0.1 Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
1. La expresión exponencial 7x + 7x�1 = 8x es igual a:
a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = - 1
7x + 7x�1 = 8x ! 7x + 7x7�1 = 8x
! 7x(1 + 7�1) = 8x
! 7x(1 + 17 ) = 8
x
! 7x( 7+17 ) = 8x
! 7x( 87 ) = 8x
! 87 =
8x
7x
! 87 = (
87 )x
! 1 = x Porque la función exponencial es biunívoca.
2. Sea el sistema de ecuaciones: �ax + ay = 4ax � ay = 2
Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x+ y es igual a:
a) 0 b) - 1 c) 2 d) 1
Si a = 3 entonces �3x + 3y = 43x � 3y = 2
Eliminando 3x nos resulta�3x + 3y = 4
�3x + 3y = �2
2 (3y) = 2
3y = 1
log 3y = log 1
y log 3 = log 1
y =log 1
log 3y = 0
1
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Sustituyendo y en una de las ecuaciones originales tenemos
3x � 3y = 2
3x � 30 = 2
3x � 1 = 2
3x = 2 + 1
3x = 3
x = 1
Luego hacemos la suma x+ y = 1 + 0 = 1
3. En la ecuación exponencial
2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31
la solución es:
a) 12 b) 13 c) �2 d) 15
2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31
2x22 + 2x23 + 2x24 + 2x25 + 2x26 = 31
2x(22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 31
2x(4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 31
2x (124) = 31
2x =31
124
log 2x = log1
4
x log 2 = log1
4
x =log 14log 2
x = �2
2
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4. Si en la expresión 2x = P , entonces 4�1 es igual a:
a) 2p b) p�2 c) p�4 d) 4p
2x = P�1 ! 2 = P
Porque la función exponencial es biunívoca, lo que implica que para números
reales x1 y x2:
1) Si x1 6= x2, entonces ax1 6= ax2
2) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2
�4�1
�= (2)
�2= P�2
5. El valor de x en la expresión
y =10x � 10�x
2
está dado por:
a) log(y2 + 1) b) 10py2 + 1 c) log(y +
py2 + 1) d) sen2(y
py2)
y =10x � 10�x
2
2y = 10x � 1
10x
2y =10x10x � 1
10x
(2y) 10x = (10x)2 � 1(10x)2 � 10x2y � 1 = 0 (�)
Haciendo la sustitución u = 10x en � se tiene:
u2 � 2yu� 1 = 0
Resolviendo utilizando la fórmula cuadrática haciendo: a = 1; b = �2y; c =�1
3
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u1;2 =�(b)�
pb2 � 4ac
2a
u1;2 =�(�2y)�
p(�2y)2 � 4(1)(�1)2(1)
u1;2 =2y �
p4y2 + 4
2
u1;2 =2y �
p4y2 + 4
2
u1;2 =2y �
p4(y2 + 1)
2
u1;2 =2y � 2
py2 + 1
2
u1;2 =2(y �
py2 + 1)
2
u1;2 = y �py2 + 1
Sustituyendo u = 10x en la última ecuación, se tiene:
10x = y �py2 + 1
log 10x = log(y �py2 + 1)
x log 10 = log(y �py2 + 1)
x = log(y �py2 + 1)
6. Si f(x) = ex+e�x
2 entoces f(ln 2) es:
a) 0 b) 5 c) 54 d) 34
f(x) =ex + e�x
2
f(ln 2) =eln 2 + e� ln 2
2
f(ln 2) =2 + 1
2
2
4
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por propiedad: eln x = x
f(ln 2) =52
2
f(ln 2) =5
4
7. El valor de x en la ecuación:
a(3x+1)(2x�2) = a2x2+5a4x
2+4
a) x = 2 b) x = 2 c) x = � 114 d) x = 1
a(3x+1)(2x�2) = a2x2+5a4x
2+4
a6x2�4x�2 = a6x
2+9
6x2 � 4x� 2 = 6x2 + 9
ya que las bases son iguales
6x2 � 4x� 2 = 6x2 + 9
�4x� 2 = 9
�4x = 11
x = �114
8. Si 33 � 25 = 4 � 6m, entonces m2 es:
a) 3 b) 9 c) �3 d) 6
33 � 25 = 4� 6m33 � 2522
= 6m
33 � 23 = (3x2)m
(3� 2)3 = (3� 2)m
como las bases son iguales, entonces: 3 = m; de donde 9 = m2
5
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9. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1 + 2x+3 = 320 es:
a) x = �2 b) x = �3 c) x = 3 d) x = 2
4x+1 + 2x+3 = 320
(22)x+1 + 2x23 = 320
22x22 + 2x8 = 320
4(2x)2 + 8(2x) = 320
