UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
“EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO SÍSMICO DEL PABELLÓN DE
GEOLOGÍA-UNSA”
Tesis presentada por los Bachilleres:
TUNQUE ARIAS, JOAO OSWALDO
COLOS CCALLME, EDWIN
Para optar el título profesional de:
INGENIERO CIVIL
Asesor:
Ing. FIDEL DANIEL COPA PINEDA
Arequipa - Perú
2020
Título de tesis:
“EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO SÍSMICO DEL PABELLÓN DE
GEOLOGÍA-UNSA”
Tesistas: Bach. Tunque Arias, Joao Oswaldo Bach. Colos Ccallme, Edwin
Calificación: __________________________________________________________________ Fecha de sustentación: __________________________________________________________
_________________________________________ ING. HERBER FERNANDO CALLA ARANDA
Presidente del jurado
__________________________________ _____________________________________ ING. FIDEL DANIEL COPA PINEDA ING. JOHN PERCY ARAGÓN BROUSSET
Miembro del jurado Miembro del jurado
__________________________________ ING. FERNANDO ENCISO MIRANDA
Miembro del jurado uplente)
Arequipa – Perú
2020
DEDICATORIA
Presento respeto y amor: A la sonrisa de quienes su esfuerzo he apreciado desde el día que nací, a mis padres: GAVINO y ELVIRA. Ofreciendo siempre lo mejor de mí.
JOAO
A mis hijas Yadira y Yaiza y a mi esposa Alicia por ser mi motivación e inspiración. A mi madre Ana y mis hermanos Wilfredo y Nínive por su enorme apoyo y consejos.
EDWIN
AGRADECIMIENTOS
Un profundo agradecimiento a nuestro asesor Ing. Fidel Copa Pineda por la fortuna y el privilegio de haber recibido su orientación, apoyo y conocimiento, así mismo por su incomparable actitud de compartir siempre su experiencia profesional y su guía constante para el desarrollo de la presente tesis.
A los ingenieros de la Facultad de Ingeniería Civil, que a lo largo de nuestra formación no han dudado a la hora compartir sus experiencias, conocimientos y el fortalecimiento de valores que nos servirá como base en nuestra futura y continua formación profesional.
Y siempre un afectuoso agradecimiento para amigos y compañeros con quienes compartimos gratas experiencias y a quienes deseamos siempre muchos éxitos.
RESUMEN
La norma actual de diseño sismorresistente se basa en fuerzas y resistencias sin considerar una
metodología que permita evaluar el desempeño estructural, es decir que no prevé el
comportamiento estructural bajo un evento sísmico. Por lo tanto, es necesario utilizar un nuevo
procedimiento de análisis y diseño sísmico basado en el desempeño donde las variables que
consideraremos son los desplazamientos y deformaciones y su relación con la incursión en el rango
no lineal.
Es así que el presente trabajo de investigación está enfocado en la evaluación estructural del nuevo
pabellón de Geología de la Universidad Nacional San Agustín usando el análisis no lineal estático,
esta presenta una irregularidad pronunciada en planta, además de ser caracterizado como una
estructura esencial bajo el criterio de importancia que dicta la norma peruana E030. Se empleará
el análisis estático no lineal (Pushover) para obtener la curva de capacidad apoyados en las
recomendaciones del ASCE 41-13 y ASCE 41-17 en la definición de la rotulas a flexión, corte y
flexocompresión para los diferentes elementos estructurales. La determinación del punto de
desempeño del pabellón de Geología se realizará por el Método de Espectro de Capacidad
apoyados con la FEMA 440 y la demanda sísmica es definida a partir de la definición del espectro
de diseño de la norma peruana vigente. Para determinar el desempeño sísmico será de acuerdo a
los objetivos de desempeño dados por la ATC-40.
Palabras claves: Desempeño Sísmico, ductilidad, Pushover, capacidad, demanda, rótula plástica y Espectro de capacidad.
ABSTRACT
The current national standard of seismic resistant design is based on forces and resistances
without considering a methodology that allows evaluating structural performance, that is, it does
not predict structural behavior under a seismic event. Therefore, it is necessary to use a new
performance-based seismic design and analysis procedure where the variables that we will
consider are displacements and deformations and their relationship with incursion in the
nonlinear range.
Thus, the present research work is focused on the structural evaluation of the new Geology
building of the National University of San Agustín using static non-linear analysis, it presents a
pronounced irregularity in plan, in addition to being characterized as an essential structure under
a criterion of importance dictated by the Peruvian national standard E030. Static non-linear
analysis (Pushover) will be used to obtain the capacity curve supported by the recommendations
of ASCE 41-13 and ASCE 41-17 in the definition of plastic hinges in flexion, shear and
flexocompression for the different structural elements. The determination of the performance
point of the Geology building will be carried out using the Capacity Spectrum Method supported
by FEMA 440 and the seismic demand is defined from the definition of the design spectrum of
the current Peruvian standard. To determine the seismic performance it will be according to the
performance objectives given by ATC-40.
Key words: Seismic Performance, ductility, Pushover, capacity, demand, plastic hinge and
Capacity Spectrum.
INDICE
Contenido
DEDICATORIA ........................................................................................................................ 3
AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................. 4
RESUMEN ................................................................................................................................. 5
ABSTRACT ............................................................................................................................... 6
INDICE ...................................................................................................................................... 7
INDICE DE FIGURAS ............................................................................................................ 12
INDICE DE TABLAS ............................................................................................................. 19
Capítulo 1. GENERALIDADES ............................................................................................... 1
1.1. Antecedentes ............................................................................................................. 1
1.2. Planteamiento del Problema ..................................................................................... 2
1.3. Justificación .............................................................................................................. 3
1.4. Objetivos ................................................................................................................... 3
1.4.1. Objetivo general .................................................................................................... 3
1.4.2. Objetivos específicos ............................................................................................. 3
1.5. Marco Normativo ...................................................................................................... 4
Capítulo 2. MARCO TEORICO .............................................................................................. 6
2.1. Marco Conceptual ..................................................................................................... 6
2.2. Normativa considerada ............................................................................................. 7
2.3. Método estático no lineal (Pushover) ....................................................................... 7
2.3.1. Definición .............................................................................................................. 7
2.3.2. Rótulas ................................................................................................................... 8
2.3.3. Momento – Curvatura ......................................................................................... 10
2.3.4. Momento – Rotación ........................................................................................... 12
2.3.5. Diagrama generalizada fuerza – deformación ..................................................... 15
2.3.6. Curva de Capacidad ............................................................................................ 17
2.4. Desempeño Sísmico ................................................................................................ 18
2.4.1. Niveles de desempeño ......................................................................................... 19
2.4.2. Objetivos de desempeño ...................................................................................... 22
2.4.3. Demanda sísmica ................................................................................................. 23
2.4.4. Método para determinar el punto de desempeño sísmico: Espectro de capacidad
24
Capítulo 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO ................................ 32
3.1. Descripción arquitectónica ...................................................................................... 32
3.2. Descripción estructural ........................................................................................... 33
3.2.1. Vigas principales y secundarias .......................................................................... 33
3.2.2. Columnas ............................................................................................................. 35
3.2.3. Losas.................................................................................................................... 36
3.3.3. Muros de corte ................................................................................................. 37
3.3. Materiales y cargas ................................................................................................. 38
3.3.1. Acero de refuerzo ................................................................................................ 38
3.3.2. Concreto .............................................................................................................. 38
3.3.3. Cargas .................................................................................................................. 38
3.4. Parámetros sísmicos ................................................................................................ 41
3.4.1. Factor de Zona Sísmica (Z) ................................................................................. 41
3.4.2. Coeficiente de uso o importancia (U) ................................................................. 42
3.4.3. Factor de suelo (S)............................................................................................... 42
3.4.4. Factor de amplificación sísmica (C) .................................................................... 42
3.4.5. Coeficiente básico de reducción (Ro) ................................................................. 43
3.4.6. Irregularidad estructurales ................................................................................... 43
3.4.7. Coeficiente de reducción sísmica (R) .................................................................. 48
3.5. Modelamiento y análisis modal espectral ............................................................... 48
3.5.1. Modelo matemático del pabellón de Geología .................................................... 48
3.5.2. Espectro de aceleraciones .................................................................................... 49
3.5.3. Modos de vibración ............................................................................................. 50
3.5.4. Verificación de derivas ........................................................................................ 54
3.5.5. Diafragma rígido y semirrígido ........................................................................... 54
Capítulo 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL ................................................................. 57
4.1. Modelos matemáticos no lineales de los materiales ............................................... 57
4.1.1. Acero de refuerzo ................................................................................................ 57
4.1.2. Concreto .............................................................................................................. 58
4.2. Rótulas plásticas ...................................................................................................... 60
4.2.2. Vigas.................................................................................................................... 60
4.2.3. Columnas ............................................................................................................. 65
4.2.4. Muros .................................................................................................................. 72
4.3. Rigidez efectiva ...................................................................................................... 81
4.4. Procedimiento del análisis estático no lineal .......................................................... 82
4.4.2. Patrones de carga ................................................................................................. 82
4.4.3. Control de desplazamiento .................................................................................. 84
4.4.4. Estado de carga inicial ......................................................................................... 86
4.4.5. Casos de carga de análisis no lineal Pushover .................................................... 87
4.4.6. Formación y evolución de rótulas plásticas ........................................................ 87
4.5. Curva de capacidad ................................................................................................. 98
4.6. Ductilidad y sobrerresistencia ................................................................................. 99
Capítulo 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO ................................................................ 100
5.1. Objetivos de desempeño ....................................................................................... 100
5.2. Espectro de Demanda y Capacidad ....................................................................... 100
5.2.1. Espectro de capacidad ....................................................................................... 101
5.2.2. Espectro de Demanda ........................................................................................ 102
5.3. Desempeño de la Estructura .................................................................................. 104
5.3.1. Método de Espectro de capacidad según FEMA 440 ....................................... 104
5.3.2. Punto de desempeño de forma manual .............................................................. 108
5.3.3. Análisis de resultados de los desempeños ......................................................... 110
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................................... 112
Conclusiones ...................................................................................................................... 112
Recomendaciones ............................................................................................................... 113
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 115
ANEXOS ................................................................................................................................ 118
ANEXO A .......................................................................................................................... 118
ANEXO B .......................................................................................................................... 140
ANEXO C .......................................................................................................................... 147
ANEXO D .......................................................................................................................... 171
ANEXO E .......................................................................................................................... 179
ANEXO F ........................................................................................................................... 182
INDICE DE FIGURAS
Figura 1. Tipología de fallas en un muro de corte. Paulay & Priestley 1991. .......................... 9
Figura 2. Ubicación de las rotulas en muro de corte. Paulay & Priestley 1991. ..................... 10
Figura 3. Deformación de un miembro a flexión. R. Park & T. Paulay, 1983. ...................... 10
Figura 4. Diagrama de Momento Curvatura. Otazzi, 2011. .................................................... 12
Figura 5. Deflexión debida a deformación por flexión de un elemento. R. Park & T. Paulay,
1983............................................................................................................................................... 12
Figura 6. Rotación y curvatura de un elemento en general. J. Moehle, 2014. ........................ 13
Figura 7. Longitud plástica y diagrama de momentos. Aguiar, Mora, & Rodriguez, 2015. .. 13
Figura 8. Momento y rotación de fluencia. Aguiar, Mora, & Rodriguez, 2015. .................... 14
Figura 9. Diagramas generalizadas fuerza-deformación. ASCE 41-13, 2014. ....................... 15
Figura 10. Patrón de cargas y Curva de Capacidad. Arango, Paz & Duque, 2009. ................ 17
Figura 11. Curva de Capacidad típica de una estructura. SEAOC, 1995. .............................. 18
Figura 12. Objetivos de Desempeño según Comité Visión 2000. Comité Visión 2000. ........ 23
Figura 13. Espectro de aceleración – desplazamiento modificado MADRS. FEMA 440. ..... 26
Figura 14. Conversión de la demanda sísmica al formato ADRS. ATC 40. .......................... 27
Figura 15. Conversión de la curva de capacidad al formato ADRS. ATC-40. ....................... 27
Figura 16. Estimación del desempeño inicial. FEMA 440. .................................................... 28
Figura 17. Estimación del punto de desempeño, procedimiento A. FEMA 440. ................... 30
Figura 18. Proceso iterativo para determinar el punto de desempeño del procedimiento C.
FEMA 440. ................................................................................................................................... 31
Figura 19. Ubicación del pabellón de Geología UNSA. Fuente propia .................................. 32
Figura 20. Pabellón de Geología. Fuente propia. .................................................................... 33
Figura 21. Muros MCR-01 y MCR-02. Fuente propia. .......................................................... 37
Figura 22. Modelado de los muros en software SAP2000. SAP2000. ................................... 37
Figura 23. Distribución de cargas piso típico. Fuente propia. ................................................ 40
Figura 24. Esquinas entrantes. Fuente propia. ........................................................................ 46
Figura 25. Vista en planta de piso típico del modelo matemático del pabellón de Geología.
SAP 2000. ..................................................................................................................................... 48
Figura 26. Vista de isométrico del modelo matemático del pabellón de Geología. SAP 2000.
....................................................................................................................................................... 49
Figura 27. Espectro de pseudo-aceleraciones inelásticas en el eje “X” y “Y”. Fuente propia.
....................................................................................................................................................... 50
Figura 28. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 1. SAP 2000. .............. 51
Figura 29. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 2. SAP 2000. .............. 52
Figura 30. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 3. SAP 2000. .............. 53
Figura 31. Criterio de diafragma rígido o flexible. ASCE 41-13, 2014. ................................ 54
Figura 32. Tipos de desplazamientos laterales del pabellón de Geología. Fuente propia. ..... 55
Figura 33. Modelo matemático de Park y Paulay para el acero de refuerzo ASTM 615 Grado
60. Fuente propia. ......................................................................................................................... 58
Figura 34. Modelo matemático de Mander para el concreto no confinado. Fuente propia. ... 59
Figura 35. Modelo matemático de Mander para concreto confinado V1 (30x60). Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 60
Figura 36. Sección viga V1 (30x60). Fuente propia. .............................................................. 61
Figura 37. Diagrama de momento curvatura de la viga V1 (30x60) en Mathcad. Fuente
propia ............................................................................................................................................ 61
Figura 38. Diagrama de Momento - Curvatura de la viga V1. Fuente propia. ....................... 62
Figura 39. Geometría para el ejemplo de asignación de rótulas plásticas en vigas. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 63
Figura 40. Ejemplo de ubicación de rótula plástica en viga. Fuente propia. .......................... 63
Figura 41. Momento-Rotación de la Viga V1 (30x60). Fuente propia. .................................. 64
Figura 42. Inserción de forma manual de los valores de Momento-Rotación de la viga
V1(30x60). SAP 2000. ............................................................................................................... 65
Figura 43. Columna típica C-1. Fuente propia. ....................................................................... 65
Figura 44. Diagrama de Interacción P-M en condición última y de agotamiento de la columna
C1. Fuente propia. ......................................................................................................................... 66
Figura 45. Diagrama de P- φ de la columna C1. Fuente propia. ............................................. 67
Figura 46. Diagrama de Momento - Curvatura de la Columna C1 (50tonf). Fuente propia. .. 67
Figura 47. Geometría para el ejemplo de asignación de rótulas plásticas en columnas. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 68
Figura 48. Ejemplo de ubicación de rótula plástica en columnas. Fuente propia. .................. 69
Figura 49. Momento-Rotación para C1 (30x30). Fuente propia. ............................................ 70
Figura 50. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30)
P=0tonf / Ángulo 0º/90º/180º/270º. SAP 2000. ............................................................................ 71
Figura 51. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30)
P=0tonf / Ángulo 45º/135º/225º/315º. SAP 2000. ........................................................................ 71
Figura 52. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30)
P=50tonf / Ángulo 0º/90º/180º/270º. SAP 2000. .......................................................................... 71
Figura 53. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30)
P=50tonf / Ángulo 45º/135º/225º/315º. SAP 2000. ...................................................................... 71
Figura 54. Tipología de muros MCR-01 y MCR-02 en un piso típico. Fuente propia. .......... 72
Figura 55. Secciones de los muros de concreto armado en Section Designer. SAP 2000. ..... 77
Figura 56. Modelo matemático de los muros de concreto armado, vistas estándar y extruida.
SAP 2000. ..................................................................................................................................... 77
Figura 57. Momento curvatura del muro de concreto armado MCR-01. Fuente propia. ....... 78
Figura 58. Momento curvatura del muro de concreto armado MCR-02. Fuente propia. ....... 78
Figura 59. Ubicación de la rótula plástica a flexión en muros de corte. ASCE 41-17. .......... 79
Figura 60. Ubicación de rótula plástica a flexión del muro de concreto armado MCR-01. SAP
2000............................................................................................................................................... 79
Figura 61. Inserción de la rótula a corte en el muro de concreto armado MCR-01. SAP 2000.
....................................................................................................................................................... 80
Figura 62. Inserción de la rótula a corte en el muro de concreto armado MCR-02. SAP 2000.
....................................................................................................................................................... 81
Figura 63. Rigidez efectiva en vigas y columnas. SAP2000. ................................................. 82
Figura 64. Rigidez efectiva en muros de concreto armado. SAP 2000 .................................. 82
Figura 65. Sistema de coordenadas X' y Y'. Fuente propia. ................................................... 83
Figura 66. Patrón de deformación modal. Fuente propia. ....................................................... 83
Figura 67. Representación del procedimiento de Pushover. Fuente propia. ........................... 84
Figura 68. Punto de control de desplazamiento Pushover. SAP 2000. ................................... 85
Figura 69. Control de desplazamiento. SAP 2000. ................................................................. 85
Figura 70. Definición del caso CGNL. SAP 2000. ................................................................. 86
Figura 71. Casos de carga de análisis no lineal Pushover. SAP 2000. ................................... 87
Figura 72. Ubicación de las rótulas a flexión de las vigas V4 (60x30). SAP 2000. ............... 88
Figura 73. Rótula plástica a flexión de viga V4 (60x30) del 4to nivel para desplazamiento
global de 0.0195m. Fuente propia................................................................................................. 88
Figura 74. Ubicación de la rótula a flexión del muro MCR-01. SAP 2000. ........................... 89
Figura 75. Rótula plástica a flexión de muro MCR-01 para desplazamiento global de 0.033m.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 89
Figura 76. Ubicación de la rótula a flexión en viga V2 (30x20). SAP 2000. ......................... 90
Figura 77. Rótula plástica a flexión de viga V2 (30x20) del 3er nivel para desplazamiento
global de 0.079m. Fuente propia................................................................................................... 90
Figura 78. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global
de 0.075m. Fuente propia. ............................................................................................................. 91
Figura 79. Ubicación de rótula a flexión de la columna C3 (D=50cm). SAP 2000. .............. 92
Figura 80. Rótula plástica a flexión de columna C3 (D=50cm) para un desplazamiento de
0.181m. Fuente propia. ................................................................................................................. 92
Figura 81. Ubicación de rótulas a flexión y corte del muro MCR-01. SAP 2000. ................. 92
Figura 82. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global
de 0.181m. Fuente propia. ............................................................................................................. 93
Figura 83. Ubicación de la rótula a flexión de la viga V1*(30x60). SAP 2000. .................... 93
Figura 84. Rótula plástica a flexión de la viga V1*(30x60) para un desplazamiento global de
0.181m. Fuente propia. ................................................................................................................. 94
Figura 85. Ubicación de la rótula a flexión y corte del muro MCR-01 para un desplazamiento
global de 0.232m. SAP 2000. ....................................................................................................... 94
Figura 86. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global
de 0.232m. Fuente propia. ............................................................................................................. 95
Figura 87. Rótula plástica a flexión de muro MCR-01. Patrón modal. Dirección X'+. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 96
Figura 88. Rótula plástica a corte de muro MCR-01. Patrón modal. Dirección X'+. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 97
Figura 89. Rótula plástica a flexión de viga V2 (30x20). Patrón modal. Dirección X'+. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 97
Figura 90. Rótula plástica a flexión de viga V1*(30x60). Patrón modal. Dirección X'+.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 97
Figura 91. Rótula plástica a flexión de columna C3 (D=50cm). Patrón modal. Dirección X'+.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 98
Figura 92. Curva de capacidad. Patrón Modal. Dirección X’-. Fuente propia. ...................... 98
Figura 93. Curva de capacidad. Patrón Modal. Dirección X'+. Fuente propia. ...................... 99
Figura 94. Objetivos Básicos de desempeño. Fuente propia. ............................................... 100
Figura 95. Espectro de capacidad de la estructura bajo el patrón de cargas modal en la
dirección X'- y X'+. Fuente propia. ............................................................................................. 102
Figura 96. Espectro de demanda sísmica para diferentes niveles de sismo. Fuente propia. . 103
Figura 97. Espectro de demanda sísmica en formato ADRS para diferentes niveles de sismo.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 104
Figura 98. Punto de Desempeño para un sismo de Servicio, dirección X’-, patrón Modal.
Fuente propia .............................................................................................................................. 105
Figura 99. Punto de Desempeño para un sismo de Diseño, dirección X’-, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 105
Figura 100. Punto de Desempeño para un sismo Máximo, dirección X’-, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 106
Figura 101. Punto de Desempeño para un sismo de Servicio, dirección X’+, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 106
Figura 102. Punto de Desempeño para un sismo de Diseño, dirección X’+, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 107
Figura 103. Punto de Desempeño para un sismo Máximo, dirección X’+, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 107
Figura 104. Espectro de Capacidad de la Estructura dirección X’-, patrón Modal. Fuente
propia. ......................................................................................................................................... 109
Figura 105. Espectro de Demanda Sísmica usando Mathcad. Fuente propia. ...................... 109
Figura 106. Determinación del punto de desempeño usando Mathcad. Fuente propia. ....... 110
INDICE DE TABLAS
Tabla 1. Niveles de desempeño según ATC-40. ATC-40. ...................................................... 20
Tabla 2. Niveles de desempeño según ASCE 41-13. ASCE 41-13. ....................................... 21
Tabla 3. Niveles de desempeño según VISION 2000. VISION 2000. ................................... 21
Tabla 4. Objetivos de Desempeño dados por ATC -40. ATC-40. .......................................... 22
Tabla 5. Niveles de Demanda Sísmica según ATC-40. ATC-40 ............................................ 24
Tabla 6. Niveles de Sismo según el Comité Visión 2000. Comité Visión 2000 ..................... 24
Tabla 7. Parámetros equivalentes lineales óptimos (Teff, βeff). FEMA 440. ........................... 25
Tabla 8. Parámetros de conversión de la curva de Capacidad al formato ADRS. FEMA 440.
....................................................................................................................................................... 28
Tabla 9. Vigas principales y secundarias. Fuente Propia. ....................................................... 33
Tabla 10. Cuadro de columnas. Fuente propia. ....................................................................... 35
Tabla 11. Secciones de losas aligeradas. Fuente propia. ......................................................... 36
Tabla 12. Cargas unitarias normadas. E020 Cargas. ............................................................... 39
Tabla 13. Peso por la distribución de ladrillos. Fuente propia. ............................................... 41
Tabla 14. Irregularidades estructurales en altura - Irregularidad de rigidez o piso blando
considerando el eje x. Fuente propia. ............................................................................................ 43
Tabla 15. Irregularidades estructurales en altura - Irregularidad de rigidez o piso blando
considerando el eje y. Fuente propia. ............................................................................................ 44
Tabla 16. Irregularidades estructurales en altura – Irregularidad de resistencia o Piso débil.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 44
Tabla 17. Irregularidades estructurales en altura – Irregularidad de masa o peso. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 45
Tabla 18. Irregularidades estructurales en planta – Irregularidad torsional considerando la
dirección en x. Fuente propia. ....................................................................................................... 45
Tabla 19. Irregularidades estructurales en planta – Irregularidad torsional considerando la
dirección en y. Fuente propia. ....................................................................................................... 46
Tabla 20. Irregularidades estructurales en planta - Esquinas entrantes. Fuente propia. ......... 47
Tabla 21. Irregularidades estructurales en planta - Discontinuidad del diafragma. Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 47
Tabla 22. Valores de la pseudo-aceleración espectral en dirección X y Y con sus respectivos
valores de amplificación sísmica. Fuente propia. ......................................................................... 49
Tabla 23. Períodos y masas participativas. Fuente propia. ..................................................... 53
Tabla 24. Drifts máximos en ambas direcciones y comparación con la norma. Fuente propia.
....................................................................................................................................................... 54
Tabla 25. Evaluación del diafragma rígido. Fuente propia ..................................................... 56
Tabla 26. Parámetros de modelo matemático del acero de refuerzo ASTM615 Grado 60.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 57
Tabla 27. Deformación última para varillas de refuerzo. (Otazzi Pasino, 2008). ................... 57
Tabla 28. Parámetros para modelo matemático de Mander para concreto no confinado.
Fuente propia. ............................................................................................................................... 58
Tabla 29. Parámetros para modelo matemático de Mander para concreto confinado V1
(30x60). Fuente propia. ................................................................................................................. 59
Tabla 30. Valores del Diagrama Momento - Curvatura de la viga V1 (30x60). Fuente propia.
....................................................................................................................................................... 62
Tabla 31. Momento-Rotación de la viga V1 (30x60). Fuente propia. .................................... 64
Tabla 32. Valores de Diagrama de Momento - Curvatura de la Columna C1 (50tonf). Fuente
propia. ........................................................................................................................................... 67
Tabla 33. Momento-Rotación para C1 (30x30). Fuente propia. ............................................. 69
Tabla 34. Características de los muros de concreto reforzado. Fuente propia. ....................... 72
Tabla 35. Alturas acumuladas de los muros de concreto reforzado. Fuente propia. ............... 74
Tabla 36. Coeficiente αc según la norma E060. Fuente propia. ............................................. 74
Tabla 37. Distribución de acero de refuerzo de los muros de concreto armado. Fuente propia.
....................................................................................................................................................... 75
Tabla 38. Resistencia al esfuerzo cortante de los muros de concreto armado. Fuente propia. 76
Tabla 39. Rigideces efectivas. ASCE 41-13. .......................................................................... 81
Tabla 40. Ductilidad y sobrerresistencia. Fuente propia. ........................................................ 99
Tabla 41. Factor de participación modal y el coeficiente de masa modal. Fuente propia. ... 101
Tabla 42. Puntos de desempeño para los tres niveles de demanda sísmica, patrón Modal.
Fuente propia. ............................................................................................................................. 108
Tabla 43. Comparación de los parámetros de desempeño. Fuente propia. ........................... 110
Tabla 44. Límites de Deriva según el ATC-40. ATC-40. ..................................................... 111
Tabla 45. Nivel de desempeño del Pabellón de Geología según ATC 40. ........................... 111
CAPITULO 1. GENERALIDADES 1
Capítulo 1.
GENERALIDADES
1.1. Antecedentes
En estas últimas décadas se ha desarrollado diferentes investigaciones acerca del diseño y
verificación del desempeño de una edificación en el entorno nacional e internacional. Para el
buen desarrollo de este trabajo se consideró los siguientes antecedentes:
La tesis titulada “DETERMINACION DE LA DUCTILIDAD Y RESISTENCIA PARA
MUROS DE CORTE DE CONCRETO ARMADO CUYAS SECCIONES TRANSVERSALES
TIENEN FORMAS L, I, T Y C” realizado el 2018 por Efrain Denys Quispe Choquemamani,
teniendo como objetivo “Determinar que variable de diseño influye determinantemente en la
mejora de la ductilidad y resistencia de muros de concreto armado de secciones rectangulares
mixtas L, I T y C, a través de un estudio analítico y ejecución de ensayos experimentales para
distintos casos de armado de acero de refuerzo de muros de corte, siendo esta tesis, un estudio
analítico y experimental del comportamiento de los muros de corte frente a las acciones de
cargas laterales. Presentando como conclusión, que para un correcto diseño de muros de concreto
armado de diferentes secciones, se desarrolle un buen comportamiento dúctil frente a eventos
sísmicos, va a depender de una adecuada asignación del núcleo de confinamiento, es decir los
espaciamientos de los estribos, ya que se demostró que es un parámetro que está directamente
ligado a la ductilidad del elemento sin afectar la resistencia de la misma.
A nivel internacional se desarrolló una investigación titulada: “Dynamic-based pushover analysis
for one-way plant-asymmetric buildings” publicado por Rofooei, F. R., & Mirjalili, M. R. (2018)
en Engineering Structures, 163, 332-346. Donde proponen hacer un análisis bajo la acción de un
patrón de cargas laterales para edificios asimétricos, con el objetivo de considerar los efectos del
CAPITULO 1. GENERALIDADES 2
comportamiento de torsión. Para los edificios asimétricos en planta proponen usar dos patrones
de cargas lateral-torsional, luego para la determinación de las cargas estáticas no lineales se
propone hacer una envolvente de ambos análisis. Para el cálculo de los desplazamientos usa el
código ASCE 41-13 con un factor de modificación.
La tesis titulada “EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO SÍSMICO DE MARCOS A MOMENTO
EN EDIFICIOS DE BAJA Y MEDIANA ALTURA” – 2018 bajo la norma chilena
NCh433.Of1996, elaborado por Pablo Alberto Báez Romero teniendo como objetivo: “Evaluar
el desempeño sísmico de estructuras conformadas por marcos a momento que son diseñados con
la norma sísmica nacional NCh433.Of1996 modificada en 2009, más lo estipulado por el D.S.
N°61, y las disposiciones del AISC(2016) respecto al dimensionamiento y verificación de los
elementos estructurales de acero”
1.2. Planteamiento del Problema
En la metodología para el análisis sísmico para una edificación, propuesto por la norma
E-030, no propone una técnica especifica que permita verificar la filosofía y los principios de
Diseño Sismorresistente, además no permite verificar si la edificación será capaz de satisfacer la
ductilidad demandada por la reducción de las fuerzas del sismo de diseño.
Si bien la norma E-030 no permite irregularidades en las zonas 2, 3 y 4 para edificaciones
esenciales A2 que corresponde al Pabellón de Geología de la Universidad Nacional de San
Agustín, y sabiendo que esta servirá como refugio después de un desastre, no se han desarrollado
metodologías de evaluación por desempeño estructural y no estructural, cuyo objetivo deberá ser
continuar siendo operativo luego del evento sísmico.
CAPITULO 1. GENERALIDADES 3
1.3. Justificación
El pabellón de Geología de la UNSA es una edificación clasificada como esencial según la
normativa nacional E-030, por lo que debe garantizar un buen comportamiento estructural bajo
un evento sísmico, para eso debemos conocer con mayor precisión la respuesta estructural, el
daño que experimentará en el proceso y sus eventuales consecuencias. La norma actual no
presenta procedimientos básicos de evaluación del desempeño de un edificio posterior al daño.
