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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDecanato de Estudios de PostgradoMaestrı́a en Ingenierı́a Electrónica
GENERADOR DE MODOS DE CAMINADO PARA ROBOTCUADRÚPEDO BASADO EN PRINCIPIOS NEUROFISIOLÓGICOS
Trabajo de Grado presentado a la Universidad Simón Boĺıvar porJosé de la Cruz Cappelletto Fuentes
Como requisito parcial para optar al grado deMagı́ster en Ingenierı́a Electrónica
Realizado con la tutoŕıa del ProfesorJuan Carlos Grieco Silva
Octubre, 2006
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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDecanato de Estudios de PostgradoMaestrı́a en Ingenierı́a Electrónica
GENERADOR DE MODOS DE CAMINADO PARA ROBOTCUADRÚPEDO BASADO EN PRINCIPIOS NEUROFISIOLÓGICOS
Este Trabajo de Grado ha sido aprobado en nombre de la UniversidadSimón Boĺıvar por el siguiente jurado examinador:
Presidente
(Nombre y firma)
Miembro Externo(Nombre y firma)
Indicar Institución a la que pertenece
Miembro Principal-Tutor(Nombre y firma)
Fecha:
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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDecanato de Estudios de PostgradoMaestrı́a en Ingenierı́a Electrónica
TRABAJO DE GRADO
GENERADOR DE MODOS DE CAMINADO PARA ROBOTCUADRÚPEDO BASADO EN PRINCIPIOS NEUROFISIOLÓGICOS
por
José de la Cruz Cappelletto Fuentes
Octubre 2006
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A Dios
A mi familia
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Agradecimientos
Antes que nada quiero expresar mi agradecimiento a Dios y a mis padres, siemprepresentes, quienes han sido para mı́ la mejor gúıa que he podido recibir en mi vida. Gracias.
Quiero hacer un especial reconocimiento al Prof. Juan Carlos Grieco, mi tutorde maestŕıa, primero por acoger este tema de tesis que reviste especial inteŕes para mipersona; y también por su disposición a colaborar y participar en todo el proceso deinvestigación y desarrollo haciendo posible la culminación exitosa del presente trabajo.Son innumerables las veces que hemos discutido sobre diversos temas desde la metodo-
logı́a, modelado, y demás aspectos abarcados en esta tesis; aparte de otros temas que hanayudado en mi formación como persona y como profesional.
Mi más profundo agradecimiento al Prof. Gerardo Fernández, quien demostró unenorme interés en muchas fases del desarrollo de la presente tesis; y más importante aún,ha sido para mi un ejemplo de profesional ı́ntegro y con ética. Por todo ello, aśı como porsu constante colaboración durante estos últimos años, much́ısimas gracias.
A mis compañeros de trabajo e investigación: Wilfredis Medina, Leonardo Fermı́n,Pablo Estévez, José Guzmán, José Miguel Bolaños, Dimitar Ralev y Ariel Tapia, conquienes compart́ı innumerables momentos dentro y fuera del laboratorio tanto de trabajo
como de ocio, haciendo de estos años de estudio más llevaderos. Sin saberlo o no, con suscomentarios influenciaron enormemente en este trabajo de investigación. Por todo esto ymucho más, gracias.
Finalmente, quiero agradecer al Decanato de Postgrado de la Universidad SimónBoĺıvar, quienes han apoyado este trabajo de investigación al proveer los equipos ne-cesarios, aśı como financiando su presentación y publicación en distintas conferencias ycongresos. Sin su ayuda no hubiese posible completar este trabajo.
Son muchas las personas que en una u otra forma, también influenciaron y dieronforma al presente libro. El que no estén nombradas aquı́ no significa que no les agradezca
su colaboración; gracias a todos ellos.
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Resumen
A fin de controlar efectivamente un robot caminante bajo ambientes no estructura-dos, es indispensable disponer de un modelo del sistema de locomoci ón que sincronice losmovimientos de las patas del robot de manera simple y flexible. Inspirado en los modelosneurofisiológicos de los sistemas biológicos, varios autores han propuesto soluciones basa-das en el esquema de un generador central de patrones denominado CPG, implementado
con redes neuronales recurrentes y sistemas osciladores acoplados. Estos aprovechan lasventajas de los modelos dinámicos, sin embargo el proceso de śıntesis de los parámetrosresulta ser complejo debido a la dificultad para analizar tales modelos. En este trabajose estudian y comparan distintas propuestas del sistema de locomoci ón basados en prin-cipios biológicos, identificando las ventajas y desventajas de cada uno de ellas. Con laincorporación del conocimiento del problema cinemático asociado a locomoción con pa-tas, se propone un modelo espacio-temporal del sistema de caminado, el cual facilita laśıntesis y el control de caminado de un robot cuadrúpedo. Este modelo exhibe mejorascon respecto a los otros estudiados debido a que resuelve el problema de coordinación defase entre las patas, a la vez que permite el control de la ubicaci ón espacial de las mismasindependientemente de la cinemática asociada a la estructura de las patas del robot.
