ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 21 – 07 – 2012
Nº 03 – TRIÁNGULOS
I. TRIANGULOS:Se denomina triángulo a una región del plano limitada portres rectas que se cortan dos a dos.
B
CAB1
B2
B3
1
2
3
En general el triángulo se denota como: ABC.
II. ELEMENTOSLos elementos de un triángulo son:
Vértices: Son los extremos comunes A, B, C de lossegmentos rectilíneos que forman el triángulo ABC.
Lados: Son los segmentos ACyBC,AB limitados por los
vértices A, B y C. Angulos interiores: (1, 2, 3) son los ángulos formados por
dos lados y el vértice común. Angulos exteriores: Son los ángulos que se forman mediante
un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente(1, 2, 3).
III. PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN ELTRIANGULO, ANGULOS FORMADOS PORLINEAS NOTABLES.
1. Suma de los ángulos interiores:
A
B
C
180
2. Medida de un ángulo exterior:
A
B
C
x°
z°
y°
zyx
2.1. COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.
x°
x
3. Desigualdad de longitudes de sus lados.
A
B
Cb
c a
abcabcabcacbaab
4. Relación de Lado - Angulo
A
B
Cb
c a
cab:si
5. “P” un punto interior cualquiera:
A
B
Cb
c ax
y z
)p2(zyxp:si
donde: (2p) : perímetrop : semiperímetro
01. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSUn triángulo es congruente con otro, si y sólo sí,existe una correspondencia entre sus vértices demodo que sus lados y ángulos sean respectivamentecongruentes con los lados y ángulos del otro. Segúnesto se tiene:
yDFACEFBCDEAB
DEFABC
FCEBDA
La notación: ∆ABC ∆DEF, se lee: triángulo ABC escongruente con el triángulo DEF.
OBSERVACIONES:
En el lenguaje corriente se dice que dos figuras son
congruentes si tienen exactamente la misma forma e
igual tamaño.
Al nombrar triángulos congruentes asegure hacerlo en
el orden correcto, lo que permitirá identificar lados
correspondientes y ángulos correspondientes sin
necesidad de mirar las figuras. Por ejemplo, cuando
escribimos: ∆ABC ∆DEF, queremos decir que:
DEAB EFBC DFAC
A D A D A D
02. CRITERIOS DE CONGRUENCIA
Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean
congruentes.
Primer Caso- LAL (Lado- ángulo- lado)
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos
lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos
son congruentes
Segundo Caso – ALA (ángulo – lado- ángulo)Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un
lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos
triángulos son congruentes.
Tercer Caso LLL (Lado- Lado – Lado)
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres
lados, entonces dichos triángulos son congruentes
Cuarto Caso ALL (Ángulo - Lado- Lado)
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es
respectivamente congruente, entonces dichos
triángulos son congruentes.
OBSERVACION:
Si dos triángulos son congruentes se cumplirá que a loslados iguales se oponen ángulos iguales, a la vez que aángulos iguales se opondrán lados iguales.
ABCDEF
ABCDEF
ABCDEF
Práctica de clase
Existencia y unicidad
01. Sean dos triángulos obtusángulos ABC y ADC, con susángulos obtusos en A y C. Si AD + BC = 10u y AC= 2u. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la suma de las
longitudes de AB y CD ?
a) sólo un valor b) 2 valoresc) 3 valores d) más de 3 valorese) ningún valor entero
02. En un triángulo ABC, si m A 4m C . Calcular elmayor valor entero de BC, si AB = 2u.
a) 3u b) 4u c) 5ud) 7u e) 9u
03. Si en un triángulo PQR, PQ+QR=30 cm y PR=20 cm,
entonces el menor valor entero que puede tomar la ceviana
QM , en cm, es:
[UNT – 11 – I]a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
04. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si desde
el punto A se traza la bisectriz interior que divide al cateto
opuesto en segmentos de 3 y 5 unidades respectivamente,
entonces el valor de su hipotenusa, es:
[Excel – 11 – II]
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
05. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se construye exteriormente el triángulo equilátero
BCD. Si P, Q y R son puntos medios de AD, BD y BC
respectivamente, la medida del ángulo PQR, en grados
sexagesimal, es:
[Excel – 11 – II]
a) 20º b) 30º c) 37º
d) 45º e) 60º
06. En un terreno triangular sus vértices son señalados por A, B
y C. Las medidas de sus lados son AB=24m; BC=16m y
AC=20m. Si desde el vértice B se trazan la bisectriz interior
BM y la bisectriz exterior BE, (E en la prolongación de AC),
entonces la distancia de M a E, es:
[Excel – 11 – II]
a) 52 m. b) 51 m. c) 50 m.
d) 49 m. e) 48 m.
07. Hallar el mayor valor entero de “x”, en la figura adjunta.
a) 19 b) 21 c) 25d) 27 e) 29
08. En la figura mostrada, si: BD = 4 y BC = 6, hallar AD.
a) 10 b) 9 c) 12d) 13 e) 8
09. En la figura, halle el menor valor entero de AD
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
10. En el triángulo ABC, AB = 8, se traza la bisectriz BD , A
= 2.B, la medida de AD , cuando BC toma su valor
máximo es:
[UNT – 10 – II]a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
11. Del gráfico obtener “x” si KH toma su mínimo valor entero.
a) 65º b) 66º c) 67ºd) 68º e) 72º
Ángulo12. El ángulo BID es congruente con:
a)BAC b) ICE c) EICd) DIE e) IBC
Isósceles
13. Halle “x” en la figura siguiente:
a) 12º b) 15º c) 16ºd) 18º e) 20º
Ángulos notables
14. En la figura siguiente, halle ”x”
a) 10º b) 15º c) 18ºd) 20º e) 30º
15. En la figura, halle “x”
a) 7,5º b) 15º c) 22,5
d) 30º e) 36º
16. En la figura siguiente, halle ”x”
a) 20º b) 24º c) 30º
d) 36º e) 40º
Congruencia
17. Del gráfico hallar “x”
a) 15º b) 18º c) 22º 30’
d) 30º e) 10º
18. Calcular “x”
a) 10º b) 12º c) 15ºd) 18º e) 22º30’
19. En el gráfico, AC = 2 (BP), calcule mBCP.
a) 30º b) 40º c) 18ºd) 45º e) 37º
20. Si MN = NP, halle “x”
a) 72º b) 75º c) 80º
d) 84º e) 90º
21. En la figura, halle la mC
a) 60º b) 72º c) 84ºd) 90º e) 100º
22. Halle “x” en:
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
23. Calcular “x”
a) 9º b) 10º c) 12º
d) 15º e) 18º
24. En el gráfico, AB = PC. Calcular “ACB”
a) 20º b) 24º c) 25º d) 30º e) 37º
25. En el gráfico, halle “x”
a) 72º b) 75º c) 80ºd) 84º e) 90º
26. En el gráfico, halle “x”
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
27. Halle el valor de “x” en:
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
28. Si M es punto medio de BC, halle el valor de “x” en:
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
29. Halle el valor de “x” en:
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
30. Halle el valor de “x”
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
TAREA DOMICILIARIA
01. En un triángulo ABC, m A 2m C ; AB = 2.Calcular BC, si se sabe que es entero.
a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4
02. Los lado AB y BC de un triángulo ABC miden 4cm y 6cm
respectivamente. Sobre el lado AC se construye eltriángulo equilátero AFC, exterior al triángulo ABC, hallar elmayor valor entero del perímetro del triángulo AFC.
a) 21u b) 24u c) 27ud) 29u e) 30u
03. En un triángulo ABC. Si BC = 7.AB y AC = 48. Hallar elvalor entero de AB.
a) 5u b) 6u c) 9ud) 8u e) 7u
04. Las longitudes de los lados de un triángulo están enprogresión aritmética de razón 5. Hallar el mínimo valorentero que puede asumir el perímetro de dicho triángulo.
a) 30u b) 31u c) 29ud) 33u e) 32u
05. Se tiene un triángulo tal que dos de sus lados miden 9 y 18.Un posible valor del perímetro del triángulo es:
a) 45u b) 36u c) 18ud) 32u e) dos respuestas
06. En la figura, si AC = 5u,, BD = 7u y AB = 16u.Hallar el mayor valor entero de CD.
A
CB
D
a) 26u b) 5u c) 6ud) 27u e) 30u
07. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, si AC= 10 y BC = 2. Hallar AB, si su valor es entero.
a) 8u b) 9u c) 10ud) 11u e) 12u
08. En un triángulo ABC, m A 60º ;m C 10º , sean los punto M AC y Q BC de
modo que AB = BQ = AM.Calcule m QMC .
a) 30º b) 35º c) 45ºd) 55º e) 70º
09. En la figura: AD = AB + BC y BC = CDHalle x.
70ºA
B
C
D
x
60º
a) 100º b) 120º c) 130ºd) 135º e) 140º
10. En un triángulo ABC, m ACB 30º ;
m ABC 105º , sea M punto medio de BC . Calculem MAC .
a) 15º b) 20º c) 30ºd) 45º/2 e) 18º
11. En un triángulo ABC, en AB y AC se ubicanE y D respectivamente. Si m EAD 20º ; m AED 40º yED = DC = BC, calcule m B
a) 20º b) 40º c) 60ºd) 80º e) 100º
12. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza labisectriz interior AD , la mediatriz de CD interseca a AC ya la prolongación de AD en P y Q respectivamente. Si BD= PC, calcule m AQP .
a) 452
b) 30 c) 25
d) 37 e) 53
13. Exteriormente y relativo al cateto BC deltriángulo rectángulo ABC, se ubica D, tal que:m ADC m ABC 90 Si m CAD 15 y
m BCD 15 . Calcule la razón entre AB y la distancia deD hacia
AB .
a) 3 b) 2 c) 2 3d) 2 e) 3
14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, enAB y AC se ubican los puntos N y M respectivamente, talque m NMA 90 y los triángulos NMA y NBC soncongruentes, calcule m NCM .
a) 36 b) 30 c) 37d) 45 e) 50
15. En el triángulo ABC, la mediatriz de BCinterseca a AC en Q, tal que:
AB = 2(QC) y m ACB 45 . Calcule m BAC
a) 20 b) 25 c) 37d) 30 e) 36
16. En el triángulo ABC, obtuso en B se cumple m BAC 8 y AB 5 BC . Calcule m BCA .
a) 45 b) 53 c) 37d) 30 e) 36
17. En la figura AC = BD, halle el valor de
a) 32º b) 38º c) 40ºd) 42º e) 48º
18. En la figura AD = BC, halle el valor de
a) 42º b) 48º c) 50ºd) 52º e) 60º
19. Calcular “x”
a) 15º b) 22º c) 25ºd) 30º e) 45º
20. Calcular “x”
a) 9º b) 10º c) 12º
d) 15º e) 18º
21. L es mediatriz de BC, luego el valor de “x” es:
a) 10º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 30º
22. Halle el valor de “x” en:
a) 10º b) 12º c) 18º
d) 20º e) 30º
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