ESTADISTICA GENERAL
Apuntes
Elaborados por: Arturo Rubio Donet
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 2
INTRODUCCIÓN ��� �������������� ��� ������� ������� ��� � ��� ��� ����������� �� ������� �������� ������������ ����� ����������������������������������� ��������������������� ������������������������� ������������������ ������������� ������������������������� ������������������������������ ��������������������� �� ������ �� ���� �� ���� �� ��� ��������� ��� ������������ ������������ �� ���������������������������
� � �� �� � � �
�� � � � �� � � � �
� �
��� � � � � �
� �
� �� � ���� � � � �
� � � � �
• ����� �������������� � � � • Representativa • ����������� � • �� �� �� � �� � � � • Suficiente • ������� ����� � • � � � � �� � �� �� � �� � � • Confiable • ! ���������"���������� � � � • Oportuna �#�#�� ����������� ��������$� ���������������������������������������� ��������������������������������������������������% ����� ������������������������&��������������������' ����� ���� ������������������ �(�� ���� ���� �� ���� ������ ������������� �� �� ��� ������ ��� &���������� �� ����(��������� ����� ��� ���������� ��� ��� ����� )��������*� ��� ����� �������� ���� ������������������#�+�� ������������������ �"�� ��� ������� ������ ' �� ��� ���� ��� �(����������� �� &������������ ����������������������' �������������������������� ���������������������������������� ��������������������� ��� ��� �������� ��� ,����� ���� ������� �� ������������ ������ ����� ��� ����������� ������ ��������������������� �������������������������� �� ���������������������! �� �� ������������������������������ ������������������������� ��������������� ��������,�����������!� �"# �$��"�� �����"�� #%���"�����������- ���)��������������*���� ������������������' ������� ����������������' ����������� ���������� �� ��� ���� �� ������ ��� � ��� ��� ������ ,����� ���������� �� ������� � ������ ����������������������)��� �������������������������������*���+�#�� �"# �$���������������- ������������ ��������������������������� ����������������� ���� ������������.�� �� � ��� ���� ������ ���� �-� ����� ��� ��������� ��� ,������� ��� �� �� / ����������������������� ��� �&������ ��� ���-��� �(�������� �� ��� �� ���� ��� $�-� ������ 0 ������� ����������������� ���' ���&�������������%����������+111���+�+� �"# �$����������$�- ��� ������� ��� ��� ����� ����� �� ��� ������� ����������� �� �� ����� ������� �� �� ��� ������������-� ���������������������������������� ������������������������������ ����������&� � '���������� �� ���- ������ �������������������(������������������������-������� ������' ������ ������� ������������� ���� ��������������� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ' �� �� ������� ��� ������� �������������������� ���������������������������������������������������
Apuntes de Estadística Arturo Rubio 3
2�#�� � '������� "���"#�# �����$���������� �� � � ���- ��� ��� ������������� ���&����� ��& ����� �' ������ ���������� ��������������������' ��� ��������������������������� �����������������&�������2�+� � '��������"#�# �����$� ������ �� ���� ������������� ����������� �� ������� ' �� ,�� ����� ���&����� ��& ����� ���������� ���������������� ����� ���� �� ����� ����� ��� ��� ��������� ��� ���&�� ��������������������� )� ���� ���� �& ��*� ����� ������ ��� ���� �� �� ������ ��� ��� ������� ���� ������ ���� ������� ��� ��� ������ ��� ���&����� ��� ��� ��������� ���������� �������� ���� ���������������������' ������,����������&���������� ������������������������� ���������������� ������������������������������������������ ����� ����������������������������� ���������� ���� ���� ������ ' �� ��� ������ ��� ������ ��� ����������������� ��� ������ ������� ���� �����������,��,��' �����������������������������������������' ������� ������ �� ������������� ������������� ��������(� � ��������� �) ������������� ����' ������� ������������������-��������������� �������(�������� ���� �����' �������������� �������-� �����3 ����������� ������������������,��������������� ��������� ���������������� �������� �������� 4,����4�� �� ����� �� ��� ���� ,������� ��� ��� �� ����� ��� ��������� ��� ��& ��������� ������• 5% �������,���������������,������• 5% �������� ������������,�������• 0 �������������������������� �������� ������6 �����• "&������������������� ������6 �����• 0 �����������������&�����������-��)3 ��7#8�5��7�1*�• 0 ��������������������� �����)3 ��7#8�5��7�1*�� ����������������� ������������������������5�,��������������� ��������� �������� ������������������������& �������9 �����): ����*�)���*�
5 ����,�����������
; ��
5 ����� ��������
< ��
$���������6 ����
= ��
"&��������6 ����
> ��
! &�����> ��-��? ��
3 �������� ���� �����
��#� @@� #+� +11� #A111� #� #�+� 21� B� +@1� #C111� 1� #�2� +1� C� #11� D111� 1� 1������ � � � � � ������ � � � � � �5� C1� +1� 21E� +@111� 1� #�
�
*� � ���# �����������������������������������' ������� ����- ��������&��������� ��������� �����' ��������������������� �����������������$��������������� ������������������������������� ������������������' ����������������&������@�#�� ���# ��� '� �������3 �� �' ������ ���������� ' �� �(������ ����&������ �� ����� ���� �� ' �� ���� ����� � � ������ ������� ���������� ������������ ��� �������������������������� ���������� � � �� � +�� ��3 ������������������������� ������ ����� �����������' ���������������
���� ���������������� �������-� �����3 �(������������8�5����������������������������
� �� �� � +�� ��3 ����������������������� ������ �������������� �����-� �����F ��������
�� �����������������������F �������������������������������������������������������������
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 4
�@�+�� ���# ��� '����������$� ������� �' ������ ��������� ' �� ��� � ���� ���� �(����������� ��� �� ������ ���� ' ������������������������������������������������������G ������������������$��� ���@�+�#�� ���# ��� '���������� �������3 ������������' ���� ����������' ������(��������% ��������������-� �����• 5% �������,������������• 5% �������� ���������• 0 �������������������������� �������� ������6 �����3 ����������' ��������������������� ������ ��������������������������@�+�+�� ���# ��� '���������� "���'���3 ���' ����������������' ��� ����������������(���������% ������������������������������������������������-� �����• "&������������������� ������6 �����• $����������������������������,�����• / ������&��������������������������������������� �,���������� ������6 �����
,� � #�����$�-�
�
��� ������������� ����' ���� ����������������� ����������� �����������������H��� ��
�
.� ���)/ ���"-�
�
������������������ ������������������������������� ����������������������������' �����
�������� ����������������������������� ���� ��������� ��� ��������� �������
�
�=
=N
iiX
n 1
1µ �
G ������; �������������������������������5��������� �������������������
�
�-� �����• 5 �������,�������������� �����������,��������������� ��������� ���• 5% �������� ����������� ������������,��������������� ��������� ����• ��� ���������������������������������,������������ ��� �������� ������6 �����• "&��������� ������������,��������������� ��������� ������� ������6 ������0� ��������"-��
��� ��� ��������� ��� ������ ��� ���������� ��� ���� ����� �������� ����� ��� �� ������
����������������� ������������������������������������ �������' ������ ��������� ������
�=
=n
iiX
nx
1
1�
�
G ������; ���������������������������������������� ���������� �������
�
�-� �����3 �����&�� �� �������������,��������(�������������� ��������� ��
• 5 �������,�������������� ���������� ���������,��������• 5% �������� ����������� ���������� ���������,���������• ��� ������������������������������ ���������,��������• "&��������� ������������,����������&���������� �������
Apuntes de Estadística Arturo Rubio 5
���� �1 � � �2 � �� � �3 ����� �� � � �� � �� ��� � � � � -�� �# ���������"�/ �$�������������$� �����������% ��������������������������� �����������������' ����������%���������� ��� ��������� �� ����������� �������� �� ������������ ��� ��� ������� ��� ���� ' �� ������������ � � ���������� ������������� ����� ��� �� �� ��� ����������� �������������� ���� �������� ������� ����������������������������� ���� ��������������������������' �������� ������������ ��� ��������� ���� ���������������� ' �� � ���� � ����� � � ��-������ ������"��� ����������� �� ���&��������� ��������������� �������������������������& ��������� � 4/ ��"����'���"����� �����&������������������' ����� ������������� ��������������������������������&����������� ����������� ����� ����!� � ��' "��$���������� �� �� ����������� ��� ���� ��� ��� ���� ����� ������������ ' �� �������� ��
&�����������������������������������������& �����I 9 ���G J 5G ���$J / J �< �$9 ! 5G J �• 5 '6��� � K�I ������ ���������������� �����L�• � $������ K�! ������������������������ �������� �����L�• $/ "��� � K�$� �����������&�������������������������� �����L�• ')��"��K�! �' ���������������� ��������������������� �����L��&� ���#�7�/ ���"���������������������� ������������������������������������ ���' ������������� ������������ �������(� '���"��� �'���"��$� ����������������� ���������������� ���������� ������*� � "��������6�"� �/ ������! ���� ���� ������������ ������ ��� ����� ��&����� �������� ���� ������� 0 � ���� ��������� ���� ���������� ���������' ����������' ���������� ���������������(�������������������,� �'������3 ����������������� ��������������� ������������������&����������������,���� �������������������� �������.� � �#"��$���
3 �� ������� ��� � ���� ��� ��� ����� ����������� ��� ��� ��� ������ �� ����������� ����
��� ������������ ������������������
�0� ��8���
�&������ ��� ���,�� �� ' �� ��� �������� ��� � ����� ����� ��-��� ��������� ���� ������ �� ������
��� ������������������������
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 6
��-� �����3 �&%����� ���������� ����������J ���������! � ���������,�����$J 5MJ 0 ������� ������M����������+11C����,������������������� ��������(���-�������& �������
0 ������ 5����������� 3 �(��
#� ! �&������)N*� / ��� ����
+� ! �&������)N*� / ��� ����
2� ! �&����� / ��� ����
A� ! �&����� M� ����
@� ! �&����� M� ����
C� ! �&����� M� ����
D� O�������� / ��� ����
B� O�������� / ��� ����
E� O�������� M� ����
#1� $,����� / ��� ����
##� $,����� M� ����
)N*����������������������� �������������
�
� �#"���'�����# ��������' ���"��9'��"��" ��� ����"�/ �$������������������#����������"��"����'����"�� ��� �������� �/ �$���� �8"�� � � � �� �� �
�59 / � J � $ �����5��1#�����������������������0 "0 9 �J �KI �L� � � 5 �������� ��������(���-�����' ��� ���������������KG ���L�� �����,�����$J 5MJ 0 ��������������K$� �L�� � ��&%������������������(����)#*�K$ ���L�)����������M�������+11C*����
3 �(��5 �������0 �������
�(���-����� / ��� ���� M� ����
�
5�����������
5 ����
)��*�
P�
),�*�
5 ����
)��*�
P�
),�*�
5 ����
)��*�
P�
),�*�
! �&�����)+*� C� @A�@� 2� @1�1� 2� C1�1�
O�������� 2� +D�2� +� 22�2� #� +1�1�
$,����� +� #B�+� #� #C�D� #� +1�1�
0 �����F ������ ##� #11�1� C� #11�1� @� #11�1��5J 0 ! 3 �G ���"�� � � )#*�$����������� ��������&������������1#�12�+11C�
)+*�$� ���������� ������������������������������������M9 �50�������� � � � � � � J ���������! � ���������,�����$J 5MJ 0 � �3 �J 53 ! O��� �� � � � ���������������! ����������$�� �������3 �! ��M�$: ! �� � � � ������ � � � 1#�12�+11C���
Apuntes de Estadística Arturo Rubio 7
ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS �
���������������������������������������������������������� ������������� ��������������
������������ ���������� �����&������������������������������&��������� ����� �������
��� ��� ����� ��� &�������� ������������� �� �� ����������� �� ��� ����(��� ��� ���� ����� ��� ���
���� ������ �� ��� ��� �� ����� ����� ��� ��������� ' �� � � �� &������� ��� �� ��
�(������ �,�� ���' ������������� ������������ �������������������������������������
��� � �:��7�$������ ���# ��� '� ��������$� ��������������������&�������������������� ������������.������� ����' �������&��������������� ������������������������-� ��������% �������� �������' ����&��������� ��&����������������� ������������� �������/ J G � 5! �� ��������������� ��������������������������&%�� �����������������������������������& �������5% �������� �������' ����&��������� ��&������������ ����/ J G � 5! �� �������� ������
�������&%�������������
�� � �� � � +�� � � �
59 / � J �G ��0 9 "3 0 ! 3 �
)�*�
M �$9 �5$"! � ��! 0 "> ! �
)8*�� �:������ +1� 1�A1�;" ����� #1� 1�+1�;��� �<�� @� 1�#1�� ���7" ���� #@� 1�21�0 J 0 ! �� @1� #�11�
�M �����J �������������������������/ ��������$������������������ ������������������ �� ������ �� ��������� ��������������������� ����� ���� �������������������������� ������������������������������������ ������������ �� ���� ���� % ���� ��� � ������� ' �� ������� ��� �� ����� ���� ������ ����������� ' �� ����� ����� ��������2C1�&���������9 ��������� �&�������������� �������������������&������������������� ��������������������
������ &�������� � ���� ���� �-������� ��� �� ����� ��� ��� � �&������ �� ����������� ���
�����������' ������������ ��������� �������' ������
�
10%
20%
30%
40%
B ras ileñ a
B olivian a
V en ezolan a
A rg en tin a
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 8
�
�
!� � �:��7�$������ ���# ���� ��������
�
$� ������ ��������������� ��� ���������� ' �� ����� �� �� �������� �������� ���� ������ ����
������� ����������� ��� ������ ����� �������� � �� �������� ��������� �����-� �������� ,�����
Q�! 5! / J 50�R�� ���������%��� ���@1���������% ���������������' ���������� ����
�
{�D��+��A��2��C��2��2��2��A��B��D��2��D��A��C��+��@��+��2��D��C��+��C��A��C��A��C��B��+��D��@��2��@��@��@��@��A��@��@��B��+��A��@��@��A��@��2��A��C���B�} ��
����� ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ���� �������� � � �� ����� ����� ���� ����� ���
� �������� ������� ��� ��� ����� �� ������� ��� ���� ����� ' �� ��������� ��� ���� ����� ��
% ���������� ��������� �����������% ���������������)��������-���*��
�
0 ����� ��� ���� ����� �������������� ��� % ���� ��� �������� ��������� ���� ��� ,�����
Q�! 5! / J 50�R�� ���������%��� ���@1�������
�
M��� �����! � �����5% �������
$�������
= �
M��� �����
! ���� ���
��
M��� �����
��������
8� ! ���� ���
�� ��������
> �
!� C� 1�#+� C� 1�#+�
&� B� 1�#C� #A� 1�+B�
(� E� 1�#B� +2� 1�AC�
*� ##� 1�++� 2A� 1�CB�
,� D� 1�#A� A#� 1�B+�
.� @� 1�#1� AC� 1�E+�
0� A� 1�1B� @1� #�11�
0 J 0 ! �� @1� #�11� � �
�
���&�������' ��������������������������������� ����������� ���� > ��":��/ �-��
> ��":��/ ��������'������#�" '����� �> ��":��/ �����'������#�" '�����'/ ' �����
�
0
2
4
6
8
10
12
2 3 4 5 6 7 8
Xi
fi
0
10
20
30
40
50
2 3 4 5 6 7 8
X i
Fi
Apuntes de Estadística Arturo Rubio 9
&� � �:��7�$������ ���# ��� "���'���
�
$� ������ ��������������� ��� ������� ��� �������� ' �� �� �� �������� ��� ���� ������ ����
������ ���� ������� ��� �������� ��� �������� ��� �� ����� ��� �������� ��������� ' �� ������
������������������������������' ���� ��������� �����' ��������������������
�
�-� ����� ��� ,����� Q�! 5! / J 50�R� � ����� ���� %��� ��� 2+� ����� ��� ������ ��� ���� �� ����� ��
������������������������������������������������ ������
�
@�+� #1�+� D�1� D�#� #1�+� B�2� E�A� E�+� C�@� D�#� C�C� D�B� C�B� D�+� B�A� E�C�
B�@� @�D� C�A� #1�#� B�+� E�1� D�B� B�+� @�2� C�+� E�#� B�C� D�1� D�D� B�2� D�@�
�
����� ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ������ �������� � � �� ����� ����� ���� ����� ���
� ��������������������� ������� ��������������� �����' ������������������ �������
% ���������� ��������� �����������% ���������������)�������-��*��
�
�������&������ ��������������� �����������������& ������������� �������& ������
�
• � �:��'���4/ ��"���������� "����� �����?@A���
� ���� �������������&���Sturges�� � ����k = 1+3.3 Log [ n ]��� � G �����
� � S�7�5% �����������������
� � �7�5% �������������
�
� � ������-� ������ � S�7�#T2�2���&U2+V�7�#T2�2)#�@1@*7@�ECD�7�! ���(��C�����������
�
• � ����/ ����� �� �/ �<"��� �������� "���� ����)c*���7�! �.�S��
� ��! 7�! ���� ���������������7�)J ����������/ �(� ��H�J ����������/ �� �*�7#1�+H@�+7@�1�
� � S��7��C�
���������������c7�@�1�.�C��7�1�B222�7�! ���(� ��� ����7�1�E�
�
• ��� 7��� �� ����$��B�� �"���"�������"��������� ����"����'�����
���� "���������$����� $����������������������������� M��� �����
�� *�!���/ ��"�����,��� �@�+��@�D��@�2� 2�
!� ,�����/ ��"�����.�C� �C�@��C�C��C�B��C�A��C�+� @�
&� .�C���/ ��"�����.�D� �D�1��D�#��D�#��D�B��D�+��D�B��D�1��D�D��D�@� E�
(� .�D���/ ��"������0�0� �B�2���B�A��B�@��B�+��B�+��B�C��B�2� D�
*� 0�0���/ ��"������D�.� �E�A���E�+��E�C��E�1��E�#� @�
,� D�.��������C�,� �#1�+�#1�+�#1�#� 2�
� 0 J 0 ! �� � 2+�
�
�
�
�
�
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 10
�
• "����'�� ��� �# ��������'�����
"��������
G ��$�����
)���� �����1 ���"*�
/ ��������
$�����
= �
M��� �����
! ���� ���
��
M��� �����
��������
8�
M����! � ��
! ���� ���
��
M�����! � ��
��������
> �
*�!���/ ��"�����,��� *�,*� 2� 1�1EA� 2� 1�1EA�
,�����/ ��"�����.�C� ,�**� @� 1�#@C� B� 1�+@1�
.�C���/ ��"�����.�D� .�(*� E� 1�+B#� #D� 1�@2#�
.�D���/ ��"�����0�0� 0�&*� D� 1�+#E� +A� 1�D@1�
0�0���/ ��"�����D�.� D�!*� @� 1�#@C� +E� 1�E1C�
D�.������C�,� �C��*� 2� 1�1EA� 2+� #�111�
0 J 0 ! �� � 2+� #�111� � �
�
• "����'��� �> ��":��/ ��B�� ��" �:"�"�������'������
�
�
/ ��������$������ � � � � � � � �2
sii
LSLIX
+= �
3 �����������' ��� � � � � � � � � cXX ii +=+1 �
F �����0 ���������� ������ =+++++= 9.251)15.10(3)25.9(5)35.8(7)45.7(9)55.6(5)65.5(3ii Xf �
F �����0 ���������������� 2.25032
1
=�=i
iX �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Histrograma y Polígono de Frecuencias
0
0,094
0,156
0,281
0,219
0,156
0,094
00,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
4,75 5,65 6,55 7,45 8,35 9,25 10,15 11,05
Intervalo de Clase
Frec
uenc
ia R
elat
iva
Apuntes de Estadística Arturo Rubio 11
• $���� ��� ��������������� ������Q/ ����' �R��
�
1 ���"�� ��"� M��� �����! � ����� M��� ����� ��������
� ��"�����*�!� 1� 1�111�
� ��"�����,��� 2� 1�1EA�
� ��"�����.�C� B� 1�+@1�
� ��"�����.�D� #D� 1�@2#�
� ��"�����0�0� +A� 1�D@1�
� ��"�����D�.� +E� 1�E1C�
� ��"������C�,� 2+� #�111�
�
• $���� ��� ��������������� ������QJ � ���' �R���
1 ���"�� ��"� M��� �����! � ����� M��� ����� ��������
*�!�$�/ )�� 2+� #�111�
,���$�/ )�� +E� 1�E1C�
.�C�$��/ )�� +A� 1�D@1�
.�D�$�/ )�� #@� 1�ACE�
0�0�$�/ )�� B� 1�+@1�
D�.�$��/ )�� 2� 1�1EA�
�C�,�$�/ )�� 1� 1�111�
�
Análisis de la distribución de frecuencias • K$ �������������,�����&�����QG ��D�1��� �������D�E������RL��� � � � � � � � ��E������
• K$ �������������,�����&�����Q/ �������D�E������RL�� � � � � � � � � � � � � � � ��#D������
• K$ �������������,�����&�����Q/ �������E�D������RL�� � � � � � � � � � � � � � � ��+E������
• KI ���������-�������������,�����&�����Q/ �������D�E������RL�� � � � � � � ��@2�#P�
• K$ ���������&�����' ���� ���������+@P�������������' �����&����� ���L����D�1�������
• K$ ���������&�����' ���� ���������+@P�������������' �����&����� ��L�� � � ��B�B�������
• KI ���������-�������������,�����&�����Q/ ������D�E������RL� � � � � � � � � � ��AC�EP�
�
�
�
�
�
�
Histrograma y Polígono de Frecuencias Relativas Acumuladas
00,094
0,25
0,531
0,75
0,9061
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
4,75 5,65 6,55 7,45 8,35 9,25 10,15
Intervalo de Clase
Frec
uenc
ia A
cum
ulad
a
Apuntes de Estadística General Arturo Rubio 12
