TEMA: NUMERACIN
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Segundo Ao
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
TEMA: NumeracinOBJETIVOS
Al finalizar el presente captulo el alumno estar en la capacidad de:
Representar los nmeros naturales en una determinada base del sistema posicional de numeracin.
Descomponer polinmicamente cualquier numeral de un sistema posicional de numeracin.
Realizar cambio de base.
Efectuar las operaciones elementales de la Aritmtica
Concepto
Es la parte de la Aritmtica que se encarga del estudio de la correcta formacin, lectura y escritura de los nmeros.
NmeroEs el primero y bsico de los conceptos matemticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.
Numeral
Es la representacin simblica o figurativa del nmero.Ejemplo: 15, XV, 24 1
6, VI, 22 + 2, 32 3
SISTEMA DE NUMERACIN
Concepto
Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales
Principios:
Del OrdenToda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.
Ejemplo:
654321( Orden
Numeral:273975
Lugar
(Lectura)123456
De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las rdenes de un numeral en cierto sistema de numeracin.
Ejemplo
342 n ( base
Nos indica que se agrupar de n en n en dicho sistema
La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2
n ( 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}
Entonces la base mnima: n= 2
Veamos en forma grafica: representa el nmero 16 en base 3
O sea que: 16 = 121(3)
Otro ejemplo: representar el nmero 17 en base 5
De las cifras:
Las cifras cumplen las siguientes condiciones
Pertenecen a Z (cifras ( Z)
Son menores que la base (cifras < n)
La cifra mxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1)
Toman valores enteros menores que la base.
Si la base n; se pueden utilizar en las cifras
0, 1, 2, 3, 4, ............., (n 1) mxima cifra
cifra significativa
cifra no significativa
Principales sistemas de numeracin
BaseSistema de NumeracinCifras
2Binario o Dual 0,1
3Temario 0, 1, 2
4Cuartenario 0, 1, 2, 3
5Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6Senario y Sexanario0, 1, 2, ........... 5
7Heptanario 0, ..........., 6
8Octanario 0, ..........., 7
9Nonario 0, ...........; 8
10Decimal o Decuplo 0, ..........., 9
11Undecimal 0, ..........., 9, (10)
12Duodecimal 0, ..........., 9(10), (11)
Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras:
Alfa ( ( 10
Gamma ( ( 2
Epsilon ( ( 14
Beta ( ( 11
Delta (( 13
Representacin Literal de Numerales:
Numeral de 3 cifras de base n :
Numeral de 4 cifras de base n :
: numeral de 2 cifras:
(10, 11, 12, ................ 98, 99)
: numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)
: numeral de 3 cifras iguales:
(111, 222, 333, ..........., 999)
: numeral de 3 cifras que empiezan en 18.
(1800, 1811, 1812, .......)
Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)
OBSERVACIONES:
1. La primera cifra de un numeral deber ser significativa (diferente de cero)
2. todo aquello que est entre parntesis en el lugar de las cifras, representa una de ellas
3. se denomina numeral capica a aquel que ledo de izquierda a derecha o viceversa se lee igual.
Ejemplo: 33; 454; 777: 7887
CAMBIOS DE BASE EN Z:
Caso N 1: De base n a base 10 existen tres mtodos:
Ruffini
Descomposicin polinmica
Practico: sube y baja.
A. M Ruffini:
Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10
Resolucin
O sea que: 215(6) = 83
Ejemplo
Convertir 127(8) a base 10.
O sea que: 127(8) = 87
B. Descomposicin PolinmicaEjemplo:
Convertir 324(6) a base 10
Resolucin
324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4
= 108 + 12 + 4
= 124
O sea que: 324(6) = 124
Ejemplo:
Convertir 542(7) a base 10
Resolucin542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2
= 245 + 28 + 2
= 275
O sea que:
542(7) = 275
C. M. Practico: Sube y Baja
Convertir 215(6) en base 10
O sea que:
215(6)= 83
Convertir 542(7) en base 10
O sea que:
215(6)= 83
Caso N 2: De la base 10 a base n
El nico mtodo es el de divisiones sucesivas
Ejemplo: Convertir 1234 a base 5
Resolucin
Ejemplo: Convertir 431 a base 4
Ejemplo: Convertir 500 a base 9
Caso N 03: De base n a base m
Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeracin undecimal
Resolucin1. Convertir 152(7) a base 10
Osea 152(7) = 86
2. Halla el nmero 86 convertir a base 11 a travs de divisiones sucesivas.
Ejemplo: convertir 401(6) a base 4
Luego:
401(6) ( 1501(4)
RESUMEN:
De base n a base m
Paso a: donde n a base 10
Paso b: De base 10 a base m
(Divisiones sucesivas)
PROPIEDAD FUNDAMENTAL:Dado:
Si: ( n < m
Si: ( n > m
Ejemplo N 01: Hallar a
Siendo:
Resolucin
a > 2 ( a < 4
( 2 < a < 4 ( . a = 3 .
Ejemplo N 02: Hallar m si 200(m) = 102(4)Resolucin
2 < m < 4 ( . m = 3 .Ejemplo N 03: Hallar m
144(6) = 224(m)
Resolucin
4 < m < 6
(m = 5
Dpto. de Publicaciones
Manuel ScorzaV.L.E.B.
CONOCIMIENTOS COMPLEMENTARIOS
1. Numeral de cifras mximas
9 = 10 1
99 = 100 1 = 102 - 1
999 = 1000 1 = 103 1
9999 = 1000 1 = 104 1
.
.
.
= 10k 1
78 = 108 1 = 8 - 1
778 = 1008 1 = 82 1
7778 = 1008 - 1 = 83 1
.
.
.
= 8k 1
En general: . =nk 1 .Ejemplo: Hallar N
N = 4 = 46 1
ResolucinN = 4 = 46 - 1
N = 4096 1 ( N = 4095
2. Bases Sucesivas:
n = n + c
= n + b + c
= n + a + b + c
En General:
= n + a + b + c + d + ..........x
Caso:
Ejemplo 1: Calcular n
Resolucin:
n + 13 . 4 = 57
n + 52 = 57
. n = 5 . Ejemplo 2: Hallar: k
17
12
13
15
12
k
Resolucin
K + 7 +2 + 3 + 5 + 2 = 25
K + 19 = 25
. K = 6 .PROBLEMAS APLICATIVOS
1. Convertir 235(6) a base 10
2. Convertir 134(8) a base 103. Convertir 423 a base 44. Convertir 524 a base 3
5. Convertir 231(4) a base 76. Convertir 411(5) a base 37. Convertir 1001(2) a base 108. Convertir 2010(3) a base
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar m + n, si: es un nmero capica
Rpta.
2. Hallar p + n, si:
; es un nmero capica
Rpta.
3. Hallar a + b + m, si:
253(6) =
Rpta.
