FISICA I
Página 1
FISICA I
En el presente trabajo se tratará todo lo que concierne a vectores; definiciones,
propiedades, fórmulas, aplicaciones y diversos ejercicios propuestos; con el
propósito de comprender claramente cada punto de este amplio tema
fundamental de la física.
2013
FISICA I INGENIERÍA INDSUTRIAL
04/02/2013
FISICA I
Página 2
“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO
RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
PROFESOR : Lic. Darwin Vilcherrez Vilela.
CURSO : Física I.
TEMA : Vectores
FACULTAD/ESCUELA : Industrial/Ingeniería Industrial
2013
FISICA I
Página 3
INTRODUCCIÓN
El análisis vectorial es una excelente herramienta matemática
con la cual se expresan en forma más conveniente y se
comprenden mejor muchos conceptos de la física. Es una
parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos,
ingenieros y técnicos. Además constituye una noción concisa
y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático
de las situaciones físicas. Y proporciona además una ayuda
inestimable en la formación de imágenes mentales de los
conceptos físicos. Siendo conscientes de su importancia, es
que hemos decidido elaborar este trabajo con el objetivo de
lograr un mayor entendimiento del tema.
FISICA I
Página 4
DEDICATORIA
DIOS QUIEN NOS AYUDA EN
NUESTRO CAMINO DÍA A DÍA, Y A
TODOS LOS ALUMNOS DE
INGENIERIA DE LA UNIVERSIDAD
NACIONAL DE PIURA
FISICA I
Página 5
Magnitudes Físicas
La Magnitud Física es una propiedad medible; es decir, a la que podemos asignarle un valor numérico como
resultado de un cálculo o una medición.
Podemos clasificarlas en:
Por su origen
Fundamentales
Absolutas LMT
Tecnicas LFT
Derivadas 𝐿𝑇−1⬚
, 𝐿𝑇−2⬚
Por su naturaleza
Escalares Poseen valor
numerico y unidad, ejemplo
Tiempo: 2 h, el trabajo, el espacio
recorrido, la rapidez, etc.
Vectoriales Poseen valor
numerico, unidad y direccion, ejemplo
Fuerza: 2 N, 0° (→), la velocidad,
desplazamiento, aceleracion, momento
de fuerza, etc.
FISICA I
Página 6
DIFERENCIAS ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Para mayor entendimiento, explicaremos mediante un ejemplo.
Ejemplo: Si un hombre va desde A hacia B:
a) ¿Cuánto espacio ha recorrido?
Rpta: En este caso el Espacio Recorrido se
refiere a cuánto ha caminado el hombre para
llegar a su destino. En este caso sería desde el
punto A hasta la punta del Cerro: 10m; más 10m
que recorre desde la punta del cerro al punto B.
Entonces: 10 m + 10 m = 20m
b) ¿Cuál ha sido su desplazamiento?
Rpta: El desplazamiento se refiere a cuánto
espacio hay desde el punto de partida del hombre
hacia su punto de llegada. En este caso de A
hacia B. A diferencia del “Espacio Recorrido”, el
“Desplazamiento” tiene una dirección. Por lo
tanto, el desplazamiento será: 4m, 0°; es decir, 4 metros a la derecha.
Si regresa a su casa: ¿Cuál será su nuevo espacio recorrido y cuál será su nuevo desplazamiento?
Rpta:
Espacio Recorrido: Si ya tenemos los 20m
recorridos de A hacia B, entonces tendríamos
que sumar los 20 m de B hacia A. Por lo
tanto: 20m + 20m= 40m
Nuevo Desplazamiento: Sabemos que de A
hacia B se desplazan en función de: 4m, 0°,
para regresar utilizará el mismo espacio pero
con diferente dirección: 4m, 180°. Por lo
tanto sumamos: 4m, 0° + 4m, 180° = 0 m
FISICA I
Página 7
Vector
Un vector es un ente matemático que sirve para trabajar con magnitudes vectoriales. Ejemplos de vectores
tenemos: la velocidad, la aceleración, el peso, la fuerza, el desplazamiento, etc.
