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Crisólogo Dolores Flores Centro de Investigación en Matemática Educativa
Universidad Autónoma de Guerrero
AGRADECIMIENTOS
Manifiesto mi agradecimiento al Fondo Mixto CONACYT- Gobierno del Estado de Guerrero ya
que gracias a los auspicios del el proyecto: GUE-2002-C0-7626, aprobado y financiado por el
Fondo, ha sido posible la publicación de esta obra.
El autor
Chilpancingo Gro. Agosto de 2004
PROLOGO
La enseñanza del Cálculo Diferencial (CD) en el Nivel Medio Superior, en muchos países,
se enfrenta a un problema generalizado: los estudiantes escasamente comprenden sus ideas
básicas, especialmente las relacionadas con la derivada. Las evidencias mostradas en
congresos especializados y la experiencia misma de los profesores de esta asignatura son
coincidentes: al terminar sus cursos de CD cantidades significativas de estudiantes logran un
dominio aceptable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas, pero
difícilmente comprenden el significado de esos procedimientos. Incluso, difícilmente logran
reconocer las ideas asociadas al concepto de derivada en la resolución de problemas
elementales sobre la rapidez de la variación a pesar de que en los problemas de este tipo se
encuentra la esencia de este concepto.
En esta obra se analizan algunas de las causas que están ocasionando estos problemas y en
su parte principal, se plantean algunos elementos para una propuesta para la enseñanza de la
derivada en el bachillerato, estos tiene el propósito de proporcionar a los estudiantes los
elementos necesarios que les ayuden a comprender este concepto. Los elementos están
planteados tomando en cuenta el análisis de varios aspectos, por una parte de un análisis
histórico sobre el origen del concepto de derivada, pues se asume que de ahí se puede
comprender su esencia, y por otra parte, del análisis de los programas, textos, tendencias
acerca de la enseñanza de la derivada y los resultados que los estudiantes obtienen al terminar
sus cursos ordinarios de CD.
En el terreno didáctico y metodológico se fundamentan en la Metodología de la Enseñanza
de la Matemática, en el terreno psicopedagógico en algunos elementos de la Teoría de la
Actividad, aunque incorpora algunas ideas tomadas del enfoque constructivista, que en la
práctica están muy cercanas a las concepciones antes señaladas. En especial se orientan bajo
el enfoque variacional, de modo que los conceptos e ideas básicas del CD se originan del
estudio de la variación y el cambio. Se trata de una introducción intuitiva e informal al
CD cuyo contenido no necesariamente se sujeta a la estructura lógico-formal del
Análisis Matemático, de modo que la derivada no se forma como concepto matemático
abstracto, sino un concepto desarrollado para cuantificar la rapidez de la variación.
En esta obra también se describe una experiencia escolar practicada con estudiantes del
bachillerato con el fin de explorar los alcances de una propuesta. La experiencia se
concretó en la conducción de un curso de CD, en el cual, mediante pruebas pedagógicas
y el análisis cualitativo de las respuestas, se hizo un seguimiento sobre el desarrollo de
algunas concepciones y habilidades desarrolladas por los estudiantes.
Dr. Gustavo Martínez Sierra
Miembro del Cuerpo Académico de Matemática Educativa de la UAG
Centro de Investigación en Matemática Educativa
Universidad Autónoma de Guerrero
I N D I C E
CONTENIDO PAG.
INTRODUCCION 1
CAPITULO 1
GENESIS Y DESARROLLO HISTORICO LA DERIVADA 7
Implicaciones didácticas del análisis histórico 13
CAPITULO 2
LA DERIVADA EN LOS TEXTOS Y LOS PROGRAMAS 15
Conceptos precedentes a la derivada en los textos 15
Relaciones y operaciones precedentes en los textos 17
Tratamiento del concepto de derivada 18
Una visión de conjunto de la derivada en los textos tradicionales 20
La derivada y el Cálculo Diferencial en los programas 21
La reforma curricular actual 24
Relación entre textos y programas 25
La derivada según los programas de otros países 25
Hacia dónde orientar la enseñanza de la derivada 27
CAPITULO 3
TENDENCIAS Y ENFOQUES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA 29
Enfoques que priorizan la estructura del contenido 29
Los enfoques innovadores 32
Orientación de nuestra propuesta 34
CAPITULO 4
ELEMENTOS PARAUNA PROPUESTA 35
Elementos de la Teoría del Conocimiento 36
Elementos sobre la naturaleza variacional de la derivada 37
Elementos psicopedagógicos 40
Elementos didácticos y metodológicos 44
Elementos sobre el enfoque 44
Sobre el objetivo del Cálculo Diferencial 45
Relativo a las líneas directrices 46
Estructura de una propuesta 46
Fase Preparatoria 47
Habilidades a desarrollar 48
Fase de formación del concepto 49
Estrategia metodológica en la formación del concepto 50
Fase de asimilación del concepto 52
CAPITULO 5
UNA EXPERIENCIA ESCOLAR 53
Aspectos básicos de la experiencia escolar 53
Reseña sobre la experiencia escolar 54
Obstáculos detectados en la experiencia escolar 58
SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR 59
Primera evaluación 59
Síntesis sobre os resultados de la primera evaluación 63
Segunda evaluación 63
Síntesis sobre os resultados de la segunda evaluación 68
Tercera evaluación 69
Síntesis sobre os resultados de la tercera evaluación 71
Cuarta evaluación 72
Síntesis sobre os resultados de la cuarta evaluación 75
Síntesis global 76
Examen Pre-post 80
Sobre la situación 1 80
Sobre la situación 2 81
Sobre la situación 3 83
Un análisis comparativo 84
Análisis comparación entre los exámenes parciales y el pre-post 88
CONCLUSIONES 89
BIBLIOGRAFIA 92
ANEXO A 99
1
INTRODUCCION
En diversos sistemas educativos se acepta que la escuela tiene la función social de propiciar que
el hombre se apropie de los conocimientos y desarrolle las habilidades que lo capaciten para
integrarse, en mejores condiciones, a una sociedad cada vez más exigente. Sin embargo, en el
contexto mexicano, estas aspiraciones aún no han alcanzado los niveles de eficiencia deseados.
Es por eso que en México es cada vez más creciente el interés por perfeccionar la educación en
general y la enseñanza de la matemática en particular.
Generalmente, la matemática que se imparte hasta el bachillerato suele denominarse como
Matemática Elemental y la que se imparte en las carreras universitarias como Matemática
Superior. Esta diferenciación obedece fundamentalmente a que en la matemática elemental se
estudian exclusivamente los procesos finitos de cuantificación y en la matemática superior se
estudian además los procesos infinitos. Se asume que la transición de la primera a la segunda
deba concretarse en los dos últimos años del bachillerato, con el estudio del Cálculo Diferencial e
Integral, éste es tema de estudio obligatorio para aquellos estudiantes cuyas aspiraciones son
ingresar a alguna de las carreras universitarias relacionadas con las ciencias, la ingeniería, la
economía o la contabilidad, porque se espera que el curso de cálculo del bachillerato les permitirá
apropiarse de sus elementos básicos y prepararlos para sus estudios universitarios. En la práctica,
esto no suele suceder así, pues en el primer año de la universidad el curso de cálculo se vuelve a
repetir casi en los mismos términos que como se proyectó en el bachillerato, a pesar de que en la
universidad se pretende ampliar y profundizar sobre este tema.
Según reportes de varios investigadores, son generalizados los resultados que se obtienen después
de haber cursado Cálculo Diferencial (CD) en México y en varias partes del mundo: dominio
razonable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas, dificultades
significativas en la conceptualización de los procesos subyacentes al límite en la noción de
derivada (Sierpinska 1985, Wenzelburger 1993, Artigue 1991, Vinner 1992) y dificultades
mayores en la resolución de problemas de aplicación del concepto de derivada. Cantidades
significativas de estudiantes sólo pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante
fórmulas, pero difícilmente comprenden el significado de los algoritmos que realizan, inclusive,
difícilmente logran asociar las ideas claves del cálculo en la resolución de problemas elementales
sobre la variación, a pesar de que históricamente del estudio de estos últimos se generaron las
ideas que le dieron origen.
Las causas atribuidas a esta problemática están relacionadas, fundamentalmente, con la
planificación y ejecución del proceso de enseñanza del CD y con los procesos de asimilación de
sus conceptos básicos. De entre los primeros se puede constatar que los programas (los que se
utilizan en el Estado de Guerrero) generalmente están estructurados de una abundante cantidad
decontenidos que no obedecen a una sistematización en términos de los objetivos y los métodos
de enseñanza, incluso existen programas que solo consisten de un listado de contenidos, la
organización de los contenidos está influenciada por la estructura formal del Análisis Matemático
por lo que predomina en ellos un enfoque abstracto con muy escasa relación con los fenómenos
de la variación física, las orientaciones metodológicas son prácticamente inexistentes y
escasamente aportan elementos para evaluar el rendimiento de los estudiantes. Al parecer, esta
problemática no es exclusiva del Estado de Guerrero sino que es extendible a muchos otros
2
países, un estudio realizado al currículo de Matemáticas del Nivel Medio a 22 países de
Iberoamérica, incluido México, por investigadores del Programa IBERCIMA así lo confirma:
Hemos constatado que la mayoría de los currículos están concebidos de manera restringida. Frente a la
concepción amplia del currículo como proyecto que indica de modo coherente qué, cómo y cuándo
enseñar y qué, cómo y cuándo evaluar, la mayoría de los currículos analizados consisten en un listado de
temas precedidos por objetivos didácticos y completados, en el mejor de los casos, con sugerencias
metodológicas muy puntuales. Existe una ausencia casi generalizada de los elementos que configuran un
auténtico currículo: Fundamentación, Objetivos Didácticos, Contenidos de Aprendizaje, Orientaciones
Didácticas y Procedimientos de Evaluación.
Análisis comparado del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica; pp. 162.
De entre las causas más cercanas a los procesos de ejecución se sabe que, en nuestro medio,
existe deficiencia generalizada en el nivel de partida de los estudiantes al iniciar los cursos de
CD, la mayoría de las veces los programas no son vistos cabalmente en el tiempo destinado para
ello, se usa excesivamente el método expositivo en la enseñanza, poco se utilizan los métodos
participativos, prácticamente no se utilizan los medios electrónicos, etc. En la práctica, las
introducciones a la derivada en nuestra región frecuentemente la presentan priorizando sólo la
regla de los cuatro pasos, minimizando su significado geométrico y prácticamente reduciendo a
cero su relación con la variación física. A todo esto habrá que agregar que no existen textos de
cálculo apropiados a las condiciones de nuestros estudiantes, de hecho en el mercado existen
decenas de ellos pero la mayoría fueron pensados para otras condiciones.
Varias de las causas cercanas a los procesos de asimilación se han encontrado en el terreno
epistemológico ligadas principalmente a las dificultades en la asimilación del conocimiento. A
este respecto, desde mediados de la década de los 70’s, en la enseñanza de las ciencias mucho se
ha escrito sobre las preconcepciones (Gil y De Guzmán 1993), sobre las imágenes conceptuales
(Tall y Vinner 1981) y los obstáculos epistemológicos (Sierpinska A. 1985). La mayoría de los
investigadores señalan que las preconcepciones se forman en los estudiantes a través de su
experiencia cotidiana, incluyendo, tanto sus experiencias físicas como sociales, constituyéndose
como un conocimiento precientífico fuertemente arraigado. Se caracterizan básicamente porque:
tienen cierta coherencia interna (de ahí que algunos los llamen esquemas conceptuales y no de
simples preconcepciones aisladas), son comunes a estudiantes de diferentes medios y edades,
presentan cierta semejanza con concepciones que estuvieron vigentes a lo largo de la historia del
pensamiento y, son persistentes, pues no se modifican mediante la enseñanza habitual, incluso
reiterada. Particularmente A. Sierpinska considera que si son producto de ciertas actitudes,
creencias y convicciones y además, si estuvieron presentes en varias personas o en toda una
cultura en algún periodo de la historia, entonces pueden conducir a obstáculos epistemológicos.
Una de las dificultades en la formación del concepto de derivada por la vía geométrica (Cantoral
1983, Dolores C. 1988) es la concepción griega de tangente formada en los estudiantes en la
escuela primaria, ya que puede obstaculizar el paso de una concepción global (propia de la
Geometría Euclidiana) a una concepción local (propiedad fundamental del cálculo), puede
dificultar la aceptación de que la recta (además de tocar) pueda cortar a la curva y ser tangente
en la zona del corte. El carácter estático de su determinación en la Geometría Euclidiana (pues es
dada como un lugar geométrico) también puede dificultar el arribo a una concepción dinámica
(sucesión de secantes). Más difíciles de franquear son aún las barreras que se desprenden de las
consideraciones de la derivada como un límite, en Orton A. (1977) se han obtenido evidencias de
lo difícil que es comprender para los estudiantes de que por medio de una sucesión de secantes se
3
obtenga realmente la tangente. A partir del estudio de los obstáculos epistemológicos, en el plano
histórico y con grupos pequeños de estudiantes, en Sierpinska A. (1985) se señala que los
estudiantes manifiestan cierta tendencia a evadir los procesos infinitos, son proclives a rechazar
el paso al límite como una nueva operación matemática, consideran el límite sólo como una
aproximación, presentan serios obstáculos con el manejo de la simbología matemática utilizada
para su representación, consideran que el límite se obtiene simplemente evaluando la función en
el punto deseado, etc.
Múltiples son las barreras que dificultan la asimilación de los conceptos del CD, sin embargo su
persistencia en la mente de los estudiantes puede también ser consecuencia de una inadecuada
dirección del proceso de su enseñanza, ésta no puede ignorar tales dificultades sino tomarlas en
cuenta para explotarlas didácticamente y sacar provecho de ellas.
Los conceptos del CD están estrechamente relacionados con las ideas de la variación, estas ideas
quedan escondidas en las introducciones rigurosas (formales) al cálculo. El empeño de los
programas, de los profesores, e incluso de los textos mismos, por presentarlo como un cuerpo de
conocimientos lógicamente estructurado deja de lado la esencia de sus conceptos básicos
relacionada con los fenómenos de la variación física. Dirigir el proceso de enseñanza del CD
mediante introducciones no formales que desarrollen ideas sobre la variación, que recuperen los
métodos infinitesimalistas que les dieron origen y que consideren las barreras que obstaculizan la
asimilación de sus conceptos, pueden crear las condiciones para que los estudiantes del
bachillerato comprendan sus conceptos básicos. Todas las consideraciones anteriores nos han
inducido a adoptar como objeto de investigación en este trabajo, al proceso de enseñanza de la
matemática del Nivel Medio Superior y como materia de investigación, el aporte de elementos
que posibiliten la comprensión de los conceptos centrales del CD en particular el de la derivada.
Desde principios de la década de los años 70, a partir de algunos trabajos en donde se revisan la
historia de las ideas matemáticas (Boyer 1968, Edwards 1979), varios investigadores han
sugerido priorizar el aspecto conceptual en la enseñanza del cálculo (Cantoral 1983). Estas ideas
influyeron en algunos grupos de profesores mexicanos del Nivel Medio Superior, de manera que
en la enseñanza del CD, la interpretación geométrica de la derivada como pendiente de tangentes
se le empezó a dar mayor importancia, pues se asumía que podía ayudar a los estudiantes a
comprender este concepto. Incluso los acercamientos al límite por medio de los y se fueron
relegando cada vez más y en su lugar se propuso el uso de los infinitesimales (Cordero F. 1983;
Imaz C., y otros, 1984) a efecto de recuperar las ideas intuitivas que históricamente dieron origen
al CD y así aportar más elementos para la comprensión de sus conceptos básicos.
En realidad el acercamiento geométrico a la derivada incorpora las nociones básicas de la línea de
trabajo iniciada por los griegos de la antigüedad, continuada por Descartes, Fermat, Barrow
(entre otros) y culminada por Leibniz, considerado uno de los creadores del cálculo. Aunque
también por otro lado, el cálculo recibió fuertes impulsos a partir de las exigencias de la práctica,
particularmente del campo de la mecánica, en la que tenía particular interés el estudio de los
fenómenos de la variación. Esta fue la línea de trabajo iniciada por Galileo, continuada
principalmente por Torricelli, Roverbal y culminada por Newton, considerado como el otro de los
creadores de los principios del Análisis.
En la mecánica newtoniana la idea de razón de cambio es la pieza clave para cuantificar la
variación relativa y constituye la idea germinal de nuestro actual concepto de derivada. La
4
cuantificación precisa de la variación física se logra por medio de la razón de cambio instantánea,
en ésta se encuentra la esencia del concepto de derivada. Los recursos como la razón de cambio
promedio e instantánea, que permiten saber cuánto cambia una variable respecto de otra, pueden
ser utilizados en la enseñanza para ayudar a los estudiantes a comprender la esencia del concepto
de derivada y su verdadera relación que tiene con los problemas de la realidad. Este enfoque, en
el terreno didáctico ha sido poco explorado, incluso omitido en las introducciones tradicionales al
CD, esta es una de las causas por la que los estudiantes no comprenden las ideas básicas del CD.
Por tales razones el problema nodal que motiva a esta investigación consiste en que: con los
cursos tradicionales de Cálculo Diferencial en el bachillerato, los alumnos no logran comprender
las ideas básicas asociadas a sus conceptos fundamentales, en especial las de la derivada. Este es
el problema que se aborda en este trabajo y mediante una propuesta alternativa se pretende
contribuir a su solución.
Del problema planteado se deriva el objetivo general de este trabajo consistente en, aportar los
elementos fundamentales que puedan constituirse en una alternativa didáctica para el tratamiento
del Cálculo Diferencial en el bachillerato. Tales elementos pueden posibilitar que los estudiantes
comprendan los conceptos fundamentales del CD a través de la formación y desarrollo del
pensamiento y lenguaje variacional. El logro de este objetivo presupone dar respuesta a las
siguientes cuestiones:
¿Cómo se originó el concepto de derivada y qué relación guarda su esencia con los
problemas de la variación física?
¿Cuáles son las causas atribuibles a los textos y programas que pueden estar incidiendo en
la escasa comprensión de las ideas básicas del cálculo y en particular de la derivada?
¿Cuáles son las tendencias existentes acerca de la enseñanza de la derivada, cómo se
manifiestan y cuáles han sido sus aciertos y limitaciones?
¿Bajo qué criterios puede elaborarse una propuesta de modo que posibilite la
comprensión de las ideas básicas del cálculo, en particular de la derivada, y cómo puede
concretarse en la práctica?
¿Posibilita la propuesta didáctica la comprensión de las ideas antes enunciadas en los
estudiantes del bachillerato mexicano?
Para dar respuesta a las preguntas anteriores fue necesario realizar las siguientes tareas de
investigación:
Revisión bibliográfica y estudio de la literatura científica, pedagógica y didáctica,
relacionada con la enseñanza de la derivada en el nivel preuniversitario.
Análisis histórico-lógico sobre la génesis y desarrollo de las principales ideas que fueron
conformando lo que actualmente en la matemática se le conoce como derivada de una
función.
Análisis de textos y programas oficiales del preuniversitario, atendiendo particularmente
lo relacionado con la enseñanza de la derivada y el CD.
5
Caracterización de tendencias y enfoques acerca de la enseñanza de la derivada y la
influencia que han tenido en el preuniversitario.
Elaboración de la propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada en el bachillerato a
partir del estudio de fenómenos de variación.
Planificación, ejecución y análisis de los resultados de una experiencia pedagógica con
estudiantes de bachillerato con la cual se evaluaron los alcances de la propuesta.
En la selección de los métodos se consideraron el carácter de la investigación, sus objetivos y
tareas planteadas para su realización. En virtud de que este trabajo es de corte teórico-
experimental se utilizaron algunos elementos básicos de los métodos teóricos y empíricos. En el
análisis de la bibliografía científica, pedagógica y didáctica, se utilizaron los métodos teóricos
siguientes:
Métodos histórico-lógicos empleados para analizar el origen y desarrollo del concepto de
derivada, tanto en el plano de la ciencia matemática, como en la trayectoria que han
seguido los diferentes tratamientos didácticos hasta llegar a los enfoques innovadores.
Métodos de análisis y síntesis que fueron empleados en la caracterización general de las
tendencias y lo particular que se refleja en los enfoques sobre la enseñanza de la derivada.
Con el fin de evaluar los alcances y factibilidad de la propuesta se llevó a cabo una experiencia
pedagógica de constatación, ésta se concretó en un curso de CD con 32 estudiantes del
bachillerato mexicano. En esta experiencia se incorporaron elementos de los experimentos
formativos y de los experimentos pedagógicos. Los primeros fueron la base para explorar
cualidades de los conocimientos desarrollados por los estudiantes y los segundos fueron el apoyo
para someter a prueba la efectividad de la propuesta. Con la experiencia pedagógica se trata de
formar los conceptos básicos del CD, en especial la derivada, a partir del desarrollo de las ideas
sobre la variación. Para explorar los cambios que se producen en los estudiantes en relación con
el desarrollo las ideas variacionales y la comprensión de la derivada, la experiencia fue realizada
con el mismo grupo. Al inicio del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los
estudiantes participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta son
evaluados al final de modo que permitieron la comparación con el estado inicial. En la
experiencia fueron utilizados algunos métodos empíricos de investigación como la pruebas de
diagnóstico y la pruebas pedagógicas, las primeras fueron aplicadas para explorar lo que una
población de estudiantes dominan al terminar sus cursos ordinarios de CD y al iniciar estudios
universitarios, las segundas fueron utilizadas como exámenes para explorar el desarrollo de ideas,
conceptos y habilidades básicas del CD, logrado por los estudiantes en la experiencia pedagógica.
Lo novedoso que este trabajo es el aporte de elementos para la enseñanza de la derivada en el
bachillerato que rompen con la estructura tradicional de los cursos de CD. En este sentido se
propone una estructuración del contenido a partir de los requerimientos desprendidos de la
resolución de los problemas de la variación física, mientras que en los cursos tradicionales la
organización del contenido está determinado por la forma de como se le estructura en el Análisis
Matemático. La propuesta se orienta hacia el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional
6
como medio para la comprensión de los conceptos básicos del CD, mientras que los cursos
tradicionales enfatizan la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje de algoritmos.
En el mercado encontramos escasez de textos y materiales didácticos con este enfoque, en virtud
de ello elaboramos una especie de apuntes en donde se concretan sus aspectos fundamentales.
Estos apuntes fueron enriquecidos y reestructurados, de manera que cobraron forma en el libro:
Una introducción a la derivada a través de la variación: obra publicada por primera vez en el año
de 1999 por el Grupo Editorial Iberoamérica. Por otra parte en este trabajo se aportan algunos
resultados obtenidos a lo largo de un curso en donde se puso en práctica la propuesta,
particularmente novedosos en el medio pueden ser los resultados sobre la relación entre el
desarrollo de algunas ideas de la variación y la comprensión de la derivada.
Actualmente en México, varios subsistemas de Educación Media Superior están interesados en
mejorar la calidad de la educación que imparten, por tal razón están reformando y actualizando
sus Planes y Programas de Estudio e incluso empiezan a fomentar la escritura de materiales
didácticos de apoyo. En cuanto a la enseñanza del CD se refiere, son aún muy escasas las
investigaciones que se atreven a proponer cambios a la práctica educativa a partir de propuestas
sistemáticas, en realidad la mayoría de los cambios que se introducen no son más que producto de
la experiencia de los profesores. Nuestra propuesta puede ser una alternativa que aligere esta
escasez. De ahí la importancia de este trabajo.
Este trabajo tiene una gran significación práctica, porque está pensada para incidir en la práctica
educativa. En este sentido, la propuesta alternativa de la cual se ocupa este trabajo, puede ser una
opción para ser utilizada en los cursos ordinarios de CD guiándose en el libro referido párrafos
antes, ya que en él se preserva lo esencial de los requerimientos generales de los programas de
estudio de los subsistemas de Educación Media Superior existentes en México. La propuesta
brinda una visión más sintética del CD y con mayor factibilidad de aplicación en las condiciones
en que se da la enseñanza de la matemática en el medio. Puede ser utilizada en los cursos de o en
seminarios dirigidos a profesores de matemáticas o incluso estudiantes, como un modelo para el
tratamiento de los conceptos del CD en el bachillerato. Por otro lado, el origen mismo de los
conceptos del cálculo está estrechamente relacionado con la práctica, las ideas el cálculo en la
propuesta son desarrolladas a través de su significado práctico relacionado con la variación. Este
enfoque puede ayudar a los estudiantes a entender y resolver problemas de la vida diaria o de las
ciencias.
Finalmente esta obra está estructurada de cinco capítulos. En el primer capítulo se analiza la
génesis y el desarrollo histórico del concepto de derivada. En el segundo se describe la forma de
cómo en los textos y programas de estudio se propone su tratamiento didáctico. En el tercero se
analizan las tendencias y enfoques más importantes sobre su enseñanza. En el cuarto capítulo se
aportan varios elementos para una propuesta de tratamiento de la derivada desde su perspectiva
variacional. En el quinto capítulo se habla sobre la planificación, ejecución y valoración de una
experiencia escolar, en la que se puso en práctica lo esencial de los elementos constitutivos de
una propuesta.
7
CAPITULO 1
GÉNESIS Y DESARROLLO HISTORICO DE LA DERIVADA
Los antecedentes del Cálculo Infinitesimal están relacionados con el cálculo de áreas y la
construcción de tangentes a las curvas. Los antecedentes históricos del concepto de derivada están
ligados al problema de las tangentes, éste fue estudiado por los griegos de la antigüedad clásica
(siglo VI-II A. N. E.) ya en el Libro III de los Elementos de Euclides (365-265 A. N. E.) se define
la tangente al círculo como la recta que lo toca y al prolongarla no lo corta y a partir de esta
definición se deduce un procedimiento geométrico para su trazo. Con el descubrimiento de las
cónicas, los geómetras griegos (en especial Apolonio de Pérgamo, 287-212 A. N. E.) idearon
métodos particulares para el trazo de sus tangentes basándose solamente en las propiedades
geométricas de estas curvas. Con la transición de la Matemática de las Constantes a la
Matemática de las Variables (Kolmogorov A., Laurentiev A. y otros 1985), el desarrollo de la
Matemática da un salto cualitativamente superior, pues el movimiento como propiedad esencial
de la materia es incorporado a la matemática en forma de variables, trascendiéndose así
concepciones estáticas acerca de la naturaleza y del universo. Este viraje en el desarrollo de la
matemática posibilitó soluciones más generales al problema de las tangentes.
La introducción de las magnitudes variables no fue, por supuesto, producto del libre juego de la
mente humana, sino que respondió a la necesidad de resolver problemas concretos derivados del
desarrollo de las fuerzas productivas, que en el siglo XVI y XVII determinaron la caída del
feudalismo y el nacimiento del capitalismo. Según señala Hessen, muchos problemas originados
del desarrollo del capital comercial, de la navegación marítima y de la industria pesada, fueron
abordados en el campo de la mecánica y otros subcampos de ésta. Varios científicos trabajaron en
la resolución de los múltiples problemas planteados propiciando el descubrimiento de varias de
las leyes generales de la naturaleza y su modelación mediante fórmulas matemáticas. Especial
relevancia tuvieron, por un lado, los trabajos de Kepler quien la primera mitad del siglo XVI
descubrió y formuló matemáticamente sus famosas leyes sobre el movimiento de los planetas, y
por otro lado los trabajos de Galileo, quien entre los años de 1632 y 1638 obtuvo la expresión
matemática de la caída libre de los cuerpos. A partir de estos trabajos (entre otros), las ideas de
variación y cambio como abstracciones obtenidas de la realidad, se van desarrollando y son
introducidas por Descartes en su Geometría como magnitudes variables definiéndolas en forma
dual: como coordenada variable de un punto que se mueve a lo largo de una curva y en la forma
de un elemento variable del conjunto de números. Sobre esta base las cónicas de Apolonio son
interpretadas por medio de ecuaciones algebraicas las cuales expresan, a su vez, relaciones entre
las variables x y las y (la noción de función), trascendiendo así la idea de incógnita propia del
Algebra y poniendo en su lugar la idea de variable propia del Análisis Matemático.
El auge que habían cobrado las Ciencias Naturales, la introducción de la Geometría Analítica y
las propias exigencias de la mecánica en el siglo XVII propiciaron nuevas soluciones que
relacionaron al problema de las tangentes con los fenómenos de la variación. Principalmente tres
problemas relativos a la variación eran acuciantes: determinar la velocidad de los cuerpos en
movimiento, dada la velocidad del movimiento determinar la trayectoria en un tiempo dado, y el
problema de los máximos y mínimos. De las soluciones destaca la aportada por Roverbal en
1640, la cual sigue la línea sugerida por Galileo y Torricelli, su idea fue considerar una curva
8
como la trayectoria de un punto en movimiento y la tangente como la recta de movimiento
instantáneo del punto en movimiento. Si el movimiento del punto que genera a la curva es la
resultante de dos movimientos suficientemente simples (ver figura 1), entonces la línea
instantánea de movimiento puede ser
determinada por la composición de los movimientos constituyentes por medio de la ley del
paralelogramo para la suma de los vectores (bien conocida en esa época). Bajo estas condiciones
el vector de la velocidad instantánea es la resultante del paralelogramo de vectores de las
velocidades instantáneas de los dos movimientos componentes. La dirección del vector resultante
coincide con la tangente y por tanto determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto
en cuestión. Este método era restringido sólo para aquéllas curvas cuya trayectoria podía ser
determinada por medio de componentes y trasladaba el problema a otro análogo, cómo calcular la
velocidad instantánea de los movimientos componentes, cuando esto era resuelto por medios
de la física el problema estaba resuelto, sin embargo esto no siempre era posible para
movimientos más complejos. A pesar de su importancia, el método cinemático era muy incómodo
ya que partía de las particularidades de las curvas y por eso no era suficientemente algorítmico, en
cambio el método de Descartes1 dado a conocer desde 1637, para la determinación de tangentes y
normales representaba mayores perspectivas. En este método se considera una curva f(x) y un
círculo con centro C(v, 0) y radio r = CQ, como se ilustra en la figura 2, en general una curva y
un círculo pueden cortarse en dos puntos, digamos P y Q, sin embargo si CQ es la normal a la
curva en Q entonces P = Q y por tanto Q puede ser un punto doble de contacto entre la curva y el
círculo.
Figura 2
El método del círculo
Asumiendo que [f(x)]2 es un polinomio entonces mediante la ecuación
1Conocido como Método del Círculo y contenido en su 2o. libro de La Geometría, la versión aquí expuesta se obtuvo
del libro The Historical Development of the Calculus de Edwards C.; Springer-Verlag, USA, pp. 126, 1979.
Figura 1 Trayectoria de una partícula material arrojada con cierta velocidad horizontal. (Lanzamiento parabólico).
vx = v0 vy = -gt
v0 x
y
y = f (x)
P
Q
P r
x C (v, 0) x
y
9
[ ( )] ( )f x v x r2 2 2
(con v y r y fijos) se obtiene la coordenada x de Q como una raíz doble, Descartes imponía esta
condición a la ecuación anterior escribiendo
[ ( )] ( ) ( )f x v x r x e c xi
i2 2 2 2
Por medio de la comparación de los coeficientes de los polinomios que de aquí se obtienen, se
resuelve el sistema de ecuaciones para v en términos de la raíz e = x, de modo que la pendiente
m de la tangente en Q se obtiene del cociente (v-x)/f(x). Este método es más generalizador que
los anteriores, pues era aplicable a aquellas curvas cuyas ecuaciones al elevarlas al cuadrado
daban un polinomio y este universo de curvas era relativamente considerable. En virtud de que la
búsqueda de coeficientes de polinomios con raíces dobles se complicaba en los casos en que las
curvas daban lugar a polinomios de cuarto grado o más, en la década de los años de 1650 los
matemáticos holandeses Hudde y Sluse idearon algoritmos más eficaces para el cálculo de
pendientes de tangentes a partir del método de Descartes. En 1638 el francés Pierre Fermat, en su
obra Método para hallar Máximos y Mínimos, propone una solución novedosa para el problema
de las tangentes utilizando ideas muy cercanas a las infinitesimales. Su método2 considera un
pequeño arco MN (ver figura 3) de una curva algebraica polinomial f(x), por medio del trazado
Figura 3
de la secante SMN se construye el triángulo MNP de manera que MNP MRS, de donde la
longitud de la subtangente SR está dada por:
SRMR.MP
PN
Expresión que en términos modernos se escribiría:
SR
f x h
f x h f x
( ).
( ) ( )
Después Fermat pasa de la secante a la tangente, poniendo h = 0 (aunque no menciona que h
debe aproximarse a cero o que se haga cero), de manera que si s = SR en términos modernos la
expresión anterior quedaría escrita como: s = f(x) / f’(x). Esto significa que la longitud de la
subtangente (con la que la tangente queda determinada) se obtiene del cociente de la función entre
su derivada. Siguiendo un camino parecido y utilizando explícitamente los infinitesimales en la
resolución del problema de las tangentes, Isaac Barrow publica en 1670 (conocida en Cambridge
2Esta versión fue obtenida de Ríbnikov K.; Historia de las Matemáticas; Mir, Moscú; pp. 185, 1987.
x R S
M P
R
N
y
10
desde 1664) un procedimiento en su obra Lecciones de Geometría, éste consistía en considerar de
una curva definida implícitamente por f(x, y) = 0 un arco infinitamente pequeño MN (ver figura
4) de coordenadas M(x, y) y N (x+e, y+a) en donde e y a son incrementos infinitesimales de x
y de y, respectivamente, de modo que se cumpliera:
f (x+e, y+a) = f (x, y)3
en la que al resolverla desprecia todos los términos que contienen potencias de e, de a o
productos de éstos. Finalmente, considerando como iguales el arco infinitamente pequeño y el
Figura 4
segmento de recta MN, aplica la semejanza entre los triángulos TQM y el triángulo
característico MNR y obtiene la pendiente m de la tangente en M a partir de la expresión y/s =
a/e de donde m = a/e. Como a y e son en realidad los diferenciales de y y de x,
respectivamente, su cociente es igual a una nueva función que en lenguaje moderno puede
escribirse mediante la expresión dy/dx =f’(x). Esta denota precisamente a la derivada como
cociente de diferenciales.
La abundancia de métodos para resolver el problema de las tangentes fue preparando el terreno
para que se le dieran respuestas más generalizadas a los problemas de la variación física, las
soluciones en este sentido fueron dadas por Isaac Newton en su Método de las Fluxiones (1665-
1666). En esta obra se estudian las magnitudes variables que representaban diversas formas de
movimiento mecánico continuo4, a las magnitudes que varían continuamente les llamó fluentes y
las consideró como variables dependientes del tiempo, después introduce las velocidades de las
fluentes que las denominó como fluxiones, para calcular las fluxiones les imponía a las fluentes la
condición de una variación infinitesimal y las representaba por e , en términos actuales
éstas son las derivadas de x e y con respecto a t, esto es:
= dt
dx
y
3Esta expresión era utilizada por Barrow en el mismo sentido que Fermat, como una pseudoigualdad. Es decir
asumían que en una zona infinitamente cercana a M, f(x, y) y f(x+e, y+a) son prácticamente iguales, aunque en el
sentido estricto la igualdad la obtenían al deshacerse de los infinitesimales de mayor orden. 4Esta condición de continuidad no era entendida por Newton como actualmente se entiende en la Matemática, sino
como una relación ininterrumpida entre dos magnitudes relacionadas entre sí, pues muchos fenómenos físicos son
continuos o a lo más tienen un número finito de discontinuidades.
R
N
M
e
a
R
y
Q T s x
y
0
R
11
= dt
dy
La razón entre ellas es la derivada de y con respecto a x,
= dx
dy
Con las fluxiones, Newton generaliza el método iniciado por Galileo y Roverbal (aunque
probablemente estos trabajos le fueron desconocidos) pues este último sólo era aplicable a
movimientos que determinaban curvas con ciertas particularidades, en cambio el método de las
fluxiones era aplicable a un universo más amplio de curvas y presentaba la gran ventaja de ser
más algorítmico. Las fluxiones o velocidades de las fluentes son en realidad razones de cambio
instantáneas, pues expresan la rapidez con que cambia una variable respecto a otra en un instante;
esta es la idea física fundamental que subyace en el actual concepto de derivada, idea que se
encuentra escondida detrás de las definiciones formales dadas por los textos de cálculo actuales.
En la cuantificación de la rapidez de la variación se encuentra el germen que posteriormente se
convertiría en derivada, así que para comprender la esencia de este concepto habrá que recuperar
las ideas subyacentes en las fluxiones. También el concepto de fluxión es asociado por Newton
con el problema de las tangentes, éstas son concebidas de manera muy similar a las ideas
desarrolladas por Roverbal y sus predecesores, pues considera una curva f(x, y) = 0 como el
lugar geométrico determinado por la intersección de dos rectas en movimiento, una vertical y la
otra horizontal, las coordenadas x e y del punto en movimiento son funciones del tiempo t y
están representadas por las rectas horizontal y vertical, respectivamente (ver figura 5).
El movimiento es entonces la composición del movimiento horizontal cuya velocidad está
representada por el módulo del vector de x y la del movimiento vertical por el módulo del vector
y, por medio de la ley del paralelogramo se obtiene el vector resultante cuya dirección determina
la tangente a la curva y que tiene como pendiente: /
La acumulación de una abundante cantidad de descubrimientos sobre los problemas derivados de
la mecánica y sus repercusiones sobre los problemas de las tangentes, las áreas y volúmenes (en
los que cobraba cada vez mayor auge el uso de los infinitesimales), propició que el centro de
atención pasara entonces, de los esfuerzos por resolver problemas independientes al método
mismo. En este empeño Newton resuelve los dos problemas fundamentales de la mecánica: la
determinación de la velocidad del movimiento en un momento dado según el camino dado, y,
dada la velocidad de un movimiento determinar el camino recorrido en un tiempo dado. El primer
problema representa el caso general de la diferenciación implícita de funciones y la obtención de
la ecuación diferencial correspondiente, el segundo se refiere al problema de la integración de
ecuaciones diferenciales presentado en su forma más general. Casi al mismo tiempo G. W.
Leibniz llega a resultados similares en 1684, explorando la vía geométrica obtiene un método
x
y f ( x, y)
Figura 5
12
general para la resolución del problema de las tangentes y la determinación de áreas y volúmenes.
Dos problemas aparentemente independientes son resueltos mediante algoritmos generales que
constituyeron las bases del Cálculo Infinitesimal, dentro del naciente cálculo la derivada es
considerada como velocidad instantánea en el cálculo de Newton y como cociente de
diferenciales en el cálculo de Leibniz.
El impacto de la efectividad del Cálculo Infinitesimal fue tan grande que en casi todo el siglo
XVIII los matemáticos se dedicaron a explorar sus aplicaciones a la mecánica obteniendo
resultados muy importantes en el cálculo variacional, en la astronomía, en la hidrodinámica, etc..
No obstante, ya desde 1737 en El Analista o Discurso dirigido a un matemático infiel el inglés
Berkeley lo criticaba por la imprecisión de sus fundamentos, particularmente criticaba la
vaguedad de los infinitesimales haciendo notar que se trabaja con incrementos pequeños, que en
principio son considerados diferentes de cero con el objeto de dividir por ellos pero al final se les
considera iguales a cero para poderse liberar de ellos. Pero el poderío del cálculo era mucho más
atrayente, de manera que pocos matemáticos se interesaron por esclarecer los problemas del rigor.
No fue sino hasta finales del siglo XVIII, que por diversas razones (principalmente porque
matemáticos prominentes consideraban agotados los métodos del siglo XVIII para un ulterior
desarrollo de la matemática) empezaron a buscar una fundamentación rigurosa del cálculo y ésta
empezó por la reflexión acerca de su concepto más endeble: el concepto de infinitesimal. Ya en
sus tiempos, Newton contestó a las críticas de Berkeley aduciendo que las fluxiones se obtienen
de las últimas razones, éstas son los límites a los cuales siempre convergen las razones de
cantidades que siempre decrecen ilimitadamente antes de que éstas se anulen. Ya desde estas
reflexiones la idea de límite hace sentir su importancia, pero ni Newton ni los matemáticos del
siglo XVIII inventaron un lenguaje algebraico que hiciera posible su utilización en las
demostraciones referentes a los límites. Los pasos en firme en la reconstrucción de los
fundamentos del Análisis Matemático, sobre la base de la teoría de los límites, fueron dados por
Cauchy en 1820 a través del lenguaje algebraico de las desigualdades. Con esta reconstrucción se
introducen definiciones sólidas sobre la convergencia de series, el límite, la continuidad y la
diferenciabilidad. Estos son los temas que en esencia manejan los libros usuales de cálculo, en
este contexto la derivada es un límite especial:
f x limf x x f x
xx' ( )
( ) ( )
0
siempre que este límite exista.
Con el perfeccionamiento del concepto del límite, definido en términos de los y , la
construcción de la teoría de los números reales, de la teoría de conjuntos y el desarrollo de la
teoría de las funciones, se le da al Análisis Matemático una estructura lógica coherente. En esta
estructura los conceptos básicos son definidos rigurosamente partiendo de los números reales y
las funciones, en virtud de que la derivada es definida como un límite especial existente sólo para
funciones continuas, se definen la continuidad y el límite previamente, la continuidad es definida
en términos del límite y éste a su vez es definido por medio de los y .
En resumen, en el desarrollo histórico del concepto de derivada se distinguen esencialmente tres
periodos: el de sus antecedentes geométricos, su periodo embrionario y el de su consolidación. En
el primero, sus antecedentes geométricos están estrechamente ligados al problema de las
13
tangentes, este problema es estudiado desde el periodo de la Matemática de las Constantes y
predominaron en él los métodos griegos de trazo de tangentes a la cónicas e incluso a la espiral de
Arquímedes, los griegos no vieron la necesidad de ir más allá de estos hallazgos pues satisfacían
enteramente los requerimientos de su geometría. El segundo periodo tiene lugar en la segunda
mitad del siglo XVII y casi todo el siglo XVIII, en este periodo embrionario de su desarrollo, el
concepto de derivada se origina del estudio de los problemas de la variación a través de los
métodos infinitesimales, en el Calculus de Newton aparece como velocidad instantánea y en el
Cálculo de los Diferenciales de Leibniz como cociente de diferenciales. En el tercer periodo, el
de su consolidación, se le considera como un concepto abstracto definido en términos del límite e
inserto en una estructura coherente determinada por el rigor matemático, así es como ha llegado a
la actualidad y así es como generalmente ha sido introducido a las escuelas con fines educativos.
Implicaciones didácticas del análisis histórico
En el análisis histórico anterior, se ha puesto de manifiesto que para llegar a lo que actualmente se
conoce como derivada, tuvieron que transcurrir varios siglos de desarrollo de las ideas
matemáticas relacionadas con las tangentes, con la variación y con los infinitesimales, para que se
formalizara una definición rigurosa en términos del límite. Antes de que se crease esta definición
y se enmarcase en una adecuada estructura deductiva del Análisis Matemático, no solamente se
había extendido y aplicado con mucho éxito el cálculo de Newton y Leibniz, sino que sobre sus
nociones fundamentales se habían desarrollado nuevos campos dentro de la matemática. ¿Cómo
fue que se lograron estos avances? Morris Kline da algunas explicaciones al respecto:
... en gran parte se debieron a que los matemáticos pensaron intuitivamente, a que usaron frecuentemente
los argumentos físicos. ...los esquemas geométricos y las generalizaciones a las que llegaron fueron
apoyadas en casos particulares conocidos que les permitieron llegar a conclusiones correctas. ..durante los
siglos en que se edificó el cálculo no había aún un desarrollo lógico que hiciera consistente sus
fundamentos, aparentemente la intuición de los matemáticos de ésa época fue más poderosa que su lógica.
Kline M.; El fracaso de la Matemática Moderna. Por qué Juanito no sabe sumar; pp. 47.
Así pues, el desarrollo histórico de las ideas matemáticas sugieren un camino que pudiera ser
explorado en la enseñanza, para que una persona alcance el nivel de pensamiento que alcanzaron
varias de sus generaciones precedentes es necesario que pase aproximadamente por las mismas
experiencias de sus antepasados. En la actualidad varios investigadores en matemática educativa
sugieren este camino, particularmente E. Wenzelburger en su libro de Cálculo Diferencial señala:
...de esta manera podría obtener del proceso histórico de desarrollo del análisis matemático indicaciones
importantes acerca del fin y propósito de esta rama de las matemáticas. La enseñanza del cálculo se
debería orientar en esta génesis que tuvo lugar en la historia de la ciencia matemática: una formación lenta
de conceptos matemáticos a través de la liberación de las percepciones sensoriales la intuición primaria.
Wenzelburger E.; Cálculo Diferencial. Una guía para maestros y alumnos; pp. 2.
14
La mayoría de los acercamientos en la enseñanza del concepto de derivada, en los textos y
programas (como se demostrará más adelante), generalmente siguen la estructura del Análisis
Matemático, quizá para ganar en rigor matemático. Sin embargo, detrás de este formalismo que
difícilmente los estudiantes comprenden se esconden las ideas intuitivas que dieron origen al
concepto de derivada. Es muy relevante la influencia de las motivaciones extramatemáticas en el
desarrollo histórico de este concepto, principalmente las provenientes de los problemas del
movimiento y la variación física, vale la pena entonces explorar acercamientos didácticos menos
rigurosos y más intuitivos que recuperen este camino y posibiliten una comprensión significativa
por parte de los estudiantes. Tampoco se trata de reproducir fielmente en el aula cada uno de los
episodios que tuvieron lugar en la historia de su desarrollo, sino de recuperar de ella las ideas,
estrategias y procedimientos claves que contribuyeron a su formación. Es razonable entonces
intentar la formación de este concepto explotando el potencial que las nociones de variable y
función tuvieron en la modelación de los problemas del movimiento, de manera que esto prepare
el terreno para estudiar los problemas de la rapidez de la variación por medios infinitesimales.
15
CAPITULO 2 LA DERIVADA EN LOS TEXTOS Y PROGRAMAS
Para caracterizar la enseñanza de la derivada en el bachillerato de la región y el papel que en ella
juega el estudio de la variación, a continuación se presenta un análisis sobre los textos y los
programas. Para facilitar el análisis, el contenido de los textos fue clasificado en conceptos,
relaciones y procedimientos. Entre los primeros se incluyen los conceptos más importantes y se
revisa de ellos la naturaleza de sus definiciones, la secuencia en que están ordenadas y su relación
con el estudio de la variación. En cuanto a las relaciones, se revisa cuáles son los teoremas,
propiedades y reglas más importantes que los autores proponen como elementos precedentes al
tema de derivada y el concerniente a este mismo concepto. En lo que se refiere a los
procedimientos, se indaga qué habilidades se pretenden desarrollar con los ejercicios y problemas
planteados y qué relaciones guardan éstas con los problemas de la variación.
En el mercado existen decenas de libros de texto de cálculo, sin embargo la revisión que aquí se
presenta fue realizada a los textos de uso frecuente en el bachillerato de la región. Su selección
fue determinada en base a cuatro criterios: los que con más frecuencia se citan en los Programas
Oficiales de los tres subsistemas de Educación Media Superior en el Estado de Guerrero, los que
con mayor frecuencia fueron citados en una encuesta realizada exprofeso a 9 profesores de
cálculo y a 183 estudiantes de las escuelas Preparatorias de la UAG en el año de 1990, los que
mayor demanda comercial tienen en el medio y los que invariablemente se encuentran
disponibles en las bibliotecas. Bajo esto criterios se seleccionaron los textos Cálculo Diferencial e
Integral de W. A. Granville, el de A. Anfossi y M. A. Flores Meyer, el de Ayres F. Jr. y el de M.
Santaló y V. Carbonell. Por otro lado, siguiendo un esquema parecido al utilizado en el análisis
de los textos, se hace un análisis sobre el enfoque, objetivos y contenidos que declaran los
programas de CD del Nivel Medio Superior del Estado de Guerrero. Para ampliar el panorama se
consultaron tres trabajos de corte curricular que atañen a 22 países iberoamericanos, a 13 países
de la Comunidad Europea, de Hungría, de Japón y de los Estados Unidos de Norteamérica.
Conceptos precedentes a la derivada en los textos
Se considera que los autores tratan tal o cual concepto, si estos son anunciados en los capítulos o
temas y se dan sus definiciones correspondientes, bajo estas premisas los textos revisados
invariablemente presentan los conceptos de: variable, función, límite y continuidad, antes de
introducir el concepto de derivada (ver Tabla 1). El concepto de variable en el texto de Granville
W. A. se define como una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso
de análisis, un número ilimitado de valores, las simboliza con las últimas letras del
alfabeto, en cambio aquéllas que su valor se mantiene fijo les denomina constantes. Anfossi/F.
Meyer no da una definición explícita, sino que mencionan que en las investigaciones matemáticas
intervienen dos clases de cantidades, unas que son constantes y otras que son variables. El
término cantidades puede ser motivo de ambigüedades y causar confusiones en los estudiantes
pues en la práctica generalmente se les relaciona con números estables y por tanto no admiten un
número ilimitado de valores, también la definición dada por Granville W. A. tiene sus
inconvenientes pues existen variables que no necesariamente admiten un número ilimitado de
16
valores. Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr. dan definiciones de corte conjuntista, el primero
establece que una variable es la totalidad de elementos de un conjunto que se le representa con
una letra, esta definición es evidentemente errónea pues la variable es el símbolo que representa
a un elemento arbitrario del conjunto y no a la totalidad de ellos, en el segundo caso la definición
es menos problemática y es referida a intervalos de la recta real, son denotados como a x b
en donde el símbolo x es la variable que representa un número cualquiera del conjunto de
números reales comprendidos entre las constantes a y b.
TABLA 1. CONCEPTOS PRECEDENTES A LA DERIVADA EN LOS TEXTOS
GRANVILLE W. A. ANFOSSI/F. MEYER AYRES F. JR. SANTALÓ/CARBONELL
Variable y const. Variable y constante Números reales Relación y función
Intervalo Función Valor absoluto Variable
Variación continua Función algebraica y trasc. Intervalos Dominio e intervalo de variable.
Función entera y fraccionaria Constantes absolutas, parámetros
Funciones Función explícita e implícita Función de una var.
Variable dep. e
independientes
Función simple y compuesta Sucesión infinita Límite de una sucesión
Función de función e inversa Límite de una función
Límite de variables Funciones logarítmicas y
circulares
Límite de sucesiones
Límite de una
función
Límite Límite por la derecha y
por la izquierda.