4. Hallar a + b + c, si
(5) = 47
Rpta.
5. Hallar n + p, si
202(4) = (5)Rpta.6. Hallar n + p, si:
105(6) = (4)Rpta.
7. Hallar n, si:
301(n) = 144(5)Rpta.
8. Hallar n, si:
207(n) = 160(9)Rpta.
9. Hallar x; si
401(x) = 245(6)Rpta.
10. Hallar a + b + c, si (6) =
Rpta.
11. Hallar a + b + c; si
(7) = 2512(c)
Rpta.
12. Si se cumple: (8) = 1265(n) Hallar a . b . c
Rpta.
13. Calcular: a + b, si:
Rpta.14. Convertir a base 10.
(2)
Rpta.
15. Hallar el valor de n , si:
(4) = 1023
Rpta.
16. Calcular n si:
Rpta.
Los nios son como el cemento fresco. todo lo que les cae les deja una impresin indeleble
W. Stekel
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si el numeral es capica, hallar m+n
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
2. Hallar a + b, si se cumple:
262(7)=
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
3. Hallar a + n +b ; si
472(8) = (n)
A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
E) 21
4. Hallar a + b + c; si:
(7) =
A) 15
B) 11
C) 17
D) 10
E) 19
5. Convertir a base 10
(3)
A) 240
B) 81
C) 242
D) 27
E) 243
6. Hallar el valor de n, si
(4) = 1023
A) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
7. Calcular a + b; si:
A) 2
B) 10
C) 11
D) 16
E) 7
8. Hallar el valor de n; si
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9. Si: 123(4) =
Hallar
A) 16
B) 27
C) 40
D) 11
E) 8
10. Hallar a + n ; si se cumple
(n) = (8)A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
CLAVES
1. D
2. B
3. C
4. A
5. C6. D
7. B
8. C
9. B
10. A
TEMA: Suma o AdicinDEFINICIN
Dados dos nmeros naturales a y b se llama suma de a y b y se denota (a + b) al nmero natural S, tal que a + b = S.
Se denomina adicin a la operacin que hace corresponder a ciertos pares de nmeros naturales (a, b) su suma a + b.
Ejemplo 1:
5 + 7 = 12
Ejemplo 2:
3 + 5 + 9 = 1 7
sumandos
Suma
LA ADICIN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIN
Ejemplo 1:
Halle la suma de
435(7); 164(7) y 416(7)Resolucin
Los sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la operacin de acuerdo al orden que ocupa sus cifras:
OrdenProcedimiento
05 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1
( queda
se lleva
13 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5
( queda
24 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3
( queda
se lleva
Luego se tiene que:
4 3 5(7) +
1 6 4(7)
4 1 6(7) 1 3 5 1(7)PRINCIPALES SUMATORIAS
1. Suma de los n primero nmeros naturales. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n = .Ejemplo: Hallar S
S = 1 + 2 + 3 + .....................+ 29 =
S = 435
2. Suma de los n primeros nmeros impares. S = 1 + 3 + 5 + ......... + A = .Casos particulares
S = 1 + 3 + 5 + ......... + (2n - 1) ( S = n2
S= 1 + 3 + 5 + + (2n + 1 ( S = (n+ 1)2
Ejemplo: Hallar S
S = 1 + 3 + 5 + ... + 23 =
S = 144
3. Suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales consecutivosS = 12 + 22 + 32 + .............. + n2
. S = .Ejemplo: Hallar S
S = 12 + 22 + 32 + ....... + 202
S =
S =
S = 2870
4. Suma de los n primeros cubos perfectos consecutivos. S = 13 + 23 + 33 + ........ + n3 = .Ejemplo: Hallar S
S = 13 + 23 + 33 + ............ + 193
S =
S = (190)2
S = 36100
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si a + b + c = 17, Hallar
Rpta.
2. Si:
Hallar a x c + b
Rpta.
3. Si se cumple que:
calcular: a +b3 + c2Rpta.
4. Calcular: S
S = 1 + 2 + 3 + .................. + 77
Rpta.
5. Calcular. S
S = 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + 100
Rpta.6. Hallar : a + b + c + d; si
Rpta.
7. Si: 2+4+6 + 8 + .... + 2m = 6642
Hallar m
Rpta.
8. Si:
Calcular: a + b + c + x
Rpta.
9. Si: A = 1 + 2 + 3 + ......... + 50
B = 1 + 3 + 5 .... + 49
Hallar A + B
Rpta.
10. Si:
Calcular: a + b + x
Rpta.
11. Calcular:
1 + 8 + 27 + ..... + 8000
Rpta.
12. Si: = 1000
Hallar a . b . c
Rpta.
13. Sabiendo que: a + b + c = 12
Adems: = 79
Hallar: a2 + b2 + c2Rpta.14. Sumar:
2536(8) + 6575(8) + 765(8)Rpta.
15. Hallar:
6316(7) + 1205(7) + 2441(7)Rpta.
16. Sumar:
2713(9) + 155(9) + 4268(9)Rpta.
El hombre es una mirada; el resto es slo carne. Pero al verdadera mirada es la que ve al amigo. Funde tu cuerpo entero en tu mirada, vete hacia la visin, vete hacia la visin....
DyalayAlDinRumi
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si: x + y + z = 14, hallar:
A) 1454
B) 1554
C) 1555
D) 1444
E) 1544
2. Si:
Calcule: S = a + b + c
A) 10
B) 13
C) 9
D) 12
E) 22
3. Calcule: a . b . c; si se sabe que:
a + b + c = 14 y adems: = 125
A) 90
B) 128
C) 105
D) 54
E) 100
4. Si: = 1659
Hallar: a + b + c
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
5. Calcular: a + b + c
+ 443
A) 12
B) 11
C) 10
D) 13
E) 14
6. Si: P = 1 + 2 + 3..... + 80
A = 2 + 4 + 6 + ....... + 80
Hallar P + A
A) 1600
B) 4620
C) 4880
D) 5100
E) 3240
7. Hallar P si
P = 1 + 4 + 9 + ......+ 900
A) 9995
B) 9645
C) 9455
D) 4995
E) 4945
8. Sumar:
241(5) + 1312(5) + 440(5)
A) 1140(5)B) 3043(5) C) 1023(5)D) 1220(5)E) 4403(5)
9. Hallar S
S = 531(6) + 1301(6) + 3(6)
A) 1235(6)B) 1345(6)C) 2235(6)D) 4314(6)E) 2135(6)
10. Si:
hallar: x + 2y + 3z + 4a
A) 36
B) 37
C) 40
D) 38
E) 39
CLAVES
1. B
2. D
3. D
4. D
5. A6. C
7. C
8. B
9. C
10. D
Me preguntas qu es Dios? No s qu decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre ser mucho ms de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte.
Francisco JaramilloTEMA: Sustraccin
Dados los 2 nmeros llamados minuendo y sustraendo la operacin sustraccin hace corresponder un tercer nmero llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo.