• ���� �������������-����������������' �����,�����&�����Q/ �������E�1������R�� � � �DB�@P�
3 .�E�DHHH�1�E1C�
3 .�E�1�HHH�; �
3 .�B�B�HHH�1�D@�
)E�DHB�B*HHH)1�E1CH1�D@*�
)E�1HB�B*HHH); H1�D@*�
�
1�E�HHH�1�#@C�
1�+�HHH�); H1�D@*�
; 71�D@�T)1�#@C*)1�+*.1�E�
; 71�D@T1�12@�
; 71�DB@�
� � ���DB�@P����������������,�����&����� �������E�1����������������������������
�
• ���� ��� ��� ���� ���� &����� ������� �� ����������� ' �� �� ��������� ��� @1P� ��� ����
������&�������������������������,������ ���������2+���������������� �D�B�������
3 .�D�EHHH�1�@2#�
��; ������HHH�1�@1�
3 .�D�1�HHH�1�+@�
)D�EHD�1*HHH)1�@2#H1�+@*�
); HD�1*��HHH)1�@1H1�+@*�
�
1�E��HHH�1�+B#�
); HD�1*HHH1�+@�
; 7D�1�T)1�E*)1�+@*.1�+B#�
; 7D�1T1�B�
; 7D�B�������
� � ���@1P���������������������������,�����&����� �������D�B����������������������������
�
• ���� ��� ��� ���� ���� &����� ������� �� ����������� ' �� �� ��������� ��� B@P� ��� ����
������&�������������������������,������ ���������2+���������������� � �E�2B�������
3 .�E�DHHH�1�E1C�
��; ������HHH�1�B@�
3 .�B�B�HHH�1�D@�
)E�DHB�B*HHH)1�E1CH1�B@*�
); HB�B*��HHH)1�B@H1�D@*�
�
1�EHHH�1�#@C�
); HB�B*HHH1�#1�
; 7B�B�T)1�E*)1�#1*.1�#@C�
; 7B�BT1�@B�
; 7E�2B�������
� � ���B@P���������������������������,�����&����� �������E�2B����������������������������
�
• $ �������������,�����&�����Q/ �������E�1������R��������������������� � �+@������
3 .�E�DHHH�+E�
3 .�E�1HHH�; �
3 .�B�B�HHH�+A�
)E�DHB�B*HHH)+EH+A*�
)E�1HB�B*��HHH); H+A*�
�
1�E��HHH�@�
1�+��HHH�); H+A*�
; 7+A�T)1�+*)@*.1�E�
; 7+AT#�##�
; 7+@�������
� � �����,�����+@����������(� ��� �������&����� �������E�1����������������������������
�
• ����������$��� � "�E�> "%���
$ ���� ��� ��' �������������� ��� ���� ����� ��� ���������������������������������������
���������������������������������������� ���������������&�� ���������,�-���
�
�-� ����� ���������������������������� �������������������� ���������2+�%��� �����@�+� #1�+� D�1� D�#� #1�+� B�2� E�A� E�+� C�@� D�#� C�C� D�B� C�B� D�+� B�A� E�C�
B�@� @�D� C�A� #1�#� B�+� E�1� D�B� B�+� @�2� C�+� E�#� B�C� D�1� D�D� B�2� D�@�
�
! ���� �����,�-���C��C �� 0 ����� : �-�� � � 0 ����� : �-��
3 5 2 3 7 � 2 5 2 3 8 6 2 4 5 6 8 � 3 5 7
(9) 7 0 0 1 1 2 5 7 8 8 � 5 6 2 4 15 8 2 2 3 3 4 5 6 � 8 6 5 6 8 8 9 0 1 2 4 6 � 13 7 0 0 1 1 2 3 10 1 2 2 � (4) 7 5 7 8 8 � � � � 15 8 2 2 3 3 4 � � � � 10 8 5 6 � � � � 8 9 0 1 2 4 � � � � 4 9 6 � � � � 3 10 1 2 2
�
9 ������������� ��� ��������)T#*.+7)2+T#*.+7#C�@�
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 1
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un centro de gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados. Estas medidas son: 1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio) 2. Mediana 3. Moda 4. Promedio Geométrico 5. Promedio Ponderado 6. Promedio Total 7. Media Armónica Otras medidas de posición son: Cuartiles, Deciles y Percentiles B. MEDIDAS DE VARIABILIADAD Son estadígrafos de dispersión que permiten evaluar el grado de homogeneidad, dispersión o variabilidad de un conjunto de datos. Estas medidas son: 1. Amplitud o Rango 2. Variancia 3. Desviación Estándar 4. Coeficiente de Variabilidad C. MEDIDAS DE FORMA Evalúa la forma que adopta la distribución de frecuencias respecto al grado de distorsión (inclinación) que registra respecto a valor promedio tomado como centro de gravedad, el grado de apuntamiento (elevamiento) de la distribución de frecuencias. A mayor elevamiento de la distribución de frecuencia significará mayor concentración de los datos en torno al promedio, por tanto, una menor dispersión de los datos. Estas medidas son: 1. Asimetría o Sesgo 2. Curtosis Los Gráficos de Cajas como indicadores de forma
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 2
A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. LA MEDIA ARITMETICA
• Para Datos No Agrupados. El promedio aritmético de un conjunto de valores ( x1 x2 x3 ..... xn ) es:
nx....xxx
n
x
=x n
n
i=i ++++
=�
3211
Ejemplo: Durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue: { 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.2, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 } El promedio aritmético del valor de las compras de periódicos es:
82732
22501 ..
n
x
=x
n
i=i
==�
• Para Datos Agrupados.
n
Xf
x
k
i=ii�
= 1
Donde: fi = Frecuencia en la clase k-ésima Xi = Marca de clase en la intervalo k-ésimo Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una tabla de frecuencia:
Intervalo
Xi
fi
hi
Fi
Hi
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000
0
2
4
6
8
10
5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15
7.87
El promedio aritmético es:
87732
925132
15103259535874579556565531 ..).().().().().().(
n
Xf
x
k
i=ii
==+++++
==�
Durante los 32 días el hotel tuvo un gasto promedio en periódicos de 7.87 soles
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 3
2. LA MEDIANA
Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores. • Para Datos No agrupados.
La ubicación de la mediana de n datos ordenados se determina por :2
)1( +n . Ejemplos:
En los 7datos ordenados: {4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 }
La ubicación de la mediana es: 42
1)(7=
+ Luego el valor de la mediana es: Me=6
En los 8 datos ordenados: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9}
La mediana se ubica en el lugar 5.42
1)(8=
+ Luego el valor de la mediana es 5.5
265
=Me =+
• Para Datos Agrupados.
( )i
i-i
i
i-
i hH.c
+Lf
Fn
c +LMe 1
1 5002 −=
��
���
� −=
Donde: Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la Mediana Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene a la mediana Hi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésima hi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la mediana c =Tamaño del intervalo de clase. Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel en una tabla de frecuencia:
Intervalo
Xi
fi
hi
Fi
Hi
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000
0
2
4
6
8
10
5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15
Me=7.8
La Mediana es: ( )
8.72810
250509.007
9
82
329.0
07 =−=��
���
� −=
...
+. +.Me
El 50% de los días el hotel gastó menos de 7.8 soles en la compra de periódicos 0.50 0.50 7.8
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 4
3. LA MODA Es el valor, clase o categoría que ocurre con mayor frecuencia y sus características son:
- Puede no existir o existir más de una moda - Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos - Se utiliza para analizar tanto la información cualitativa como la cuantitativa - Es una medida “inestable” cuando en número de datos es reducido.
• Para Datos No Agrupados. Por ejemplo, durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue: { 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.1, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 }
Moda = Mo = 7.1; Es el valor más frecuente, ocurre 3 veces. • Para Datos Agrupados.
�
��
++=
21
1
ddd
cLM io
Donde: d1=(fi - fi-1) y d1=(fi - fi+1) fi=Valor de la mayor frecuencia Ejemplo: El gasto diario en periódicos del hotel “AAA” agrupados en una tabla de frecuencia:
Intervalo
Xi
fi
hi
Fi
Hi
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000
0
2
4
6
8
10
5.65 6.55 7.45 8.35 9.25 10.15
Mo=7.6
d1= 9-5 = 4 d2= 9-7 = 2 c= 0.9 = Tamaño de Intervalo de Clase La moda estimada utilizando estos datos agrupados es:
67600724
4)9.0(07 .= .+. = .M o �
��
++=
Utilizando las frecuencias relativas, la moda estimada es:
67600706201250
1250)9.0(07 . =.+ . =
...
.M o �
��
++=
7.6 El gasto diario en periódicos más frecuente es 7.6 soles
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 5
4. MEDIA GEOMÉTRICA Corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales y estrechamente relacionadas entre sí tales como tasas de: interés, inflación, devaluación, variación, crecimiento, disminución. El promedio geométrico de los valores: (Xi X2 .... Xf ) es:
ttG ... FC FC FC=X 21 ó t
i
fG X
XX = Donde Xf= Valor final y Xi= Valor inicial
Ejemplo: La tasa de interés mensual que se pagó por un préstamo recibido por 3 meses fue cambiando mes a mes; en el primer mes se pagó un interés de 15%, en el segundo mes 10% y en el tercer mes 16%.La tasa de interés promedio mensual que se pagó es:
Mes 1 2 3 Tasa 0.15 0.10 0.16
Factor 1.15 1.10 1.16
136.14674.10)(1.16)(1.15)(1.1=X 33G == (13.6% mensual)
Ejemplo: El Producto Bruto Interno de un país durante los últimos cinco años tuvo la evolución siguiente: Año1: +5%. Año 2: 0% Año3: - 1% Año 4: +2% y Año5: + 4%. La tasa de crecimiento anual promedio del PBI sería:
0197.1.02)(1.04)0)(0.99)(1(1.05)(1.0=X 5G = (1.97% anual)
Ejemplo: Se recibió un préstamo de 1000 soles por 3 meses y al final del período se pagó un total 1467.40 soles; ¿Cuál fue la tasa promedio de interés mensual que se pagó? Mes
0
Mes 1
Mes 2
Mes 3
Saldo 1000 1467.40 136.1
100040.1467
3 ==GX
(13.6%)mensual
5. PROMEDIO PONDERADO Cuando se desea encontrar el promedio de valores (X1 X2 ... Xk ) que ocurren con frecuencias (f1 f2 ... fk ) diferentes se deberán ponderar los valores observados con pesos diferentes:
�=
K
iii XW=x
1
Donde los valores Wi=fi/n se denominan “ponderaciones o pesos” Ejemplo: En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes:
Precio de Venta (soles) Xi
Número de pasajes fi
Ponderación Wi
12 60 0.30 14 100 0.50 16 40 0.20
Total 200 1.00 El precio promedio de venta de los 200 pasajes: 813162001450012300 .)(.)(.)(.=x =++
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 6
6. PROMEDIO TOTAL Corresponde al valor promedio representativo de grupos de observaciones separadas o diferentes y que podrían estar consolidadas en tablas de frecuencia independientes, por tanto:
k
kkT nnn
XnXnXnX
+++++
=....