Función continua
Función continua y
discontinua
Función continua y discontinua Límite de una función
(los y los )
Función discontinua
Series (converg., divergente,
armónica, alternante).
Continuidad (discontinuidad) en un
intervalo
Límites infinitos El número e como límite de una
suma
Función continua Incrementos
Infinitésimo. Logaritmo. Función discontinua
El concepto de función en los textos de Granville W. A. y Anfossi/F. Meyer se define como la
relación entre dos variables, de modo que la variable dependiente y es designada como función
de la variable independiente x, aunque Granville W. A. establece su existencia cuando el valor de
la primera queda determinada si se da un valor a la segunda y Anfossi/F. Meyer introduce la
propiedad de correspondencia uno a uno. En el mismo sentido está planteada en el resto de los
textos con la diferencia de que Santaló/Carbonell primero define el concepto de relación y a la
función la define como un caso particular de aquella. Todos estos textos plantean las definiciones
de variable y función para luego dar escasos ejemplos de la geometría o de la física para ilustrar
el significado de las variables, no se explota la relación entre los fenómenos de la variación y el
concepto de función como modelos que los describen, en Ayres F. Jr. solamente se resuelven a
manera de ejemplos dos problemas asociados a la variación, uno sobre áreas y otro sobre
volúmenes, de los que se extraen las funciones. Todo indica que la pretensión de los autores es
estudiar estos conceptos en el contexto puramente matemático y buscarle algunas interpretaciones
prácticas pero sólo como complemento, sin explotar el origen que estos conceptos tienen en la
modelación de los fenómenos de la variación.
El concepto de límite es definido en todos los textos revisados a la usanza de Weierstrass aunque
con algunas diferencias en cuanto a terminología. Esencialmente plantean:
Se dice que límx a
f x A
( ) si dado un tan pequeño como se quiera existe un tal que si 0 | x - a |
se verifica que 0 | f(x) - A | .
17
Mayoritariamente la definición está motivada por cuestiones intramatemáticas, en especial por el
análisis del comportamiento de algunas sucesiones. Particularmente Anfossi/F. Meyer lo
introduce a través del cálculo del área de un cuadrado inscribiendo sucesivamente otros
cuadrados de menor tamaño, este problema conduce al cálculo del límite de una serie. El estudio
de sucesiones convergentes es utilizado por casi todos los textos con el fin de explicar que la idea
de límite está asociada a la idea de aproximación hacia un valor fijo y que este valor, no
necesariamente es un término de la sucesión. Particularmente Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr.
introducen la idea de límite analizando sucesiones del estilo 2.5, 2.9, 2.99, ..., Ayres F. Jr. agrega
algunas propiedades de los límites laterales. Todos los textos analizados trabajan solo la
continuidad puntual y la relacionan con los gráficos que no presentan saltos o huecos después de
dar una definición formal. Granville W. A. considera como condición suficiente para la
continuidad, que el límite y el valor de la función sean iguales en el punto. Anfossi/F. Meyer
también utiliza el concepto de límite para definir la continuidad, solamente que bajo la condición
de que para un incremento sumamente pequeño de la variable independiente le corresponda un
incremento también sumamente pequeño a la variable dependiente, aunque en la parte de
observaciones la define como lo hace Ayres F. Jr. Este último y Santaló/Carbonell, plantean, una
función f es continua en x0 si:
i) está definida f(x0 ); ii) existe el límite límx x
f x
0
( ) y iii) límx x
f x
0
( ) = f(x0 ).
Por lo general en los textos se ejemplifica la continuidad o discontinuidad utilizando las gráficas
de funciones del estilo: f(x) = 1/x y g(x) = (x2 - 4)/(x - 2); haciendo notar sus interrupciones.
Tanto el concepto del límite como el de continuidad no son introducidos a partir de la necesidad
de explicar los fenómenos de la variación, más bien son estudiados por la matemática misma.
Relaciones y operaciones precedentes en los textos
De los textos revisados, solamente Ayres F. Jr. en el primer tema, Variables y Funciones, hace
referencia a algunas propiedades de las desigualdades, éstas las utiliza para representar intervalos
de variación. En cuanto a funciones, sólo Santaló/Carbonell trabaja algunas propiedades de las
funciones y sus gráficos, caracteriza su crecimiento, decrecimiento, sus puntos máximos o
mínimos, intervalos donde es negativa, positiva, etc.. No se da en los textos una justificación
formal para la operatoria de funciones. Previo a la derivada, todos los textos establecen los
teoremas básicos del álgebra de los límites y agregan los criterios para calcular límites que
conducen a formas del tipo 0/0, /. Sólo Anfossi/F. Meyer introduce los límites especiales:
em
m
mlím
x
xtan
xlím
x
x sen
xlím
)
11( ;1
0 ;1
0
y establece algunas condiciones para la convergencia de sucesiones, pues una vez que trata el
límite inicia el estudio de las series y relaciona los límites de éstas con su convergencia. También
en el tema de límites, Granville W. A. presenta algunos teoremas relativos a los infinitésimos que
no los utiliza para definir la derivada. En cuanto a la continuidad, solamente Ayres F. Jr. plantea
tres de las propiedades (teoremas) de las funciones continuas, fundamentalmente las que
sustentan la existencia del valor nulo y de valores máximos o mínimos de este tipo de funciones.
18
En cuanto a los procedimientos, Granville W. A. propone sólo dos bloques de ejercicios en los
que pide demostraciones que no son tales, pues solo requieren transformaciones algebraicas y
calcular límites. Mayor cantidad de ejercicios proponen el resto de los textos, en general
proponen los relacionados con la evaluación, clasificación, graficación, determinación del
dominio, cálculo de límites y determinación de continuidad de funciones algebraicas. Sólo el
texto de Anfossi/F. Meyer plantea ejercicios sobre composición de funciones, convergencia o
divergencia de series y el cálculo de límites de funciones trascendentes. Es notorio que sólo
Santaló/Carbonell plantean un bloque de ejercicios en donde se pide analizar funciones simples a
partir del examen visual de sus gráficos. A excepción de Ayres F. Jr., los textos no plantean
problemas en los que se pida al lector obtener el modelo matemático de función o límite, en la
mayoría de los casos los modelos (fórmulas de funciones) son dados por el autor. Se percibe en
los ejercicios y problemas propuestos en los textos, una tendencia marcada hacia el uso de
algoritmos, pues presentan muy pocos en donde se requiere que la heurística juegue el papel
principal, la variedad es escasa y muchos de ellos implican el uso repetitivo de técnicas
preestablecidas, prácticamente todos ellos son de corte intramatemático y no se plantean
problemas relacionados con la variación física.
Tratamiento del concepto de derivada
El tratamiento de la derivada en los textos sigue, casi invariablemente la secuencia: incrementos,
límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero,
notación, regla general para la derivación e interpretación geométrica, ver Tabla 2. Todos definen
a la derivada prácticamente en los mismos términos:
La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la
variable independiente cuando éste tiende a cero, en símbolos:
limx
f x x f x
xlimx
y
x
0 0
( ) ( )
Siempre que este límite exista.
En la mayoría de los textos, el concepto de derivada es introducido por medio de un ejemplo
específico en donde se utilizan las aproximaciones numéricas de los incrementos, de modo que se
analiza la sucesión de cocientes y/x cuando al x se le asignan valores muy próximos a cero,
el uso de las aproximaciones numéricas es muy escaso en el texto de Ayres F. Jr. En Granville W.
A., una vez que construye la definición de derivada, la detalla paso a paso para dar lugar a la
regla general de derivación, después propone 29 ejercicios en donde se pide calcular la derivada
de igual número de funciones por medio de la regla general, finalmente da la interpretación
geométrica. El texto de Anfossi/F. Meyer sigue prácticamente la misma secuencia, sólo que la
interpretación geométrica se presenta después de la regla de los cuatro pasos.
19
TABLA 2. CONTENIDO PRECEDENTE A LA DERIVADA
GRANVILLE W. A. ANFOSSI/F. MEYER AYRES F. JR. SANTALO/CARBONELL
Incrementos Incrementos Incrementos Cociente de incrementos.
Comparación de incrementos
Derivada Derivada Derivada en un punto
Derivada de una función
Operaciones para la derivación (regla de los 4 pasos)
Cálculo de derivadas (regla de los 4 pasos)
Función derivada y notaciones.
Notación para derivadas
Cálculo de derivadas por medio de la regla general
Interpretación geométrica y física
Obtención de la función derivada (regla de los 4 pasos)
Regla general de derivación (regla de los 4 pasos)
Representación geométrica de la derivada.
Derivadas sucesivas
Cálculo de derivadas (regla los 4 pasos)
Aplicación (obtención de ecuaciones de tangentes)
Reglas y fórmulas de derivación.
Interpretación geométrica
Interpretación geométrica.
Más tardíamente dan la interpretación geométrica pues para llegar a ella le preceden la regla de
los cuatro pasos y las fórmulas básicas de derivación. En general el tratamiento que los textos le
dan a la derivada no es motivado por el estudio de los fenómenos de variación o partir del
problema de las tangentes, la mayoría utilizan introducciones de corte numérico y en lo analítico
se reduce al trabajo algebraico con los incrementos al aplicar la regla de los cuatro pasos. La
interpretación geométrica es planteada después de la definición y ésta consiste en considerar a la
derivada como la pendiente de la tangente a la gráfica de la función, la relación con los
problemas de la variación física son tratados hasta en el capítulo dedicado a las aplicaciones. Para
la asimilación del concepto de derivada, la mayoría de estos textos plantean ejercicios de
obtención de derivadas mediante la regla de los cuatro pasos, la obtención de pendientes de
curvas y tangentes, la determinación de ecuaciones de tangentes y normales y el cálculo del
ángulo de intersección entre dos curvas. Solamente Ayres F. Jr., en la parte tanto de problemas
resueltos como de problemas propuestos, plantea un ejercicio en donde se requiere del cálculo de
la velocidad media y de la velocidad instantánea.
En resumen, antes de arribar al concepto de derivada, todos los textos revisados tratan los
conceptos de, variable, función, límite y continuidad, aunque con ligeras variantes. Si se atiende
al rigor matemático, éste es más acentuado en los textos de Santaló/Carbonell y Ayres F. Jr., en
ellos se definen los conceptos básicos en términos conjuntistas (o por medio los y en el
caso del límite en Ayres F. Jr.) mientras que en los otros se utilizan las cantidades y las
magnitudes. Si se atiende a la cantidad de contenidos previos, éstos son mucho más abundantes
en el texto de Anfossi/F. Meyer, particularmente cuando se trata el tema de las funciones y los
límites, el tratamiento de los contenidos previos a la derivada es más sucinto en Granville W. A.
Mayoritariamente los textos trabajan con funciones algebraicas polinómicas, racionales e
irracionales a excepción de Anfossi/Flores Meyer que hacen un tratamiento muy amplio sobre
diversas clases de funciones. El tratamiento del concepto de derivada en los textos revisados se
ciñe a la secuencia: incrementos, límite del cociente incremental cuando el incremento de la
variable independiente tiende a cero, notación, regla general de derivación y por último su
interpretación geométrica. En su mayoría, este concepto es generado mediante aproximaciones
numéricas para explorar el límite del cociente y/x cuando a x se le asignan valores muy
próximos a cero (aunque en los problemas propuestos no se plantea ningún ejercicio de esta
naturaleza), luego se trabaja con la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas, finalmente
se plantean problemas relacionados con las tangentes, las normales y el ángulo de intersección
20
entre dos curvas. Solamente Ayres F. Jr., propone un ejercicio sobre velocidades instantáneas, en
el resto algunos problemas de este tipo son planteados hasta en el tema de las aplicaciones.
Una visión de conjunto de la derivada en los textos tradicionales
Utilizando los textos aquí revisados difícilmente los estudiantes podrán comprender la esencia del
concepto de derivada. En aras del predominio de cierto rigor matemático (malogrado en algunos)
y su empeño acentuado en el aprendizaje de algoritmos, de hecho omiten las relaciones claves
que este concepto tiene con la variación. En estos textos las motivaciones y el tratamiento de los
conceptos básicos del CD y en particular de a la derivada, siguen una línea de corte
intramatemático, de modo que son presentados como conceptos abstractos que parecen tener
existencia sólo dentro de la misma matemática. Si acaso se relacionan con la realidad es para
exponer ejemplos esporádicos muy puntuales que pronto son relegados u omitidos.
Todo indica que los textos sacrifican el desarrollo de ideas y significados variacionales de los
conceptos básicos del cálculo imponiendo el predominio del trabajo algorítmico. Todos plantean
la interpretación geométrica de la derivada como complemento o como parte de las aplicaciones,
pero esta es sólo una forma de interpretarla y además en cierto sentido esconde su naturaleza
variacional. Mediante las ideas de la variación, particularmente de la rapidez de la variación, se
puede hacer patente la esencia de este concepto. Con la interpretación geométrica queda
escondida, pues la pendiente de la tangente como su interpretación geométrica da idea de algo
estático en cambio la derivada es un concepto dinámico. Dinámico en el sentido de que cuantifica
el cambio y lo cuantifica de una manera muy especial, proporcionando un índice o razón de
cambio, bien en un punto o en todo un intervalo. En la cuantificación del cambio encuentran su
razón de ser los conceptos básicos del cálculo (y por supuesto la derivada), por eso muchos
matemáticos suelen caracterizar al cálculo y al Análisis Matemático en general, como la
matemática del cambio. Los textos usuales están muy lejanos de reflejar esta característica
fundamental del cálculo.
Por otro lado, para llegar al concepto de derivada los textos recorren un largo camino, pues la
asumen como un límite especial existente sólo para las funciones continuas, esto exige el
establecimiento de toda una cadena de definiciones previas de conceptos involucrados en la
definición. Esto obliga a definir previamente el límite y la continuidad, a establecer sus
propiedades, pero éstos a su vez están definidos en términos de números reales y asociadas a las
funciones por eso se hace necesario definirlos también y estudiar sus propiedades. Si este
volumen de contenidos es llevado al aula cabe entonces preguntarse ¿Tiene sentido hacer que los
estudiantes recorran este camino tan largo para arribar a la derivada? Los textos revisados
seguramente se ajustaron a ciertas condiciones de desarrollo de la enseñanza del cálculo y quizá
se sujetaron a ciertos programas preestablecidos. Pero de cualquier manera parece que este
recorrido es innecesario por varias razones, y una de las más inmediatas está relacionada con el
tiempo oficial otorgado al curso de CD. Por tal razón los profesores frecuentemente dicen que no
les dio tiempo siquiera llegar al concepto de derivada pues la mayor parte del tiempo se les
consumió en el tema de las funciones y los límites. Hace falta pues diseñar nuevos materiales que
coloquen a las ideas de la variación y el significado físico de los conceptos del cálculo, en
especial de la derivada, como los elementos centrales de este curso y que a partir de las
necesidades determinadas a partir de la explicación, modelación y predicción de los fenómenos
de la variación se simplifique y determine el contenido pertinente.
21
La derivada y el cálculo diferencial en los programas
En el Estado de Guerrero, los estudiantes del Nivel Medio Superior que realizan estudios de
bachillerato lo hacen en tres tipos de planteles: los que dirige directamente la Secretaría de
Educación Pública a través de la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial
(DGETI)1 o de la Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA)2, en los
Planteles del Colegio de Bachilleres (COBACH) que dirige el Gobierno del Estado y en las
Escuelas Preparatorias que dependen de la Universidad Autónoma de Guerrero. En este Estado, y
en el resto del país, la Educación Media Superior se ofrece después de la Educación Media
Básica (Secundaria) y orienta los estudios hacia tres alternativas: la propedéutica, terminal y la
bivalente. La primera encauza a los estudiantes hacia las licenciaturas, la segunda hacia el trabajo
técnico de producción o de servicios y la tercera hacia ambas finalidades. En los bachilleratos de
la primera y la tercera opciones generalmente se incluye el estudio del CD, el subsistema DGTI
lo incluye en el 4o. semestre, el COBACH y algunas Preparatorias de la UAG en el 5o.. Según el
Diagnóstico para la Modernización de la Educación en el Estado de Guerrero, en el año escolar
1989-90, las Preparatorias de la UAG atendían el 49 % de la población escolar total del Nivel
Medio Superior y, entre los Colegios de Bachilleres y Planteles dirigidos directamente de la SEP,
atendían el 30 %. En términos de población escolar, resulta representativo un análisis de los
programas de estos subsistemas y se puede obtener de él información sobre la enseñanza de la
derivada y el CD en las escuelas del Nivel Medio Superior del estado de Guerrero.
En virtud de que en los programas analizados solo declaran objetivos y contenidos (uno de ellos
agrega actividades de aprendizaje), solo se puede obtener de ellos una panorama general acerca
de cómo sugieren sea tratado el CD y la derivada. En cuanto al enfoque del contenido y los
objetivos generales, los programas de DGETI y el COBACH plantean un tratamiento del CD en
forma intuitiva e informal, reconocen su relación con los problemas de la física y la geometría
por lo que se sugieren relacionar los contenidos con problemas de la realidad. En el segundo
programa se declara a las funciones como el eje organizador de los contenidos en tanto que en el
primero (dado el carácter tecnológico de los bachilleratos a los que se dirige) destaca las
aplicaciones tecnológicas del CD y no declara ningún núcleo orientador. En los programas de las
Preparatorias de la UAG no encontramos ninguna alusión al enfoque ni a la concepción general
del curso. En los objetivos generales declarados en los programas del COBACH y de la UAG
(ver cuadro núm. 3) se declara el adquirir o comprender el concepto de derivada y en el de
DGETI se perciben inclinaciones marcadas hacia el trabajo algorítmico y no se hacen referencias
a la comprensión de este concepto. De una revisión global a los citados programas se aprecia que
las pretensiones son de que los estudiantes profundicen más sobre funciones, que sepan derivar y
que puedan aplicar la derivada a problemas de máximos y mínimos, aunque en los Programas de
la UAG sólo se declara que los alumnos comprendan el concepto de derivada y puedan derivar
funciones.
Previo a la derivada, los programas sugieren que se estudien las funciones, sus límites y su
continuidad, posterior a la derivada sugieren el tratamiento de los procedimientos de derivación,
las aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la resolución de problemas de
optimización. En cuanto a relaciones, proponen estudiar las propiedades de funciones algebraicas
1Que dirige a los Centros de Estudios Tecnológicos industrial y de servicios (CETis), los Centros de Bachillerato
Tecnológico industrial y de servicios (CBTis) y los Centros de Estudios Tecnológicos del mar (CET mar). 2Que dirige a los Centros de Estudios Tecnológicos Agropecuarios (CBTA) y a los Centros de Estudios
Tecnológicos Forestales (CBTF).
22
y trascendentes y de sus gráficos, así como las operaciones básicas con ellas. Los teoremas sobre
el álgebra de los límites son de estudio obligado según los programas, respecto a la continuidad
en ningún programa se sugiere ir más allá de la elemental asociación entre este concepto y las
gráficas de funciones que no presentan rupturas.
TABLA 3. OBJETIVOS GENERALES EN LOS PROGRAMAS DE CALCULO DIFERENCIAL
PROG O B J E T I V O S G E N E R A L ES
OBJETIVOS ASOCIADOS
D G E T I
Desarrollar la habilidad de reconocimiento de la dependencia entre una magnitud con respecto a otra (funciones). La habilidad de mecanismos de cálculo que le permitan analizar situaciones entre la dependencia, entre variantes y relaciones de comportamiento de la variación
Explicar a las funciones como un modelo que representa un problema real de dependencia entre dos magnitudes. Utilizar los algoritmos de derivación en funciones algebraicas y trascendentes. Resolver problemas prácticos que impliquen el uso de la derivada y la diferencial.
C O B A C H
...que el estudiante amplíe y profundice el estudio de las funciones a partir de su clasificación, su representación gráfica y los conceptos de continuidad y límite, asimismo partir de problemas de velocidad instantánea de un móvil o de pendiente de la recta tangente a una curva, el estudiante adquirirá el concepto de derivada y derivará funciones algebraicas y trascendentes, con lo cual podrá aplicar la derivada en la solución de problemas concretos que involucren máximos y mínimos.
U A G
Al terminar el curso el alumno comprenderá lo que es “derivada de una función” y podrá efectuar con facilidad el proceso general de derivación.
En cuanto a los procedimientos, los programas generalmente sugieren que los estudiantes deben
ser capaces de clasificar funciones, que puedan representarlas gráficamente y realizar las
operaciones básicas con ellas, solamente en el programa del COBACH plantea además que
puedan realizar análisis de las gráficos de funciones, a excepción de uno de los programas de las
Preparatorias de la UAG (el aprobado en 1981)3 se sugiere que los estudiantes puedan calcular
límites, en especial los que conducen a las formas indeterminadas. El contenido previo a la
derivada en el Programa Homologado de CD avalado por la Coordinación de Educación Media
Superior de la UAG (CENMSUAG) es prácticamente el mismo que el señalado por los demás
programas, aunque se nota cierta tendencia hacia una estructuración más formal desde el punto de
vista matemático, pues se agrega la relación entre el límite y la continuidad no contemplada en el
resto de los programas. En este programa no se declaran objetivos, en cambio aparece un
3En prácticamente toda la década de los 90, se trabajó con dos Planes de Estudio distintos dentro de las Escuelas
Preparatorias de la UAG. En uno de ellos, el Programa de Cálculo Diferencial está propuesto para el 5o. semestre
(aprobado en 1974), su estructura consta de tres apartados: Funciones y Límite, Derivadas y Máximos y Mínimos.
En él no se declaran objetivos, ni se declaran expresamente los contenidos, pero se plantea una especie de notas en
las cuales, en lo que concierne a la derivada, siguen la secuencia: incrementos, cociente incremental, límite del
cociente incremental, reglas de derivación para funciones de la forma y = mx +b, de sumas, productos, cocientes de
funciones y de funciones de la forma y = xn, y finalmente su interpretación geométrica y aplicaciones al cálculo de
velocidades y aceleraciones. En el año 2000 se publican los nuevos Programas de Estudios para el Nivel Medio
Superior de la UAG, incluidos los de cálculo, en cuanto a contenidos prevalecen los mismos: función, límite,
continuidad, derivada y aplicaciones. En cuanto a objetivos se pretende reforzar el concepto de función, explicar sin
demostrar las propiedades del límite, continuidad y diferenciabilidad; calcular derivadas y aplicarla en la resolución
de problemas. En todos ellos prevalece el predominio la estructura heredada del análisis matemático, la variación es
un tema relegado u omitido.
23
apartado titulado descripción del programa donde se hace una serie de recomendaciones
puntuales para tratar el contenido. Los objetivos generales del curso se encuentran en el Plan de
Estudios 1995, en este documento se fusionan los contenidos de los Programas Homologados de
Junio de 1994 los objetivos generales allí declarados se centran en consolidar el manejo y
aplicación del concepto de función, en que los estudiantes comprendan y manejen el concepto de
derivada, que desarrollen habilidades en el cálculo de derivadas e integrales y que puedan aplicar
el Cálculo Diferencial e Integral en la resolución de problemas prácticos.
En el programa de DGETI (ver cuadro 4), se plantea como objetivo interpretar el concepto de
derivada a través de las razones de cambio promedio y de las ideas de rapidez de la variación,
para arribar a la rapidez de variación instantánea como un límite especial. En las actividades de
aprendizaje se plantea discutir el concepto de incremento e interpretar la rapidez instantánea
como la pendiente de la tangente en un punto, por último sugiere la investigación de las
notaciones para derivadas y la extensión de derivada en un punto a un intervalo. En el programa
del COBACH se pretende una introducción más libre, pues el objetivo sugiere presentarla a
través de los problemas de las velocidades instantáneas o bien por la vía de las tangentes para
después obtener algunas fórmulas de derivación aplicando su definición. En el caso del programa
de las Preparatorias de la UAG (el aprobado en 1981) sólo se menciona que el alumno debe
interpretar geométricamente la derivada. El Programa Homologado de Cálculo Diferencial de la
CENMSUAG sugiere tratar la derivada en varias formas, como pendiente de tangentes o como
razón de cambio, después recomienda el trabajo con los cocientes de incrementos abriendo la
posibilidad de usar los infinitesimales, luego la derivada como función para después calcular
muchas derivadas, al final propone estudiar las aplicaciones. Nuevamente en este último
programa prevalece la inclinación de transmitir sólo contenido matemático y minimizar el papel
que juegan las ideas de la variación en la formación de los conceptos del cálculo, además, de un
programa nuevo se espera que supere a sus antecesores, sin embargo, se puede constatar que
carece de Fundamentación, Objetivos Didácticos, de Orientaciones Didácticas coherentes y
Procedimientos de Evaluación, que son los elementos básicos que configuran un auténtico
curriculum según se acepta actualmente por los especialistas.
TABLA 4. OBJETIVOS EN LOS PROGRAMAS RELATIVOS A LA DERIVADA
DGETI COBACH
PREPARATORIAS
UAG
Interpretar la razón de cambio promedio
como una rapidez de variación
Por medio de los problemas de velocidad instantánea de un
móvil o pendiente de la recta tangente a una curva que
conceptualice y obtenga la definición de derivada.
El alumno
interpretará
gráficamente el
concepto de
derivada
Interpretar la rapidez de variación
instantánea como el límite de la rapidez
de variación en un punto.
Utilice la definición derivada en la derivación de
funciones polinomiales y obtenga algunas fórmulas y
reglas de derivación.
Analizar bajo qué condiciones una
función es derivable.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Mediante ejemplos propuestos, discutir los conceptos de incremento correspondiente a una función y razón de cambio promedio.
Aplicando el concepto de límite, interpretar geométricamente a la razón de cambio promedio como la pendiente de la tangente en un
punto, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.
Mediante una investigación bibliográfica distinguir entre las diferentes formas de notación utilizadas para la definición de la derivada
en un punto.
Extender el concepto de derivabilidad de una función en un punto a un intervalo de su dominio.
24
La reforma curricular actual
La reforma curricular para el bachillerato tecnológico dirigida por la SEP a través del COSNET
en el país está cifrado en tres documentos principales: El Modelo de la Educación Media Superior
Tecnológica, Estructura del Bachillerato Tecnológico y en los programas de Estudios insertos en
el documento la Reforma Curricular del Bachillerato Tecnológico. En cuanto a matemáticas se
refiere, en el último documento citado se plantea que el propósito del programa de matemáticas,
es que:
el estudiante, a partir de la apropiación de los contenidos fundamentales de la matemática, desarrollará
habilidades de pensamiento, comunicación y descubrimiento que le permitan usarlos en la resolución de
problemas cotidianos y ser partícipe del desarrollo sustentable de su entorno. Así mismo proporcionar los
elementos básicos de la materia requeridos por otras áreas del conocimiento.
Las asignaturas que se proponen a lo largo del bachillerato en los documentos de referencia
tienen inconsistencias, véase la Tabla 5.
TABLA. 5 ASIGNATURAS PROPUESTAS PARA EL BACHILLERATO TECNOLÓGICO
Documento 1er. Semestre 2º. Semestre 3er. Semestre 4º. Semestre 5º. Semestre 6º. Semestre
Estructura del
Bachillerato
Tecnológico.
SEP/ COSNET,
pp. 12-19
Álgebra Geometría y
Trigonometría
Geometría
Analítica
Probabilidad y
Estadística I
Probabilidad y
Estadística II
Taller de
matemática
aplicada
Reforma curricular
del Bachillerato
Tecnológico
Programa de
Estudios.
Matemáticas.
SEP/COSNET,
pp. 6
Álgebra Geometría y
Trigonometría
Geometría
Analítica
Cálculo Probabilidad y
Estadística I
Matemática
aplicada
En el primer documento se elimina el cálculo, en el segundo aparece en el cuarto semestre. El
primer documento está fechado en junio de 2004 y el segundo en agosto del mismo año. Había
pues la pretensión explícita de eliminar esta parte de la matemática escolar en la formación de los
bachilleres con orientación hacia el área físico-matemática. De concretarse la eliminación del
cálculo se estaría, por una parte alejando la posibilidad de una formación propedéutica que
ubicara a los estudiantes en condiciones de poder acceder en mejores condiciones a una
educación matemática en el nivel superior. Gran parte de la matemática superior está basada en
los elementos sustanciales del Cálculo Diferencial e Integral, quitarlo de la currícula equivaldría a
eliminar el puente entre la matemática básica y la matemática superior. Por otra parte ese cambio
curricular estaría caminando en sentido contrario a como se orientan las tendencias curriculares
en el mundo.
Por otro lado sobre los propósitos de la Asignatura, respecto del Cálculo en el Programa de
Estudios de Matemáticas ya referido se plantea: los estudiantes usarán los contenidos de las
matemáticas antecedentes en la resolución de problemas que los conduzcan hacia los conceptos
fundamentales de función, límite, derivada e integral que les permita construir una imagen de su
entorno social, científico y tecnológico. Los contenidos con los que se pretenden lograr tales
propósitos son: funciones, tipos de funciones, límites, derivada, comportamiento de la función e
25
integral. Respecto a la derivada es específico se plantean los siguientes contenidos: interpretación
geométrica de la derivada, resolución de derivada, regla de la cadena y fórmulas de derivación.
En la asignatura de Matemáticas Aplicadas que se propone sea impartida en el sexto semestre del
bachillerato, área Físico-Matemático, se recuperan dos temas del cálculo: aplicaciones de la
derivada y aplicaciones de la integral. Los contenidos para estos temas, tal y como aparecen el
documento son, área bajo curvas y volúmenes de sólidos de revolución para le primero y análisis
de funciones y rapidez de cambio para el segundo. Aquí es evidente un error de correspondencia.
Como puede apreciarse contenidos curriculares en lo que al Cálculo Diferencial se refieren no
son muy distintos de los que tradicionalmente se han venido trabajando en el bachillerato, a
excepción del intento de eliminarlo.
Relación entre textos y programas
En cuanto a los antecedentes a la derivada, entre los textos usuales y lo que declaran los
programas oficiales vigentes, no existen diferencias significativas, salvo que en los programas se
notan simplificaciones notorias en cuanto al volumen del contenido y suelen recomendar un
trabajo menos riguroso (matemáticamente hablando) con las teoremas y propiedades básicas del
cálculo. En cambio es notable que, mientras los textos sugieren una vía más numérica y
algebraica en la construcción del concepto de derivada para finalmente dar su interpretación
geométrica, los programas sugieren como vía la de las razones de cambio o la vía geométrica en
su proceso de formación. Particularmente uno de los programas revisados sugiere introducir la
derivada a través de la rapidez de la variación y las razones de cambio, para así pasar a su
representación geométrica como pendiente de tangentes, en los otros se sugiere la vía geométrica
o la de las velocidades instantáneas. Esto deja al descubierto la falta de correspondencia entre los
textos usuales y los exigencias de los programas. Además, en virtud de que los programas no son
lo suficientemente explícitos no parecen cumplir su función orientadora, pues los profesores
muchas veces prefieren atenerse al texto o textos de su preferencia para impartir sus clases.
La derivada en los programas de otros países
Para ampliar la panorámica sobre la derivada y el CD en el nivel preuniversitario, se consultaron
algunos trabajos de investigación en los que se presentan análisis de la currícula de matemáticas
del nivel medio. La información aquí vertida proviene principalmente del Análisis Comparado
del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica, trabajo auspiciado por el
Programa IBERCIMA; del libro National Currícula, de Geoffrey Howson y de los Estándares
Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática de la NCTM.
En el primer trabajo se revisan los currículos vigentes hasta 1991 de 22 países agrupados en
cuatro regiones: países del Cono Sur (Argentina, Brasil, Chile, Paraguay y Uruguay), países
Andinos (Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y Venezuela), países de Centroamérica, el Caribe y
México (Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá,
Puerto Rico y República Dominicana) y los países Ibéricos (España y Portugal). Aunque en este
trabajo se dejan al descubierto numerosas deficiencias que presentan los currículos analizados
respecto de una concepción amplia del currículo, es posible obtener del análisis un panorama
general sobre la enseñanza de la derivada en esos países. Según los analistas, predominan en los
26
objetivos generales de sus programas, aquellos que se refieren al campo de la información, al
campo de las habilidades, de las estrategias generales y actitudes. Al concretarse en los objetivos
específicos solo se priorizan al aprendizaje de hechos, conceptos y procedimientos algorítmicos,
también hacen notar que el nivel de aprendizaje requerido en casi todos los objetivos es el de
aplicación (tanto en conceptos como procedimientos algorítmicos) principalmente en la
resolución de problemas.
De los 22 países, en 14 de ellos se plantea como materia de estudio el Cálculo Diferencial sobre
todo para aquellos estudiantes que van para estudios universitarios en ciencias e ingeniería (no se
incluye en los programas de Perú, Venezuela, Costa Rica, Guatemala, Nicaragua, Puerto Rico y
República Dominicana). Los temas que se incluyen en el CD son las Sucesiones, Límites de
Funciones, Continuidad, Concepto de Derivada, Reglas de Derivación, Puntos Críticos y Estudio
de Funciones, aunque también se estudian previamente las funciones de variable real. A pesar de
que en algunos programas se señala que los criterios utilizados en la selección de los contenidos
fueron la significación científica, su valor formativo o su valor instrumental, los analistas
deducen que en la mayoría de los currículos, la elección de los contenidos estuvo influenciada
por la propia organización lógico-deductiva de la matemática, tal como la jerarquizó y formalizó
la llamada matemática moderna. Aunque este trabajo no describe de manera específica cómo los
programas sugieren sea tratado el concepto de derivada, se infiere que su tratamiento didáctico no
es significativamente distinto del que presentan los textos y programas del bachillerato
guerrerense.
En el segundo trabajo se revisan los currículos de Matemáticas de los países de la Comunidad
Europea agregando los de Hungría y Japón. Según los programas de estos países, el estudio del
CD es obligado para los estudiantes que se preparan para hacer estudios universitarios
relacionados con las ciencias, la ingeniería o la economía, siendo más amplio y profundo su
tratamiento en los programas para las dos primeras orientaciones. En varios países se introducen
algunas ideas intuitivas del cálculo en el 11o. grado y se amplían y profundizan en el 12o., en
dependencia de la frecuencia de sesiones semanales de matemáticas, pues estas fluctúan desde 2
hasta 9. No obstante la diversidad de ofertas, los programas relacionados con los principios del
Análisis Matemático de estos países, consideran invariablemente: las funciones numéricas
(algebraicas y trascendentes), límites, continuidad, otros temas relacionados a funciones y el
Cálculo Diferencial e Integral. En el CD incluyen el concepto de derivada, fórmulas de
derivación y aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la obtención de máximos y
mínimos. Particularmente algunas opciones del preuniversitario irlandés, japonés y holandés,
sugieren introducir el concepto de derivada a través de las razones de cambio y relacionarlo con
las pendientes de tangentes, en cambio en la mayoría de los demás países la secuencia: límite,
continuidad, derivada e interpretación geométrica o física, es casi inalterable. Es notable la
diferencia entre el tratamiento de la derivada sugerido en el programa francés y el sugerido en el
resto de los programas, pues en él se le trata a partir de una función lineal afín cuyo gráfico mejor
aproxima a una curva en una vecindad de un punto, de modo que la derivada se define como el
coeficiente del término de primer orden de la expansión de f en la vecindad de a para un h
dado.
La reforma de la enseñanza de la Matemática en Estados Unidos de Norteamérica para la actual
década se encuentra enmarcada en los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación
Matemática, documento diseñado por la Comission on Standars for School Mathematics de la
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) y discutido por una buena parte de la
comunidad de profesores de matemáticas e investigadores de ese país. En este documento se
27
establecen algunos criterios mínimos de calidad para la enseñanza de la matemática como el de,
un currículo, de lineamientos para la evaluación y los estándares. En el currículo se detalla qué
matemáticas deben conocer los alumnos y qué deben hacer los profesores para que los alumnos
alcancen estos conocimientos. En los lineamientos para la evaluación se trata de medir la eficacia
del currículo y la actuación de los estudiantes.
Los estándares son declaraciones de principios sobre qué tiene valor y qué no lo tiene en la
enseñanza de la matemática. En los niveles 9-12 se sugiere que el currículo de matemáticas debe
incluir una exploración informal de los conceptos del Análisis Matemático para todos los
estudiantes, inclusive para los futuros universitarios. También se sugiere que los estudiantes
tengan la oportunidad de investigar, de manera sistemática, las ideas centrales del Análisis
(límite, área bajo una curva, derivada y pendientes de tangentes y razones de cambio
instantáneas) de manera que contribuyan a la profundización de sus estructuras conceptuales
sobre las funciones y las utilicen para representar y responder a preguntas acerca del mundo real.
Se recomienda hacer énfasis en que los conocimientos del Análisis requieren de una forma
distinta de pensamiento matemático que trasciende las concepciones de los procesos finitos hacia
los procesos infinitos, además se sugiere que los estudiantes hagan exploraciones basadas en
experiencias numéricas y geométricas y que aprovechen la tecnología de la calculadora y el
ordenador. En este sentido se recomienda que los estudiantes puedan utilizar el ordenador para
resolver problemas de optimización sin necesariamente calcular derivadas, investigar
continuidad, asíntotas, concavidad e incluso les permita intuir ideas analíticas, por ejemplo que la
propiedad de diferenciabilidad, que en términos gráficos está asociada a la propiedad de que las
curvas posean rectitud local. Finalmente, se sugiere que en vez de dedicar tanto tiempo a los
algoritmos debe dedicarse más tiempo y esfuerzo a la adquisición de estructuras conceptuales
sobre las ideas claves del cálculo y sus aplicaciones.
En resumen, de los programas de los 37 países analizados, en 28 de ellos (el 75.6%) se incluye el
estudio del CD en el preuniversitario para estudiantes que se preparan para hacer estudios
universitarios en ciencias e ingeniería. Aunque con diferencias poco significativas en cuanto a
contenido, todos los programas incluyen como temas precedentes al CD, las sucesiones y las
funciones, para después tratar los límites, la continuidad y así preparar el terreno para arribar al
concepto de derivada, después se trabaja con las reglas de derivación y las aplicaciones al análisis
de funciones y a la solución de problemas sobre extremos. Generalmente la estructura de los
programas está influida por la estructura lógico-formal del análisis, aunque en trabajos recientes
se empiezan a introducir acercamientos más intuitivos e informales, éstos enfocan la atención en
la comprensión de las ideas básicas y sugieren utilización de la microcomputadora como
herramienta. No obstante en la mayoría de los documentos revisados, aún se ven lejanas las
introducciones didácticas que prioricen el significado físico de la derivada asociado a la rapidez
de la variación.
Hacia dónde orientar la enseñanza de la derivada
El análisis realizado en las páginas precedentes ha develado la falta de correspondencia entre los
textos usuales en la región y los programas de CD, los primeros proponen una forma de
introducir los conceptos básicos del cálculo y los segundos otra distinta. En el estado de Guerrero
y el país se siguen usando con frecuencia textos editados a principios de este siglo, a pesar de
28
haberse modificado los planes y programas en lo esencial prevalecen las formas, contenidos y
enfoques tradicionales en la enseñanza del cálculo. Si bien es necesario reformar los planes y
programas de estudio también lo es concretar esas reformas en nuevos textos que introduzcan en
las aulas los aportes obtenidos en las investigaciones científicas en matemática educativa. Desde
principios de la actual década círculos importantes de investigación sugieren que la enseñanza del
CD en el bachillerato debiera priorizar la comprensión de sus conceptos básicos y disminuir la
cantidad de tiempo dedicado a la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje de algoritmos.
Al igual que en los textos, los programas revisados no siguen un tratamiento del cálculo que
considere a la variación o el cambio como eje rector del cual se desprendan los contenidos,
aunque algunos programas señalan aspectos puntuales sobre la variación éstos no logran penetrar
en todo el curso. Mas bien la mayor carga de trabajo se cede al tratamiento de una gran cantidad
de contenido matemático para después buscarle algunas aplicaciones. Para contribuir a la
comprensión de los conceptos básicos del cálculo en el bachillerato, los nuevos programas y
textos pudieran orientar su enseñanza a partir de la necesidad de resolver problemas de la
práctica, principalmente los relacionados con el movimiento y la variación, de modo que de aquí
se genere el contenido mínimo indispensable. En el desarrollo histórico del concepto de derivada
la introducción de la matemática de los cambios fue decisiva, pero ésta a su vez fue introducida
por la necesidad de resolver los problemas generados por el desarrollo de las fuerzas productivas
alcanzado en los siglos XVI y XVII, de la solución de esos problemas surgieron las estrategias
seguidas por los precursores e inventores del cálculo empeñados en darles explicaciones
racionales al movimiento de los astros, al flujo de los líquidos, al movimiento de un cuerpo
impulsado, etc. De ahí nacieron las nociones de variable y función, de ahí se generó la necesidad
de la cuantificación de la rapidez de la variación y el concepto de razón de cambio instantánea.
Este sendero, en esencia, pudieran recuperar los programas y los textos para contribuir a la
comprensión del concepto más importante del CD.
29
CAPITULO 3
TENDENCIAS Y ENFOQUES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA
DERIVADA
La orientación que se le ha dado a la enseñanza del CD en el preuniversitario ha sido fuertemente
influida por la organización de los contenidos de la manera como se les estructura en el Análisis
Matemático. Sin embargo, esta orientación en poco ha contribuido a la comprensión de los ideas
básicas del cálculo. Conocedores de esta problemática, varios investigadores sugieren enfoques
menos formales en los que la atención no se centre en la mera transferencia de contenidos (Gil y
De Guzmán 1993) sino en el desarrollo de procesos del pensamiento propios de la matemática
(resolución de problemas), en el desarrollo conceptual en forma significativa, explotando para
ello las ideas intuitivas subyacentes a los conceptos y su significado práctico.
La enseñanza de la derivada depende, en gran parte, de la orientación del curso de CD, en este
sentido se vislumbran dos tendencias fundamentales, en donde la primacía es conferida a la
organización del contenido clásico como se estructura en el Análisis Matemático para finalmente
buscarle sus aplicaciones, y la otra, en la que el contenido se genera a través de la necesidad de
resolver problemas prácticos, de modo que los conceptos básicos se forman a partir del problema
de la tangentes o de su significado físico. Ambas tendencias suelen manifestarse mediante ciertas
variantes que llamaré enfoques, en la primera tendencia se incluyen varios de los enfoques
tradicionales y en la segunda los enfoques innovadores. En la primer tendencia son visibles el
enfoque algebraico, el numérico, el formal, el infinitesimalista y el de la aproximación afín local,
en la segunda tendencia se distinguen básicamente los enfoques geométrico y el variacional.
Aunque siendo innovador el enfoque computacional, no necesariamente se ajusta a alguna de las
tendencias anteriores, sino que está más influenciado por el uso de los medios electrónicos en la
enseñanza, no obstante merece especial atención pues recientemente está cobrando mucho
interés.
Enfoques que priorizan la estructura del contenido
El enfoque algebraico prioriza el trabajo con los algoritmos, principalmente con la regla de los
cuatro pasos y los que se utilizan para obtener derivadas mediante fórmulas. La interpretación
geométrica de la derivada en este enfoque es relegada a un segundo plano y omite su significado
físico; el tratamiento de la derivada sigue la secuencia: incrementos, límite del cociente
incremental cuando x tiende a cero, regla general de derivación, ejercitación con la regla general
y por último la interpretación geométrica. Los textos que han contribuido para que este enfoque
se haya difundido y arraigado en nuestro medio son (entre otros), el Cálculo Diferencial e
Integral de Granville W. A y el de Santaló/Carbonell. Con este enfoque, se ha difundido la
creencia de que la derivada es simplemente una fórmula o una sucesión de algoritmos
algebraicos carentes de significado y alejados de la realidad.
En el enfoque numérico es característico el uso abundante de sucesiones numéricas,
particularmente en el tratamiento del límite de funciones. Esta inclinación hacia las sucesiones
presupone una mejor conceptualización del límite, por lo que la derivada siendo límite particular,
al introducirla mediante sucesiones sería más asequible a los estudiantes. En el texto de
30
Anfossi/Flores Meyer este enfoque es fácilmente reconocible, aunque se notan inclinaciones en el
Santaló/Carbonell, en estos textos son usuales las tablas de valores para mostrar el
comportamiento del cociente y/x a medida que x se hace tender a cero. Aunque las
sucesiones y las aproximaciones numéricas están más cercanas a la experiencia de los
estudiantes, en este enfoque se persiste aún en darle significado geométrico a la derivada después
de haber trabajado con los contenidos clásicos. La relación entre la derivada y la variación es
abordada hasta en el tema de las aplicaciones.
El lanzamiento del Sputnik por los soviéticos en 1957 tuvo gran impacto en el mundo occidental
al grado de provocar temor al rezago científico, estas reacciones llegaron a la educación y por
tanto se inició una reforma en los Planes y Programas de Enseñanza de la Matemática en varios
países del mundo. Esta reforma estuvo fuertemente influenciada por la escuela francesa
bourbaquista y se concretó con la introducción la Matemática Moderna (Piaget, Choquet, y otros,
1983). Estos cambios se empiezan a operar principalmente en Francia, llegan a Estados Unidos
de Norteamérica y dada la influencia que estos países tienen en Latinoamérica, estos cambios se
aplican (sin más) en México. Sus manifestaciones más importantes consistieron en la
incorporación de las estructuras matemáticas en los textos y programas escolares de matemáticas.
En este marco la formalización matemática, conducida por el rigor lógico, penetra en la
matemática escolar de la década de los 60’s y por tanto el enfoque formal se introduce en los
cursos de CD. La estructura de estos cursos comprende como primer tema el Conjunto de los
Números Reales, el concepto de función como un caso particular de relaciones, la definición del
límite en términos de y , una definición rigurosa de la continuidad por medio del límite. Una
vez definidos rigurosamente todos estos conceptos se plantean los teoremas y algoritmos
necesarios para llegar a la derivada y sus consecuentes fórmulas y reglas de derivación,
finalmente se proponen las aplicaciones.
Estos cambios influyeron fuertemente en la enseñanza del cálculo en general y por ende de la
derivada, los que cursaron CD guiados por el texto de Granville W. A, pronto arribaron al
concepto de derivada con un conocimiento mínimo de elementos precedentes, pero los que lo
cursaron guiándose en textos como el de Ayres F. Jr., el de Taylor/Wade o con el
Mazani/Patel/Patil, la derivada llegó hasta después de haber formalizado rigurosamente los
conceptos de números real, función, límite y continuidad. Los resultados no se hicieron esperar,
pues detrás del formalismo matemático quedaron escondidas las ideas físicas y geométricas que
generaron al concepto de derivada. Con este enfoque se exageró en darle a los contenidos del
cálculo una estructura lógica coherente en detrimento del desarrollo del significado de los
conceptos. Esto provocó que los estudiantes (y maestros) al no entender los aspectos formales del
cálculo se refugiaran nuevamente en el mero aprendizaje de algoritmos.
Inmersos en el afán de introducir acercamientos al cálculo más asequibles a los estudiantes a
principios de la década de los 60’s con la publicación del libro de Robinson, Análisis no
Standard, se rehabilitan los infinitesimales en la Matemática y se introduce el enfoque
infinitesimalista en la enseñanza del cálculo. Uno de los primeros intentos en Estados Unidos de
Norteamérica es plasmado en Keisler H. J. 1976, Hendle & Kleinberg 1979 y en México en
Cordero 0. F. 1986. En términos generales, la estructura de los contenidos básicos del cálculo en
esta tendencia son organizados mediante una especie de isomorfismo respecto de los contenidos
tradicionales. Primero se caracteriza el conjunto de los números Hiperreales (*), se asume que
(los números reales) es un campo completo y ordenado y * como una extensión de que
31
posee la propiedad de campo no arquimediano, los elementos de * son llamados infinitesimales
y se definen como:
Un número a (a *) es infinitésimo si |a| r para todo número real r.
por lo tanto un infinitamente grande (infinito) es aquel b* tal que |b| r para todo número
real r. Muchas operaciones sobre límites y derivadas que en el Análisis Standard resultan
altamente laboriosas, mediante los infinitesimales se facilitan considerablemente. En virtud de
que con este enfoque es posible definir a las curvas monótonas como si estuvieran formadas por
segmentos infinitesimales, resultan plausibles las representaciones geométricas de los triángulos
característicos de Leibniz, de los cuales se desprende que la derivada es el cociente de los
diferenciales dy y dx. Varios profesores e investigadores están en favor de introducir los
infinitesimales en la escuela, pues por su simplicidad los conceptos del cálculo pueden ser más
asequibles a los estudiantes, inclusive algunos trabajos de investigación reportan alcances
significativos con este enfoque. Aprovechando la simplicidad de las ideas infinitesimalistas en la
formación de los conceptos a través de los problemas de la variación, pueden crearse las
condiciones que propicien la comprensión del concepto de derivada.
La derivada como una aproximación afín local es una variante a la sugerida por Levi E. 1960 y
Cordero F. 198? y es actualmente utilizada en la secundaria francesa (Artigue M. 1991, Howson
G. 1991, Antibi et al 1991). En Antibi et al 1991, pp. 139-147, para introducir el concepto de
derivada se parte de la idea de coeficiente direccional (pendiente) de la recta para definir la
pendiente de la secante, estas definiciones sirven de base para introducir los conceptos de
velocidad media y de velocidad instantánea. Hechas estas consideraciones se introduce la idea de
tangente como el límite de una sucesión de secantes y con ello se establece la noción de
aproximación afín. Esta se auxilia de una función afín de la forma:
g x f a l x a( ) ( ) ( )
de modo que la aproximación afín d(x) = f(x) - g(x). De esta expresión se obtiene el grado de
aproximación entre la curva f y la tangente g(x) en una vecindad de x = a. Esta idea es
introducida con el objeto de caracterizar a la tangente g(x) como la mejor aproximación afín local
en una vecindad de a de la curva f (ver figura 6). La definición de derivada se presenta en los
siguientes términos:
Sea f una función definida en el intervalo I y a I. Decir que el número real l es la derivada de f en a
significa que la primera o la segunda de las condiciones siguientes se cumplen:
1.- La funciónh
f a h f a
h
( ) ( ) tiene por límite l si h tiende a 0.
2.- Para todo número real h suficientemente próximo a 0, f a h f a lh h h( ) ( ) ( ) donde la
función tiene por límite 0 cuando h tiende a 0.
