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UNNERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
INFORME FINAL DE TEXTO
TEXTO: PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 1
AUTOR: Lic. FERNANDO HIPO LITO LA YZA BERMÚDEZ
(PERIODO DE EJECUCIÓN
Del 01 de junio de 2012 al31 de mayo del2014 Resolución Rectoral No.549-2012 R)
CALLAO- 2014
.. ;.;·
® rJUL 2014
PRÓLOGO
Como resultado de un trabajo de investigación se logró elaborar un Texto cuyo titulo lleva
por nombre Texto: Problemas Resueltos de Matemática l, que duro casi dos años de esfuerzo
teniendo mucho cuidado en la organización y desarrollo de los capítulos.
El objetivo que busca el autor es de plantear el problema para luego mediantes procesos
Matemáticos-Lógicos dar el resultado a éstos; y a la vez motivar a los estudiantes que el
proceso de resolver un problemas de matemática tiene que tener una base sólida de los
principios básicos de la ciencias de la Matemática.
Este texto se ha divido en 4 capítulos Fundamentales: Sistema de Números Reales, Teoría de
Funciones, Teoría de Límites- Continuidad y la Derivada ya que estos conceptos le servirán,
como base, cuando lleven las asignaturas de Matemática ll y Matemática lll.
Por la experiencia, en la cátedra de docente universitario, como profesor del curso de
Matemática I la mayor parte de problemas en este libro son inéditos cuyas resoluciones son
establecidos mediante una rigurosidad matemático.
Quisiera agradecer a todos los profesores que me ayudaron a fortalecer el desarrollo de éste
texto; así como también, a la Universidad Nacional del Callao por la subvención para la
realización de éste proyecto.
El Autor
ÍNDICE
1 ÍNDICE ......... ...................... ...... ......... ....... ......... ....... ............. ...... ......... ... ...... ....... 1
2RESUMEN .............................................................................................................. 2
3lNTR.ODUCCIÓN......... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ......... 4
4 MARCO TEÓRICO ........................... :....................................................................... 5
5 MATERIALES Y MÉTODOS ................ -: .............................................. , .. .. . .. . .. . .. . .... ...... 6
6 RESULTADOS... .. . . .. .. .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . ..... ... ... . 7
CAPÍTULO l... . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .... . 8
1 SISTEMA DE NÚMEROS REALES...... .. . .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. .. . . .. .. . . .. . . .. .. .. . .. .. .. .... .. ... 8
l. l.-DEMOSTRACIONES...................................................................................... 8
1.2.-ECUACIONES... ...... ... ... . .. ...... ... ...... ... ... ... .. . .. . ... ... ... ... ... ...... ... ... ... .. . ...... ... ..... 10
1.3.-INECUACIONES..................... ... . .. . .. .. . .. . .. . ... . .. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . ... .. . . .. ... .. . . .. .. .. .. . 14
CAPÍTULO ll... .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . 29
2 FUNCIONES... .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .... .. .. .. 29
2.1.-DOMINIO RANGO ............................................................................................. 29
2.2.-0PERACIONES CON FUNCIONES......... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. .. . .. 38
CAPÍTULO m... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .... .. .... .. . ...... 59
3 LÍMITES...... .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. 59
3.1.-DEMOSTRACIONES... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... ... . .. .. . ... ... ... ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 59
3.2.-CÁLCULO DE LÍMITES FINITOS ...................................................................... 68
3.3.-CÁLCULO DE LÍMITES AL INFINITO............................................................... 77
3.4.-CÁLCULO DE LÍMITES INFINITOS.................................................................. 90
3.5.-CÁLCULO DE LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ..................................................... 97
3 .6.-CÁLCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS ............................... 106
CAPÍTULO N ... ...................................................................................................... 112
4 CONTINUIDAD Y DERN ADA .................................................................................. 112
4.1.-DEFINICIÓN DE LA DERN ADA. ...................................................................... 112
4.2.-PROPIEDADES DE LA DERN ADA. ................................................................... 114
4.3 .-APLICACIONES DE LA DERN ADA: MÁXIMO Y MÍNIMOS .................................... 128
4.4.-L'HOSPITAL ................................................................................................ 135
4.5.-PROBLEMAS DE APLICACIÓN ........................................................................ 139
5 FORMULARIOS ................................................................................................. 146
7 DISCUSIÓN ........................................................................................................... 149
~ REFERENCIALES .................................................................................................... 149
9 APÉNDICE ............................................................................................................. 150
10 ANEXOS .............................................................................................................. 152
1
2RESUMEN
El Objetivo del presente trabajo de Investigación fue la elaboración de un texto
PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, que servirá de reforzamiento al
estudiante sobre la teoría de los cursos que se dictan en los primeros ciclos de las
universidades, como Matemática I, y a la vez, permitirá un mayor entendimiento de la teoría
y la práctica.
El texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, contiene una gran cantidad de
problemas inéditos resueltos por el Autor y que han servido para la elaboración de distintas
prácticas y exámenes programados por la facultad de Ingeniería Química.
El texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, se ha desarrollado de una
forma sistematizada de acuerdo a la temática del silabo de matemática I del currículo antiguo
y se ha utilizado algunos paquetes de informática para poder graficar problemas de
aplicación.
La metodología utilizada para la elaboración de éste texto, se sustenta en la experiencia del
Autor como profesor en las asignaturas de matemática I, matemática II y matemática III.
En general, se ha logrado elaborar un texto con un lenguaje sencillo práctico de fácil
entendimiento especialmente para los estudiantes que inicien por primera vez el curso de
Matemática l. Por lo tanto, el texto desarrollado servirá a mis colegas como fuentes de
consulta y sobre todo a los estudiantes en proceso de enseñanza- aprendizaje de la asignatura
de Matemática l.
2
ABSTRACT
The objective of this research work was the development of a MATH PROBLEM SOL VED I
text that will serve as reinforcement to the student about the theory of the courses offered in
the first cycles of universities, such as Mathematics I, and simultaneously, allow a greater
understanding of the theory and practice.
The text RESOL VED MA TREMA TICS I, contains a lot of new problems sol ved by the
author and have served for the preparation of different practices and exams scheduled by the
Faculty of Chemical Engineering.
The text RESOL VED MA TH l, has been developed in a systematic way according to the
theme of the syllabus of the old math curriculum and I have used some computer packages to
graph word problems.
The methodology used for the preparation of this text, is based on the author's experience as a
teacher in the subj ects of Math I, Math II and Math III.
In general, it has been possible to produce a text with a practica! simple language easily
understood especially for students starting the first course of Mathematics l. Therefore, the
text developed serve my colleagues as reference sources and especially students in the
teaching-learning ofthe subject ofMathematics l.
PALABRA CLAVE: Problemas resueltos de Matemática I
3
3.-INTRODUCCION
En la experiencia docente de nuestra Facultad encontramos que parte de los estudiantes, de los
primeros ciclos especialmente, tienen dificultades de aplicación y comprensión de conceptos
teóricos del Cálculo Diferencial en la resolución de problemas, y vemos que encuentran una
aparente falta de secuencia lógica en la resolución de problemas, así como el fundamento teórico
puntual y a la vez didáctico de las mismas.
Una de las causas es que no se cuente con un texto que relaciones de n;tanera didáctica y práctica, la
teoría especifica con la resolución de problemas específicos y puedan guiarlos para enfocar y resolver
los problemas con rapidez y éxito. La mayor pmte de los textos de matemática I enfocan el curso de
manera pre-universitario sin la rigurosidad matemática, propiciando un escepticismo e antipatía de
parte de los estudiantes hacia el curso de matemática I presentando ejemplos que no contemplan
detalles ni técnicas de Cálculo
La Elaboración del Texto " Problemas resueltos de Matemática f' lo presento como un
material bibliográfico importante porque facilitará el proceso de enseñanza y aprendizaje de
los alumnos que por primera vez llevan el curso de matemática I de la Universidad Nacional
de Callao, en particular de nuestra facultad de Ingeniería Química, ya que el desarrollo
abarcará el área teórico y práctico, donde el alumno hará uso del razonamiento lógico y
capacidad de análisis, aplicando conceptos teóricos en resolución de problemas.
Además, por su magnitud, no solo se beneficiará alumnos de nuestra facultad, sino también a
todos los alumnos de las diferentes Universidades en cuyo currículo se encuentre el curso de
Matemática I y por su factibilidad, será viable desarrollar este texto por la profesión que tengo
y el bagaje del curso de matemática I.
4
4.- MARCO TEORICO
Respecto al título del proyecto de investigación, existen pocos textos que desarrollan la teoría
y la práctica. Por ejemplo, en mi trabajo de investigación cuyo título: Elaboración de un texto
Matemática I, para alumnos de Ingeniería Química (2002) desarrolle los principios teóricos
del cálculo diferencial con pocos problemas resueltos. En el libro del profesor Espinoza
Ramos titulado Análisis Matemático I (1998) resuelve problemas sin la debida secuencia
lógica. Así dentro del panorama descrito, se publican textos que tratan los conceptos y
principios del Cálculo diferencial, entre los cuales tenemos en cuenta las siguientes
referencias Bibliográficas:
1.-Stanley I. Grossman. "Algebra Lineal con aplicaciones". Editorial Me Graw-Hill . 4ta.
Edición. México-1992
2.-Elon larges Lima." Geometría Analítica y Algebra Lineal". Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
3.-Layza Bermúdez Fernando. Texto: "Matemática I, para alumnos de Ingeniería Química",
UNAC-2002
5
S.-MATERIALES Y METODOS
S. l.-MATERIALES
Para la elaboración de este Texto se usaron los siguientes materiales:
1.- Materiales de oficina
2.-Materiales Bibliográficos y página Web
3.-Apuntes del Autor.
4.-Materiales de Informática Software Matemático.
5.2.-METODOS
Siendo el tema de la investigación la elaboración de un texto la metodología que se empleó
fueron
• Formulación del índice del Texto
• Identificación de la Información
• Análisis de la Información
• Redacción del Texto en función al índice y presentación del Texto.
• Revisión de la redacción efectuada y complementaria de la misma.
No se presentan datos estadísticos pues es un trabajo básico-practico
6
>
)
)
6.-RESULTADOS
El resultado de la presente investigación es el Texto PROBLEMAS RESUELTOS DE
MATEMATICA 1, contiene 4 capítulos fundamentales los cuales son: Sistema de Números,
Teoría de funciones, Teoría de Límites y la Teoría de la Continuidad y la Derivada.
El Texto presenta problemas inéditos resueltos por el autor de una manera sencilla, pero sin
perder la rigurosidad los principios lógicos y matemáticos.
En cada capítulo se propone y resuelve problemas tipos acorde con la teoría y tiene por
objetivo reforzar los conocimientos teóricos de la asignatura de Matemática 1
7
CAPITULOI
SISTEMA DE NÚMEROS REALES
1.1.-DEMOSTRACIONES
l.-Demostrar que si a 2 +b 2 = 1 ::::::> -Afi ~a +b ~-Ji
DEMOSTRACIÓN
Se sabe que (a-bY ;;:: O, 'íla,b E R
Luego, (a-b)2 =a2 -2ab+b2 ~0=:}a2 +b2 ~2ab
Sumando a2
+ b2
se tiene 2(a2 + b2 );;:: a2 + 2ab + b2
Por hipótesis se tiene que a2 + b2 = 1
Reemplazando (2) en (1)
(1)
(2)
2(a2 + b2 )= 2(1)~a2 + 2ab +h2 = (a+b)2 =:}(a +b)2 ~ 2 ----?-J-2. ~a +b ~ J-2.
Por tanto, se ha demostrado la tesis
2.-Demostrar que si a2 + b2 =.JI\ e2 + d 2 = 1 ::::::> ac + bd ~ 1
DEMOSTRACIÓN
Se sabe que (ad- be Y ;;:: O, 'íla,b,e,d E R
Luego, (ad -beY= a 2d 2- 2abed +b 2e2
;;:: O::::::> a2d 2 +b 2c2;;:: 2abed
Sumando a 2 e 2 +b 2d 2 se tiene a 2d 2 +a2c2 +b2c2 +h2d 2 ~a2c2 +2abcd+b2d 2 (1)
Por hipótesis se tiene que a2 + b2 =lA e2 + d 2 = 1
Factorizando el primer miembro de (1)
a 2 (d2 +c2 )+b2 (c2 +d2 )= (a2 +b2 Xc2 +d2 )~a2c2 +2abcd+b2d 2 (3)
Reemplazando (2) en (3)
a2 (d2 +c2 )+b2 (c2 +d2 )= (a2 +b2 Xc2 +d2 )= (1X1)= 1 ~ (ac+bd)Z =:} (ac+bd)2 ~ 1
Por tanto, queda demostrado lo pedido (ae + bdY ~ 1 ::::::> ae + bd ~ 1
(2)
8
3.-Demostrar que \:fa,b,c,d: ab + ac+bc s a 2 + b2 + c2
DEMOSTRACIÓN
Sesabeque \:fa,bER:(a-bf 20, \:fb,cER:(b-cf 20, \:fa,cER,(a-cf 20
Sumando miembro a miembro se tiene:
Por tanto, se demostrado lo pedido
4.-Demostrar que si a >,b >O~ -J(ii) s a+ b 2
DEMOSTRACIÓN
Se sabe que \:fa,b E R: (a- b f 2 O~ a> O,b >O: (.Ja- Jb} 2 O
Luego, (.Ja- -Jb)2 =a- 2-Ja-Jb + b 2 O~ a; b 2 -J(ii)
Por tanto, se ha demostrado lo pedido
5.-Demostrar que \:fa,b,x,y E R: Jxy- abJ sJxJJy- bJ + JbJJx- aJ
DEMOSTRACIÓN
Se sabe que \:fa,b E R: Ja + bJ sJaJ +JbJ \:fa,b E R: Ja-bJ s.JaJ +JbJ
Sumando y quitando el término xb
\:fa,b,x,y E R: Jxy +xb- ab- xbJ = Jx(y-b)-b(a -x)J sJxJJy- bJ +J-bJJa- xJ
Luego, se demuestra que Va, b, x, y E R : J.xy- abJ sJxJJy- bJ + JbJJa- xJ
6.-Demostrar que \:fa,b,c E R: Ja +b- cJ s.JaJ + JbJ +JcJ
DEMOSTRACIÓN
Agrupando términos y aplicando la desigualdad triangular
\:fa,b E R: Ja+bJ s.JaJ +[b[ ~ J(a+b)- e[ s.Ja +bJ +J- cJ s.Ja[ +JbJ +JcJ
9
Luego, se demuestra que lo pedido
1.2.-ECUACIONES
En los siguientes problemas que a continuación se dan. Calcular el conjunto solución.
l.-Resolver 2x 4 -7x3 -llx2 + 22x + 24 =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
(2x + 3)(x + l)(x- 2)(x- 4) =O
Aplicando la propiedad a.b = O <=> a = O v b = O
3 X=-- V X= -1 V X= 2 V X= 4
2
Luego, Conjunto Solución para es= { -2
3 ,-1,2,4}
2.-Resolver x 4 - 4x3
- 3x 2 + 14x- 8 =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
(X + 2 )(X - 1) 2 (X - 4) = 0
Aplicando la propiedad a.b = O <=>a = O v b = O
X= -2 V X= 1 V X= 4
Luego, Conjunto Solución para es={- 2,1,4}
3.-Resolver 4x4 + 4x3 + x 2 + 4x- 3 =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
3 1 4(x +-)(x--)(x2 + 1) =O
2 2
Aplicando la propiedad a.b = O <=> a = O v b = O
10
3 1 x=--vx=-2 2
Luego, Conjunto Solución para es= {-%, ~} 4.-Resolver x 4
- 3x 3 -l5x2 + l9x + 30 =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
(x + 3)(x + l)(x- 2)(x- 5) =O
Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O '
X= -3 V X= -1 V X= 2 V X= 5
Luego, Conjunto Solución para es = {- 3, -1,2,5}
S.-Resolver x 5- 5x4 + 5x3
- 3x 2- 6x + 8 =O
SOLUCIÓN
F acto rizando se tiene
(x + l)(x -l)(x- 4)(x 2 - x + 2) =O
Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O
x=-1vx=1vx=4
Luego, Conjunto Solución para es= {-1,1,4}
6.-Resolver 2x3 + 7x2 + 2x- 3 =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
2(x + 3)(x + l)(x -1/2) =O
Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O
x=-3vx=-lvx=1/2
Luego, Conjunto Solución para es = {- 3, -1,1 1 2}
11
7.-Resolver (x 2 + 2x- 3)(3x- 4- x 2) =O
SOLUCIÓN
Factorizando se tiene
-(x+3)(x-l)(x 2 -3x+4)=0
Aplicando la propiedad a.b = O <:::> a = O v b = O
x=-3vx=l
Luego, Conjunto Solución para CS = {- 3,1}
8.- Resolver ~hx2 - 9x + 4 + 3-J2x -1 = ~2x2 + 21x -11
SOLUCIÓN
Usando las propiedades de los radicales
A: 2x 2 -9x+420 1\ 2x-L~:O 1\ 2x 2 +2lx-ll20
Luego, el conjunto solución para A= [4,+oo[ u{~}
Factorizando se tiene -J2x -1( -J x- 4 + 3) = -J2x -1( -J x + 11)
Luego
-Jx-4 +3=-Jx+11 ~x-4+6-Jx-4 =x+ 11~-Jx-4 =1~x-4=1~x=5
Por tanto, el conjunto solución será es={ 5, ~}
9.-Resolver -J x + 5 + -J X -1 = 1 + -J2x + 3
SOLUCIÓN
Encontrando el Universo U:
12
x+5~0Ax-l~OA2x+3~0
Luego U:=[l,+oo[
Hallando una solución parcial Sp:
Elevando al cuadrado ambos miembros y operando:
Nuevamente elevando al cuadrado
x 2 + 2x- 8 =O~ (x + 4).(x- 2) =O~ x = -4 v x = 2
Luego Sp: {- 4,2}
Por tanto, la solución será CS:= U nsp= {2}
10.-Resolver 2x2 +2x+6-3~x2 +x+3 = 9
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable: u2 = x2 + x + 3 > O
2 ) 3 2u -3u=9-+(2u+3)(u-3 =0-+u=3vu=--2
Luego, Si u::::3-+9=x2 +x+3-+x2 +x-6=0-+(x-3)(x+2)=0~x=3vx=-2
Luego, CS:={3,-2}
13 '1\
, 1.3.-INECUACIONES
l.-Resolver x ~ \4x- 7\ ~ x + 5
SOLUCIÓN
Usando las propiedades de valor absoluto
X~ l4x- 71 ~X+ 5---+ X~ l4x- 71 1\ \4x- 7\ ~X+ 5
Se tiene
A: l4x-712 x-+4x-7 2x v 4x-7 ~-x
7 7 4x-72x-+x2- v 4x-7~-x-+x~-
3 5
Luego, Conjunto Solución para A: ]- oo, ~ J u [ ~, +oo[
B: \4x -7\ ~ x + 5---+ x +52 O 1\ -(x + 5) ~ 4x -7 ~ x + 5
2 x 2-5 1\ - (x + 5)::; 4x -7::; x + 5---+ -(x + 5)::; 4x -71\ 4x -7 ~ x + 5---+ x 2- 1\ x::; 4
5
Luego, Conjunto Solución paraB :[~,4]
Por lo tanto, el conjunto solución será: CS=[~,~J u [~,4]
2.-Resolver
SOLUCIÓN
15 lx-21<-
\x\
Usando las propiedades de valor absoluto
x:;t:O 1\ \x-2\.\x\ <15-+\(x-2)x\ <15-+-15<x2 -2x<l5
x:;t:O 1\ -15<x2 -2x<15~-14<x2 -2x+l<16-+-14<(x-1)2 <16
x:;t:O 1\ 14<(x-1)2 <16~-4<x-1<4-+-3<x<5
14
Luego, Conjunto Solución CS = }- 3,5[
3.-Resolver
SOLUCIÓN
¡----;;-
! x-l --<3
\3-x
Usando las propiedades de los radicales
x-l x-1 x-1 x-1 --2 0---+ --:::;O---+ 1:::; X <3A-- < 3 ---+---3 < 0 3-x x-3 3-x 3-x
10x-28 IOx-28 ---+ < 0---+ > 0---+ X< 2.8 V X> 3
3-x x-3
Luego, Conjunto Solución CS = [1,2.8[
4.-Dados los conjuntos A= x E R/-1::::; ---::::;; 1 y B = x E Rl-- < --. { x2
- 5 } { X+ 1 X }
4 2-x 3+x
Hallar el conjunto A-B
SOLUCIÓN
---+ (x E [1,+oo )u(- oo,-1DA (x E[- 3,3 D---+ x E[- 3,-1 ]u [1,3]
Luego, A=[- 3,-1]u [1,3]
B. x + 1 x x+l x
0 (x+ l)(x+3)-x(2 -x)
0 XE .--<-----+-----< ---+ < 2-x 3+x 2-x 3+x (2-x)(x+3)
2x2 +2x+3 ---+ <O---+ 2x2 + 2x + 3 >O, Vx ERA (2- x)(x + 3) <O
(2- x)(x + 3)
---+ (x- 2)(x + 3) >O---+ (x E}- oo,-3[ u ]2,+oo0
Luego, B = ]- oo,-3[ u ]2,+oo[
Por tanto, A- B = [- 3,-l]u [1,2]
15
5.-Resolver
SOLUCIÓN
lx- 21-lx -11 > O 1-lx-11 -
{x-2 x>2
Se tiene lx - 21 = ' -2-x,x<2
y 1 1 {x-1,x21
x-1= 1-x,x < 1
Zonificando
(2-x)-(1-x) 1 Si- X < 1 ----+ 2 o ----+- 2 o ----+X >o
1-(1-x) x
CS1 = p,1[
S.
