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1
CapΔ±tulo 5
Valor AbsolutoM.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio RodrΔ±guez S.
Instituto Tecnologico de Costa Rica
Escuela de Matematica
Β· Β· Β·Revista digital Matematica, educacion e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
2
Creditos
Primera edicion impresa: Rosario Alvarez, 1984.
Edicion LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chacon, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.
y Walter Mora.
Colaboradores: Cristhian Paez, Alex Borbon, Juan Jose Fallas, Jeffrey ChavarrΔ±a
Edicion y composicion final: Walter Mora.
Graficos: Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones: escribir a [email protected]
Contenido
5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
Nuestro objetivo en este capΔ±tulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucranvalor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a 6= 0, y xes una variable real.
Para esto conviene recordar la definicion de valor absoluto siguiente:
Para cada numero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera:
|x| = x si x β₯ 0
o
|x| = βx si x < 0
Esta definicion frecuentemente se denota de la siguiente manera:
|x| ={
x si x β₯ 0βx si x < 0
Aplicando esta definicion a expresiones de la forma ax + b se tiene:
|ax + b| ={
ax + b si ax + b β₯ 0β(ax + b) si ax + b < 0
Usando la definicion de valor absoluto se tiene:
Ejemplo 1
|x + 5| =
x + 5 si x + 5 β₯ 0
β(x + 5) si x + 5 < 0
3
4 Valor Absoluto
pero: x + 5 β₯ 0 ββ x β₯ β5
y x + 5 < 0 ββ x < β5
β΄ |x + 5| =
x + 5 si x β₯ β5
β(x + 5) si x < β5
Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informacion en la tabla siguiente:
ββ β5 +β|x + 5| β(x + 5) x + 5
Ejemplo 2
|xβ 7| =
xβ 7 si xβ 7 β₯ 0
β(xβ 7) si xβ 7 < 0
pero: xβ 7 β₯ 0 ββ x β₯ 7
y xβ 7 < 0 ββ x < 7
β΄ |xβ 7| =
xβ 7 si x β₯ 7
β(xβ 7) si x < 7
y en forma resumida podemos escribir:
ββ 7 +β|xβ 7| β(xβ 7) xβ 7
Ejemplo 3
| β 2x + 3| =
β2x + 3 si β2x + 3 β₯ 0
β(β2x + 3) si β2x + 3 < 0
pero: β2x + 3 β₯ 0 ββ β2x β₯ β3, o sea x β€ 32
y β2x + 3 < 0 ββ β2x < β3, o sea x >32
β΄ | β 2x + 3| =
β2x + 3 si x β₯ 32
β(β2x + 3) si x <32
y en forma resumida podemos escribir:
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ββ 3/2 +β
| β 2x + 3| β2x + 3 β(β2x + 3)
Ejemplo 4
| β 3β 5x| =
β3β 5x si β3β 5x β₯ 0
β(β3β 5x) si β3β 5x < 0
pero: β3β 5x β₯ 0 ββ β5x β₯ 3, o sea x β€ β35
y β3β 5x < 0 ββ β5x < 3, o sea x >β35
β΄ | β 3β 5x| =
β3β 5x si x β€ β35
β(β3β 5x) si x >β35
y en forma resumida podemos escribir:
ββ β3/5 +β
| β 3β 5x| β3β 5x β(β3β 5x)
5.1.1 Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuacion algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podran ser utilizadas para fa-cilitar el trabajo en la resolucion de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
βx, x β R : |x| β₯ 0
Demostracion
x β R : |x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
Hay dos posibles casos:
Caso 1: x β₯ 0
x β₯ 0 =β |x| = x
β΄ |x| β₯ 0
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6 Valor Absoluto
Caso 2: x < 0
x < 0 =β |x| = βx
β΄ |x| β₯ 0; pues x < 0 =β βx > 0
Propiedad 2
Si x β R y |x| = 0 entonces x = 0
Demostracion: (ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Si x β R, y β R entonces |x Β· y| = |x| |y|
Demostracion
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
βa, a β R : |a| = nβ
an, si n es par (ver pagina 94)
en particular:
|a| =β
a2 ; βa, a β R
Usando esta definicion se tiene que:
|xy| =β
(xy)2 =β
x2y2 =β
x2 Β·β
y2 = |x| Β· |y|
β΄ = |x| Β· |y|
Propiedad 4
βx, x β R : | β x| = |x|
Demostracion:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si x β R, y β R, y 6= 0 entoncesβ£β£β£β£x
y
β£β£β£β£ =|x||y|
Demostracion
AquΔ± tambien usaremos el hecho que:
βa, a β R : |a| =β
a2
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Si x β R, y β R, y 6= 0 entoncesx
yβ R
β΄β£β£β£β£x
y
β£β£β£β£ =
β(x
y
)2
=
βx2
y2=
βx2
βy2
=|x||y|
β£β£β£β£x
y
β£β£β£β£ =|x||y|
Propiedad 6
βx, x β R : |x|2 = x2
Demostracion
