Energía y presión electrostática en Energía y presión electrostática en sistemas de conductores
Antonio González FernándezDpto de Física Aplicada IIIDpto. de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
Sinopsis de la presentación
Las fórmulas para la energía electrostática pueden aplicarse a un sistema de conductores
La energía puede expresarse en función de los La energía puede expresarse en función de los coeficientes de capacidad
ez
El resultado puede interpretarse en términos del circuito equivalente
ález
Fer
nánd
e
La repulsión entre las cargas de un conductor produce una presión hacia el exterior
nton
io G
onzá produce una presión hacia el exterior
La presión permite calcular la fuerza neta sobre un
©20
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n
2
conductor
Energía electrostática en un sistema de cargascargas
Una distribución de cargas almacena una energía, igual al t b j i d i ltrabajo necesario para producirla
( )1 1 1' d dU q S= φ + σ φ + ρφ τ∑ ∫ ∫r
La energía electrostática es una función de estado: sólo
( ) d d2 2 2e i i sS V
i
U q S= φ + σ φ + ρφ τ∑ ∫ ∫r
ez
La energía electrostática es una función de estado: sólo depende de la configuración, no del proceso
L í ifi l i i i d i ió
ález
Fer
nánd
e La energía no verifica el principio de superposición, ya que
( ) ( ) ( ) ( )q σ ρφ = φ + φ + φr r r r
nton
io G
onzá
Puede calcularse a partir de la densidad de energía
21d dU E∫ ∫ 21
E 0U ≥
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3
20 d d
2e eU E u= ε τ = τ∫ ∫ 202eu E= ε 0eU ≥
Equilibrio electrostático en un sistema de conductoresconductores
Un conjunto de conductores d d cargados produce un campo
eléctrico entre ellosV1
Q2
Toda la carga de los conductores está en sus superficiesρ
ez
superficies
La superficie de cada conductor es equipotencial
V3
ρ
ález
Fer
nánd
e conductor es equipotencial
Los conductores puede estar aislados (Q cte ) o
Q4
nton
io G
onzá aislados (Q cte.) o
conectados a un generador (V cte.) pero no ambas
Cuando ρ = 0 todo el campo se debe a los conductores
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4
(V cte.) pero no ambas cosas a la vez.
se debe a los conductores
Energía de un sistema de conductores cargados (en ausencia de otras cargas)cargados (en ausencia de otras cargas)
La energía almacenada en un sistema de conductores
1∫
un sistema de conductores es la de una densidad σs
1 1∑∫ ∫1 1∑∫ ∫1 1∑∫ ∫1
d2e sS
U S∀
= σ φ∫1 1
d d2 2 i
e s s iS Si
U S S∀
= σ φ = σ φ∑∫ ∫1 1
d d2 2
1d
ie s s iS S
i
U S S
V S
∀= σ φ = σ φ =∑∫ ∫
∑ ∫
1 1d d
2 2
1d
1
is s iS S
ieU
QV
S S
V S
∀= σ φ φ == σ∑∫ ∫
∑ ∫ ∑
ez
Es similar a la energía de un conjunto de
d2 i
i s iSi
V S= σ∑ ∫ d2 2i
i isi
i iSi
QVV S= σ =∑ ∫ ∑
( )1'U q= φ∑ r
ález
Fer
nánd
e
g jcargas puntuales, pero para los conductores sí incluye la contribución del
i d t
( )2e i i
i
U q= φ∑ r
Para cargas puntuales
nton
io G
onzá propio conductor
Requiere conocer a la vez la carga y el potencial de cada d t l bli l l bl d l
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5
conductor, lo que obliga a resolver el problema del potencial
Los coeficientes de capacidad relacionan las cargas y los potencialeslas cargas y los potenciales
La carga de los conductores se relaciona linealmente con los potenciales (suponemos 0)potenciales (suponemos ρ = 0)
i ik kk
Q C V=∑En forma matricial
k
·=Q VC1 11 12 1 1NQ C C C V
Q C C C V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ez
Q2 21 22 2 2·NQ C C C V
Q C C C V
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Vector que contiene
Vector que contiene las
ález
Fer
nánd
e
1 2N N N NN NQ C C C V⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La matriz de coeficientes de capacidad
contiene las cargas tensiones
nton
io G
onzá
p
Depende sólo de la geometría del sistema
Es simétrica
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6
Es simétrica
Cumple que Cii > 0 y Cik ≤ 0 (i ≠ k)
Energía en función de los coeficientes de capacidad
11 1 ⎛ ⎞1 1 ⎛ ⎞1 1 1⎛ ⎞
capacidadSustituyendo en la expresión de la energía
1
2e i ii
U QV= ∑1 1
2 2e i i i ii i
k kk
VU QV V Q⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ ∑1 1
2 2e i i i ik ki i k
U QV V C V⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑,
1 1 1
2 2 2e i i i ik k ik i ki i k i k
U QV V C V C VV⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
Los dos sumatorios van de 1 a N Incluyen los casos i = k
11 12 1 1NC C C V⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Los dos sumatorios van de 1 a N. Incluyen los casos i = k.