1<
2 (2-x)-(x-1)
0 3-2x
0 1 _ X < ----+ 2 ----+ -- 2 1-(x-1) 2-x
Por puntos críticos o de referencia x = ~, x = 2 2
Se tiene x E ]- oo,% J u ]2, +oo[
(x-2)-(x-1) -1 1 Si- X 2 2----+ 2 o----+-- 2 o----+-- 2 o----+ X> 2
1-(x-1) 2-x x-2
Se tiene x E ]2,+oo[ n [2,+oo[
Luego, CS1II = ]2,+oo[
Por tanto, CS = CS1 uCSII uCSm =Jo,%] u )2,+oo[
16
6.-Resolver
SOLUCIÓN
x+4 x-2 --<--x-5- x+3
Trasponiendo términos se tiene y operando
x+4_x-2sO~ 7x+1 sO x-5 x+3 (x-5)(x+3)
Por puntos críticos tomando las zonas de signo negativo se tiene
7.-Resolver \x2 + 2x + 3\ + \x 2 -1\ s 6
SOLUCIÓN
El término x 2 + 2x + 3 siempre es positivo, entonces
Hallando el universo U:
3 -2x-x2 2:: O~ x 2 +2x-3 sO~ (x+3).(x-l) sO
Luego, U:=[- 3,1]
Detenninando una solución parcial Sp:
Por propiedad de valor absoluto:
-(3-2x-x 2) sx 2 -1 ~ 2xs 2 ~x s 1A
x 2 -1s 3-2x-x2 ~x2 +x-2 s 0 ~ (x+2).(x-1) s 0 ~-2 sx s1
Intersectando estás dos resultados se tiene que Sp: [- 2,1]
17
Por tanto, el conjunto solució~ CS:= Un Sp:= [- 2,1]
8.-Resolver
SOLUCIÓN
Universo: x > O
Calculando la solución parcial Sp:
Eliminando el término llxl- 41, con x * ±4
Se tiene lx21 < lixj:
41 ~ x2 .(JxJ +4) < x ~ x(x(x+4)-1) <O~ (x(x+4) -1) <0 ~ x(x+4) < 1
Luego, x(x+4) < 1 ~ x2 +4x+4 < 5 ~ (x+2)2 < 5 ~-JS <x+2 <-../5 ~ -2--..,[5 <x <-JS -2Por
tanto, CS:=UnSp:= p,-JS- 2[
-/x 2 -5x+4 -2 ·-----==,..--- ~X- 6
2--Jx-2 9.-Resolver
SOLUCIÓN
Hallando el universo U:
x2 - 5x + 4 ¿O 1\ x- 2 2 O~ (x- 4)(x -1) 2 O 1\ x ¿ 2 ~ x- 4 2 O~ x 2 4 (1)
Luego, U:= [4,+oo[
~x2 -5x+4 -2 Luego, ~ 2 O <H-
2--vx-2
A: -J x 2 - 5x + 4 - 2 2 O 1\ 2 - -J x - 2 > O
18
B: ~x2 -5x+4- 2 ~ 01\2--Jx- 2 <O
Solucionando A:
~ x 2 - 5x + 4 - 2 ::::: O 1\ 2 - -J x- 2 > O ~ ~ x 2
- 5x + 4 ::::: 2 1\ 2 > -J x- 2 ~ x 2 - 5x + 4 ::::: 4 1\
1\ 4 > X - 2 ~ X( X- 5) :;::: 0 1\ X < 6 ~ X ~ 0 V 5 ~ X < 6
Luego, el conjunto solución para A, CSA:= }- oo,O ]u [5,6[
Para B se demuestra que el conjunto solución es el conjunto vacío
Por tanto, El conjunto solución será: CS=UnCSA= [5,6[ pues es evidente que el tennino x-6
es negativo para todos los elementos del conjunto solución .
10.- Resolver .) x 2
- 5x + 4 - 2 -----===--- ~X- 6
2-.Jx+2
SOLUCIÓN
Hallando el universo U:
x 2 -5x+ 4::::: 0Ax+ 2:;::: O~ (x- 4)(x-1) ~ 01\x ~ -2 ~ -2 5x 51 v x ~ 4 (1)
Luego, U:= [-2,1]u[4,+oo[
.) x2 - 5x + 4 - 2
Luego, r--: ;:::: O ~ 2-~~x+2
~ (-J x 2 - 5x + 4 - 2 ;:::: O A 2- ~ x + 2 > O )v (-J x 2
- Sx + 4 - 2 ::; O A 2- -J x + 2 < O)
Solucionando A:
-Jx 2 -5x+4 -2:;::: 0/\ 2--fi+2 >O~ -Jx 2- 5x+4:;::: 2A2 > -Jx +2 ~ x 2 -5x+4::::: 4/\
1\ 4 > X + 2 ~ X( X- 5) :;::: 0 1\ X < 2 ~ X ~ 0
Luego, el conjunto solución para A, CSA:= }- oo,O]
19
Solucionando B:
-J x2 - 5x + 4 - 2 ~ O 1\ 2 - -J x + 2 < O -+ -J x2
- 5x + 4 ~ 2 1\ 2 < -J x + 2 -+ x2 - 5x + 4 ~ 4 1\
1\ 4 < X + 2 -+ X( X - 5) ~ 0 1\ X > 2 -+ 2 < X ~ 5
Luego, el conjunto solución para B, CSB:= ]2,5]
Por tanto, El conjunto solución será: CS=Un(CSAUCSB)= ]- 2,0[ u [4,5] ya que el termino
x - 6 es negativo para todos los elementos del conjunto solución.
11.-Resolver .J x 2- 2x -15 > x + 1
SOLUCIÓN
Hallando el universo U:
x2 -2x-1520-+(x-5)(x+3)20-+x~-3vx25 (1)
Luego, U:= ]-oo,-3]u[5,+oo[
Calculando la solución parcial Sp:
Elevando al cuadrado se tiene:
.J x 2 - 2x -15 > x + 1 -+ x2
- 2x + 15 > x 2 + 2x + 1-+ 4x < -16 -+ x < -4
Luego la solución parcial Sp : ]- oo,-4[
Por tanto, el conjunto solución CS: Un Sp = ]- oo, -4[
12.-Resolver x-2 < x+5 -- --x-4- x+3
SOLUCIÓN
Transponiendo términos:
x-2 _ x+5 ~O-+ (x-2)(x+3)-(x+5)(x-4) S: O-+ 14 S: O x-4 x+3 (x-4)(x+3) (x-4)(x+3)
Luego, CS= ]- 3,4[
20
B.-Resolver 116- 2xl- 61 ~ 6- x
SOLUCIÓN
Hallando el universo U:
Luego, U:= ]-oo,6]
Luego, 116- 2xl- 61 ~ 6- x ~ -6 + x ~ l2x- 61- 6 ~ 6- x ~ x ~ l2x- 61 ~ 12 - x
Si x::.:; 3 --)-l2x- 61 = -(2x- 6) = -2x + 6
Luego, x ~ -(2x- 6) ~ 12- x ~ x ~ -2x + 6 ~ 12- x ~ x ~ -2x + 6 A -2x + 6 ~ 12- x
3x ~ 6 A -6 ~ X ~ X ~ 2 1\ -6 ~ X A X ~ 3 ~ -6 ~ X ~ 2
Luego, x ~ 2x- 6 ~ 12- x ~ x + 6 ~ 2x ~ 18- x ~ x + 6 ~ 2x A 2x ~ 18- x
6 ~X 1\ 3x ~ 18 ~ 6 ~X 1\ X::_:; 6A X> 3 ~X= 6
Por tanto, CS: [- 6,2] u {6}
14.-Resolver
SOLUCIÓN
1 lx-21 -+--~X 3 3
1 lx - 21 lx - 21 1 1 Transponiendo términos: - + -- ~ x ~ -- ~ x-- ~ lx- 2¡ ~ 3x -1
3 3 3 3
1 3 lx- 21 ~ 3x -1 ~ X- 2 ~ 3X -1 V X- 2 ~ 1- 3x ~ -1 ~ 2X V 4x ~ 3 ~ X ~ --V X ~ -
2 4
Por tanto CS · ]- oo -_!_]u]- oo ~] ' . ' 2 '4
21
15.- Resolver 3::; J2x + 1J ~ 5
SOLUCIÓN
S. 1 1 1 X S -- ~ 3 S -(2x + 1) S 5 ~ 3 S - 2x -1 S 5 ~ 4 S - 2x S 6 ~ -2 ~ X ~ -3 1\ X S --
2 2
CS1:= [-3,-2]
S. 1 1 1 X > - - ~ 3 ::; 2x + 1 ::; 5 ~ 2 S 2x S 4 ~ 1 ::; X S 2 1\ X > -- ~ 1 S X S 2
2 2
CS2:=~,2]
Luego, el conjunto solución será, CS:=CS1UCS2=[-3,-2]U[1,2]
16.-Resolver 1::; x-a s 2 x+a
SOLUCIÓN
x-a -2a -2a -2a -2a 1s-- s 2-+1s 1+--s2-+0s-- s 1--+0 s--A-- s1
x+a x+a x+a x+a x+a
. -2a 2a SI a> O --+O s -- --+ -- s O --+ x +a < O --+ x < -a
x+a x+a .
(1)
S. 0 - 2a <
1 - 2~ _
1 <
0 - 2a- x-a <
0 - 3a- x < 0 3a + x > 0 Ia> --+ _--+ _ --+ _ --+ _ --+ _
x+a x+a x+a x+a x+a
3a+x -- ~ 0--+ X S -3a V X> -a x+a
De (1) y (2) se tiene.
CS1: = }-oo,-3a]
-2a Si a < O --+ -- ~ O --+ x +a > O --+ x > -a
x+a
(2)
(3)
S.
0 - 2a < 1 - 2a _ 1 < 0
- 2a- x-a < 0 - 3a- x < 0 3a + x > 0 1 a< --+ _ --+ _ --+ _ --+ _ --+ _ x+a x+a x+a x+a x+a
3a+x -- ~ 0--+ X~ -3a V X< -a (4) x+a
22
De (3) y (4) se tiene.
CS2=: [- 3a, +oo[
17.-Resolver lx- 51+ ix + 11 :::; 3 x-1
SOLUCIÓN
Transponiendo términos lx-5l+lx+11 lx-5j+lx+1l-3(x-1) -'-------'---'-----,---'- - 3 :::; o ~ :::; o
x-1 x-1
lx - s¡ + lx + 11- 3x + 3 :=:;o x-1
Usando zonas
S. -(x-5)-(x+1)-3x+3 -x+5-x-1-3x+3 -5x+7 Ix<-1~ :::;o~ ::;;o~ :::;o
x-1 x-1 x-1
-5
x_-_? ¿o~(x<1vx¿2)Ax<-1~x<-1 x-1 5
Luego CS1 := [- oo,-1[
S. 1
< 5
-(x-5)+(x+I)-3x+3 0
-x+5+x+1-3x+3 0
-3x+9 0 1- _x::;; ~ ::;; ~ :::; ~ :::;
x-I x-1 x-1
3X-
9 ¿ 0 ~ (x < 1 V X¿ 3 )A -1:::; X:::; 5 ~ (-1 :$;X< l)v (3:::; X:$; 5)
x-1
Luego, CS2:= [-1,1[ v [3,5]
S.
5 (x-5)+(x+1)-3x+3
0 x-5+x+I-3x+3
0 -x-1
0 1 X> ~ :::; ~ :::; ~ :::; x-I x-1 x-I
x+1 ( ) --¿O~ x:::;-1vx>1 Ax>5~x>5 x-1
Luego, CS3 := ]5, +oo[
Por tanto, el CS=CS1UCS2UCS3=[- oo,-1[ U[-1,1[ v [3,5]U ]5,+oo[
23
18.-Resolver jx 2- 9j- 4lx -11 ~ 3- x 2
SOLUCIÓN
Hallaremos el conjunto solución por zonas
Si x ~ -3-?- x 2 -9+4(x-1)-3 +x2 ~O-?- 2x2 +4x-16 ~O-?- 2(x+4)(x-2) ~O
Luego, el conjunto solución eS 1 := - 4 ~ X ~ 2 1\ X ~ -3 -?- -4 ~ X ~ -3
Si -3 < x ~ 1-?- -(x2- 9) + 4(x -1)- 3 + x 2 ~O-?- 4x + 2 ~O-?- x ~ _ _!_
2
Luego, el conjunto solución eS2:= x ~ _ _!_ 1\-3 < x ~ 1-?- -3 < x ~ _ _!_ 2 2
Luego, el conjunto solución es3 := x ¿ ~ 1\ 1 < x ~ 3 -?- ~ ~ x :$ 3 2 2
Luego, el conjunto solución eS4:= -~ + 1 ~ x ~ ~ + 1Ax > 3-?- 3 < x ~ ~ + 1
Por tanto, el conjunto solución total será: eST= es 1 UCS2UCS3UCS4
1 5 G CST:= -4~x~-3u -3<x~--u -~x~3u 3<x~\15+1
2 2
19.- Resolver -Jx2 -x-2 ------:==- ¿ X- 3 2--Jx+4
SOLUCIÓN
Hallando el universo U:
x 2- x- 2 2 O 1\ x + 4 2 O 1\2- -Jx + 4 >O-?- (x- 2)(x + 1) 2 O 1\ x 2-41\ x <O
24
Luego, U:= [-4,-1]
Por tanto el conjunto solución será: U=CS:= [- 4,-1] ya que x-3 es negativo en U
2x-1 x+2 x-1 20.- Resolver --+ -- 2:: --
x+4 3-x x+3
SOLUCIÓN
Transponiendo términos
{2x -1X3-x)(x+3)+ (x+ 2Xx +4Xx +3)- (x -1Xx +4X3- x) > 0
(x+4X3-x){.x+3) -
Operando se tiene
10x2 +31x+27 0
10x2 +31x+27 0
1 0 --,-------.--;---____.-;;----___. > ~ < ~ <
(x+4X3-xXx+3)- (x+4){x-3Xx+3)- (x+4Xx-3Xx+3)
( X 1 X ) <O~ (x+4Xx+3Xx-3)< O
x+4 x-3 x+3
Luego, CS= }- oo, -4[ u}- 3,3[
4x4 -20x2 +8 21.- Resolver < 8
x 4 -5x2 +4
SOLUCIÓN
Trasponiendo términos
Luego, CS= }-oo,-2[u ~~,--J2[u }-l,l[u }J2,~[u ]2,+oo[
25
-)24-2x-x2
22.- Resolver ~ 1 X
SOLUCIÓN
Trasponiendo ténninos
-)24-2x-x2 -)24-2x-x2 -)24-2x-x2 -x ----::;1~ -1::;0~ ::;o
X X X
Calculando el Conjunto Universo
24-2x-x2 ¿O~ x 2 +2x-24:::; O~ (x+6Xx-4):::; O
Luego, CU=[- 6,4]- {o}
Solucionando
Si
x > O J\ -)24- 2x- x 2 - x ~ O ~ x > O J\-) 24 - 2x- x 2 ~ x ~ x > O J\ 24- 2x - x2 ~ x2
x > O J\ 24- 2x- x2 ~ x2 ~ x > O J\ 2x2 + 2x- 24 2 O ~ x > O J\ (x + 4 Xx- 3) 2 O
Luego, tenemos que es 1 =a- oo, -4[ u ]3 + ooD n ]o, +oo[ = ]3, +oo[
Por tanto CS 1 = ]3, +oo[
Si x<OA-)24-2x-x2 -x20~x<0A-v'24-2x-x2 2x~24-2x-x2 20
Luego, tenemos que CS2= ]- oo,O[ n [- 6,4] = [- 6,0[
Por tanto CS2= [- 6,0[
Por tanto el conjunto solución total será CS=Un(CSI UCS2)= [- 6,0[ u [3,4]
~\x-3\-\x-1\ 23.- Resolver -'------? - 2 O
x- -9
SOLUCIÓN
Calculando el Conjunto Universo
\x-3\-\x-1\2 O~ \x-3\2\x-1\ ~ (x-3Y- (x-tY 2 O~ -2(2x-4)2 O~ x::; -2
26
Luego, Conjunto Universo es dado por CU= }-oo,-2]
Resolviendo la inecuación se tiene
)lx-3J-Ix-1J 2 ~ O ~ )lx - 3J-Ix -11 ~ O !\ x2
- 9 > O ~ x E CU !\ x2 > 9 X .-9
x ECU A(x< -3v x > 3)~x < -3
Por lo tanto, el Conjunto Solución CS= }- oo,-3[
.I-Jx2 -2x --Jx2 +4x > 0 24.- Resolver
V x 2 -1 -
SOLUCIÓN
Calculando el Conjunto Universo
G- oo,O]v [2,+ooDn G- oo,-4]v [O,+ooD~ ]- oo,-4]v [2,+oo[ v {o}
Luego, CU= }- oo,-4]v [2,+oo[ v {o}
Hallando una solución CSl: se tiene
Luego, el CS 1 = ]- oo, -1[
Hallando una solución CS2: se tiene
(x 2- 2x::::; x 2 + 4x )!\ (-1 < x < 1) ~ x ~O!\ (-1 < x < 1) ~O::::; x < 1
Luego, el CS2= [0,1[
Por tanto, el conjunto solución será CS=CUn( CS1UCS2)= ]- oo,-4]v {o}
27
Calcular AnB
SOLUCIÓN
Solucionando el conjunto A
Hallando el Universo: !xl- 3;:::: O--+ !xl ;:::: 3--+ x;:::: 3 v x ~ -3
Si x:::: 3--+ !x- x + 3! ?:: ~ x- 3 --+ 3:::: -) x- 3 --+ 9?:: x- 3--+ x::;; 12 => 3::;; x::;; 12
Luego, tenemos conjunto solución 1 CS1=[3,12]
Luego tenemos conjunto solución 2 CS2= }- oo,-3]
Por tanto, se tiene que CSA=CS1UCS2= }- oo,-3]u [3,12]
Solucionando el conjunto B
S. x2-7x+10>0 (x-2Xx-5)>0 1r1 2] [5 [
1 _ --+ _ --+ JV, u ,+oo X X
Luego, el conjunto solución para B= p,2] u [5, +oo[
Por tanto, el conjunto solución de AnB= [5,12]
28
CAPITULO 11
FUNCIONES
2.1.-DOMINIO RANGO
l.-En los problemas que se dan a continuación. Calcular el dominio y rango de las siguientes
funciones.
a).- f(x) = x 4 + x 2
SOLUCIÓN
Dominio:
Por tanto, Dom(f)= R
Rango:
Luego, Rang(í)= R;
b).-f(x)=~x' +1 x 2 -1
SOLUCIÓN
Dominio:
x 2 +1 De -
2 - ;:::: O ---) x2
- 1 > O ---) x2 > 1---) x > 1 v x < -1 X -l
Por tanto, Dom(f)= ]- oo,-1[U },+oo[
Rango:
Despejando x en términos de y se tiene
(I)
29
Luego, de (I) y (II), y > 1
Por tanto, Ran(f)= ),-roo[
lxl-1 c).-f(x)=-
x
SOLUCIÓN
Dominio:
(II)
Como no existe la divisibilidad por cero se concluye que el dominio es todo los reales menos
es cero. Por tanto, Dom(f)= R/{0}
Rango:
lXI ·.= {X, X 2 Ü Redefiniendo el valor absoluto de x como -x, x<O
X -1 1 Si x20~y=--~x=--~y;z:1
X y-1
-x-1 -1 o si x<O~ y= ~x=--~ y;z:-1
·X y+1
Por tanto, Rang(f)= R !{± 1}
d).-f(x)=x 2 +2x+2
SOLUCIÓN
Dominio:
Como la función es una función entera cuadrática el dominio son todos los números reales
Por tanto, Dom(f)=R
Rango:
De f(x) = x 2 + 2x + 2 ~ f(x) = (x 2 + 2x + 1)+ 1 = (x + 1Y + 1 ~y 21
Por tanto, Rang(f)= [1,+oo[
30
e).- f(x) = x 2 -2lxl +4
SOLUCIÓN
Dominio:
Como la función/ es entera cuadrática con valor absoluto en x se concluye que el dominio son
todos los reales.
Por tanto, Dom(f)=R
Rango:
e e men o a nc10n f(x) = ~ f(x) = R d fi . d 1 fu . , {X 2 - 2x + 4, x ~O {(x -1Y + 3, x ~O
x 2 +2x+4, x<O (x+1Y +3, x<O
Luego, Rang(f)= [3, +oo[
f).- f(x) = ~Ln(x2 +x)+1
SOLUCIÓN
Analizando dentro del radical
] -!5 +1[ ]-!5-1 [ Luego, Dom(f)= - oo,-2
u 2
,+oo
2.- Hallar el rango de la siguiente función.
{·V X 2
- 2x + 5, 2 S X S 5 f(x) =
1 + ~3 + 2x- x 2, -1 < x < 2
31
SOLUCIÓN
a).-Rangoparalafunción h(x)=~x2 -2x+5 =-\}(x-1) 2 +4, 2~x~5
De 2 ~ x ~ 5 entonces
Luego -J5 s; y s; -J20 ~ -15 s; y s; 2-/5
Por tanto, el rango para la función h será Rang( h) = [-!5 ,2-/5]
b).-Rango para la función g(x) = 1 + -J3 + 2x- x 2 = -)4- (x -1)2, -1 < x < 2
De -1 < x < 2 entonces
- 2 < x -1 < 1 ~Os; (x -1)2 < 4 ~ -4 < -(x -1)2 s; O~ 4 > 4- (x -1)2 ?:: O
Luego 1 s; y < 3
Por tanto, el rango para la función g será Rang(g) = [1,3[
Por lo tanto el rango para la función f será:
Rang(f) = Rang(h) u Rang(g) = [J5,2-/5]u [1,3[
3.- Hallar el rango de la siguiente función.
~JxJ+2, -7~x<-2
f(x)= [~]+x', JxJ~2
1-Jx+ lJ 2<x~5
2x-1 '
32
SOLUCIÓN
~JxJ + 2, -7 ~ x < -2
f(x)- [x2]+x2
, -2~x~2 La función es equivalente a -
-x 2x-1'
Calculando el rango para cada función se tiene
Rang(~Jxl + 2 )=
De - 7 s x < -2 ~ 7 ~ lxJ > 2 ~ 9 ~ ~~ + 2 > 4 ~ --./4 < JxJ + 2 s -J9 ~ 2 < ~lxl + 2 s 3
Luego, el Rang(~lxl + 2 )= ]2,3]
Desdoblando el dominio de [ ~ J + x2 en los siguientes intervalos
-2sx<Ov0sx<2vx=2
Si - 2 s x < 0 ~ 0 < x 2 s 4 ~ -1 < [ 1 J + x 2 s 3 ~ -1 < y s 3
Si O s x < 2 ~ O s x2 < 4 ~ 0 s [; J + x2
< 4 ~ O s y < 4
Luego, el Ran~[ ~] + x') = }-1,3]v [0,4[ v {s}
33
Rang -- =Rang ----- = ( -x ) ( 1 112 )
2x-1 2 2x-1
. 1 1 1 1 112 1 De 2 < x ~ 5 ~ 4 < 2x ~ 1 O~ 3 < 2x -1 ~ 9 ~- > -- 2 - ~- > --2-
3 2x- 1 9 6 2x - 1 18
1 112 1 2 1 1/2 5 2 5 De ~--<---~--~--<-----~--~--<y~--
6 2x -1 18 3 2 2x -1 3 3 9
( -X ) ( 1 112 ) ] 2 5] Luego, el Rang -- = Rang ----- = --,--
2x - 1 2 2x - 1 3 9
Luego, el rango de la función dada será: Rang{,j¡~ + 2 )u Ran{[; J + x2) U Rang( ~:
1 J
Por tanto, Rang(¡) = ]2,3]u }-1,3]u [0,4[ u {5}u ]- ~,-%]
4.- Hallar el rango de la siguiente función.
