Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Símbolo de sumatoria
∑k=1
n
ak=a1+a2+…+ak−1+ak+ak+1+…+an−1+an
Definición:
1. ∑k=1
1
ak=1
2. ∑k=1
n+1
ak=∑k=1
n
ak+an+1
Observaciones:
1. ∑k=1
n
ak=∑k=1
n−1
ak+an
2. ∑k=1
n
ak=∑k=1
j
ak+ ∑k= j+1
n
ak con1< j<n
3. ∑k=1
n
ak=∑k= j
n+ j
ak− j
1ª Edición Ficha No. 1
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Símbolo de sumatoria
Identidades:
1. ∑k=1
n
1=n
2. ∑k=1
n
C=Cn
3. ∑k=1
n
k=n(n+1)2
4. ∑k=1
n
k2=n (n+1 )(2n+1)6
=n3
3+ n2
2+ n6
5. ∑k=1
n
k3=( n (n+1 )2 )
2
=n4
4+ n3
2+ n2
4
6. ∑k=1
n
k4=n (n+1 ) (2n+1 )(3n2+3n−1)30
=n5
5+ n4
2+ n3
3− n30
1ª Edición Ficha No. 2
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Áreas bajo la curva
F={(x , y )∈R2/a≤x ≤b y 0≤ y≤ f (x)}F={lasrectas {x=ax=by=0
curva y=f (x )
Partición:P[a ; b]= {X0 , X1, X2 , ..., X k , ... , Xn } tal que: a=X0<X1<X2<... ,¿X k< ,... , Xn=b que subdivide al intervalo [a ;b ] en n subintervalos de la forma [X k−1 ; Xk ] con k=1 ,n de longitud 1ª Edición Ficha No. 3
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Áreas bajo la curva
a (F)≈∑k=1
n
a (Rk )
a (F)≈∑k=1
n
f (X k¿ )∆ Xk
n→∞∆ x→0
⇒∑k=1
n
f (X k¿ )∆ Xk→a (F)
a (F )=limn→∞
∑k=1
n
f (Xk¿ )∆ X k
‖P‖=max ⟨∆ xk ,∀ k=1 , n ⟩
Partición regular∆ xk son iguales ∀ k=1, n
∆ x1=∆x2=…=∆ xk=∆ xn=∆ x=b−an
a (F )=limn→∞
∑k=1
n
f (Xk¿ )∆ x
1ª Edición Ficha No. 4
a (F )≈ a (R1 )+a (R2 )+...+a (R k )+...+a (Rn )
Autor: Lara Diaz davidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Áreas bajo la curva1. Extremo izquierdo
xk¿ es el extremo izquierdo del [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n
xk¿=xk−1=a+(k−1 ) b−a
n y ∆ x=b−an
a (F)≈∑k=1
n
f (a+(k−1) b−an ) b−a
n
a (F )=limn→∞
b−an ∑
k=1
n
f (a+(k−1) b−an )
2. Extremo derechoxk
¿ es el extremo derecho del [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n
xk¿=xk=a+k b−a
n y ∆ x=b−an
a (F)≈∑k=1
n
f (a+k b−an ) b−a
n
a (F )=limn→∞
b−an ∑
k=1
n
f (a+k b−an )
3. Punto medioxk
¿ es el punto medio de [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n
xk¿=x=
xk−1+ xk
2=a+(k−12 ) b−a
n y ∆ x=b−a
n1ª Edición Ficha No. 5
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Integral definida
Definición: Sea y=f(x) definida en [a;b] la integral de esta función de a , b que se nota∫a
b
f ( x )dx esta
dada por ∫a
b
f (x )dx= limn→∞
∑k=1
n
f (xk¿ )∆ xk . Si el límite existe, en tal
caso se dice que la función f es integrable.Observación:
Si f(x) ≥ 0 ∀ xϵ [a ;b ]entonces ∫a
b
f ( x )dx=a(F)
Sea la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se
escribe: ∫a
b
f (x )dx
a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración respectivamente y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx indica x es la variable de integración.
Teorema: f es acotada en [a;b] si ∃M>0 /|f (x )|≤MTeorema: Si f es acotada en [a;b] entonces es integrable en [a;b]Observación:
f es continua en x0 si: 1)∃ f (x0) 1ª Edición Ficha No. 6
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Integral definida
Identidades
1. ∫a
b
k dx=K (b−a)
2. ∫a
b
x dx=b2−a2
2
3. ∫a
b
x2dx=b3−a3
3
4. ∫a
b
x3dx=b4−a4
4
5. ∫a
b
cos (x )dx=sen (b)
Propiedades:
1. ∫a
b
( f ( x )+g (x))dx=¿∫a
b
( f ( x ) )dx+∫a
b
(g ( x ) )dx¿
2. ∫a
b
cf (x)dx=¿ c∫a
b
f (x)dx¿
3. ∫a
b
f (x )dx=∫a
c
f (x )dx+∫c
b
f (x)dx a<c<b1ª Edición Ficha No. 7
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Integral definida
8. Si m≤f (x )≤M ∀ xϵ [a ;b ] entonces
m(b−a)≤∫a
b
f (x)dx ≤M (b−a)
9. |∫a
b
f (x)dx|≤∫a
b
|f (x )|dx
Teorema: Sea [ x ]=n si solamente si n≤ x≤n+1
1ª Edición Ficha No. 8
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Teoremas fundamentales del cálculo
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Integral indefinida
Primer teorema fundamental del cálculo: Sea f continua en [a ;b ] y sea F=∫a
x
f (t)dt entonces
F ' ( x )=f (x )
Corolario: F=∫a
h (x)
f (t)dt entonces F ' ( x )=f (h ( x ) )∗h ' ( x )
Corolario:
F=∫g (x)
h (x)
f (t )dt entoncesF ' ( x )=f (h ( x ) )∗h ' ( x )−f (g ( x ) )∗g ' ( x )
Observación: ∫a
x
f (t)dt=∫ f (t)dt
Definición: F=∫ f (t)dt entonces F ' ( x )=f ( x ) , F es una primitiva o antiderivada de f si F ' ( x )=f (x )Tabla de integrales indefinidas
F F '=¿fx p+1
p+1 + C x p
−cos (x ) + C sen(x )1ª Edición Ficha No. 9
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Teoremas fundamentales del cálculo
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Integral indefinida
Segundo teorema fundamental del cálculo:
Sea f continua en [a ;b ] entonces ∫a
b
f (t)dt=F (b )−F (a), donde F es cualquier primitiva o
antiderivada de f, esto es F '=f
Notación: ∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a )=F (x) ]ba
Observaciones: f es impar⟺ f (−x )=− f (x) f es par⟺ f (− x )=f ( x)
∫−a
a
f (x ) dx=0 , si f es impar
∫−a
a
f (x )dx=2∫0
a
f ( x )dx , si f es par
otrafomade ver PTFC es ddx∫a
x
f (t )dt=f ( x )
1ª Edición Ficha No. 10
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Método de integraciónMétodo de sustituciónSi u=g (x) es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces
∫ f (g (x ) ) g ( x )dx=∫ f (u)du=F (u )+CObservación:
u=g (x ) , du=g ' ( x )dx
∫a
b
f (g (x ) ) g ' ( x )dx=∫g (a )
g (b )
f (u )du
Método de integración por partesObtenemos una ecuación de la regla de derivación producto de dos funciones, lo integramos y reordenamos
∫ f ( x ) g ' ( x )dx=f ( x ) g ( x )−∫ g ( x ) f ' ( x )dxu=f ( x )⇒ du=f ' (x )dv=g ' (x)⇒ v=g(x )
⇒∫ f (x ) g ' ( x )dx=∫udv=uv−∫ vdu
Observación:1. Encontrar dv se pueda integrar fácilmente para dar v2. Elegir a los polinomios como u.3. Al integrar se puede dar con la misma función tal que k∫ f ( x ) g (x ) dx , k≠14. Observar los patrones y elegir a u la función que más se repite.5. El objetivo es intentar obtener una integral más simple o fácil.
1ª Edición Ficha No. 11
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Área entre dos curvas
R = rectas x=a
x=b
curvas y=f (x)y=g(x )
R=⟨ (x , y ) ϵ R2 ∕ a≤ x≤b y f (x )≤ y ≤g (x)⟩
Corolario : El area R de la region limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) y las rectas x=a, x=b, dode f y g son continuas y f(x) ≤ g(x)para toda x en [a,b] es
R=∫a
b
[g ( x )− f (x )]dx1ª Edición Ficha No. 12
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Área entre dos curvas
Sea el AreaTotal=S1+S2+…………….+Sn
Corolario: El área entre las curvas y= f(x) y y= g(x) y entre x= a y x= b es
A=∫a
b
|f ( x )−g( x)|dx
Sea
1ª Edición Ficha No. 13
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Plano polar
1ª Edición Ficha No. 14
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Coordenadas Polares
x=rcosθy=rsenθr2=x2+ y2
tgθ= yx
Curvas polaresLa grafica de una ecuación polar r=f (θ ) , o de manera más general F (r , θ )=0, consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r , θ ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.Observación:
Un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras por lo que (r , θ )= (r ,θ+2kπ ) .
Trabajaremos con: r ≥0 y0≤θ≤2 π.
1ª Edición Ficha No. 15
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Áreas en coordenadas polares
1ª Edición Ficha No. 16
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Áreas en coordenadas polares
n→∞⇒∑i=1
n 12 [ f (θ i
¿)]∆θ
Observación: En esta sección se desarrolla la fórmula para el área de una
región cuyo límite está dado por una ecuación polar. Se necesita
usar la fórmula para el área de un sector de un círculo C=12r2θ
donde, como en la figura, r es el radio y θ es la medida de radianes del Angulo central. La fórmula se deduce del hecho de que el área de un sector es proporcional a su Angulo central:
C=( θ2 π )π r2=12 r 2θ .
El área entre dos curvas polares limitado por a y b es ∫a
b
|f 2 (θ )−g2(θ)|dθ .
1ª Edición Ficha No. 17
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Volumen de un sólido, método del disco.
Sea S un sólido que esta entre x=a y x=b. Si el área de la sección transversal de S en el plano P x, a través de x y perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de
S es V (S)=limn→∞
∑i=1
n
A (x i¿ )∆ x=∫
a
b
A (x )dx
A ( x )=π r2=π f 2(x )
V (S)=∫a
b
π f 2(x )dx
Observación: El volumen del solido obtenido al girar la región alrededor de la recta y=k es
V (S )=π∫a
b
(f ( x )−k )2dx1ª Edición Ficha No. 18
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Volumen de un sólido, método del disco. Sea f y g integrables en un intervalo [a ,b ] y que satisfacen f ≤ g en [a ,b ]. La región entre sus
dos graficas gira alrededor del eje x, engendra un sólido de revolución tal que
V (S )=π∫a
b
(g2(x)−f 2(x ))dx y también si el eje es k cumple
V (S )=π∫a
b
[ (g ( x )−k )2−( f ( x )−k )2 ]dx.
El volumen del solido generado al rotar la región definida f (y) y g
(y) con respecto al eje y es
V (S )=π∫a
b
(g2( y )− f 2( y)) dx y también si el eje (vertical) es k
cumple V (S )=π∫a
b
[ (g ( y )−k )2−( f ( y )−k )2 ]dx .
En general el volumen generado por la región de dos funciones de pende de los intervalos en que f y g sean mayor o menor que el otro podemos abstraerlo como radio menor y radio mayor tal que A ( x )=π (radioMayor )2−π (radioMenor )2
1ª Edición Ficha No. 19
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Volumen de un sólido, método de la corteza.
El volumen del solido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la región bajo la curva y = f(x)
desde a hasta b, es V=∫a
b
2 πxf ( x )dx donde0≤a<b
Observación: Una forma de abstraerlo es viéndolo así
1ª Edición Ficha No. 20
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Volumen de un sólido, método de la corteza. Al calcular el volumen del solido obtenido al hacer girar la región entre f y g alrededor del
eje y obtenemosV=2π∫a
b
x ( f ( x )−g(x ))con f ≥gen [a ,b ]
Al calcular el volumen del solido obtenido al hacer girar la región entre f y g alrededor del eje k(vertical)
obtenemosV=2π∫a
b
[ ( k−x ) [ f ( x )−g(x) ] ]con f ≥ gen [a ,b ] .
1ª Edición Ficha No. 21
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Longitud de curvas planasSea f y f´ continuas en [a ,b ], entonces se define la longitud de arco de curva y=f(x) comprendido entre los puntos A=(a,f(a)) y B=(b,f(b)) como:
AB=∫a
b
√1+[ f ´ (x )]2dx
Observación:
Para la
deducción de la integral que calcula la longitud determinada por una función
, y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura.
