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La elipseUna seccin cnicaMaterial Didctico
Lic. Andrea Arce
La elipse, una seccin cnica
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La elipse
Desde pocasremotas el hombre
observ el Universo
para comprenderlo,
de esta manera
advirti que estelugar tan complejo,
est regido por
sencillos principios
matemticos.
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La elipse
En la inmensidad dela Va Lctea entrecien mil millones deestrellas, seencuentra una
especial: el Sol centrode nuestro sistema.
La Tierra en su largocamino me muestrauna curva
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La elipse
Mi ojo observa,
Observa ms y
ms paracomprender
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La elipse
Veo matemtica
en todas las
cosas, en las
expresiones delarte
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La elipse
En la
naturaleza
La elipse, una seccin cnica
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La elipse
Su
excentricidad,
le permite
cambiar
La elipse, una seccin cnica
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Entre el 220 y 250 A.C, el
matemtico griego Apolonio
de Perga, escribi un tratado
de ocho libros sobre las
cnicas, dndoles sus
nombres actuales: Parbola,
hiprbola, elipse. Estas
curvas resultan de la
interseccin un plano conuna superficie cnica.
La elipse surge de la
interseccin de un cono
recto con un plano no
paralelo, ni perpendicularal eje del cono
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La elipse, una seccin cnica
Mtodo del
Jardinero
Secciones
cnicas
Elipse
Por sugrfica
Paramtrica
Por suecuacin Representacin
ElementoCannica
Doblez de
papel
Excentridad
Semi
dimetros
Distancia
focalFocos
Vrtices Lado recto
CentroEjes
Directrices
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DefinicinSe denomina elipse al conjunto de puntos de una curva
plana en la que es constante la suma de las distancias
de sus puntos P a dos puntos fijos F y F.
La elipse, una seccin cnica
Designemos a este valor constante2ay a la distancia entre los focos,2c.
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Elementos de la elipse
La elipse, una seccin cnica
Focos:F y F
oDistancia focal
= 2
o
Eje focal: Recta que contiene a los focos.
Centro: O, punto medio deFF Vrtices: A, A, B, B. Puntos de interseccin de la curva con los ejes
coordenados
Lado recto: L1L2. Longitud de la perpendicular al eje focal, trazada porcada foco y limitada por la curva. 12 = 2
2
Ejes
oEje mayor: Segmento del eje focal AA, de longitud igual a 2a.
oEje menor: Segmento BB de la recta normal al eje focal, trazada por el
centro de la elipse, de longitud 2b con b
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Elementos de la elipse
La elipse, una seccin cnica
Excentricidad:Se denota e y es la razn entre la distancia focal
y la longitud del eje mayor. Es una medida del achatamiento de
la curva, cuando menor es la excentricidad, ms redonda es la
elipse. e=
con 0
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Grfico con focos y vrtices
La elipse, una seccin cnica
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Ecuacin cannica de la elipse
Se puedededucir la ecuacin cannica de una elipse con centrocoincidente con el origen de coordenadas y dimetros mayor y
menor coincidentes con los ejes x e y respectivamente.
La elipse, una seccin cnica
Ecuacin cannica de la elipse de ejeprincipal horizontal.
2 2 +
22 = 1
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_9/La%20elipse.%20Deducci%C3%B3n.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_9/La%20elipse.%20Deducci%C3%B3n.doc5/21/2018 Elipse Trabajo Final. Andrea Arce.ppt
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Ecuacin de la elipse de eje principal paralelo al
eje x, desplazada con centro en (,):
La elipse, una seccin cnica
( )2 2 +
( )22 = 1
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Ecuacin cannica de la elipse
de eje principal vertical
La elipse, una seccin cnica
2
2+
2
2= 1
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Ecuaciones Paramtricas
Algunas veces conviene expresar x e y en funcin de
una tercera variable o parmetro. Las dos ecuaciones
que expresan a x e y en funcin de este parmetro, se
denominan ecuaciones paramtricas. Dando valores al
parmetros se obtienen pares de valores
correspondientes de x e y.