βx, x β R : , se tiene que:
|x| =β
x2
β |x|2 = (β
x2)2
β |x|2 = x2 pues βa, a β R (β
a β R =β (β
a)2 = a)
β΄ βx, x β R : |x|2 = x2
Propiedad 7
Sea x una variable real y k un numero real positivo entonces:
|x| = k ββ x = k o x = βk
Demostracion:
Como |x| =β
x2, se tiene:
|x| = k
βββ
x2 = k
ββ (β
x2)2 = k2
ββ x2 = k2
ββ x2 β k2 = 0
ββ (xβ k)(x + k) = 0
ββ x = k o x = βk
β΄ |x| = k ββ x = k o x = βk
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8 Valor Absoluto
x2, se tiene:
|x| < k
βββ
x2 < k
ββ (β
x2)2 < k2
ββ x2 < k2
ββ x2 β k2 < 0
ββ (xβ k)(x + k) < 0
Resolviendo esta inecuacion:
ββ βk k +β
xβ k β β +
x + k β + +
(xβ k)(x + k) + β +
De aquΔ± se tiene:
(xβ k)(x + k) < 0 ββ x β ]β k, k[
o sea: βk < x < k
β΄ |x| < k ββ βk < x < k
Propiedad 9
Sea x una variable real y k un numero real positivo entonces:
|x| > k ββ x > k o x < βk
Demostracion:
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostracioncomo ejercicio para el estudiante.
Propiedad 10
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Sea x una variable real y k un numero real positivo entonces:
i.) |x| β€ k ββ βk β€ x β€ k
ii.) |x| β₯ k ββ x β₯ k o x β€ k
Demostracion:
El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.Dejaremos esta demostracion como ejercicio para el estudiante.
Propiedad 11
βx, x β R : β|x| β€ x β€ |x|
Demostracion:
Sabemos que βx, x β R : |x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0Caso 1: x β₯ 0
x β₯ 0 =β x = |x|
β΄ x β€ |x| (*)
Ademas como |x| β₯ 0 entonces β|x| β€ 0 y como x β₯ 0 entonces: β|x| β€ x (ββ)
AsΔ± por (β) y (ββ) se tiene que:
β|x| β€ x y x β€ |x|
β΄ β|x| β€ x β€ |x| (I)
Caso 2: x < 0
x < 0 =β |x| = βx
=β β|x| = x
β΄ β|x| β€ x (β β β)
Ademas como x < 0 y |x| β₯ 0 entonces
x β€ |x| (β β ββ)
AsΔ± por (β β β) y (β β ββ) se tiene que:
β|x| β€ x y x β€ |x|
β΄ β|x| β€ x β€ |x| (II)
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
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10 Valor Absoluto
βx, x β R : β|x| β€ x β€ |x|
Propiedad 12 (desigualdad triangular)
Si x β R, y β R entonces |x + y| β€ |x|+ |y|
Demostracion:
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
Lema:
Sean a β R, b β R, c β R, d β R
Si a β€ b y c β€ d entonces a + c β€ b + d
Demostracion (del lema)
Supongamos que a β€ b y c β€ d, hay que demostrar que a + c β€ b + d
i.) a β€ b =β a + c β€ b + c
ii.) c β€ d =β b + c β€ b + d
por i.) y ii.) se tiene que a + c β€ b + d
Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades a β€ b y c β€ d podemos sumar miembro amiembro estas desigualdades de la manera siguiente:
a β€ b
c β€ d
a + c β€ b + d
Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
Demostracion de la Propiedad 12 (desigualdad triangular).
βx, x β R, βy, y β R, se tiene que:
β|x| β€ x β€ |x| y
β|y| β€ y β€ |y|
Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:
β|x|+β|y| β€ x + y β€ |x|+ |y|
β΄ β(|x|+ |y|) β€ x + y β€ |x|+ |y|
β΄ |x + y| β€ |x|+ |y| por la propiedad (10.i)
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5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto
A continuacion resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempreque sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar algunade dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definicion de valor absoluto.Ademas es importante tener en cuenta que toda ecuacion que involucre valor absoluto se puede resolver usandola definicion.
Ejercicios 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones
1.) |2xβ 3| = 7
2.) |x| = 5
3.) |xβ 3| = β3
4.) |x + 8| = 0
5.) |2x + 3| = β9
6.) |x + 3| = 5 + x
7.) |1β 3x|+ x = β3
8.) 3|x + 4| β 2 = x
9.) 4β
(2xβ 15)4 = 10
10.)β
(3β 2x)2 + x = 3
11.) 2 4β
(5β 4x)4 = x + 2
Solucion
1.) |2xβ 3| = 7
Por la propiedad 7
|2xβ 3| = 7
ββ 2xβ 3 = 7 o 2xβ 3 = β7ββ 2x = 10 o 2x = β4ββ x = 5 o x = β2
β΄ S = {β2, 5}
Observacion: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se puedenresolver usando la definicion. Para ilustrar esto resolveremos la ecuacion anterior usando la definicion devalor absoluto.
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12 Valor Absoluto
2
y 2xβ 3 < 0 ββ 2x < 3; o sea x <32
β΄ |2xβ 3| =
2xβ 3 si x β₯ 32
β(2xβ 3) si x <32
Con esta informacion construimos la tabla siguiente:
ββ 3/2 +β
|2xβ 3| β(2xβ 3) 2xβ 3
|2xβ 3| = 7 β(2xβ 3) = 7 2xβ 3 = 7
β2x + 3 = 7 2x = 10
β2x = 4 x = 5
x = β2
como β 2 β]ββ,
32
[como 5 β
]32, +β
[
β΄ S1 = {-2} β΄ S2 = {5}
AsΔ± el conjunto solucion es S = S1 βͺ S2 o sea S = {-2,5}
2.) |x| = 5
Por la propiedad 7:
|x| = 5 ββ x = 5 o x = β5
β΄ S = {β5, 5}
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3.) |xβ 3| = β3
Por la propiedad 1, |xβ 3| β₯ 0, βx, x β R, por lo tanto:
|xβ 3| = β3 !Nunca!
β΄ S = β
4.) |x + 8| = 0
Por la propiedad 2,
|x + 8| = 0 ββ x + 8 = 0
ββ x = β8
β΄ S = {β8}
5.) |2x + 3| = β9
Por la propiedad 1, |2x + 3| β₯ 0, βx, x β R
β΄ |2x + 3| = β9 Β‘Nunca!
β΄ S = β
6.) |x + 3| = 5 + x
Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos dela siguiente manera:
|x + 3| =
x + 3 si x + 3 β₯ 0
β(x + 3) si x + 3 < 0
o sea:
|x + 3| =
x + 3 si x β₯ β3
β(x + 3) si x < β3
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ β3 +β
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14 Valor Absoluto
|x + 3| β(x + 3) x + 3
|x + 3| = 5 + x β(x + 3) = 5 + x x + 3 = 5 + x
Resolviendo esta ecuacion: Resolviendo esta ecuacion:
βxβ 3 = 5 + x x + 3 = 5 + x
βxβ x = 5 + 3 xβ x = 5β 3
β2x = 8 0 = 2
x = β4
como β 4 β ]ββ,β3[
β΄ S1 = {β4} β΄ S2 = β
AsΔ± el conjunto solucion S de |x + 3| = 5 + x es S1 βͺ S2, o sea S = {β4}
7.) |1β 3x|+ x = β3
En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:
|1β 3x| =
1β 3x si 1β 3x β₯ 0
β(1β 3x) si 1β 3x < 0
pero: 1β 3x β₯ 0 ββ β3x β₯ β1, o sea x β€ 13
y 1β 3x < 0 ββ β3x < β1, o sea x >13
|1β 3x| =
1β 3x si x β€ 13
β(1β 3x) si x >13
Con esta informacion construiremos la siguiente tabla:
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ββ 13
+β
|1β 3x| 1β 3x β(1β 3x)
|1β 3x|+ x = β3 1β 3x + x = β3 β(1β 3x) + x = β3
β2x = β4 β1 + 3x + x = β3
x = 2 4x = β2
Como 2 6β]ββ,
13
]x =
β12
comoβ12
/β]13,+β
[
β΄ S1 = β entonces:
β΄ S2 = β
AsΔ± el conjunto solucion S de |1β 3x|+ x = β3 es S1 βͺ S2 o sea S = β
8.) 3|x + 4| β 2 = x
En este caso:
|x + 4| =
x + 4 si x + 4 β₯ 0
β(x + 4) si x + 4 < 0
o sea:
|x + 4| =
x + 4 si x β₯ β4
β(x + 4) si x < β4
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
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16 Valor Absoluto
ββ β4 +β
|x + 4| β(x + 4) x + 4
3|x + 4| β 2 = x 3[β(x + 4)]β 2 = x 3(x + 4)β 2 = x
3[βxβ 4]β 2 = x 3x + 12β 2 = x
β3xβ 12β 2 = x 3xβ x + 10 = 0