Es decir, no prevé el verdadero comportamiento estructural de una edificación bajo una
solicitación sísmica, y dado que el diseño basado solo en resistencia ultima en este aspecto es
incierta, estamos en la situación de verificar si el diseño de una estructura realmente cumple con
los principios que rigen la filosofía de diseño sismorresistente
1.4. Objetivos
1.4.1. Objetivo general
Evaluar el desempeño sísmico del pabellón de Geología – UNSA usando Análisis Sísmico no
Lineal Estático (Pushover) considerando el nivel de daño estructural para distintas intensidades
de sismo.
1.4.2. Objetivos específicos
• Evaluación estructural a partir de los planos as built y caracterización de un modelo
matemático del pabellón de Geología, de tal manera que este represente de la mejor forma el
comportamiento de la estructura frente a la acción sísmica.
• Definir y determinar el mecanismo de falla de la formación de rotulas plásticas de los
diferentes elementos estructurales que compone la edificación a partir de sus gráficas momento –
curvatura.
CAPITULO 1. GENERALIDADES 4
• Determinar el desplazamiento lateral máximo de la edificación y contrastarlo con el
desplazamiento admisible de la norma considerando la no linealidad de sus elementos
estructurales constituyentes.
• Determinar el punto de desempeño de la estructura comparando la representación de la
curva de capacidad de la estructura y la demanda sísmica a través del espectro de aceleraciones.
• Determinar la ductilidad de la estructura y determinar la evaluación del desempeño
mediante un análisis no lineal estático.
1.5. Marco Normativo
Debido a una incertidumbre por conocer si el diseño basado en fuerzas era suficiente para
garantizar el buen comportamiento estructural de las edificaciones, se propusieron
consecuentemente una serie de métodos no lineales con el fin de alcanzar una mayor precisión en
el análisis y lograr simulaciones más realistas del comportamiento inelástico de las estructuras
tanto nuevas como existentes, es así que en el año 1990 se generó una propuesta llamada
“Proposición 122” en California, Estados Unidos, con el fin de autorizar a la Comisión de
Seguridad Sísmica de California (CSSC) para la adaptación sísmica al sector privado. En 1994,
el Consejo de Tecnología Aplicado (ATC) obtuvo el contrato para desarrollar una metodología
para la evaluación y adecuación sísmica de edificios de concreto existentes. El resultado, es el
documento ATC- 40. Posteriormente aparecen las normas FEMA 273 y 274 (1997) que
consisten en una serie de guías para la rehabilitación sísmica de edificaciones. Luego, en el año
2000 se desarrolló la FEMA 356 con el fin de proporcionar una norma reconocida a nivel
nacional en Estados Unidos. Los procedimientos contenidos en esta norma están orientados a la
evaluación y rehabilitación de edificios existentes. Luego se establece la norma FEMA 440
(2005) con el objetivo principal de la mejora y evaluación del procedimiento que están
CAPITULO 1. GENERALIDADES 5
contenidos en las normas FEMA 356 y el ATC-40 dando directrices para el uso de estas normas.
Posteriormente se desarrolló ASCE 41-06 (2007), donde este documento presento la metodología
de última generación para la rehabilitación sísmica basada en el desempeño de estructuras.
Finalmente, la norma vigente ASCE 41-17 actualiza y reemplaza las normativas previas ASCE
41-06 y ASCE 41-13; sin embargo, a pesar de la constante evolución en cuanto a normativa se
refiere, a nivel nacional no se ha desarrollado significativamente algún progreso en cuanto a una
estandarización o una normativa para la adecuada aplicación de metodologías de análisis
inelásticos.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 6
Capítulo 2.
MARCO TEORICO
2.1. Marco Conceptual
En esta sección se definirá los diferentes conceptos que serán necesarios para un buen
desarrollo de este trabajo de investigación.
a. Demanda. Se entiende por demanda como la representación de movimiento del suelo
durante la acción de un sismo sobre una estructura, en términos de desplazamiento. Para una
estructura y un sismo en particular, la demanda de desplazamiento es una estimación de la
respuesta máxima esperada.
b. Capacidad. La resistencia final esperada de un elemento estructural ante esfuerzos de
flexión, corte, torsión y axial. La capacidad de una estructura está directamente relacionado a la
capacidad individual de cada componente.
c. Desempeño. Es el comportamiento que tendrá una estructura que está en función de su
capacidad estructural y una demanda sísmica en especifica. Para la determinación del desempeño
sísmico se debe tener en cuenta el estado límite de daño, la seguridad de sus ocupantes debido a
ese daño y la funcionalidad del edificio luego del sismo.
d. Ductilidad. Se define como la capacidad de los materiales ante una carga externa de
sufrir deformaciones sin llegar a experimentar una reducción considerable de la resistencia y
rigidez.
e. Sobrerresistencia. Es el incremento en la capacidad más allá del límite elástico, esto
sucede en la mayoría de las estructuras y sus componentes estructurales. Esta se calcula como el
cociente entre la fuerza cortante de colapso y fluencia efectiva.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 7
2.2. Normativa considerada
Para el desarrollo de esta investigación se tomaron en cuenta las siguientes normativas:
• E030 Para la consideración de parámetros sísmicos, control de derivas, entre otros.
• ASCE 41-13, ASCE 41-17 Como fuente de parámetros de modelación no lineal, criterios
de aceptación, entre otros.
• FEMA 356 Para obtener recomendaciones de obtención de curvas idealizadas de tramos
rectos del diagrama de momento curvatura de los distintos elementos estructurales.
• ATC 40 Para la obtención del punto de desempeño basado en el método de espectro de
capacidad.
• FEMA 440 Para la obtención del punto de desempeño basado en el método del espectro
de capacidad mejorado respecto de la ATC-40.
2.3. Método estático no lineal (Pushover)
2.3.1. Definición
La finalidad que tiene el análisis estático no lineal mediante el empuje de cargas laterales es
dar una idea acerca del comportamiento de la estructura en el rango no lineal ante la acción de
cargas externas, que esta es caracterizada por medio de la construcción de la curva de capacidad.
La metodología Pushover o empuje lateral basado en fuerzas se fundamenta en empujar una
estructura estática mediante un conjunto de fuerzas laterales monótonas o evolutivas hasta
alcanzar un desplazamiento definido. En cada paso del análisis se hace la comparación de la
capacidad de los elementos estructurales mediante sus propiedades no lineales con la demanda
externa caracterizada por las fuerzas laterales de disposición constante o variable.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 8
Una de las principales características del análisis estático no lineal es obtener la curva de
capacidad de una estructura de varios grados de libertad mediante el equivalente de un sistema
de un grado de libertad.
2.3.2. Rótulas
Corresponde a la zona de cedencia de la sección del elemento estructural cuya formación se
origina después de superar el momento de cedencia de la sección y en consecuencia se logran
grandes deformaciones sin notar un gran incremento de carga. En ese sentido, la sección del
elemento estructural tiene el comportamiento de una articulación sujeta al momento de
agotamiento.
Uno de los motivos de su análisis y consideración sostiene que mientras la edificación está
siendo sometida a un incremento gradual de fuerzas horizontales, algunas secciones pueden
alcanzar sus momentos resistentes últimos, con lo cual, si logramos que se mantenga este valor
gracias a la rótulas plástica generadas, conseguiremos que las demás secciones resistan valores
de momentos adicionales, hasta alcanzar una combinación suficiente de articulaciones plásticas
que deriven en un mecanismo de falla.
2.3.2.1. Vigas
La formación de rotulas plásticas se concentra generalmente en las zonas adyacentes a los
nudos dentro de una longitud aproximadamente Lp. Según Park y Paulay (1975) presenta una
aproximación de esta longitud de 0.4 a 0.5 veces del peralte de la viga. Esta caracterización nos
permite desarrollar la gráfica de momento – rotación a partir de la gráfica momento curvatura.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 9
2.3.2.2. Columnas
En el caso de columnas la ductilidad, para que tenga falla dúctil y logre generarse una rotula
plástica, depende de la carga axial a compresión, para garantizar esto la carga axial no debe
superar la carga axial balanceada Pb.
2.3.2.3. Muros de corte
Son elementos estructurales de concreto armado para resistir combinaciones de fuerzas
externas: axiales, cortes en su plano, cortes fuera de su plano, momento dentro y fuera de su
plano. Los muros de corte se clasifican en dos tipos: muros cuya relación altura – longitud es
menor a 2 son llamados muros bajos que en su diseño son dominados por el corte y muros donde
su relación altura – longitud es mayor a dos son considerados muros altos en cuya solicitación
predomina la flexión. Los muros estructurales presentan diferentes modos de fallas, como se
muestra en la figura.
Figura 1. Tipología de fallas en un muro de corte. Paulay & Priestley 1991.
Los muros estructurales tienen ciertas componentes para que tenga características
sismorresistentes y dúctiles: miembros de borde y alma de muro. La zona de confinamiento o la
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 10
zona donde se produce la rótula es 0.5 de la longitud del muro (0.5 Lw), esta es la zona donde el
elemento se comportará más allá de su rango lineal.
Figura 2. Ubicación de las rotulas en muro de corte. Paulay & Priestley 1991.
2.3.3. Momento – Curvatura
El diseño de las edificaciones conlleva que éstas experimenten deformaciones plásticas con el
fin de disipar la energía debido a un evento sísmico, estas deformaciones pueden ser relacionadas
directamente con los desplazamientos y rotaciones de los elementos estructurales de la
edificación en función de su respuesta a la flexión.
Figura 3. Deformación de un miembro a flexión. R. Park & T. Paulay, 1983.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 11
Considerando un elemento diferencial dx de un miembro, donde R es el radio de curvatura, kd
representa la profundidad del eje neutro, 𝜀𝜀𝑐𝑐 y 𝜀𝜀𝑠𝑠 deformación de la fibra de concreto y acero
respectivamente, se pueden obtener las siguientes relaciones: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑 =
𝜀𝜀𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(1 − 𝑘𝑘)
1𝑅𝑅 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑 =
𝜀𝜀𝑠𝑠𝑑𝑑(1 − 𝑘𝑘)
Si 1/R es la curvatura, rotación por longitud unitaria, tenemos:
𝜑𝜑 =1𝑅𝑅 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑 =𝜀𝜀𝑠𝑠𝑑𝑑(1 − 𝑘𝑘)
=𝜀𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑑𝑑
La curvatura de un elemento variará a lo largo del miembro en función a las deformaciones de
las grietas y la fluctuación de la profundidad del eje neutro de la sección.
Con las suposiciones de que las secciones permanecen planas al experimentar flexión y
conociendo el comportamiento esfuerzo-deformación del concreto y del acero se pueden deducir
las gráficas de momento curvatura para secciones de concreto armado.
Para el análisis no lineal estático es preciso saber los diagramas de momento – curvatura o
momento – rotación de los diferentes elementos estructurales, a partir de estos diagramas se
obtiene, para los casos de flexión y flexo comprensión, la rigidez de la sección conforme a las
cargas externas. (Aguiar, Mora, & Rodriguez, 2015). El diagrama de Momento – Curvatura es
elaborado a partir de las propiedades constitutivas del concreto y el acero. Podemos tener una
gráfica simplificada si tan solo analizamos tres situaciones fundamentales: Estado de
agrietamiento (𝑀𝑀𝐴𝐴,∅𝐴𝐴); estado de fluencia (𝑀𝑀𝑦𝑦,∅𝑦𝑦); estado último o de agotamiento (𝑀𝑀𝑢𝑢,∅𝑢𝑢).
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 12
Figura 4. Diagrama de Momento Curvatura. Otazzi, 2011.
Para conocer la deflexión o rotación de un miembro en función de sus relaciones de momento
curvatura bastará con integrar la siguiente ecuación a lo largo de la longitud del elemento.
𝜃𝜃𝐴𝐴𝐴𝐴 = � 𝑑𝑑𝜑𝜑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
Figura 5. Deflexión debida a deformación por flexión de un elemento. R. Park & T. Paulay, 1983.
2.3.4. Momento – Rotación
Los diagramas de momento rotación están relacionados directamente a un segmento del
elemento estructural y los diagramas de momento curvatura le compete solo a la sección. Para
una mejor visualización de la rotación y curvatura se tiene la siguiente gráfica:
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 13
Figura 6. Rotación y curvatura de un elemento en general. J. Moehle, 2014.
El código (ASCE 41-13, 2014) permite encontrar de manera sencilla los diagramas de momento
– rotación que están avalados teórica y experimentalmente.
El instante que se supera el momento de fluencia 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑖𝑖 se encuentra la longitud plástica 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖 y
cuando se supera el momento de fluencia 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑗𝑗 en el nodo j final se tiene la longitud 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑗𝑗. En la
gráfica siguiente se muestra los momentos actuantes que superaran a los momentos de fluencia y
son denotados 𝑀𝑀𝑖𝑖 y 𝑀𝑀𝑗𝑗, indicando que estos momentos son anti horarios.
Figura 7. Longitud plástica y diagrama de momentos. Aguiar, Mora, & Rodriguez, 2015.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 14
Por relación de triángulos se tiene
𝑀𝑀𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑗𝑗𝐿𝐿 =𝑀𝑀𝑌𝑌𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑗𝑗𝐿𝐿 − 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖
Despejando la longitud plástica 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖 y de la misma manera se obtiene 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑗𝑗 longitud plástica en el
nodo final.
𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖 = �𝑀𝑀𝑖𝑖 −𝑀𝑀𝑌𝑌𝑖𝑖𝑀𝑀𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑗𝑗 �𝐿𝐿
𝐿𝐿𝑝𝑝𝑗𝑗 = �𝑀𝑀𝑗𝑗 −𝑀𝑀𝑌𝑌𝑗𝑗𝑀𝑀𝑖𝑖 + 𝑀𝑀𝑗𝑗 � 𝐿𝐿
La determinación de la rotación de fluencia 𝜃𝜃𝑌𝑌 se obtiene de la matriz de flexibilidad de una viga
que se encuentra en apoyo fijo y un apoyo móvil. En lugar de aplicar momentos unitarios tanto
en el nodo inicial y final aplicamos los momentos de fluencia 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑖𝑖 y 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑗𝑗; en consecuencia los
giros que se obtienen son los de fluencia 𝜃𝜃𝑌𝑌𝑖𝑖 y 𝜃𝜃𝑌𝑌𝑗𝑗.
Figura 8. Momento y rotación de fluencia. Aguiar, Mora, & Rodriguez, 2015.
La figura anterior asume que ambos nudos entran en fluencia en forma simultánea. Pero la mayor
parte de veces solo uno de los nodos ingresa al rango no lineal y la otra no. En el caso particular 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑗𝑗 = 𝑀𝑀𝑌𝑌𝑗𝑗, resulta la rotación de cedencia recomendada por el ASCE 41-13:
𝜃𝜃𝑌𝑌 =𝐿𝐿𝑀𝑀𝑌𝑌6𝐸𝐸𝐸𝐸
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 15
También se debe anotar que una buena estimación para la longitud plástica en vigas y columnas
es de 0.5h, donde h es el peralte del elemento (Paulay & Priestley, 1991).
2.3.5. Diagrama generalizada fuerza – deformación
Para desarrollar el análisis no lineal estático es preciso definir la forma y comportamiento de
las rotulas plásticas, ya que en función de estas es que se irá degradando gradualmente la rigidez
de las secciones y, en consecuencia, de la estructura en general. La definición de estas rótulas,
están descritas en el código ASCE 41-17 Capítulo 10 donde “a” representa la deformación
inelástica estable, “b” la deformación total hasta el punto de colapso y “c” la resistencia residual.
Figura 9. Diagramas generalizadas fuerza-deformación. ASCE 41-13, 2014.
La interpretación de la relación generalizada que se muestra en la Figura 9, corresponde a un
primer tramo desde el punto A hasta el punto B (fluencia efectiva) una respuesta lineal del
elemento estructural; luego del punto B hasta el punto C corresponde a otra respuesta lineal, pero
con un acortamiento de su reducción que caracteriza el endurecimiento por la deformación del
acero de refuerzo; posteriormente del punto C hasta el punto D representa una respuesta de una
degradación significativa; a partir del punto D hasta el punto E corresponde a una respuesta
sustancialmente reducida. La imagen derecha de la Figura 9, representa los criterios de
aceptación (IO, LS, CP) el cual determina el nivel de daño o condición limite. Para los diferentes
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 16
elementos estructurales: vigas, columnas y muros de corte se debe de calcular sus respectivos
esfuerzos y deformaciones de fluencia.
2.3.5.1. Vigas
Las verificaciones que se realizan básicamente son 3: las cuantías de acero, se verifica si el
refuerzo es confinado o no y si la viga está controlada por corte.
En el caso que la viga este controlado por flexión los parámetros numéricos y valores de
aceptación que definen la curva generalizada son mencionadas en la Tabla 10-7 del código
(ASCE 41-13, 2014). También, se necesita calcular los momentos y desplazamientos de fluencia
y últimos de la viga.
Por otro lado, para vigas controlados por corte (vigas de acople en muros) los parámetros y
criterios de aceptación que definen la curva generalizada son descritas en la Tabla 10-20 del
código (ASCE 41-13, 2014), asimismo se necesita calcular la resistencia máxima a corte del
elemento estructural.
2.3.5.2. Columnas
En el caso de columnas, para hallar los coeficientes y los valores de aceptación se hacen tres
controles: el primero es verificar la relación 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴∙𝑓𝑓′𝑐𝑐, el segundo es verificar el confinamiento y
finalmente controlar la cortante actuante. Teniendo en cuenta que si la columna es controlada por
corte no se puede obtener los coeficientes. Sin embargo, si la columna es controlada por corte se
puede asumir que estas trabajan como elementos de acople entre muros. Estos valores son
hallados en la Tabla 10-20 (ASCE 41-13, 2014).
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 17
El caso en que las columnas son controladas por flexo comprensión (𝑃𝑃 −𝑀𝑀2 −𝑀𝑀3) los
valores paramétricos y los criterios de aceptación son hallados en la Tabla 10-8 del código
(ASCE 41-13, 2014).
2.3.6. Curva de Capacidad
La curva de capacidad es la representación de la capacidad de la estructura y esta es
representada mediante la relación que existe entre el desplazamiento lateral de la estructura y la
resistencia ante carga lateral. La curva de capacidad es elaborada, tradicionalmente, a través del
análisis estático no lineal (Pushover). Mediante esta curva se puede definir la ductilidad de la
estructura y los mecanismos de formación de rotulas plásticas.
La metodología Pushover consiste en aplicar un patrón de cargas en forma lateral a la estructura,
representando las fuerzas sísmicas, estas cargas laterales van aumentando de forma monótona
hasta llegar la capacidad última o el colapso de la estructura. La finalidad de esta técnica es
determinar en forma cuantitativa la capacidad de la estructura de soportar la acción de una carga
lateral, que representa la acción de un sismo.
Figura 10. Patrón de cargas y Curva de Capacidad. Arango, Paz & Duque, 2009.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 18
En el proceso del análisis Pushover, la cortante en la base de la estructura va incrementando
paulatinamente mientras se va manteniendo constante el patrón de fuerzas sísmicas (Figura 10).
Para tener una mejor representación real de las fuerzas sísmicas, se dispone de una distribución
de fuerzas sísmicas laterales, análogo a las fuerzas sísmicas estáticas equivalentes, las cuales
siguen la forma del modo fundamental de vibración, o una distribución más sencilla triangular
invertida, parabólica o uniforme. La forma que se elija para el patrón de cargas influye en la
definición de la curva de capacidad.
En la imagen se muestra una representación típica de una curva de capacidad, donde el eje de las
abscisas se ubica los desplazamientos laterales en el último nivel de la edificación y en el eje de
las ordenadas se ubica la cortante en la base de la estructura.
Figura 11. Curva de Capacidad típica de una estructura. SEAOC, 1995.
2.4. Desempeño Sísmico
Es el enfoque mediante el cual se diseña edificaciones cuyo comportamiento es predecible,
conociendo el nivel de daño que sufrirá para una determinada demanda sísmica, además de
conocer tentativamente la degradación de los elementos estructurales susceptibles a una falla
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 19
pronta, permitiendo así un uso más óptimo de los recursos en materia de reparación o
reforzamiento de los elementos estructurales.
Para eso, uno de los objetivos basados en el enfoque del desempeño sísmico es que se
desarrolle un buen comportamiento dúctil global de la edificación para lograr que se desarrollen
grandes deflexiones bajo cargas cercanas a la máxima, logrando que se pueda advertir
visualmente una falla que ocasione pérdida de vidas.
Se debe recalcar que esta metodología no está limitada a edificaciones nuevas, siendo esta, la
presente tesis, una evaluación del desempeño estructural de una edificación preexistente.
2.4.1. Niveles de desempeño
Los diferentes códigos que tratan el enfoque y metodología del desempeño sísmico,
establecen niveles de desempeño o estados límites de daño, consistentes en la combinación de
daños tanto estructurales como no estructurales, el grado de riesgo que representa para la
ocupación de vidas humanas, continuidad de servicios y funciones que desempeña la edificación,
entre otros.
Dependiendo de los deseos del propietario de la edificación, existe un amplio rango de
requerimientos de desempeño estructural los cuales pueden ser adaptados según los objetivos de
rehabilitación requeridos (FEMA-356, 2000).
A continuación se resume los diferentes niveles de desempeño según algunas normativas como
VISIÓN 2000, ATC-40 y ASCE 41-13 .
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 20
Tabla 1. Niveles de desempeño según ATC-40. ATC-40.
SEGÚN ATC 40
NIVELES DE DESEMPEÑO PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES NIVELES DE DESEMPEÑO
SP-1 OCUPACION INMEDIATA Daño estructural muy limitado. Probabilidad de una lesión es insignificante. No requiere reparaciones
1-A OPERACIONAL
Nivel de desempeño relacionado con la funcionalidad. Daño a la estructura muy limitado. No existe peligro para las funciones del edificio.
SP-2 CONTROL DE DAÑO Rango de daño post-sismo que varía entre SP1 a SP3.
SP-3 SEGURIDAD DE VIDA Daños estructurales significativos. Probabilidad baja de lesiones mortales. Requiere reparaciones estructurales extensas.
SP-4 SEGURIDAD LIMITADA Rango de daño post-sismo que varía entre SP3 a SP5.
1-B OCUPACION INMEDIATA
Nivel correspondiente para edificaciones esenciales. Se mantiene garantizada la seguridad de los ocupantes. El contenido puede ser levemente dañado.
SP-5 ESTABILIDAD
ESTRUCTURAL
Daños estructurales cercanos al colapso. Probabilidades altas de lesiones. Alta probabilidad de estructuras técnica y económicamente irreparables.
SP-6 NO CONSIDERADO Marcador de posición para situaciones donde se realiza una evaluación sísmica no estructural.
3-C SEGURIDAD DE
VIDA
Probabilidad extremadamente baja de amenaza a la seguridad de vida por daños a elementos estructurales o no.
NIVELES DE DESEMPEÑO PARA ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES
NP-A OPERACIONAL Daño en los elementos no estructurales casi nulos.
NP-B OCUPACION INMEDIATA
Sistemas no estructurales permanecen en su sitio. Probabilidad de limitaciones en el funcionamiento de equipos y maquinarias. Servicios externos pueden no estar disponibles.
5-E ESTABILIDAD
ESTRUCTURAL
Margen de seguridad ante cargas laterales al límite. Alta probabilidad al colapso ante replicas. No se garantiza la seguridad de los ocupantes.
NP-C SEGURIDAD DE VIDA
Daños a elementos no estructurales significativos. Equipos y maquinaria pueden requerir reemplazo.
NP-D PELIGRO REDUCIDO
Daños severos a elementos no estructurales. Parapetos, muros externos de mampostería sufren grandes daños pero no llegan al colapso amenazando la integridad de personas.
NP-E NO CONSIDERADO Marcador de posición para situaciones donde no se realiza una evaluación a elementos no estructurales.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 21
Tabla 2. Niveles de desempeño según ASCE 41-13. ASCE 41-13.
SEGÚN ASCE 41-13
NIVELES DE DESEMPEÑO PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES NIVELES DE DESEMPEÑO S-1 OCUPACION INMEDIATA La estructura conserva su resistencia y rigidez inicial
1-A OPERACIONAL Los servicios de respaldo mantienen sus funciones; muy poco daño. (S-1 + N-A)
RANGO DE SEGURIDAD MEJORADA
Rango continuo de daño entre S-1 y S-3
S-2 CONTROL DE DAÑO Estado de daño post-sismo entre S-1 y S-3
S-3 SEGURIDAD DE VIDA Daños moderados con un gran margen de seguridad para el inicio del colapso
1-B OCUPACION INMEDIATA
El edificio permanece seguro para ocupar; cualquier reparación es menor. (S-1 + N-B)
RANGO DE SEGURIDAD REDUCIDA
Rango continuo de daño entre S-3 y S-5
S-4 SEGURIDAD LIMITADA Estado de daño post-sismo entre S-3 y S-5
S-5 PREVENCION DE
COLAPSO
Daños sustanciales, el edificio soporta aun cargas de gravedad pero ya no hay margen de seguridad frente al colapso 3-C
SEGURIDAD DE VIDA
La estructura permanece estable y tiene una capacidad de reserva significativa; el daño no estructural peligroso está controlado. (S-3 + N-C) S-6 NO CONSIDERADO Cuando se desea una evaluación sísmica no estructural.
NIVELES DE DESEMPEÑO PARA ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES
5-E PREVENCIÓN DE
COLAPSO
El edificio permanece de pie, cerca al colapso; cualquier otro daño o pérdida es aceptable. (S-5 + N-E)
N-A OPERACIONAL Las funciones de los elementos no estructurales no se ven afectadas.
N-B RETENCION DE
POSICION
Los elementos no estructurales pueden sufrir daño pero no sufren caída o volteo que comprometa la integridad de las personas.
N-C SEGURIDAD DE VIDA Los elementos no estructurales sufren daño moderado pero no sufren caída o volteo que comprometa la integridad de las personas.
N-D PELIGRO REDUCIDO Cuando no se consideran los elementos no estructurales en la evaluación sísmica.
Tabla 3. Niveles de desempeño según VISION 2000. VISION 2000.
SEGÚN COMITÉ VISION 2000
NIVELES DE DESEMPEÑO
TOTALMENTE OPERACIONAL No ocurren esencialmente daños La estructura es completamente funcional
No requiere reparaciones
OPERACIONAL Daños moderados en elementos no estructurales Probabilidad de daños leves en elementos estructurales
La estructura se mantiene funcional Reparaciones menores
SEGURIDAD DE VIDA Reducción sustancial de la rigidez lateral Daños moderados en elementos estructurales y no estructurales
La estructura necesita evaluar su funcionalidad Reparación debe ser previamente justificado
PREVENCION DE COLAPSO Degradación total de la rigidez lateral La estructura es proclive al colapso próximo
Reparación generalmente inviable
COLAPSO Colapso parcial o total No es posible la reparación
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 22
2.4.2. Objetivos de desempeño
Es el nivel de daño que se busca alcanzar en una edificación para una determinada amenaza
sísmica, se halla en función de un nivel de desempeño estructural y no estructural, así como una
determinada demanda sísmica. Un objetivo de desempeño puede incluir varios niveles de
comportamiento del edificio para varios niveles de demanda sísmica y es así es denominado
objetivos de desempeño dual. En esta sección se desarrollará los objetivos de desempeño
presentados por los códigos ATC-40 y Comité Visión 2000.
2.4.2.1. Objetivos de desempeño dados por ATC-40
Según esta propuesta presenta una gran variedad de objetivos de desempeño, las cuales se
combinan con los niveles de desempeño y con la demanda sísmica. Un objetivo de doble o de
múltiples niveles de desempeño puede ser creado mediante la selección de dos o más
desempeño, cada uno para un nivel diferente de movimiento.
Tabla 4. Objetivos de Desempeño dados por ATC -40. ATC-40.
2.4.2.2. Objetivos de desempeño dados por el Comité Visión 2000
Los objetivos básicos están definidos como los objetivos de desempeño mínimos para
edificios nuevos comunes. Los objetivos esenciales están definidos como objetivos de
desempeño mínimos para edificaciones esenciales. Los objetivos de seguridad critica están
definidos para las edificaciones esenciales tipo A1.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 23
Figura 12. Objetivos de Desempeño según Comité Visión 2000. Comité Visión 2000.
2.4.3. Demanda sísmica
La demanda sísmica generalmente se representa mediante un espectro de respuesta, el cual
presenta la respuesta máxima de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) como una función de
sus frecuencias o periodo. En esta sección se desarrolla los Niveles de Amenaza Sísmica
propuestos por ATC-40 y Comité Visión 2000. El periodo de retorno se define como un periodo
de tiempo medio entre la ocurrencia de sismos que ocasionan del mismo orden y severidad. La
probabilidad de excedencia es una representación estadística de probabilidad que las
consecuencias de un sismo excedan un nivel de efectos determinados en un tiempo específico de
exposición.
2.4.3.1. Propuesta del ATC-40
Este código presenta tres niveles de sismo: Sismo de Servicio (SE), Sismo de Diseño (DE) y
Sismo Máximo (ME) acompañados con sus siglas en ingles. En la Tabla 5 presenta la
probabilidad de excedencia y el periodo de retorno aproximado para cada nivel de sismo.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 24
Tabla 5. Niveles de Demanda Sísmica según ATC-40. ATC-40
SISMO PERIODO DE RETORNO PROBABILIDA DE EXCEDENCIA
Servicio (SE) 75 años 50% en 50 años
Diseño (DE) 500 años 10% en 50 años
Máximo (ME) 1000 años 5% en 50 años
2.4.3.2. Propuesta del Comité Visión 2000
Este código propone cuatro niveles: Sismo Frecuente, Sismo Ocasional, Sismo Raro y Sismo
muy Raro, tal como se detalla en la Tabla 6. El periodo de retorno 𝑇𝑇𝑅𝑅 está relacionado con una
probabilidad de excedencia 𝑝𝑝𝑒𝑒 para un numero especifico de 𝑡𝑡 años (tiempo de exposición), por
medio de la siguiente ecuación:
𝑇𝑇𝑅𝑅 =𝑡𝑡
ln(1 − 𝑝𝑝𝑒𝑒)
Tabla 6. Niveles de Sismo según el Comité Visión 2000. Comité Visión 2000
SISMO PERIODO DE RETORNO PROBABILIDA DE EXCEDENCIA Frecuente 43 años 50% en 30 años Ocasional 72 años 50% en 50 años
Raro 475 años 10% en 50 años Muy Raro 970 años 10% en 100 años
2.4.4. Método para determinar el punto de desempeño sísmico: Espectro de
capacidad
En esta sección se presentará los conceptos de espectro de capacidad y su uso en el estudio del
desempeño sísmico de edificaciones que, dando una explicación paso a paso el método de
espectro de capacidad que están definidos en el ATC – 40 y FEMA – 440. El método del
Espectro de Capacidad consiste en representar la curva de capacidad de resistir cargas laterales
de la estructura en términos de aceleraciones y desplazamientos, graficando junto a la demanda
sísmica a través del espectro de aceleraciones, al comparar estos dos espectros se determina el
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 25
punto de desempeño de la edificación. Este formato aceleración – desplazamiento es conocido
como Formato ADRS.
