Funciones polinómicas
• Un polinomio es una expresión algebraica de la forma
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 x
n - 2 + ... + a1 x + a0
• an, an -1 ... a1 , ao son números, llamadoscoeficientes.
• an es el coeficiente principal
• ao es el término constante.
• Para cualquier polinomio, (0, ao ) es el intercepto en y.
Polinomios
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 x
n - 2 + ... + a1 x1 + a0
• El grado de un polinomio , P(x), es el exponente
mayor al que se encuentra elevada la variable
x.
• Polinomio de grado cero (función constante)
Ejemplo: P(x) = 2
• Polinomio de grado uno (función lineal)
Ejemplo: P(x) = 3x + 2
• Polinomio de grado dos (función cuadrática)
Ejemplo: P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomios
• Ejemplo
f(x) = 5x4 – x3 + 3x2 + 2x – 7
Polinomios
• El grado del polinomio es
• el coeficiente principal, an es
• el término constante, ao es
• el intercepto en y, (0, ao ) es
.
.
.
.
Indicar el grado e intercepto en y
grado:Coef.
principal:
grado: int-y:
grado: int-y:
int-y:
Coef.
principal:
Coef.
principal:
• Los ceros o las raíces de un
polinomio son los valores de x
tal que f(x) = 0.
• Si los ceros son reales, entonces
coinciden con los interceptos en
x de la función.
• Es posible encontrar los ceros de
polinomios de grado mayor que
2 con técnicas que ya hemos
estudiado en algunos casos.
Ceros de un polinomio
Ceros de polinomios de grado
mayor que 3• El método practicado anteriormente se puede
aplicar a algunos polinomios de grado mayor que3.
• Por ejemplo, consideremos
345 6144)( xxxxf
• Este es un polinomio de grado 5 y
tiene 3 términos
• Todos los términos tienen un factor de
2 en común.
• Todos los términos tienen un factor de
x3 en común.
345 6144)( xxxxf
Se comienza la factorización
removiendo el máximo común
divisor, o sea el factor 2x3.
Ceros de polinomios de grado mayor que 3 mediante factorización
Luego, se factoriza el factor cuadrática
que queda dentro de los paréntesis o se
resuelve con la fórmula cuadrática.
La expresión cuadrática, 2𝑥2 + 7𝑥 + 3,
factorize si existen factores de 6 que
sumen 7.
3722)( 23 xxxxf
Los factores de 6 que sumen 7 son 6 y 1.
3622)( 23 xxxxxf
Usando el método AC.
123122)( 3 xxxxxf
3122)( 3 xxxxf
3122)( 3 xxxxf
La factorización completa de f(x) es:
cuando 0x2 3
3122)( 3 xxxxf
Los ceros de la función se consiguen
igualando cada factor a 0.
0 x
cuando 01x2 2
1- x
cuando 03x 3 x
Los interceptos en x de la gráfica de
)0,3(y ,02
1- 0,0)(
son:
345 6144)( xxxxf
• Polinomio de grado cero (función constante)
Ej: P(x) = 2
La gráfica de P(x) es una recta horizontal que pasa
por ( , ).
Gráficas de un polinomios
• Polinomio de grado uno (función lineal)
Ej. P(x) = 1 – 2x
La gráfica de P(x) es una recta, con
pendiente igual a ,
intercepto en y en
intercepto en x en
Gráficas de polinomios
( )
( )
• La gráfica de un polinomio de grado mayor que
1 es siempre una curva suave y contínua.
• El comportamiento en los extremos de la gráfica
es igual que el comportamiento del monomio
Q(x)=an xn.
• El comportamiento en los extremos esta
determinado por el grado, n, y el signo del
coeficiente principal, an.
Polinomios de grado > 1
Características de polinomios de grado 3; grado impar
a > 0 a < 0
máximos o mínimos locales: existen no más de n – 1 de estos puntos,
donde n es el grado del polinomio.
interceptos en x: existen no más de n interceptos en x, donde n es el
grado del polinomio.
comportamiento en los extremos:
Si a>0, la gráfica es creciente en ambos extremos.
Si a <0, la gráfica es decreciente en ambos extremos.
• Ejemplo: Trace la gráfica del polinomio:
Ejemplo
xxxxf 107)( 23
Observaciones:
• Es un polinomio de grado 3 pero le falta el
término constante.
• Todos los términos tienen un factor de x encomún.
• Intentamos factorizar para identificar puntos.
• Igualar cada factor a 0, resolver para x y
determinar los puntos correspondientes :
• Para el intercepto en y, evaluamos
f(0) .
cont.
xxxxf 107)( 23
• Factorice el polinomio:
Trace la gráfica: (cont.)xxxxf 107)( 23
Características de polinomios de grado 2; grado par
puntos de máximos o mínimos
locales: NO existen más de n – 1
de estos puntos, donde n es el
grado del polinomio.
interceptos en x: existen NO más
de n interceptos en x, donde n es el
grado del polinomio.
comportamiento en los extremos:
Si a>0, la gráfica es decreciente en
el extremo izquierdo y creciente en
el extremo derecho.
Si a <0, la gráfica es creciente en el
extremo izquierdo y decreciente en
el extremo derecho.
¿Qué sabemos?
• grado par;
• número de interceptos en x:
• número de puntos de retorno,
• a= 1;
• La ecuación esta factorizada; los ceros son
• Los interceptos en x son:
• El intercepto en y es
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
.
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Multiplicidad
• Si
o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y
o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c
entonces c es un cero real de multiplicidad m ,
La gráfica de f muestra el siguiente comportamiento
cerca de (c, 0) :
Multiplicidad (cont)
¿Qué sabemos?
• grado
• La ecuación ya está en forma factorizada y sus ceros son
• número de interceptos en x:
• número de máximos o mínimos:
• coeficiente principal:
• El intercepto en y es
Trace la gráfica del polinomio:
Trace la gráfica (cont.):
Hallar una posible ecuación para la gráfica si ftiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un
cero de multiplicidad 2
¿Qué sabemos?
• grado es
• coeficiente principal es
• Extremos
• Los interceptos en x son
• El intercepto en y es
Práctica 1• El método presentado anteriormente se puede
aplicar para hallar los interceptos en x de la
gráficas de las siguientes funciones:
xxxxf 65)( a) 23
xxxxg 232)( b)
xxxxp 963)( c) 23
Práctica 2• El método presentado anteriormente
se puede aplicar para hallar los
interceptos en x de la gráficas de las
siguientes funciones:
234 103)( a) xxxxg 35)( b) xxxh
345 24183)( c) xxxxq