Traba jo de Aplicación de Matemáticas
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Departamento de Ciencias Exactas
M.Sc. Hernán Aules
1. Matrices
1.1. Construir la matrices, que satisfagan con:
Sea A4x4; si aij = (i� 1)j :
Sea A5x5; si aij = sen(i+j�1)�
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Sea A6x6; si:
aij =
�(�1)i+j(i+ j) si 6 � i+ j � 8;(�1)i+j(i+ j) caso contrario:
1.2. Dadas las siguientes matrices
A =
24 123
35B =24 102
35C =24 114
35D =
24 001
35Encuentre valores escalares a , b. Tal que: C = aA+ bB.
Demostrar que no existen valores escalares a, b . Tales que: D = aA+ bB.
aA+ bB + cD = 0. demuestre que a = b = c = 0.
Si aA+ bB + cC = 0. demuestre que no existen escalares que cumplen con la igualdad.
1.3. Resuelva los siguientes sistemas:
Encuentre una matriz X, tal que: i3A�12X = 1
iC
Encuentre matrices X;Y ;Z tales que:
a) i3X + Y � Z = A
b) X � Y = Bc) Y + Z = C
A =
24 2 �1 1�1 2 11 1 2
35B =24 �1 2 11 1 02 1 3
35C =24 1 1 2�1 1 �12 0 1
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1
Deber
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1.4. Conociendo las matrices:
A =
�2 31 3
�B =
�1 12 �3
�Evaluar la función:f(x; y) = x3 � 2x2y + 3xy2 � 3y3
f(A;B) =?
f(2A+B;AB) =?
1.5. Halle todas las matrices conmutativas para la multiplicación B, cono-ciendo A:
A =
�1 + i i�i i
�
A =
24 1 1 �11 �1 1�1 1 1
35
1.6. Hallar una familia de matrices para A
A =
24 a 0 00 b c0 d e
35A sea Idempotente.
A sea Involutoria.
A sea nilpotente , para k = 2.
1.7. Hallar Ak
A =
�cos� � sin�sin� cos�
�
A =
24 8 4 4i4 2 2i4i 2i �2
35
A =
2664a b 0 00 a b 00 0 a b0 0 0 a
3775
1.8. Con la siguiente hipermatriz demostrar:
La matriz particionada es Simétrica.
Hallar Ak , usando la matriz particionada.
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Ak es simétrica?
Demostrar que existe condición par y condición impar para Ak
A =
266666642 �1 1 1 0 03 �2 0 1 0 01 1 2 �1 0 00 1 3 �2 0 00 0 0 0 2 �10 0 0 0 3 �2
37777775
1.9. Sea A una matriz tridiagonal, de dimensión 8x8, con valores de uno enlas diagonales, en las posiciones diferentes el valor cero demostrar queAk también es tridiagonal. Usando partición de matrices.
1.10. Sean A =�1 �12 �1
�B =
�3 �24 2
�comprobar si:A3 + B3 = (A + B)(A2 �
AB + B2). Si no comprueba la igualdad entonces hallar alguna matrizB, que compruebe la igualdad.
1.11. Sean A y B matrices que operan para la suma y la multiplicacion, y kvalor escalar natural. Demostrar que
Para que condiciones (A+B)k cumple con la formula del binomio.
(A+B)k = Ak +Bk si y solo si AB = BA = � .
Ak �Bk = (A�B)(Ak�1 +Ak�2B +Ak�3B2 +Ak�4B3 + :::+Bk�1), si y solo si AB = BA:
1.12. Dada la matriz A, encuentre una matriz simétrica y una matriz anti-simétrica, una hermítica y una antihermítica.
A =
24 2a� bi �4a+ 3bi 3a� 5bi�3a+ 3bi 3bi 2aa� bi 2bi �a+ bi
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1.13. Comprobar si existe alguna matriz A de 2x2, tal que:
AtA = I:
AtA = 0:
AtA = AAt
1.14. CONSULTAR: Matriz Hermítica, No Hermítica, Matriz Traza, MatrizTridiagonal,Matriz Binomial con sus respectivas propiedades
Sean A y B matrices cuadradas, a y b valores escalares. Comprobar: Trz(aA + bB) = aTrz(A) +bTrz(B).
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Sea A una matriz antisimétrica. Comprobar que la Traza de A es igual a cero.
Sea C una matriz compleja. Comprobar que la Traza de C+C es un número real.
1.15. Sabiendo que A es una matriz simétrica, comprobar que la expresiónA3 � 2A2 + 3A� I,también es simétrica.
1.16. Sean A matriz antisimétrica, comprobar que A2k es simétrica y A2k+1esantisimétrica
1.17. Sean A y B matrices simétricas, comprobar que A:B también es simétri-ca
1.18. Sean C es matriz compleja, comprobar que C+C = CC+ y además eshermítica
1.19. Sean A1; A2; A3; A4; :::; Ak, matrices del orden mn, Demostrar que:
(A1 +A2 +A3 +A4 + :::+Ak)t = At1 +A
t2 +A
t3 +A
t4 + :::+A
tk.
(A1:A2:A3:::Ak�1:Ak)t = Atk:A
tk�1:A
tk�2:::A
t2:A
t1
1.20. Sea A una matriz cuadrada compruebe que 3A2�2A�I = (3A+I)(A�I)
1.21. Sea A una matriz idempotente, demostrar que (A+ I)k = I + (2k � 1)A
1.22. Sea A una matriz que satisface la expresión A2 � A + I = � demostrarque cumple con A3k�A3k�1+A3k�2 = � para cualquier k elemento de losnaturales.
1.23. Sean A;B;C matrices cuadradas tales que C es nilpotente cuando k = 2,B y C son conmutativas para la multiplicación y A = B+C. Demostrarque para todo k escalar natural, se cumple con: Ak+1 = Bk [B + (n+ 1)C]
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