2.4.4.1. Procedimiento de linealización Equivalente FEMA 440
El Procedimiento de Linealización Equivalente Mejorado, que es desarrollado por el código
FEMA 440 presenta una mejora del procedimiento del código ATC – 40.
Los parámetros lineales equivalentes óptimos son: periodo efectivo (𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓), amortiguamiento
efectivo (𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓) y el Espectro de Respuesta Aceleración – Desplazamiento Modificado (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀)
para uso con periodos secantes. Estos parámetros están directamente relacionados a las
características de la curva de capacidad, periodo, amortiguamiento inicial de la estructura y la
demanda de ductilidad 𝜇𝜇.
En la Tabla 7. se presenta los cálculos de los parámetros equivalentes óptimos (𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓,𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓). Los
valores de los coeficientes A, B, C, D, E y F están en la tabla 6-1 del FEMA 440. Para
determinar el periodo efectivo, los valores de los coeficientes G, H, I, J, K y L son determinados
de la Tabla 6-2 del FEMA 440. En la segunda parte de la Tabla 7. presenta ecuaciones
optimizadas para la determinación del 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 y 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 para cualquier espectro de capacidad,
independiente del tipo de modelo histérico. Esta expresiones solo se aplican para 𝑇𝑇0 =
0.2 a 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠.
Tabla 7. Parámetros equivalentes lineales óptimos (Teff, βeff). FEMA 440.
Parámetro 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓
1.0 < 𝜇𝜇 < 4.0 𝑀𝑀(𝜇𝜇 − 1)2 + 𝐵𝐵(𝜇𝜇 − 1)3 + 𝛽𝛽0 [𝐺𝐺(𝜇𝜇 − 1)2 +𝐻𝐻(𝜇𝜇 − 1)3 + 1]𝑇𝑇0
4.0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ 6.5 𝐶𝐶 + 𝑀𝑀(𝜇𝜇 − 1) + 𝛽𝛽0 [𝐸𝐸 + 𝐽𝐽(𝜇𝜇 − 1) + 1]𝑇𝑇0 𝜇𝜇 ≥ 6.5 𝐸𝐸 �𝐹𝐹(𝜇𝜇 − 1) − 1
[𝐹𝐹(𝜇𝜇 − 1)]2 � �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑇𝑇0 �2 + 𝛽𝛽0 �𝐾𝐾 �� (𝜇𝜇 − 1)
1 + 𝐿𝐿(𝜇𝜇 − 1)− 1� + 1�𝑇𝑇0
1.0 < 𝜇𝜇 < 4.0 4.9(𝜇𝜇 − 1)2 − 1.1(𝜇𝜇 − 1)3 + 𝛽𝛽0 [0.20(𝜇𝜇 − 1)2 + 0.038(𝜇𝜇 − 1)3 + 1]𝑇𝑇0
4.0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ 6.5 14.0 + 0.32(𝜇𝜇 − 1) + 𝛽𝛽0 [0.28 + 0.13(𝜇𝜇 − 1) + 1]𝑇𝑇0
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 26
𝜇𝜇 ≥ 6.5 19 �0.64(𝜇𝜇 − 1) − 1
[0.64(𝜇𝜇 − 1)]2 � �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑇𝑇0 �2 + 𝛽𝛽0 �0.89 �� (𝜇𝜇 − 1)
1 + 0.05(𝜇𝜇 − 1)− 1�+ 1�𝑇𝑇0
Para la obtención del Espectro de Respuesta Aceleración – Desplazamiento Modificado
(MADRS) se multiplica las ordenadas de la demanda con amortiguamiento efectivo 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 por el
factor de modificación M (en formato ARDS), donde interseca con la curva de capacidad en el
punto de desempeño. El factor de modificación M es la relación de la aceleración máxima con la
aceleración efectiva y estos a su vez están relacionados directamente a sus periodos.
𝑀𝑀 =𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 = �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐�2 = �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑇𝑇0 �2 � 𝑇𝑇0𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐�2 = �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑇𝑇0 �2 1 + 𝛼𝛼(𝜇𝜇 − 1)𝜇𝜇
Figura 13. Espectro de aceleración – desplazamiento modificado MADRS. FEMA 440.
Debido que el periodo y el amortiguamiento efectivo dependen de la de ductilidad de la
estructura, el cálculo del desplazamiento máximo utilizado en la linealización equivalente no
puede ser directo y requiere una solución iterativa. El FEMA 440 presenta tres procedimientos
A, B y C. En esta sección desarrollaremos los procedimientos A y C ya que estos serán de guía
para el desarrollo de esta tesis.
1. Selección de un espectro de demanda sísmica de interés con un amortiguamiento inicial 𝛽𝛽0 = 5% (espectro de respuesta elástico).
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 27
2. Convertir el espectro de demanda seleccionado, de un sistema aceleración –
desplazamiento a un formato de espectro de respuesta (ADRS) de acuerdo al código ATC – 40.
Usando las siguientes ecuaciones:
𝑀𝑀𝑑𝑑𝑖𝑖 = � 𝑇𝑇𝑖𝑖2𝜋𝜋�2 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑠𝑠
Figura 14. Conversión de la demanda sísmica al formato ADRS. ATC 40.
3. Generar la curva de capacidad de la estructura, esta debe ser llevada al formato ADSR, ya
que la misma se encuentra en términos de corte basal versus desplazamiento en el techo. Según
la ATC – 40 el factor de participación modal viene designado como 𝑃𝑃𝐹𝐹𝑖𝑖 y el coeficiente de
participación de masa modal por 𝛼𝛼𝑖𝑖. Para el desarrollo de la curva de capacidad se definió que el
modo característico de la estructura sería el modo fundamental de la estructura.
Figura 15. Conversión de la curva de capacidad al formato ADRS. ATC-40.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 28
Tabla 8. Parámetros de conversión de la curva de Capacidad al formato ADRS. FEMA 440.
Parámetro Fórmula Nombre 𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝑉𝑉/𝑊𝑊𝛼𝛼1 Aceleración Espectral
𝑀𝑀𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑑𝑑 =
∆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝𝑒𝑒𝑃𝑃𝐹𝐹1∅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝𝑒𝑒,1
Desplazamiento espectral
𝑃𝑃𝐹𝐹1 = � ∑ (𝑤𝑤𝑖𝑖∅𝑖𝑖1)/𝑠𝑠𝑁𝑁𝑖𝑖=1∑ (𝑤𝑤𝑖𝑖∅𝑖𝑖12)/𝑠𝑠𝑁𝑁𝑖𝑖=1
�
Factor de participación modal
𝛼𝛼1 =[∑ (𝑤𝑤𝑖𝑖∅𝑖𝑖1)/𝑠𝑠𝑁𝑁𝑖𝑖= ]2
[∑ (𝑤𝑤𝑖𝑖)/𝑠𝑠𝑁𝑁𝑖𝑖= ][∑ (𝑤𝑤𝑖𝑖∅𝑖𝑖12)/𝑠𝑠𝑁𝑁𝑖𝑖=1 ] Coeficiente de masa modal
Donde 𝑤𝑤𝑖𝑖/𝑠𝑠 es la masa asignada el nivel i, ∅𝑖𝑖1 es la amplitud del modo 1 en el nivel i, N
corresponde al nivel más alto de la estructura, W es el peso de la estructura considerado para el
cálculo de la curva de capacidad, ∆𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝𝑒𝑒 representa el desplazamiento en el techo.
4. Selección de un punto de desempeño inicial (máxima aceleración 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑖𝑖 y desplazamiento 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖). Esto se puede estimar a partir del desplazamiento equitativo. Ver figura 16.
Figura 16. Estimación del desempeño inicial. FEMA 440.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 29
5. Representar bilinealmente el espectro de capacidad según el ATC – 40. Definiendo el
periodo inicial, desplazamiento y aceleración de fluencia (𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑎𝑎𝑦𝑦).
6. A partir de la representación bilineal, se calcula la rigidez post-elástica 𝛼𝛼 y la ductilidad 𝜇𝜇, con las siguientes formulas.
𝛼𝛼 =
𝑎𝑎𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑎𝑎𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 𝜇𝜇 =𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑦𝑦
7. Usando 𝛼𝛼 y 𝜇𝜇, se calcula los parámetros 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 y 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓.
8. Mediante el uso de amortiguamiento efectivo, se ajusta el ADRS inicial a ADRS (𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓),
mediante el factor de reducción B (𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓). Mediante las ecuaciones:
(𝑀𝑀𝑚𝑚)𝛽𝛽 =(𝑀𝑀𝑚𝑚)0𝐵𝐵�𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓� y 𝐵𝐵�𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓� =
4
5.6 − ln�𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓(en %)�
A partir de este proceso, existen tres opciones disponibles para identificar el punto de desempeño
según el FEMA 440. A continuación, se desarrollará los procedimientos A y C.
A9. Determinar el desplazamiento máximo estimado 𝑑𝑑𝑖𝑖, usando la intersección del periodo
efectivo radial con la demanda ADRS (𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓). La aceleración máxima estimada 𝑎𝑎𝑖𝑖 es la
correspondiente a 𝑑𝑑𝑖𝑖 sobre la curva de capacidad.
A10. Comparar el desplazamiento máximo estimado 𝑑𝑑𝑖𝑖 con el asumido inicialmente. Si está
dentro de la tolerancia aceptable, el punto de desempeño corresponde a 𝑎𝑎𝑖𝑖 y 𝑑𝑑𝑖𝑖. Caso contrario,
repetir el proceso desde el paso 4, utilizando 𝑎𝑎𝑖𝑖 y 𝑑𝑑𝑖𝑖.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 30
Figura 17. Estimación del punto de desempeño, procedimiento A. FEMA 440.
El procedimiento C usa un enfoque de espectro modificado de aceleración – respuesta para
múltiples soluciones 𝑎𝑎𝑖𝑖 y 𝑑𝑑𝑖𝑖 y las ductilidades correspondientes a generar un lugar geométrico de
posibles puntos de rendimiento. El punto de rendimiento real se encuentra en la intersección de
este lugar geométrico y el espectro de capacidad.
C9. Multiplicar las ordenadas de aceleración del ADRS (𝛽𝛽𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓) por el factor de modificación M
determinado usando el periodo efectivo calculado 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓, para generar la respuesta modificada de
aceleración espectro MADRS.
C10. La ubicación de un posible punto de desempeño está estimada por la intersección del
MADRS con el periodo secante radial 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐. Como se observa en la Figura 15.
C11. Disminuir o aumentar el punto de desempeño estimado y repetir el proceso para generar, de
esta manera, una serie de posibles puntos de desempeño.
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 31
C12. El real punto de desempeño se define por la intersección del registro de la serie de posibles
puntos de desempeño, del paso 12, y el espectro de capacidad.
Figura 18. Proceso iterativo para determinar el punto de desempeño del procedimiento C. FEMA 440.
Se deduce que del procedimiento C es un proceso automático, donde se supone que la ductilidad
inicial corresponde a una ductilidad de 1 y en los ensayos posteriores se establece ductilidades
mayores.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 32
Capítulo 3.
EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO
3.1. Descripción arquitectónica
El pabellón de la Facultad de Geología está ubicado en el área de ingenierías de la UNSA,
entre la avenida Independencia y Paucarpata, Arequipa - Perú. El proyecto fue elaborado el 2007
y ejecutado el 2009 con los alineamientos correspondientes a esos años.
Figura 19. Ubicación del pabellón de Geología UNSA. Fuente propia
La edificación a evaluar consta de un solo bloque de 4 niveles distribuido de forma simétrica con
1075 m² aproximadamente de área de terreno de construcción, como se aprecia en la figura 19.
Esta edificación posee 4 escaleras unidas al bloque; dos servicios higiénicos por nivel ubicados
en los extremos; los ambientes ubicados en los extremos son destinados para salones; los
ambientes ubicados en la sección circular son destinados para talleres, oficinas y biblioteca.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 33
Figura 20. Pabellón de Geología. Fuente propia.
3.2. Descripción estructural
El edificio a analizar es una estructura formada por losas aligeradas unidireccionales,
bidireccionales y macizas en los descansos de las escaleras, columnas rectangulares y circulares,
muros de corte en C y T, apoyados sobre zapatas aisladas unidos por vigas de cimentación.
3.2.1. Vigas principales y secundarias
A continuación, se describen los elementos estructurales componentes de la edificación:
Tabla 9. Vigas principales y secundarias. Fuente Propia.
VIGAS NOMBRE SECCIÓN
Asuperior Ainferior ESTRIBOS
cm² cm²
V1
30cmx60cm 5.94 5.94
∅ 3/8”; [email protected];
[email protected] Rto. @0.25 c/ext.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 34
V1’
30cmx60cm 9.90 5.94
∅ 3/8”; [email protected];
[email protected] Rto. @0.25 c/ext.
V2
20cmx30cm 3.96 3.96 ∅ 3/8”;
[email protected]; Rto. @0.10 c/ext.
V3
20cmx30cm 3.96 3.96 ∅ 3/8”;
[email protected]; Rto. @0.15 c/ext.
VS-1
20cmx20cm 3.96 3.96
∅ 3/8”; [email protected];
[email protected] Rto. @0.25 c/ext.
VS-2
2.53 2.53 ∅ 3/8”;
[email protected]; Rto. @0.25 c/ext.
VS-3
3.80 2.53 ∅ 3/8”;
[email protected]; Rto. @0.25 c/ext.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 35
V4
60cmx30cm 5.94 5.94 ∅ 3/8”;
[email protected]; Rto. @0.10 c/ext.
3.2.2. Columnas
Tabla 10. Cuadro de columnas. Fuente propia.
COLUMNAS NOMBRE SECCIÓN
Asuperior Ainferior ESTRIBOS
cm² cm²
C1
30cmx30cm 5.94 5.94
Ø3/8”; [email protected];
Rto. 0.25m c/Ext.
C2
55cmx30cm 9.90 9.90
Ø3/8”; [email protected]; [email protected]
Rto. @0.20m
c/Ext.
C3
Ø50cm 5.94 5.94
Ø3/8”; [email protected]; [email protected]
Rto. 0.25m c/Ext.
CX1
25cmx25cm 5.94 5.94
Ø3/8”; [email protected];
Rto. 0.25m c/Ext.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 36
CX3
30cmx25cm 5.94 5.94
Ø3/8”; [email protected];
Rto. 0.25m c/Ext.
CX4
30cmx30cm 5.94 5.94
Ø3/8”; [email protected];
Rto. 0.25m c/Ext.
3.2.3. Losas
Tabla 11. Secciones de losas aligeradas. Fuente propia.
LOSAS SECCION
PERALTE
cm
27.5
20
25
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 37
3.3.3. Muros de corte
La estructura presenta dos tipos de muro de corte MCR-01 y MCR-02, su geometría,
configuración de aceros verticales y horizontales y elementos de borde se encuentran con detalle
en los planos.
Figura 21. Muros MCR-01 y MCR-02. Fuente propia.
Figura 22. Modelado de los muros en software SAP2000. SAP2000.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 38
3.3. Materiales y cargas
3.3.1. Acero de refuerzo
El acero de refuerzo usado en la estructura cumple con la normativa ASTM 615 Grado 60
cuya fluencia es de fy = 4200kgf/𝑐𝑐𝑐𝑐2 , resistencia ultima fu = 6300kgf/𝑐𝑐𝑐𝑐2, además de
sus valores de peso unitario y modulo elástico:
𝛾𝛾 = 7.8 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡/𝑐𝑐3𝐸𝐸 = 2𝑑𝑑107𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡/𝑐𝑐2
3.3.2. Concreto
El concreto de la estructura presenta las siguientes características: resistencia nominal a
compresión de los diferentes elementos estructurales:
𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 210𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
Módulo de Elasticidad y Módulo de Poisson
𝐸𝐸𝑐𝑐 = 15000�𝑓𝑓´𝑐𝑐 = 217370.7𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝜇𝜇 = 0.20
Y el peso específico del concreto
𝛾𝛾 = 2400 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐3
3.3.3. Cargas
Para realizar el análisis estructural es necesario definir las cargas unitarias que son
referenciados en la norma E020. Cargas, la cual estipula los siguientes valores:
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 39
Tabla 12. Cargas unitarias normadas. E020 Cargas.
CARGAS UNITARIAS Cargas muertas kgf/m² Piso terminado 100 Ladrillo losa aligerada h=20 cm 300 Ladrillo losa aligerada h=25 cm 350 Ladrillo losa aligerada h=27.5 cm 470 Cargas variables kgf/m² Aulas 250 Talleres 350 Corredores y escaleras 400 Baños 300 Sala de Lectura 300 Azotea 200
Debido a los diferentes usos de cada ambiente se tienen las siguientes distribuciones de
sobrecargas:
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎𝑠𝑠 = 250𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓/𝑐𝑐²
𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝑡𝑡𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡𝐶𝐶𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎𝐴𝐴𝑠𝑠𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠 = 400𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓/𝑐𝑐²
𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝑎𝑎ñ𝑡𝑡𝑠𝑠 = 300𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓/𝑐𝑐²
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑎𝑎𝐴𝐴𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝐴𝐴𝐶𝐶𝑎𝑎 = 300𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓/𝑐𝑐²
Se presenta la distribución de las diferentes cargas para todos los entrepisos exceptuando el
último (techo), el cual se reducirá a una distribución de 200kgf/m² para carga variable en
todas las áreas.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 40
Figura 23. Distribución de cargas piso típico. Fuente propia.
Se añadirá además un valor de para el contrapiso y acabados en todas las áreas de:
100𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓/𝑐𝑐²
Además, se considera, en el caso del modelado de las losas, la distribución de las viguetas y la
losa superior maciza (5 o 7.5cm según corresponda), por tal motivo, se añadirá el peso
correspondiente de los ladrillos según el siguiente criterio:
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 41
Tabla 13. Peso por la distribución de ladrillos. Fuente propia.
H=20 cm UNIDIRECCIONAL
Peso del ladrillo 7 kg Ladrillos/m² 8.3 ladr Peso/m² 58.1 kg/m² H=25 cm UNIDIRECCIONAL
Peso del ladrillo 9.3 kg Ladrillos/m² 8.3 ladr Peso/m² 77.19 kg/m² H=27.5 cm BIDIRECCIONAL
Peso del ladrillo 9.3 kg Ladrillos/m² 8.16 ladr Peso/m² 75.89 kg/m²
3.4. Parámetros sísmicos
Los parámetros sísmicos correspondientes para esta estructura son:
3.4.1. Factor de Zona Sísmica (Z)
La región de Arequipa posee provincias que se hallan en las zonas 3 y 4, en nuestro caso en
particular hablamos de la región de Arequipa, distrito de Arequipa, por lo tanto, se define:
𝑍𝑍 = 0.35 (𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎 3)
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 42
3.4.2. Coeficiente de uso o importancia (U)
Al tratarse de una edificación perteneciente a una universidad pública, tenemos según la tabla
Nº5 de la norma E030 Diseño Sismorresistente clasificada la estructura como Esencial de uso
educativo, por lo tanto, le corresponde:
𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝐶𝐶𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑀𝑀2 𝐸𝐸𝑑𝑑𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑈𝑈 = 1.5
3.4.3. Factor de suelo (S)
Para esta edificación presenta en su cimentación un Perfil S2 (Suelos Intermedios), donde el
factor de amplificación del suelo y los periodos 𝑇𝑇𝑃𝑃 y 𝑇𝑇𝐿𝐿 son los siguientes:
𝑀𝑀 = 1.15𝑇𝑇𝑃𝑃(𝑠𝑠) = 0.6𝑇𝑇𝐿𝐿(𝑠𝑠) = 2.0
3.4.4. Factor de amplificación sísmica (C)
Teniendo en cuenta la altura de la edificación H = 13.05m y el coeficiente Ct= 60 para
sistemas de muros de corte, se puede aproximar el periodo fundamental mediante la ecuación:
𝑇𝑇 =𝐻𝐻𝐶𝐶𝑇𝑇 = 0.218 𝑠𝑠
Luego, el factor de amplificación sísmica que depende a las características del sitio
𝑇𝑇 < 𝑇𝑇𝑃𝑃 𝐶𝐶 = 2.5𝑇𝑇𝑃𝑃 < 𝑇𝑇 < 𝑇𝑇𝐿𝐿 𝐶𝐶 = 2.5 �𝑇𝑇𝑃𝑃𝑇𝑇 �𝑇𝑇 > 𝑇𝑇𝐿𝐿 𝐶𝐶 = 2.5 �𝑇𝑇𝑃𝑃𝑇𝑇𝐿𝐿𝑇𝑇 �
Como T = 0.218 es menor a 𝑇𝑇𝑃𝑃 = 0.6, tenemos
𝐶𝐶 = 2.5
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 43
3.4.5. Coeficiente básico de reducción (Ro)
El sistema estructural de la estructura será conformado principalmente por muros estructurales
en las dos direcciones, por lo tanto, según la tabla 7 de la norma E030, le corresponde un valor
de R0 = 6, inmediatamente después se determina las Irregularidades en planta y en altura (Tablas
8 y 9 de la norma E030) para así determinar el valor del coeficiente de reducción sísmica R.
3.4.6. Irregularidad estructurales
3.4.6.1. Irregularidades estructurales en altura
3.4.6.1.1. Irregularidad de Rigidez – Piso Blando
Para evaluar esta irregularidad la norma nos exige comparar la rigidez lateral que existe en un
entrepiso con respecto a su inmediato superior o el promedio de los 3 niveles superiores
adyacentes.
Se determinaron las rigideces laterales como la división entre la fuerza cortante total del piso y el
desplazamiento de su centro de masa.
Tabla 14. Irregularidades estructurales en altura - Irregularidad de rigidez o piso blando considerando el
eje x. Fuente propia.
PISO V Desplazamiento Kx Ki/Ki+1 (K2+K3+K4)/3 K1/((K2+K3+K4)/3) ton m ton/m
4 332.73 0.00131 253797.18 -
438523.689 3 659.68 0.00145 454955.03 1.79
2 868.96 0.00143 606818.85 1.33
1 975.00 0.00101 961542.01 1.58 - 2.19 >0.7 >0.8 OK OK
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 44
Tabla 15. Irregularidades estructurales en altura - Irregularidad de rigidez o piso blando considerando el
eje y. Fuente propia.
PISO V Desplazamiento Ky Ki/Ki+1 (K2+K3+K4)/3 K1/((K2+K3+K4)/3) ton m ton/m
4 332.73 0.00131 253797.18 -
438523.689 3 659.68 0.00145 454955.03 1.79
2 868.96 0.00143 606818.85 1.33
1 975.00 0.00101 961542.01 1.58 - 2.19 >0.7 >0.8 OK OK
La edificación no posee irregularidad por rigidez o piso blando.
3.4.6.1.2. Irregularidad de resistencia – Piso Débil
Para clasificar como irregular bajo este criterio, la resistencia de un piso ha de ser menor al 80%
de la resistencia del piso superior.
Tabla 16. Irregularidades estructurales en altura – Irregularidad de resistencia o Piso débil. Fuente
propia.
PISO Vx Vxi/Vxi+1 Vy Vyi/Vyi+1 ton ton
4 332.7281 251.7127
3 659.6848 1.98 497.5615 1.98
2 868.9646 1.32 654.7803 1.32
1 975.0036 1.12 732.9954 1.12 >0.8 >0.8 OK OK
La edificación no posee irregularidad de resistencia o piso débil.
3.4.6.1.3. Irregularidad de Masa o Peso
Todos los pisos poseen masas o pesos similares, no se cumple este tipo de irregularidad.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 45
Tabla 17. Irregularidades estructurales en altura – Irregularidad de masa o peso. Fuente propia.
Piso W
Wi/Wi+1 Wi+1/Wi ton
4 938.64
3 1141.44
2 1141.44 1 1 1 1180.65 1.03435135 0.96678948 <1.5 <1.5 OK OK
3.4.6.1.4. Irregularidad Geométrica vertical
No se presenta, dado que se trata de un piso típico, la dimensión en planta de los elementos
resistentes a cargas laterales se mantiene constante en todos los pisos.
3.4.6.1.5. Discontinuidad en los Sistemas Resistentes
No presenta, los elementos resistentes poseen desplazamientos menores tales que no se
presentan desalineamientos verticales significativos ni ningún otro criterio correspondiente a esta
tipología de irregularidad.
3.4.6.2. Irregularidades estructurales en planta
3.4.6.2.1. Irregularidad Torsional
Para este análisis se consideraron los drifts máximos y el promedio de los drifts de los puntos
externos de la edificación, comparando entre ambos, obtenemos:
Tabla 18. Irregularidades estructurales en planta – Irregularidad torsional considerando la dirección en
x. Fuente propia.
ANALISIS EN LA DIRECCION X h DRIFT máx. DRIFT prom.
Condición m X-X Y-Y X-X Y-Y
PISO 4 3.15 0.000804 0.00073 0.00056358 0.00050958 1.43 1.43
PISO 3 3.15 0.000818 0.000745 0.00062108 0.00056167 1.32 1.33
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 46
PISO 2 3.15 0.000807 0.000735 0.00059317 0.000536 1.36 1.37
PISO 1 3.6 0.000543 0.00049 0.00036717 0.00032942 1.48 1.49 >1.3 >1.3
IRREGULAR Ip=0.75
Tabla 19. Irregularidades estructurales en planta – Irregularidad torsional considerando la dirección en
y. Fuente propia.
ANALISIS EN LA DIRECCION Y h DRIFT máx. DRIFT prom.
Condición m X-X Y-Y X-X Y-Y
PISO 4 3.15 0.00073 0.000804 0.00050958 0.00056358 1.43 1.43
PISO 3 3.15 0.000745 0.000818 0.00056167 0.00062108 1.33 1.32
PISO 2 3.15 0.000735 0.000807 0.000536 0.00059317 1.37 1.36
PISO 1 3.6 0.00049 0.000543 0.00032942 0.00036717 1.49 1.48 >1.3 >1.3
IRREGULAR Ip=0.75
Aplica el criterio de Irregularidad torsional con un valor de Ip=0.75.
3.4.6.2.2. Esquinas entrantes
Debido a su distribución en planta, podemos apreciar enseguida que si se cumple con los
criterios de esta irregularidad.
Figura 24. Esquinas entrantes. Fuente propia.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 47
Tabla 20. Irregularidades estructurales en planta - Esquinas entrantes. Fuente propia.
PLANTA
X 50 m
Y 50 m
ESQUINA ENTRANTE
x' 20 m
y' 20 m
Condición: >+20% Irregular
x Irregular
y Irregular
Por lo tanto, el valor de Ip=0.90
3.4.6.2.3. Discontinuidad del diafragma
Si bien se presentan discontinuidades en el diafragma en la parte central de la corona de la
edificación en todos los pisos, éste no supera el 50% del área bruta, por lo que no aplica esta
irregularidad.
Tabla 21. Irregularidades estructurales en planta - Discontinuidad del diafragma. Fuente propia.
DISCONTINUIDAD DEL DIAFRAGMA
Atotal 1050 m²
Aabertura 20.57 m²
Aabertura/Atotal 1.96 %
1.96 < 50.00 OK
3.4.6.2.4. Sistemas no paralelos
Los elementos resistentes a fuerzas laterales son completamente paralelos, por lo tanto, no se
cumplen los criterios de esta irregularidad.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 48
3.4.7. Coeficiente de reducción sísmica (R)
Tomando en consideración que se debe elegir el menor valor de cada tipo de irregularidad
estructural, tenemos como coeficiente de irregularidad en altura y planta:
𝐸𝐸𝑚𝑚 = 1 y 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 0.75
Finalmente obtenemos el valor del coeficiente de reducción sísmica con la siguiente ecuación:
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑡𝑡 𝑑𝑑 𝐸𝐸𝑎𝑎 𝑑𝑑 𝐸𝐸𝑝𝑝 𝑅𝑅 = 6𝑑𝑑1𝑑𝑑0.75 = 4.5
3.5. Modelamiento y análisis modal espectral
3.5.1. Modelo matemático del pabellón de Geología
En esta sección se presenta el modelo matemático del pabellón de geología, que servirá para
realizar el análisis modal espectral y posteriormente el análisis sísmico no lineal estático
(Pushover). Se tienen las vistas en planta e isométrico.
Figura 25. Vista en planta de piso típico del modelo matemático del pabellón de Geología. SAP 2000.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 49
Figura 26. Vista de isométrico del modelo matemático del pabellón de Geología. SAP 2000.
3.5.2. Espectro de aceleraciones
Para determinar el espectro de aceleraciones se usa los parámetros sísmicos definidos en la
sección 3.4. Debido a que el pabellón de Geología es un sistema de muros estructurales en ambas
direcciones, tienen la misma aceleración espectral y es calculada con la siguiente ecuación.
𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝑍𝑍𝑈𝑈𝑀𝑀𝐶𝐶𝑅𝑅 𝑠𝑠
Tabla 22. Valores de la pseudo-aceleración espectral en dirección X y Y con sus respectivos valores de
amplificación sísmica. Fuente propia.
T (s) C Sa (g m/s²) T (s) C Sa (g m/s²)
0 2.50 0.3354 2.1 0.68 0.0913
0.1 2.50 0.3354 2.2 0.62 0.0832
0.2 2.50 0.3354 2.3 0.57 0.0761
0.3 2.50 0.3354 2.4 0.52 0.0699
0.4 2.50 0.3354 2.5 0.48 0.0644
0.5 2.50 0.3354 2.6 0.44 0.0595
0.6 2.50 0.3354 2.7 0.41 0.0552
0.7 2.14 0.2875 2.8 0.38 0.0513
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 50
0.8 1.88 0.2516 2.9 0.36 0.0479
0.9 1.67 0.2236 3 0.33 0.0447
1 1.50 0.2013 3.1 0.31 0.0419
1.1 1.36 0.1830 3.2 0.29 0.0393
1.2 1.25 0.1677 3.3 0.28 0.0370
1.3 1.15 0.1548 3.4 0.26 0.0348
1.4 1.07 0.1438 3.5 0.24 0.0329
1.5 1.00 0.1342 3.6 0.23 0.0311
1.6 0.94 0.1258 3.7 0.22 0.0294
1.7 0.88 0.1184 3.8 0.21 0.0279
1.8 0.83 0.1118 3.9 0.20 0.0265
1.9 0.79 0.1059 4 0.19 0.0252
2 0.75 0.1006
Figura 27. Espectro de pseudo-aceleraciones inelásticas en el eje “X” y “Y”. Fuente propia.