Palabras Clave: Sistema de locomoción, Cinemática, Modelos Neurofisiológicos,CPG.
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Índice general
1 Introducción 1
1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Justificacíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Locomoción en robots con patas 8
2.1 Principios básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Sistema generador de modos de caminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Modelo geométrico del sistema de locomoción . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Representación de modos de caminado mediante diagramas de fase . . . . 152.5 Equilibrio estático en robots cuadrúpedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Modelos neurofisiológicos del sistema locomotor en animales 20
3.1 Neurofisioloǵıa de la locomoción en animales . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Modelo descriptivo de Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Dinámica del modelo Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 CPG: Central Pattern Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Análisis comparativo de modelos de CPG 31
4.1 Modelo de Chiel-Beer usando CTRNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.1 Arquitectura de CPG basado CTRNN . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Metodoloǵıa para śıntesis de CPGs utilizando CTRNN . . . . . . . 35
4.2 Modelo de Buchli utilizando ACPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.1 Modelo de osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.2 Pruebas del modelo basado en ACPO . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Generacíon de trayectorias dinámicas con DNN . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Generacíon: śıntesis de red recurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.2 Modulación: Śıntesis de red no recurrente . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Generador de modos de caminado en robots cuadrúpedos 76
5.1 Propuesta de modelo del generador de modos de caminado . . . . . . . . . 785.1.1 Arquitectura del modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.2 Referencias en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.1.3 Transición entre trayectorias mediante redes neuronales . . . . . . . 83
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5.1.4 Resultados de la śıntesis de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Propuesta de modelo generador de modos de caminado . . . . . . . . . . . 93
5.2.1 Referencia temporal con ACPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Transformación espacial con red neuronal feedforward . . . . . . . . 1005.2.3 Descripcíon de experimento con plataforma cuadrúpeda . . . . . . . 1045.2.4 Resultados experimentales y análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Principales aportes, conclusiones y lineas de investigacíon futuras 115
6.1 Principales aportes y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2 Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Referencias Bibliográficas 122
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Índice de tablas
3.1 Parámetros del Modelo Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Funciones emṕıricas para parámetros m, n y h . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Valores de parámetros para CTRNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Salidas de CTRNN sintetizadas con AGs para salidas constantes . . . . . . 48
4.3 Salidas de CTRNN sintetizadas con AGs para salidas constantes varias . . 494.4 CTRNNs sintetizadas por AGs para valores de M AX dados . . . . . . . . 504.5 CTRNNs sintetizadas por AGs para valores de M IN dados . . . . . . . . . 514.6 (a) Desfases bases según modo de caminado y (b) Fases normalizadas de
rotación según modo de caminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7 Matrices de rotaciones para CPG-ACPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Redes neuronales entrenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
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Índice de figuras
2.1 Tipos de patas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Sistema generador de modos de caminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Parámetros de modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Diagramas de fases para una pata con distintos valores de β . . . . . . . . 15
2.5 Diagramas de modos de locomocíon en robots cuadrúpedos . . . . . . . . . 162.6 Condición de equilibrio estático en robots cuadrúpedos . . . . . . . . . . . 182.7 Secuencia de caminado con equilibrio estático para robots cuadrúpedos . . 19
3.1 Diagrama esquemático del modelo Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . 233.2 Funcíon de equilibrio X 0(u) y Constante de tiempo τ (u) en modelo Hodgkin-
Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Respuesta temporal del potencial u(t) ante entrada impulsiva . . . . . . . . 26
4.1 Ejemplos de CTRNN interconectadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Arquitectura de CPG basada en CTRNNs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Salidas de CTRNN de Chiel-Beer. Euler = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Vista 2D de salida de CTRNN de 3 nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Vista 3D de campo atractor. Configuración monoestable . . . . . . . . . . . 394.6 Vista 2D de campo atractor. Configuración monoestable . . . . . . . . . . . 394.7 Intensidad de campo atractor. Configuracíon monoestable . . . . . . . . . . 404.8 Vista 3D de campo atractor. Configuración biestable . . . . . . . . . . . . . 404.9 Vista 2D de campo atractor. Configuración biestable . . . . . . . . . . . . . 414.10 Intensidad de campo atractor. Configuracíon biestable . . . . . . . . . . . . 424.11 Vista 3D de campo atractor. Configuración oscilador . . . . . . . . . . . . 424.12 Vista 2D de campo atractor. Configuración oscilador . . . . . . . . . . . . 434.13 Intensidad de campo atractor. Configuracíon oscilador . . . . . . . . . . . 43
4.14 Desfases para distintos estados iniciales en configuración oscilador . . . . . 444.15 Solución oscilatoria para P ROobjetivo = [−4, −1, 7]
