FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTESRn Una funcin real de n variables es una correspondencia:que asigna a todo punto P Rn un nico valor z R de tal manera que:Z = f (P) P= (x1, x2, x3, x4 , xn)
Luego:f(P) z = f (x1, x2, x3, x4 , xn)
*Dominio, Rango y Grfico de Funciones Realesde Varias Variables.-
Dominio de f : Df = { P Rn / z R z = f (P) }
Rango de f : Rf = { z R / P Rn z = f (P) }
Grfico : Gf = { (x1, x2, , xn, f(x1, x2, , xn)) / (x1, x2, , xn) Df }
PARA EL CASO DE FUNCIONES DE R2 R:
Su grfico ser en el espacio R3
.
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_1451669858.unknown
_1187154955.unknown
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Dominio , Rango y GrficoRang(f)
Im(f)
Dom(f)
x
y
z
Ejemplo
CURVA DE NIVEL.-
Sea la funcin f : R2 R, tal que z = f(x, y)
Se llaman curvas de nivel a las grficas descritas para valores constantes de z y proyectados en el plano XY.
NOTA.-
El conjunto de las curvas de nivel se denomina mapeo de contorno.
SUPERFICIE DE NIVEL .-
Sea la funcin f : R3 R, tal que w = f(x, y,z) a las grficas descritas para valores constantes de w.
Curvas de nivelMapa de contornoCurvas de nivel
Ejemplo
Obtener las curvas de nivel de
.
Haciendo z = c
c2 = 100-x2-y2
x2+y2 = 100-c2, que son circunferencias de centro el origen para c10 no tienen significado geomtrico.
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OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Sean 2 funciones f y g ambas de R2 R , con dominios Df y Dg respectivamente, entonces se define:
Suma o diferencia:
Producto:
Cociente:
Composicin:
, siendo g una funcin de dos variables y f de una sola variable.
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CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
Recordando: distancia entre dos puntos P(x, y) y Q(a, b) es
d(P, Q) =
Definimos bola o disco bidimensional de centro Q y radio
como el conjunto de puntos contenidos en el circulo de centro Q y radio
Disco cerrado
Disco abierto
Luego el disco cerrado incluye la circunferencia o frontera y el abierto no. Estos conceptos son anlogos a los de entorno cerrado o abierto para una variable.
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Lmites
d
(a, b)
(c, d)
d
Disco abierto:no incluye la frontera
Disco cerrado:incluye la frontera
z
x
y
LMITES (INTRODUCCIN)
Para una variable, la expresin
.
En este caso x se puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o por la derecha de a.
En el caso de dos variables el significado de la expresin
, siendo a, b y L nmeros reales, es anlogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) entonces
f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximacin se puede hacer de infinitas formas.
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a
x
a-
x
a+
Lmites
DEFINICIN.-
Si f es una funcin de dos variables definida en un disco abierto de centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b), y L es un nmero real, entonces se dice que L es el lmite de
f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y se escribe
Si para todo
, debe existir otro nmero
tal que
si
, entonces
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Lmites
L
L+
L-
(a, b)
(x, y)
Disco de radio d
z
x
y
Lmite para una funcin de dos variables
z = f(x, y)
Continuidad
CONTINUIDAD
Propiedades de las funciones continuas:
Si c es un nmero real y f, g son funciones continuas en (a, b), entonces las funciones : c.f ; f.g ; f +/- g ; f/g siendo g(a, b)
son continuas en (a, b).
Continuidad de una funcin compuesta .-
Si f es una funcin de dos variables, continua en (a, b) y, g es una funcin de una variable continua en f(a, b), entonces la funcin compuesta (g
f)(a, b) = g(f(a, b)) es continua en (a, b).
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*DERIVADAS PARCIALES
Sea la funcin f de 2 variables independientes en un conjunto abierto D :
z = f(x, y); entonces se define:
La derivada parcial de f con respecto de x, en el punto (x, y) al lmite:
para todos los puntos (x, y) donde este lmite exista.
La derivada parcial de f con respecto de y, en el punto (x, y) al lmite:
para todos los puntos (x, y) donde este lmite exista.
Otras notaciones usuales para las derivadas parciales son:
fx(x, y) = zx =
fy(x, y) = zy =
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_1187713201.unknown
_1187713437.unknown
_1187711864.unknown
*Interpretacin geomtrica de la derivada parcial
y=b
z=f(x, y)
y
x
z
z=f(x, b)
P(a, b, f(a, b))
Corte de z = f(x, y) con y = b
b
x = a
x
z
z=f(x, b)
Proyeccin del corte de z=f(x, y) con y = b sobre el plano ZX
tg b = fx(a, b)
Si consideramos la superficie que tiene por ecuacin z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:
fx(a, b) =
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*Derivadas parciales
Sea z = f(x, y) una funcin de dos variables con dominio D. Si mantenemos la variable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x vara, la funcin f se convierte entonces en funcin de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b), que denotamos por fx(a, b). Luego por definicin se tiene:
fx(a, b) = g(a) =
, por tanto
fx(a, b) =
Anlogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que denotamos por fy(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la funcin h(y) = f(a, y)
_1187710507.unknown
_1187711059.unknown
_1187710232.unknown
*Interpretacin geomtrica de la derivada parcial
Anlogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z =f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho punto:
.
_1187711059.unknown
z=f(a, y)
x=a
y=b
z=f(x,y)
z
x
y
P(a, b, f(a,b))
Corte de z=f(x, y) con x=a
z
y
a
fy (a, b)=tg a
y=b
Proyeccin del corte de z = f(x, y) con x = a sobre el plano ZY
*Plano tangente
Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a, b)) existe obtengamos su ecuacin. Dicho plano debe contener a las rectas tangentes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en particular contendr a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la superficie por los planos x = a, y = b.
Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fy(a, b), luego un vector director de esta recta ser de la forma (0, u, v) , siendo
, tomando u = 1, se obtiene: v = fy(a, b)
es decir, un vector en la direccin de la recta tangente es (0, 1, fy(a, b)).
_1188745395.unknown
*Plano tangente
x=a
y=b
z=f(a, y)
z=f(x,y)
z
x
y
P(a, b, f(a,b))
Corte de z=f(x, y) con x=a
a
Vector director = (1, fy(a, b))
Vector director = (0, 1, fy(a, b))
tg a = fy(a, b)
*Plano tangente
y=b
z=f(x, y)
y
x
z
z=f(x, y)
P(a, b, f(a, b))
Corte de z = f(x, y) con y = b
b
tg b = fx(a, b)
Vector director = (1, 0, fx(a, b))
Vector director = (1, fx(a, b))
z = f(x, b)
Anlogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fx(a, b), luego un vector director de esta recta ser de la forma (u, 0, v), siendo
, tomando u = 1, se obtiene v = fx(a, b), es decir, un vector en la direccin de la recta tangente es (1, 0, fx(a, b)).
_1188746269.unknown
*Plano tangente y recta normal
En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto :
P(a ,b, f(a, b)) son
= (0, 1, fy(a, b)) y
= (1, 0, fx(a, b), luego un vector perpendicular al plano se obtendr multiplicndolos vectorialmente
=
=
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene por vector caracterstico
, por lo que su ecuacin ser:
fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) (z f(a, b)) = 0.
La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuacin, en forma paramtrica, ser
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_1188747971.unknown
_1188748422.unknown
_1188826061.unknown
_1188748354.unknown
_1188747929.unknown
_1188747214.unknown
_1188747345.unknown
_1188747187.unknown
*Plano tangente y recta normal
Ejemplo
Obtener la ecuacin del plano tangente a la superficie z = 3x2-y2, en el punto
P(1, 1, 2),as como la ecuacin de la recta normal en dicho punto.