3.5.3. Modos de vibración
Para el análisis estructural se hizo uso del software SAP 2000. En seguida se presenta la
secuencia de movimiento de la edificación en los tres primeros modos de vibración.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Sa
(g)
Periodo T (s)
ESPECTRO DE PSEUDOACELERACIONES INELÁSTICO EN "X" Y EN "Y"
Sa Dir x-x / Dir y-y
Tp
Tl
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 51
Figura 28. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 1. SAP 2000.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 52
Figura 29. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 2. SAP 2000.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 53
Figura 30. Secuencia de movimiento de la edificación bajo el modo 3. SAP 2000.
Se presenta un resumen de los modos, periodos y masas participativas.
Tabla 23. Períodos y masas participativas. Fuente propia.
MODO Periodo
UX UY SUM UX SUM UY RZ SUM RZ seg
1 0.318 0.26605 0.266052 0.26605 0.266052 0.225087 0.225087
2 0.267 0.370992 0.370993 0.637042 0.637045 3.847E-11 0.225087
3 0.189 0.105448 0.105436 0.74249 0.742481 0.50801 0.733097
4 0.147 0.001285 0.001288 0.743774 0.743769 3.585E-12 0.733097
5 0.119 0.009711 0.009707 0.753486 0.753476 0.003108 0.736204
6 0.105 0.054026 0.054027 0.807512 0.807503 0.054053 0.790257
7 0.098 0.009013 0.009002 0.816525 0.816505 0.012519 0.802776
8 0.088 0.07749 0.077533 0.894016 0.894038 3.294E-09 0.802776
9 0.08 0.004073 0.00406 0.898088 0.898098 0.045507 0.848284
10 0.074 0.044744 0.044716 0.942832 0.942814 3.884E-10 0.848284
11 0.073 0.037735 0.037759 0.980567 0.980573 0.001339 0.849623
12 0.066 0.010303 0.010297 0.99087 0.990871 0.14001 0.989633
Se puede notar que se consigue el requerimiento mínimo de la norma E030 de alcanzar el 90%
de la masa participativa en las direcciones “x”, “y” y rotación respecto de “z”.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 54
3.5.4. Verificación de derivas
Se obtuvieron las siguientes derivas máximas, en las dos direcciones.
Tabla 24. Drifts máximos en ambas direcciones y comparación con la norma. Fuente propia.
DRIFTS MÁXIMOS x y 0.00097 0.00097
Irregular 0.00295 0.00295
Siendo ambos valores muy inferiores al valor límite proporcionado por la tabla Nº 11 de la
norma E030 Límites para la distorsión del entrepiso, el cual para el caso del concreto armado es
de 0.007.
3.5.5. Diafragma rígido y semirrígido
Debido a la forma geométrica que presenta la estructura, es necesario verificar si las losas
tienen un comportamiento de diafragma rígido para reducir a tres grados de libertad por piso, de
esta manera disminuir el cálculo computacional.
Para la verificación de diafragma rígido acudiremos a las normas ASCE 07-10 y ASCE 41-13,
donde presentan un criterio para clasificar si una losa de concreto es diafragma rígido o flexible.
Figura 31. Criterio de diafragma rígido o flexible. ASCE 41-13, 2014.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑉𝑉𝐸𝐸 > 2 (Diafragma Flexible)
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 55
Por otro lado, Ju y Lin (1999) proponen un índice R muy útil para evaluar la rigidez o
flexibilidad de un diafragma mediante la ecuación:
𝑅𝑅 =∆𝑓𝑓𝑓𝑓𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑒𝑒 − ∆𝑟𝑟𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡∆𝑓𝑓𝑓𝑓𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑒𝑒
Donde demuestran que para 𝑅𝑅 < 0.2 el diafragma tiene un comportamiento rígido.
Para el análisis de diafragma rígido del pabellón de Geología se considera dos casos de
desplazamiento laterales de las losas Figura 32. Teniendo en cuenta que el resto de los
desplazamientos laterales es una combinación de los dos tipos a. y b.
El análisis en el caso a. de la Figura se considera el segmento de recta de las esquinas A y E de
longitud en estado reposo de 58.22 𝑐𝑐 para analizar su flexibilidad mediante el índice R propuesto
por Ju y Lin.
El análisis en el caso b. se toma los puntos: A, C y E puntos extremos, B y D puntos intermedios
donde ocurre mayor desplazamiento lateral. Por la simetría de la edificación solo se considera los
puntos A, B y C. Para el análisis de este caso se usa el criterio propuesto por ASCE 41-13.
Figura 32. Tipos de desplazamientos laterales del pabellón de Geología. Fuente propia.
CAPITULO 3. EVALUACIÓN ESTRUCTURAL Y MODELAMIENTO 56
En la Tabla 25 presenta un resumen de las derivas de los puntos a analizar en los tres primeros
modos de vibración de la edificación y contrarrestados con los criterios mencionados
anteriormente. Se concluye que el diafragma del Pabellón de Geología tiene un comportamiento
rígido.
Tabla 25. Evaluación del diafragma rígido. Fuente propia
MODO PUNTO DERIVA
X DERIVA
Y DERIVA
RESULTANTE ADVE MDD
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑨𝑨𝑴𝑴𝑨𝑨𝑨𝑨 d (m) R CONDICIÓN
1 A 0.000144 0.000151 0.000208655
0.000185 4.353E-05
58.20 0.00037 Rígido B 0.000006 0.000141 0.000141128 0.2357
C 0.000093 0.000131 0.000160655
2 A 0.000127 0.000122 0.000176105
0.000153 1.546E-05
59.73 0.02520 Rígido B 0.000126 0.000112 0.000168582 0.1010
C 0.00009 0.000094 0.000130138
3 A 0.000024 0.000023 3.32415E-05
0.000147 2.652E-05
58.36 0.00228 Rígido B 0.000166 0.00005 0.000173367 0.1806
C 0.000256 0.000048 0.000260461
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 57
Capítulo 4.
ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL
4.1. Modelos matemáticos no lineales de los materiales
4.1.1. Acero de refuerzo
El modelo matemático a emplear en el caso del acero será de Park y Paulay, el cual es del tipo
parabólico considerando el fenómeno de endurecimiento por deformación, los parámetros en
caso del acero de refuerzo ASTM 615 Grado 60 son:
Tabla 26. Parámetros de modelo matemático del acero de refuerzo ASTM615 Grado 60. Fuente propia.
PARÁMETROS ACERO DE REFUERZO ASTM 615 GRADO 60
fy 4200 kg/cm² = 411879.3 kPa Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo
fu 6300 kg/cm² = 617820 kPa Esfuerzo último del acero de refuerzo
Ølong 5/8'' Acero longitudinal de refuerzo
ϵy 0.0021 Deformación unitaria a fluencia del acero de refuerzo
ϵsh 0.0105 Deformación unitaria al inicio del endurecimiento por deformación del acero
ϵsu 0.09 Deformación unitaria última del acero de refuerzo
Ey 2000000 kg/cm² = 196133000 kPa Módulo de elasticidad de acero de refuerzo
El valor de la deformación unitaria última del acero de refuerzo se obtuvo de la tabla de
Deformación última para varillas de refuerzo de Otazzi Pasino, 2008.
Tabla 27. Deformación última para varillas de refuerzo. (Otazzi Pasino, 2008).
DEFORMACION ULTIMA PARA VARILLAS DE REFUERZO (ϵsu) DESIGNACION A615 A706
Barras 3/8'', 1/2'', 5/8'' y 3/4'' 0.09 0.14
Barras 1'' 0.08 0.12
Barras 1 3/8'' 0.07 0.12
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 58
Figura 33. Modelo matemático de Park y Paulay para el acero de refuerzo ASTM 615 Grado 60. Fuente
propia.
4.1.2. Concreto
4.1.2.1. Concreto no confinado
Se considera el modelo de Mander para concreto no confinado, para lo cual se ha predispuesto
las siguientes características:
Tabla 28. Parámetros para modelo matemático de Mander para concreto no confinado. Fuente propia.
PARAMETROS CONCRETO MANDER NO CONFINADO
f'c 210 kg/cm² = 20593.965 kPa Resistencia a la compresión del concreto
ft 0 kg/cm² = 0 kPa Resistencia a la tracción del concreto
ϵco 0.002 Deformación unitaria de la resistencia máx. del concreto No confinado
Ec 217370.651 kg/cm² = 21316779 kPa Módulo de elasticidad del concreto
ϵcy 0.000435 Deformación de fluencia correspondiente a 0.45f'c
ϵao 0.002 Deformación unitaria inicial de aplastamiento
ϵaf 0.004 Deformación unitaria final de aplastamiento
ϵsp 0.005 Deformación unitaria de desprendimiento del concreto
ϵy=0.0021
ϵsh=0.0105
ϵsu = 0.09
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Esf
uer
zo (
kgf/
cm²)
Deformación unitaria (cm/cm)
MODELO MATEMÁTICO DEL ACERO DE REFUERZO ASTM 615 GRADO 60
fy= 4200kg/cm²
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 59
Figura 34. Modelo matemático de Mander para el concreto no confinado. Fuente propia.
4.1.2.2. Concreto confinado
Para este caso se tomará en cuenta el modelo de Mander para concreto confinado, el cual está
en función de ciertas características de la sección como la separación del acero de refuerzo
transversal, numero de varillas de acero de refuerzo longitudinal, entre otros.
Se muestran los parámetros obtenidos de este análisis de la sección de la viga V1 (30x60), cuyo
cálculo se detalla adecuadamente en el Anexo C.
Tabla 29. Parámetros para modelo matemático de Mander para concreto confinado V1 (30x60). Fuente
propia.
PARAMETROS CONCRETO MANDER CONFINADO V1(30x60)
Øtrans 3/8'' Acero de refuerzo transversal
S 15 cm Espaciamiento del acero de refuerzo transversal
f'cc 273 kg/cm² = 26772.1545 kPa Resistencia a la compresión máxima del
concreto confinado
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 0.0055
Esf
uer
zo (
kgf/
cm²)
Deformación unitaria (cm/cm)
MODELO MATEMÁTICO DEL CONCRETO NO CONFINADO
f ’c= 210kg/cm²
ϵaf = 0.004
ϵsp = 0.005
ϵco = 0.002
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 60
ϵcc 0.005 Deformación unitaria en el punto de mayor
esfuerzo a la compresión en caso de concreto confinado
ϵcu 0.01199 < 0.02 Deformación unitaria última en caso de concreto confinado
Figura 35. Modelo matemático de Mander para concreto confinado V1 (30x60). Fuente propia.
4.2. Rótulas plásticas
4.2.2. Vigas
4.2.2.1. Diagrama de Momento – curvatura de la Viga V1 (30x60)
La elaboración de los diagramas de momento – curvatura para una sección de concreto
armado, es extensamente numérica ya que se necesita realizar varias iteraciones. En cada
iteración debe cumplir las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad (Navier) y las relaciones
constitutivas de los materiales. La sección a analizar es de 30x60.
0
50
100
150
200
250
300
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013
Esf
uer
zo (
kgf/
cm²)
Deformación unitaria (cm/cm)
MODELO MATEMÁTICO DEL CONCRETO CONFINADOV1 (30x60)
Concreto noconfinadoConcreto confinadoV1(30x60)
f’cc = 273kgf/cm²
ϵcc = 0.005 ϵcu = 0.01199 ∅ 3/8”; [email protected]; [email protected] Rto. @0.25 c/ext.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 61
Figura 36. Sección viga V1 (30x60). Fuente propia.
En esta sección se presenta el diagrama de Momento – Curvatura de la Viga V1 (30x60),
desarrollado en forma manual en el Anexo A. El modelo del acero es elastoplástico perfecto con
fy=4200kgf/cm² y el modelo del concreto es el modelo matemático de Mander, f’c=210 kgf/cm²
(𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴 = 0.01199). Para la elaboración del diagrama – momento se estudió 3 estados.
Figura 37. Diagrama de momento curvatura de la viga V1 (30x60) en Mathcad. Fuente propia
Realizando un análisis comparativo con el programa XTRACT, indicando que este programa en
la determinación del diagrama de Momento Curvatura, usa Elementos Finitos, se obtiene la
siguiente comparación.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 62
Tabla 30. Valores del Diagrama Momento - Curvatura de la viga V1 (30x60). Fuente propia.
ESTADOS MANUAL BILINEAL XTRACT BILINEAL
M (Tonf.m) φ (1/m) M (Tonf.m) φ (1/m)
Agrietamiento 6.02 0.00045 Fluencia 16.22 0.0047 18.0249 0.0066
Agotamiento 18.03 0.1723 22.8221 0.2047
Figura 38. Diagrama de Momento - Curvatura de la viga V1. Fuente propia.
Observamos que la obtención manual de la gráfica momento-curvatura es ligeramente inferior al
obtenido mediante el programa XTRACT, esto se debe a que el último, usa la definición de Park
and Paulay y no el modelo simplificado elastoplástico perfecto para el acero de refuerzo.
4.2.2.2. Ubicación para la asignación de rótulas plásticas en vigas
Para el modelado de las rotulas en las vigas, se ha considerado que las rotulas plásticas se
ubican en la intersección de la cara de la viga con la columna. A manera de ejemplo, tenemos el
siguiente caso:
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225
Mom
ento
(to
nf-m
)
Curvatura (rad/m)
MOMENTO CURVATURAV1 (30x60)
MANUAL BILINEAL
XTRACT BILINEAL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 63
Figura 39. Geometría para el ejemplo de asignación de rótulas plásticas en vigas. Fuente propia.
La viga tiene una longitud total de 4.95m, sin embargo, parte de esta longitud está intersectando
con el ancho de la columna de 55x30cm, por tal motivo, se procede a hallar el porcentaje de la
posición de la rótula plástica respecto del punto inicial i de la viga a la intersección a la cara de la
columna, es decir:
𝐿𝐿𝐶𝐶𝑡𝑡𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎 =(4.95− 0.55
2 )
4.95= 0.94
Figura 40. Ejemplo de ubicación de rótula plástica en viga. Fuente propia.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 64
Este procedimiento se repite para cada extremo de las vigas, tanto en i como en j, punto inicial y
final de la viga, acorde al modelado en el programa.
4.2.2.3. Momento Rotación
Para obtener los diagramas de Momento-rotación se multiplicó la curvatura por la longitud
equivalente de la rótula igual a 0.5 del peralte del elemento (Park y Paulay 1999).
Tabla 31. Momento-Rotación de la viga V1 (30x60). Fuente propia.
MOMENTO ROTACIÓN MOMENTO
NORMALIZADO tonf-m rad
A 0.000 0.000
B 18.025 0.002 1.00 C 22.822 0.061 1.27 D 9.129 0.061 0.51 E 9.129 0.068 0.51
Figura 41. Momento-Rotación de la Viga V1 (30x60). Fuente propia.
A
B
C
D
E
0
5
10
15
20
25
0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080
Mom
eto
(ton
f-m
)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIÓNV1 (30x60)
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 65
Figura 42. Inserción de forma manual de los valores de Momento-Rotación de la viga V1(30x60). SAP 2000.
4.2.3. Columnas
4.2.3.1. Diagrama de Momento – Curvatura de la columna C-1
En el caso de columnas, la ductilidad de este elemento depende de la carga axial a
compresión. Para garantizar la ductilidad en la columna, la carga axial no debe ser superior a la
carga axial balanceada 𝑃𝑃𝑓𝑓 para que esta tenga falla dúctil y pueda generarse una rotula plástica.
La columna a analizar es de 30x30 como se muestra en la figura.
Figura 43. Columna típica C-1. Fuente propia.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 66
En esta sección se presenta el diagrama de Momento – Curvatura de la columna C-1,
desarrollado en forma manual en el Anexo A. Para definir el comportamiento y la ductilidad de
una sección de concreto sometida a flexo - compresión es necesario analizar la condición de
cedencia y la condición de agotamiento que está en función de la carga axial, lo cual implica que
está en función del diagrama de interacción, es decir, carga axial momento P – M y el diagrama
de Carga Axial – Curvatura P – φ. Es necesario mencionar que una sección flexo – comprensión
(columna) es dúctil siempre cuando la fuerza axial sea menor a la falla balanceada, quedando en
el rango de falla controlada por tracción. En el anexo A se detalla la elaboración de las gráficas
mencionadas anteriormente para la Columna C1 y una carga axial de 50tonf.
Figura 44. Diagrama de Interacción P-M en condición última y de agotamiento de la columna C1. Fuente propia.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 67
Figura 45. Diagrama de P- φ de la columna C1. Fuente propia.
Tabla 32. Valores de Diagrama de Momento - Curvatura de la Columna C1 (50tonf). Fuente propia.
ESTADOS MANUAL BILINEAL XTRACT BILINEAL
M (tonf.m) φ (1/m) M (tonf.m) φ (1/m) Fluencia 9.57 0.017 8.6582 0.0058
Agotamiento 10.216 0.1452 9.3486 0.2289
Figura 46. Diagrama de Momento - Curvatura de la Columna C1 (50tonf). Fuente propia.
0
2.5
5
7.5
10
12.5
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
Mom
ento
(to
nf-
m)
Curvatura (rad/m)
MOMENTO CURVATURAC1 (50tonf)
Manual
XTRACT BILINEAL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 68
4.2.3.2. Ubicación para la asignación de rótulas plásticas en columnas
Análogo al caso de asignación de rotulas plásticas en vigas, y considerando que la ubicación
tentativa de las rotulas plásticas se hallan a una distancia de entre la cara a 0.5 veces el peralte de
la columna, se opta por la localización de estas rotulas a cara de las intersecciones entre vigas y
columnas. A manera de ejemplo:
Figura 47. Geometría para el ejemplo de asignación de rótulas plásticas en columnas. Fuente propia.
Para la ubicación de la rótula plástica en el punto final j de la columna, se procede de la siguiente
manera:
𝐿𝐿𝐶𝐶ó𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎𝑡𝑡 =3.60− 0.60
23.60
= 0.92
Igualmente, para el punto inicial i de la columna, dado que no existe viga alguna que intersecte
directamente con la columna, se toma a un valor referencial de 2% de la longitud total en ese
piso.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 69
Figura 48. Ejemplo de ubicación de rótula plástica en columnas. Fuente propia.
4.2.3.3. Momento Rotación
En el caso de las columnas, las rotulas plásticas están en función de los momentos a flexión y
una carga axial, por ende, el software SAP2000 demanda la inserción de por lo menos dos
gráficas de momento-curvatura o momento-rotación con diferentes cargas axiales, y de ese modo
habilitar la interpolación para valores intermedios.
A continuación, se muestran las gráficas de momento-rotación que se obtuvieron de la columna
C1 (30x30) para dos cargas axiales a compresión de 0tonf y 50tonf, además se considera el
ángulo de análisis a razón de un incremento de 45º alrededor de todo el eje, dado que el patrón
de las fuerzas laterales no es necesariamente ortogonal.
Tabla 33. Momento-Rotación para C1 (30x30). Fuente propia.
C1 (30x30) 0º/90º/180º/270º P=0 tonf P=50 tonf Momento Rotación Momento
normalizado
Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad tonf-m rad
A 0 0 A 0 0
B 6.831 0.002 1 B 8.658 0.001 1
C 8.687 0.085 1.27 C 9.349 0.034 1.08
D 3.475 0.085 0.51 D 3.739 0.034 0.43
E 3.475 0.094 0.51 E 3.739 0.038 0.43
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 70
C1 (30x30) 45º/135º/225º/315º P=0 tonf P=50 tonf Momento Rotación Momento
normalizado
Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad tonf-m rad
A 0 0 A 0 0
B 6.24 0.002 1 B 8.205 0.001 1
C 7.52 0.041 1.21 C 8.671 0.024 1.06
D 3.008 0.041 0.48 D 3.468 0.024 0.42
E 3.008 0.045 0.48 E 3.468 0.027 0.42
Figura 49. Momento-Rotación para C1 (30x30). Fuente propia.
Se muestran los valores insertados en una definición de rotula manual P-M2-M3 en el software
SAP 2000.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.008 0.016 0.024 0.032 0.04 0.048 0.056 0.064 0.072 0.08 0.088 0.096 0.104
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONC1 (30x30)
P=0tonf 0º/90º/180º/270ºP=50tonf 0º/90º/180º/270ºP=0tonf 45º/135º/225º/315ºP=50tonf 45º/135º/225º/315º
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 71
Figura 50. Inserción de forma manual de
momento-rotación en la columna C1 (30x30) P=0tonf / Ángulo 0º/90º/180º/270º. SAP
2000.
Figura 51. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30) P=0tonf / Ángulo 45º/135º/225º/315º. SAP
2000.
Figura 52. Inserción de forma manual de
momento-rotación en la columna C1 (30x30) P=50tonf / Ángulo 0º/90º/180º/270º. SAP
2000.
Figura 53. Inserción de forma manual de momento-rotación en la columna C1 (30x30) P=50tonf / Ángulo 45º/135º/225º/315º. SAP
2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 72
4.2.4. Muros
4.2.4.1. Determinación del esfuerzo resistente a corte
Para lograr este objetivo se tomaron en consideración la norma relativa al diseño de muros de
concreto reforzado de la norma E060 y ACI 318-14.
Consideraremos el análisis de los muros tomando en cuenta la siguiente nomenclatura:
Figura 54. Tipología de muros MCR-01 y MCR-02 en un piso típico. Fuente propia.
Para la tipología presentada se tienen las siguientes características:
Tabla 34. Características de los muros de concreto reforzado. Fuente propia.
Muro MCR 01 (Sección C) Longitud=Lm 8.70 m
Altura=H 3.60 (1er piso)/ 3.15 (demás pisos) m Espesor=em=bw 0.30 m
Muro MCR 02 (Sección T)
Longitud=Lm 1.10 m Altura=H 3.60 (1er piso)/ 3.15 (demás pisos) m
Espesor=em=bw 0.30 m
Además, tenemos: 𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 210𝑘𝑘𝑠𝑠/𝑐𝑐𝑐𝑐²
𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200𝑘𝑘𝑠𝑠/𝑐𝑐𝑐𝑐²
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 73
Para demostrar el procedimiento guiado para obtener la resistencia nominal al corte, se tomará
como ejemplo al muro MCR-01 de sección C.
4.2.4.1.1. Resistencia al esfuerzo cortante provisto por el concreto (Vc)
Según las especificaciones de la norma ACI 318-14 la resistencia al cortante proporcionada
por el concreto para elementos no preesforzados, sometidos a compresión, flexión y cortante,
deberá ser el menor de:
Sabiendo que: 𝑑𝑑 = 0.8 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 0.8 𝑑𝑑 8.7 = 6.96𝑐𝑐
𝑉𝑉𝐴𝐴 = 517.20 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 / 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 340.06 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 / 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 4799.41 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 −𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑐𝑐1 = 0.88 𝑑𝑑 �𝑓𝑓′𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑑𝑑 𝑑𝑑4 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 334282.353 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
𝑉𝑉𝑐𝑐2 = �0.16𝑑𝑑�𝑓𝑓′𝑐𝑐 + 𝐿𝐿𝑐𝑐 𝑑𝑑 �0.33𝑑𝑑�𝑓𝑓′𝑐𝑐 + 0.2 𝑑𝑑
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐�𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 �𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 400825.062 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
𝑀𝑀𝑖𝑖 𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5𝐿𝐿𝑐𝑐 < 0 𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑐𝑐2 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝐴𝐴𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎
𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5𝐿𝐿𝑐𝑐 = 4.93 > 0 → 𝑉𝑉𝑐𝑐2 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑝𝑝𝐴𝐴𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎
𝑉𝑉𝑐𝑐3 = 0.53 𝑑𝑑 �𝑓𝑓′𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 �1 + 𝑃𝑃𝐴𝐴
140 𝑑𝑑 𝑀𝑀� = 174993.49 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
Entonces, Vc será:
𝑉𝑉𝑐𝑐 = min(𝑉𝑉𝑐𝑐1,𝑉𝑉𝑐𝑐2,𝑉𝑉𝑐𝑐3) = 174.99 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Se necesita saber ahora la relación que existe entre la altura acumulada del muro respecto de su
piso y su longitud:
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 74
Tabla 35. Alturas acumuladas de los muros de concreto reforzado. Fuente propia.
Piso Hm 1 3.6+3.15+3.15+3.15=13.05m 2 3.15+3.15+3.15=9.45m 3 3.15+3.15=6.3m 4 3.15m
𝐻𝐻𝑐𝑐𝐿𝐿𝑐𝑐 =3.6 + 3.15 + 3.15 + 3.15
8.7= 1.50
Según la norma E060. Sección 11.10.5, la contribución del concreto no debería exceder la
siguiente ecuación:
𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑤𝑤 (∝ 𝑐𝑐�𝑓𝑓′𝑐𝑐)
Donde el coeficiente αc es:
Tabla 36. Coeficiente αc según la norma E060. Fuente propia.
hm/lm αc
≤1.5 0.80 ≥2.0 0.53
≥1.5 y ≤2.0 Interpolación
En este caso no hace falta interpolar:
Donde: 𝛼𝛼𝑐𝑐 = 0.80
𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑 = (8.7𝑑𝑑100)(0.30𝑑𝑑100)(0.80)�√210� � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000
� = 302.58𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Donde cumplimos con la premisa de Vc < Vc max, por lo tanto:
𝑉𝑉𝑐𝑐 = 174.99𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 75
4.2.4.1.2. Resistencia al esfuerzo cortante provisto por el acero de refuerzo (Vs)
Para todos los tipos de muros tenemos:
Tabla 37. Distribución de acero de refuerzo de los muros de concreto armado. Fuente propia.
Dirección Separación Refuerzo horizontal 2 hiladas de φ 1/2’’ Sh= 25cm
Refuerzo vertical 2 hiladas de φ 3/8’’ Sv= 20cm
Refuerzo horizontal
Primero determinamos la Cuantía de refuerzo horizontal (ρh) sabiendo que:
𝜌𝜌ℎ =(#𝐻𝐻𝑖𝑖𝐴𝐴𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝐴𝐴𝑎𝑎𝐶𝐶𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎)𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑀𝑀ℎ
𝜌𝜌ℎ =2𝑑𝑑(1.29)
(0.30𝑑𝑑100)𝑑𝑑25= 0.00344
Acorde a la sección 11.10.10 de la norma E060, la resistencia al esfuerzo cortante será:
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝜌𝜌ℎ 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑦𝑦
Reemplazando: 𝑉𝑉𝑠𝑠 = (8.7𝑑𝑑100)(0.30𝑑𝑑100)(0.00344)(4200) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000� = 377.09𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
También aquí debemos tener precaución en cumplir acorde a la sección 11.5.7.9 de la norma
E060, donde el valor Vs máximo a obtener será:
𝑉𝑉𝑠𝑠 ≤ 2.1�𝑓𝑓′𝑐𝑐(𝑏𝑏𝑤𝑤)𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑠𝑠 ≤ 2.1√210(30𝑑𝑑100)(0.8𝑑𝑑8.7𝑑𝑑100) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000
� = 635.42𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Por lo tanto, la resistencia al corte del acero horizontal (Vsh) será:
𝑉𝑉𝑠𝑠ℎ = 377.09𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 76
Refuerzo vertical
Primero determinamos la Cuantía de refuerzo vertical (ρv) sabiendo que:
𝜌𝜌𝐴𝐴 =(#𝐻𝐻𝑖𝑖𝐴𝐴𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝐴𝐴𝑎𝑎𝐶𝐶𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎)𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑀𝑀𝐴𝐴
𝜌𝜌ℎ =2𝑑𝑑(0.71)
(0.30𝑑𝑑100)𝑑𝑑20= 0.00237
Acorde a la sección 11.10.10 de la norma E060, la resistencia al esfuerzo cortante será:
𝑉𝑉𝑠𝑠𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝜌𝜌𝐴𝐴 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑦𝑦
Reemplazando: 𝑉𝑉𝑠𝑠𝐴𝐴 = (8.7𝑑𝑑100)(0.30𝑑𝑑100)(0.00237)(4200) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000� = 259.43𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
4.2.4.1.3. Resistencia nominal al esfuerzo cortante (Vn)
Finalmente, la resistencia nominal al corte estará determinada por: 𝑉𝑉𝑡𝑡 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝑉𝑉𝑠𝑠
No se le aplicara algún factor de amplificación dado que queremos saber el valor de resistencia al
corte real de la sección, para así poder modelar una rotula a corte con la misma solicitud.
𝑉𝑉𝑡𝑡 = 174.99 + 377.09 = 552.08𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
De la misma forma se procede a hallar la resistencia nominal al corte de los muros MCR-02
siguiendo el mismo procedimiento el cual se expone en el Anexo E; a continuación, se exponen
únicamente los resultados.
Tabla 38. Resistencia al esfuerzo cortante de los muros de concreto armado. Fuente propia.
MURO Vc Vs Vn=Vc+Vs
tonf tonf tonf
MCR-01 174.99 377.09 552.08
MCR-02 43.01 84.52 127.53
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 77
4.2.4.2. Modelamiento de muros de concreto reforzado con elementos frame
equivalentes
En el caso de los muros, se ha optado con el modelamiento en base a elementos frame,
representando la sección con la herramienta Section Designer del software SAP 2000, los cuales
son:
Figura 55. Secciones de los muros de concreto armado en Section Designer. SAP 2000.
Figura 56. Modelo matemático de los muros de concreto armado, vistas estándar y extruida. SAP 2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 78
4.2.4.3. Rótulas plásticas a flexión en muros de concreto armado
El procedimiento es el mismo que se ha seguido para las columnas de concreto armado, a
continuación, se muestran las gráficas de momento curvatura de los muros de concreto armado
MCR-01 y MCR-02 para tres diferentes valores de carga axial, con el fin de que el programe
halle valores intermedios en base a estos.
Figura 57. Momento curvatura del muro de concreto armado MCR-01. Fuente propia.
Figura 58. Momento curvatura del muro de concreto armado MCR-02. Fuente propia.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012
Mom
ento
(to
nf-m
)
Curvatura (rad/m)
MOMENTO CURVATURAMCR-01
XTRACT MCR-01 P=0tonf 0º/180º
XTRACT MCR-01 P=50tonf 0º/180º
XTRACT MCR-01 P=100tonf 0º/180º
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
Mom
ento
(to
nf-m
)
Curvatura (rad/m)
MOMENTO CURVATURAMCR-02
XTRACT MCR-02 P=0tonf 0º/180º
XTRACT MCR-02 P=50tonf 0º/180º
XTRACT MCR-02 P=100tonf 0º/180º
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 79
Según la norma ASCE 41-17, el valor de lp, la ubicación de la rótula plástica a flexión en los
muros de concreto armado, estará ubicado 0.5 veces el peralte efectivo por flexión del elemento,
pero menor a la altura del primer nivel y menor que el 50% de la longitud del elemento.
Figura 59. Ubicación de la rótula plástica a flexión en muros de corte. ASCE 41-17.
Por lo tanto, si el muro MCR-01 tiene 8.7m de longitud y 13.05m de altura total, tenemos:
0.5𝑑𝑑 = 0.5(0.8𝑑𝑑8.7𝑐𝑐) = 3.48𝑐𝑐
< 𝑀𝑀𝐴𝐴𝑡𝑡𝐴𝐴𝐶𝐶𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑝𝑝𝐶𝐶𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡 = 3.60𝑐𝑐
< 0.5𝑑𝑑8.7𝑐𝑐 = 4.35𝑐𝑐
Por lo tanto, tendremos:
𝑀𝑀𝐴𝐴𝑡𝑡𝐴𝐴𝐶𝐶𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑠𝑠𝐴𝐴𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝐴𝐴𝑎𝑎 =3.48𝑐𝑐3.6𝑐𝑐 = 0.97
Figura 60. Ubicación de rótula plástica a flexión del muro de concreto armado MCR-01. SAP 2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 80
4.2.4.4. Rótulas plásticas a corte en los muros de concreto armado
Para el caso de rótulas plásticas a corte, se ha seguido las recomendaciones de la norma ASCE
41-17, la cual nos predispone la tabla 10-20 para hallar los diferentes parámetros necesarios para
graficar su comportamiento, el tipo de falla cortante es una falla frágil, sin embargo, la norma
nos recomienda unos valores mínimos de deformación que se presentan bajo este tipo de
comportamiento, los cálculos de los parámetros están detallados en el ANEXO F.
A continuación, se muestra la inserción de los valores de las rótulas a corte en el software
SAP 2000 según las recomendaciones de la norma ASCE 41-17.
Figura 61. Inserción de la rótula a corte en el muro de concreto armado MCR-01. SAP 2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 81
Figura 62. Inserción de la rótula a corte en el muro de concreto armado MCR-02. SAP 2000.
4.3. Rigidez efectiva
La norma ASCE 41-13 recomienda ciertos valores de reduccion de la rigidez de los
diferentes elementos estructurales para considerar efectos de agrietamiento, variabilidad durante
su construcción, efectos ambientales, entre otros; dado que al momento de la evaluacion
estructural, estos elementos ya han sufrido ciertos daños que no se pueden cuantificar siempre de
forma fiel. Por ese motivo se redujeron las rigideces a flexion y corte acorde a la tabla 10.5 de la
norma ASCE 41-13.
Tabla 39. Rigideces efectivas. ASCE 41-13.
Componente estructural Rigidez a flexión Rigidez a corte Vigas no pretensadas 0.3EI 0.4EA
Vigas pretensadas EI 0.4EA
Columnas bajo compresión causadas por el diseño por cargas de gravedad >0.5Ag(f'c)
0.7EI 0.4EA
Columnas bajo compresión causadas por el diseño por cargas de gravedad <0.1Ag(f'c) o a
tracción 0.3EI 0.4EA
Muros 0.5EI 0.4EA
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 82
Figura 63. Rigidez efectiva en vigas y columnas. SAP2000.
Figura 64. Rigidez efectiva en muros de concreto armado. SAP 2000
4.4. Procedimiento del análisis estático no lineal
4.4.2. Patrones de carga
La definición de la curva de capacidad estará en función del patrón de carga a emplear, para
esta presente tesis se considerará un patrón modal con predominio de movimiento de traslación,
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 83
el cual realizará el “empujón” en una dirección a 45º de la horizontal (en los ejes X’+ y X’-),
acorde al siguiente eje de coordenadas.
Figura 65. Sistema de coordenadas X' y Y'. Fuente propia.
A continuación, se puede ver la forma del patrón de cargas modal traslacional a 45 grados que
será usado para el procedimiento Pushover.
Figura 66. Patrón de deformación modal. Fuente propia.
AZOTEA
PISO 4
PISO 3
PISO 2
PISO 10
2
4
6
8
10
12
14
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Alt
ura
(m
)
Deformación (m)
PATRÓN DE DEFORMACIÓN MODAL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 84
4.4.3. Control de desplazamiento
El método Pushover nos permitirá obtener la curva de capacidad, la cual es una gráfica que
relaciona una fuerza incremental aplicada a la estructura y el desplazamiento en un grado de
libertad de un determinado punto de control, es por eso que para ser llevado a cabo podemos
tomar dos alternativas:
a) Control de carga
b) Control de desplazamiento
Para ambas situaciones el patrón de carga que se ha de aplicar será la misma, la diferencia radica
en que tendremos que elegir cual será nuestro procedimiento de cálculo.
Si tomamos el caso de control de carga, tendremos que saber con anticipación cual sería el valor
de la fuerza a aplicar para obtener el desplazamiento final deseado, sin embargo, esto no sucede
en la gran mayoría de los casos. Por lo general tenemos una idea de la magnitud del
desplazamiento que esperamos en nuestra estructura, pero desconocemos los valores de la carga
necesaria. En este caso, tomaremos el caso de control de desplazamiento.
Figura 67. Representación del procedimiento de Pushover. Fuente propia.
Dado que tomaremos el desplazamiento como medida de control, el siguiente paso es escoger un
punto de control, este punto ubicado generalmente en el último nivel de la edificación, recogerá
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 85
en un grado de libertad la deformación que experimenta gradualmente la estructura a medida que
la fuerza aplicada incrementa.
Debido a las recomendaciones de las normas ASCE 41-17 junto a sus predecesoras, se tomará
como punto de control al punto que representa el centro de masa del ultimo nivel.
Figura 68. Punto de control de desplazamiento Pushover. SAP 2000.
Adicionalmente se determina el valor de la magnitud de la deformación a alcanzar, para que el
programa ajuste adecuadamente el valor de la carga aplicada para intentar alcanzar tal objetivo.
Figura 69. Control de desplazamiento. SAP 2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 86
4.4.4. Estado de carga inicial
Como cualquier método de análisis secuencial, se debe considerar algunas condiciones
iniciales que describan determinadas características de la estructura, tales como esfuerzos
internos, deformaciones, estados iniciales de rotulas ubicadas en los elementos estructurales, etc.
Si bien se puede tomar como un estado de condición inicial cero, un estado de ausencia previa de
esfuerzos, deformaciones e historia de deformación no lineal; este no sería una representación
fiel a la realidad, dado que cuando una edificación es sometida a un evento sísmico, ésta ya de
por sí, ha tenido constantemente una demanda de esfuerzos y deformaciones productos de su
propio peso y el porcentaje de las cargas variables a lo largo de su vida útil.
Es por eso que es recomendable iniciar el método Pushover tomando como punto inicial un caso
previo de Análisis no lineal en el que solo existe una demanda por peso propio y un pequeño
porcentaje de las cargas vivas a la cual fue diseñada. Según recomendaciones de la norma ASCE
41-17 se recomienda tomar el 100% de la carga muerta junto con un 25% de la carga viva. En
nuestro caso llamaremos a este un caso no lineal llamado CGNL.
Figura 70. Definición del caso CGNL. SAP 2000.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 87
4.4.5. Casos de carga de análisis no lineal Pushover
Se considera el análisis a una dirección de 45º de la horizontal en los dos sentidos dado que la
edificación no presenta simetría. A continuación, se muestran los casos Pushover que se
incorporan en el software.
Figura 71. Casos de carga de análisis no lineal Pushover. SAP 2000.
4.4.6. Formación y evolución de rótulas plásticas
Se analiza la secuencia de formación de rotulas que se obtiene para cada caso de carga.
4.4.6.1. Patrón modal Dirección X’ negativo
A continuación, se detalla la secuencia de formación de rotulas bajo el patrón de cargas modal
en la dirección “x’ negativo”, es decir, a 225º de la horizontal.
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 88
Figura 72. Ubicación de las rótulas a flexión de las vigas V4 (60x30). SAP 2000.
Para un desplazamiento de 0.0195m tenemos las primeras rotulaciones de la edificación, las
cuales se presentan en las vigas V4 (60x30), incursionando en el intervalo de Ocupación
inmediata y Seguridad de vida (rótulas de color azul). En las imágenes se aíslan las vigas en
cuestión; a continuación, se muestra la evolución de una de las rótulas a flexión.
Figura 73. Rótula plástica a flexión de viga V4 (60x30) del 4to nivel para desplazamiento global de 0.0195m. Fuente propia.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-0.082 -0.062 -0.042 -0.022 -0.002 0.018 0.038 0.058 0.078
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / VIGA V4 (60x30) / 4TO NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 89
Para un desplazamiento de 0.033m el elemento frame que representa al muro MCR-01 inicia su
incursión en el rango no lineal mediante una rotulación por flexión.
Figura 74. Ubicación de la rótula a flexión del muro MCR-01. SAP 2000.
A continuación, se muestra la rótula a flexión del muro MCR-01.
Figura 75. Rótula plástica a flexión de muro MCR-01 para desplazamiento global de 0.033m. Fuente propia.
Para un desplazamiento de 0.079m existe ya una cantidad moderada de vigas que empiezan a
rotular por flexión, entre ellas, las vigas V2 (30x20) y V3 (30x20).
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-0.022 -0.015 -0.008 -0.001 0.006 0.013 0.02
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 90
Figura 76. Ubicación de la rótula a flexión en viga V2 (30x20). SAP 2000.
A continuación, se muestra el estado de una rótula a flexión para una viga V2 (30x20)
representativa ubicada en el tercer nivel.
Figura 77. Rótula plástica a flexión de viga V2 (30x20) del 3er nivel para desplazamiento global de 0.079m. Fuente propia.
Se identifica también que la rótula a flexión de todos los muros MCR-01 y algunos muros MCR-
02 superan el criterio de aceptación de Ocupación inmediata (representada en una línea vertical
verde para cada rotula). Además, las rótulas a corte de los muros MCR-01 alcanzan el valor de la
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0.12 -0.095 -0.07 -0.045 -0.02 0.005 0.03 0.055 0.08 0.105
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / VIGA V2 (30x20) / 3ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 91
resistencia nominal a corte, a partir de este punto se redistribuirá el cortante adicional de forma
uniforme en las columnas.
Figura 78. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global de 0.079m. Fuente propia.
Para un desplazamiento de 0.181m, se ha identificado el incremento en la rotulación de todas las
vigas, pero sin alcanzar el valor que corresponde al criterio de aceptación de Seguridad de Vida.
Se dan las primeras rotulaciones por flexión en las columnas C3 (D=50cm), a continuación, se
muestra la rótula a flexión de una columna circular representativa C3.
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-0.022 -0.015 -0.008 -0.001 0.006 0.013 0.02
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
Cor
tan
te (
ton
f)
Desplazamiento (m)
ROTULA A CORTE / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 92
Figura 79. Ubicación de rótula a flexión de la columna C3 (D=50cm). SAP 2000.
Figura 80. Rótula plástica a flexión de columna C3 (D=50cm) para un desplazamiento de 0.181m. Fuente propia.
Las rotulas a corte de los muros MCR-01 superan el criterio de aceptación de Ocupación
Inmediata, alcanzando hasta 0.016m de desplazamiento,
Figura 81. Ubicación de rótulas a flexión y corte del muro MCR-01. SAP 2000.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-0.06 -0.045 -0.03 -0.015 0 0.015 0.03 0.045 0.06
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / C3 (D=50cm) / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 93
Figura 82. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global de 0.181m. Fuente propia.
De igual forma, las vigas V1*(30x60) entran en el rango comprendido entre Ocupación
Inmediata y Seguridad de vida, siendo las del 4to nivel las que mayores deformaciones
presentan.
Figura 83. Ubicación de la rótula a flexión de la viga V1*(30x60). SAP 2000.
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-0.022 -0.015 -0.008 -0.001 0.006 0.013 0.02
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
Cor
tan
te (
ton
f)
Desplazamiento (m)
ROTULA A CORTE / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 94
Figura 84. Rótula plástica a flexión de la viga V1*(30x60) para un desplazamiento global de 0.181m. Fuente propia.
Para un desplazamiento de 0.232m se presenta una pronunciada caída en la curva de capacidad,
representando así una drástica reducción de la rigidez global de la edificación.
Figura 85. Ubicación de la rótula a flexión y corte del muro MCR-01 para un desplazamiento global de 0.232m. SAP 2000.
La razón de esta reducción de rigidez es debido a los niveles altos de deformación por corte que
experimentan los muros MCR-01 que superan ampliamente el criterio de Seguridad de vida y
Prevención de Colapso, lo que produce una falla frágil en los muros definiendo así el fin del
análisis Pushover.
-32
-24
-16
-8
0
8
16
24
32
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / V1*(30x60) / 4TO NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 95
Figura 86. Rótula plástica a flexión y corte de muro MCR-01 para un desplazamiento global de 0.232m. Fuente propia.
4.4.6.2. Patrón modal Dirección X’ positivo
Para un desplazamiento de 0.034m se observa la incursión en el rango no lineal de los muros
MCR-01 y una cantidad limitada de vigas V2 (30x20) pero se mantienen en el rango de
Ocupación Inmediata.
Para un desplazamiento de 0.094m ya se evidencia que las rotulas a flexión, en los muros MCR-
01 y un buen número de vigas V2 (30x20) de todos los pisos, entran ya en el rango de Ocupación
inmediata y Seguridad de Vida. Algunas pocas vigas V1 (30x60) empiezan a rotularse por
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-0.022 -0.015 -0.008 -0.001 0.006 0.013 0.02
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
Cor
tan
te (
ton
f)
Desplazamiento (m)
ROTULA A CORTE / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 96
flexión en el primer piso. Además, es en este punto en la que los muros MCR-01 alcanzan la
resistencia máxima a cortante pero aún no superan el criterio de Ocupación inmediata.
Para un desplazamiento de 0.191m una buena cantidad de columnas circulares C3 (D=50cm)
ingresan en el rango no lineal y se forman rotulas por flexión, y unas pocas incluso exceden el
criterio de Ocupación inmediata. Para un desplazamiento de 0.235m le corresponde el cortante
máximo que alcanza la edificación de forma global, el pico de la curva de capacidad. Notamos
que son las rótulas a corte las que se encuentran en el límite del criterio de Seguridad de vida,
siendo estas próximas a ocasionar la falla global de rigidez de la estructura.
Para un desplazamiento de 0.246m se evidencia en todas las rótulas la caída de resistencia a
flexión o a corte de los diferentes elementos estructurales, traduciendo esto en una pendiente
descendente en la curva de capacidad.
A continuación, se muestra la evolución de las rótulas a flexión o corte de elementos
estructurales representativos, donde están representados con etiquetas azules el estado de la
rótula para un determinado desplazamiento global de la edificación.
Figura 87. Rótula plástica a flexión de muro MCR-01. Patrón modal. Dirección X'+. Fuente propia.
D=0.034m
D=0.094m
D=0.191m
D=0.235m
D=0.246m
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-0.022 -0.017 -0.012 -0.007 -0.002 0.003 0.008 0.013 0.018
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 97
Figura 88. Rótula plástica a corte de muro MCR-01. Patrón modal. Dirección X'+. Fuente propia.
Figura 89. Rótula plástica a flexión de viga V2 (30x20). Patrón modal. Dirección X'+. Fuente propia.
Figura 90. Rótula plástica a flexión de viga V1*(30x60). Patrón modal. Dirección X'+. Fuente propia.
D=0.034m
D=0.094m
D=0.191m
D=0.235m
D=0.246m
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
Cor
tan
te (
ton
f)
Desplazamiento (m)
ROTULA A CORTE / MURO MCR-01 / 1ER NIVEL
D=0.034m
D=0.094mD=0.191m
D=0.235m
D=0.246m
-2.4
-1.9
-1.4
-0.9
-0.4
0.1
0.6
1.1
1.6
2.1
-0.12 -0.095 -0.07 -0.045 -0.02 0.005 0.03 0.055 0.08 0.105
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / VIGA V2 (30x20) / 3ER NIVEL
D=0.034m
D=0.094m
D=0.191m
D=0.235m
D=0.246m
-32
-22
-12
-2
8
18
28
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / VIGA V1*(30x60) / 3ER NIVEL
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 98
Figura 91. Rótula plástica a flexión de columna C3 (D=50cm). Patrón modal. Dirección X'+. Fuente propia.
4.5. Curva de capacidad
Se muestran a continuación las gráficas de curva de capacidad de cada análisis Pushover que
se ha realizado. Con fines de evaluación, como para calcular la ductilidad o la sobrerresistencia,
se es bastante útil bilinealizar la gráfica para obtener puntos discretos que nos permitan calcular
diferentes parámetros.
Figura 92. Curva de capacidad. Patrón Modal. Dirección X’-. Fuente propia.
D=0.034m
D=0.094m
D=0.191m
D=0.235m
D=0.246m
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Mom
ento
(to
nf-
m)
Rotación (rad)
ROTULA A FLEXION / C3 (D=50cm) / 1ER NIVEL
(D=0.034;V=1941.16)
(D=0.232;V=2581.24)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
V (
tonf
)
Desplazamiento (m)
CURVA DE CAPACIDADPATRON MODAL
DIRECCION X' NEGATIVO
Curva de capacidad
Curva de capacidad bilineal
CAPITULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL 99
Figura 93. Curva de capacidad. Patrón Modal. Dirección X'+. Fuente propia.
4.6. Ductilidad y sobrerresistencia
Siendo el parámetro de ductilidad µ una medida de la capacidad de deformación inelástica de
la edificación, la obtendremos directamente a partir de la división directa del desplazamiento de
la edificación para dos instantes: colapso y formación de la primera rótula. Además, se obtendrá
la sobrerresistencia como el cociente entre la fuerza cortante que produce el colapso y aquel que
produce la formación de la primera rótula en la curva de capacidad o Pushover.
Tabla 40. Ductilidad y sobrerresistencia. Fuente propia.
D V DUCTILIDAD SOBRERRESISTENCIA m tonf µ SR
PA
TR
ÓN
M
OD
AL
X' - 1RA RÓTULA 0.034 1941.16
COLAPSO 0.232 2581.24 6.93 1.33
X' + 1RA RÓTULA 0.033 1790.54
COLAPSO 0.235 2668.84 7.08 1.49
(D=0.033;V=1790.54)
(D=0.235;V=2668.84)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
V (
tonf
)
Desplazamiento (m)
CURVA DE CAPACIDADPATRON MODAL
DIRECCION X' POSITIVO
Curva de capacidad
Curva de capacidad bilineal
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 100
Capítulo 5.
EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO
5.1. Objetivos de desempeño
La norma peruana tiene como filosofía de diseño Sismorresistente: Evitar pérdidas humanas,
asegurar la continuidad de servicios básicos y minimizar los daños de la propiedad. En relación a
la filosofía, la norma establece los siguientes principios: la estructura no debe de colapsar ni
causar daños a las personas, la estructura debería soportar a sismos moderados pudiendo
experimentar daños reparables aceptables y para las edificaciones esenciales estas deben
permanecer en condiciones operativas luego de un sismo severo. Estos principios se pueden
relacionar con los objetivos que están establecidos por el Comité Visión 2000 vinculados a
edificaciones esenciales.
Figura 94. Objetivos Básicos de desempeño. Fuente propia.
5.2. Espectro de Demanda y Capacidad
En este capítulo de desarrolla el método de Espectro de Capacidad, que es usado con
frecuencia para la determinación del desempeño de una estructura. La demanda sísmica se
caracteriza por el espectro de respuesta elástico en su transformación al formato ADRS. El
espectro elástico se define para un amortiguamiento de 5%, y por la incursión a la no linealidad
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 101
de la estructura, se reduce a un espectro de respuesta inelástica. Por otro lado, la respuesta de la
estructura se representa por el espectro de capacidad que viene de la curva de capacidad. De la
intersección del espectro de Demanda reducida y Capacidad se obtiene el punto de desempeño,
es decir, el punto de solicitud de funcionamiento estructural.
5.2.1. Espectro de capacidad
Una vez realizado la curva de capacidad de la estructura, se convierte al formato ADRS, la
cual se encuentra expresada en función de aceleración y desplazamiento. Para la transformación
al espectro de capacidad, se necesita calcular el factor de participación modal para el modo
fundamental 𝑃𝑃𝐹𝐹1y el coeficiente de masa efectiva 𝛼𝛼1. Usando las ecuaciones desarrolladas en el
marco teórico se determina el coeficiente de masa efectiva y el factor de participación modal. La
tabla muestra los cálculos del factor de participación modal y el coeficiente de masa modal.
Tabla 41. Factor de participación modal y el coeficiente de masa modal. Fuente propia.
Piso Amplitud Modal (φ)
Amplitud modal (φ)
normalizada Peso (Tonf) Masa φxM φ²xM
1 0.01359 0.15286 1180.65 120.35 18.39637 2.81198 2 0.03612 0.40622 1141.44 116.35 47.26613 19.20065 3 0.06230 0.70065 1141.44 116.35 81.52420 57.12010 4 0.08891 1.00000 938.64 95.68 95.68196 95.68196
Total 4402.17 448.74 242.87 174.81 Factor de participación modal del último nivel PF1 1.389292
Coeficiente masa efectiva del modo fundamental α1 0.751912
Usando las ecuaciones para el cálculo del Espectro de Capacidad
𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝑉𝑉𝑊𝑊 ∙ 𝛼𝛼1 ∙ 𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑑𝑑 =
∆𝑝𝑝𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝑃𝑃𝐹𝐹1 ∙ ∅𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝𝑒𝑒;1
Usando las ecuaciones anteriores, transformamos la curva de capacidad en espectro de
capacidad.
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 102
Figura 95. Espectro de capacidad de la estructura bajo el patrón de cargas modal en la dirección X'- y X'+. Fuente propia.
5.2.2. Espectro de Demanda
Para la conversión de la demanda al espectro de demanda (ADRS) se usa el código ATC-40.
Los espectro de respuesta que se usan corresponden: al espectro del sismo de diseño 𝑍𝑍𝑈𝑈𝐶𝐶𝑀𝑀,
espectro de sismo de servicio 0.5 ∙ 𝑍𝑍𝑈𝑈𝐶𝐶𝑀𝑀 y el espectro de sismo máximo 1.5 ∙ 𝑍𝑍𝑈𝑈𝐶𝐶𝑀𝑀. Los
espectros de respuesta son visualizados en la siguiente figura.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Sa
(g)
Sd (m)
ESPECTRO DE CAPACIDADPATRÓN MODAL
Espectro de Capacidad X'-Espectro de Capacidad X'+
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 103
Figura 96. Espectro de demanda sísmica para diferentes niveles de sismo. Fuente propia.
Para la obtención de los espectros de respuesta en formato ADRS se usan las relaciones de
aceleración y desplazamiento espectral, a su vez, estas se encuentran en el software SAP2000.
𝑀𝑀𝑚𝑚 = 𝜔𝜔2 ∙ 𝑀𝑀𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝜔𝜔 =2 ∙ 𝜋𝜋𝑇𝑇
Reemplazando
𝑀𝑀𝑑𝑑𝑖𝑖 =𝑇𝑇𝑖𝑖
4𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑖𝑖
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Sa
(g)
Periodo T (s)
ESPECTRO DE DEMANDA SISMICA
Sismo de Servicio
Sismo de Diseño
Sismo Máximo
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 104
Figura 97. Espectro de demanda sísmica en formato ADRS para diferentes niveles de sismo. Fuente propia.
5.3. Desempeño de la Estructura
Teniendo ya calculado los espectros de capacidad y demanda es factible determinar el punto
de desempeño de la estructura por medio de la intersección de ambos espectros. Este punto
representa el máximo desplazamiento estructural y cortante basal esperado para diferentes
niveles de demanda sísmica. En esta sección se determina el punto de desempeño de la estructura
mediante el Método de Espectro de Capacidad según FEMA 440 haciendo uso del programa
SAP 2000. De forma similar, se determina el punto de desempeño en forma manual para
validación de lo obtenido en el programa SAP 2000. Finalmente se hará un análisis de los
diferentes puntos de desempeño usando el código ATC 40.
5.3.1. Método de Espectro de capacidad según FEMA 440
Para la determinación del punto de desempeño, se analiza para tres niveles de demanda
sísmica. Estos datos son extraídos del programa SAP2000. En las siguientes figuras se presenta
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Sa
(g)
Sd (m)
ESPECTRO DE DEMANDA SISMICAFORMATO ADRS
Sismo de Servicio
Sismo de Diseño
Sismo Máximo
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 105
el punto de desempeño para los sismos de Servicio, de Diseño y Máximo en las direcciones X’+
y X’-, respecto del patrón de cargas respectivo.
Patrón modal
Sismo de Servicio X’-
Figura 98. Punto de Desempeño para un sismo de Servicio, dirección X’-, patrón Modal. Fuente propia
Sismo de diseño X’-
Figura 99. Punto de Desempeño para un sismo de Diseño, dirección X’-, patrón Modal. Fuente propia.
Punto de Desempeño
Sismo de Servicio
Sd = 0.027
Sa = 0.384
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO DE SERVICIODIRECCION X'- / PATRON MODAL
Espectro de DemandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda Reducida
Punto de Desempeño
Sismo de Diseño
Sd=0.073
Sa=0.523
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO DE DISEÑODIRECCION X'- / PATRON MODAL
Espectro de DemandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda Reducida
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 106
Sismo Máximo X’-
Figura 100. Punto de Desempeño para un sismo Máximo, dirección X’-, patrón Modal. Fuente propia.
Sismo de Servicio X’+
Figura 101. Punto de Desempeño para un sismo de Servicio, dirección X’+, patrón Modal. Fuente propia.
Punto de Desempeño
Sismo Máximo
Sd=0.106
Sa=0.542
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO MÁXIMODIRECCION X'- / PATRON MODAL
Espectro de demandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda reducida
Punto de Desempeño
Sismo de Servicio
Sa = 0.031
Sd = 0.379
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO DE SERVICIODIRECCION X'+ / PATRON MODAL
Espectro de DemandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda reducida
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 107
Sismo de diseño X’+
Figura 102. Punto de Desempeño para un sismo de Diseño, dirección X’+, patrón Modal. Fuente propia.
Sismo Máximo X’+
Figura 103. Punto de Desempeño para un sismo Máximo, dirección X’+, patrón Modal. Fuente propia.
Punto de Desempeño
Sismo de Diseño
Sd = 0.077
Sa = 0.533
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO DE DISEÑODIRECCION X'+ / PATRON MODAL
Espectro de DemandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda reducida
Punto de Desempeño
Sismo Máximo
Sd = 0.110
Sa = 0.546
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2
Sa
(g)
Sd (m)
PUNTO DE DESEMPEÑO PARA UN SISMO MÁXIMODIRECCION X'+ / PATRON MODAL
Espectro de demandaEspectro de CapacidadEspectro de Demanda reducida
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 108
Finalmente se obtiene los puntos de desempeño para los tres niveles de demanda sísmica. En
forma resumida se presenta en la siguiente tabla.
Tabla 42. Puntos de desempeño para los tres niveles de demanda sísmica, patrón Modal. Fuente propia.
DIRECCIÓN SISMO ESPECTRO DE CAPACIDAD –
PATRÓN MODAL
CURVA DE CAPACIDAD
Sd (m) Sa (g) µ Beff D (m) V (Tonf)
X'+ Servicio 0.031 0.379 2.582 0.126 0.063 1693.00
Diseño 0.077 0.533 5.421 0.205 0.148 2454.61
Máximo 0.110 0.546 6.403 0.206 0.210 2631.01
X'- Servicio 0.027 0.384 2.152 0.097 0.051 1726.44
Diseño 0.073 0.523 4.801 0.203 0.130 2409.35
Máximo 0.106 0.542 5.981 0.207 0.205 2607.55
5.3.2. Punto de desempeño de forma manual
En esta sección se presenta el desarrollo a detalle de la determinación del punto de desempeño
mediante el método de Espectro de Capacidad indicado en la norma FEMA 440. Para luego
realizar un análisis comparativo de comprobación que da el programa SAP 2000.
El detalle de este proceso manual está en el anexo B.
En la figura se muestra el espectro de capacidad desarrollado por el programa y manualmente.
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 109
Figura 104. Espectro de Capacidad de la Estructura dirección X’-, patrón Modal. Fuente propia.
En este caso solo se realizará el análisis comparativo para una demanda sísmica de diseño. La
figura muestra los espectros de demanda sísmica obtenidos por el Mathcad.
Figura 105. Espectro de Demanda Sísmica usando Mathcad. Fuente propia.
Después de realizar un proceso iterativo manual, se obtiene el punto de desempeño frente al
sismo de diseño en la dirección X’-.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Sa
(g)
Sd (m)
ESPECTRO DE CAPACIDAD DIRECCIÓN X'- / PATRON MODAL
Mathcad
SAP2000
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 110
Figura 106. Determinación del punto de desempeño usando Mathcad. Fuente propia.
Finalmente se obtiene los siguientes parámetros que son muy similares a los valores calculados
por SAP 2000. El detalle de los cálculos se encuentran el anexo B. La siguiente tabla un análisis
comparativo.
Tabla 43. Comparación de los parámetros de desempeño. Fuente propia.
ESPECTRO DE CAPACIDAD CURVA DE CAPACIDAD
Sd (m) Sa (g) µ Beff D (m) V (Tonf)
MATHCAD 0.070 0.518 4.770 0.202 0.135 2440.97 SAP2000 0.073 0.523 4.801 0.203 0.130 2409.35
5.3.3. Análisis de resultados de los desempeños
En esta sección se analizará el significado que tienen estos puntos de desempeño en el
comportamiento estructural de la estructura, mediante el código ATC 40. Este código indica que
se debe expresar los desplazamientos y aceleraciones espectrales en fuerzas y desplazamientos.
El ATC-40 constituye los límites de deriva total máxima, es decir, deriva elástica más la deriva
inelástica.
CAPITULO 5. EVALUACIÓN POR DESEMPEÑO 111
Tabla 44. Límites de Deriva según el ATC-40. ATC-40.
NIVEL DE DESEMPEÑO
Ocupación inmediata
Control de Daño
Seguridad de Vida
Estabilidad Estructural
Deriva total máxima 0.01 0.01-0.02 0.02 0.33Vi/Pi Deriva inelástica máxima 0.005 0.005-0.015 Sin limite Sin limite
Donde Vi es la cortante total y Pi es la carga de gravedad total en el piso i.
En la Tabla 45. se presenta los Niveles de Desempeño del pabellón de Geología según ATC-40.
Tabla 45. Nivel de desempeño del Pabellón de Geología según ATC 40.
PATRÓN DIRECCIÓN SISMO D(m) DERIVA TOTAL
MÁXIMA NIVEL DE DESEMPEÑO
¿Cumple objetivo de
Desempeño?
MODAL
X'- Servicio 0.051 0.0039 Ocupación Inmediata SI
Diseño 0.130 0.0099 Ocupación Inmediata SI
Máximo 0.205 0.0157 Seguridad de Vida SI
X'+ Servicio 0.063 0.0048 Ocupación Inmediata SI
Diseño 0.148 0.0113 Seguridad de Vida NO
Máximo 0.210 0.0161 Seguridad de Vida SI
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 112
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
• Se ha llevado a cabo el análisis modal donde se hallaron los siguientes periodos, 0.32s,
0.26s, y 0.19s para los tres primeros modos respectivamente. Siendo el primero un modo
acoplado, es decir traslación con rotación, el segundo modo es predominantemente traslacional
en el eje de simetría, y un tercer modo solo de rotación.
• Pese a ser irregular en planta se ha comprobado que los entrepisos presentan un
comportamiento de diafragma rígido al seguir los criterios del código ASCE 07, resultando
valores de la relación Deflexión máxima del diafragma sobre el Promedio de las derivas de los
elementos verticales menores a 2, permitiendo así reducir a 3 grados de libertad por piso y
optimizando tiempo de análisis computacional
• Si bien los ejes globales de la edificación coinciden con las Avenidas Independencia y
Paucarpata, se ha llevado a cabo el método Pushover en el eje de simetría con un patrón de
cargas proporcional a la forma de vibración traslacional del modo 2, dado que representa el eje
más crítico alcanzando una deformación de 0.232m con una cortante de 2581.24ton y de 0.235m
con 2666.84ton en la otra dirección.
• La edificación al ser sometido al método Pushover y conocer su secuencia de rotulación
al incursionar en el rango no lineal, se ha evidenciado que son los muros los primeros en fallar y
desarrollar una fluencia por flexión, siendo congruente con la tipología estructural basado en
muros de concreto armado, desarrollando grandes deformaciones hasta alcanzar un punto de
agotamiento.
• La edificación presenta un nivel de desempeño para un Sismo de Diseño de Ocupación
Inmediata con un desplazamiento de 0.148m con una cortante basal de 2454.61ton, así mismo
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 113
para un Sismo Máximo es de Seguridad de Vida para un desplazamiento de 0.210m con una
cortante basal de 2631.01ton.
• La norma E030 no permite irregularidades para edificaciones esenciales en la zona
sísmica Z3, sin embargo, la estructura analizada cumple con los objetivos de desempeño
mínimos definidos para una estructura esencial, permaneciendo operativo y teniendo un
adecuado control de daños luego de un evento sísmico y garantizando la seguridad de sus
ocupantes.
• Se estimó un factor de reducción por ductilidad de 𝑅𝑅𝜇𝜇 = 3.14 en el eje de simetría y un
factor de reducción de sobrerresistencia de 𝑀𝑀𝑅𝑅=1.31 para el sismo de diseño, obteniendo un
factor de reducción de fuerza sísmica aproximado de 𝑅𝑅 = 4.11 difiriendo en un 9% menos del
factor de reducción de fuerza sísmica teórico de 𝑅𝑅 = 4.5 usado en el diseño.
• La estructura presenta una ductilidad de reserva total de 𝜇𝜇=7.08 y sobrerresistencia de
1.49 en la dirección del eje diagonal a 45º, y en el sentido contrario una ductilidad de 𝜇𝜇=6.93 y
sobrerresistencia disponible de 1.33. Así mismo, para un sismo de diseño se requiere una
ductilidad de demanda que representa el 76% y 69% de la ductilidad de reserva, y para un sismo
máximo se requiere el 90% y 86% en el eje de la diagonal en ambas direcciones.
• Se obtuvieron valores de amortiguamiento efectivos de 20.5% para la demanda de un
sismo de diseño en el eje de la diagonal, y de 20.6% para un sismo máximo; igualmente los
valores de periodos efectivos son de 0.74s para un sismo de diseño y 0.88s para un sismo
máximo.
Recomendaciones
• Se recomienda que en futuras investigaciones dar mayor hincapié a la interacción suelo
estructura ya que permite acercarnos mejor al comportamiento real de la edificación ante
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 114
acciones sísmicas, es decir, son las condiciones del suelo las que pueden diferir de una
suposición inicial de base rígida y producir deformaciones mayores en la edificación.
• Se recomienda una comparación de los resultados obtenidos bajo este análisis no lineal
estático o Pushover con un análisis no lineal dinámico o Tiempo historia, siendo este último, un
método que requiere mayor consideración en parámetros no lineales, siendo además un método
que demanda una mayor capacidad de cálculo computacional, pero que proporciona resultados
más confiables para predecir el comportamiento estructural de la edificación.
• El modelo simplificado de elementos frame que representan los muros tienen ciertas
limitaciones, como considerar giros iguales en los extremos de la longitud del muro, cuando en
realidad los giros son distintos en cada uno de los pórticos trasversales, por lo que se recomienda
hacer uso de modelos más precisos como el de elementos finitos.
• Se recomienda el uso de la metodología basado en desempeño para la evaluación de
edificaciones existentes y el diseño de edificaciones nuevas, ya que no solo está orientado a la
prevención del colapso de la estructura para evitar pérdidas de vidas sino también considera los
criterios de funcionalidad acorde a las actividades que desarrolla dicha edificación.
• Se recomienda ahondar más en las nuevas actualizaciones de la nueva generación de
normas basados en la metodología de desempeño, como la FEMA P-58, que abarca además
temas de costos de reparación y resiliencia de las edificaciones.
BIBLIOGRAFÍA 115
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ANEXO A 118
ANEXOS
ANEXO A
EJEMPLO DE DIAGRAMA DE MOMENTO – CURVARTURA
Diagrama de momento curvatura de la Viga V-1 (30x60)
Dada la siguiente viga doblemente armada como se muestra en la figura:
Se tiene las siguientes propiedades:
Las propiedades de los materiales que se usan:
𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 210𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝐸𝐸𝑐𝑐 = 15000�𝑓𝑓′𝑐𝑐= 217370.65
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 2 ∙ �𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 28.98
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝐸𝐸𝑠𝑠 = 2000000 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 2000000
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 0.0021 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 = 0.01199
𝑡𝑡 =𝐸𝐸𝑠𝑠𝐸𝐸𝑐𝑐 = 8.311
Para la determinación de los diagramas de momento curvatura se definirán las siguientes
propiedades constitutivas. En el acero se define un modelo bilineal elasto-plástico con
𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200 𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2
En el caso del concreto se define un modelo bilineal equivalente (elasto-plástico) del Modelo de
concreto confinado de Mander, donde se define una deformación elástica del concreto de 0.001133
y una resistencia de agotamiento de 1.17𝑓𝑓′𝑐𝑐 tal como se detalla en las siguientes gráficas.
b h r d’ d f’c As A’s
30cm 60cm 4cm 4cm 56cm 210kg/cm2 5.938cm2 5.938cm2
ANEXO A 119
Planteamiento. Para desarrollar la gráfica momento – curvatura de la viga, desarrollaremos
tres etapas: condición de agrietamiento, condición de cedencia y condición de rotura.
1. Estudio de la condición de agrietamiento.
El área de la sección equivalente 𝑀𝑀𝑠𝑠𝑒𝑒 es calculada mediante el uso de módulos de elasticidad
del acero y el concreto.
𝑀𝑀𝑠𝑠𝑒𝑒 = 𝑏𝑏 ∙ ℎ + (𝑡𝑡 − 1) ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠) = 1897.393 𝑐𝑐𝑐𝑐2
0
50
100
150
200
250
300
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
Esf
uer
zo (
kgf/
cm²)
Deformación unitaria (m/m)
MODELO DE CONCRETO CONFINADO
Modelo de ManderConfinado
Modelo de ManderConfinado - Bilineal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011
Esf
uer
zo (
kgf/
cm²)
Deformación unitaria (m/m)
MODELO BILINEAL DEl ACERO DE REFUERZO
Modelo del Acero - Bilineal
ANEXO A 120
A partir de la sección equivalente, la profundidad del eje neutro de la sección de la viga está
dado por:
𝑐𝑐 =𝑏𝑏 ∙ ℎ22 + (𝑡𝑡 − 1) ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑′)𝑀𝑀𝑠𝑠𝑒𝑒 = 30 𝑐𝑐𝑐𝑐
La inercia de la sección equivalente respecto al eje neutro usando el Teorema de Steiner.
𝐸𝐸𝑠𝑠𝑒𝑒 =𝑏𝑏 ∙ ℎ3
12+ 𝑏𝑏 ∙ ℎ ∙ �ℎ
2− 𝑐𝑐�2 + (𝑡𝑡 − 1) ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ (𝑑𝑑 − 𝑐𝑐)2 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ (𝑑𝑑 − 𝑐𝑐)2) = 605837.82 𝑐𝑐𝑐𝑐2
Finalmente, para el cálculo de la curvatura de agrietamiento ∅𝐴𝐴 y el momento de agrietamiento 𝑀𝑀𝐴𝐴 es calculada por las siguientes expresiones:
∅𝐴𝐴 =𝑓𝑓𝑟𝑟𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ (ℎ − 𝑐𝑐)
= 0.000441𝑐𝑐 y 𝑀𝑀𝐴𝐴 =
𝑓𝑓𝑟𝑟 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑒𝑒(ℎ − 𝑐𝑐)
= 5.853 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡 ∙ 𝑐𝑐
2. Estudio de la condición de cedencia.
Para el análisis de cedencia se considera las siguientes hipótesis:
• El acero de refuerzo superior a tracción está cediendo. • El acero de refuerzo inferior a comprensión no ha cedido. • Comportamiento elástico – plástico del acero. • El concreto no ha alcanzado su agotamiento. • Comportamiento lineal elástico del concreto.
Representadas gráficamente estas hipótesis mediante el diagrama de deformación y esfuerzo
ANEXO A 121
Donde, 𝐶𝐶𝑐𝑐 es la fuerza de comprensión en el concreto, 𝐶𝐶𝑠𝑠 es la comprensión en el acero inferior y 𝑇𝑇 es la tracción en el acero superior. Y sus expresiones son calculadas en base a las hipótesis.
𝐶𝐶𝑐𝑐 =𝑓𝑓𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏
2 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦
Realizando equilibrio de fuerzas 𝑇𝑇 = 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑠𝑠, tenemos 𝑓𝑓𝑐𝑐∙𝑐𝑐∙𝑓𝑓2 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦
Usando la relación de deformación según la gráfica y usando la ley de Hook, se tiene las
siguientes ecuaciones para el concreto y el acero.
𝜀𝜀𝑐𝑐 =𝜀𝜀𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐 𝜀𝜀′𝑠𝑠 =
𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′)𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀′𝑠𝑠
Reemplazando, se tiene 𝐸𝐸𝑐𝑐∙𝜀𝜀𝑦𝑦∙𝑐𝑐2∙𝑓𝑓2∙(𝑑𝑑−𝑐𝑐)
= 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦∙(𝑐𝑐−𝑑𝑑′)𝑑𝑑−𝑐𝑐
Debido que el acero a tracción está cediendo, usamos 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦. La ultima ecuación quedaría
𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐2 ∙ 𝑏𝑏2
= 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑑𝑑 − 𝑐𝑐) − 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′) Ordenado en la forma general de una ecuación cuadrática, se obtiene
𝑐𝑐2 ∙ �𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑏𝑏2
�+ 𝑐𝑐 ∙ �𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠)� − 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑′) = 0
Remplazando
684.72 ∙ 𝑐𝑐2 + 49.88 ∙ 𝑐𝑐 − 14.96 = 0 se tiene 𝑐𝑐 = 11.58
Al obtener la profundidad del eje neutro, se verifica que el acero a comprensión no ha cedido, en
efecto. La deformación y su esfuerzo del acero a comprensión
𝜀𝜀′𝑠𝑠 =𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′)𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00036 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 717.017
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
ANEXO A 122
Que son menores a los límites de cedencia 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 0.002 y 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200 𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2. Además, se verifica
que el concreto tenga un comportamiento elástico, teniendo como límite 𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 =
246.19𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2. La deformación y esfuerzo del concreto a comprensión son
𝜀𝜀𝑐𝑐 =𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00075 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀 𝑐𝑐 = 119.038
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
Luego, se define la resultante de tracción y comprensión:
𝐶𝐶𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏2 = 20.68 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 4.26 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡
Finalmente, se obtiene la curvatura cedente y el momento cedente
∅𝑦𝑦 =𝜀𝜀𝑦𝑦
(𝑑𝑑 − 𝑐𝑐)= 0.0047
1𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑦𝑦 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑐𝑐3� + 𝐶𝐶𝑠𝑠(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′) = 12.997 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐
3. Estudio de la condición ultima (agotamiento). Para el análisis de este caso, asumiremos las siguientes hipótesis
• El concreto alcanzó su agotamiento. • Comportamiento elasto – plástico del acero. • El acero de refuerzo superior a tracción ya cedió. • El acero de refuerzo inferior a comprensión no ha cedido. Expresado graficamente estas hipotesis:
Donde, 𝐶𝐶𝑐𝑐 es la fuerza de comprensión en el concreto, 𝐶𝐶𝑠𝑠 es la comprensión en el acero inferior
y 𝑇𝑇 es la tracción en el acero superior. Y sus expresiones son calculadas en base a las hipótesis.
ANEXO A 123
𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦
Realizando equilibrio de fuerzas 𝑇𝑇 = 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑠𝑠, tenemos
𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 Donde 𝑎𝑎 = 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐. Despejando c , tenemos 𝑐𝑐 =
𝐴𝐴𝑠𝑠∙𝑓𝑓𝑦𝑦−𝐴𝐴′𝑠𝑠∙𝑓𝑓′𝑠𝑠1.17∙𝑓𝑓′𝑐𝑐∙𝑓𝑓∙𝛽𝛽1
De la grafica de las deformaciones 𝜀𝜀′𝑠𝑠
(𝑐𝑐−𝑑𝑑′) =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝑓𝑓′𝑠𝑠 =
𝐸𝐸𝑠𝑠∙𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐∙(𝑐𝑐−𝑑𝑑′)𝑐𝑐
Reemplazando 𝑐𝑐 =𝐴𝐴𝑠𝑠∙𝑓𝑓𝑦𝑦−𝐴𝐴′𝑠𝑠∙�𝐸𝐸𝑠𝑠∙𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐∙(𝑐𝑐−𝑑𝑑′)𝑐𝑐 �1.17∙𝑓𝑓′𝑐𝑐∙𝑓𝑓∙𝛽𝛽1
Escibriendo en la forma general de una ecuacion cuadratica
𝑐𝑐2 ∙ �1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝛽𝛽1� + 𝑐𝑐 ∙ �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦� − 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑′ = 0
Reemplazando cada una de las constantes, se tiene
626.535 ∙ 𝑐𝑐2 + 117.45𝑐𝑐 − 5.696 = 0 resolviendo 𝑐𝑐 = 3.696 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero de refuero a comprension no este en cedencia:
𝜀𝜀′𝑠𝑠 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′)𝑐𝑐 = 0.000009 y 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 1000.3
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
Que son menores a los limites de cedencia del acero.
Tambien, es factible verificar el cmoportamiento de la sección, tomando en cuenta la deformacion
en el acero superior a tracción. 𝜀𝜀𝑠𝑠 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐∙(𝑑𝑑−𝑐𝑐)𝑐𝑐 = 0.15599 que es mayor a 0.005, es decir, es
controlada por tracción. A partir del calculo del eje neutro, se calculan las fuerzas de Traccion y
Comprension:
𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 25.043 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 0.104 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
ANEXO A 124
Finalmente, se obtiene la curvatura última y el momento último:
∅𝑢𝑢 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢𝑐𝑐 = 0.19498
1𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑢𝑢 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑑𝑑 − 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐2�+ 𝐶𝐶𝑠𝑠 ∙ (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′) = 13.653 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐
El diagrama momento – curvatura se indica en la siguiente figura
DIAGRAMA DE MOMENTO CURVATURA –COLUMNA C-1
b h r d’ d f’c As A’s
30cm 30cm 4cm 4cm 26cm 210kg/cm2 5.938cm2 5.938cm2
ANEXO A 125
𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 210𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝐸𝐸𝑐𝑐 = 15000�𝑓𝑓′𝑐𝑐= 217370.65
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 2 ∙ �𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 28.98
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2
𝐸𝐸𝑠𝑠 = 2000000 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 2000000
𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 0.0021 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 = 0.012
𝑡𝑡 =𝐸𝐸𝑠𝑠𝐸𝐸𝑐𝑐 = 8.311
PLANTEAMIENTO
Para el desarrollo, se define las mismas propiedades constitutivas del concreto y el acero de
refuerzo definidos en el desarrollo del diagrama de momento curvatura en una viga.
Diagrama de interacción
Para realizar el diagrama de interacción se deben realizar los siguientes pasos, para ello
determinaremos algunos puntos característicos.
NOTACIONES 𝑃𝑃0 Falla a compresión pura 𝑃𝑃1 Falla controlada a comprensión 𝑃𝑃𝑓𝑓 Falla balanceada 𝑃𝑃2 Falla controlada por tracción 𝑃𝑃2 Falla a flexión pura 𝑇𝑇0 Falla tracción pura
1. Comprensión pura: Para el análisis de comprensión pura, se tiene las siguientes hipótesis.
• El concreto alcanzo su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a comprensión ya cedió. • El acero de refuerzo superior a comprensión ya cedió. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
ANEXO A 126
Estableciendo el equilibrio de fuerzas, se tiene: comprensión del acero superior, comprensión del
concreto y comprensión del acero inferior
𝐶𝐶𝐴𝐴′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ (𝑏𝑏 ∙ ℎ − 𝑀𝑀𝑠𝑠 − 𝑀𝑀′𝑠𝑠) = 218.21 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
De aquí, tenemos la fuerza axial a comprensión pura y el centroide plástico
𝑃𝑃0 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑠𝑠 + 𝐶𝐶𝐴𝐴′𝑠𝑠 = 268.09 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 =𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ 0.5 ∙ ℎ + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶𝐴𝐴′𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑′𝑃𝑃0 = 15 𝑐𝑐𝑐𝑐
2. Tracción pura
Se considera las siguientes hipótesis
• El acero de refuerzo inferior a comprensión ya cedió. • El acero de refuerzo superior a comprensión ya cedió • Comportamiento elasto – plástico del acero. • Se desprecia la contribución a tracción del concreto
Estableciendo el equilibrio de fuerzas se tiene: Tracción del acero superior, Tracción del acero
inferior. 𝑇𝑇𝐴𝐴′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
De aquí, tenemos la fuerza axial a tracción pura
𝑇𝑇0 = −𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 − 𝑇𝑇𝐴𝐴′𝑠𝑠 = −49.88 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
ANEXO A 127
3. Falla balanceada. Se basan en las siguientes hipótesis:
• El concreto alcanzo su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a tracción esta justo en la cedencia. • El acero de refuerzo superior a comprensión ya cedió. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
De acuerdo con la relación de deformaciones mostradas en la gráfica, se tiene directamente la
profundidad del eje neutro debido a la falla balanceada: Se verifica que el acero a comprensión ya
cedió
𝑐𝑐𝑓𝑓 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 = 22.286 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐𝑓𝑓 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐𝑓𝑓 = 0.0098
Las fuerzas resultantes son determinadas: Fuerza de comprensión en el acero superior,
Comprensión del concreto, Comprensión del concreto y Tracción del acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∙ 𝑏𝑏 = 139.63 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
De aquí, tenemos la fuerza axial por falla balanceada, 𝑃𝑃𝑓𝑓 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝐴𝐴′𝑠𝑠 − 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 = 139.63 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓. A
partir de la gráfica, se determina el momento y curvatura por falla balanceada
𝑀𝑀𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐𝑏𝑏
2� + 𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 13.21 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐 ∅𝑏𝑏 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏 = 0.054 1𝑐𝑐
ANEXO A 128
4. Falla controlada por comprensión (𝑷𝑷𝟏𝟏 > 𝑷𝑷𝒃𝒃)
Para análisis de este caso, se usan fuerzas intermedias entre la balanceada y comprensión pura.
En este caso, se analiza para dos puntos intermedios, siguiendo las siguientes hipótesis:
• El concreto alcanzó su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a tracción no ha cedido • El acero de refuerzo superior a comprensión ya cedió. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Descritos en la siguiente gráfica:
4.1. Análisis para la carga axial
Se define el siguiente punto
𝑃𝑃1𝑚𝑚 = 𝑃𝑃𝑓𝑓 +(𝑃𝑃0 − 𝑃𝑃𝑓𝑓)
2= 203.86 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Estableciendo equilibrio de fuerzas y la relación de deformaciones se obtiene la ecuación para
determinar la profundidad del eje neutro de la sección: 𝑃𝑃1𝑚𝑚 = 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 −𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 y 𝑃𝑃1𝑚𝑚 = 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠. Reemplazando y ordenando en la
forma de una ecuación cuadrática
(0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 + 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝑃𝑃1𝑚𝑚� ∙ 𝑐𝑐 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando y resolviendo 626.54 ∙ 𝑐𝑐2 − 36.408 ∙ 𝑐𝑐 − 37.053 = 0 𝑐𝑐 = 27.397 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero superior a comprensión ya cedió, y el acero a tracción no ha cedido.
ANEXO A 129
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.01025 > 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.00061 < 𝜀𝜀𝑦𝑦
Seguidamente, la fuerza de comprensión en el acero superior, Comprensión en el concreto y
Tracción en el acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 = 171.65 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 7.721 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Finalmente, el momento y la curvatura últimos
𝑀𝑀𝐴𝐴1𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐
2� + 𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 9.304 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∅𝐴𝐴1𝑎𝑎 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐 = 0.0438 1𝑐𝑐
4.2. Análisis para la carga axial. Se define el segundo punto 𝑃𝑃1𝑓𝑓 = 𝑃𝑃𝑓𝑓 +(𝑃𝑃0 − 𝑃𝑃𝑓𝑓)
4= 171.74 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Estableciendo equilibrio de fuerzas y la relación de deformaciones se obtiene la ecuación para
determinar la profundidad del eje neutro de la sección: 𝑃𝑃1𝑓𝑓 = 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 −𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠. Reemplazando y ordenando en la forma de una ecuación cuadrática
(1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 + 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝑃𝑃1𝑚𝑚� ∙ 𝑐𝑐 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando y resolviendo 626.54 ∙ 𝑐𝑐2 − 4.293 ∙ 𝑐𝑐 − 37.053 = 0 𝑐𝑐 = 24.66 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero superior a comprensión ya cedió, y el acero a tracción no ha cedido.
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.010057 > 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.00065 < 𝜀𝜀𝑦𝑦
Seguidamente, la fuerza de comprensión en el acero superior, Comprensión en el concreto y
Tracción en el acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 = 154.53 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 7.72 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
ANEXO A 130
Finalmente, el momento y la curvatura últimos
𝑀𝑀𝐴𝐴1𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐
2� + 𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 10.57 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∅𝐴𝐴1𝑏𝑏 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐 = 0.04865 1𝑐𝑐
5. Estudio de falla controlada por tracción (𝑷𝑷𝟐𝟐 < 𝑷𝑷𝒃𝒃)
Se analizará para dos puntos bajo ciertas hipótesis:
5.1. Análisis para la carga axial. Para el análisis de este caso, se usa fuerzas axiales menores a la balanceada. Para ello se considera las siguientes hipótesis
• El concreto alcanzo su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a tracción ya cedió. • El acero de refuerzo superior a comprensión ya cedió. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Estas hipótesis están representadas en la siguiente gráfica:
Se define el primer punto: 𝑃𝑃2𝑚𝑚 = 2 ∙ 𝑃𝑃𝑏𝑏3 = 93.085 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓. Estableciendo el equilibrio de fuerzas se
define directamente la profundidad del eje neutro la sección, en función a la carga axial aplicada:
𝑃𝑃2𝑠𝑠 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 𝑐𝑐 =𝑃𝑃2𝑚𝑚 + 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 − 𝑀𝑀′𝑠𝑠)
1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑏𝑏 = 14.857 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero superior a comprensión no cedió, y el acero a tracción ya cedió:
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.00877 < 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.009 > 𝜀𝜀𝑦𝑦
ANEXO A 131
Seguidamente, la fuerza de comprensión en el acero superior, Comprensión en el concreto y
Tracción en el acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 = 93.085 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Finalmente, el momento último y la curvatura última
𝑀𝑀𝐴𝐴2𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐
2� + 𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 13.572 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∅𝐴𝐴2𝑎𝑎 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐 = 0.08077 1𝑐𝑐
5.2. Análisis para la carga axial
Para el análisis de este caso, se usa fuerzas axiales menores a la balanceada. Para ello se
considera las siguientes hipótesis
• El concreto alcanzo su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a tracción ya cedió. • El acero de refuerzo superior a comprensión no cedió. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Estas hipótesis están representadas en la gráfica anterior.
Se define el segundo punto: 𝑃𝑃2𝑚𝑚 =𝑃𝑃𝑏𝑏3 = 46.54 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓. Estableciendo el equilibrio de fuerzas se
define directamente la profundidad del eje neutro la sección, en función a la carga axial aplicada: 𝑃𝑃2𝑠𝑠 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦. Usando las relaciones de deformaciones y
esfuerzos se obtiene la siguiente ecuación cuadrática
(1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑃𝑃2𝑓𝑓� ∙ 𝑐𝑐 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑′ = 0
Reemplazando
626.54 ∙ 𝑐𝑐2 + 71.03 ∙ 𝑐𝑐 − 5.7 = 0 𝑐𝑐 = 5.43 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero superior a comprensión no cedió, y el acero a tracción ha cedido:
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.00316 > 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.04549 > 𝜀𝜀𝑦𝑦
ANEXO A 132
Seguidamente, la fuerza de comprensión en el acero superior, Comprensión en el concreto y
Tracción en el acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 = 34.00 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Finalmente, el momento y la curvatura últimos
𝑀𝑀𝐴𝐴2𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐
2� + 𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 9.803 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∅𝐴𝐴1𝑏𝑏 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐 = 0.2211 1𝑐𝑐
6. Flexión pura (P=0)
El análisis para este caso es considerar que la fuerza axial es despreciable o nulo, para eso se
considera las siguientes hipótesis.
• El concreto alcanzo su agotamiento. • El acero de refuerzo inferior a tracción ya cedió. • El acero de refuerzo superior a comprensión no ha cedido. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Usando equilibrio de fuerzas y la relación de deformaciones se define la ecuación cuadrática, que
nos permitirá calcular la profundidad del eje neutro: 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 =
0. Que es equivalente a (1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦� ∙ 𝑐𝑐 − 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙𝑑𝑑′ = 0. Remplazando cada una de las constantes
ANEXO A 133
626.54 ∙ 𝑐𝑐2 + 117.57 ∙ 𝑐𝑐 − 5.7 = 0 𝑐𝑐 = 3.997 𝑐𝑐𝑐𝑐
Se verifica que el acero superior a comprensión no cedió, y el acero a tracción ya cedió:
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.00016 < 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.06606 > 𝜀𝜀𝑦𝑦
Seguidamente, la fuerza de comprensión en el acero superior, Comprensión en el concreto y
Tracción en el acero inferior
𝐶𝐶𝑀𝑀′𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 0.104 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝛽𝛽1∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 = 25.043 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Finalmente, el momento último y la curvatura última
𝑀𝑀𝑢𝑢𝑓𝑓𝑝𝑝 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝛽𝛽1 ∙ 𝑐𝑐2�+ 𝐶𝐶𝐴𝐴′𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 6.086 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐 ∅𝑢𝑢𝑓𝑓𝑝𝑝 =
𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢𝑐𝑐 = 0.30022 1𝑐𝑐
7. Falla en cedencia. finalmente, se analiza los siguientes casos
7.1. Análisis para la carga axial. Consideremos la carga axial 𝑃𝑃2𝑚𝑚 = 93.085 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Para el análisis de este caso, se considera las siguientes hipótesis
• El concreto no ha alcanzado su agotamiento. • Comportamiento lineal elástico del concreto • El acero de refuerzo inferior a tracción esta justo en la cedencia. • El acero de refuerzo superior a comprensión no ha cedido. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Representa por la siguiente gráfica.
ANEXO A 134
Estableciendo el equilibrio de fuerzas se define directamente la profundidad del eje neutro la
sección, en función a la carga axial aplicada:
Usando las relaciones de deformaciones y esfuerzos se obtiene la siguiente ecuación cuadrática
�𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦2
� ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑃𝑃2𝑎𝑎� ∙ 𝑐𝑐 − (𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑′ + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑃𝑃2𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando 652.11 ∙ 𝑐𝑐2 + 141.777 ∙ 𝑐𝑐 − 31.637 = 0 𝑐𝑐 = 13.692 𝑐𝑐𝑐𝑐
Al obtener la profundidad del je neutro, se verifica que el acero superior a comprensión no cedió,
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑐𝑐 = 0.00157 < 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑐𝑐 =𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00163 < 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢
Pero 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 483.609 𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2 > 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒 = 0.70 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 147
𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2. Lo que implica, que el
concreto entra al rango no lineal. Para ello se establece un modelo bilineal equivalente (elasto –
plástico), donde se define una deformación elástica del concreto de 0.001133.