32
Figura 6
Este enfoque (innovador dentro de los de su tipo) considera que la tangente g(x) es la mejor
aproximación lineal de la función f en la vecindad de a, de manera que l, la derivada, es el
factor de proporcionalidad entre la diferencia g(x) - g(a) y x - a. La idea de la recta como mejor
aproximación local de una curva es valiosa desde el punto de vista geométrico, sin embargo, la
derivada presentada como un factor de proporcionalidad es muy abstracto y no deja explícito el
significado de la derivada asociado a la rapidez de la variación.
Los enfoques innovadores
Un enfoque didáctico inverso a todos los anteriores es el enfoque geométrico y su principal
exponente es el libro de Cruse/Lehman publicado en USA en 1970, en este texto se parte de la
necesidad de resolver problemas de optimización en los que los recursos del álgebra resultan
insuficientes. En la solución de estos problemas aflora la necesidad de calcular pendientes de
tangentes en un punto, después sigue una línea casi histórica de la formación del concepto de
derivada a través de este problema. Primero lo estudia por medio de los métodos griegos de la
antigüedad clásica, luego por el método algebraico de las Raíces Iguales de Descartes, finalmente
con el Método de los Límites de Fermat. Con este último de hecho se arriba al concepto de
derivada (aunque a estas alturas los autores aún no utilizan este término) creando así un método
general para calcular pendientes de tangentes. Con este último método se da solución a los
problemas de optimización planteados inicialmente y se dan algunas reglas y fórmulas para
predecir pendientes de tangentes. El tratamiento explícito de las variables, funciones, las razones
instantáneas de cambio y la continuidad son tratados después. Este texto, rompe con las barreras
del formalismo matemático prevaleciente en los enfoques anteriores privilegiando ahora el
aspecto utilitarista del cálculo.
Una de las ventajas de este enfoque radica en que prioriza el significado y la utilidad práctica que
la derivada tiene en la resolución de problemas, sin embargo algunas experiencias de los
profesores (incluso la nuestra), han mostrado que seguir el desarrollo casi histórico del concepto
de la derivada consume mucho más tiempo del destinado para el curso de CD. Hay evidencias
empíricas que muestran la grandes dificultades de los estudiantes en entender que el límite de una
familia de secantes es la pendiente de la tangente (Sierpinska 1985, Orton 1977), además con este
a+h a x
f(a)
f(a+h)
0
A
g(x) = f(a) + l(x-a)
y = f(x) y
B
33
acercamientos no queda explícita la conexión entre la tangente geométrica que es un fenómeno
estático y la derivada como concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varía una
variable respecto de otra en un instante.
En México el enfoque variacional es sugerido por los grupos de trabajo que dirige el Dr. Ricardo
Cantoral y por el grupo que dirigía la Dra. Elfride Wenzelburger. En el primer caso se propone
remover el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los
cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física, de
tal manera que no se sugiere tratar tan exhaustivamente las funciones, sino más bien las
cantidades y las magnitudes, en este sentido se expresa:
...en el terreno de la enseñanza, tendemos hacia la reconstrucción de una didáctica del cálculo basada más
en las intuiciones y vivencias cotidianas de los sujetos, mediante acercamientos fenomenológicos por lo
que se atiende más al fenómeno en su relación con el concepto matemático que al concepto per se.
Cantoral R.; 1991; Proyecto de investigación: formación de la noción de función analítica; Mathesis Vol.
7, núm. 2, pp. 224
Este enfoque considera como núcleo organizador del discurso la idea de predicción para conocer
las cantidades por medio de las variaciones y en el plano analítico se le confiere a la Serie de
Taylor el papel central, pues se asume que la noción de predicción en los fenómenos de flujo
continuo de la naturaleza se ubicó como la base de significación primaria. En algunas
experiencias con este enfoque, Campero/Cantoral 1991 reportan reducciones considerables de los
índices de reprobación con estudiantes de licenciatura y un ascenso creciente en el
aprovechamiento según los resultados de exámenes parciales de un curso de cálculo. En el
segundo caso la propuesta para la enseñanza del CD está plasmada en una publicación reciente de
la Dra. Wenzelburger titulada Cálculo Diferencial, una guía para maestros y alumnos dirigida al
nivel preuniversitario, en esta propuesta se sugiere presentar las ideas fundamentales en forma
significativa con un empleo mínimo del formalismo matemático, se pretende que en el CD se
desarrollen métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, por lo que se
asume a la razón de cambio como su concepto fundamental. Al concretar estas ideas, se parte de
las razones de cambio promedio obtenidas del estudio de fenómenos de la vida diaria y se arriba a
la derivada como razón de cambio instantánea por medio de un manejo intuitivo del límite. Estas
dos variantes constituyen la línea de investigación en la enseñanza del CD de las que cuales se
nutre nuestra propuesta.
A partir de la consideración de las dimensiones intuitivas y visuales de la matemática, algunos
investigadores utilizan la microcomputadora y la calculadora como herramientas en la enseñanza
de los conceptos del cálculo (Tall D. 1991, Balderas 1992, Galindo 1992, Hitt F. y Chávez 1992).
De hecho existe una línea de investigación que explota las posibilidades que estos medios
brindan en la enseñanza de la matemática, de aquí ha emergido el enfoque computacional en la
enseñanza del cálculo. Los ordenadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización
dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante simulaciones
iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente, de visualizar las disminución
iterativa de los triángulos característicos en la presentación geométrica de la derivada, de ayudar
a la visualización de la rectitud local de las curvas por medio de magnificaciones sucesivas, de
observar curvas continuas en todas partes pero derivables en ningún punto, de racionalizar
considerablemente el trabajo con los métodos numéricos, etc.. Se ha difundido en el país software
para la enseñanza del CD por medio de micromputadoras, e incluso a nivel experimental se han
diseñado programas para calculadoras que logran acercamientos intuitivos al límite y la derivada,
34
varios investigadores han reportado éxitos importantes en la enseñanza del CD utilizando estos
medios, sin embargo este tipo de acercamientos tiene el inconveniente de ser costoso y por tanto
tiene pocas posibilidades de convertirse en recurso de uso masivo en nuestro medio.
Orientación de nuestra propuesta
Después de haber analizado los diversos enfoques ¿Hacia dónde se dirige nuestro propuesta?
Antes de inclinarse por cualquier enfoque es necesario asumir el marco general en el que se
circunscribe y para ello también es necesario contestarse la interrogante ¿Para qué enseñar
cálculo y por tanto el concepto de derivada? Las respuestas a estas preguntas a su vez dependen
de las posiciones que se adopten sobre cuestiones más generales del estilo ¿por qué enseñar
matemática?, Campistrous L./Rizo C. 1993, analizan cuatro posibles respuestas: porque es
necesaria para la vida, porque es necesaria para la ciencia y la técnica, porque desarrolla el
pensamiento lógico y porque es parte inalienable de la cultura. Desde el punto vista oficial el
cálculo en el bachillerato cumple una función propedéutica, es decir se enseña a los adolescentes
para prepararlos para estudios universitarios de cierta especialización y en los estudios
universitarios se espera puedan aplicarlo en las ciencias, en la ingeniería o en la economía,
función y propósito que sin dejar de ser apropiados, en las condiciones en que se da la enseñanza
son muy difíciles de alcanzar. Si uno de los objetivos principales de la enseñanza del cálculo
tiene que ver con su carácter utilitario entonces no tiene sentido enfatizar tanto sobre sus
estructuras abstractas como se concibe en el enfoque formal. Tampoco contribuye al logro de este
objetivo el enfoque algebraico en el que se exagera la atención dedicada al dominio de los
algoritmos, e incluso poco se puede hacer con cualquier enfoque que priorice la mera
transferencia de contenidos. Además del carácter utilitario (entendido en su relación con la
resolución de problemas de aplicación), desde nuestro punto de vista la enseñanza del CD debiera
plantearse como objetivo primario la comprensión de sus conceptos básicos a partir del desarrollo
de las ideas de la variación, para contribuir al logro de este propósito pudiera seguirse lo esencial
de su génesis histórica. Mediante acercamientos intuitivos a partir de sus aplicaciones en los
problemas de la variación, la comprensión del concepto de derivada puede verse favorecida en
los estudiantes si resuelven sistemáticamente ejercicios, problemas, situaciones problémicas, etc.,
pensados para tal fin, esto puede desarrollar habilidades, estimular la comprensión y ser la fuente
del trabajo independiente.
Nuestra propuesta se funda en el enfoque variacional y de él se adoptan las siguientes ideas:
elaborar introducciones intuitivas e informales al CD que no necesariamente se sujeten a la
estructura lógico-formal del Análisis Matemático, que desarrollen ideas variacionales que
posibiliten la comprensión de sus conceptos fundamentales; ubicar como eje rector de todo el
curso de CD al estudio de la variación de modo que la derivada no venga siendo un concepto
matemático abstracto sino un concepto desarrollado para cuantificar, describir y pronosticar la
rapidez de la variación en fenómenos de la naturaleza o de la práctica. Bajo estas premisas no se
construye la estructura matemática del cálculo para después buscarle aplicaciones como lo hacen
los textos tradicionales y lo sugieren los programas, sino por el contrario, se genera el
conocimiento en contextos prácticos o de aplicación, de modo que la derivada en particular se
forma a través de su significado físico, Siguiendo estas líneas generales en su tratamiento
didáctico es posible aportar elementos a los estudiantes que les ayuden a comprender este
concepto.
CAPITULO 4
ELEMENTOS PARA UNA PROPUESTA
Al analizar la producción científica en México sobre la investigación educativa en cálculo en
la década de los 80’s, Bonilla E., Block D, Waldegg G. y otros,1 distinguen básicamente dos
corrientes, una cercana al aprendizaje y la otra a la enseñanza. Los trabajos que se inscriben
en la primera línea están orientados a investigar la génesis histórica de sus conceptos básicos,
en la detección y análisis de las dificultades que obstaculizan su adquisición, tanto en el
contexto histórico como en la práctica educativa; los trabajos de la segunda corriente se
interesan por reelaborar el discurso matemático escolar, ya que se reconoce que el vigente no
es el más apropiado para la comunicación de las ideas matemáticas. En la década pasada se
introdujo en las investigaciones educativas en cálculo, un método para llevar a la práctica el
cúmulo de resultados empíricos obtenidos en las investigaciones, en esta corriente,
denominada Ingeniería Didáctica, se inscriben varios trabajos que dirige actualmente la Dra.
Rosa María Farfán. Esta corriente es considerada en Farfán R. M. (1994) “como una
metodología de investigación, aplicable tanto a productos de la enseñanza basados o
derivados de la investigación, como una metodología de investigación para experimentación
en clase”.2
Uno de los motivos principales de nuestro trabajo es similar al de la Ingeniería Didáctica,
diseñar una propuesta didáctica que incida en la práctica educativa y que aporte elementos
para la comprensión de los principales conceptos del cálculo, en especial de la derivada, en
estudiantes del bachillerato. La razón que nos mueve hacia este objetivo se fundamenta en la
premisa de que, en la enseñanza no basta con conocer el fenómeno sino que, además, es
necesario transformarlo para mejorarlo. En el capítulo anterior se han puesto de manifiesto
varias deficiencias que pueden estar incidiendo en la compresión del concepto de derivada,
para contribuir a su mejoramiento en esta parte de la tesis nos proponemos desarrollar la
propuesta didáctica. Los fundamentos teóricos de nuestra propuesta descansan en las
modernas concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, partimos de los resultados
obtenidos por la psicología soviética y en sus aplicaciones a la enseñanza de la matemática
realizadas en el curso de los últimos 50 años. En cuanto a la Didáctica se asumen los
lineamientos, que para el tratamiento de conceptos, propone la Metodología de la Enseñanza
de la Matemática (MEM) además de que se toman en cuenta algunos elementos de la solución
de problemas. Incorporamos también algunos aportes que aunque parten de principios
diferentes no contradicen, sino que desde nuestro punto de vista, complementan estas ideas.
También en esta propuesta se utilizan algunos resultados derivados de las investigaciones
que en la enseñanza del cálculo se han obtenido en el contexto nacional, principalmente del
grupo de trabajo que dirigen los Doctores Ricardo Cantoral y Rosa María Farfán. Esta 1 Bonilla E., Block D; Waldegg G. y otros; Cuaderno 10 del 2o. Congreso Nacional de Investigación Educativa
titulado: La Investigación Educativa en los Ochentas perspectivas para los Noventas. Estados de Conocimiento.
Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas; Editorial del Magisterio; pp. 47, 1993. 2Farfán R. M; Ingeniería didáctica en precálculo. Acerca de la puesta en escena de los resultados de
investigación en el sistema de enseñanza; Memorias de la Octava Reunión Centroamericana y del Caribe sobre
Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa; San José de Costa Rica; pp. 457-462, 1994.
propuesta pudiera sumarse a los esfuerzos de investigadores mexicanos por conformar
nuestros propios acercamientos didácticos en la enseñanza del CD.
Elementos de la teoría del conocimiento
En la enseñanza de la matemática, en su acepción más general, se pretende que los estudiantes
adquieran conocimientos y desarrollen habilidades y capacidades matemáticas. Para nuestro
trabajo tienen interés los conceptos básicos del CD, en particular la derivada, y las ideas
variacionales que les dieron origen. Por tal razón, primero se establece lo que entendemos
por concepto en el contexto del conocimiento en general y luego se caracteriza el concepto
de derivada en el contexto de la variación.
Las discusiones sobre la naturaleza del conocimiento se dan en el terreno de las Teorías del
Conocimiento y en la Lógica, nuestra propuesta se fundamenta en las tesis del Materialismo
Dialéctico, especialmente en su Teoría del Conocimiento. En este marco, el conocimiento se
concibe como un proceso histórico-social de la actividad humana orientada a reflejar la
realidad objetiva en la mente del hombre. El conocimiento es posible gracias a la actividad
cognoscitiva, ésta “es una actividad que va más allá de la simple actividad práctica del
hombre y su objetivo esencial es el conocimiento de las propiedades y relaciones de los
hechos y fenómenos del mundo circundante”3. El conocimiento atraviesa por una
complejidad de niveles que se diferencian por el grado en que reflejan el mundo objetivo y
por las formas y métodos de la actividad cognoscitiva.
El conocimiento es primeramente sensorial, se logra mediante el contacto directo con el
mundo material y se refleja en forma de sensaciones, percepciones y nociones, con ellos se
dan los primeros acercamientos hacia los objetos y fenómenos circundantes. Sin embargo la
imagen sensorial del mundo es insuficiente para un conocimiento más profundo, para conocer
más a fondo la realidad objetiva el hombre no se limita a la contemplación directa, pues
conoce nexos y relaciones del mundo material que no se captan directamente. Es aquí donde
nace el pensamiento abstracto, primeramente en forma de conceptos íntimamente ligados al
lenguaje. El hombre no es capaz de conocer todas las propiedades de los hechos o fenómenos
de una sola vez, sino que selecciona aquellas que le son de interés y prescinde de las demás,
a esto se le reconoce como abstracción. Sólo mediante el lenguaje es posible la abstracción
de propiedades del objeto de conocimiento y en él se puede fijar la representación del
concepto mismo en una palabra, en una serie de símbolos o señales. Los conceptos son pues
las ideas que reflejan ésas propiedades esenciales de los objetos y procesos de la realidad y
se materializan por medio del lenguaje.
De las relaciones que se dan entre los conceptos o los fenómenos de la realidad se expresan
los juicios, en éstos se afirma o niega algo sobre aquéllos, de la conexión ordenada entre
conceptos y juicios resultan otros juicios que en su conjunto constituyen razonamientos.
Principalmente de conceptos, juicios y razonamiento se constituye el conocimiento
científico, éste tiene como rasgos esenciales la racionalidad y la objetividad. Desde luego que
el proceso del conocimiento no es lineal (y por supuesto el conocimiento científico no escapa
a esta regularidad) más bien es un complejo proceso que asemeja a una especie de espiral
3 Colectivo de autores del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas del Ministerio de Educación de Cuba,
Pedagogía; Editorial Pueblo y Educación, La Habana Cuba, pp. 197, 1989.
ascendente en donde el conocimiento sensorial está en estrecha conexión e interdependencia
con el conocimiento abstracto, aunque éste domina sobre el primero, siempre se apoya en el
conocimiento sensorial para cumplir mejor su papel. Estas interrelaciones no se dan en el
mismo nivel sino que siempre se dan en estadíos cada vez superiores, nuestro conocimiento
se desarrolla de un nivel superficial a un nivel más profundo teniendo a la práctica como
criterio de la verdad, Lenin sintetizaba este proceso estableciendo: “de la percepción viva el
pensamiento abstracto y de éste a la práctica, tal es el camino dialéctico del conocimiento de
la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva”4.
Elementos sobre la naturaleza variacional de la derivada
La derivada, como concepto matemático refleja con gran precisión una de las propiedades
esenciales de los fenómenos de la realidad objetiva: la rapidez de la variación. En el contexto
de la variación está estrechamente relacionada con tres nociones fundamentales: el cambio,
la rapidez promedio del cambio y la rapidez instantánea de cambio. Analizaremos a
continuación cada uno de ellos y su relación con los conceptos fundamentales del CD.
La introducción de los conceptos de variable y función a la matemática fue propiciada
principalmente por el estudio de los fenómenos del movimiento que se dan en la naturaleza.
Aclaremos primero lo que se entiende por movimiento. En la obra Dialéctica de la
Naturaleza, Engels señala que el movimiento, en el sentido más general, “es una modalidad
o un atributo de la materia que abarca todos y cada uno de los cambios y procesos que se
operan en el universo que van desde el simple desplazamiento de lugar hasta el del
pensamiento”.5 En la mecánica, el movimiento se define como un cambio continuo de
posición y una de sus manifestaciones más simples es el desplazamiento de lugar, para
reflejar los desplazamientos y en general las fuerzas que obran sobre los cuerpos y
determinan los desplazamientos, en la física se introduce el concepto de vector, éste se
determina por su valor numérico, dirección y sentido y se representan mediante segmentos
dirigidos. Empero, muchos cambios que suceden en la naturaleza no necesariamente se
ajustan a una representación vectorial, pues hay fenómenos del movimiento como el aumento
o disminución de volúmenes de líquidos, de áreas, etc., que con sólo determinar el valor
numérico o el tamaño de los cambios es posible explorar otras de sus propiedades. En los
dos casos el valor de los cambios se determina por medio de la medición y la comparación.
El problema de la medición jugó un papel importante en el desarrollo de la matemática, pues
propició la interconexión entre la aritmética y la geometría, entre lo discreto y lo continuo,
entre el número y la magnitud. Las magnitudes son caracterizadas en Moreno A. L. (1991),
como “las abstracciones representadas geométricamente de las cosas medibles continuas”6.
El número, por otro lado, está asociado a la cantidad de veces que cabe la unidad de medida
en lo que se mide, aquí se entrecruzan dos de los elementos contrastantes abstraídos de la
4 Lenin V. I.; Obras completas, tomo 38; Editorial Política, La Habana Cuba, pp. 165, 1964. 5 Engels, F.; Dialéctica de la Naturaleza, OME-36 Obras de Marx y Engels; CRITICA Grupo Editorial Grijalvo;
Barcelona España, pp. 56-57, 1979. 6 Moreno A. L.; En torno del número y la variación; Mathesis (Departamento de Matemáticas de la Facultad
de Ciencias de la UNAM), Vol 7, Núm. 2; pp. 289-204, 1991.
realidad, lo discreto y lo continuo. Para cuantificar lo discreto conmensurable basta con los
números enteros, lo segundo históricamente estuvo relacionado con la divisibilidad de la
materia y sus implicaciones en la matemática dieron lugar a la creación de los números
racionales, los infinitesimales y los números reales. Lo discreto es característico de algunos
objetos de la realidad que son indivisibles en el sentido que cuando se dividen dejan de ser
lo que eran (medio de hombre, dos tercios de manzana, etc.), por otro lado, los objetos
continuos y homogéneos son susceptibles de ser divididos ilimitadamente y agrupados sin
perder su carácter esencial. De éstos últimos objetos se pueden abstraer sus longitudes, áreas,
volúmenes, o relacionarlos con el tiempo en ciertos fenómenos, éstas magnitudes como
representan alguna característica de objetos o fenómenos continuos son también continuas.
El concepto de variable es introducido en la matemática como magnitud variable la cual
evidencia su carácter geométrico y continuo, pues era condición suficiente para estudiar
curvas descritas por un movimiento continuo o de varios de estos movimientos. La condición
de continuidad de las variables fue necesaria para el establecimiento de las bases del cálculo.
Newton consideraba a las magnitudes matemáticas no como compuestas de partículas
extremadamente pequeñas “sino como descritas por movimientos continuos”7, continuos en
el sentido de que no presentaban interrupciones. De ahí que el concepto fundamental del
calculus, el infinitesimal, fuera considerado como variable continua que se desvanece
(actualmente diríamos que tienen como límite cero). No obstante, el desarrollo ulterior del
análisis requería de mayor precisión en la teoría de las magnitudes variables y sobre todo en
la definición de número real como valor posible una magnitud variable, en este empeño la
teoría rigurosa de los límites posibilitó el surgimiento de la teoría de los números reales. Con
ello las magnitudes variables son llevadas a un nivel de abstracción mayor, pues son
despojadas de su ropaje geométrico e intuitivo, ahora un intervalo es un conjunto de puntos
y el rango de variación de una variable un conjunto de números reales, por lo que una variable
numérica, digamos x, “es cualquier cosa que puede tomar distintos valores numéricos”8.
Aunado al desarrollo del concepto de variable, el concepto de continuidad pasó, de una
concepción geométrica e intuitiva de una variación ininterrumpida generada por
movimientos continuos, a un concepto matemático abstracto definido en términos del límite.
Todos los objetos y fenómenos de la naturaleza están relacionados de alguna manera, es de
esperarse por tanto que las variables que son abstracciones obtenidas de la variación concreta,
también lo estén. En la búsqueda de las leyes generales que rigen el movimiento de los
cuerpos en la naturaleza cobraron una importancia vital estas relaciones. Lo esencial de ellas
radica en que algunas variables quedan completamente determinadas por los valores que
adquieren las demás, un tipo particular de relación de correspondencia dio origen a las
funciones. Las variables y las funciones son modelos matemáticos, las primeras dan cuenta
de los cambios concretos que ocurren el realidad y las segundas dan cuenta de las relaciones
de correspondencia que guardan entre sí las variables en consideración. Una de las ideas más
fructíferas que influyó en el desarrollo de la matemática de las variables fue sin duda la
conexión entre la noción de función y la representación geométrica de una curva, esta
7 Wuissing H.; Conferencias sobre historia de las Matemáticas; Editorial Pueblo y Educación; La Habana Cuba,
pp. 140, 1990. 8 Aleksandrov, A. N.; Kolmogorov A. N.; Laurentiev y otros, La matemática; su contenido su método y su
significado; Alianza Universidad, séptima Edición. Madrid, España, pp. 66, 1985.
conexión fue desarrollada exitosamente con la introducción del sistema de coordenadas
rectangulares en la Geometría Analítica. Sus expresiones analíticas y su representaciones
geométricas hacen posible operar con ellas, en este sentido, Ríbnikov K. (1987)
atinadamente señala, que el concepto de función tiene dos aspectos importantes, “la función
como correspondencia y la función como expresión analítica, sin embargo, la posibilidad de
realizar operaciones con ellas está relacionada con sus expresiones concretas: con los medios
de la geometría o las expresiones analíticas simbólicas”9. Dado el desarrollo alcanzado por
el análisis, y en particular el impulso dado por la teoría de los limites y la teoría de conjuntos,
el concepto de función ha adquirido un alto nivel de abstracción. Este concepto tiene como
marco general la noción de correspondencia entre conjuntos, inclusive ahora se acepta que
una función es tal, aunque no necesariamente esté representada por una expresión analítica o
fórmula matemática, pues es condición necesaria y suficiente que, en el conjunto de pares
ordenados a que den lugar las correspondencias no aparezcan en más de una vez alguno de
las primeros elementos de ésos pares. De este modo las variables y funciones pasaron, de ser
modelos matemáticos que reflejan la variación concreta y las relaciones entre las variables,
a conceptos matemáticos abstractos distantes de los fenómenos que les dieron origen.
Existen muchos problemas del movimiento en donde no solo interesan las variables y las
relaciones que se dan entre ellas, sino que interesa la rapidez con que cambia una variable
respecto de otra. Una de las nociones más conocidas asociadas a la rapidez de la variación es
la velocidad10, por ejemplo en la trayectoria de un cuerpo impulsado se necesita saber con
qué velocidad se impactará con el blanco, en el flujo de los líquidos es muy importante
determinar el volumen del líquido que fluye por unidad de tiempo, en la variación de la
temperatura de los cuerpos interesa qué tan rápido ésta aumenta o disminuye en determinado
instante, etc.. Los fenómenos del movimiento de los objetos en la superficie de la tierra o
cerca de ésta y el movimiento de los astros, fueron de gran interés para los matemáticos del
pasado, de estos fenómenos la determinación de su velocidad y la aceleración era algo
fundamental. La velocidad y la aceleración miden la rapidez con que cambia la distancia y la
velocidad respecto del tiempo respectivamente. Cuando el movimiento del cuerpo describe
una trayectoria rectilínea y se mueve uniformemente su velocidad en cualquier instante puede
determinarse con la razón de cambio promedio, en cambio si la trayectoria es no rectilínea y
no uniforme, el cálculo de su velocidad en cada instante se complica. Complicaciones
similares se presentan cuando se desea determinar la aceleración instantánea de algún cuerpo
cuya velocidad también varía a cada instante. Otro problema parecido a los anteriores es la
determinación de la dirección instantánea del movimiento, en la cinemática la dirección del
movimiento se obtiene del vector resultante de la suma de sus componentes perpendiculares.
Determinar la dirección del movimiento cuya trayectoria cambia a cada instante, no es un
problema sencillo.
Para calcular tanto la rapidez como la dirección instantánea del movimiento (aunque esta
última requiere de una función vectorial) el recurso de la rapidez promedio es insuficiente,
para calcularlas no queda otra alternativa mas que introducir los procesos infinitos, en
9 Ibídem, Ob. Cit. 2, pp. 219-220 10 En la física se hace una diferenciación precisa de los conceptos de rapidez y velocidad, la primera es una
magnitud escalar y la segunda es una magnitud vectorial, sin embargo a veces se les utiliza indistintamente para
referirse al módulo del vector velocidad. Este es el sentido en que se manejan estos términos en esta tesis.
especial el concepto de límite o las magnitudes infinitamente pequeñas. Detrás de las
nociones de velocidad, aceleración y dirección instantáneas, subyace un concepto más
general, el de razón de cambio instantánea, ésta a su vez es modelada por la derivada. La
razón de cambio instantánea permite cuantificar la rapidez con que fluye una variable
continua respecto de otra en un instante teniendo disponible algún modelo funcional
(función). He aquí la relación entre las variables, las funciones y la derivada. Las fórmulas
de las funciones, que expresan la regla o ley a las que se sujetan las relaciones de
correspondencia entre las variables, son imprescindibles en el cálculo de las razones de
cambio instantáneas pues permiten realizar operaciones. Esta posibilidad de operativizar que
brindan las fórmulas de las funciones y la noción de límite, son los elementos fundamentales
en la determinación de las razones de cambio instantáneas y por tanto de la cuantifcación
relativa de la variación.
En síntesis, mientras las variables y las funciones dan cuenta de la variación concreta y de
las relaciones que se dan entre ellas y la razón promedio de cambio da una aproximación
sobre la rapidez de la variación, la derivada proporciona la cuantificación exacta de la rapidez
con que cambia una variable respecto de otra en cualquier instante. En un contexto mas
general la derivada puede ser considerada como la razón de cambio de una variable respecto
de otra en un punto. En el proceso de su formación, en tanto se parte del estudio de los
problemas del movimiento abstrayendo de ahí los conceptos y relaciones sobre las variables,
función, límite y el de la derivada mismo, para aplicarlos en la resolución de problemas de la
práctica, reafirma la validez de la premisa de que el conocimiento parte de la realidad objetiva
hacia el pensamiento abstracto y de éste a la práctica. Crear las condiciones didácticas que
acerquen a los estudiantes hacia este método del conocimiento puede proporcionar elementos
que les ayuden a comprender los principales conceptos del cálculo. Hacia esta meta está
dirigida nuestra propuesta.
Elementos psicopedagógicos
En las investigaciones sobre la enseñanza del cálculo en nuestro medio el constructivismo de
Piaget se ha convertido prácticamente en el paradigma psicológico en que se fundamentan
casi la totalidad de trabajos, inclusive bajo la perspectiva del constructivismo, de la
epistemología genética y del método histórico-crítico, varios investigadores han
profundizado sobre los procesos de adquisición de las nociones fundamentales del cálculo11.
El constructivismo considera el conocimiento como una reconstrucción, como una
reinvención, como una especie de redescubrimiento que el individuo realiza a través de su
actividad con el medio, este proceso será más o menos comprensible para el sujeto en
dependencia de las estructuras operatorias de pensamiento que posea (del pensamiento
preoperatorio, del pensamiento operatorio concreto y las del pensamiento lógico formal).
Bajo este enfoque se entiende que el aprendizaje es un proceso de reconstrucción, de
redescubrimiento en donde el contenido principal que va a ser aprendido no se da, sino que
debe ser descubierto por el alumno, éste organizará lo que se le proporciona de acuerdo con
los instrumentos intelectuales que posee y de sus conocimientos anteriores.
11 Varios investigadores que trabajan en esta línea confluyen en el grupo internacional Psicology of Mathematics
Education afiliado al International Comission for Mathematics Instruction (ICMI).
En la propuesta se asume que la elaboración de los conceptos del cálculo se puede facilitar
si se toma en cuenta la génesis histórica de su construcción, en este sentido se comparte la
posición constructivista y se utiliza en la concepción pedagógica. Esta presupone la
formación de los ideas y conceptos básicos del cálculo bajo la dirección fundamental del
profesor. Por tales razones en la propuesta, estas ideas y conceptos se forman paulatinamente
bajo la dirección del profesor a partir del estudio de los problemas de la variación física que
históricamente les dieron. Esta reconstrucción no es tan solo guiada el mero hecho del
redescubrimiento, sino porque seguir las ideas esenciales que sobre el movimiento
históricamente posibilitaron su creación puede ayudar a formar estos conceptos con un
significado muy cercano a la experiencia del individuo, porque esta vía evidencia la relación
entre este concepto matemático con la realidad, porque esta vía puede propiciar la formación
de este concepto a través de la resolución de problemas de la física, porque su formación a
partir de la resolución de problemas puede ser una condición necesaria para el desarrollo de
la habilidad de aplicación a otros campos de la ciencia, de la práctica o de la matemática
misma.
En la formación de los conceptos básicos del cálculo, en especial de la derivada, la propuesta
toma en cuenta también otras posiciones que no divergen mucho de las posiciones generales
adoptadas en un principio. Una de ellas es el aprendizaje significativo en el sentido en que lo
entienden D. P. Ausubel y colaboradores. De acuerdo con estas posiciones, la esencia del
aprendizaje significativo reside en que “las ideas expresadas simbólicamente son
relacionadas de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno
ya sabe, por relación sustancial y no arbitraria se entiende que las ideas se relacionan con
algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del alumno,
como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición”.12
La potencialidad significativa de la tarea de aprendizaje depende de dos factores principales,
tanto de la naturaleza del contenido que va aprender como de la naturaleza cognoscitiva del
alumno en particular. La naturaleza del contenido matemático que se pretende sea aprendido
con nuestra propuesta, es potencialmente significativo, pues la esencia de los conceptos del
cálculo radican en los fenómenos de la variación y en particular la naturaleza de derivada
está estrechamente relacionada con en la velocidad o rapidez instantánea de la variación
física. La formación del concepto de derivada en nuestra propuesta es significativa en tanto
se relaciona con la velocidad o rapidez de la variación física y considera a este concepto
como parte de la estructura cognoscitiva del estudiante, es decir como un conocimiento que
ya posee, pues los fenómenos como la velocidad o la rapidez media forman parte de su
experiencia cotidiana. Es necesario aclarar que las relaciones entre el contenido y los
fenómenos de la variación física en la propuesta, no son establecidas una vez que se arriba al
concepto matemático, sino que son los problemas de la variación física los que dan origen al
contenido matemático. De este modo las ideas del cálculo en la propuesta emergen siempre
de su significado físico.
12Ausubel D. P.; Novak J. D; Hanesian H.; Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo; Editorial
Trillas; México D.F. pp. 48-49, 1995.
Por otro lado, la enseñanza tiene una fuerte influencia en el aprendizaje en el medio escolar,
por tanto no puede ser minimizada, a este respecto el Colectivo de Autores del ICCP (1989)
señalan que “la enseñanza existe para el aprendizaje y mediante ella se estimula éste, lo que
permite que estos dos procesos mantengan cada uno sus peculiaridades y al mismo tiempo
constituyan una unidad, el maestro es el creador de las condiciones para que los alumnos
puedan aprender en forma productiva y racional”.13 El énfasis del constructivismo en el
carácter activo que tiene el sujeto en la obtención del conocimiento, da pie para que la
enseñanza propicie las condiciones para que el sujeto por sí mismo construya los
conocimientos, evitando ofrecércelos como algo ya acabado, su limitación fundamental
reside, según varios investigadores14, en no comprender suficientemente el carácter
desarrollador y no tan solo facilitador del proceso de enseñanza, lo que reduce su rol de vía
esencial para el desarrollo de sus procesos intelectuales. Para nuestra propuesta, en la Teoría
psicológica de la Actividad desarrollada por L. S. Vyogotsky, S. L. Rubinstein, A. N.
Leontiev, P. Galperin, N. Talízina y otros, encontramos algunas de las bases
psicopedagógicas para estimular el papel desarrollador del proceso de enseñanza. En esta
teoría se parte de la premisa general de que el conocimiento es posible gracias a la actividad,
A. N. Leontiev, planteó que la interacción entre el sujeto y el objeto, gracias a la cual se
origina el reflejo psíquico que media esta interacción y la regula, se da en forma de actividad.
La actividad humana se sujeta a ciertas regularidades, es orientada hacia algo, la actividad
no se realiza sin motivo alguno, es básicamente inducida y regulada por ciertas motivaciones,
vivencias afectivas, por la voluntad, etc. A partir de esta regularidad se puede responder al
¿qué? y ¿por qué? de la actuación del sujeto, la actividad tiene que ser realizada por el sujeto
pero lo importante radica en cómo la ejecuta, la formas básicas de ejecución de la actividad
se expresan mediante las habilidades, los hábitos y las capacidades; la actividad no solo se
orienta y ejecuta, también juega un papel importante el control que se expresa mediante la
valoración de la actividad y es un elemento importante que ayuda a determinar su calidad.
Todos estos aspectos interactúan entre sí de manera que constituyen una unidad guardando
todos ellos sus peculiaridades, la calidad de las acciones no sólo depende de la forma de cómo
se realiza la actividad sino también de las condiciones que la inducen, a su vez la valoración
de la actividad permea a las acciones orientadoras y ejecutoras y constituye un indicador para
la retroalimentación y rectificación de errores. En este mismo contexto el aprendizaje viene
siendo la asimilación de la actividad que se da en condiciones concretas de un proceso
especialmente organizado y dirigido para ello, o sea, del proceso de la enseñanza. En la
enseñanza se organiza y dirige un tipo particular de actividad, la actividad cognoscitiva, la
asimilación de este tipo de actividad básicamente se manifiesta mediante la adquisición de
conocimientos, mediante el desarrollo de habilidades, hábitos y capacidades.
La adquisición de conocimientos está estrechamente relacionado con el saber y las
habilidades, los hábitos y las capacidades son manifestaciones del poder hacer. Aunque el
tema de las habilidades, hábitos y capacidades es aún controvertido, en este trabajo se
13Colectivo de autores; Pedagogía; Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, MINED; Editorial Pueblo y
Educación; La Habana, Cuba, pp. 182-183, 1989. 14 Colectivo de autores; Tendencias Pedagógicas Contemporáneas; Ediciones ENPES, La Habana Cuba, pp.
76-77, 1991.
adoptan las establecidas por H. Brito (1988)15, que siguiendo la línea de A. N. Leontiev señala
que la actividad existe necesariamente a través de una serie de acciones y las acciones son
procesos subordinados a objetivos y fines conscientes. Las acciones se sustentan a su vez en
operaciones, que consisten en procedimientos o vías, que variarán en dependencia de las
condiciones con que el sujeto se enfrente para poder alcanzar el objetivo. Bajo estas premisas
considera que las habilidades son formas de ejecución de la actividad constituidas por una
sistematización de las acciones y como éstas son procesos subordinados a un objetivo o fin
consciente, no pueden automatizarse, ya que su regulación es consciente. Los hábitos por
otro lado, constituyen la sistematización de operaciones y como estas no responden a un
objetivo o fin consciente sino a las condiciones de la actividad que determinan la forma de
ejecución, la sistematización se convierte en una automatización. La capacidad es la forma
generalizadora de ejecución de la actividad y está constituida por el sistema de acciones y
operaciones, determinadas por las habilidades y los hábitos, los cuales garantizan la ejecución
del sujeto. Tanto las capacidades, habilidades y los hábitos tienen que ver con el dominio de
ejecución de la actividad del sujeto, el nivel dominio de la actividad está relacionado con el
grado de sistematización de su ejecución lo que trae aparejado que el sujeto llegue a ejecutar
las actividades con independencia, en tanto la sistematización en la ejecución de la actividad
se hace más consistente, el individuo gana en independencia.
Ahora bien, en la propuesta se asume que para desarrollar habilidades es necesario que los
estudiantes resuelvan problemas de manera sistemática. Se entiende por problema a aquélla
situación en la cual, dadas determinadas condiciones más o menos precisas, se plantean una
o varias exigencias, la vía de solución es desconocida por el sujeto. La comprensión de las
ideas básicas del cálculo, particularmente las asociadas a la derivada, puede ser más profunda
y significativa, si éstos son introducidos a través de la resolución de problemas,
particularmente los relacionados con la variación. Matemáticos e investigadores en
educación matemática como G. Polya, A. Schoenfeld, A. Labarrere, por mencionar algunos,
han destacado la importancia tan grande que tienen en la enseñanza de la matemática,
inclusive algunos opinan que ésta debiera reducirse a la resolución de problemas. La
enseñanza de la matemática a través de problemas se fundamenta en dos razones principales,
una histórica y otra psicopedagógica.
Históricamente se ha demostrado que el desarrollo de teorías y conceptos matemáticos casi
siempre ha provenido de la necesidad de resolver problemas concretos, por otro lado en el
plano psicopedagógico, la resolución de problemas puede desarrollar el pensamiento. Ya en
las páginas anteriores se han dado varios argumentos que la fundamentan el aspecto histórico.
En el plano psicopedagógico asumimos algunos criterios establecidos por Labarrere A.
(1987)16, estos consisten principalmente en considerar que la relación orgánica entre la
solución de problemas y el pensamiento, constituye la base y el punto de partida de la
formación de la actividad cognoscitiva del alumno en el proceso de enseñanza. En la
actividad cognoscitiva intervienen los conocimientos acumulados por el individuo y los
procedimientos a través de los cuales los obtiene, también en ella participan los procesos
15Brito H.; 1988; Habilidades y hábitos; consideraciones psicológicas para su manejo pedagógico; Revista
Varona; No. 20; pp. 53-60; La Habana, Cuba. 16Labarrere S. A. ; Bases psicopedagógica de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.
Editorial Pueblo y Educación, La Habana, Cuba, pp. 53-60, 1987.
psíquicos como la percepción, la atención, la memoria y el pensamiento, éste último tiene un
papel central en la actividad cognoscitiva. Por el lugar que ocupa el pensamiento en la
actividad cognoscitiva, la tarea de su formación de esta última se corresponde, en gran
medida, con la formación del pensamiento en el escolar, por tal razón se comprende a la
formación de la actividad cognoscitiva como la formación del pensamiento en el alumno.
La propuesta aprovecha las potencialidades que desde el punto de vista cognoscitivo poseen
los problemas relacionados con la variación y son utilizados para explotar su función
desarrolladora del pensamiento, particularmente en la comprensión de las ideas básicas del
cálculo. ¿Qué se entiende por comprender un concepto? Varios profesores de cálculo creen
que sus alumnos han comprendido el concepto de derivada si reproducen fielmente la
definición vista en clase, creen además que con el hecho de escribir la definición en la pizarra
y exhibir algunos ejemplos ese concepto quedará asimilado. Estas prácticas y creencias sólo
atienden y estimulan la memorización, la cual no garantiza la comprensión.
En Vinner S. (1991)17 se asume que comprender un concepto significa tener una imagen
conceptual para él, por imagen conceptual se entiende a toda estructura cognoscitiva asociada
a un concepto que incluyen todas las imágenes mentales y sus propiedades asociadas a otros
procesos. Desde nuestra posición, la comprensión de un concepto no incluye sólo las
representaciones o imágenes mentales, sino implica sobre todo desarrollo del pensamiento y
éste puede ser desarrollado por medio de las habilidades. Por supuesto que es necesario que
el estudiante sepa y evoque, por ejemplo, que la derivada es la razón de cambio de una
variable respecto de otra en un instante, pero más importantes son las acciones que el
individuo realice apoyándose en este saber, de ahí la importancia de las habilidades en la
propuesta.
Elementos didácticos y metodológicos
La MEM es el marco didáctico general en el que se inscribe la propuesta. Esta metodología
fue difundida en Cuba por los Doctores Werner Jungk, Wolfgang Zillmer y otros,
actualmente es desarrollada en ese país por grupos importantes de profesores e
investigadores. La MEM, se define como una “disciplina pedagógica cuyo objeto de estudio
es el proceso de educación e instrucción que se opera en la transmisión y apropiación de los
conocimientos, las habilidades y capacidades matemáticas”.18 La MEM es una de las
disciplinas del Sistema de Ciencias Pedagógicas, tiene como marco más general a la
Pedagogía concebida como Ciencia de la Educación y a la Didáctica como Teoría de la
Enseñanza, se pudiera decir que la MEM y las Metodologías de la Enseñanza de otras
asignaturas, constituyen las Didácticas Especiales en las que se concretan las leyes y
principios generales establecidas en la Teoría de la Enseñanza y en la Ciencia de la
Educación. Las investigaciones científicas en la MEM surgen de la práctica de la enseñanza
de la matemática y el consumidor de los productos de la investigación es la práctica escolar
misma. De manera sintética Jungk W. (1989), caracteriza a la MEM estableciendo que “se
17Vinner S.; The role of definitions in the teaching and learning of mathematics; del libro Advanced
Mathematical Thinking, Editado por Kluwer Academic Publishers, pp. 65-79, 1991. 18 Colectivo de autores de la Facultad Matemáticas del ISPEJV; Metodología de la Enseñanza de la Matemática,
tomo 1; Editado por la Universidad Autónoma de Sinaloa, Méx., pp. 6, 1995.
ocupa de la determinación y diferenciación de los objetivos y contenidos de la enseñanza de
la matemática, sobre la base de las orientaciones dadas por la sociedad, de la investigación
de las leyes del proceso de enseñanza-aprendizaje, del desarrollo de métodos y medios para
dirigir el proceso y de la confección de una teoría de la MEM”.19
A fin de descubrir regularidades del proceso de enseñanza-aprendizaje bajo el enfoque
sistémico, en Zillmer W. (1981) se caracterizan ciertas situaciones de enseñanza
denominadas situaciones típicas. Estas se definen como situaciones reales en la enseñanza
de una o varias asignaturas que poseen semejanza entre sí, sobre todo con respecto a
determinados parámetros esenciales, especialmente con respecto de los objetivos y a la
estructura objetivo-materia, por eso, estas situaciones permiten un proceder semejante en la
aplicación de una determinada estrategia de conducción y de procedimientos metodológico-
organizativos20. En las clases de matemáticas son situaciones típicas, el tratamiento de
Conceptos y sus Definiciones, de Teoremas y sus Demostraciones, de Sucesiones de
Indicaciones con Carácter Algorítmico y de Ejercicios de Aplicación y Resolución de
Problemas. Todo profesor de matemáticas en algún momento tiene que ver con alguna de
estas situaciones porque le son inherentes a su trabajo. Particularmente nuestra propuesta se
basa en la situación típica tratamiento de Conceptos y sus Definiciones.
Elementos sobre el enfoque
Tradicionalmente el enfoque predominante en la enseñanza del CD, por ende del concepto
de derivada, no ha considerado prioritario la comprensión de sus ideas y conceptos básicos.
Nuestra propuesta se basa en el enfoque variacional, éste consiste fundamentalmente, en
considerar al estudio de la variación, como una especie de línea directriz que penetra a todo
lo largo del curso de cálculo (incluso que rebasa sus fronteras). En este enfoque se trata de
acercar a los estudiantes a la línea cognitiva que siguieron los matemáticos del pasado,
generando las nociones básicas partir del estudio de problemas sencillos sobre la variación.
Bajo estas consideraciones, el contenido matemático del curso de cálculo no se ciñe
necesariamente a la estructura lógico-formal del Análisis Matemático, más bien se trata de
una introducción intuitiva e informal que tiene como punto de partida las necesidades
prácticas desprendidas del estudio de la variación.
Sobre ésta última, tres nociones físicas son las fundamentales: la variación, la rapidez
promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación. A través del estudio de los
problemas de la variación queda al descubierto la verdadera esencia del concepto de derivada,
escondida detrás de la estructura rigurosa del análisis o detrás de su significado geométrico.
La esencia de este concepto radica en que cuantifica no al mero fenómeno del cambio, sino
la rapidez de los cambios, esto es, cuantifica la rapidez con que cambia una variable respecto
de otra, pero no en intervalos grandes de tiempo sino exactamente en un instante, en un
punto. Esta cuantificación implica necesariamente la introducción de otra noción clave del
cálculo, el límite, en la propuesta este concepto se introduce por la necesidad de calcular la
19 Jungk W.; Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática; Editorial Pueblo y Educación
, La Habana Cuba, pp. 7, 1989 20 Zillmer W.; Complementos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, Editorial de libros para la
Educación, La Habana Cuba, pp. 155, 1981
rapidez instantánea pues es una pieza clave en este cálculo y no por el hecho de ser un
concepto matemático interesante. Por tal razón no se abunda demasiado sobre este concepto,
su tratamiento se reduce al análisis de la convergencia de sucesiones de cocientes d/t
cuando a t se le asignan valores numéricos próximos a cero y se conecta con la noción de
infinitesimal a efecto de justificar las operaciones con ellos. Este enfoque pues, privilegia al
estudio de la variación física, ubica al límite como el recurso para resolver los problemas de
la rapidez instantánea de la variación y lo conecta con la noción de los infinitamente
pequeños.
Sobre el objetivo del Cálculo Diferencial
En un plano general, consideramos que el objetivo fundamental de la enseñanza del CD en
el bachillerato debiera centrarse que los estudiantes comprendan sus conceptos básicos, en
especial la derivada. Esto implica el desarrollo de las concepciones variacionales,
principalmente las de la variación física, el cual puede propiciar la comprensión de estos
conceptos por medio de su significado físico. Particularmente para propiciar que los
estudiantes comprendan el concepto de derivada y las ideas asociadas a ella, deben ser
capaces de: identificar ejemplos de su medio circundante con el concepto de derivada;
conocer y utilizar correctamente la simbología con que se le reconoce; conocer las
propiedades invariantes del concepto; reconocer el concepto en diversos contextos; dar
ejemplos y contraejemplos y fundamentar por qué estos pertenecen o no a la extensión del
concepto; calcular razones de cambio instantáneas; utilizar definiciones equivalentes sobre
el concepto de derivada; aplicarlo en la resolución de problemas tanto de la física como de
la misma matemática. Algunas de las actividades antes mencionadas, particularmente las que
tiene que ver con las aplicaciones físicas del concepto, son desarrolladas en la propuesta. Si
estas actividades son realizadas mecánicamente, es decir priorizando sólo la ejecución y
minimizando la base orientadora, la comprensión del concepto será escasa, porque el
estudiante no tendrá elementos para contestar por qué o para qué realizó tales actividades y
no otras. La comprensión de los conceptos es relativa ya que siempre es posible profundizar
sobre el conocimiento, realizar satisfactoriamente (con todo lo relativo que esto significa) las
actividades anteriormente señaladas pueden ser los indicadores de que los estudiantes
comprendieron los aspectos básicos relativos al concepto de derivada.
Relativo a las líneas directrices
Para contribuir a la creación de mejores condiciones para la comprensión de las ideas básicas
del cálculo, es necesario desarrollar las ideas sobre la variación desde mucho antes de que
los estudiantes ingresen al bachillerato. Esta idea puede ser reforzada si el contenido
matemático escolar es estructurado por medio de líneas directrices, en las que se incluya la
línea directriz los procesos de cambio. Esta puede crear una orientación general desde mucho
antes que inicie el curso de CD, con ella se puede familiarizar a los alumnos desde la escuela
elemental con las nociones y procedimientos básicos relativos a la variación, como las de
variable, de correspondencia, de variación directamente proporcional, de función, la
descripción gráfica la variación, la rapidez de la variación, etc.
El desarrollo y la orientación consciente de estas ideas, desde la escuela primaria y
secundaria, pueden constituirse en los cimientos de un ulterior desarrollo de las ideas de la
variación con la enseñanza de la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral en
el bachillerato. Con el programa oficial de la Secretaría de Educación Pública de 1993 de la
escuela primaria, se pretende desarrollar algunas ideas sobre la variación desde el cuarto
grado incluyendo un eje rector en la organización del contenido denominado procesos de
cambio, éste desaparece en el programa de la secundaria y algunas ideas sobre la variación
son incluidas en el área denominada presentación y tratamiento de la información. Esta
carencia de continuidad pudiera ser superada si los contenidos de la escuela primaria,
secundaria y el bachillerato, son unificados considerando el criterio de líneas directrices. En
particular el desarrollo de las ideas de la variación asociadas a la derivada se vería favorecido
si los procesos de cambio se constituyen en una línea directriz que penetre a lo largo de toda
la matemática escolar.