Es decir:
. M S = D ( M = S + D .Trminos:
M es el minuendo
S es el sustraendo
D es la diferencia
Ejemplo:
En base 10:
6305
3278
2027
Cifra de las unidades Cifra de las decenas
10 + 5 8 = 7 10 1 7= 2
Cifra de las centenas Cifra de las millares
2 2 = 0 5 3 = 2
En base 7:
5327
2647
2357
Cifra de 1er. Orden : 7 + 2 4
Cifra de 2do. Orden : 7 + 2 6 = 3
Cifra de 3er. Orden : 4 2 = 2
Propiedades:
Sea el nmero (a > c)
Si
Se cumple:
. y = 9 . . x + z = 9 .Tambin:
. a c = x + 1 .Ejemplos de aplicacin:
1. Si:
2. Si:
COMPLEMENTO ARITMTICO:
Es lo falta a un nmero para ser a una unidad del orden inmediato superior su cifra de mayor orden.
Sea N un nmero de K cifras, se cumple:
. CA(N) = 10k N .Ejemplo:
CA(43) = 102 43 = 57
CA (648) = 103 648 = 532
CA() = 100 -
CA() = 1000 -
CA () = 10000 -
Mtodo Prctico:A la primera cifra significativa de menor orden se le resta de 10 y a las cifras que estn a su izquierda se le resta 9.
Ejemplo
9 9 9 9 9 10
CA (4 3 2 8 5 7) = 567 143
9 9 9 10
CA() =
9 9 10
CA =
Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que ests dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estar llena de xito. ser una vida dura, porque la excelencia no es fcil pero valdr la pena.
R. Bach
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar x + y; si
Rpta.
2. Calcular a c en:
Rpta.
3. Efectuar
2513(6) 431(6)Rpta.
4. Hallar la suma de cifras de R, si:
R =
Rpta.
5. La suma de los tres trminos de suma sustraccin es 1450. si el sustraendo es el cudruplo de la diferencia. Hallar la diferencia.
Rpta.6. Si: = 63 y adems. a + b = = 11. Calcular: ()2Rpta.
7. Hallar: (n - m) Si:
Rpta.
8. En una resta los tres trminos suman 84. El minuendo es:
Rpta.
9. Calcular la diferencia obtenida en una resta si se sabe que el minuendo es el triple de sta y el sustraendo 142.
Rpta.
10. Si: CA()= 4. Calcular a+b
Rpta.
11. Si se sabe que: ; = 1736. Hallar (a + b + c)
Rpta.
12. Un nmero de tres cifras es tal que al restarle el doble de su CA. Resulta 283. Entonces la suma de sus cifras de decenas y centenas es:
Rpta.
13. Si: CA. Calcular (x + y + z)
Rpta.
14. Hallar el nmero de la forma ; si su CA es de la forma . Hallar: x . y
Rpta.15. Calcular:
CA (a) + CA(aa) + CA(aaa) + ..... + CA. Si JOP POJ = ma
Rpta.
16. Halle la diferencia de los siguientes nmeros
432(5) y 143(5)
Rpta.
17. Calcular la diferencia de 502(7) y 243(7)Rpta.
18. Hallar CA de:
748 218 (9)5136 3510(7)
Rpta.
Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio.
Gipsy Rose Lee
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar m + n, si:
A) 8
B) 7
C) 9
D) 6
E) 10
2. Efectuar: 4623(7) 125(7)A) 4462(7)B) 4362(7)C)4464(7)D) 4465(7)E) 4466(7)3. Efectuar: 7436(8) 2456(8)A) 4760(8)B) 4660(8)C)4670(8)D) 4550(8)E) 4560(8)4. Hallar la suma de cifras de Q
Q =
A) 72
B) 75
C) 81
D) 86
E) 73
5. La suma de los tres trminos de una sustraccin es 720. Si el sustraendo es el triple de la diferencia. Hallar la diferencia.
A) 170
B) 110
C) 90
D) 80
E) 20
6. Si: = y adems: a + b = 10. Calcular: a 2b
A) 5
B) 6
C) 8
D) 7
E) 1
7. Si: CA() = 3. Calcular a + bA) 10
B) 14
C) 21
D) 23
E) 25
8. Hallar el CA de 435(6)A) 121(6)B) 204(6)C) 144(6)D) 504(6)E) 132(6)
9. Sabiendo que:
= 3947
Hallar : a + b + c + d
A) 24
B) 21
C) 23
D) 19
E) 20
10. Hallar , si le cumple que: . Dar como respuesta la suma de cifras de resultado
A) 14
B) 18
C) 16
D) 22
E) 20
CLAVES
1. A
2. D
3. A
4. A
5. C6. D
7. E
8. A
9. B
10. B
Dpto. de Publicaciones
Manuel ScorzaV.L.E.B.
TEMA: MultiplicacinEs una operacin binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.
Origen:
. M . m = P .Donde:
P: producto
Notas:
01. Si se multiplica:2 43 *
65
1215 ( 1er producto parcial
1458 ( 2do producto parcial
15795 ( Producto Parcial
02. Si: . 7 = .......... 6 ( c = 8 3
03. Si: . 4 = .......... 2 ( c =
8
04. Se cumple:(# impar) (.... 5) = ..... 5
(# par) (... 5) = .......0
05. Se cumple: ....... 0
n(n + 1) = ....... 2
........ 6
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto es 3024.
Rpta.
2. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve a hacer la multiplicacin, se observa que el producto total se incrementa en 25 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de ste ms el multiplicando original es 3432.
Rpta.
3. Si al multiplicador de una multiplicacin se le aumenta 3 en la cifra de decenas, siendo el multiplicando 280. En cunto aumenta el producto original ?
Rpta.4. En una multiplicacin, si el multiplicando disminuye en 12 unidades, entonces el producto disminuye en 1068. calcular el multiplicador. Dar la suma de cifras
Rpta.
5. Si: . 7 = ....4192
Hallar: d + e + f
Rpta.
6. Sabiendo que: . a = 214 b . = 412 ; . c = 366
hallar; ;
Rpta.
7. El producto de 3 nmeros consecutivos es igual a 33 veces su suma. Halle el nmero mayor
Rpta.
8. Si a uno de los factores de una multiplicacin se le agregara 7 unidades, el producto aumentara en 350, y si en vez de hacer esto al otro factor se le restara 16 unidades el producto disminuira en 400. Halle la suma de cifras del producto.
Rpta.
9. La suma de trminos de una multiplicacin es 125. Se triplica el multiplicando y se vuelve a realizar la operacin, la nueva suma de trminos es 349. Halle el multiplicador
Rpta.
10. Al multiplicar N x 79 se cometi el error de colocar los productos parciales uno debajo del otro, obtenindose como resultado 5248. halle la suma de cifras de N
Rpta.11. Si: . 69 =
Hallar: a + b + c + d
Rpta.