T . . . . . . . . . . . . . 504.16 Formas de onda: (a) Referencia y (b) Sintetizada por AGs . . . . . . . . . 524.17 Representación de perturbación en oscilador no lineal . . . . . . . . . . . . 554.18 Ciclo lı́mite para ACPO con ro = 1, g = 10 y ω = 2π . . . . . . . . . . . . 564.19 Arquitectura de conexión para CPG con ACPO . . . . . . . . . . . . . . . 584.20 Funciones de transición de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.21 Ciclo lı́mite de ACPO en para distintos valores de g . . . . . . . . . . . . . 62
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4.22 Salidas de CPG-ACPO en función del tiempo, P modo = 0 . . . . . . . . . . 644.23 Trayectorias en el plano del vector q para cada pata . . . . . . . . . . . . . 654.24 Fases de cada pata en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.25 Módulos para cada pata en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 674.26 Salidas de CPG-ACPO en función del tiempo, P modovariable . . . . . . . . 684.27 Arquitectura de DNN basada en RNN y NRNN . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1 Modelo propuesto para generador de modos de caminado. . . . . . . . . . . 795.2 Estructura de red feedforward para transición de trayectorias. . . . . . . . 845.3 Formas de onda: (a) Triangular (b) Rectangular (c) Redondeada . . . . . . 855.4 Diagrama de una pata en el cuadrúpedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 Referencias angulares para los 3 perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.6 Sistema de entrenamiento de red feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Error promedio vs No de épocas para 3 grupos de redes neuronales . . . . . 89
5.8 Salidas de red neuronal para entradas: (a) Rampa (b) U-V (c) CTRNN . . 915.9 Efecto de overfitting en trayectorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.10 Arquitectura de modelo de CPG propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.11 Relaciones de fase vs tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.12 Vectores de salida vs tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.13 Trayectorias en el plano del vector q para cada pata ante cambios de fases. 975.14 Módulo de q 1 vs tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.15 Gráfica de curva de compansión c(x, β ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.16 Estructura de la red neuronal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.17 Esquema de entrenamiento de red neuronal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.18 Ubicación de sensores sobre la plataforma robótica. . . . . . . . . . . . . . 1065.19 Trayectoria de ejemplo para entrenamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.20 Vista en plano Y-Z de las trayectorias de salida de las redes neuronales. . . 1085.21 Gráficas de aceleraciones para red NN1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.22 Gráficas de aceleraciones para red NN2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.23 Gráficas de aceleraciones para red NN4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.24 Graficas de aceleraciones para red NN5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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Introducción
El sistema de locomoción es uno de los mas importantes al momento de diseñar
robots móviles. Esto se fundamenta principalmente en que dicho sistema lleva a cabo la
compleja tarea de coordinar el conjunto de actuadores presentes en la plataforma, a fin
de lograr una interacción con el medio cuya consecuencia directa sea el desplazamiento
controlado del móvil. Se tiene que para el caso espećıfico de locomoción sobre sustrato
ŕıgido las dos opciones principales son las ruedas y las patas. La opción de usar ruedas para
el movimiento de la plataforma se remonta hasta principios de la historia de los robots
móviles en śı, pero el uso de patas ha demostrado ser más adecuado en muchas aplicaciones
actuales[1][2], por sus mejores prestaciones en aspectos como eficiencia, versatilidad y
menor intrusión en el medio, haciendo de la misma una elección correcta para tareas
complejas en ambientes poco estructurados.
Existen recientes trabajos de investigación orientados al uso de nuevos enfoques en
el diseño del sistema de locomoción, en especial para robots con patas. Algunos de los prin-
cipales aportes provienen de trabajos que se basan en observaciones efectuadas en campos
como la bioloǵıa y la neurofisioloǵıa. Mediante la observación de los comportamientos
durante el caminado en distintos animales,
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1.1 Antecedentes
Estudios en el área de neurofisioloǵıa soportan la hipótesis de que el proceso de
caminado es de naturaleza altamente distribuido y paralelo, y no centralizado en el cerebro
como se sosteńıa hace tiempo. Actualmente se considera que el proceso de control ejercido
por el cerebro corresponde a señales de alto nivel, que se combinan en la espina dorsal con
la realimentación proveniente de los sensores en las patas, a fin de modificar la se ñal de
excitación o inhibición de cada uno de los actuadores, aśı como la relación de fase entre
las patas. El sistema encargado de la fusión e interpretación de las señales de control dealto nivel con la realimentación local de bajo nivel recibe el nombre de generador central
de patrones (CPG por sus iniciales en ingles)[3].
A. Billard y A. J. Ijspeert han realizado propuestas de sistemas neuronales para
el control motor en robots cuadrúpedos y b́ıpedos [4][5]. Utilizando un modelo de red
neuronal oscilatoria compuesta por neuronas denominadas integradores con fuga , fueron
capaces de generar distintos modos de caminado para un cuadrúpedo con 2 grados delibertad (GDL) por pata. También incluyeron realimentación de posición en cada una
de las articulaciones actuadas. Mediante una señal de control externa, fueron capaces de
modular la transición entre los modos de caminado a la vez que podı́an también controlar
la frecuencia de oscilación del sistema y con ello la velocidad de caminado del robot.