Estructura de una propuesta
La propuesta está basada en los lineamientos generales establecidos en la MEM para la
estructuración total de la elaboración de conceptos y sus definiciones21. En estos
lineamientos, que presuponen una estructuración sistémica del proceso de la enseñanza de la
matemática, se proponen tres fases fundamentales: la fase de las consideraciones y ejercicios
preparatorios, la fase de formación del concepto y la fase de fijación o asimilación. Para
ganar en especificidad y concreción la propuesta se centra en las fases de formación del
concepto y la de fijación o asimilación. La fase caracterizada por las consideraciones y
ejercicios preparatorios muchas veces comienza antes de la introducción del concepto y es
reforzada por medio de las consideraciones hechas anteriormente sobre la línea directriz
procesos de cambio.
Fase preparatoria
Previo a la formación del concepto de derivada se plantea una fase preparatoria en la que se
pretende formar una orientación general del curso de CD, al mismo tiempo que se orienta se
pretenden crear las condiciones mínimas del nivel de partida para acceder al proceso de
formación del concepto en cuestión. En esta fase se parte de la modelación de problemas
sencillos de la física de donde se abstraen las nociones de variable e intervalo de variación
como las formas más simples que reflejan la variación. Para desarrollar habilidades sobre
estos conocimientos se proponen algunos problemas en donde se requiere representar
geométricamente intervalos de variación y escribirlos correctamente utilizando la notación
matemática de las desigualdades. El otro concepto de importancia en esta fase es el de función
(ver cuadro 7), éste se obtiene de la búsqueda de la relación matemática que subyace entre
variables físicas concretas, de ahí surge la necesidad de expresar esta relación en términos de
21Jungk W.; Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática 2, Primera Parte; Editorial
Pueblo y Educación, la Habana, Cuba. pp. 58-63, 1985.
una fórmula matemática; para obtener las propiedades esenciales del concepto de función se
introduce la noción de correspondencia del cual se desprende que una función es un tipo
particular de correspondencia. Para destacar la importancia entre los modelos funcionales y
los fenómenos de la variación se plantean actividades tendientes a obtener estos modelos a
partir de la resolución de problemas sencillos.
ESTRUCTURA DE LA FASE PREPARATORIA
FENOMENOS DE LA VARIACION FISICA
CONCEPTOS RELACIONES PROCEDIMIENTOS
Variable e intervalos Representación geométrica, notación matemática.
Función Determinación del dominio e imagen.
Dominio, imagen, fórmula Obtención de funciones a través de la modelación
de problemas.
Evaluación y graficación de funciones.
Crecimiento,
decrecimiento, ceros,
máximos, mínimos
Relación entre el gráfico de
funciones y sus propiedades
Análisis de funciones a través de sus gráficos
Cuadro núm. 7
Desde el principio se trabaja con la variación continua o continua a trozos, aunque se dan
algunos ejemplos de variación discreta, también se trabaja con funciones continuas
esgrimiendo argumentos visuales (curvas sin interrupciones, sin saltos, sin huecos, etc.) sin
dar la definición formal y se estudian algunos casos de funciones que poseen discontinuidad
puntual. Se prioriza el trabajo con funciones algebraicas y algunas trigonométricas básicas y
se capacita a los estudiantes para puedan graficarlas por medio de tablas de valores, también
se introduce el método de graficación mediante el análisis de las fórmulas. No se pretende
que los estudiantes sólo sean capaces de dibujar las curvas sino que puedan realizar un
análisis visual del comportamiento de sus gráficos, este análisis se trabaja en el plano
matemático y en contexto, de modo que el comportamiento de una función tenga un
significado bien de crecimiento o decrecimiento (por hablar sólo de una propiedad) de
variables concretas como la temperatura, el volumen, la distancia, la velocidad, etc. Es
necesario recalcar que las funciones y sus propiedades no se estudian por ser cuestiones
matemáticas interesantes sino porque describen las relaciones entre las variables y porque
son pieza clave para estudiar la variación. Habrá que agregar que no se elabora una definición
formal sobre las operaciones básicas con las funciones, se presupone que las fórmulas que
las representan son manipulables mediante las operaciones básicas, la composición de
funciones es utilizada empíricamente en la modelación de situaciones de variación para
reducir la cantidad de variables.
Habilidades a desarrollar
En esta fase se pretende desarrollar en los estudiantes las habilidades siguientes:
Representar intervalos de variación
Evaluar y graficar funciones
Calcular
Relacionar gráficos y sus propiedades
Resolver problemas sobre la obtención de funciones
La habilidad de representar intervalos de variación incluye operaciones de identificación si
la variable a considerar es discreta o continua, de selección de su representación adecuada en
la recta real ya sea por medio de segmentos continuos o puntos aislados según sea el tipo de
variación, de traducción al lenguaje de las desigualdades y de comprobación de que las
representaciones geométricas y notaciones utilizadas correspondan a los intervalos de
variación deseados. Las habilidad de evaluar incluye operaciones de identificación del tipo
de expresión de la función a evaluar, la selección de los medios a utilizar como las tablas de
valores, los algoritmos, y el cálculo de los valores numéricos. La habilidad de graficar incluye
procedimientos de identificación del tipo de función a graficar, ubicación de puntos en el
plano cartesiano, determinación de puntos de discontinuidad, cálculo aproximado de sus
puntos máximos y mínimos, determinación del dominio e imagen y el trazo de la gráfica.
Para la graficación también se utiliza el análisis de las fórmulas de las funciones sobre todo
cuando son racionales o irracionales, en este caso se requiere de la habilidad de resolver
inecuaciones la cual incluye procedimientos como, identificar el tipo de expresión con que
se va a trabajar, calcular los puntos críticos (dónde la función se anula, dónde se indetermina),
determinar el o los intervalos para los cuales la fórmula tiene sentido, determinar los
intervalos donde la función es positiva, negativa, donde se anula y hacer el esbozo de la
gráfica.
La habilidad de relacionar los gráficos de las funciones y sus propiedades incluye
procedimientos de identificación de la relación entre la monotonía y el gráfico y la función,
identificar la relación entre la gráfica y el signo de la función, identificar la relación entre los
ceros de la función y la gráfica, la determinación de intervalos de monotonía y dónde la
función es positiva, negativa o nula. La habilidad de resolver problemas sobre la obtención
de funciones incluye la ejecución de los procedimientos del Programa Heurístico General en
el descubrimiento de la fórmula o regla que rige a la relación entre las variables, su
representación gráfica y la interpretación del fenómeno de variación que represente. Es obvio
que la habilidad de calcular es indispensable en el desarrollo de varias de las habilidades
antes mencionadas, habría que agregar que en el curso programado es necesario poder
calcular por medio de las operaciones básicas con números enteros, racionales, con radicales
y con algunas razones trigonométricas. En las clases 1, 2 y 3 de los apuntes (ver anexo B) se
proponen varios ejercicios y problemas con los cuales se pretende que los estudiantes puedan
desarrollar las habilidades antes señaladas.
Fase de formación del concepto
Lo esencial de esta fase consiste en formar en los estudiantes el concepto de derivada como
razón de cambio instantánea (RCI) y para ello se construye a partir de los conceptos de razón
de cambio promedio (RCP), de límite y de los infinitamente pequeños. Las relaciones más
importantes que se trabajan en esta fase son las existentes entre las RCP y la rapidez de la
variación y el criterio de la unicidad para la existencia del límite en el cálculo de la RCI. La
estructura de esta fase se ilustra en el siguiente cuadro.
ESTRUCTURA DE LA FASE DE FORMACION DE CONCEPTO
RAPIDEZ DE LA VARIACION
CONCEPTOS RELACIONES PROCEDIMIENTOS
Razón de Cambio Promedio Cálculo de la RCP.
Razón de Cambio Instantánea Relación entre la RCP y la
rapidez de la variación
Determinación de la rapidez
media de la variación.
Límite
Criterio de unicidad del límite
en la RCI
Cálculo de RCI por
aproximaciones numéricas y por
vía algebraica.
Infinitesimal Condición para la existencia de
la RCI (rectitud local y curvas
suaves)
Resolución de problemas sobre
rapidez instantánea.
Cuadro núm. 8
Para lograr la formación del concepto de RCI se pretende desarrollar las habilidades
siguientes:
Calcular la RCP (velocidad y aceleración promedio).
Relacionar la RCP y la rapidez media de la variación.
Calcular la RCI (velocidad y aceleraciones instantáneas) por aproximaciones
numéricas.
Relacionar la rectitud local de las funciones y la existencias de la RCI.
Relacionar la rectitud local de las funciones y la existencia de la RCI.
Resolver problemas sobre rapidez de la variación.
La habilidad de calcular la RCP incluye operaciones de identificación de los extremos del
intervalo (del tf y el ti), de evaluar la función en cuestión, simplificar la razón si es necesario
e interpretar el resultado en términos de la rapidez media de la variación. La habilidad de
relacionar la RCP y la rapidez media de la variación implica, la comparación entre el signo
de las secantes y el gráfico de las funciones, determinar los intervalos de mayor o menor
rapidez de la variación o rapidez nula si es que la hay. La habilidad de calcular la RCI por
aproximaciones numéricas incluye los procedimientos de, identificación del t0 (instante en
el que se requiere la RCI), determinar una vecindad de t0 , construir sucesiones numéricas
que acerquen lo suficiente al t0 tanto por la derecha como por la izquierda, calcular
reiteradamente la RCP para los intervalos reducidos, inducir el límite de la sucesión de
cocientes obtenidos, verificar la unicidad del límite, dar la RCI como el límite encontrado.
La habilidad de calcular la RCI por medios algebraicos implica la utilización de la definición
de la RCI, la utilización de la regla de los cuatro pasos, en la obtención de la RCI por la vía
algebraica se desarrolla la habilidad calcular límites usando ideas infinitesimalistas, por tanto
en esta habilidad se incluyen operaciones como la de considerar despreciables las sumas,
productos o potencias de términos que contengan a los infinitesimales. La habilidad de
relacionar las existencia de la RCI y la rectitud local (en el fondo esta una de las condiciones
para la derivabilidad) implica la identificación de las zonas donde los gráficos de las
funciones son suaves (monótonas) y dónde no lo son (dónde tienen picos, puntos de
indeterminación, etc.). La habilidad de resolver problemas sobre la rapidez y dirección de la
variación implica la utilización del Programa Heurístico General en la resolución de
problemas de este tipo por aproximaciones numéricas o aplicando la definición de RCI. En
las clases 4, 5, 6 y 7 de los apuntes (ver anexo B) se plantean ejercicios y problemas con los
cuales se pretende que los estudiantes desarrollen las habilidades antes mencionadas.
Estrategia metodológica en la formación del concepto
La fase de formación del concepto se orienta a través del estudio de la rapidez de la variación.
Particularmente la rapidez o velocidad promedio de cambio se introducen con el propósito
de que los estudiantes obtengan un recurso para cuantificar el cambio de una variable
respecto de otra en intervalos grandes. También se estudian las relaciones entre estas
nociones y las pendientes de secantes a los gráficos de funciones, estas relaciones son
trabajadas para dar una primera aproximación sobre la monotonía de las funciones y la
rapidez de la variación física. Las RCP (rapidez, velocidad) en principio se trabajan con
funciones cuyos gráficos son líneas rectas (variación directamente proporcional) después se
proponen problemas físicos en los que se requiere determinarlas cuando los gráficos son
curvas, de aquí se plantea una situación problémica como parte fundamental de la motivación
para la formación del concepto de derivada. Esta motivación se induce por medio del
planteamiento del problema de cálculo de la velocidad en un instante determinado, la cual no
puede ser obtenida por medio de la RCP pues conduce a una indeterminación. De aquí surge
la necesidad de introducir los procesos infinitos como un nuevo método de cálculo que,
ineludiblemente conduce a la noción de límite, éste surge a partir de la reducción de los
intervalos y la aplicación iterativa de la RCP en donde:
d t d t
t t
d
tRCP
( ) ( )0
0
Mediante el análisis de las sucesiones numéricas de cocientes originadas de la reducción del
intervalo se infiere (por inducción incompleta) el límite que constituye la velocidad o rapidez
instantánea buscada. La búsqueda de este límite mediante aproximaciones numéricas es
importante ya que puede enriquecer la experiencia de los estudiantes con los números muy
pequeños y posibilitar su predicción mediante el análisis de la sucesión de las razones d/t
al aproximar a cero al t. Para aportar más elementos sobre el límite, se proponen actividades
de búsqueda mediante aproximaciones numéricas al t0 , tanto por la derecha como por la
izquierda, para poder apreciar su unicidad y se plantean algunos contraejemplos donde el
límite no es único. Los procesos de aproximación numérica al límite se generalizan mediante
la definición de la RCI y se condensan en la notación:
limt t
d t d t
t tRCI
0
0
0
( ) ( )
siempre y cuando este límite exista. No se propone hacer un estudio exhaustivo de los límites
como lo sugieren los programas y textos comunes, sino que la atención se centra solo en el
límite anterior. Tampoco se establecen formalmente los teoremas sobre los límites de sumas,
productos y cocientes de funciones, sino que se conecta la noción de límite con la de
infinitesimal y a partir de éstos se sustenta la sucesión de algoritmos que operativizan el
cálculo de razones de cambio instantáneas. Bajo estas premisas cualquier término que
contenga productos o potencias de diferenciales es considerado infinitamente pequeño por lo
que su valor numérico es despreciable. La necesidad de abreviar las aproximaciones
numéricas y de una notación más operativa y sugerente, obliga a la introducción de la
notación de Leibniz:
limt
f t t f t
t
dy
dty f t
0
0 0( ) ( ), ( ) donde
Esta notación es muy sugerente para indicar que la razón entre los diferenciales de distancia
respecto del tiempo es la velocidad (v = ds/dt), o bien que la aceleración es la razón entre
los diferenciales de la velocidad respecto del tiempo (a = dv/dt), etc., por lo que se utiliza
para calcular las RCI por la vía algebraica, ésta consiste en una sucesión de algoritmos
similares a la regla de los cuatro pasos. Hasta aquí se ha arribado al concepto de derivada
concebido de manera restringida pues solo está referida a funciones que dependen del tiempo,
incluso a estas alturas del curso los estudiantes aún no están familiarizados con el término
derivada aunque sí lo están con sus características esenciales, a continuación se resume la
estrategia metodológica antes descrita.
FORMACION DEL CONCEPTO DE RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA
EST RAT EGIA MET ODOLO GIC A
ORIENTACION
HACIA EL
CONCEPTO
CONDICIONES
DEL
NIVEL
DE PARTIDA
Se plantean problemas físicos sobre velocidad y aceleración promedio.
Nociones que se generalizan mediante la razón de cambio promedio
En el MRU se relaciona las pendientes de las rectas y su RCP
Mediante el movimiento parabólico se hace notar que la velocidad de
promedio de los cuerpos puede ser variable.
Se plantea el cálculo de la velocidad en un instante determinado de un cuerpo
que sigue una trayectoria curvilínea.
MOTIVACION Imposibilidad de resolver el problema anterior mediante la RCP
ELEMENTOS
PARA LA
FORMACION
DEL
CONCEPTO
Búsqueda de la solución al problema. ¿Reduciendo el intervalo? ¿Moviendo
ambos extremos del intervalo? ¿Mover hacia dónde? ¿Qué tanto habrá que
reducir el intervalo?
Aproximaciones laterales mediante sucesiones numéricas al punto usando la
calculadora. Criterio intuitivo de la unicidad.
Predicción intuitiva del límite de sucesiones de cocientes. Obtención de la
velocidad instantánea
Propiedades invariantes de la RCI. Definición de la RCI.
Relación entre los diferenciales (infinitesimales) y el límite. Obtención de la
RCI por medios algebraicos
Cuadro núm. 9
Fase de asimilación del concepto
Dado el enfoque con que se ha conducido la formación del concepto de derivada como RCI,
se han venido planteando desde el inicio de su formación, ejercicios y problemas tendientes
a la asimilación de conceptos y procedimientos a él asociados en el contexto de la variación.
No obstante en la fase de asimilación del concepto se amplía la extensión de las aplicaciones
del concepto a las aplicaciones geométricas y de dirección de la variación, también se amplía
la extensión del concepto a funciones que no necesariamente dependen del tiempo
introduciendo la definición de derivada. Se introduce la noción de función derivada, se
deducen (por medio de los diferenciales) y utilizan las fórmulas y reglas básicas de
derivación. Es muy frecuente que cuando los estudiantes logran automatizar los algoritmos
algebraicos del cálculo de derivadas se olvidan del significado de estos procedimientos, para
tratar de hacer conscientes estos procedimientos se plantean situaciones problémicas sobre
la naturaleza de estos procedimientos. Para pasar de las RCI a las pendientes de tangentes se
utiliza la noción de dirección del movimiento y se aplica en la resolución de problemas sobre
pendientes y ecuaciones de tangentes. El estudio del problema de las tangentes se apoya en
la noción de rectitud local de curvas monótonas el cual, a su vez, sirve como base para
trascender el concepto euclídeo hacia un concepto más general sobre tangente. Para que los
estudiantes asimilen el concepto en cuestión, necesitan integrar y sistematizar varias
habilidades, básicamente se requiere que sean capaces de:
Resolver problemas sobre rapidez instantánea de la variación.
Resolver problemas sobre: dirección instantánea de la variación y tangentes a
curvas.
Utilizar e interpretar correctamente el significado de la notación con que se
reconoce a la derivada.
Poder señalar ejemplos y contraejemplos sobre la existencia de la derivada
Calcular derivadas mediante los diferenciales (regla de los cuatro pasos)
Memorizar la definición de derivada y las fórmulas básicas de derivación.
Calcular derivadas mediante fórmulas y reglas
Resolver problemas diversos conocidas las fórmulas y reglas de derivación
En las dos primeras se pretende que los estudiantes apliquen la definición del concepto de
RCI o derivada, en la solución de problemas sobre rapidez y dirección instantánea de la
variación. Los dos siguientes se refieren concepto en cuestión, con el primero se trata de que
los estudiantes interpreten correctamente el significado de la notación que se utiliza para la
derivada o la RCI y con el segundo, se trata de que los estudiantes sean capaces de decidir
cuándo una función tiene derivada o no la tiene, aplicando los criterios para ello establecidos
en el curso. En el resto se trata de que los estudiantes automaticen los algoritmos necesarios
para calcular derivadas y resuelvan otros problemas de mayor grado de generalización. Para
ampliar el campo de las aplicaciones hace falta estudiar las relaciones entre la función
derivada y la monotonía de las funciones y las condiciones para la existencia de valores
extremos, estas relaciones son muy importantes para el análisis de funciones y la resolución
de problemas de optimización. En los apuntes que se presentan como anexo sólo se trabajan
algunos aspectos de la función derivada y las fórmulas básicas de derivación. Si bien es
necesario que los estudiantes comprendan los conceptos fundamentales, el contexto en que
se da la enseñanza del CD obliga, necesariamente, a que los estudiantes dominen los
algoritmos de cálculo. Los estudiantes estarían en mejores condiciones de resolver problemas
de aplicación de la derivada, si han comprendido este concepto y por supuesto dominan los
conocimientos y algoritmos esenciales.
CAPITULO 5
UNA EXPERIENCIA ESCOLAR
Este capítulo está dedicado a la experiencia pedagógica y al análisis cualitativo de las
respuestas a los exámenes (pruebas pedagógica) aplicados en la experiencia, ésta se concretó
en un curso de CD en el que participaron 32 estudiantes del bachillerato. Se aplicaron en total
5 exámenes, 4 de ellos fueron aplicados con el propósito de explorar el desarrollo de los
conocimientos (básicamente concepciones y habilidades relativas a la variación) que
alcanzaron los estudiantes a lo largo del curso. El examen 5 fue aplicado junto con el primer
examen y explora algunas ideas generales que sobre la variación poseían los estudiantes al
principio del curso, este mismo examen fue aplicado al final, incluido en el cuarto examen,
el propósito era indagar el desarrollo de estas ideas logrado a través del curso, de este examen
se presenta un análisis comparativo. El análisis cualitativo fue realizado a las respuestas de
los cuatro exámenes y a las respuestas del examen que explora ideas generales sobre la
variación, para ello fueron asociadas en cada uno de los exámenes en pequeños grupos de
acuerdo a su afinidad matemática más cercana, esto con el propósito de detectar las
tendencias en el desarrollo tanto de las ideas como de las habilidades afines. Al final se
presenta una un análisis comparativo entre el rendimiento global obtenido en los 4 exámenes
y el desarrollo de las ideas generales sobre la variación.
Aspectos básicos de la experiencia escolar
Con la experiencia pedagógica se trata de formar los conceptos básicos del CD a partir del
desarrollo de las ideas sobre la variación. En virtud de que se trata de explorar los cambios
que se producen en los estudiantes en relación con el desarrollo de estas ideas y la
comprensión de los conceptos básicos del CD, la experiencia fue realizada con el mismo
grupo. Antes del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los estudiantes
participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta didáctica son
evaluados al final del curso de modo que permiten la comparación con el estado inicial. Es
muy frecuente utilizar en la investigación experimental la modalidad del grupo de ensayo y
del grupo control, en el primero se somete la variable (o variables) como objetos de estudio
experimental mientras que en el grupo de control se sigue el procedimiento habitual. Para los
propósitos de la experiencia pedagógica que nos ocupa, un proceder parecido al anterior es
de muy escasa utilidad, pues el grupo de control sujeto a la enseñanza habitual del CD no
desarrollará ideas variacionales pues en ella estas ideas se omiten o si acaso se tocan es sólo
superficialmente. Por tal razón se eligió la modalidad de caso único1 donde la experiencia se
aplica al mismo grupo de estudiantes, pues nos interesa explorar la influencia que en ellos
produce la enseñanza de los conceptos básicos del cálculo a través del enfoque variacional.
1En el sentido como se entiende en la Metodología de la investigación pedagógica y psicológica, segunda
parte, de Irma Noceda de León y Eddy Abreu, pp. 34 - 35; 1984.
La experiencia pedagógica se concretó en la conducción de un curso de CD impartido a
estudiantes del cuarto semestre del bachillerato con especialidad en Construcción del Centro
de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios Núm. 134 (CBTis 134) de la ciudad de
Chilpancingo, Guerrero, México. Participaron 32 estudiantes cuyas edades fluctuaban entre
16 y 17 años, estuvieron divididos en dos grupos, el 4o. "C" y el 4o. "D". El curso fue
trabajado en horario matutino de 7 a 8:40 de la mañana. El curso inició el 1 de febrero y
finalizó 16 de junio de 1994 y su duración fue de 18 semanas, de un total de 90 sesiones de
50 minutos planificadas fue posible trabajar 79 sesiones efectivas. Todos los estudiantes que
participaron en la experiencia ya habían pasado (oficialmente) los cursos de Aritmética y
Algebra, Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica. Además de la asignatura que
oficialmente se reconoce como Matemáticas IV (el curso de CD) en el cuarto semestre en el
que se desarrolló la experiencia los estudiantes tenían que atender otras 7 asignaturas más.
El bachillerato que cursaban oficialmente se reconoce como el Físico-Matemático con
especialidad de Técnico en Construcción, lo primero les posibilita proseguir estudios
universitarios relacionados con la Ingeniería Civil o la Arquitectura y lo segundo les permite
incorporarse al trabajo productivo después de haber concluido el bachillerato.
Congruente con la estructura de la propuesta, el curso fue planificado en tres fases
fundamentales: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de
asimilación y fijación del concepto. El contenido, enfoque y habilidades a desarrollar en
cada fase se han descrito en el capítulo anterior.
Las formas metodológicas básicas de organización de la enseñanza mas utilizadas en el
curso fueron los métodos de elaboración conjunta, los de dirección del trabajo independiente
y algunos métodos expositivos. El trabajo docente se organizó en clases prácticas, clases de
repaso y las clases de control o evaluación. A fin de optimizar el tiempo se trabajó con los
apuntes escritos exprofeso (ver anexo B), esto permitió que los estudiantes se familiarizaran
con antelación con el contenido a tratar. Las clases prácticas fueron destinadas a la resolución
conjunta de los ejercicios y problemas más representativos planteados en los apuntes y el
esclarecimiento de dudas sobre las tareas asignadas para realizar en casa. Dado que se
pretendía desarrollar habilidades en los estudiantes, el trabajo con la resolución de ejercicios
y problemas ocupó alrededor de las tres cuartas partes del tiempo destinado al curso, inclusive
las tareas extraclase fueron sistemáticamente revisadas y evaluadas con el objetivo de
contribuir a la calificación de los estudiantes y así estimular su realización. En las clases de
repaso se planteaban actividades consistentes en la resolución de ejercicios y problemas a fin
de sistematizar, ampliar y profundizar los temas. En las clases de control o evaluación se
aplicaron cuestionarios de control o de sistematización y los exámenes elaborados con fines
investigativos.
Reseña sobre la experiencia escolar
Los contenidos del curso fueron escritos en forma de apuntes (ver anexo B), los apuntes
fueron estructurados en clases, en cada clase se tratan determinados temas y se plantean
ejercicios y problemas para la asimilación del contenido respectivo. Las clases fueron
desarrollados en dos o más sesiones de 50 minutos en dependencia de su extensión,
profundidad y condiciones generales de los estudiantes. Las primeras cuatro clases
corresponden a la fase preparatoria y el resto corresponde a las fases de formación y
asimilación del concepto. El curso se inició el 1 de febrero de 1994 con la clase 1 titulada la
variación, en ella se introdujeron las ideas de variable e intervalos de variación, a partir del
estudio de fenómenos. Se observaron grandes dificultades en los estudiantes en el manejo de
la notación matemática para de intervalos (símbolos <, >, , ), pues confesaron no haberla
trabajado antes.
La clase número 2 titulada los modelos que describen la relación entre las variables se inició
en la segunda semana de trabajo comprendida entre del 7 al 11 de febrero de 1994. La
actividad docente en esta clase se centra en el concepto de función, éste se formó a partir del
estudio de la variación de cierto volumen de gas en relación con la variación de sus
temperaturas absolutas (Ley de Charles). A esta clase le dedicamos dos sesiones de
conferencia y tres sesiones a la resolución de ejercicios y problemas, los tres primeros
ejercicios no causaron mayores problemas a los estudiantes, las dificultades empezaron a
manifestarse en la evaluación de funciones y en el esbozo de sus gráficos, dificultades
mayores aparecieron en la deducción de las fórmulas de algunas funciones a partir de las
situaciones de la práctica. La tercera semana de trabajo (del 14 al 18 de febrero) la dedicamos
a la resolución de ejercicios y problemas de sistematización de los contenidos de las clases 1
y 2. La resolución de estos ejercicios fue encargada a los estudiantes para ser realizada como
trabajo independiente, sin embargo surgieron muchas dificultades en su resolución. En estos
ejercicios se incluyeron el trabajo con intervalos, el trabajo con funciones, la determinación
de su dominio, imagen y fórmula.
En la cuarta semana, del 21 al 25 de febrero, iniciamos con la clase 3 titulada graficación de
funciones. Su propósito fundamental fue desarrollar habilidad en los estudiantes para esbozar
gráficas de funciones numéricas, para tal fin se les dio atención a la técnica de graficación
por medio de tabulación, la graficación a partir del análisis de sus fórmulas y al análisis visual
del comportamiento de sus gráficos. En el transcurso de la cuarta semana sólo alcanzamos a
trabajar con las gráficas de funciones enteras y racionales (algebraicas), en la quinta semana
(del 21 al 4 de marzo) se trabajó con algunas funciones irracionales y las trigonométricas
básicas, de estas últimas los estudiantes confesaron no haber estudiado siquiera las razones
trigonométricas en sus cursos anteriores. Al parecer los estudiantes no tuvieron muchas
dificultades para graficar funciones lineales, en cambio sí las tuvieron con las cuadráticas y
cúbicas sobre todo en la evaluación y el esbozo de sus gráficos cuando éstos cortan al eje de
las x en dos o más puntos pues muchos de ellos se perdían en el dibujo, las dificultades
mayores se presentaron al graficar y analizar los gráficos de funciones racionales e
irracionales particularmente al realizar el análisis de sus fórmulas. De las funciones
trigonométricas sólo fue posible graficar y analizar algunas de las básicas, no se trabajó con
las exponenciales y logarítmicas. Alrededor de la tercera parte de los estudiantes fueron
capaces de resolver más de la mitad de los ejercicios planteados en esta clase. A estas alturas
del curso se notaron irregularidades en el cumplimiento de las tareas y en la asistencia,
motivos por los cuales se decidió disminuir un poco el ritmo de trabajo alcanzado.
En la sexta semana, del 7 al 11 de marzo, se inicia la clase 4 titulada la rapidez de la
variación, con ella da inicio la formación del concepto de derivada como RCI. En estas clase
se introdujo el concepto de RCP como el medio para obtener la rapidez de la variación a
partir del estudio del movimiento rectilíneo uniforme. Con estos elementos se orientó a los
estudiantes para que pudieran calcular las RCP dados los gráficos o las fórmulas de ciertas
funciones y a partir de la resolución de problemas de la física, muchas dificultades
presentaron en la resolución de estos últimos. En virtud de que en esta semana los estudiantes
presentaron exámenes parciales de las otras asignaturas, además de serias dificultades que
manifestaron tener en la resolución de los ejercicios de esta clase, se utilizó casi la totalidad
del tiempo de la séptima semana (del 14 al 18 de marzo) en tratar de resarcir estas
deficiencias. Aproximadamente la quinta parte de los estudiantes resolvió la totalidad de los
ejercicios planteados en esta clase, dificultades notables tuvieron en el trabajo aritmético con
la fórmula de la RCP y en su representación geométrica, en el primero de los casos tenían
serias confusiones en discernir el orden en que deberían tomar los tf y los ti, sobre todo
cuando se les pedía calcular varias de ellas en una misma función y cuando la gráfica de la
función dada era descendente y por tanto se obtenían razones de cambio negativas.
En la octava semana, del 22 al 25 de marzo, se trabajó con la clase 5 titulada las razones de
cambio variables. Lo medular de esta clase es el estudio de la relación existente entre las
RCP cuando el movimiento sigue trayectorias curvilíneas, como punto de partida se abordó
la relación entre la pendiente de secantes a las curvas y la RCP. De las velocidades promedio
constantes del MRU de la clase anterior se pasa al análisis de las velocidades promedio del
movimiento de un cuerpo impulsado que sigue una trayectoria parabólica, de estos
movimientos se construyeron y analizaron los gráficos de sus velocidades promedio y se
relacionaron con los intervalos de crecimiento, decrecimiento y anulación de las RCP. Al
resolver los problemas propuestos en esta clase los estudiantes vuelven a tener dificultades
en la decisión de cuál es el valor de tf y cuál el de ti (sobre todo cuando RCP eran negativas),
al representar geométricamente la RCP confundían su signo con el signo de la función. En
esta semana de trabajo nuevamente un escaso número de estudiantes leen con anticipación
los apuntes, muy pocos pueden hacer las tareas encomendadas, de modo que esto provoca
que se tengan que repetir algunas de clases anteriores.
La clase número 6 titulada las razones de cambio instantáneas se trabajó del 11 al 15 de
abril. En esta clase se partió de la necesidad de calcular velocidades instantáneas y la
imposibilidad de calcularlas por medio de las RCP, de ahí se orientó a los estudiantes para
que reflexionaran si por medio de la reducción del intervalo esto sería posible, luego el
problema se trasladó a qué tan pequeña sería la reducción del intervalo. Esto se resolvió al
analizar el comportamiento de la sucesión de cocientes d/t al asignar a t valores muy
cercanos a cero de modo que se pudiera predecir su límite. Al parecer los estudiantes
aceptaron con naturalidad la notación:
limt t
d t d t
t td t
f i
f
f i
f
( ) ( )' ( )
i
para la RCI, en cambio cuando se pasó a la notación:
limt
d t t d t
td t
0
0 0
0( ) ( )
' ( )
se manifestaron dificultades serias en su manejo. También se presentaron dificultades en
decidir cuál es el punto que se mueve y cuál no, el tf o el ti , el t0 o el t. En las
aproximaciones numéricas también manifestaron dificultades al acercarse a un t0 , sobre todo
al tratar de construir sucesiones que acercaran al punto por la izquierda. Poco mas de la cuarta
parte de los estudiantes son capaces de resolver los problemas y ejercicios planteados en los
apuntes.
En la semana 10, comprendida del 18 al 22 de abril, se trabajó la clase 7 titulada Cálculo de
las RCI por Métodos Algebraicos, el objetivo fundamental se centró en desarrollar habilidad
en los estudiantes para calcular razones de cambio instantáneas por medio de su definición.
En esta clase se parte de la necesidad de buscar un método que abreviara el cálculo de las
RCI, este método en principio fue trabajado a partir de la definición dada de RCI y
posteriormente con la regla de los cuatro pasos. Aquí se presentaron ciertos problemas en
cuanto a la fundamentación de las sumas o productos de los límites, para fundamentar estas
operaciones se introdujo y utilizó la noción de cantidades infinitesimales definidas a partir
del límite, bajo estas condiciones cualquier suma o producto de infinitesimales se consideran
cantidades despreciables y tiene como límite cero. Al tratar de resolver los problemas
planteados de esta clase los estudiantes tuvieron dificultades con la evaluación de funciones
con argumento de la forma t + t, en el desarrollo de binomios al cuadrado o al cubo, las
dificultades aumentaron cuando se trataba de calcular las RCI de funciones racionales
sencillas, en especial en la simplificación de expresiones algebraicas racionales. Menos de la
cuarta parte de los estudiantes pudieron resolver más de la mitad de los ejercicios planteados.
Incluso muchos estudiantes no resolvieron la mayoría de los ejercicios planteados desde la
clase 5 hasta la 7, por tal razón en la semana 11 se hizo en un repaso general.
En la semana 12, del 2 al 6 de mayo, solamente fue posible trabajar una sesión de 50 minutos
con cada uno de los grupos, en ella se estudiaron algunos casos de funciones en las que no es
posible calcular la RCI en puntos determinados, además se estudió la relación entre rectitud
local y la existencia de la RCI. En la semana número 13, entre el 9 y 13 de mayo, se trabajaron
dos sesiones de 50 minutos con cada uno de los grupos y se repasaron algunas cuestiones de
clases anteriores. En la semana 14, del 16 al 20 de mayo, prosiguen las irregularidades con
la asistencia de los estudiantes y sólo se trabajaron tres sesiones de 50 minutos con cada
grupo, por tal razón se optó por repasar algunas temas de álgebra que los estudiantes no
dominaban. En la semana 15, del 23 al 27 de mayo, se trabajó con la clase núm. 8 titulada:
Las Razones de Cambio Instantáneas y las Tangentes a Curvas, en ella se extendió la
noción de RCI al de pendientes de tangentes a las curvas, esta clase se inició con una
discusión acerca de las ideas que de tangente tenían los estudiantes, en esta discusión se hizo
patente la necesidad de trascender la concepción griega hacia una concepción local de
tangente, hacia la posibilidad de que pudiese cortar o tocar a la curva, hacia el establecimiento
de las condiciones necesarias para poderlas trazar y determinar sus pendientes y ecuaciones.
En esta clase tuvimos serios problemas con el nivel de partida pues los estudiantes no
conocían las funciones trigonométricas, particularmente la f(x) = tan x, indispensable para
determinar pendientes de rectas, por eso se les dedicaran dos sesiones de 50 minutos para
ayudarlos a superar estas deficiencias. Solo la cuarta parte de los participantes fueron capaces
de resolver satisfactoriamente más de la mitad de los ejercicios planteados.
En la semana 16, del 30 de mayo al 3 de junio, se trabajó con la clase número 9 titulada Las
Razones de Cambio Instantáneas en cualquier punto, con ella se introdujo el concepto de
función derivada a partir de la necesidad de determinar la velocidad de los cuerpos en caída
libre en cualquier instante. La idea de función derivada subyacente en las RCI para cualquier
t sólo fue trabajada en funciones algebraicas sencillas surgidas de problemas de caída libre
y el llenado de vasijas con agua. Nuevamente en la resolución de los problemas y ejercicios
planteados se presentaron muchas deficiencias algebraicas, las dificultades mayores se
manifestaron en la resolución de problemas de aplicación en donde la fórmula de la función
no estaba dada.
En la semana 17, del 6 al 10 de junio, se inició la deducción y utilización de las fórmulas
básicas de derivación. En los días 6, 7 y 8 de junio se trabajó con la Clase 10 titulada: La
Notación de Leibniz para Derivadas y los Diferenciales, en ella se introdujo la notación de
Leibniz para derivadas y se precisó la idea del diferencial. Con la notación de Leibniz y la
idea del diferencial fue posible encontrar un argumento más consistente para deshacernos de
los productos con los diferenciales o de las potencias de éstos pasando de la idea del límite a
la de los diferenciales propiamente dichos. También se hizo notar la valía de la notación de
Leibniz porque es sugerente en el estudio de la variación. En la resolución de los ejercicios
y problemas planteados se presentaron deficiencias algebraicas, aunque más de la cuarta parte
de los participantes resolvieron más de la mitad de los ejercicios y problemas propuestos.
El 9 y 10 de junio se trabajó la clase 11 titulada Algunas fórmulas y reglas básicas para
calcular derivadas, en esta clase se deducen las fórmulas para derivadas de funciones de la
forma y = mx + b y de la forma y = xn (con n racional); el objetivo esta clase fue el que los
estudiantes desarrollaran habilidad para calcular derivadas por medios más rápidos que los
anteriormente conocidos, en la resolución de los ejercicios planteados las mayores
dificultades se presentaron con el cálculo de derivadas de funciones de la forma y = xn, con
n racional negativo. En la semana núm. 18, del 13 al 17 de junio, se trabajaron las clases 12
y 13. En la clase 12, titulada Fórmulas para derivadas de sumas y productos de funciones,
en ella se dedujeron las fórmulas para derivar sumas y productos de funciones a partir de la
necesidad de resolver ciertos problemas y utilizando la noción de infinitesimal; en la
resolución de los ejercicios y problemas planteados los estudiantes tuvieron dificultades en
la simplificación algebraica después de aplicar la regla de derivación correspondiente y en la
resolución de problemas sobre variación en donde no se daba la fórmula de la función, a esta
clase le dedicamos los días 13, 14 y 15 de junio. Los días 16 y 17 de junio (últimos días del
curso) fueron dedicados a la clase 13 titulada Fórmulas para derivadas de cocientes de
funciones, esta clase fue motivada por la resolución de un problema que da pie a la búsqueda
de una fórmula general para derivadas de funciones de la forma y = u/v; la utilización de la
fórmula para derivar cocientes de funciones ocasionó mayores problemas a los estudiantes,
sobre todo cuando había necesidad de simplificar expresiones algebraicas racionales.
Obstáculos enfrentados en la experiencia escolar
En el trabajo general del curso se enfrentaron una diversidad de obstáculos que influyeron en
su desarrollo normal, varios de ellos ya se han mencionado. Fue muy notoria la deficiencia
de conocimientos previos por parte de los estudiantes, ellos mismos confesaron no haber
visto muchos de los contenidos que se suponían vistos en los cursos anteriores, en gran parte
de los participantes (sobre todo los del 4o. “C”) eran evidentes las deficiencias en las
operaciones básicas con números racionales y con los acercamientos numéricos a un punto
determinado por medio de sucesiones numéricas. Las deficiencias en el trabajo algebraico
también fueron abundantes, específicamente con las operaciones básicas con expresiones
algebraicas, en la simplificación de expresiones algebraicas racionales, con la factorización
y con el desarrollo de binomios elevados a exponentes enteros positivos, etc.. Con más
agudeza los estudiantes se manifestaron deficiencias en sus conocimientos sobre Geometría
Euclidiana, específicamente sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos, la
utilización del Teorema de Pitágoras, sobre las propiedades de los triángulos, cuadriláteros y
la circunferencia, el trazo de tangentes a curvas etc.. Sus conocimientos sobre trigonometría
eran escasos y confesaron no haber estudiado las funciones trigonométricas básicas y sus
gráficos. En su curso de Geometría Analítica, según sus propias versiones, solamente
alcanzaron a trabajar hasta la ecuación de la recta, las cónicas y sus propiedades al parecer
no fueron vistas en este curso. En el tratamiento del concepto de RCI se presentaron diversas
dificultades como el manejo adecuado de la notación del límite, en las aproximaciones
numéricas para inducir intuitivamente el límite, en la concepción del límite (pues varios lo
consideraban simplemente como una aproximación), la asociación muy frecuente de la RCI
con dos puntos y no con uno solo (tal vez causada por el enfoque con que se dirigió la
experiencia), la confusión del valor de la derivada en un punto con el valor de la función en
ése mismo punto. En cuanto a las aplicaciones ningún estudiante se mostró capaz de deducir
las fórmulas de funciones que describen la relación entre las variables a partir de situaciones
de la práctica, la mayoría de los estudiantes se mostró incapaz de aplicar el concepto de
derivada en la obtención de ecuaciones de tangentes. A todo esto habrá que agregar escasa
puntualidad de los estudiantes, las frecuentes suspensiones de clases sobre todo en el mes de
mayo, la excesiva carga de trabajo en las demás asignaturas de la especialidad de los
estudiantes, deficiente trabajo de conjunto y cumplimiento de tareas, etc.
SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR
PRIMERA EVALUACIÓN
La primera evaluación consistió esencialmente de un examen en él se plantean 5 situaciones
(ver examen 1 anexo A). Para el análisis de sus respuestas, las dos primeras fueron incluidas
en un primer grupo, ambas exploran el manejo de la notación para intervalos de variación y
funciones, estas dos situaciones. Las tres restantes se refieren al tema función, de éste se
explora el concepto desarrollado por los estudiantes, las habilidades en la graficación y la
aplicación a un problema de la práctica. Para el análisis, estas tres últimas situaciones fueron
agrupadas en un segundo grupo.
En cuanto a las preguntas del primer grupo, en la situación 1, sobre la traducción al lenguaje
ordinario y la representación geométrica de los tres intervalos, se plantean tres preguntas en
tres incisos respectivamente. A la pregunta del inciso a, sobre la traducción del primer
intervalo planteado, dan respuestas correctas 30 estudiantes y 2 se equivocan (véase cuadro
1 anexo A), prácticamente la totalidad de los estudiantes parecen no tener problemas con la
traducción al lenguaje ordinario del intervalo planteado, sin embargo en su representación
geométrica en la recta real aparecen las complicaciones, sólo 12 estudiantes hacen
representaciones correctas, 5 se equivocan y 15 no contestaron, véase cuadro 2 anexo A. En
el inciso b hacen una traducción correcta 29 estudiantes, 1 se equivoca y 2 no contestaron
esta pregunta, véase el cuadro 3 del mismo anexo; en cuanto a la representación geométrica
de este intervalo, 6 estudiantes lo hacen correctamente, 10 se equivocan y 15 nada hicieron
al respecto, ver el cuadro número 4. Cuando a los estudiantes se les pidió que tradujeran al
lenguaje ordinario los dos intervalos escritos en lenguaje matemático, prácticamente la
totalidad de ellos parece no tener dificultades en esta tarea, en cambio cuando se les pidió
representarlos en la recta real, en el primer caso el 37.5% lo hace correctamente y en el
segundo sólo el 18.7%. A juzgar por lo que dibujan los estudiantes que se equivocan, parece
ser que tienen confusiones con la idea del continuo, pues en el primer caso a pesar de tratarse
de intervalos que incluyen a todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores que
100, los dibujos parecen indicar que incluyen sólo a los números enteros, algo parecido
sucede en el segundo caso, pues a pesar de que se trata de una variable discreta 3 estudiantes
la dibujan como si fuera variable continua. El manejo adecuado de los símbolos de las
desigualdades es aún deficiente en muchos estudiantes.
En la situación 2 se pide traducir al lenguaje de las desigualdades algunos intervalos dados
geométricamente. En cuanto al inciso a, 24 estudiantes realizan correctamente esta actividad,
7 se equivocan y 1 no la contestó, ver cuadro 5 anexo A. Nuevamente en los que se equivocan
se notan confusiones en el manejo de los símbolos de las desigualdades, no obstante las tres
cuartas partes del grupo parecen no tener problema en la escritura del intervalo solicitado.
Respecto al inciso b, 22 estudiantes hacen correctamente la traducción solicitada, 7 se
equivocan y 3 no la contestaron, ver cuadro 6 anexo A; en este caso la cantidad de estudiantes
que dan respuestas correctas disminuye ligeramente respecto del inciso a, esta disminución
probablemente se debe a que este intervalo representa una variación discontinua, en los que
se equivocan se notan otra vez confusiones en el uso del sentido de las desigualdades. Al
hacer una revisión global de las respuestas a estas dos situaciones (referidas a la notación de
intervalos de variación), se observa que 4 estudiantes contestan correctamente a las seis
preguntas, 7 lo hacen en cinco, 10 en 4, 4 en 3 y el resto en 2 o menos (véase cuadro 13). De
acuerdo con estos datos, parece ser que 11 estudiantes (las dos frecuencias más altas) manejan
en condiciones óptimas la notación y la interpretación geométrica de los intervalos de
variación. 14 estudiantes se ubican en un desarrollo aceptable, es notorio que la mayor parte
de ellos contestaron correctamente a las preguntas relacionadas con la escritura (con notación
matemática) de intervalos, pero se equivocaron frecuentemente en su representación
geométrica. El resto de estudiantes tiene muchas deficiencias.
SOBRE LA NOTACION DE INTERVALOS DE VARIACION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En las 6 4 12.5% En 5 7 21.8% Cuadro 13
CORRECTAS En 4 10 31.2% En 3 4 12.5%
En 2 o menos 7 21.8%
En la situación 3, se plantean dos incisos que también exploran el manejo de la notación
variacional, aunque ambos se refieren a las funciones. Cuando a los estudiantes se les pidió
que identificaran la variable dependiente y la variable independiente, pregunta del inciso a,
20 dieron respuestas satisfactorias, 6 se equivocaron y 6 no contestaron, ver cuadro 7 anexo
A. En cuanto al inciso b de esta situación, contestan correctamente 21 estudiantes, 3 se
equivocan y 8 no contestaron, ver cuadro 8 mismo anexo. Las respuestas a estas dos
preguntas indican, que la mayoría de los estudiantes parecen no tener problemas con la
notación matemática con que se representan a la variable independiente y a la dependiente
en la fórmula de la función dada.
Al hacer una revisión global de los 8 incisos que corresponden al grupo Notación
Variacional, se observa (cuadro 14) que 4 estudiantes contestan correctamente en las 8
preguntas, 3 en 7, 9 en 6, 5 en 7 y el resto contestan correctamente en 4 o menos.
Considerando a las dos más altas frecuencias como indicador del desarrollo óptimo, y así en
orden descendente las demás, entonces en los datos de esta tabla se percibe cierta tendencia
hacia el desarrollo óptimo en el manejo correcto de la notación variacional en 7 estudiantes,
este desarrollo parece ser aceptable en 16 estudiantes, en el resto las evidencia señalan
marcadas deficiencias.
SOBRE EL GRUPO DE PREGUNTAS DE NOTACION VARIACIONAL
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En las 8 preg. 4 12.5% En 7 3 9.3% Cuadro 14
CORRECTAS En 6 9 28.1% En 5 7 21.8%
En 4 o menos 9 28.1%
En lo que respecta a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, las referidas al tema
función, de la situación 3 quedaron incluidas tres preguntas. Al plantearle a los estudiantes
que elaboraran la tabla de valores para la función d(t) = 29t -4.9t 2 , pregunta del inciso c,
resulta que 22 la elaboraron correctamente, 5 se equivocaron y 6 no la contestaron, véase el
cuadro 9 anexo A. Respecto al inciso d, en donde se les pide que dibujen la gráfica, 21
estudiantes hicieron un dibujo aceptable, 4 se equivocaron y 7 no la dibujaron, ver cuadro 10
anexo A, llama la atención que varios estudiantes en el dibujo sólo representaron los puntos
adecuadamente pero no los unen, otros suelen unir los puntos con segmentos de recta, aunque
la mayoría hace un esbozo satisfactorio del gráfico. Al preguntarles cuál por el dominio e
imagen de la función, pregunta del inciso e, 14 dieron respuestas correctas, 5 las dieron
incorrectas y 13 no contestaron, ver cuadro 11 anexo A. Al revisar globalmente la respuestas
a esto tres incisos se observa que 12 estudiantes realizaron las tres actividades correctamente,
7 realizaron correctamente solamente dos, 7 sólo realizan correctamente una de las
actividades encomendadas y el resto no realizó correctamente ninguna o simplemente no
contestaron, ver el cuadro siguiente:
SOBRE LA EVALUACION, GRAFICACION, DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En los 3 incisos 12 37.5%
En 2 7 21.8% Cuadro 15
CORRECTAS En uno, ninguno o no contestaron
13 40.6%
Estos datos parecen indicar que al menos 12 estudiantes son capaces de hacer la tabulación,
esbozar la gráfica y determinaren condiciones óptimas el dominio e imagen de la función, en
7 estudiantes estas habilidades parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable, en el resto
sus deficiencias son muy marcadas. De acuerdo con las frecuencias de respuestas correctas,
los estudiantes tienen mayores dificultades en determinar el dominio e imagen de la función
y son mayoritariamente proclives a poder realizar los cálculos aritméticos que implica la
elaboración de la tabla de valores, el poder dibujar aceptablemente la gráfica quedó en un
lugar intermedio.
La situación 4 se refiere al concepto de función y de ella se desprenden dos preguntas, al
inciso a contestaron correctamente 15 estudiantes, 4 dieron respuestas incorrectas y 13 no
contestaron. Quienes contestaron correctamente argumentaron más o menos los siguiente: no
es una función porque a cada elemento del dominio le corresponden dos valores de la
imagen. Los que dieron respuestas incorrectas argumentaron lo siguiente: si es función
porque el conjunto de partida corresponde al de llegada, no es función porque forma dos
paralelas al eje y, si es una función porque los números al estar entre paréntesis se están
sumando y a la misma vez se multiplican con otro porque se encuentran encerrados en
paréntesis, si es una función porque consta de dos elementos. De acuerdo con estos datos un
poco menos de la mitad del grupo tiene una idea aceptable de lo que es una función, aunque
un poco más de la mitad no contestó nada o parecen estar confundidos. En cuanto a la
pregunta del inciso b, 17 estudiantes la contestaron correctamente, 3 dieron respuestas
incorrectas y 12 no la contestaron, los que dan respuestas correctas escribieron algo parecido
a lo siguiente: si es una función porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y
sólo uno de la imagen, en cambio los que dieron respuestas incorrectas esgrimieron
argumentos como: No, porque el conjunto de llegada le corresponde el conjunto de partida;
sí es una función porque nos da el valor de G y nos indica igual que en a que se aplican
sumas y multiplicaciones; si es una función porque en un punto se unen dos coordenadas.