En forma matricial
ez
( )
11 12 1 1
21 22 2 21 2
1 1 1· · · · ·
2 2 2
N
Ne N
C C C V
C C C VU V V V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
QV V VC
ález
Fer
nánd
e
1 2
2 2 2
N N NN NC C C V⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es una función cuadrática de los potenciales: a doble carga,
nton
io G
onzá
p g ,cuádruple energía
La condición de que U > 0 impone limitaciones adicionales a
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7
La condición de que Ue > 0 impone limitaciones adicionales a los valores de los Cik (p.ej )12 11 22C C C≥ −
Ejemplos: Una esfera; dos esferas concéntricasconcéntricas
En el caso de un solo conductor esféricoesférico
20
20
1 12
2 2eU QV CV RV= = = πε2 2
4 a ab ⎛ ⎞πεEn el caso de dos esferas concéntricas
ez
04 a ab
a bb a
−⎛ ⎞πε= ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
C
Vb ⎛ ⎞⎛ ⎞
ález
Fer
nánd
e
( ) 101 2
2
2
2
e
Va abU V V
Va bb a
b
− ⎛ ⎞⎛ ⎞πε= =⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠
nton
io G
onzá ( )2 2
10
1 2 2
22
baV aVV bV
b a
πε= − +
−2 b
©20
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n
8
( ) ( )( )201 2
22
20e
bU a V V b a V
b a
πε= − + − >
−Es siempre positiva
¿Qué ocurre si lo que se conoce es la carga de los conductores?de los conductores?
Si el dato es la carga, se usa la matriz inversa1−Q V V QC C 11 1
U −Q V Q QC1· ·= ⇒ =Q V V QC C 1· · ·2 2eU = =Q V Q QC
Para una sola esfera Si V = cte, Ue
2 2
0
1 1
2 2 8e
Q QU QV
C R= = =
πε
, e
aumenta con R
Si Q = cte, Ue
di i
ez
0
Para dos esferas concéntricas
disminuye con R
ález
Fer
nánd
e
1 1 / 1 /1
1 / 1 /4
a b
b b− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
C
nton
io G
onzá 0 1 / 1 /4 b bπε ⎝ ⎠
( ) 1 1 22
22
11 / 1 / 21 1Qa b Q Q Q Q
U Q Q⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
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9
( ) 1 21 2
2
20
1
01 / 1 /8 8e
Q Q Q QU Q Q
Qb b a b b= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Un ejemplo más complicado: problema 3.6
Tenemos una esfera con dos cavidades en la cuales hay cavidades, en la cuales hay sendas esferas.