Observaron que el sistema podı́a pasar de un estado de reposo a caminado mediante
una excitación externa percibida mediante la realimentación en las articulaciones. Si bien
el esquema por ellos propuesto no fue evaluado en una maquina caminante compleja,
lograron probar el concepto básico de modelado del sistema de caminado mediante el uso
de redes neuronales.
La representación del sistema de caminado mediante CPG no se ha limitado a
robots con patas. Hay trabajos como el de J. Conradt y P. Varshavskaya [6], en el cual
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se describe el control de un robot tipo serpiente mediante el uso de un CPG con una
estructura distribuida. El robot descrito posee un elevado número de GDL, cada uno de
ellos representados por actuadores rotacionales entre cada uno de los segmentos ŕıgidos del
robot. Un sistema de osciladores acoplados fue utilizado para controlar la relación de fase
entre señales sinusoidales de referencia de ángulo para cada uno de los actuadores. A pesar
de la simplicidad de la cadena cinemática de cada elemento ŕıgido de la serpiente, donde
solo hay acople entre motores vecinos, no lograron obtener un método determińıstico para
el cálculo de los parámetros del modelo para un modo de locomoción dado. Sin embar-
go, este trabajo reviste cierta importancia ya que ilustra la aplicación de un verdadero
esquema de control distribuido puesto que todos los elementos osciladores son idénticos,
sin que hubiese una unidad de procesamiento principal.
El uso de principios biológicos de locomoción no se reduce a robots inspirados
en animales vertebrados. Schmitz et al [7] describen el desarrollo de un controlador de
caminado para un robot hexápodo basándose en investigaciones realizadas en insectos.
Ellos reportan que haciendo uso de las propiedades f́ısicas del sistema, es posible el control
de caminado sin necesidad de información explı́cita de la geometŕıa del sistema mecánico.
Identifican la generación del caminado como una propiedad emergente del uso de unas
pocas reglas simples a nivel local de las patas, y que dependen del estado de sus pares
vecinos. Nuevamente en este trabajo se refuerza el concepto de distribución de la tarea de
śıntesis de modos de caminado. Al final proponen que la inclusión de realimentación de
sensores locales permitiŕıa la obtención de reflejos automáticos tal y como ocurre en los
sistemas biológicos.
También se ha identificado al CPG como una implementación del concepto de
percepci´ on integral en el proceso de caminado. Éste es un nuevo paradigma para la com-
prensión del sistema de locomoción. Varios autores proponen la existencia un v́ınculo
importante entre la locomoción con patas y el proceso de percepción. Por ejemplo, M.
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A. Lewis [8][9] representa las señales proveniente de los sensores de manera cualitativa a
través de modelos abstractos. Utilizando un modelo del sistema locomotor realimentado
localmente, junto con un sistema de predicción, el autor cita haber obtenido mejoras en
el desempeño del sistema de caminado para la evasión de obstáculos, en comparación con
un sistema de control correctivo convencional. Dicha mejora se vuelve marginal confor-
me aumenta el tamaño del obstáculo, pero para dimensiones reducidas del obstáculo la
diferencia del desempeño es notable. Fukuoka, Kimura y Cohen [10][11] mediante la in-
corporación del concepto de percepción integral, han logrado diseñar e implementar un
sistema de control de caminado dinámico, con capacidad de operar sobre terrenos irregu-
lares. La plataforma por ellos usada fué un robot cuadrúpedo con 2 GDL por patas, con
configuración de las patas tipo mamı́fero. Ellos también señalan el compromiso existente
entre el consumo de energı́a y el equilibrio de la plataforma robótica, tal como reportan
otros autores que usan modelos convencionales del sistema de caminado [1][12][13][14]
En lo que respecta a las implementaciones de CPG, han habido varias propuestas
contándose entre las más importantes las hechas por R. Beer y H. Chiel [15][16] en las
cuales se usan redes recurrentes continuas en tiempo (CTRNNs), donde se aprovechan
las caracterı́sticas dinámicas de este tipo de redes para replicar el comportamiento ćıclico
de los actuadores en cada pata. Existen varias investigaciones que se basan en el mode-
lo de Amari-Hopfield[17] de módulos osciladores simples cuyo análisis individual resulta
menos complejo que en el caso de las CTRNNs, pero la obtención de un comportamiento
global del sistema que permita controlar la locomoción con patas sigue siendo de notable
complejidad. También existen modelos dinámicos de osciladores controlados por ampli-
tud (ACPO) como el propuesto por Buchli[18], en el cual la descripción matemática del
sistema de coordinación temporal entre las patas ofrece un método casi directo para la
generación de varios modos de caminado.
Beer y Chiel[15][16], hacen uso de algoritmos genéticos (AGs) para la śıntesis de los
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parámetros del CPG modelado mediante CTRNNs. Como modelo de plataforma robótica
usan un hexápodo de 2 GDL por pata. Si bien el uso de AGs implica la ausencia de un
proceso determińıstico para la obtención de los parámetros, los autores hacen un estu-
dio exhaustivo de diferentes topoloǵıas de conexión de las neuronas usadas en el CPG.
