AREA CONSTRUCCIN
Asignatura: Esttica Estructural
Cdigo: CBES01/G03/Anlisis de Estructuras. Mtodo de los Nodos
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Unidad de Aprendizaje N4:
Anlisis de Estructuras.
Aprendizajes Esperados
1. Analizar a travs del mtodo de los nodos las fuerzas transmitidas en cada elemento que
componen una armadura de una construccin.
1. OBJETIVOS.
El objetivo de esta actividad es:
- Determinar las fuerzas en los miembros de una estructura usando el mtodo de nodos.
- Analizar las fuerzas que actan en los miembros de armazones y bastidores compuestos
de miembros conectados.
2. ANTECEDENTES GENERALES.
La definicin literal de la palabra estructura est asociada a la disposicin y orden de las partes
dentro de un todo.
En la construccin una estructura se define como un conjunto de elementos estructurales
previamente dispuestos y unidos entre s para soportar las cargas.
Las cargas son todas aquellas acciones que afectan a las estructuras, produciendo tensiones,
deformaciones y desplazamientos, que incluso pueden llegar a la ruptura.
Elementos de Unin o de Apoyo.
Se denomina apoyo a todo dispositivo destinado a unir una estructura al medio de sustentacin.
Los apoyos cumplen las dobles funciones de impedir o limitar los movimientos de las estructuras y
de trasmitir las cargas que estas soportan al medio de sustentacin.
Dado que una seccin de una pieza de plano medio tiene tres grados de libertad, dos traslaciones
independientes en el plano medio y un giro perpendicular a este, existen varios apoyos, segn
limiten uno, dos o los tres grados de libertad de la seccin de apoyo.
Por cada grado de libertad limitado el apoyo transmite a la estructura una reaccin que impide el
movimiento. Estas reacciones son, naturalmente, iguales y de sentidos opuestos a las fuerzas que
la estructura trasmite al medio de sustentacin.
Apoyos simples o articulados mviles
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Este tipo de apoyos solo limita el movimiento de la seccin de apoyo en una direccin,
permitiendo la traslacin en la direccin perpendicular y el giro de la seccin de apoyo.
La reaccin que produce es una fuerza perpendicular a la direccin de rodadura, o sea, al
movimiento permitido. Asociada a un apoyo simple se introduce, por tanto, una sola incgnita, el
mdulo de la reaccin, ya que su posicin y direccin son conocidas.
Apoyos fijos o articulacin
Este tipo de apoyo impide totalmente el movimiento de traslacin de la seccin de apoyo, pero
permite el giro.
La reaccin que produce es una fuerza de direccin y modulo desconocidos, se introducen, pues,
dos incgnitas: las componentes de la reaccin respecto a dos ejes perpendiculares cualesquiera.
Empotramiento
Este tipo de apoyo impide todo movimiento de la seccin de apoyo, tanto de traslacin como de
giro.
La reaccin que se produce es una fuerza de posicin, direccin y modulo desconocido. Se
introducen, pues tres incgnitas: dos componentes de la direccin y el momento sobre la seccin
de apoyo.
Uniones.
Se llama unin o nudo a todo dispositivo destinado a unir entre s las diferentes piezas que forman
una estructura. Las uniones cumplen la doble funcin de impedir o limitar los movimientos
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relativos de unas piezas respecto a otras, y de transmitir las cargas que unas soportan a las dems.
Por cada grado de libertad cortado a la seccin de enlace, este transmite a las piezas concurrentes
una reaccin interna. Estas reacciones son iguales y de sentidos opuestos en las dos piezas que se
unen en la seccin de enlace.
Unin deslizante
Este enlace solo limita el movimiento relativo en una direccin, permitiendo la traslacin en la
direccin perpendicular y el giro de la seccin de enlace. La reaccin que produce es un par de
fuerzas, iguales y opuestas, perpendiculares al movimiento permitido. Se introduce, por tanto, una
sola incgnita: el mdulo de las reacciones.
Articulacin o nudo articulado
Este tipo de unin impide totalmente la traslacin relativa de la seccin de enlace, pero permite el
giro relativo de la misma.
La reaccin que produce es un par de fuerzas de direccin y modulo desconocidos. En una
articulacin interna se introducen, pues, dos incgnitas: las componentes de la reaccin respecto a
dos ejes perpendiculares cualesquiera. El momento flector es necesariamente nulo en una
articulacin.
Empotramiento o nudo rgido
Este tipo de unin impide todo movimiento de la seccin de enlace, tanto de traslacin como de
giro. La reaccin que produce es un par de fuerzas de posicin, direccin y modulo desconocido.
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En un nudo rgido se introducen, por tanto, tres incgnitas: dos componentes de la reaccin y el
momento de la seccin de enlace.
Estructuras Simples.
Una estructura simple est compuesta de elementos delgados unidos entre s por sus extremos.
Ejemplo la estructura de techumbre mostrada en la figura A.
Este es un tipo de estructuras planas, que se emplea para el soporte de techumbres y puentes.
La carga del techo se transmite a la estructura por una serie de tirantes o largueros (costaneras).
Figura A. Estructura de Techumbre.
Las armaduras planas se sitan en un solo plano y como las cargas de la armadura actan en el
mismo plano el anlisis de las fuerzas desarrolladas en los elementos de la armadura ser
bidimensional.
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Supuestos para el diseo.
Para disear los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la
fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura est sometida a una carga dada.
Para esto, haremos dos supuestos importantes:
- Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayora de las situaciones, como en
armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el
peso de los elementos, ya que Ia fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho
ms grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el anlisis, por lo
general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud
aplicada a cada extremo del elemento,
- Los elementos estn unidos entre s mediante pasadores lisos. Por lo general, las
conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los
elementos a una placa comn, llama da placa de unin, como se muestra en la figura B, o
simplemente pasando un perno o pasador largo a travs de cada uno de los elementos,
figura C. Podemos suponer que estas conexiones actan como pasadores siempre que las
lneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes.
Figura B. Figura C.
Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuar como un elemento de dos
fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que acte en cada extremo del elemento debe estar dirigida a lo
largo del eje del elemento.
Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensin (Traccin), mientras que si
tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresin (C).
En el diseo real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de Ia fuerza es de
tensin o de compresin.
A menudo, los elementos a compresin deben ser ms gruesos que los elementos a tensin
debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento est en compresin.
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Armadura simple.
Si tres elementos se conectan entre s mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura
triangular que ser rgida. Al unir dos elementos ms y conectar estos elementos a una nueva
junta D se forma una armadura ms grande. Este procedimiento puede repetirse todas las veces
que se desee para formar una armadura an ms grande.
Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular bsica, se
denomina una armadura simple.
Mtodo de los Nodos.
Para analizar o disear una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus
elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el mtodo de nodos. Este mtodo se
basa en el hecho de que toda la armadura est en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos
tambin est en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre en cada nodo, se
pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que
actan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos dc dos
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fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo est sometido a un sistema de fuerzas
que es coplanar y concurrente.
En consecuencia, slo es necesario satisfacer las ecuaciones = 0 = 0 para garantizar
cl equilibrio.
Ejemplo
Considerar el pasador situado en el nodo B, de la armadura que aparece en la figura.
Sobre el pasador actan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los
elementos BA y BC.
El diagrama de cuerpo libre se muestra que , esta traccionando el pasador, lo que significa que
el elemento BA est en traccin; mientras que esta empujando el pasador, y en consecuencia, el
elemento BC est en compresin.
Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeos segmentos del elemento
conectado al pasador. El jaln o el empujn sobre esos pequeos segmentos indican el efecto del
elemento que est en compresin o en tensin.
Cuando se usa el mtodo de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo
menos una tuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. De esta manera, la
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aplicacin de = 0 = 0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las cuales se pueden
despejar las dos incgnitas.
AI aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede
determinarse con uno de dos posibles mtodos.
El sentido correcto de la direccin de una fuerza desconocida de un elemento puede determinarse
en muchos casos, por inspeccin.
Por ejemplo. , en la figura, debe empujar sobre el pasador (compresin) ya que su
componente horizontal, sen 45, debe equilibrar la fuerza de 500 N ( = 0).
De la misma manera, FBA es una fuerza de tensin ya que equilibra a la componente vertical,
cos 45 ( = 0).
En casos ms complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse
luego, despus de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a
partir de los resultados numricos.
Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa
indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir.
Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que actan en el diagrama de
cuerpo libre del nodo estn en tensin; es decir, las fuerzas jalan el pasador.
Si se hace as, entonces la solucin numrica de las ecuaciones de equilibrio darn escalares
positivos para elementos en tensin y escalares negativos para elementos en compresin. Una vez
que se encuentre la fuerza desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido
correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.
Procedimiento proporciona un medio para analizar una armadura con el mtodo de nodos.
- Trazar el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza
conocida y cuando mucho dos fuerzas des conocidas. (Si este nodo est en uno de los
soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de
la armadura).
- Use uno de los dos mtodos descritos antes para establecer el sentido de una fuerza
desconocida.
Procedimiento para el anlisis
- Oriente los ejes x e y de manera que Ias fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan
descomponerse fcilmente en sus componentes x y y, y luego aplique Ias dos ecuaciones
de equilibrio de fuerzas = 0 = 0 .
- Despeje Ias dos fuerzas de elemento desconocidas y verifique su sentido correcto.
- Con los resultados obtenidos, contine con el anlisis de cada uno de los otros nodos.
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- Recuerde que un elemento en compresin empuja el nodo y un elemento en tensin
jala el nodo.
- Adems, asegrese de seleccionar un nodo que tenga cuando mucho dos incgnitas y por
lo menos una fuerza conocida.
Ejemplo de Clculo.
Determine la fuerza sobre cada miembro de la estructura e indique si los miembros estn en
tensin o compresin.
Solucin.
Como no debemos tener ms de dos incgnitas en el nodo y por lo menos contar con una fuerza
conocida actuando ah, comenzamos el anlisis por el nodo B.
Nodo B. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el nodo B, obtenemos.
= 0 500 ( sin 45) = 0 = 707,1 ()
= 0 ( sin 45) = 0 = 500 ()
Una vez calculada la fuerza en el elemento BC, es posible calcular la fuerza en el elemento CA,
mediante el anlisis del nodo C.
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= 0 + 707,1 cos 45 = 0 = 500 ()
= 0 707,1 sin 45 = 0 = 500
Aunque no es necesario, es posible determinar las componentes de las reacciones del soporte en
el nodo A, a partir del diagrama de cuerpo libre.
Nodo A.
= 0 500 = 0 = 500
= 0 500 = 0 = 500
El diagrama de cuerpo libre DCL, muestra los efectos de todos los miembros conectados y todas
las fuerzas externas aplicadas a cada unin, el DCL de cada miembro muestra solo el efecto de las
uniones en cada miembro.
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Ejemplo.
La siguiente armadura, est compuesta de barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y
D.
Determinar las reacciones.
Al identificar los apoyos, determinamos:
- Apoyo articulado fijo.(dos reacciones)
- Apoyo articulado mvil (rodillo)( una reaccin)
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre.
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Aplicamos las ecuaciones de equilibrio en el Nodo A.
Si desarrollamos una sumatoria de momentos igual a cero en el Nodo A, podemos obtener la
reaccin Ey.
= 0
[400 (1 )] [800 (2 + 1)] + [ (2 + 2)] = 0
= [400 (1 )] + [800 (2 + 1)]
4 = 700
De la misma forma podemos realizar la misma operacin en E, para determinar la reaccin Ay.
= 0
[400 (2 + 1)] + [800 (1)] [ (2 + 2)] = 0
= [400 (3 )] + [800 (1)]
4 = 500
Para simplificar los clculos consideraremos:
60 = 3
2 cos 60 =
1
2
El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre.
Aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los trminos TAB y TAC son las fuerzas axiales en
las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las
fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido
de manera que una barra estar a tensin, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial.
Las ecuaciones de equilibrio en A sern.
2
= 1
=
3
Conociendo Ay (500N), podemos determinar
= 2
3=
500 2
3= 577,35 ()
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= 1
3=
500 1
3= 288,67 ()
NUDO B
Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD.
sin 60 =
cos 60 =
= sin 60 = cos 60
= 577,35 3
2= 500 = 577,35
1
2= 288,67
De igual forma:
3
2=
1
2=
= 1
2 =
3
2
Sumatoria de fuerzas en y, en el punto B.
= 0 = 0
400 = 0 - + + = 0
= 500 400 = 100 = 1
2= 57,73
=
32
=100
32
= 115,47
= 339,4
= +
= 288,67 + 57,73 = 346,4
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NUDO D
Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE. De las ecuaciones de
equilibrio para la junta D.
Desarrollando equilibrio de fuerzas en D.
= 0
+ = 0
Ya sabemos que = 346,4 N (Compresin)
Por lo que obtenemos:
= 346,4 N
Si desarrollamos:
= 0
800 + + = 0
+ = 800
Pero:
= 1
2
= 1
2
Entonces:
1
2
1
2 = 346,4 N
3
2+
3
2= 800
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Estableciendo una resolucin de ecuaciones.
Multiplicando la primera ecuacin por 3.
3
2
3
2 = 600 N
3
2+
3
2= 800
Sumando las ecuaciones:
Obtenemos:
2 3
2 = 1400 N
=1400 2
2 3= 808,23
Ahora obtenemos
3
2+
3
2= 800
= 800
32
32
= 800 700
0,866 = 115,47 N
Para comprobar verificamos que = = 115,47
3. DESARROLLO
Ejercicios Propuestos.
1. Determinar las fuerzas axiales en los elementos estructurales de la siguiente armadura,
indicando cuales estn en traccin y cuales en compresin.
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2. Empleando el Mtodo de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la
estructura, especificando su estado de solicitacin (Traccin o compresin).
3. Empleando el Mtodo de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la
estructura, especificando su estado de solicitacin (Traccin o compresin).
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4. Empleando el Mtodo de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la
estructura, especificando su estado de solicitacin (Traccin o compresin).
5. Empleando el Mtodo de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la
estructura, especificando su estado de solicitacin (Traccin o compresin).
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4. INSUMOS
5. EQUIPAMIENTO
6. BIBLIOGRAFA.
- www.portaleso.com
- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica 10 edicin. R. C. Hibbeler.
- Fsica Tomo I, SERWAY, Cuarta Edicin. McGRAW HILL
- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Beer Johnston.
- Problemas de Esttica. Martn J.
- Mecnica para Ingeniera. Esttica. Bedford F.
Materiales. Unidad. Cantidad. # Alumnos.
Papel Bond resma 0,25 20
Equipos. CANTIDAD N MAX
ALUMNOS
Data Show. 1 20
Computador 1 20