3 x+sgn(x2 -9)'
5
x::; 2,x :;t: ±1
f(x)=
x+-, X
SOLUCIÓN
Simplificando el sgn( x 2 - 9)
¡1,
sgn(x2 - 9) = O,
-1,
x;;::5
3 x+l' 3
' X
La función se reduce a f ( x) = 3 x-1'
5 x+-,
X
x>3vx<-3
X=±3
-3 <x < 3
x<-3 x:;t:-1 '
x=-3
34
Ranj-3 )= 5 (x+1
' 1 1 3 3 3 De x<-3~x+1<-2~0>-->--~0>-->--~0> y>--
x+1 2 x+1 2 2
Luego, Rang( x: 1) =]-%,o[
3 De x=-3~-=-1~ y=-1
-3
Luego, Ran{ ~) = {-1}
Ranj-3 )= 5 (x-1
1 1 De -3 <x ~ 2~-3< x <1 v1 <x ~ 2 ~ -4 <x-1 <OvO< x-1 ~1~-- > -v
4 x-1
1 3 3 3 3 V-~ 1~-- >--V--~ 3 ~ -- > yv y~ 3
x-1 4 x-1 x-1 4
Luego, el Rang( x ~ 1) = ]- oo,- %[u [3, +oo[
( 5) (x2 +5] Rang x+~ = Rang x =
Luego, Rang( x + ~) = ~ oo.- 2-JS]u [2-JS,+oo[
Por tanto, el Rang{[) = } ~ ,{ v {-1 }v ]-oo,-¡[ v [3, +oo[ v ]- oo,-2-JS]v [z-JS ,+oo[ '1 35
5.- Hallar el rango de la siguiente función
f(x)=
x-2' x+5
lx-21 > 3
-)x2 +4x+4, O<x<l
2 + l2x -11, 2 ~ x ~ 3
SOLUCIÓN
Calculemos el rango para cada función
Ranj x+S)=Ranj1+-1 )= 5~x-2 5~ x-2
Desarrollando jx- 21 > 3 -+ x > 5 v x < -1
Si
1 1 7 7 7 7 10 10 x >5-+x-2>3-+0<--<- -+0<-- <--+1<1+--<-+1=- -+1 <y<-
x-2 3 x-2 3 x-2 3 3 3
Si
1 1 7 7 7 7 4 x < -1-+x-2 <-3 -+0 > -- > ---+ 0>-- > ---+ 1 > 1+-- > --+1= ---+
4 -+ 1> y>--
3
x-2 3 x-2 3 x-2 3 3
Luego, el Ran~:~~) = }.~[ v ]-~.{
Rang(-J x2 + 4x + 4 )= Rang(~Cx + 2)2 )= Rang(lx + 21) =
Si O < x < 1 -+ 2 < x + 2 < 3 -+ 2 < lx + 21 < 3 -+ 2 < y< 3
Luego, Rang(lx + 21) = ]2,3[
Rang(2 +l2x- 51)= Rang(2 + 2lx- 5/2j)=
Redefiniendo (2 + ~x- 5121) en 2 ~ x ~ 5 se tiene
36
Si 2::;; x <51 2 ~ 2- 512::;; x-51 2 <O~ _ _!_::;; x-51 2 <O~_!_ 2lx- 5121 >O 2 2
12 2lx-5/2l >O ~3 2 2+2/x-5121 > 2 ~ 2 <2+2lx-5/2l::;; 3 ~ 2 <y::;; 3 (1)
Si 512 ::;; x ::;; 3 ~ O ::;; x-51 2 ::;; _!_ ~ O ::;; lx-51 2\ ::;; _!_ ~ O ::;; 2\x- 51 2\ ::;; 1 2 2
Luego, de (1) y (2) el Rang(2 + 2lx- 5/21) = [2,3]
Por tanto el Rang(f) ~ r~[ u]-Hu [2,3]
6.-Hallar el rango de la función f(x) = -~x2 + 2lx\ + 2
SOLUCIÓN
Redefiniendo la función se tiene
{- ~ x2 + 2x + 2,
f(x)= -~x2 -2x+2,
x20
x<O
Luego para la primera función el rango es Rang~ ~(x + 1)2 + 1 )= ~ oo,--fi]
Si
Luego, para la segunda función el rango es Rang(- ~(x -1)2 + 1 )= ~ oo,--fi[
Por lo tanto, el rango para la función Rang (!) = ]-OC), -_,_fi]
37
2.2.-0PERACIÓN CON FUNCIONES
l.-Dado la función
Calcular f' si existe.
SOLUCIÓN
Para que exista f' la función f debe ser inyectiva
En efecto
Sean X¡ y x2 E Dom(f) = {x 1 x > O 1\ x * 4} .Por definición de inyectividad se tiene
f( ) ( x; -1 x; -1 ( 2 X 2 ) ( 2 X 2 ) x1 =f x 2 )---) 2
= 2
---) x1 -1 x2 -16 = x1 -16 x2 -l X -16 X -16 1 2
Desarrollando y simplificando se tiene que: x1 = x2
Por tanto, la función fes inyectiva. Luego, la función inversa existe
Ahora Calculemos la función inversa,/*
x2 -i . 2 i-i6y i6y-i ~i6y-i De y = se tiene x = = ---) x =
x2 -16 1-y y-1 y-1
Cuyo será: Dom(f*) = {y 1 y s 116 1\ y > 1}
Por tanto, La función inversa será definida por
2.-Dados las funciones
y
Calcular
La regla de correspondencia y el dominio de f o g; el rango de f o g
SOLUCIÓN
a).-Aplicando la definición de composición entre dos funciones se tiene:
38
Sacando extremos se tiene que:
15- x 2
(Jog)(x) = 2
X
Ahora, calculemos su dominio, por definición de dominio de la composición de f o g
b ).- Dom(fog) = {x 1 x E Dom(g) 1\ g( x) E Dom(f)} (1)
Antes de calcular Dom(f o g), hallemos el Dominio de g:
Luego, el Dom(g) = {x 1-4 s; x s; 4} (2)
De (1) y (2) se tiene:
- 4 s; x s; 4 1\ 16 - x2 > O 1\ 16 - x2 :;t: 16
-4<x<4 1\ x:;t:O
Luego,
Dom(fog )= {xl X E }-4,4[ /\X :;t: 0}
15 -x2
Por tanto, (Jog )( x) = 2 , - 4 < x < 4 1\ x :;t: O X
e).- Calculando el Rango dejo g
2 1 1 15 15 15 15 1 De -4 < x < 4 1\ x :;t: O~ O< x ::::; 16 ~-;::::- ~-;::::- ~- -1;::::- -1 = --
x2 16 x 2 16 x 2 16 16
Luego, Rang(fog) ={y E R/ y¿ - 1~}
39
{-J16x2 -17x+1, x~2
3.-Dados las funciones f(x) = , -J x 2
- 3x + 2, x ::; 1
Calcular fg*
SOLUCIÓN
Demostraremos que existe g*
En efecto
Luego, g es inyectiva Por tanto existe g*
Calculo de g*
x2
-1 r6y-l De y= 2 =?x= =g*(y) X -16 \ y-1
Calculo del Dom(g*)=Rang(g)
16y -1 1 x 2 = ~ O => y ::; - v y > 1
y-1 16
Por tanto, la función inversa para g es dado por: g * ( x) = ~ 16x -
1 , x ::; __!_ v x > 1
x-1 16
Ahora calculemos f g*
( \r [{~(16x-1)(x-1), f.g*,..,_x) =
~(x -1)(x- 2),
Por lo tanto
{
16x-1,
(¡.g *)(x) = ~(x- 2)(16x -1),
x ~ 2] (~ 16x- 1 1 J {16x -1, x ~ 2 . , x=s;-vx>1 =
x:-:;1 x-1 16 .V(x-2)(16x-1),
x~2
1 x::;-
16
1 X::;-
16
40
4.-Dados las funciones
f(x) = ' {
x 2 -5x x < -2
lx- 21- 2x, x ~ -2 y g(x)=x2 +3x, x~-3/2
Calcular
a).-f+ g* b).- Dom(f + g *)
SOLUCIÓN
a).-f+ g*
Primero calculemos la función inversa de g, g*
Probaremos que g es inyectiva
En efecto
xf + 3x1 + 914 = x; + 3x2 + 914 ~ (x1 + 3/2)2 = (x2 + 3/2)2 ~ x1 + 3/2 = x2 + 3/2
x1 = x2
Por tanto, g es inyectiva Por tanto, existe la inversa de g
Calculo de g*
y= (x+3/2) 2 -9/4-+ y +91 4 = (x+3/2) 2 -+ x+3/2 = JY"+9! 4-+ x = -312+~y+91 4
Por tanto, x = g *(y) = -3 12 + ~y+ 914, y ~ -9 14
En términos de x :
g*(x) = -312+-Jx+91 4, x ~ -9/4
Luego,
{x2
- 5x x < -2 ¡ f(x)= l l ' +g*(x)=-312+-vx2 +914, x~-9/4
x-2 -2x, x~-2
f(x)+g*(x)=x 2 -5x-312+-Jx2 +914, -9/4:$;x<-2
41
5.-Dados las funciones
f(x)=2x-3, -2~x~3 g(x)=x-~x!l -2~x~l
Calcular f 1 g, Dom(f 1 g), y Rang(f 1 g)
SOLUCIÓN
(f!g)<x)= f(x) = 2x-3 g(x) x -llxll
Dom(f f g): (-2 ~X~ 3A-2 ~X~ 1)/{x/x-llxll = 0}
Dom(f 1 g): (- 2 ~ x ~ 1)/{x 1 x = -2,-1,0,1}
Dom(f 1 g) = {- 2 < x < 1} 1\ x =f:. O, -1
Calculo del rango
Para calcular el rango redefinimos la función
2x-3 -2<x<-1
x+2'
(j 1 g)<x) = f(x) = 2x-3 = 2x-3 -l<x<O
g(x) x-llxll x+l' 2x-3
O<x<l X
Simplificando la función
7 -2<x<-1 2---
x+2'
(¡ 1 g)<x) = f(x) = 2x-3 = 5 -l<x<O 2--
g(x) x-llxll x+l' 3
O<x<l 2--' X
1 7 7 De -2 < x < -1~0 <x+2 < 1~ -- > 1~--- < -7 ~ 2--- < -5 (1)
x+2 x+2 x+2
Luego, Rang(l) = y < -5
1 5 7 De -1 < x <O~ O < x + 1 < 1 ~- > 1 ~ --- < -5 ~ 2--- < -3
x+1 x+2 x+2 (2)
Luego, Rang(2) = y <-3
42
1 3 3 De 0<x<1~->1~--<-3~2--<-1
X X X
Luego, Rang(3) = y < -1
Por tanto, Rang(f 1 g) = Rang(l)u Rang(2) u Rang(3) = ]- oo,-1[
6.-Dados las funciones
f(x)=1-2x, -2:::;;x:::;;3 g(x) = 2x2 - x, JxJ:::;; 2
Calcular gof * Dom(gof*), y Rang(gof*)
SOLUCIÓN
Calculo y existencia de f*
Existencia de/*
Por tanto,/ es inyectiva luego existe f*
Calculo de/*
1-y y =1-2x ~2x=1-y~x =f*(y)=-
2-, -5:::;; y::;; 5
En términos de x se tiene
1-x f*(x)=-, -5:::;;x:::;;5
2
Ahora, calculemos gof * Dom(gof*)
l-x 1-x 1-x 1 x ( ) ( )
2 ( ) 2 (gof*)(x):=g(f*(x)):=g -2- :=2 -2- - -2- =-2+2
1-x Dom(gof*) := -5:::;; x:::;; 51\ -2:::;; --:::;; 2
2
- 5 :::;; X:::;; 51\ -4:::;; 1- X s 4 ~ -5 s X s 51\ -5 :::;; -X s 3 ~ -5:::;; X s 51\-3 s X s 5
-5 s x s 51\-3:::;; x s 5 ~ -3 s X s 5
Luego, Dom(gof*) := -3 s x :::;; 5
(3)
43
Calculo Rang(gof*)
x 2 25 1 x 2 26 -::=;-~--+-:s;;-~y:s;;13 2 2 2 2 2
Por tanto, Rang (gof*) = }- oo,13]
7.-Sea f: [1,6]--) [ 2, 3:]. Se define f(x) = x+!
a).-Demostrar que la función fes biyectiva
b ).-Calcular la función inversa
SOLUCIÓN
a).-1.-Demostración de la inyectividad
En efecto
Por tanto,/ es inyectiva, luego /tiene inversa
2.-Demostremos que fes sobreyectiva que es equivalente que el conjunto de llegada coincide
con el rango de la función
En efecto
Como fes inyectiva entonces Rang(f) = [f(l),/(6)]= [ 2):] Luego, el rango coincide con el conjunto de llegada, entonces fes sobreyectiva
Por tanto, de 1 y 2 se tiene que fes biyectiva
b).-Calculo def *
44
1 x2 +1 y+~y2 -4 y= x+- = --~ .xy= x2 +1 ~ x2 -.xy+1 =O ~x = f*(y) = ----"---
x X 2
con Dom(f*) = [ 2, 3:]
En términos de x se tiene
f*(x)=x+~~2-4' 2:::;x:::;3:
8.- Dados las funciones
f(x)=3--Jx-2, 2:s;;x g(x) = lxl, -1 s x S 4
Calcular gof-1 si existe
SOLUCIÓN
Demostraremos que fes inyectiva
Sea
Luego, fes inyectiva. Por tanto, existe la inversa
Calculo del rango de la función f
X ¿_ 2 => X - 2 ¿_ 0 => -J X- 2 ¿_ 0 => --J X - 2 ::;; 0 => 3 - -J X - 2 ::;; 3 => y ::;; 3
Por tanto, Rang(f)= ]- oo,3]
La inversa de fserá: ¡-1(x) = 2 + (x -3)2, x:::; 3
Ahora calculemos go¡-r
Luego,
(go¡-r Xx) = (x- 3)2 con dominio Dom(go¡-r) = [3- -Ji,3]
45
9.- Dados las funciones
f(x)=x 2 -1, -1::::;;x::::;;1
Calcular
a).- f 1 g, Dom(f 1 g)
b).-Rang(f 1 g)
e).- ¿Exite (f 1 gr1 ? Justifique su respuesta
SOLUCIÓN
f(x) x2
-1 2 [ ] a).-(f/g)(x):=-= ., =1-- Dom(f/g)= -1,1 g(x) x-+1 x 2 +1
b).-Rang(f 1 g)=?
1 1 -2 -1 ~ x ~ 1--? O~ x 2 ~ 1--? 1 ~ 1 + x 2 ~ 2 --?- ~ - 2- ~ 1--? -2 ~ - 2- ~ -1
De 2 x +1 x +1 -2
-1 ~ 1+-2- ~o --?-1 ~y~ o X +1
Por tanto, el Rang(f 1 g) = [-1,0]
e).- ¿Exite (f 1 gr1 ? Justifique su respuesta
Como el cociente f 1 g es una función par en su dominio entonces no existe la inversa de la
función cociente.
10.- Dado la función
a).- Demostrar que la función es inyectiva
b).- Calcular la función inversa
SOLUCIÓN
Antes de demostrar calculemos el dominio
46
x + 1/ x~ + l >O~ >J x- + 1 > -x ~ ~ ~ {x>O~VxeR:~x2 +1+x>O
• X <0~ ~X2 +1 >-X~ x 2 +1 >X~ 1 >Ü
a).- Demostración de la inyectividad
En efecto
sea x1,X2 E R: f(x 1) = f(x 2 ) <=> Ln(x1 +R+!) = Ln(x2 +~x; +1) ~
x1 + ~ x; + 1 = x2 + ~ x; + 1 ~ x1 - x2 = ~ x; + 1 - ~ x; + 1 ~
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 o ( )2 o x1 x2 + x1 + x2 + = + x1 x2 + x1 x2 ~ x1 + x 2 - x1 x2 = ~ x1 - x 2 = ~ x1 = x2
Por tanto,¡ es inyectiva
b).- Calculo de la función inversa
Por tanto, la función inversa será
X -X
¡-1(.x)= e ~e , Dom(f-1)=R
11.-Sea f: A~ [-9,-1]
a).-Determinar A
3+4x dada por f(x) =
3 _ x
b ). -Demostrar que fes inyectiva
e).-¿ fes sobreyectiva? Justifique su respuesta
SOLUCIÓN
a).-Determinar A
El conjunto de llegada es dado por el intervalo cerrado [- 9,-1]
47
3+4x Luego -95,f(x)= S,-1
' 3-x
Despejando x
3+4x 15 15 - 9 s, s, -1 ---+ -9 S, -4 + -- s, -1 ---+ -5 s -- s, 3
3-x 3-x 3-x
15 15 Luego - 5 S, -- 1\ -- S, 3
' 3-x 3-x
Desarrollando cada inecuación
5 < 15 15
5 0 15+15-5x
0 6-x
0 x-6
0 - ------+--+ ¿ ---+ ¿ ---+--¿ ---+--¿ 3-x 1-x 3-x 3-x x-3
Luego, x < 3 v x ~ 6 (1)
15 <3
15 3 0 15-9+3x < 0 6+3x 0 x+2 0 -- ~--- < ~ ~ < ~-->
De otro lado, 3-x- 3-x - 3-x - 3-x - x-3-
Luego, x s, -2 v x > 3 (2)
De (1) y (2) se tiene que
b ).-Demostrar que fes inyectiva
Simplificando la función se tiene f(x)=-4+~ 3-x
Demostración
Luego,fes inyectiva
e).-¿ fes sobreyectiva? Justifique su respuesta No pues para y= -4 No existe x E A tal que
y= f(x)
12.-Dados las funciones
f(x)=-~x2 +6x-7, xs-7 g(x)=x+3, -10sxs-7
Calcular g of-1 si existe, Dom (g of-1)
48
SOLUCIÓN
Calculo de la existencia def-1
Por tanto,¡ es inyectiva entonces existe ¡-l
Calculo de la funciónf- 1
x=f*(y)=-3-~y2 +16, y~O
En términos de x se tiene
f*(x)=-3-~x2 +16, x~O
Calculo de g o ¡-I si existe, Dom (g o ¡-I)
¡-::---
x~OI\-7~--Jx2 +16 ~-4~x~OA492x2 +16216~x~OA332x2 20
Luego, el Dom(gof *):= l- -J33,oj
13.-Dados las funciones g(x) = 2xii~JI, -2 < x < 2
Calcular
a).-f + g, Dom(f +g) b).- El rango de/ +g
49
SOLUCIÓN
a).-f + g, Dom(f +g)
(J + g):x) = f(x)+ g(x) := x2
+2x\\;l\, -1 ~ x ~ 1
Redefiniendo la suma
b).- El rango def +g
Luego, Rang(l): O< y~ 3
-l~x<O
O~x~l
De O ~ x ~ 1 ~ O ~ x 2 ~ 1 ~ O ~ y ~ 1
Luego, Rang(2): O~ y~ 1
Por tanto, Rang(f + g) := Rang(l) u Rang(2) = [0,3]
14.-Dados las funciones
Calcular g o ¡-1 si existe, Dom (g o ¡-1)
SOLUCIÓN
Calculo de la existencia de ¡-1
Demostraremos que 2 + x 2 es inyectiva
En efecto
Ya que X1 + X2 * O
Por tanto, la función 2 + x 2 es inyectiva
(2)
{
x+2 g(x) = x '
X,
50
También demostraremos que la función 1-~ X 2 + llxll + 4 = 1- -J X 2 + 3
Es inyectiva
En efecto
Ya que x1 + X2 * O
Por tanto, 1-~ X 2 + llxll + 4 = 1-~ X 2 + 3 es inyectiva
Falta ver que la intersección de los rangos de estas funciones sea el vacío
En efecto
Rango(2 + x 2) = [f(l), f(2)] = [3,6]
Rang(l- -J x 2 + 3) = lrc -l),f(O)[ = ~ 1,1- v'J[
Luego, Rang(2 + x2) n Rang(l- -,j x 2 + 3) = r/J
Por tanto la función fes inyectiva, entonces existe la inversa
Calculo de la función inversa
Paralafunción y=2+x2 ~x2 =y-2~x=±)y-2 ~x=)y-2, 3:-::;y:-::;6
En términos de x se tiene ¡-1(x) = -.Jx- 2, 3 ~ x ~ 6
Para la función
y =1-~x2 +3 ~-Jx2 +3 =1- y ~x2 +3 =(1- y) 2 ~x =±·)-3 +(1- y) 2, -1 <y< 1--13 En
En términos de x se tiene ¡-1 (x) = --J x 2- 2x + 3, -1 < x < 1- vS
Por tanto, la función inversa será
1 {~X- 2, 3 :::; X :::; 6 ¡- (x) = · - -J x 2
- 2x- 2, -1 < x < 1-~
51
Calculo de gof-1
({ ,--- J {~+2 (
_1\- ( _1 ) --Jx-2 e-;; , ............... (1) gof A X) = g f (X) = g l = \1 X- 2
-\IX2 -2x-2 ~-------Jx2 -2x-2, .......... (2)
Calculo del dominio para la función (1)
De 3 ~ x ~ 6 /\ (o ~ -J x - 2 ~ 4 v ~J x- 2 ~ -4)
3 ~ X ~ 6 /\ ( 0 ~ X- 2 ~ 16 V X E r/J) ~ 3 ~ X ~ 6 /\ (2 ~ X ~ 18) ~ 3 ~ X ~ 6
Luego el dominio para la función (1) Dom(1) = [3,6]
De -1 < x < 1-~ /\ (o ~ --J x2 - 2x- 2 ~ 4 v --J x2
- 2x- 2 ~ -4)
-1 < x < 1- -.J3 /\ (x E rjJ v -~ x2- 2x- 2 2 4)~ -1 < x < 1-~ /\ (Cx -1)2 219)
-1 <X< 1- -fj /\(ex -1)2 ¿ 19 )~ -1 <X< 1- -!3 /\ ~ ¿ -/19 + 1 V X~ 1- )i9)~ -1 <X< 1- -fj
Luego el dominio para la función (2) Dom(2) = ~ 1,1-~[
15.-Sea la función definida por
f(x) = {2- x,---z '_ I--Jx2 -4,
a).-La fun~ión f es inyectiva?
b ).-En caso de serlo, hallar la inversa
c).-Construir la gráfica de la función/
SOLUCIÓN
Usando la definición de inyectividad se tiene
Para la primera función
Para la segunda función
x~-4
52 Y\
Faltaría demostrar que Rang(2- x 2) n Rango(l- -J x 2
- 4) = fjJ
Luego, el Rang(2- x 2) = [- 2,-1]
Luego, el Rang(l- ~ x2 - 4) = ~ oo,l- 2-J3]
Por tanto Rang(2- x 2) n Rango(1- -J x2
- 4) = [- 2,-1] n ~ oo,1- 2-J3] = fjJ
Por tanto, la función dada es inyectiva
b).-En caso de serlo, hallar la inversa
De la función despejando x en termino de y se tiene
que si f(x) = {2
--Jxr---:2
'_
1- x 2 -4 '
-f3sxs2
xs-4
Entonces f- (y)= 1 {~2- y, -2 s y s -1 . - ~ 4 +(y -1)2
, y s 1- 2-J3
Por tanto la función inversa es dado por
1 {~' ¡- (x)= ,-----~4+(x-1)2,
-2sxs-1 {;;;
xs1-2'-13
c).-Construir la gráfica de la función/
53
·1
-2
.;
·l
16.-Dado la función f(x) = ~x',- 25 , x 2 5 X -9
a).-Demostrar que la función es inyectiva
b).-Calcular la función inversa y su dominio
SOLUCIÓN
y
a).-Usando la definición de inyectividad se tiene
Para la primera función
Por tanto, se demuestra que la función es inyectiva
\
D 1 ~ ·, d · d . d . . ¡-le ) J9x' -25 e a 1uncton espeJan o x en termmo e y se tiene que s1 x = . 2 X -!
