TRENES DE ENGRANES
Contenido:
1. Definiciones 2. Tipos de engranajes 3. Ecuaciones cinemáticas 4. Problemas
1. Definiciones
Un Engrane es un elemento de mecanismo cuya característica cinemática es
transmitir el movimiento por medio de contacto directo. Un Engranaje es un
mecanismo formado precisamente por engranes.
El diagrama cinemático de un engrane es por medio de un circulo que denota un
parámetro de su diseño llamado circulo de paso.
La forma mas simple de representar un engranaje es por medio de un elemento
impulsor y un impulsado como se muestra en siguiente figura.
Figura 1
Sea ri a el radio de giro del elemento inicial y rf al radio de giro del elemento final,
sea ωi la velocidad inicial en rpm y ωf la velocidad final en rpm, por la teoría de centros
instantáneos se puede concluir que la velocidad del centro común (punto de contacto) es
la misma, por lo tanto:
f
i
i
f
ffii
r
r
rr
=
=
ω
ω
ωω
Ahora se define como e a la relación del engranaje y es la relación entra la velocidad
angular de salida y la velocidad angular de entrada de modo que:
i
fe
ω
ω=
Si e < 1 entonces se dice que el engranaje es un reductor de velocidad, si e>1
entonces es un atenuador de velocidad y si e = 1 se dice que es un seguidor, por otro
lado, e además de tener un valor posee un signo que denota si el elemento final e inicial
giran con el mismo sentido (+) o en sentidos opuestos (-), para esto se debe establecer
además del valor de las velocidades angulares su sentido previamente establecido y que
por lo general es: positivo si gira a favor de las manecillas del reloj o negativo en caso
contrario.
Un estudio detallado de las ecuaciones que determinan las características de un
engrane y del engranaje y que esta fuera de este contexto, demuestra que la relación de
los radios además en función del número de dientes del engrane, de modo que:
f
i
f
i
N
N
r
r=
donde Ni es el número de dientes del engrane inicial y Nf es el número de dientes del
engrane final, la relación de velocidades angulares puede expresarse ahora en función
de la relación del número de dientes:
i
f
i
f
N
N=
ω
ω
El valor del tren ó relación del engranaje e puede encontrarse de las dos maneras, ya
sea en función de la relación de velocidades angulares o de la relación del número de
dientes:
i
f
i
f
N
Ne ±==
ω
ω
Note que aparece un signo ± antes de la relación del número de dientes, lo anterior
se debe a que el signo del valor del tren (relación del engranaje) e obteniéndolo partir de
la relación de velocidades angulares quedará definido ya que las velocidades por si
mismas poseen un signo establecido y que será positivo si el elemento gira a favor del
movimiento de las manecillas del reloj (fmr) y negativo si gira en contra (cmr).
Pero la relación del número de dientes no puede establecer por si sola el signo del
valor del tren ya N que es el número de dientes es un escalar. Por lo tanto, siempre que
se establezca la relación de número de dientes se tendrá que hacer un análisis visual del
engranaje y si se observa que el elemento inicial y final giran contrarios entonces se le
antepone un signo negativo, y si son de igual sentido se le antepone un positivo.
2. Tipos de engranajes
Resulta que un engranaje puede componerse de más de dos elementos, por lo tanto
dependiendo de la forma en que estos se conectan durante la transmisión del
movimiento se tiene la siguiente clasificación de los engranajes:
Compuestos
SimplessPlanetario
Compuestos
SimplessRecurrente
engranajes de Tipos
Engranajes recurrentes y planetarios
En los engranajes recurrentes las flechas que mueven a todos los engranes están
unidos siempre al eslabón fijo, mientras que en el planetario por lo menos uno de ellos esta
unido a un elemento móvil llamado brazo.
Figura 2
Como se muestra en la figura anterior en un engranaje planetario un elemento
llamado satélite es impulsado por otro llamado brazo a girar alrededor de otro llamado
engrane sol.
Engranajes simples y compuestos
Un engranaje simple se caracteriza por tener un solo engrane por flecha durante la
transmisión mientras que en un engranaje compuesto existe una flecha con más de dos
elementos que intervengan durante la transmisión.
En la siguientes figura se muestra un engranaje simple y uno compuesto. En el
engranaje compuesto se observa como el elemento 3 y 4 están unidos por una misma
flecha.
Figura 3
3. Ecuaciones cinemáticas
Las ecuaciones que determinan el comportamiento cinemático de los engranajes
dependen de las velocidades angulares, de los radios de giro y de los números de
dientes del cada elemento.
Engranajes recurrente simple.
El engranaje simple de la figura 3 se compone de 3 elementos, puesto que solo se
dispone de una ecuación que relaciona salida/entrada de dos elementos, si se desea
encontrar la relación salida/entrada se tendría
4
2
3
2
4
3
2
3
3
4
2
4
N
N
N
N
N
N
i
f+=
−
−=
==
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
En donde se puede observar que el elemento 3 no interviene en el análisis
cinemático y ha este engrane se lo conoce como engrane loco. Su función en este caso
fue invertir el sentido de la velocidad del engrane final.
Independientemente del número de engranes, en un engranaje simple la relación de
velocidades angulares quedará determinada en función de la relación del número de
dientes solo por el número de dientes del engrane final e inicial.
f
i
i
f
N
N±=
ω
ω
Engranajes recurrente compuesto.
El engranaje compuesto de la figura 3 se compone de 2 engranajes simples, el 2-3 y
el 3-4, de modo que ω3/ω2 = - N2/N3 y ω5/ω4 = - N5/N4, por lo tanto se tiene:
−=
−=
4
554
3
223 N
NN
Nωωωω
Puesto que ω3 = ω4 se tiene
53
42
2
4
NN
NN=
ω
ω
Se puede observar que si el elemento 2 se considera como un impulsor (entrada) y el
elemento 5 como un impulsado (salida) 3 y 4 pasan a ser impulsado e impulsor
respectivamente.
Por lo tanto en un engranaje compuesto la relación de velocidades angulares en
función de la relación del número de dientes quedará expresada como:
impulsados
impulsores
D
D
i
f
#
#
∏∏
±=ω
ω
donde Π #D impulsores denota la multiplicatoria del número de dientes de los
elementos impulores y Π #D impulsados denota la multiplicatoria del número de dientes de los elementos impulsados.
Los elementos impulsores e impulsados no son absolutos, es decir, en un engranaje
no se puede fijar cuales son los impulsores e impulsados, mas bien este depende el
análisis efectuado tomando los siguentes criterios:
a) Un elemento inicial siempre será un impulsor b) Un elemento final siempre será impulsado. c) Un elemento intermedio será impulsor e impulsado si es un engrane loco. d) Un elemento intermedio conectado a otro intermedio por medio de una
flecha uno de ellos será impulsor mientras que el otro será considerado
impulsado.
Engranajes planetarios simples y compuestos
Se puede hacer uso de las expresiones cinemáticas usadas en los engranajes
recurrentes para determinar la relación de las velocidades angulares con respecto a la
relación del número de dientes.
Puesto que en este caso existe un elemento móvil llamado brazo y en la cual el
elemento final e inicial están conectados, la relación de velocidades tendrá que ser
relativa al brazo, por lo tanto
simple) o(Planetari #
#
simple) o(Planetari
/
/
/
/
∏∏
±=
±=
impulsadosX
impulsoresX
N
N
D
D
brazoi
brazof
f
i
brazoi
brazof
ω
ω
ω
ω
donde ωf/brazo es la velocidad del engrane final relativa a la velocidad del brazo y ωi/brazo
es la velocidad del engrane inicial relativa a la velocidad del brazo, por lo tanto estas
ecuaciones pueden escribirse finalmente como
simple) o(Planetari #
#
simple) o(Planetari
∏∏
±=−
−
±=−
−
impulsadosX
impulsoresX
N
N
D
D
Brazoi
Brazof
f
i
Brazoi
Brazof
ωω
ωω
ωω
ωω
Es importante aclarar que en el caso de los planetarios el valor del tren no es la
relación de velocidades angulares relativas al brazo, es decir
Brazoi
Brazofe
ωω
ωω
−
−≠
Recurrente i
fe
ω
ω= Si es simple
f
i
N
N
Planetario Brazoi
Brazofe
ωω
ωω
−
−≠
= Si es compuesto
#
#
∏∏
impulsadosX
impulsoresX
D
D