...
21
2211
ni: Número de observaciones en el grupo i-ésimo.
iX : Promedio correspondiente el grupo i-ésimo
Grupo A Grupo B Nota Xi Fi Nota Xi fi 5-10 7.5 4 0-5 2.5 8 10-15 12.5 16 5-10 7.5 10 15-20 17.5 5 10-15 12.5 16 Total 25 15-20 17.5 6
Total 40 Promedio del grupo A: Promedio del grupo B:
7.1225
51755.12165.74 =++= ).()()(xA 10
40)5.17(6512165.7105.28 =+++= ).()()(
xB
Grupo
iX fi
A 12.7 25 B 10.0 40
Promedio
Total
Totla 65
04.1125
0.10407.1225 =+= )()(xT
7. MEDIA ARMÓNICA
El promedio armónico de los valores: (X1 X2 ..... Xn ) donde ninguno toma el valor “cero” es:
n
H
x........
xxx
n=X
1111
321+++
Este promedio se utiliza para que los valores “extremos” no afecten al valor del promedio. Los valores extremos sí afectan cuando se usa el promedio aritmético o el promedio geométrico. Ejemplo: Calcular el rendimiento promedio para el caso de tres automóviles que recorrieron 500 kilómetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente: Auto A B C Rendimiento (Km/galón) 50 62.4 77.6
galón)(CONSTANTEKilómetros
334.610489121.0
3
77.61
62.41
501
3=XH ==
++
Verificación:
Auto Km Rendimiento Total galones A 500 50 10 B 500 62.4 8.0128 C 500 77.6 6.4433
Total 1500 24.4561
334.614561.24
1500 ==HX
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 7
PERCENTILES, CUARTILES Y DECILES • Para Datos Agrupados Percentiles: Son 99 valores que dividen a un conjunto de datos en 100 partes iguales
i
i-
ik f
Fkn
c +LP
��
���
� −=
1100
Li = Límite Inferior del intervalo que contiene al Percentil Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior k-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene al Percentil c =Tamaño del intervalo de clase. k = 1%, 2%, 3%, ... , 97%, 98%, 99% Percentiles
Intervalo De Clase
Marca de Clase
Xi
Frecuencia Absoluta
fi
Frecuencia Relativa
hi
Frec.Acum. Absoluta
Fi
Frec. Acum. Relativa
Hi 5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094 6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250 7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531 7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750 8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000
Ejemplo: El Percentil 80% de los gastos diarios en periódicos estará en intervalo 5
( )
08895
246259088
10080 180 .
)-.(. .
fFn/c
+LPi
ii% =+=
−= −
El 80% de los datos analizados serán menores a 9.088 y el 20% restante serán superiores Cuartiles: Son 3 valores Q1; Q2 y Q3 que dividen a los datos en 4 partes iguales El Cuartil 3 (Percentil 75%) se ubicará en el cuarto intervalo
( )
8.87
1724909.7
10075 175 =−+=
−= − )(.
f
Fn/c +LP
i
ii%
75% de los datos serán menores a 8.8 y el 25% de los datos restantes serán superiores Deciles: Son 9 valores D1, D2; D3; D4; D5; D6; D7; D8 y D9 que dividen a un conjunto de datos en 10 partes iguales. El Decil 7(Percentil 70%) se ubicará en el cuarto intervalo
( )
594.87
174.22909.7
10070 170 =+=
−= − )-(.
f
Fn/c +LP
i
ii%
70% de los datos serán menores a 8.594 y el 30% restante serán superiores a 8.594. 0.70 8.594
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 8
• Para Datos No Agrupados El lugar o posición donde se encuentran los cuartiles para n datos ordenados es:
Cuartel Q1 =P25% Q2 =P50% Q3 =P75% Posición
100)1(25 +n
100
)1(50 +n
100)1(75 +n
Ejemplo: Determine los cuartiles y el decil 8 de los 13 datos ordenados siguientes: 10 11 11 12 12 13 13 13 14 15 17 18 20
Percentil Posición Valor del Cuartel Q1=P25 0.25(13+1)=3.5 Q1=11+(12-11)0.5= 11.5 Q2=P50 0.50(13+1)=7 Q2=13 Q3=P75 0.75(13+1)=10.5 Q3=15+(17-15)0.5=16 D8=P80 0.80(13+1)=11.2 P80=17+(18-17)0.2=17.2
Ejemplo: Para la representación tallo hoja de los gastos en periódicos del hotel:
Tallo Hojas 3 5 2 3 7 8 6 2 4 5 6 8
(9) 7 0 0 1 1 2 5 7 8 8 15 8 2 2 3 3 4 5 6 8 9 0 1 2 4 6 3 10 1 2 2
Determine los 3 cuartiles correspondientes a los 32 datos ordenados:
Cuartil Posición Valor Q1=P25%
25.8100
)132(25 =+
Q1=6.8+(7.0-6.8)0.25= 6.85
Q2=P50% 5.16
100)132(50 =+
Q2=7.8+(7.8-7.8)0.50= 7.80
Q3=P75% 75.24
100)132(75 =+
Q3=8.6+(9.0-8.6)0.75= 8.90
¿Entre qué valores está el 80% central de los gastos diarios en periódicos?
Percentil Posición Valor P10
3.3100
)132(10 =+
P10%=5.7+(6.2-5.7)0.3=5.85
P90 7.29
100)132(90 =+
P90%=9.6+(10.1-9.6)0.7=9.95
El 80% de los gastos diarios en periódicos está definido entre los 5.85 y 9.95 soles 0.10 0.80 0.10
5.85 9.95
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 9
B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD
1. AMPLITUD O RANGO Sean los valores: (x1 x2 x3 ... xn ). La amplitud o rango de estos dato es A=(Xmax-Xmin)
2. VARIANCIA • Para Datos No Agrupados La variancia de los datos de esta muestra (x1 x2 x3 ... xn ):
11
22
2
−
−=�
=
n
XnX
S
n
ii
Ejemplo: Calcular la variancia de los cuatro datos siguientes (Xi: 3, 4, 6 y 7 )
333.33
1014
)5(476431
54
204
7643
222221
22
2
1
==−
−+++=−
−=
==+++==
�
�
=
=
n
XnX
S
n
X
x
n
ii
n
ii
• Para Datos Agrupados La variancia de los valores: (x1 x2 ... xk ) que ocurren con las frecuencias (f1 f2 ... fk ) es:
11
22
2
−
−=�
=
n
XnXf
S
n
iii
Ejemplo: Los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en la tabla de frecuencia: Los cálculos necesarios para determinar la variancia de los gastos diarios son:
Intervalo Xi fi fiXi fiX²i 5.2 - 6.1 5.65 3 16.95 95.7675 6.1 - 7.0 6.55 5 32.75 214.5125 7.0 - 7.9 7.45 9 67.05 499.5225 7.9 - 8.8 8.35 7 58.45 488.0575 8.8 - 9.7 9.25 5 46.25 427.8125 9.7 - 10.6 10.15 3 30.45 309.0675 TOTAL 32 251.9 2034.74
671.1132
)8719.7(3274.20341
21
22
2 =−
−=−
−=�
=
n
XnXfS
n
iii
3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Es una medida de variabilidad que corresponde a la raíz cuadrada de la variancia. Este indicador tiene la misma unidad de medida en la que se expresa el promedio.
S=1.293
solesSS 293.1671.12 ===
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 10
4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD
Es una medida de variabilidad de los datos que se expresa en porcentaje en la cual se compara la desviación estándar con el respectivo valor del promedio de los datos:
Grado de variabilidad de los datos Coeficiente de variabilidad Con variabilidad baja Menos de 10% Con variabilidad moderada De 10% a 30% Con alta variabilidad Más de 30%
En el ejemplo anterior el coeficiente de variabilidad es: C. MEDIDA DE FORMA: ASIMETRIA O SESGO Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad. El coeficiente de asimetría de Pearson es:
SMX
A eK
)(3 −=
Grado de Asimetría Valor del Sesgo Simetría Perfecta Cero. El promedio es igual a la mediana Sesgo Positivo Positivo. Promedio mayor que la mediana Sesgo Negativo Negativo. Promedio menor que mediana
Asimetría Positiva Simétrica Asimetría Negativa (Promedio>Mediana) Promedio=Mediana Promedio<Mediana En el ejemplo sobre los gastos diarios en periódicos el Promedio es 7.87 le Mediana es 7.80 y la desviación estándar 1.293, por tanto el sesgo es ligeramente positivo +0.16 D. MEDIDA DE FORMA: CURTOSIS
Evalúa el grado de apuntamiento de la distribución, el coeficiente es:)(2 1090
2575
PPPP
KU −−
=
Grado de Apuntamiento Valor de la Curtosis Mesocurtica (Distribución normal) 0.263 Leptocúrtica (Elevada) Mayor a 0.263 ó se aproxima a 0.5 Platicúrtica (Aplanada) Menor a 0.263 ó se aproxima a 0
Ku=0.263 Ku>0.263 Ku<0.263
Mesocúrtica Leptocúrtica Platicúrtica En el ejemplo de los gastos diarios en periódicos como Q3=8.8; Q2=7.0; P90=9.7 y P10=6.1 la curtosis de la distribución es 0.25; por tanto, la distribución es ligeramente platicúrtica.