β3xβ 14β x = 0 2x = β10
β4x = 14 x = β5
x =β144
Como β 5 6β [β4,+β[
x =β72
entonces: S2 = β
Como β7/2 6β ]ββ,β4]
entonces: S1 = β
De aquΔ± se tiene que el conjunto solucion S de 3|xβ 4| β 2 = x es vacΔ±o o sea S = β
9.) 4β
(2xβ 15)4 = 10
4β
(2xβ 15)4 = 10 ββ
|2xβ 15| = 10 ββ 2xβ 15 = 10 o 2xβ 15 = β10
ββ 2x = 25 o 2x = 5
ββ x =252
o x =52
β΄ S ={
252
,52
}
10.)β
(3β x)2 = 5β
(3β x)2 = 5 ββ
|3β x| = 5 ββ 3β x = 5 o 3β x = β5
ββ βx = 2 o βx = β8
ββ x = β2 o x = 8
β΄ S = {β2, 8}
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11.)β
(3β 2x)2 + x = 3
β(3β 2x)2 + x = 3 ββ
|3β 2x|+ x = 3
Pero:
|3β 2x| =
3β 2x si 3β 2x β₯ 0
β(3β 2x) si 3β 2x < 0
Como: 3β 2x β₯ 0 ββ β2x β₯ β3, o sea x β€ 32
y 3β 2x < 0 ββ β2x < β3, o sea x >32
β΄ |3β 2x| =
3β 2x si x β€ 32
β(3β 2x) si x >32
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ 3/2 +β
|3β 2x| 3β 2x β(3β 2x)
|3β 2x|+ x = 3 3β 2x + x = 3 β(3β 2x) + x = 3
βx = 3β 3 β3 + 2x + x = 3
βx = 0 3x = 6
x = 0 x = 2
como 0 β]ββ,
32
[como 2 β
]32, +β
[
β΄ S1 = {0} β΄ S2 = {2}
De aquΔ± se tiene que el conjunto solucion S deβ
(3β 2x)2 + x = 3 es {0, 2} o sea; S = {0, 2}
12.) 2 4β
(5β 4x)4 = x + 2
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18 Valor Absoluto
2|5β 4x| = x + 2
Pero: |5β 4x| =
5β 4x si 5β 4x β₯ 0
β(5β 4x) si 5β 4x < 0
Como: 5β 4x β₯ 0 ββ β4x β₯ β5, o sea x β€ 54
y 5β 4x < 0 ββ β4x < β5, o sea x >54
β΄ |5β 4x| =
5β 4x si x β€ 54
β(5β 4x) si x >54
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ 5/4 +β
|5β 4x| 5β 4x β(5β 4x)
2|5β 4x| = x + 2 2(5β 4x) = x + 2 2[β(5β 4x)] = x + 2
10β 8x = x + 2 2[β5 + 4x] = x + 2
β8xβ x = 2β 10 β10 + 8x = x + 2
β9x = β8 8xβ x = 2 + 10
x =89
7x = 12
x =127
como89β
]ββ,
54
[como
127β
]54, +β
[
β΄ S1 ={
89
}β΄ S2 =
{127
}
De aquΔ± se tiene que el conjunto solucion S de 2 4β
(5β 4x)4 = x + 3 es{
89,127
}, o sea S =
{89,127
}
Ejercicios 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.) |x| = 7
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2.) |2x + 5| = β8
3.) | β 2x + 9| = 11
4.) β3|3β 2x| = β12
5.) |3x + 2| = x + 1
6.) 2|2xβ 5| = xβ 3
7.) 3| β 5xβ 1| = β2x + 3
8.) β1β 2|5β 3x| = x
9.) 6β
(2x + 1)6 = 3
10.) β2β
(1β 7x)2 = β6
11.)β
(xβ 2)2 + 3x = 6
12.) x + 2 4β
(xβ 6)4 = 5
13.) 2|x|+ |xβ 1| = 4
14.) |2xβ 3| β 2|x| = 3
15.)β£β£β£β£xβ 1x + 1
β£β£β£β£ = 2
16.) 2|3xβ 1| =β
(xβ 7)2
17.) 2|2β x|+ |2xβ 1| = x
18.) |3β 2x| β 3|x + 2| β x = 0
Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuacion, omitiremos algunos pasos al escribir la definicion decada uno de los valores absolutos involucrados.