12. Si:3 . =
Hallar: b + a + c + a
Rpta.
13. Si . 31 = .7949Rpta.
14. Hallar el resultado de multiplicar . 83, sabiendo que dicha operacin la suma de dos productos parciales es 7414
Rpta.
15. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto total es 3087.
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si: . 9992 = ......... 6578
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 5
2. El producto de 3 nmeros enteros consecutivos es igual a 35 veces el segundo. Calcular la suma de ellas
A) 18
B) 17
C) 21
D) 40
E) 19
3. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 32 y que la suma del multiplicando y el producto total es 1386.
A) 11
B) 36
C) 42
D) 51
E) 16
Dpto. de Publicaciones
Manuel ScorzaV.L.E.B.4. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve hacer la multiplicacin, se observa que el producto total se incrementa en 17 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de ste ms el multiplicando original es 3420
A) 9
B) 2
C) 9
D) 3
E) 8
5. Sabiendo que:
724 . m = 2172
n . 724 = 1448
Hallar la suma de cifras de este producto:
A) 20
B) 21
C) 22
D) 18
E) 17
6. El producto de 3 nmeros enteros consecutivos es igual a 24 veces el segundo.
A) 90
B) 10
C) 100
D) 120
E) 114
7. Al multiplicar N . 23 se cometi el error de colocar los productos parciales uno debajo de otro, obtenindose como resultado 435. indicar como respuesta la suma de cifras de N.
A) 8
B) 10
C) 15
D) 17
E) 21
8. Hallar: a + b + c
x 7 = ...... 5481
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 26
9. Si se cumple: x 79 = ............ 753
Hallar: a + b + c
A) 15
B) 10
C) 9
D) 12
E) 13
10. El producto de 3 nmeros pares es 1920. si cada nmero se reduce a su mitad. Cul es el nuevo producto?
A) 810
B) 240
C) 405
D) 480
E) 960
CLAVES
1. B
2. D
3. D
4. D
5. A6. C
7. C
8. B
9. C
10. D
TEMA: Divisin
Es una operacin binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.
. D ( d = q .D = d . q
D : dividendo
d : divisor; d ( 0
q : cociente
Divisin Entera:
Es un caso particular de la divisin en la que el dividendo, divisor y cociente son nmero enteros; en este caso se recurre a un cuarto trminos llamado residuo.
D d r : residuo
r q
puede ser:
1. Exacta (residuo = 0)
Ejemplo: 45 9 ( 45 = 9(5)
0 5
En general
D d ( D = dq
0 q
2. Inexacta (residuo > 0)
a) Por defectoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(7) + 4
4 7
En general
D d ( . D = dq + r . ; d ( Z
r q
Donde: 0 < r < d
q : cociente por defecto
r : residuo por defecto
b) Por excesoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(8) 5
5 8
En general:D d ( D = dqe re d(Z+
re qeDonde: 0 < re < d
qe : cociente por exceso
re : residuo por exceso
Propiedades de la divisin inexacta
1. qe = q + 12. rmax = d 13. r +re = dAlteracin de la divisin por multiplicacin
Ejemplo:
D . 3
67 9 d . 3201 27
4 7 12 7
x3
En general
Si:D d ( Dn dn
r q rn q
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Luego de dividir 947 entre su C.A. Hallar la suma del residuo por defecto, el cociente por exceso y el divisor
Rpta.
2. La suma de 2 nmeros es 611, su cociente 32 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los nmeros.
Rpta.
3. En una divisin, el dividendo es 497, el residuo por defecto 2 y el residuo por exceso 9. Hallar el cociente.
Rpta.
4. Hallar el dividendo, sabiendo que el residuo por defecto y por exceso son 2 y 5 respectivamente y el cociente por exceso es 40. dar como respuesta la suma de sus cifras.
Rpta.5. Al efectuar una divisin entera por defecto y por exceso, se observ que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran nmeros pares consecutivos. Hallar el dividendo.
Rpta.
6. En una divisin inexacta el cociente es 5. pero si al dividendo, el divisor y al residuo se triplican. Calcular el nuevo cociente
Rpta.
7. Al dividir el mayor nmero de 3 cifras diferentes con 4, se obtiene un residuo, el cual por su valor se denomina
Rpta.
8. La suma de dos nmeros es 1043; el cociente que resulta de dividir dichos nmeros es 27 y el residuo el mayor posible. Hallar la suma de las cifras del divisor
Rpta.
9. En una divisin inexacta el residuo por defecto es la quinta parte del residuo mximo. Si el residuo por exceso es 225, hallar el divisor
Rpta.
10. La suma de los 4 trminos de un divisin es 300, el cociente es 8 y el residuo es 20. calcular el divisor
Rpta.
11. En una divisin inexacta, el divisor es 14, el residuo es mximo y el cociente la sptima parte de divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo
Rpta.12. En una divisin inexacta el residuo por defecto es 15 y el residuo por exceso es 9. si el cociente por defecto es 12, calcular el dividendo
Rpta.
13. El dividendo de una cierta divisin es 55. Si el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. Cul es el divisor?
Rpta.
14. El dividendo, en una divisin inexacta, es 2701, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mnimo. Hallar el valor del divisor.Rpta.
15. En un divisin inexacta, el divisor es el C. A. del cociente, y el residuo es la mitad del cociente Si el residuo es mnimo. Hallar el dividendo
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Luego de divisor 843 entre su C.A., hallar la suma del residuo por defecto, exceso y cociente por exceso
A) 200
B) 139
C) 415
D) 163
E) 162
2. La suma de dos nmeros es 719 si cociente 13 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los nmeros.
A) 623
B) 671
C) 48
D) 719
E) 767
3. Hallar el valor del dividendo si:
Rd = 4; re = 7; qe = 3
A) 22
B) 24
C) 26
D) 30
E) 14
4. Al efectuar una divisin entera por defecto y por exceso, se observ que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran nmeros consecutivos que van de 3 en 3. Hallar el dividendo
A) 152
B) 166
C) 174
D) 186
E) 200
5. En un divisin inexacta, el cociente es 7, pero si al dividendo, divisor y al residuo se multiplica por 8. Calcular el nuevo cociente
A) 1
B) 4
C) 7
D) 8
E) 9
No vayas delante de mi, no te seguir, ni me sigas, no te guiar; solo camina a mi lado y seamos amigos.
E. White
6. Es una divisin inexacta el residuo por defecto es la octava parte del residuo mximo. Si el residuo por exceso es 134, hallar el divisor
A) 151
B) 153
C) 160
D) 171
E) 181
7. En una divisin inexacta, el divisor es el residuo es mximo y el cociente la sptima parte del divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo.
A) 10
B) 12
C) 17
D) 22
E) 31
10. Hallar dos nmeros enteros sabiendo que su suma es 3135, y que el cociente de su divisin es 17, siendo su residuo la tercera parte del divisor. Dar como respuesta la diferencia de los dos nmeros
A) 2850
B) 2736
C) 2850
D) 2790
E) 2793
9. El dividendo de una cierta divisin es 111. Si el cociente es el doble del residuo y el divisor el triple del cociente. Cul es el divisor?
A) 3
B) 7
C) 18
D) 22
E) 25
8. La suma de los 4 trminos de una divisin es 213, el cociente es 7 y el residuo es 3. calcular el divisor.
A) 30
B) 28
C) 27
D) 25
E) 22
CLAVES
1. D
2. A
3. C
4. D
5. C
6. B
7. D
8. D
9. C
10. E
TEMA: Relaciones Binarias
PAR ORDENADO
Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo a la 1era componente y b la segunda componente.
TeoremaDos pares ordenados son iguales si y slo si sus respectivas componentes son iguales.
As tenemos:
. (a; b) = (c; b) ( a = c ( b = d .
!ATENCIN!
(a; b) ( (b; a)
Ejemplo:
Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar m + n
Resolucin(2m + 1; 9) = (7; n + 2)
( 2m + 1 = 7 ( 9 = n + 2
m = 3n = 7
( m + n = 10
PRODUCTO CARTESIANOSean los conjuntos no vacos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B.
As:
A x B {(a; b)/a ( A ( b ( B}
Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}
Hallar A x B y B x A
ResolucinA x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}
B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}
Observamos que: A x B ( B x A
(no es conmutativo)
Propiedades1. El nmero de elementos de A x B es igual al producto del nmero de elementos de A por el nmero de elemento de B.
n(A x B) ( n(A) x n(B)
2. Si: A x B = B x A ( A = B
3. Notacin: A x A = A2Grafica de un producto Cartesiano
Sea: A = {1; 2; 3} ( B = {a; b}
Hallar: . A x B y graficar .ResolucinA x B = {1; 2; 3} . {a; b} ( A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}
RELACIONESUna idea de relacin es:
Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo}
B = {Colombia; Per; Uruguay}
Y la regla de correspondencia: ........ Es capital de ...........
Entonces podemos establecer el siguiente esquema
(Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Per), (Bogot; Colombia), (Montevideo; Uruguay)
Una relacin es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algn elemento de otro conjunto.
Si tenemos los conjuntos no vacos A y B la relacin R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano.
As tenemos:
. R = {(x; y) ( A x B / x ( A ( x ( B} .En la relacin R de A en B denotado por R: A ( B.
es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos.
As: x R y dice que x se relaciona con y mediante R se puede reemplazar por: >; =; (, es el doble de, etc.
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {3, 6, 2} B = {4, 7}
Hallar:
A x B =
R1 = {(x; y)} ( A x B / x < y}
R2 = {(a; b) ( A x B / a + b es par}
R3 = {(m, n) ( A x B / m . n es mltiplo de 3}
ResolucinA x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}
R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}
R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)}
R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)}
Notacin:
R : A ( B : donde
A : Conjunto de partida
B : Conjunto de llegada
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN
DominioEs el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relacin.
Rango
Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin.
En toda relacin hay:
a) Un conjunto de partidab) Un conjunto de llegadac) Una regla de correspondenciaEjemplo: Dados los conjuntos
A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}
Se define la relacin R1 de la siguiente manera:
R1 = {(x; y) ( A . B / x < y}
Hallar su dominio y rango de R1
ResolucinA . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}
Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condicin
x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente)
As tenemos:
R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}
Luego
Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}
Rango de R1 = Rang(R1) = {12}
RELACIN BINARIA
Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relacin de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B
Notacin:R: A ( B ( R ( A x B
Donde
R: A ( B, si lee: R es una relacin de A en B
R ( A x B; se lee R esta incluido en A x B o R es un subconjunto de A x B
Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} ( B = {1, 2}
Hallar: R = {(x; y) ( A x B / x ( 2}
ResolucinA x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}
Luego:
R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
A continuacin, veamos tres propiedades muy importantes en las relaciones definidas en un conjunto.
1. Propiedad reflexiva.
Se dice que en una relacin es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado est relacionado consigo mismo.
Notacin
R es Reflexiva en A si ( a ( A, aRa dicho de otra manera una relacin es reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica:
Ejemplo: ( Qu relacin definida en A
A = {1, 2, 3, 4} es reflexiva
R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)}
R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)}
R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)}
R1
R2
R3
ResolucinR1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto A estn relacionados consigo mismo.
R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no esta relacionado consigo mismo.
2. Propiedad SimtricaUna relacin es simtrica cuando cada vez que a est relacionado en b, entonces b est relacionado con a.
NotacinR es simtrica en A, si ( a ( A; b ( A
a R b ( b R a
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {1, 2, 3}
y R = {(x; y) ( A . A / x + y es par}
ResolucinA . A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3)(2; 1); (2; 2); (2; 3)
(3; 1); (3; 2); (3;3)}
Los marcados son los que cumplen la condicin, luego R es:
R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}
3. Propiedad TransitivaUna relacin es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a est relacionado con c.
Notacin:
R transitiva en A, si ( a, (b, ( c ( A,
a R b ( b R c ( a R c
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3} y la relacin R se define as:
R = {(x; y) ( A2 / x + y = Par}
Resolucin
R = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)}
4. Relacin de EquivalenciaUna relacin de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva,
Ejemplo:
A = {5, 6, 7}, y R es una relacin definida de la siguiente manera:
R = {(x; y) ( A2 / x + y es par}
Resolucin
R = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)}
Si es Reflexiva
Si es Simtrica
Si es transitiva
( R es una relacin de equivalencia
5. Relacin Inversa
La relacin inversa de una relacin dada, es aquella que recorre el camino inverso de la relacin considerada.
Veamos; Sea: A = {1, 5, 7} ( B = {2, 3, 4}
Y la relacin: R = {(1, 4), (5; 2), (7; 3)}
Entonces la relacin inversa de R, que se denota por R-1 es:
R-1 = {(4; 1), (2; 5), (3; 7)}
Es decir mientras que: R ( A x B, se cumple que: R-1 ( B x A
6. Funcin
Es una relacin f definida de A en B denotada por f: A ( B, es una funcin si y slo si a un elemento x ( A, le corresponde un nico elemento y ( B a travs de f
En general:
. f = {(x; y) ( A . B / y = f(x)} .Donde:
A = Conjunto de partida
B = Conjunto de llegada
Y = f(x)= Regla de correspondencia
Adems
y = Imgenes; variable dependiente
x = Pre - imgenes, variable independiente
D(f) = dominio de la funcin conjunto de todas las pre imgenes
R(f) = Rango de la funcin conjunto de todas las imgenes
OBSERVACIONES:
Si el D(f) = A (conjunto de partida), entonces la funcin recibe el nombre de aplicacin. luego toda Aplicacin es una funcin, pero toda funcin es una aplicacin.