Algunos de los estudiantes que dieron respuestas correctas en ambos incisos también
esgrimieron argumentos geométricos parecidos a los siguientes: si una paralela al eje y sólo
corta a su gráfico en un sólo punto entonces sí es función, si la corta en varios entonces no
lo es. Al hacer una revisión global a las respuestas de los dos incisos, se observa que 15
estudiantes contestaron correctamente en los dos, 2 en uno solo y el resto en ninguno o no
contestaron ambas preguntas, véase el cuadro 16. Estos datos indican que un poco menos
de la
SOBRE EL CONCEPTO DE FUNCION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En los 2 incisos 15 46.8%
CORRECTAS En 1 inciso 2 6.2% Cuadro 16 En ninguna o bien no
contestaron. 15
46.8%
mitad de los estudiantes parecen haber desarrollado una concepción óptima sobre la noción
de función como colección de parejas ordenadas, en 2 estudiantes parece haber confusiones,
en el resto las deficiencias notables.
En la situación 5 se pide obtener la fórmula de la función que expresa el área lateral de un
tetraedro en función de la longitud de sus aristas, para encontrar esta fórmula se sugirió el
Programa Heurístico General. La mitad de los estudiantes sólo identifican lo dado y lo
buscado, sin embargo ninguno obtiene la fórmula a pesar de haber resuelto problemas
similares en clase.
Al hacer una revisión de conjunto a las respuestas dadas a este grupo de preguntas, de 9
preguntas planteadas el máximo de respuestas correctas fue de 7, sólo 7 estudiantes logran
este máximo, 2 estudiantes lo logran en 6, 4 contestan correctamente en 5, 2 lo hacen en 4,
el resto lo hacen en 3 o menos o simplemente no contestaron, ver cuadro 17. Esto nos
permite concluir que,
SOBRE EL TEMA DE FUNCION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En 7 incisos 7 21.8% Cuadro 17
En 6 incisos 2 6.2%
CORRECTAS En 5 incisos 4 12.5% En 4 incisos 2 6.2%
En 3 o menos 17 18.7%
en al menos 9 estudiantes (los de más alta frecuencia) se perfila cierta tendencia hacia un
desarrollo óptimo sobre el concepto de función, esta misma tendencia es extendible hacia la
elaboración de la tabla de valores, la graficación de la función dada y la determinación de su
dominio e imagen. En los 6 estudiantes, los que contestaron correctamente entre 5 o en 4
preguntas, las evaluaciones de sus respuestas son heterogéneas, sin embargo
mayoritariamente pudieron elaborar la tabla y la gráfica de la función dada y sus nociones
sobre el concepto de función no parecen ser tan consistentes como los del grupo anterior, en
los 17 estudiantes restantes las deficiencias son numerosas. De este grupo de preguntas todos
los estudiantes fueron incapaces de resolver el problema planteado en la situación 5.
Síntesis sobre los resultados de la primera evaluación
Visto de manera conjunta, este examen consta de 17 preguntas en total, 8 correspondientes a
la Notación Variacional y 9 correspondientes al tema Función. El máximo de respuestas
correctas fue de 15 y sólo lo alcanzaron 3 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 14
preguntas, 3 en 13 preguntas, 1 en 12 preguntas, 4 en 11 preguntas, 3 en 10, 1 en 9, el resto
en 8 o menos (ver Cuadro de Concentración núm. 1 anexo A). Para detectar tendencias he
agrupado a las frecuencias de cuatro en cuatro, de mayor a menor, bajo estas condiciones
parece perfilarse una tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades relativas a la
notación variacional y al trabajo con funciones en 9 estudiantes (los que sus respuestas
correctas fluctúan entre 15 y 12), pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de
interpretar, traducir y representar intervalos de variación, tienen ideas correctas sobre el
concepto de función, pueden elaborar una tabla de valores, graficar y determinar dominio e
imagen de la función. Otros 10 estudiantes, los que sus respuestas correctas fluctúan entre 11
y 8 (ver el cuadro siguiente), aunque se nota gran heterogeneidad, las habilidades antes
mencionadas parecen haberse desarrollado aceptablemente, en los 13 estudiantes restantes
las deficiencias son numerosas. Las deficiencias más notorias fueron observadas en la
obtención de la fórmula de la función para expresar el área total de un tetraedro, pues ninguno
de los estudiantes fue capaz de obtenerla.
SOBRE NOTACION VARIACIONAL Y FUNCION (1er. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.
OPTIMO 15 rc 12 9 28.5%
ACEPTABLE 11 rc 8 10 31.2%
DEFICIENTE rc 8 13 40.6%
Cuadro 18
SEGUNDA EVALUACIÓN
Para la segunda evaluación también se aplicó un examen, en él se plantean 3 situaciones con
sus gráficos respectivos (ver examen 2 anexo A) y de cada situación se hacen 4 preguntas.
Las dos primeras situaciones exploran el desarrollo de habilidades para evaluar funciones,
calcular el incremento de la variable dependiente si t cambia de t a t+t, para calcular la
RCP y la RCI, de la tercera se desprenden cuatro preguntas acerca de la interpretación de la
RCI. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de estas habilidades y concepciones, las
preguntas y sus respuestas fueron conjuntadas en tres grupos, en el primero se incluyen las
relativas a la evaluación de funciones, en el segundo las que se refieren a la RCP y las del
tercero se refieren a la RCI.
Al primer grupo corresponden las preguntas 1A y 2A, en ellas se pide obtener el valor de la
función a partir de su gráfico. La pregunta 1A se refiere al gráfico que representa a la función
en V(t) = 10t + 5 (donde V es la velocidad de una piedra en términos del tiempo t) y la 2A
se refiere al gráfico de la función d(t) = t2 (donde d es la distancia que recorre un cuerpo en
el tiempo t en caída libre en la superficie lunar). A la pregunta 1A, 22 contestaron que la
velocidad de la piedra en t = 2 es de 25 m/s y 10 dieron otras respuestas, ver el cuadro 12
anexo A. En 5 de las respuestas incorrectas los estudiantes dicen que la velocidad de la piedra
en t = 2 es de 10 m/s, posiblemente confunden la razón de cambio instantánea en t = 5 con
el valor de la función en ése punto. Es notorio que todos los estudiantes que dieron respuestas
incorrectas parecen no usar la fórmula de la función, al menos en su cuestionario no
escribieron estos intentos, en cambio sí se observan las marcas en el dibujo para graduar y
dar una respuesta. De los que contestaron correctamente sólo 9 exhiben en su examen la
evaluación de la función en t = 2, el resto no la exhibieron. A la pregunta 2A, 22 estudiantes
dieron como respuesta 9 m, 1 no contestó, los restantes dieron otras respuestas, ver el cuadro
13 anexo A; de los 22 que contestaron correctamente 15 calculan d(3), en el resto no
encontramos en su examen esos cálculos. Es notorio que 2 estudiantes de los que dieron
respuestas incorrectas contestan que 8 m o 7.5 m es la distancia recorrida, esto parece
indicar que sólo se atienen al dibujo de la gráfica. Al conjuntar las respuestas de estas dos
preguntas, 19 estudiantes dan respuestas correctas a las dos, 4 en alguna de ellas y 9 se
equivocan en las dos, ver cuadro siguiente.
SOBRE LA EVALUACION DE FUNCIONES
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1A y 2A 19 59.3%
En 1A 4 12.5%
INCORRECTAS En 2A 3 9.3%
En 1A y 2A 6 18.7%
Cuadro 19
En el segundo grupo se incluyen las preguntas 1B, 2B, 1C y 2C. En las dos primeras se pide
el V y el d si el tiempo cambia de t a t+t, para valores dados de t y t, las dos últimas
se refieren al cálculo de la velocidad y aceleración promedio. A la pregunta 1B dan
respuestas correctas 23 estudiantes, 8 dan respuestas incorrectas y 1 no la contestó, ver cuadro
14 anexo A, en 14 de los 23 que contestaron correctamente encontramos ciertas marcas en
el gráfico que se supone fueron el auxilio geométrico para dar la respuesta a la pregunta;
llama la atención que 6 estudiantes contestan que la velocidad no cambia o que es de 0 m/s,
es posible que estén confundiendo la velocidad con la aceleración del cuerpo. A la pregunta
2B contestaron correctamente 18 estudiantes, 13 dieron otras respuestas y 1 no la contestó,
ver cuadro 15 anexo A, 10 de los 18 que contestaron correctamente anotaron los cálculos
numéricos que confirman haber obtenido el resultado correcto, el resto no los anotaron; la
mayoría de los estudiantes que dieron respuestas incorrectas se equivocaron en la obtención
del d(3) o d(4); es notorio que 3 de los que contestaron incorrectamente dicen que la respuesta
es 7.5 o 6, esto probablemente se debe a que la gráfica parece ser que sube aproximadamente
de entre 7.5 o 6 unidades de 3 a 4, estos estudiantes parecen confiar más en su capacidad
visual y no se dan cuenta o no prefieren usar la expresión analítica de la función. Al conjuntar
las respuestas a las preguntas 1B y 2B encontramos que 17 estudiantes dieron respuestas
correctas a las dos, 1 sólo se equivocó en la primera, 6 se equivocaron en la segunda y 7 se
equivocaron en las dos, ver el cuadro siguiente.
SOBRE EL CALCULO DEL V y el d
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1B y 2B 17 53.1%
En 1B 1 3.1% Cuadro 20 INCORRECTAS En 2B 6 18.7%
En 1B y 2B 7 21.8%
En la pregunta 1C y 2C se pide el cálculo de la RCP, a la 1C contestan correctamente 16
estudiantes, 10 dan respuestas equivocadas y 6 no contestaron, ver cuadro 16 anexo A, de los
16 que contestaron correctamente 9 escribieron en su cuestionario los cálculos en donde
utilizaron la fórmula de la RCP, 3 estudiantes de los que dieron respuestas incorrectas
cometieron errores en la evaluación de la función V(t), el resto no escribió sus cálculos en el
cuestionario. A la pregunta 2C contestan correctamente 13 estudiantes, 15 dan respuestas
equivocadas y 4 no contestaron, ver cuadro 17 mismo anexo; de los 13 que contestaron
correctamente 7 anotaron en su examen los cálculos realizados, el resto no lo hizo, 5 de los
que contestaron incorrectamente se equivocaron en la evaluación de la función para el cálculo
del d. Al conjuntar las respuestas dadas a las preguntas 1C y 2C, puesto que se refieren al
cálculo de la RCP, encontramos que 12 aciertan en las dos, 1 sólo se equivoca en la primera,
3 solamente se equivocan en la segunda y 9 no dieron respuestas correctas a las dos, el resto
no contestaron alguna o las dos, ver el cuadro siguiente.
SOBRE EL CALCULO DEL f Y DE LA RCP
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1C y 2C 12 37.5%
En 1C 1 3.1% Cuadro 21
INCORRECTAS En 2C 3 9.3%
En 1C y 2C 9 28.1%
Una revisión de conjunto a las cuatro preguntas de este segundo grupo arrojó los resultados
siguientes, ver cuadro 22. Esta revisión indica que en al menos en 10 estudiantes (casi la
tercera parte del grupo) existe una tendencia notable hacia el desarrollo óptimo de la habilidad
de cuantificar el cambio, tanto para la variable dependiente como en las RCP. En otros 3
estudiantes esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, el resto tienen serias
deficiencias.
SOBRE EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES PROMEDIO
PREGUNTAS ESTUD. PORC.
CORRECTAS En 1B, 2B, 1C y 2C 10 31.2%
En 1B, 2B y 1C 3 9.3%
En 1B, 2B, 1C y 2C 3 9.3%
INCORRECTAS En 1B, 1C y 2C 1 3.1%
En 2B, 1C y 2C 3 9.3%
En dos o menos o bien no contestó. 10 31. 2%
Cuadro 22
El tercer grupo incluye 6 preguntas relacionadas con la RCI, estas su vez las he agrupado
en dos subgrupos. En el primer subgrupo se incluyeron las preguntas 1D y 2D en donde se
pide que los estudiantes las calculen la RCI por la vía numérica para casos particulares
referidos a la aceleración y velocidad instantáneas, al segundo subgrupo pertenecen la
pregunta 3A, 3B, 3C y 3D que se refieren a las interpretaciones que los estudiantes
desarrollaron sobre las RCI. En cuanto al primer subgrupo en la pregunta 1D se pide el
cálculo de la aceleración instantánea, ésta es obtenida correctamente por 15 estudiantes, 12
se equivocan y 5 no contestaron, ver cuadro 18 anexo A. De los 15 estudiantes que
contestaron correctamente sólo 6 exhibieron los cálculos en donde se observan, por lo menos,
dos acercamientos numéricos a t = 3 (incluso 3 de ellos se acercaron a t = 3 por la derecha
y por la izquierda) y calcularon sus razones de cambio promedio para inducir la aceleración
instantánea en ese punto. De los 12 que se equivocaron 6 mostraron en su examen intentos
por calcular razones de cambio promedio por aproximaciones numéricas, pero generalmente
se equivocaron en la evaluación de la función al calcular el V; llama la atención que 8
estudiantes contestan que la aceleración en t = 2 es 25 m/s, estas respuestas parecen mostrar
que en al menos 8 estudiantes existe confusión entre el valor de la función en t = 2 y la
aceleración instantánea en ese mismo punto. El cálculo de la velocidad instantánea planteado
en la pregunta 2D lo realizan correctamente 8 estudiantes, 20 se equivocan y 4 no
contestaron, ver cuadro 19 anexo A; de los 8 que contestaron correctamente 6 hicieron los
cálculos de las RCP mediante los cuales se observa que efectivamente a medida que el t
se hace cada vez más pequeño el cociente d/t se acerca a 6; inclusive la serie de preguntas
2B y 2C están hechas de tal manera que la respuesta a la pregunta 2D se infiere de las
respuestas de las dos anteriores, no obstante parece ser que muy pocos estudiantes
(probablemente los 2 restantes) se dieron cuenta de esto. La presunción de que existe
confusión entre el valor de la función en un punto y su RCI en ese mismo punto parece
confirmarse con las respuestas que dieron los mismos 8 estudiantes, pues aquí incurren en el
mismo error. Al revisar conjuntamente las respuestas de este primer subgrupo se observa
(véase el cuadro 23) que 8 estudiantes obtuvieron el resultado correcto en las dos, 7 en la
1D, 5 sólo se equivocan en la 2D y 12 fallaron en las dos.
CALCULO NUMERICO DE VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEA
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1D y 2D 8 25%
Sólo en 1D 7 21.8%
Sólo en 1D 0 0% Cuadro 23
INCORRECTAS Sólo en 2D 5 15.6%
En 1D y 2D 12 37.5%
Pudiera decirse que en 8 estudiantes, a estas alturas del curso, se ha desarrollado óptimamente
la habilidad en el cálculo de la RCI por la vía numérica, en 7 estas habilidades alcanzan un
nivel aceptable, en el resto las deficiencias son numerosas.
En cuanto a las preguntas del segundo subgrupo, cuando a los estudiantes se les
preguntó en qué punto o puntos del gráfico la fórmula mide la RCI, pregunta 3.A, nadie
contesta correctamente, 16 contestan que en P y Q, 4 dicen que en Q, 9 escriben otras
respuestas y 3 no contestaron, véase cuadro 20 anexo A. Es evidente que todos los estudiantes
no interpretan correctamente el dibujo que se les presentó (dibujo ampliamente utilizado en
clase) pues la mitad de los estudiantes participantes se inclinan por la opción de que la RCI
es medida en P y Q, tal parece que mayoritariamente siguen pensando en la RCP que sí
requiere de dos puntos. Las respuestas parecen indicar que la RCP es confundida con la RCI,
existe confusión entre el medio para calcular la RCI y el fin, aunque en el fondo estas
dificultades están asociadas a la noción de límite de cantidades infinitamente pequeñas. Sobre
el significado de la expresión t0, pregunta 3B, 19 estudiantes respondieron que t es
infinitamente pequeño, 6 se inclinaron por la opción t 0, uno por la opción t = 0, 2 por
ninguno de los anteriores y 4 no contestaron, véase el cuadro 4 anexo A. Más de la mitad del
grupo considera que el significado de la expresión t0 está asociada a la idea del
infinitamente pequeño, tal parece que hay mayor asequibilidad de las nociones
infinitesimalistas que de la noción de límite del cociente d/t cuando el t0 de la
pregunta anterior. A la pregunta 3C, en donde se pide la interpretación de la expresión:
tlim
d
t
05
las interpretaciones dadas son diversas, ver cuadro 22 mismo anexo, en 4 de las
interpretaciones dadas, los estudiantes parecen considerar a la expresión como la RCI, en 3
se interpreta como que 5 es el límite, inclusive en una de éstas el límite se maneja como
único, en 3 de las interpretaciones parece considerarse como si fuera sólo el cociente d/t
en donde d y t fueran cantidades grandes y además fijas. Esto sugiere que la idea de
variación hacia cantidades infinitamente pequeñas aún no es perceptible en estos estudiantes.
En una de las interpretaciones sólo se atiende a que el t tienda a cero pero se desatiende lo
que sucede con d/t cuando aquélla cantidad tiende a cero, es notorio que 14 estudiantes
no contestaron la pregunta y en 8 se manifiestan ideas confusas. En resumen, se puede decir
que al menos 7 estudiantes manifiestan interpretaciones aceptables sobre la expresión dada,
como RCI o bien como un límite especial. Por otro lado, en la pregunta 3D que se refiere al
significado de la RCI, las respuestas dadas fueron clasificadas en cinco grupos de acuerdo a
la idea que se advierte es la central en sus explicaciones (ver listado en anexo A). En el 1er.
grupo se considera a la RCI como la velocidad de un cuerpo en un punto, en estas respuestas
se percibe cierta noción de la derivada como propiedad puntual de las funciones asociada a
la idea de velocidad. En el 2o. grupo se expresan ideas que destacan qué tanto cambia una
variable respecto a otra en un punto, o como razón de cambio en intervalos muy pequeños.
En el 3er. grupo se concibe como la razón de cambio que se aproxima al límite, en otras tres
se expresa la idea del límite del cociente entre dos cantidades muy pequeñas. En el 4o. grupo
se concibe a la RCI como un cambio rápido. En el 5o. grupo agrupamos las explicaciones
confusas. Los que sus explicaciones se ubicaron el 1o., 2o. y 3er. grupos (15 en total)
desarrollaron ideas muy próximas al significado de la RCI, bien como velocidad instantánea,
como una idea cercana al límite o como razón de cambio de cantidades muy pequeñas. Al
revisar de conjunto las respuestas del segundo subgrupo, se observa que nadie contestó las
4 preguntas correctamente, 3 lo hicieron en las tres últimas y 7 en la segunda y la última,
véase el cuadro siguiente:
SOBRE LAS INTERPRETACIONES ACERCA DE LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En 3A, 3B, 3C y 3D 0 0%
CORRECTAS En 3B, 3C y 3D 3 9.3% Cuadro 24
En 3B y 3D 7 21.8%
En 3A, 3B, 3C y 3D 2 6.2%
INCORRECTAS En 3A y 3C 7 21.8%
Al hacer una revisión global de las respuestas de este tercer grupo se nota que ningún
estudiante es capaz de localizar en un gráfico el punto donde se mide la RCI, quizá la noción
de RCP (que requiere de dos puntos) está muy arraigada en la mitad de los estudiantes y
parece obstaculizar el desarrollo de la idea de RCI al menos en su representación geométrica.
Es también notable que, muy pocos estudiantes (7 en total), se aproximan a una interpretación
óptima sobre la expresión matemática de la RCI, en cambio cuando se les pide una
explicación más libre sobre este concepto o cuando se les pregunta sobre el significado del
x0, la mitad en el primer caso y más de la mitad en el segundo, se perciben
aproximaciones a concepciones aceptables. Al revisar de conjunto las respuestas del primero
y segundo subgrupos de preguntas, se observa que ningún estudiante dio respuestas correctas
a las 6 preguntas, 3 dan respuestas correctas a 5 preguntas, 4 en 4 preguntas, 3 en 3 preguntas
y el resto en dos una o ninguna, ver el cuadro:
SOBRE EL CALCULO NUMERICO E INTERPRETACIONES DE LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORC.
En las 6 preguntas 0
CORRECTAS En 5 preguntas 3 7 21.8%
En 4 preguntas 4 Cuadro 25
En 3 preguntas 3 3 9.3%
En 2 o menos o no contestaron 22 68.7%
Estos datos indican que en 7 estudiantes se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo
de las ideas relativas al concepto de RCI así como de la habilidad de su cálculo numérico, en
tres esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, en el resto hay muchas
deficiencias.
3.3.2.1.- Síntesis sobre los resultados del segundo examen
Este examen consta de 12 preguntas en total, 2 corresponden a la evaluación de
funciones, 4 tienen relación directa con la RCP y 6 están relacionadas con la RCI. El máximo
de respuestas correctas fue de 11 y sólo lo alcanzaron 2 estudiantes, 2 lograron respuestas
correctas en 10 preguntas, 5 en 9 preguntas, 1 en 8 preguntas, 3 en 7 preguntas, 4 en 6, y el
resto en 5 o menos (ver Cuadro de Concentración Núm. 2, Anexo A). Para detectar tendencias
he agrupado a las frecuencias tomando la media como punto de diferenciación fundamental,
de la media hacia arriba se ubican dos categorías (las de desarrollo óptimo y aceptable) y de
la media hacia abajo la categoría de desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones se perfila
una tendencia hacia el desarrollo óptimo de concepciones y habilidades relativas a la
evaluación de funciones, a la RCP y al RCI en al menos 9 estudiantes (cuyas respuestas
correctas fluctúan entre 11 y 9) pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de:
evaluar funciones, calcular la variación de la variable dependiente si la variable
independiente cambia de t a t+t, calcular la RCP y la RCI mediante aproximaciones
numéricas, y aunque la mayoría desarrollaron concepciones óptimas sobre la RCI sus
interpretaciones sobre la notación con que se le representa no parecen ser aún consistentes.
Otros 8 estudiantes (los que sus respuestas correctas fluctúan entre 8 y 6) las concepciones y
habilidades antes mencionadas parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable aunque es
notorio que la mayoría de ellos no pudieron calcular la RCI por aproximaciones numéricas,
los 15 estudiantes restantes manifestaron numerosas deficiencias, estos datos se concentran
en el cuadro 26. Las deficiencias más notorias se observaron en la identificación en un
SOBRE EVALUACION DE FUNCIONES, LA RCP Y LA RCI (2o. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.
OPTIMO 11 rc 9 9 28.1%
ACEPTABLE 8 rc 6 8 25% Cuadro 26
DEFICIENTE rc 5 15 46.8%
gráfico del punto donde se mide la RCI, pues ninguno de los estudiantes participantes dio
respuesta correcta a esta pregunta. Alrededor del 70% de los estudiantes pueden evaluar en
las funciones dadas y calcular el f(t+t) - f(t) (siendo f la velocidad V o la distancia d), en
cambio cuando se llega al cálculo de la RCP o al cálculo numérico de la RCI (inclusive en
las interpretaciones y concepciones sobre éste concepto), las respuestas correctas sólo llegan
al 50% o bien están por debajo de este porcentaje.
3.3.3.- Tercer examen
El tercer examen parcial fue aplicado el 23 de mayo de 1994, se plantean en él 4
situaciones referidas todas ellas a la RCI (ver examen 3, anexo A). En la primera se pide
calcularla a partir de su definición como un límite especial (vía algebraica), en la segunda se
pide comparar este resultado con el obtenido por medio de las aproximaciones numéricas,
las dos restantes tienen la intención de explorar si los estudiantes son conscientes de los
procedimientos que realizaron en las dos situaciones anteriores. Para el análisis las respuestas
fueron conjuntadas en dos grupos, en el primero se exploran procedimientos e incluye a las
dos primeras, en el segundo se incluyen las dos últimas que se exploran algunas concepciones
sobre aquéllos procedimientos.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, al plantearle a los
estudiantes que calcularan la velocidad de un cohete en t = 4 seg. por la vía algebraica, la
situación 1, resulta que 19 la calculan correctamente, 5 se equivocan y 8 no la contestaron,
véase cuadro 23 anexo A. Todos los estudiantes que arribaron al resultado correcto
escribieron en su examen los procedimientos algebraicos que implican el cálculo de:
limd
tlim
d t d
tt t
0 0
4 4( ) ( )...
aunque en 6 de ellos notamos errores leves de escritura que no influyeron en el resultado,
frecuentemente separaban el operador limt 0
del cociente d /t tal vez considerándolos
como
dos entidades separadas. En los que dieron respuestas incorrectas notamos equivocaciones
en la evaluación de la función, en el desarrollo del binomio elevado al cuadrado, en las
factorizaciones, en la utilización de los paréntesis o en la aplicación de las leyes de los signos,
etc.
En la situación 2, se les pidió obtener por la vía numérica el resultado encontrado en
la situación 1, para ello se le sugiere un acercamiento por la derecha, otro por la izquierda
para finalmente elaborar una conclusión. El acercamiento por la derecha, pregunta 2A, lo
realizan correctamente 19 estudiantes, 7 se equivocan y 6 no lo contestan, véase el cuadro 24
anexo A. Quienes resuelven correctamente este planteamiento exhibieron sucesiones que se
aproximaban a 4 parecidas a 4.1, 4.01, 4.001, ..., de modo que obtuvieron cocientes d/t
del estilo 30.4, 31.84, 31.984, ... El acercamiento por la izquierda, pregunta 2B, lo realizan
correctamente 18 estudiantes, 4 se equivocan y 10 no contestaron, ver cuadro 25 mismo
anexo. Los estudiantes que contestaron correctamente este planteamiento exhibieron
sucesiones que se acercaban a 4 parecidas a 3.9, 3.99, 3.999, ..., de modo que la sucesión de
cocientes d/t que obtuvieron eran de la forma 33.6, 32.16, 32.02, ..., . Los errores más
frecuentes que cometieron aquéllos estudiantes que dieron respuestas equivocadas se
manifestaron en la evaluación de la función d(t), en el cálculo del d y en la consideración
de que t en estos casos tiene signo negativo, pues el acercamiento es por la izquierda. La
conclusión solicitada en la pregunta 2C, es dada correctamente por 16 estudiantes, 4 se
equivocan y 12 no la contestaron, ver el cuadro 26 mismo anexo. Es notorio que 3 estudiantes
casi logran el resultado correcto, sin embargo no parecen tener posibilidades de inducir
correctamente el límite de la sucesión de cocientes que calcularon.
Al hacer una revisión global a las respuestas dadas a las preguntas 2A, 2B y 2C, se
observa que 16 estudiantes resuelven correctamente las tres, 2 resuelven correctamente las
dos primeras pero se equivocan en la conclusión, 5 se equivocan en dos y 6 dejaron en blanco
las tres, el resto se equivocaron el alguna o dejaron en blanco dos. Esto indica que al menos
la mitad de los estudiantes pueden calcular la RCI por medio de aproximaciones numéricas,
tres estudiantes, si bien pueden calcular correctamente los cocientes numéricos tanto por la
derecha como por la izquierda, al parecer no son capaces de inducir el límite de esta sucesión
de cocientes. Ahora bien, por medio de una revisión de conjunto a las respuestas dadas a las
preguntas del primer grupo se observa en el Cuadro de Concentración 3 del anexo A que, 15
estudiantes dieron respuestas correctas a las cuatro preguntas, 3 en tres, el resto en 2 o menos.
De los 3 que acertaron en tres preguntas 2 de ellos solamente no dieron respuestas correctas
a la 2C y uno de ellos en la pregunta 1, esto da ciertas indicaciones de que al menos los dos
primeros pueden calcular las RCI por la vía algebraica y por la vía numérica sin embargo
tienen problemas para inducir cuál es límite de la sucesión, en el caso del segundo estudiante
sabe hacer el cálculo numérico pero es incapaz de calcular la RCI por la vía el algebraica.
Estos resultados indican una tendencia notable en 15 estudiantes (casi el 50% de los
participantes) hacia un desarrollo óptimo de la habilidad de cálculo de las RCI por la vía
algebraica y por la vía numérica, en tres más esta tendencia disminuye sin embargo los he
considerado dentro de este mismo rango de modo que suman 18 en total (el 56.2%) en esta
categoría, en 3 estudiantes apenas si se manifiesta y en 11 hay serias deficiencias.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, cuando a los
estudiantes se les preguntó cuál es la idea clave en el cálculo de la RCI, la situación 3, nos
encontramos que 24 subrayaron el inciso d, 3 el y inciso c, nadie el inciso b y 5 el inciso a,
(ver cuadro 27 anexo A). Estos resultados parecen indicar que en más de las tres cuartas
partes de los estudiantes se desarrolló una noción óptima sobre la RCI como el límite del
cociente d/t cuando t es infinitamente pequeño, aunque hay quienes parecen atender sólo
al acercamiento numérico al t0 y otros parecen estar de acuerdo en que la búsqueda de ese
límite es posible cuando x = 0. Sobre la interpretación de la expresión matemática de la
RCI en t = 2 para d(t) = 5t2, pregunta planteada en la situación 4, un poco menos de las tres
cuartas partes de los estudiantes participantes se inclinan por la idea de que la expresión
matemática dada indica que la RCI en t = 2 es exactamente 20 m/s (ver cuadro 28 mismo
anexo), interpretación que he considerado aceptable; 9 estudiantes se inclinan por la idea que
el límite se aproxima a 20 m/s y 2 por la interpretación de que en la proximidad de 2 la RCI
es aproximadamente 20 m/s. Se percibe en las respuestas de estos 11 últimos estudiantes
cierta noción de aproximación y no como un valor preciso, posiblemente el medio utilizado
para buscar el límite (las aproximaciones numéricas) está pesando más en sus concepciones
que el fin mismo de la búsqueda. La revisión de conjunto a las evaluaciones de las respuestas
a las dos situaciones de este segundo grupo de preguntas arrojó los siguientes resultados: 17
estudiantes dieron respuestas correctas ambas, 8 sólo dieron respuesta correcta a la situación
3 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 4, 4 estudiantes dieron respuesta correcta
sólo a la situación 4 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 3, ver cuadro 27. Esta
CONCEPCIONES SOBRE LOS PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
Situación 3 y 4 17 53.1% Cuadro 27
CORRECTAS Sólo la situación 3 8 25%
Sólo la situación 4 4 12.5%
revisión indica que, más del 50 % de los estudiantes se perfila una tendencia hacia el
mejoramiento óptimo de sus concepciones sobre la RCI, pues sus respuestas indican que
saben que la idea fundamental en el cálculo de la RCI es la búsqueda del límite del cociente
d/t cuando t infinitamente pequeño e interpretan satisfactoriamente el significado
semántico de la expresión:
limd
tm s
t
020 /
como que 20 m/s es el valor exacto de la RCI en t = 2 para d(t) = 5t2. El resto son proclives
solamente a identificar correctamente la idea clave que subyace en la búsqueda de la RCI,
un número menor sólo interpreta satisfactoriamente el significado semántico de la expresión
anterior.
3.3.3.1.- Síntesis sobre los resultados del tercer examen
El tercer examen consta de 6 preguntas en total, 3 se desprenden de la situación 2 y
las otras tres se desprenden de las tres preguntas restantes, las 4 primeras exploran
procedimientos y en las dos últimas exploran concepciones sobre aquéllos procedimientos.
Al hacer una revisión global (ver Cuadro de Concentración Núm. 3 anexo A) acerca de las
evaluaciones de las respuestas dadas a este examen se observa que, 9 estudiantes dieron
respuestas correctas a las seis preguntas, 7 dieron respuestas correctas en 5 preguntas, 2
contestaron correctamente en 4, 1 en 3 y el resto contestaron correctamente 2 preguntas o
menos. Con el propósito de detectar tendencias en las frecuencias de respuestas correctas,
éstas fueron agrupadas de dos en dos de mayor a menor, bajo estas condiciones se nota una
tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades de cálculo de la RCI y la comprensión
de este concepto en al menos 16 estudiantes, pues se mostraron capaces de calcularla por
medio de la definición (vía algebraica) y por aproximaciones numéricas (vía numérica) y
además (aunque con cierta heterogeneidad) parecen estar conscientes de los cálculos que
realizan. En tres la tendencia es hacia un desarrollo aceptable, en el resto (un poco más del
40%) las deficiencias son numerosas, ver el cuadro 28.
PROCEDIMIENTOS Y CONCEPCIONES SOBRE LA RCI (3er. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 6 rc 5 16 50% Cuadro 28
ACEPTABLE 4 rc 3 3 9.3%
DEFICIENTE rc 2 13 40.6%
En las respuestas a este a este examen se manifestaron algunas deficiencias en el trabajo
algebraico y numérico en el cálculo de la RCI, algunos estudiantes si bien pueden calcular la
sucesión de cocientes d/t no son capaces de inducir correctamente el límite de esta
sucesión, en cuanto a las interpretaciones de la expresión que representa a la RCI, todavía
varios estudiantes conciben al límite como una aproximación y no como un valor preciso,
no obstante la cantidad de respuestas correctas en cada una de las preguntas de este examen
siempre fue superior al 50% excepto en una (la pregunta 2C) que fue exactamente del 50%.
3.3.4.- Cuarto examen
El cuarto examen fue aplicado el 20 de junio de 1994 como examen final del curso y
consta de 5 preguntas (ver examen 4 anexo A). Las preguntas 1 y 5 exploran las ideas que
los estudiantes desarrollaron sobre el concepto de derivada, las preguntas 2 y 3 exploran las
aplicaciones de la derivada al cálculo de velocidades instantáneas y de pendientes de
tangentes, la pregunta 4 explora el uso de fórmulas para calcular derivadas. Para el análisis
he agrupado a las preguntas en tres grupos, en el primero se ubicaron las que exploran
fundamentalmente concepciones, las preguntas 1 y 5; en el segundo las que exploran
aplicaciones, preguntas 2 y 3; el tercer grupo incluye las que se desprenden de la preguntas
4 y que exploran procedimientos.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, en la pregunta 1 se dan
el dibujo y la fórmula atribuidos a la derivada, de ellos se desprenden tres preguntas, a
continuación se analizan sus respuestas. En el inciso a se pide el punto del gráfico donde la
fórmula mide la RCI, en esta pregunta 11 estudiantes señalan los puntos P y Q (ver cuadro
29 anexo A), posiblemente esto indique que estos estudiantes siguen pensando en la RCP y
tengan dificultades en percibir que la derivada mide la razón de cambio en un punto; 11
estudiantes (2 de éstos también señalaron además los puntos P y Q) señalan que en x, esto
ni siquiera da idea de un punto sino de una magnitud, estas respuestas dan idea de la dificultad
que implica la interpretación de la derivada como una propiedad puntual de las funciones. A
esta pregunta contestaron correctamente solo 7 estudiantes, en el tercer examen las respuestas
mostraron mayores deficiencia. A la pregunta del inciso b, 29 estudiantes contestaron que P
está infinitamente cercano a Q, uno que P Q, dos que P = Q y nadie es de la opinión que
P se aleja de Q (ver cuadro 30 mismo anexo); aquí, casi todos los estudiantes no parecen
tener dificultad para percatarse de que cuando x tiende a cero Q está infinitamente cercano
a P o simplemente P está próximo a Q. A la pregunta del inciso c, donde se cuestiona sobre
lo que sucede con el cociente f/x cuando x tiende a cero, prácticamente la mitad parece
inclinarse por interpretaciones aceptables (véase cuadro 31 mismo anexo), pues subrayan la
opción de que el cociente citado tiene por tope un número, sin embargo 14 estudiantes se
inclinan por la idea de que el cociente f/x es un infinitesimal. Estas respuestas indican de
que casi la mitad de los estudiantes suponen que al dividir dos cantidades infinitamente
pequeñas, el resultado debe ser otra cantidad también infinitamente pequeña, respuestas de
este tipo aún se siguen dando al final del curso a pesar de que en las clases se insistió sobre
su falsedad. Una revisión de conjunto revela que, sólo 4 estudiantes contestaron
correctamente a las tres preguntas de este primer grupo y 14 en lo hicieron en las dos
últimas, véase el siguiente cuadro 29. Esto indica que un poco menos de la mitad de los
estudiantes poseen cierto dominio de la idea de derivada en un punto como el límite del
cociente f/x cuando x tiende a cero, ideas que posiblemente fueron basadas en la
experiencia numérica lograda en el curso, no obstante este dominio no parece corresponderse
con
CONCEPCIONES ASOCIADAS A LA DERIVADA
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS Incisos a, b y c 4 12.5%
Incisos b y c 14 43.7% Cuadro 29
NO CONTESTO 0 0%
la idea de que la derivada da la razón de cambio en un punto y no en una zona próxima a
éste. Estos resultados pueden ser evidencias de que en la gran mayoría de estudiantes aún
prevalece la idea de derivada como una aproximación y no como un valor numérico preciso.
En la pregunta 5 se solicita a los estudiantes que expliquen ampliamente lo que
entienden por derivada de una función. A esta pregunta 26 estudiantes le dieron respuesta y
6 no la contestaron, para efectos de evaluación las respuestas fueron clasificadas en ideas
aceptables, aproximadas y confusas. En 10 de los que contestaron se perciben ideas
aceptables sobre la derivada, en 6 ideas aproximadas al concepto y en 10 se manifiestan
ideas confusas (ver detalles en el Cuadro de Concentración 4 del anexo A). En las ideas
consideradas aceptables se habla de la derivada como RCI o como propiedad puntual de las
curvas, como cociente entre infinitesimales, como un límite especial, relacionada con sus
aplicaciones al cálculo de pendientes de tangentes velocidades y aceleraciones. De las
respuestas consideradas aproximadas, en 3 se percibe cierta relación entre la derivada y las
razones de cambio promedio aunque en ellas se expresan ideas erróneas sobre el concepto de
función, en prácticamente todas estas respuestas se asocia al concepto de derivada con sus
aplicaciones pues se menciona que sirve para calcular velocidades, aceleraciones, rapidez,
tangentes a curvas, la deficiencia en este tipo de respuestas radica en que no se habla de la
derivada como una propiedad puntual de las funciones. En las respuestas que dieron los 16
estudiantes (entre las consideradas aceptables y las aproximadas) se perciben ciertas ideas
fundamentales en donde se asocia la derivada con RCI, con la RCP, con el cociente de
infinitesimales, con la idea de un límite especial, con las tangentes, con la velocidad,
aceleración y la rapidez de la variación. En el siguiente cuadro se condensa la información
anterior.
I D E A S F U N D A M E N T A L E S
RCI RCP Cociente de infinitesimales
Límite especial
Tang. Vel, acel, rapidez.
ESTUDIANTES 7 2 4 2 4 4 Cuadro 30
PORCENTAJES 21.8% 6.2% 12.5% 6.2% 12.5% 12.5%
Es necesario agregar que en varias respuestas se mencionan dos o más de las ideas que
aparecen en el cuadro anterior asociadas al concepto de derivada. Entre los que sus respuestas
fueron consideradas confusas, se asocian a la derivada las siguientes ideas: como una
fórmula, como la variación de un número infinitamente pequeño, como un resultado que se
obtiene de una función, como una función donde la variable depende de una constante, como
funciones que se derivan de otras para calcular sus dominios, con una cantidad infinitamente
pequeña que se deriva de otra más grande, como la razón de cambio de una variable respecto
de una constante. La primera de estas ideas fue dada por tres estudiantes, las restantes cada
una fue dada por estudiantes diferentes. Por otro lado, en las respuestas consideradas
aceptables y las aproximadas se notan dos tendencias: quienes consideran a la derivada como
un cociente o un resultado y quienes la consideran como una función. Es claro que en la
primera subyace la idea de derivada en un punto como un número y en la segunda la idea de
función derivada, a juzgar por las respuestas, 7 estudiantes se inclinan por la primera
concepción y 9 por la segunda, evidentemente hay predominio de la derivada como una
función por sobre la idea de derivada como un cociente.
Revisando globalmente las respuestas dadas a las 4 preguntas de este primer grupo,
se observa que nadie contestó correctamente las 4 preguntas, 2 estudiantes lo hacen en las
tres primeras pero sus ideas sobre la derivada fueron evaluadas como aproximadas, 4 dan
respuesta correcta a dos de las tres primeras y dan ideas aceptables en la última pregunta,
otros 3 aciertan en dos de las primeras y sólo dan ideas aproximadas en la última pregunta.
En resumen, aunque no hubo estudiantes que contestaran correctamente las cuatro preguntas
de este grupo parece manifestarse una tendencia que apunta hacia un comprensión óptima
del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes (25% de los participantes) que fueron
quienes contestaron correctamente al menos en tres de las 4 preguntas. En 5 estudiantes
(15.6%) esta tendencia fue considerada aceptable, en 4 (el 12.5%) apenas si se manifiestan
algunos indicios y en el resto (casi la mitad de los participantes) parece haber serias
deficiencias.
En cuanto a las preguntas del segundo grupo, particularmente de la pregunta 2, se
desprenden tres preguntas sobre un objeto lanzado hacia arriba. En el inciso a se pide la altura
alcanzada por el objeto a los 3.5 segundos, 27 estudiantes la contestan correctamente y 5 no
la contestaron (ver cuadro 32 anexo A); las respuestas dadas a estas pregunta reafirman la
presunción de que la mayoría de los estudiantes pueden calcular los valores de la función a
partir de la fórmulas dada, aunque no es despreciable la cantidad de estudiantes que no la
contestaron. En el inciso b se pide calcular mediante aproximaciones numéricas la velocidad
del objeto a los 3.5 segundos, para tal fin se sugirió aplicar reiteradamente la RCP para
inducir el límite de la sucesión de los cocientes incrementales; de los 32 participantes 15
realizan correctamente esta actividad (ver cuadro 33 mismo anexo), 7 tuvieron dificultades
en inducir el límite, en el acercamiento numérico a 3.5, al evaluar en la fórmula de la función,
al calcular el valor del numerador f(xx) - f(x), varios estudiantes sólo calculan el valor de
f(x+x) pero se les olvida calcular el valor de f(x), otros alcanzan a calcular correctamente
todo el numerador pero no calculan el cociente, etc., 10 estudiantes no contestaron esta
pregunta. En el inciso c hay que obtener las fórmulas que dan las velocidades y aceleraciones
instantáneas del objeto utilizando los diferenciales (aquí, en esencia se explora la habilidad
de cálculo de derivadas por medio de los diferenciales), este ejercicio sólo fue resuelto cabal
y correctamente por 9 estudiantes (cuadro 34 mismo anexo), 3 llegan a las expresiones de las
aceleraciones utilizando la fórmulas de derivadas, no obstante fueron evaluadas como
correctas, es notorio que 19 estudiantes no hicieron nada por resolver el ejercicio y 1 se
equivocó en los procedimientos. En la pregunta 3 se pide obtener la ecuación de la tangente
a la curva determinada por f(x) en un punto dado, este problema solamente fue resuelto
satisfactoriamente por 5 estudiantes (ver cuadro 35 mismo anexo), 13 no lo pudieron resolver
cabalmente o se equivocaron en algún procedimiento, de éstos 13 estudiantes 10 intentan
resolver el problema pero la mayoría de ellos sólo calculan la derivada y otros pocos logran
esbozar la gráfica de f(x), sin embargo no relacionan a la pendiente de la tangente con la
función derivada y por consiguiente no son capaces de concluir la resolución del problema.
Es notorio que 14 estudiantes no intentaron siquiera resolver el problema.
Al revisar globalmente las respuestas a las dos situaciones de este segundo grupo
nos encontramos que sólo 4 estudiantes resuelven correcta y cabalmente los dos problemas
planteados, es decir, calcularon el valor de función en t = 3.5 segundos, calcularon la
velocidad instantánea, obtuvieron las fórmulas de las velocidades y aceleraciones
instantáneas y la ecuación de la tangente aplicando el concepto de derivada. 3 estudiantes
resolvieron correctamente los tres incisos de la pregunta 2, es decir sólo son capaces de
calcular el valor funcional, la velocidad instantánea en el instante dado y de obtener las
fórmulas que dan las aceleraciones y velocidades instantáneas. 7 estudiantes sólo acertaron
en los dos primeros, es decir, sólo pueden calcular el valor de la función y la velocidad
instantánea en t = 3.5 segundos. 4 acertaron en los incisos a y c, además de calcular el valor
de la función, pudieron obtener las fórmulas de las velocidades y aceleraciones instantáneas,
el resto de los estudiantes sólo acertó en un inciso o en ninguno. A partir de esta revisión se
nota cierto desarrollo óptimo en la aplicación del concepto de derivada en 7 estudiantes pues
parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el geométrico y 4 en
ambos, en otros 7 su desarrollo es considerado aceptable con una tendencia marcada sólo
hacia las aplicaciones físicas, los restantes tienen serias deficiencias.
En cuanto a las preguntas relativas al tercer grupo iniciamos con la pregunta 3, en
ella se explora la habilidad para obtención de derivadas por medio de fórmulas. En el inciso
a, un poco menos de las tres cuartas partes (cuadro 36 anexo A) de los participantes pueden
obtener la derivada de la función algebraica dada. En el inciso b, donde se pide la derivada
de un producto de funciones, 13 estudiantes la obtienen correctamente (ver cuadro 37 mismo
anexo) aplicando la fórmula del producto. La derivada de la función del inciso b, es obtenida
correctamente por 13 estudiantes aplicando la regla del cociente, más de la mitad del grupo
no intentó siquiera hacer el ejercicio (ver cuadro 38 mismo anexo). Una revisión de conjunto
de las respuestas de este tercer grupo permite observar que la mayoría de los estudiantes (21
de ellos) obtienen derivadas de funciones polinómicas, la cantidad de estudiantes que logran
hacerlo en las dos restantes disminuye hasta 13 (el 40.6%). Los mismos estudiantes que
resolvieron correctamente el segundo y tercer ejercicios también lo hicieron en el primero.
3.3.4.1.- Síntesis sobre los resultados del cuarto examen
En el cuarto examen se plantearon 5 situaciones, de las cuales se desprenden 11
preguntas que exploran concepciones, aplicaciones y procedimientos relativos a la derivada.
A pesar de que en el grupo donde se exploran concepciones no hubo estudiantes que
contestaran correctamente todos los incisos de las dos preguntas, se percibe cierta tendencia
hacia una comprensión óptima del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes, en 5 se
percibe una tendencia aceptable, en el resto se notaron numerosas confusiones. En el grupo
de preguntas que exploran aplicaciones se percibe cierto desarrollo óptimo en 7 estudiantes,
pues parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el contexto
geométrico y 4 en ambos; en 7 este desarrollo fue considerado aceptable y se inclina hacia
la aplicación en el contexto físico, en el resto hay muchas deficiencias. En las preguntas que
exploran procedimientos es en donde se obtienen los mejores resultados, pues 21 estudiantes
calcularon correctamente la derivada de la función polinómica dada y 13 calculan las otras
derivadas aplicando fórmulas del cociente y el producto, esto parece indicar que al menos 13
estudiantes desarrollaron óptimamente la habilidad de calcular derivadas mediante fórmulas,
en 8 la consistencia de esta habilidad aunque disminuye es considerada aceptable y en el
resto las deficiencias son notorias. Al hacer una revisión global sobre las evaluaciones
generales de este examen se observa (ver Cuadro de Concentración Núm. 4, anexo A) que el
máximo de respuestas correctas alcanzado fue 10 y fue obtenido solamente por dos
estudiantes. Con el fin de detectar tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y
habilidades exploradas, he agrupado las frecuencias de respuestas en tres categorías tomando
como base a la media, las dos categorías superiores (de desarrollo óptimo y aceptable) de la
media hacia arriba y de la media hacia abajo la de desarrollo deficiente. Bajo estas
condiciones, se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo de sus concepciones y
habilidades sobre la derivada en al menos 7 estudiantes (los que sus respuestas correctas
fluctúan entre 10 y 8, pues mayoritariamente fueron capaces de interpretar y explicar
aceptablemente el concepto de derivada, de aplicar la derivada en la obtención de ecuaciones
de tangentes y en el cálculo de velocidades y aceleraciones instantáneas, además de calcular
derivadas por medio de fórmulas. El desarrollo de las concepciones y habilidades anteriores
alcanzaron un nivel aceptable en al menos 10 estudiantes (cuyas respuestas correctas están
entre 7 y 5), el resto manifestaron tener bastantes deficiencias pues sólo contestaron
correctamente entre 4 preguntas o menos, véase el cuadro siguiente.
CONCEPCIONES, PROCEDIMIENTOS Y APLICACIONES SOBRE LA DERIVADA (4o. EXAMEN)
DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 10 rc 8 7 21.8%
ACEPTABLE 7 rc 5 10 31.2%
DEFICIENTE rc 4 15 46.8%
Cuadro 31
Las mayores deficiencias notadas en los estudiantes se presentaron al preguntarles sobre el
punto en donde se mide la RCI en un gráfico y en la aplicación de la derivada en la
determinación de ecuaciones de tangentes, tal vez esta última deficiencia sea atribuible a que
en el curso se le dio mayor énfasis a su significado físico que su significado geométrico.
3.3.5.- Síntesis global
A lo largo del curso se trabajaron los temas de intervalos de variación, funciones,
RCP, RCI y algunos principios de generalización del concepto de derivada, para exploran el
desarrollo que sobre estos conocimientos alcanzaron los 32 estudiantes participantes en la
experiencia pedagógica, se aplicaron los cuatro exámenes en cuatro momentos distintos. En
conjunto los cuatro exámenes contienen 46 preguntas que exploran concepciones,
procedimientos y aplicaciones, en realidad estos dos últimos pueden ser considerados
indistintamente porque casi la totalidad de los procedimientos fueron utilizados en
aplicaciones a situaciones de la física. En los cuatro exámenes se plantean varios ejercicios
y problemas para explorar el desarrollo de las habilidades en los estudiantes. En el primer
examen, en el trabajo con la notación variacional, la mayoría de los estudiantes parecen no
tener muchas complicaciones excepto cuando se les pide representar intervalos en la recta
numérica, pues cuando se les pide traducir al lenguaje ordinario ciertos intervalos dados en
forma de desigualdades, el promedio de los que dan respuestas correctas a estas preguntas
siempre es casi de 27 (82.8%). En cambio cuando se les pide representar intervalos en la
recta numérica el promedio de los que dan respuestas correctas es sólo de 9 (28.1%). En este
mismo examen cuando se les pide graficar una función el promedio de los que demuestran
ser capaces de hacerlo es de 19 estudiantes, véase la gráfica 1 (véase también el Concentrado
de Resultados de los Exámenes por Temas del anexo A). La habilidad de evaluar una función
fue explorada en tres momentos distintos: en el primero, en el segundo y en el cuarto examen,
al comparar estos resultados se observa una notable mejoría en el cuarto respecto de los dos
primeros exámenes, en las tres exploraciones, 22 o más estudiantes (68.7%) fueron capaces
de realizar correctamente esta actividad, no obstante en el primer examen una cantidad un
poco menor de estudiantes mostraron ser capaces de graficar la función. Nótese que en la
aplicación de las funciones en la modelación de problemas de la práctica el desarrollo fue
prácticamente nulo. Respecto del cálculo de la RCP, explorado en el segundo examen, un
promedio de casi 21 estudiantes pueden calcular el d, sin embargo el cálculo total de la RCP
solamente lo logran realizar correctamente un promedio de casi 15 estudiantes.
CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE RESOLVIERON CORRECTAMENTE
LAS PREGUNTAS RELATIVAS A LAS HABILIDADES
32 30 E 26 26.5 26 S T 22 22 22 U 20.5 20.5 D 18 19 17.6 19
I 15 15.6
A 14 14.5
N 11.5 12
T 10 9
E
S 6 5
2
0 E1 E1 E1 E1 E2 E4 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E4 E3 E4 E4 E4 Trad. Rep. Func. Evaluación . Aplic. Graf. Cálc. Cálc. C á l c u l o Cálculo Der. Tang.
d RCP numérico algeb.
NOTACION F U N C I O N R C P R C I (DERIVADA)
VARIACIONAL
GRAFICA 1
Las habilidades relativas a la derivada empiezan a explorarse desde el segundo
examen con el cálculo de velocidades aceleraciones instantáneas, el cálculo numérico de ésta
es explorada en tres momentos distintos, en el segundo, en el tercero y en el cuarto examen
parcial; en el segundo examen el promedio de estudiantes que realizan correctamente esta
actividad es de casi de 12 (35.9%) en el tercero asciende a casi 18 (55%) y en el cuarto
examen desciende a 15 (46.8%). En la obtención por la vía algebraica de la RCI, también se
nota cierta tendencia descendente pues en el tercer examen la obtienen 19 estudiantes
(59.3%) y en el cuarto desciende a 12 (37.5%). Habrá que decir que en la segunda vez que
se explora esta habilidad la idea del diferencial sustituye a la idea del límite utilizada en la
primera exploración. Estas variaciones descendentes son explicables ya que varios
estudiantes dedicaron enormes esfuerzos para obtener la mejor calificación hasta el tercer
examen, una vez convencidos de que con el promedio logrado con estas tres calificaciones
lograban acreditar el curso, pusieron poco interés en el cuarto examen. El cuarto examen
también explora la habilidad de derivar funciones por medio fórmulas, mayoritariamente los
estudiantes demuestran poder obtener la derivada de funciones polinómicas pues lo hacen
correctamente 21 estudiantes, no obstante en promedio casi 16 pueden obtener las derivadas
de funciones polinómicas, de un producto y de un cociente de funciones. Finalmente, también
en el cuarto examen se explora la habilidad para obtener ecuaciones de tangentes a curvas
aplicando la idea de derivada, aquí los resultados son magros, pues sólo 5 estudiantes
demostraron ser capaces hacerlo. Probablemente esto se deba a que el curso estuvo
fuertemente orientado al estudio de la variación física y las ideas geométricas quedaron en
un lugar secundario.
Las concepciones de los estudiantes exploradas en los exámenes estuvieron enfocadas
mayoritariamente al concepto de derivada considerada como RCI, para obtener información
sobre su desarrollo 10 preguntas en total fueron hechas en los exámenes. En el primer examen
se explora el desarrollo del concepto de función, a este respecto 16 estudiantes en promedio
(véase la gráfica núm. 2) parecen tener un concepto óptimo de función como colección de
parejas ordenadas. En
CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE CONTESTARON CORRECTAMENTE
A LAS PREGUNTAS RELATIVAS A CONCEPCIONES
32 30 29 26 25
E S 22 21 T 19 GRAFICA NUM. 2
U 18 15.5 16 D 15 I 14 14
A N 10 7 7 T E 6 S
2 0
E1 E3 E4 E2 E4 E2 E3 E3 E4 E2 E4 Concepto Punto donde Signif. de Interp del.. I d e a Concepciones se mide RCI t0 lim (f/t)= 5 c l a v e generales t0
FUNCION RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA (DERIVADA)
el tercero y cuarto exámenes se les presentó un dibujo que representa a la RCI y la fórmula
matemática que lo identifica, sobre el dibujo se les preguntó en qué punto la fórmula dada
mide la RCI, en el tercer examen ningún estudiantes da respuestas correctas a esta pregunta
y en el cuarto solamente dan respuestas correctas 7. Estos resultados (aunque se logra mejoría
en el cuarto examen) dan una muestra de las grandes dificultades que tienen los estudiantes
para interpretar a la RCI como una propiedad puntual de las curvas, dificultades que a su vez
están asociadas a la idea del límite como una propiedad local. Sobre la comprensión del
significado del t0 se observa una notable mejoría en el cuarto examen respecto del
segundo, pues en el cuarto 30 estudiantes contestan correctamente la pregunta hecha al
respecto y 19 en el segundo, en ambos casos su significado se asocia con el infinitamente
pequeño. En el segundo y en el cuarto exámenes se pide una interpretación sobre la
expresión:
limf
tk k k
t
05 20, con en el primer caso y = en el segundo
las respuestas dadas por los estudiantes muestran un notable mejoría en el tercer examen pues
se triplica la cantidad de respuestas correctas en éste examen respecto del segundo, ya que
en el primer caso dan interpretaciones correctas 7 (21.8%) y en el segundo 21 (65.6%), en
dichas interpretaciones se asocia a las RCI con las velocidades y aceleraciones instantáneas,
con el límite o a la cuantificación puntual de la variación. En el tercer examen y en el cuarto
se pregunta sobre la idea clave para calcular la RCI (pregunta que en esencia indaga si los
estudiantes están conscientes de los procedimientos que realizan cuando calculan la RCI) se
presentó un sensible descenso entre las respuestas correctas dadas en tercer examen respecto
del cuarto, pues en el primer caso dan respuestas correctas 25 (78.1%) y en el segundo sólo
contestan correctamente 14 (43.7%). Las respuestas fueron consideradas correctas si de
alguna manera se expresaba que la idea clave consiste en la búsqueda del límite del cociente
f/t cuando t es infinitamente pequeño. En el segundo examen y en el cuarto se pide a
los estudiantes expliquen lo que entienden por derivada y por la RCI respectivamente, de
acuerdo con los datos obtenidos se observa una leve mejoría en el cuarto examen respecto
del tercero, pues 15 estudiantes (46.8%) dan explicaciones consideradas correctas en el tercer
examen y 16 (50%) en el cuarto. Las explicaciones correctas en el primer caso aluden a la
velocidades puntuales, variación instantánea a un límite especial, en el segundo caso se habla
de la RCI como cociente de infinitesimales, como velocidad, aceleración o rapidez
instantánea o asociada a la idea de tangente o como un límite.
En conjunto en los cuatro exámenes se hacen 46 preguntas y el máximo puntaje de
respuestas correctas alcanzado fue de 41 (véase el Concentrado de Evaluaciones Globales,
anexo A), este puntaje solamente fue obtenido por un estudiante. Con el fin de detectar
tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas, he clasificado
en tres categorías a los estudiantes a partir de una revisión transversal: los que su puntaje es
inferior a 20 respuestas correctas (la media), los que su puntaje es igual o superior a 20 pero
menor que 30 y los que sus puntajes son iguales o mayores que 30 respuestas correctas. A
los estudiantes de la primera categoría los consideré incluidos en una tendencia hacia
desarrollo deficiente, a los de la segunda en una tendencia hacia un desarrollo aceptable y a
los de la última categoría en una tendencia hacia un desarrollo óptimo. En estas condiciones
en 14 estudiantes (43.7%) se nota una tendencia hacia un desarrollo deficiente de los
conocimientos trabajados a lo largo del curso, pues contestaron correctamente menos de la
mitad de preguntas respecto del máximo alcanzado; en 8 estudiantes (25%) la tendencia
apunta hacia un desarrollo aceptable y en otros 10 apunta hacia un desarrollo óptimo de las
habilidades y concepciones matemáticas relativas a los intervalos de variación, funciones y
la RCI. Véase cuadro siguiente.
DESARROLLO GLOBAL ALCANZADO POR LOS ESTUDIANTES EN EL CURSO
DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 41 rc 30 10 31.2%
ACEPTABLE 29 rc 20 8 25 %
DEFICIENTE rc 19 14 43.7%
Cuadro 32
3.3.6.- Examen 5
Este cuestionario explora el desarrollo de algunas ideas generales sobre la variación
y fue aplicado en dos ocasiones, al inicio del curso junto con el primer examen y al final del
mismo junto con el cuarto examen. En él se plantean tres situaciones (ver examen 5 anexo
A) en donde se presentan tres gráficos respectivamente, el primero representa la variación de
la temperatura de cierto volumen de agua, el segundo muestra la variación de la
concentración de un medicamento en la sangre y en el tercer gráfico se muestra una curva
que representa a cierta función f que no está referida a un contexto específico. En cada
situación se plantean cuatro preguntas que, asociadas en grupos, exploran ideas sobre rapidez
variación, variación positiva, variación negativa y variación nula. En las siguientes páginas
se presenta un análisis comparativo de las respuestas a cada una de estas preguntas y una
síntesis sobre estos resultados.
3.3.6.1.- Sobre la situacion núm. 1
Respecto a la pregunta 1.A, en la primera aplicación sólo 3 estudiantes del total
dieron respuestas correctas y en la segunda aplicación 19 (ver cuadro 39 anexo A), éstos
constituyen el 59.3 % del total, aquí hay una diferencia positiva de l6; en cuanto a las
respuestas incorrectas, en la primera aplicación incurrieron 29 estudiantes y en la segunda
13. Al inicio del curso, un poco más del 90 % de los estudiantes consideran que la mayor
variación sucede en el intervalo de 10 a 20 min., esto parece indicar que la idea de mayor
variación es asociada por estos estudiantes con la idea de mayor valor de la función, esta
concepción parece haber cambiado hacia una idea de mayor rapidez de variación en 21
estudiantes pero parece permanecer incólume en 8.
CAPITULO 5
UNA EXPERIENCIA ESCOLAR
Este capítulo está dedicado a la experiencia pedagógica y al análisis cualitativo de las
respuestas a los exámenes aplicados en la experiencia, ésta se concretó en un curso de CD en
el que participaron 32 estudiantes del bachillerato. Se aplicaron en total 5 exámenes, 4 de
ellos fueron aplicados con el propósito de explorar el desarrollo de los conocimientos
(básicamente concepciones y habilidades relativas a la variación) que alcanzaron los
estudiantes a lo largo del curso. El examen 5, descrito más adelante como examen pre-post,
fue aplicado junto con el primer examen y explora algunas ideas generales que sobre la
variación poseían los estudiantes al principio del curso, este mismo examen fue aplicado al
final, incluido en el cuarto examen, el propósito era indagar el desarrollo de estas ideas
logrado a través del curso, de este examen se presenta un análisis comparativo. El análisis
cualitativo fue realizado a las respuestas de los cuatro exámenes y a las respuestas del examen
que explora ideas generales sobre la variación, para ello fueron asociadas en cada uno de los
exámenes en pequeños grupos de acuerdo a su afinidad matemática más cercana, esto con el
propósito de detectar las tendencias en el desarrollo tanto de las ideas como de las habilidades
afines. Al final se presenta una un análisis comparativo entre el rendimiento global obtenido
en los 4 exámenes y el desarrollo de las ideas generales sobre la variación.
Aspectos básicos de la experiencia escolar
Con la experiencia pedagógica se trata de formar los conceptos básicos del CD a partir del
desarrollo de las ideas sobre la variación. En virtud de que se trata de explorar los cambios
que se producen en los estudiantes en relación con el desarrollo de estas ideas y la
comprensión de los conceptos básicos del CD, la experiencia fue realizada con el mismo
grupo. Antes del curso se exploró el estado de algunas ideas variacionales en los estudiantes
participantes, los cambios producidos por la puesta en práctica de la propuesta didáctica son
evaluados al final del curso de modo que permiten la comparación con el estado inicial. Es
muy frecuente utilizar en la investigación experimental la modalidad del grupo de ensayo y
del grupo control, en el primero se somete la variable (o variables) como objetos de estudio
experimental mientras que en el grupo de control se sigue el procedimiento habitual. Para los
propósitos de la experiencia pedagógica que nos ocupa, un proceder parecido al anterior es
de muy escasa utilidad, pues el grupo de control sujeto a la enseñanza habitual del CD no
desarrollará ideas variacionales pues en ella estas ideas se omiten o si acaso se tocan es sólo
superficialmente. Por tal razón se eligió la modalidad de caso único1 donde la experiencia se
aplica al mismo grupo de estudiantes, pues nos interesa explorar la influencia que en ellos
produce la enseñanza de los conceptos básicos del cálculo a través del enfoque variacional.
La experiencia pedagógica se concretó en la conducción de un curso de CD impartido a
estudiantes del cuarto semestre del bachillerato con especialidad en Construcción de un
1En el sentido como se entiende en la Metodología de la investigación pedagógica y psicológica, segunda
parte, de Irma Noceda de León y Eddy Abreu, pp. 34 - 35; 1984.
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios de la ciudad de Chilpancingo,
Guerrero, México. Participaron 32 estudiantes cuyas edades fluctuaban entre 16 y 17 años,
estuvieron divididos en dos grupos, el 4o. "C" y el 4o. "D". El curso fue trabajado en horario
matutino de 7 a 8:40 de la mañana. El curso tuvo una duración fue de 18 semanas, de un total
de 90 sesiones de 50 minutos planificadas fue posible trabajar 79 sesiones efectivas. Todos
los estudiantes que participaron en la experiencia ya habían pasado los cursos de Aritmética
y Algebra, Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica. Además de la asignatura que
oficialmente se reconoce como Matemáticas IV (el curso de CD) en el cuarto semestre en el
que se desarrolló la experiencia los estudiantes tenían que atender otras 7 asignaturas más.
El bachillerato que cursaban se reconoce como el Físico-Matemático con especialidad de
Técnico en Construcción, lo primero les posibilita proseguir estudios universitarios
relacionados con la Ingeniería Civil o la Arquitectura y lo segundo les permite incorporarse
al trabajo productivo después de haber concluido el bachillerato.
Congruente con la estructura de la propuesta, el curso fue planificado en tres fases
fundamentales: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de
asimilación y fijación del concepto. El contenido, enfoque y habilidades a desarrollar en
cada fase se han descrito en el capítulo anterior.
Las formas metodológicas básicas de organización de la enseñanza mas utilizadas en el
curso fueron los métodos de elaboración conjunta, los de dirección del trabajo independiente
y algunos métodos expositivos. El trabajo docente se organizó en clases prácticas, clases de
repaso y las clases de control o evaluación. A fin de optimizar el tiempo se trabajó con los
apuntes escritos exprofeso, esto permitió que los estudiantes se familiarizaran con antelación
con el contenido a tratar. Las clases prácticas fueron destinadas a la resolución conjunta de
los ejercicios y problemas más representativos planteados en los apuntes y el esclarecimiento
de dudas sobre las tareas asignadas para realizar en casa. Dado que se pretendía desarrollar
habilidades en los estudiantes, el trabajo con la resolución de ejercicios y problemas ocupó
alrededor de las tres cuartas partes del tiempo destinado al curso, inclusive las tareas
extraclase fueron sistemáticamente revisadas y evaluadas con el objetivo de contribuir a la
calificación de los estudiantes y así estimular su realización. En las clases de repaso se
planteaban actividades consistentes en la resolución de ejercicios y problemas a fin de
sistematizar, ampliar y profundizar los temas. En las clases de control o evaluación se
aplicaron cuestionarios de control o de sistematización y los exámenes elaborados con fines
investigativos.
Reseña sobre la experiencia escolar
Los contenidos del curso fueron escritos en forma de apuntes los apuntes fueron estructurados
en clases, en cada clase se tratan determinados temas y se plantean ejercicios y problemas
para la asimilación del contenido respectivo. Las clases fueron desarrolladas en dos o más
sesiones de 50 minutos en dependencia de su extensión, profundidad y condiciones generales
de los estudiantes. Las primeras cuatro clases corresponden a la fase preparatoria y el resto
corresponde a las fases de formación y asimilación del concepto. El curso se inició con la
clase 1 titulada la variación, en ella se introdujeron las ideas de variable e intervalos de
variación, a partir del estudio de fenómenos. Se observaron grandes dificultades en los
estudiantes en el manejo de la notación matemática para de intervalos (símbolos <, >, , ),
pues confesaron no haberla trabajado antes.
La clase número 2 titulada los modelos que describen la relación entre las variables se inició
en la segunda semana de trabajo. La actividad docente en esta clase se centra en el concepto
de función, éste se formó a partir del estudio de la variación de cierto volumen de gas en
relación con la variación de sus temperaturas absolutas (Ley de Charles). A esta clase le
dedicamos dos sesiones de conferencia y tres sesiones a la resolución de ejercicios y
problemas, los tres primeros ejercicios no causaron mayores problemas a los estudiantes, las
dificultades empezaron a manifestarse en la evaluación de funciones y en el esbozo de sus
gráficos, dificultades mayores aparecieron en la deducción de las fórmulas de algunas
funciones a partir de las situaciones de la práctica. La tercera semana de trabajo la dedicamos
a la resolución de ejercicios y problemas de sistematización de los contenidos de las clases 1
y 2. La resolución de estos ejercicios fue encargada a los estudiantes para ser realizada como
trabajo independiente, sin embargo surgieron muchas dificultades en su resolución. En estos
ejercicios se incluyeron el trabajo con intervalos, el trabajo con funciones, la determinación
de su dominio, imagen y fórmula.
En la cuarta semana, iniciamos con la clase 3 titulada graficación de funciones. Su propósito
fundamental fue desarrollar habilidad en los estudiantes para esbozar gráficas de funciones
numéricas, para tal fin se les dio atención a la técnica de graficación por medio de tabulación,
la graficación a partir del análisis de sus fórmulas y al análisis visual del comportamiento de
sus gráficos. En el transcurso de la cuarta semana sólo alcanzamos a trabajar con las gráficas
de funciones enteras y racionales (algebraicas), en la quinta semana se trabajó con algunas
funciones irracionales y las trigonométricas básicas, de estas últimas los estudiantes
confesaron no haber estudiado siquiera las razones trigonométricas en sus cursos anteriores.
Al parecer los estudiantes no tuvieron muchas dificultades para graficar funciones lineales,
en cambio sí las tuvieron con las cuadráticas y cúbicas sobre todo en la evaluación y el esbozo
de sus gráficos cuando éstos cortan al eje de las x en dos o más puntos pues muchos de ellos
se perdían en el dibujo, las dificultades mayores se presentaron al graficar y analizar los
gráficos de funciones racionales e irracionales particularmente al realizar el análisis de sus
fórmulas. De las funciones trigonométricas sólo fue posible graficar y analizar algunas de las
básicas, no se trabajó con las exponenciales y logarítmicas. Alrededor de la tercera parte de
los estudiantes fueron capaces de resolver más de la mitad de los ejercicios planteados en
esta clase. A estas alturas del curso se notaron irregularidades en el cumplimiento de las
tareas y en la asistencia, motivos por los cuales se decidió disminuir un poco el ritmo de
trabajo alcanzado.
En la sexta semana, se inicia la clase 4 titulada la rapidez de la variación, con ella da inicio
la formación del concepto de derivada como RCI. En esta clase se introdujo el concepto de
RCP como el medio para obtener la rapidez de la variación a partir del estudio del
movimiento rectilíneo uniforme. Con estos elementos se orientó a los estudiantes para que
pudieran calcular las RCP dados los gráficos o las fórmulas de ciertas funciones y a partir de
la resolución de problemas de la física, muchas dificultades presentaron en la resolución de
estos últimos. En virtud de que en esta semana los estudiantes presentaron exámenes
parciales de las otras asignaturas, además de serias dificultades que manifestaron tener en la
resolución de los ejercicios de esta clase, se utilizó casi la totalidad del tiempo de la séptima
semana en tratar de resarcir estas deficiencias. Aproximadamente la quinta parte de los
estudiantes resolvió la totalidad de los ejercicios planteados en esta clase, dificultades
notables tuvieron en el trabajo aritmético con la fórmula de la RCP y en su representación
geométrica, en el primero de los casos tenían serias confusiones en discernir el orden en que
deberían tomar los tf y los ti, sobre todo cuando se les pedía calcular varias de ellas en una
misma función y cuando la gráfica de la función dada era descendente y por tanto se obtenían
razones de cambio negativas.
En la octava semana, se trabajó con la clase 5 titulada las razones de cambio variables. Lo
medular de esta clase es el estudio de la relación existente entre las RCP cuando el
movimiento sigue trayectorias curvilíneas, como punto de partida se abordó la relación entre
la pendiente de secantes a las curvas y la RCP. De las velocidades promedio constantes del
MRU de la clase anterior se pasa al análisis de las velocidades promedio del movimiento de
un cuerpo impulsado que sigue una trayectoria parabólica, de estos movimientos se
construyeron y analizaron los gráficos de sus velocidades promedio y se relacionaron con los
intervalos de crecimiento, decrecimiento y anulación de las RCP. Al resolver los problemas
propuestos en esta clase los estudiantes vuelven a tener dificultades en la decisión de cuál es
el valor de tf y cuál el de ti (sobre todo cuando RCP eran negativas), al representar
geométricamente la RCP confundían su signo con el signo de la función. En esta semana de
trabajo nuevamente un escaso número de estudiantes leen con anticipación los apuntes, muy
pocos pueden hacer las tareas encomendadas, de modo que esto provoca que se tengan que
repetir algunas de clases anteriores.
La clase número 6 titulada las razones de cambio instantáneas se trabajó en la novena
semana. En esta clase se partió de la necesidad de calcular velocidades instantáneas y la
imposibilidad de calcularlas por medio de las RCP, de ahí se orientó a los estudiantes para
que reflexionaran si por medio de la reducción del intervalo esto sería posible, luego el
problema se trasladó a qué tan pequeña sería la reducción del intervalo. Esto se resolvió al
analizar el comportamiento de la sucesión de cocientes d/t al asignar a t valores muy
cercanos a cero de modo que se pudiera predecir su límite. Al parecer los estudiantes
aceptaron con naturalidad la notación:
limt t
d t d t
t td t
f i
f
f i
f
( ) ( )' ( )
i
para la RCI, en cambio cuando se pasó a la notación:
limt
d t t d t
td t
0
0 0
0( ) ( )
' ( )
se manifestaron dificultades serias en su manejo. También se presentaron dificultades en
decidir cuál es el punto que se mueve y cuál no, el tf o el ti , el t0 o el t. En las
aproximaciones numéricas también manifestaron dificultades al acercarse a un t0 , sobre todo
al tratar de construir sucesiones que acercaran al punto por la izquierda. Poco mas de la cuarta
parte de los estudiantes son capaces de resolver los problemas y ejercicios planteados en los
apuntes.
En la semana 10, se trabajó la clase 7 titulada Cálculo de las RCI por Métodos Algebraicos,
el objetivo fundamental se centró en desarrollar habilidad en los estudiantes para calcular
razones de cambio instantáneas por medio de su definición. En esta clase se parte de la
necesidad de buscar un método que abreviara el cálculo de las RCI, este método en principio
fue trabajado a partir de la definición dada de RCI y posteriormente con la regla de los cuatro
pasos. Aquí se presentaron ciertos problemas en cuanto a la fundamentación de las sumas o
productos de los límites, para fundamentar estas operaciones se introdujo y utilizó la noción
de cantidades infinitesimales definidas a partir del límite, bajo estas condiciones cualquier
suma o producto de infinitesimales se consideran cantidades despreciables y tiene como
límite cero. Al tratar de resolver los problemas planteados de esta clase los estudiantes
tuvieron dificultades con la evaluación de funciones con argumento de la forma t + t, en el
desarrollo de binomios al cuadrado o al cubo, las dificultades aumentaron cuando se trataba
de calcular las RCI de funciones racionales sencillas, en especial en la simplificación de
expresiones algebraicas racionales. Menos de la cuarta parte de los estudiantes pudieron
resolver más de la mitad de los ejercicios planteados. Incluso muchos estudiantes no
resolvieron la mayoría de los ejercicios planteados desde la clase 5 hasta la 7, por tal razón
en la semana 11 se hizo en un repaso general.
En la semana 12, solamente fue posible trabajar una sesión de 50 minutos con cada uno de
los grupos, en ella se estudiaron algunos casos de funciones en las que no es posible calcular
la RCI en puntos determinados, además se estudió la relación entre rectitud local y la
existencia de la RCI. En la semana número 13, se trabajaron dos sesiones de 50 minutos con
cada uno de los grupos y se repasaron algunas cuestiones de clases anteriores. En la semana
14, prosiguen las irregularidades con la asistencia de los estudiantes y sólo se trabajaron tres
sesiones de 50 minutos con cada grupo, por tal razón se optó por repasar algunas temas de
álgebra que los estudiantes no dominaban. En la semana 15, se trabajó con la clase núm. 8
titulada: Las Razones de Cambio Instantáneas y las Tangentes a Curvas, en ella se extendió
la noción de RCI al de pendientes de tangentes a las curvas, esta clase se inició con una
discusión acerca de las ideas que de tangente tenían los estudiantes, en esta discusión se hizo
patente la necesidad de trascender la concepción griega hacia una concepción local de
tangente, hacia la posibilidad de que pudiese cortar o tocar a la curva, hacia el establecimiento
de las condiciones necesarias para poderlas trazar y determinar sus pendientes y ecuaciones.
En esta clase tuvimos serios problemas con el nivel de partida pues los estudiantes no
conocían las funciones trigonométricas, particularmente la f(x) = tan x, indispensable para
determinar pendientes de rectas, por eso se les dedicaran dos sesiones de 50 minutos para
ayudarlos a superar estas deficiencias. Solo la cuarta parte de los participantes fueron capaces
de resolver satisfactoriamente más de la mitad de los ejercicios planteados.
En la semana 16, se trabajó con la clase número 9 titulada Las Razones de Cambio
Instantáneas en cualquier punto, con ella se introdujo el concepto de función derivada a
partir de la necesidad de determinar la velocidad de los cuerpos en caída libre en cualquier
instante. La idea de función derivada subyacente en las RCI para cualquier t sólo fue
trabajada en funciones algebraicas sencillas surgidas de problemas de caída libre y el llenado
de vasijas con agua. Nuevamente en la resolución de los problemas y ejercicios planteados
se presentaron muchas deficiencias algebraicas, las dificultades mayores se manifestaron en
la resolución de problemas de aplicación en donde la fórmula de la función no estaba dada.
En la semana 17, se inició la deducción y utilización de las fórmulas básicas de derivación.
Se trabajó con la Clase 10 titulada: La Notación de Leibniz para Derivadas y los
Diferenciales, en ella se introdujo la notación de Leibniz para derivadas y se precisó la idea
del diferencial. Con la notación de Leibniz y la idea del diferencial fue posible encontrar un
argumento más consistente para deshacernos de los productos con los diferenciales o de las
potencias de éstos pasando de la idea del límite a la de los diferenciales propiamente dichos.
También se hizo notar la valía de la notación de Leibniz porque es sugerente en el estudio de
la variación. En la resolución de los ejercicios y problemas planteados se presentaron
deficiencias algebraicas, aunque más de la cuarta parte de los participantes resolvieron más
de la mitad de los ejercicios y problemas propuestos.
En la misma semana 17 se trabajó la clase 11 titulada Algunas fórmulas y reglas básicas
para calcular derivadas, en esta clase se deducen las fórmulas para derivadas de funciones
de la forma y = mx + b y de la forma y = xn (con n racional); el objetivo esta clase fue el
que los estudiantes desarrollaran habilidad para calcular derivadas por medios más rápidos
que los anteriormente conocidos, en la resolución de los ejercicios planteados las mayores
dificultades se presentaron con el cálculo de derivadas de funciones de la forma y = xn, con
n racional negativo. En la semana núm. 18, se trabajaron las clases 12 y 13. En la clase 12,
titulada Fórmulas para derivadas de sumas y productos de funciones, en ella se dedujeron
las fórmulas para derivar sumas y productos de funciones a partir de la necesidad de resolver
ciertos problemas y utilizando la noción de infinitesimal; en la resolución de los ejercicios y
problemas planteados los estudiantes tuvieron dificultades en la simplificación algebraica
después de aplicar la regla de derivación correspondiente y en la resolución de problemas
sobre variación en donde no se daba la fórmula de la función. En los últimos días del curso
fueron dedicados a la clase 13 titulada Fórmulas para derivadas de cocientes de funciones,
esta clase fue motivada por la resolución de un problema que da pie a la búsqueda de una
fórmula general para derivadas de funciones de la forma y = u/v; la utilización de la fórmula
para derivar cocientes de funciones ocasionó mayores problemas a los estudiantes, sobre todo
cuando había necesidad de simplificar expresiones algebraicas racionales.
Obstáculos detectados en la experiencia escolar
En el trabajo general del curso se enfrentaron una diversidad de obstáculos que influyeron en
su desarrollo normal, varios de ellos ya se han mencionado. Fue muy notoria la deficiencia
de conocimientos previos por parte de los estudiantes, ellos mismos confesaron no haber
visto muchos de los contenidos que se suponían vistos en los cursos anteriores, en gran parte
de los participantes (sobre todo los del 4o. “C”) eran evidentes las deficiencias en las
operaciones básicas con números racionales y con los acercamientos numéricos a un punto
determinado por medio de sucesiones numéricas. Las deficiencias en el trabajo algebraico
también fueron abundantes, específicamente con las operaciones básicas con expresiones
algebraicas, en la simplificación de expresiones algebraicas racionales, con la factorización
y con el desarrollo de binomios elevados a exponentes enteros positivos, etc. Con más
agudeza los estudiantes se manifestaron deficiencias en sus conocimientos sobre Geometría
Euclidiana, específicamente sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos, la
utilización del Teorema de Pitágoras, sobre las propiedades de los triángulos, cuadriláteros y
la circunferencia, el trazo de tangentes a curvas etc.. Sus conocimientos sobre trigonometría
eran escasos y confesaron no haber estudiado las funciones trigonométricas básicas y sus
gráficos. En su curso de Geometría Analítica, según sus propias versiones, solamente
alcanzaron a trabajar hasta la ecuación de la recta, las cónicas y sus propiedades al parecer
no fueron vistas en este curso. En el tratamiento del concepto de RCI se presentaron diversas
dificultades como el manejo adecuado de la notación del límite, en las aproximaciones
numéricas para inducir intuitivamente el límite, en la concepción del límite (pues varios lo
consideraban simplemente como una aproximación), la asociación muy frecuente de la RCI
con dos puntos y no con uno solo (tal vez causada por el enfoque con que se dirigió la
experiencia), la confusión del valor de la derivada en un punto con el valor de la función en
ése mismo punto. En cuanto a las aplicaciones ningún estudiante se mostró capaz de deducir
las fórmulas de funciones que describen la relación entre las variables a partir de situaciones
de la práctica, la mayoría de los estudiantes se mostró incapaz de aplicar el concepto de
derivada en la obtención de ecuaciones de tangentes. A todo esto habrá que agregar escasa
puntualidad de los estudiantes, las frecuentes suspensiones de clases sobre todo en el mes de
mayo, la excesiva carga de trabajo en las demás asignaturas de la especialidad de los
estudiantes, deficiente trabajo de conjunto y cumplimiento de tareas, etc.
SEGUIMIENTO DE LA EXPERIENCIA ESCOLAR
PRIMERA EVALUACIÓN
La primera evaluación consistió esencialmente de un examen en él se plantean 5 situaciones
(ver examen 1 anexo A). Para el análisis de sus respuestas, las dos primeras fueron incluidas
en un primer grupo, ambas exploran el manejo de la notación para intervalos de variación y
funciones, estas dos situaciones. Las tres restantes se refieren al tema función, de éste se
explora el concepto desarrollado por los estudiantes, las habilidades en la graficación y la
aplicación a un problema de la práctica. Para el análisis, estas tres últimas situaciones fueron
agrupadas en un segundo grupo.
En cuanto a las preguntas del primer grupo, en la situación 1, sobre la traducción al lenguaje
ordinario y la representación geométrica de los tres intervalos, se plantean tres preguntas en
tres incisos respectivamente. A la pregunta del inciso a, sobre la traducción del primer
intervalo planteado, dan respuestas correctas 30 estudiantes y 2 se equivocan (véase cuadro
1 anexo A), prácticamente la totalidad de los estudiantes parecen no tener problemas con la
traducción al lenguaje ordinario del intervalo planteado, sin embargo en su representación
geométrica en la recta real aparecen las complicaciones, sólo 12 estudiantes hacen
representaciones correctas, 5 se equivocan y 15 no contestaron, véase cuadro 2 anexo A. En
el inciso b hacen una traducción correcta 29 estudiantes, 1 se equivoca y 2 no contestaron
esta pregunta, véase el cuadro 3 del mismo anexo; en cuanto a la representación geométrica
de este intervalo, 6 estudiantes lo hacen correctamente, 10 se equivocan y 15 nada hicieron
al respecto, ver el cuadro número 4. Cuando a los estudiantes se les pidió que tradujeran al
lenguaje ordinario los dos intervalos escritos en lenguaje matemático, prácticamente la
totalidad de ellos parece no tener dificultades en esta tarea, en cambio cuando se les pidió
representarlos en la recta real, en el primer caso el 37.5% lo hace correctamente y en el
segundo sólo el 18.7%. A juzgar por lo que dibujan los estudiantes que se equivocan, parece
ser que tienen confusiones con la idea del continuo, pues en el primer caso a pesar de tratarse
de intervalos que incluyen a todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores que
100, los dibujos parecen indicar que incluyen sólo a los números enteros, algo parecido
sucede en el segundo caso, pues a pesar de que se trata de una variable discreta 3 estudiantes
la dibujan como si fuera variable continua. El manejo adecuado de los símbolos de las
desigualdades es aún deficiente en muchos estudiantes.
En la situación 2 se pide traducir al lenguaje de las desigualdades algunos intervalos dados
geométricamente. En cuanto al inciso a, 24 estudiantes realizan correctamente esta actividad,
7 se equivocan y 1 no la contestó, ver cuadro 5 anexo A. Nuevamente en los que se equivocan
se notan confusiones en el manejo de los símbolos de las desigualdades, no obstante las tres
cuartas partes del grupo parecen no tener problema en la escritura del intervalo solicitado.
Respecto al inciso b, 22 estudiantes hacen correctamente la traducción solicitada, 7 se
equivocan y 3 no la contestaron, ver cuadro 6 anexo A; en este caso la cantidad de estudiantes
que dan respuestas correctas disminuye ligeramente respecto del inciso a, esta disminución
probablemente se debe a que este intervalo representa una variación discontinua, en los que
se equivocan se notan otra vez confusiones en el uso del sentido de las desigualdades. Al
hacer una revisión global de las respuestas a estas dos situaciones (referidas a la notación de
intervalos de variación), se observa que 4 estudiantes contestan correctamente a las seis
preguntas, 7 lo hacen en cinco, 10 en 4, 4 en 3 y el resto en 2 o menos (véase cuadro 13). De
acuerdo con estos datos, parece ser que 11 estudiantes (las dos frecuencias más altas) manejan
en condiciones óptimas la notación y la interpretación geométrica de los intervalos de
variación. 14 estudiantes se ubican en un desarrollo aceptable, es notorio que la mayor parte
de ellos contestaron correctamente a las preguntas relacionadas con la escritura (con notación
matemática) de intervalos, pero se equivocaron frecuentemente en su representación
geométrica. El resto de estudiantes tiene muchas deficiencias.
SOBRE LA NOTACION DE INTERVALOS DE VARIACION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En las 6 4 12.5% En 5 7 21.8% Cuadro 13
CORRECTAS En 4 10 31.2% En 3 4 12.5%
En 2 o menos 7 21.8%
En la situación 3, se plantean dos incisos que también exploran el manejo de la notación
variacional, aunque ambos se refieren a las funciones. Cuando a los estudiantes se les pidió
que identificaran la variable dependiente y la variable independiente, pregunta del inciso a,
20 dieron respuestas satisfactorias, 6 se equivocaron y 6 no contestaron, ver cuadro 7 anexo
A. En cuanto al inciso b de esta situación, contestan correctamente 21 estudiantes, 3 se
equivocan y 8 no contestaron, ver cuadro 8 mismo anexo. Las respuestas a estas dos
preguntas indican, que la mayoría de los estudiantes parecen no tener problemas con la
notación matemática con que se representan a la variable independiente y a la dependiente
en la fórmula de la función dada.
Al hacer una revisión global de los 8 incisos que corresponden al grupo Notación
Variacional, se observa (cuadro 14) que 4 estudiantes contestan correctamente en las 8
preguntas, 3 en 7, 9 en 6, 5 en 7 y el resto contestan correctamente en 4 o menos.
Considerando a las dos más altas frecuencias como indicador del desarrollo óptimo, y así en
orden descendente las demás, entonces en los datos de esta tabla se percibe cierta tendencia
hacia el desarrollo óptimo en el manejo correcto de la notación variacional en 7 estudiantes,
este desarrollo parece ser aceptable en 16 estudiantes, en el resto las evidencia señalan
marcadas deficiencias.
SOBRE EL GRUPO DE PREGUNTAS DE NOTACION VARIACIONAL
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En las 8 preg. 4 12.5%
En 7 3 9.3% Cuadro 14
CORRECTAS En 6 9 28.1% En 5 7 21.8%
En 4 o menos 9 28.1%
En lo que respecta a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, las referidas al tema
función, de la situación 3 quedaron incluidas tres preguntas. Al plantearle a los estudiantes
que elaboraran la tabla de valores para la función d(t) = 29t -4.9t 2 , pregunta del inciso c,
resulta que 22 la elaboraron correctamente, 5 se equivocaron y 6 no la contestaron, véase el
cuadro 9 anexo A. Respecto al inciso d, en donde se les pide que dibujen la gráfica, 21
estudiantes hicieron un dibujo aceptable, 4 se equivocaron y 7 no la dibujaron, ver cuadro 10
anexo A, llama la atención que varios estudiantes en el dibujo sólo representaron los puntos
adecuadamente pero no los unen, otros suelen unir los puntos con segmentos de recta, aunque
la mayoría hace un esbozo satisfactorio del gráfico. Al preguntarles cuál por el dominio e
imagen de la función, pregunta del inciso e, 14 dieron respuestas correctas, 5 las dieron
incorrectas y 13 no contestaron, ver cuadro 11 anexo A. Al revisar globalmente la respuestas
a esto tres incisos se observa que 12 estudiantes realizaron las tres actividades correctamente,
7 realizaron correctamente solamente dos, 7 sólo realizan correctamente una de las
actividades encomendadas y el resto no realizó correctamente ninguna o simplemente no
contestaron, ver el cuadro siguiente:
SOBRE LA EVALUACION, GRAFICACION, DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En los 3 incisos 12 37.5%
En 2 7 21.8% Cuadro 15
CORRECTAS En uno, ninguno o
no contestaron
13 40.6%
Estos datos parecen indicar que al menos 12 estudiantes son capaces de hacer la tabulación,
esbozar la gráfica y determinaren condiciones óptimas el dominio e imagen de la función, en
7 estudiantes estas habilidades parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable, en el resto
sus deficiencias son muy marcadas. De acuerdo con las frecuencias de respuestas correctas,
los estudiantes tienen mayores dificultades en determinar el dominio e imagen de la función
y son mayoritariamente proclives a poder realizar los cálculos aritméticos que implica la
elaboración de la tabla de valores, el poder dibujar aceptablemente la gráfica quedó en un
lugar intermedio.
La situación 4 se refiere al concepto de función y de ella se desprenden dos preguntas, al
inciso a contestaron correctamente 15 estudiantes, 4 dieron respuestas incorrectas y 13 no
contestaron. Quienes contestaron correctamente argumentaron más o menos los siguiente: no
es una función porque a cada elemento del dominio le corresponden dos valores de la
imagen. Los que dieron respuestas incorrectas argumentaron lo siguiente: si es función
porque el conjunto de partida corresponde al de llegada, no es función porque forma dos
paralelas al eje y, si es una función porque los números al estar entre paréntesis se están
sumando y a la misma vez se multiplican con otro porque se encuentran encerrados en
paréntesis, si es una función porque consta de dos elementos. De acuerdo con estos datos un
poco menos de la mitad del grupo tiene una idea aceptable de lo que es una función, aunque
un poco más de la mitad no contestó nada o parecen estar confundidos. En cuanto a la
pregunta del inciso b, 17 estudiantes la contestaron correctamente, 3 dieron respuestas
incorrectas y 12 no la contestaron, los que dan respuestas correctas escribieron algo parecido
a lo siguiente: si es una función porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y
sólo uno de la imagen, en cambio los que dieron respuestas incorrectas esgrimieron
argumentos como: No, porque el conjunto de llegada le corresponde el conjunto de partida;
sí es una función porque nos da el valor de G y nos indica igual que en a que se aplican
sumas y multiplicaciones; si es una función porque en un punto se unen dos coordenadas.
Algunos de los estudiantes que dieron respuestas correctas en ambos incisos también
esgrimieron argumentos geométricos parecidos a los siguientes: si una paralela al eje y sólo
corta a su gráfico en un sólo punto entonces sí es función, si la corta en varios entonces no
lo es. Al hacer una revisión global a las respuestas de los dos incisos, se observa que 15
estudiantes contestaron correctamente en los dos, 2 en uno solo y el resto en ninguno o no
contestaron ambas preguntas, véase el cuadro 16.
SOBRE EL CONCEPTO DE FUNCION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En los 2 incisos 15 46.8%
CORRECTAS En 1 inciso 2 6.2% Cuadro 16 En ninguna o bien no
contestaron.
15
46.8%
Estos datos indican que un poco menos de la mitad de los estudiantes parecen haber
desarrollado una concepción óptima sobre la noción de función como colección de parejas
ordenadas, en 2 estudiantes parece haber confusiones, en el resto las deficiencias notables.
En la situación 5 se pide obtener la fórmula de la función que expresa el área lateral de un
tetraedro en función de la longitud de sus aristas, para encontrar esta fórmula se sugirió el
Programa Heurístico General. La mitad de los estudiantes sólo identifican lo dado y lo
buscado, sin embargo ninguno obtiene la fórmula a pesar de haber resuelto problemas
similares en clase.
Al hacer una revisión de conjunto a las respuestas dadas a este grupo de preguntas, de 9
preguntas planteadas el máximo de respuestas correctas fue de 7, sólo 7 estudiantes logran
este máximo, 2 estudiantes lo logran en 6, 4 contestan correctamente en 5, 2 lo hacen en 4,
el resto lo hacen en 3 o menos o simplemente no contestaron, ver cuadro 17. Esto nos
permite concluir que,
SOBRE EL TEMA DE FUNCION
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En 7 incisos 7 21.8% Cuadro 17
En 6 incisos 2 6.2%
CORRECTAS En 5 incisos 4 12.5%
En 4 incisos 2 6.2%
En 3 o menos 17 18.7%
en al menos 9 estudiantes (los de más alta frecuencia) se perfila cierta tendencia hacia un
desarrollo óptimo sobre el concepto de función, esta misma tendencia es extendible hacia la
elaboración de la tabla de valores, la graficación de la función dada y la determinación de su
dominio e imagen. En los 6 estudiantes, los que contestaron correctamente entre 5 o en 4
preguntas, las evaluaciones de sus respuestas son heterogéneas, sin embargo
mayoritariamente pudieron elaborar la tabla y la gráfica de la función dada y sus nociones
sobre el concepto de función no parecen ser tan consistentes como los del grupo anterior, en
los 17 estudiantes restantes las deficiencias son numerosas. De este grupo de preguntas todos
los estudiantes fueron incapaces de resolver el problema planteado en la situación 5.
Síntesis sobre los resultados de la primera evaluación
Visto de manera conjunta, este examen consta de 17 preguntas en total, 8 correspondientes a
la Notación Variacional y 9 correspondientes al tema Función. El máximo de respuestas
correctas fue de 15 y sólo lo alcanzaron 3 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 14
preguntas, 3 en 13 preguntas, 1 en 12 preguntas, 4 en 11 preguntas, 3 en 10, 1 en 9, el resto
en 8 o menos (ver Cuadro de Concentración núm. 1 anexo A). Para detectar tendencias he
agrupado a las frecuencias de cuatro en cuatro, de mayor a menor, bajo estas condiciones
parece perfilarse una tendencia hacia un desarrollo óptimo de las habilidades relativas a la
notación variacional y al trabajo con funciones en 9 estudiantes (los que sus respuestas
correctas fluctúan entre 15 y 12), pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de
interpretar, traducir y representar intervalos de variación, tienen ideas correctas sobre el
concepto de función, pueden elaborar una tabla de valores, graficar y determinar dominio e
imagen de la función. Otros 10 estudiantes, los que sus respuestas correctas fluctúan entre 11
y 8 (ver el cuadro siguiente), aunque se nota gran heterogeneidad, las habilidades antes
mencionadas parecen haberse desarrollado aceptablemente, en los 13 estudiantes restantes
las deficiencias son numerosas. Las deficiencias más notorias fueron observadas en la
obtención de la fórmula de la función para expresar el área total de un tetraedro, pues ninguno
de los estudiantes fue capaz de obtenerla.
SOBRE NOTACION VARIACIONAL Y FUNCION (1er. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.
OPTIMO 15 rc 12 9 28.5%
ACEPTABLE 11 rc 8 10 31.2%
DEFICIENTE rc 8 13 40.6%
Cuadro 18
SEGUNDA EVALUACIÓN
Para la segunda evaluación también se aplicó un examen, en él se plantean 3 situaciones con
sus gráficos respectivos (ver examen 2 anexo A) y de cada situación se hacen 4 preguntas.
Las dos primeras situaciones exploran el desarrollo de habilidades para evaluar funciones,
calcular el incremento de la variable dependiente si t cambia de t a t+t, para calcular la
RCP y la RCI, de la tercera se desprenden cuatro preguntas acerca de la interpretación de la
RCI. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de estas habilidades y concepciones, las
preguntas y sus respuestas fueron conjuntadas en tres grupos, en el primero se incluyen las
relativas a la evaluación de funciones, en el segundo las que se refieren a la RCP y las del
tercero se refieren a la RCI.
Al primer grupo corresponden las preguntas 1A y 2A, en ellas se pide obtener el valor de la
función a partir de su gráfico. La pregunta 1A se refiere al gráfico que representa a la función
en V(t) = 10t + 5 (donde V es la velocidad de una piedra en términos del tiempo t) y la 2A
se refiere al gráfico de la función d(t) = t2 (donde d es la distancia que recorre un cuerpo en
el tiempo t en caída libre en la superficie lunar). A la pregunta 1A, 22 contestaron que la
velocidad de la piedra en t = 2 es de 25 m/s y 10 dieron otras respuestas, ver el cuadro 12
anexo A. En 5 de las respuestas incorrectas los estudiantes dicen que la velocidad de la piedra
en t = 2 es de 10 m/s, posiblemente confunden la razón de cambio instantánea en t = 5 con
el valor de la función en ése punto. Es notorio que todos los estudiantes que dieron respuestas
incorrectas parecen no usar la fórmula de la función, al menos en su cuestionario no
escribieron estos intentos, en cambio sí se observan las marcas en el dibujo para graduar y
dar una respuesta. De los que contestaron correctamente sólo 9 exhiben en su examen la
evaluación de la función en t = 2, el resto no la exhibieron. A la pregunta 2A, 22 estudiantes
dieron como respuesta 9 m, 1 no contestó, los restantes dieron otras respuestas, ver el cuadro
13 anexo A; de los 22 que contestaron correctamente 15 calculan d(3), en el resto no
encontramos en su examen esos cálculos. Es notorio que 2 estudiantes de los que dieron
respuestas incorrectas contestan que 8 m o 7.5 m es la distancia recorrida, esto parece
indicar que sólo se atienen al dibujo de la gráfica. Al conjuntar las respuestas de estas dos
preguntas, 19 estudiantes dan respuestas correctas a las dos, 4 en alguna de ellas y 9 se
equivocan en las dos, ver cuadro siguiente.
SOBRE LA EVALUACION DE FUNCIONES
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1A y 2A 19 59.3%
En 1A 4 12.5%
INCORRECTAS En 2A 3 9.3%
En 1A y 2A 6 18.7%
Cuadro 19
En el segundo grupo se incluyen las preguntas 1B, 2B, 1C y 2C. En las dos primeras se pide
el V y el d si el tiempo cambia de t a t+t, para valores dados de t y t, las dos últimas
se refieren al cálculo de la velocidad y aceleración promedio. A la pregunta 1B dan
respuestas correctas 23 estudiantes, 8 dan respuestas incorrectas y 1 no la contestó, ver cuadro
14 anexo A, en 14 de los 23 que contestaron correctamente encontramos ciertas marcas en
el gráfico que se supone fueron el auxilio geométrico para dar la respuesta a la pregunta;
llama la atención que 6 estudiantes contestan que la velocidad no cambia o que es de 0 m/s,
es posible que estén confundiendo la velocidad con la aceleración del cuerpo. A la pregunta
2B contestaron correctamente 18 estudiantes, 13 dieron otras respuestas y 1 no la contestó,
ver cuadro 15 anexo A, 10 de los 18 que contestaron correctamente anotaron los cálculos
numéricos que confirman haber obtenido el resultado correcto, el resto no los anotaron; la
mayoría de los estudiantes que dieron respuestas incorrectas se equivocaron en la obtención
del d(3) o d(4); es notorio que 3 de los que contestaron incorrectamente dicen que la respuesta
es 7.5 o 6, esto probablemente se debe a que la gráfica parece ser que sube aproximadamente
de entre 7.5 o 6 unidades de 3 a 4, estos estudiantes parecen confiar más en su capacidad
visual y no se dan cuenta o no prefieren usar la expresión analítica de la función. Al conjuntar
las respuestas a las preguntas 1B y 2B encontramos que 17 estudiantes dieron respuestas
correctas a las dos, 1 sólo se equivocó en la primera, 6 se equivocaron en la segunda y 7 se
equivocaron en las dos, ver el cuadro siguiente.
