriz segn los valores de
+++ 555
:,,
( )
21
0
0
000
0
111
0
0
111
111
5
1555
233
133
12211
====
==
+=
+=
=
+++=
+++
rgAoSirgASi
ffF
ffF
ffFfF
11) Demostrar que para cualesquiera valores, distintos dos a dos, de a, b, c, el siguiente sistema tiene solucin nica
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )
nicaSolucinODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAAcbaSi
bcacabacbaccabA
abaacbacc
aacabbffF
aaccabb
aacabaffF
affF
cba
cba
zcybxa
czbyax
zyx
==
==
=
==
=++
=++=++
30
22300
20
1111
230
20
1111
3
2
1111
3
2
1
233
22233
122
222222
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
12) Explicar cmo se calcula el determinante de una matriz cuadrada de orden n por los elementos de una fila o columna definiendo los conceptos que se utilicen. Como aplicacin resolver la siguiente ecuacin
0
00
00
0
1111
=
cx
bx
aax. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius
a) En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento y lo representamos por al determinante de la matriz cuadrada de orden que resulta de suprimir la fila y la columna de la matriz
Se llama adjunto del elemento , y lo representamos por al producto :
El determinante de una matriz cuadrada de orden es igual a la suma de los productos de los elementos de una lnea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
b)
( )( ) ( )( ) ( )
+==+
==+=
=
=
=
===
==
ac
caxacxcab
bacxcabaxxacb
cx
axab
cx
bx
axa
cxx
bxx
axax
ccC
ccC
ccC
cx
bx
aax
cx
bx
aax
00
00
0
0
0
0
0
0
0001
00
00
0
1111
0
00
00
0
1111
244
233
122
c) El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condicin necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz la ampliada por los trminos independientes posean el mismo rango. Adems, el sistema constituido ser determinado si su rango coincide con el nmero de incgnitas ser indeterminado si posee un valor menor a tal nmero.
13) Definir el concepto de inversa de una matriz e indica una condicin que debe cumplir una matriz para que exista
su inversa. Halla los valores de a para los que la matriz
=113
12
11
a
a
A tiene inversa. Calclala para a=1
La matriz inversa de A, matriz cuadrada de orden n, es otra matriz que representamos por A-1 y
que verifica: IAAAA == 11 .
Una matriz cuadrada tiene inversa si y slo si su determinante es distinto de cero. Si una matriz
tiene inversa se puede calcular mediante la frmula: ( )( )tAAdjA
A11 =
=
=
======
====
=
613165
313132
21021
125
224
303
6
1
125
224
303
6
113
12
111
332313
322212
312111
A
AAA
AAA
AAA
Aa
a
A
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
14) Sea un sistema homogneo AX=0. De las siguientes afirmaciones justifica las que sean ciertas, o poner un contraejemplo en las que sean falsas:
a. Un sistema homogneo siempre es compatible determinado b. Un sistema homogneo nunca es incompatible.
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:
=+++
=+++=+++
mnnm22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
LLL
K
K
donde x1, ..., xn son las incgnitas, b1, ..., bm se denominan trminos independientes y los
nmeros aij se llaman coeficientes de las incgnitas, formando una matriz que denominaremos A,
matriz de coeficientes. Cuando los trminos independientes son cero, estamos ante un caso
particular de sistemas que denominamos homogneos.
Atendiendo al nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en
tres tipos:
Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solucin.
Sistema compatible: son aquellos que poseen solucin. Dentro de ellos, podemos hablar
de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una nica solucin.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
Teorema (Rouch-Frobenius): Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A X = B, y
llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|B). Entonces:
Si Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible.
Si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas), el sistema resulta compatible determinado.
Si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas), el sistema resulta compatible
indeterminado.
En un sistema homogneo Rango(A) = Rango(A*) siempre, por lo tanto un sistema homogneo
siempre es compatible (nunca es incompatible) pero puede ser
Compatible determinado si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas)
Compatible indeterminado si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas)
Por ejemplo: ( ){ }===
=++=++
=y
zyx
zyx
yx
2y- y,y,S2 Rango(A*) Rango(A)
0222
0
0
Calcula el determinante de la matriz
=
1400
2110
1312
0211
B . Qu solucin tiene el sistema homogneo BX=0?
022
140
211
113
1400
2110
1130
0211
2
1400
2110
1312
0211
122 =
=
===
ffF
0
mindet400
===
Xtrivialsolucinlaesque
solucinnicaunatieneadoercompatibleSistemargBBBX
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
15) Definir el rango de una matriz. Indica algn mtodo para calcularlo. Hallar el rango de
a
bb
aa
112
12
112
segn
los valores de a y b.
Rango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rag(A) o r(A). Tambin podemos decir que el rango es el orden del mayor menor no nulo. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes. Clculo por el mtodo de Gauss: En general consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneas posible o descartar lneas si:
Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.
El rango ser el nmero de filas que quedan despus de descartar todas las posibles.
( )
( )
312
3210
)(22
21
30
2220
1000
112
1
2
0000
1110
2112
2
2220
1110
112
211
12
112
112
12
11
2
2
133
122213
2
=
=======
=
=
=
==
rgAbaSi
rgAaaa
estudiadoyargAa
rgAa
rgAa
aaaa
a
a
bSi
bdevalorelseaquecualquierargAbbaSi
aaaa
abb
a
affF
ffF
aa
bb
a
ff
a
bb
aa
16) Si
=
=
20
11
23
12ByA , determina la matriz X despejndola previamente de la ecuacin matricial:
BXAXA =2 (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuacin matricial tenga sentido)
( ) ( ) 12222 +=+=+== BAAXXBAABXAXABXAXA
( )
=
=
=
=
=+
=
+
=+
2
1
2
13
2
3
4
23
12
2
1
2
1
03
2
23
12
4
1
4
1
03
1
2
4
1
4
1
03
1
12
3
12
3
012
4
43
03
20
11
23
12 1
X
BABA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
17) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen ( ) 011;02 == AA (= denota la matriz nula)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
===
=+=
==
=+=
==
==
=+
=+=+
=+
=+=+
=+
=+=+=+
=
=
==
=
aaa
aaSoluciones
babaSi
ba
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bd
ac
dcb
dac
dab
bca
db
ca
dcb
dcac
bdab
bca
dc
ba
dc
ba
dc
ba
A
A
dc
baA
;00
00:
00
0;0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0011
00
00
011
0
2
2
2
2
2
2
2
18) Hallad las matrices A que verifican la ecuacin:
=
6
6
6
213
132
321
A
=
=
=
=
=
======
====
=
==
=
=
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
1
157
571
715
3
1
6
6
6
157
571
715
18
1
157
571
715
18
1
157
571
715
18
213
132
321
6
6
6
213
132
321
13dim
6
6
6
213
132
321
1
332313
322212
312111
1
A
B
BBB
BBB
BBB
BB
CBACAB
z
y
x
xensindeesAA
19) Hallad segn el valor de a el rango de la matriz
21
41
421
aa
a ;
211
11
111
a
a
( )( )
322
000
040
421
21
000
000
421
2
2042
400
020
421
420
020
421
1
41
421
2
2233
2133
122
2
==
==
=
===
=
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
aa
affF
ffF
aa
a
( )( )
312
000
021
111
11
000
000
111
1
1011
100
010
111
11
11
1112
2133
122
2
==
==
=
===
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
ffF
a
a
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
20) Sea
x
x
x
x
xP
333
333
111
111
)( = halla dos races de este polinomio de grado cuatro.