Datos: V = V Q =0 V =0Datos: V1 = V0, Q2=0, V3=0
El sistema es
ez
El sistema es
( ) ( ) ( )1 0 0 2 0 2 0 3 0 02 0 4 4 2 0Q R V V R V V Q R V= πε − = πε − = πε −
ález
Fer
nánd
e
Y su solución0 0 0 0 0
1 2 3
3
2 4 2
V V RVQ V Q
πε πε= = = −
nton
io G
onzá 2 4 2
La energía almacenada en el sistema1 1 1 23 Vπε
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10
1 1 2
1 1
2 2eU QV Q= + 2 3 3
1
2V Q V+ 0 03
4
Vπε=
Si además de conductores hay distribuciones de carga se suman distribuciones de carga se suman
Si tenemos conductores en presencia de distribuciones de Qpresencia de distribuciones de carga, la energía total es V1
Q2
( )1 1∑ ∑ρ
( )1 1'
2 2
1 1d d
e i i i ii i
U q QV
S
= φ + +
φ φ
∑ ∑
∫ ∫
r
ez
V3
Q
d d2 2sS V
S+ σ φ + ρφ τ∫ ∫
ález
Fer
nánd
e Q4Superficies no
conductoras
0i i ik kk
Q Q C V= +∑
nton
io G
onzá
Las cargas de los conductores incluye las contribuciones de
El potencial φ incluye las contribuciones de los
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11
las cargas externas conductores
Energía almacenada en un condensador
Un condensador lo forman dos superficies en influencia total de modo queen influencia total, de modo que
L gí di t l
2 1Q Q= −
1 1U QV Q V ( )1 1 1 1U QV Q V QV Q V( )1 1 1U QV Q V Q V V( ) ( )21 1 1 1U QV Q V Q V V C V V
La energía correspondiente al condensador es
ez
1 1 2 22 2ecU QV Q V= + ( )1 1 2 2 1 1 1 22 2 2 2ecU QV Q V QV Q V= + = + −( )1 1 2 2 1 1 22 2 2ecU QV Q V Q V V= + = −( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 1 22 2 2 2ecU QV Q V Q V V C V V= + = − = −
Puede demostrarse que
ález
Fer
nánd
e Puede demostrarse que
( )2 21 2 0
1 1d
2 2 cecU C V V E
τ= − = ε τ∫ En el volumen del
condensador
nton
io G
onzá
Un condensador es un dispositivo que almacena energía eléctrica en el campo que contiene en su interior
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12
eléctrica en el campo que contiene en su interior
Esta fórmula permite calcular C
Energía en el circuito equivalente: suma de las energías de los condensadoresde las energías de los condensadores
Un sistema de conductores se puede modelar por un circuito puede modelar por un circuito equivalente
ik ik
ii ik
C C
C C
= −
=∑
ez
Operando en la ió d l í
k
ález
Fer
nánd
e expresión de la energía resulta ( )221 1 1
2 2 2e ik i k ii i ik i ki k i i k
U C VV C V C V V= = + −∑ ∑ ∑
nton
io G
onzá , ,2 2 2i k i i k
i k<
La energía total es la suma de las energías almacenadas en cada uno de los condensador del circuito equivalente
©20
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n
13( )2 2
0
1 1d
2 2 ne n n C
n n
U C V E= Δ = ε τ∑ ∑ ∫cada uno de los condensador del circuito equivalente
Ejemplo: un bloque cargado entre las placas de un condensador (3 18)placas de un condensador (3.18)
Tenemos tres conductores:
V1 = V0, Q2 = Q0, V3 = 0
El circuito equivalente está qformado por dos condensadores,
20
12 23
LC C C
b
ε= = =
ez
12 23 b a−una fuente de tensión V0 y una de carga Q0
ález
Fer
nánd
e
0 0 0 0 0 0Q CV V Q Q CVQ V Q
( ) ( )1 0 2 0 2 0 2 3 2Q C V V Q C V V CV Q CV= − = − + = −
nton
io G
onzá 0 0 0 0 0 0
1 2 32 2 2 2 2 2
Q Q QQ V Q
C= − + = + = − −
2 20 0 0 0 0 01 1Q CV V Q CV Q⎛ ⎞ ⎛ ⎞La energía
©20
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n
14
0 0 0 0 0 00 0
1 1
2 2 2 2 2 2 4 4e
Q CV V Q CV QU V Q
C C⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La energía almacenada
Las dos placas y el bloque: forma alternativa usando el campo eléctricoalternativa usando el campo eléctrico
Entre cada dos superficies planas hay un campo uniformeplanas hay un campo uniforme
