Euler - Matemáticas ITema:
14 1Funciones elementales
X
Y
Final
Funciones lineales
Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales.
X
Y
• (0, b): ordenadaen el origen
• (0, b): ordenadaen el origen
f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0
Dominio: R Dominio: R
Recorrido: R
Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente
xlim (ax + b) =
x – lim (ax + b) = –
xlim (ax + b) = –
x –lim (ax + b) =
Recorrido: R
Euler - Matemáticas ITema:
14 2Funciones elementales
Final
Funciones cuadráticas
Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a 0, b, c R
Funciones y = ax2 para diferentes valores de a• Son parábolas• Dominio: R• Si a > 0: Recorrido = [0, )• Si a < 0: Recorrido = (–, 0]
a =2
a =1
a = 0,5
a = – 2
a = – 1
a = – 0,5
Euler - Matemáticas ITema:
14 3Funciones elementales
Final
Representación gráfica de funciones cuadráticas
Como f(x) =
x2 + ba x +
ca = a
x + b2a
2 –
b2
4a2 + ca = a
x + b2a
2 +
c – b2
4a
El vértice está en V =
– b2a, c –
b2
4a . Además Si a > 0 abierta hacia arribaSi a < 0 abierta hacia abajo
f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola
X
Y
V•
• V
a > 0
a < 0
xlim (ax2 + bx + c) =
x – lim (ax2 + bx+ c) =
xlim (ax2 + bx + c) = –
x – lim (ax2 + bx+ c) = –
Euler - Matemáticas ITema:
14 4Funciones elementales
Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se
dice que tenemos una función polinómica de grado n
Funciones polinómicas
Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, .....
f(x) = x4 f(x) = x2
f(x) = x5f(x) = x3
Dominio
Dominio
Recorrido
Recorrido
Final
Euler - Matemáticas ITema:
14 5Funciones elementales
Final
Representación gráfica de algunas funciones polinómicas
Grado 3 Grado 4
Grado 5 Grado 6
n par
xlim f(x) = si an > 0
xlim f(x) = – si an < 0
n impar
xlim f(x) = si an > 0
xlim f(x) = –+ si an < 0
Euler - Matemáticas ITema:
14 6Funciones elementales
– 11
Final
Funciones racionalesUna función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir,
f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios
• Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0
• Continuidad: son funciones continuas en su dominio
• Asíntotas: pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas
X
Y
x + 1 – + +
x + 1 –
f(x) +
–
–
+
+
Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1)y los cambios de signo en su dominio
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14 7Funciones elementales
Final
Funciones con radicales (I)
Las funciones f(x) = n
xm, m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....
f(x) = x3
f(x) = x
f(x) = 4
x
f(x) = 3
x
f(x) = 5
x
Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar
Dom (f) = {x R : x 0}
xlim n
xm =
Dom (f) = R
xlim n
xm = ; x–lim
nxm = –
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14 8Funciones elementales
Final
Funciones con radicales (II)
Las funciones f(x) = n
xm, m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....
Si m es par y n es par Si m es impar y n es imparDom (f) = R
xlim n
xm = ; x–lim
nxm =
f(x) = 4
x2
f(x) = 3
x2
Dom (f) = R
xlim n
xm = ; x–lim
nxm = –
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14 9Funciones elementales
Final
Funciones potencialesUna función potencial es una función de la forma f(x) = xa, siendo x la variable y a un
número real
• Dominio: en general definidas sólo en [0, ). En algunos casos también está definidas para los reales negativos
• Continuidad: son funciones continuas en su dominio
a < 0 0 < a < 1 a > 1
x 0+lim xa =
xlim xa = 0
xlim xa = xlim xa =
Euler - Matemáticas ITema:
14 10Funciones elementales
Final
Funciones exponencialesUna función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a
un número real
• Dominio: R. Recorrido: (0, )• Continuidad: son funciones continuas en su dominio• Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1)
0 < a < 1 a > 1
f(x) = 2xf(x) = e– x = (1/e)x
f(x) = exf(x) = 2– x
= (1/2)x
Euler - Matemáticas ITema:
14 11Funciones elementales
Final
Funciones exponenciales: algunas propiedades
f(x) = ax para 0 < a < 1 f(x) = ax para a > 1
• Asíntota horizontal por la derecha• Decreciente
•Asíntota horizontal por la izquierda• Creciente
x– lim ax =
x lim ax = 0
x– lim ax = 0
x lim ax =
Euler - Matemáticas ITema:
14 12Funciones elementales
FinalComparación entre funciones exponenciales y potenciales
x 5 10 20 40 60 80 1002X 32 1024 1,049.106 1,099.1012 1,152.1018 1,2090.1024 1,268.1030
x4 625 10000 1,6.105 2,56.106 1,296.107 4,096.107 108
x4/2X 19,536 9,766 0,153 2,328.10-6 1124.10-11 3,388.10-17 7,889.10-23
Si a > 1 la función exponencial ax crece más rápido que cualquier función
polinómica cuando x tiende a infinito: xlim
xn
ax = 0 para todo n = 1, 2, 3, ....