En este caso:
fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1)
fx(1, 1) = 6, fy(1, 1) = -2, f(1, 1) = 2.
Luego la ecuacin del plano tangente es:
6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0
6x-2y z = 2.
La recta normal tiene por ecuacin:
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_1188826694.unknown
_1188792639.unknown
*Plano tangente y recta normal
Plano tangenteen P(a, b, f(a, b))
x = a
y = b
Recta normal
P(a, b, f(a, b))
*Plano tangente y recta normal
*DERIVADAS PARCIALES
Sea la funcin f de 2 variables independientes en un conjunto abierto D :
z = f(x, y); entonces se define:
La derivada parcial de f con respecto de x, en el punto (x, y) al lmite:
para todos los puntos (x, y) donde este lmite exista.
La derivada parcial de f con respecto de y, en el punto (x, y) al lmite:
para todos los puntos (x, y) donde este lmite exista.
Otras notaciones usuales para las derivadas parciales son:
fx(x, y) = zx =
fy(x, y) = zy =
_1187712095.unknown
_1187713201.unknown
_1187713437.unknown
_1187711864.unknown
*Derivadas parciales
Como en el clculo de derivadas parciales una de las variables se mantiene constante, se podrn aplicar las reglas de derivacin para funciones de una variable, siempre que est clara la existencia de esta derivada.
Ejemplo
Siendo f(x, y) = (x2 + y)exy, calcular sus derivadas parciales y evaluarlas en el punto (1,1):
fx(x, y) = 2xexy + (x2 + y)yexy
fx(1, 1) = 2e + 2e = 4e
fy(x, y) = exy + (x2 + y)xexy
fy(1, 1) = e + 2e = 3e
Se han aplicado directamente las reglas de derivacin de funciones de una variable, ya que al fijar una variable la funcin se convierte en una funcin derivable por ser el resultado de operar funciones derivables. Esta funcin admite derivadas parciales en todo punto de R2.
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_1187715177.unknown
*Derivadas parciales
Ejemplo
Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la funcin
f(x, y) = |x+y|=
calculndolas en su caso
Si x+y
0, existen ambas derivadas parciales, ya que al fijar una variable se obtiene un polinomio que siempre es derivable, siendo
fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0
fx(x, y) = -1, fy(x, y) = -1, si x+y
0
Queda por estudiar cuando el punto P(a, b) si x+y = 0, es decir, b = -a
P(a, -a)
, que no existe, ya que vale 1 o -1 segn que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.
, que no existe, ya que vale 1 o -1 segn que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.
Luego la funcin admite derivadas parciales en todos los puntos, salvo en la recta
x + y = 0.
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*Derivadas parciales
Ejercicio
Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la funcin:
_1187792329.unknown
*Derivadas parciales sucesivas
Al calcular las derivadas parciales de una funcin de dos variables se obtienen tambin funciones de dos variables, a las que se les puede calcular sus derivadas parciales, a las que llamamos derivadas parciales segundas. Este proceso puede seguir obtenindose las derivadas sucesivas (o de orden superior). Las notaciones mas usuales son:
Derivadas parciales segundas:
1) derivando dos veces respecto de x
2) derivando dos veces respecto d
e y
3) derivando primero respecto de x y luego respecto de y
4) derivando primero respecto de y y luego respecto de x
En las dos notaciones utilizadas se deriva primero respecto a la variable ms cercana a f.
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_1194882306.unknown
_1187848272.unknown
*Derivadas parciales sucesivas
Ejemplo
Calcular las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) =
_1187847802.unknown
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*Derivadas parciales sucesivas
Ejercicio
Calcular las derivadas parciales segundas de:
.
_1194943357.unknown
*Derivadas parciales sucesivas
En el ltimo ejemplo se verificaba que
, igualdad que en general no es cierta, aunque si lo ser para la mayora de funciones que manejemos.
Una condicin suficiente para que
, la da el:
Teorema (de Schwarz, sobre la permutabilidad de orden de derivacin)
Si f est definida en un entorno U de (a, b), y si existen las derivadas parciales fx, fy, fxy en el mismo U, siendo tambin fxy continua en (a, b) , entonces existe fyx(a, b) y se cumple
.
Para ms de dos variables el concepto de derivada parcial es anlogo. Veamos un ejemplo para tres variables
Ejemplo
Calcular la derivadas parciales primeras de
f(x, y, z) = x2+y2+z2+exyz
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_1187852255.unknown
_1187849956.unknown
*Diferenciabilidad
Diferenciabilidad. Diferencial.
Recordemos el concepto para una funcin de una variable:
Sea y = f(x),una tal funcin, y a un punto de su dominio, se quiere establecer una relacin entre el incremento de la variable x, al tomar valores prximos a a, y que representamos por
= x-a, con el correspondiente incremento de la funcin , y que simbolizamos por
.
Supongamos que f est definida en un cierto intervalo I, si a es un punto fijo de I, decimos que f es diferenciable en a, si su incremento en a, es decir, si
,
se puede escribir en la forma:
.
Si esto se verifica, entonces se llama diferencial de f en a, a la funcin de
, que representamos por
, y que abreviadamente ponemos
. Luego se tiene:
, donde
siendo o(
) un infinitsimo de orden superior a
cuando
EMBED Equation.DSMT4 .
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*Diferenciabilidad
Ejemplo
Comprobar que la funcin f(x) = x2+3x-1 es diferenciable en cualquier punto x = a.
Calculemos el incremento de la funcin en dicho punto:
Luego se cumple la definicin de diferenciabilidad tomando k = 2a+3,
.
Ntese que k = f(a), veremos que esto es un resultado cierto en general.
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*Diferenciabilidad
Para una funcin de una variable los conceptos de diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes. Precisando, se verifica el:
Teorema
La funcin f es derivable en a si y solo si es diferenciable en a.
Demostrmoslo en un sentido:
Suponiendo que f es derivable en a
existe
es un infinitsimo para
EMBED Equation.DSMT4 , luego
, por tanto f es diferenciable en a, siendo k = f(a).
En sentido contrario la demostracin es anloga.
Si consideramos la funcin y = x
, por lo que la diferencial de f se suele escribir dy = f(a)dx,
, que es otra notacin para la derivada.
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*Interpretacin geometrica de la diferencial
a
a+
P
M
N
Q
f(a)
f(a+ Dx)
a
tg a = f(a) =
MN = f(a)PM = f(a)dx = dy
y = f(x)
dy
Dy = MQ
y
x
*Diferenciabilidad
Ejemplo
Calcular la diferencial de f(x) = x3-x2, en un punto arbitrario x, y luego en el punto x = 1:
Se tiene f(x) = 3x2-2x, luego dy = (3x2-2x)dx.
Tomando x = 1
dy = dx.
Ejercicio
Estudiar la diferenciabilidad de la funcin f(x) = log (x2+x), calculando su diferencial para todos los valores posibles.
_1188048846.unknown
*Diferenciabilidad
Estudiemos ahora la diferenciabilidad para una funcin de dos variables.
Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto P(a , b); si incrementamos la abscisa en
, y la ordenada en
, se obtiene el punto Q(a +
, b +
), a la diferencia entre el valor de la funcin en Q y el valor de la funcin en P le llamamos incremento de la funcin al pasar del punto P al Q, que puede ser positivo o negativo y que representamos por
.
Se quiere establecer una relacin entre los incrementos de las variables x, y en los valores a y b, con el incremento de la funcin.
