ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013
Quinto Semestre Página 1
DERIVADAS (1)
Derivada de una constante
KKxf )( 0)´( xF
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
rxxf r)( 1.)´( rxrxf
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la
variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10) Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
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Quinto Semestre Página 2
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
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Quinto Semestre Página 3
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
xxf ln)( x
xf1
)´(
Ejercicio nº 22) Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
xexf )( xexf )´(
Ejercicio nº 23) Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e:
Forma simple
xaxf )( aaxf x ln)´(
Ejercicio nº 24) Sol:
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
xsenxf )( xxf cos)´´(
Ejercicio nº 29) Sol:
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Quinto Semestre Página 4
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
xxf cos)( xsenxf )´(
Ejercicio nº 30)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
xtgxf )( x
xxtgxf2
22
cos
1sec1)´(
Ejercicio nº 31)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
xsenarcxf )( 21
1)´(
xxf
Ejercicio nº 32) Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco
tangente: Forma simple
xtgarcxf )( 21
1)´(
xxf
Ejercicio nº 33) Sol:
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Quinto Semestre Página 5
DERIVADAS (2)
)(. xfky )´(.´ xfky
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la
constante por la derivada de la función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
POTENCIAS
Sigue recordando:
Ejercicio nº 9)
Sol:
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Quinto Semestre Página 6
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11) Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
Ejercicio nº 13) Sol:
Ejercicio nº 14) Sol:
Ejercicio nº 15) Sol:
Ejercicio nº 16) Sol:
Ejercicio nº 17) Sol:
Ejercicio nº 18) Sol:
Ejercicio nº 19) Sol:
Ejercicio nº 20) Sol:
Ejercicio nº 21) Sol:
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Quinto Semestre Página 7
)()( xgxfy )´()´(´ xgxfy
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las
derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22) Sol
Ejercicio nº 23) Sol:
Ejercicio nº 24) Sol
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Ejercicio nº 29) Sol:
)()( xgxfy )´().()().´(´ xgxfxgxfy
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de
la primera función por la segunda función mas la primera función por la derivada
de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
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Quinto Semestre Página 8
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
)(
)(
xg
xfy
)(
)´().()´().(´
2 xg
xgxfxfxgy
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de
la función del numerador por la función del denominador menos la función del
numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por
el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
Solución:
Ejercicio nº 35)
Solución:
Ejercicio nº 36)
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Quinto Semestre Página 9
Solución:
Ejercicio nº 37)
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple: Recuerda:
xxf ln)( x
xf1
)´(
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
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Quinto Semestre Página 10
DERIVADAS (3)
AVISO
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que
estamos representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe
escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
xuy ln u
uy
´´
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es
igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
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Quinto Semestre Página 11
Ejercicio nº 7) Sol:
LOGARITMOS
Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado
por el logaritmo de a
Ejercicio nº 8) Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
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Quinto Semestre Página 12
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
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Quinto Semestre Página 13
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013
Quinto Semestre Página 14
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Solución:
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
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Quinto Semestre Página 15
xuey xueuy ´
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual
al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha
función
Ejercicio nº 35) Sol:
Ejercicio nº 36) Sol:
Ejercicio nº 37) Sol:
Ejercicio nº 38) Sol:
Ejercicio nº 39) Sol:
Ejercicio nº 40) Sol:
DERIVADAS (4)
Derivada de una función potencial:
Ejercicio:
1142.)1(7)´(:
1)(
262
72
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
8/78/1
8
1)´(;:
)(
xxfxxfSolución
xxf
rxuyr
1´´
rxuuy
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Quinto Semestre Página 16
Ejercicio:
)24(2)12cos().12(412cos.2.12.2)´(:
12)( 2
xsenxxsenxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
)(
)cos()24(cos.12..2)´(:
)(
23
2232
22
xxsen
xxxxxxxxsenxfSolución
xxsenxf
Ejercicio:
)15().15(cos1515.5.15cos.3)´(:
15cos)(
22
3
xsenxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
3
423
4
2
3/12
13
22.)1(
3
1)´(:
1)(
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
12sec1212sec2122
1)´(:
12)(
22
3
22
3
2/1
xxtgxxtgxfSolución
xtgxf
Ejercicio:
13cos13cot2
313cos313cot
2
1)´(:
13cot)(
22
1
22
1
2/1
xecxgxecxgxfSolución
xgxf
Ejercicio:
xecxgxecxgxfSolución
xgxf
22
3
22
3
2/1
coscot2
1coscot
2
1)´(:
cot)(
Derivada de una función logarítmica
Ejercicio
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Quinto Semestre Página 17
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base el número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
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Quinto Semestre Página 18
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio:
22
2
)63cos().63(663cos363.2)´(:
63)(
xxxxxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
6lncos.6
1)´(:
6ln)(
xx
xfSolución
xsenxf
Ejercicio:
tgxx
xfSolución
xtgsenxf
cos.cos
1)´(:
)(
2
Ejercicio:
xgxsen
xfSolución
xgsenxf
2cotcos.2
2)´(:
2cot)(
2
Ejercicio:
7272462
6272724
725
1cos1.170
2171cos.15)´(:
1)(
xxsenxx
xxxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:
xxLxx
xxfSolución
xxLsenxf
3cos.3
33)´(:
3)(
3
3
2
3
Ejercicio:
42424242
42
3cos3323cos.33.2)´(:
3)(
xxxx
x
LLxfSolución
senxf
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Quinto Semestre Página 19
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio:
222
22
22
63263663)63cos().63(12
63363263cos.2)´(:
63cos)(
xsenxxsenxx
xsenxxxfSolución
xxf
Ejercicio:
xxsenxx
xxfSolución
xxxf
2
2
2
4ln.4
18)´(:
4lncos)(
Ejercicio:
xsenxsenxsen
xsenxsenxsenxfSolución
xxf
coscoscos
coscoscos)´(:
coscoscos)(
Ejercicio:
33223
33
2.2323)´(:
2cos)(
xxsenxxxxfSolución
xxxf
Ejercicio:
6262352
5262623
624
11cos.148
2161.1cos4)´(:
1cos)(
xsenxxx
xxxsenxxfSolución
xxf
Ejercicio:
xxLsenxxLxx
x
xxLsenxx
xxxLxfSolución
xxLxf
33cos3
66
3.3
333cos2)´(:
3cos)(
33
3
2
3
3
23
32
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Quinto Semestre Página 20
Ejercicio:
4444
4
2222
2
33323.33.2)´(:
3cos)(
xxxx
x
senxLsenLxxfSolución
xf
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Derivada de una función trigonométrica tipo cotangente
Ejercicio:
xecxgxfSolución
xgxf
2cos222cot1)´(:
2cot)(
22
Ejercicio:
726726
7
63cos632163cos3637)´(:
63cot)(
xecxxecxxfSolución
xgxf
Ejercicio:
223
2
cos2)´(:
cot)(
xecxxfSolución
xgxf
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013
Quinto Semestre Página 21
Solución:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución:
Ejercicio
Solución: