Alumno: Eduardo Mera
2
i) En la reacción 167
168 ),( NpnO , la concentración de átomos de N-16 por
unidad de volumen en el tiempo esta dada por:
16161616 ** NNa O
N Ndt
dN (1), la que puede detallarse como
16160161616 ** NNaO
N NNdt
dN (2)
Teniendo en consideración que el numero de átomos de O16 es el mismo que de moléculas de agua, y este es el 99% de O natural,
322233
016 /10*34.3/18
/10*02.6*/*1*998.0 cmatmolg
molatcmgN
Tomando los factores de la ecuación (1) y aplicando Laplaciano.
a ONN
N Ndt
dN ** 161616
16 , aplicando la transformada de Laplace correspondiente
sNLNNLs a O
NNNoN
*)(*)(* 16 , No
a ONN N
ssNL
*
))(( 16 , con lo
cual )()(*
*)( 16
N
No
N
a ON s
Nss
NL
(3), cuando se descomponen los términos
)(**
)(**
1616
N
Noa O
N
a O
sN
sA
ss
, con lo que
)(**)(*
)(*1
N
N
N sssBsA
ss
3
Asumiendo que 1* NA y 0 BA , por lo que N
A1
y N
B1
,
Reemplazando en la ecuación (3) )()(
**)( 16N
No
N
Noa ON s
NsN
sANL
, al
aplicar la transformada inversa respectiva
tNo
ta ON
NN eNeAAtN **16 ****)( , por lo tanto
tNo
t
N
a ON
NN eNetN **16 *1**
)(
(4), Como )()( tNtA N al aplicarlo en
(4), se obtiene t
ot
a ONNN eAetA **
16 *1**)( (5) La ecuación anterior evalúa actividad en Bq/cm3 ii) El ciclo esta compuesto por un tiempo de irradiación (ti)(5 seg) y otra de decaimiento (td) (40 seg), dando una duración total (t) al ciclo de 45 seg, de tal forma que t=ti+td. Para encontrar la actividad A(n) en función de los ciclos (n), debería generarse que: A(n) = La actividad a la salida del reactor de cada ciclo An =la actividad de entrada del reactor en cada ciclo Al modificar la expresion (5)
tnn
tina ON
NN eAeA ****16)( *1** , en Bq/cm3
)(****
16 *1** titntina On
NN eeA , en Bq/cm3 Con n = 1,2,3,4….. Debe mencionarse que cada ciclo inicia cuando el agua sale del reactor, de modo que el agua inicia el segundo ciclo cuando ha pasado dos veces por el área de irradiación. Se tiene para n=1 (recien iniciado el ciclo se pasa solo una vez por la zona de irradiación) y A0=0,
segs
N escmncmcmmolecA5*1*
4.72ln
2102245322 1*/10*10*10*4*/10*34.3)1(
=4995 Bq/cm3
Debe tenerse en cuenta que posteriormente se entre con una actividad al sector de irradiación de A1, igual a
4
segs
segs eescmncmcmmolecA
40*1*4.72ln5*1*
4.72ln
21022453221 *1*/10*10*10*4*/10*34.3
, 9.1171 A Bq/cm3
5
ii) Las ecuaciones que describen el problema son:
***** 111111 NN
dtdN
af (1)
**** 2222112 NNN
dtdN
a (2)
Para solucionar (1), se ordena y aplica Laplace
11111 **)*(
faNdt
dN
Aplicando Laplace y considerando que )*( 111 aA , se tiene que
sNLANNLs f 1
1101
**)(*)(*
1
)()(
**)(
1
10
1
11 As
NAss
NL f
(3)
Donde el termino
)(
**)(
**
11
1
1
AsC
sB
Ass ff
6
)()(
)()(1
1
1
11 AssBACBs
AsC
sB
Ass
, de modo que 11 BA y B+C=0
Por lo que 1
1A
B y 1
1A
