115
6. SECCIÓN TRANSFORMADA Y FLEXIÓN ASIMÉTRICA 6.1. MÉTODO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA Es un método para analizar esfuerzos de flexión en una viga compuesta de varios materiales, el más común es el concreto reforzado, también se acostumbra reforzar vigas de madera con platinas. La teoría de la flexión se puede aplicar en forma directa a las vigas compuestas, debido a que se asume que el material es homogéneo y las deformaciones y esfuerzos varían proporcionalmente con la profundidad del eje neutro, solo es válido para materiales dentro del rango elástico-lineal. El método consiste en transformar toda la viga en un solo material homogéneo, si es concreto reforzado, se transforma el acero en concreto y si es madera reforzada, las platinas de acero se transforman en madera. Procedimiento: 1. El primer paso es transformar la sección transversal de una viga compuesta en una equivalente de una viga de un solo material. 2. Después se analiza la viga normalmente por flexión. 3. Por último, los esfuerzos en la sección transformada se convierten a los de la viga original. Se supone una viga hecha de dos materiales diferentes, el material (A) y el material (B).
El eje neutro EN de la sección transformada debe de localizarse en el mismo lugar de la viga original, y se encuentra a partir de la condición de equilibrio horizontal, la sumatoria de fuerzas horizontales resultantes en la sección que actúa en la sección transversal es cero.
∑ = 0HF
∫∫ =+B
bA A dAdA 0σσ
Reemplazando:
116
∫∫ ==AA x EkydAdA 0σ
∫∫ =+B
A BA ydAkEydAkE 0
Como la curvatura es igual en la sección transversal, la integral queda:
∫∫ =+B
A BA ydAEydAE 0
Las integrales representan el primer momento de área de la sección transversal con respecto al eje neutro, por lo tanto deben ser iguales. Si se define n como la razón modular:
A
B
E
En = Razón modular
Reemplazando, se observa que el eje neutro no cambia si cada elemento de área dA del elemento B, se multiplica por la razón modular.
∫∫ =+B
AnydAydA 0
La nueva sección transversal queda formada por dos áreas: 1. El Área (A) permanece igual 2. El Área (B) con el ancho b multiplicado por n.
En la Superficie de contacto.
y
z
1
2
3
b ε3
ε1
ε2
σA=EAε1
EN σB2
σB=EBε3
σA2 A
B
117
Si AB EE > , utilizando la ley de Hooke, en la superficie de contacto los esfuerzos son:
22 εσ AA E=
22 εσ BB E= La deformación en el nivel 2 es igual en los dos materiales, igualando la deformación:
B
B
A
A
EE22 σσ
=
Los esfuerzos en el material B en el nivel 2, son iguales a los esfuerzos en el material A multiplicado por n, en el nivel 2.
222 AAA
BB n
E
E σσσ ==
Los esfuerzos de flexión en la viga transformada, se calculan asumiendo que la relación momento curvatura, en la viga transformada, es igual que en la viga original. El par interno resistente en la sección es:
∫= ydAM xσ
∫ ∫+=A B xx ydAydAM σσ
∫∫ +=BBAA dAykEdAykEM 22
∫ dAy2 : La integral es el momento de inercia de área.
( )BBAABBAA IEIEkkIEkIEM +=+=
( )BBAA IEIE
Mk
+= Factorizo EA:
( )BAAB
A
BAA
nIIE
M
IE
EIE
Mk
+=
+
=
Se sabe que Ekyx =σ , se igualan las curvaturas:
( ) yEnIIE
M
A
A
BAA
σ=
+
ynII
M
BAA +
=σ
118
TA I
My=σ Esfuerzos de flexión en el material (A).
BB
AABAT I
E
EInIII +=+= : Momento de inercia de la sección transformada.
Los Esfuerzos en el material (A) de la viga original son los mismos que en la parte correspondiente de la viga transformada. Mientras que en la viga original con material (B), los esfuerzos son diferentes de los de la viga transformada.
BBAA
BB IEIE
MyE
+=σ
Esfuerzos en el material (B) de la sección transformada.
nI
My
TB =σ
PROBLEMA 6.1: La viga solera de 3”X6”mostrada esta reforzada con una platina de ½”. Calcular Tσ y maxcσ en la madera y la platina, si mkNM actuante .20=
maxσ .en el acero GPaEm 10= GPaEa 200=
Razón modular: 2010
200 ===m
a
E
En
Ancho de la sección transformada pgbT 6020*3 ==
Eje neutro: ( ) ( )
cmpgAi
Aiyy 73.347.1
)5.0(60)3(6
5.0)(6025.03)(65.3 ==+
+==∑∑
119
Inercia de la sección trasformada: Se calcula por el teorema de los ejes paralelos
2323 )25.047.1(*5.0*60)5.0)(60(12
1)47.15.3(*6*36*3
12
1 −++−+=TI
454 10*2197.745.173 mpgI T
−== Esfuerzos normales en la madera.