Si P y Q pertenecen al dominio de f, la funcin se dice diferenciable en P(a, b), si existen dos nmeros M y N, tales que
siendo
, dos funciones de las variables
e
, e infinitsimos cuando
(
,
)
, es decir se cumple
EMBED Equation.DSMT4 0
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_1188051121.unknown
_1188051484.unknown
_1188051652.unknown
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_1188049306.unknown
*Diferenciabilidad
Se puede demostrar que la anterior definicin de diferenciabilidad es equivalente a esta otra:
La funcin se dice diferenciable en P(a, b), si existen dos nmeros M y N, tales que
siendo
, funcin de las variables
e
, e infinitsimo cuando (
,
)
,
es decir se cumple
0
En el caso en que f sea diferenciable en (a, b), se llama diferencial de f en el punto (a, b) a la funcin lineal respecto de las variables
e
:
, que se designa as: dz =
.
_1188049471.unknown
_1188052504.unknown
_1188052951.unknown
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_1188052696.unknown
_1188051403.unknown
_1188049306.unknown
*Diferenciabilidad
Ejemplo
Dada la funcin z = f(x, y) = x2-xy+y, y el punto (a, b), calculemos su incremento, para incrementos
e
de a y b:
=
=
=
=
.
Como
,
luego
=
, siendo
, y
,
cumplindose que:
EMBED Equation.DSMT4 0.
Como consecuencia se cumple la definicin de diferenciabilidad en el punto (a, b), poniendo M = fx(a, b) y N = fy(a, b). Las relaciones obtenidas en el ejemplo, para M y N, son ciertas en general, aunque el procedimiento aqu empleado, de clculo directo, se hace complicado en la mayora de los casos.
_1188051484.unknown
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_1188049306.unknown
*Diferenciabilidad
Se verifica el siguiente:
Teorema
Si f es diferenciable en (a, b) y
es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales zx(a, b), zy(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:
M = zx(a, b), N = zy(a, b)
Considerando la funcin z = x
.
Anlogamente si z = y
.
Por lo tanto dz se puede escribir en la forma
dz =
_1188102727.unknown
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_1188103224.unknown
_1188102186.unknown
*Diferenciabilidad
Ejercicio
Obtener la diferencial de la funcin z = f(x, y) = x2y2+xy-3y en el punto (a, b), por dos procedimientos:
1) Aplicando la frmula anterior.
2) Calculando el incremento de la funcin
*Diferenciabilidad
Como en el caso de una variable: diferenciabilidad implica continuidad.
Teorema
Si f es diferenciable en (a, b) entonces es continua en (a, b).
Para una variable los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad son equivalentes.
Para ms de una variable esto, en general no es cierto.
*Diferenciabilidad
Ejemplo
La funcin
Estudiemos sus derivadas parciales en (0, 0)
Luego las dos derivadas parciales existen y valen 0. Que ocurre para el resto de los puntos ?
Estudiemos la continuidad en (0, 0):
Como los lmites direccionales calculados dependen de m, se deduce que no existe el lmite en el origen, luego la funcin no es continua en (0, 0).
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_1188104890.unknown
*Diferenciabilidad
Ejemplo
La funcin
es continua en R2 (por qu ?)
Estudiemos la diferenciabilidad en (0, 0).
Calculamos las derivadas parciales
Si fuese diferenciable se tendria
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Comprobemos si
es un infinitsimo
, este lmite no existe (ya visto en un ejemplo anterior, poniendo x ,y en lugar de
).
Luego
no es un infinitsimo y, por lo tanto la funcin no es diferenciable.
EMBED Equation.DSMT4
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_1188109457.unknown
_1188111491.unknown
_1194883393.unknown
_1194883413.unknown
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_1188111107.unknown
_1188109267.unknown
_1188108595.unknown
_1188108921.unknown
_1188108107.unknown
*Diferenciabilidad
Con estos ejemplos se ha comprobado que la continuidad o la existencia de derivadas parciales no son condiciones suficientes para la diferenciabilidad (aunque los resultados tericos confirman que si son condiciones necesarias).
Ejemplo
Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en el origen de la funcin
Estudiemos la existencia de derivadas parciales
Por existir las derivadas parciales es posible que sea diferenciable. Intentamos demostrarlo aplicando la definicin. Despejando
de la condicin de diferenciabilidad
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_1188113534.unknown
*Diferenciabilidad
EMBED Equation.DSMT4 =
, para ver si existe este lmite calculemos los lmites segn las direcciones
Se tiene evidentemente
.
El otro lmite es una indeterminacin de la forma
, para calcularlo, y como interviene un valor absoluto, se debe estudiar, por separado, a la izquierda y a la derecha de 0.
, analogamente se obtendra el mismo resultado para
, luego los lmites direccionales existen y valen todos 0, por tanto es posible que el lmite que estudiamos valga 0.
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_1188139085.unknown
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*Diferenciabilidad
Intentemos probarlo aplicando el criterio de la funcin mayorante, para lo cual pasamos a polares
, llamando F(
) =
, queda por probar que
.
Se ha probado que
es un infinitsimo, por tanto la funcin estudiada es diferenciable en el origen y, como consecuencia continua en el mismo punto.
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*Diferenciabilidad
Ejercicio
Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la funcin:
_1188228015.unknown
*Condicin suficiente de diferenciabilidad
El comprobar la diferenciabilidad de una funcin a partir de la definicin es, en general, complicado, sin embargo existen condiciones suficientes que garantizan la diferenciabilidad y pueden simplificar el trabajo. La ms usual la da el siguiente
Teorema
Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto (a, b) y, al menos una de sus derivadas parciales: zx o zy es continua en (a, b), entonces la funcin es diferenciable en (a,b)
*Condicin suficiente de diferenciabilidad
Ejemplo.
Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en cualquier punto de la funcin
En el ejemplo anterior se comprob que esta funcin es diferenciable en (0, 0).
Para los puntos (x, y) distintos del (0, 0), se pueden calcular las derivadas parciales utilizando las formulas de derivacin para una variable, pues al fijar una variable resulta una funcin de una variable que es derivable por estar compuesta de funciones derivables.
Estas derivadas parciales son continuas para cualquier (x, y)
(0, 0), por estar compuestas de funciones continuas.
Concluimos que la funcin estudiada es diferenciable en todo punto de R2 y, por lo tanto continua en R2.
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_1188230849.unknown
_1188231044.unknown
_1188113534.unknown
*Plano tangente y diferenciabilidad
Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale a la existencia de recta tangente en el mismo punto.
Veremos que para dos variables, la diferenciabilidad en un punto, equivale a la existencia de plano tangente, a la superficie que representa la funcin, en el mismo punto.
En general, la existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia de plano tangente.
Se tiene el siguiente resultado fundamental:
Teorema
La superficie z = f(x, y) admite plano tangente en el punto P(a, b, f(a, b)) si y solo si la funcin f es diferenciable en el punto (a, b), y en este caso su ecuacin es
fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) (z f(a, b)) = 0
*Plano tangente y diferenciabilidad
Supongamos ahora que f es diferenciable en el punto P(a, b), y llamemos
x = a+
x, y = b+
y, c = f(a, b) por lo que debe verificarse, por definicin de diferenciabilidad:
f(x,y) = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) +
El plano que tiene por ecuacin z = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) , tiene la propiedad de que la diferencia entre la z de la funcin y la z del plano es un infinitsimo de orden superior a
cuando (
x,
y)
(0, 0), ya que se tiene
f(x,y) ( c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)) =
luego z(de la funcin)-z(del plano) =
, adems se cumple:
, siendo
, con lo que se prueba lo afirmado anteriormente.
El plano considerado antes es el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a ,b, f(a, b)), y la condicin que verifica se toma como definicin de plano tangente a una superficie en un punto.