C , al aplicarlo en (3), tenemos
)()(11**
)(1
10
11
11 As
NAssA
NL f
, aplicando la transformación inversa, se
tiene que
tAtAf eNeA
tN 11 *1**
)( 101
11
, teniendo que 010 N , se tiene que
t
a
f aetN )*(
11
11
111*
**)(
(4),
La solución de N2(t), es:
112221 *)*( NN
dtdN
a , al aplicar Laplace y teniendo en cuenta que
)*( 222 aA , se consigue que
sNNLANNLs 11
22022*)(*)(*
)()(*)(
2
02
2
112 As
NAssNNL
, )()(
11*)(2
02
22
112 As
NAssA
NNL
Aplicando la transformada inversa:
tAtA eNeA
NtN 22 *1*)( 022
112
Se tiene que N2(t)
tt
a
aa eNeNtN )*(02
)*(
22
112
2222 *1**)(
(5)
Uniendo soluciones (4) y (5), y considerando que N01=N02=0, se tiene que:
7
tt
aa
f aa eetN )*()*(
1122
112
1122 11)*)(*(
***)(
(6)
Resumiendo:
t
a
f aetN )*(
11
11
111*
**)(
tt
aa
f aa eetN )*()*(
1122
112
1122 11)*)(*(
***)(
ii) Se tiene que cuando el comportamiento de N2(t), cuando 22 * a y 11 * a
tt
a
f eetN a )()*(
2
12
12 11*
)(
Graficando:
2
1*
a
f
2
1*
a
f
8
oS
i) Medio A 02 oAaAA SD
Medio B 02 BaBBD )(x
Medio A 02
2
oAaAA S
dxdD
Medio B 02
2
BaBB
dxdD
a
DL2
Medio A Medio B a
9
Solución Homogénea
Lx
Lx
BeAe
Considerando la longitud extrapolada
La
La
BeAe
La
AeB2
L
xaLx
eeA2
Condición de fuente
L
xaLx
xxx eeL
DAdxdDJS 2
000 limlimlim2
La
eL
DAS 2
12
, )1(2
2La
eD
SLA
Solución:
Lxa
Lx
La ee
eD
SL 2
2
)1(2
)cosh(
)(
2LaL
xasenh
DSL
Sea )cosh(2
LaD
SLk
)(*L
xasenhk
)(21
)(21
)(24
)(24
0
0
0
0
dxdDdxdD
dxdDdxdD
JJ
Evaluando lo anterior en x = 0
)cosh(L
xaLk
dxd
10
)0cosh(
)0(*
21
)0cosh()0(*
21
La
Lk
Lasenhk
D
La
Lk
Lasenhk
D
)coth(21
)coth(21
)0(
)0cosh(21
)0(
)0cosh(21
La
LD
La
LD
Lasenh
La
LD
Lasenh
La
LD
ii) B = H20
34.0,0,73.7,10*2.2,17.0 2212 acmLcmcmDa
1lim;78.0lim 1 xa
34.0;0)coth(21 aLa
LD
a
β
1-1
-1
1
-0.78
0.34-0.34
0.78
a
β
1-1
-1
1
-0.78
0.34-0.34
0.78
11
iii) Lx
Aexp
)( , Lx
eLA
dxd
)(21
)(21
)(21
)(21
0
0
Lx
Lx
Lx
Lx
eLA
Ae
D
eLA
Ae
D
dxdDdxdD
JJ
LDLD
JJ
21
21
78.0
78.217.0*21
78.217.0*21
20
H
22
220 73.7
10*2.217.0 cmLH
cmLH 78.220
97.0
10085.0*21
10085.0*21
20
D
245
220 10
10*5.885.0 cmLD
cmLD 10020
9.0
2.2154.0*21
2.2154.0*21
Be
23
2 45010*2.154.0 cmLBe
cmLBe 2.21
95.0
2.5494.0*21
2.5494.0*21
C
234
2 10*94.210*2.394.0 cmLC
cmLC 2.54
12
13
Desarrollo: Sobre el Reactor esférico: Teniendo en consideración:
(1)
Su Laplaciano para coordenadas esféricas es:
(2), Sustituyendo en (2), se obtiene:
(3), como A y C son constantes y el segundo término tiende a infinito cuando r tiende a cero,
(4)., para encontrar B, se tiene que
(5) donde se asume n=1, para condiciones de criticidad de reactor quedando,
(6), quedando el flujo como
(7), calculado A en termino de la potencia del reactor como,
(8),
(9),
(10),
14
Si la distancia distancia de extrapolación d es despreciable (pequeña)
,(11) y hasta se podría decir que RR ~ .