( )
( ))(81.6
10*2197.7
0127.00373.010*20
)(4.3510*2197.7
0373.01651.010*20
5
3
5
3
4
TensiónMPa
CompresiónMPa
mB
m
=−=
−=−−=
−
−
σ
σ
Esfuerzos normales en el acero.
)(29.13620*10*2197.7
)0127.00373.0(*10*20
)(66.20620*10*2197.7
0373.0*10*20
5
3
5
3
TensiónMPa
TensiónMPa
aB
aC
=−=
==
−
−
σ
σ
6.2. VIGAS DE CONCRETO REFORZADO – MÉTODO ELÁSTICO El concreto es un excelente material de construcción, no se oxida, no es combustible, ni se pudre. Tiene buena resistencia a la compresión, pero la resistencia a la tensión es prácticamente nula. Por esto la parte del elemento estructural que trabaja en tensión se refuerza con varillas longitudinales de acero. Lo ideal sería que estas barras siguieran los esfuerzos de tensión, pero en la practica se colocan en una o varias capas. Existe una fuerte adherencia entre el cemento y el acero, lo cual se mejora con las varillas corrugadas y en vigas largas se genera suficiente fricción para evitar el deslizamiento, pero en vigas cortas se necesita el uso de ganchos. A demás el acero y concreto poseen un coeficiente de dilatación térmica Tα similar. Se supone que el acero soporta la tensión total y está sometido a un esfuerzo uniforme, como si toda la sección estuviera a igual distancia del eje neutro, y que la línea de acción de la resultante de tensión pasa por el centro del refuerzo. En el concreto se supone que los esfuerzos varían linealmente con la distancia al eje neutro y la resultante de fuerzas pasa por el centroide del triangulo de esfuerzos de compresión.
120
d : Altura útil: distancia desde la fibra mas comprimida al centro de gravedad del área de refuerzo. k : Constante menor que la unidad que multiplicada por la altura útil, equivale a la profundidad del eje neutro EN j : Constante menor que la unidad, que multiplicada por la altura útil o efectiva (jd) fc = 0.45f’c Esfuerzo máximo admisible del concreto en compresión método elástico f’c: Esfuerzo máximo de compresión As: Área del acero de refuerzo fs : Esfuerzo máximo admisible o de trabajo del acero a tracción. C: Resultante de fuerza en compresión T. Resultante de fuerza en tensión. a : recubrimiento 4 cm<a<7.5cm (NSR – 10) Sección transformada con refuerzo inferior
yI
Mfc =
esfuerzo el calcula se donde hasta E.N. el desde Distancia :y
ansformadaseccion tr la de Inercia :I
seccion laen actuante Momento :M
compresion o tension de Esfuerzo:
E.N. delPosicion :kd
if
121
At: Área transformada teórica. Si se supone que la deformación en el acero es igual a la del concreto equivalente, se tiene:
)1( ts εε =
eequivalent concreto elen n Deformacio :
acero elen n Deformacio :
t
s
εε
De la ley de Hooke:
)3( y (2) tctsss EfEf εε ==
Reemplazando (2) y (3) en (1)
c
t
s
s
E
f
E
f =
n
ffnff
E
Ef s
tttc
ss === ó
De igual forma la tensión en el acero debe ser igual a la tensión en el área de concreto equivalente.
ts TT =
eequivalent concreto elen Tension :
acero elen :
t
s
T
TensionT
ttss fAfA =
ts
ts A
f
fA = st nAA = acero de ada transformArea=tA
Tomando el primer momento de área respecto a la posición del E.N. de la sección transformada agrietada, se obtiene: ∑ = 0
ENQ
( )kddnAkd
bkd s −=2
( )0
2
2
=−+ dnAkdnAkd
b ss
La anterior ecuación da la posición del eje neutro. El momento de inercia de la sección transformada respecto al E.N. es:
122
tensiona resistente Momento :
compresion a resistente Momento :
acero elen tension a Esfuerzo :
concreto. elen compresion Esfuerzo :
s
c
s
c
M
M
f
f
mpafa
Mpacf
mmd
cmocubrimient
n
mmAa
mmh
mmb
200
21
500
5Re
8
1500
550
300
2
==′
==
==
==
( ) ( )23
3kddnAI
kdbI sAEN t
−++=
( ) compresión a concreto del Inercia :
3
3kdbrespecto al eje neutro.