Ejercicio 1:
Dado A = {1; 3; 5; 7} ( B = {2; 4; 6; 9, 10; 12}
Hallar:
a) f : A ( B, tal que: y = x + 1
b) D(f) y R(f)c) DIAGRAMA SAGITAL
d) es una aplicacin?
Resolucinxy = f(x) = x + 1Pares
Ordenados
1y = f(1) = 1 + 1 = 2 (1; 2)
3y = f(3) = 3 + 1 = 4(3; 4)
5y = f(5) = 5 + 1 = 6 (5; 6)
7y = f(7) = 7 + 1 = 8(B
Luego:
. F = {(1; 2), (3; 4), (5; 6)} .a) D(f) = {1; 3; 5}R(f) = {2; 4; 6}
b) No es aplicacin, pues:. D(f) ( A .Ejercicio 2: Dados = {-2; -1; 0; 1; 2} ( B = {0; 1; 2; 3; 4}
Hallar:
a) f: A ( B, tal que: y = x2
b) D(f) y R(f)
c) DIAGRAMA SAGITAL
d) Es una aplicacin?
Resolucinxy = x2Pares
Ordenados
-2y = (-2)2 = 4 (-2; 4)
-1y = (-1)2 = 1(-1; 1)
0y = (0)2 = 0(0; 0)
1y = (1)2 = 1(1; 1)
2y = (2)2 = 4(2; 4)
a) D(f) = {-2; -1; 0; 1; 2}
R(f)= {0; 1; 4}
b) S es una aplicacin, pues:
. D(f) = A .GRAFICA DE UNA FUNCIN
Si: f: A ( B, es una funcin, el grafico de f; que se denota por Graf(f), es el conjunto:
. Graf(f) = {P(x; y) ( A x B / y = f(x)} .Es decir, la grfica de una funcin de A en B es un conjunto de puntos que se determina en el grfico del producto Cartesiano A x B
Ejemplo:
Si: A = {a; b; c; d; e} ( B = {1; 2; 3; 4; 5}
Y la funcin f: A ( B; definido por: . f = {(a; 3), (b; 2), (c; 4),(d; 1)} .
Su grfica ser:
D(f)= {a; b; c; d}
R(f) = {1; 2; 3; 4}
Si: f es una funcin real, es decir, f: R x R, El grfico de f es:
. Graf(f) = {P(x; y) ( R x R / y = f(x)} .Que generalmente se representa en el Plano Cartesiano el conjunto de partida en el eje las abscisas y el conjunto de llegada en el eje de las Ordenadas
Ejercicio 1:
Sea la funcin f: R x R, definida por: f = {(x; y)/ y = x + 2}
Hallar:a) grfica
b) Dominio y Rango
Resolucina) Tabulando:
xy = f(x) = x + 2
-2
-1
0
1
y = f(2) = 2 + 2 = 0
y = f(1) = 1 + 2 = 1
y = f(0) = 0 + 2 = 2
y = f(1) = 1 + 2 = 3
Graficando:
b) D(f) = {x/x ( R } =
R(f) = {y/y ( R} =
Ejercicio 2:
Sea la funcin, f: R (, definida por: f = {(x; y) / y = x2}
Hallar:a) Grfica
b) Dominio y Rango
Resolucin
xy = f(x) = x2
-2
-1
0
1
2
y = f(2) = (2)2 = 4
y = f(1) = (1)2 = 1
y = f(0) = (0)2 = 0
y = f(1) = (1)2 = 1
y = f(1) = (2)2 = 4
a) D(f) = {x/x ( R} = < -(; +( >
R(f) = {y / y ( 0} 0 [0; ( >
RECONOCIENDO SI UNA RELACIN ES UNA FUNCIN
Veamos: Sean los siguientes diagramas que representan relaciones de A en B.
De las siguientes relaciones mostradas, son funciones I, II, II; no son funciones IV, V, VI
Ejemplo 1:
Cules de las siguientes relaciones representa una funcin?
R1 = {(1; 2), (1; 4), (3; 2),(5; 4)}R2= {(1; 2),(3; 2), (5; 2)}
R3 ={(0; 2), (1; 2), (3; 4)}
R4 = {(5; 2), (5;4), (3;2), (1; 4), (5; 7)}
Resolucin
Representamos cada relacin mediante un diagrama sagital:
Porque del elemento 1 del dominio sale ms de una flecha.Porque de cada elemento del dominio sale slo una flecha.
Porque de cada elemento del dominio sale slo una flecha.Porque del elemento 5 del dominio sale ms de una flecha.
( Luego: En un diagrama sagital una relacin es funcin cuando de cada punto del dominio sale slo una flecha
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar la relacin inversa (R-1) en
R1 = {(4; 5), (2; 7), (1; 3)}
R2 = {(2, 5), (7; 3), (1; 8), (2; 9)}
Rpta.
2. Dados los conjuntos:
A = {x + 3 / x ( N ( 5 < x < 12}
B = {8; 9; 12; 14}
Hallar A x B e indicar el nmero de elementosRpta.
3. Dado el conjunto :
A = {x / x ( N; 5 < 2x < 15}
Hallar el rango de la relacin
R = {(a; b) ( A x A / a + b < 9}
Rpta.
4. Dados los conjuntos
A = {1, 5, 7} B = {3, 4, 5}
C = {4, 5, 8}
Hallar el n[A x (B C)]
Rpta.
5. Indicar las relaciones que son funciones
R1 = {(1; 2); (3; 3); (4; 5)}
R2 = {(2; 5); (2; 7)}
R3 = {(1; 7), (1; 4), (3, 10)}
R4 = {(1; 3), (2; 4), (3; 4)}
Rpta.6. Dados los conjuntos
V = {12, 18, 20, 24}
M = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Hallar la relacin
R = {(x; y) ( V x M / y = x/2}
a) R = {(12; 6),(18; 7), (24; 11)}
b) R = {(18; 9),(20; 10),(24; 12), (12,8)}
c) R = {(12; 6),(18; 7),(24; 10)}
d) R = {(12; 6),(18; 9), (20; 10), (24; 12)}
e) R = {(6; 12), (9, 18), (10; 20), (12; 24)}
Rpta.
7. Dado: A = {2; 3; 4}, indica la relacin que es reflexiva a A
a) {(2;3),(3; 2), (4; 3), (3; 4), (4; 4)}
b) {(2;3),(2;2),(3;3),(4;4),(4;3)}
c) {(2;2),(3;3)(4;3),(3; 4),(4;2)}
d) {(2;4),(2;3),(3;2),(4;2),(2;2)}
e) {(2;3),(3;3),(4;4)}
Rpta.