También analizan el impacto del número de neuronas en la obtención de un patrón de
caminado en espećıfico. Mediante la representación de cada neurona como un m´ odulo
din´ amico identifican los principios básicos que rigen la evolución temporal de los esta-
dos del CPG. La incorporación de éste concepto facilita la comprensión del fenómeno de
emergencia de comportamientos oscilatorios.
La implementación de CPG mediante ACPO, tal como propone Buchli representa
una notable simplificación de la arquitectura central. Mediante éste enfoque el autor logra
resolver el problema de coordinación del movimiento entre las patas, utilizando tantos
osciladores como patas estén presentes. El sistema que estudia con detalle es el correspon-
diente a un cuadrúpedo. En [19] se propone la existencia de una señal única para el control
de la relación de fases del modo de caminado, siendo dicha señal de naturaleza continua
lo cual permite la transición suave entre modos como galope y caminado, por ejemplo.
La forma en que estructura el modelo permite a su vez controlar de manera directa la
velocidad de oscilación de las patas. En este modelo de osciladores acoplados se resuelve
el problema de sincronización durante la transición entre distintos modos de caminado,
pero los problemas de ubicación espacial de la pata aśı como la relación de fase entre los
actuadores dentro de cada pata, permanecen sin solución alguna. Esta situación es más
compleja cuando se desea controlar el caminado de plataformas con un mayor número de
grados de libertad en cada pata.
Ghigliazza et al [20], se propone un modelo reducido de CPG, pero funcionalmente
equivalente. Éste trabajo se centra en el modelo biomecánico de locomoción en insectos
como las cucarachas. Adaptan un modelo de neuronas de estallido de 3 dimensiones como
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se describe en [21], a una versión reducida cuya implementación se basa en osciladores
acoplados. Con esta técnica se controló la frecuencia de los pasos y el ciclo de trabajo
de cada pata, a la vez que controlaban directamente los actuadores presentes en todas
y cada una de las patas. Al ser una estructura de red neuronal simétrica, a la cual se
le puede aplicar un tratamiento anaĺıtico, fue posible extraer principios generales del
comportamiento del sistema en base a los parámetros del modelo. Al igual que en el
trabajo de Beer y Chiel, efectúan un análisis dinámicos de los componentes básicos. De
esta manera logran resolver el problema de coordinación entre los actuadores dentro de
cada pata, existente en la propuesta de Buchli, manteniendo el uso de osciladores acoplados
que resultan ser de mas fácil comprensión que las CTRNNs.
1.2 Planteamiento del problema
En trabajos previos de modelado del sistema locomotor en robots con patas,
utilizando principios neurofisiológicos, se han planteado y evaluado soluciones con arqui-
tecturas espećıficas que dificultan la generalización de su uso en robots con diferentes
estructuras mecánicas. En algunas investigaciones se han logrado identificar componentes
que son relevantes en el sistema de caminado, aśı como modelos funcionalmente equi-
valentes que facilitan el diseño de partes del sistema completo. Sin embargo, no queda
resuelto de manera expĺıcita el problema de coordinación de movimientos entre patas y
dentro de las mismas, en especial para el caso espećıfico de plataforma cuadrúpeda con 3
GDL. Por ello existe la necesidad de desarrollar un modelo de caminado el cual permita
sintetizar diferentes modos de caminado sin que se requieran cambios alguno en la arqui-
tectura del mismo. También se necesita poder controlar la trayectoria espacial de cada
una de las patas, permitiendo la implementación de esquemas de control externos a fin
de adaptar el caminado del robot para cumplir con diferentes tareas. Un inconveniente
presente en varias de las soluciones existentes para caminado en robot, es que el modelo
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de locomoción depende fuertemente de la estructura cinemática de las patas. Por esto se
prefiere un modelo donde las modificaciones en las patas impacten de manera mı́nima en
la arquitectura del mismo.
1.3 Justificación
Para controlar de manera más efectiva los robots caminantes en ambientes no es-
tructurados, es necesario disponer de un modelo del sistema de locomoci ón que resuelva
el movimiento coordinado de las patas de manera simple, y que a la vez sea lo suficien-
temente flexible como para permitir la intervención de un sistema externo y adecuar el
movimiento de cada pata a los requerimientos particulares de la tarea a resolver. Mediante
el uso de principios neurofisiológicos se plantea una solución que cubre algunas de las des-
ventajas presentes en modelos previos en lo que respecta a la coordinación entre las patas,
y también se evita la dependencia respecto a una configuración cinemática espećıfica para
las patas del robot.
El trabajo aqúı descrito es de especial relevancia debido se usa como plataforma
de prueba del modelo un robot cuadrúpedo de tres grado de libertad por pata, área
donde hay menos trabajos de investigación sobre modelado neurofisiológico del sistema
de locomoción, situación que no ocurre en los ampliamente estudiados robots hexápodos
y cuadrúpedos con solo dos grados de libertad por pata.