eje propiosu a respecto concreto de eequivalentsección la de Inercia :tAI
Una vez encontrada la posición del E.N. y la inercia, se procede a calcular los esfuerzos o momentos resistentes:
kd
If
I
Mf ENc
EN
cc == cM kd
( )
n
f
I
kddMf s
ENt =−= tf pero
( )
EN
ss I
kddnMf
−=
( )kddn
If ENs
−=sM
PROBLEMA 6.2: Calcular los esfuerzos, máximos en el concreto y acero si el momento flexionante máximo Mmax=70 kN.m
Eje neutro
123
445.0445164.3
1500
3
1
164.0164
0500.1500.81500)(2
300
0)(2
2
2
==−=−=
==
=−+
=−+
mmkddjd
mmmkd
kdkd
nAadAakdkdb
MPakdI
Mfc
MPajdAa
Mfa
MPajdbkd
Mfc
EN
39.6164.0*10*796.1
10*70
105445.0*1500
10*70
)(
39.6445.0*164.0*3.0
10*70*2
))((
2
3
3
3
3
===
===
===
−
43
4923
10*796.1
10*796.1)164500(*1500*83
)164(300
mI
mmI
EN
EN
−=
=−+=
PROBLEMA 6.3: Calcular los momentos resistentes positivos para una viga T con una luz de 7.0 m, bajo una carga uniformemente distribuida usando la sección transformada agrietada. Se tiene ,21, MPacf = fc=0.45f´c, MPafy 420 = , fs = 170 MPa, 200 GPaEs = . Se supone que la
viga forma parte de una luz interior y no sostiene muros.
1. Sección Transformada agrietada Se asume inicialmente que el E.N. queda localizado dentro del ala.
124
( )0
2
2
=+− kdnAdnAkd
b ss
b = 0.90m
( ) ( )[ ] 205.25887.3*210.5*3*2.11 cmnAA st =+==
Altura efectiva: (d)
( ) ( )( ) ( )87.3*210.5*3
19.10*87.3*227.5*10.5*3
++=′= dy
cmcmy 0.792.6 ≈=
mdhd 43.007.050.0 =−=′−=
( ) ( )
( )
cmkdcmkd
kdkd
kdkd
83.18 10.13
015.1109605.25845
005.25843*05.2582
90
21
2
2
−==
=−+
=+−
Como 10.131 cmkd = > 10cm; el centroide cae dentro del alma.
Tomando el primer momento de área respecto a la posición del eje neutro, o igualando los primeros momentos de área por arriba y por abajo del eje neutro, se tiene:
125
( ) ( ) ( ) ( )kdkd
kdkd −=−−+− 43*05.2582
1010*205*10*90
( ) kdkdkdkd 05.25815.110961000200104500900 2 −=+−+−
( ) 015.1459605.95810 2 =−+ kdkd
cmkd 4.131 = cmkd 2.1092 −= Se calcula el momento de inercia de la sección transformada agrietada respecto al eje neutro.
2
32
3
6.29*05.2583
4.3*204.8*10*90
12
10*90 ++++=tAEN II
La inercia de
tAI , sección de acero transformada en concreto respecto a su propio eje,
generalmente se desprecia, pero se calculara a manera de ejemplo.
cmd
Ab
bar
tt 9.106
5
2*22.23*54.205.258 =
+==
cmht 414.2=
23
32.12512
414.2*9.106cmI
tA ==
2. Los momentos resistentes serán: Momento resistente admisible en el concreto:
ENc I
Mkdf =
126
mkNkd
IfM ENc
c .9.210134.0
10*975.2*10*5.9 36
===−
Momento resistente admisible en el acero
( ) ( )
( )
( ) mkNkddn
IfM
I
kddMnf
I
kddM
n
f
I
kddMf
ENss
ENs
EN
s
ENt
.5.152296.0*2.11
10*2975*10*170
.
36
==−
=
−=
−==−=
−
3. Carga admisible para una luz interior.
16
2nu
u
lwM =
2
3
2 7
10*5.152*1616 ==n
uu
l
Mw
mkNwu 8.49=
4. Esfuerzos de trabajo
MPaf s 170=
MPakdd
kd
n
ff s
c 84.6134.043.0
134.0
2.11
170 =−
=−
=
PROBLEMA 6.4: Para la viga cajón mostrada hallar los momentos resistentes en la sección, si
,21, MPacf = fc=0.45f´c, MPafy 420 = , fs = 170 MPa,. La viga forma parte de una luz interior de 8.0 m que soporta una carga uniformemente distribuida 50 kN/m. Calcular también
los momentos de agrietamiento, el modulo de rotura es cf ′= λ62.0f R y el momento de
agrietamiento es t
gR
y
If=CRM , según el C.9.5.2.3 del NSR-10.
Donde:
nto.agrietamie de Momento :M
.en tension admisible esfuerzo o concreto del rotura de Modulo:f
tension.la calcula se donde fibra la hasta neutro eje el desde medida Distancia :y
bruta. o talseccion to la de inercia de Momento :
CR
R
t
gI
127
1. Posición del eje neutro de la sección no agrietada.
( ) ( ) ( )( ) ( )20.0*20.060.0*40.0
45.0*30.0*40.020.0*10.0*20.0*205.0*10.0*40.0
−++=Y
cmY 32.0=
2. Inercia bruta
128
43
23333
10*587.6
27.0*1.0*20.012
10.0*20.0
3
02.0*20.0
3
32.0*10.0*2
3
28.0*40.0
mI
I
g
gEN
−=
++++=
3. Modulo de rotura
MPaf R 84.221*1*62.0 ==
4. El momento de agrietamiento es:
mkNMcr
mkNMcr
apoyos
CL
.84.6628.0
10*587.6*10*84.2
.48.5832.0
10*587.6*10*84.2
36
36
==
==
−
−
5. Para una carga w = 50 kN/m, hallar el esfuerzo producido en el centro de la luz y en los apoyos.
tg
yI
Mf =
5.1 Momento en el centro de la luz.
72.910*587.6
32.0*10*200
.20016
8*10*50
16
ln
3
3
232
MPaf
mkNw
M
CL
CL
==
===
−
Hay agrietamiento
5.2 Momento en los apoyos.
Hay agrietamiento
6. Momentos resistentes positivos usando sección transformada agrietada. 6.1 Primer momento de área respecto a la posición del E.N. Se asume que el E.N. queda por encima del hueco.
MPaf
mkNw
M
apoyos
apoyos
37.1210*587.6
28.0*10*9.290
.9.29011
8*10*50
11
ln
3
3
232
==
−==−=
−
129
248.22810.5*4*2.11 cmAt ==
)55(*48.2282
**40 kdkd
kd −=
04.1256648.228)(20 2 =−+ kdkd
cmkd
cmkd
4.31
0.20
2
1
−==
Como cmkd 0.201 = , el E.N. queda por encima del hueco. 6.2 Inercia
( )23
2055*48.2283120*40 −++= AtEN II
cmd
Atb
bart 95.89
54.2
48.228 ===
43
84.12212
54.2*95.89cmI At ==
434 10*867.351.386677 mcmI EN−==
6.3 Momento resistente admisible en el concreto.
( ) ( ) mkNkddn
IfM ENc
c .7.18320.02.11
10*867.3*10*5.9 36
==−
=−
130
6.3 Momento resistente admisible en el acero.
( ) ( ) mkNkddn
IfM ENs
s .7.16720.055.02.11
10*3867*10*170 36
=−
=−
=−
7. Carga admisible
mkNM
w /93.418
7.167*16
ln
1622
===
8. Esfuerzo de trabajo.
Mpakdd
kd
n
fsf
Mpaf
c
s
67.820.055.0
20.0
2.11
170
170
=−
=−
=
=
Sección transformada con refuerzo a la compresión Cuando el acero está en la zona de compresión o la zona de tensión no agrietada, se transforma con nAs, esto desplaza un área de concreto igual a As. Como resultado, el acero en compresión es transformado en un área de concreto equivalente a (n-1)A´s.
Cuando se usa el diseño por esfuerzos de trabajo, el área del concreto a la compresión se toma como dos veces el área de refuerzo en compresión, siempre que el esfuerzo de compresión resultante en el área, no sea mayor que el admisible que en tracción, ya que refleja el efecto del creep sobre los esfuerzos. Con esto se pretende recuperar las características de elasticidad, ya que a mayor deformación, el acero y el concreto pierden la elasticidad,
1)A´s(2nA´s2nA´sA´t −=−=
131
Se toma ∑ = 0ENQ
[ ] [ ] 0nAsd1)A´sd´(2nkdnAs1)A´s(2n2
2b(kd)
0nAskdnAsd1)A´sd´(2n1)A´skd(2n2
2b(kd)
kd)nAs(dd´)1)A´s(kd(2n2
2b(kd)
=+−−+−+
=+−−−−+
−=−−+
El Momento de inercia respecto al EN de la sección transformada es:
2kd)(dtAAtI2d´)A´t(kdtA´I3
3b(kd)ENI −++−++=
PROBLEMA 6.5: Calcular la inercia de la Sección transformada no agrietada para la viga mostrada. GPa 200Es MPa, 21f´c ==
Modulo de elasticidad del concreto, MPa17872213900Ec ==
Razón modular 11.217.87GPa
200GPa
Ec
Esn ===
El concreto que reemplaza el acero, toma los esfuerzos y como la sección no se ha agrietado; el esfuerzo de tensión en el concreto no ha excedido el modulo de rotura fr. El área transformada para ambas capas de acero es 1)As(n − .
Acero superior: 2cm78.952)*(3.87*1)(11.2 =−
132
Acero inferior: (11.2-1) * (3.87*4) = 157.9 2cm Localización del centroide.
cm 29Y157.978.9560*30
5*157.955*78.9530*60*30Y
iAiAiy
Y
0iAiy
=++
++=
∑
∑=
∑ =
Momento de inercia de la sección no agrietada: Concreto:
4cm5418002(1)*60*3012
360*30cI =+=
Acero superior:
426.71cm2*64
4πd
nI ==
cm35.562.22
78.95
bard
1)A´s-(nb ===
453402.42cm5337032.42A´sI
278.95(26)12
32.22*35.56A´sI
=+=
+=
Generalmente se desprecia la inercia del acero respecto a su propio eje, por ser mucho menor que la inercia producida por la diferencia entre el eje centroidal de las varillas y el de la sección transformada. Acero Inferior:
4cm53.414*64
4π(2.22)
nI ==
133
cm71.132.22
157.9b ==
4m686206.42cAsIA´sIIcIg
491004cm90950.464.8525)-(29*157.912
32.22*71.13AsI
=++=
=+=+=
PROBLEMA 6.6: Encontrar la inercia de la sección transformada agrietada Icr del problema anterior. Se asume que el eje neutro esta más abajo que el acero de compresión.
Acero superior: 2cm165.642)*(3.87*1)11.2*(2 A´s =−=
Acero inferior: 2cm173.383.87*4*11.2As == Localización del centroide: Se toma el primer momento de área respecto al EN
Parte Área ]2[cm [ ]cmy ]3cm[yA
Zona de compresión 30 c kd/2 15(kd)2
Acero Superior 165.64 kd - 5 165.64kd – 828.18
Acero Inferior 173.38 kd -55 173.38kd - 9535.9
∑ =−+= 010364.1339.02kd215kd0yA
0.31555
17.31
d
ckkdc
39.91cm2k17.31cm1
====
−== dkd
Momento de Inercia: Concreto:
134
4cm518673
317.31*30Ic ==
Acero superior:
4cm25100.4425)(17.31*165.64A´sI =−=
Acero Inferior:
4m246292.55c217.31)(55*173.38AsI =−=
4cm323259.9Icr = La inercia de la sección agrietada es el 47% de la no agrietada y el 59% de la de concreto. 6.3. VIGAS DOBLEMENTE SIMÉTRICAS CON CARGAS INCLINA DAS Suposiciones: Los planos xy y xz son planos de simetría. La carga inclinada pasa por el centroide de la sección transversal para que no haya torsión. Convención: Los Momentos son positivos cuando los vectores señalan en las direcciones positivas de los ejes coordenados y por la regla de la mano derecha en sentido contrario a las manecillas del reloj.
yIz
Mzz
Iy
MyAPto x +−=σ:.
yIz
Mzz
Iy
MyxBPto ++=σ:.
yIz
Mzz
Iy
MyxCPto −−=σ.
yIz
Mzz
Iy
MyxDPto −+=σ:.
Relación entre el eje neutro y la inclinación de las cargas.
135
Esfuerzos en el punto A:
yI
Mz
I
M
z
z
y
yx −=σ
En el E.N. los esfuerzos son cero. 0=Xσ
0=− yI
Mz
I
M
Z
Z
y
y
yz
zy
IM
IM
z
y ==βtan (1) Angulo entre el Eje neutro y el eje z.
)(cos )( XLPMXLPsenM zy −=−= θθ
(1)en (2) )2( tanθ=Z
Y
M
M
θβ tantanY
Z
I
I=
El eje neutro no es perpendicular al plano longitudinal que contiene la carga P. Hay tres excepciones a esta regla: La carga se encuentra en el plano xy ( º180 ó 0=θ ), por lo tanto el eje z es el E.N La carga se encuentra en el plano xz ( º90±=θ ), el eje y es el E.N Cuando Zy II = , todos los ejes que pasan por el centroide son ejes principales y el eje neutro
siempre es perpendicular al plano de carga
136
L=3m
P=100kN
X=1,0
θ=60°
x
PROBLEMA 6.7: Calcular los esfuerzos a una distancia x=1.0 desde el empotramiento en los puntos A y C y la localización del eje neutro.
( ) ( ) kNmxLPM z 1001360cos10060cos =−=−=
( ) ( ) kNmsenxLPsenM y 2,173136010060 =−=−=
MPaA 1,15
12
5,03,0
25,0100
12
3,05,0
15,02,17333
−=××+
××−=σ
MPaC 1,31
12
3,05,0
15,02,173
12
5,03,0
25,010033
−=××−
××−=σ
11,48
10012
3,05,0
2,17312
5,03,0
tan3
3
=××
××
==zy
yz
MI
MIβ °= 94,31β
6.4. FLEXIÓN DE VIGAS ASIMÉTRICAS La sección transversal es asimétrica y se supone que la viga esta en flexión pura. Se parte de un eje neutro supuesto y se halla el momento flexionarte asociado
0,3m
0,5m
60°
B
C D
A
P Pcos60=50kN
Psen60=86.6kN
y
z
y
z
B
C D
A
My
Mz
137
Se supone que Z es el E.N. El Signo (-) es cuando la parte por encima del eje Z está en comprensión cuando la curvatura es (+) plano flexión xy
YEkyx =σ
La Fuerza resultante sobre la sección transversal es cero porque está en flexión pura.