SOBRE EL CALCULO DEL V y el d
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1B y 2B 17 53.1%
En 1B 1 3.1% Cuadro 20 INCORRECTAS En 2B 6 18.7%
En 1B y 2B 7 21.8%
En la pregunta 1C y 2C se pide el cálculo de la RCP, a la 1C contestan correctamente 16
estudiantes, 10 dan respuestas equivocadas y 6 no contestaron, ver cuadro 16 anexo A, de los
16 que contestaron correctamente 9 escribieron en su cuestionario los cálculos en donde
utilizaron la fórmula de la RCP, 3 estudiantes de los que dieron respuestas incorrectas
cometieron errores en la evaluación de la función V(t), el resto no escribió sus cálculos en el
cuestionario. A la pregunta 2C contestan correctamente 13 estudiantes, 15 dan respuestas
equivocadas y 4 no contestaron, ver cuadro 17 mismo anexo; de los 13 que contestaron
correctamente 7 anotaron en su examen los cálculos realizados, el resto no lo hizo, 5 de los
que contestaron incorrectamente se equivocaron en la evaluación de la función para el cálculo
del d. Al conjuntar las respuestas dadas a las preguntas 1C y 2C, puesto que se refieren al
cálculo de la RCP, encontramos que 12 aciertan en las dos, 1 sólo se equivoca en la primera,
3 solamente se equivocan en la segunda y 9 no dieron respuestas correctas a las dos, el resto
no contestaron alguna o las dos, ver el cuadro siguiente.
SOBRE EL CALCULO DEL f Y DE LA RCP
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1C y 2C 12 37.5%
En 1C 1 3.1% Cuadro 21
INCORRECTAS En 2C 3 9.3%
En 1C y 2C 9 28.1%
Una revisión de conjunto a las cuatro preguntas de este segundo grupo arrojó los resultados
siguientes, ver cuadro 22. Esta revisión indica que en al menos en 10 estudiantes (casi la
tercera parte del grupo) existe una tendencia notable hacia el desarrollo óptimo de la habilidad
de cuantificar el cambio, tanto para la variable dependiente como en las RCP. En otros 3
estudiantes esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, el resto tienen serias
deficiencias.
SOBRE EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES PROMEDIO
PREGUNTAS ESTUD. PORC.
CORRECTAS En 1B, 2B, 1C y 2C 10 31.2%
En 1B, 2B y 1C 3 9.3%
En 1B, 2B, 1C y 2C 3 9.3%
INCORRECTAS En 1B, 1C y 2C 1 3.1%
En 2B, 1C y 2C 3 9.3%
En dos o menos o bien no contestó. 10 31. 2%
Cuadro 22
El tercer grupo incluye 6 preguntas relacionadas con la RCI, estas su vez las he agrupado
en dos subgrupos. En el primer subgrupo se incluyeron las preguntas 1D y 2D en donde se
pide que los estudiantes las calculen la RCI por la vía numérica para casos particulares
referidos a la aceleración y velocidad instantáneas, al segundo subgrupo pertenecen la
pregunta 3A, 3B, 3C y 3D que se refieren a las interpretaciones que los estudiantes
desarrollaron sobre las RCI. En cuanto al primer subgrupo en la pregunta 1D se pide el
cálculo de la aceleración instantánea, ésta es obtenida correctamente por 15 estudiantes, 12
se equivocan y 5 no contestaron, ver cuadro 18 anexo A. De los 15 estudiantes que
contestaron correctamente sólo 6 exhibieron los cálculos en donde se observan, por lo menos,
dos acercamientos numéricos a t = 3 (incluso 3 de ellos se acercaron a t = 3 por la derecha
y por la izquierda) y calcularon sus razones de cambio promedio para inducir la aceleración
instantánea en ese punto. De los 12 que se equivocaron 6 mostraron en su examen intentos
por calcular razones de cambio promedio por aproximaciones numéricas, pero generalmente
se equivocaron en la evaluación de la función al calcular el V; llama la atención que 8
estudiantes contestan que la aceleración en t = 2 es 25 m/s, estas respuestas parecen mostrar
que en al menos 8 estudiantes existe confusión entre el valor de la función en t = 2 y la
aceleración instantánea en ese mismo punto. El cálculo de la velocidad instantánea planteado
en la pregunta 2D lo realizan correctamente 8 estudiantes, 20 se equivocan y 4 no
contestaron, ver cuadro 19 anexo A; de los 8 que contestaron correctamente 6 hicieron los
cálculos de las RCP mediante los cuales se observa que efectivamente a medida que el t
se hace cada vez más pequeño el cociente d/t se acerca a 6; inclusive la serie de preguntas
2B y 2C están hechas de tal manera que la respuesta a la pregunta 2D se infiere de las
respuestas de las dos anteriores, no obstante parece ser que muy pocos estudiantes
(probablemente los 2 restantes) se dieron cuenta de esto. La presunción de que existe
confusión entre el valor de la función en un punto y su RCI en ese mismo punto parece
confirmarse con las respuestas que dieron los mismos 8 estudiantes, pues aquí incurren en el
mismo error. Al revisar conjuntamente las respuestas de este primer subgrupo se observa
(véase el cuadro 23) que 8 estudiantes obtuvieron el resultado correcto en las dos, 7 en la
1D, 5 sólo se equivocan en la 2D y 12 fallaron en las dos.
CALCULO NUMERICO DE VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEA
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS En 1D y 2D 8 25%
Sólo en 1D 7 21.8%
Sólo en 1D 0 0% Cuadro 23
INCORRECTAS Sólo en 2D 5 15.6%
En 1D y 2D 12 37.5%
Pudiera decirse que en 8 estudiantes, a estas alturas del curso, se ha desarrollado óptimamente
la habilidad en el cálculo de la RCI por la vía numérica, en 7 estas habilidades alcanzan un
nivel aceptable, en el resto las deficiencias son numerosas.
En cuanto a las preguntas del segundo subgrupo, cuando a los estudiantes se les preguntó en
qué punto o puntos del gráfico la fórmula mide la RCI, pregunta 3.A, nadie contesta
correctamente, 16 contestan que en P y Q, 4 dicen que en Q, 9 escriben otras respuestas y 3
no contestaron, véase cuadro 20 anexo A. Es evidente que todos los estudiantes no interpretan
correctamente el dibujo que se les presentó (dibujo ampliamente utilizado en clase) pues la
mitad de los estudiantes participantes se inclinan por la opción de que la RCI es medida en P
y Q, tal parece que mayoritariamente siguen pensando en la RCP que sí requiere de dos
puntos. Las respuestas parecen indicar que la RCP es confundida con la RCI, existe confusión
entre el medio para calcular la RCI y el fin, aunque en el fondo estas dificultades están
asociadas a la noción de límite de cantidades infinitamente pequeñas. Sobre el significado de
la expresión t0, pregunta 3B, 19 estudiantes respondieron que t es infinitamente
pequeño, 6 se inclinaron por la opción t 0, uno por la opción t = 0, 2 por ninguno de los
anteriores y 4 no contestaron, véase el cuadro 4 anexo A. Más de la mitad del grupo considera
que el significado de la expresión t0 está asociada a la idea del infinitamente pequeño,
tal parece que hay mayor asequibilidad de las nociones infinitesimalistas que de la noción de
límite del cociente d/t cuando el t0 de la pregunta anterior. A la pregunta 3C, en
donde se pide la interpretación de la expresión:
tlim
d
t
05
las interpretaciones dadas son diversas, ver cuadro 22 mismo anexo, en 4 de las
interpretaciones dadas, los estudiantes parecen considerar a la expresión como la RCI, en 3
se interpreta como que 5 es el límite, inclusive en una de éstas el límite se maneja como
único, en 3 de las interpretaciones parece considerarse como si fuera sólo el cociente d/t
en donde d y t fueran cantidades grandes y además fijas. Esto sugiere que la idea de
variación hacia cantidades infinitamente pequeñas aún no es perceptible en estos estudiantes.
En una de las interpretaciones sólo se atiende a que el t tienda a cero pero se desatiende lo
que sucede con d/t cuando aquélla cantidad tiende a cero, es notorio que 14 estudiantes
no contestaron la pregunta y en 8 se manifiestan ideas confusas. En resumen, se puede decir
que al menos 7 estudiantes manifiestan interpretaciones aceptables sobre la expresión dada,
como RCI o bien como un límite especial. Por otro lado, en la pregunta 3D que se refiere al
significado de la RCI, las respuestas dadas fueron clasificadas en cinco grupos de acuerdo a
la idea que se advierte es la central en sus explicaciones (ver listado en anexo A). En el 1er.
grupo se considera a la RCI como la velocidad de un cuerpo en un punto, en estas respuestas
se percibe cierta noción de la derivada como propiedad puntual de las funciones asociada a
la idea de velocidad. En el 2o. grupo se expresan ideas que destacan qué tanto cambia una
variable respecto a otra en un punto, o como razón de cambio en intervalos muy pequeños.
En el 3er. grupo se concibe como la razón de cambio que se aproxima al límite, en otras tres
se expresa la idea del límite del cociente entre dos cantidades muy pequeñas. En el 4o. grupo
se concibe a la RCI como un cambio rápido. En el 5o. grupo agrupamos las explicaciones
confusas. Los que sus explicaciones se ubicaron el 1o., 2o. y 3er. grupos (15 en total)
desarrollaron ideas muy próximas al significado de la RCI, bien como velocidad instantánea,
como una idea cercana al límite o como razón de cambio de cantidades muy pequeñas. Al
revisar de conjunto las respuestas del segundo subgrupo, se observa que nadie contestó las
4 preguntas correctamente, 3 lo hicieron en las tres últimas y 7 en la segunda y la última,
véase el cuadro siguiente:
SOBRE LAS INTERPRETACIONES ACERCA DE LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
En 3A, 3B, 3C y 3D 0 0%
CORRECTAS En 3B, 3C y 3D 3 9.3% Cuadro 24
En 3B y 3D 7 21.8%
En 3A, 3B, 3C y 3D 2 6.2%
INCORRECTAS En 3A y 3C 7 21.8%
Al hacer una revisión global de las respuestas de este tercer grupo se nota que ningún
estudiante es capaz de localizar en un gráfico el punto donde se mide la RCI, quizá la noción
de RCP (que requiere de dos puntos) está muy arraigada en la mitad de los estudiantes y
parece obstaculizar el desarrollo de la idea de RCI al menos en su representación geométrica.
Es también notable que, muy pocos estudiantes (7 en total), se aproximan a una interpretación
óptima sobre la expresión matemática de la RCI, en cambio cuando se les pide una
explicación más libre sobre este concepto o cuando se les pregunta sobre el significado del
x0, la mitad en el primer caso y más de la mitad en el segundo, se perciben
aproximaciones a concepciones aceptables. Al revisar de conjunto las respuestas del primero
y segundo subgrupos de preguntas, se observa que ningún estudiante dio respuestas correctas
a las 6 preguntas, 3 dan respuestas correctas a 5 preguntas, 4 en 4 preguntas, 3 en 3 preguntas
y el resto en dos una o ninguna, ver el cuadro:
SOBRE EL CALCULO NUMERICO E INTERPRETACIONES DE LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORC.
En las 6 preguntas 0
CORRECTAS En 5 preguntas 3 7 21.8%
En 4 preguntas 4 Cuadro 25
En 3 preguntas 3 3 9.3%
En 2 o menos o no contestaron 22 68.7%
Estos datos indican que en 7 estudiantes se perfila una tendencia hacia el desarrollo óptimo
de las ideas relativas al concepto de RCI así como de la habilidad de su cálculo numérico, en
tres esta tendencia es menos consistente aunque aceptable, en el resto hay muchas
deficiencias.
Síntesis sobre los resultados de la segundo evaluación
Este examen consta de 12 preguntas en total, 2 corresponden a la evaluación de funciones, 4
tienen relación directa con la RCP y 6 están relacionadas con la RCI. El máximo de respuestas
correctas fue de 11 y sólo lo alcanzaron 2 estudiantes, 2 lograron respuestas correctas en 10
preguntas, 5 en 9 preguntas, 1 en 8 preguntas, 3 en 7 preguntas, 4 en 6, y el resto en 5 o menos
(ver Cuadro de Concentración Núm. 2, Anexo A). Para detectar tendencias he agrupado a las
frecuencias tomando la media como punto de diferenciación fundamental, de la media hacia
arriba se ubican dos categorías (las de desarrollo óptimo y aceptable) y de la media hacia
abajo la categoría de desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones se perfila una tendencia
hacia el desarrollo óptimo de concepciones y habilidades relativas a la evaluación de
funciones, a la RCP y al RCI en al menos 9 estudiantes (cuyas respuestas correctas fluctúan
entre 11 y 9) pues sus respuestas parecen indicar que son capaces de: evaluar funciones,
calcular la variación de la variable dependiente si la variable independiente cambia de t a
t+t, calcular la RCP y la RCI mediante aproximaciones numéricas, y aunque la mayoría
desarrollaron concepciones óptimas sobre la RCI sus interpretaciones sobre la notación con
que se le representa no parecen ser aún consistentes. Otros 8 estudiantes (los que sus
respuestas correctas fluctúan entre 8 y 6) las concepciones y habilidades antes mencionadas
parecen haberse desarrollado a un nivel aceptable aunque es notorio que la mayoría de ellos
no pudieron calcular la RCI por aproximaciones numéricas, los 15 estudiantes restantes
manifestaron numerosas deficiencias, estos datos se concentran en el cuadro 26. Las
deficiencias más notorias se observaron en la identificación en una gráfica, del punto donde
se mide la RCI, pues ninguno de los estudiantes participantes dio respuesta correcta a esta
pregunta. Alrededor del 70% de los estudiantes pueden evaluar en las funciones dadas y
calcular el f(t+t) - f(t) (siendo f la velocidad V o la distancia d), en cambio cuando se llega
al cálculo de la RCP o al cálculo numérico de la RCI (inclusive en las interpretaciones y
concepciones sobre éste concepto), las respuestas correctas sólo llegan al 50% o bien están
por debajo de este porcentaje.
SOBRE EVALUACION DE FUNCIONES, LA RCP Y LA RCI (2o. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORC.
OPTIMO 11 rc 9 9 28.1%
ACEPTABLE 8 rc 6 8 25% Cuadro 26
DEFICIENTE rc 5 15 46.8%
TERCERA EVALUACIÓN
Como parte esencial de la tercera evaluación se aplicó el tercer examen parcial, se plantean
en él 4 situaciones referidas todas ellas a la RCI (ver examen 3, anexo A). En la primera se
pide calcularla a partir de su definición como un límite especial (vía algebraica), en la
segunda se pide comparar este resultado con el obtenido por medio de las aproximaciones
numéricas, las dos restantes tienen la intención de explorar si los estudiantes son conscientes
de los procedimientos que realizaron en las dos situaciones anteriores. Para el análisis las
respuestas fueron conjuntadas en dos grupos, en el primero se exploran procedimientos e
incluye a las dos primeras, en el segundo se incluyen las dos últimas que se exploran algunas
concepciones sobre aquéllos procedimientos.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, al plantearle a los estudiantes
que calcularan la velocidad de un cohete en t = 4 seg. por la vía algebraica, la situación 1,
resulta que 19 la calculan correctamente, 5 se equivocan y 8 no la contestaron, véase cuadro
23 anexo A. Todos los estudiantes que arribaron al resultado correcto escribieron en su
examen los procedimientos algebraicos que implican el cálculo de:
limd
tlim
d t d
tt t
0 0
4 4( ) ( )...
aunque en 6 de ellos notamos errores leves de escritura que no influyeron en el resultado,
frecuentemente separaban el operador limt 0
del cociente d /t tal vez considerándolos
como
dos entidades separadas. En los que dieron respuestas incorrectas notamos equivocaciones
en la evaluación de la función, en el desarrollo del binomio elevado al cuadrado, en las
factorizaciones, en la utilización de los paréntesis o en la aplicación de las leyes de los signos,
etc.
En la situación 2, se les pidió obtener por la vía numérica el resultado encontrado en la
situación 1, para ello se le sugiere un acercamiento por la derecha, otro por la izquierda para
finalmente elaborar una conclusión. El acercamiento por la derecha, pregunta 2A, lo realizan
correctamente 19 estudiantes, 7 se equivocan y 6 no lo contestan, véase el cuadro 24 anexo
A. Quienes resuelven correctamente este planteamiento exhibieron sucesiones que se
aproximaban a 4 parecidas a 4.1, 4.01, 4.001, ..., de modo que obtuvieron cocientes d/t
del estilo 30.4, 31.84, 31.984, ... El acercamiento por la izquierda, pregunta 2B, lo realizan
correctamente 18 estudiantes, 4 se equivocan y 10 no contestaron, ver cuadro 25 mismo
anexo. Los estudiantes que contestaron correctamente este planteamiento exhibieron
sucesiones que se acercaban a 4 parecidas a 3.9, 3.99, 3.999, ..., de modo que la sucesión de
cocientes d/t que obtuvieron eran de la forma 33.6, 32.16, 32.02, ..., . Los errores más
frecuentes que cometieron aquéllos estudiantes que dieron respuestas equivocadas se
manifestaron en la evaluación de la función d(t), en el cálculo del d y en la consideración
de que t en estos casos tiene signo negativo, pues el acercamiento es por la izquierda. La
conclusión solicitada en la pregunta 2C, es dada correctamente por 16 estudiantes, 4 se
equivocan y 12 no la contestaron, ver el cuadro 26 mismo anexo. Es notorio que 3 estudiantes
casi logran el resultado correcto, sin embargo no parecen tener posibilidades de inducir
correctamente el límite de la sucesión de cocientes que calcularon.
Al hacer una revisión global a las respuestas dadas a las preguntas 2A, 2B y 2C, se observa
que 16 estudiantes resuelven correctamente las tres, 2 resuelven correctamente las dos
primeras pero se equivocan en la conclusión, 5 se equivocan en dos y 6 dejaron en blanco las
tres, el resto se equivocaron el alguna o dejaron en blanco dos. Esto indica que al menos la
mitad de los estudiantes pueden calcular la RCI por medio de aproximaciones numéricas,
tres estudiantes, si bien pueden calcular correctamente los cocientes numéricos tanto por la
derecha como por la izquierda, al parecer no son capaces de inducir el límite de esta sucesión
de cocientes. Ahora bien, por medio de una revisión de conjunto a las respuestas dadas a las
preguntas del primer grupo se observa en el Cuadro de Concentración 3 del anexo A que, 15
estudiantes dieron respuestas correctas a las cuatro preguntas, 3 en tres, el resto en 2 o menos.
De los 3 que acertaron en tres preguntas 2 de ellos solamente no dieron respuestas correctas
a la 2C y uno de ellos en la pregunta 1, esto da ciertas indicaciones de que al menos los dos
primeros pueden calcular las RCI por la vía algebraica y por la vía numérica sin embargo
tienen problemas para inducir cuál es límite de la sucesión, en el caso del segundo estudiante
sabe hacer el cálculo numérico pero es incapaz de calcular la RCI por la vía el algebraica.
Estos resultados indican una tendencia notable en 15 estudiantes (casi el 50% de los
participantes) hacia un desarrollo óptimo de la habilidad de cálculo de las RCI por la vía
algebraica y por la vía numérica, en tres más esta tendencia disminuye sin embargo los he
considerado dentro de este mismo rango de modo que suman 18 en total (el 56.2%) en esta
categoría, en 3 estudiantes apenas si se manifiesta y en 11 hay serias deficiencias.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del segundo grupo, cuando a los estudiantes se les
preguntó cuál es la idea clave en el cálculo de la RCI, la situación 3, nos encontramos que
24 subrayaron el inciso d, 3 el y inciso c, nadie el inciso b y 5 el inciso a, (ver cuadro 27
anexo A). Estos resultados parecen indicar que en más de las tres cuartas partes de los
estudiantes se desarrolló una noción óptima sobre la RCI como el límite del cociente d/t
cuando t es infinitamente pequeño, aunque hay quienes parecen atender sólo al
acercamiento numérico al t0 y otros parecen estar de acuerdo en que la búsqueda de ese
límite es posible cuando x = 0. Sobre la interpretación de la expresión matemática de la
RCI en t = 2 para d(t) = 5t2, pregunta planteada en la situación 4, un poco menos de las tres
cuartas partes de los estudiantes participantes se inclinan por la idea de que la expresión
matemática dada indica que la RCI en t = 2 es exactamente 20 m/s (ver cuadro 28 mismo
anexo), interpretación que he considerado aceptable; 9 estudiantes se inclinan por la idea que
el límite se aproxima a 20 m/s y 2 por la interpretación de que en la proximidad de 2 la RCI
es aproximadamente 20 m/s. Se percibe en las respuestas de estos 11 últimos estudiantes
cierta noción de aproximación y no como un valor preciso, posiblemente el medio utilizado
para buscar el límite (las aproximaciones numéricas) está pesando más en sus concepciones
que el fin mismo de la búsqueda. La revisión de conjunto a las evaluaciones de las respuestas
a las dos situaciones de este segundo grupo de preguntas arrojó los siguientes resultados: 17
estudiantes dieron respuestas correctas ambas, 8 sólo dieron respuesta correcta a la situación
3 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 4, 4 estudiantes dieron respuesta correcta
sólo a la situación 4 pero dieron respuesta incorrecta a la situación 3, ver cuadro 27.
CONCEPCIONES SOBRE LOS PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER LA RCI
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
Situación 3 y 4 17 53.1% Cuadro 27
CORRECTAS Sólo la situación 3 8 25%
Sólo la situación 4 4 12.5%
Esta revisión indica que, más del 50 % de los estudiantes se perfila una tendencia hacia el
mejoramiento óptimo de sus concepciones sobre la RCI, pues sus respuestas indican que
saben que la idea fundamental en el cálculo de la RCI es la búsqueda del límite del cociente
d/t cuando t infinitamente pequeño e interpretan satisfactoriamente el significado
semántico de la expresión:
limd
tm s
t
020 /
como que 20 m/s es el valor exacto de la RCI en t = 2 para d(t) = 5t2. El resto son proclives
solamente a identificar correctamente la idea clave que subyace en la búsqueda de la RCI,
un número menor sólo interpreta satisfactoriamente el significado semántico de la expresión
anterior.
Síntesis sobre los resultados de la tercera evaluación
El tercer examen consta de 6 preguntas en total, 3 se desprenden de la situación 2 y las otras
tres se desprenden de las tres preguntas restantes, las 4 primeras exploran procedimientos y
en las dos últimas exploran concepciones sobre aquéllos procedimientos. Al hacer una
revisión global (ver Cuadro de Concentración Núm. 3 anexo A) acerca de las evaluaciones
de las respuestas dadas a este examen se observa que, 9 estudiantes dieron respuestas
correctas a las seis preguntas, 7 dieron respuestas correctas en 5 preguntas, 2 contestaron
correctamente en 4, 1 en 3 y el resto contestaron correctamente 2 preguntas o menos. Con el
propósito de detectar tendencias en las frecuencias de respuestas correctas, éstas fueron
agrupadas de dos en dos de mayor a menor, bajo estas condiciones se nota una tendencia
hacia un desarrollo óptimo de las habilidades de cálculo de la RCI y la comprensión de este
concepto en al menos 16 estudiantes, pues se mostraron capaces de calcularla por medio de
la definición (vía algebraica) y por aproximaciones numéricas (vía numérica) y además
(aunque con cierta heterogeneidad) parecen estar conscientes de los cálculos que realizan. En
tres la tendencia es hacia un desarrollo aceptable, en el resto (un poco más del 40%) las
deficiencias son numerosas, ver el cuadro 28.
PROCEDIMIENTOS Y CONCEPCIONES SOBRE LA RCI (3er. EXAMEN)
DESARROLLO RESP. CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 6 rc 5 16 50% Cuadro 28
ACEPTABLE 4 rc 3 3 9.3%
DEFICIENTE rc 2 13 40.6%
En las respuestas a este a este examen se manifestaron algunas deficiencias en el trabajo
algebraico y numérico en el cálculo de la RCI, algunos estudiantes si bien pueden calcular la
sucesión de cocientes d/t no son capaces de inducir correctamente el límite de esta
sucesión, en cuanto a las interpretaciones de la expresión que representa a la RCI, todavía
varios estudiantes conciben al límite como una aproximación y no como un valor preciso,
no obstante la cantidad de respuestas correctas en cada una de las preguntas de este examen
siempre fue superior al 50% excepto en una (la pregunta 2C) que fue exactamente del 50%.
CUARTA EVALUACIÓN
La cuarta evaluación tuvo como elemento central al cuarto examen que fue aplicado como
examen final del curso y consta de 5 preguntas (ver examen 4 anexo A). Las preguntas 1 y 5
exploran las ideas que los estudiantes desarrollaron sobre el concepto de derivada, las
preguntas 2 y 3 exploran las aplicaciones de la derivada al cálculo de velocidades
instantáneas y de pendientes de tangentes, la pregunta 4 explora el uso de fórmulas para
calcular derivadas. Para el análisis he agrupado a las preguntas en tres grupos, en el primero
se ubicaron las que exploran fundamentalmente concepciones, las preguntas 1 y 5; en el
segundo las que exploran aplicaciones, preguntas 2 y 3; el tercer grupo incluye las que se
desprenden de la preguntas 4 y que exploran procedimientos.
En cuanto a las respuestas a las preguntas del primer grupo, en la pregunta 1 se dan el
dibujo y la fórmula atribuidos a la derivada, de ellos se desprenden tres preguntas, a
continuación se analizan sus respuestas. En el inciso a se pide el punto del gráfico donde la
fórmula mide la RCI, en esta pregunta 11 estudiantes señalan los puntos P y Q, posiblemente
esto indique que estos estudiantes siguen pensando en la RCP y tengan dificultades en
percibir que la derivada mide la razón de cambio en un punto; 11 estudiantes (2 de éstos
también señalaron además los puntos P y Q) señalan que en x, esto ni siquiera da idea de
un punto sino de una magnitud, estas respuestas dan idea de la dificultad que implica la
interpretación de la derivada como una propiedad puntual de las funciones. A esta pregunta
contestaron correctamente solo 7 estudiantes, en el tercer examen las respuestas mostraron
mayores deficiencia. A la pregunta del inciso b, 29 estudiantes contestaron que P está
infinitamente cercano a Q, uno que P Q, dos que P = Q y nadie es de la opinión que P se
aleja de Q; aquí, casi todos los estudiantes no parecen tener dificultad para percatarse de que
cuando x tiende a cero Q está infinitamente cercano a P o simplemente P está próximo a Q.
A la pregunta del inciso c, donde se cuestiona sobre lo que sucede con el cociente f/x
cuando x tiende a cero, prácticamente la mitad parece inclinarse por interpretaciones
aceptables, pues subrayan la opción de que el cociente citado tiene por tope un número, sin
embargo 14 estudiantes se inclinan por la idea de que el cociente f/x es un infinitesimal.
Estas respuestas indican de que casi la mitad de los estudiantes suponen que al dividir dos
cantidades infinitamente pequeñas, el resultado debe ser otra cantidad también infinitamente
pequeña, respuestas de este tipo aún se siguen dando al final del curso a pesar de que en las
clases se insistió sobre su falsedad. Una revisión de conjunto revela que, sólo 4 estudiantes
contestaron correctamente a las tres preguntas de este primer grupo y 14 en lo hicieron en
las dos últimas, véase el siguiente cuadro 29. Esto indica que un poco menos de la mitad de
los estudiantes poseen cierto dominio de la idea de derivada en un punto como el límite del
cociente f/x cuando x tiende a cero, ideas que posiblemente fueron basadas en la
experiencia numérica lograda en el curso, no obstante este dominio no parece corresponderse
con
CONCEPCIONES ASOCIADAS A LA DERIVADA
PREGUNTAS ESTUDIANTES PORCENTAJES
CORRECTAS Incisos a, b y c 4 12.5%
Incisos b y c 14 43.7% Cuadro 29
NO CONTESTO 0 0%
la idea de que la derivada da la razón de cambio en un punto y no en una zona próxima a
éste. Estos resultados pueden ser evidencias de que en la gran mayoría de estudiantes aún
prevalece la idea de derivada como una aproximación y no como un valor numérico preciso.
En la pregunta 5 se solicita a los estudiantes que expliquen ampliamente lo que entienden
por derivada de una función. A esta pregunta 26 estudiantes le dieron respuesta y 6 no la
contestaron, para efectos de evaluación las respuestas fueron clasificadas en ideas aceptables,
aproximadas y confusas. En 10 de los que contestaron se perciben ideas aceptables sobre la
derivada, en 6 ideas aproximadas al concepto y en 10 se manifiestan ideas confusas. En las
ideas consideradas aceptables se habla de la derivada como RCI o como propiedad puntual
de las curvas, como cociente entre infinitesimales, como un límite especial, relacionada con
sus aplicaciones al cálculo de pendientes de tangentes velocidades y aceleraciones. De las
respuestas consideradas aproximadas, en 3 se percibe cierta relación entre la derivada y las
razones de cambio promedio aunque en ellas se expresan ideas erróneas sobre el concepto de
función, en prácticamente todas estas respuestas se asocia al concepto de derivada con sus
aplicaciones pues se menciona que sirve para calcular velocidades, aceleraciones, rapidez,
tangentes a curvas, la deficiencia en este tipo de respuestas radica en que no se habla de la
derivada como una propiedad puntual de las funciones. En las respuestas que dieron los 16
estudiantes (entre las consideradas aceptables y las aproximadas) se perciben ciertas ideas
fundamentales en donde se asocia la derivada con RCI, con la RCP, con el cociente de
infinitesimales, con la idea de un límite especial, con las tangentes, con la velocidad,
aceleración y la rapidez de la variación. En el siguiente cuadro se condensa la información
anterior.
I D E A S F U N D A M E N T A L E S
RCI RCP Cociente de
infinitesimales
Límite
especial
Tang. Vel, acel,
rapidez.
ESTUDIANTES 7 2 4 2 4 4 Cuadro 30
PORCENTAJES 21.8% 6.2% 12.5% 6.2% 12.5% 12.5%
Es necesario agregar que en varias respuestas se mencionan dos o más de las ideas que
aparecen en el cuadro anterior asociadas al concepto de derivada. Entre los que sus respuestas
fueron consideradas confusas, se asocian a la derivada las siguientes ideas: como una
fórmula, como la variación de un número infinitamente pequeño, como un resultado que se
obtiene de una función, como una función donde la variable depende de una constante, como
funciones que se derivan de otras para calcular sus dominios, con una cantidad infinitamente
pequeña que se deriva de otra más grande, como la razón de cambio de una variable respecto
de una constante. La primera de estas ideas fue dada por tres estudiantes, las restantes cada
una fue dada por estudiantes diferentes. Por otro lado, en las respuestas consideradas
aceptables y las aproximadas se notan dos tendencias: quienes consideran a la derivada como
un cociente o un resultado y quienes la consideran como una función. Es claro que en la
primera subyace la idea de derivada en un punto como un número y en la segunda la idea de
función derivada, a juzgar por las respuestas, 7 estudiantes se inclinan por la primera
concepción y 9 por la segunda, evidentemente hay predominio de la derivada como una
función por sobre la idea de derivada como un cociente.
Revisando globalmente las respuestas dadas a las 4 preguntas de este primer grupo, se
observa que nadie contestó correctamente las 4 preguntas, 2 estudiantes lo hacen en las tres
primeras pero sus ideas sobre la derivada fueron evaluadas como aproximadas, 4 dan
respuesta correcta a dos de las tres primeras y dan ideas aceptables en la última pregunta,
otros 3 aciertan en dos de las primeras y sólo dan ideas aproximadas en la última pregunta.
En resumen, aunque no hubo estudiantes que contestaran correctamente las cuatro preguntas
de este grupo parece manifestarse una tendencia que apunta hacia un comprensión óptima
del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes (25% de los participantes) que fueron
quienes contestaron correctamente al menos en tres de las 4 preguntas. En 5 estudiantes
(15.6%) esta tendencia fue considerada aceptable, en 4 (el 12.5%) apenas si se manifiestan
algunos indicios y en el resto (casi la mitad de los participantes) parece haber serias
deficiencias.
En cuanto a las preguntas del segundo grupo, particularmente de la pregunta 2, se
desprenden tres preguntas sobre un objeto lanzado hacia arriba. En el inciso a se pide la altura
alcanzada por el objeto a los 3.5 segundos, 27 estudiantes la contestan correctamente y 5 no
la contestaron; las respuestas dadas a estas pregunta reafirman la presunción de que la
mayoría de los estudiantes pueden calcular los valores de la función a partir de la fórmulas
dada, aunque no es despreciable la cantidad de estudiantes que no la contestaron. En el inciso
b se pide calcular mediante aproximaciones numéricas la velocidad del objeto a los 3.5
segundos, para tal fin se sugirió aplicar reiteradamente la RCP para inducir el límite de la
sucesión de los cocientes incrementales; de los 32 participantes 15 realizan correctamente
esta actividad, 7 tuvieron dificultades en inducir el límite, en el acercamiento numérico a 3.5,
al evaluar en la fórmula de la función, al calcular el valor del numerador f(xx) - f(x), varios
estudiantes sólo calculan el valor de f(x+x) pero se les olvida calcular el valor de f(x),
otros alcanzan a calcular correctamente todo el numerador pero no calculan el cociente, etc.,
10 estudiantes no contestaron esta pregunta. En el inciso c hay que obtener las fórmulas que
dan las velocidades y aceleraciones instantáneas del objeto utilizando los diferenciales (aquí,
en esencia se explora la habilidad de cálculo de derivadas por medio de los diferenciales),
este ejercicio sólo fue resuelto cabal y correctamente por 9 estudiantes, 3 llegan a las
expresiones de las aceleraciones utilizando la fórmulas de derivadas, no obstante fueron
evaluadas como correctas, es notorio que 19 estudiantes no hicieron nada por resolver el
ejercicio y 1 se equivocó en los procedimientos. En la pregunta 3 se pide obtener la ecuación
de la tangente a la curva determinada por f(x) en un punto dado, este problema solamente
fue resuelto satisfactoriamente por 5 estudiantes, 13 no lo pudieron resolver cabalmente o se
equivocaron en algún procedimiento, de éstos 13 estudiantes 10 intentan resolver el problema
pero la mayoría de ellos sólo calculan la derivada y otros pocos logran esbozar la gráfica de
f(x), sin embargo no relacionan a la pendiente de la tangente con la función derivada y por
consiguiente no son capaces de concluir la resolución del problema. Es notorio que 14
estudiantes no intentaron siquiera resolver el problema.
Al revisar globalmente las respuestas a las dos situaciones de este segundo grupo nos
encontramos que sólo 4 estudiantes resuelven correcta y cabalmente los dos problemas
planteados, es decir, calcularon el valor de función en t = 3.5 segundos, calcularon la
velocidad instantánea, obtuvieron las fórmulas de las velocidades y aceleraciones
instantáneas y la ecuación de la tangente aplicando el concepto de derivada. 3 estudiantes
resolvieron correctamente los tres incisos de la pregunta 2, es decir sólo son capaces de
calcular el valor funcional, la velocidad instantánea en el instante dado y de obtener las
fórmulas que dan las aceleraciones y velocidades instantáneas. 7 estudiantes sólo acertaron
en los dos primeros, es decir, sólo pueden calcular el valor de la función y la velocidad
instantánea en t = 3.5 segundos. 4 acertaron en los incisos a y c, además de calcular el valor
de la función, pudieron obtener las fórmulas de las velocidades y aceleraciones instantáneas,
el resto de los estudiantes sólo acertó en un inciso o en ninguno. A partir de esta revisión se
nota cierto desarrollo óptimo en la aplicación del concepto de derivada en 7 estudiantes pues
parecen ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el geométrico y 4 en
ambos, en otros 7 su desarrollo es considerado aceptable con una tendencia marcada sólo
hacia las aplicaciones físicas, los restantes tienen serias deficiencias.
En cuanto a las preguntas relativas al tercer grupo iniciamos con la pregunta 3, en ella se
explora la habilidad para obtención de derivadas por medio de fórmulas. En el inciso a, un
poco menos de las tres cuartas partes de los participantes pueden obtener la derivada de la
función algebraica dada. En el inciso b, donde se pide la derivada de un producto de
funciones, 13 estudiantes la obtienen correctamente aplicando la fórmula del producto. La
derivada de la función del inciso b, es obtenida correctamente por 13 estudiantes aplicando
la regla del cociente, más de la mitad del grupo no intentó siquiera hacer el ejercicio. Una
revisión de conjunto de las respuestas de este tercer grupo permite observar que la mayoría
de los estudiantes (21 de ellos) obtienen derivadas de funciones polinómicas, la cantidad de
estudiantes que logran hacerlo en las dos restantes disminuye hasta 13 (el 40.6%). Los
mismos estudiantes que resolvieron correctamente el segundo y tercer ejercicios también lo
hicieron en el primero.
Síntesis sobre los resultados de la cuarta evaluación
En el cuarto examen se plantearon 5 situaciones, de las cuales se desprenden 11 preguntas
que exploran concepciones, aplicaciones y procedimientos relativos a la derivada. A pesar
de que en el grupo donde se exploran concepciones no hubo estudiantes que contestaran
correctamente todos los incisos de las dos preguntas, se percibe cierta tendencia hacia una
comprensión óptima del concepto de derivada en al menos 8 estudiantes, en 5 se percibe una
tendencia aceptable, en el resto se notaron numerosas confusiones. En el grupo de preguntas
que exploran aplicaciones se percibe cierto desarrollo óptimo en 7 estudiantes, pues parecen
ser capaces de aplicarlo, unos en el contexto físico, otros en el contexto geométrico y 4 en
ambos; en 7 este desarrollo fue considerado aceptable y se inclina hacia la aplicación en el
contexto físico, en el resto hay muchas deficiencias. En las preguntas que exploran
procedimientos es en donde se obtienen los mejores resultados, pues 21 estudiantes
calcularon correctamente la derivada de la función polinómica dada y 13 calculan las otras
derivadas aplicando fórmulas del cociente y el producto, esto parece indicar que al menos 13
estudiantes desarrollaron óptimamente la habilidad de calcular derivadas mediante fórmulas,
en 8 la consistencia de esta habilidad aunque disminuye es considerada aceptable y en el
resto las deficiencias son notorias. Al hacer una revisión global sobre las evaluaciones
generales de este examen se observa que el máximo de respuestas correctas alcanzado fue 10
y fue obtenido solamente por dos estudiantes. Con el fin de detectar tendencias sobre el
desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas, he agrupado las frecuencias de
respuestas en tres categorías tomando como base a la media, las dos categorías superiores (de
desarrollo óptimo y aceptable) de la media hacia arriba y de la media hacia abajo la de
desarrollo deficiente. Bajo estas condiciones, se perfila una tendencia hacia el desarrollo
óptimo de sus concepciones y habilidades sobre la derivada en al menos 7 estudiantes (los
que sus respuestas correctas fluctúan entre 10 y 8, pues mayoritariamente fueron capaces de
interpretar y explicar aceptablemente el concepto de derivada, de aplicar la derivada en la
obtención de ecuaciones de tangentes y en el cálculo de velocidades y aceleraciones
instantáneas, además de calcular derivadas por medio de fórmulas. El desarrollo de las
concepciones y habilidades anteriores alcanzaron un nivel aceptable en al menos 10
estudiantes (cuyas respuestas correctas están entre 7 y 5), el resto manifestaron tener
bastantes deficiencias pues sólo contestaron correctamente entre 4 preguntas o menos, véase
el cuadro siguiente.
CONCEPCIONES, PROCEDIMIENTOS Y APLICACIONES SOBRE LA DERIVADA (4o. EXAMEN)
DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 10 rc 8 7 21.8%
ACEPTABLE 7 rc 5 10 31.2%
DEFICIENTE rc 4 15 46.8%
Cuadro 31
Las mayores deficiencias notadas en los estudiantes se presentaron al preguntarles sobre el
punto en donde se mide la RCI en un gráfico y en la aplicación de la derivada en la
determinación de ecuaciones de tangentes, tal vez esta última deficiencia sea atribuible a que
en el curso se le dio mayor énfasis a su significado físico que su significado geométrico.
SÍNTESIS GLOBAL
A lo largo del curso se trabajaron los temas de intervalos de variación, funciones, RCP, RCI
y algunos principios de generalización del concepto de derivada, para exploran el desarrollo
que sobre estos conocimientos alcanzaron los 32 estudiantes participantes en la experiencia
pedagógica, se aplicaron los cuatro exámenes en cuatro momentos distintos. En conjunto los
cuatro exámenes contienen 46 preguntas que exploran concepciones, procedimientos y
aplicaciones, en realidad estos dos últimos pueden ser considerados indistintamente porque
casi la totalidad de los procedimientos fueron utilizados en aplicaciones a situaciones de la
física. En los cuatro exámenes se plantean varios ejercicios y problemas para explorar el
desarrollo de las habilidades en los estudiantes. En el primer examen, en el trabajo con la
notación variacional, la mayoría de los estudiantes parecen no tener muchas complicaciones
excepto cuando se les pide representar intervalos en la recta numérica, pues cuando se les
pide traducir al lenguaje ordinario ciertos intervalos dados en forma de desigualdades, el
promedio de los que dan respuestas correctas a estas preguntas siempre es casi de 27 (82.8%).
En cambio cuando se les pide representar intervalos en la recta numérica el promedio de los
que dan respuestas correctas es sólo de 9 (28.1%). En este mismo examen cuando se les pide
graficar una función el promedio de los que demuestran ser capaces de hacerlo es de 19
estudiantes, véase la gráfica 1. La habilidad de evaluar una función fue explorada en tres
momentos distintos: en el primero, en el segundo y en el cuarto examen, al comparar estos
resultados se observa una notable mejoría en el cuarto respecto de los dos primeros exámenes,
en las tres exploraciones, 22 o más estudiantes (68.7%) fueron capaces de realizar
correctamente esta actividad, no obstante en el primer examen una cantidad un poco menor
de estudiantes mostraron ser capaces de graficar la función. Nótese que en la aplicación de
las funciones en la modelación de problemas de la práctica el desarrollo fue prácticamente
nulo. Respecto del cálculo de la RCP, explorado en el segundo examen, un promedio de casi
21 estudiantes pueden calcular el d, sin embargo el cálculo total de la RCP solamente lo
logran realizar correctamente un promedio de casi 15 estudiantes.
CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE RESOLVIERON CORRECTAMENTE
LAS PREGUNTAS RELATIVAS A LAS HABILIDADES
32 30 E 26 26.5 26
S T 22 22 22
U 20.5 20.5
D 18 19 17.6 19
I 15 15.6
A 14 14.5
N 11.5 12
T 10 9
E
S 6 5
2 0
E1 E1 E1 E1 E2 E4 E1 E1 E2 E2 E2 E3 E4 E3 E4 E4 E4
Trad. Rep. Func. Evaluación. Aplic. Graf. Cálc. Cálc. C á l c u l o Cálculo Der. Tang.
d RCP numérico algeb.
NOTACION F U N C I O N R C P R C I (DERIVADA)
VARIACIONAL
GRAFICA 1
Las habilidades relativas a la derivada empiezan a explorarse desde el segundo examen con
el cálculo de velocidades aceleraciones instantáneas, el cálculo numérico de ésta es explorada
en tres momentos distintos, en el segundo, en el tercero y en el cuarto examen parcial; en el
segundo examen el promedio de estudiantes que realizan correctamente esta actividad es de
casi de 12 (35.9%) en el tercero asciende a casi 18 (55%) y en el cuarto examen desciende a
15 (46.8%). En la obtención por la vía algebraica de la RCI, también se nota cierta tendencia
descendente pues en el tercer examen la obtienen 19 estudiantes (59.3%) y en el cuarto
desciende a 12 (37.5%). Habrá que decir que en la segunda vez que se explora esta habilidad
la idea del diferencial sustituye a la idea del límite utilizada en la primera exploración. Estas
variaciones descendentes son explicables ya que varios estudiantes dedicaron enormes
esfuerzos para obtener la mejor calificación hasta el tercer examen, una vez convencidos de
que con el promedio logrado con estas tres calificaciones lograban acreditar el curso,
pusieron poco interés en el cuarto examen. El cuarto examen también explora la habilidad de
derivar funciones por medio fórmulas, mayoritariamente los estudiantes demuestran poder
obtener la derivada de funciones polinómicas pues lo hacen correctamente 21 estudiantes, no
obstante en promedio casi 16 pueden obtener las derivadas de funciones polinómicas, de un
producto y de un cociente de funciones. Finalmente, también en el cuarto examen se explora
la habilidad para obtener ecuaciones de tangentes a curvas aplicando la idea de derivada, aquí
los resultados son magros, pues sólo 5 estudiantes demostraron ser capaces hacerlo.
Probablemente esto se deba a que el curso estuvo fuertemente orientado al estudio de la
variación física y las ideas geométricas quedaron en un lugar secundario.
Las concepciones exploradas de los estudiantes en los exámenes estuvieron enfocadas
mayoritariamente al concepto de derivada considerada como RCI, para obtener información
sobre su desarrollo 10 preguntas en total fueron hechas en los exámenes. En el primer examen
se explora el desarrollo del concepto de función, a este respecto 16 estudiantes en promedio
(véase la gráfica núm. 2) parecen tener un concepto óptimo de función como colección de
parejas ordenadas.
CANTIDAD PROMEDIO DE ESTUDIANTES QUE CONTESTARON CORRECTAMENTE
A LAS PREGUNTAS RELATIVAS A CONCEPCIONES
32 30 29 26 25
E S 22 21 T 19 GRAFICA NUM. 2
U 18 15.5 16 D 15 I 14 14
A N 10 7 7 T E 6 S
2 0
E1 E3 E4 E2 E4 E2 E3 E3 E4 E2 E4 Concepto Punto donde Signif. de Interp del.. I d e a Concepciones se mide RCI t0 lim (f/t)= 5 c l a v e generales t0
FUNCION RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA (DERIVADA)
En el tercero y cuarto exámenes se les presentó un dibujo que representa a la RCI y la fórmula
matemática que lo identifica, sobre el dibujo se les preguntó en qué punto la fórmula dada
mide la RCI, en el tercer examen ningún estudiantes da respuestas correctas a esta pregunta
y en el cuarto solamente dan respuestas correctas 7. Estos resultados (aunque se logra mejoría
en el cuarto examen) dan una muestra de las grandes dificultades que tienen los estudiantes
para interpretar a la RCI como una propiedad puntual de las curvas, dificultades que a su vez
están asociadas a la idea del límite como una propiedad local. Sobre la comprensión del
significado del t0 se observa una notable mejoría en el cuarto examen respecto del
segundo, pues en el cuarto 30 estudiantes contestan correctamente la pregunta hecha al
respecto y 19 en el segundo, en ambos casos su significado se asocia con el infinitamente
pequeño. En el segundo y en el cuarto exámenes se pide una interpretación sobre la
expresión:
limf
tk k k
t
05 20, con en el primer caso y = en el segundo
las respuestas dadas por los estudiantes muestran un notable mejoría en el tercer examen pues
se triplica la cantidad de respuestas correctas en éste examen respecto del segundo, ya que
en el primer caso dan interpretaciones correctas 7 (21.8%) y en el segundo 21 (65.6%), en
dichas interpretaciones se asocia a las RCI con las velocidades y aceleraciones instantáneas,
con el límite o a la cuantificación puntual de la variación. En el tercer examen y en el cuarto
se pregunta sobre la idea clave para calcular la RCI (pregunta que en esencia indaga si los
estudiantes están conscientes de los procedimientos que realizan cuando calculan la RCI) se
presentó un sensible descenso entre las respuestas correctas dadas en tercer examen respecto
del cuarto, pues en el primer caso dan respuestas correctas 25 (78.1%) y en el segundo sólo
contestan correctamente 14 (43.7%). Las respuestas fueron consideradas correctas si de
alguna manera se expresaba que la idea clave consiste en la búsqueda del límite del cociente
f/t cuando t es infinitamente pequeño. En el segundo examen y en el cuarto se pide a
los estudiantes expliquen lo que entienden por derivada y por la RCI respectivamente, de
acuerdo con los datos obtenidos se observa una leve mejoría en el cuarto examen respecto
del tercero, pues 15 estudiantes (46.8%) dan explicaciones consideradas correctas en el tercer
examen y 16 (50%) en el cuarto. Las explicaciones correctas en el primer caso aluden a la
velocidades puntuales, variación instantánea a un límite especial, en el segundo caso se habla
de la RCI como cociente de infinitesimales, como velocidad, aceleración o rapidez
instantánea o asociada a la idea de tangente o como un límite.
En conjunto en los cuatro exámenes se hacen 46 preguntas y el máximo puntaje de respuestas
correctas alcanzado fue de 41, este puntaje solamente fue obtenido por un estudiante. Con el
fin de detectar tendencias sobre el desarrollo de las concepciones y habilidades exploradas,
he clasificado en tres categorías a los estudiantes a partir de una revisión transversal: los que
su puntaje es inferior a 20 respuestas correctas (la media), los que su puntaje es igual o
superior a 20 pero menor que 30 y los que sus puntajes son iguales o mayores que 30
respuestas correctas. A los estudiantes de la primera categoría los consideré incluidos en una
tendencia hacia desarrollo deficiente, a los de la segunda en una tendencia hacia un desarrollo
aceptable y a los de la última categoría en una tendencia hacia un desarrollo óptimo. En estas
condiciones en 14 estudiantes (43.7%) se nota una tendencia hacia un desarrollo deficiente
de los conocimientos trabajados a lo largo del curso, pues contestaron correctamente menos
de la mitad de preguntas respecto del máximo alcanzado; en 8 estudiantes (25%) la tendencia
apunta hacia un desarrollo aceptable y en otros 10 apunta hacia un desarrollo óptimo de las
habilidades y concepciones matemáticas relativas a los intervalos de variación, funciones y
la RCI. Véase cuadro siguiente.