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Locomoción en robots con patas
En este capı́tulo se describen los principios de locomoción en robots, en particu-
lar para plataformas con patas. Se mencionan los tipos principales de robots caminantes,
aśı como diferentes modos de caminado. Luego se explica con detalle el modelo geométrico
convencional del sistema de caminado, incluyendo la representación de los modos de cami-
nado a través de diagramas de fase. Finalmente se comentan las condiciones de equilibrio
estático necesarias en modos de caminado para robots cuadrúpedos.
2.1 Principios básicos
Los tipos de movimientos en animales y plantas, aśı como en plataformas robóticas
pueden ser clasificados como cambio de forma y locomoción. La locomoción depende de
las fuerzas aplicadas, las cuales deben poseer una componente en la misma direcci ón
del desplazamiento pero con sentido contrario. Según [1] existen cuatro tipos de fuerzas
involucradas:
• Propulsión: empuje contra el sustrato en la dirección del movimiento
• Fricción para el aumento del empuje de propulsión.
• Adhesión para contrarrestar las fuerzas no propulsivas que tiendan a despegar al
móvil del sustrato.
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• Soporte para resistir las fuerzas que tiendan a presionar al móvil contra el sustrato.
Nótese que no todas las fuerzas señaladas anteriormente están siempre presentes
en el proceso de locomoción, o bien no parece evidente su presencia. Sin embargo se puede
afirmar que en muchos casos está involucrada tanto la reacción de la superficie como la
mecánica de fluidos. La locomoción requiere un contacto entre el móvil y la superficie para
que provea de soporte y adhesión. Este contacto también puede ser útil para la propulsión
mediante la fricción.
En el caso de locomoción con patas, la limitación fundamental es la dimensión finita
de cada paso, por lo cual cada pata debe ser movida hacia adelante y atrás de manera
repetida para lograr la locomoción de la plataforma. Dado esto el sistema locomotor
tiene una caracteŕıstica propia de oscilación. Esta caracteŕıstica es de importancia en el
momento de modelar la secuencia de caminado del robot completo. Una consecuencia del
proceso de transferencia de la pata de atrás hacia adelante, momento durante el cual se
separa de la superficie, es que el soporte del robot debe hacerse mediante otros medios,
siendo las posibles opciones las siguientes:
• El móvil descansa sobre su cuerpo durante las transferencias de las patas, esto reduce
la velocidad máxima.
• La plataforma está provista de múltiples patas, donde mientras se transfiere un
grupo de ellas, aun quedan otras en contacto con la superficie dando soporte alrobot.
• El móvil vuela baĺısticamente entre pasos de propulsión, donde el equilibrio pasa
a ser dinámico, y posiblemente se requiera algún soporte dinámico en el fluido o
estabilizadores.
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La primera opción es adecuada en maquinarias pesadas y lentas donde la veloci-
dad no es cŕıtica, prefiriéndose la simplicidad del manejo de las patas. La opción de vuelo
baĺıstico es útil donde se requiere velocidad, sin embargo el control de la dinámica involu-
crada es una tarea extremadamente compleja [1][22]. La opción más usada es la segunda.
Aqúı el problema es coordinar las fases de apoyo y transferencia de las patas, aśı como la
corrección de tales movimientos según los cambios de desplazamientos y las variaciones
del entorno. El sistema que se encarga de dicha coordinación recibe el nombre de sistema
generador de modos de caminado.
Entre los robots con patas, se puede utilizar el número de las mismas como un
criterio de clasificación, estando los monópodos, b́ıpedos, cuadrúpedos y hexápodos por
mencionar los más comunes. Tanto los monópodos y los b́ıpedos conforman de por si un
grupo aparte debido a que durante la fase de transferencia de las patas a lo sumo hay
una sola pata en contacto con el sustrato. En lo concerniente al tipo de patas existen
dos grupos principales basándose en la estructura animal que la motiva: tipo reptil y tipo
mamı́fero. En la Figura 2.1 se ilustran ambas clases.
La principal diferencia entre ambos tipos de patas estriba la geometŕıa y longitud
de cada uno de los eslabones que componen la pata, aśı como de la orientación del eje
de rotación de los actuadores presentes en cada una de las articulaciones. En el caso de
la pata tipo maḿıfero, el cuerpo tiende a estar más elevado y el poĺıgono de apoyo que
forman las patas sobre el terreno es más estrecho. La desventaja de esto es que al estar
el centro de gravedad más arriba, hay menor margen de equilibrio en comparación con
la disposición tipo reptil donde el cuerpo está mas próximo a la superficie de contacto.
Sin embargo, desde el punto de vista de enerǵıa necesaria para los actuadores de cada
articulación de la pata, en esta última configuración el gasto para sostener la plataforma
es mayor, debido principalmente a que el peso del cuerpo del robot genera mayores torques
sobre las articulaciones requiriendo un acción de igual magnitud y dirección contraria para
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Figura 2.1: Tipos de patas
mantener el equilibrio.
