FuncionesExponenciales
MECU 3031
Algunas funciones exponenciales siguenel siguiente modelo:
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑐,
donde a, b, c son números reales tales que
a >0 y a ≠ 1,
y
b ≠ 0
Funciones exponenciales
Resumen de comportamiento
La función exponencial, f(x) = bax, (para a , un
número positivo diferente de 1, b > 0 y x
cualquier número real) tiene las siguientes
características
GráficasTracemos las gráficas de 𝐲 𝐡(𝐱) =
𝟏
𝟑
𝒙
También, por propiedades de los exponentes:
y =1
3
𝑥
= 3−1 𝑥 = 3−𝑥
f(x) = 3x
Gráficas (cont.)Comparemos las gráficas de y h(x) =
1
3
𝑥
f(x) = 3x
Nota que estas funciones exponenciales tienen en común:1. el int-y es (0,1)2. la asíntota horizontal es eje
de x o sea y = 03. el dominio: todos los reales,
campo de valores: y>0
Gráficas (cont.)Tracemos la gráfica de y = 3x-2
Comparemos las tablas de valores de 3x y 3 x-2:
y = 3x-2 es una traslación horizontal de dos
unidades hacia la derecha de y = 3x .
1. el dominio: −∞,∞ ,
2. campo de valores: 𝟎,∞
3. int-y ya NO es (0,1)
4. la asíntota horizontal y=0
Gráficas (cont.)Tracemos la gráfica de y = 3x - 2
x 𝑦 = 3𝑥
-3127
-219
-113
0 1
1 3
2 9
3 27
Comparemos tablas de valores de 3x y 3x – 2 :
y = 3x-2 es una traslación vertical de dos unidades hacia la abajo de y = 3x
Noten que la traslación vertical mueve también la asíntota horizontal dos unidades hacia la abajo de y = 3x
1. el dominio: −∞,∞ ,
2. campo de valores: 𝟐,∞
3. int-y ya NO es (0,1)
4. la asíntota horizontal es y = -2
Paree cada función con su gráfica.
f(x) = 𝟐𝒙 g(x) = 𝟐
𝟑
𝒙h(x) = 𝟑𝒙 + 𝟐 p(x) = 𝟒𝒙−𝟑
a) b)
c) d)
DEFINICION:
Llamamos la constante 𝑒
la base natural.
𝑒 es un número irracional.
f(x) = 𝑒𝑥 la función exponencial natural
Por ejemplo:
𝒇 𝒙 = −𝟐𝒆𝒙+𝟏 𝒈 𝒙 =𝟏
𝟐𝒆𝟐𝒙 𝒉 𝒙 =3𝒆𝒙 − 𝟓
La constante e
Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3
La función exponencial natural
¿Crecientes o decrecientes? • f(x) y h(x) son
_______________ en todo su dominio
• g(x) es _______________Dominio y campo de valores• Dominio f(x), g(x) y h(x):
• Campo de valores de f(x) y g(x) es ______, y el de h(x) es ___________.
Asíntota horizontal:• f(x) y g(x): • h(x):
Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales:
𝑎) 𝑒2 b) 𝑒3.55 c) 3𝑒0.5 d) 𝑒−1
La constante e (continuación)
La función de la base natural: e
Aquí se presenta la
gráfica de ex , al lado de
2x y 3x .
Note: dominio: (-∞, ∞)
campo de valores
𝒚 > 𝟎
InterésCompuesto Continuamente
Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto:
donde P = el principal (la inversión original)
r = tasa de interés anual expresado
como un decimal
t = número de años que P se invierte
A = valor de la inversión después de t años
Ejemplo Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que
paga interés compuesto continuamente a una razón de
8% por año.
Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.
Solución:
Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000, r = 0.08 , y
t = 5 :
A = Pert = 20,000e0.08(5)
= 20,000e0.4
$29,836.49
Fórmula de crecimientoLa fórmula de interés compuesto es un caso particular de la
formula de crecimiento.
q = q0ert ,
donde q es la cantidad final, q0, es la cantidad inicial, r es la razon de
crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años.
Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800.
Asumiendo que la población crece continuamente a una
razón de 5% por año, determine en qué año la población
de la ciudad alcanza 1 millón primera vez .
Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento con
con…
Ejemplo (cont.)población inicial: q0 = 153,800 y
razón de crecimiento: r = 0.05 ,
nuestra función de crecimiento es
q = 153,800e(0.05)(t)
Por ejemplo, si t = 30 tenemos
q = 153,800e(0.05)(30)
q ≈ 689,284
Vemos que después de 30 años, todavía no se ha alcanzado el millón.
La población será igual a 1 millón cuando
153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.
¿Cómo resolvemos una exponencial?
Ejemplo (cont.)
Usando la calculadora gráfica
153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.
Ejemplo (cont.)
Usando la calculadora gráfica
153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.
Teorema• Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes
en todo su dominio (monotónicas).
• Una función monotónica es una función uno-a-uno.
Si f(x) = ax para 0 < a < 1 ó a >1
se cumplen las siguientes condiciones:
• La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales
nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.
1. 𝑆𝑖 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2
2. 𝑆𝑖 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1≠ 𝑥2.
(cada valor de dominio tiene una
imagen única, las y’s NO se repiten.)
Ejemplos
• Hallar x tal que 73x = 72x + 5.
73x = 72x + 5 ; dado
3x = 2x + 5; propiedad uno-a-uno de la
funciones exponenciales
3x – 2x = 5 restar 2x en cada lado
x = 5 . No olviden que siempre pueden resolver con el método gráficos que se presentó en la lección sobre funciones exponenciales naturales.
Ejemplos• Resolver para x, 35x – 8 = 9x + 2
Ejemplos
• Resolver para x, 𝟏
𝟐
x – 3
= 𝟒𝟐−𝒙
1
2
𝑥−3
= 42−𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜
1
2
𝑥−3
=1
2
−2 2−𝑥
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
1
2
𝑥−3
=1
2
−4+2𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
𝑥 − 3 = 2𝑥 − 4 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
4−3 = 2𝑥 − 𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑥 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜; 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 4.
1 = 𝑥