( )( )
====
03mindet3
01mindet1
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
21) Discutid segn los valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones:
=+=+
=
bzayx
azyax
zyx
103
03
343
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+==
==
==
=======
=
+=
+=+==
==
==
=======
=
=
===+=
++
=
++
==
=+=+
=
zzzzSzzyx
zy
zy
zyxba
ADOINDETERMINCOMPATIBLErgArgAba
LEINCOMPATIBrgArgAba
b
a
yyySyzyx
z
z
zyxba
INDETCrgArgAba
INCOMPrgArgAba
bff
F
b
a
aaAaaA
aba
aaa
ffF
ba
aaaffF
affF
ba
aa
bzayx
azyax
zyx
,22,2323433
22
22
34392
292
3292
9000
6630
3431
2
1,,3131433
1
33
34391
...291
.3291
9000
3300
3431
6300
3300
3431
1
2103633
333600
33330
3431
36330
33330
3431
1031
03
3431
103
03
343
23
3
233133
122
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )aababaa
a
ab
aa
aabzyxzyx
aa
aaby
a
aab
a
abaa
a
abaayaaazya
a
abzabza
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLErgArgAaa
332
443330
36
334
332
933433343
332
9
2
9
2
333
36
3333333333
36
333336
321
2
++=
++
+++=++==
++=
+=
+++=
+=+=++
+=+=
==
22) Sea A una matriz 2x2 no nula Puede ocurrir que AA sea la matriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no es posible.
( )( )
=
=
=
=
=
=
=+=+=+
=+
++++
=
=
=
00
00
11
11
11
110:
11
11
1lg
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
AAyAsComprobamoA
solucinunaobtenemosahacemosSiabc
dasistemaesedenulanosolucinunaaBuscamos
dcb
dac
dab
bca
dcbcdac
bdabbca
dc
ba
dc
baAA
dc
baA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
23) Sean las matices
=
=
z
zBy
yxA
0
033; adems denotaremos con
tA a la matriz traspuesta de A.
Averiguad para qu valores de x, y, z se cumple la relacin BAAt =
( )
=
=
=
==
=
=
=
=
=
+
==
=+=+
=
=
+++
=
=
=
180
018
33
33
33
33:
3
3
18
9
18
182
1818
033
18
0
0
33
3318
0
0
3
333
0
033
222222
22
ByAAsolucionesdostieneA
y
x
z
x
z
x
z
xx
xy
z
zyx
yx
z
z
z
yxyx
yx
z
z
y
x
yxz
zBy
yxA
m
24) Obtener, en funcin de a, b y c, el determinante de la matriz
++
+=
1111
1111
1111
1111
c
b
aA
abcabc
c
b
aaa
c
b
aaaa
ccC
ccC
ccC
c
b
aA ==
=
+=
===
=
++
+=
010
001
111
00
001
001
001
1
0001
1111
1111
1111
1111
144
133
122
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
1) Estudiar segn los valores del parmetro a el sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo cuando sea compatible: a)
01
0,0,1
0111
111
122
.30
.32
2000
1010
1001
0
002
2200
110
101
110
110
101
2
112
110
101
,,
:112
110
101
12
1
1
233
13332
21
==+
=====+
====
==
=
===
=
=
=++=+=+
yaxy
aSolucin
aaaxzaxz
axax
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAa
LEINCOMPATIBSISTrgArgAa
aAaA
a
a
a
ffF
a
a
a
ffF
a
a
a
xzy
incgnitas
cc
cc
a
a
a
zyax
zax
yax
b)
( )
( ) ( )( )
( ){ }
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
3
12
3
1462
3
1
3
422222
3
2
3
1111111
3
1
32
2
65
2265
332
,1,343422222
1
22
1
32
0000
1110
2121
2
32
1000
1210
2121
3
2302365
26500
1110
2121
4
2240
1110
2121
2242
111
2121
242
1
22
22
2
2
233133
122
+=
+++=
++
++=+==+
+=
+++=++==++
+=
+++=
+++==++
==
=
=+=+==
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
c)
( )
( ){ }
( )
( ) ( )( )( ) ( )32
32
32
43132
3
2
2
1
2
112
3
223
33
,1,343422222
1
22
1
32
6000
2020
3111
3
3032
2300
1020
111
333
1111
111
33
1
2
133
122
+=
++=
+=+==+
==
==
==
=
=+=+==
=+=
==
=
===
==
=+=++=+
a
aa
a
aaaaa
a
aaazyaxazyx
ayay
a
azaza
ODETERMINADCOMPATIBLEsistemargArgAa
zzzzSzzzzyx
zy
zyx
zy
LEINCOMPATIBsistemargArgAa
aAaA
aa
a
a
ffF
ffF
aa
a
aazyx
zyx
azyx
d)
e)
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+=+
=++=++
==
=
=+=
=++=+
==
======
+=++=
=
=+=++
=+
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
zyxtrivialSolucinadoDeterCompatibleSistemargAaaSi
aaparacerovaleanteerEste
aaaa
a
a
Acompatibleessiempre
ogneosistemaunEs
zyax
zyx
zayx
,35,28Re7
281214
07
0471220
71
422712
,2,5Re7
432
07
04320
11
3223
0min37123
7123mindet
12733697
131
711
42hom
013
07
0422
( )( )
1,1523
235mindet25
335
50
7553518
32
23
23
32
23
2323
==
=+=+
====
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
2) a) Es siempre cierta la propiedad conmutativa del producto de matrices? En caso afirmativo prubalo, en caso negativo pon un ejemplo en el que no se verifique b) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 demostrar AB=BA
c) Determina las matrices diagonales A tales que
=
10
01AA
a) El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ni para matrices rectangulares ni para matrices cuadradas:
Matrices rectangulares: A de dimensin 2x1; B de dimensin 2x2 AB no se puede calcular y BA si se puede calcular, es una matriz 2x1
Matrices cuadradas:
=
=
=
=
00
13
30
10
00
10
13
21BAABBA
b)
==
=
=
=
db
caBA
bd
acAB
d
cB
b
aA
0
0
0
0
0
0
0
0
c)
==
==
=
=
=
10
01;
10
01;
10
01;
10
01
1
1
1
1
10
01
0
0
0
02
2
2
2
solucionescuatroHayb
a
b
a
b
aAA
b
aA
3) Resuelve
4) Resuelve la ecuacin matricial AXB=C siendo
=
=
=
00
21
31
21
10
01CBA
( )
=
=
=
=
==
=
=====
00
01
11
23
00
21
11
23
00
21
10
01
11
23
12
131
10
01
11
1
11111111
X
BBAdjBB
identidadlaserPorA
BCAXBCAXBBCAXBCAAXBACAXB
=====
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
5) Resolver la ecuacin matricial PX+3I=Q siendo
=
=
21
32
22
01QP e I la identidad
( )
( )
=
=
=
=
==
=
===+
2529
35
11
35
211
01
10
013
21
32
211
01
211
01
10
222
22
01
333
1
1
X
PPAdjPP
IQPXIQPXQIPX
6) Calcular el valor de los determinantes bac
cba
acb
cba
cba
+++
1
1
1
;
333
101010
777
222
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )bcacabcb
acab
cb
acab
accabb
acabaffF
affF
cba
cba
cba
cba
==
==
==
==
21011
210
0
110
111
210
0
0
111
210
111
3107
333
101010
777
233
122
222222
( ) ( ) 0011
11
11
1
1
1
1
1
1
233 =++=++=++++++
+==+++
cba
c
a
b
cba
cbac
cbaa
cbab
ccC
bac
cba
acb
7) Determinar los valores del parmetro t para que el sistema
=++
=++
0
12
32
zytx
tzytxt tenga solucin.
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
=
=
=+
=+
==++
=
==+
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
8) Resuelve la ecuacin matricial
=
011
001
110
013
100
025
X
=
=
====
======
=
===
=
001
325
112
011
001
110
010
503
201
010
503
201
010
503
201
1
011
001
110
013
100
025
1
332313
322212
3121111
111
X
A
AAA
AAA
AAA
AA
BAXBAAXABAXX
9) Discute y resuelve, cuando se pueda, los siguientes sistemas en funcin del parmetro K
( ){ }
( ) 01,3,7:713333
3121212
1
.
3
0
,21,34
342133
21
12
3.
2
0
00
00
1210
3111
1210
1210
3111
2532
2121
3111
532
22
3
133133
122
=+++===++
=+=+==
==
==
+=
=+==
+=
=
=++
==
=
===
=
=
=
+
=++
+=+
=++
kkkSolucin
kkkzyxzyx
kkkzykzy
zkkz
ODETERMINAD
COMPATIBLESist
rgArgA
k
zzzzS
zzzzyx
zy
zy
zyx
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESist
rgArgA
k
kAkA
kk
k
ffF
k
kffF
ffF
k
k
kzyx
kzyx
zyx
( )
( )
12
264
11
320168
4320168
816000
1100
6410
2111
55
475500
1100
6410
2111
8
1
475500
8800
6410
2111
1
2
21110
4020
6410
2111
111
2111
8321
2111
2
1
832
2
34444
344
233
134
133
122
==++==
======+
==+
+=
+
=
+
=
+=
===
=+=
=+=++
xzyx
yzy
zz
ODETERMINADCOMPATIBLESistemargArgAkk
LEINCOMPATIBSistemargArgAkk
k
fkfF
kk
fF
kk
fkfF
ffF
kkkkffF
ffF
ffF
kzyx
zykx
zyx
zyx
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )
( ){ }
( )
( )11
1
1111
1
1
1111
11.310
.32
1000
1110
2121
1
0,,11
0
1
0.2
0100
0000
1011
0
1001
100
0
111
010
0
111
010
1011
111
0
1
11
2
233122
=
++
+=+=+++
=
===+=
====
==
=
=
==
=+=
==
=
====
++
+=
++
=
++
=+=+
+=+++
k
k
k
k
k
kkxkkzykx
kk
kzyzykkzky
k
kzkzkODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAkk
LEINCOMPATIBSistrgArgAk
yyySyx
z
yx
z
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kkAkkA
kk
kkk
kkk
ffF
k
kkk
kkk
ffF
k
kkk
zky
yx
kkzykx
( )
( )
( )
=
==+==
=
=++=+
==
=
====+=
++=
+++
+==
+
=++=++=+++
zzzS
zzzyx
zy
zyx
zy
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kporrsimplificadeantesobtenidasmatriceslasenkcasoelanalizarquehayAdems
kkAkkA
kk
k
fkfF
kkkk
k
k
Suponemos
kkkk
kkk
k
fkfF
ffF
k
kk
k
ee
ee
kzkyx
kzyx
zyxk
,5
9,
5
2
5
2
5
18522
5
185224
5
9
422
955.2
9550
0000
4221
2
22
3003
1300
2110
421
12
141120
2110
421
02
141120
42220
421
13111
221
421
22
42
31
2
2233
2
2133
122
23
12
( )
( )kk
k
kk
k
kk
kkxkzyx
kk
kk
kkzyzy
kkzzkk
ODETERMINAD
COMPATIBLESistrgArgAkkk
LEINCOMPATIBSistrgALEINCOMPATIBSistrgA
rgAkrgAk
3
2
33
1622442
3
162
3
1222
3
113
.3230
.3.3
2
1000
2110
4021
02
1000
2110
4321
3
222
2
2
2
2
2
2
++=
++
++==++
++=
+=+==
+==+
==
==
=
==
=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) 22
22
2
22
3
2
2
133133
122
)1(3
22
)1(3
01
23
111
)1(3
1
)1(3
101
43
11
)1(3
23
33)1(
10
42
11
.31
.32
1000
4110
111
1
10131)1(333)1(
2233)1(00
33410
111
1
1110
33410
1113
011
423
111
0
423
1
+=
=
+=
=
+=+
=
==
==
=
====+=
+++
+=
+
+=+=
=++=++
=
k
kk
k
k
k
zk
kk
k
k
k
yk
kk
kk
k
k
k
x
CramerPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAk
LEINCOMPATIBSISTrgArgA
k
k
kAkkkkkA
kkkk
kk
k
fkfF
kk
kk
k
ffF
ffF
k
k
k
zkyx
kzyx
kzyx
10) Hallar el rango de la siguiente matriz segn los valores de
+++ 555
:,,
( )
21
0
0
000
0
111
0
0
111
111
5
1555
233
133
12211
====
==
+=
+=
=
+++=
+++
rgAoSirgASi
ffF
ffF
ffFfF
11) Demostrar que para cualesquiera valores, distintos dos a dos, de a, b, c, el siguiente sistema tiene solucin nica
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )
nicaSolucinODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAAcbaSi
bcacabacbaccabA
abaacbacc
aacabbffF
aaccabb
aacabaffF
affF
cba
cba
zcybxa
czbyax
zyx
==
==
=
==
=++
=++=++
30
22300
20
1111
230
20
1111
3
2
1111
3
2
1
233
22233
122
222222
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
12) Explicar cmo se calcula el determinante de una matriz cuadrada de orden n por los elementos de una fila o columna definiendo los conceptos que se utilicen. Como aplicacin resolver la siguiente ecuacin
0
00
00
0
1111
=
cx
bx
aax. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius
a) En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento y lo representamos por al determinante de la matriz cuadrada de orden que resulta de suprimir la fila y la columna de la matriz
Se llama adjunto del elemento , y lo representamos por al producto :
El determinante de una matriz cuadrada de orden es igual a la suma de los productos de los elementos de una lnea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
b)
( )( ) ( )( ) ( )
+==+
==+=
=
=
=
===
==
ac
caxacxcab
bacxcabaxxacb
cx
axab
cx
bx
axa
cxx
bxx
axax
ccC
ccC
ccC
cx
bx
aax
cx
bx
aax
00
00
0
0
0
0
0
0
0001
00
00
0
1111
0
00
00
0
1111
244
233
122
c) El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condicin necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz la ampliada por los trminos independientes posean el mismo rango. Adems, el sistema constituido ser determinado si su rango coincide con el nmero de incgnitas ser indeterminado si posee un valor menor a tal nmero.
13) Definir el concepto de inversa de una matriz e indica una condicin que debe cumplir una matriz para que exista
su inversa. Halla los valores de a para los que la matriz
=113
12
11
a