Calculando el dominio
1 1 16 De x;;=:5 -?x 2 :;::25---? x 2 -9 :;::16 ---?0 <-- ~----?0<-- ~1
x 2 -9 16 x 2 -9
16 16 r. [ O > 2
;;:: -1 ---? 1 > 1- -2-- ;;:: O ---? 1 > y ;;:: O ---? Rang(f) = L0,1
X -16 X -16
Por tanto de la definición Dom(f1)=Rang(f)= [0,1[
5.5 6 6_5
54
17.-Dados las funciones
Calcular f o g -l si existe, Dom (/o g -1)
SOLUCIÓN
x-1 g(x)=-
2-, x=t:2 -x
Existencia de g-1 mediante la inyectividad. En efecto
X -1 X -1 {} g(x1 ) = g(x2 ) ~ - 1- = - 2
- ~ x1 = x2 , con x1,x2 E Rl 2 2-x 2-x 1 2
Luego, la función g es inyectiva. Por tanto, existe la inversa
Calculo de g-1
D 1 fu . , d . d . d . . -1 ( ) 2x + 1 1 e a nc10n espeJan o x en termmo e y se tiene que s1 g x = --, x * x+1
Calculando f o g -I si existe, Dom (/o g -1)
Calculando el dominio f o g -I
1 O < 2x + 1 < 4 1 0 < 2x + 1 2x + 1 4 1 0 < 2x + 1 2x + 3 > 0 X;:f:. 1\ _--- ~X;:f:. 1\ _--/\---$ ~X;:f:. 1\ _--/\ _ x+1 x+1 x+l x+1 x+1
Por tanto, el Dom(fog -l) = ]- oo,-% J u [- ~, +oo[
18.-Dados las funciones
1 g(x) = 2x+ [2x1 lxl <-
2
55
Calcular
a).-f + g en su forma más simple
b).-El rango def+ g
e). -Construir la gráfica de la funciones f y g y de f + g
SOLUCIÓN
a).-Redefmiendo la función signo
x 2 -1 1, -· - > 0 ~ -1 <X< 0 V X> 1
X
sgn(x';l)~ O, x2 -1 --=0~x=±1
X
x 2 -1 -1, --<0~x<-1v0 <x<1
X
Luego, la función queda escrita como
{- x 2 + 2, -1 <X< 0
f(x)= - X
2, 0 :=::;X< 1
Redefiniendo la función g se tiene
2x-1 '
g(x)=
2x,
1 --<x<O
2 1
O:=s;x<-2
-x2 +2x+1, 1
--<x<O 2
Por tanto f(x) + g(x) == '
-x2 +2x, 1
O:=s;x<-
-(x-1Y +2, f(x)+ g(x) ==
-(x-1Y+1,
1 --<X< 0
2 1
O:=s;x<-2
2
56
b ).-El rango de f + g. Es fácil calcular el rango
Luego, el rango de Rang(f + g) ~ ]-! .{u [O, ! [ e).- Construcción de la gráfica de la funcionesf(color azul) y g (color rojo)
y
-3 -2
Construcción de la gráfica de f + g
y
19.-Dada la función graficar fy f* en un mismo plano
{x 2 + 2x + 2, x < -1
Siendo f(x) = ~ -,¡x+1, x2-1
SOLUCIÓN
{-1- .)X-1 X > 1
Es fácil calcular f * (x) = 2
' (colorazul) x -1 x~O
57
CAPITULO 111 ·
LÍMITES
3.1.-DEMOSTRACIONES
Usar la definición de límite para demostrar los siguientes problemas.
1 D L, 2x
0 .- emostrar que lm -. - = x-?o 3x -1
DEMOSTRACIÓN
1 2x 1 Dado & > O, 3 8 > O tal que x :;t: 1/3 J\ O < lxl < 8 ~ ¡---O < & 3x-1
El objetivo es de hallar a > O tal que se cumpla la definición de limite
En efecto
De ~~~ = 2lx[l-1-l < 28.k 3x-1 3x-1 (1)
Tenemos que acotar la función-1- dando un valor particular para a
3x-1
N 1 fun . , 2x . , .
1 1
otamos que a c1on --tiene una asmtota vert1ca en x = -3x-1 3
la-x 1
Por lo cual el a se debe tomar como 8 = 0 donde a es la asíntota vertical y x0 es el punto 2
de acumulación.
l!-ol En efecto, al reemplazar a y Xo en la formula se obtiene que 81 = _1
3-- = _! 2 6
Para nuestro ejemplo tomaremos 81 = _! 6
1 1 1 1 1 3 1 2 1 Luego O <lxl <-~-- <x<-~ --- <3x<-~ -- <3x-1<--~-->-- >-2
6 6 6 2 2 2 2 3 3x -1
Tomando el valor absoluto en la última inecuación
59
2 1 1 1 -< --¡<2~k=2 3 3x-l
Reemplazando (2) en (1)
1~~ = 2lxll-1
1 < 28.2 = 48 3x-1 3x-1
En esta última expresión basta tomar 48 = 8 ~ 8 = 8
4
(2)
Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{ ~, ¡}
Por lo que queda demostrado que Lím ~ = O x-?o 3x-1
2.-Demostrar queLím x + 11
= 4 x--?1
x--2
DEMOSTRACIÓN
Dado 8 > O, :3 8 > O tal que x * 112 1\ O < lx- 1/ < 8 ~ 1 x + 1
- 41 < 8 x-1/2
El objetivo es de hallar a> O tal que se cumpla la definición de límite
En efecto
De 12x+2-8x+41 = 6lx-111-1-l < 28.k 2x-1 2x-1
Tenemos que acotar la función-1- dando un valor particular para a
2x-1
N 1 fu ., x+1 . , .
1 1
otamos que a ncton tiene una asmtota verttca en x = -x-112 2
(1)
la-x 1
Por lo cual el a se debe tomar como 8 = 0 donde a es la asíntota vertical y Xo es el punto 2
de acumulación.
60
1_!_ -11
En efecto, al reemplazar a y Xo en la formula se obtiene que 81 = -2--~ = _!_ 2 4
Para nuestro ejemplo tomaremos 81 = _!_ 4
1 1 13 53 51 3 21 Luego O <lx-11 <-=> -- <x-1 <- =>- < x <- =>- <2x <- =>- < 2x-1 < -=>-<-- < 2
4 4 4 4 4 2 2 2 2 3 2x-1
Tomando el valor absoluto en la última inecuación
~ < 1-1-1 < 2 ~k= 2 3 2x-1
Reemplazando (2) en (1)
61 x- 1 ~ = 6Jx-1JI-1-I < 68.2 = 128
2x-1 2x-1
En esta última expresión basta tomar 128 = & ~ 8 = .!____ 12
(2)
Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{l_, & } 12 4
Por lo que queda demostrado que Lím x + 1 = 4
x--+t x-1/2
3.-Demostrar que Lím(x2 -1) = 3 X-72
DEMOSTRACIÓN
Dado & > O, :3 8 > O tal que O < Jx- 2J < 8 => lx2 - 1- 31 < &
El objetivo es de hallar a> O tal que se cumpla la definición de límite
En efecto
De lx2
- 41 = Jx- 2JJx + 2J < oJx + 2J. < o.k
Tenemos que acotar la funciónx + 2 dando un valor particular para a= 1
(1)
0 < lx- 21 < 1 => -1 <X- 2 < 1 => 1 <X < 3 => 2 < X+ 1 < 4 => 2 < lx + 11 < 4 ~ k = 4 (2)
61
Reemplazando (2) en (1)
En esta última expresión basta tomar 4o = & :::::> o = 6
4
Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar o = Min{ 1, :}
Por lo que queda demostrado que Lím(x2 -1) = 3 x--->2
, x 2 + 1 5 4.- Demostrar que Ltm -
2- =
x--->2 X -1 3
DEMOSTRACIÓN
llx2+1 5 Dado & >O, :¡- o> O tal que x :;t: ±1/\ O < \x- 2\ <o-==:;, - 2 - +- < &
X -1 3
El objetivo es de hallar a> O tal que se cumpla la definición de límite
En efecto
De ¡x2 +1_21=13x2 +3-5x2 +51J 8-2x21=21 x2 -4~=~1-1-llx-2llx+21<~-k¡k28 (1) x2 -1 3 3(x2 -1) 13(x2 -1) 3(x2 -1) 3 x 2 -1 3
Tenemos que acotar la función-/-' X+ 2 dando un valor particular para a X -1
N 1 fi · ' x2
+ 1 · d ' · 1 1 1 otamos que a uncwn -2 -tiene os asmtotas vert1ca es en x = x = -
X -1
\a-x \ Por lo cual el a se debe tomar como o = 0 donde a es la asíntota vertical y xo es el punto
2
de acumulación.
\1-2\ 1 \-1-2\ 3 En efecto, al reemplazar a y x0 en la formula se obtiene que o1 = -- = - 02 = = -
2 2 2 2
Para nuestro ejemplo tomaremos o = Min{_!_, ~} = _!_ 2 2 2
62
1 1 1 3 5 Luego O < \x- 2\ <- => -- < x- 2 <- => - < x < -
2 2 2 2 2
Acotando las funciones dadas anteriormente
3 57 9 7 9 9 De- <x <- ~- <x+2<-~- <\x+2\ <-~k =-
2 2 2 2 2 2 2 2
De -<x<-~-<x <-~-<x -1<-~->-->-~-> -- >-~k1 =-3 5 9 2 81 5 2 77 4 1 4 4 1 1 1 4 4 2 2 4 4 4· 4 77 x 2 -1 5 77 x 2 -1 5 77
Reemplazando k1,k2 en (1) se tiene
x 2 +1 5 2 2 9 4 ----=<-.k k o=-- -o=& x 2 -1 3 3 1 2 3 2 77
E '1 . . , d . d 231 n esta u tuna expreswn espeJan o 8 =- s 36
Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{_!_, 2315}
2 36
, x 2 + 1 5 Por lo que queda demostrado que Ltm -
2 - = -
.H2 X -1 3
5.-Deinostrar que Lím f(x) = L <::::> Lím(J(x)- L )=O x~a x~a
DEMOSTRACIÓN
Lím(J(x)- L)= O<::::> V&> 0,38(&) >O talque O< \x-a\< a=> \f(x)- L-O\< & => \f(x)- L\ < & x~a
Por tanto Lím f(x) = L <=> Lím(J(x)- L)= O x~a x~a
6.-Demostrar queLím(5x- 2)= 3 x~l
DEMOSTRACIÓN
Usando la definición de límite se tiene
Dado &>0,38(&)>0 talque 0<\x-l\<8=>\5x-2-3\<e (1)
De \5x- 2-3\ =\5x- 5\ = 5\x-1\ <58=&
63
Luego &
58=&=> 8 =-5
Por tanto existe 8 = 6
· 5
Talque Dado &>0,38(&)=~>0 talque ü<lx-11<6
=>l5x-5l<s 5 5
7.-Demostrar queLlm(x2 -2)= -1 x~l
DEMOSTRACIÓN
Usando la definición de límite se tiene
Dado &>0,38(&)>0 talque O<ix-1i<o=>lx2 -2+1i<s (1)
De ix2 - 2 +ti = lx2
- 11 = ix -1¡.¡x + 11 < o.¡x +ti (2)
Dando un 8 = 1 para acotar el termino x + 1
Se tiene que lx-11 <1=> -1 <x -1 <1=> O <x<2=> 1 <x + 1 < 3=> 1 <lx + 11 <3 (3)
Reemplazando (3) en (2)
Por tanto existe 8 = 6
. Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se 3
cumpla la definición de límite, es decir 8 = Min{ 1, ; }
Por tanto
64 ~1
8-Demostrar queLím(l- x2 )= -3 .t'-72
DEMOSTRACIÓN
Usando la definición de límite se tiene
Dado e>0,38(e)>0 talque 0<Jx-2J<8=>/l-x2 +3/<e (1)
De /4- x2/ = /x 2
- 4/ = Jx- 2J.Jx + 2J < 8.Jx + 2J (2)
Dando un 8 = 1 para acotar el termino x + 2
Se tiene que 2 <1 :::>-1< x-2 <1 => l<x <3:::::>3 <x+2<5 :::::>3<Jx + lJ <5 (3)
Reemplazando (3) en (2)
Se tiene /x 2 -4J<8.Jx+2J<58=e
Por tanto existe 8 = 8 . Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se
5
cumpla la definición de límite, es decir 8 = Min{ 1, ~}
Por tanto
OBSERVACIÓN
Hay casos en que la función es racional y se requiere demostrar cierto límite entonces se
Jx -al escoge un delta muy particular de la forma a = 0 donde a representa una asíntota
2
vertical a la gráfica de la función.
65
1 x-1 9.-Demostrar que Lím-x--72 x(x + 1) 6
DEMOSTRACIÓN
Dado e>O, ¿"3.8(e)>O?/ x:t=O,J\x:t-11\0<lx-21<8 => x-1
_..!_<e · x(x + 1) 6
1 x-1 _ _!_1 = x2 '-5x+6 = lj(x-3)(x-2)1 = 1 lx-3l~x-21 =k¡ kz o (1)
x(x+1) 6 x(x+1) x(x+1) lx(x+l)J · ·
Como existen dos asíntotas verticales entonces
J2-0J 81 =--=1
2
Entonces tomando el menor delta 81 = 1 que nos servirá para encontrar los valores de k ¡y k 2
En efecto, reemplazando el delta en
X =t 0, 1\ X:¡!: -11\ Ü < [x- 2[ < 1 =>X =t 0, 1\ X =t -11\-1 <X- 2 < 1 ::::> 1 <X< 3
1 Luego, acotando las funciones y x- 3 se tiene
x(x+ 1)
1 1 1 1 De 1 < x < 3 => 2 < x + 1 < 3---;. 2 < x(x + 1) < 9 =>- > >- => k1 = (2)
2 x(x+1) 9 2
Reemplazando
Reemplazando (2) y (3) en (1)
Se tiene
66
28 Luego 8=-
3
Por tanto basta tomar a = Min{ l, 2;} para que se cumpla la definición
Dado e> 0,.3 o =Mín{1, ~}>o 1 X :t=O 1\ X :f:: 1/\ o <lx- 21 < o=>ji(x) -%1 <e
, -/X-1 1 10.-Demostrar que Lun = --
x-->4 X+ 1 5
DEMOSTRACIÓN
Ob . d . 1 . L' y - 1 1 temen o su eqmva ente se tiene 1m-2- = -
y-->2 y + 1 5
1 1
y-1 1! Dado &>0, ¿:38(&)>0?/ y;t:-1A0< y-2 <O:::}
2 --¡<&
y +1 5
y-1 _ _!_ = y2 -5y+6 = (y-2)(y-3 = 1 ¡y-3l8<kl.k2.0 y 2 +1 5 5(y2 +1) 5(y2 +1) 5(y2 +1)
Dando un o = 1 para acotar el tennino ; y Y - 3 se tiene que 5(y +1)
(1)
/Y- 2/ < 1:::} -1 <y- 2 < 1:::} 1 <y< 3:::} -2 <y-3 <O:::} O< /Y- 3! < 2 = k1 (2)
jy- 2/ < 1:::} -1 < y- 2 < 1:::} 1 < y < 3:::} 1 < y 2 < 9:::} 2 < y 2 + 1 < 1 O:::} 1 O< 5(y2 + 1) < 50
1 1 1 1 10 < 5(y2 + 1) <50:::}-> 2 >-:::} k2 =-
10 5(y +1) 50 10 (3)
Reemplazando (3), (2) en (1)
. y-1 11 1 Se ttene 2 -- =< k1.k2 .8 = 2.-.a =e=> a= 5e
y + 1 5¡ 10
67
Por tanto existe a = 5s . Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se
cumpla la definición de límite, es decir a = Min{l,5s}
Por tanto
3.2.-CALCULO DE LÍMITES FINITOS
~V-9x+l-2 l.-Calcular Lím Vx+i1
x->-3 2 - 3 X + 11
SOLUCIÓN
Factorizando
, (~V=9x + 1- 2 XJv=Tx" + 1 + 2 x4 + 2Vx+i1 + ~(x + 11)2)
~-!~ (2-\lx+lllJV-9x +1 +2X4+2Vx+ll +~(x+l1)2 ) Simplificando
, (~Hx -3~ 4+2~x+ll +~(x+11)2 ) • (V-9x -3~ ~(-9x)2 +3~-9x +9 )( 4+2~x+ll +~(x+11)2 ) Llm = Llm ----'------;-~~=-----;~==--==---~-----'-x->-3 (8-(x+ll){~~-9x+1+2) H-
3 (8-(x+ll){~~-9x+1+2)(~(-9x)2 +3V-9x+9)
Evaluando y simplificando
~/-9x +1-2 Por tanto Lím Vx+i1 = 1
x->-3 2 - 3 X + 11
2.-Calcular L, -J3x2 -8 -xVx+6 +x2 -2 ¡nz -----=-----=----
x->2 x3 - 2x2 + X - 2
SOLUCIÓN
Ordenando en el numerador
~ 68
Factorizando
Pacto rizando
Simplificando y evaluando
P 1 L, -J3x2
- 8 - xV x + 6 + x 2 - 2 _ 29
or o tanto, zm 3 2
-x~2 X -2X +x-2 30
ffx --Js-x 3.-Calcular Lím -J
H2 3x - 2 15- 3x
SOLUCIÓN
Al evaluar el límite directamente nos da la expresión Q que en matemática se lo llama forma o
indeterminada por lo cual debemos de eliminarlo usando los artificios del cálculo elemental.
Factorizando en el numerador y denominador en la función
Simplificando
69
Lím 4(x-2) 3x+2-J15-3x = J6 x~2 {x-2X3x+1o -fJX+-Js-x 12
Por lo tanto , $x ---J8-x -/6
Lzm -H2 3x- 2-)15- 3x 12
, JFx -3 4.-Calcular Lzm ~
x~J -v3x -3
SOLUCIÓN
Al evaluar el límite nos da la expresión Q o
Factorizando en el numerador y denominador en la función
, ~{9; -3 2 Por tanto, Lzm ~ = -
H3 -v3x -3 3
w -2Vx+1 5.- Calcular Lím
2 Hl (x-1)
SOLUCIÓN
L , ~R"- 2Vx + 1 L, (Vx -1)2
L, (~Jx -1]2
L, ((Vx -1)(W + v.x + 1)]2
zm = 1m = zm = un ~-~=-----'-HI (x-1)2
Hl (x-1)2 HI x-1 HI (x-l)(W +Vx+l)
L , ((Vx-l)(W +Vx+I)J2
L' ( x-1 J2 (L' 1 J
2
1 zm - zm - zm = HI (x-1)(W +Vx +1) - Hl (x-1)(W +Vx +1) - Hl W +Vx +1 9
P L , w- 2Vx + 1 1 or tanto, zm
2 = -
HI (x-1) 9
70
, ~+1 6.- Calcular Lun ~ ¡;;;---:--_
H--1 ~ 2 + X + X
SOLUCIÓN
, V1+2x +1 1 Por tanto L1m -----=
' x-+-1 V2+x +x 2
\ll-2x +1 7.- Calcular Lím 3 ~
x--+1 '\/ 2 - X - X
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable y= -x
Si X ~ 1 => y ~ -1
, VJ=2x+1 , ~+1 Luego Ltm ¡-;;;--- = Llm ~~
'x--+l ~¡2-x-x .v--+-l\j2+y+y
Si comparamos este último límite con el ejercicio anterior resulta que es el mismo límite
;z/1- 2x + 1 1 P t t Lím -or an o, 3 r;:;----2
-2 X--+l '\/L. - X - X
2 1
8 e 1 1 L, x ---vx
.- a cu ar un ~e Hl ~X -1
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable
6 . X= y se tiene
71
, x 2 --E 9 Por tanto, Lzm ~ r = -
Hl ~X -1 2
x2 --E 9.-Calcular Lím , r
x-ti ~X- X
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable
X 6 . =y setlene
, x2- ,/x 9
Por tanto, Llm Vx = --x--+1 3 X- X 4
x--Fx 10.-Calcular Lím r
x--+1 ~\} X - X
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable
6 . X= y se tiene
, x-Fx 3 Por tanto, Lzm ~ r = --
HI ~X -X 2
11.-Calcular LímVX+f5x ~
H03 x+1-\1-x
72
SOLUCIÓN
Lím Sx(~)z +v.x+i~ +w-x)z) = Lím s(~)z +~Jx+I~ +vo-x)z) = 15 x~O 2x x~O 2 2
P L, 5x 15
or tanto, zm r--:1 1
,...---:: = x~o ~JX+1-;z¡1-x 2
12 e 1 1 L, U +3-J~ -3x-1
.- a cu ar un--------==--Hl x+ifX -V -1
SOLUCIÓN
En el Numerador sumando y restando 4, y en denominador sumando y restando 1
adecuadamente se tiene
, U -1 + 3~ - 3 - 3x -1 + 4 Lrm---------==---HI x-1+Vx -1-'Vx2 +1
Factorizando
(U -1) ~W+1 +3(~-1)(~+ 1) -3(x u +1 (-vlx+1)
-1)
X - 1 + (ifX -1) ~ +~Jx+1 -(~ -1) ~ +Vx+1
(x3 -1) +3 (x-1) -3(x-1)
Lím (U+ 1) ( ~ + 1) .