2.2 Sistema generador de modos de caminado
El sistema generador de modos de caminado es el encargado del coordinar cada
uno de los actuadores, a fin de obtener un movimiento de las patas tal que permitan la
locomoción controlada de la plataforma robótica. Dicho sistema suele estar estructurado
para que genere referencias para la ubicación en función del tiempo del elemento terminalde la pata, ya que es ésta la que entra en contacto con el sustrato de soporte. Dado esto,
normalmente las posiciones son referenciadas con respecto a un sistema de coordenadas
colocado en el mismo móvil, por lo que la posición de cada pata es una trı́ada de valores en
el espacio cartesiano R3 de la forma (X,Y,Z). Luego estos valores de posición son llevadas al
espacio de los actuadores mediante la operación de transformación de cinemática inversa.
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La estructura convencional de un sistema generador de modos de caminado puede ser
observado en la Figura 2.2. Al usar un esquema donde se generan perfiles de la punta de
la pata en el espacio cartesiano, cualquier cambio de la estructura cinemática de la pata
solo altera la transformación espacial final a nivel de la cinemática inversa.
Figura 2.2: Sistema generador de modos de caminado
En la Figura 2.2 se pueden identificar dos subsistemas principales que conforman al
generador de modos de caminado. El primero de ellos corresponde al sistema de referencia
espacial en el cual se controla únicamente el perfil cerrado que describirá la pata durante
un ciclo completo de apoyo y transferencia. El otro subsistema presente es el de referencia
temporal, en el cual se determinan las relaciones de fase entre cada una de las patas.
Este enfoque para la generación de modos de caminado ha demostrado ser útil
cuando el móvil opera bajo ambientes controlados, casi siempre sobre superficies planas no
deslizantes. Cuando se evalúa dichos modelos en ambientes no estructurados, generalmente
las secuencias de caminado terminan siendo inoperantes. Consecuencia de ello, se han
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propuesto modificaciones a tales modelos, donde se contemplan los distintos tipos de
perturbaciones que pueda sufrir el sistema. Sin embargo, debido a que las plataformas
robóticas suelen tener un número considerable de grados de libertad, el número de casos
de perturbaciones a contemplar es elevado, por no decir infinitos. A pesar de ello, existen
modelos que poseen la capacidad de representar una serie de secuencias de caminado que
bajo ciertas condiciones de trabajo se comportan de manera aceptable. Tal es el caso del
modelo geométrico en el cual se parametriza el caminado en función del largo del paso,
duración del mismo, y porcentaje de permanencia de la pata sobre el piso. Se ha verificado
que incluyendo un parámetro que controle la relación de fase del movimiento entre cada
una de las patas del robot, es posible obtener un grupo de modos de caminado útiles como
lo son gateo, trote, galope, arrastre, entre otros[1]. Mediante la inclusión de realimentación
proveniente de sensores ubicados en la plataforma, es posible la implementaci ón de un
sistema de control el cual modificando los parámetros principales del modelo de locomoción
adecue el caminado a las condiciones de operación presentes en un momento dado.
2.3 Modelo geométrico del sistema de locomoción
Este es el modelo básico empleado para la representación y generación de distintos
modos de caminado en varios tipos de robots caminantes. Los parámetros principales del
mismo son los siguientes:
• Longitud de paso (λ): representa la longitud recorrida por la pata durante la fase de
contacto con la superficie de apoyo. Normalmente la unidad empleada para medir
este parámetro es la longitud del cuerpo del robot.
• Perı́odo de paso (τ ): es la medida del tiempo que le toma a la pata completar un
ciclo completo de apoyo y transferencia hasta el punto inicial de la secuencia.
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• Factor de apoyo (β): este parámetro es el cociente entre el intervalo de tiempo
durante el cual la pata se encuentra apoyada y la duración total de la secuencia
para una pata (τ ). El rango teórico va de 0 a 1, para valores mayores a 0.5 el pie
permanece más tiempo sobre la superficie que separado de la misma.
Nótese que este modelo parametriza la trayectoria descrita por la pata principal-
mente por la longitud del paso, durante la fase de soporte, rest ándole importancia a la
fase de transferencia de la pata. También se puede apreciar que la velocidad promedio V pro
del robot puede ser controlada directamente variando la longitud del paso y el peŕıodo delpaso, siguiendo la relación dada por V pro = λ/τ . El parámetro β modifica el tiempo que
permanece la pata en soporte y en transición. Para éste no se suelen usar valores extremos
(0 o 1) ya que hace que los actuadores en la pata operen a altas velocidades para cubrir
un recorrido dado en un corto tiempo.
En la Figura 2.3 se muestra un perfil espacial rectangular para una pata, y se
identifican los parámetros más relevantes del modelo geométrico.
Figura 2.3: Parámetros de modelo geométrico
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2.4 Representación de modos de caminado mediante
diagramas de fase
Una técnica muy utilizada para la representación de los distintos modos de cami-
nado es mediante el uso de diagramas de fase. Debido a que el movimiento de cada pata
es de naturaleza ćıclica con un peŕıodo finito τ , el cual normalmente es igual para todas
las patas, el sistema de referencia temporal queda descrito de manera unı́voca mediante la
relación de fase. Este enfoque también incorpora el concepto temporal de factor de apoyo
(β ). Debido a su naturaleza temporal, no se incluye ningún tipo de información corres-pondiente a la geometŕıa de la pata ni se describe de manera alguna el perfil espacial que
describe el elemento terminal de la pata. Solo se identifica la fase de transferencia y la fase
de apoyo. En la Figura 2.4 se ilustra éste método de representación para el movimiento
de una pata, con diferentes valores de factor de apoyo.