Haciendo u = 2x, sustituimos en la última ecuación:
4(2x)2 + 8(2x) = 320! 4u2 + 8u� 320 = 0resolviendo usando la forma cuadrática con: a = 4; b = 8; c = �320
u1;2 =�8�
p64� 4(4)(�320)2(4)
=�8�
p64 + 5120
8
=�8�
p5184
8
=�8� 728
Así,
u1 =�8 + 728
=64
8= 8 ^ u2 =
�8� 728
=�808
= �10
Tomando del valor positivo:
2x = 8
log 2x = log 8
x log 2 = log 8
x =log 8
log 2x = 3
6
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10. La solución de la ecuación 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 es:
a) x = 1 b) x = 2 c) x = 0 d) x = �1
5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
5x + 5x52 + 5x54 = 651
5x + 25(5x) + 625(5x) = 651
5x(1 + 25 + 625) = 651
5x(651) = 651
5x =651
6515x = 1
Aplicando logaritmo:
5x = 1
log 5x = log 1
x log 5 = log 1
x =log 1
log 5x = 0
11. La solución de 84x�8 � 9 = �8 es:
a) x = 2 b) x = 3 c) x = 1 d) x = �2
84x�8 � 9 = �884x�8 = �8 + 984x�8 = 1
Aplicando logaritmo:
84x�8 = 1
log 84x�8 = log 1
(4x� 8) log 8 = log 1
4x� 8 =log 1
log 84x� 8 = 0
7
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4x = 8
x =8
4x = 2
12. Una expresión equivalente a
1
2(3 loga x� 5 loga y � 30 loga z)
es igual a:
a) loga3x
5y+30z b) logax3
y5+30z c) loga3x
y5+30z d) logaq
x3
y5z30
1
2(3 loga x� 5 loga y � 30 loga z) ! 1
2(loga x
3 � loga y5 � loga z30)
1
2(loga
x3
y5� loga z30) ! 1
2(loga
x3
y5z30)
loga(x3
y5z30)12 ! loga
sx3
y5z30
13. Sea la expresión lnq
abe2 y conociendo los valores de
ln a = 0:6 y ln b = 2:4
entonces la solución es:
a) e b) 1e c) e2 d)pe
lnq
abe2 ! ln (ab)
12
e ! ln(ab)12�ln e! 1
2 (ln a+ln b)�ln e!12 (0:6+2:4)�1!
12 (3)� 1!
! 3�22 ! 1
2
8
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14. El log(a+ b)2 � log(a+ b) es igual a:
a) log 2 b) log(a+ b) c) log a+ log b d) log a+ 3 log b
log(a+ b)2 � log(a+ b) = 2 log(a+ b)� log(a+ b)= log(a+ b):
15. Siendo logm = 13 (log x+ log y � log z) entonces m es igual a:
a) 13 (xy � z) b) 13xyz c) 3
pxyz d) x+ y � z
logm =1
3(log x+ log y � log z)
logm =1
3(log(xy)� log z)
logm =1
3(log
xy
z)
logm = log(xy
z)13
logm = log 3
rxy
z
m = 3
rxy
z
16. El resultado de realizar logb x� logb y2 + logb xy2 es igual a:
a) x2 logb y b) x logb y2 c) logb x
2 d) x logb y
logb x� logb y2 + logb xy2 ! logbx
y2+ logb xy
2 ! logbx
y2xy2 ! logb x
2
9
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17. Al resolver log(9x� 5) = log(x� 1) + 1 el valor de x es:
a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 5
log(9x� 5)� log(x� 1) = 1
log(9x� 5x� 1 ) = 1
9x� 5x� 1 = 10
ya que loga x = y $ x = ay
log1010 = 1$ 10 = 101
9x� 5 = 10x� 109x� 10x = �10 + 5
�x = �5x = 5
18. El valor de 13log13(8+5) es:
a) 26 b) (13)2 c) 13 d) (13)13
Propiedad: blogb x = x
13log13(8+5) = 13log13(13)
= 13
19. El valor de e1+ln 5 es:
a) 5e b) 1e c) e1 d) ln 5
Propiedad de logarítmos naturales: eln x = x
e1+ln 5 = e � eln 5
= e � 5= 5e
10
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20. Al simpli�car la expresión
log5 16
log5 4
se obtiene:
a) 5 b) 2 c) 4 d) log 4
Se tiene
log5 16 = x! 16 = 5y ^ log5 4 = y ! 4 = 5y(�)
Entonces:
log5 16 = x! log5 42 = x
2 log5 4 = x! log5 4 =x
2x
2= y por(�)
x = 2y
Así:log5 16
log5 4=x
y=2y
y= 2
21. La ecuaciónlog(3� x2) = log 2 + log x
tiene por solución:
a) x = 1 b) x = 2 c) x = �3 d) x1 = �2
log(3� x2) = log 2 + log x
log(3� x2) = log 2x
3� x2 = 2x
x2 + 2x� 3 = 0
(x+ 3)(x� 1) = 0! x+ 3 = 0 _ x� 1 = 0x = �3; x = 1
Tomamos el valor positivo.