i) a. Calcule el radio critico: El presente ejercicio otorgo la razón, la cual al utilizarse para despejar la ecuación de cuatro términos k∞ = ηfpε, se obtuvo que el termino recomendado para p no hacia posible el despeje de variables ya que las llevaba a cero, en los apuntes docentes se dio un grafico, de donde se procedieron a sacar los parámetros ya que se cumplía con el enriquecimiento de U235.
Se tiene que la razón dada en la tarea es para la cual se muestra el k∞ en su máximo, se tiene que los valores son:
k∞ 1.266 p 0.774 f 0.9 ε 1.038
15
Teniendo es consideración que Como las unidades, potencias y Avogadro se simplifican Despejando, Como Teniendo las fracciones volumétricas se calcula N para combustible y moderador Cálculos de macroscópicas: Absorción:
OaHaUaU
aUaU
amac
acf2238235
238235
20*20*20*20
238**)1(**238
235****235
238**)1(**238
235****235
9.0
PAUHNoHXvHaH
PAUNoUEXvuaU
PAUNoUEXvuaU
PAUNoUEXvuaU
PAUNoUEXvuaU
f
02.181*20*66.0
0508.2388.18*)100/21(**7.2
01139,2358.18*100/2**681
0508.2388.18*)100/21(**7.2
01139,2358.18*100/2**681
9.0XvHXvuXvu
XvuXvu
20033.013.0209.009.12033.0188.0981.0
XvHXvuXvuXvuOXvHXvuXvu
12 OXvHXvu 202.0Xvu 798.020 XvH
320323
/10*951.1/01139.235
100/2*202.0*/8.18*/10*023.6235 cmatmolg
cmgmolatUN
321323
/10*438.9/0508.238
)100/21(*202.0*/8.18*/10*023.6238 cmatmolg
cmgmolatUN
322323
/10*666.2/02.18
798.0*/1*/10*023.620 cmatmolg
cmgmolatHN
11
11
1220
12238
11235
10*583.1
10*759.1
10*759.120*2
10*548.2238*238
10*329.1235*235
cm
cm
cmaHOHN
cmaUUN
cmaUUN
ac
a
aH
aU
aU
16
Fisión Verificación de valores gráficos
046.1
10*666.210*438.9*563.01
10*666.210*438.9*69.01
22
21
22
21
, el valor de grafico fue 1.038, el error relativo
Porcentual fue de 0.77% Se tiene que en el calculo de Ief se obtuvo un valor de 6.221*10-11cm, al reemplazarlo el p se da que el argumento de elevación, de -5.34*1011, lo que al aplicarlo a p = 0, eso no es posible ya que la formula de los cuatro términos se anula – pasa lo mismo que cuando se trato de despejar N. Si calculamos k∞ = ηfpε, se tiene que 1.266 = 1.762*p*1.046*0.9, lo que despejando p, nos da p = 0.766, y en grafico nos daba 0.774, lo que nos da un error relativo del 1%. Se cumple la razón ya que Cálculos de macroscópicas de transporte , Calculos para R M2 = L2 + τ = (9.473*10-1cm)2 + 31 = 31.9 cm2
11235 10*13.1235*235 cmfUUNfU
fisncm
cmfisnac
fc /762.110*583.1
10*13.1*/47.2 11
11
1
120
12238
13235
935.1
856.1)1*(*20*2
10*717.7)1(*238*238
10*946.1)1(*235*235
cm
cmotrHOHN
cmotrUUN
cmotrUUN
tr
trH
trU
trU
1110*579.1
31
cmDntra
tr
Dn3
1 Ojo en el Lamarsh
cmcmcm
an
nn
DL 111
11
10*473.910*759.110*579.1
10 32
2 339.89.31
1266.11
MkB
36.0/10*666.2
/)10*438.910*951.1(322
32120
20
cmmol
cmatNNu
H
17
B = 9.132×10-2 cm-1
Como para n = 1, segun la ecuacion 6, se tiene Nota d = 2.31*D = 0.33 cm, lo cual es despreciable como dRR ~ .
b. Calcule la masa critica: Según Lamarsh, forma 1: Sabiendo para calcular los volúmenes (1),
(2) la relación especifica N, para el presente caso se tiene que
como R = 34.4 cm, el volumen de la esfera es;
Se pueden determinar la fracción volumétrica del combustible y moderador, como la fracción volumétrica, ya fueron estimadas , y el volumen estimado para el cuerpo es Se tiene que para el combustible: Para el moderador Sabiendo la densidad de combustible y moderador: Forma 2, Calculando el factor Z, (1), con lo Cual (2). Para nuestro caso
cmcmB
R 4.3410*132.9 12
353 10*705.1)4.34(**34 cmcmV
202.0Xvu 798.020 XvH
3410*453.3* cmXvuVUVol
3510*36.12*2 cmOXvHVOHVol
grHOHVolOHmasa 510*36.120*22
grUUVolUmasa 510*492.6*
18
Se tiene que para el calculo de mf se asume que gaf(T) es 0.978 a 20ºC, para los neutrones con energía de 0.0253 eV, con lo cual recordándose que se puede calcular en función se sus macroscópicas de absorción de combustible- moderador, se tiene: Como el volumen de la esfera es 1.705*105cm3 , y la densidad del agua es 1 g/cm3, se tiene que la masa es de 170,5 kg , por lo que la masa critica de combustible es 48.71 kg. ii) flujo neutrónico térmico. De la ecuación 11 y considerando que d es despreciable (ver nota de d), y la igualdad de π, R y B, se tiene que: Por lo cual, , con r en centímetros.
Flujo Neutronico Termico
0.000E+00
5.000E+11
1.000E+12
1.500E+12
2.000E+12
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Radio (cm)
Rad
io (c
m)F
lujo
Nut
roni
co
(n/c
m2s
)
514.210*339.8*311762.19.31*10*339.81
3
3
Z
mnmnmf 121
2
10*856.2)10*548.210*329.1(*978.0
10*759.1*447.2
rBrseno
RErP
f
)(****4 2
rrcmseno
cmcmfisJsJ )*10*132.9(
)4.34(*10*13.1**/10*2.3*4/10*1 12
21111
6
scmn
rrseno
2
213 )*10*132.9(10*86.1
19
iii) la razón pmáx/pmedia, en que p es la densidad de potencia térmica del reactor.
Para un reactor esférico la potencia máxima, se da cuando su flujo neutrónico es máximo y esto se desencadena cuando:
(1) Y la potencia media se da con el flujo neutrónico medio, por lo cual:
, (2) En un reactor esférico se cumple que:
(3). Para nuestro caso: Cumpliéndose la relación 3. Para estimar potencia térmica utilizaremos la expresión: Para la potencia media utilizaremos Para la potencia máxima En donde se mantiene la relación 3.
scmn
cmcmfisJsJ
212
21111
6
10*336.5)4.34(*10*13.1*/10*2.3*4
14.3*/10*1max
scmn
cmcmfisJsJmed 2
12351111
6
10*622.110*705.1*10*13.1*/10*2.3
/10*1
32
121111 863.510*622.1*10*13.1*/10*2.3**cmW
scmncmfisJfEpmed R
32
121111 29.1910*336.5*10*13.1*/10*2.3**maxcmW
scmncmfisJfEp R
20
iv) radio crítico si hay un reactor infinito de agua liviana, estime el ahorro por reflector.
