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Profesor Ral Vega Muoz
CMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES INFINITAS PERIDICAS A FRACCIONES COMUNES
Advertencia: Este tema es ms avanzado que el tema que se est revisando en el blog, requieres tener slidos
conocimientos sobre operaciones con fracciones, simplificacin de fracciones.
Cuando tenemos un nmero cuyas cifras decimales se repiten hasta el infinito, por ejemplo:
1.33333
De denomina fraccin decimal infinita peridica. Analicemos por qu se llama de esa forma:
Fraccin decimal (porque tiene punto decimal) infinita (porque sus cifras nunca terminan) y peridica porque
hay cifras que se repiten, algo peridico es algo que se repite.
Una fraccin decimal infinita peridica puede tener varias cifras repitindose, no solamente una. As por
ejemplo todas las siguientes son ejemplos de fracciones de esta categora:
23.45454545
176.298298298298
Para simbolizar de forma abreviada estas fracciones se escribe un pequeo guin (lnea) encima de las cifras o
cifra que se repite, as los ejemplos que mencionamos quedaran abreviados de esta manera:
1.33333 1. 3
23.45454545 23. 45
176.298298298298 176. 298
A veces, no son todas las cifras decimales las que se repiten sino nicamente algunas, por ejemplo en las
siguiente fraccin:
12.17252525
En cuyo caso quedara abreviada de la siguiente forma: 12.1725
A continuacin te explicar cmo convertir una fraccin decimal infinita peridica como 12.1725
en una fraccin comn.
Primero separamos la parte finita (que tiene fin) de la parte infinita (lo que se repite) pero indicando que al
final de cuentas se estn sumando, no estn totalmente separadas, quedan unidas por un signo de suma:
12.1725
= 12.17 + 25
Dudas hasta ahora? No hay dudas? Fantstico! Ahora expresamos la parte finita como fraccin comn (si
tienes duda del procedimiento te recomiendo revisar estos artculos:
https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/09/20/leccion-1-los-numeros-reales-4/
https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/09/23/leccion-1-los-numeros-reales-5/
Y tambin el vdeo: http://youtu.be/tMHJbmUGcQk
Expresando la parte finita como fraccin comn:
= 12 17100 + 25
= 1217100 + 25
Ahora expresamos la parte finita como la sumatoria infinita siguiente:
= 1217100 + 25
10000 +25
1000000 +25
100000000
Observa que el primer trmino de la sumatoria infinita (en color rojo) tiene denominador 10000 por la posicin
que ocupan esas cifras en la fraccin decimal original, y lo mismo sucede para los trminos siguientes.
Denominemos a al primer trmino de la sumatoria infinita.
= 2510000 =1
400
Obvio, se simplifica.
Denominemos R de razn al resultado de dividir cualquiera de los trminos de la sumatoria infinita entre el
trmino anterior, observa que sera el mismo resultado si dividimos el trmino verde entre el azul que si
dividimos el azul entre el rojo:
25
1000000 25
10000 =250000
25000000 =1
100
= 25100000000 25
1000000 =25000000
2500000000 =1
100
Hemos pasado lo ms difcil, ahora solo hay que sustituir en la siguiente frmula para obtener el resultado de la
sumatoria infinita:
= 1
= 1
4001 1100
=1
40099
100= 10039600 =
1396
Ahora bien, recordemos que
= 12 17100 + 25
= 1217100 + 25
= 1217100 + 25
10000 +25
1000000 +25
100000000
= 1217100 +1
396 =481932 + 100
39600 =48203239600 =
602544950 =
301272475
As llegamos al resultado final.
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