∫ ∫ ==A A
yx ydAEkdA 0σ
E y k son constantes en toda la longitud.
Como ,0=∫ ydAA
el eje Z pasa por el centroide de la sección transversal.
Se supone que eje Y es el Eje neutro (EN)
zEkzx =σ
∫∫ ==A
z
A
x zdAEkdA 0σ
Como ∫ =A
zdA 0. El eje Y pasa por el centroide.
El origen de los ejes Z y Y para una viga asimétrica se localiza en el centroide. Una viga asimétrica se flexiona de la misma manera que una viga simétrica si el eje Z es un eje centroidal principal y el único momento flexionante es zM Suponiendo flexión alrededor del eje Z y Y, los momentos flexionantes son:
∫ ∫ ===A A
zyyxz EIkdAyEkydAM 2σ
138
∫ ∫ ===A
yzzxy EIkdAzEkZdAM 2σ
Cuando una viga asimétrica está en flexión pura, el plano del momento es perpendicular al EN si los ejes Y y Z son ejes centroidales principales. PROBLEMA 6.8: Una viga canal C10 X 15.3 está bajo un momento M=15 kips.pg, inclinado
º10=θ Respecto al eje Z. Calcular Aσ y Bσ y la posición del E.N. Ejes centroidales principales
4
4
4.67
28.2
pgI
pgI
Z
y
=
=
C = 0.634 pg Localización punto A.
pgZpgY AA 966.1634.06.2 0.5 =−== Ancho patín o aleta = 2.6 Localización punto B.
pgpgY BB 634.0 Z50 == Momentos Flexionantes
−
−=−−=
===
===
0.5*4.67
8.14966.1*
28.2
6.2
.8.1410cos*15cos
.6.210*15
AZ
ZA
y
yA
Z
y
YI
MZ
I
M
pgkipsMM
pgkipssenMsenM
σ
θθ
psiA 3340−=σ
psiYI
MZ
I
MB
z
zB
y
yB .18210.5*
4.67
8.14634.0*
28.2
6.2 =
+
=+=σ
psiB 1821=σ Eje neutro
21.510tan28.2
4.67tantan === θβ
y
z
I
Iº
º14.79=β
139
6.5. CENTRO DE CORTANTE Para determinar los esfuerzos cortantes cuando las fuerzas laterales actúan en un plano que no es de simetría, deben actuar en un punto llamado centro de cortante para que la viga se flexione sin torsión. La resultante de esfuerzos cortantes producidos por la carga P, tiene línea de acción a través del punto s.
Suponiendo que el eje Z sea el E.N. eje de flexión, la carga aplicada en el extremo de la viga debe pasar por el centro de cortante s para que la flexión ocurra con el eje Z como E.N y no se genere un par torsor y por lo tanto alabeo en la viga. El Centro de cortante al igual que el centroide se encuentra sobre un eje de simetría, por lo tanto en una sección doblemente simétrica coinciden.
El esfuerzo cortante es ∫=s
0
ydA tI
V
z
yτ . La integral es el momento estático respecto al eje Z del
área. El Esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Y
z
zyy
z
zyy I
QVtf
tI
QV=== ττ
El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Z
y
yZz
y
yzz I
QVtf
tI
QV=== ττ
Para sección transversal asimétrica
140
° Y y Z son ejes principales ° La carga P actúa en el centro de cortante s, y
se descomponen en Py y Pz ° La flexión ocurre alrededor de los ejes Y y Z.. ° S se localiza sobre los ejes principales. ° Se localiza el centroide y ejes principales. ° Se descompone la carga que actúa en s y se
determinan los momentos. ° Se calculan los esfuerzos de flexión Los esfuerzos cortantes están a lo largo de la línea central de la sección transversal y paralelos al borde de la sección, de intensidad constante en el espesor t, tf z τ= flujo de cortante. A continuación se presentan algunos centros de cortante:
++++
−+
=
2
2111
2
211
3
421
2
32
3
41
21
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
b
e
+−++
−+
=
2
2111
2
211
3
421
2
32
3
41
21
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
b
e
bb
t
ht
b
bb
b
b
e
f
w
<++
−= 1
1
2
21
;
3
22
1
141
1
31