Ejemplo: -5m/s 45°, +9.8m/ 2 60°, -20m, 500N 30°
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
FLECHA
PARTES:
ᵦ
MO
DU
LO
SENTIDO
DIRECCION
PUNTO DE ORIGEN
MÓDULO: Magnitud del Vector (Medida)
DIRECCIÓN: Se refiere al ángulo existente del vector con respecto al eje X u horizontal
SENTIDO: algunos autores lo consideran, pero es realmente innecesario. Este se refiere al lugar donde apunta
el vector: Este, Oeste, Norte, Sur, etc. También se puede definir mediante el ángulo: 0°, 12°, etc.
PUNTO DE ORIGEN: Es el punto de donde nace el vector.
Al decir que es un ente
matemático, nos referimos a que
es algo que inventaron los
matemáticos para trabajar con
magnitudes vectoriales.
FISICA I
Página 8
SUMA DE VECTORES
Para sumar vectores todos deben tener la misma magnitud física.
2V
1V3V
4V
En este caso, todos los vectores tienen como magnitud en común la “Velocidad”: 1⃗⃗ ⃗ 2⃗⃗ ⃗ 3⃗⃗ ⃗ 4⃗⃗ ⃗
OJO 1:
No se puede sumar el vector 3 (aceleración) ya que no tiene la misma Magnitud Física que los otros vectores.
2V
1V4V3a
OJO 2:
Para nombrar a un Vector Resultante, se le antepone el nombre de la Magnitud más la palabra “Resultante”.
Ejemplo: Si todos los vectores son velocidades, el vector resultante debería llamarse VELOCIDAD
RESULTANTE.
Para sumar vectores se pone uno
a continuación del otro. Y su
Resultante tendrá la misma
magnitud física que sus
componentes
FISICA I
Página 9
2V
1V
3V
4V
RV
RECUERDA QUE:
Un vector como máximo se puede descomponer en la cantidad de vectores que uno desee.
“N”
vecto
resR
Un vector como mínimo se descompone en sólo dos vectores.
R
FISICA I
Página 10
Si un vector se descompone en 2, y esos vectores forman un ángulo de 90°, decimos que el vector ⃗ sufrió una
descomposición Rectangular o Pitagórica.
R
90.0°
MÉTODOS PARA SUMAS VECTORES:
Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:
1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO:
Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triángulo con la resultante.
R
⃗ 1⃗⃗ ⃗ 2⃗⃗ ⃗
2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO:
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los
dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a
cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo. El
vector resultante de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de
ambos vectores.
Y el módulo de su resultante se
halla utilizando la ecuación de
Pitágoras.
FISICA I
Página 11
1A
B
B
A
1
2
RA
B
1
2
180
sin(180 ) sin( )
Si yo quisiera saber el módulo de ⃗ entonces utilizaría la fórmula:
| ⃗ | √ 2 2
3. MÉTODO DEL POLÍGONO: Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el vector suma
es el resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector.
AB
C
D
E
LEY DE SENOS:
De esta manera es más
sencillo hallar la
resultante de estos dos
vectores
Si tenemos tres o más
vectores y el origen del
primer vector coincide con
el final del último vector,
entonces tendremos que el
vector resultante es igual a
cero.
FISICA I
Página 12
Nos permite tener una relación más completa entre los módulos de los tres vectores y la función seno de sus respectivos ángulos que forman.
| | es al seno del ángulo que esté al frente de él, como | ⃗ | es al seno del ángulo que esté al frente de él,
como | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es al seno de ángulo que esté al frente de él.
A
B
R
1 2
DIFERENCIA DE VECTORES
La diferencia de vectores viene dado gráficamente por:
1A
B B
A
DA
B
B
A
DB
A
FISICA I
Página 13
Se puede utilizar la fórmula:
Ejemplo:
R
B
AD A B
Y
Si: Cos90° = 0, entonces:
Por lo tanto: | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ |
2 2 2 cosD A B AB
2 2 2 cosD A B AB
FISICA I
Página 14
VECTOR UNITARIO
Si:
Se define:
Propiedad:
Si: ; es decir, Si el vector es paralelo a ⃗ , se cumple:
BA
̂ ̂ . El Vector Unitario de es igual al Vector Unitario de ⃗ .
PLANO CARTESIANO
Podemos distinguir:
En el Plano Cartesiano de dos dimensiones se ubican los ejes ̂ ̂ – ̂ – ̂
Recuerda que: un vector
unitario solo da la dirección del
vector.
Estos vectores formaran
ángulos iguales con el eje
X
FISICA I
Página 15
îî
ĵ
ĵ
En el Plano Cartesiano tridimensional se ubican los ejes: ̂ ̂ ̂ – ̂ – ̂ – ̂
îî
ĵ
ĵk̂
k̂
Ejemplo:
FISICA I
Página 16
5
3
4
25
A ˆ15A jy
ˆ15A ix
y
x
Formas de escribir el vector ⃗⃗
̂ ̂
15)
| |
Y: ⃗ , | ⃗ | √ 2 2 √
El vector unitario de A está definido por: ̂
| |
2 15
25 (
4
5 3
5)
Si al sacar el módulo del vector unitario, este es = 1; el ̂ es correcto.
COSENOS DIRECTORES
Se llaman “Cosenos Directores” de ⃗ (de componentes: 1⃗⃗ ⃗, 2⃗⃗ ⃗, 3⃗⃗ ⃗ ) a los cosenos de los ángulos que el mismo forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z (Ángulos directores). Los cosenos directores podrán ser
positivos o negativos.
En el Plano Bidimensional:
FISICA I
Página 17
25
A
y
x
y
x = 37°
̂
̂
̂
| ̂|
√ 2 2
2
Tenemos que:
2
2
FISICA I
Página 18
En el Plano Tridimensional:
X
Z
A
x y
z
Propiedad:
FISICA I
Página 19
VECTOR ENTRE DOS PUNTOS
Para hallar un vector entre dos puntos(A y B) se debe restar el punto B menos el punto A, siendo el Punto B, el
final y el punto A, el inicial.
En un Plano Bidimensional:
y
x
A(3,5)
9
3
5
7
AB
ˆ4i
ˆ4 j
B(7,9)
En el Plano Tridimensional:
X
Z
B(8,12,15)
A(2,4,5)
AB
FISICA I
Página 20
⃗⃗⃗⃗ ⃗
Calculamos el Vector Unitario:
Calculamos los ángulos a partir de los Cosenos:
FISICA I
Página 21
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR:
Se tiene que la multiplicación de un vector ⃗⃗ por otro ⃗⃗ , dará como resultado un número. Entonces:
⃗⃗ ⃗⃗
SI:
y
⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Entonces:
Por definición:
⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗ | || ⃗ |
54 = (11.04) (5.48)Cos(θ)
0.89 = Cos(θ)
θ = 27.13°
Geométricamente:
⃗ | || ⃗ |
Este producto es también
denominado Producto
Punto
𝐴 �⃗� �⃗� 𝐴
FISICA I
Página 22
PRODUCTO VECTORIAL: Se tiene que la multiplicación de por ⃗ dará otro vector ⃗ : ⃗ ⃗
Si:
y , entonces:
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ [ ] ̂ [ ] ̂ [ ] ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗
__________________________________________
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ [ ] ̂ [ ] ̂ [ ] ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗
Este producto se halla
utilizando matrices.