Solucion
1.) 2|x|+ |xβ 1| = 4
En este caso se tiene que:
a.) |x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
b.) |xβ 1| =
xβ 1 si x β₯ 1
β(xβ 1) si x < 1
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
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20 Valor Absoluto
ββ 0 1 +β
|x| βx x x
|xβ 1| β(xβ 1) β(xβ 1) xβ 1
2|x|+ |xβ 1| = 4 2x +β(xβ 1) = 4 2x +β(xβ 1) = 4 2(βx) + (xβ 1) = 4
β2xβ x + 1 = 4 2xβ x + 1 = 4 2x + xβ 1 = 4
β3x = 3 x = 3 3x = 5
x = β1 x =53
como β 1 β]ββ, 0[ Como 3 6β ]0, 1[ como53β
]53, +β
[
β΄ S1 = {β1} β΄ S2 = β β΄ S2 ={
5
De aquΔ± se tiene que el conjunto solucion de 2|x|+ |xβ 1| = 4 es S donde S = S1 βͺ S2 βͺ S3
β΄ S ={β1,
53
}
2.) |2xβ 3| β 2|x| = 3
En este caso se tiene que:
a.) |2xβ 3| =
2xβ 3 si x β₯ 32
β(2xβ 3) si x <32
b.) |x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
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ββ 0 3/2 +β
|2xβ 3| β(2xβ 3) β(2xβ 3) 2xβ 3
|x| βx x x
|2xβ 3| β 2|x| = 3 β(2xβ 3)β 2(βx) = 3 β(2xβ 3)β 2(x) = 3 2xβ 3β 2x = 3
β2x + 3 + 2x = 3 β2x + 3β 2x = 3 β3 = 3
3 = 3 β4x = 0 β΄ S3 = β
β΄ S1 =]ββ, 0[ x = 0
como 0 β]0,
32
[
β΄ S2 = {0}
De aquΔ± que el conjunto solucion de |2xβ 3| β 2|x| = 3 es S = S1 βͺ S2 βͺ S3
β΄ S =]ββ, 0]
3.)β£β£β£β£xβ 1x + 1
β£β£β£β£ = 2
β£β£β£β£xβ 1x + 1
β£β£β£β£ = 2 ββ |xβ 1||x + 1| = 2, por la propiedad 5
ββ |xβ 1| = 2|x + 1| (β), con x 6= β1
ββ |xβ 1|2 = (2|x + 1|)2
ββ |xβ 1|2 = 4|x + 1|2
ββ (xβ 1)2 = 4(x + 1)2, por la propiedad 6
ββ x2 β 2x + 1 = 4(x2 + 2x + 1)
ββ x2 β 2x + 1 = 4x2 + 8x + 4
ββ β3x2 β 10xβ 3 = 0
ββ 3x2 + 10x + 3 = 0
Resolviendo esta ecuacion por formula general:
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22 Valor Absoluto
4 = 100β 4(3)(3)
4 = 100β 36
4 = 64
x1 =β10 + 8
6=β x1 =
β13
x2 =β10β 8
6=β x2 = β3
De aquΔ± se tiene que el conjunto solucion deβ£β£β£β£xβ 1x + 1
β£β£β£β£ = 2 es S, donde
S ={β3,
β13
}
Nota: A partir de (β) esta ecuacion se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en losejemplos (1) y (2) anteriores.
4.) 2|3xβ 1| =β
(xβ 7)2
ββ 2|3xβ 1| = |xβ 7| (β)(Ver nota anterior)
ββ (2|3xβ 1|)2 = |xβ 7|2
ββ 4|3xβ 1|2 = |xβ 7|2
ββ 4(3xβ 1)2 = (xβ 7)2
ββ 4(9x2 β 6x + 1) = x2 β 14x + 49
ββ 36x2 β 24x + 4 = x2 β 14x + 49
ββ 35x2 β 10xβ 45 = 0
ββ 7x2 β 2xβ 9 = 0
Resolviendo esta ecuacion por formula general:
4 = 4β 4(7)(β9)
4 = 4 + 252
4 = 256
x1 =2 + 16
14=β x1 =
97
x2 =2β 16
14=β x2 = β1
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De aqui se tiene que el conjunto solucion de 2|3xβ 1| =β
(xβ 7)2 es S donde: S ={
97,β1
}
5.) 2|2β x|+ |2xβ 1| = x
En este caso se tiene que:
a.) |2β x| =
2β x si x β€ 2
β(2β x) si x > 2
b.) |2xβ 1| =
2xβ 1 si x β₯ 12
β(2xβ 1) si x <12
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ 1/2 2 +β
|2β x| 2β x 2β x β(2β x)
|2xβ 1| β(2xβ 1) 2xβ 1 2xβ 1
2|2β x|+ |2xβ 1| = x 2(2β x) +β(2xβ 1) = x 2(2β x) + (2xβ 1) = x 2[β(2β x)] + (2xβ 1) = x
4β 2xβ 2x + 1 = x 4β 2x + 2xβ 1 = x 2[β2 + x] + 2xβ 1 = x
β2xβ 2xβ x = β4β 1 3 = x β4 + 2x + 2xβ 1 = x
β5x = β5 Como 3 6β[β1
2, 2
]2x + 2xβ x = 4 + 1
x = 1 entonces: 3x = 5
Como 1 6β]ββ,
12
[S2 = β x =
53
entonces: Como536β ]2,+β[
S1 = β
S3 = β
De aquΔ± que el conjunto solucion de 2|2β x|+ |2xβ 1| = x es S, donde S = β
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24 Valor Absoluto
6.) |3β 2x| β 3|x + 2| β x = 0
En este caso se tiene que:
a.) |3β 2x| =
3β 2x si x β€ 32
β(3β 2x) si x >32
b.) |x + 2| =
x + 2 si x β₯ β2
β(x + 2) si x < β2
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ β2 3/2 +β
3β 2x 3β 2x β(3β 2x)
|x + 2| β(x + 2) x + 2 x + 2
|3β 2x| β 3|x + 2| β x = 0 3β 2xβ 3[β(x + 2)]β x = 0 3β 2xβ 3(x + 2)β x = 0 β(3β 2x)β 3(x + 2)β x = 0
3β 2xβ 3[βxβ 2]β x = 0 3β 2xβ 3xβ 6β x = 0 β3 + 2xβ 3xβ 6β x = 0
3β 2x + 3x + 6β x = 0 β6xβ 3 = 0 β2xβ 9 = 0
9 = 0 β6x = 3 β2x = 9
β΄ S1 = β x =β1
2x =
β9
2
comoβ1
2β
]β2,
3
2
[Como:
β9
26β
]3
2, +β
[
β΄ S2 =
{β1
2
}β΄ S3 = β
De aquΔ± que el conjunto solucion de |3β 2x| β 3|x + 2| β x = 0 es S, donde S ={β1
2
}
Ejercicios 3
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.)β
(4xβ 1)2 = |3β 8x|
2.)β£β£β£β£2x + 11β x
β£β£β£β£ = 3
3.) |x + 3| β |xβ 2| = x
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4.) 4β
(x + 1)4 β 3|xβ 2| = 6
5.) |xβ 4| ββ£β£β£β£xβ 1
5
β£β£β£β£ = 4β x
6.)|x|2
+ 3x + 4 = |xβ 1|
5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma ax + b, donde a y b sonconstantes con a 6= 0 y x es una variable real. Para esto utilizaremos la definicion de valor absoluto, y en loscasos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar elprocedimiento de resolucion.