11
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22. En la expresión(log x)2 = 35� 2 log x
el valor de x es:
a) x = 105 b) x = 107 c) x1 = 10�5 d) x = 10�7
(log x)2 = 35� 2 log x(log x)2 + 2 log x� 35 = 0
Haciendo
u = log x! u2 + 2u� 35 = 0(u+ 7)(u� 5) = 0
u+ 7 = 0 _ u� 5 = 0
u = �7; u = 5
Tomado u = 5! log x = 5! 105 = x ya que log x = y $ 10y = x
23. Si se aplica logarítmo a la ecuación
2x+1 � 5x = 9
el resultado es:
a) log( 92 ) b) log(29 ) c) log(23 ) d) log( 53 )
(2x+1 � 5x) = 9
2x � 2� 5x = 9
2x � 2� 5x = 9
2x � 5x =9
2
(2� 5)x =9
2
10x =9
2
log 10x = log9
2
x log 10 = log9
2
x = log9
2
12
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24. Al despejar "t" en L =Mat=N � P;obtenemos:
a) t = N logaL+PM b) t = N loga
M+PL c) t = N loga
L+MP d)
t = loga(L�MM )
L = Mat=N � PL+ P = Mat=N
L+ P
M= at=N
loga(L+ P
M) =
t
N
prop: loga x = y $ ay = x
N loga(L+ P
M) = t
25. La forma logarítmica de la expresión
e2t = 3� x
es:
a) log(3�x) = 2t b) ln (3�x)2 = t c) 2 log(3�x) = t d) ln(3�x) =2t
e2t = 3� xln e2t = ln(3� x)2t = ln(3� x)
t =ln(3� x)
2aclaración t =
ln(3� x)2
6= t = ln 3� x2
La respuesta correcta es d)
13
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26. El conjunto solución de la ecuación
3(3x) + 9(3�x) = 28
es:
a) f�1; 2g b) f�1; 0g c) f0; 1g d) f2g
3(3x) + 9(3�x) = 28
3(3x) +9
3x= 28
Hacemos u = 3x
Entonces:
3u+9
u= 28
3u2 + 9
u= 28
3u2 + 9 = 28u
3u2 � 28u+ 9 = 0
u1;2 =�(�28)�
p(�28)2 � 4(3)(9)2(3)
=28�
p784� 1086
=28�
p676
6
=28� 266
u1 =28 + 26
6^ u2 =
28� 266
=54
6=2
6
= 9 =1
3
3x = 9 3x =1
3
14
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log 3x = log 9 log 3x = log1
3
x log 3 = log 9 x log 3 = log1
3
x =log 3
log 9= 2 x =
log 13log 3
= �1
Sol = f�1; 2g
27. Al simpli�car la expresión
(ex + e�x)(ex + e�x)� (ex � e�x)(ex � e�x)(ex + e�x)2
se obtiene:
a) ex�e�xex+e�x b) (e
x+e�x)2
4 c) ex+e�x
ex�e�x d) 4(ex+e�x)2
(ex + e�x)(ex + e�x)� (ex � e�x)(ex � e�x)(ex + e�x)2
=(ex)2 + 2(ex)(e�x) + (e�x)2 �
�(ex)2 � 2(ex)(e�x) + (e�x)2
�(ex + e�x)2
=(ex)2 + 2(ex)(e�x) + (e�x)2 � (ex)2 + 2(ex)(e�x)� (e�x)2
(ex + e�x)2
=2(ex)(e�x) + 2(ex)(e�x)
(ex + e�x)2
=4
(ex + e�x)2
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28. Al resolver la ecuación
log(x3) = (log x)3
se obtiene que el conjunto solución es:
a)n1; 10
p3o
b)�
3p10
c)n332
od)�103
log(x3) = (log x)3 ! (log x)3 � 3 log x = 0
Haciendo u = log x
u3 � 3u = 0
u(u2 � 3) = 0
u = 0 _ u2 � 3 = 0
log x = 0 u2 = 3! u = �p3! log x = �
p3
x = 100 x = 10�p3
x = 1 x = 10p3 _ x = 10�
p3
Sol =n1; 10
p3o
29. Qué valor de x veri�ca que
log(x2 � 9)log(x+ 3)
= 1
a) f4g b) f3g c) f�3g d) f�4g
log(x2 � 9)log(x+ 3)
= 1
log(x2 � 9) = log(x+ 3)
x2 � 9 = x+ 3
x2 � x� 12 = 0
16
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(x� 4)(x+ 3) = 0! x� 4 = 0 _ x+ 3 = 0
x = 4; x = �3
Tomamos entonces x = 4
30. Al expresar "x" en términos de "y" en la expresión
y =ex + e�x
ex � e�x
obtenemos:
a) 12ey+1y�1 b) ln
qy+1y�1 c) ln(y�1)e1�y d) y+1y�1
y =ex + e�x
ex � e�x
y =ex + 1
ex
ex � 1e�x
y =e2x+1ex
e2x�1ex
y =e2x + 1
e2x � 1ye2x � y = e2x + 1
ye2x � e2x = y + 1
e2x(y � 1) = y + 1
e2x =y + 1
y � 1
ln e2x = ln(y + 1
y � 1)
2x = ln(y + 1
y � 1)
x =1
2ln(y + 1
y � 1)
x = ln
r(y + 1
y � 1)
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Elaborado por: José A. Siles R y Jolman E. LópezGrupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov
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