HI (x _ 1) + (x -1) _ (x113 _ 1)(xl/3 + 1) (~ +ifX+l)
73
Eliminando el termino ( x -1 ) se tiene
Aplicando el límite
, -J;3 +3~-3x-1 Por tanto Lzm ,
1 , ¡::¡ = O
x-->l X + ~X - \¡ X 2 -1
'}j;_¡ 13.- Calcular Lím-;¡¡=
x~I tx -1
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable x = y 12
' v; -1 4 Por tanto Lzm -;¡¡==-. =
x~l -'.IX -1 3
74
' ~2+3.Jx -2 14.- Calcular Llm-=----X--)8 x-8
SOLUCIÓN
L , ~2+if; -2 L' ~2+if; -2 zm = 1m....:....,--.,.----x--)8 X - 8 X--)8 (v;) _ 8
Haciendo cambio de variable 3.Jx =y
Si x~8:::::> y~2
15 e 1 1 L, ~"/x+3 +6 +-Jx+8 -5x2
.- a cu ar zm-'---------· X-)] X -1
SOLUCIÓN
Sumando y restando 5 en el numerador, luego separando en fracciones parciales se tiene
L, ~-Jx +3 +6- 2 +-Jx+ 8 -3-(5x2 -5) L' ~-Jx+3 +6 -2 -Jx+ 8-3 5(x2 -1) zm = zm + - ___,_ _ ___¿_
X-)] X - 1 X-)] X -1 X - 1 X - 1
Aplicando límite a una suma de funciones
L, ~-Jx+3 +6 -2 L' -Jx+8 -3 L' 5(x
2 -1) zm + zm - zm __ _,_____L X-)] X -1 X-)] X -1 X-)] X -1
Evaluando por separado
75
Lím (~+3 +6 - 8) = Lím (-5+3 - 2)
.Hl (x-1{V(Jx+3+6J +2~-Jx+3+6+4) Hl (x-1{\/(~x+3+6J +2~~x+3+6+4)
Lím (-JX+3- 2lJX+3 + 2) = l_ Lím x - 1 = l_ .!_ = _!_ Hl (x-1{~Ux+3+6Y +2V-Jx+3+6+4)·-Jx+3+2) 12 x~l (x-1X~Jx+3+2) 12'4 48.
L' x-1 1 = x~(x-1X-Jx+8+3)=6
Lím 5(x2 -
1) = Lím 5(x- 1Xx + 1) = 5Lím 5(x+ 1) = 10 x~l X -l x~l X - 1 x~l 1
P t L, V-Jx+3 +6 +-Jx+8 -5x2 1 1
10 157
or anto, lm =-+-- =--Hl x-1 48 6 16
16 e 1 1 L, -[; - 3x + 2
.- acuar un----x~l x-1
SOLUCIÓN
, .[¡ -3x + 2 , .[¡ -x- 2x+ 2 , (.._}x -x)- 2(x-1) , (-[;- x 2(x -1)) Llm = Lun = Lnn - - = Llm - -'---'-x->1 X -1 x~l X -1 x~l X -1 x~l X -1 X -1
Aplicando el límite a una suma de funciones se tiene
Lím(-J; -x- 2(x- 1)) = Lím-[; -x -Lím 2(x- 1) = _1__ 2 = -~ x~! X -1 X -1 x~l X -1 x~l X -1 2 2
, -[; -3x+2 5 Por tanto, Llm = --
x~l x-1 2
17 e 1 ul L, V-Jx+3 +6 +.._}x+8 -5x2
.- a e ar lm--'----=------Hl -.Jx -3x+2
SOLUCIÓN
Dividiendo al numerador y al denominador por (x-1) y luego aplicando el límite a un cociente
de funciones se tiene
76
L, V~x+3 +6 +~x+8 -5x2
1111-'-----------x-1 x--'>1 x-1
Lí111----==-"-=----=------ = -----=-.=..:...__-=--------X--"1 ~ -3x+2 L' ~ -3x+2 1m----
x-1 ~~ x-1
Usando los ejercicios 15 y 16
L, V~x+3+6+~x+8-5x2 157 1111--'--------------~1 x-1 16 314
------==-'"-'-------"------ = --=--rx -3x+2 5 8o Lím----x--'>1 x-1 2
3.3.-CALCULO DE LÍMITES AL INFINITOS
x2 -3 Vx 2 +1 +3 l.-Calcular Lím( · - x- 3)
x--'>+oo x- 3
SOLUCIÓN
L , (x2
-3.Vx2
+1 +3-(x-3)(x+3)J L' (x2
-3.JJx2
+1 +3-x2
+9] 1111 = zm --------x--'>+oo X - 3 X--'>+oo X - 3
4 ~ Lím( 12 - 3·~J=Lím3(4-~J=3Lím x x. =0 X--'>+oo X - 3 X--'>+oo X - 3 X--'>+oo 1 - ~
X
, x 2 -3.Vx2 +1 +3 Por tanto, Llm( - x- 3) =O
x--'>+oo x-3
2 e 1 1 L , (\12+Vx +if; -4J .- a cu ar mz ------x--'>+oo X- 8
SOLUCIÓN
~2+if; +Vx -4 /2+Vx ~lx 4
L , (~2+~{; +Vx -4) L' ( x ) L' (~ x 2 +~7 -~) O 1m ~ zm ~ tm = X--'>+oo X - 8 . X--'>+oo X - 8 X--'>+oo 8
1--X X
77
( ~2+~fX +VX -4J Por tanto, Lím 8
= O x--H<>O X-
3 L' X
3.-Calcular x!! x(x + 1)2
SOLUCIÓN
3
P t Lím--x--=1 or tan o, ( + 1)2
X~ X X
4.-Calcular Lím( x3
2 - xJ x~ (x+l)
SOLUCIÓN
, ( x3 J , (x
3-x(x
2+2x+l)]-L' -2x
2-l __ 2 Lzm - x = Lzm
2 - 1m
2 -
X~ (X+l)2 X-700 (X+l) X~X +2X+l
Por tanto Lím( x3
2 - xJ = -2 'x~ (x+l)
5.-Calcular Lím (x~ X 2 + 1 + X 2)
X-7--oo
SOLUCIÓN
78
2x -3x 6.-Calcular Lím
4x
9x
X-+--oo +
SOLUCIÓN
zx -3x 7. -Calcular Lím
4x
9x
X-H-00 +
SOLUCIÓN
3x( 2 x 1] 3x[(2)x -1J zx-3x zx-3x 3x 3
Lím = Lím = Lím = Lím -~-~-::-
32x -+1 32x - +1 x-Hoo4x +9x x-Hoo22x +32x x-+--oo [z2x J x~+oo ·[(2)2x J 32x 3
79
2x -3x Por tanto Lím = O
' x-HOC> 4x + 9x
SOLUCIÓN
1 Haciendo cambio de variable X = -
y
Si X ~ +oo =>y ~ 0+
Lfm(x2 +1 +~]= Lfm
x-Hoo x - 1 _v--)oo+
1 -+1 Y2_+4{T
!-1 YY y
Lím y2
· +4- = +oo ( 1+
2
~TJ X--)-0+ 1- y y
~ 2 J , X +1 4 Por tanto Lzm -- + -J-; = +oo
, X-)-+ X -1
, (x3 +1 tj 2 J 9. -Calcular Lzm --2- + · x + 2 - 2x
X -)-+OC> X + 1
SOLUCIÓN
1 Haciendo cambio de variable x = -
y
Si X ~ +oo => y ~ o+
80
Lím(x: +1 +~x2 + 1-2xJ = Lím
x~oo x + 1 y~o+
Lím y~+
Lzm y y + = Lzm y y + y = , [ 2( -1) (~ -1)(~Y2 +1 +1)] , [ ( -1) 2 J
x~o+ y(1 + y2
) y(~ y2 + 1 + 1) x~o+ (1 + y 2) y(~ y2 + 1 + 1)
Lím[y(y-1) + y ]=0
x->0+ (1 + Y2) ( ~ Y2 + 1 + 1)
, (12x3
+ 6x2
- 3 ~ 3 2 J 10.-Calcular Lzm 2 + x + 3x + 1 -7x x~ 2x +7
SOLUCIÓN
L , (12x3
+6x2
-3 ~ 3 3 2 1 7 ) L' (12x3
+6x2
-3 6 ~ 3 3 2 1 ) 1m 2
+. x· + X + - X = lm 2
- X+ X + X + -X x--H-oo 2x + 7 x--+-too 2x + 7
81
2( 3 42J 2( 1 J X 6---- X 3+-, x 2 x x 2
xl:1'! 2( 7 J + ( ( J2 ( J J X 2+ 3 1 J 1 -;z x2
3 +-;+~ +x23 1+-;+~ +x
2
,~12x3 +6x
2 -3 V 3 2 J Por tanto Lzm 2 + x + 3x + 1 - 7 x = 4
' x--+ 2x + 7
..,. ( x2
+ 1 J 11. -Calcular el valor de a y b para que x~'!\ x + 1 - ax - b = O
SOLUCIÓN
Lím( x2 +1_ax-bJ= Lím(32 +1_ (ax+b)(x+1)J= Lím( x2 +1_ ax2 +x(a+b)+b]= X-+~ X + 1 x--++oo X + 1 X + 1 X-+~ X + 1 X + 1
Lím( x2
+1-ax2
-x(a+b)-bJ= Lím( x2(1-a)-x(a+b)-b+1J=o
X-++~ X + 1 X-+~ X + 1
82
Para que este límite sea cero entonces
1-a= 01\a+b =o~ a= 11\b = -1
12.-Calcular el valor de a y b para que Lím (~ x 2 - x + 1 - ax- b) =O
x~+oo
SOLUCIÓN
(~x2 -x+1 +(ax+b)) { 2 . '')22 \ .
Lím ( ~ x 2 - x + 1 - ( a.x + b)) = Lím \X - x + 1- ( a.x ~ =
X~+oo ( ~X2 -X+1 +(a.x+b)) X~( ~X2 -X+1 +(a.x+b))
Lím (x2
-x+1-a2x
2 -2abx-b
2) = Lím (x
2(1-a
2)+x(1-2ab)-b2 +1)
x~+oo (~x2 -x+l+(ax+b)) x~+oo (~x2 -x+l+(a.x+b))
Para que este límite sea cero entonces
2 1 1- a = O 1\ 1- 2ab = O ~ a = 1 1\ b = -2
( ~ x3 + 6x
2 - 16 - x J
13. -Calcular Lím x~+oo ~x2 +2x+1-·~x2 -x
SOLUCIÓN
83
2x2(3--;-) L
, X
x--!~ ( 1 ) 3x 1+-3x
2( . 6 16 2 2 6 16 2J x 3 (1+---) +x 31+--- +x x x3 x x 2
2x2(3--;-) L
, X
X~!_! ( 1 ) 3x 1+ 3x
Simplificando y evaluando el límite
L , ( ~ x 3 + 6x
2 -16 - x J _ 4
Por tanto lm . - -' x-?+oo ~x2 +2x+1-~x2 -x 3
SOLUCIÓN
2 2 a+b J ax +-2
~ 84
Lím a~+oo
L ' 1 mz-a-H«> 2
Simplificando
L ' 1 1m-a-H«> 2
o-k) ck-1)
[F+ x':H~+:,)f[F+ :,+H~+:,)J Evaluando el límite
=
L ' 1 1m-a~+oo2
b b o--J <--IJ ( J
[ F + x' :-'(-'+~) f[ ~ + :, +-'(-'+~) J :~ ~~- 3~~ :0 a 2 a a 2 \ a 2 a a 2
Lím 15.-Calcular x~+oo
~x(x+a) -x
85
SOLUCIÓN
, ~x(x+a)-x (~x(x+a)+xJ x~'! F"h 2 [1] Ux(x+a)+x) x-3x +x +5-
Lím X~+
ax
x
L, X
a x-!':! 2 ( 1 [ 1 ]J -X 1+5--x2 x
Simplificando
L, 1
a x-!'! ( 1 [ 1 ]J - 1+5 x2 x
Evaluando el límite
a(_2_J = _ 3a -2 2
~ +Vx'r' +x' +t] +~ (x' +x' +smJ' (~x(x+a) +x)
x'( ~;· +3l+~+s~[~}~ ('+~+sM~JJ' J
x(f0+']
86
, ~x(x+a) -x Lzm
Por tanto, x-Hoo / 3 2 [ 1 ] x-3x +x +5-
~ X
3a =
2
SOLUCIÓN
Evaluando el límite
L, 1 zm-
x~+a:> 5x =Ü
l+(U (3J
2
x 1+ -5
, (~ 2 2 a- b 3 3 3 b2
- a2 J 17.-Calcular Lzm a x +-- -. a x +--
a~+oo 2 2
SOLUCIÓN
= Lím_!__ x~+a:> 5x
l+(H (
3J2x 1+ -5
87
Lím a~
UN·T~~V·'·'·T·~] ['·'"·~~~~-N-'"·~J' .w.~.~~J
1 L' - zm 2 a~+oo
Ua2x2+a;b+axJ -3
[ 3 3 b
2 - a
2 ]2
~( \.13vl 3 3 b2
- a2 ~( )6 a x +-- + \axr a x +-- + ax
2 2
2 ( 3 b2
1 J2
2 3 b2
1 2 2 a 3 x +--- +a x3x +---+a x 2a3 2a 2a3 a
F acto rizando a
1 {1-~) a'( ~-lJ 2 t!~ (~ 2 1 b J - [ ( 2 J2
1 2 J a x +--- +x 2 3 b 1 3 b 1 2 a 2 2 a 3 x +--- + x3 x +--- + x
a 2a3 2a ~ 2a3 a
Simplificando y evaluando límite
88
1 ' (1-~) (~-1) 2 !:~'! (~ 2 1 b ) - [ ( 2 )
2 2 J X +---+X 3 b 1 3 b 1 2
a 2 2 3 x +--- +x3x +---+x a \ 2a3 2a 2a3 a
1 1 -1
2 (Jx2 +xr (M u'P +X2) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 3x + 2) 3x + 2
= 2 2x + 3x2 = 2x 2 + 3x = 2x 6x = 12x2
, [~ 2 2 a- b 3 3 3 b2
- a2 J _ 3x + 2 Por tanto Lzm a x +----,a x + - 2
' a---H<XJ 2 2 12x
SOLUCIÓN
, x3(FJ}+~) !-;'! l 3 1 1 )(mi 1) X ~/l+- 1+-+-+-
V x3 ~ x x2 x
Simplificando y evaluando el límite
89
1 =-=1
1
3.4.-CALCULO DE LÍMITES INFINITOS
x2 +2 l.-Calcular Lím-
2 -
x---+2+ X -4
SOLUCIÓN
, x 2 + 2 6 Por tanto, Lnn - 2 - = - = +oo
x---+2+ X -4 0+
2.-Calcular Lím lxl+ 3 X-+[+ X -1
SOLUCIÓN
Si,x ~ 1+ =>X> 1 => lxl > 1 => lxl-1 >o=> lxl-1 ~o+
Por tanto, , x+3 4
Lzm-- =- = +oo Hi+ lxl-1 o+
x2 +ffxff+2 3.-Calcular Lím ·-:-"--"--
x--+-f5: X 2
- 2
SOLUCIÓN
De otro lado Si,x ~-Ji+=> ffxlf = 1 ,
Reemplazando (1) y (2) en el límite, se tiene
x2 +ffxlf+2 2+1+2
Por tanto Lím = = +oo ' x-+12+ x 2
- 2 o+
(1)
(2)
90
x 2 +2 4.-Calcular Lím -----=-
2 -
x~-z+ X -4
SOLUCIÓN
, x 2 +2 6 Por tanto Ltm = -- = -oo
' x~z- x 2 -4 o-
, 2x+l 5. -Calcular Llm ---=-
2 --
x~-z+ X -X-6
SOLUCIÓN
L' 2x+1 Factorizando el denominador se tiene xJ!!J (x + 2)(x _ 3)
Si,x--+-2* ~ x >-2 ~ x+2 > O~x+2 --+0+
, 2x+1 -3 Por tanto, Lzm = = +oo
' x~-z+ (x + 2)(x- 3) - 5.0+
, x 2 +3x+l 6.-Calcular Ltm
31 Hz- ~4-xz
SOLUCIÓN
, x 2 +3x+ 1 11 Por tanto, Lun V = - = -oo
x~z- 3 4-x2 o-
, ~16-x2
7.-Calcular Ltm----=2-
x~4- X -16
SOLUCIÓN
Pero
91
8 e 1 1 L, x 2
- x + 1 .- a cu ar un
2 x~I+ 2-X-X
SOLUCIÓN
L' x2 -x+1
Factorizando el denominador se tiene x~'(! _ (x + 2)(x -1)
Si, X ~ 1 * => X > 1 => X -1 > o => X -1 ~ o+
, x 2 -x+1 1 Por tanto, Lrm = --- = -oo
H!+ -(x+2)(x-1) 3.0+
, x+lxl +2 9.-Calcular Lrm 2 l l
x-H+ 2x -X -1
SOLUCIÓN
X+ lxl + 2 X- X+ 2 2 Simplificando el valor absoluto Lím 2
1 l l = Lím 2 = Lím 2 x~-1+ 2x - X -1 x~-I+ 2x +X -1 x-+-1+ 2x + X -1
Factorizando el denominador se tiene Lím 2
2 = Lím 2
H--1+ 2x + x -1 .H--1+ (2x -1)(x + 1)
Si, x ~ -1 * => x > -1 => x + 1 >o=> x + 1 ~o+
, x+lxl+2 2 Por tanto, Lmz 2 l l = = -oo
H-1+ 2X -X -1 -3.0+
.Jx2 -1 1 O. -Calcular Lím ------::
2,-----
x-+I+ X -1
SOLUCIÓN
Si, 'X ~ 1 * => X > 1 => x2 > 1 => x2 -1 > o => x2 -1 ~ o+
-~ 1 1 Por tanto, Lím
2 = Lím ¡-;¡----; = - = +oo
x-+1+ X -1 x.-+1+ '\j X2 -1 0+
· x 2 -5 11. -Calcular Lím -
2 -
x.-+-2+ X -4
92
SOLUCIÓN
x 2 -5 -1 Por tanto, Lím
2 = - = +oo
x~-2+ X -4 o-
3
L' X 12.-Calcular lm ( 1)2
x~-1· X+
SOLUCIÓN
x3 -1 P Lím ----oo or tanto, + ( 1)2 - o+ -
X--+-l X+
x3 B.-Calcular Lím_ ( 1)2
x~-l X+
SOLUCIÓN
Si,x~-r =>x<-l=>x+l<0=>(x+1)2 >0=>(x+l)2 ~o+
x 3 -1 P Lím ----oo or tanto, - ( 1)2 - o+ -
X--+-l X+
, ifil -2Vx +H +JJ; -3x 14.-Calcular Lzf11 (
1)2
x~l x-
SOLUCIÓN
o Si evaluamos el límite directamente se obtiene
0
Por lo tanto usaremos un artificio del cálculo para evitar esta fonna indetenninada
93
Lím ($ -1L +()~ - 1L x->1+ (x -1)2
Haciendo cambio de variable x == y 6
Luego,
, ($-Ir +(Fx -Ir_ , &2 -Ir +&3 -Ir_ , (y-1Y[ (y+1Y +(y-1:(y2 + y+11J
Lzm 2 - Lzm 6 2 - Lzm { \2 x->1+ (x -I) y->1+ (y -1) . y->1+ (y -l)\Y5 + y4 + y3 + y2 +y+ IJ
Simplificando y evaluando el límite
L' if;2 -2~/x +N +3Fx -3x 1 Por tanto, l71! (
1)2 = -9 X->1 X-
, ~-9x +$ -2 15.-Calcular Lzm -----
x->-1+ X+ 1
SOLUCIÓN
o Si evaluamos el límite directamente se obtiene
0
Por lo tanto, usaremos un artificio del cálculo para evitar esta forma indetenninada
Haciendo cambio de variable -x =y
, FY +FY -2 , 3fY +-~ -2 Luego Lzm = Lzm--'---'-----
' y->r 1- y y->1- · 1- y
Nuevamente cambiando de variable y= t6
94
Simplificando y evaluando el límite
, ·~-9x +~ -2 7 Por tanto Lzm = --
' x~-1+ x+ 1 6
1/t,'f- 3[x]+-h-x L' ~ 3 2
16.-Calcular zm3
_ ~ 2 x~ · 9sgn(x-1)-x
SOLUCIÓN
o Si evaluamos el límite directamente se obtiene 0
Por lo tanto, usaremos un artificio del cálculo para evitar esta forma indetenninada, pero antes
redefiniremos el máximo entero y el signo
{[x]< 3-+ [x]= 2 Si X-+ 3- =>X< 3 =>
X - 1 < 2 -+ sgn( X - 1) = 1
Luego,
~~-3 L
, ¡y Calculemos 111'!. ( r::;-----
3 )
x~3 \].:J- X
95
1 , Jx3J- 27 1 , 27- x3
-J3f~~u3 xij~~+3~r ~f~~u3 xXJPI+3~r ~Lím (3-x)(9+3x+x
2) =
.J3 ,_., (~xXfx'¡ +3~) == -1 Lím (3- x )(9 + 3x + x
2) = _-1 Lím "/3=X 9 + 3x + x
2) = 0
-J3 x~T (~3 X XJPI + 3-J3) -J3 x~T -JPI + 3-J3 (2)
Reemplazando (2) en (1)
_)/x3J_ 3[x]+-J3-x L , V 3 2 1
Por tanto zm = rr ' x~r ~9sgn(x -1)- x2 -v6
, H+VX-2 17.~ Calcular Lzq 2 x~-1 -x + 1
SOLUCIÓN
, ~ x+\Íx-2 Lzm 2 = oo x~-1+ -x + 1
Calculo del signo de infinito
El valor del límite del numerador es ~3
96
Falta calcular del valor de límite del denominador
, ~+?fX-2 Luego, Lzm 2 = +oo
x~-1+ -x + 1
3.5.-CALCULO DE LÍMITES TRIGONOMETRICOS
, 1-cos3x l.-Calcular Lzm---
x~o 1-cos4x
SOLUCIÓN
L, (1-cos3x)(1+cos3x)(1+cos4x) L' (1-cos2 3x)(1+cos4x) Li sen2 3x.(l+cos4x) zm = zm = m---,----'-----'-
HO (1- cos4x)(l + cos4x)(1 + cos3x) x-70 (1- cos2 4x)(l + cos3x) x-XJ sen2 4x.(l + cos3x)
sen2 3x.(1 +2
cos4x) _9
Lím (3x) = Lím 9(1 + cos 4x) = .2_ HO sen2 4x.(1 + cos3x) .1
6 ;HO 16(1 + cos3x) 16
(4x)2
, 1-cos3x 9 Por tanto, Lzm = -
HO 1- cos4x 16
2 e 1 1 L , tagx- senx
.- a cu ar zm 3
x~o X
SOLUCIÓN
senx ---senx