100.. xxS
VC ��
���
�=
%4.1610087.7
293.1.. =�
�
���
�= xVC
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 11
GRÁFICOS DE CAJAS • Tercer Cuartil: Q3= 8.8 • Segundo Cuartil: Q2= 7.8 • Primer Cuartil: Q1= 7.0 • Rango Intercuatílico: IQR= Q3-Q1=8.8 -7.0=1.8 • Límite inferior: Q1-1.5(IQR)= 7.0-1.5(1.8)=4.3 • Límite Superior: Q3+1.5(IQR)= 8.8+1.5(1.8)=11.5
4.3 7.0 7.8 8.8 11.5 • La mitad (50%) de los datos son menores a 7.8 • La mitad (50%) de los datos toman valores entre 7.0 y 8.8 • La cuarta parte (25%) de los datos son menores a 7.0 (Antes de Primer Cuartil) • La cuarta parte (25%) de los datos toman valores entre a 7.0 y 7.8 • La cuarta parte (25%) de los datos toman valores entre a 7.8 y 8.8 • La cuarta parte (25%) de los datos son mayores a 8.8 (Después del Tercer Cuartil) • Los datos tienen mayor variabilidad entre 7.8 y 8.8. • Los datos superiores a 11.5 y los datos inferiores a 4.3 se denominan ATÍPICOS REGLA EMPÍRICA Cuando la distribución de frecuencia es simétrica:
( 68% ) 7.87 6.577 9.163
5.284 ( 95% ) 10.456
3.991 ( 99.7% ) 11.749 Si el Promedio es 7.87 y Desviación estándar 1.293 podremos afirmar que: • 68% (22 datos) están entre: [7.87+1(1.293)]=9.163 y entre [7.87-1(1.293)]=6.577 • 95% (30 datos) están entre: [7.87+2(1.293)]=10.456 y entre [7.87-2(1.293)]=5.284 • 99.7% (32 datos) están entre: [7.87+3(1.293)]=11.749 y entre [7.87-3(1.293)]=3.991
Arturo Rubio Apuntes Estadística General 12
TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES
Si la variable Xi tiene promedio X y variancia S2x y sea la trasformación lineal: Yi=aXi+b
• El promedio de la variables Yi es : bXaY i += • La variancia de la variables Yi es: S2
Y=a2S2X
• La desviación estándar de la variables Yi es: SY=a SX Ejemplo: Las calificaciones de un examen de estadística son: Nota Xi fi Fi fiXi fiX
2i
0-4 2 3 3 6 12 4-8 6 10 13 60 360 8-12 10 39 52 390 3900 12-16 14 38 90 532 7448 16-20 18 7 97 126 2268 Total 97 1114 13988
Promedio = 11.4845 Mediana = 11.641 Moda = 11.867 Variancia = 12.44 Desviación estándar = 3.53 Si el profesor decide transformar las calificaciones en la forma: Yi=0.8Xi+2 • El promedio de la notas modificadas Yi es : 1876.112)4845.11(8.0 =+=Y • La mediana de la notas modificadas Yi es : Me =0.8(11.641)+2=11.313 • La moda de la notas modificadas Yi es : Mo =0.8(11.867)+2=11.493 • La variancia de la variables Yi es: S2
Y=0.82(12.44)=7.96 • La desviación estándar de la variables Yi es: SY=0.8 (3.53)=2.82 Verificación: Utilizando la tabla de frecuencia transformada donde c=3.2:
Nota Yi fi Fi fiYi fiY2i
2-5.2 3.6 3 3 10.8 38.88 5.2-8.4 6.8 10 13 68.0 462.40 8.4-11.6 10.0 39 52 390.0 3900.00 11.6-14.8 13.2 38 90 501.6 6621.12 14.8-18.0 16.4 7 97 114.8 1882.72
Total 97 1085.2 12905.12 Promedio = 11.1876 Mediana = 11.313 Moda = 11.493 Variancia = 7.96 Desviación estándar = 2.82
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 1
����� � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� �� � � ������� � ����������� ���������������������������� ���������������������������������������������� ����������������������������������� �������������������� ��������������� ��!�!���������
���������������� � �� ��� �� ��!�!��� ���� ������� ��� ������� "� ��� �#��� ����� ������������������� ��������$��������������#�����!���������������$�������������� ��!������
blescasos posiNúmero de rablescasos favoNumero de
pNfN
AP ==)()(
)( �
��%�� ������������%&������������ �������������''�(�!�����������(�����)��#���������&���(������(�!�������������������������������*������������������������������������%&�*���� ��!�!������������������ ����������������(�!���&������������������������������
2.05511
)()(
)( ====blescasos posiNúmero de
rablescasos favoNumero de pNfN
AP �
��������� �� ���� �� ��!�!������������������������"�����#��������������������������������������$��������������#�����!������!����������������������������������������������!����������
a de muestrTamañorablescasos favoNumero de
AP
)( = �
��%�� ���� + ������� ��� �,�� �������� ��� ������ ���!&� �-*'��� ������ �� ���� ������� '�������������� �������������������.� ��������*����!���������#������������������!�������*���� ��!�!���������� ������������������������������������������������ �����������
04.012500
500)( ===
muestraTamaño de rablescasos favoNumero de
AP �
��� � �� �� ��!�� ���!� ���/����������� ���������� ������#���������!���0���������������� ����!�����"�������������� ���������������� ���������!���������������������������������������#����������������������������������� ���������������� ���!������%�� �����• ���������������*�����!���������������'�1����������������• ������������������,�*�����!��������������� �� ���&�����������������������'�1�• ��������������������������������� ������������� �&����!����������������!���• )��������������������� ���%���0���������������� ���������������������������&�
sexcluyenteeventos son Atos A y Los evenAPAPAAP
P
AP
MuestralEspacioP
AP
ccc 1)()()(
0)( 1)(0
1) ( 0)(
=+=∪
=≤≤
=≥
φ
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 2
"� �������# ���! ������������%�������������������������� ��!����������� ��������������������%�� ������• �������� ������������������������������������!���������2���������
/����� 3������ 4 ������ �������
� )� )� )�)�)�
)� � 3� )�)�3�
� 3� )� )�3�)�
� � 3� )�3�3�
� )� )� 3�)�)�
3� � 3� 3�)�3�
� 3� )� 3�3�)�
� � 3� 3�3�3�
������ ����������������������%�����#������ ���5������������36� 78)*)*)9.�8)*)*39.8)*3*)9.�8)*3*39�83*)*)9�83*)*39�83*3*)9�83*3*39:��• �������� ����������������������������� ��������*������ ������������������
�������� 8�*�9� 8�*-9� 8�*29� 8�*;9� 8�*'9� 8�*<9��������� 8-*�9� 8-*-9� 8-*29� 8-*;9� 8-*'9� 8-*<9��������� 82*�9� 82*-9� 82*29� 82*;9� 82*'9� 82*<9��36�� 8; *�9� 8; *-9� 8; *29� 8; *;9� 8; *'9� 8; *<9��������� 8' *�9� 8' *-9� 8' *29� 8' *;9� 8' *'9� 8' *<9��������� 8<*�9� 8<*-9� 8<*29� 8<*;9� 8<*'9� 8<*<9������ ������������������#������ ���2<�����������
�$� �%��!��&�������� ��� ��!���%����� �� ���������� ���� ���������� ��� �� ���� ��������� �� ���� ��� ��� ������������=�����������������%�� ������• ��������������!������ ������������������������������������������2������������6�78)*)*)9.�8)*)*39.8)*3*)9.�83*)*)9�:������; ����������*���������� ��!�!����������������
�
500.084
)()(
)( ===pNfN
EP �
�• "������������ ��������*������������������������>������������!���%������
��6�7�8�*�<9��8-*�'9��82*�;9��8; *�29��8' *�-9���8<*��9�:����������������<����������*� ������������ ��!�!��������������������
1667.0366
)()(
)( ===pNfN
EP �
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 3
'� �%��!��# �!��� ��!�� ���(��!���+ ��� �������� ���� ����������� ������������ ������ ���� ����� ������� ���� ��� ��� �������� ��*�������*� ��������������������������� � ����������������� ����������������������/��������*���-���������������������������������������(�!�����������&���������������
0B)P(A Luego B =∩= φ� Aentes : on excluyevento B sto A y el Si el even �
��%�� ���� ����������������������������������������#�������$�����������������
� � � � � � � � ��������
� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ��� � � ?&������ "������ "�������
�4 �����
@��������� ���� ��� ��� �-��
������%����� 2�� 2�� -�� 5��
4 ����� �2�� ;�� 2�� -���
� ��� �������� ?67?&�����:� �� "67"�����:� ���� ����������� ������������ ���� �� �������� �������� ��� ������� �� ����� ������*� ���$�� ������� ���� ���������� �� ��� ���� �� ������ ����������=����+ ����������*���� ��!�!���������������������������%�����&������������
85.0200170
20040
200130
)()()( ==+=+=∪ APJPAJP �
�3����!����*� �������������?67?&�����:����67������%����:������������������������������� ����(�!��������������������%&�����������!0��������%����.� ��������*���� ��!�!�������������������������������������������������%�����&�������%���������
9.0200180
20030
20080
200130
)()()()( ==−+=∩−+=∪ EJPEPJPEJP �
�
3�A ��B������������������������������ ��P(A U B) = P(A) + P(B) -P(A ∩ B) ��
��
������� A Ac 4 �����
B P(A∩B) P(Ac∩B)� P(B)�Bc P(A∩Bc)� P(Ac∩Bc)� P(Bc)�
4 ����� P(A)� P(Ac)� ��
CBA ∩ BA c ∩
BA ∩
CC BA ∩
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 4
)� �%��!��� ��������!��� ��� �������� "� �� A � ���� � �������� ������ ��� ���������� �� ��� ���������� �� ���� �� ������������ ��� �#����� �� ��� ��!�!��� �� ���������� ��� ����� ��������� �� ��!�!���)B @+ C)CB @" ����������������������"�����������������A ����(�������������#���������
)|()()|()()(
0Pr0
ABPAPBAPBPBAPLuegoP(A)
B)P(AB|A)te P(Similarmen
(A|B) se toma )Cuando P(Bo para P(B) P(B)
B)P(AP(A|B)
==∩
∩=
==≠∩=
�
�%�� �������������%���������� ���%����0�����5� ��������������#�����84 9���-� ���%������ ����� ���� �����#����� 8@9.� �� �� ����� ���%����� �� ���%��� �������� ��� ����� �� �������� ������ -� ���%��.� ��� ������ ��� ��������� ��� �� �������� ��������� �!�� ������������������������������ �����������&���#���������������������������!����=���������������������&�.������*������������8��!����� ��!�!���9���������� ������������������������
/������3�����&�� 3������3�����&�� ������� /��!�!����
�
5D�����������T1�
�
>DE�����T2�
T1∩T2� 90
5697
108 =�
�
���
���
���
��
� �
-DE�����N2�
T1∩N2� 90
1692
108 =�
�
���
���
���
��
�
-D����������N1�
�
5DE�����T2�
N1∩T2� 90
1698
102 =�
�
���
���
���
��
� �
�DE�����N2�
N1∩N2� 90
291
102 =�
�
���
���
���
��
� � 4 ����� �����
� ����������������������!����� ��!�!��� ���������������������!������������
/�������������&���3�������������&�� 4 ����#��!�����8�T1�9� @��4 ����#��!�����8�N1�9�
�4 B 4 " �
4 ����#��!�����������8�T2�9� '<DE�� �<DE�� >-DE��
@��4 ����#��!�����8�N2�9� �<DE�� -DE�� �5DE��
4 B 4 " � >-DE�� �5DE�� ��
�3���� �������������&������������� ���%��������#��!���*���� ��!�!���������������������������&������!��������� ���%�����������#��!��������
92
7216
90729016
)()(
)|(1
2112 ===
∩=
TPNTP
TNP �
F �!0����������=����� ���%��������#��!���������� �������������&�*���� ��!�!���������������������������&�����!0������!��������� ���%��������#��!����������
97
7256
90729056
)()(
)|(1
2112 ===
∩=
TPTTP
TTP �
�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 5
*� �%��!��+����������!���3���������������������"���A ������� �������������������������������������������������������������������#������� ��� ��!�!��������������������������������/��������*����� ��!�!�������������#������ ������(��(������(����� �����������������������
)()()( )(
)(
BPAPBAPLuego
BPB|A)te P(Similarmen
APP(A|B)
=∩=
=�
��%�� ����3�������%���������� ���%����0���������5����������#��!����84 9���-� ���%������ ��������������#�����8@9*���������������������������� ������-� ���%��.������������������ ������������������!�������������������������������� �����������&������#�����������������������������������&�.�����������������!����� ��!�!����������
/������3�����&�� 3������3�����&�� ������� /��!�!����
�
5D�����������T1�
�
5D�������T2�
T1∩T2�
�<;D���6��<;�
� �
-D�������N2�
T1∩N2�
��<D���6���<�
�
-D����������N1�
�
5D�������T2�
N1∩T2�
��<D���6���<�
� �
-D�������N2�
N1∩N2�
�;D���6���;�
� � 4 ����� �����
� ����������������������!����� ��!�!��� ���������������������!�������������
/�������������&���3�������������&�� 4 ����#��!�����8�T1�9� @��4 ����#��!�����8�N1�9�
�4 B 4 " �
4 ����#��!�����������8�T2�9� ��<;� ���<� ��5��
@��4 ����#��!�����8�N2�9� ���<� ���;� ��-��
4 B 4 " � ��5�� ��-�� ��
�3���� �������������&������������� ���%��������#��!���*���� ��!�!���������������������������&������!��������� ���%�����������#��!��������
)(102
80.016.0
)()(
)|( 21
2112 NP
TPNTP
TNP ===∩
= �
�F �!0����������=����� ���%��������#��!���������� �������������&�*���� ��!�!���������������������������&�����!0������!��������� ���%��������#��!����������
)(108
80.064.0
)()(
)|( 21
2112 TP
TPTTP
TTP ===∩
= �
�
/��������� ����������
04.0)20.0)(20.0()()()(
16.0)20.0)(80.0()()()(
64.0)80.0)(80.0()()()(
2121
2121
2121
===∩===∩
===∩
NPNPNNP
NPTPNTP
TPTPTTP
�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 6
,� � ����������- �!���������� �������������3�����#������� ��!�!���/���������������7"�*�"-*�"2*����"�:�������������������������������������� ����������� �� ����
[ ]
��
�
==
=
∩==
+++=∩++∩+∩+∩=
∩∪∪∩∪∩∪∩=∩∪∪∩∪∩∪∩=
∩∪∪∪∪=∩=
==∪∪∪∪
n
ii
n
iii
nn
n
n
n
n
n
iiin
AAPAPAAPAP
APAAPAPAAPAPAAPAP
AAPAAPAAPAAAP
AAAAAAAA
AAAAAAAAA
AAAAAA
ASA
ónDemostraci
APAAPAPentoncesSAAAA
11
2211
321
321
321
321
1321
)()()|()(
)()|(.......)()|()()|()(
)(....)()()(P)(sexcluyente mutuamente eventosson Como
)(......)()()(PP(A)
)(......)()()(
)......(
)()|()( ......