Ejercicios 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) |xβ 2| < 1
2.) |5xβ 7| β€ 3
3.) |3β x| < 4
4.) |5β 2x| β€ 7
5.) |2xβ 3| β€ β5
6.) |7β 2x| β₯ β6
7.) |5x + 2| > 0
8.) 2|3β x| β 10 β₯ 0
9.) |xβ 3| β€ 2xβ 5
10.) |x|+ 3 β₯ 2x
11.) 6β
(2x + 1)6 > 3
12.)
β(25
x + 1)2
β x < 2
Solucion
1.) |xβ 2| < 1
Sabemos que:
|xβ 2| =
xβ 2 si x β₯ 2
β(xβ 2) si x < 2
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
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26 Valor Absoluto
ββ 2 +β
|xβ 2| β(xβ 2) xβ 2
|xβ 2| < 1 β(xβ 2) < 1 xβ 2 < 1
βx + 2 < 1 x < 3
βx < β1 AsΔ± debe cumplirse que
x > 1 x β₯ 2 y x < 3
AsΔ± debe cumplirse que β΄ S2 = [2, 3[
x < 2 y x > 1
β΄ S1 = ]1, 2[
En consecuencia el conjunto solucion S, de |xβ 2| < 1 es S1 βͺ S2 o sea S = ]1, 3[
Nota: La inecuacion |x β 2| < 1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valorabsoluto y ademas algunos resultados que se enuncian a continuacion y que aceptaremos sin demostrar.
Resultado 1
βa, a β R,βb, b β R,βc, c β R,βk, k β R
i.) a < b < c ββ a + k < b + k < c + k
ii.) a β€ b β€ c ββ a + k β€ b + k β€ c + k
Resultado 2
βa, a β R,βb, b β R,βc, c β R,βk, k β R con k > 0
i.) a < b < c ββ ak < bk < ck
ii.) a β€ b β€ c ββ ak β€ bk β€ ck
Resultado 3
βa, a β R,βb, b β R,βc, c β R,βk, k β R con k < 0
i.) a < b < c ββ ak > bk > ck
ii.) a β€ b β€ c ββ ak β₯ bk β₯ ck
Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, |xβ 2| < 1 se resuelve asΔ±.
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|xβ 2| < 1 ββ β1 < xβ 2 < 1
ββ β1 + 2 < xβ 2 + 2 < 1 + 2
ββ 1 < x < 3
β΄ S =]1, 3[
2.) |5xβ 7| β€ 3
|5xβ 7| β€ 3 ββ β3 β€ 5xβ 7 β€ 3
ββ β3 + 7 β€ 5xβ 7 + 7 β€ 3 + 7
ββ 4 β€ 5x β€ 10
ββ 15Β· 4 β€ 1
5Β· 5x β€ 1
5Β· 10
ββ 45β€ x β€ 2
β΄ S =[4
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28 Valor Absoluto
|5β 2x| β€ 7 ββ β7 β€ 5β 2x β€ 7
ββ β7β 5 β€ β5 + 5β 2x β€ β5 + 7
ββ β12 β€ β2x β€ 2
ββ β12Β· (β12) β₯ β1
2Β· 2
ββ 6 β₯ x β₯ β1
ββ β1 β€ x β€ 6β΄ S = [β1, 6]
5.) |2xβ 3| < β5
por propiedad 1:
|2xβ 3| β₯ 0, βx, x β R
β΄ |2xβ 3| β₯ β5; Β‘Nunca!