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*Interpretacin geomtrica de la diferencial
P
(a, b)
M
N
Q
(x, y)
MN = z( del plano) - f(a, b) = fx(a, b)(x-a) + fy(a, b)(y-b)=dz
dz
z
x
y
z = f(x, y)
MQ = Dz
*Regla de la cadena
Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la funcin compuesta para funciones de dos variables.
Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(t), y = h(t).
Teorema
Sea z = f(x, y) diferenciable en (x, y). Si x = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t, entonces f es derivable en t, y su derivada es
z(t) = zxx(t) + zyy(t).
Ejemplo
Siendo z = xy2 x2, con x = cos t, y = sen t verificamos el resultado anterior calculando z(t) de dos formas distintas: directamente sustituyendo x, y en funcin de t y, aplicando el teorema anterior:
z = cos t sen2 t cos2 t
z = -sen t sen2 t + 2cos t cos t sen t + 2sen t cos t =
= -sen3 t + 2cos2 t sen t + 2sen t cos t
z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 2x)(- sen t) + 2xy cos t = (sen2 t 2 cos t)(- sen t) +
+ 2 cos2 t sen t, que coincide con el resultado anterior.
_1189572384.unknown
*Regla de la cadenaz = f(x, y), x = g(t), y = h(t). z(t) = zxx(t) + zyy(t)
z
zx
zy
x
y
t
t
x(t)
y(t)
*Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)):
Teorema
Si f es diferenciable en (x, y), existen las derivadas parciales xu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y se verifica:
zu = zxxu + zyyu
zv = zxxv + zyyv
Para funciones de mas de dos variables se obtienen resultados anlogos.
Ejercicio
Siendo
, x = u + v, y = u-v, calcular zu, zv de dos formas distintas:
a) Sustituyendo x e y en funcin de u y v.
b) Aplicando el teorema anterior.
_1189574168.unknown
*Regla de la cadena z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)) zu = zxxu + zyyu zv = zxxv + zyyv
x
y
z
zx
zy
u
v
u
v
xu
xv
yu
yv
*Derivacin en forma implicita
El modo de escribir la funcin de dos variables, hasta ahora, ha sido z = f(x, y), y decimos que z est dada en forma explicita, es decir, despejada en funcin de x, y.
Otra forma, mas general, de definir z como funcin de x, y es F(x, y, z) = 0, que se llama forma implcita de definir z como funcin de x, y (la z no est despejada).
El pasar de la forma explicita a la implcita es inmediato:
z = f(x, y)
z f(x, y) = 0, llamando F(x, y, z) = z f(x, y)
F(x, y, z) = 0
El pasar de la forma implcita a la explicita, en general, es mas complicado, y a veces, es imposible como se ve con el ejemplo z5x2 + z3y sen xy = 0.
_1189576050.unknown
*Derivacin en forma implicita
Supongamos que z est definida implcitamente como funcin de x e y:
F(x, y, z) = 0, considerando F como una funcin de tres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la igualdad F(x, y, z) = 0 , se obtiene:
derivando respecto de x :
Fxxx+Fyyx+Fzzx = 0, siendo xx=1, yx=0
derivando respecto de y :
Fxxy+Fyyy+Fzzy = 0, siendo yy=1, xy=0
Ejemplo
Siendo z3sen x + zexy xy = 0, obtener zx, zy aplicando el resultado anterior.
En este caso F(x, y, z) = z3sen x + zexy xy, luego
Fx = z3cos x + zyexy y, Fy = zxexy x, Fz = 3z2sen x + exy.
Por lo que sustituyendo queda:
,
_1189577782.unknown
_1195840764.unknown
_1195840793.unknown
_1189577529.unknown
*Derivacin en forma implicita
Ejercicio
Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zy derivando directamente la igualdad z3sen x + zexy xy = 0 , y considerando que z es funcin de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide con el anterior.
*Derivacin en forma implicita
Como otra aplicacin de la derivacin implcita, obtengamos la ecuacin de plano tangente a al superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, c) cuando esta viene dada en forma implcita F(x, y, z) = 0.
Se obtuvo que esta es:
zx(a, b)(x-a)+zy(a, b)(y-b)-(z-c) = 0
y siendo
,
sustituyendo queda:
Luego la recta normal en el punto P(a, b, c) tiene como vector director
(Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)), por lo que su ecuacin en forma paramtrica es
_1189577782.unknown
_1189580925.unknown
_1189606551.unknown
_1189577529.unknown
*Derivacin en forma implicita
Ejemplo
Obtener la ecuacin del plano tangente y de la normal a la superficie
, en el punto P(2, 2, 1).
En este caso es F(x, y, z) =
, calculamos las derivadas parciales:
.
Tomando valores en P:
.
Como consecuencia la ecuacin del plano tangente en P es
4log2(x-2)+4log2(y-2)-16log2(z-1) = 0
x-2+y-2-4z+4 = 0
x+y-4z = 0.
La ecuacin de la recta normal es
_1189607202.unknown
_1189607952.unknown
_1189609836.unknown
_1189609914.unknown
_1189609772.unknown
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_1189606973.unknown
*Derivacin en forma implcita
Ejercicio
Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
z2+4z+x2 = 0, en los puntos de interseccin con el eje OZ.
*Derivada segn un vector
Estudiemos ahora un concepto ms general que el de derivada parcial: la derivada segn un vector.
Al definir la derivada parcial en un punto una coordenada permanece fija y la otra vara siguiendo la direccin de uno de los ejes coordenados, con el nuevo concepto podrn variar las dos coordenadas siguiendo una direccin arbitraria.
Consideremos la funcin z = f(x, y), cuyo dominio es una regin abierta y P(a, b) un punto de su dominio.
Sea
EMBED Equation.DSMT4 , un vector arbitrario no nulo, se define la derivada segn el vector
, en el punto (a, b), de la funcin f, como el siguiente lmite, si existe y es finito
Ntese que Q(a+hu1, b+hu2) es un punto de la recta que pasa por el punto P, y tiene como direccin el vector
.
_1189697753.unknown
_1190005515.unknown
_1189697258.unknown
*Derivada segn un vector
Ejemplo
Obtener la derivada de z = f(x, y) = x+2xy-3y2 en el punto (1, 2) segn el vector (-1, 1).
Sustituyendo queda
.
_1190004837.unknown
_1190004929.unknown
_1196001821.unknown
_1190004652.unknown
*Derivada direccional
En el caso en que
sea unitario, |
|=1, la derivada se llama direccional, y tiene particular inters terico.
Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales:
fx se obtiene tomando
= (1, 0).
fy se obtiene tomando
= (0, 1).
Para dar un significado geomtrico a la derivada direccional, definimos primero el concepto de pendiente en un punto de una superficie segn la direccin definida por un vector unitario
.
_1189697258.unknown
*Interpretacin geomtrica de la derivada direccional
P
Q
M
N
A
Plano
z = f(x, y)
*Interpretacin geomtrica de la derivada direccional
Consideremos la superficie z = f(x, y), P(a, b) un punto del dominio de f y
un vector unitario; tomemos un plano vertical ( que pase por P y sea paralelo a
, que cortar a la superficie en una curva C, que contendr al punto M(a, b, f(a, b)) cuya proyeccin sobre el plano OXY es P; entonces definimos la pendiente en el punto M, segn la direccin
, como la pendiente de la curva C en M, es decir como la pendiente de la tangente a la curva en M segn la direccin
.