a
A tiene inversa. Calclala para a=1
La matriz inversa de A, matriz cuadrada de orden n, es otra matriz que representamos por A-1 y
que verifica: IAAAA == 11 .
Una matriz cuadrada tiene inversa si y slo si su determinante es distinto de cero. Si una matriz
tiene inversa se puede calcular mediante la frmula: ( )( )tAAdjA
A11 =
=
=
======
====
=
613165
313132
21021
125
224
303
6
1
125
224
303
6
113
12
111
332313
322212
312111
A
AAA
AAA
AAA
Aa
a
A
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
14) Sea un sistema homogneo AX=0. De las siguientes afirmaciones justifica las que sean ciertas, o poner un contraejemplo en las que sean falsas:
a. Un sistema homogneo siempre es compatible determinado b. Un sistema homogneo nunca es incompatible.
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:
=+++
=+++=+++
mnnm22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
LLL
K
K
donde x1, ..., xn son las incgnitas, b1, ..., bm se denominan trminos independientes y los
nmeros aij se llaman coeficientes de las incgnitas, formando una matriz que denominaremos A,
matriz de coeficientes. Cuando los trminos independientes son cero, estamos ante un caso
particular de sistemas que denominamos homogneos.
Atendiendo al nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en
tres tipos:
Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solucin.
Sistema compatible: son aquellos que poseen solucin. Dentro de ellos, podemos hablar
de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una nica solucin.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
Teorema (Rouch-Frobenius): Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A X = B, y
llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|B). Entonces:
Si Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible.
Si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas), el sistema resulta compatible determinado.
Si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas), el sistema resulta compatible
indeterminado.
En un sistema homogneo Rango(A) = Rango(A*) siempre, por lo tanto un sistema homogneo
siempre es compatible (nunca es incompatible) pero puede ser
Compatible determinado si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas)
Compatible indeterminado si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas)
Por ejemplo: ( ){ }===
=++=++
=y
zyx
zyx
yx
2y- y,y,S2 Rango(A*) Rango(A)
0222
0
0
Calcula el determinante de la matriz
=
1400
2110
1312
0211
B . Qu solucin tiene el sistema homogneo BX=0?
022
140
211
113
1400
2110
1130
0211
2
1400
2110
1312
0211
122 =
=
===
ffF
0
mindet400
===
Xtrivialsolucinlaesque
solucinnicaunatieneadoercompatibleSistemargBBBX
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
15) Definir el rango de una matriz. Indica algn mtodo para calcularlo. Hallar el rango de
a
bb
aa
112
12
112
segn
los valores de a y b.
Rango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rag(A) o r(A). Tambin podemos decir que el rango es el orden del mayor menor no nulo. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes. Clculo por el mtodo de Gauss: En general consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneas posible o descartar lneas si:
Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.
El rango ser el nmero de filas que quedan despus de descartar todas las posibles.
( )
( )
312
3210
)(22
21
30
2220
1000
112
1
2
0000
1110
2112
2
2220
1110
112
211
12
112
112
12
11
2
2
133
122213
2
=
=======
=
=
=
==
rgAbaSi
rgAaaa
estudiadoyargAa
rgAa
rgAa
aaaa
a
a
bSi
bdevalorelseaquecualquierargAbbaSi
aaaa
abb
a
affF
ffF
aa
bb
a
ff
a
bb
aa
16) Si
=
=
20
11
23
12ByA , determina la matriz X despejndola previamente de la ecuacin matricial:
BXAXA =2 (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuacin matricial tenga sentido)
( ) ( ) 12222 +=+=+== BAAXXBAABXAXABXAXA
( )
=
=
=
=
=+
=
+
=+
2
1
2
13
2
3
4
23
12
2
1
2
1
03
2
23
12
4
1
4
1
03
1
2
4
1
4
1
03
1
12
3
12
3
012
4
43
03
20
11
23
12 1
X
BABA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
17) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen ( ) 011;02 == AA (= denota la matriz nula)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
===
=+=
==
=+=
==
==
=+
=+=+
=+
=+=+
=+
=+=+=+
=
=
==
=
aaa
aaSoluciones
babaSi
ba
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bd
ac
dcb
dac
dab
bca
db
ca
dcb
dcac
bdab
bca
dc
ba
dc
ba
dc
ba
A
A
dc
baA
;00
00:
00
0;0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0011
00
00
011
0
2
2
2
2
2
2
2
18) Hallad las matrices A que verifican la ecuacin:
=
6
6
6
213
132
321
A
=
=
=
=
=
======
====
=
==
=
=
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
1
157
571
715
3
1
6
6
6
157
571
715
18
1
157
571
715
18
1
157
571
715
18
213
132
321
6
6
6
213
132
321
13dim
6
6
6
213
132
321
1
332313
322212
312111
1
A
B
BBB
BBB
BBB
BB
CBACAB
z
y
x
xensindeesAA
19) Hallad segn el valor de a el rango de la matriz
21
41
421
aa
a ;
211
11
111
a
a
( )( )
322
000
040
421
21
000
000
421
2
2042
400
020
421
420
020
421
1
41
421
2
2233
2133
122
2
==
==
=
===
=
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
aa
affF
ffF
aa
a
( )( )
312
000
021
111
11
000
000
111
1
1011
100
010
111
11
11
1112
2133
122
2
==
==
=
===
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
ffF
a
a
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
20) Sea
x
x
x
x
xP
333
333
111
111
)( = halla dos races de este polinomio de grado cuatro.