β΄ S = β
6.) |7β 2x| β₯ β6
por propiedad 1;
|7β 2x| β₯ 0, βx, x β R
en particular
|7β 2x| β₯ β6, βx, x β R
β΄ S = R
7.) |5x + 2| > 0
por propiedad 1;
|5x + 2| β₯ 0, βx, x β R
por propiedad 2;
|5x + 2| = 0 ββ 5x + 2 = 0
ββ 5x = β2
ββ x =β25
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β΄ |5x + 2| > 0; βx, x β R, tal que x 6= β25
β΄ S = Rβ{β2
5
}
8.) 2|3β x| β 10 β₯ 0
2|3β x| β 10 β₯ 0 ββ 2|3β x| β₯ 10
ββ |3β x| β₯ 5
ββ 3β x β₯ 5 o 3β x β€ β5
ββ βx β₯ 2 o βx β€ β8
ββ x β€ β2 o x β₯ 8
β΄ S = ]ββ,β2] βͺ [8, +β[
9.) |xβ 3| β€ 2xβ 5
Nota: en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en paginasanteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:
|xβ 3| =
xβ 3 si x β₯ 3
β(xβ 3) si x < 3
Con esta informacion construimos la tabla siguiente
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30 Valor Absoluto
ββ 3 +β
|xβ 3| β(xβ 3) xβ 3
|xβ 3| β€ 2xβ 5 β(xβ 3) β€ 2xβ 5 xβ 3 β€ 2xβ 5
βx + 3 β€ 2xβ 5 xβ 2x β€ β5 + 3
βxβ 2x β€ β5β 3 βx β€ β2
β3x β€ β8 βx β₯ β2
x β₯ 83
AsΔ± debe cumplirse AsΔ± debe cumplirse
x β₯ 83
y x < 3 x β₯ 2 y x β₯ 3
β΄ S1 =[83, 3
[β΄ S2 = [3, +β[
En consecuencia el conjunto solucion S, de |xβ 3| β€ 2xβ 5 es S1 βͺ S2; o sea S =[83,+β
[
10.) |x|+ 3 β₯ 2x
Como
|x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ 0 +β
|x| βx x
|x|+ 3 β₯ 2x βx + 3 β₯ 2x x + 3 β₯ 2x
βxβ 2x β₯ β3 xβ 2x β₯ β3
β3x β₯ β3 βx β₯ β3
x β€ 1 x β€ 3
AsΔ± debe cumplirse AsΔ± debe cumplirse
x β€ 1 y x < 0 x β€ 3 y x β₯ 0
β΄ S1 = ]ββ, 0[ β΄ S2 = [0, 3]
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En consecuencia el conjunto solucion S, de |x|+ 3 β₯ 2x es S1 βͺ S2 o sea S = ]ββ, 3]
11.) 6β
(2x + 1)6 > 3
6β
(2x + 1)6 > 3 ββ |2x + 1| > 3
ββ 2x + 1 > 3 o 2x + 1 < β3
ββ 2x > 2 o 2x < β4
ββ x > 1 o x < β2
S1 = ]1, +β[ y S2 = ]ββ,β2[
El conjunto solucion S, de 6β
(2x + 1)6 > 3 es S1 βͺ S2, o sea S = ]1, +β[ βͺ ]ββ,β2[
12.)
β(25
x + 1)2
β x < 2
β(25
x + 1)2
β x < 2 βββ£β£β£β£25
x + 1β£β£β£β£β x < 2
Para este caso se tiene que:
β£β£β£β£25x + 1
β£β£β£β£ =
25
x + 1 si x β₯ β52
β(
25
x + 1)
si x <β52
Con esta informaion construimos la tabla siguiente:
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32 Valor Absoluto
ββ β52
+β
β£β£β£β£25x + 1
β£β£β£β£ β(
25x + 1
)25x + 1
β£β£β£β£25x + 1
β£β£β£β£β x < 2 β(25x + 1)β x < 2
25x + 1β x < 2
β25
xβ 1β x < 225xβ x < 2β 1
β25
xβ x < 2 + 1β35
x < 1
β75
x < 3 x >β53
x >β157
AsΔ± debe cumplirse AsΔ± debe cumplirse
x >β157
y x <β52
x >β53
y x β₯ β52
β΄ S1 = β β΄ S2 =]β5
3, +β
[
β΄ S = S1 βͺ S2 =]β5
3, +β
[
Ejercicios 5
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) |2xβ 3| < 7
2.) |3x + 5| β€ 12
3.)β
(9x + 8)2 β€ β3
4.) |13xβ 15| > 0
5.) |3 + 2x| > 5
6.) | β 2x + 6| β₯ β4
7.) |2xβ 7|+ x β₯ 6
8.) 8β
(5β 2x)8 < xβ 7
9.) 2|3β x|+ 3x > 3
10.) β2|7 + x| β 3x β€ 0
11.)