8. Dados el conjunto M = {1; 2; 3} indicar la relacin que es simtrica en M.
a) {(1;1),(1;2),(1;3),(3;1)}
b) {(3;2),(2;3),(3;1)}
c) {(1; 3),(1; 2),(1;1)}
d) {(1;2),(2;1),(3;3)}
e) {(3;2), (2;3),(1,3)}
Rpta.
9. El siguiente diagrama de flechas muestra la relacin R entre los elementos de A
Marque la alternativa que indique las propiedades de esta relacin
a) Simtrica
b) Reflexiva
c) Transitiva
d) Reflexiva y simtrica
e) Reflexiva y transitiva
Rpta.10. En la siguiente funcin, hallar a
F = {(3; 8),(3; a), (4; 5)}
Rpta.
11. En la siguiente funcin hallar el valor de a + b
f = {(6;1-a),(7;b+1),(6;2),(7;4)}
Rpta.
12. Hallar a + b si f es una funcin
F = {(12; 3a+2), (8; 2b 3), (8;9), (12;26)}
Rpta.
13. Sea la funcin f: R ( R definida por: f = {(x; y) / y = x + 1}
Hallar :
a) Grfica b) Dominio y Rango
Rpta.
14. Sea: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6}
f = {(x; y) ( A x B / y = 2x}
Hallar:
a) grfica b) dominio y rango
Rpta.
15. Grfica la funcin; f(x) = x + 5
Qu grfica te result?
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dados los conjuntos:
A = {1; 3; 6} B = {2; 4; 7}
C = {3; 4; 5; 6}
Cuntos elementos tendr
(A - B) x (B C)
A) 1
B) 5
C) 6
D) 3
E) 7
2. Dados los conjuntos:
A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3}
Se tiene una relacin R de A en B
R = {(2; 1) (2; 2) (2; a) (4; 1)(4; b) (4; 3)}
Sin ningn par ordenado de R est repetido, hallar a + b
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
3. Si: f es una funcin; hallar: a + b
f = {(2;3),(7;8),(7;a7),(2;b13)}
A) 31
B) 14
C) 11
D) 15
E) 27
4. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4} B ={4; 5; 7; 8}
Cul de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B?
R1 = {(1; 5)(2; 7)(2, 8 )}
R2 = {(2, 5)(2; 8)(4; 4)}
R3 = {(3; 5)(4; 2)(4; 8)}
A) solo R1B) solo R2C) R1 y R2D) R1 y R3E) R2 y R35. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relacin R de A en AA = {4; 5, 6; 7; 8; 9}
B = {(a; b) ( A x A / b = a + 2}
A) 16
B) 18
C) 19
D) 21
E) 22
6. Hallar x e y para que se cumpla: (x + 7, y) = (12; x + 1)
A) 5 y 6
B) 3 y 6
C) 5 y 4
D) 5 y 7
E) 4 y 6
7. Sea el conjunto;:
A = {2; 3; 4; 5; 8; 10} y la relacin
R = {(a; b) ( A x A / a + b = 12}Hallar la interseccin del dominio y el rango de la relacin (DomR RanR)
A) {2}B) {2,4}C) {2,4,8}D) {10}E) {2,4,8,10}8. De las siguientes relaciones indicar la que es funcin
A) R1 = {(1; -7),(2; -7),(3; 5)}B) R2 = {(3; -7), (3, -3), (2; 5)}C) R3 = {(1; 5), (2; -3),(2; -7)}D) R4 = {(2; -5),(2; -7),(2; -3)}E) R5 = {(2;3),(5;1),(5;-7)}9. El siguiente diagrama sagital representa a una funcin de A en B. Hallar (a + b)
A) 12
B) 11
C) 13
D) 5
E) 2
10. Sea la funcin, f; R ( R definida por:f = {(x; y) / y = 2x + 1}
CLAVES
1. C
2. B
3. A
4. C
5. E6. A
7. E
8. A
9. D
10. B
TEMA: Progresiones: Aritmtica y GeomtricaPROGRESIN ARITMTICA
Es aquella sucesin de trminos que se caracteriza por ser cualquier termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razn (r)
Representacin
(a1 . a2 . a3 . .............. an
( a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)5
Elementos de P.A.
( Inicio de la P.A
an trmino ensimo
a1 primer trmino
r razn de la P.A
. separacin de trminosSn Suma de n primeros trminos
CLASES DE P.A
De acuerdo a la razn:
Si r > 0 P. A. Creciente
Si r < 0 P. A Decreciente
Propiedades
1. Calculo de la razn:Sea ( a1 . a2 . a3 . ................ . anr = a3 a1
En general: . r = an an 1 .2. En total P.A la suma de los trminos equidistante de los extremos son iguales.
3. Para hallar un trmino ensimo ltimo cualquiera. an = a1 + (n - 1) . r .Ejemplo: Hallar el 15avo termino:
3 . 5 . 7 . 9 ...............
ResolucinUsemos:an = a1 + (n 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2
Reemplazando
a15 = a1 + (15 - 1) . r
a15 = 3 + (14) . 2
a15 = 31
4. Trminos central de una P. A. ac = .Existe cuando n es impar
Ejemplo:
Hallar el trmino central
Resolucinac = , tenemos que hallar an
a15 = 3 + (15 - 1) . 3
a15 = 45
Por tanto:
ac = ( ac = 24
5. Suma de una P. ASn = . n
Ejemplo:
Hallar S
S =
S17 = . 17
Hallar a17 = ?
a17 = 2 + (17 - 1) . 2
a17 = 2 + 16 . 2 ( a17 = 34
Luego:
S17 = . 17
S17 = 18 . 17
S17 = 306
Adems: Si n es impar
Entonces Sn = ac . n
OBSERVACIN:
En la practica, para representar a una P.A
( a1 . a2 . a3 . .. . anse utiliza la siguiente forma:
( a1, a2, a3 . , an
como vers se reemplaza la coma por el punto
PROGRESIN GEOMTRICA
Es una sucesin de trminos en la cual un trmino es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razn (q)
Representacin:
t1: t2: t3: t4: ........: tn
t1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1
OBSERVACIN:
resulta muy incomodo trabajar con todos los smbolos que representa a un P.G por lo tanto utilizaremos a esta sucesin numrica.
Elementos de la PG.
inicio de la PG.
t1 primer trmino (t1 ( 0)
: separacin de trminos
q razn geomtrica (q ( 0)
tn trminos ensimo
Sn suma de n primeros trminos
Pn producto de los n primeros trminos
Clases de PG
Si q > 1 ( PG es creciente
Si 0 < q < 1 ( PG es Decreciente
Si q < 0 ( PG es Oscilante
Propiedades
1. Calculo de la razn (q)
Sea la PG
t1: t2: t3: ........... : tn
( q = =
2. Calculo del termino ensimo de un PG.
. tn = t1 . qn- 1 .Ejemplo:
Hallar 9no trmino en
........