2
211
1
2
21
31
23
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
h
e
+−+
−=
( )θθθθθθ
cos
cos2
sen
sen
R
e
−−=
ππ
θ /4 2
==R
eand
+
+++
−
+•+
+++=
R
b
R
b
R
bb
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
bb
R
e
1
3
11
3
1
2
11
2
1
34123
4312612
π
ππ
Para 01 =b
R
bR
b
R
b
R
e
4
2242
+
++=
π
π
Para 0=b ; 2
11
3
1
2
11
121243
24
++
+
++
=
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
e
π
ππ
PROBLEMA 6.9: Una correa en C de una cubierta esta simplemente apoyada sobre los nudos de un par de cerchas. Las correas en C están simplemente apoyadas para efectos de flexión en una luz de L = 2.0 m. Hay restricción a la torsión en los apoyos. Las cargas sobre la cubierta son: Carga muerta Teja de barro 0.80 kN/m2 Teja de asbesto 0.15 kN/m2
Panel Yeso 0.20 kN/m2 Sobrecargas 0.15 kN/m2 Total 1.5 kN/m2
142
Carga Viva de cubierta 0.50 kN/m2
Carga de Viento 0.50 kN/m2 w = D+ L +W = 2.5 kN/m2. 1. Determinar las propiedades inerciales de la sección Ix, Iy, Ixy, J, centro de cortante s,
centroide c y ejes principales. 2. Para las cargas indicadas, hacer los diagramas de M, V, T de la correa. Los momentos con
ejes principales y torque con centroides. 3. Hallar los esfuerzos normales y cortantes máximos. 4. Los factores de seguridad para el rango elástico. σy = 345 MPa, τy = 192 MPa
1. Propiedades de la sección
º03.146
5.1tan
1
=
=−
α
143
1.1 Centroide y primer momento de área
Sección A [mm2] Z [mm] Y [mm] AZ [mm3] AY [mm3] I 141 26.5 1.5 3736.5 211.5 II 141 26.5 98.5 3736.5 13888.5 III 300 1.5 50 450 15000
582 7923 29100
mmAi
Aiixez 61.13
*==
∑∑
mmAi
Aiiyey 50
*==
∑∑
1.2 Primer momento de área respecto a ejes centroidales.
5.105885.48*3*4725*3*50* =+== ∑ AiixQ z mm3
7.39723*2
)361.13(*2)5.161.13(*3*100*
2
=−+−== ∑ AiixQ y mm3
1.3 Inercias respecto a ejes centroidales.
144
423
23
43
23
02.762.392)5.161.13(*100*312
100*3)61.135.26(*3*47
12
47*3*2
546.91312
100*3)5.150(*3*47
12
3*47*2
mmI
mmI
y
z
=−++
−+=
=+
−+=
Debido a que hay un eje de simetría Ixy = 0 1.4 Momento Polar en sección abierta de pared delgada.
∑=n
iii hbCJ 3*
3
1
( ) 433 14763*1003*47*2*0.1*3
1mmJ =+=
1.4 Centro de Cortante
mmb
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
e 05.185.48*
5.48*3
1002
1
3
421
2
32
3
41
21
2
2111
2
211
=+
=
+−++
−+
=
2. La carga sobre la correa es:
mkNLaferenteww 75.35.1*5.2* ===
La carga actúa en el centro del cortante.
145
8
2
max
wLM =
mkNSenwSenw z /91.003.14*75.3 === α
mkNCoswCosw y /64.303.14*75.3 === α
2.1 El diagrama de momento tiene dos componentes y el máximo se presenta en el centro de la luz.
mkNLw
M yz .82.1
8
264.3
8
22
=∗==
mkNLw
M y .46.08
2z ==
2.2 Los diagramas de cortante son:
kNLw
V
kNLw
V
z
y
91.02
64.32
z
y
==
==
2.3 Diagrama de torsión. Se pasa la carga distribuida wy del centro de cortante al centroide, la distancia entre c y s es: d = e + ez - 1.5 mm = 18.05 + 13.61 -1.5 = 30.16 mm El torque distribuido o por unidad de longitud es: t = 3.64 kN.m * 0.03016 m = 0.11 kN.m/m. Las reacciones en los extremos son:
mkNLt
TT BA .11.02
2 *11.0
2
* ====
Se hace un corte a una distancia x.
∑ = 0T
T(x) = 0.11x - 0.11
146
3. Esfuerzos
Localización del EN.
º17.30
58.003.14tan02.392762
913546tantan
=
===
β
αβy
z
I
I
Los esfuerzos máximos de flexión suceden en el centro de la viga. El máximo esfuerzo de compresión ocurre en la esquina superior derecha y de tensión en la inferior izquierda.