�
��%�� ��������������� �0����������������������!�������#���� ��!��� ���������������������0��*�������������� �3��� ��!&����<�1������� �0����������������������3-�� ��!&����;�1����������� �� ��!�!��������������������3��� ���!����� �0���������!��!���8C9��������.��������� ���� ��� ����������3-� ����� ��!�!��� ������-��3� �� ��� �������� ������ �� ��������� �� ��� ��������� �������� ��� ����� ��� �0�����*� G)���� ��� ��� ��!�!��� ���� ��� �0�������������������!��!��H��3��������������� ����������������������������� ��������*������!����� ��!�!����������
3��������� C���!��!��� ������� /��!�!����
�
��<���������&��
�
��������+
S1∩+��
8��<98����96����<�
� ���EE ����.�
S1∩N�
�8��<98��EE96��'E;�
�
��; ���������&��
�
���-����+�
S2∩+��
8��;98���-96����5�
� ���E5���.�
S2∩N�
�8��;98��E596��2E-�
� � 4 ����� �����
� �� ��!�!���������������� �0�������������������!��!���������
014.0)4.0)(02.0()6.0)(01.0()()|()()|()()|()( 2211
2
1
=+=+==�=
SPSIPSPSIPSPSIPIPi
ii �
������������������������ ��!�!���������� �������������
4 ����/�0������ 3�����������8&�9� 3���������-�8&�9� 4 �����
+���� ����������8�+�9� ����<� ����5� ����;�
.�+���� ������8�.�9� ��'E;� ��2E-� ��E5<�
4 ����� ��<��� ��;��� ������
�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 7
/� - �0 1�# � � �2� 3�&��� ��� ��������� �� ���� �������� ������������� ��� ��!�!��� ����������� ���� ������� ����������"����������(�������������������"������������ �����������&�����������
�=
=∩
=n
jjj
iiii
APAAP
APAAPAP
AAPAAP
1
)()|(
)()|()(
)()|( �
)����#��� ��� ��!�!��� ��������� �� ��� ������� ���� ������� ��� ��� ������ ���&����������������������(��������������������� ��=#���������������� ���&���������������������%�� ���������������� �0��������������������������&��������!��!���8C9*�G����������� ��!�!������������ �0������(�������� ��!��� ����������������3��H��
4286.0014.0006.0
)4.0)(02.0()6.0)(01.0()6.0)(01.0(
)()|()()|()()|(
)|(2211
111 ==
+=
+=
SPSIPSPSIPSPSIP
ISP �
� �� ��!�!����"/ICB IC��������� �0������������������������������� ����������������3�� ��� /83�96��<��)��� ��� ���������� A����� ��� �������� ��� ��!�!��� �"/B 34�ICB IC��/83�JC96��;-5<� ���� ����� �� ���� ���� ��!�!��� �������� ��� !���� ��� ������� �� �����!������&���������������� ���������� �������������������������� ��!�!����������������������#�������������������������������������������%�� ����K�����������(�������������������� ��� ��!������!������������(��������)�%������*� �����������������&���#����� �������������������������� � � ���������������A�����/������������� ���!����� �0�������������������������������������3������������������ �0�����*���� ��!�!������!������������(����������E�.��������������*���������!�� ��� �0�����*� ��� ��!�!��� �� �!��� ��� ������ (����� �&��� ��� ��-��� �� ��������������������� ��!�!��������!����� �0�����������<���������������• �� ��!�!������������������(�����������������������(��������)�%�������• 3�� ��!�� ���� ��� (����� �� )�%������� #��� �!����*� G����� ��� ��� ��!�!��� ���� (����
���!����� �0�����H��
/�0������ " ������� ������� /��!�!����
�
��<���������&��
���E �����3"�
Sp∩SA�
�8��<98��E96��';�
� ���������@"�
Sp∩NA�
�8��<98���96���<�
�
��; ���������.��
���-�����3"�
Np∩SA�
�8��;98��-96���5�
� ���5����@"�
Np∩NA�
�8��;98��596��2-�
� � 4 ����� �����
�
orid AposterirobabilidaSP
SSPSSP
nal Condicioobabilidad
NAPNPSSPSPSP
el hotelaperturar de Total obabilidad
A
APAP
PPPAPA
P 871.062.054.0
)()(
)|(
Pr
62.008.054.0)2.0)(4.0()9.0)(6.0()|()()|()()( Pr
==∩
=
=+=+=+=�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 8
4 � 1+� 25�� 5�� - 0 1+� ���� ��� �������� ���0����� ����� ������ �������� �� ��� ������� ��������� �� ���� ������ ���� ������������������.� ������������������������!�������������������#������������L ���!����"��������������!�!�%���� � ��� ���������!��������������=���-��L ���!����"�������������!�!�!�%����� 3���� ���������#��������0���*� �����������• ����!�!�!�%�� � ��� �!���� 4 ����� �������� ���������� �� ��� ����� ��������� ����� ����
�������� ��!����%�������������� ������� ��!�!������������������• ����!�!�!�%�� ���!������� 4 ����� �������� ���� ��� �� ������ ���� ��������� ������ �� ���
��������� �� ���� �$������ �������� @�� ��� ��!��� ������ ����� ���� �������� ���� ����� �������!���%����������� ��!�!����������� �������*� ��������*������� ��!�!�����������������������0��������#���&����������������������� ��!�!�������
��%�� ����3������ �� ����������� ���� ��� ������ ����������2� ������ �� ��� �#��� ��� ����!������������M��6�@$����������������������������������������������������� ��!������
/����� 3������ 4 ������ ������� Xi /�86�9�� � � ��� 3 ���-'�
� � 3� ���3� 2 ���-'�
� 3� � ��3��� 2 ���-'�
� � 3� ��3�3� 1 ���-'�
� � � 3���� 2 ���-'�
3� � 3� 3���3� 1 ���-'�
� 3� � 3�3��� 1 ���-'�
� � 3� 3�3�3� 0 ���-'�
� ������������������� ����������������������!�����#�������������������
Xi ��6��0 ���-'�
1 ��2>'�
2 ��2>'�
3 ���-'�
4 ����� ��
�F ����������
0.125
0.375 0.375
0.125
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0 1 2 3 Xi
Pr(Xi)
�/8MN-96/8M6-9O/8M6296��2>'O���-'6��'��
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 9
� +&- 1+27 �+8 .� ��10 2� 2+5+� � � �&� �4 � 1+� 25�&� +&�1�- � &�3����������!������������M��������������������������������� ��!�!����������������
6� ��6��6� /8M���9�
6� /8M-9�
�
69 /8MP9�
4 ����� ��
�
��#���&�� 1)P(X0 i ≤≤ ������������#���&���� ��!�!���������� =k
1=ii 1)P(X ����
�%�� ����"������������ ���������!���������*������ ������������������
�������� 8�*�9� 8�*-9� 8�*29� 8�*;9� 8�*'9� 8�*<9��������� 8-*�9� 8-*-9� 8-*29� 8-*;9� 8-*'9� 8-*<9��������� 82*�9� 82*-9� 82*29� 82*;9� 82*'9� 82*<9�
�S6�� 8; *�9� 8; *-9� 8; *29� 8; *;9� 8; *'9� 8; *<9��������� 8' *�9� 8' *-9� 8' *29� 8' *;9� 8' *'9� 8' *<9��������� 8<*�9� 8<*-9� 8<*29� 8<*;9� 8<*'9� 8<*<9�
������ ������������������2<����������������0������#����������!��������������Xi���3���������� ��������� ������������������
X i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 �����
/86�9�� �D2<� -D2<� 2D2<� ;D2<� 'D2<� <D2<� 'D2<� ;D2<� 2D2<� -D2<� �D2<� ��
/86�9� ���->� ���'<� ���52� ������ ���2E� ���<>� ���2E� ������ ���52� ���'<� ���->� ��
�
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Xi
P(Xi)
� ����� � � ���������JQQ�-�;�'�QQQQQJQQQQQQQ�-�;�'QQJ� � �
������������� � �������������6�:*�/����������� �������*����� ��!�!������!�����������������������������������
• /8M�6�>9��6�<D2<6����<<>�• /8M�R�;9��6�/�8M6-9O/�8M629�6��D2<O-D2<6�2D2<6����522�• /8M�S�E9��6�/�8M6��9O/�8M6��9O/�8M6�-9�6�2D2<O-D2<O�D2<�6�<D2<6����<<>�• /8M�N�;9�6��Q�/8M6-9O/8M629�6�Q���5226��E�<>�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 10
4 ��� ���� �������� ��;�# �!�� �!��������4 � ������ ���!� ������ ��� ������ ������� �� ���� ��������6�� �������� ����� #�������� �� ������&�� ������� ������� ��!�!����� �� ���������� /86�9�� ��� ��� ������ �� ��� ����!��� ��������� ������ ����=������������������������� ��!�!������ �����/��������
)P(XX.....)P(XX)P(X X)P(XX)= E(X kk
k
i=iii +++=� 2211
1�
�4 � �����������4 � ������ ���!� �������������������!����������������������!��������������� �������������� ��������������!��&���� ��!�!�����
[ ] 1
(2 2�K
i=XE)-i P(XiX)= iV(X i �
� �� ����!��� ���������6�� ��3���� �� ���� ������ �� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� ����!���������������������������!��&���� ��!�!��������
Xi
�/86�9�
�M/8M9�
�
)P(X X i2i �
2 �D2<� -D2<� ;D2<�
3 -D2<� <D2<� �5D2<�
4 2D2<� �-D2<� ;5D2<�
5 ;D2<� -�D2<� ���D2<�
6 'D2<� 2�D2<� �5�D2<�
7 <D2<� ;-D2<� -E;D2<�
8 'D2<� ;�D2<� 2-�D2<�
9 ;D2<� 2<D2<� 2-;D2<�
10 2D2<� 2�D2<� 2��D2<�
11 -D2<� --D2<� -;-D2<�
12 �D2<� �-D2<� �;;D2<�
�4 �����
���
�-'-D2<�
��E>;D2<�
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Xi)
��������JQQ-�;�'��JQQ-�;�'QJ�
�8696*�
� ���� ��������������������������!������������6����3���������� ��������� ��������*��������������������� ����=������!��������������� ���������� ����������� ����������
����������� �������M����� � 736252
1
==�k
i=iii )P(XX)= E(X ������
��L ���������M����� � 83335736
1974
1
222 . =)()})-{E(X P(XX)= V(XK
i=iiii � −=
��+ �����&������������M����� S(X i ) . .= =58333 2 415��� ������)��#�������������&����M����� )L 8M96�8-�;�'D>9���62;�'1�
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 11
4 ��� ���� �������� ��;�# �!�� �!�������- �� ���� ����������3�� �������� ��� ��� �� ���� !���������*� �#���� ��� ����!��� ���������6�� ��3���� �� ���� ����������������������� ����������%���������������
• /������� ���������������������� ����������������• ������������ ���� �����������%������!�� �����'���������
�)������� ��� ����� �� ����� ���� ������ ���� ���� ����� ��� %����� �� ��� ���#������ �������&�������� ���������
Xi
�/86�9�
/�������6��
�)�����
K����7 �
�K/8K9�
�
)P(U U i2i �
2 �D2<� -�� '�� <"= Q2�D2<� E��D2<�
3 -D2<� 2�� '�� <�= Q;�D2<� 5��D2<�
4 2D2<� ;�� '�� <�= Q2�D2<� 2��D2<�
5 ;D2<� '�� '�� �� �� ��
6 'D2<� <�� '�� ��� '�D2<� '��D2<�
7 <D2<� >�� '�� -�� �-�D2<� -;��D2<�
8 'D2<� 5�� '�� 2�� �'�D2<� ;'��D2<�
9 ;D2<� E�� '�� ;�� �<�D2<� <;��D2<�
10 2D2<� ���� '�� '�� �'�D2<� >'��D2<�
11 -D2<� ���� '�� <�� �-�D2<� >-��D2<�
12 �D2<� �-�� '�� >�� >�D2<� ;E��D2<�
4 ����� �� � � � >-�D2<� 2';��D2<�
� ���� ��������������������%�������
����������� �������K����� � 2036720
1
==�k
i=iii )P(UU)= E(U ������
�
������������K����� 33.5832036
35400
1
222 =)()})-{E(U P(UU)= V(UK
i=iiii � −=
�
��+ �����&������������K����� 15.2433.583)S(U i == �������)��#�������������&����K����� )L 8K96�8-; ��'D-�9���6�-��><1��
.�!��� ��������������������������� ������������������#�����&���K6�=MQ'= ��
2050)7(1050X10 =−=−=U �������
15.24)415.2(1010
33.583)833.5(1010 2222
======
XU
XU
SS
SS�
���
Apuntes Estadística General Arturo Rubio 12
F �����������
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70
Utilidad
P(Ui)
E(Ui)=20 |----------24.15……….|------------24.15----| -4.15 44.15 Preguntas: • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de 20 soles?: 6/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de 20 soles ó menos?: 21/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de más de 20 soles?: 15/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad de más de 50 soles?: 6/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre 0 y 40 soles?: 24/36 • ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre el promedio mas menos una
desviación estándar?: P(-4.15 < Utilidad < 44.15) � P(0< Utilidad < 40)= 24/36= 0.6667
• ¿Cuál es la probabilidad de lograr una utilidad entre el promedio mas menos una desviación estándar?:Por la regla empírica: 0.68
1
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD �
A.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS �
� � ��� � ��� � ����� �����
�������� �� �� ��� �� ���� �� ������� ����� ���� ���������� ������
�� ��� �������������
�
• ��� ���� ������ ���� ����� �� �������� �������� �� ����� �����
�������������� �� � ����������� �� ������ � �!����"#�� �� �������
$��� �������$ �����"%���� ��������$��� �����
• &��� �������������� ����!������������������������������������������������������������������� ���������
• '� ����������������������� !������"��� �� �!����! ����#$�
�
&��� ������������( � ����%� ������������������������������ ���� ��
�
)1()( : )( :
)1(!)!(
!)(
)1()(
PnPxVVariancia
nPxEMatemáticaEsperanza
PPxxn
nxP
PPCxP
xnx
xnxnx
−==
−−
=
−=
−
−
�
�
&'�� �����&��� ���������)������������)�� �� ����(���������*��+ , -'���(��!�� ����'��� �� ���� ��� �� �"%��%� �� ��� �(����� � ���*�� .� ����� '�� ���
��������������������������������������������������(�������
�
��)�������� �������'�"�'����/�0�"�0���������*����1������
�2���#� 2����� 2���.� ������ � � �3��4�
� %��%��������� %��%���� ���� )� %�%%5�
%��%���� � %�5%��0� ��0� *� %�%.��
� %�5%����0� %��%���� �0�� *� %�%.��
� � %�5%��0� �00� �� %�#�5�
� %��%�������� %��%���� 0��� *� %�%.��
%�5����0� � %�5%��0� 0�0� �� %�#�5�
� %�%5���0� %��%���� 00�� �� %�#�5�
� � %�5%��0� 000� +� %�6#��
�
'�$�������� ���������� ����
� ��07� �������)������(������������*����1�������
�
2
�������� ����������� ����
�".�2����������������������3������4�
�"%��%�� ������������ �����*����1������������������)�� ��
,-+.�.*.)�2����)���������*����1������������.��������������
�
&����� ���������� ���������������� ���������� ���8 ����
�
,� xxxCxP −−= 33 )2.01()2.0()( �
+� 512.0)8.0()2.0()0( 3030 === CxP �
�� 384.0)8.0()2.0()1( 2131 === CxP �
*� 096.0)8.0()2.0()2( 1232 === CxP �
)� 008.0)8.0()2.0()3( 0333 === CxP �
+ ����� 1
�
0.512
0.384
0.0960.008
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 3
X: Días que vende pasajes a Italia
P(X)
��� �������� ���������� ���������� ����������� �$����)���
�
• ��� ��������� �������38 4"9 ��3�4"��".3%��4"%�:�����*����� ������
�
• ;� ��������; 38 4"9 ��<=�3�4>��"���3#<�4".3%��43%�54"%�?5�
�
• @A� ���� ��� � ���������)��� ���� ����� �������.������� ���*�B� ���
�(��������������*����1������������������.����C�
�
008.0)80.0()20.0(!3)!34(
!4)80.0()20.0()3( 03033
3 =−
=== CxP �
�
• @A� �������� ���������)��������� �������.������� ���*�B�����(�����
���������*����1�������������� �����C��
�
104.0008.0096.0)3Pr()2Pr()1()2(2
=+==+==−=≥ �=
− xxPPCxPn
x
xnxnx �
3
* � ��� � ��� � ��� ��� ��
�
���������� ������������ ���� �������������������� ���������� ����
������ ��� ����������(�������
• ��� ����������������7� ������ ��������������������� ����
������/�3� �����������4��
• &���� ���������� ���������������� �/�+.��.�*.�).�0.1�
• &��� ������������� ������������������������� ������������
��� ��� ����������������������������������� ����������������� �������
• �� ��������� ������������3 ����������4��������������$��� �����
��������� �������#����� �� ����������� ���� ����� �� ������
��� ����������”��• &���� ���������� �������������7� ���!������)�����������������
������������� ����������� ������������������������������
�
&��� ��������������� � �����!���������
�
nPxVVariancia
nPxEMatemáticaEsperanza
.Donde exe
xPx
====
==−
λλ
λ λ
)( :)( :
828712 !
)(
�
�
&'�� ���/� �� �� �� ����� � ��� �� ������ ��������� ���� ��� �������� �
���������� ��!��������* ������� �����)��$������������������ �����
�
�� ��������������� ����������� ����
,-+.�.*.).01$�07� ����������������)��$���������* ��� ���������
�x 22
( ) ; 2! !
xe eP x Lamda
x x
λλ λ− −
= = = �$������������
�
��!
2)(
2
xe
xPx −
= �
+� �3�"%4"�%<�D%E"%�#.6.?�
�� �3�"#4"�#<�D#E"%��F%:F�
*� �3�"�4"��<�D�E"%��F%:F�
)� �3�".4"�.<�D.E"%�#5%?6�
0� �3�"?4"�?<�D?E"%�%G%���
1� H H H H H H �
+ ����� #�
4
I ����( ����
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fallas (x)
P(x)
��
�� �������� ���������� ���������� ����������� �$����)���
• ��� ��������� ������38 4"J"���� ���������������$�������������
• ;� �������; 38 4"9 ��<=�3�4>�"�J"��
�
• @A� �������� ���������)��� ���������$�������������.����C��
18044.0!3
2)3(
23
===−e
xP �
�
• @A� �������� ���������)��� ������������$�������(������C��
13534.0!0
2)0(
20
===−e
xP �
�
• @A� �������� ���������)��� ���������$������� �����������C��
�
A���� ����)��9 �3�4"��3�"%4K�3�"#4K�3�"�4K�3�".4KH �"�#�
�
[ ] [ ] 59399.027067.013534.01!1
2!0
21)1()0(1)1(
2120
=+−=��
���
�+−==+=−=>
−− eexPxPxP �
�
• @A� �������� ���������)�����������$����.����C��
�
����������� 12/2 Lamda ; !