Estableciendo el equilibrio de fuerzas se define directamente la profundidad del eje neutro la
sección. Usando las relaciones de deformaciones y esfuerzos se obtiene la siguiente ecuación
cuadrática
ANEXO A 135
�2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦� ∙ �0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏� ∙ 𝑐𝑐2
− ��2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦� ∙ �0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑� + 2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 + 𝑀𝑀𝑠𝑠) + 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑 + 2𝜀𝜀𝑦𝑦∙ 𝑃𝑃2𝑎𝑎� ∙ 𝑐𝑐 + 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑2 + 2𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑′) + 2𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑃𝑃2𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando 3.784 ∙ 𝑐𝑐2 − 1.773 ∙ 𝑐𝑐 − 0.183 = 0 𝑐𝑐 = 15.387 𝑐𝑐𝑐𝑐
Tomando 𝑐𝑐 = min �𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦∙(𝑑𝑑−𝑐𝑐)𝜀𝜀𝑦𝑦 , 𝑐𝑐� = 6.012 𝑐𝑐𝑐𝑐
Al obtener la profundidad del eje neutro, se verifica que el acero superior a comprensión no
cedió: 𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐−𝑑𝑑′𝑑𝑑−𝑐𝑐 = 0.00215 > 𝜀𝜀𝑦𝑦. Luego, se define la resultante de tracción y comprensión:
𝐶𝐶𝑐𝑐1 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑐𝑐) ∙ 𝑏𝑏 = 69.107 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐2 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐2 ∙ 𝑏𝑏 = 22.16 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑠𝑠= 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Por último, se obtiene la curvatura cedente y el momento cedente:
𝑀𝑀𝑦𝑦2𝑚𝑚 = 𝐶𝐶𝑐𝑐1 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 −𝑐𝑐2�+ 𝐶𝐶𝑐𝑐2 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 +
2 ∙ 𝑐𝑐3
�+ 𝐶𝐶𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 13.42 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐 ∅𝑦𝑦2𝑚𝑚 =𝜀𝜀𝑦𝑦𝑑𝑑 − 𝑐𝑐
= 0.01885 1𝑐𝑐
7.2. Análisis para la carga axial. Para este segundo caso, se tiene 𝑃𝑃𝟐𝟐𝒃𝒃 = 46.543 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓. Para el análisis de este caso, se considera las siguientes hipótesis
• El concreto no ha alcanzado su agotamiento. • Comportamiento lineal elástico del concreto • El acero de refuerzo inferior a tracción esta justo en la cedencia. • El acero de refuerzo superior a comprensión no ha cedido. • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Representa por la gráfica de la sección 7.1
ANEXO A 136
Estableciendo el equilibrio de fuerzas se define directamente la profundidad del eje neutro la
sección, en función a la carga axial aplicada: Usando las relaciones de deformaciones y esfuerzos
se obtiene la siguiente ecuación cuadrática
�𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦2
� ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 − 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 − 𝑃𝑃2𝑓𝑓� ∙ 𝑐𝑐 − (𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑′ + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑃𝑃2𝑓𝑓 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando 652.112 ∙ 𝑐𝑐2 + 95.234 ∙ 𝑐𝑐 − 19.535 = 0 𝑐𝑐 = 11.483 𝑐𝑐𝑐𝑐
Al obtener la profundidad del je neutro, se verifica que el acero superior a comprensión no cedió,
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00103 < 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑐𝑐 =𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00158 < 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢
Pero 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 310.906 𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2 > 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 264.19
𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2. Lo que implica, que el
concreto entra al rango no lineal. Para ello se establece un modelo bilineal equivalente (elasto –
plástico), donde se define una deformación elástica del concreto de 0.001133
Estableciendo el equilibrio de fuerzas se define directamente la profundidad del eje neutro la
sección. Usando las relaciones de deformaciones y esfuerzos se obtiene la siguiente ecuación
cuadrática
ANEXO A 137
�2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦� ∙ �1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏� ∙ 𝑐𝑐2− ��2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦� ∙ �1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑� + 2 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 + 𝑀𝑀𝑠𝑠) + 0.85 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑 + 2𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑃𝑃2𝑓𝑓� ∙ 𝑐𝑐+ 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑2 + 2𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ (𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑 + 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑑𝑑′) + 2𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑃𝑃2𝑓𝑓 ∙ 𝑑𝑑 = 0
Reemplazando 3.784 ∙ 𝑐𝑐2 − 1.587 ∙ 𝑐𝑐 − 0.135 = 0 𝑐𝑐 = 11.837 𝑐𝑐𝑐𝑐. Tomando
𝑐𝑐 = min�𝜀𝜀𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ (𝑑𝑑 − 𝑐𝑐)𝜀𝜀𝑦𝑦 , 𝑐𝑐� = 8.023 𝑐𝑐𝑐𝑐
Al obtener la profundidad del eje neutro, se verifica que el acero superior a comprensión no
cedió: 𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐−𝑑𝑑′𝑑𝑑−𝑐𝑐 = 0.00111 < 𝜀𝜀𝑦𝑦. Luego, se define la resultante de tracción y comprensión:
𝐶𝐶𝑐𝑐1 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ (𝑐𝑐 − 𝑐𝑐) ∙ 𝑏𝑏 = 28.11 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑐𝑐2 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐2 ∙ 𝑏𝑏 = 29.57 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 13.14 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇= 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Por último, se obtiene la curvatura cedente y el momento cedente:
𝑀𝑀𝑦𝑦2𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑐𝑐1 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 − 𝑐𝑐2� + 𝐶𝐶𝑐𝑐2 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 +
2 ∙ 𝑐𝑐3� + 𝐶𝐶𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝�
= 10.39 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐 ∅𝑦𝑦2𝑏𝑏 =𝜀𝜀𝑦𝑦𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.01412
1𝑐𝑐
7.3. Análisis en flexión pura. Se considera P = 0
Se asume las siguientes hipótesis:
• El concreto no ha alanzado su agotamiento • Comportamiento lineal elástico del concreto • El acero de refuerzo inferior a tracción esta justo en la cedencia. • El acero de refuerzo superior a comprensión no ha cedido • Comportamiento elasto – plástico del acero.
Teniendo como referencia la siguiente grafica
ANEXO A 138
Estableciendo el equilibrio de fuerzas y la compatibilidad de deformaciones se define una
ecuación que permite obtener la profundidad del eje neutro:
�𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦2
� ∙ 𝑐𝑐2 + �𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 + 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦� ∙ 𝑐𝑐 − (𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑′ + 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 ∙ 𝑑𝑑) = 0
Reemplazando 652.11 ∙ 𝑐𝑐2 + 48.69 ∙ 𝑐𝑐 − 7.422 = 0 𝑐𝑐 = 7.57 𝑐𝑐𝑐𝑐. Al obtener la profundidad
del je neutro, se verifica que el acero superior a comprensión no cedió,
𝜀𝜀′𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑′𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00039 < 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑐𝑐 =𝜀𝜀𝑦𝑦 ∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.00087 < 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑢𝑢
Pero 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 178.83 𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2 < 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒 = 1.17 ∙ 𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 246.19
𝑘𝑘𝐴𝐴𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚2. Luego, se define la
resultante de tracción y comprensión:
𝐶𝐶𝑐𝑐 =𝑓𝑓𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐 ∙ 𝑏𝑏
2= 20.32 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝑀𝑀′𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓′𝑠𝑠 = 4.61 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 24.94 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓
Por último, se obtiene la curvatura cedente y el momento cedente: 𝑀𝑀𝑦𝑦2𝑓𝑓 = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑐𝑐3� + 𝐶𝐶𝑠𝑠 ∙ �𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑑𝑑′� + 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ �𝑑𝑑 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑝𝑝� = 5.786 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑐𝑐
∅𝑦𝑦2𝑓𝑓 =𝜀𝜀𝑦𝑦𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 = 0.01086
1𝑐𝑐
ANEXO A 139
ANEXO B 140
ANEXO B
MÉTODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD – FEMA 440
En este anexo se desarrolla en forma manual el cálculo del desempeño de la estructura bajo el
procedimiento que da el FEMA 440.
1. Transformación de la Curva de Capacidad al Espectro de Capacidad
a. Curva de capacidad
D (m) (V) tonf D (m) (V) tonf D (m) (V) tonf
0 0 0.086521 2101.65 0.175288 2554.25 0.009365 558.89 0.097515 2193.12 0.185265 2579.96 0.019427 1118.81 0.108522 2256.65 0.199523 2605.19 0.031021 1430.38 0.119892 2331.99 0.216525 2627.26 0.042652 1634.26 0.131258 2389.36 0.232258 2581.24 0.053289 1773.49 0.143002 2442.69 0.237856 1688.39 0.065761 1903.51 0.152896 2496.76 0.248639 1466.61 0.075134 2012.33 0.168523 2529.93 0.253225 1405.23
b. Curva de capacidad en formato ADRS
PARAMETROS DE TRANSFORMACION A LA CURVA ADRS
PF1 1.934813 Factor de participación modal
α1 1.517585 Coeficiente de masas modal
ϕtope,1 1 Amplitud del modo predominante en el nivel superior W 4400 tonf Peso sísmico
Usando las fórmulas:
Se tienen las siguientes graficas
ANEXO B 141
2. Demanda sísmica: Diseño
a. Espectro de respuesta en formato ADRS
Usando los siguientes algoritmos:
ANEXO B 142
ANEXO B 143
b. Representación Bilineal del Espectro de Capacidad
Curva Bilineal:
ANEXO B 144
ANEXO B 145
c. Reducción de la demanda por efectos no lineales
Periodo efectivo
Amortiguamiento efectivo
ANEXO B 146
d. Punto de desempeño.
Se determina mediante la proyección de la recta Teff el espectro de demanda reducida.
Punto de desempeño para sismo frecuente X’-
ANEXO C 147
ANEXO C
MOMENTO CURVATURA
Se procederá a determinar la gráfica de momento curvatura de las secciones de concreto
armado con el software XTRACT la cual es una herramienta de investigación de la Universidad
de California en Berkeley Estados Unidos.
Además, se procederá a comparar inicialmente la gráfica momento curvatura que se obtiene de la
aplicación ETABS, y la obtenida manualmente para validar el uso del software XTRACT.
1. MATERIALES CONSTITUTIVOS
1.1. Modelo Mander para concreto no confinado
Para este caso se ha considerado el modelo de Mander para concreto no confinado, para lo
cual se ha predispuesto las siguientes características, cabe recalcar que es el mismo modelo para
el concreto no confinado que se usara para todas las demás secciones de vigas y columnas.
PARAMETROS CONCRETO MANDER NO CONFINADO
f'c 210 kg/cm² = 20593.965 kPa Resistencia a la compresión del concreto
ft 0 kg/cm² = 0 kPa Resistencia a la tracción del concreto
ϵco 0.002 Deformación unitaria de la resistencia máx. del concreto No confinado
Ec 217370.651 kg/cm² = 21316779 kPa Módulo de elasticidad del concreto
ϵcy 0.000435 Deformación de fluencia correspondiente a 0.45f'c
ϵao 0.002 Deformación unitaria inicial de aplastamiento
ϵaf 0.004 Deformación unitaria final de aplastamiento
ϵsp 0.005 Deformación unitaria de desprendimiento del concreto
ANEXO C 148
1.2. Modelo Mander para concreto confinado
En este caso primero debemos determinar los siguientes parámetros como la resistencia a la
compresión máxima del concreto confinado, deformación unitaria en el punto de mayor esfuerzo,
entre otros; por tal motivo se detallará la obtención de estos valores en el caso de la viga V1
(30x60), y luego se mostrará un cuadro resumen de las demás secciones.
ANEXO C 149
ANEXO C 150
ANEXO C 151
ANEXO C 152
Así obtenemos los siguientes parámetros:
PARAMETROS CONCRETO MANDER CONFINADO V1(30x60)
Øtrans 3/8'' Acero de refuerzo transversal
S 15 cm Espaciamiento del acero de refuerzo transversal
f'cc 273 kg/cm² = 26772.1545 kPa Resistencia a la compresión máxima del
concreto confinado
ϵcc 0.005 Deformación unitaria en el punto de mayor
esfuerzo a la compresión en caso de concreto confinado
ϵcu 0.01199 < 0.02 Deformación unitaria última en caso de concreto confinado
ANEXO C 153
A continuación, el cuadro resumen:
PARAMETROS DE CONCRETO CONFINADO MODELO MANDER CONFINADO
VIGAS COLUMNAS
V1
(3
0x6
0)
V1
*(3
0x6
0)
V2
(3
0x2
0)
V3
(3
0x2
0)
V4
(6
0x3
0)
C1
(3
0X
30
)
C2
(5
5X
30
)
C3
(D
=50
cm)
Øtrans 3/8'' 3/8'' 3/8'' 3/8'' 3/8'' 3/8'' 3/8'' 3/8'' Acero de refuerzo transversal
S (cm) 15 15 10 15 10 10 10 10 Espaciamiento del acero de
refuerzo transversal
f'cc (kg/cm²)
273 273 390.6 348.6 306.6 359.1 315 281.313 Resistencia a la compresión
máxima del concreto confinado
ϵcc 0.005 0.005 0.0106 0.0086 0.0066 0.0091 0.007 0.00539
6
Deformación unitaria en el punto de mayor esfuerzo a la compresión
en caso de concreto confinado
ϵcu 0.01199 0.01199 0.02865 0.02043 0.01598 0.02097 0.01636 0.0127 Deformación unitaria última en
caso de concreto confinado
1.3. Acero de refuerzo
El modelo matemático a emplear en el caso del acero será de Park & Paulay, el cual es del
tipo parabólico considerando el fenómeno de endurecimiento por deformación, los parámetros en
caso del acero de refuerzo ASTM 615 Grado 60 son:
PARAMETROS ACERO DE REFUERZO ASTM 615 GRADO 60
fy 4200 kg/cm² = 411879.3 kPa Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo
fu 6300 kg/cm² = 617820 kPa Esfuerzo último del acero de refuerzo
Ølong 5/8'' Acero longitudinal de refuerzo
ϵy 0.0021 Deformación unitaria a fluencia del acero de refuerzo
ϵsh 0.0105 Deformación unitaria al inicio del endurecimiento por deformación del acero
ϵsu 0.09 Deformación unitaria última del acero de refuerzo
Ey 2000000 kg/cm² = 196133000 kPa Módulo del acero de refuerzo
El valor de la deformación unitaria última del acero de refuerzo se obtuvo de la tabla de
Deformación última para varillas de refuerzo de Otazzi Pasino, 2008.
DEFORMACION ULTIMA PARA VARILLAS DE REFUERZO (ϵsu) DESIGNACION A615 A706
Barras 3/8'', 1/2'', 5/8'' y 3/4'' 0.09 0.14
Barras 1'' 0.08 0.12
Barras 1 3/8'' 0.07 0.12
ANEXO C 154
2. MOMENTO CURVATURA
2.1. VIGA V1 (30x60)
2.1.1. Momento curvatura obtenida con el software XTRACT
Se obtuvieron los siguientes valores, debe acotarse que una de las ventajas del software
XTRACT es la posibilidad de lograr también obtener la curva bilinealizada, la cual es:
XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 16.8406 0.0172 21.4472 0.1261 0 0
1.9641 0.0007 17.2922 0.0271 21.8386 0.136 18.0249 0.0066 4.0546 0.0015 17.9546 0.037 22.0293 0.1459 22.8221 0.2047 6.0929 0.0022 18.6471 0.0469 22.1698 0.1558 8.0178 0.0029 19.3898 0.0568 22.3906 0.1657
10.0461 0.0037 19.9217 0.0667 22.511 0.1756 12.0032 0.0044 19.8916 0.0766 22.6916 0.1855
ANEXO C 155
13.9602 0.0051 20.0321 0.0865 22.7318 0.1954 14.3817 0.0059 20.4636 0.0964 22.8221 0.2047 14.7732 0.0066 20.8851 0.1063 15.0742 0.0073 21.1762 0.1162
2.1.2. Momento curvatura obtenido con software ETABS
El software ETABS dispone de una útil herramienta llamada Section Designer que permite
graficar directamente la sección de concreto a ser analizada, permitiéndonos además la obtención
de la gráfica momento curvatura, del cual se obtuvieron los siguientes valores:
ETABS Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0.0000 0.0000 23.0762 0.1380
13.8454 0.0040 23.7291 0.1640 17.3238 0.0110 23.8796 0.1920 18.1114 0.0190 14.9346 0.2220 18.8411 0.0300 6.4667 0.2540 19.6772 0.0430 6.5401 0.2880 20.3539 0.0580 6.6323 0.324 21.1051 0.0750 6.7397 0.362 21.9006 0.0940 5.1504 0.403 22.4803 0.1150 4.8959 0.408
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAV1 (30x60)
XTRACT
XTRACT BILINEAL
ANEXO C 156
2.1.3. Comparación de las gráficas de momento curvatura
Se grafica conjuntamente las gráficas obtenidas para compararlas, se aprecia que la gráfica
momento curvatura obtenida con el programa XTRACT tiene valores de momento ligeramente
menores que los obtenidos por el programa ETABS, así mismo, ETABS presenta además la
evolución de la capacidad a momento llegando hasta valores residuales los cuales no se
obtuvieron con el programa XTRACT, dado que está explícitamente limitado hasta el valor de la
deformación ultima del concreto en el modelo de Mander confinado.
0
5
10
15
20
25
30
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAV1 (30x60)
ETABS
02468
1012141618202224
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4 0.44
ton
f-m
rad/m
COMPARACIÓN GRÁFICAS MOMENTO CURVATURA V1 (30x60)
XTRACT
XTRACT BILINEAL
ETABS
ANEXO C 157
2.2. VIGA V1* (30x60)
2.2.1. Momento curvatura obtenido con software XTRACT
XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0.0000 0.0000 26.2043 0.0580 0.0000 0.0000 2.2682 0.0006 26.7362 0.0666 24.6587 0.0066 4.6136 0.0012 27.3484 0.0752 31.2926 0.1808 6.9129 0.0018 27.7900 0.0839
9.2232 0.0025 28.2617 0.0925
11.5215 0.0031 28.7233 0.1011
13.7595 0.0037 29.2553 0.1098
15.9675 0.0043 29.3355 0.1184
18.1854 0.0049 29.7571 0.1270
20.3131 0.0055 30.0481 0.1357
21.1662 0.0061 30.3291 0.1443
24.0766 0.0148 30.5800 0.1530
24.3075 0.0234 30.8711 0.1616
25.1405 0.0321 31.0919 0.1702
25.9433 0.0407 31.2524 0.1789
26.7061 0.0493 31.2926 0.1808
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA V1* (30x60)
XTRACT BILINEAL
XTRACT
ANEXO C 158
2.2.2. Momento curvatura obtenido con software ETABS
ETABS
Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0.0000 0.0000 23.2116 0.1380
13.8809 0.0040 23.6497 0.1640
17.3103 0.0110 24.1235 0.1920
18.1197 0.0190 17.4254 0.2220
18.9384 0.0300 7.1309 0.2540
19.8641 0.0430 7.2347 0.2880
20.6187 0.0580 7.3285 0.3240
21.4395 0.0750 7.4454 0.3620
22.3069 0.0940 6.2191 0.4030
22.7975 0.1150 5.6937 0.4130
0
5
10
15
20
25
30
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA V1* (30x60)
ETABS
ANEXO C 159
2.2.3. Comparación de las gráficas de momento curvatura
Procedemos a hacer la comparación y observamos que la curva de momento curvatura
proporcionada por ETABS es muy inferior a los valores obtenidos con el software XTRACT.
Se procede a comparar las curvas de momento curvatura obtenidas con el software ETABS en
los casos de V1 (30x60) y V1*(30x60), las cuales distan por tener un número diferente de
varillas de acero longitudinal. Notamos que ETABS, con la herramienta Section Designer, no
discierne correctamente varillas de acero en más de una capa en el momento de calcular la curva
de momento curvatura, lo cual nos genera valores inferiores de resistencia a momento.
Se opta por consiguiente a obtener las siguientes graficas de momento curvatura exclusivamente
con el software XTRACT, el cual nos da valores más acertados.
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3 0.33 0.36 0.39 0.42 0.45
ton
f-m
rad/m
COMPARACION GRAFICAS MOMENTO CURVATURAV1* (30x60)
XTRACT BILINEAL
XTRACT
ETABS
ANEXO C 160
2.3. VIGAS V2 (30x20) / V3 (30x20) / V4 (60x30)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3 0.33 0.36 0.39 0.42 0.45
ton
f-m
rad/m
COMPARACION GRAFICAS MOMENTO CURVATURAV1 (30x60) Y V1* (30x60) EN ETABS
ETABS V1 (30x60)
ETABS V1*(30x60)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAVIGAS V2 / V3 / V4
XTRACT V2 (30x20)
XTRACT V3 (30x20)
XTRACT V4 (60x30)
ANEXO C 161
OMENTO CURVATURA VIGAS V2 (30x20) V3 (30x20) V4 (60x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.206 0.0023 1.7463 0.0196 0.206 0.0023 1.7553 0.0197 0.9114 0.0019 5.83 0.0122 0.4055 0.0046 2.1678 1.085 0.4055 0.0046 2.1487 1.087 1.7413 0.0037 6.9922 0.4923 0.6308 0.0069 0.6308 0.0069 2.6706 0.0056 0.8162 0.0091 0.8162 0.0091 3.5177 0.0074 1.0177 0.0114 1.0177 0.0114 4.4219 0.0093 1.2234 0.0137
1.2234 0.0137
5.286 0.0111
1.4301 0.016 1.4301 0.016 5.555 0.013 1.6289 0.0183 1.6289 0.0183 5.567 0.0149 1.8035 0.0206 1.8035 0.0206 5.6543 0.0167 1.9851 0.0229 1.9851 0.0229 5.6553 0.0186 2.3103 0.076 2.3113 0.0761 5.9424 0.0422 1.7202 0.1292 1.7142 0.1293 6.3669 0.0659 1.5466 0.1823 1.5375 0.1825 6.7613 0.0896 1.5957 0.2354 1.6128 0.2357 6.9791 0.1133 1.664 0.2886
1.681 0.2889
5.6262 0.137
1.7473 0.3417 1.7252 0.3421 5.6293 0.1606 1.8226 0.3949 1.7924 0.3953 5.8079 0.1843 1.8657 0.448 1.8567 0.4485 5.9926 0.208 1.9209 0.5012 1.9079 0.5017 6.102 0.2317 1.9721 0.5543 1.9731 0.5549 6.2676 0.2554 2.0163 0.6074 2.0132 0.6081 6.404 0.279 2.0233 0.6606 2.0454 0.6614 6.5034 0.3027 2.0564 0.7137 2.0554 0.7146 6.6158 0.3264 2.0965 0.7669 2.0765 0.7678 6.7212 0.3501 2.1236 0.82 2.1206 0.821 6.7784 0.3738 2.1267 0.8732 2.1206 0.8742 6.8266 0.3974 2.1397 0.9263 2.1297 0.9274 6.8777 0.4211 2.1628 0.9794 2.1507 0.9806 6.942 0.4448 2.1658 1.033 2.1497 1.034 6.9881 0.4685 2.1678 1.085 2.1487 1.087 6.9932 0.4922
2.1487 1.087 6.9922 0.4923
ANEXO C 162
2.4. COLUMNA C1 (30x30)
2.4.1. Momento curvatura obtenido del software XTRACT
Dado que en el caso de las columnas estas están sometidas a una carga axial, la gráfica de
momento curvatura también estará en función de ella. Por lo tal, y debido a la demanda del
software ETABS de insertar por lo menos gráficas de momento curvatura para 2 cargas axiales
diferentes, para que logre una interpolación para valores intermedios, se han obtenido valores
con cargas axiales de P=0tonf y P=50tonf de compresión. Además, la dirección de la fuerza
aplicada Pushover no tiene necesariamente un ángulo ortogonal, por tal motivo se ha analizado la
sección a razón de 45º alrededor de todo su eje, considerando su respectiva simetría.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAVIGAS V2 / V3 / V4
XTRACT BILINEAL V2 (30x20)
XTRACT BILINEAL V3 (30x20)
XTRACT BILINEAL V4 (60x30)
ANEXO C 163
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf / 0º/90º/180º/270º C1 (30x30)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf / 0º/90º/180º/270º C1 (30x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL
Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m
0 0 7.0975 0.0403 8.1824 0.3469 0 0 0 0 8.3781 0.0142 9.0205 0.1384 0 0
0.5512 0.0012 7.0815 0.0682 8.2918 0.3747 6.8306 0.0151 0.4387 0.0003 10.0562 0.0255 9.0937 0.1497 8.6582 0.0058
1.1542 0.0025 6.5415 0.0961 8.4123 0.4026 8.6873 0.5681 0.877 0.0006 10.4476 0.0368 9.16 0.161 9.3486 0.2289
1.7312 0.0037 6.6329 0.1239 8.5176 0.4305 1.3147 0.0009 8.6873 0.0481 9.2011 0.1723
2.2541 0.005 6.9179 0.1518 8.5749 0.4583 1.7483 0.0012 8.7284 0.0594 9.1971 0.1836
2.8272 0.0062 7.1507 0.1797 8.6481 0.4862
2.1798 0.0015 8.7134 0.0707 9.2242 0.1949
3.3681 0.0075 7.3525 0.2075 8.6682 0.5141 2.6094 0.0017 8.7154 0.0819 9.2683 0.2062
3.9352 0.0087 7.5893 0.2354 8.7093 0.5419 2.9386 0.002 8.7997 0.0932 9.3095 0.2174
4.446 0.01 7.7469 0.2633 8.6873 0.5681 3.2326 0.0023 8.905 0.1045 9.3486 0.2287
4.9659 0.0112 7.8553 0.2911 3.4916 0.0026 9.0054 0.1158 9.3486 0.2289
5.4817 0.0125 8.052 0.319 3.7093 0.0029 9.0285 0.1271
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf / 45º/135º/225º/315º C1 (30x30)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf / 45º/135º/225º/315º C1 (30x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL
Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m
0 0 6.6509 0.0203 6.9149 0.1654 0 0 0 0 6.9069 0.0101 8.4253 0.0979 0 0
0.3541 0.0007 7.3233 0.0335 7.0233 0.1786 6.2405 0.0129 0.3179 0.0002 8.891 0.0181 8.4865 0.1059 8.2045 0.0054
0.6927 0.0014 6.953 0.0467 7.1005 0.1918 7.5201 0.2713 0.6357 0.0004 9.4851 0.026 8.5287 0.1138 8.6712 0.1616
1.0608 0.0021 6.5516 0.0599 7.1487 0.205 0.9525 0.0006 8.9783 0.034 8.5427 0.1218
1.4181 0.0028 6.5516 0.0731 7.1949 0.2181 1.2686 0.0008 8.6953 0.042 8.5468 0.1298
1.7272 0.0036 6.4432 0.0863 7.2902 0.2313
1.5827 0.001 8.5136 0.05 8.5688 0.1378
2.0825 0.0043 6.4843 0.0995 7.3585 0.2445 1.8958 0.0013 8.4313 0.058 8.615 0.1458
2.4187 0.005 6.5877 0.1126 7.4337 0.2577 2.1839 0.0015 8.4424 0.066 8.6551 0.1538
2.767 0.0057 6.6449 0.1258 7.518 0.2709 2.4448 0.0017 8.3852 0.0739 8.6712 0.1616
3.0881 0.0064 6.7423 0.139 7.5201 0.2713 2.6756 0.0019 8.3832 0.0819
3.3872 0.0071 6.8416 0.1522 2.8914 0.0021 8.3601 0.0899
ANEXO C 164
0
2
4
6
8
10
12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAC1 (30x30)
XTRACT P=0 0º/90º/180º/270º
XTRACT P=50 0º/90º/180º/270º
XTRACT P=0 45º/135º/225º/315º
XTRACT P=50 45º/135º/225º/315º
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA BILINEALC1 (30x30)
XTRACT BILINEAL P=0 0º/90º/180º/270º
XTRACT BILINEAL P=50 0º/90º/180º/270º
XTRACT BILINEAL P=0 45º/135º/225º/315º
XTRACT BILINEAL P=50 45º/135º/225º/315º
ANEXO C 165
2.5. COLUMNA C2 (55x30)
A continuación, se resume el momento curvatura de la columna C2 para diferentes ángulos de dirección.