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14 13Funciones elementales
Final
Funciones logarítmicas
Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1
• Dominio: (0, ). Recorrido: R• Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, )• Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0)• Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x
0 < a < 1 a > 1
f(x) = ax
f(x) = ax
f(x) = loga x
f(x) = loga x
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14 14Funciones elementales
X
Y
Final
Funciones logarítmicas: algunas propiedades
f(x) = loga x para 0 < a < 1 f(x) = loga x para a > 1
• Decreciente en su dominio• loga x < 0 si x > 1• loga x > 0 si 0 < x < 1
• Creciente en su dominio• loga x > 0 si x > 1• loga x < 0 si 0 < x < 1
X
Y
x0+lim loga x = +
xlim loga x = – x0+lim loga x = –
xlim loga x =
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14 15Funciones elementales
FinalComparación entre funciones logarítmicas y potenciales
x 1 10 100 1000 10000log2 x 0,0000 3,3219 6,6439 9,9659 13,2877
x2 1 102 104 106 108
log2 x/x2 0 3,3219.10-2 6,6439.10-4 9,9659.10-6 13,2877.10-8
Si a > 1 la función polinómica ax crece más rápido que la función logarítmica
loga x cuando x tiende a infinito: xlim
loga x xn = 0 para todo n = 1, 2, 3, ....
X
Y
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14 16Funciones elementales
FinalFunción periódica
t
km
0
123
10,15 10,30 10,45 11 11,15 10,35 11,45
período = T
x
período = T
x + T
Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T 0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio
Euler - Matemáticas ITema:
14 17Funciones elementales
FinalFunción seno
X
Y
y = 1
y = -1
3
Propiedades de la función seno• En continua en su dominio que es R.• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].• Es periódica de período 2.• No existe el límite de sen x cuando x tiende a ± .• Es una función impar: sen (– x ) = sen x
Euler - Matemáticas ITema:
14 18Funciones elementales
FinalFunción coseno
y = 1
y = -1
3
Propiedades de la función coseno• En continua en su dominio que es R.• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].• Es periódica de período 2.• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .• Es una función par: cos (– x ) = cos x
y = cos xy = sen x
Euler - Matemáticas ITema:
14 19Funciones elementales
X
Y
Función tangente
Propiedades de la función tangente• En continua en su dominio que es R - kk Z• Su recorrido es toda la recta real.• Es periódica de período .• Las recta x = kk Z son asíntotas verticales• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .• Es una función impar: tan (– x ) = – tan x
Final
Euler - Matemáticas ITema:
14 20Funciones elementales
Final
Función arco seno
Propiedades de la función arco seno• En continua en su dominio: [-1, 1].• Su recorrido es el intervalo ].• Es creciente.
La función sen x es inyectiva en /2, /2 En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
y = sen x
y = arcsen x
1
y = x
1
0
– 1
-1
Euler - Matemáticas ITema:
14 21Funciones elementales
Final
Función arco coseno
Propiedades de la función arco coseno• En continua en su dominio: [-1, 1].• Su recorrido es el intervalo ].• Es decreciente.
La función cos x es inyectiva en , En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
y = cos x
y = arccos x y = x
01
1
-1
Euler - Matemáticas ITema:
14 22Funciones elementales
X
Y
Final
Función arco tangente
Propiedades de la función arco tangente• En continua en su dominio: R.• Su recorrido es el intervalo ].• Es creciente.• Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en y hacia la izquierda en -
La función tan x es inyectiva en , En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
y = tan x
y = arctan x
y = x
0
Euler - Matemáticas ITema:
14 23Funciones elementales
Final
Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y dilataciones
Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + )