Estática
Fuerzas internas y momentos
•El presente capitulo nos enseñara a determinar las fuerzasinternas (fuerzas de tensión/compresión, cortante y flexión),las cuales mantienen unidas varias partes de una estructura.
•En la clase de hoy nos enfocaremos en vigas, las cuales sonelementos prismáticos rectos y largos diseñados parasoportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo delelemento.
Estática
Fuerzas internas y momentos
Fuerzas internas equivalentes a unafuerza-par son necesarias para equilibrarlos cuerpos libres JD y ABCJ
En un elemento sujeto a dosfuerzas que no es recto, las fuerzasson equivalentes a un sistemafuerza-par
Estática
Fuerzas internas y momentos
Vigas: tipos de cargas y tipos de soportes
•Viga: miembro estructural diseñado para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de su longitud
•Una viga puede ser sometida a cargaspuntuales, cargas distribuidas o a unacombinación de ambas
•Diseño de una viga en dos pasos:
1. Determine las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas aplicadas
2. Seleccione el área de sección transversal mas indicada para resistir las fuerzas cortantes y momentos flectores.
Cargas concentradas
Cargas distribuidas
Estática
Fuerzas internas y momentos
Vigas: tipos de cargas y tipos de soportes
• Vigas son clasificadas de acuerdo a la manera en la cual
estas.• Las reacciones en los soportes de las vigas se pueden
determinar si en total representan 3 incógnitas. De otro
modo, las vigas serian estáticamente indeterminadas.
Vigas estáticamente determinadas
Vigas estáticamente indeterminadas
Estática
Fuerzas internas y momentos
La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a subir con respecto a la de la parte derecha
El momento flector es positivocuando las fuerzas externas queactúan sobre la viga tienden aflexionar a la viga con una formacóncava hacia arriba
Fuerzas internas en una sección(esfuerzo cortante y momentoflector positivos)
Cortante y momento flector en una viga
• Se quiere determinar el momento
flector y la fuerza cortante en
cualquier punto (por ejemplo C) en
una viga sujeta a cargas puntuales y
distribuidas.
• Determine las reacciones en los
soportes utilizando el diagrama de
cuerpo libre de toda la viga.
• Corte la viga en C y dibuje un
diagrama de cuerpo libre para AC y
CB
• Por consideraciones de equilibrio,
determine M y V o M’ y V’.
Diagrama de momento y cortante en una viga
• Deseamos determinar la variación del
cortante y el momento flector a lo largo
de la viga
• Determine las reacciones en los
apoyos.
• Corte la viga en C y considere el
miembro,
22 PxMPV
• Corte la viga en E y considere
el miembro EB
22 xLPMPV
• Para vigas sujetas a cargas concentradas , el cortante es
constante entre puntos de aplicación de a carga , y el
momento entre esos puntos es lineal
Estática
Fuerzas distribuidasDeterminación de la fuerza cortante y el momento flector en una viga:Para determinar la fuerza cortante V y el momento flector M en un punto C de unaviga se deben seguir los siguientes pasos:1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre para la viga completa y utilizarlo para
determinar las reacciones en los apoyos de las vigas2. Cortar la viga en un punto C y, con las cargas originales, seleccionar una de las
dos porciones de la viga que se han obtenido3. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la porción de la viga que se haya
seleccionado, mostrando• Las cargas y las reacciones• Las fuerzas internas y el par flector que representan las fuerzas internas en
C.4. Escribir las ecuaciones de equilibrio para la porción de la viga que se ha
seleccionado.5. Registrar los valores de V y M con el signo obtenido en cada uno de estos.6. Dibujo de los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga
Estática
Fuerzas distribuidasCuando una viga sólo esta sometida a cargas concentradas:• La fuerza cortante tiene un valor constante entre cargas• El momento flector varia linealmente entre cargas
Al realizar el análisis de una viga sometida a cargas puntuales, se debe realizarcortes de a viga justo antes y después de cada fuerza concentrada externa a finde observar como la fuerza cortante y el momento flector cambian a lo largo dela longitud de la viga.
Para una viga que soporta cargas uniformemente distribuidas• El diagrama de fuerza cortante consiste en un segmento de recta oblicua• El diagrama de momento flector consiste en un arco parabólico.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 1
Dibuje el diagrama de cortante y momento para la viga y cargas dadas
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 1
Modelamiento y análisis
Haga el diagrama de cuerpo libre de toda la viga y
determine las reacciones en B y C
• Encuentre el cortante y el momento flector a cada uno
de los lados de las cargas puntuales aplicadas
:0yF 0kN20 1 V kN201 V
:02 M 0m0kN20 1 M 01 M
V2 20 kN
V3 26 kN
M 2 50 kN m
M 3 50 kN m
V4 26 kN M 4 28 kN m
V5 14 kN M 5 28 kN m
V6 14 kN M 6 0kN m
Igualmente,
• Grafique los resultados
Observe que el cortante es constante
entre cargas concentradas y el
momento flector varia linealmente
entre cargas concentradas.
Reflexione y piense:
Los cálculos son muy similares
para cada nueva elección nueva
de un cuerpo libre. Sin embargo,
al moverse a lo largo de la viga,
el cortante cambia de magnitud
cuando se encuentra con una
carga puntual y la grafica de
momento flector cambia de
pendiente en esos puntos.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 1
Dibuje el diagrama de cortante y
momento para la viga AB. La carga
distribuida de 40 lb/in se extiende a
lo largo de 12 pies, desde A a C, y
una carga de 400 lb es aplicada en
E.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
Dibuje el diagrama de cortante y
momento para la viga AB. La carga
distribuida de 40 lb/in se extiende a
lo largo de 12 pies, desde A a C, y
una carga de 400 lb es aplicada en
E.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
Estrategia:
• Dibuje el diagram de cuerpo libre de la
viga complete, calculi las reacciones en
A y B.• Determine los sistemas fuerza-par
internos en cada uno de los cortes en los
segmentos AC, CD y DB
• Dibuje los resultados.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
Modelamiento y análisis:
• Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga
complete y calcule las reacciones en A y B.
:0 AM
0in.22lb400in.6lb480in.32 yB
lb365yB
:0 BM
0in.32in.10lb400in.26lb480 A
lb515A
:0 xF 0xB
• Nota: La fuerza de 400 lb en E puede ser
remplazada por una fuerza de 400 lb en E y una
par de 1600 lb-in. en D.
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
De C a D:
:0yF 0480515 V
lb 35V
• Determine los sistemas fuerza-par internos en
cada uno de los cortes en los segmentos AC, CD y
DB
De A a C:
:0yF 040515 Vx
xV 40515
:02 M 06480515 Mxx
in.lb 352880 xM
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
:02 M
01840016006480515 Mxxx
in.lb 365680,11 xM
• Determine los sistemas fuerza-par internos en
cada uno de los cortes en los segmentos AC,
CD y DB
De D a B:
:0yF 0400480515 V
lb 365V
Diagrama de momento y cortante en una viga. Ejemplo 2
• Dibuje los resultados.De A a C:
xV 40515
220515 xxM
De C a D:
lb 35V
in.lb 352880 xM
De D a B:
lb 365V
in.lb 365680,11 xM
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector.
• Relación entre carga distribuida y cortante
wx
V
dx
dV
xwVVV
x
0lim
0
curve loadunder area D
C
x
x
CD dxwVV
• Relación entre cortante y momento flector:
VxwVx
M
dx
dM
xxwxVMMM
xx
21
00limlim
02
curveshear under area D
C
x
x
CD dxVMM
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 3
7- 21
Determinar los diagramas de momento y cortante para la viga que se muestra en la figura
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 3
7- 22
• Reacciones en los
apoyos, 2
wLRR BA
• Curva de cortante,
xL
wwxwL
wxVV
wxdxwVV
A
x
A
22
0
• Curva de momento
0at 8
22
2
max
2
0
0
Vdx
dMM
wLM
xxLw
dxxL
wM
VdxMM
x
x
A
Dibuje el diagrama de cortante
y momento para la viga y
carga mostrada
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 4
Dibuje el diagrama de cortante
y momento para la viga y
carga mostrada
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 4
Estrategia:
• Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga
complete y determine las reacciones en A y
D.