1
!)(
1x
====−−
λλ λ
xe
xe
xPx
�$��������������
�
06138.0!3
1)3(
13
===−e
xP �
�
5
) � ��� � ��� � ��2 ��&� 3 & &� � ���
�
2�� ����������� ������������ ������������ ��� �������������
• ��� ���� ������ ���� ����� �� �������� �������� �� ����� �����
�������������� �� � ����������� �� ������� �!����"#�� �� �������
$��� �������$ �����"%����� ��������$��� �����
• ���������������������$�����������L����������B�������������
���������� ������������3�4�4�������� ������������������
• '���(�������� ����� ������� � 5���������������������������
'� $��� ��� �� ����� ����� ��� ���� ����� �� ��7� �� � ������� � ���
���� �� )�� ���� �� �� ������ ������(��B� &�� � ��������� � ����� � �
��"M��!��������������� ���������� �����������
�
�
��
−−
�
��
−=
=
=
��
���
��
���
−−
��
���
==−
−
11)( :
)( :
)(
NnN
NA
NnA
xVVariancia
NnA
xEMatemáticaEsperanza
C
CC
n
N
kn
AN
k
A
kxPNn
ANkn
Ak
�
�
&'�� ���/�� ������ ������������������ ������%�������������������#6�
�� �� �������$����� �� � ��� �������� ������� '� ��(� ���� ���� �� ����
����������?��������������� (������������������� ���� �������
�� ������ �������
0"�%���������������/�
�"#6����������������������$����������������/�
0<�"6��������������������$����������������/�
�"?��7� �����������(���������� ������� ������/�
�/�+.�.*.).0���������������$����� ����������������� ���
�
,�204
54
15
)(C
CCxP xx −= �
+� �3�"%4"A%#6A?
6DA?�%"%�%%#%.�
�� �3�"#4"�A##6A.
6DA?�%"%�%.%G:�
*� �3�"�4"�A�#6A�
6DA?�%"%��#:F��
)� �3�".4"�A.#6A#
6DA?�%"%�?:G6:�
0� �3�"?4"�A?#6A%
6DA?�%"%��5#F.�
+ ����� #�
6
I 1'+ N O -�P ��
�
0.001030.03096
0.21672
0.46956
0.28173
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4
Clientes insatisfechos
P(x)
��
63158.0120420
2015
120
)15(41
1)( :
320
)15(4)( :
=�
��
−−
�
��
−=�
��
−−
�
��
−=
===
NnN
NA
NnA
xVVarianciaLa
hosinsatisfecClientesNnA
xEMatemáticaEsperanza�
�
2� ��������� ������������(�������
�
• Q ��.���������������� ������$�������� ��������$������
�
46956.0
!16!4!20
!4!1!5
!12!3!15
)3Pr(204
51
153 =
�
��
�
��
===C
CCx �
�
• �� ���������.���������������� ������$�������� ��������$������
�
75129.028173.046956.0)4Pr()3Pr()3Pr(204
50
154
204
51
153 =+=+==+==≥
C
CC
C
CCxxx �
�
• �� ���������#��������������� ������$������� ��������$�����
�
A���� ����)��9 �3�4"��3�"%4K�3�"#4K�3�"�4K�3�".4K�3�"?4"#�
&�(��� � �3�R#4"#<�3�"%4�
�
99897.0.000103.011)0(1)1(204
54
150 =−=−==−=≥C
CCxPxP �
�
�
7
�$4� � ��� � ��� � �&��� &�6 �� ����&�� �� ��� ���
�
� � ��� � ��� � ��� � ���
'��8 ���������� ���������� ������������)���� ������� ������� �����
�� ����B�����������$��������� ������������
∞≤≤∞=−−
i
X
i Cuandoexf x- 2
1)(
22
)(2
1
2
µσ
πσ�
�
�
�
�
�
� � 4∞��� � � ���� ��� � � 7∞� �����,��
� � � �������σ �����σ � ��
2)(
)(
3.1416y 7183.2 :
σµ
π
=
===
xVVariancia
xEMatemáticaEsperanza
eDonde
�
�
�� �������� � ���� � ��������������������� ����)�� ��������� ��
� ���� � ���� � �� ��������� ��� ���� ����� ��*�� ���� $������B�
�� �� ��� ����� � � ���� ��� � ���*� � ���� � ������ ���( ��� �� ������� � ���
��� ���������� ������ �� �3������ ��� ��� �����4��
�
� ��� 8�� 5������ ���&����!�� 9�!��
�� �� ���� �� ����� 8 �� )�� ���� ���� ��� �������� �� ���� �� $��� ���
� ���$� ��������σ
µ−= i
i
XZ ��������� ��������� ��
∞≤≤∞=−
i
Z
i ZCuandoexfi
- 2
1)(
2
21
2π�
�
�
�
�
�
�� � 4∞��� � � ����+� ��� � � 7∞� �����,��
� � � �������������������������� �
�
1)(
0)( 3.1416y 7183.2 :
==
==
ZVVariancia
ZEMatemáticaEsperanza
eDonde π�
8
� ����� ��� 5��!��������8�'�������(������ ���
&����!�� 9�� 5��!��(�� �8�������� ����/� � σµ−
= ii
XZ �
�
&��� �����*������� ����� ��������� �������� �������������������S �
�
�
#� � [ ] 99396.051.2Pr =≤Z �
�
��K��6#�
�
�
�
�� � [ ] 00604.051.2Pr =−≤Z �
�
� � � � � � � � ���<���6#�
�
�
�
.� � [ ] 96837.000604.097441.095.151.2Pr =−=≤≤− Z �
�
� � � � � � � � ���<���6#�����%���K#�G6�
�
�
�
?� � [ ] 00694.099224.099918.015.342.2Pr =−=≤≤ Z �
�
� � � � � � � � ���� � %���?���.�#6�����
�
�
�
6� � [ ] 02559.097441.0195.1Pr =−=≥Z �
�
� � � � � � � � �����������������%�����#�G6� �
�
�
�
:� � [ ] 98745.024.2Pr =≤Z �
�
� � � � � � � � �����������������%�������?� �
�
9
&'�� �����&��� ��� ��������#%%%%�����������������������������
��� ���������� ��������� �����'D�6%%��������������������� �� �'D�#%%��
• @A� �������� ��������������� � �������������������� ���'D�:%%C�
[ ] [ ] 84134.000.1Pr100
500600Pr600 =≤=�
�
���
� −≤−
=≤ ii
i ZX
XPσ
µ�
�
• @A� ������������������������ ���'D�:%%��� � �������� � C�
[ ] [ ] 8413)84134.0(10000600*10000600* ==≤=≤ ii XPXPN �������
�
• @A� ������������������������ �?%%���:%%��� � �������� � C�
�
[ ]
[ ] 68268.015866.084134.011)600400[
100500600
100500400
600400
=−=+≤≤−=≤≤
��
���
� −≤−
≤−=≤≤
ii
ii
ZPXP
XPXP
σµ
[ ] [ ] 6827)68268.0(1000060040010000600400* ==≤≤=≤≤ ii XPXPN �������
�
�������� ���������� ����������2��� ��������0� ����
�• 2� ���� ���� ������G%T ������ ��� �����������������
�
628)100(28.1500
28.1100
50028.1
=+=
=−=
X
X
Z
� � � � � ����%�G%�
� � � � � � � � � � ��K#��5�
� �� ���:+; ��������������� ���������'D�:�5��������
�
• 2� ���� ���� � ���� ��������� ��� �����������������
�
567)100(67.0500
67.0100
50067.0
=+=
=−=
X
X
Z
� � � � � ���%�F6�
� � � � � � � � � � K%�:F�� �� ���<=; ��������������� ���������'D�6:F��������
�
• 2� ���� ���� �� ���� ��������� ��� �����������������
�
433)100(67.0500
67.0100
50067.0
=−=
−=−−=
X
X
Z
� � � � ��%��6�
� � � � � � � � � <%�:F� � �� ���*=; ��������������� ���������'D�?..��������
10
��-N 8 1P �A1N 0�2��&��21'+ -1U, A1N 0�U10N P 1�&���&��0N -P �&�A����� �� �7� �� � ��� �������� ������ � ��.%� 3�>)+4� �� �� ���� � �np�5� ����� ������� � ��� ��� �������� 0� ���� �� �� ����� � ���� � ���������� )��
�� �������������� ��������U ���������
�
&'�� ����� '� ������ ���� ����� #%� ���B� ��� �� ����� 8 �"�07� �� � �� ���� ����
��� �������� U �������� �������� ��"#%3%�64"6��� �� ������� ��3#<�4"#%3%�643%�64"��6��
@A� �������� �������������� ��� �.���:��� ��������� ����������� ��C�
�
• A��������� ��������U ��������� XXXCX −−= 1010 )50.01()50.0()Pr( �
, � �3� 4�
+� %�%%#%�
�� %�%%G5�
*� %�%?.G�
)� %�##F��
0� %��%6#�
=� %��?:#�
?� %��%6#�
<� %�##F��
@� %�%?.G�
:� %�%%G5�
�+� %�%%#%�
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Numero caras
P(x)
�
7735.0)63Pr( =≤≤ iX
�
• A��������� ��������0� ����� 58.15.2)5.0)(5.0(10 5)5.0(10 ===== σµ �
[ ] [ ] 77189.005705.082894.095.058.158.1
55.658.1
55.263 =−=≤≤−=�
�
���
� −≤−
≤−≈≤≤ ii
i ZPX
PXPσ
µ
�
���-N 8 1P �A1N 0�2��&��21'+ -1U, A1N 0��N 1''N 0���&��0N -P �&�A����������� ���np�10������������� ������� ��������0� ������ ������� �����
� ����������)���� �������������� �����������������
�
&'�� ����� , �� ��� � ����� �� � �� ��� �� #%%� ������� � ���� ������ ����� �� #T �
���� ���@A� �������� ���������)������� �������)�� ��������#:���� ��������C�
• A��������� �����������������
0488.00001.00002.00004.00009.00019.00037.00071.00128.00217.0)16(
....!20
10!19
10!18
10!17
10!16
10)16(
.....)20Pr()19Pr()18Pr()17Pr()16Pr()16(10201019101810171016
=++++++++=≥
+++++=≥
+=+=+=+=+==≥−−−−−
i
i
i
XP
eeeeeXP
XXXXXXP
�
• A��������� ��������0� ����� 16.310 10 === σµ �
04093.095907.01)74.1(16.3
105.15)16( =−=≥=�
�
���
� −≥−≈≥ ii ZPX
PXPσ
µ�
Recommended