FISICA I
Página 23
Por definición:
⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗ | || ⃗ |
Geométricamente:
B
A
h
Área del triángulo:
Reemplazamos:
B
A
12
FISICA I
Página 24
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES UNITARIOS:
îĵ
k̂
y
Z
x
PRODUCTO VECTORIAL:
PRODUCTO ESCALAR:
FISICA I
Página 25
Problemas Resueltos
1. Una lancha es arrastrada por 2 remolcadores, si la resultante de las fuerzas ejercidas por los
remolcadores es una fuerza de 5000lib dirigida a lo largo del eje de las lanchas. Determine la tensión
de las cuerdas, sabiendo que
30°
45 30°
1T
2T
45
105°
5000R lb
Para desarrollar este problema es necesario aplicar la LEY DE SENOS, con los ángulos que forman las
tensiones con la resultante; con esto el desarrollo sólo es matemático y sencillo, veamos:
𝑇2
𝑇1
𝑇2
𝑇1
2 5000
0.5 0.9659
T 1
5000
0.707 0.9659
T
𝑻𝟐 𝟐𝟓𝟖𝟖.𝟏𝟗 𝒍𝒃 𝑻𝟏 𝟑𝟔𝟔𝟎.𝟐𝟓
FISICA I
Página 26
2. Hallar el valor de , tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.
30°
30°
150
1T
2T
5000R lb
𝑇1
𝑇2
𝑇2 3 5
3 , para que sea mínima, entonces:
,
3. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno “A” como se muestra en la figura. Determine la resultante de
las fuerzas sobre el perno.
𝜶 𝟔𝟎
FISICA I
Página 27
x
y
1 150F N
2 80F N
3 110F N
4 100F N
1⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ ̂
2⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ . ̂
3⃗⃗ ⃗ ̂ ̂
4⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ . ̂ . ̂
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . ̂ . ̂
Si queremos saber cuáles son los ángulos, lo primero que se debe hacer es hallar el módulo de la resultante,
posteriormente el vector unitario y se aplica lo enseñado anteriormente
| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 . 2
̂ . ̂ . ̂
. . .
|𝑹|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝟐𝟓𝟒.𝟐𝟔
Cuando se hayan
descompuesto todas
las fuerzas, estas se
suman para hallar la
resultante que nos
piden.
FISICA I
Página 28
. .
𝜽𝒙 𝟑.𝟔
𝜽𝒚 𝟖𝟔.𝟓𝟔
FISICA I
Página 29
4. Determine el vector resultante de las fuerzas mostradas en la figura
1 435F N200
210
225
x
y
120
240
70
2 500F N
3 510F N
Se halla primero los ángulos de cada vector fuerza, la forma más sencilla es por medio del arco tangente como
se observa:
. . .
A continuación, lo siguiente que se hace es descomponer los vectores para después sumarlos y hallar la
resultante que es la pregunta del ejercicio:
1⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂
2⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂
3⃗⃗ ⃗ . ̂ . ̂ . ̂ . ̂
�⃗⃗� 𝟒𝟏𝟒.𝟖𝟗 �̂� 𝟑𝟑𝟎 �̂�
FISICA I
Página 30
Ahora, si se quiere encontrar el módulo del vector resultante se debe aplicar la fórmula vista como se aprecia a
continuación:
| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 2 .
El vector unitario se halla dividiendo el vector resultante entre el módulo del mismo, de eso se puede encontrar
los ángulos de la resultante por medio de los cosenos directores.
̂ . ̂ ̂
.
. .
5. El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura ejerce sobre el bloque “B” una fuerza
“P” dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de “P” tiene una
magnitud de 260lib. Determine:
a) Magnitud de la fuerza “P”.
b) Su componente vertical.
LR
Q
Q
50°50°
C
B
P(sin50°)
P
𝜽𝒙 𝟑𝟖.𝟒𝟔 𝜽𝒚 𝟓𝟏.𝟓𝟒
FISICA I
Página 31
En este caso basta con trabajar con las componentes de la fuerza P, de esta manera primero hallamos su módulo,
y posteriormente el módulo de su componente Q.
| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
26
5 | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ .
6. Encuentra la magnitud y la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura, si:
| ⃗⃗ | | ⃗⃗ | .
