FORMAS INDETERMINADAS
Cruz Alan, Del Llano David, Delgado Maritza,
Flores Ángel, Flores Sandra
FORMAS INDETERMINADAS
Es decir, cuando una variable que tiende a ese valor parece
no existir o no estar definida.
Involucra los limites del tipo:
FORMA 0/0
FORMA ∞/ ∞
FORMA 0*∞
FORMA ∞-∞
FORMAS 1∞ ,∞0 , 00
GUILLAUME FRANÇOISE
ANTOINE MARQUÉS DE
L’HOPITAL
REGLA DE L’HOPITAL
Supongamos que existen 2 funciones f y g, las cuales están
definidas dentro de un intervalo (a,b) excepto tal ves en un
valor c dentro del mismo intervalo.
Si ambas funciones son derivables, entonces, si existe el
limite de la función en el valor c.
si es o
Entonces → =
DEFINICION
EJERCICIOS
INDETERMINACIÓN TIPO: O/0
1)
2 X3
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 x - SIN(x)
6 X2
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 1 - COS(x)
12·x
Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 SIN(x)
12
Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 COS(x)
2)
LN(1 + 6·x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 x
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯lim 1 + 6·x =
x→0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯1
6
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 1 + 6·x
12
6
1)Alan, 2)Sandra
INDETERMINACIÓN TIPO: ∞/∞
1)
LN(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→ ∞ x2 + 2
1/x
lim ⎯⎯⎯ =
x→∞ 2·x
1
lim ⎯⎯⎯⎯ =
x→∞ 2x2
1
⎯⎯⎯ =
∞ 0
1)David, 2) Ángel
2)
x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→∞ LN(x) 3 - 2·x
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→∞ 3·LN(x)·2 (1/x)+ 2 1/2
INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
1)
⎛ 1 1 ⎞lim ⎯ - ⎯⎯⎯⎯ =
x→0⎝ x SIN(x) ⎠
SIN(x) - x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 x·SIN(x)
COS(x) - 1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯x→0 SIN(x) + x·COS(x)
- SIN(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 COS(x) + COS(x) - x·SIN(x)
0
⎯⎯⎯ =
2
2)
lim [LN(x + 1) - LN(x)] =
x→∞
lim LN [(x + 1)/x ] = lim LN [1 + 1/x ] = LN 1 =
x→∞ x→∞
0
0
1) Ángel, 2) Alan
INDETERMINACIÓN TIPO: ∞-∞
1) Ángel
3)
⎛ 1 1 ⎞lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯ =
x→0 ⎝ LN(1 + x) x ⎠
x - LN(1 + x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 x·LN(1 + x)
1
1 - ⎯⎯⎯⎯⎯
1 + x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→0 x
LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯1 + x
1 + x - 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 + x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=
x→0 (1 + x)·LN(1 + x) + x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯1 + x
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 LN(1 + x) + x·LN(1 + x) + x
1
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 1 x
⎯⎯⎯⎯⎯ + LN(1 + x) + ⎯⎯⎯⎯ + 1
1 + x 1 + x
1/2
INDETERMINACIÓN TIPO: 0*∞
1)
lim x·LN(x) → g →
x→0 ⎯⎯⎯1 /f
Se transforma la función en 0/0 o ∞ /∞ reescribiendo f*g = f o
⎯⎯⎯
1/ g
g según convenga. ⎯⎯⎯1 /f
LN(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 1 / x
1 /x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 -1 /X2
lim -x =
x→00
1)David, 2)Ángel
2)
lim (TAN(x) - 1)(SEC(2)·x)
=
x→/4
TAN(x) - 1
0
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯x→/4 COS(2)·x 0
1 + TAN2(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→/4 - 2·SIN(2)·x-1
INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
1) Forma 1∞
1/COS(x)
lim (1 + 2·COS(x))
x→/2
Suponemos que la solución del limite es A.
1/COS(x)
A= lim (1 + 2·COS(x))
x→/2
Bajamos el exponente con LN.
LN A= lim 1 LN(1 + 2·COS(x))
x→/2 ⎯⎯⎯⎯⎯ →
COS(x)
LN(1 + 2·COS(x)) 0
LN A= lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯x→/2 COS(x) 0
Aplicamos L`Hopital
- 2·SIN(x)
Lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯x→/2 1 + 2·COS(x) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯- SIN(x)
2
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2
x→/2 1 + 2·COS(x) LN A= 2 → e2 = A .·.
Para resolverlas tomamos logaritmos naturales, consiguiendo bajar el exponente. El
logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
LN ab = b LN a.
e2
1)Maritza
INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
2) Forma ∞0
lim ⎛ 1 ⎞ TAN(x)
x→0 ⎯⎯=
⎝ x2 ⎠
LN A = lim TAN(x) LN[ 1/ x2 ]
x→0
=
LN A = lim TAN(x) [LN1- LN x2
]
x→0
LN A = lim TAN(x)[- 2LN x ]
x→0
=
LN A = -2 lim TAN(x)[LN x ]
x→0 = 0* ∞
Convertimos a g →
⎯⎯⎯1 /f
LN(x)
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
x→0 1/TAN(x)
Aplicamos L`Hopital
1 / x
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 -1/ SIN2 (x)
SIN2 (x)
-2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 x
2·SIN(x)·COS(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2*0 = 0
x→0 1
LN A= 0 → e0 = A .·. 1
1)Maritza
INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
lim X x =
x→0LN A= lim X LN X = 0* ∞
x→0
Convertimos a g →
⎯⎯⎯
1 /f
LN(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯ = ∞/∞
x→0 1/ x
Aplicamos L`Hopital
1 /x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 -1 /X2
lim -x = 0
x→0
1LN A= 0 → e0 = A .·.
1)Sandra
INDETERMINACIÓN TIPO: 1∞ ,∞0 , 00
3) Forma 00
1e0 =
1)Ánge
l
lim X tanx
x→0 =
LN A= lim TAN(x) LN(x)
x→0 =
lim e tanxlnx
x→0 =
LN(x)
e lim e ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0 COT(x)
-1/ x
e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] =
x→0 CSC2 (x)
-SIN 2 (x)
e^ lim [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ]
x→0 x
e^ lim [- 2·SIN(x)·COS(x)]
=
x→0
POR SU ATENCION…
GRACIAS!!!
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