( )( )
====
03mindet3
01mindet1
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
21) Discutid segn los valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones:
=+=+
=
bzayx
azyax
zyx
103
03
343
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+==
==
==
=======
=
+=
+=+==
==
==
=======
=
=
===+=
++
=
++
==
=+=+
=
zzzzSzzyx
zy
zy
zyxba
ADOINDETERMINCOMPATIBLErgArgAba
LEINCOMPATIBrgArgAba
b
a
yyySyzyx
z
z
zyxba
INDETCrgArgAba
INCOMPrgArgAba
bff
F
b
a
aaAaaA
aba
aaa
ffF
ba
aaaffF
affF
ba
aa
bzayx
azyax
zyx
,22,2323433
22
22
34392
292
3292
9000
6630
3431
2
1,,3131433
1
33
34391
...291
.3291
9000
3300
3431
6300
3300
3431
1
2103633
333600
33330
3431
36330
33330
3431
1031
03
3431
103
03
343
23
3
233133
122
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )aababaa
a
ab
aa
aabzyxzyx
aa
aaby
a
aab
a
abaa
a
abaayaaazya
a
abzabza
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLErgArgAaa
332
443330
36
334
332
933433343
332
9
2
9
2
333
36
3333333333
36
333336
321
2
++=
++
+++=++==
++=
+=
+++=
+=+=++
+=+=
==
22) Sea A una matriz 2x2 no nula Puede ocurrir que AA sea la matriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no es posible.
( )( )
=
=
=
=
=
=
=+=+=+
=+
++++
=
=
=
00
00
11
11
11
110:
11
11
1lg
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
AAyAsComprobamoA
solucinunaobtenemosahacemosSiabc
dasistemaesedenulanosolucinunaaBuscamos
dcb
dac
dab
bca
dcbcdac
bdabbca
dc
ba
dc
baAA
dc
baA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
23) Sean las matices
=
=
z
zBy
yxA
0
033; adems denotaremos con
tA a la matriz traspuesta de A.
Averiguad para qu valores de x, y, z se cumple la relacin BAAt =
( )
=
=
=
==
=
=
=
=
=
+
==
=+=+
=
=
+++
=
=
=
180
018
33
33
33
33:
3
3
18
9
18
182
1818
033
18
0
0
33
3318
0
0
3
333
0
033
222222
22
ByAAsolucionesdostieneA
y
x
z
x
z
x
z
xx
xy
z
zyx
yx
z
z
z
yxyx
yx
z
z
y
x
yxz
zBy
yxA
m
24) Obtener, en funcin de a, b y c, el determinante de la matriz
++
+=
1111
1111
1111
1111
c
b
aA
abcabc
c
b
aaa
c
b
aaaa
ccC
ccC
ccC
c
b
aA ==
=
+=
===
=
++
+=
010
001
111
00
001
001
001
1
0001
1111
1111
1111
1111
144
133
122
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
1) Estudiar segn los valores del parmetro a el sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo cuando sea compatible: a)
01
0,0,1
0111
111
122
.30
.32
2000
1010
1001
0
002
2200
110
101
110
110
101
2
112
110
101
,,
:112
110
101
12
1
1
233
13332
21
==+
=====+
====
==
=
===
=
=
=++=+=+
yaxy
aSolucin
aaaxzaxz
axax
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAa
LEINCOMPATIBSISTrgArgAa
aAaA
a
a
a
ffF
a
a
a
ffF
a
a
a
xzy
incgnitas
cc
cc
a
a
a
zyax
zax
yax
b)
( )
( ) ( )( )
( ){ }
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
3
12
3
1462
3
1
3
422222
3
2
3
1111111
3
1
32
2
65
2265
332
,1,343422222
1
22
1
32
0000
1110
2121
2
32
1000
1210
2121
3
2302365
26500
1110
2121
4
2240
1110
2121
2242
111
2121
242
1
22
22
2
2
233133
122
+=
+++=
++
++=+==+
+=
+++=++==++
+=
+++=
+++==++
==
=
=+=+==
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
c)
( )
( ){ }
( )
( ) ( )( )( ) ( )32
32
32
43132
3
2
2
1
2
112
3
223
33
,1,343422222
1
22
1
32
6000
2020
3111
3
3032
2300
1020
111
333
1111
111
33
1
2
133
122
+=
++=
+=+==+
==
==
==
=
=+=+==
=+=
==
=
===
==
=+=++=+
a
aa
a
aaaaa
a
aaazyaxazyx
ayay
a
azaza
ODETERMINADCOMPATIBLEsistemargArgAa
zzzzSzzzzyx
zy
zyx
zy
LEINCOMPATIBsistemargArgAa
aAaA
aa
a
a
ffF
ffF
aa
a
aazyx
zyx
azyx
d)
e)
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+=+
=++=++
==
=
=+=
=++=+
==
======
+=++=
=
=+=++
=+
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
zyxtrivialSolucinadoDeterCompatibleSistemargAaaSi
aaparacerovaleanteerEste
aaaa
a
a
Acompatibleessiempre
ogneosistemaunEs
zyax
zyx
zayx
,35,28Re7
281214
07
0471220
71
422712
,2,5Re7
432
07
04320
11
3223
0min37123
7123mindet
12733697
131
711
42hom
013
07
0422
( )( )
1,1523
235mindet25
335
50
7553518
32
23
23
32
23
2323
==
=+=+
====
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
2) a) Es siempre cierta la propiedad conmutativa del producto de matrices? En caso afirmativo prubalo, en caso negativo pon un ejemplo en el que no se verifique b) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 demostrar AB=BA
c) Determina las matrices diagonales A tales que
=
10
01AA
a) El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ni para matrices rectangulares ni para matrices cuadradas:
Matrices rectangulares: A de dimensin 2x1; B de dimensin 2x2 AB no se puede calcular y BA si se puede calcular, es una matriz 2x1
Matrices cuadradas:
=
=
=
=
00
13
30
10
00
10
13
21BAABBA
b)
==
=
=
=
db
caBA
bd
acAB
d
cB
b
aA
0
0
0
0
0
0
0
0
c)
==
==
=
=
=
10
01;
10
01;
10
01;
10
01
1
1
1
1
10
01
0
0
0
02
2
2
2
solucionescuatroHayb
a
b
a
b
aAA
b
aA
3) Resuelve
4) Resuelve la ecuacin matricial AXB=C siendo
=
=
=
00
21
31
21
10
01CBA
( )
=
=
=
=
==
=
=====
00
01
11
23
00
21
11
23
00
21
10
01
11
23
12
131
10
01
11
1
11111111
X
BBAdjBB
identidadlaserPorA
BCAXBCAXBBCAXBCAAXBACAXB
=====
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
5) Resolver la ecuacin matricial PX+3I=Q siendo
=
=
21
32
22
01QP e I la identidad
( )
( )
=
=
=
=
==
=
===+
2529
35
11
35
211
01
10
013
21
32
211
01
211
01
10
222
22
01
333
1
1
X
PPAdjPP
IQPXIQPXQIPX
6) Calcular el valor de los determinantes bac
cba
acb
cba
cba
+++
1
1
1
;
333
101010
777
222
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )bcacabcb
acab
cb
acab