Para un reactor esférico reflejado:
, donde su ecuación de flujo
Para la cual solucionamos con las condiciones de borde,
Con lo que se obtiene
Finalmente
(12) Calculo de Nr-H20 Calculo de Sección Macroscópica de Absorción y transporte Cálculos para Rr
322323
/10*342.3/02.18
1*/1*/10*023.620 cmatmolg
cmgmolatHNr
12224322 10*206.210*66.0*/10*342.3*20 cmcmcmatarNrHar
1224322 327.210*103*676.0*/10*342.3)1(**20 cmcmcmatotrrNrHtrr
1110*419.1
31
cmDrtra
21
B = 9.132×10-2 cm-1
Despejando de (12) Despejando numéricamente Rr Rr = 2.487 cm. Con lo que el ahorro por reflector es δ = R – Rr = 34.4 cm – 2.487 cm = 31.92 cm.
cmcmcm
ar
rr
DL 536.210*206.210*419.1
12
11
1
536.2*
10*579.110*419.1)*10*132.9cot(**10*132.9 11
111212
cmRr
cmcmRrcmRrcm
22
i) Considerando La reactividad con el periodo de un reactor se relaciona por La potencia de un reactor es proporcional a la evolución retardada de la densidad neutrónica.
)(tp proporcional a )(tn ; )(tn proporcional a te 05.0 con 105.0
loKef ,
seg2005.01
, como 310l ,loKex ,
Keflol ,
KefKef 1
, 1 KefKex
loKef 1 ,
lloKef ,
loKef 1 ,
lo
llo
1 , 1)11( l
lo , l
llo
* ,
segsegsegseglo 3
3
3
10*000050003.1)1020(
20*10
, 000050003.1
l
Kef ,
55 10*510*99999.41
Kef
Kef , para pasarlo a pcm, se tiene
pcmpcm 510* 5 ii) Las ecuaciones cinéticas para la densidad neutrónica y la densidad de precursores de neutrones retardados para e i-esimo grupo, es: y suponiendo ε = 1 , p = 1 , = 1
6
1
0
1i i
i
efkl
kk
ef
ef1
kl
ef
l 0kl
exp
0 S1
ceplk
ii
ief Bn
dtdn
6
10
21)1(
ceplk
dtdc
iief
ii nB
2
0
e B 2
23
, , , con Keflol para el primer
grupo de neutrones retardados Para un reactor que inicialmente esta critico, se le aplica un escalon de reactividad inicial y como n(t) es proporcional a p(t) Solucionando La ecuación característica Con solución Con S1= 5.33*10-5 y S2= -75.03005, como ambas son reales, distintas y no nulas Como para
cii
in
ldtdn
6
1
cdtdc
iiii n
l
Cnldt
dn
Cnldt
dc
(1)
(2)
nldt
dnC 1
(3) en (1) y (2)
dtdn
ldtnd
dtdC
2
21
nldt
dnnldt
dnldt
nd
11
2
2
0112
2
n
lldtdn
ldtnd
0*2
2
nldt
dnl
ldt
nd
02
2
CndtdnB
dtndA 310*4,03.75,1 CBA
02 CBSASA
ACBBS2
42
2,1
tt eCeCn 03005.752
10*33.51
3
21)0( CCn
24
Se tiene que Por condición del ejercicio C2=0 , y Para encontrar en la ecuación 3, Se tiene que en t = 0 seg Finalmente
021
03005.752
10*33.51
3
pp
CCeCeC
nn tt
o
0pp
nn
o
pcmtt
t eeepp 18.010*18.010*33.5
0
53
03005.751
10*33.51
251 y
)0()1(
CC
tttt eCeC
leCeCC 03005.75
210*33.5
103005.75
210*33.5
1331
tttt eCeCeCeCC 03005.75
210*33.5
13
503005.75
210*33.5
1
33
1003.7510*5
08.01
tt eCeCC 03005.7510*33.51
52
3
*009253.010*379.9
2*009253.010*379.9 15 CCCo
2
2
3
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