DESARROLLO GLOBAL ALCANZADO POR LOS ESTUDIANTES EN EL CURSO
DESARROLLO RESPUESTAS CORRECTAS (rc) ESTUDIANTES PORCENTAJES
OPTIMO 41 rc 30 10 31.2%
ACEPTABLE 29 rc 20 8 25 %
DEFICIENTE rc 19 14 43.7%
Cuadro 32
EXAMEN PRE-POST
Este cuestionario explora el desarrollo de algunas ideas generales sobre la variación y fue
aplicado en dos ocasiones, al inicio del curso junto con el primer examen y al final del mismo
junto con el cuarto examen. En él se plantean tres situaciones (ver examen 5 anexo A) en
donde se presentan tres gráficos respectivamente, el primero representa la variación de la
temperatura de cierto volumen de agua, el segundo muestra la variación de la concentración
de un medicamento en la sangre y en el tercer gráfico se muestra una curva que representa a
cierta función f que no está referida a un contexto específico. En cada situación se plantean
cuatro preguntas que, asociadas en grupos, exploran ideas sobre rapidez variación, variación
positiva, variación negativa y variación nula. En las siguientes páginas se presenta un
análisis comparativo de las respuestas a cada una de estas preguntas y una síntesis sobre estos
resultados.
Sobre la situación 1
Respecto a la pregunta 1.A, en la primera aplicación sólo 3 estudiantes del total dieron
respuestas correctas y en la segunda aplicación 19, éstos constituyen el 59.3 % del total, aquí
hay una diferencia positiva de l6; en cuanto a las respuestas incorrectas, en la primera
aplicación incurrieron 29 estudiantes y en la segunda 13. Al inicio del curso, un poco más
del 90 % de los estudiantes consideran que la mayor variación sucede en el intervalo de 10 a
20 min., esto parece indicar que la idea de mayor variación es asociada por estos estudiantes
con la idea de mayor valor de la función, esta concepción parece haber cambiado hacia una
idea de mayor rapidez de variación en 21 estudiantes pero parece permanecer incólume en
8.
A la pregunta 1.B dos opciones la contestan correctamente, la del inciso a y la del inciso d.
Al principio del curso 18 estudiantes se percatan de que la variación de la temperatura se
estabiliza en 0 C en el intervalo 2.5 t 5 y al final del curso se percatan de ello 26; de
los 18 estudiantes que contestaron correctamente al principio del curso 4 ya no señalaron este
intervalo en segunda aplicación. Ahora bien, 12 de los 26 estudiantes que dieron respuestas
correctas en la segunda aplicación no señalaron el intervalo 2.5 t 5 en la primera y 14 se
mantuvieron en una posición invariante en las dos aplicaciones, esto parece indicar que el
curso tuvo cierta influencia en 12 estudiantes (el 37.5% del total) en el desarrollo de la
habilidad para identificar en un gráfico la estabilización de la variación de la temperatura,
particularmente cuando su gráfico coincide con el eje las t. Respecto a la segunda opción
correcta, el intervalo 10 t 20, casi no hubo variación, en la primera aplicación la señalaron
27 estudiantes y en la segunda 29, en ambos se mantuvieron invariantes 26; de los 29 que
dan respuestas correctas en la segunda aplicación sólo 3 no señalaron este intervalo en la
primera aplicación. Para efectos de evaluación se consideró correcta cuando los estudiantes
contestaron subrayando los dos intervalos, bajo estas condiciones, 13 acertaron en la primera
aplicación y 22 en la segunda, los 13 que acertaron en la primera aplicación se mantuvieron
en su misma posición en la segunda. Entre la primera y segunda aplicaciones hay un
incremento de 9 estudiantes, éstos mejoran sus concepciones acerca de la estabilización de
la variación, aunque considerados los resultados aisladamente indican que la mayoría se
apropiaron de alguna noción satisfactoria sobre este fenómeno. Es notable la tendencia a no
identificar la estabilización de la variación cuando el gráfico está superpuesto al eje de las t.
En la pregunta 1.C se pide decidir qué fenómeno sucedió con mayor rapidez. En la primera
aplicación 26 estudiantes se inclinaron por el calentamiento y en la segunda 28, de los 26
estudiantes que señalaron el calentamiento en la primera aplicación 24 lo vuelven a señalar
en la segunda y 2 señalan el enfriamiento; en la primera aplicación 5 estudiantes se inclinaron
por el enfriamiento y en la segunda 4; en la primera aplicación hubo quien contestó que los
fenómenos suceden con igual rapidez. De los 5 que señalaron el enfriamiento al principio 3
en la segunda aplicación señalan el calentamiento y los dos restantes señalaron nuevamente
el enfriamiento, el que señaló que los dos fenómenos suceden con igual rapidez en la primera
aplicación en la segunda cambió hacia el calentamiento. Los resultados anteriores indican
que 24 estudiantes (el 75%) pueden distinguir en el gráfico que el calentamiento sucede con
mayor rapidez, pues mantienen esta posición en las dos aplicaciones, 4 cambiaron del
enfriamiento en la primera aplicación al calentamiento en la segunda, 2 se mantienen en el
enfriamiento en ambas aplicaciones, y 2 declinan su posición inicial del calentamiento hacia
el enfriamiento en la segunda.
En la pregunta 1.D se pide argumentar la respuesta dada a la pregunta 1.C. Los argumentos
dados por quienes contestaron el calentamiento fueron clasificados en tres grupos, en el
primer grupo se incluyeron los que se percibe como idea central que el calentamiento ocupa
un tiempo menor, al parecer centrando su atención en la comparación del tiempo en que el
agua se calienta y el del tiempo en que se enfría, sus argumentos fueron del estilo: ocupó un
menor tiempo en calentarse y para enfriarse tardó más, se realiza en de 0 a 10 minutos y el
enfriamiento de 20 a 40, pues sólo tarda 5 minutos y el enfriamiento tomó 20. En el segundo
grupo se incluyeron argumentos donde se percibe cierta idea de razón de cambio, estas
respuestas fueron del estilo: en 5 minutos subió de 0 a 100 y en 20 bajó 80, en 10 minutos
alcanza su temperatura máxima y enfriamiento tardó 20 minutos, en sólo 5 minutos la
temperatura sube de 0 a 100, porque la variación de la temperatura fue mayor. En el tercer
grupo conjuntamos los argumentos confusos. Los 11 estudiantes que en la primera aplicación
ubicamos en el primer grupo se mantienen en el mismo en la segunda y se agregan a esta
opinión 6 más, obteniéndose así un incremento del 18.7% del total; de los 6 estudiantes
ubicados en el segundo grupo de la primera aplicación sólo 4 mantienen su misma posición
en la segunda, de los otros dos, uno cambia hacia una posición del primer grupo, el otro hacia
una posición confusa. Uno de los cuatro estudiantes que dan argumentos confusos en la
primera aplicación pasa al primer grupo en la segunda, otro al segundo grupo, los dos
restantes no mejoran sus concepciones. En resumen, sólo 7 estudiantes parecen dar una
argumentación correcta del por qué contestaron que el calentamiento sucede con mayor
rapidez (utilizando alguna noción de razón de cambio), aunque la variación entre la cantidad
de estudiantes que argumentan de este modo al principio del curso no es significativa respecto
de la cantidad que lo hacen al final. Prácticamente el 44% de los estudiantes dan argumentos
que parecen sólo atender al intervalo de tiempo en que suceden los fenómenos representados,
esto nos permite conjeturar que, si bien el 75% de los estudiantes pueden decidir que
calentamiento sucede con mayor rapidez, sólo la tercera parte de ellos dan explicaciones
correctas de sus inclinaciones.
Sobre la situación 2
De esta situación se desprenden cuatro preguntas, la 2A, 2B, 2C y 2D. En la pregunta 2.A se
pide el intervalo donde la rapidez con que crece la concentración de un medicamento en la
sangre es mayor, en la primera aplicación dan respuestas correctas 11 estudiantes y en la
segunda 30, los mismos 11 estudiantes que dieron respuestas correctas en la primera
aplicación mantuvieron su posición en la segunda y se agregaron 19, esto significa un
incremento del 59.3% del total del grupo. De los 22 estudiantes que al inicio del curso dieron
respuestas incorrectas, solamente 1 persistió en su posición en el segundo. Estos resultados
apuntan hacia un cambio notable en los estudiantes sobre el esclarecimiento de la idea de
rapidez del crecimiento de una variable, pues en la segunda aplicación esta idea parece ser
clara para casi la totalidad del grupo en cambio al principio parece serlo sólo para 11.
En la pregunta 2.B se pide el intervalo donde la variación de la concentración es positiva.
En la primera aplicación 13 estudiantes dan respuestas correctas y en la segunda 29, los
mismos que acertaron en la primera persistieron en la segunda y se agregaron 16 más, esto
significa que al finalizar el curso hubo un cambio positivo en el 50% de los estudiantes. De
los que dieron respuestas incorrectas, hubo 13 en la primera aplicación que señalan que existe
variación positiva en todos los intervalos dados, esta puede ser una evidencia de que al
principio del curso estos estudiantes creen que la variación positiva es lo mismo que función
positiva, al final del curso esta confusión parece haberse superado en la mayoría de los
alumnos.
En la pregunta 2.C se piden los intervalos donde la variación de la concentración es negativa.
Aquí, tres son las respuestas correctas, los incisos b, c y d. 11 estudiantes en la primera
aplicación contestaron marcando los tres incisos, en la segunda aplicación 23 hacen lo
mismo, 3 subrayan uno de los que contestan correctamente y 3 más subrayan dos de esos
intervalos. Se consideraron correctas la respuestas en donde se subrayan al menos dos
intervalos que contestan correctamente, bajo estas condiciones a los 11 estudiantes que dieron
respuestas correctas en la primera aplicación se agregaron 15 más en la segunda, dando un
total de 26, esto significa que con el curso se generó una variación positiva de 46% del total
de participantes. Es notorio que al principio del curso, 15 estudiantes consideran que no existe
variación negativa en el gráfico, quizá porque consideran ideas equivalentes la variación
positiva y el signo positivo de la función. No obstante esta confusión parece haberse superado
en la mayoría de los participantes pues ya nadie dijo no existe variación negativa al finalizar
del curso.
Al revisar conjuntamente las respuestas correctas tanto a la pregunta 2.B como en la
pregunta 2.C obtenidas en la segunda aplicación, se observa que 26 estudiantes dieron
respuestas correctas a las dos preguntas (Tabla Global Comparativa 1), esto parece indicar
que la noción de variación positiva y variación negativa identificada a partir del gráfico fue
desarrollada óptimamente en más de las tres cuartas partes de los participantes en el curso,
aunque hay que notar que en la primera aplicación dan respuestas correctas en ambas 10
estudiantes, probablemente influenciados por los contenidos que a esas alturas ya se habían
visto en el curso.
En la pregunta 2.D se pide el intervalo donde no existe variación (más bien nulidad de la
rapidez de variación), si es que la hay. En la primera aplicación dos estudiantes parecen
percibir la no variación en t = 2 aunque uno de estos dos estudiantes al finalizar el curso
cambió de opinión. En la segunda aplicación, 15 estudiantes dicen que sí hay intervalo donde
no hay variación, 8 de los 15 escriben que no la hay en t = 2, en 4 se manifiesta cierta idea
de aproximación a 2 o en una vecindad de 2, uno escribe el intervalo 7 t 8 donde casi se
reduce a cero la concentración del medicamento, las respuestas dadas por estos últimos 13
estudiantes las he considerado correctas. En las respuestas de estos 13, parece expresarse
cierta idea de propiedad local de la función en t = 2, o en torno de este punto, esta idea es
muy importante en el CD pues detrás de ella está la propiedad de la nulidad de su derivada.
En conjunto, 11 estudiantes (el 34.3%) contestaron aceptablemente preguntas 2.B, 2.C y 2.D
(ver Tabla Global Comparativa 1), esto da una indicación de que un poco más de la tercera
parte de los estudiantes parecen haber desarrollado óptimamente susu ideas sobre variación
positiva, variación negativa y estabilización de la variación. Esto representa un avance
significativo, pues en la primera aplicación sólo un estudiante se ubicó en esta clasificación.
Sobre la situación 3
En la situación núm. 3 se muestra una curva que representa a cierta función f(x), de ella se
desprenden las preguntas 3A, 3B, 3C y 3D. En la pregunta 3.A se pide el intervalo de mayor
brusquedad de la variación. En la primera aplicación 18 estudiantes dieron respuestas
correctas y en la segunda 23, es decir hubo un incremento de 5, de acuerdo a esto, se puede
decir que cerca de las tres cuartas partes de los participantes desarrollaron cierta noción
aceptable sobre la mayor brusquedad (léase rapidez) de la variación al finalizar el curso.
En la pregunta 3.B se pide el intervalo donde la variación es positiva, dos opciones contestan
correctamente la pregunta, se consideró correcta cuando los estudiantes contestaron
correctamente con estos dos incisos. En la primera aplicación, cuando se les pregunta por el
intervalo de variación positiva, 8 estudiantes sugieren intervalos como -4 x -3 (a pesar de
no haberlo puesto como opción ) o algo parecido, 4 de estos 8 agregan el intervalo 6 x 8
. Esto parece corroborar lo detectado en la pregunta 2B en la primera aplicación, los
estudiantes confunden la variación positiva con el signo positivo de la función; es claro que
para estos 4 estudiantes la variación es positiva cuando el gráfico está por arriba del eje de
las x, inclusive se pudiera pensar que también lo es para los 21 que sólo señalaron el intervalo
6 x 8 a pesar de que la respuesta satisface parcialmente a la pregunta. En la segunda
aplicación estas ideas sobre la variación positiva parecen haber cambiado, pues 23
estudiantes señalaron los dos intervalos que contestan satisfactoriamente la pregunta y en la
primera aplicación sólo 3 lo hicieron.
En la pregunta 3.C se piden los intervalos de variación negativa, en la primera aplicación
sólo 6 estudiantes dan respuestas correctas y 22 de los que dan respuestas incorrectas señalan
el intervalo de 3 a 6. En la segunda aplicación el número de estudiantes que dan respuestas
correctas se incrementó notablemente llegando hasta 22, sin embargo 14 de estos señalaron
también el intervalo de 3 a 6, de modo que solamente en 8 estudiantes (el 25% del total)
parece ser clara la idea de variación negativa; es notorio también que de los 6 que al principio
del curso contestaron correctamente, sólo tres se mantiene en su misma posición al final y el
resto cambió de opinión. Estos resultados permiten conjeturar que la mayoría de los
estudiantes al final el curso aún confunden el signo de la función con el signo de la razones
de cambio de la función. Si bien el número de estudiantes que acertaron en la segunda
aplicación aumentó casi cuatro veces en relación a la cantidad inicial, la mayoría de ellos
señalan además el intervalo donde la función es negativa.
En la pregunta 3.D se piden los puntos donde cambia el sentido de la variación. En la primera
aplicación aunque 20 estudiantes solamente señalan el punto x = 4, 19 de ellos señalan los
dos puntos que contestan satisfactoriamente a la pregunta y 6 señalan los puntos x = -3.8 y
x = 2.9. En la segunda aplicación 21 estudiantes, señalaron los dos incisos de las respuestas
correctas. Estos resultados parecen indicar que la idea del cambio del sentido de la variación
experimentó una leve mejoría entre la primera y segunda aplicación aunque se nota que aún
prevalece en algunos (al menos 6 de ellos) la confusión entre el cambio de sentido de la
variación y el cambio de signo de la función.
UN ANÁLISIS COMPARATIVO
A fin de explorar el desarrollo de las ideas afines sobre la variación, las preguntas fueron
asociadas en dos grupos, en el primer grupo se conjuntaron las que tienen que ver con la
rapidez de la variación y en el segundo grupo se incluyen variación positiva, negativa y no
variación. Respecto de la idea de rapidez de la variación, respuestas al primer grupo de
preguntas, en la gráfica núm. 3 se observa que las mayores diferencias entre la segunda y la
primera aplicación se obtuvieron en las preguntas 2.A y 1A (+19 y +16 respectivamente) y
las menores en las preguntas 3A y 1C (+3 y +2 respectivamente). En la pregunta 2.A, donde
se pide el intervalo de mayor rapidez de la concentración de cierto medicamento en la sangre,
aunque la respuesta es evidente, sólo 11 se percatan de ello en la primera aplicación y
prácticamente todos dan respuestas correctas en la segunda. En la pregunta 1.A se pide el
intervalo de mayor variación de la temperatura, casi todos los estudiantes en la primera
aplicación contestaron señalando el intervalo de 10 a 20, quizá considerando como ideas
equivalentes a la mayor variación con el mayor valor de la función, no obstante en la segunda
aplicación 19 estudiantes la contestaron correctamente y sólo 3 en la primera. En la pregunta
1.C tal parece que la mayoría no tuvieron dificultades en decidir qué fenómeno sucedió con
mayor rapidez, pues 26 estudiantes se deciden por el calentamiento en la primera aplicación
y 28 en la segunda, aunque en los argumentos esgrimidos acerca del por qué dieron estas
respuestas (pregunta 1.D) en gran parte se alude a que el calentamiento sucedió en menor
tiempo, tal vez sólo priorizan la duración del tiempo en que suceden los fenómenos
minimizando lo que sucede en el eje de las f(t), muy pocos (solamente 7 estudiantes) parecen
utilizar cierta noción de razón de cambio promedio al final del curso para argumentar su
respuesta.
Vamos a ver lo que sucedió con las ideas del segundo grupo. La idea de variación positiva
es explorada en las preguntas 2.B y 3.B, en la pregunta 2.B se obtuvo un incremento de 16
estudiantes en la segunda aplicación respecto de la primera, pues en la primera aplicación 13
dan respuestas correctas y en la segunda 29. En la pregunta 3.B la diferencia es aún más
notable pues llega hasta 19 ya que en la primera aplicación dan respuestas correctas 3
estudiantes y en la segunda 22. Es destacable el hecho que en la primera aplicación la mayoría
parecen considerar a la variación positiva como una idea equivalente de función positiva, no
obstante la idea de variación positiva entendida como crecimiento de la función parece
haberse desarrollado en la mayor parte de los estudiantes participantes en el curso. La idea
de variación negativa es explorada en las preguntas 2.C y 3.C, en la pregunta 2.C se observa
(gráfica núm. 3) un desarrollo significativo pues se obtiene una diferencia positiva de 15
estudiantes, ya que en la primera aplicación contestan correctamente 11 y en la segunda 26.
En la pregunta 3.C contestan correctamente en la primera aplicación 6 estudiantes y en la
segunda 8 obteniéndose una diferencia positiva de 2, aunque aquí hubo 14 que si bien
señalaron intervalo donde efectivamente la variación es negativa, también señalaron el
intervalo donde la función es negativa, esto da indicaciones de que los estudiantes tienen
mayores dificultades en discernir la variación negativa cuando se les presenta un gráfico de
alguna función que también tenga intervalos donde sus valores son negativos.
COMPARACION ENTRE LA CANTIDAD DE ESTUDIANTES QUE DIERON RESPUESTAS
CORRECTAS EN LA PRIMERA Y LA SEGUNDA APLICACIÓN
33
30 30
C 27 28 29
O 24 26
26 segunda
R 21 23 22 23 21
aplicación
aplicación
R 18 19 18
19
E 15 primera
C 12
12
13 13 13 aplicación
T 9 11
11
A 6 7 8
S 3 3 6
3 6
2
1A 1C 1D 2A 3A 2B 3B 2C 3C 1B 2D 3D
RAPIDEZ DE VARIACION VARIACION NO LA VARIACION POSITIVA NEGATIVA VARIACION
GRAFICA NUM. 3
En la pregunta 3A un poco más de la mitad de los estudiantes mostraron no tener dificultades
para identificar el intervalo de mayor brusquedad de la variación, pues en la primera
aplicación contestan correctamente 18 y en la segunda 23; en esta pregunta se obtuvo una de
las menores diferencias positivas de las preguntas de este grupo, tal vez porque en intervalos
grandes sea evidente para la mayoría de los estudiantes identificar dónde sube más rápido el
gráfico de una función. Al hacer un conteo global de las respuestas correctas dadas a este
primer grupo de preguntas, se observa (ver Tabla Global Comparativa 1), que sólo un
estudiante contestó correctamente las cinco preguntas tanto en la primera como en la segunda
aplicación, 3 contestaron correctamente en cuatro en la primera aplicación y 15 lo hacen en
la segunda; 6 dan respuestas correctas en tres preguntas en la primera aplicación y 9 lo hacen
en la segunda, ver el cuadro siguiente. Hay que destacar que en la segunda aplicación todos
los estudiantes contestaron
correctamente dos o más preguntas de este grupo. En términos generales aunque se perfila
una tendencia hacia el desarrollo óptimo de las ideas de rapidez de la variación en al menos
25 estudiantes, esta tendencia es bien marcada en 16 de ellos pues contestan correctamente
el 80% o más de las preguntas planteadas a este respecto. Esta tendencia disminuye
levemente en 9, los que
se incluyen en una tendencia aceptable, pues contestan correctamente el 60% de las
preguntas de este grupo y en 7 estudiantes apenas si se manifiesta, pues contestan
correctamente menos de la mitad de las preguntas de este grupo.
La idea de no variación es explorada en tres preguntas 1.B, 2.D y 3.D, se explora con los
nombres de intervalos (o bien puntos) de estabilización y puntos donde cambia de sentido la
variación. En la pregunta 1.B se obtuvo una diferencia favorable de 10, pues en la primera
aplicación contestan correctamente 13 y en la segunda 23, parece no haber muchas
dificultades en los estudiantes en distinguir la estabilización de la variación en un gráfico
cuando ésta sucede en intervalos grandes, como es el caso de esta pregunta, aunque sí las
hay cuando la estabilización de la variación de la temperatura sucede a 0 C. A la pregunta
2.D dan respuestas aceptables en la primera aplicación sólo 2 estudiantes y en la segunda
aplicación 13, esto significa que hubo un incremento de 11 estudiantes que desarrollaron
cierta idea de no variación en un punto o una vecindad de éste.
IDEAS SOBRE LA RAPIDEZ DE LA VARIACION
CORRECTAS PRIMERA APLICACION SEGUNDA APLICACION DIFERENCIA
CANT. PORCENT. CANT. PORCENT.
Las cinco 1 3.1% 1 3.1% 0
En cuatro 3 9.3% 15 46.8% +12
En tres 6 18.7% 9 28.1% +3
En dos 11 34.3% 7 21.8% -5
En una o menos 11 34.3% 0 0% -11
Cuadro 33
En la pregunta 3.D, en la primera aplicación dan respuestas correctas 19 estudiantes y en la
segunda 21, cifras que dan una diferencia positiva de 3; esta no es una diferencia significativa
sin embargo parece indicar que para la mayoría de los estudiantes es clara la idea del cambio
de sentido de la variación aunque es muy probable que no la asocien con la nulidad de la
variación. Al hacer un conteo global de las respuestas correctas dadas a este grupo de
preguntas, solamente 3 estudiantes contestaron correctamente a las 7 preguntas en la segunda
aplicación y nadie lo logró en la primera; 5 lo hicieron en 6 preguntas en la segunda
aplicación y uno en la primera, 8 lo hicieron en 5 preguntas en la segunda aplicación y sólo
3 en la primera, 4 lo hicieron en 4 preguntas en la segunda y 2 en la primera, etc., ver el
cuadro siguiente.
SOBRE LAS IDEAS DE VARIACION, POSITIVA, NEGATIVA Y NO VARIACION
CORRECTAS PRIMERA APLICACION SEGUNDA APLICACION DIFERENCIA
CANTIDAD PORCENT. CANTIDAD PORCENT.
Las siete 0 0% 3 9.3% +3
En seis 1 3.1% 5 15.6% +4
En cinco 3 9.3% 8 25% +5
En cuatro 2 6.2% 4 12.5% +2
En tres 5 15.6% 3 9.3% -2
En dos 6 18.7% 6 18.7% 0
En una o menos 15 46.8% 3 9.3% -12
Cuadro 34
Nótese que la mitad de los estudiantes en la segunda aplicación contestaron correctamente
entre 5 y 7 preguntas, mientras que en la primera aplicación solamente 4 lograron ubicarse
en este mismo rango en la primera aplicación. También en la primera aplicación, 15
estudiantes contestaron correctamente en una pregunta o menos, mientras que en la segunda
aplicación solamente 3 se ubicaron en este rango. En términos globales estos resultados
hablan de un avance significativo en el desarrollo de las ideas generales que sobre la variación
se lograron en los estudiantes. Para establecer diferencias sobre los niveles de desarrollo
logrados por los estudiantes los he clasificado en dos grupos, los que contestaron
correctamente de 4 a 7 (arriba de la media) y los que contestaron correctamente 3 o menos
(debajo de la media). En este último grupo el desarrollo sobre las ideas de variación, positiva,
negativa y no variación es apenas incipiente y se incluyen en él 12 estudiantes; en el primer
grupo se vislumbran dos tendencias, en los que obtuvieron los dos máximos puntajes la
tendencia hacia el desarrollo de estas ideas es considerado óptimo y lo constituyen 8
estudiantes (25% del grupo), los que obtuvieron entre cuatro y cinco la tendencia apunta
hacia un nivel aceptable, este grupo lo constituyen 12 estudiantes (37.5% ).
En conjunto, este cuestionario contiene 12 preguntas. Al hacer una revisión longitudinal a
las evaluaciones globales obtenidas por cada estudiante se observa, que ningún estudiante
contestó correctamente las 12 preguntas planteadas en las dos aplicaciones, solamente un
estudiante en la segunda y otro en la primera aplicación obtuvieron 11 respuestas correctas
como máximo. Para detectar tendencias sobre el desarrollo de la ideas generales exploradas
en este cuestionario, he clasificado a los resultados obtenidos por los estudiantes en dos
grupos: los que contestaron correctamente por arriba del 50% de preguntas planteadas (la
media) y los que se ubicaron por debajo de este porcentaje. Los estudiantes del primer grupo
los he clasificado a su vez en dos pequeños subgrupos, los que sus respuestas correctas
fluctúan entre 12 y 10 y los que sus respuestas correctas fluctúan entre 9 y 7. Bajo estas
condiciones, en la segunda aplicación en el primer subgrupo quedaron ubicados 6 estudiantes
y en el segundo subgrupo 18; el segundo grupo quedó constituido por 8 estudiantes, en
cambio en la primera aplicación 4 estudiantes quedaron ubicados en el primer grupo, 1 quedó
ubicado en el primer subgrupo y 3 en el segundo subgrupo, 28 estudiantes quedaron ubicados
en el segundo grupo, véase el cuadro siguiente. Estos resultados ponen de manifiesto la
influencia favorable del curso en la mayoría de los estudiantes en el desarrollo de sus
concepciones generales sobre la variación. Particularmente en 6 se percibe una tendencia
notable hacia el desarrollo óptimo de estas ideas, mientras que al principio al parecer sólo un
estudiante estaba en condiciones similares. Menor consistencia se nota en 18 estudiantes al
finalizar el curso aunque la tendencia hacia el desarrollo de estas ideas fue aceptable mientras
que al principio sólo 3 se ubicaron en este rango. En 8 estudiantes al finalizar el curso sus
deficiencias son numerosas aunque al principio 28 mostraron condiciones similares.
CONTEO LONGITUDINAL DE RESPUESTAS CORRECTAS AL CUESTIONARIO
CORRECTAS 1a. APLICACION 2a. APLICACION INCREM.
CANT. PORC. CANT. PORC.
1er. 12 rc 10 1 3.2% 6 18.7% +5
GRUPO 9 rc 7 3 9.3% 18 56.2% +15
2o. GRUPO 6 rc 0 28 87.5% 8 25% -20
Cuadro 35
En términos generales, en la segunda aplicación no parece haber diferencias significativas
entre el conteo longitudinal de evaluaciones (analizando las evaluaciones de cada estudiante,
cada renglón le corresponde a un estudiante) y los que arrojaron los conteos parciales
transversales (asociando, en bloques de columnas, a las preguntas y sus evaluaciones por
afinidad matemática). Pues en el conteo longitudinal arroja que 24 estudiantes contestan
correctamente arriba del 50% de preguntas planteadas, y el transversal, en el primer grupo
(rapidez de la variación) se ubicaron un número similar de estudiantes en esta clasificación
y en el segundo grupo (de variación positiva, negativa y nula) se ubicaron 20. Aunque hay
diferencias significativas en cuanto a la consistencia del desarrollo las ideas, pues en el caso
de la revisión longitudinal la tendencia es bien marcada en sólo 6 estudiantes y en 18 la
consistencia es menor; en cambio en la revisión transversal para las ideas del primer grupo
la tendencia es bien marcada en 16 estudiantes y es menos consistente en 9 y para el segundo
grupo la tendencia es bien marcada en 8 estudiantes y es menos consistente en 12. Estos
resultados indican que la idea de rapidez de la variación alcanzó un mejor desarrollo que las
ideas de variación positiva, negativa y no variación, inclusive en estas últimas hay todavía
confusiones numerosas con el signo de las funciones.
ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS EXÁMENES PARCIALES Y EL PRE-
POST
Al comparar el desarrollo global de los estudiantes alcanzado sobre las ideas generales de la
variación y los obtenidos en los cuatro exámenes parciales, se observa (ver Tabla Global
Comparativa 2) que casi todos los estudiantes que en los cuatro exámenes parciales se
ubicaron en las tendencias hacia el desarrollo óptimo y aceptable, también quedaron ubicados
en alguna de estas categorías en el cuestionario que explora ideas generales sobre la
variación. Aunque en ninguno de los casos, un desarrollo óptimo de las ideas generales sobre
la variación correspondió a un desarrollo óptimo de las concepciones y habilidades
exploradas en los exámenes parciales, en cambio 3 de los 6 estudiantes que desarrollaron
óptimamente ideas generales sobre la variación desarrollaron a un nivel aceptable los
conocimientos explorados en los exámenes y en los otros 3 su desarrollo en los exámenes fue
deficiente. En cambio, todos los estudiantes que en los exámenes parciales se ubicaron en la
tendencia hacia un desarrollo óptimo en sus ideas generales sobre la variación lograron un
desarrollo aceptable, 3 de los 8 estudiantes considerados con desarrollo aceptable en los
exámenes parciales desarrollaron óptimamamente sus ideas generales sobre la variación y los
5 restantes también lograron un desarrollo aceptable en estas ideas. Nótese que 6 estudiantes,
a pesar de que quedaron ubicados en la tendencia hacia un desarrollo óptimo o aceptable en
sus ideas generales sobre la variación, su desarrollo en los conocimientos explorados en los
exámenes fue deficiente.
Si bien un desarrollo óptimo de las ideas generales sobre la variación no implicó un desarrollo
óptimo de los conocimientos explorados en los exámenes, todos los estudiantes con
tendencia hacia un desarrollo óptimo o aceptable logrado en éstos últimos, se ubicaron en
alguna de estas mismas categorías en sus evaluaciones obtenidas en el cuestionario que
explora ideas generales sobre la variación. Esto indica la existencia de cierta tendencia hacia
la correspondencia entre el desarrollo de las ideas generales de la variación y el desarrollo de
las concepciones y procedimientos asociados a la derivada como razón de cambio
instantánea, pues de las 46 preguntas planteadas en los cuatro exámenes 30 se relacionan
directamente con este concepto.
89
CONCLUSIONES
El interés que ha guiado este trabajo ha sido el de proponer los elementos esenciales para una
alternativa para la enseñanza de la derivada en el bachillerato. Para ello, se ha considerado que su
introducción a través de su significado físico pudiera favorecer su comprensión, pues hemos
encontrado evidencias de que las condiciones didácticas en que se enseña este concepto, en muy
poco han contribuido al logro de este propósito. Baste recalcar que, la estructura de los
contenidos tanto de los textos usuales como el que sugieren la mayoría de los programas oficiales
se asemejan más a la estructura formal del Análisis Matemático y por tanto esconden el origen
intuitivo de sus conceptos básicos, priorizan la mera transferencia de contenidos y el aprendizaje
de algoritmos por encima de la comprensión de las ideas básicas. Los textos tienen inclinaciones
muy marcadas a presentar a la derivada como un concepto abstracto con escasa relación con la
variación a pesar de que históricamente el estudio de la variación física fue la fuente de su
creación. Los resultados de los exámenes de diagnóstico parecen reflejar varias de estas
deficiencias, pues si bien cantidades importantes de estudiantes pueden calcular derivadas por
medio de fórmulas y reglas, muy escasa es su comprensión de la derivada como un límite y
prácticamente nula su capacidad de relacionarla con la velocidad instantánea en fenómenos de
variación y cambio.
Para enfrentar esta problemática, hemos propuesto varios elementos para una propuesta didáctica
diseñados sobre criterios diferentes de los que se suelen orientar a las existentes, pues adopta a la
variación como el eje rector de los contenidos del curso de cálculo. Con ella, se logra un
acercamiento intuitivo a la derivada a través del estudio de los problemas de la rapidez de la
variación, sin detenerse en un estudio teórico riguroso sobre los clásicos conceptos del límite y de
la continuidad, este empeño por estudiar la variación propicia la formación del concepto de
derivada como la rapidez instantánea de la variación. Existen muchas evidencias de que los
acercamientos inclinados por una presentación rigurosa del cálculo en el bachillerato (rigurosa en
el sentido como lo entienden los matemáticos), en vez de ayudar pueden ser nocivas para los
estudiantes. En este nivel tienen sus primeros contactos con esta parte de la matemática y por
tanto introducciones rigurosas pueden ser hasta traumáticas. La estructuración formal de los
contenidos del análisis obedece a razones de índole puramente matemáticas y no pedagógicas, la
forma de cómo se estructura el conocimiento matemático no necesariamente se corresponde con
la forma de como se asimila en la mente de los estudiantes. La historia nos ha demostrado que
antes de que el cálculo fuera impecablemente reestructurado a partir de premisas sólidas, las
estrategias, métodos y procedimientos basados en la intuición, en el sentido común, en la
heurística y en un mínimo de rigor matemático, condujeron a una basta cantidad de
descubrimientos en las ciencias naturales y dentro de la misma matemática. Esta es la vía que en
esencia se recupera en nuestros planteamientos.
La introducción de las ideas del cálculo a partir de la estudio de la variación en México han
empezado a cobrar fuerza desde finales de la década pasada, en Estados Unidos de Norteamérica
desde finales de la década de los 60’s se han sugerido estos tipos de acercamientos, muestra de
ello es el libro Matemáticas para Estudiantes de Humanidades de M. Kline editado por primera
vez en 1967, inclusive actualmente varias obras siguen esta línea, por ejemplo el libro de
Calculus and Analytic Geometry de Thomas y Finney. Adoptando algunas de estas ideas y
también de investigadores mexicanos que trabajan el enfoque variacional es como se ha logrado
concebir esta propuesta.
90
Para poner en práctica la propuesta es necesario un cambio radical de las concepciones
predominantes en los profesores acerca de la enseñanza del cálculo y por supuesto de los
programas y textos. La dirección de este cambio implica, principalmente, dedicar menos tiempo a
los algoritmos y atender la comprensión de los conceptos básicos del cálculo. Es posible
contribuir a este cambio si se explota la relación que estos conceptos tienen con los fenómenos de
la variación. Dadas las exigencias del Sistema Educativo Nacional Mexicano, no solamente se
requiere estudiar las ideas básicas del cálculo, es necesario también el dominio de los algoritmos
de cálculo (fórmulas y reglas de derivación por ejemplo), desde nuestro punto de vista, los
estudiantes estarían en mejores condiciones de resolver problemas de aplicación de la derivada, si
han comprendido este concepto y por supuesto dominan los conocimientos y algoritmos
esenciales. No tiene sentido enseñar cálculo solamente para mecanizar reglas y fórmulas de
derivación, hace falta comprender la esencia de sus conceptos para no actuar mecánicamente.
Si bien la puesta en práctica de una propuesta no arrojó resultados espectaculares, éstos son
significativamente superiores si se comparan con los que se obtienen en algunas escuelas del
Nivel Medio Superior en la región, pues en el Cuestionario de Diagnostico 1 mostró, que sólo un
19% de los estudiantes como promedio (con muchas inconsistencias) parecen tener ideas
aceptables sobre la derivada como un límite, como pendiente de una tangente, parecen interpretar
aceptablemente el significado de la notación con que se representa, y escasamente el 8%
relacionaron correctamente la derivada con la velocidad instantánea. En cambio, los resultados
obtenidos en la experiencia escolar resportada, obtuvimos resultados superiores, pues un poco
más del 50% de los participantes su tendencia hacia el desarrollo de las ideas antes mencionada y
de sus habilidades relativas a la cuantificación de la variación, fueron evaluadas como óptimas o
aceptables. Esto es un indicativo de que, en la experiencia escolar en la que se concretó la
propuesta, los estudiantes desarrollaron habilidades en el manejo de intervalos de variación, en la
graficación y análisis de funciones, en el cálculo de la razón de cambio promedio, en la obtención
de razones de cambio instantánea y en la obtención de derivadas mediante fórmulas. Es necesario
destacar que, el máximo desarrollo aceptable en la experiencia escolar se logró al finalizar el
cuarto mes de trabajo. En este mes se aplicó el tercer examen y en él, la mitad de los participantes
mostraron evidencias de que se apropiaron de los métodos numérico y algebraico para la
obtención de la razón de cambio instantánea, así como de una argumentación aceptable sobre la
idea esencial de esos procedimientos y sobre el significado de la expresión que la representa.
Finalmente el estudio realizado sobre los conceptos básicos del CD, en especial de la derivada, en
el plano histórico como en el de su enseñanza, el diseño y fundamentación de una propuesta y su
puesta en práctica, nos han permitido arribar a las siguientes conclusiones generales:
Existen diferencias en la enseñanza de los conceptos fundamentales del Cálculo
Diferencial que se reflejan en el dominio de estos conceptos y en el desarrollo de las ideas
relativas a la explicación de los fenómenos del cambio y la variación.
Las tendencias actuales en la enseñanza de la matemática priorizan el desarrollo de los
procesos de pensamiento sobre la mera transferencia de contenidos, en particular en el
Cálculo Diferencial se centra la atención en la comprensión de las ideas fundamentales y el
desarrollo de ideas claves que le dieron origen: las tangentes y la rapidez de la variación.
En la propuesta se ha logrado combinar las tendencias actuales en la enseñanza de la
matemática con las bases psicopedagógicas que se corresponden con las concepciones
91
actuales del proceso de enseñanza-aprendizaje, sin caer en el eclecticismo se han integrado
diferentes enfoques para lograr una concepción que se adapte a las condiciones regionales.
Los apuntes elaborados y la metodología propuesta resultan innovadoras en las
condiciones de México y reflejan las concepciones teóricas sobre las que se fundamenta la
propuesta. Su puesta en práctica mostró la factibilidad de la propuesta, la utilidad de los
apuntes y de la estrategia metodológica.
Con la propuesta se logró la formación de las ideas variacionales y la comprensión de los
conceptos básicos del cálculo, en especial de la derivada, en la mayoría de los alumnos que
participaron en la experiencia escolar.
Es recomendable que los profesores o investigadores enriquezcan este tipo de trabajos, los
pongan en práctica y valoren sus alcances, sus sugerencias y observaciones pueden ser valiosas
para su perfeccionamiento. Por otro lado este trabajo no está agotado, es tan solo una primera
aproximación tendiente al mejoramiento de la enseñanza de la derivada en el bachillerato.
Existen varias cuestiones que en el terreno investigativo merecen ser revisadas a la luz de los
resultados obtenidos en la experiencia escolar. Algunas de ellas se plantean a continuación.
Habría que investigar qué ideas y habilidades relativas al estudio de la variación son
factibles de ser desarrolladas en los estudiantes, previo al curso de cálculo en el
bachillerato, de modo que contribuyan a la formación de un nivel de partida más sólido.
Es necesario ampliar y profundizar el estudio sobre la línea directriz procesos de cambio y
cómo esta puede contribuir a preparar el terreno para la enseñanza del cálculo en el
bachillerato.
En cuanto a los apuntes es conveniente desglosar algunas lecciones en otras más sucintas
de manera que se dediquen a tratar temas más específicos factibles de ser trabajados a lo
más en tres sesiones de clase. En este sentido hemos ya avanzado considerablemente.
Es necesario lograr conexiones más oportunas entre el límite y el diferencial acompañado
de la introducción más temprana de la notación de Leibniz.
Hace falta elaborar sistemas de ejercicios y problemas para la sistematización,
profundización y repaso. Si bien el estudio de la variación y el cambio puede ser un punto
de vista adecuado para el estudio de la derivada hace falta generalizar y diversificar sus
aplicaciones.
Es necesario diversificar los problemas que hagan patente la imposibilidad de calcular la
rapidez y la dirección instantánea de la variación por medio de la razón de cambio
promedio, e incluso la no transferencia de los procedimientos de la matemática finita a la
matemática del infinito.
Conviene analizar cómo se pueden utilizar los medios electrónicos de enseñanza como la
microcomputadora o la calculadora para el perfeccionamiento de la propuesta.
Todas las cuestiones anteriores marcaran la pauta de futuras investigaciones.
92
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Programa para la Modernización Educativa 1990-1994, Estado de Guerrero, Tomo I y II,
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COSNET, (2004), Modelo de la Educación Superior Tecnológica, Editores e Impresores FOC,
Primera Edición, México D. F.
COSNET, (2004), Estructura del bachillerato tecnológico, Editores e Impresores FOC, Primera
Edición, México D. F.
COSNET, (2004), Reforma Curricular del bachillerato tecnológico. Programa de estudios.
Subsecretaría de Educación e investigación Tecnológica. SEP. Primera Edición, México D. F.
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ANEXO A
EXAMEN 1
1.- Traduzca al lenguaje ordinario lo que significan las siguientes expresiones y represéntelas en
la recta numérica:
a) 0 x 100, x b) l 5, l
2.- Traduzca al lenguaje de las desigualdades los intervalos de variación que aparecen dibujados a
continuación:
a) x b) y -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 2.1 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3.- Desde la superficie del piso se arroja hacia arriba un objeto y la altura que alcanza está
descrita por la fórmula:
d = 29t - 4.9t2
a) Identifique la variable dependiente y la variable independiente.
b) Escriba la fórmula de la función de modo que quede explícita la dependencia de d respecto de
t.
c) Haga una tabla de valores y en ella calcule los valores de d cuando t = 0, 0.5, 1, 1.5, ...
d) Dibuje la gráfica de la función.
e) Determine el dominio y la imagen de la función.
4.- Analice los siguientes conjuntos de pares ordenados y diga si representan funciones:
a) g = (1,1); (1, -1); (4, 2); (4, -2); ...; (r; r ) , r
b) h = (1,1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); ...; (r; r ), r
Argumente en cada caso sus respuestas.
5.- Exprese al área A de la superficie total de un tetraedro en función de la longitud variable de
sus aristas. ¿Qué cantidad de material se necesita para construir un tetraedro de cartón de 20 cm.
de arista? Siga el programa heurístico trabajado en clase:
LO DADO LO BUSCADO ESQUEMAS EJECUCION DE LA
ESTRATEGIA
FORMULA DE LA
FUNCION
100
100
EXAMEN 2
1.- Desde la cima de un risco de 45 m de altura es lanzada, hacia abajo, una piedra con una
velocidad de 5 m/s, pero por la fuerza gravitatoria su velocidad se aumenta 10 m/s por cada t
segundos (aproximadamente), de modo que su velocidad V está dada por la fórmula:
V(t) = 10t + 5, (t en segundos y V en m/s). Observe la gráfica.
60
50 V(t) = 10t + 5
40
V(t)
20
10
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo t en segundos
2.- La distancia que recorren los cuerpos en caída libre sobre la superficie de la luna, está dada
aproximadamente por la fórmula d(t) = t2 , en donde d está medida en metros y t en segundos.
Observa la gráfica. Supóngase que se deja caer un cuerpo en la superficie lunar desde una altura de 30
m.
30
25 d(t) = t2
20
d(t)
10
5
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo t en segundos
3.- El dibujo que abajo aparece lo hemos utilizado para representar la razón de cambio
instantánea (RCI) y las hemos definido como limd
tRCI
t
0
A) ¿ Cuál es la velocidad de la piedra en t = 2 seg.?__
B) ¿Cuánto cambia la velocidad de la piedra entre los
2 y 3 segundos_________
C) ¿Cuál es la aceleración promedio de la piedra de
los 2 a los 2.01 segundos?______
D) ¿Cuál es la aceleración instantánea de la piedra
exactamente a los 2 segundos?____
a) ¿Cuál es la distancia que ha recorrido el cuerpo a
los 3 segundos?__________________
b) ¿Qué distancia ha recorrido el cuerpo entre los 3 y
4 segundos?______________________
c) ¿Cuál será la velocidad promedio a la que se
desplaza el cuerpo entre los 3 y 3.01 seg. después de
su caída?________
d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo exactamente a los
3 segundos?____
101
101
d(t1+t) Q
d(t1) P
t1 t1 +t
A) ¿En qué punto del gráfico la fórmula mide la razón de
cambio instantánea?_________________
B) ¿Cuál es el significado del t0?
a) t 0 b) t = 0 c) t es infinitamente pequeño .
d) ninguno de los anteriores...
C) Supongamos que lim (d/t) = 5
t0
¿Cómo interpretaría esta igualdad?_____________
D) ¿En general qué significa para usted la razón de
cambio instantánea?_________________________
102
102
EXAMEN 3
1.- Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba y la altura d que alcanza está dada por la
fórmula:
d(t) = 160t -16t2 .
Calcule la velocidad instantánea que lleva al cohete a los 4 segundos utilizando el método
algebraico. [Recuerde que la velocidad v instantánea en t0 está dada por limd
tv t
t
00( ) ]
2.- Verifique el resultado que encontró anteriormente pero por el método de aproximaciones
numéricas. Para ello a continuación le sugiero una vía: A) ACERCAMIENTO POR LA DERECHA B) ACERCAMIENTO POR LA IZQUIERDA
Intervalo t d/t= [d(t0 + t)- d(t0 )]/t) Intervalo t d/t= [d(t0 + t)- d(t0 )]/t)
4t4.1 3.9t?
?t ? ?t ?
?t? ?t ?
C) CONCLUSION
3.- SUBRAYE la idea clave para calcular l a Razón de Cambio Instantánea en t0 :
a) Sólo por medio de acercamientos numéricos sucesivos a t0 .
b) Por medio del cálculo del cociente d/ t.
c) Buscar el tope o límite del cociente d/ t cuando d = 0.
d) Por medio de la búsqueda del tope o límite del cociente d/t cuando t es infinitamente
pequeño.
4.- Si la Razón de Cambio Instantánea en t0 = 2 de la función d(t) = 5t2 es:
limd
tm s
t
020 /
si d está en metros y t en segundos, cómo interpretaría usted esta expresión. SUBRAYE la que
considere es la interpretación correcta.
a) Muy cerca de t = 2 la RCI de d(t) es 20 m/s.
b) Muy cerca de t = 2 la RCI de d(t) es aproximadamente 20 m/s.
c) La RCI de d(t) en el punto t = 2 es exactamente 20m/s.
d) El tope o límite del cociente d/ t tanto por la derecha como por la izquierda cuando t tiende a 0 se
aproxima a 20 m/s.
103
103
EXAMEN 4
1.- El dibujo que aparece a continuación lo hemos usado para representar a la derivada de una
función que la hemos definido como:
limf x x f x
x
dy
dxx
0
( ) ( )
f(x)
f(x1 +x) Q
f(x1) P
x1 x1 +x
2.- Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba recorre una distancia h dada por la fórmula
h(t) = 34.3t- 4.9t .
a) Calcule la altura que alcanza el objeto a 3.5 segundos.
b) Use las aproximaciones numéricas y calcule la velocidad del objeto a los 3.5 segundos.
c) Obtenga la fórmula que dan las velocidades y aceleraciones instantáneas del objeto lanzado
utilizando los diferenciales. 3.- Utilice las fórmulas para derivadas y obtenga la ecuación de la tangente a la curva determinada por la
función:
f(x) = x3 - 6x2 + 9x
en el punto P(1,4). Haga la gráfica de f(x) y la de su tangente.
4.- Obtenga las derivadas de las siguientes funciones usando las fórmulas adecuadas.
a) f(x) = 1
3x3 - 2x2 + 4x - 3 b) A(r) = (2r2 + r)( + r) c) V l
l
l( )
1
1
5.- Explique ampliamente lo que usted entiende por derivada de una función:________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
A) ¿En qué punto del gráfico la fórmula mide la
razón de cambio instantánea?
a) en P b) en Q c) en P y Q d) en t
B) Cuando t 0, entonces:
a) P = Q b) P Q c) P está infinitamente cercano
a Q. d) P se aleja de Q.
C) Cuando t 0, ¿Qué pasa con el cociente f/ t?
a) Se anula b) Se hace muy grande c) Es un
infinitesimal d) Tiene por tope un número.
104
104
EXAMEN PRE-POST
1.- En el gráfico siguiente se muestra la variación de la temperatura de cierto volumen de agua
desde el estado sólido hasta que ebulle, par después enfriarse y estabilizarse a la temperatura
ambiental.
T 100
e
80
m 60
p. 40
20
C 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-20
Tiempo t en segundos
2.- Cuando se inyecta una medicina intramuscularmente, la concentración del medicamento en la
sangre tiene la curva de concentración que se muestra a continuación:.
0.06
0.05
Concentr. 0.04
mg/100ml 0.03
0.02
0.01
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo t en horas
3.- Dada la gráfica de cierta función f(x) contesta lo que se te pide:
5 y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
A) ¿En qué intervalo la variación de la temperatura
del agua es mayor:?
a) 0t2.5 b) 5t10 c) 20t40 d) 10t20
B) ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura no
experimentó variación?
a) 2.5t5 b) 5t10 c) 20t40 d) 10t20
C) ¿Qué fenómenos sucedió con mayor rapidez?
a) Calentamiento b) Enfriamiento c) Ninguno
D) Argumente su respuesta anterior____________
A) ¿En qué intervalo la rapidez con que crece la
concentración del medicamento en la sangre es
mayor?
a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7
B) ¿En qué intervalo la variación de la
concentración es positiva?
a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7
C) ¿En qué intervalos la variación de la
concentración es negativa?
a) 0t2 b) 2t4 c) 4t5 d) 5t7
D) ¿Hay algún intervalo donde no haya variación?
...Escríbalo____________
A) ¿En qué intervalo la variación es más brusca?
a) -4x-2 b) -2x4 c) 4x6 d) 6x8
B) ¿En qué intervalo la variación es positiva?
a) -4x-2 b) -2x3 c) 3x6 d) 6x8
C) ¿En qué intervalos la variación es negativa?
a) -4x-2 b) -2x3 c) 3x6 d) 6x8
D) ¿En qué puntos cambia de sentido la variación?
a) x = -3.8 b) x = -2 c) x = 2.9 d) x = 4
f(x)