L , tagx- senx L' cosx L' senx- cosxsenx L' senx(l- cosx) zm = zm = zm = zm _ ____..::. __ _..:_ x~O x3 x~O x 3 x~O x 3
, COS X x~O X 2. COS X
P L, 1-cosx 1
ero zm 2
=-X-70 X 2
senx ---senx
L L , tagx-senx L' cosx L' senx-cosxsenx L' senx(1-cosx) 1 uego zm = zm • = zm = zm = -
> X-70 x3 X-70 x3
X-70 x3 .COSX X-70 .xx2 .CQSX 2
, tagx- senx 1 Por tanto, Lzm 3 = -
x-Xl X 2
97
, 1- cosax 3.-Calcular Lzm
2 X-?0 X
SOLUCIÓN
L , 1- cos ax _ L, 2 1- cos ax _ L , 2 1 - cos ax _ a2
zm 2
- zm a . 2 2
- zm a . 2
-X-?0 X X-?0 a X x-70 (ax) 2
, 1-cosa.x a2
Por tanto, Lzm 2
= -X-?0 X 2
4 e 1 1 L, x - senax
.- acuar zm--x-?o X + senbx
SOLUCIÓN
x- senax 1_ a.senax
a. 1 L , x-senax L' ax L' ax -a zm = zm -= zm = x-?o x + senbx X-?O b. x + senbx X-?O
1 + bsenbx 1 + b
bx bx
, x - senax 1 - a Por tanto, Llm = --
HO x+senbx l+b
x3 +1 5. -Calcular Lím
2 x+I sen(1- x )
SOLUCIÓN
1 , x3 + 1 L, x3 + 1 ,zm =- zm----X-7-I sen(1- x 2
) H-I sen(x2 -1)
Haciendo cambio de variable se tiene
, 1- cif.Y+1)3 , (1- c~fy+1)3 ~ + cVY+t /) , 1- (y+ 1)3
- Lzm =-Lzm { y-- = - Lzm { ) y-?O seny Y-7° seny.\1 +(~'y+ 1)3
) >HO seny.\1 +(~'y+ 1)3
, 1-(y+1)3 , 1- y 3 -3y2 -3y-1 , y(-y2 -3y-3) 3
-Llm ( )=-Lw ( )=-Llm ( )=-Y-70 seny.1+(~'y+l)3
y-?O seny.1+(~'y+l)3 y-?O seny.l+Cv:Y"+I/ 2
, x 3 + 1 3 Por tanto, Lzm
2 =
2 x-H sen(1 - X )
Y\ 98
-fix2 6.-Calcular Lím-~;====
HO tagx.-Jsecx -I
SOLUCIÓN
L , -fix2 - L, x. -fix - L, -fix - ¡,:;2 L , x x~o tagx.)seCX -I .HO fagX -JseCX -I x~O -JseCX -I x~O I- COSX
1m - un- - 1m -Y.L. Jm~-
cosx
= -fi Lím x = -fi Lím x~.-JI + cosx = -fi Lím x~.-JI + cosx x~o I-COSX .HO -JI-cosx.-JI+COSX x~o -J1-cos2 X
cosx
= -fi Lím x~.--JI + cosx = Ji Lím x~.-JI + cosx = 2 x~o -JI- COS2 X x~o sen:x
-fix2 Por tanto, Lím = 2
HO tagx.-fSecx -I
7 e 1 1 L, -JI+ cosx- Ji
. - a e u ar zm x. / x~ , I-cosx
SOLUCIÓN
L, -JI+ cos X - -fi -JI+ cos X + !i - L, (I + cos X- 2) x!!'ou. -Jl+cosx+-fi I-cosx - x~x.(-JI+cosx+.fi}JI-cosx
, -JI+cosx -Ji Por tanto, Llmx. -J =O
.Ho I-cosx
8.-Calcular Lím n.tag(~) 11~- n
SOLUCIÓN
X tag(-)
Lím n.tag(~) = Lím I n 11~+«> n 11~+«>
n
99
Haciendo cambio de variable _! = t n
X
x tag(-) tag(tx) Luego, Lím n.tag(-) = Lím
1 n = Límx = x
n-H-a:> /1 n-Hoo t+O+ fX
Por tanto, Lím n.tag( x) = x n->+a:o n
9.-Calcular Lím(secx- tagx) tr
."1'->-2
SOLUCIÓN
n
L , ( ) L' ( 1 senx) L' (1-senx)(l+senx) L' (1-sen2
x)( 1 ) zm secx- tagx = zm ------ = un = zm ---x....;!.. ·"___,.!!.. COSX COSX x->'!_ CQSX 1 + senx X____;!. COSX 1 + senx
2 2 2 2
L ,~cos2 x)( 1 ) L' r { 1 ) 0 z = zm\cosx =
x....;!.. cosx 1 + senx x....;!.. 1 + senx 2 2
Por tanto, Lím(secx- tag.x) =O tr
x->-2
lo e 1 ul L, -JI+ senx- -JI- senx
.- a e ar zm X->0 X
SOLUCIÓN
L , 1 + senx- 1 + senx L, 2senx L , 2 1 x->O x~l + senx +-JI- senx x->O x~l + sem + -~1- senx x->O~l + senx +-JI- senx zm ( ) = zm ( ) = zm ( ) =
P L, -JI+senx --JI-senx
1 or tanto, zm = x->0 X
, (1- senx)3
11.-Calcular Lzm 3 x....;!.. 1 +cos2x)
2
100
SOLUCIÓN
L , (1- senx)3
L' ( 1- senx )3
L' ((1- senxX1 + senx)J3
L' ( (1- sen2x) J3
zm = zm = zm = zm ---l-----,---'-----c-
x~ 1+cos2x)3 H!_ 1+COS2X ;r~ 2COS2 x(1+senx) H!_ 2COS2 x(1+senx)
2 2 2 2
L , ( cos2
x J3
L, ( 1 J3
1 ~ = ~ = x~ 2cos2 x(1+senx) H!_ 2(1+senx) 64
2 2
, (1- senx)3 1 Por tanto, Lzm
3 = -
x~ 1 + cos2x) 64 2
12 e 1 ul L, .7l"-2arccosx
.- a e ar zm x~O X
SOLUCIÓN
Haciendo cambio de variable sea y = arccos x ~ cos y = x
. o .7l" Sl X~ =>y~-
2
Luego
{ .7l") .7l"- z+-Lím.7l"-2arccosx =Lím.7l"- 2Y =Lím 2 =Lím - 2z =2 x~O X 1!_ COSy z~O ( .7l") z~ - senz
Y~2 cos z+-2
P L, .7l"-2arccosx
2 or tanto, zm = .,~o X
13.-Calcular Lím .7l" tag(11X) x~O X 2
SOLUCIÓN
11X 11X tag(-) 2 tag(-) .7l"2
Lím .7l" tag(11X) = .7l" JrLím 2 = !!_ Lím 2 = x~O X 2 2 x~ .7l" 2 !_;r~ .7l" 2
-x 2 -x 2 2
.7l" 1lX .7l"2 Por tanto, Lím-tag(-) = -
x~ X 2 2
101
14.~Ca1cular Lím tagx x-to cos(tagx) - 1
SOLUCIÓN
L , tagx L, (cos(tagx) + 1)tagx L, f cos(tagx) + 1)tagx zm = zm = zm _,_\'-~~---"--=:-
x--+0 cos(tagx) -1 x-to ( cos(tagx) -1 X cos(tagx) + 1) x-to cos2 (tagx) -1
Lím (cos(tagx)+1)tagx = -Lím (cos(tagx)+1)tagx = -Lím (cos(tagx)+1)tagx x-+O cos2 (tagx)-1 x-.+O 1-cos2(tagx) x--.o sen2(tagx)
2 L, tagx _
2 - zm --tagx-.+o sen2 (tagx)
Por tanto, Lím tagx = -2 x-+O cos(tagx) -1
, 1-~cosx 15.-Calcular Lzm
2 x-.+0 X
SOLUCIÓN
_! Lím sen2 x = _! Lím(senx)2 = _! (Lím senx)2 = 1 4 x--+0 X2 4 .Y--+0 X 4 x--+0 X 4
, 1-~cosx 1 Por tanto Lzm--- =-
' x--+0 x2 4
16 e 1 1 L, xsen(sen2x) . ~ a e u ar zm --'--------'-
x-to 1- cos(sen4x)
SOLUCIÓN
L, xsen( sen2x) L, xsen( sen2x )(1 + cos( sen4x )) L, xsen( sen2x )(1 + e os( sen4x )) zm = zm = un------'----'--'---'----------~
x-to 1-cos(sen4x) x-tO (1-cos(sen4x)Xl+cos(sen4x)) x-to 1-cos2 (sen4x)
xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) zm -----'------=-
2L, xsen(sen2x)
2L, xsen(sen2x) 2L, sen4x 2 x-+O sen4x.sen4x
zm = zm = zm = x-tO 1- cos\sen4x) .Ho sen2(sen4x) x-to sen2(sen4x) , sen2(sen4x)
( )2 .sen4x Llm ( )2 sen4x x-.+O sen4x
102
L, xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) zm zm-----'--~
2 X-70 sen4x.sen4x = 2 .Ho sen4x.sen4x = 2Lím xsen(sen2x) = 2Lím xsen(sen2x)
L, sen2(sen4x) 1 HO sen4x.sen4x .Ho sen4x.2sen2xcos2x 1m ( )2
sen4x-,>O sen4X
L , xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) L' sen(sen2x)L·, x 1 L' 4x 1 zm = zm = 1m zm = - zm =
.HO sen4X.Sen2XCOS2X x-,>0 Sen4X.Sen2X senx-.-)0 .Sen2X x-,>0 Sen4X. 4 4x-.-)0 Sen4X. 4
P L, xsen(sen2x) 1
or tanto, zm = X-70 1- cos(sen4x) 4
17 e 1 ul L, 2 - _,j COS X - COS X
.- a e ar 1m 2 x-70 X
SOLUCIÓN
Lím 2- -JC0S;- cosx = Lím {1- -JCOS;)- (cosx -1) = Líj {1- -JCOS;) _ (cosx -1)) X-,>0 X2 x-,>0 X2 x..;ó\ X2 X2
Lím (1- -JCOS;)- Lím (cosx - 1) = L- M X-.-)0 X2 x-,>0 X2
(1)
Calculando L
Calculando M
Lím (cosx-1) = Lím (cosx -1Xcosx.+ 1) = _!_Lím cos2
x -1 = _ _!_Lím sen2x = _ _!_=>M= _ _!_
x-,>0 X2 x-,>0 x2 (cosx + 1) 2 X-.-)0 X 2 2 X-.-)0 X2 2 2
Reemplazando estos resultados en (1), se tiene
P L, 2- ,/cosx- cosx 3
or tanto, 1m 2 = -• .--->0 X 4
103
18 e 1 1 L, 2tagx- arcsenx
.- a cu ar zm------x~o senx
SOLUCIÓN
_2ta_g._x -_a_~_c_se_n!_ Lím 2tagx- arcsenx Lím( 2tagx- arcsenx)
L, 2tagx- arcsenx L, X x-XJ X x~O X zm = zm = ____ ::.o_ __ = _ ____;__ _____ -=-
x-X> senx x-Xl senx L, senx 1 zm--X ·'"~ X
L, ( 2tagx- arcsenx)
x~lf! x = 2Lím tagx- Lím arcsenx = 2-1 = 1 1 x~O X x-'>0 X
P L, 2tagx- arcsenx
1 or tanto, zm = x~o senx
19 e 1 1 L, sen(~ -2)
.- a cu ar zm 2 x~O X
SOLUCIÓN
, sen(~y+4 -2)Uy+4 -2) , sen(~y+4 -2) , ~y+4 -2 , ~y+4 -2 Lzm = ,L.Jm .Lzm- = 1.Lzm y~O y(~y+4 -2) .yy+4-2~0 ~y+4 -2 y~O y y~O y
P L, sen(-Jx2 + 4- 2) 1
or tanto, zm 2
=-x~O X 4
20 e 1 1 L, l00sen3x + 200cosx
.- a cu ar un X~- X
SOLUCIÓN
La función seno y coseno son funciones acotadas entre -1 y 1
Es decir -1 :::; sen3x :::; 1 --+ -100 :::; 1 OOsenx :::; 100
Y -1 :::; cosx:::; 1--+ -200:::; 200cosx:::; 200
(1)
(2)
104
Sumando (1) y (2) y dividiendo por x, se tiene
-300 ~ 100sen3x + 200cosx ~ 300 X X X
Aplicando la regla de Sandwich
Lím -300 ~ Lím(100sen3x+200cosx) ~ Lím 300 ::::> 0 ~ Lím(IOOsen3x +200cosx) ~ 0 x-H<JO X x-¡.~ X x-¡.+oo X x-¡.+oo X
P L, 100sen3x+200cosx
0 or tanto, zm = X-)>+oo X
21 e 1 1 L, -Jx4 -x4sen2x
.- acuar zm-----x-+0 1-cosx
SOLUCIÓN
L , ~x4 - x4sen2 x L' x2 -J1- sen2 x L' x2 L' x2 (1 + cosx) 2L, x2
zm = zm zm---- = zm = zm---;HO 1-cosx HO 1-cosx x--¡.0 1-cosx x-)>Ü (l-cosxX1+cosx) x-)>Ü 1-cos2
X
2Lím x2
= 2Lím-x-2
- = 2Lím(_!_)2
= 2 x--¡.0 1- COS2 X . x--¡.0 sen2 X x--¡.0 senx
~x4 -x4sen2x Por tanto, Lím = 2
x--¡.0 1 - COS X
22 e 1 ul L, 1 - e os 3x
.- a e ar zm--x-¡.O 1-cos4x
SOLUCIÓN
1- cos3x 9 Lím 1- cos3x Lím 1- cos3x = Lím x 2 = HO (3x Y = 9(1 1 2) __ 9 X--)>0 1-cos4x x-)>Ü 1-cos4x 16L' l-cos4x 16(112) 16
xz xJm (4xY
105
x3 +1 23.-Calcular Lím 2
x--+-1 sen(l- x )
SOLUCIÓN
x3 +1 L' x3 + 1 L' x3 + 1 L' x3 + 1 x 2 -1
zm-- zm-- zm--Lím =
x~-1 x2 -1 =
x~-1 x2 -1 x~-1 x2 -1 =
x--+-1 - sen(x2 -1) L, sen(x2 -1) L, sen(x2 - 1) 1 x 2 -1
- zm zm 2 x~-1 x2 -1 x2-l~O X -1
= - Lím x3 + 1 = - Lím (x + 1 Xx2 + x + 1) = - _l_ = ~ x-+-Ix
2 -l x--+-1 (x-tXx+l) -2 2
x3 +1 3 Por tanto, Lím 2
x--+-1 sen(l- x ) 2
3.6.-CALCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS
1- e3x l.-Calcular Lím--
.Ho 1-cosx
SOLUCIÓN
e3x -1 e3x -1 1- e3x 2 x2 , e3x -1 o e3x -1 o 1
Lím =- Lím x =- Lím---'--'-- =- 2Lzm = -2 3Lzm--- Lzm-x~o 1- cosx x~O 1- cosx x-70 1/2 X~ x 2
o 3x~O 3x o X~ X
o 1 = -6.Lzm- =±<X:>
x~O X
x2
l-e3x Por tanto, Lím = ±<X:>
x~o 1-cosx
L , (llx) 2.-Calcular lme
X4Ü
SOLUCIÓN
Calculando el limite por la derecha e izquierda del punto de acumulación O
a).-Líme(ux) = e-IW =+<X:> yaquee >O x~o+
106
b).- Líme(ttx) = e-oo =O x~o-
3.-Calcular Líma-Jx2
+x, X~ -<lO
SOLUCIÓN
1 yaqueO <- <1
e
0<a<1
T rab,Yando dentro del radical .J x' + x ~ ( x + i)' 1 4
Lim ~ x2 +x +oo Aplicando el límite a la potencia ax--+-<0 = a = 0 ya que 0 < a < 1
Por tanto Lím a -J.·hx = O ,
4.-Calcular Líme(ll.t2
)
x~-oo
SOLUCIÓN
Analizando la potencia
1
S.-Calcular Límex-t x~l+
SOLUCIÓN
Analizando la potencia
107
__!__ Lim __!__ Luego, Límex-I = e._,¡+x-I =e+"" = +oo
x--¡.J+
1
Por tanto, Límex-I = +oo x--¡.J+
, (1+x)3 -1 6.-Calcular Llm
2 x--¡.() Ln(x +1)
SOLUCIÓN
Dividiendo por x2 al cociente, se tiene
(l+x)3 -1 L' (1+x)3 -1 L' (l+x)3 -1 2 zm 2 lm 2 . (1 )3 1 (1 1)( 2 1) Lím X = x--¡.0 X = x--¡.0 X = Lím +X - = Lím +X- X +X+
HO Ln(x2 +1) L' Ln(x2 +1) 1 x--¡.0 x2 x--¡.0 x2 lm-~--'-
x2 x2--¡.0 x2
, (l+x)3 -1 Por tanto, Llm
2 = +oo
HO Ln(x + 1)
7.-Calcular Lím ~nx X-)1 X -1
SOLUCIÓN
Haciendo un cambio de variable, se tiene
x-1=y=>x=y+1 Si x~1=> y~O
Luego,
Lím Lnx = Lím Ln(y + 1) = Lím Ln{y + 1) = Lím Ln{y + l) .Lím 1 =l._!_=_!_ HI x2 -1 y-)o {y+1Y -1 y--¡.o {y+1-1h+1+1) y-)o y y-)o (y+1+1) 2 2
P L, Lnx 1
or tanto, zm-2
- = -x--¡.J X -1 2
x-2 S.-Calcular Lím---
H2 Lnx-Ln2
108
SOLUCIÓN
Haciendo un cambio de variable, se tiene
X- 2 = y => X = y+ 2 Si X --} 2 =>y --} o
Luego,
y
Lím x- 2 =Lím y =Lím y = 2Lím 2 = 2 H2 Lnx-Ln2 y~o Ln(y+2)-Ln2 y~o {y+2) !:--+0 {y ) L -- 2 L -+1
x-2 Por tanto, Lím == 2
H2 Lnx-Ln2
x-a En general se demuestra que Lím = a
x-'>a Lnx- Lna
1
9.-Calcular Lím(1 + tagxJ:;;;;
x--+0 1- tagx
SOLUCIÓN
Llevando al número e
2 2
1
,~1+tagxJs~zx , ( 2tagx J(~::::)(:~:JsetLY Lz =Llm 1+---x-'>o 1 - fagX .HO 1 - fagX
2tagx Y a que x --+ O =:> --+ O
1-tagx
1 l
,~1 + tagxJ:;;;_; ( )Lfm( 2tagx)senx Luego, L1 == e x--.o 1-tagx x-'>o 1- tagx
senx
Desarrollando Líj tagx J-1- = Lím ~ 1 = Lím 1 = 1
x--:~\ 1- tagx senx HO 1- tagx senx HO (1- tagx )cos x
l 1
Reemplazando se tiene Lím =(e )x-->~ I-tagx = 1 (1 + fagxJsenx Lí ( 2tagx )senx
x--+0 1- tagx
109
1
Por tanto, Lím · = 1 (1 + tagxJsenx
HO 1-tagx
1
(1 + senxJsen2
x 10.- Calcular Lím ---HO 1-cosx
SOLUCIÓN
Usando el número e
1
, (1+senx)se~2x , ( senx+COSX)(se:::.o:x)(se~:o~::x)sen2x Lzm = Lzm 1 + -----x~ 1-cosx ~ 1-cosx
. senx+cosx Ya que sz,x~O=> ~oo
1-cosx
1 1
Luego, Lím = e .~ senxtcosx ( 1 + senx )senx ( )L' ( 1-cosxx Jsen2x
x--?0 1-cosx
Desarrollando
L , ( 1- cos X J 1 L, ( 1 - cos X J 1 L, ( 1- cos X J 1 zm --- zm - zm ----HO senx+cosx sen2x- HO senx+cosx (1-cos2 x)- x~ senx+cosx (1-cosxX1+cosx)
_ Lí.,.,( 1 J 1 _ 1 - x~\senx+cosx (1+cosx) -2
1 1
(1+senx)senx J 1-cosxx )smi'-; 1
Reemplazando se tiene Lím =(e )..::ó\seiiX+cosx " =-.Ho 1-cosx 2
1
Por tanto, Lzm =-, ( 1 + senx )sen2x 1 -"~ 1-cosx 2
1
11. -Calcular Líny{x )sen2x X-?Ü
SOLUCIÓN
1 1- x-1
( ) 1 ( ) -sen2x Lím-Lím 1 +X -1 sen'x = Lím 1 +X -1 (x-
1) (x-l) = ex->'Jsen2
x =e -oo =o x~o -"~
110
1
Por tanto, Lím(x )sen2x =O X--?0
l
12.-Calcular Lím(1 + sen2xJcosx-l x-?O+ 1- sen2x
SOLUCIÓN
_1 _ 1-sen2x 2sen2x _I _ i ZsenZx ~ , (1+sen2x)cos:c-1 , ( 2sen2x )2sen2x·1-se112xcos:c-l Lit0 -1_ 2 . _1 Lzm = Lzm 1 + =e·_, se, x cosx
x-?D+ 1- sen2x Ho+ 1- sen2x
Lím(2sen2x) 1 =Lím(2sen2x) (cosx+1) =Lím(4senxcosx) 1 =-oo HO 1-cosx (cosx-1) HO 1-cosx (cosx-1)(cosx+l) HO 1-cosx -sen2x ·
1
(1 + sen2x)cos:c-1 Luego, Lím = e-oo =O
x-?D+ 1- sen2x
111
CAPITULO IV
CONTINUIDAD Y DERN ADA
4.1.-DEFINCIÓN DE LA DERIVADA
En los problemas siguientes usar la definición de la derivada. f' ( x0 ) = Lím f ( x) - f ( Xo)
l.- Calcular f' ( x0
) de la siguiente función f (X) = 'Jj;;x
SOLUCIÓN
Debemos de calcular la derivada en un punto del dominio de la función
a Por tanto, f' (x0 ) = ~ r::.