Con lo cual llegamos a la suma de Riemann para luego obtener la integral mencionada.1ª Edición Ficha No. 22
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Función logaritmo
Sea x>0, el logaritmo natural de x que al notamos L(x) está dada por:L ( x )=∫1
x 1tdt
Interpretación geométrica
a (L )=∫1
x 1tdt=L ( x )≥0 , si x≥1
a (L )=∫1
x 1tdt=−∫
x
1 1tdt=¿L ( x )<0 , si0<x<1¿
Propiedades:1. L(1)=0
2. L ( x )=1x
3. L (a∗b )=L (a )+L(b)4. L (an )=nL(a)
5. L( 1a )=−L(a)1ª Edición Ficha No. 23
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Función logaritmoDefinición: e es el numero tal que L(e)= 1Notaciones de logaritmo naturalL(x) = log x = ln x , con x>0Logaritmo de base positiva con b≠1
log bx=ln ( x )ln (b )
Propiedades:1. log bb=12. log b1=03. log e x=ln (x)4. log b ( x∗y )=logb x+ logb y5. log bx
n=n logb x
6. log b( 1x )=−logb x
7. log b( xy )=log b x− logb y
Observación:
1. Sea L0 ( x )=ln|x|=12ln (x2 )=∫
1
|x|1tdtobtenemos
ddx
L0 (x )=1x , con x≠0
1ª Edición Ficha No. 24
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Función logaritmo2. ∫ lnx dx=xlnx−∫dx=xlnx−x , por integracion por partes dondeu=lnx y dv=dx
3.ddxln|f (x )|= 1
f ( x )f ( x )⇔∫ 1
f ( x )f ( x )=ln|f ( x )|+c
4. ddxlogb f ( x )= d
dx ( logf ( x )logb )= 1
logb1f ( x )
f (x )
5.
∫ logbx dx=∫( logxlogb )dx= 1logb∫ logx dx=¿ 1
logbx (logx−1 )+c=x ( logxlogb
− 1logb )+c=x ( logb x−logb e )+c ¿
1ª Edición Ficha No. 25
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Función inversa
Sea f : A → Bx → y=f (x ) , si f es biyectiva
inyectivasobreyectiva
∃g : A → By → x=f ( y ) entonces g es la
inversa de f o sea que y=f ( x )⇔x=g( y )Observaciones:
f es inyectiva ⇔f (a )=f (b )⇒ a=b f es sobreyectiva ⇔∀ yϵB ,∃ x0ϵA / f (x0 )= y0o Rec ( f )=B g se nota como f−1
Para hacer inyectiva una función restringe el dominio o el conjunto de partida. Para hacer sobreyectiva una función restringe conjunto de llegada. f ( f −1 ( y ) )=f ( x )= y=I B f−1 ( f ( x ) )=f ( y )=x=I A
1ª Edición Ficha No. 26
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema: Función exponencialLa función exponencial de x que se nota y=E (x) se define función inversa de la función logarítmica o sea y= E(x) ⇔ x = L(y)
L :R+¿¿→ Ry ¿
x=L( y )¿⇒L (E ( x ) )=L ( y )= x=IR
L :R → R+¿¿ x → y=E(x)⇒E (L ( x ) )=E ( x )= y=I R+¿ ¿
Notación: E(x ) =ex
Teoremas:1. E(0)=1 , con notación E ( x )=ex es e0=1
E(1)=e , con notación E ( x )=ex es e1=e2. E(a+b)=E (a)+E(b) , con notación E ( x )=ex es ea+b=ea eb
3. E (x)=E (x) , con notación E ( x )=ex es (e¿¿ x) '=ex¿Función exponencial ax con a>0
ax=e xlna
Propiedades:1. a0= 1 y a1=a2. ax+ y=axa y
1ª Edición Ficha No. 27
Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito – EcuadorAño: 2015
Tema: Función exponencial
3. a−x= 1ax
4. ax− y= ax
a y
5. axy=(ax) y
Derivadas y integrales
1.ddx
ex=ex⇔∫ ex dx=ex+c
2.ddx
ef (x)=e f (x) f '(x )⇔∫ e f (x) f '(x )dx=e f (x)+c
3.ddx
ax=ax lna⇔∫ax dx= 1lna
ax+c
Observación: Sea s>0entonces s=e lns=ln es
E(−x)=1/E( x) ⇔l( 1E ( x ) )=−x
Sea f y f ’ continuas entonces f ’ x=1
[ f−1 ( y ) ]'1ª Edición Ficha No. 28
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 29
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 30
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 31
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 32
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 33
Autor: Lara Diaz DavidUnidad:
Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015
Tema:
1ª Edición Ficha No. 34
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