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf / 90º/270º C2 (55x30)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf / 90º/270º C2 (55x30)
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf / 0º/180º C2 (55x30)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf / 0º/180º C2 (55x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL
Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m
0 0 9.2483 0.0384 10.8089 0.3043 0 0 0 0 13.8599 0.023 13.9402 0.2181 0 0 1.0066 0.0014 9.4881 0.0626 10.9996 0.3285 9.0716 0.0128 1.4783 0.0005 13.8398 0.0407 14.1108 0.2359 12.4749 0.0065 2.0142 0.0028 9.714 0.0867 11.12 0.3527 11.5616 0.4978 2.9135 0.001 13.7394 0.0585 14.2914 0.2536 14.723 0.3597 3.045 0.0043 9.0907 0.1109 11.2505 0.3769 3.8488 0.0016 12.8663 0.0762 14.4119 0.2714
4.0215 0.0057 8.8789 0.1351 11.3609 0.401 4.4821 0.0021 12.495 0.0939 14.3015 0.2891
5.0341 0.0071 9.2513 0.1593 11.4913 0.4252
5.0261 0.0026 12.7158 0.1117 14.4119 0.3069
6.0126 0.0085 9.5323 0.1834 11.5215 0.4494 5.4737 0.0031 12.9867 0.1294 14.5022 0.3246 6.9811 0.0099 9.8635 0.2076 11.5415 0.4736 5.9213 0.0037 13.1975 0.1472 14.6326 0.3423 7.8944 0.0114 10.0963 0.2318 11.5616 0.4977 6.3258 0.0042 13.4183 0.1649 14.723 0.3597 8.7264 0.0128 10.3673 0.256 11.5616 0.4978 6.7523 0.0047 13.5889 0.1827 8.8629 0.0142 10.5881 0.2802 7.1226 0.0052 13.7997 0.2004
MOMENTO CURVATURA
P=100 tonf / 0º/180º C2 (55x30) MOMENTO CURVATURA
P=150 tonf / 0º/180º C2 (55x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL
Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m
0 0 15.6062 0.0154 15.4556 0.1578 0 0 0 0 13.4082 0.0084 15.9775 0.0982 0 0 0.644 0.0002 17.6435 0.0283 15.5459 0.1708 14.8334 0.0055 0.0723 0 17.503 0.0166 15.9373 0.1063 16.0277 0.0064
1.2876 0.0005 17.7639 0.0413 15.6363 0.1838 16.1481 0.2614 0.1445 0.0001 19.9618 0.0248 15.9273 0.1145 16.118 0.1639 1.9289 0.0007 14.8635 0.0542 15.7467 0.1967 0.217 0.0001 16.6599 0.0329 15.9273 0.1226
2.5692 0.001 14.8836 0.0672 15.8571 0.2097 0.2892 0.0001 15.9273 0.0411 15.9675 0.1308
3.2055 0.0012 14.8836 0.0801 15.9373 0.2226
0.361 0.0001 15.8872 0.0492 16.0076 0.139
3.8388 0.0014 14.9337 0.0931 16.0076 0.2356 0.4339 0.0002 15.9273 0.0574 16.0477 0.1471 4.4691 0.0017 15.014 0.106 16.0678 0.2485 0.5056 0.0002 16.0176 0.0655 16.0778 0.1553 5.0943 0.0019 15.1545 0.119 16.1481 0.2614 0.5783 0.0002 16.0277 0.0737 16.118 0.1634 5.6594 0.0022 15.2449 0.1319 0.65 0.0003 16.0076 0.0819 16.118 0.1639 6.11 0.0024 15.3552 0.1449 0.7228 0.0003 15.9976 0.09
ANEXO C 166
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 17.4628 0.0157 19.8715 0.1106 0 0 0 0 22.8924 0.0093 24.6386 0.0821 0 0
1.5395 0.0007 18.1252 0.0244 20.1124 0.1192 17.3324 0.0079 2.49 0.0003 25.4114 0.0159 24.8093 0.0888 23.1232 0.0035 3.1082 0.0014 18.8277 0.033 20.2729 0.1278 21.4371 0.1805 4.9438 0.0005 26.2244 0.0225 24.9397 0.0954 25.8129 0.135 4.726 0.0021 19.179 0.0416 20.4937 0.1364 6.6098 0.0008 25.8932 0.0292 25.0903 0.102
6.3298 0.0028 17.9446 0.0502 20.7045 0.1451
7.77 0.0011 23.8458 0.0358 25.2509 0.1086
7.8262 0.0036 18.2456 0.0589 20.9253 0.1537 8.6571 0.0013 23.7755 0.0424 25.4014 0.1153 9.3075 0.0043 18.4363 0.0675 21.0558 0.1623 9.4279 0.0016 23.8558 0.049 25.4917 0.1219
10.8892 0.005 18.7475 0.0761 21.2464 0.1709 10.1666 0.0019 24.0465 0.0556 25.7225 0.1285 12.3143 0.0057 19.0285 0.0847 21.4271 0.1795 10.829 0.0021 24.1268 0.0623 25.8129 0.135 13.3581 0.0064 19.3396 0.0933 21.4371 0.1805 11.4512 0.0024 24.3476 0.0689 14.0204 0.0071 19.6106 0.102 12.0433 0.0027 24.458 0.0755
MOMENTO CURVATURA P=100 tonf / 90º/270º C2 (55x30)
MOMENTO CURVATURA P=150 tonf / 90º/270º C2 (55x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 23.344 0.0059 28.3018 0.0572 0 0 0 0 22.1497 0.0039 29.3757 0.0447 0 0
1.11 0.0001 29.0545 0.0106 28.2918 0.0618 27.5792 0.0031 0.1241 0 28.9943 0.0076 29.2252 0.0484 29.6968 0.0036 2.219 0.0002 30.8209 0.0152 28.362 0.0665 28.7133 0.0944 0.2483 0 32.6174 0.0113 29.2151 0.0521 29.175 0.0743 3.325 0.0004 31.1722 0.0199 28.4423 0.0712 0.3727 0 33.7113 0.015 29.195 0.0558
4.4289 0.0005 28.2617 0.0246 28.5327 0.0758
0.4969 0.0001 31.0216 0.0187 29.2252 0.0595
5.5269 0.0006 28.071 0.0292 28.5728 0.0805 0.6202 0.0001 30.0883 0.0224 29.2452 0.0632 6.6248 0.0007 28.1513 0.0339 28.6129 0.0851 0.7453 0.0001 29.8273 0.0261 29.2352 0.0669 7.7117 0.0009 28.1513 0.0385 28.6431 0.0898 0.8686 0.0001 29.6768 0.0298 29.2051 0.0706 8.7956 0.001 28.2717 0.0432 28.7133 0.0944 0.9934 0.0001 29.5563 0.0335 29.175 0.0743 9.8013 0.0011 28.342 0.0479 1.117 0.0001 29.466 0.0373
10.6483 0.0013 28.2918 0.0525 1.2415 0.0002 29.4158 0.041
ANEXO C 167
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf / 45º/135º/225º/315º C2 (55x30)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf / 45º/135º/225º/315º C2 (55x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 13.3982 0.0118 14.9438 0.0838 0 0 0 0 15.5058 0.0075 18.8277 0.0643 0 0
0.7766 0.0005 14.743 0.0184 15.0542 0.0903 13.7997 0.0088 1.394 0.0002 18.8779 0.0126 18.908 0.0695 18.1353 0.0036 1.6329 0.0011 15.1445 0.0249 15.1144 0.0968 15.9173 0.1357 2.785 0.0005 20.0521 0.0178 18.9482 0.0747 19.3898 0.1056 2.508 0.0016 14.9638 0.0314 15.285 0.1034
4.0235 0.0007 20.2428 0.023 19.0184 0.0799
3.2728 0.0021 14.6126 0.038 15.4456 0.1099 4.9629 0.0009 19.6708 0.0281 19.1088 0.085 4.1198 0.0026 14.4721 0.0445 15.556 0.1165 5.7015 0.0011 19.2794 0.0333 19.2192 0.0902 4.9277 0.0032 14.4018 0.0511 15.6563 0.123 6.3388 0.0014 18.9783 0.0385 19.2693 0.0954 5.7326 0.0037 14.442 0.0576 15.7868 0.1295 6.8396 0.0016 18.9582 0.0437 19.3195 0.1005 6.5004 0.0042 14.6025 0.0641 15.9173 0.1357 7.3796 0.0018 18.8277 0.0488 19.3898 0.1056 7.224 0.0047 14.6929 0.0707 7.8151 0.0021 18.7876 0.054 8.0359 0.0053 14.8635 0.0772 8.2266 0.0023 18.8277 0.0592
MOMENTO CURVATURA
P=100 tonf / 45º/135º/225º/315º C2 (55x30) MOMENTO CURVATURA
P=150 tonf / 45º/135º/225º/315º C2 (55x30)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 16.3087 0.0054 21.7583 0.0516 0 0 0 0 15.3753 0.0037 22.792 0.0431 0 0
0.6908 0.0001 20.8651 0.0096 21.7282 0.0558 21.1762 0.0037 0.0762 0 20.7747 0.0073 22.792 0.0467 22.8823 0.0043 1.381 0.0002 22.8623 0.0138 21.7282 0.06 21.9992 0.0853 0.1523 0 23.7555 0.0109 22.7418 0.0502 22.6314 0.0717 2.0704 0.0004 23.6752 0.018 21.7784 0.0642
0.2287 0 25.0702 0.0145 22.7117 0.0538
2.7579 0.0005 23.0429 0.0222 21.8386 0.0684 0.3049 0.0001 24.6688 0.018 22.6716 0.0574 3.4444 0.0006 22.3504 0.0264 21.8988 0.0726 0.3806 0.0001 23.8558 0.0216 22.6314 0.061 4.1279 0.0007 22.0293 0.0306 21.9189 0.0768 0.4573 0.0001 23.4644 0.0252 22.6415 0.0645 4.8103 0.0008 21.8787 0.0348 21.949 0.081 0.533 0.0001 23.2236 0.0288 22.6415 0.0681 5.4887 0.001 21.7282 0.039 21.9992 0.0852 0.6096 0.0001 23.1132 0.0323 22.6314 0.0717 6.1461 0.0011 21.7583 0.0432 21.9992 0.0853 0.6852 0.0001 23.0028 0.0359 6.7613 0.0012 21.7984 0.0474 0.7622 0.0001 22.8723 0.0395
ANEXO C 168
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 0.0250.050.075 0.1 0.1250.150.175 0.2 0.2250.250.275 0.3 0.3250.350.375 0.4 0.4250.450.475 0.5 0.525
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA0º/180º
C2 (55x30)
XTRACT P=0 / 0º/180ºXTRACT BILINEAL P=0 / 0º/180ºXTRACT P=50 / 0º/180ºXTRACT BILINEAL P=50 / 0º/180ºXTRACT P=100 / 0º/180ºXTRACT BILINEAL P=100 / 0º/180ºXTRACT P=150 / 0º/180ºXTRACT BILINEAL P=150 / 0º/180º
02468
10121416182022242628303234
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA90º/270º
C2 (55x30)
XTRACT P=0 / 90º/270º
XTRACT BILINEAL P=0 / 90º/270º
XTRACT P=50 / 90º/270º
XTRACT BILINEAL P=50 / 90º/270º
XTRACT P=100 / 90º/270º
XTRACT BILINEAL P=100 / 90º/270º
XTRACT P=100 / 90º/270º
XTRACT BILINEAL P=100 / 90º/270º
ANEXO C 169
2.6. . COLUMNA C3 (D=50cm)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURA45º/135º/225º/315º C2 (55x30)
XTRACT P=0 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT BILINEAL P=0 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT P=50 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT BILINEAL P=50 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT P=100 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT BILINEAL P=100 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT BILINEAL P=150 / 45º/135º/225º/315º
XTRACT P=150 / 45º/135º/225º/315º
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22
ton
f-m
rad/m
MOMENTO CURVATURAC3 (D=50cm)
XTRACT C3 (D=50cm) P=0XTRACT BILINEAL C3 (D=50cm) P=0XTRACT C3 (D=50cm) P=50XTRACT BILINEAL C3 (D=50cm) P=50XTRACT C3 (D=50cm) P=100XTRACT BILINEAL C3 (D=50cm) P=100XTRACT C3 (D=50cm) P=150XTRACT BILINEAL C3 (D=50cm) P=150
ANEXO C 170
MOMENTO CURVATURA P=0 tonf C3 (D=50cm)
MOMENTO CURVATURA P=50 tonf C3 (D=50cm)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 12.1035 0.0178 13.5688 0.1267 0 0 0 0 17.2922 0.0097 18.7274 0.0826 0 0
1.0809 0.0008 12.3444 0.0277 13.7896 0.1366 11.7121 0.0086 2.1196 0.0003 18.898 0.0164 18.7976 0.0892 17.794 0.0039 2.1558 0.0016 12.515 0.0376 14.0104 0.1465 14.8735 0.2058 4.1038 0.0006 19.6908 0.023 18.8478 0.0959 19.45 0.1358 3.2838 0.0024 12.8362 0.0475 14.1208 0.1564 5.4034 0.0009 19.6708 0.0296 18.888 0.1025
4.2664 0.0032 12.7258 0.0574 14.2513 0.1663
6.3067 0.0012 19.3195 0.0362 19.0686 0.1091
5.3844 0.004 12.5552 0.0673 14.442 0.1762 7.0755 0.0016 18.5166 0.0429 19.1188 0.1157 6.4382 0.0047 12.6656 0.0772 14.5825 0.1861 7.6756 0.0019 18.3761 0.0495 19.2292 0.1223 7.4899 0.0055 12.7057 0.0871 14.6728 0.196 8.2627 0.0022 18.356 0.0561 19.3998 0.129 8.4825 0.0063 12.9968 0.097 14.8735 0.2058 8.7555 0.0025 18.4363 0.0627 19.4399 0.1356 9.3456 0.0071 13.1674 0.1069 9.2463 0.0028 18.6069 0.0694 19.45 0.1358
10.0562 0.0079 13.3179 0.1168 9.6959 0.0031 18.6371 0.076
MOMENTO CURVATURA P=100 tonf C3 (D=50cm)
MOMENTO CURVATURA P=150 tonf C3 (D=50cm)
XTRACT XTRACT BILINEAL XTRACT XTRACT BILINEAL Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx Mxx Kxx
tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m tonf-m rad/m 0 0 17.8843 0.0061 22.3504 0.0545 0 0 0 0 17.5732 0.0041 24.167 0.0425 0 0
1.107 0.0002 22.2601 0.0105 22.3906 0.0589 22.2902 0.0034 0.3834 0.0001 22.511 0.0076 24.0766 0.046 24.8996 0.0041 2.213 0.0003 23.8859 0.0149 22.3605 0.0633 22.4909 0.0899 0.7663 0.0001 25.8028 0.0111 24.0365 0.0494 23.8057 0.0705 3.3159 0.0005 24.3476 0.0193 22.4006 0.0677 1.1491 0.0002 27.4488 0.0146 23.9763 0.0529
4.4139 0.0007 24.6386 0.0237 22.4006 0.0721
1.5335 0.0003 27.78 0.0181 23.9462 0.0564
5.5058 0.0009 24.0064 0.0281 22.4508 0.0765 1.9149 0.0003 27.0473 0.0216 23.916 0.0599 6.5897 0.001 23.0028 0.0325 22.4608 0.0809 2.2993 0.0004 25.3914 0.025 23.8759 0.0634 7.5602 0.0012 22.6816 0.0369 22.4909 0.0853 2.6786 0.0004 24.7892 0.0285 23.8558 0.0669 8.3872 0.0014 22.5913 0.0413 22.4809 0.0897 3.061 0.0005 24.5182 0.032 23.8057 0.0704 9.1268 0.0015 22.4608 0.0457 22.4909 0.0899 3.4444 0.0006 24.3376 0.0355 23.8057 0.0705 9.7491 0.0017 22.3605 0.0501 3.8218 0.0006 24.2372 0.039
ANEXO D 171
ANEXO D
MOMENTO ROTACIÓN
Se procederá a calcular las gráficas de Momento-rotación a partir de las gráficas obtenidas
previamente de Momento-curvatura, las cuales seguirán el criterio de la FEMA 356 para obtener
una curva idealizada de tramos rectos para usos aplicativos en softwares de análisis no lineal, la
cual indica lo siguiente:
El punto B esta defino por el momento de fluencia y el giro de fluencia.
El punto C se define por una sobre resistencia con respecto de la coordenada B y corresponde a
la capacidad máxima resistente de la rótula, el giro se define por una ductilidad con respecto de
la coordenada B.
El punto D está definido por el 40% del momento en C y el giro es igual que C.
El punto E está definida por el momento de la coordenada D, pero el giro aumenta en 10%
respecto del giro de la coordenada D.
Para la conversión de la gráfica de Momento-curvatura a Momento-rotación se multiplicarán los
valores de la curvatura por la longitud plástica, el cual corresponde a 0.5 el valor del peralte
según el criterio de Park y Paulay.
1. VIGA V1 (30x60)
De la curva bilinealizada de Momento-curvatura obtenida en el Anexo C, tenemos:
Momento Curvatura
tonf-m rad/m
0.000 0.000
18.025 0.007
22.822 0.205
ANEXO D 172
Considerando el valor de Longitud plástica de 0.5h=0.5(0.60) =0.30m, y aplicando
simultáneamente los criterios de la FEMA 356, se tiene:
Momento Rotación Momento
normalizado tonf-m rad
A 0.000 0.000
B 18.025 0.002 1.00
C 22.822 0.061 1.27
D 9.129 0.061 0.51
E 9.129 0.068 0.51
Cuya gráfica es la siguiente:
0
5
10
15
20
25
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225
Mom
ento
(to
nf-
m)
Curvatura (rad/m)
MOMENTO CURVATURAV1 (30x60)
A
B
C
DE
0
5
10
15
20
25
0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080
Mom
eto
(ton
f-m
)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIÓNV1 (30x60)
ANEXO D 173
2. VIGAS V1* (30x60) /V2 (30x20) /V3 (30x20) /V4 (60x30)
V1*(30x60) V2 (30x20)
Momento Curvatura Momento Rotación Momento
normalizado Momento Curvatura Momento Rotación
Momento normalizado
tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad 0 0 A 0 0
0 0 A 0 0
24.659 0.007 B 24.659 0.002 1 1.746 0.02 B 1.746 0.002 1 31.293 0.181 C 31.293 0.054 1.27 2.168 1.085 C 2.168 0.109 1.24
D 12.517 0.054 0.51 D 0.867 0.109 0.5
E 12.517 0.06 0.51 E 0.867 0.119 0.5
V3 (30X20) V4 (60x30)
Momento Curvatura Momento Rotación Momento
normalizado Momento Curvatura Momento Rotación
Momento normalizado
tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad 0 0 A 0 0
0 0 A 0 0
1.755 0.02 B 1.755 0.002 1 5.83 0.012 B 5.83 0.002 1 2.149 1.087 C 2.149 0.109 1.22 6.992 0.492 C 6.992 0.074 1.20
D 0.859 0.109 0.49 D 2.797 0.074 0.48
E 0.859 0.12 0.49 E 2.797 0.081 0.48
A
B
C
D
E
C
D
E
C
DE
C
DE
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIÓNVIGAS V1*/ V2 / V3 / V4
Momento Rotación V1*(30x60)
Momento Rotación V4 (60x30)
Momento Rotación V3 (30x20)
Momento Rotación V2 (30x20)
ANEXO D 174
3. COLUMNA C1 (30x30)
De la curva bilinealizada de Momento-curvatura obtenida en el Anexo C, tenemos:
Considerando el valor de Longitud plástica de 0.5h=0.5(0.30) =0.15m, y aplicando
simultáneamente los criterios de la FEMA 356, se tiene:
C1 (30x30) 0º/90º/180º/270º C1 (30x30) 0º/90º/180º/270º
P=0 tonf P=0 tonf P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
6.831 0.015 B 6.831 0.002 1 8.658 0.006 B 8.658 0.001 1
8.687 0.568 C 8.687 0.085 1.27 9.349 0.229 C 9.349 0.034 1.08
D 3.475 0.085 0.51 D 3.739 0.034 0.43
E 3.475 0.094 0.51 E 3.739 0.038 0.43
C1 (30x30) 45º/135º/225º/315º C1 (30x30) 45º/135º/225º/315º
P=0 tonf P=0 tonf P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
6.24 0.013 B 6.24 0.002 1 8.205 0.005 B 8.205 0.001 1
7.52 0.271 C 7.52 0.041 1.21 8.671 0.162 C 8.671 0.024 1.06
D 3.008 0.041 0.48 D 3.468 0.024 0.42
E 3.008 0.045 0.48 E 3.468 0.027 0.42
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.008 0.016 0.024 0.032 0.04 0.048 0.056 0.064 0.072 0.08 0.088 0.096 0.104
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONC1 (30x30)
P=0tonf 0º/90º/180º/270ºP=50tonf 0º/90º/180º/270ºP=0tonf 45º/135º/225º/315ºP=50tonf 45º/135º/225º/315º
ANEXO D 175
4. COLUMNA C2 (55x30)
4.1. Ángulo 0º/180º
Momento Rotación C2 (55X30) 0º/180º Momento Rotación C2 (55X30) 0º/180º
P=0 tonf P=0 tonf
P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
9.072 0.013 B 9.072 0.002 1 12.475 0.006 B 12.475 0.001 1 11.562 0.498 C 11.562 0.075 1.27 14.723 0.36 C 14.723 0.054 1.18
D 4.625 0.075 0.51 D 5.889 0.054 0.47
E 4.625 0.082 0.51 E 5.889 0.059 0.47
Momento Rotación C2 (55X30) 0º/180º Momento Rotación C2 (55X30) 0º/180º
P=100 tonf P=100 tonf
P=150 tonf P=150 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
14.833 0.006 B 14.833 0.001 1 16.028 0.006 B 16.028 0.001 1 16.148 0.261 C 16.148 0.039 1.09 16.118 0.164 C 16.118 0.025 1.01
D 6.459 0.039 0.44 D 6.447 0.025 0.4
E 6.459 0.043 0.44 E 6.447 0.027 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.008 0.016 0.024 0.032 0.04 0.048 0.056 0.064 0.072 0.08 0.088
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONÁngulo 0º/180º
C2 (55x30)
P=0tonf 0º/180ºP=50tonf 0º/180ºP=100tonf 0º/180ºP=150tonf 0º/180º
ANEXO D 176
4.2. Ángulo 90º/270º
Momento Rotación C2 (55X30) 90º/270º Momento Rotación C2 (55X30) 90º/270º
P=0 tonf P=0 tonf
P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
17.332 0.008 B 17.332 0.002 1 23.123 0.004 B 23.123 0.001 1 21.437 0.181 C 21.437 0.05 1.24 25.813 0.135 C 25.813 0.037 1.12
D 8.575 0.05 0.49 D 10.325 0.037 0.45
E 8.575 0.055 0.49 E 10.325 0.041 0.45
Momento Rotación C2 (55X30) 90º/270º Momento Rotación C2 (55X30) 90º/270º
P=100 tonf P=100 tonf
P=150 tonf P=150 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
27.579 0.003 B 27.579 0.001 1 29.697 0.004 B 29.697 0.001 1 28.713 0.094 C 28.713 0.026 1.04 29.175 0.074 C 29.175 0.02 0.98
D 11.485 0.026 0.42 D 11.67 0.02 0.39
E 11.485 0.029 0.42 E 11.67 0.022 0.39
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONÁngulo 90º/270º
C2 (55x30)
P=0tonf 90º/270ºP=50tonf 90º/270ºP=100tonf 90º/270ºP=150tonf 90º/270º
ANEXO D 177
4.3. Ángulo 45º/135º/225º/315º
Momento Rotación C2 (55X30) 45º/135º/225º/315º Momento Rotación C2 (55X30) 45º/135º/225º/315º
P=0 tonf P=0 tonf
P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
13.8 0.009 B 13.8 0.001 1 18.135 0.004 B 18.135 0.001 1 15.917 0.136 C 15.917 0.02 1.15 19.39 0.106 C 19.39 0.016 1.07
D 6.367 0.02 0.46 D 7.756 0.016 0.43
E 6.367 0.022 0.46 E 7.756 0.017 0.43
Momento Rotación C2 (55X30) 45º/135º/225º/315º Momento Rotación C2 (55X30) 45º/135º/225º/315º
P=100 tonf P=100 tonf
P=150 tonf P=150 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
21.176 0.004 B 21.176 0.001 1 22.882 0.004 B 22.882 0.001 1 21.999 0.085 C 21.999 0.013 1.04 22.631 0.072 C 22.631 0.011 0.99
D 8.8 0.013 0.42 D 9.053 0.011 0.4
E 8.8 0.014 0.42 E 9.053 0.012 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024
Mom
ento
Nor
mal
izad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONÁngulo 45º/135º/225º/315º
C2 (55x30)
P=0tonf 45º/135º/225º/315º
P=50tonf 45º/135º/225º/315º
P=100tonf 45º/135º/225º/315º
P=150tonf 45º/135º/225º/315º
ANEXO D 178
5. COLUMNA C3 (D=50cm)
Momento Rotación C3 (D=50cm) Momento Rotación C3 (D=50cm)
P=0 tonf P=0 tonf P=50 tonf P=50 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
11.712 0.009 B 11.712 0.002 1 17.794 0.004 B 17.794 0.001 1
14.874 0.206 C 14.874 0.051 1.27 19.45 0.136 C 19.45 0.034 1.09
D 5.949 0.051 0.51 D 7.78 0.034 0.44
E 5.949 0.057 0.51 E 7.78 0.037 0.44
Momento Rotación C3 (D=50cm) Momento Rotación C3 (D=50cm)
P=100 tonf P=100 tonf P=150 tonf P=150 tonf
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado
Momento Curvatura Momento Rotación Momento normalizado tonf-m rad/m tonf-m rad tonf-m rad/m tonf-m rad
0 0 A 0 0 0 0 A 0 0
22.29 0.003 B 22.29 0.001 1 24.9 0.004 B 24.9 0.001 1
22.491 0.09 C 22.491 0.022 1.01 23.806 0.07 C 23.806 0.018 0.96
D 8.996 0.022 0.4 D 9.522 0.018 0.38
E 8.996 0.025 0.4 E 9.522 0.019 0.38
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06
Mom
ento
Nom
rlai
zad
o (t
onf-
m)
Rotación (rad)
MOMENTO ROTACIONC3 (D=50cm)
P=0tonf
P=50tonf
P=100tonf
P=150tonf
ANEXO E 179
ANEXO E
ESFUERZO RESISTENTE A CORTE DEL MURO MCR-02
Según las especificaciones de la norma ACI 318-14 la resistencia al cortante proporcionada
por el concreto para elementos no preesforzados, sometidos a compresión, flexión y cortante,
deberá ser el menor de:
Sabiendo que: 𝑑𝑑 = 0.8 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 0.8 𝑑𝑑 1.95 = 1.56𝑐𝑐 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 38.45 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 / 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 164.27 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 / 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 177.89 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑐𝑐1 = 0.88 𝑑𝑑 �𝑓𝑓′𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑑𝑑 𝑑𝑑4 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 92535.286 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
𝑉𝑉𝑐𝑐2 = �0.16𝑑𝑑�𝑓𝑓′𝑐𝑐 + 𝐿𝐿𝑐𝑐 𝑑𝑑 �0.33𝑑𝑑�𝑓𝑓′𝑐𝑐 + 0.2 𝑑𝑑
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐�𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 �𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝑐𝑐 = 46048.337 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
𝑀𝑀𝑖𝑖 𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5𝐿𝐿𝑐𝑐 < 0 𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑐𝑐2 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝐴𝐴𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑀𝑀𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 − 0.5𝐿𝐿𝑐𝑐 = 3.652 > 0 → 𝑉𝑉𝑐𝑐2 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑝𝑝𝐴𝐴𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎
𝑉𝑉𝑐𝑐3 = 0.53 𝑑𝑑 �𝑓𝑓′𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 �1 + 𝑃𝑃𝐴𝐴
140 𝑑𝑑 𝑀𝑀� = 43009.73 𝑘𝑘𝑠𝑠𝑓𝑓
Entonces, Vc será: 𝑉𝑉𝑐𝑐 = min(𝑉𝑉𝑐𝑐1,𝑉𝑉𝑐𝑐2,𝑉𝑉𝑐𝑐3) = 43.01 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Si: 𝐻𝐻𝑐𝑐𝐿𝐿𝑐𝑐 =3.6 + 3.15 + 3.15 + 3.15
8.7= 1.50
Según la norma E060. Sección 11.10.5, la contribución del concreto no debería exceder la
siguiente ecuación: 𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑤𝑤 (∝ 𝑐𝑐�𝑓𝑓′𝑐𝑐)
ANEXO E 180
Donde el coeficiente αc se obtiene de:
Coeficiente αc según la norma E060
hm/lm αc
≤1.5 0.80 ≥2.0 0.53
≥1.5 y ≤2.0 Interpolación
Donde: 𝛼𝛼𝑐𝑐 = 0.53
𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑 = (1.95𝑑𝑑100)(0.30𝑑𝑑100)(0.53)�√210� � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000
� = 44.93𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Donde cumplimos con la premisa de Vc < Vc max, por lo tanto: 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 43.01 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Resistencia al esfuerzo cortante provisto por el acero de refuerzo (Vs)
Para todos los tipos de muros tenemos:
Distribución de acero de refuerzo de los muros de concreto armado
Dirección Separación Refuerzo horizontal 2 hiladas de φ 1/2’’ Sh= 25cm
Refuerzo vertical 2 hiladas de φ 3/8’’ Sv= 20cm
Refuerzo horizontal
Primero determinamos la Cuantía de refuerzo horizontal (ρh) sabiendo que:
𝜌𝜌ℎ =(#𝐻𝐻𝑖𝑖𝐴𝐴𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑠𝑠)(𝑀𝑀𝐴𝐴𝑎𝑎𝐶𝐶𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎)𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑀𝑀ℎ
𝜌𝜌ℎ =2𝑑𝑑(1.29)
(0.30𝑑𝑑100)𝑑𝑑25= 0.00344
Acorde a la sección 11.10.10 de la norma E060, la resistencia al esfuerzo cortante será: 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑤𝑤 𝑑𝑑 𝜌𝜌ℎ 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑦𝑦
Reemplazando: 𝑉𝑉𝑠𝑠 = (1.95𝑑𝑑100)(0.30𝑑𝑑100)(0.00344)(4200) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000� = 84.52𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
También aquí debemos tener precaución en cumplir acorde a la sección 11.5.7.9 de la norma
E060, donde el valor Vs máximo a obtener será:
ANEXO E 181
𝑉𝑉𝑠𝑠 ≤ 2.1�𝑓𝑓′𝑐𝑐(𝑏𝑏𝑤𝑤)𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑠𝑠 ≤ 2.1√210(30𝑑𝑑100)(0.8𝑑𝑑1.95𝑑𝑑100) � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1000
� = 142.42𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Por lo tanto, la resistencia al corte del acero horizontal (Vsh) será: 𝑉𝑉𝑠𝑠ℎ = 84.52𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Resistencia nominal al esfuerzo cortante (Vn)
Finalmente, la resistencia nominal al corte estará determinada por: 𝑉𝑉𝑡𝑡 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝑉𝑉𝑠𝑠
No se le aplicara algún factor de minoración dado que queremos saber el valor de resistencia al
corte real de la sección, para así poder modelar una rótula a corte con la misma solicitud. 𝑉𝑉𝑡𝑡 = 43.01 + 84.52 = 127.53𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
ANEXO F 182
ANEXO F
RÓTULAS A CORTE DE LOS MUROS DE CONCRETO ARMADO
Para la obtención de los parámetros de modelación necesarios para la asignación de rótulas a
corte de los muros MCR-01 y MCR-02 se tiene:
a) MCR-01
MCR-01
f'c 210 kg/cm² Resistencia a la compresión del concreto fy 4200 kg/cm² Resistencia a la compresión del acero de refuerzo Es 2000000 kg/cm² Módulo de elasticidad del acero de refuerzo
tw 30 cm Espesor del muro lw 870 cm Longitud del muro As 28.4 cm² Área de refuerzo a tracción A's 28.4 cm² Área de refuerzo a compresión h 3.6 m Altura
Ag 26100 cm² Área total de sección transversal P=0.15f'c(Ag) 822.15 tonnef
P 822150 kg
=0.15
Condición i Tabla 10-20 ASCE 41-17
Para eso consultamos la tabla 10-20 de la norma ASCE 41-17, la cual es la siguiente:
ANEXO F 183
Finalmente, obtenemos los siguientes parámetros:
Parámetros Drift Ratio % Drift Desplazamientos
d 0.75 0.0075 0.027 m e 1 0.01 0.036 m g 0.4 0.004 0.0144 m c 0 0 0 m f 0.6 0.006 0.0216 m
IO 0.4 0.004 0.0144 m LS 0.75 0.0075 0.027 m CP 1 0.01 0.036 m
b) MCR-02
MCR-02
f'c 210 kg/cm² Resistencia a la compresión del concreto fy 4200 kg/cm² Resistencia a la compresión del acero de refuerzo Es 2000000 kg/cm² Módulo de elasticidad del acero de refuerzo
tw 30 cm Espesor del muro lw 195 cm Longitud del muro As 28.4 cm² Área de refuerzo a tracción A's 28.4 cm² Área de refuerzo a compresión h 3.6 m Altura
Ag 5850 cm² Área total de sección transversal P=0.15f'c(Ag) 184.275 tonnef
P 184275 kg
=0.15
Condición i Tabla 10-20 ASCE 41-17
Finalmente, obtenemos:
Parámetros Drift Ratio % Drift Desplazamientos
d 0.75 0.0075 0.027 m e 1 0.01 0.036 m g 0.4 0.004 0.0144 m c 0 0 0 m f 0.6 0.006 0.0216 m
IO 0.4 0.004 0.0144 m LS 0.75 0.0075 0.027 m CP 1 0.01 0.036 m