La elipse, una seccin cnica
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Ecuaciones Paramtricas
La elipse, una seccin cnica
1
1
1cos
2
2
2
2
22
22
b
y
a
x
b
y
a
x
sen
= =
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Grfico
La elipse se puede graficar a travs de sus
elementos . Pero tambin se puede recurrir a
tcnicas sencillas:
Mtodo del jardinero.
Mtodo de plegado de papel
Elipse en el cubo
La elipse, una seccin cnica
http://www.youtube.com/watch?v=rFn4JHsPFWU&feature=PlayList&p=B726B5D57F34E294&playnext=1&playnext_from=PL&index=65http://www.youtube.com/watch?v=rFn4JHsPFWU&feature=PlayList&p=B726B5D57F34E294&playnext=1&playnext_from=PL&index=655/21/2018 Elipse Trabajo Final. Andrea Arce.ppt
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Mtodo del jardinero
La elipse, una seccin cnica
Fijando los extremos de un hilo, cuya longitud sea 2a, en dos puntos fijos
(focos de la elipse, se dibuja la elipse como muestra la figura
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Mtodo de plegado de papel
1-Dibuja una circunferencia en una hoja de papel.
2- Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida con elcentro).
3- Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferenciacoincida con el punto dibujado.4- Deshaz la doblez.
5- Repite las operaciones 3 y 4 haciendo coincidir otro punto de lacircunferencia.
Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El puntodibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro de la circunferencia.
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Aplicaciones
Variados problemas propios de la matemtica
y de la ingeniera se pueden modelizar a
travs de esta curva.
Aplicacin Ingenieril
Ejercicios de aplicacin.
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http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_9/La%20elipse.%20Aplicaciones%20Andrea%20Arce.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_9/La%20elipse.%20Aplicaciones%20Andrea%20Arce.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_9/La%20elipse.%20Aplicaciones%20Andrea%20Arce.doc5/21/2018 Elipse Trabajo Final. Andrea Arce.ppt
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Construcciones
Un arco de 150 metros de luz tiene forma
semielptica. Sabiendo que su altura mxima
es de 45 m, hallar la altura de dos soportes
situados a ambos lados del centro a unadistancia de 25 m del mismo.
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Resolucin:
b=45
a=75 x
De acuerdo con los datos, la ecuacin de elipse a
utilizar es :
Reemplazando a=75; b=45; x=25 y despejando y se obtiene la
solucin del problema, que es y= 42,4264 metros.
2
2+
2
2= 1
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La elipse
La filosofa est escrita enese grandsimo libro ante los
ojos; quiero decir, el universo,
pero no se puede entender si
antes no se aprende a
entender la lengua, a conocer
los caracteres en los que estescrito. Est escrito en lengua
matemtica y sus caracteres
son tringulos, crculos y otras
figuras geomtricas, sin las
cuales es imposible entender
ni una palabra; sin ellos escomo girar vagamente en un
oscuro laberinto
Galileo Galilei
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Para seguir Estudiando
Libros digitales
Videos
La elipse, una seccin cnica
http://books.google.com.ar/books?id=4bHgbXfpDrkC&pg=PA534&lpg=PA534&dq=ecuaciones+parametricas+de+la+elipse&source=bl&ots=qg81iznV10&sig=h96AhUm-sgbBUV_89u6bX79R-mE&hl=es&ei=_pQYS73fNsiGuAfwtYjrAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CBsQ6AEwBTgUhttp://www.youtube.com/watch?v=tEs2PqtjTS4http://www.youtube.com/watch?v=tEs2PqtjTS4http://books.google.com.ar/books?id=4bHgbXfpDrkC&pg=PA534&lpg=PA534&dq=ecuaciones+parametricas+de+la+elipse&source=bl&ots=qg81iznV10&sig=h96AhUm-sgbBUV_89u6bX79R-mE&hl=es&ei=_pQYS73fNsiGuAfwtYjrAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CBsQ6AEwBTgU