MPayI
Mz
I
M
z
z
y
yx 55.115
10*13546.9
050.0*82.1
10*92762.3
01361.0*46.077
=+=+= −−σ
MPayI
Mz
I
M
z
z
y
yx 23.142
10*13546.9
050.0*82.1
10*92762.3
)01361.0050.0(*46.077
−=−−−=−−= −−σ
Esfuerzos cortantes producidos por la fuerza cortante. El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Y
147
MPatI
QV
z
zyy 06.14
003.0*10*13546.9
10*5885.10*64.3
7
6
=== −
−
τ
El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Z
MPatI
QV
y
yzz 93.2
003.0*10*92762.3
10*7927.3*91.0
7
6
=== −
−
τ
Esfuerzo cortante producido por torsión en secciones de pared delgada es:
MPaJ
Th58.223
10*476.1
2/003.0*10*11.0*2
2
9
3max === −τ
Esfuerzo cortante total .64.23706.1458.223 MPa=+=τ
4. Factores de seguridad
43.223.142
345 ==σFS
81.064.237
192 ==τFS
6.6. DEFORMACIONES PLASTICAS Se supone que la distancia se mide desde un eje de simetría horizontal en la sección transversal y la distribución ε x lineal y simétrica respecto a dicho eje y la curva de esfuerzo-deformación es simétrica respecto al eje de coordenadas.
mx c
y εε −=
Una vez determinado maxσ , de la curva σ vs xε se hallanε y reemplazando en mC
yx εε −= se
halla xε para diferentes valores de y.
148
Tomando momentos respecto al eje transversal z:
xdAyM σ∫−= Donde dA=bdy
∫−
−=c
c
xdyybM σ Como xσ es una función impar respecto a y.
∫−=c
xdyybM0
2 σ Si xσ es una función conocida, la anterior ecuación de M puede obtenerse
analíticamente. 6.7. FLEXION ELASTOPLASTICA Los materiales elastoplasticos obedecen a la ley de Hooke. Vasta el esfuerzo de fluencia yσ y luego
fluyen plásticamente. Los aceros estructurales son el Mejor ejemplo de material Elastoplastico. Momento de fluencia. Cuando los esfuerzos son menores que el de fluencia yσ el EN pasa por el centroide de la
sección transversal y los esfuerzos se hallan yI
M−=σ , cuando el esfuerzo alcanza al esfuerzo
de fluencia.
yI
M yy −=σ
SC
Iy
yy σ
σσ =−=
149
C
IS = Modulo de la sección
C: Distancia al punto mas alejado del EN Momento plástico Si el momento sigue aumentando, se desarrollaran zonas plásticas que tienen un esfuerzo uniforme yσ , entre las zonas plásticas subsiste un núcleo elástico en el cual xσ varia linealmente
con y. Al aumentar el momento la zona plástica se agranda hacia el EN. En este punto la deformación unitaria máxima es 10 a 15 veces yε y la zona elástica ha desaparecido. Para fines practico la
distribución de esfuerzos esta formada por tres zonas rectangulares y el momento alcanza Mp (momento plástico), el cual es el momento máximo que puede alcanzar una viga de material elastoplastico.
221
AAA
CT
==
=
A1: Área por encima del EN A2: Área por debajo del EN La posición del eje neutro (EN) para Mp es diferente para flexión elástica lineal, para una sección trapezoidal. El EN para flexión plástica total queda un poco por debajo del EN para flexión elástica (distribución de esfuerzos triangulares).
2
)()()(
.)(
212211
1 2
yyyAAyyAyyMp
ydAyydAyydAMpA A A
+=−−=
=−−=−= ∫ ∫ ∫
σσσ
σσσ
Otra forma es tomar momentos respecto al eje neutro. EN.
150
)(2
2/
21
21
yyyA
My
yATC
yTyCMp
+=
==+=
σσ
Modulo plástico
2
)(
:
21 yyAZ
Donde
yZMp
+=
= σ
Es el manto estático valuado respecto al EN del área de la sección transversal por arriba y por debajo.
S
Z
My
Mp =
Es una medida de la reserva de la resistencia de la viga después de que empieza la fluencia. Es máxima cuando la mayoría del material esta cerca al EN (sección circular) y mínima cuando esta alejado viga I) Vigas rectangulares
4
42
)4/4/(
4/6
2
12
2
2
21
2
3
ybhMp
yZMp
bhhhAZ
hyy
ybhMy
h
bhy
C
yIMy
σσ
σ
σσ
=
=
=+=
==
=
==
6
42
2
ybh
ybh
My
Mp
σ
σ
= 2
3=S
Z
151
El momento plástico para una viga rectangular es 50% menor que el momento de fluencia. Si se considerara una viga que no ha alcanzado plastificación total y con núcleo elástico. e : Distancia al eje neutro EN
−== eh
ybTC2
11 σ
bye
TC2
22σ==
−=
−=
+
+
−=
+
+=
2
2
2
22 2
2
32
2
3
6
3
4
222
3
42
21
h
eMy
h
eybhM
eyebe
he
hybM
eCe
hCM
σ
σσ
Esta ecuación es valida para
MpMMy ≤≤
MyM
he
=
=2
MpMyM
e
==
=
2
3
0
−=
My
Mhe
2
3
2
1 Posición del núcleo elástico