3\¡ax0
2.- Calcular f'(x)de la siguiente función f(x) = x5
SOLUCIÓN
x-">-.'"o X-X0
! '( )-L' (x+h)5-x
5 -L' (x+h-x)((x+h)
4+ .......... +x
4)_L' ( h)4 4_ 5 4 x - zm - zm - zm x + + .......... + x - x
h-'>'Ü h h-">-0 h h-'>'Ü
Luego, f'(x) = 5x4
3.- Calcular f'(x)de la siguiente función f(x) =ex
SOLUCIÓN
112
Luego, /'(x) =ex
4.~ Calcular /'(x) de la siguiente función f(x) = sen2x
SOLUCIÓN
f' ( x) = Lím sen2( x + h)- sen2x = Lím sen(2x + 2h)- sen2x = h--'>0 h h--'>0 h
l, sen2x.cos2h+sen2h.cos2x-sen2x L' sen2x(cos2h-1)
2L, sen2hcos2x = ,zm = zm + zm----
h--'>0 h IHO h h--'>0 2h
2 2 L, {cos2h-1)
2 2 , sen2h
sen x zm + cos xzm--IHO 2h h-40 2h
Y L, (cos2h-1)
0 aque zm = y 21H0 2h
Luego, f'(x)=2cos2x
Límsen2h =l 2/HO 2h
5.~ Calcular f'(x) de la siguiente función f(x) = Lnx
SOLUCIÓN
f'(x)=LímLn(x+h)-L11X =Lím L{ ~) =Lím!L{x+h)=LímLn(x+h)i h--'>0 h h--'>0 h h--'>0 h X h--'>0 X
{ )
_1_ ( )_1_ ( )!_ !!__1_ 1 x+h 11 x+h 1z h ll"xh - 1 LímL -- =LnLím -- =LnLím 1+- =Lnex =-h--'>0 X h--'>0 X h--'>0 X X
1 Luego, f'(x) =
X
6.-Demostrar que (kf)'(x) =kf'(x)
SOLUCIÓN
(kf)'(x) = Lím (kf)(x+h)-(kf)(x) = Límk(f(x+h))-kf(x) = Límk(f(x+h)- f(x)) h--'>0 h h--'>0 h . h--'>0 h
kLímf(x+h)- f(x~ = kf'(x) h--'>0 h
113
Luego, (kf)'(x) = kf'(x)
4.2.-PROPIEDADES DE LA DERIVADA
1.- Calcular f'(x) de las siguientes funciones
a).- f(x) = x 6 (l- cos2x)6
b).- f(x) = (arctagx}"
SOLUCIÓN
a).- f(x) = x 6 (l- cos2x)6
f' (x) = 6x5 (1- cos2x )6 + 6x6 (1- cos2x )5 (- 2sen2x)
f'(x) = 6x5 (1-cos2x)6
-12x6 (1-cos2x)5(sen2x)
b).- f(x) = (arctagx)x
f(x) = (arctagx}" ~ Ln(f(x)) = xLr/...arctagx) ~ f' (x) = Ln(arctagx) + x 1
(-1
-2
)
f(x) arctagx l+x
f'(x) = f(x)(Ln(arctagx)+x 1
(-1- 2 )J arctagx l+x
2.-Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto P, cuya abscisa es x=l, de la curva
3 2 X y 5
e·-+-=-. y2 x3 3
SOLUCIÓN
Para funciones dadas en forma implícita, la recta tangente tiene por ecuación
Calculando dy(xo,Yo) dx
x3 y2 5 De la curva C:-+- =
Y2 x3 3
114
Luego dy(x,y) = 3Y dx 2x
-Ji -Ji r;; r;; Los puntos de tangencia serán: P., (1,- 2 ), P2 (1, 2 ), ~ (1, --v 2) y P4 (1, -v 2)
3-/i Lt3 :y--Ji =-(x-1)
2
3-/i Lt4 :y+-/i =-(x-1)
2
3.-Calcular la ecuación de la recta tangente en el punto P de la gráfica de la función cuya
abscisa es x=a si x2 - a.JXY + y 2 = a2
, a > O
SOLUCIÓN
Calculo de la ordenada, reemplazando x=a en la ecuación
Luego, y= a Por tanto el punto P tiene como coordenadas P(a,a)
Calculo de la pendiente / = mr
ay 2x---
2 ay 1(. ax 2 J 1 2-foY 4x.JXY -ay x- 2-Jzy =y 2-[XY- y =>y = ~-2y = ax-4y.Jzy
2fXY
115
. . I 4a-f¡W - aa 3a2
Evaluando la pendtente en el punto P(a,a), se tiene y = _¡¡¡;; = -~2 = -1 aa-4a aa -3a
Por tanto, la recta Tangente en Pes dado por Lr :y- a= -1(x- a)
{
x, O <x<1
4.-Analizar la derivabilidad de la siguiente función f(x) = 2- x, 1 :S: x :S: 2
3x-x2 x > 2 '
SOLUCIÓN
Para analizar la derivabilidad de la función debemos de tener presente que la función sea
continua en un punto. Luego, mediante definición de la derivada, se calcula la derivada en ese
punto. Por ejemplo, Analizaremos la continuidad de la función en los puntos x= 1 y en x =2
Análisis de la continuidad para x= 1
a).- /(1) = 2-1 = 1
{
Lín}(2 - x) = 1 b).-Límf(x)= x-:I ~Límf(x)=1
x-ti Lzm X = 1 x-ti x-ti+
e).- f(l) = Lím f(x) = 1 x--tl
Por tanto, la función es continua en x = 1
Analizando la derivabilidad en x = 1
¡ , x-1 _
1 f_(1)=LÍ11'j-=1
f'(1)=Límf(x) /()= x-ti x- 1 ~/'(1)Noexiste x--tl x -1 ~~ (1) = Lím 2- X -1 = _1
x--tl+ X -1
Por tanto la función no es derivable enx =1
Análisis de la continuidad para x=2
a).- /(2) = 2- 2 =O
116
{
Lím(2-x)= O b).-Límf(x) = x---1>
2-(
2) ~ Límf(x)noexiste
x42 Lím 3x-x = 2 -"41
X42+
Luego, la función no es continua en x =2. Por tanto, la función no es derivable en ese punto
{
2-x2 x <2 5.-Analizar la derivabilidad de la siguiente función f(x) = 2 l' l
X -4X +2, X 2 2
Analizando la continuidad en x = 2
a).- f(2) = 22 - 4121 + 2 = -2
{
LíJ1!(2 - x 2) = -2 b).-Límf(x)= H
2 ( ) ~Límf(x)=-2
x42 Lím x2 -4lxl +2 = -2 H2 H2+
e).- /(2) = Lím f(x) = -2 X42
Por tanto, la función es continua en x =2
Analizando la derivabilidad en x =2
f'(2)=Límf(x)- /(2) = x42 x-2
f , (2) L, 2 - x2 + 2 L, 4 - x2 4 = lln = lln =-- x42- 2 X -121 HT x- 2 ~ /'(2) No existe , x -4x +2+2
/+(1) = Lím =O x42• x-2
Por tanto la función no es derivable en x =2
6.-Analizar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función
[2+ ~} x<-3 f(x)=
3/x+3 x2-3 -v~·
SOLUCIÓN
Analizaremos la continuidad en x= - 3
a).- f( -3) =O
117
b).-Límf(x) = x~-3 L, ~X + 3 O zm3 -- =
x~-3+ x-3
Lím_([2 + 3_JJ = 2 + Lím_([3_JJ = 2 -1 = 1 x~-3 X x~-3 X
~ Lím f(x) No existe ~-~-3
Por tanto, la función es no continua en x =-3
Analizando la derivabilidad en .X =-3
Como la función no es continua en x =-3 se concluye que la función no es derivable en x =-3
7.-Calcular las derivadas laterales de la siguiente función. Existe la derivada en x =O?
SOLUCIÓN
x>O
x:s:;;O
{x 2 + 4x+ 5,
Simplificando la función, se tiene f (X) = 5
_ X 2, '
Calculo de las derivadas laterales
{2x+4,
f'(x) = -2x
'
x>O x<O
Existencia de la derivada en x =O
x>O
x:s:;;O
L, x
2 +4x+5-5 L' x
2 +4x
4 zm = zm = f'(O)=Límf(x)-f(O)= H-O- x H-0- x ~f'(O)Noexiste
x~O X-0 5 X 2 5 Lím - - =0 x~-o+ X
Por tanto, la función no es derivable en x =O
8.-Calcular la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = X2 +X+ 1
Sabiendo que dicha recta pasa por el punto P(37,0)
SOLUCIÓN
La ecuación de la recta tangente en un punto P(xo yo) de la gráfica de la función es dada por
118
Y la recta normal en P(xo,Yo) es dada por
Calculo de la pendiente de la recta tangente f' (x) = 2x + 1
1 Calculo de la pendiente de la recta normal -
2x +
1
La recta nonnal pasa por el punto P(37,0), y por el punto de tangencia P(Xo,Yo) luego su
pendiente será
. 1 _ Yo -0 x0 -37 _ y0 (2x0 +1) mN. - =>- - =>
2x0 + 1 x0 - 3 7 1 1
Luego, el punto de tangencia hallado será P(2,y0 ) = P(2,7)
Por tanto, la recta nonnal a la gráfica en el punto P(2, 7) es dada por la ecuación
1 LN :y-7 = --(x-2)
5
9.-:Hallar la derivada de la función
SOLUCIÓN
Aplicando logaritmo natural se tiene
Derivando implícitamente
(1)
119
Sea t = Xex . Aplicando nuevamente logaritmo natural a es nueva función y derivando
implícitamente se tiene
Lnt = e' Lnx ==> :· = e' Lnx + e: ==> t' = x''( ex Lnx + e: J (Z)
Reemplazando (2) en (1) se tiene que
y'= / [ [ x'' (e' Lnx + e: ) )Lnx + x:· J
10.-Dada la ecuación xarctagy + yarctagx = tr 2
a).-Hallar la derivada de y
b ).-Calcular la recta tangente en el punto P(1,1)
SOLUCIÓN
a).-Derivando implícitamente
ff 1 1 xarctagy + yarctagx =- => arctagy + x.--
2 .y'+y' actagx +y. --
2 = O
2 1+y 1+x
Despejando/,
1 arcatagy +y. --
2 y'=_ 1+x
1 x. --
2 + arctagx
1+ y
b ). -Calculando la recta tangente en el punto P(1,1)
Reemplazando, se tiene
1 arctag(1) + 1.--
2 y' (1,1) = - 1 1 + 1 = -1
1.--2
+ arctag(1) 1+1
120
Por tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 1) es dada
LT :y-1=-1(x-1)
SOLUCIÓN
Derivando
2 x3
-1 1 ( - 2x J( 2 ) 1 r:-2 y'= x arccosx +- -- x +2 - -"1/1- x- .2x 3 -J1- x 2 9 2~1- x 2 9
Simplificando
, 2 x3
1 ( x J( 2 ) 2x ~ y = x arccos x- +- x + 2 -- '\} 1- x 3~1-x2 9 ~1-x2 9
2 3x3 x3 2x 2x ~ y'= x arccos x- r::--? + r::--? + r::--? - 9 '\} 1- x-
9--J 1 - x2 9\} 1 - x2 9\} 1 - x2
3 2 3 , 2 2x x y = x arccos x - r::--? + r::--?
9\} 1- x2 9\} 1- x2
1 2 Por tanto, y = x arccos x
12.-Calcular y1 siendo y= ~senx- sen2x +arcsen.J1- senx
SOLUCIÓN
Derivando
, cosx-2senx.cosx 1 1 y= + -cosx
2 1 2 1 { ¡ \2 2-J1- senx '\} senx- sen x \fl- \'V 1- senx}
¡~
Simplificando
r cos x(1 - 2senx) y---;=~=~~
- 2-J senx -JI- senx
cosx
cosx ( ) y'= 1- 2senx -1 2 .,J senx ")1 - senx
y'= cosx.senx ~1- sen2x.senx -JI- senx")l + senx.senx
-J senx-JI- senx = -..} senx-J1- senx =- -J senx-Jl= senx
Por tanto, y'= -.,JI+ senx . .,J senx
B.-Calcular y1 siendo y= x(arcsenx )2 - 2x + 2~I- x2 .arcsenx
SOLUCIÓN
Derivando
f )2 1 2( -2x) ~ 1 y'= \arcsenx + x.2arcsenx. r.:--? -2 + r.:--;¡ .arcsenx + 2\fl- x- r.:--;¡
xJ1- x2 2xJ1- x2 1}1- x1
Simplificando
{ )2 2xarcsenx 2x y'= \arcsenx + r.:--? - 2- ¡:----= .arcsenx + 2
xJ1-x2 \,11-x2
Por tanto, y'= (arcsenx Y
I4. -Calcular y1 siendo Y = arctag( ~) + arctag( ~)
SOLUCIÓN
Derivando
Simplificando
-2 2 y'= + =Ü
x2 +4 x1 +4
122
Por tanto, y'= O
2 15.-Calcular y1 siendo Y= 3arctg
SOLUCIÓN
Derivando
2 1 5tag(~)+4 y'=-
3 5tag(~)+4
2 3
1+ 3
Simplificando
1 2 1 1 2( X) 1 =- 5sec - .-3
5tag(~)+4 2 3 2 2
1+ 3
y'=~ 9 .~sec2(x} ~5 sec2(~} ~ 3 ( (x) J2
6 2 9+25tag2x+40tagx+16
9+ 5tag - +4 2
y'~ sec2(1) ~ __ 1 __
sec2( ~X 5sen
2G) + 8sen(~ )co{ ~) + 5 cos2( ~) J 5
+ 4
senx
123
t 1 Por tanto, Y =
5 4 + senx
2 16.-Calcular y1 siendo Y= 3arctg
SOLUCIÓN
-arccotg
Stag - +4
[ (X) J Del ejemplo anterior Basta calcular la derivada de B=arccotg 3
2
En efecto
Bl= -1 5tag(~)+4 1 -1 1 2( X) 1 = 2 35sec 2 .2
5tag(~)+4 2 3
5tag(~)+4 1+ 1+
3 3
Simplificando
1 - 9 5 2 ( x) 15 sec
2
( 1) y= ( (x) J2 .6sec 2 = -2 9+25tag2x+40tagx+16 =
9+ 5tag - +4 2
124
reemplazando se tiene
' 1 (3 1) 5 y = 5 + 4senx - - 2 · 5 + 4senx = 1 O+ 8senx
' 5 Por tanto, Y= 10 8 + senx
17.-Calcular y11(xJ'). Siendo y 2 = 2ax3
SOLUCIÓN
Calculo de y1
· 3ax2
Si y 2 = 2a.x3 ~ 2Y.Y'= 6ax 2 ~ y'(x,y) = -y
Calculo de y11
S . '( )_3ax2
"( )_6a.x.y-3a.x2y'
1 y x,y - =>y x,y -2 y y
Reemplazando (1) en (2)
6 2 9 2 4 "( ) _ a.xy - a x y x,y - ~
y'
3 1 2 · 5 +4senx
(1)
(2)
18.-Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto Po(xo, 2) de la gráfica de la
función da por: f(x) = ~lxl + x
SOLUCIÓN
125
Derivando:
1 1(12 )-2/3( 2x ) 1 (x J 1 (x+lxiJ l(x)=-\]x- +x . - 12 +1 = ( t 3 -
11
+1 =~\273 -~-~ 3 2\fx- 3{;2 +x x 3\{;2 +xj x
, 1 (x+!xiJ ~xl +xt3
Y 1 Y Simplificando 1 (x) = 3~xl +xt3 -lxl- = 3lxl = 3lxl ~ 1 (x) = 3lxl
1 Por tanto Lt : Y- 2 = 6 ( x- 4) y LN: Y- 2 = -6( x- 4)
19.-Calcular y'"(x,y) siendo x2 + y 2- a2 =O
SOLUCIÓN
Derivando ambos miembros y despejando y1 : y'= - x
y
x2 + 2 a2 Derivando por segunda vez y''= ---/- = - 3 y y
3x(x2 + y 2) 3xa2 Derivando por tercera vez y'"=- = ---
ys ys
20.- Calcular y' siendo ysenx+ xseny- k= O
SOLUCIÓN
Derivando ambos miembros y : y' senx+ ycosx + seny+ y' xscos y= O
despejando y1 y'(senx+xcosy) = -ycosx-seny
P . , ycosx+seny
or tanto, y= (senx+xcosy)
{x = te1
21.- Calcular y' siendo y= te-1
SOLUCIÓN
126
dy
Usando y'= dt dx dt
. e-1 - te_, e-2'(1- t) Se tiene y'= ~ y'= ---.-'--....----:.-
e' +te' (1 + t)
e-2'(1- t) Por tanto y'= ___..,.--'---~
' (1 +t)
{
X= tesent 22.- Calcular y' siendo
Y= tecost
SOLUCIÓN
. ecos/ - tsentecost . ecos ti (1- tsent) Se tiene y'= ~y!= -----.,.:'-------7
esent +tcosteset~tl esent(1+tcost)
' ecost-sent (1- tsent) Por tanto, y = ( )
1 +tcost
{x=tagt
23.- Calcular y' siendo y= cotgt
SOLUCIÓN
. -cosec2t 4 Se tiene y'= 2 ~y'= -cosec t
sec t
Por tanto, y'= -cosec4t
{x=t-sect
24.- Calcular y' siendo y=t-cosect
SOLUCIÓN
S . , 1+cosect.cotgt , sect.tagt+1 e tiene y = ~ y = ----;-.;o__ _____ )
1- sect.tgt sect.tagt(l- sect.tagt
P , sect.tagt+l
or tanto, y = ----,--=------sect.tagt(I- sect.tagt)
> :.··
127
4.3.-APLICACIONES DE LA DERIVADA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
3
l.-Dado la función f(x) = x 2
, x ;t: -1 (x+1)
Calcular
a).-Los puntos críticos si hubiera
b).-Los intervalos de crecimientos o decrecimientos
c).-Los intervalos de concavidad y el punto de inflexión si hubiera
d).-Las asíntotas oblicuas si hubiera
SOLUCIÓN
a).-Los puntos críticos si hubiera
Calculando la derivada de la función f
Hallando los puntos críticos x2
(x + ~) = O ~ x = O v x = -3 (x+1)
Luego, los puntos críticos son PC = {- 3,0}
b).-Los intervalos de crecimientos o decrecimientos
Calculando los intervalos de crecimiento
Si x < -3 ~ f' (x) >O~ f crece en }- oo,-3[
Si -3 < x < -1 ~ f'(x) <O~ f decrece en }3,-1[
Si -1 < x ~ f'(x) >O~ f crece en }-1,+oo[
c).-Los intervalos de concavidad y el punto de inflexión si hubiera
Calculando la segunda derivada de la función f
f"(x) = 6x (x + 1)3
128
6x Hallando los puntos críticos de inflexión = O ---+ x = O
(x + 1)4
Luego, los puntos críticos son PCI = to}
Analizando la concavidad, teniendo presente que existe una asíntota vertical en la recta x =-1
Se tiene
Si x < -1---+ f" (x) <O---+ f es convava hacia abajo en ]- oo,-1[
Si -1 < x < O---+ / 11 (x) <O ---+ f es convava hacia abajo en ]-1,0[ (1)
Si O < x ---+ f' 1 ( x) > O ---+ f es convava hacia aarriba en p, +oo[ (2)
De (1) y (2) la función tiene un punto de inflexión que es P(O,O)
d).-Las asíntotas oblicuas si hubiera
Una asíntota oblicua está representada por la recta y= mx+ b, m ::f:. O
Donde m= Lím f(x) y b = Lím(f(x)- mx) X--)±oo X X---)±00
x3
(x+1)2
x3
( x3 J Calculando m= Lím = Lím
2 = 1 b = Lím
2 -x = -2
X-)±<>:> X X--)±oo x( X + 1) X--)±oo (X + 1)
Por tanto la única asíntota oblicua es la recta y = x- 2 .
2.-Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimientos, extremos relativos, los
intervalos de concavidad y puntos de inflexión de la siguiente función
x4 x3 2 f(x)==----x +1
12 9
SOLUCIÓN
Por ser un polinomio el dominio es el conjunto de números reales
Derivando para hallar los puntos críticos
x3 x2 /
1(x)==----2x 3 3
129
f'(x)==O<=>~- x2
-2x=0=> x(x2
-x- 6) =0=> x(x+ 2)(x- 3) =O:=>x=O x=-2 x=3 3 3 3 3 ' '
Luego, los puntos críticos son PC = {- 2,0,3}
Calculo de los intervalos de crecimientos y de decrecimientos
Analizando el signo de la derivada en los intervalos siguientes
Si x < -2 => f'(x) <O~ luegolafunciónesdecrecieneenelintervalo} oo,-2[
Si -2 < x <O~ f'(x) >O=> luegolafunciónescrecienteenelintervalo }2,0[
Si O< x < 3 => f' (x) <O=> luego la función es decreciene en elintervalo ]o,3[
Si 3 < x => f'(x) >O=> luegolafunciónescrecienteenelintervalo ]3,+oo[
Por tanto, en los puntos P(-2,- 2), Q(3,-17
) la función tiene mínimos relativos y en el punto 9 4
R(OJ) tiene un máximo relativo.