accabb
acabaffF
affF
cba
cba
cba
cba
==
==
==
==
21011
210
0
110
111
210
0
0
111
210
111
3107
333
101010
777
233
122
222222
( ) ( ) 0011
11
11
1
1
1
1
1
1
233 =++=++=++++++
+==+++
cba
c
a
b
cba
cbac
cbaa
cbab
ccC
bac
cba
acb
7) Determinar los valores del parmetro t para que el sistema
=++
=++
0
12
32
zytx
tzytxt tenga solucin.
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
=
=
=+
=+
==++
=
==+
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
8) Resuelve la ecuacin matricial
=
011
001
110
013
100
025
X
=
=
====
======
=
===
=
001
325
112
011
001
110
010
503
201
010
503
201
010
503
201
1
011
001
110
013
100
025
1
332313
322212
3121111
111
X
A
AAA
AAA
AAA
AA
BAXBAAXABAXX
9) Discute y resuelve, cuando se pueda, los siguientes sistemas en funcin del parmetro K
( ){ }
( ) 01,3,7:713333
3121212
1
.
3
0
,21,34
342133
21
12
3.
2
0
00
00
1210
3111
1210
1210
3111
2532
2121
3111
532
22
3
133133
122
=+++===++
=+=+==
==
==
+=
=+==
+=
=
=++
==
=
===
=
=
=
+
=++
+=+
=++
kkkSolucin
kkkzyxzyx
kkkzykzy
zkkz
ODETERMINAD
COMPATIBLESist
rgArgA
k
zzzzS
zzzzyx
zy
zy
zyx
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESist
rgArgA
k
kAkA
kk
k
ffF
k
kffF
ffF
k
k
kzyx
kzyx
zyx
( )
( )
12
264
11
320168
4320168
816000
1100
6410
2111
55
475500
1100
6410
2111
8
1
475500
8800
6410
2111
1
2
21110
4020
6410
2111
111
2111
8321
2111
2
1
832
2
34444
344
233
134
133
122
==++==
======+
==+
+=
+
=
+
=
+=
===
=+=
=+=++
xzyx
yzy
zz
ODETERMINADCOMPATIBLESistemargArgAkk
LEINCOMPATIBSistemargArgAkk
k
fkfF
kk
fF
kk
fkfF
ffF
kkkkffF
ffF
ffF
kzyx
zykx
zyx
zyx
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )
( ){ }
( )
( )11
1
1111
1
1
1111
11.310
.32
1000
1110
2121
1
0,,11
0
1
0.2
0100
0000
1011
0
1001
100
0
111
010
0
111
010
1011
111
0
1
11
2
233122
=
++
+=+=+++
=
===+=
====
==
=
=
==
=+=
==
=
====
++
+=
++
=
++
=+=+
+=+++
k
k
k
k
k
kkxkkzykx
kk
kzyzykkzky
k
kzkzkODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAkk
LEINCOMPATIBSistrgArgAk
yyySyx
z
yx
z
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kkAkkA
kk
kkk
kkk
ffF
k
kkk
kkk
ffF
k
kkk
zky
yx
kkzykx
( )
( )
( )
=
==+==
=
=++=+
==
=
====+=
++=
+++
+==
+
=++=++=+++
zzzS
zzzyx
zy
zyx
zy
ADOINDETERMIN
COMPATIBLESistrgArgAk
kporrsimplificadeantesobtenidasmatriceslasenkcasoelanalizarquehayAdems
kkAkkA
kk
k
fkfF
kkkk
k
k
Suponemos
kkkk
kkk
k
fkfF
ffF
k
kk
k
ee
ee
kzkyx
kzyx
zyxk
,5
9,
5
2
5
2
5
18522
5
185224
5
9
422
955.2
9550
0000
4221
2
22
3003
1300
2110
421
12
141120
2110
421
02
141120
42220
421
13111
221
421
22
42
31
2
2233
2
2133
122
23
12
( )
( )kk
k
kk
k
kk
kkxkzyx
kk
kk
kkzyzy
kkzzkk
ODETERMINAD
COMPATIBLESistrgArgAkkk
LEINCOMPATIBSistrgALEINCOMPATIBSistrgA
rgAkrgAk
3
2
33
1622442
3
162
3
1222
3
113
.3230
.3.3
2
1000
2110
4021
02
1000
2110
4321
3
222
2
2
2
2
2
2
++=
++
++==++
++=
+=+==
+==+
==
==
=
==
=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) 22
22
2
22
3
2
2
133133
122
)1(3
22
)1(3
01
23
111
)1(3
1
)1(3
101
43
11
)1(3
23
33)1(
10
42
11
.31
.32
1000
4110
111
1
10131)1(333)1(
2233)1(00
33410
111
1
1110
33410
1113
011
423
111
0
423
1
+=
=
+=
=
+=+
=
==
==
=
====+=
+++
+=
+
+=+=
=++=++
=
k
kk
k
k
k
zk
kk
k
k
k
yk
kk
kk
k
k
k
x
CramerPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAk
LEINCOMPATIBSISTrgArgA
k
k
kAkkkkkA
kkkk
kk
k
fkfF
kk
kk
k
ffF
ffF
k
k
k
zkyx
kzyx
kzyx
10) Hallar el rango de la siguiente matriz segn los valores de
+++ 555
:,,
( )
21
0
0
000
0
111
0
0
111
111
5
1555
233
133
12211
====
==
+=
+=
=
+++=
+++
rgAoSirgASi
ffF
ffF
ffFfF
11) Demostrar que para cualesquiera valores, distintos dos a dos, de a, b, c, el siguiente sistema tiene solucin nica
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )
nicaSolucinODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAAcbaSi
bcacabacbaccabA
abaacbacc
aacabbffF
aaccabb
aacabaffF
affF
cba
cba
zcybxa
czbyax
zyx
==
==
=
==
=++
=++=++
30
22300
20
1111
230
20
1111
3
2
1111
3
2
1
233
22233
122
222222
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
12) Explicar cmo se calcula el determinante de una matriz cuadrada de orden n por los elementos de una fila o columna definiendo los conceptos que se utilicen. Como aplicacin resolver la siguiente ecuacin
0
00
00
0
1111
=
cx
bx
aax. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius
a) En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento y lo representamos por al determinante de la matriz cuadrada de orden que resulta de suprimir la fila y la columna de la matriz
Se llama adjunto del elemento , y lo representamos por al producto :
El determinante de una matriz cuadrada de orden es igual a la suma de los productos de los elementos de una lnea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
b)
( )( ) ( )( ) ( )
+==+
==+=
=
=
=
===
==
ac
caxacxcab
bacxcabaxxacb
cx
axab
cx
bx
axa
cxx
bxx
axax
ccC
ccC
ccC
cx
bx
aax
cx
bx
aax
00
00
0
0
0
0
0
0
0001
00
00
0
1111
0
00
00
0
1111
244
233
122
c) El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condicin necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz la ampliada por los trminos independientes posean el mismo rango. Adems, el sistema constituido ser determinado si su rango coincide con el nmero de incgnitas ser indeterminado si posee un valor menor a tal nmero.
13) Definir el concepto de inversa de una matriz e indica una condicin que debe cumplir una matriz para que exista
su inversa. Halla los valores de a para los que la matriz
=113
12
11
a
a
A tiene inversa. Calclala para a=1
La matriz inversa de A, matriz cuadrada de orden n, es otra matriz que representamos por A-1 y
que verifica: IAAAA == 11 .
Una matriz cuadrada tiene inversa si y slo si su determinante es distinto de cero. Si una matriz
tiene inversa se puede calcular mediante la frmula: ( )( )tAAdjA
A11 =
=
=
======
====
=
613165
313132
21021
125
224
303
6
1
125
224
303
6
113
12
111
332313
322212
312111
A
AAA
AAA
AAA
Aa
a
A
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
14) Sea un sistema homogneo AX=0. De las siguientes afirmaciones justifica las que sean ciertas, o poner un contraejemplo en las que sean falsas:
a. Un sistema homogneo siempre es compatible determinado b. Un sistema homogneo nunca es incompatible.
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:
=+++
=+++=+++
mnnm22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
LLL
K
K
donde x1, ..., xn son las incgnitas, b1, ..., bm se denominan trminos independientes y los
nmeros aij se llaman coeficientes de las incgnitas, formando una matriz que denominaremos A,
matriz de coeficientes. Cuando los trminos independientes son cero, estamos ante un caso
particular de sistemas que denominamos homogneos.
Atendiendo al nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en
tres tipos:
Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solucin.
Sistema compatible: son aquellos que poseen solucin. Dentro de ellos, podemos hablar
de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una nica solucin.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
Teorema (Rouch-Frobenius): Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A X = B, y
llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|B). Entonces:
Si Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible.
Si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas), el sistema resulta compatible determinado.
Si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas), el sistema resulta compatible
indeterminado.
En un sistema homogneo Rango(A) = Rango(A*) siempre, por lo tanto un sistema homogneo
siempre es compatible (nunca es incompatible) pero puede ser
Compatible determinado si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas)
Compatible indeterminado si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas)
Por ejemplo: ( ){ }===
=++=++
=y
zyx
zyx
yx
2y- y,y,S2 Rango(A*) Rango(A)
0222
0
0
Calcula el determinante de la matriz
=
1400
2110
1312
0211
B . Qu solucin tiene el sistema homogneo BX=0?
022
140
211
113
1400
2110
1130
0211
2
1400
2110
1312
0211
122 =
=
===
ffF
0
mindet400
===
Xtrivialsolucinlaesque
solucinnicaunatieneadoercompatibleSistemargBBBX
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
15) Definir el rango de una matriz. Indica algn mtodo para calcularlo. Hallar el rango de
a
bb
aa
112
12
112
segn
los valores de a y b.
Rango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rag(A) o r(A). Tambin podemos decir que el rango es el orden del mayor menor no nulo. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes. Clculo por el mtodo de Gauss: En general consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneas posible o descartar lneas si:
Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.
El rango ser el nmero de filas que quedan despus de descartar todas las posibles.
( )
( )
312
3210
)(22
21
30
2220
1000
112
1
2
0000
1110
2112
2
2220
1110
112
211
12
112
112
12
11
2
2
133
122213
2
=
=======
=
=
=
==
rgAbaSi
rgAaaa
estudiadoyargAa
rgAa
rgAa
aaaa
a
a
bSi
bdevalorelseaquecualquierargAbbaSi
aaaa
abb
a
affF
ffF
aa
bb
a
ff
a
bb
aa
16) Si
=
=
20
11
23
12ByA , determina la matriz X despejndola previamente de la ecuacin matricial:
BXAXA =2 (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuacin matricial tenga sentido)
( ) ( ) 12222 +=+=+== BAAXXBAABXAXABXAXA
( )
=
=
=
=
=+
=
+
=+
2
1
2
13
2
3
4
23
12
2
1
2
1
03
2
23
12
4
1
4
1
03
1
2
4
1
4
1
03
1
12
3
12
3
012
4
43
03
20
11
23
12 1
X
BABA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
17) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen ( ) 011;02 == AA (= denota la matriz nula)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
===
=+=
==
=+=
==
==
=+
=+=+
=+
=+=+
=+
=+=+=+
=
=
==
=
aaa
aaSoluciones
babaSi
ba
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bab
baa
bd
ac
dcb
dac
dab
bca
db
ca
dcb
dcac
bdab
bca
dc
ba
dc
ba
dc
ba
A
A
dc
baA
;00
00:
00
0;0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0011
00
00
011
0
2
2
2
2
2
2
2
18) Hallad las matrices A que verifican la ecuacin:
=
6
6
6
213
132
321
A
=
=
=
=
=
======
====
=
==
=
=
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
1
157
571
715
3
1
6
6
6
157
571
715
18
1
157
571
715
18
1
157
571
715
18
213
132
321
6
6
6
213
132
321
13dim
6
6
6
213
132
321
1
332313
322212
312111
1
A
B
BBB
BBB
BBB
BB
CBACAB
z
y
x
xensindeesAA
19) Hallad segn el valor de a el rango de la matriz
21
41
421
aa
a ;
211
11
111
a
a
( )( )
322
000
040
421
21
000
000
421
2
2042
400
020
421
420
020
421
1
41
421
2
2233
2133
122
2
==
==
=
===
=
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
aa
affF
ffF
aa
a
( )( )
312
000
021
111
11
000
000
111
1
1011
100
010
111
11
11
1112
2133
122
2
==
==
=
===
==
rgAargAargAa
aAaaA
a
affF
ffF
a
a
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
20) Sea
x
x
x
x
xP
333
333
111
111
)( = halla dos races de este polinomio de grado cuatro.