20°
70°40°
50°60°
30°
15°
75°
X
Y
-Z
Z
-X
-Y
600
Q
lb
500
P
lb
Este ejercicio es un poco más complejo a simple vista, pero para hallar la resultante basta con descomponer los
vectores en sus componentes tanto en eje X, como en el Y y el eje Z, utilizando los cosenos de los ángulos que
estos vectores forman con los ejes.
⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂
𝑷 𝟑𝟑𝟗.𝟒 lb |𝑸|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐𝟏𝟖.𝟏𝟔 lb
FISICA I
Página 32
̂ . .
̂ . . .
⃗ . . . . . .
⃗ | | ̂
̂ . .
̂ . . .
̂ . . .
Luego la resultante será:
⃗ ⃗ ⃗ . . .
| |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ . 2 . 2 . 2
Y su vector unitario:
̂ . . .
.
̂ . . .
Aplicando ArcCos obtenemos los ángulos que la resultante forma con los tres ejes:
. . .
|𝑹|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝟕𝟓𝟕.𝟒𝟕𝟖 𝒍𝒃
𝜽𝒙 𝟔𝟓.𝟎𝟒 𝜽𝒚 𝟑𝟐.𝟗𝟕 𝜽𝒛 𝟔𝟗.𝟖𝟐
FISICA I
Página 33
7. Determine un vector de módulo 8 que sea perpendicular al vector “P” y al vector “Q”.
1ero: Hallar el vector que es perpendicular a ⃗ ⃗
⃗ ⃗ |
. . .
|
⃗ ⃗ [ . . ] ̂ [ . . ] ̂
[ . . ] ̂
2do: Hallando la dirección del vector perpendicular a P y Q.
̂ . ̂ . ̂ . ̂
.
̂ . ̂ . ̂ . ̂
El vector solicitado de módulo 8 es:
⃗ | |⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ̂
⃗ . ̂ . ̂ . ̂
�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� 𝟐𝟎𝟎𝟑𝟏𝟑.𝟔 �̂� 𝟏𝟔𝟐𝟕𝟏𝟖.𝟖 �̂� 𝟏𝟓𝟎𝟗𝟗𝟐.𝟒𝒌
�⃗� . �̂� . 𝑗 ̂ . �̂�
FISICA I
Página 34
CONCLUSIONES
En este trabajo aprendimos las definiciones de lo que es una
magnitud escalar y vectorial. Además sobre lo que
es un vector, para que nos sirve y cuáles son sus elementos.
También aprendimos a sumar, restar y a multiplicar vectores, tanto
escalarmente como vectorialmente, así como que es lo que
representa el vector unitario de un vector.
Y con el desarrollo de este trabajo y los ejercicios planteados que
se resolvieron se nos hará mucho más fácil asimilar todo lo
relacionado a estos temas.
FISICA I
Página 35
ÍNDICE MAGNITUDES FISICAS
DIFERENCIAS ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES ......................... 6
VECTOR
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: ............................................................................. 7
PARTES: ............................................................................................................... 7
SUMA DE VECTORES: ................................................................................................ 7
MÉTODOS PARA SUMAS VECTORES: .................................................................... 10
LEY DE SENOS: ......................................................................................................... 11
DIFERENCIA DE VECTORES: ................................................................................... 12
VECTOR UNITARIO: ................................................................................................. 13
PLANO CARTESIANO: ............................................................................................. 14
COSENOS DIRECTORES .......................................................................................... 16
VECTOR ENTRE DOS PUNTOS: ................................................................................ 19
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES: .......................................................................... 21
o PRODUCTO ESCALAR: ................................................................................ 21
o PRODUCTO VECTORIAL: ............................................................................ 22
VECTORES UNITARIOS: ............................................................................................ 24
o PRODUCTO VECTORIAL: ............................................................................ 24
o PRODUCTO ESCALAR: ................................................................................ 24
PROBLEMAS RESUELTOS: ..................................................................................................... 25