Calculo de los intervalos de concavidad
3 2 2 De f'(x)==3__3__2x~ f"(x)=x 2 -~-2
3 3 3
2x 1-$9 1+$9 f"(x)==0<=>x 2 ---2=0~3x2 -2x-6=0~x1 = ~-1,12vx? = ~1,79
3 3 ~ 3
Calculo del signo de la segunda derivada
Si x < -1,12 => f"(x) >O=> luego la función es concavahaciaarribaen el intervalo} oo,-1,12[
Si -1,12 < x < 1,79 => f"(x) <O~ luegolafunciónesconcavahaciaabajoen el intervalo} 1,12,1,7s{
Si 1,79 < x => f"(x) >O~ luego la función es concavahaciaarriba en elintervalo ),79,+oo[
Por tanto, la función tiene dos puntos de inflexiónT0 (-1,12,0,03), T¡ (1,79,-1,99)
3.-Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la función
130
SOLUCIÓN
. 1( 3 )-2/3 2 x2 -1
Denvando: f'(x) =- 4x -12x .(12x -12) = ( \213 3 4x3 -12x)
PC = ~-J3,-1,0,1,"/3}
{x < -1: f'(x) >O
Si 1>x>-1:f'(x)<0 Luego f(-l)= 2 valormáximorelativo
{-1<x<l:f'(x)<O
Si 1 < x: f' (x) > o luego /(1) = - 2 valor mínimo relativo
Por tanto intervalos de crecimientos: x < -1, x > 1
Y de decrecimiento: -1 < x < 1
4.- Graficar y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la
funciónf(x) = (x2 -tt2
SOLUCIÓN
Debemos de encontrar el dominio
Luego, Don(f) = }-oo,-1]u[l,+oo[
Buscando los puntos críticos de la función
Derivando f'(x) = _¿(x2 -lt 2.2x =O=> x = 1 v x = -1 v x =O
2 Como x=O no pertenece al dominio entonces los puntos críticos serán
PC = {-1,1}
Analizando los intervalos de crecimiento
Si x > 1 => f'(x) >O, luego, la función crece en [1,+oo[
Si x < -1 => f'(x) <O, luego, lafuncióndecreceen J. oo,-1]
131
La función solo posee un valor mínimo absoluto igual a O en x=-1 , x=1
Grafica
5.- Graficar y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la
funciónf(x) = ( 1 Y
x-1
SOLUCIÓN
Debemos de encontrar el dominio
Dom(f) = R/{0}
Luego, Dom(f) == R/{0}
Buscando los puntos críticos de la función
Derivando f' ( x) = -2(x - 1 Y3 no existe la derivada en x = 1
El punto crítico será PC = {1}
Analizando los intervalos de crecimiento
Si x > 1 => f'(x) <O, luego,lafuncióndecreceen [l,+oo[
Si x < 1 => f'(x) >O, luego, la función crece en }oo,-1]
Función no posee máximo ni mínimo
132
Grafica
6.- Graficar y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la
funciónf(x) = + X +4
SOLUCIÓN
Debemos de encontrar el dominio
Dom(f)=R
Luego, Dom(f) = R
Buscando los puntos críticos de la función
-x2 +4 Derivando f'(x) = ( \2 = 0=> x = 2 v x = -2
x2 +4J
Los puntos críticos serán PC = {- 2,2}
Analizando los intervalos de crecimiento
Si x < -2 => f'(x) <O, luego,lafuncióndecreceen }oo,-2]
Si - 2 < x < 2 => f' ( x) > O, luego, la función crece en[- 2,2]
Si x > 2 => f' (x) < O, luego, la función decrece en[2, oo[
Notamos que hay cambio de signo en las derivadas
Luego, la función posee un valor mínimo igual-114 en x =-2
133
4.4.-L'HOSPITAL
l.-Usando L'Hospital. Calcular los siguientes límites:
L , (tagx-senx) a). zm ----==-----x-->0 sen3x
SOLUCIÓN
b). Lím cos 2 ( J
3x2
x~+oo X
L , (tagx-senxJ O L' (sec2 x-cosxJ L' ( 2sec
2 xtagx+senx J a). zm = - ~ zm = zm
x-->0 sen 3x o x-->0 3sen2x.cosx x-->0 6senx.cos 2 x-3sen 3x
Simplificando:
L , (tagx- senx) L' ( 2sec3
x + 1 J 1 w = w =-x-->0 sen3
X x-->0 6. COS 2 X - 3sen 2
X 2
P ta t L , (tagx-senx) 1 or no, 1m =-x-->o sen3x 2
Ln( cos~) 3 2 ( 2) 3 Lím 1 x
( 2 J x Lím 3x2 Ln cos- .x->+«>
b). Lím cos- =1 00 =ex->+<IJ X =e X2
x~+oo X
Simplificando
Ln(cos2J [co:2J.-sen~.- 2 x12 tag(-~J sec2(2J.--; 3L . X 3L' X 3L' X 3L' X X 1m
1 = un _
2 =- 1m----=- 1m
x~oo x~oo x~ 1 x~oo -1
X
Simplificando
Ln( cos~) sec2( ~ }2
-3Lim x = -3Lim x = -6 x~oo 1 x~oo 1
x2
3x2
Por tanto Lím(cos 2 J = e -6 ' x~+oo X
135
2.-Usando L' hospital. Calcular Hz:( co{ fJ) r SOLUCIÓN
Aplicando L'Hospital a la potencia
Lnco{P§J
b 1
X
Luego, aplicando limite y reemplazando se tiene
( (fJJJbx 5 5a --ah
Lím cos - =e 2
x-+t«> X
, 5a -513ab Por tanto Lzm cos {5a = e ( ( JJ
bx
'H-1® ~---.;
L, cos(senx) -1 3.-Usando L' hospitaL Calcular x~n; sen(cosx)+x
SOLUCIÓN
Derivando el numerador y a la vez el denominador
S t . L' cos(senx)-1 L' -sen(senx)cosx 0 e1~e n = n =
HO sen( cos x) + x HO - cos( cos x )senx + 1
L, cos( senx) -1
0 zm -Por tanto, HO sen( cos x) + x -
136
4.-Usando L' hospital. Calcular ~~~xLnx
SOLUCIÓN
Acomodando la función como xLnx = L~ X
Luego, reemplazando se tiene
1
Lím xLnx = Lím Lnxl = Lím xl = Lím- x = O x--tO x--tO x--tO x--tO
Por tanto, Lím xLnx = O x--tO
e3x -3x-l
5.-Usando L' hospital. Calcular Lím 2
x--tO Sen 5x
SOLUCIÓN
Derivando el numerador y el denominador
, e3x - 3x -1 , 3e3x - 3
L~ =L~ =oo x--tO Sen2 5X x--tO 2sen5X COS 5x.5
e3x -3x-l
Por tanto, Lím 2
= oo x--tO Sen 5X
. , xcosx- senx 6.-Usando L' hospital. Calcular Lzm
3 x--tO X
SOLUCIÓN
Derivando el numerador y el denominador
L, xcosx-senx L' cosx-xsenx-cosx L' -xsenx L' -senx lj zm = zm = zm = zm = - 3 x--tO X3 x--tO 3x2 x--tO 3X2 x--tO 3X
, xcosx- senx 1 Por tanto, Lzm
3 = --
x--to X 3
137
L' Lnx 7.-Usando L' hospital. Calcular x1~ ~
SOLUCIÓN
1
L , Lnx L' x L' 1 O lm--= zm-= zm-= x-+t«> X x~O 1 x~+oo X
Por tanto, Lím Lnx = O x~+oo X
8.-Usando L' hospital. Calcular Lím Lnx.Ln(x -1) x~l+
SOLUCIÓN
Ln(x-1) Acomodando Lnx.Ln(x -1) =
1
Lnx
Derivando el numerador y el denominador
1 1 2 2 2Lnx.-
LímLn(x-1) =Lím x-1 =-LímxLn x ~-Líml.Ln x =--Lím x =0 -~~¡+ 1 x~l+ 1 1 x~l+ X -1 x~l+ X -1 x~l+ 1
----Lnx Ln2x" x
Por tanto, Lím Lnx.Ln(x -1) =O x~l+
9.-Usando L' hospital. Calcular Lím tagx x~O fag5X
SOLUCIÓN
Derivando el numerador y el denominador
2 Lím tagx = Lím sec x == 1/ HO tag5x HO sec2 5x.5 15
, tagx 1 Por tanto, Lzm --=
HO tag5x 5
138
4.5.-PROBLEMAS DE APLICACIÓN
l.-Hallar las dimensiones de un rectángulo de área 2a2 pulgadas cuadradas de modo que la
distancia de una esquina al punto medio de un lado no adyacente sea mínimo.
SOLUCIÓN
Haciendo un bosquejo del rectángulo
x/2 x/2
y
Sabemos que el área de un rectángulo es dado por
A(x,y) = x.y (1)
Y por Pitágoras la distancia de d(x, y) ~ ~y' + (1 J (2)
Por dato área es 2a2• Reemplazando en (1) se tiene 2a2 = x.y =::>y=
2a
2
(3)
4a4 x 2
Reemplazando (3) en (2) d(x) = --2- +
X 4
X
Derivando la función distancia para hallar las dimensiones del rectángulo, se tiene que
Luego, en x = 2a2 la distancia de una esquina al lado No adyacente es mínimo
139
32 Por tanto, las dimensiones del rectángulo serán x = 2a2 y y = -
az
2.-Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados que pueda
inscribirse en la región limitada por las parábolas P1 3y = 12- x 2 y P2 6y = x2 -12
SOLUCIÓN
Bosquejando el rectángulo entre la región limitada por las 2 parábolas
y.., (12-x"2)/3: -4,000000 <= :< <'"" "1.000000
y"' (:¡,....,2-12)/6; -<l,QQQQ00 <-X <- 4.000000
X
-3
Sea S la función área del rectángulo. Luego el área es dado por S(x,y) = x.y
De la gráfica tenemos que la base tiene longitud 2x y la altura por y = YI - Y2
Reemplazando se tiene que la función área es dado por S(x) = 2x(~(12- x 2 )- ~(x2 -12))
Simplificando S(x) = 12x- x 3
Calculandolospuntoscríticos Si S(x)=l2x-x3 ::::>S1(x)=12-3x2 =0=>x=2
Luego, obtenemos un solo punto crítico x = 2
Calculando la segunda derivada y luego comprobar que en x = 2 obtenemos el área del mayor
rectángulo.
Reemplazando se tiene que S11 (2) = -12 <O
Por tanto, El área del mayor rectángulo que se puede inscribir en la región limitada por las dos
parábolas es dado por S(2) = 12(2)- 23 = 16 u2
3.-Se tiene una rectangular de lados a y b, a< b. Se desea hacer con ella una caja sin tapa,
cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente las partes restantes.
Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen sea el
mayor posible.
SOLUCIÓN
· Haciendo el bosquejo de la caja
X
8-2x
X
8-2x l5-2x 15-2x
El volumen de la caja es dado por V(x) = x(15- 2x Xs- 2x)
Derivando para hallar los puntos críticos
Si V(x) = x(a- 2x Xb- 2x )=> V 1(x) = (15- 2x Xs- 2x )+ x(- 2X8- 2x )+ x(15- 2x X- 2)
Simplificando y hallando los puntos críticos
V 1 ( x) = l2x 2
- 92x + 120 = O =:> V 1 ( x) = (3x - 5 Xx - 6) = O =:> x = 513 v x = 6
Hallando la segunda derivada para obtenemos el volumen máximo
V 11 (x) = 24x-92
Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos
141
V11 (5/3) = 24(513)-92 =-52< O (1)
vu (6) = 24(6)- 92 =52 >o (2)
Luego, en (1) notamos que el valor de la segunda derivada en x=5/3 es negativo por lo que en
x=5/3 el volumen de la caja será mayor posible.
Por tanto, V(5/3) = (s13X15 -2(513)Xs-2(513))= 2450
u 3
27
4.-Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje X, los otros dos lados están
respectivamente sobre las rectas y = x 4y+5x = 20
Hallar el valor de y para que el área del rectángulo sea máximo.
SOLUCIÓN
20-4y Donde y= x1, X 2 = --'---
5
' (20-4y ) (20-9y) Area del rectángulo A= basexaltura =>A= y.(x2 -x1) =y. 5
-Y =Y· 5
·
Derivando para calcular y
Para que el área sea máxima la segunda derivada evaluada en y debe ser negativa. En efecto
Por tanto, para que el área sea máxima el valor de debe ser y = 10
9
5.-Determinar el rectángulo de área máxima contenido en la circunferencia de radio l.
SOLUCIÓN
La ecuación de la circunferencia de radio 1 es dado por C: x 2 + y 2 = 1
El área de un rectángulo es dado por A(x,y) = x.y
(1)
(2)
142
De (1) despejando la variable y y reemplazando en (2) se tiene
D . d ,1 . fun . , A'( ) 1- 2x2
envan o es u tlma cwn x = ~ 'J'1-x 2
e l 1 d 1 , . 1 - 2x2
0 + -fi
a cu an o os puntos cnticos ~ = ---+ x = _-'\/1-x2 2
Como el lado de un rectángulo no es negativo se tiene que x = -Ji . 2
Para el área sea máxima es cuando la segunda derivadas de A evaluado en el punto crítico
debe ser menor que cero
En efecto
A" (-Ji) =< O 2
-ti -ti Luego, el rectángulo es un cuadrado de lados x = - y = -
2 2
e , , . A(-fi Ji) -/2 -Ji 1 uyaareamax~maes -- =-.-=-
2 ' 2 2 2 2
6.-Un caño vierte agua en un cono recto invertido a razón de 18 cm3/seg. La altura del cono es
5/2 de su diámetro. A qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 12
cm. El cono?
SOLUCIÓN
V= Volumen del agua en cm3 cuando el nivel está ah cm. de profundidad
r= radio en cm. De la superficie de agua a una altura de h c.
1 5 h V= -Jt.r 2h y h = -(Diametro) = 5r---+ r =-
3 2 5
1 h2 Jt 3 Luego V= -Jt.-h = -h
3 25 75
143
D . d · al . dv tr h2 dh envan o respecto tiempo - = - -dt 25 dt
dv dh 25 Por dato-= 18cm3 Ah= 12cm ~-=-cm/ seg m m 8tr
7.-Hallar el área del mayor trapecio comprendido en la curvas y = 4 x- x2 y el eje x
-2 -1
Sabemos que el área del trapecio de base mayor B y base menor b y altura h es dado por
1 A=-(B+b).h
2
Llamaremos base menor a b=4-2x, altura y= 4x- x2 , la base mayor es 4
Buscando la función que dependa de x : A( x) = ! ( 4 + 4- 2x )( 4x- x2)
2
Derivando para obtener los puntos críticos
1 1 A'(x) = -(-2x)(4x-x2 )+ -(-2x)(4- 2x) = 3x2 -16x+ 16
2 2
4 Luego, A'(x) =O=> x = -v x = 4
3
Para saber si el área es el mayor posible hallamos la segunda derivada
A"(x) = 6x -16
144
Evaluemos en los puntos críticos, se tiene
A"(4/3) = 6(4/3)-16 = -8 <O
Lo que significa que en x = 4 1 3 el área será máxima
Por tanto, el área será: A=_!_ (8- 2( 41 3))( 4( 41 3)- ( 41 3)2) = 2561 27u2
2
xz yz 8.-Hallar el área del mayor rectángulo que puedan inscribirse en una elipse - +- = 1
9 4
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
El área de un rectángulo es dado por A= B.H
Tomemos B= 2x y la Altura H =2y y busquemos una función que dependa de x
,/36- 9x2 . ¡----:-
Luego A= 2x.2y = 4xy = 4x. = 2x-J36- 9x2
2
Buscando los puntos críticos A'= O:::> x =Ji
Analizando la derivada cerca de x = Ji se tiene en este punto encontramos el área del
rectángulo mayor
Por tanto, el área es A== 2J2-J18 = 12u2
145
S.-FORMULARIOS
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
2.- sen2u = 2senu. cos u
3.- cos 2u = cos2 u- sen2u
4 2 l-eos 2u .-sen u=---
2
5 2 l+cos2u .-cos u=---
2
6 t 2 1- cos 2u
.- ag u=---l+cos2u
7 ll+V U-V . - senu + senv = 2sen(--). cos(--)
2 2
8 U+V U-V . - sen u - senv = 2 cos(--).sen(--)
2 2
9 u+v u-v . - cos u + cos v = 2 cos(--). cos(--)
2 2
lo u+v u-v . - cos u- cos v = -2sen(--).sen(--)
2 2
. 1 11.- senu.senv =- (cos(u- v)- cos(u + v))
2
1 12.- cos u. cos v =- (cos(u -v) + cos(u + v)) 2
1 13.- senu. cos v =- (sen(u + v) + sen(u- v)) 2
1 14.- cosu.senv = 2(sen(u + v)-sen(u -v))
146
FÓRMULAS HIPERBÓLICAS
e" -e-11
l.~ senhu = ----2
e" +e-u 2.~cohu=---
2
.... eu -e-u ::>.- taghu = --
e u +e-u
eu +e-11 4.- cotaghu=--
eu -e-u
2 5.- sechu =--e" +e-u
6.- cosechu=--2
-e'' -e-11
8 /'coshu-1
.- senh(u 1 2) = ~ --2--
lo h senhu
.-tag. u=-coshu
11 hu coshu
.-cotg: =-senhu
1 12.-cogthu=-
taghu
13 h( / 2) ~coshu-1 .-sen u = 2
147
DERIVADAS DE FUNCIONES
1.- ~(cu)=cu'
d ) '+ 1 2.- -(u±v =u_v dx
3.- ~(uv) =u'.v+u.v'
d u u'v-uv' 4.- Á.-(-)= 2
UA V V
d 5.- dx(x)=l
7.- ~ (senu) = ( cosu)u'
8.- ~ (cosu) = (-senu)u'
d 2 1 9.- dx(tagu)=sec u.u
d ) 2 1 10.- dx (cotu =-cose u.u
11.- ~ (secu) = secu.tagu.u1
12.- ~ (cosecu) =-cosecu.cotag.u1
d u' 13.- - ( arcsenu) = r:---:¡
dx l/l-u 2
d -u' 14.- - (arccosu) = r:---:¡
dx l/l-u2
d u' 15- -(arctagu)=--
2 dx 1+u
d -u' 16.- -(arccotgu) =--
2 dx 1+u
d u' 17.- -(arcsecu)= ~
dx iuil/u--1
d -u' 18.- Á .. (arccossecu) ~
UA lullfu2 -1
19.- ~ (senhu) = coshu.u'
20- !!_(coshu) =senhu.u' 'dx
d h? 1 21 - - (taghu) = sec -u.u 'dx
d ) h2 1 22- -(cotaghu =-cos u.u 'dx
23.- ~ (sechu) = -sechu.taghu.u1
24.- ~ (coschu) =-cosechu.cothu.u1
148
7.-DISCUSION
El Texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 1, que es resultado del
presente trabajo de investigación, se caracteriza por la forma sistematizada que contiene cada
capítulo, con un lenguaje sencillo de tal forma que todo estudiante del primer ciclo lo pueda
entender de manera muy fácil.
En cada capítulo se desarrolla problemas desde lo más sencillo hasta los más difíciles.
De otro lado, existen textos de nivel universitario que resuelven problemas de matemática I,
de forma técnica sin respetar la rigurosidad matemática, teniendo como consecuencia el
tecnicismo y no el razonamiento lógico.
S.-REFERENCIALES
l. EARL. W. SMOKDWSKI., Cálculo con Geometría Analítica Ed.
Iberoamericana México - 1988.
2. ESPINOZA RAMOS, EDUARDO, Análisis Matemático l. Lima-Perú.
3. HOWARD ANTON. Cálculo con Geometría Analítica (VOL) Ed. Limusa
México 1984.
4. LARSON/HOSTETLER/EDWARD. Cálculo (VOL) Ed. Me. Graw- Hill.
España 1995.
5. LEITHOLD. Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Harla México- 1990.
6. NORMAN B, HAASER Y OTROS, Análisis Matemático 1, Editorial Trillas
México.
7. PISKUNOV N., Cálculo Diferencial e Integral (VOL) 1 Ed. Limusa México-
1996.
8. STEIN S.K 1 BARCELLOS. A., Cálculo con Geometría Analítica (VOL) Ed.
Me. Graw- Hill. Colombia 1994.
9. www.educaplus.org
149
9. www.educaplus.org
9APENDICE
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
SÍLABO
1.1.NOMBRE DE LA ASIGNATURA 1.2. CODIGO DE LA ASIGNATURA 1.3. SEMESTRE ACADÉMICO 1.4. CICLO ACADÉMICO 1.5. CRÉDITOS 1.6. HORAS TEORÍA 1.7. HORAS PRÁCTICAS 1.8. DURACIÓN 1.9. PRE - REQIDSITO 1.10. PROFESOR(ES)
l. SUMILLA
MATEMÁTICA! FM101 2013-B 1
CUATRO TRES TRES 17 SEMANAS NINGUNO
LIC. ROJAS ROJAS VICfORIA LIC. FERNANDO LAYZA BERMUDEZ
Números reales. Funciones. Límites. Continuidad. Incremento y relación de incrementos. Derivada de una función, Interpretación fisica y geométrica. Concepto de pendiente. Aplicaciones: máximos y mínimos. Velocidad y aceleración Puntos de Inflexión. Series convergente y divergente. Serie de Taylor y Maclaurin.
11. OBJETIVOS
A. GENERALES Comprender el significado, el uso y la importancia que tienen de los números reales, las funciones, los límites y la derivada, en su aplicación a los problemas fisicos, geométricos resaltando su enlace con los cursos de Ingeniería.
B. ESPECIFICOS. 3.1 Resolver los diferentes tipos de inecuaciones con números reales 3.2 Identificar, graficar e interpretar el dominio y rango de las funciones elementales. 3.3 Operar con funciones y entender la aplicación a problemas de la realidad concreta. 3.4 Identificar, operar y aplicar las propiedades de las funciones trascendentes. 3.5 Entender el concepto de límite y aplicación a los problemas concretos de la realidad. 3.6 Manipular las reglas de los límites para cálculo de los mismos. 3. 7 Establecer la diferencia entre la continuidad en un punto, la continuidad en un intervalo
de una función continua. 3.8 Entender y manejar el concepto de derivada de una función. Operar con las diferentes
reglas de derivación de funciones elementales y trascendentes. 3.9 Comprender y aplicar la regla de la cadena. 3.1 O Calcular derivadas do orden superior y de funciones dadas en forma implícitas. 3.11 Aplicar correctamente las fórmulas y propiedades de las derivadas a problemas fisicos y
geométricos. 3.12 Comprender y aplicar correctamente las series y sus criterios de convergencia ..
150
m. PROGRAMA ANALÍTICO
PRIMERA SEMANA Definición axiomática de los números reales. Intervalos. Valor absoluto: propiedades.
SEGUNDA SEMANA Ecuaciones e inecuaciones: Cuadráticas, polinómicas, racionales, con radicales, con valor absoluto y mayor entero.
TERCERA SEMANA Función: definición. Dominio y Rango. Funciones especiales: Constante, Lineal, Cuadrática, Polinómica Valor Absoluto, Raíz Cuadrada, Mayor entero, Signo. PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
CUARTA SEMANA Operaciones con funciones. Composición de funciones. Clases de funciones: Inyectiva y sobreyectiva. Función Inversa: Propiedades ..
QUINTA SEMANA Definición de Límite de una función. Propiedades. Cálculo de límites. Límites laterales.
SEXTA SEMANA Límites al infinito. Propiedades. Limites infinitos: Propiedades. SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA
SÉPTIMA SEMANA Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. Límites de funciones trigonométricas, Exponencial y logarítmicos.
OCTAVA SEMANA PRIMER EXAMEN PARCIAl,
NOVENA SEMANA Definición de continuidad .. Aplicaciones Tipos de discontinuidad- Propiedades
DECIMA SEMANA La Derivada: Definición. Interpretación geométrica. Recta tangente y normal a la gráfica de una función. Propiedades. Regla de la cadena.
UNDÉCIMA SEMANA Derivada de la función implícita. Derivación de funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas. Hiperbólicas. TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA
DUODÉC~ASEMANA Derivada de funciones inversas y paramétricas. Derivada de orden superior.
DEC~OTERCERASEMANA
Aplicaciones de la derivada. Funciones creciente y decreciente. Máximos y mínimos. Problemas de aplicación.
DEC~OCUARTASEMANA
Concavidad y puntos de inflexión. Problemas de aplicación. Construcción de Gráficos. Cálculo de límites indeterminados. CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA
DEC~OQUINTASEMANA
Serie: Serie de Taylor y de Maclaurin. Criterios de convergencia.
151
DEC~OSEXTASE~A
EXAMEN FINAL
DEC~OSÉPT~ SEMANA EXAMEN SUSTITUTORIO
IV. METODOLOGÍA
El desarrollo de los temas se hará de forma teórica- práctica, propiciando que los alumnos empleen los conocimientos impartidos en la solución de problemas. El alumno deberá asistir a la clase obligatoriamente, estudiando los temas tratados y repasando el tema que el profesor desarrollará. Esto permitirá una mejor participación del alumno en clase. Los alumnos podrán ser atendidos personalmente por el profesor, para aclarar sus dudas en tomo a un concepto y/ o un problema relacionado con la asignatura.
V. EVALUACIÓN
La evaluación del rendimiento de los alumnos es objetiva, teniendo en cuenta para el promedio de las prácticas calificadas:
5.1 Asistencia a clases. 5.2 Participación e intervención en las clases. 5.3 Entrega de trabajos oportunamente. 5.4 Orden y secuencia lógica en el desarrollo y respuestas de las evaluaciones.
La nota final se obtendrá de la siguiente manera:
NF= EP+ EF+ PP 3
donde: E.P. =Examen Parcial E.F.= Examen Final P.P. = Promedio de Prácticas
Si la nota fuese desaprobatoria rendirá un examen sustitutorio, el que será único y abarcara todo el curso y cuya nota reemplaza a la nota más baja de los exámenes parciales.
lO.- ANEXOS
En el presente Trabajo de Texto matemático no se usó Anexos, por ser problemas realizados por mi Autoría.
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