12 12 23 23z zE E= =E u E u
L d d t 1 3 VLa d.d.p. entre 1 y 3 es V0
( ) ( )B
0 12 23A·dV E b a E b a= = − + −∫ E r
ez
2 2012 23·d
QE L E L= = − +∫ E S
La carga en el bloque es Q0
ález
Fer
nánd
e
212 23
0
dS
E L E L+ε ∫ E S
Resultan los camposQ V⎛ ⎞
La energía almacenada1 1∫ ∫
nton
io G
onzá
( )0 0
12 202 2 z
Q V
L b a
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠⎛ ⎞
E u
( )12 23
2 20 12 0 23
2 2 20
1 1d d
2 2e C CU E E
Q b a L V
= ε τ + ε τ =
− ε
∫ ∫
©20
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n
15( )0 0
23 202 2 z
Q V
L b a
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠
E u
( )( )
0 0 02
04 4
Q b a L V
L b a
ε= +
ε −
Fuerza sobre las cargas de un conductor: siempre hacia afuerasiempre hacia afuera
Sobre las cargas de la superficie de un conductor se ejerce una fuerza debido al conductor se ejerce una fuerza debido al resto de cargas del universo
d 'd q=F Edd qF E
Siempre apunta hacia el exterior del conductor
ez
conductor
Las cargas tienden a salir del material pero se lo impide la resistencia de éste (deben saltar una barrera de potencial
ález
Fer
nánd
e resistencia de éste (deben saltar una barrera de potencial para escapar)
El lt d l t i l tid t ió
nton
io G
onzá El resultado es que el material se ve sometido a una tensión
mecánica (presión)
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n
16
Si la densidad de carga es muy grande, pueden conseguir escapar e incluso romper el material
Relación entre la fuerza sobre dq y el campo en el conductorcampo en el conductor
( )La fuerza sobre el elemento de carga es
Para hallar E′ hay que descontar el campo de la propia
( )dd ' ds qd q S= = σ −F E E E
carga, Edq El campo total es nulo en el conductor
El campo E′ es continuo
ez 'σ
E E E
El campo Edq es simétrico
ález
Fer
nánd
e
2 d0
1 d
'
'
sq
q
σ= = +
ε
= = −
n E E E
0 E E E 0
'2
sσ=ε
E n
nton
io G
onzá
1 dq
La fuerza sobre el 2 2
d d ds sSσ σ
F S
σs produce la mitad del campo; el
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La fuerza sobre el elemento de carga es
0 0
d d d2 2
s sS= =ε ε
F n Sp ;
universo la otra mitad
Presión electrostática: da la proporcionalidad entre fuerza y superficieproporcionalidad entre fuerza y superficie
La fuerza sobre un elemento de superficie puede escribirsed dpF Sd dep=F S
La cantidad pe es la presión electrostática2
Establece que la fuerza
220
02 2s
ep Eε
= =εσ
ez
Establece que la fuerza
Va en la dirección y sentido de dS
N l
Depende cuadráticamente del campo o de la densidad
ález
Fer
nánd
e Normal
Hacia fuera del conductor
E á i t d d l l
del campo o de la densidad de carga
Equivale a la densidad de
nton
io G
onzá Es más intensa donde el campo en la
superficie, o σs, es mayorenergía eléctrica justo en la superficie del conductor
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18
La fuerza total sobre el conductor es
20
1d d
2eS Sp E= = ε∫ ∫F S S
Ejemplo de presión electrostática: una esfera cargadaesfera cargada
Para una esfera que almacena una carga Q2 2
24s
Q
Rσ =
π
2 2
2 40 02 32e
s Qp
R=
ε π εσ
=
Va como R-4. Si se reduce el radio a la mitad, la presión se lti li di i éi
ez
multiplica por dieciséis
Para 1μC en una esfera de 1cm, pe ~ 36000Pa ~ 0.35 atm
ález
Fer
nánd
e
Para un núcleo de Helio (Q = 2e,R ~10-14m), pe ~ 37×1027Pa
La fuerza sobre la esfera es nula F = 0 ya que dF tira por
nton
io G
onzá La fuerza sobre la esfera es nula, F = 0, ya que dF tira por
igual en todas direcciones
Si lo que se conoce es V R V 2 2E V
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19
Si lo que se conoce esla tensión V0
0 02 r r
r R
V R V
r R=
= =E u u2 2
0 0 022 2e
E Vp
R
ε ε= =
Ejemplo: el bloque entre las capas del condensadorcondensador
La presión a ambos lados del bloque central es ( )
2
20 0 0 021 12 2
Q Vp E
⎛ ⎞ε ε= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟bloque central es ( )21 12 2
0
2
20 0 0 0
2 2 2 2p E
L b a
Q VE
+⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠
⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟( )
20 0 0 023 23 2
02 2 2 2
Qp E
L b a= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠
ez
Las presiones son diferentes, por lo que se produce una fuerza neta sobre el bloque:
ález
Fer
nánd
e fuerza neta sobre el bloque:21 23
21 21 23 23
2 22 2
d dS S
p p
L Q V L Q V
= + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∫ ∫F S S
nton
io G
onzá
( ) ( )2 2
0 0 0 0 0 02 2
0 02 2 2 2 2 2z z
L Q V L Q V
L b a L b a
Q
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε= − − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε − ε −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
u u
©20
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n
20( )0 0
2 z
Q V
b a=
−u Si no hay carga en el bloque o no
hay d.d.p., la fuerza se anula
Ejemplo: deformación de una gota de agua en un campo externoagua en un campo externo
Una partícula esférica descargada inmersa en un campo uniforme inmersa en un campo uniforme adquiere una densidad de carga
Positiva hacia adonde apunta el Positiva hacia adonde apunta el campo
Negativa en el hemisferio opuesto
ez
g p
Nula en el “ecuador”
ález
Fer
nánd
e
La presión electrostática será máxima en los polos y nula en el ecuador
nton
io G
onzá La fuerza neta es nula, pero la esfera tiende
a alargarse en la dirección del campo
©20
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21
Un campo muy intenso puede romper la gota (pulverización electrostática)
Ejemplo: levitación eléctrica de una pequeña partícula conductorapequeña partícula conductora
Una partícula hemisférica de radio a reposa sobre un plano a tierraa reposa sobre un plano a tierra
Si se aplica un campo uniforme hacia arriba la partícula se carga hacia arriba, la partícula se carga positivamenteLa fuerza eléctrica sobre la partícula puede hacerla levitar
ez
3
0 2cos
aE r
r
⎛ ⎞φ = − − θ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 220 0 09
cos2 2e
E Ep
ε ε= = θ03 cos rr a=
= −∇φ = Ε θE u
La fuerza eléctrica sobre la partícula puede hacerla levitar
ález
Fer
nánd
e ⎝ ⎠
( )2 2 22 /29 9E E aπ πε πε⌠⎮∫ ∫
Integrando sobre la semiesfera (0 < φ <2π, 0< θ < π/2)
nton
io G
onzá ( )/2 2 20 0 0 0
00
9 9d cos sen d d
2 4e r z
E E ap a
πε πε= = θ θ θ ϕ =⌠⎮
⌡∫ ∫F S u u
Igualando al peso se halla el campo necesario
©20
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n
22
Igualando al peso se halla el campo necesario2 2
30 09 2
4 3 m
E aa g
πε π= ρ 0
0
8
27
MV0.7
mma g
Eρ
=ε
∼ Para una partícula de aluminio de Ø=1mm
Resumen de la presentación
Las fórmulas para la energía electrostática pueden aplicarse a un sistema de conductores
La energía puede expresarse en función de los La energía puede expresarse en función de los coeficientes de capacidad
ez
El resultado puede interpretarse en términos del circuito equivalente
ález
Fer
nánd
e
La repulsión entre las cargas de un conductor produce una presión hacia el exterior
nton
io G
onzá produce una presión hacia el exterior
La presión permite calcular la fuerza neta sobre un
©20
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n
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conductor
Sevilla, Diciembre de 2008