El plano ( corta al plano OXY segn una recta r cuyas ecuaciones paramtricas son:
Si Q es un punto arbitrario de la recta r tendr la forma Q(a+tu1, b+tu2), que es la proyeccin del punto N(a+tu1, b+tu2, f(a+tu1, b+tu2)) de la superficie sobre el plano OXY. La recta MN es una secante a la curva C, cuya pendiente segn la direccin
es:
_1189954136.unknown
_1192202191.unknown
_1189697258.unknown
*Interpretacin geometrica de la derivada direccional
Cuando t tiende a 0, el punto N tiende al punto M, por lo que la secante tiende a la recta tangente en M, que tiene por pendiente, segn la direccin
:
, que es precisamente la derivada direccional de la funcin f, en el punto P(a, b), segn el vector
.
La expresin
se puede interpretar como el cociente entre el incremento de la funcin f al pasar del punto P al punto Q, y la distancia entre dichos puntos; que tambin se suele expresar como la razn del cambio de la funcin respecto a la distancia entre los puntos; por este motivo a la derivada direccional se le llama tambin razn o ritmo instantneo del cambio.
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_1189956153.unknown
_1192291621.unknown
_1189697258.unknown
*Derivada direccional
Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa para calcular la derivada direccional, pues se verifica el:
Teorema
Si f es diferenciable en (a,b) y
=
un vector unitario cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto (a, b) segn el vector
y se verifica
El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el clculo de la derivada direccional a partir de las derivadas parciales.
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_1190177823.unknown
_1190178576.unknown
_1190005896.unknown
*Derivada direccional
Comprobemos el resultado anterior con un:
Ejemplo
Obtener la derivada direccional de
en el punto (1, 0) segn la direccin (1, 1), aplicando la definicin. Estudiar si es posible la aplicacin del teorema anterior, aplicndolo en su caso.
Como el vector (1, 1) no es unitario, hay que covertirlo en unitario conservando el sentido y la direccin, es decir, hay que dividirlo por su mdulo: |(1, 1)| =
,obtenindose
=
.
Apliquemos la definicin
_1190007257.unknown
_1190008955.unknown
_1190011642.unknown
_1190007765.unknown
_1190005896.unknown
*Derivada direccional
Las derivadas parciales de
son:
que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador en el punto; luego f es diferenciable en (1, 0).
Se puede aplicar, por tanto, el teorema anterior:
.
_1190011767.unknown
_1190012047.unknown
_1190007257.unknown
*Derivada direccional
Ejercicio
Estudiar la existencia de derivadas direccionales en el punto (0, 0), en los casos:
a)
b)
_1190177100.unknown
_1192250192.unknown
*Derivada direccionalVector gradiente
Segn el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tiene infinitas derivadas direccionales en (a, b), es decir, una derivada direccional para cada vector unitario
= (u1, u2), y su valor es
, que se puede escribir como un producto escalar de dos vectores:
.
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y se simboliza por
=
.
Por lo tanto se verifica el siguiente:
Teorema
Si f es diferenciable en (x, y), y
= (u1, u2) es un vector unitario cualquiera, entonces
_1190177836.unknown
_1190178917.unknown
_1190178944.unknown
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*Derivada direccional
Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario
, se obtienen valores distintos para la derivada direccional, verificndose el siguiente
Teorema
Si f es una funcin, diferenciable en (a,b), entonces:
1) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mximo en la direccin del gradiente, siendo su valor
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
2) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mnimo en la direccin opuesta a la del gradiente, siendo su valor -
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
La demostracin se basa en la expresin del producto escalar de dos vectores como el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman, y se propone como ejercicio.
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_1191991675.unknown
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*Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de mximo ritmo de crecimiento y de decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funcin f(x, y) = x2+y2-3, en el punto P(1, 2).
Calculemos el gradiente en el punto P:
fx = 2x, fy = 2y
EMBED Equation.DSMT4
Lo que se pide son las direcciones donde la derivada direccional toma los valores mximos o mnimos.
Luego para el valor mximo se tiene
EMBED Equation.DSMT4 , siendo el valor mximo en esta direccin
EMBED Equation.DSMT4 .
La direccin de mayor ritmo de decrecimiento ser la opuesta, es decir
, siendo su valor -
.
_1191994602.unknown
_1191994853.unknown
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_1191994931.unknown
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_1191993612.unknown
_1191991843.unknown
*Frmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la frmula de Taylor para funciones de dos variables.
Se verifica el siguiente
Teorema
Sea z = f(x, y) definida en un entorno de P(a, b), con derivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno y, existiendo todas las derivadas parciales de orden n+1 en dicho entorno. Entonces f(x, y) se puede escribir en la forma
f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (frmula de Taylor)
siendo Pn(x, y) un polinomio de grado n en (x-a) e (y-b). Rn(x, y) representa un infinitsimo de orden superior a
cuando (x, y)
(a, b).
La expresin concreta de Pn(x, y) es
donde las potencias se entienden de manera simblica, es decir, al actuar el exponente sobre los smbolos de derivada parcial representarn derivacin sucesiva, y al actuar sobre (x-a) o (y-b) representarn potencias.
_1192078281.unknown
_1192079876.unknown
_1192078118.unknown
*Frmula de Taylor para funciones de dos variables
Aclaremos esto obteniendo Pn(x, y) para algunos valores de n:
n = 1, P1(x,y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)
n = 2, P2(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+
((x-a)2fxx(a, b)+
+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))
n = 3, P3(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+
((x-a)2fxx(a, b)+
+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))+
((x-a)3fxxx(a, b)+3(x-a)2(y-b)fxxy(a, b)+
+3(x-a)(y-b)2fxyy(a, b)+(y-b)3fyyy(a, b)).
Pn(x, y) recibe el nombre de polinomio de Taylor de la funcin f, de grado n, en el punto (a, b).
Cuando a=b=0, la frmula de Taylor se llama de McLaurin.
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_1196091231.unknown
_1196091054.unknown
*Frmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener la frmula de McLaurin de orden dos para la funcin f(x, y) = excos y.
En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadas parciales primeras y segundas:
fx(x, y) = excos y, fy(x, y) = -exsen y, fxx(x, y) = excos y, fyy(x, y) = -excos y
fxy(x, y) = -exsen y. Sus valores en el punto (0, 0) son:
fx(0, 0) = 1, fy(0,0) = 0, fxx(0, 0) = 1, fyy(0, 0) = -1, fxy(0, 0) = 0, f(0, 0) = 1.
Por lo tanto
excos y = 1+x+
(x2-y2)+R2(x, y)
donde R2(x, y) es un infinitsimo de orden superior a
, para
(x, y)
(a, b).
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_1192109955.unknown
*Frmula de Taylor para funciones de dos variables
Ejemplo
Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la funcin f(x, y) = yx, en un entorno del punto (1,1).
Calculemos las derivadas parciales de primer y segundo orden.
Sus valores en el punto (1, 1) son
.Adems f(1,1) = 1 .
Luego se tiene
Donde R2(x, y) es un infinitsimo de orden superior a
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_1196005589.unknown
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DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASRegla de la Cadena.-Sea z = f(x,y) es una funcin diferenciable de x e y.Adems: x = g(t) e y = h(t) ; ambas funciones diferenciables en t. Entonces: Si fuera el caso: x = g(s,t) e y = h(s,t). Entonces:
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASEn Forma General:Suponga que u es una funcin diferenciable de las n variables x1, x2,, xn y que cada xj es una funcin diferenciables de las m variables t1, t2,,tm. Entonces u es una funcin diferenciable de t1, t2, , tm.
DERIVACIN IMPLICITASea la funcin z =f(x, y); diferenciable en x e y, el cual es expresado implcitamente como una ecuacin: F(x,y,z)=0. Entonces por la regla de la cadena:peroentoncesSiempre que F/z0 Luego tenemos que:
GRADIENTE DE UNA FUNCIN
Sea f: D c Rn R una funcin definida en un conjunto abierto D tal que:
Entonces se define el VECTOR GRADIENTE de f en el punto P, como:
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_1452280576.unknown
_1190178944.unknown
_1190177836.unknown
_1190178791.unknown
_1190006275.unknown
GRADIENTExyz
*Plano tangente y recta normal
Plano tangenteen P(a, b, f(a, b))
x = a
y = b
Recta normal
P(a, b, f(a, b))
*Derivada direccional
En el caso en que
sea unitario, |
|=1, la derivada se llama direccional, y tiene particular inters terico.
Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales:
fx se obtiene tomando
= (1, 0).
fy se obtiene tomando
= (0, 1).
Para dar un significado geomtrico a la derivada direccional, definimos primero el concepto de pendiente en un punto de una superficie segn la direccin definida por un vector unitario
.
_1189697258.unknown
*Interpretacin geomtrica de la derivada direccional
P
Q
M
N
A
Plano
z = f(x, y)
*Interpretacin geomtrica de la derivada direccional
Consideremos la superficie z = f(x, y), P(a, b) un punto del dominio de f y
un vector unitario; tomemos un plano vertical ( que pase por P y sea paralelo a
, que cortar a la superficie en una curva C, que contendr al punto M(a, b, f(a, b)) cuya proyeccin sobre el plano OXY es P; entonces definimos la pendiente en el punto M, segn la direccin
, como la pendiente de la curva C en M, es decir como la pendiente de la tangente a la curva en M segn la direccin
.
El plano ( corta al plano OXY segn una recta r cuyas ecuaciones paramtricas son:
Si Q es un punto arbitrario de la recta r tendr la forma Q(a+tu1, b+tu2), que es la proyeccin del punto N(a+tu1, b+tu2, f(a+tu1, b+tu2)) de la superficie sobre el plano OXY. La recta MN es una secante a la curva C, cuya pendiente segn la direccin
es:
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_1192202191.unknown
_1189697258.unknown
*Interpretacin geometrica de la derivada direccional
Cuando t tiende a 0, el punto N tiende al punto M, por lo que la secante tiende a la recta tangente en M, que tiene por pendiente, segn la direccin
:
, que es precisamente la derivada direccional de la funcin f, en el punto P(a, b), segn el vector
.
La expresin
se puede interpretar como el cociente entre el incremento de la funcin f al pasar del punto P al punto Q, y la distancia entre dichos puntos; que tambin se suele expresar como la razn del cambio de la funcin respecto a la distancia entre los puntos; por este motivo a la derivada direccional se le llama tambin razn o ritmo instantneo del cambio.
_1189954490.unknown
_1189956153.unknown
_1192291621.unknown
_1189697258.unknown
*Derivada direccional
Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa para calcular la derivada direccional, pues se verifica el:
Teorema
Si f es diferenciable en (a,b) y
=
un vector unitario cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto (a, b) segn el vector
y se verifica
El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el clculo de la derivada direccional a partir de las derivadas parciales.
_1190006304.unknown
_1190177823.unknown
_1190178576.unknown
_1190005896.unknown
*Derivada direccional
Comprobemos el resultado anterior con un:
Ejemplo
Obtener la derivada direccional de
en el punto (1, 0) segn la direccin (1, 1), aplicando la definicin. Estudiar si es posible la aplicacin del teorema anterior, aplicndolo en su caso.
Como el vector (1, 1) no es unitario, hay que covertirlo en unitario conservando el sentido y la direccin, es decir, hay que dividirlo por su mdulo: |(1, 1)| =
,obtenindose
=
.
Apliquemos la definicin
_1190007257.unknown
_1190008955.unknown
_1190011642.unknown
_1190007765.unknown
_1190005896.unknown
*Derivada direccional
Las derivadas parciales de
son:
que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador en el punto; luego f es diferenciable en (1, 0).
Se puede aplicar, por tanto, el teorema anterior:
.
_1190011767.unknown
_1190012047.unknown
_1190007257.unknown
*Derivada direccional
Ejercicio
Estudiar la existencia de derivadas direccionales en el punto (0, 0), en los casos:
a)
b)
_1190177100.unknown
_1192250192.unknown
*Derivada direccionalVector gradiente
Segn el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tiene infinitas derivadas direccionales en (a, b), es decir, una derivada direccional para cada vector unitario
= (u1, u2), y su valor es
, que se puede escribir como un producto escalar de dos vectores:
.
Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y se simboliza por
=
.
Por lo tanto se verifica el siguiente:
Teorema
Si f es diferenciable en (x, y), y
= (u1, u2) es un vector unitario cualquiera, entonces
_1190177836.unknown
_1190178917.unknown
_1190178944.unknown
_1190179540.unknown
_1190178791.unknown
_1190006275.unknown
*Derivada direccional
Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario
, se obtienen valores distintos para la derivada direccional, verificndose el siguiente
Teorema
Si f es una funcin, diferenciable en (a,b), entonces:
1) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mximo en la direccin del gradiente, siendo su valor
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
2) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mnimo en la direccin opuesta a la del gradiente, siendo su valor -
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
La demostracin se basa en la expresin del producto escalar de dos vectores como el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman, y se propone como ejercicio.
_1191991475.unknown
_1191991843.unknown
_1191992131.unknown
_1191991675.unknown
_1191990748.unknown
*Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de mximo ritmo de crecimiento y de decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funcin f(x, y) = x2+y2-3, en el punto P(1, 2).
Calculemos el gradiente en el punto P:
fx = 2x, fy = 2y
EMBED Equation.DSMT4
Lo que se pide son las direcciones donde la derivada direccional toma los valores mximos o mnimos.
Luego para el valor mximo se tiene
EMBED Equation.DSMT4 , siendo el valor mximo en esta direccin
EMBED Equation.DSMT4 .
La direccin de mayor ritmo de decrecimiento ser la opuesta, es decir
, siendo su valor -
.
_1191994602.unknown
_1191994853.unknown
_1191994918.unknown
_1191994931.unknown
_1191994800.unknown
_1191993352.unknown
_1191993612.unknown
_1191991843.unknown
*Frmula de Taylor para funciones de dos variables
Estudiemos ahora la frmula de Taylor para funciones de dos variables.
Se verifica el siguiente
Teorema
Sea z = f(x, y) definida en un entorno de P(a, b), con derivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno y, existiendo todas las derivadas parciales de orden n+1 en dicho entorno. Entonces f(x, y) se puede escribir en la forma
f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (frmula de Taylor)
siendo Pn(x, y) un polinomio de grado n en (x-a) e (y-b). Rn(x, y) representa un infinitsimo de orden superior a
cuando (x, y)
(a, b).
La expresin concreta de Pn(x, y) es
donde las potencias se entienden de manera simblica, es decir, al actuar el exponente sobre los smbolos de derivada parcial representarn derivacin sucesiva, y al actuar sobre (x-a) o (y-b) representarn potencias.
_1192078281.unknown
_1192079876.unknown
_1192078118.unknown
*Derivada direccional
Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario
, se obtienen valores distintos para la derivada direccional, verificndose el siguiente
Teorema
Si f es una funcin, diferenciable en (a,b), entonces:
1) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mximo en la direccin del gradiente, siendo su valor
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
2) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mnimo en la direccin opuesta a la del gradiente, siendo su valor -
, y el vector
EMBED Equation.DSMT4 .
La demostracin se basa en la expresin del producto escalar de dos vectores como el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman, y se propone como ejercicio.
_1191991475.unknown
_1191991843.unknown
_1191992131.unknown
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*Derivada direccional
Ejemplo
Obtener las direcciones de mximo ritmo de crecimiento y de decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funcin f(x, y) = x2+y2-3, en el punto P(1, 2).
Calculemos el gradiente en el punto P:
fx = 2x, fy = 2y
EMBED Equation.DSMT4
Lo que se pide son las direcciones donde la derivada direccional toma los valores mximos o mnimos.
Luego para el valor mximo se tiene
EMBED Equation.DSMT4 , siendo el valor mximo en esta direccin
EMBED Equation.DSMT4 .
La direccin de mayor ritmo de decrecimiento ser la opuesta, es decir
, siendo su valor -
.
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_1191994931.unknown
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_1191993352.unknown
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_1191991843.unknown
DERIVADAS PARCIALESDerivadas direccionales y su vector gradienteDerivas parciales en la direccin en x y y.Derivas parciales en la direccin de u.
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALESMaximizacin de la derivada direccionalTeorema: Suponga que f es una funcin diferenciable de dos o tres variables. El valor mximo de la derivada direccional Duf(x) es y se presenta cuando u tiene la misma direccin que el vector gradiente Demostracin:El valor mximo de cos es 1 y sucede cuando =0. Por lo tanto, el valor mximo de Duf(x) es y se presenta cuando =0, es decir cuando u tiene la misma direccin de .
DERIVADAS PARCIALESPlanos tangentes a superficies de nivelSuponga que S es una superficie cuya ecuacin es F(x,y,z) = k, es decir una superficie de nivel de una funcin F de tres variables, y sea P(x0,y0,z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie de S y pasa por el punto P. Recuerde que la curva C se describe mediante una funcin vectorial r(t) = . Sea t0 el valor del parmetro que corresponde a P; es decir r(t0) = . Puesto que C est en S, cualquier punto (x(t),y(t),z(t)) debe cumplir con la ecuacin de S, es decir
Si x,y,z son funciones diferenciables de t y F es tambin diferenciable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la anterior ecuacin, dando:
DERIVADAS PARCIALESPero como entonces se puede escribir
En particular, cuando t = t0 se tiene de modo que
Esta ecuacin establece que el vector gradiente en P, es perpendicular al vector tangente a cualquier curva C en S que pasa por P. Sies por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivelen como el plano que pasa por P y tiene vector normalPor lo que se puede escribir la ecuacin del plano tangente
DERIVADAS PARCIALESLa recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La direccin de la recta normal est definida por lo tanto por el vector gradiente y por lo tanto sus ecuaciones simtricas son
En el caso especial en el cual la ecuacin de la superficie S sea de la forma z =f(x,y); es decir , S es la grfica de una funcin f de dos variables, puede volverse a escribir la ecuacin como
y considerar a S como una superficie de nivel F con k = 0. Entonces
y su ecuacin del plano sera
DERIVADAS PARCIALESImportancia del vector tangenteConsidere una funcin de tres variables y un punto en su dominio:El vector indica la direccin del incremento ms rpido en f.Se sabe que es ortogonal a la superficie de nivel S que pasa por P.
De manera similar para una funcin de dos variables y un punto : El vector indica la direccin del incremento ms rpido en f.Se sabe que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P.
DERIVADAS PARCIALESCampo de gradiente de la funcinCurvas de nivel
DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosUna funcin de dos variables tiene un mximo relativo en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) est cerca de (a,b). El nmero f(a,b) recibe el nombre de valor mximo relativo. Si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) est cerca de (a,b), entonces f(a,b) es un mnimo relativo en (a,b) y f(a,b) es un valor mnimo relativo.
Teorema: Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen all, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0.
DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosPrueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crtico de f. Sea
Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mnimo relativo.Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un mximo relativo.Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un mximo relativo ni un mnimo relativo.
DERIVADAS PARCIALESNota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la grfica de f cruza el plano tangente en (a,b).Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona informacin: f podra tener en (a,b) un mximo relativo o un mnimo relativo o podra ser un punto de silla.Nota 3: Para recordar la frmula de D es til escribirla como como un determinante
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimos absolutosUn conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos lmite o frontera. (Un punto lmite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y tambin puntos que no estn en D).Un conjunto acotado en R2 es aquel que est contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensin es finita.
Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor mximo absoluto f(x1,y1) y un valor mnimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).
DERIVADAS PARCIALESPara encontrar los mximos y mnimos absolutos de una funcin continua f en un conjunto D cerrado y acotado:Encontrar los valores crticos de f en D.Encontrar los valores extremos de f en los lmites de D.El valor ms grande de los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de estos valores es el mnimo absoluto.Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada
Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restriccin g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) est restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente comn en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas :
para un escalar .Multiplicadores de LagrangeDERIVADAS PARCIALESRevisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.
DERIVADAS PARCIALESMtodo de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores mximos y mnimos de f(x,y,z) sujeta a la restriccin g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:Determinar los valores de x,y,z y tal que
Evale f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El ms grande de estos valores es el valor mximo de f; el ms pequeo es el valor mnimo de f.
DERIVADAS PARCIALESMaximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restriccin 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).
Se tienen 4 ecuaciones con 4 incgnitas: x, y, z, .
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALESDos restricciones
DERIVACIN IMPLICITASuponga una ecuacin de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implcita como una funcin diferenciable de x, es decir, y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:Peros dx/dx = 1, de este modo si F/ y0 se obtiene
DERIVADA DIRECCIONALxyz
Interpretacin Geomtrica:
La derivada direccional de una superficie determinada por la funcin z= f(x, y) representa la pendiente de la recta tangente LT a la superficie en el punto P (x0, y0, z0) en una direccin arbitraria definida por el vector unitario u=(u1, u2).
Definicin Matemtica: La derivada direccional de f(x, y) en el punto P0 (x0, y0) en la direccin del vector unitario u=(u1, u2) est dada por:si el lmite existe.
Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la direccin de cualquier vector unitario u y:
Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la direccin del vector v = (1,2).
GRADIENTExyz
Teoremaa) El valor mximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la direccin f(x0,y0).b) La tasa mxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
Corolarioa) El valor mnimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la direccin de - f(x0,y0)b) La tasa mnima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .
DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosPrueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crtico de f. Sea
Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mnimo relativo.Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un mximo relativo.Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un mximo relativo ni un mnimo relativo.
DERIVADAS PARCIALESNota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la grfica de f cruza el plano tangente en (a,b).Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona informacin: f podra tener en (a,b) un mximo relativo o un mnimo relativo o podra ser un punto de silla.Nota 3: Para recordar la frmula de D es til escribirla como como un determinante
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimos absolutosUn conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos lmite o frontera. (Un punto lmite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y tambin puntos que no estn en D).Un conjunto acotado en R2 es aquel que est contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensin es finita.
Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor mximo absoluto f(x1,y1) y un valor mnimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).
DERIVADAS PARCIALESPara encontrar los mximos y mnimos absolutos de una funcin continua f en un conjunto D cerrado y acotado:Encontrar los valores crticos de f en D.Encontrar los valores extremos de f en los lmites de D.El valor ms grande de los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de estos valores es el mnimo absoluto.Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada
Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restriccin g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) est restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente comn en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas :
para un escalar .Multiplicadores de LagrangeDERIVADAS PARCIALESRevisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.
DERIVADAS PARCIALESMtodo de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores mximos y mnimos de f(x,y,z) sujeta a la restriccin g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:Determinar los valores de x,y,z y tal que
Evale f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El ms grande de estos valores es el valor mximo de f; el ms pequeo es el valor mnimo de f.
DERIVADAS PARCIALESMaximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restriccin 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).
Se tienen 4 ecuaciones con 4 incgnitas: x, y, z, .
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALESDos restricciones
Prof. Ing. Manuel Kurokawa Guerreros
OBJETIVOS:Conocer y aplicar la definicin de la integral doble como lmite de una suma de Riemann.Conocer y aplicar las propiedades de la integral doble. Saber determinar los lmites de integracin segn las regiones establecidas. Saber cambiar el orden de integracin para facilitar los clculos de estas integrales.
Repaso de la situacin en una variableSea f, funcin continua sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
Grficamente representa el rea bajo la grfica de f en [a,b]
El lmite o integral doble es el volumen del slido sobre la base R.
Cuando n crece, las sumas de Riemman se aproximan al volumen del slido
Lmites de integracinSecciones transversales verticales: La regin R est limitada por las grficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a x b , g1(x) y g2(x)
VOLUMEN =
Lmites de integracinSecciones transversales horizontales: La regin R est limitada por las grficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por R: c y d , h1(y) x h2(y)
O BIEN:VOLUMEN =
PROBLEMA 1Cambiar el orden de integracin de la siguiente integral doble:Punto de interseccin en x:
Cambiar el orden de integracin:Punto de interseccin en y:
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASRegla de la Cadena.-Sea z = f(x,y) es una funcin diferenciable de x e y.Adems: x = g(t) e y = h(t) ; ambas funciones diferenciables en t. Entonces: Si fuera el caso: x = g(s,t) e y = h(s,t). Entonces:
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASEn Forma General:Suponga que u es una funcin diferenciable de las n variables x1, x2,, xn y que cada xj es una funcin diferenciables de las m variables t1, t2,,tm. Entonces u es una funcin diferenciable de t1, t2, , tm.
DERIVACIN IMPLICITASea la funcin z =f(x, y); diferenciable en x e y, el cual es expresado implcitamente como una ecuacin: F(x,y,z)=0. Entonces por la regla de la cadena:peroentoncesSiempre que F/z0 Luego tenemos que:
GRADIENTE DE UNA FUNCIN
Sea f: D c Rn R una funcin definida en un conjunto abierto D tal que:
Entonces se define el VECTOR GRADIENTE de f en el punto P, como:
_1190178917.unknown
_1190179540.unknown
_1452280453.unknown
_1452280576.unknown
_1190178944.unknown
_1190177836.unknown
_1190178791.unknown
_1190006275.unknown
GRADIENTExyz
*Plano tangente y recta normal
Plano tangenteen P(a, b, f(a, b))
x = a
y = b
Recta normal
P(a, b, f(a, b))
DERIVADA DIRECCIONALxyz
Interpretacin Geomtrica:
La derivada direccional de una superficie determinada por la funcin z= f(x, y) representa la pendiente de la recta tangente LT a la superficie en el punto P (x0, y0, z0) en una direccin arbitraria definida por el vector unitario u=(u1, u2).
Definicin Matemtica: La derivada direccional de f(x, y) en el punto P0 (x0, y0) en la direccin del vector unitario u=(u1, u2) est dada por:si el lmite existe.
MXIMOS Y MNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definicin 1.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mximo absoluto en Po = (xo, yo) , si:
Definicin 2.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mnimo absoluto en Po = (xo, yo) , si:
Definicin 3.- Sea f: D c R2 R, continua en un conjunto cerrado y acotado D; entonces existe al menos un punto P D donde f tiene un valor mximo absoluto y al menos un punto Q D donde f tiene un valor mnimo absoluto.
_1190178917.unknown
_1190179540.unknown
_1452280576.unknown
_1452611627.unknown
_1452612574.unknown
_1452611508.unknown
_1452280453.unknown
_1190178944.unknown
_1190177836.unknown
_1190178791.unknown
_1190006275.unknown
Definicin 4.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mximo relativo en Po = (xo, yo) , si existe una bola abierta
B(Po, r) c D, tal que:
B(Po, r) : centro en Po y radio r
Definicin 5.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mnimo relativo en Po = (xo, yo) , si existe una bola abierta
B(Po, r) c D, tal que:
_1190178917.unknown
_1452280576.unknown
_1452611627.unknown
_1452613300.unknown
_1452613482.unknown
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TEOREMA .- (De los valores extremos)
Sea la funcin z = f(x, y); entonces si existe un valor extremo en Po (mximo o mnimo relativo) y las derivadas parciales en ese punto existen, entonces se cumple que:
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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea f: D c R2 R, una funcin definida en un conjunto abierto D, tal que sus primeras y segundas derivadas de f existan y sean continuas en un punto (a, b); tal que:
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Punto silla
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INTEGRALES DOBLES
Sea f: una funcin acotada en la regin cerrada R y sea
Si se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, entonces dividiremos a R en una particin de r rectngulos.
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DEFINICIN DE INTEGRAL DOBLE:La integral doble de f en R se define como el siguiente lmite de la suma de Riemann:
Luego definimos la suma de Riemann de la funcin f(x, y) asociada a la particin descrita como:
Geomtricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del slido bajo la superficie z = f(x,y) y que tiene como base la regin cerrada R.
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INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA INTEGRAL DOBLE.-La integral doble de una funcin en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x, y) y sobre la regin R que se encuentra en el plano z = 0. Nota.- Si f(x, y) = 1 ; para todo (x, y) R, entonces la integral doble representa el rea de la regin R.
Lmites de integracinCASO 1: Si D es un rectngulo D= { (x, y) /a x b; c y d } Sea f: D c R R una funcin continua sobre D
Lmites de integracinCASO 2.- D: a x b , g1(x) y g2(x)
Lmites de integracinCASO 3: D: c y d , h1(y) x h2(y)
Transformacin de coordenadas rectangulares a coordenadas polares:
La integral doble de f sobre la regin R, est dada por el valor comn de las dos integrales iteradas.
Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.Clculo de integrales dobles
Propiedades de la Integral Doble:
That is, where D is the projection of E onto the xy-plane.TYPE 1 REGIONEquation 5
REAS DE SUPERFICIES CURVAS Sea una funcin z = f(x, y) y sus derivadas parciales continuas en una regin cerrada D del plano XY, entonces el rea de la superficie S sobre D ser:SD
Si se busca el rea de la ecuacin de la superficie y = f(x, z) sobre el plano XOZ entonces: D : proyeccin del rea sobre el plano XZ
Anlogamente si la ecuacin de la superficie es x = f(y, z) sobre el plano YOZ el rea buscada ser: D : proyeccin del rea sobre el plano YZ
INTEGRALES TRIPLES
Sea f: una funcin acotada en la regin cerrada R y sea
Si se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, entonces dividiremos a R en una particin de r rectngulos.
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DEFINICIN DE INTEGRAL DOBLE:La integral doble de f en R se define como el siguiente lmite de la suma de Riemann:
Luego definimos la suma de Riemann de la funcin f(x, y) asociada a la particin descrita como:
Geomtricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del slido bajo la superficie z = f(x,y) y que tiene como base la regin cerrada R.
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_1452622579.unknown
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Integral Triple de Tipo 1.IINTEGRALES MULTIPLESIntegral Triple de Tipo 1Integral Triple de Tipo 1.II
INTEGRALES MULTIPLESLas coordenadas cilndricas son tiles en problemas que implican simetra alrededor de un eje, y el eje-z se elige para coincidir con este eje de simetra. Por ejemplo, el eje del cilindro circular con ecuacin cartesiana x2+y2=c2 es el eje-z. En coordenadas cilndricas este cilindro tiene un ecuacin muy simple r = c. Esta es la razn para el nombre de coordenadas cilndricas.INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS
INTEGRALES MULTIPLESEvaluacin de integrales triples en coordenadas cilndricas
INTEGRALES MULTIPLESIntegrales triples en coordenadas esfricas
INTEGRALES MULTIPLES
In particular, if the projection D of E onto the xy-plane is a type I plane region, thenTYPE 1 REGIONS
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