β(x
2+
23
)2
β₯ 1
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12.) 2β
(2x + 7)2 β€ x
Ejercicios 6
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) |xβ 1|+ |x + 1| < 4
2.) |xβ 2|+ 3|x| β€ 6
3.) |4β x|+ |2xβ 5| > 7β x
4.) |x| β 2β
(6β x)2 β₯ x
Solucion
1.) |xβ 1|+ |x + 1| < 4
En este caso se tiene que:
|xβ 1| =
xβ 1 si x β₯ 1
β(xβ 1) si x < 1
|x + 1| =
x + 1 si x β₯ β1
β(x + 1) si x < β1
AsΔ±:
ββ β1 1 +β
|xβ 1| β(xβ 1) β(xβ 1) xβ 1
|x + 1| β(x + 1) x + 1 x + 1
|xβ 1|+ |x + 1| < 4 β(xβ 1) +β(x + 1) < 4 β(xβ 1) + x + 1 < 4 xβ 1 + x + 1 < 4
βx + 1β xβ 1 < 4 βx + 1 + x + 1 < 4 2x < 4
β2x < 4 2 < 4 x < 2
x > β2
S1 = ]β 2,β1[ S2 = [β1, 1[ S3 = [1, 2[
β΄ Como S = S1 βͺ S2 βͺ S3, entonces: S = ]β 2, 2[
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34 Valor Absoluto
2.) |xβ 2|+ 3|x| β€ 6
En este caso se tiene que:
|xβ 2| =
xβ 2 si x β₯ 2
β(xβ 2) si x < 2
y
|x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
Con esta informacion construimos la siguiente tabla:
ββ 0 2 +β
|xβ 2| β(xβ 2) β(xβ 2) xβ 2
|x| βx x x
|xβ 2|+ 3|x| β€ 6 β(xβ 2) + 3(βx) β€ 6 β(xβ 2) + 3x β€ 6 xβ 2 + 3x β€ 6
βx + 2β 3x β€ 6 βx + 2 + 3x β€ 6 4x β€ 6 + 2
β4x β€ 6β 2 2x β€ 6β 2 4x β€ 8
β4x β€ 4 2x β€ 4 x β€ 2
x β₯ β1 x β€ 2
S1 = [β1, 0[ S2 = [0, 2[ S3 = {2}
Como S = S1 βͺ S2 βͺ S3 entonces S = [β1, 2]
3.) |4β x|+ |2xβ 5| > 7β x
Como:
|4β x| =
4β x si x β€ 4
β(4β x) si x > 4
y
|2xβ 5| =
2xβ 5 si x β₯ 52
β(2xβ 5) si x <52
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AsΔ±:
ββ 5/2 4 +β
|4β x| 4β x 4β x β(4β x)
|2xβ 5| β(2xβ 5) 2xβ 5 2xβ 5
|4β x|+ |2xβ 5| > 7β x 4β x +β(2xβ 5) > 7β x 4β x + 2xβ 5 > 7β x β(4β x) + 2xβ 5 > 7β x
4β xβ 2x + 5 > 7β x βx + 2x + x > 7 + 5β 4 β4 + x + 2xβ 5 > 7β x
βxβ 2x + x > 7β 5β 4 2x > 8 x + 2x + x > 7 + 5 + 4
β2x > β2 x >82
4x > 16
x < 1 x > 4 x > 4
S1 = ]ββ, 1[ S2 = β S3 = ]4,+β[
Como S = S1 βͺ S2 βͺ S3 entonces S = ]ββ, 1[ βͺ ]4, +β[
4.) |x| β 2β
(6β x)2 β₯ x
|x| β 2β
(6β x)2 β₯ x ββ
|x| β 2|6β x| β₯ x
Ademas:
|x| =
x si x β₯ 0
βx si x < 0
y
|6β x| =
6β x si x β€ 6
β(6β x) si x > 6
AsΔ±:
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36 Valor Absoluto
ββ 0 6 +β
|x| βx x x
|6β x| 6β x 6β x β(6β x)
|x| β 2|6β x| β₯ x βxβ 2(6β x) β₯ x xβ 2(6β x) β₯ x xβ 2(β(6β x)) β₯ x
βxβ 12 + 2x β₯ x xβ 12 + 2x β₯ x x + 2(6β x) β₯ x
βx + 2xβ x β₯ 12 x + 2xβ x β₯ 12 x + 12β 2x β₯ x
0 β₯ 12 2x β₯ 12 xβ 2xβ x β₯ β12
x β₯ 6 β2x β₯ β12
x β€ 6
β΄ S1 = β β΄ S2 = {6} β΄ S3 = β
De aquΔ± se tiene que: S = {6}
Ejercicios 7
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) |xβ 6|+ |x| < 4
2.) 4|xβ 2|+ 3|x| β₯ 6
3.) 3|xβ 4| β |2x| β€ xβ 6
4.)β
(xβ 3)2 + |4β 5x| > 7
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