• Con carga distribuida uniforme entre D y
E, se obtiene un cortante lineal
• Entre las cargas puntuales,
Y el cortante es constante
0 wdxdV
• Entre puntos de aplicación de carga
concentrada, El
cambio en el momento entre puntos de
aplicación de la carga es igual al área debajo
de la curva cortante entre los puntos
.constant VdxdM
• Con una variación lineal del cortante entre D
y E, el diagrama de momento es una parábola
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 4
• Entre cargas concentradas , y
el cortante es constante
0 wdxdV
Modelamiento y análisis:
• Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga
complete y determine las reacciones en A y D.
:0AM
0ft 82kips 12
ft 14kips 12ft 6kips 20ft 24
D
kips 26D
:0 yF
0kips 12kips 26kips 12kips 20 yA
kips 18yA
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 4
• Entre los puntos de aplicación de las cargas
concentradas , El
cambio en la curva de momento entre puntos
de aplicación de la carga es igual al área
debajo de la curva de cortante entre esos
.constant VdxdM
• Con una variación lineal del cortante entre
D y E, el diagrama de momento flector es
una parábola.
048
ftkip 48140
ftkip 9216
ftkip 108108
EDE
DCD
CBC
BAB
MMM
MMM
MMM
MMM
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 5
Dibuje el diagrama de momento
y cortante para la viga en
voladizo y cargas dadas
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 5
Dibuje el diagrama de momento
y cortante para la viga en
voladizo y cargas dadas
Estrategia:
• El cambio en el cortante entre A y B es igual
al área negativa debajo de la curva de carga
entre los puntos. La curva de carga lineal
resulta en una curva de cortante parabólico
• Con carga cero, el cambio en el cortante entre
B y C es cero.
• El cambio de momento entre A y B es igual
al área debajo de la curva de cortante entre
os puntos. La curva de cortante parabólica
resulta en una curva de momentos cubica
• El cambio en momento entre B y C es igual al área bajo de la
curva del cortante entre los puntos. La curva de cortante
constante resulta en una curva lineal de momento
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 5
Dibuje el diagrama de momento
y cortante para la viga en
voladizo y cargas dadas
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 5
• Con carga cero, el cambio en cortante entre B y C
es cero
Modelamiento y analisis
• El cambio en cortante entre A y B es igual al
negative del area bajo la curva de carga entre los
puntos. La curva de carga lineal resulta en una
curva de cortante parabolica
awVV AB 021 awVB 02
1
0,at wdx
dVB
0,0,at wwdx
dVVA A
Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector. Ejemplo 5
• El cambio en momento entre A y B es igual al
area bajo la curva del cortante entre los puntos.
La curva de cortante parabolico resulta en una
curva cubica de momento
• El cambio en el momento entre B y C es igual al
área bajo la curva de cortante entre esos puntos. La
curva de cortante constante resulta en una curva de
momento lineal.
aLawMaLawMM
awMawMM
CBC
BAB
3061
021
203
1203
1
0,0,at Vdx
dMMA A
Estática
Fuerzas distribuidasFuerza por unidad de longitud
La siguiente viga se encuentra soportada por un apoyo fijo de pasador y un apoyo tipo patín, además se encuentra cargada como se muestra en la figura.
Elaborar el diagrama de cuerpo libre, DCL, para esta viga.
Determinar la reacción vertical en el apoyo fijo, Rfy.Determinar la reacción vertical en el apoyo patín, Rpy.
206 lb230 lb
0.625 ft
1.875 ft2.5 ft 2.5 ft
206 lb230 lb
0.833 ft
1.677 ft2.5 ft 2.5 ft
329.6 lb368 lb
0.833 ft
1.677 ft2.5 ft 2.5 ft
412 lb368 lb
0.833 ft
2.5 ft 2.5 ft1.875 ft
0.625 ft
1.875 ft2.5 ft 2.5 ft
412 lb460 lb