Resolucin Halando la razn:
q = ( q = 3
Calculando el t9tg =
tg = ( tg = 34( tg = 81
3. En total PG. El producto de los trminos equidistantes de los extremos es igual
4. Termino central de una PG.
. Tc = . n ( impar
Cuando el nmero el trminos (n) es impar
Ejemplo:
Hallar el trmino central
ResolucinTc =
Hallando t15:
t15 =3 . 215 1
t15 = 3 . 214
Reemplazando
tc =
=
=
= 3 . 27
= 3 . 128
( . tc = 384 .
5. Suma de una PG de un trmino
. Sn = .Ejemplo: Sumar:
ResolucinHallndose la razn:
q = ( q = 3
Hallndose la suma de trminos
S10 =
S10 =
S10 =
S10 = 121, 5
6. Producto trminos de una PG.
. Pn = .Si: n ( impar( . Pn = .Ejemplo:
Hallar el producto de trminos de:
ResolucinHallamos la razn
q = ( q = 2
Hallando t14.
t14 =
t14= ( t14 = 26Ahora:
P14 =
P14 =
P14 = ( . P14 = .7. Suma Limite:
Suma de todos los trminos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene as:
SLim =
;Si 1 < q < 1
Ejemplo:
Calcular
S =
Resolucin:
Hallando la razn
t1 = q =
q = ( q =
Como S = reemplazamos
S =
( S =
OBSERVACIN:
Para hallar un trmino cualquiera se puede aplicar las siguiente formulas generales .
En una PA:
En una PG. ax = ay + (x - y) . r .
. Tx= ty . q .
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 12 es 30 y que la razn es 2. hallar el primer trmino de la progresin
Rpta.
2. Calcular el trmino que ocupa el lugar 15 es la P.A
1, 8, 15, 22, ....................
Rpta.
3. En una PG. El trmino que ocupa el quinto lugar es 36 y la razn es 2. hallar el primer trmino de la progresin
Rpta.
4. Calcular el trmino 24 de la PG.
Rpta.5. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 15 es 59 y el trmino que ocupa 37 es 147. hallar la razn de la progresin (hacer por 2 mtodos)
Rpta.
6. Dado: t = 72 y q = en una P.G., obtener el t8Rpta.
7. Se desea saber el nmero de mltiplos de 6 que hay entre 7 y 409.
Rpta.
Dpto. de Publicaciones
Manuel ScorzaV.L.E.B.
8. Hallar el termino de lugar 15 de la progresin geomtrica
Rpta.
9. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 4 es 3 y que la razn es 5. Se desea saber el valor del noveno trmino de la progresin
Rpta.
10. Calcular el producto de los 6 primeros trminos de la PG.
1, 3, 9, ...............................
Rpta.
11. Calculemos la suma de los 5 primeros trminos de la PG.
, 1, 4, ......................
Rpta.12. Hallar la suma de las 20 primeros trminos de la PA
2; 6, 10; 14; ....................
Rpta.
13. Cuntos trminos hay que tener en la PA. 1, 6, 11, ....... para que la suma sea 540?
Rpta.
14. Una PG. Tiene como primer termino igual a 1 y razn igual a 2. hallar la suma de sus 12 trminos
Rpta.
15. Hallar S:
S = 20 + 4 + ..........
Rpta.
16. Obtener la suma de una PG. Ilimitada de razn 2/3 y cuyo primer trmino vale 6
Rpta.
17. Hallar, el trmino de lugar 60 de la PA.
Rpta.
18. Hallar el octavo termino de la PG
1, 2, 4, 8, .............
Rpta.19. En una PG el primer trmino vale 3 y la razn vale 2, hallar el termino de lugar 10
Rpta.
20. Una P.A tiene 41 trminos y su termino central vale 11. Cunto vale la suma de los 41 trminos?
Rpta.
Tenemos la virtud, que a veces es defecto, de la generosidad en el momento del triunfo, sin darnos cuenta de que aquel que ha sido provisionalmente, interpreta la generosidad como debilidad, y aprovechar la situacin para invertirla.
Pablo Macera
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el trmino de lugar 26 de la PA.
-7, -3, 1, ..................
A) 20
B) 33
C) 47
D) 68
E) 93
2. Obtener el trmino a46 en una P.A sabiendo que: a25 = 15 y r = -2
A) 42
B) -27
C) 39
D) 15
E) 57
3. Se desea saber el nmero de mltiplos de 4 que hay entre 51 y 496
A) 100
B) 107
C) 111
D) 112
E) 115
4. En una PA. Tiene 127 trminos y su trmino central vale 21. Cunto vale la suma de los 127 trminos?
A) 2667
B) 2680
C) 2740
D) 2560
E) 2840
5. Tres nmeros consecutivos estn en PA. de razn igual a 6. si la suma de estos nmeros es 141. Hallar el CA del mayor nmero
A) 53
B) 47
C) 41
D) 54
E) 59
6. El sptimo trmino de una PG. Vale 243 y la razn 3; hallar el 1er termino
A) 3
B) 1/3
C) 1/6
D) 1/9
E) 1/2
7. En un PG se sabe que a15 = 515 y a10 = 20, hallar la razn de la progresin
A) 45
B) 90
C) 99
D) 60
E) 30
8. Sabiendo que a1 = 7 y r = 3, hallar la suma de los diez primeros trminos de una progresin geomtrica
A) 120
B) 205
C) 301
D) 45
E) 195
9. Hallar el producto de los 9 primeros trminos de un PG si sabemos que el termino central vale 2.
A) 2048
B) 1024
C) 855
D) 512
E) 110
10. Calcular el valor de S
S =
A) 1
B) 1/2
C) 1/4
D) 1/8
E) 2
CLAVES
1. E
2. B
3. D
4. A
5. B6. B
7. C
8. B
9. D
10. B
ndicePg.
Numeracin
7
Suma
23
Resta
30
Multiplicacin
37
Divisin
42
Relaciones Binarias
48
Progresiones: Aritmtica y Geomtrica
67
8
7
10
9
11
12
14
13
15
16
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 n
n
k veces
= n + EMBED Equation.3 = n + k . a
14
14
14
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 n
n
13 veces
= 57
14
14
14
EMBED Equation.3
14n
n
13 veces
= n + 13 . 4
18
17
19
13
13
13
EMBED Equation.3
13
5
21 veces
= EMBED Equation.3
16
16
16
EMBED Equation.3
16
n
14 veces
= 92
20
14
14
14
EMBED Equation.3
14
6
19 veces
= EMBED Equation.3
21
12
12
12
EMBED Equation.3
12
n
21
veces
= 46
22
2 1 0 ( Orden
4 1 5(7) +
1 6 4(7)
4 1 6(7)
...............................?
Sumandos
Suma:
23
24
25
26
27
28
30
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
42
41
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
80
Aritmtica
Aritmtica
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