( )( )
====
03mindet3
01mindet1
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
PigualesfilasdostieneanteerelxPara
21) Discutid segn los valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones:
=+=+
=
bzayx
azyax
zyx
103
03
343
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+==
==
==
=======
=
+=
+=+==
==
==
=======
=
=
===+=
++
=
++
==
=+=+
=
zzzzSzzyx
zy
zy
zyxba
ADOINDETERMINCOMPATIBLErgArgAba
LEINCOMPATIBrgArgAba
b
a
yyySyzyx
z
z
zyxba
INDETCrgArgAba
INCOMPrgArgAba
bff
F
b
a
aaAaaA
aba
aaa
ffF
ba
aaaffF
affF
ba
aa
bzayx
azyax
zyx
,22,2323433
22
22
34392
292
3292
9000
6630
3431
2
1,,3131433
1
33
34391
...291
.3291
9000
3300
3431
6300
3300
3431
1
2103633
333600
33330
3431
36330
33330
3431
1031
03
3431
103
03
343
23
3
233133
122
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )aababaa
a
ab
aa
aabzyxzyx
aa
aaby
a
aab
a
abaa
a
abaayaaazya
a
abzabza
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLErgArgAaa
332
443330
36
334
332
933433343
332
9
2
9
2
333
36
3333333333
36
333336
321
2
++=
++
+++=++==
++=
+=
+++=
+=+=++
+=+=
==
22) Sea A una matriz 2x2 no nula Puede ocurrir que AA sea la matriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no es posible.
( )( )
=
=
=
=
=
=
=+=+=+
=+
++++
=
=
=
00
00
11
11
11
110:
11
11
1lg
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
AAyAsComprobamoA
solucinunaobtenemosahacemosSiabc
dasistemaesedenulanosolucinunaaBuscamos
dcb
dac
dab
bca
dcbcdac
bdabbca
dc
ba
dc
baAA
dc
baA
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
23) Sean las matices
=
=
z
zBy
yxA
0
033; adems denotaremos con
tA a la matriz traspuesta de A.
Averiguad para qu valores de x, y, z se cumple la relacin BAAt =
( )
=
=
=
==
=
=
=
=
=
+
==
=+=+
=
=
+++
=
=
=
180
018
33
33
33
33:
3
3
18
9
18
182
1818
033
18
0
0
33
3318
0
0
3
333
0
033
222222
22
ByAAsolucionesdostieneA
y
x
z
x
z
x
z
xx
xy
z
zyx
yx
z
z
z
yxyx
yx
z
z
y
x
yxz
zBy
yxA
m
24) Obtener, en funcin de a, b y c, el determinante de la matriz
++
+=
1111
1111
1111
1111
c
b
aA
abcabc
c
b
aaa
c
b
aaaa
ccC
ccC
ccC
c
b
aA ==
=
+=
===
=
++
+=
010
001
111
00
001
001
001
1
0001
1111
1111
1111
1111
144
133
122
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
1) Estudiar segn los valores del parmetro a el sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo cuando sea compatible: a)
01
0,0,1
0111
111
122
.30
.32
2000
1010
1001
0
002
2200
110
101
110
110
101
2
112
110
101
,,
:112
110
101
12
1
1
233
13332
21
==+
=====+
====
==
=
===
=
=
=++=+=+
yaxy
aSolucin
aaaxzaxz
axax
GaussPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAa
LEINCOMPATIBSISTrgArgAa
aAaA
a
a
a
ffF
a
a
a
ffF
a
a
a
xzy
incgnitas
cc
cc
a
a
a
zyax
zax
yax
b)
( )
( ) ( )( )
( ){ }
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
3
12
3
1462
3
1
3
422222
3
2
3
1111111
3
1
32
2
65
2265
332
,1,343422222
1
22
1
32
0000
1110
2121
2
32
1000
1210
2121
3
2302365
26500
1110
2121
4
2240
1110
2121
2242
111
2121
242
1
22
22
2
2
233133
122
+=
+++=
++
++=+==+
+=
+++=++==++
+=
+++=
+++==++
==
=
=+=+==
=+=
Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.
c)
( )
( ){ }
( )
( ) ( )( )( ) ( )32
32
32
43132
3
2
2
1
2
112
3
223
33
,1,343422222
1
22
1
32
6000
2020
3111
3
3032
2300
1020
111
333
1111
111
33
1
2
133
122
+=
++=
+=+==+
==
==
==
=
=+=+==
=+=
==
=
===
==
=+=++=+
a
aa
a
aaaaa
a
aaazyaxazyx
ayay
a
azaza
ODETERMINADCOMPATIBLEsistemargArgAa
zzzzSzzzzyx
zy
zyx
zy
LEINCOMPATIBsistemargArgAa
aAaA
aa
a
a
ffF
ffF
aa
a
aazyx
zyx
azyx
d)
e)
( )( )
( ){ }
( ){ }=
=+=+
=++=++
==
=
=+=
=++=+
==
======
+=++=
=
=+=++
=+
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
ttttSreduccinoCramerporsueltozyx
zyx
zyx
zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi
zyxtrivialSolucinadoDeterCompatibleSistemargAaaSi
aaparacerovaleanteerEste
aaaa
a
a
Acompatibleessiempre
ogneosistemaunEs
zyax
zyx
zayx
,35,28Re7
281214
07
0471220
71
422712
,2,5Re7
432
07
04320
11
322