Figura 2.4: Diagramas de fases para una pata con distintos valores de β
La información espacial provista por este tipo de diagramas de fase se limita a
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solamente dos estados: en contacto con la superficie que corresponde a la fase de soporte,
y en el aire que es la fase de transferencia de la pata. Dado esto, es posible representar
todos los tipos de caminado, a la vez que facilita la comparación desde el punto de vista
temporal de distintos modos y modelos de caminado para distintos robots caminantes. En
el caso especı́fico de robots cuadrúpedos, existen varios modos comunes de caminado. En
la Figura 2.4 se muestran 3 de estos modos.
Figura 2.5: Diagramas de modos de locomoción en robots cuadrúpedos
Se puede observar que el modo Arrastre es estáticamente estable. Para ello es ne-
cesario que estén apoyadas como mı́nimo tres de la cuatro patas del cuadrúpedo, lo quedetermina que el factor de apoyo sea mayor a 0.75 para todas las patas. En lo que respecta
a los modos de caminado denominados Trote y Galope las condiciones de equilibrio son
diferentes. En ambos casos el cuadrúpedo se mantiene en equilibro dinámico, sin embar-
go es necesario que se mueva a velocidades mayores cuando adopta el último modo de
caminado donde vuela baĺısticamente entre las fases de soporte[1][23].
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2.5 Equilibrio estático en robots cuadrúpedos
En modos de caminado estáticamente estable se establece que el robot puede per-
manecer indefinidamente en alguna posicíon del ciclo completo de locomoción, y aun
aśı permanecer en equilibrio si requerir de algún sistema de control externo. Ésto no
ocurre en modos de caminado dinámicos como trote y galope, puesto que existen fases
donde a lo sumo hay dos patas en fase de soporte, caso donde la plataforma es inestable
estáticamente.
Para un robot cuadrúpedo en modo de caminado estático la condición de equili-
brio se resume a que la proyección de la fuerza de gravedad sobre la superficie de apoyo,
intersecte al poĺıgono de apoyo en su interior. De esta manera los pares de rotación pro-
ducto del peso por el brazo de palanca de cada pata apuntan todos hacia el interior de la
plataforma, siendo todos anulados por las componentes normales en los puntos de apo-
yo. Si la proyección del peso cae fuera del poĺıgono de apoyo, se tiene una componente
no nula de rotación que reduce la fuerza de soporte en alguna de las patas, provocandosu desprendimiento de la superficie de apoyo, y por último el volcamiento del robot. La
condición de equilibrio se ilustra con detalle en la Figura 2.6.
En el caso que se muestra a la izquierda, están en apoyo las patas 2,3 y 4; el vector
peso aplicado en el centro de gravedad en dirección normal al plano de vista intersecta al
plano de apoyo fuera del poĺıgono de apoyo. En este caso el robot es inestable. El peso
produce un par de rotación sobre el eje de apoyo entre la pata 2 y la pata 3 en sentidohacia la pata 1 que no está en apoyo. En cambio, en el caso mostrado a la derecha la
proyección del peso está contenida dentro del triángulo de apoyo que forman las patas 1,
2 y 3. Las restricciones arriba descritas normalmente conllevan a que en la generación de
referencias espaciales a las patas durante la fase de soporte, sea necesario la inclusi ón de
un corrimiento sobre el plano de apoyo (X-Y). El punto ideal de ubicaci ón de la proyección
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Figura 2.6: Condición de equilibrio estático en robots cuadrúpedos
del centro de gravedad es el centroide del poĺıgono de apoyo. Sin embargo ya que el cuerpo
está en movimiento, dicho centro de referencia también debe moverse con el tiempo. Para
ésto, se sigue una secuencia de pasos y desplazamientos tal como la que se muestra en la
Figura 2.7.
En la secuencia de pasos se observa que el robot cuadrúpedo pasa por fases de
apoyo con 3 patas y 4 patas de manera alternada. Las secuencias con 3 patas, donde el
poĺıgono de apoyo es un triángulo, el robot se desplaza de manera tal que el centro de
gravedad del mismo se acerque al centro geométrico del triángulo de apoyo. Luego de cada
una de estas secuencias, la pata que está en el aire se apoya, expandiendo el poĺıgono a un
cuadrilátero. En esta fase el cuadrúpedo nuevamente desplaza su centro de gravedad a fin
de que quede dentro del triángulo que se formará en el paso siguiente cuando se levantenuevamente una pata. Este ciclo de alternancia de apoyo y desplazamiento del centro
de gravedad se repite para las fases de transferencia de cada una de las patas. Existen
trabajos donde ampĺıan la noción de margen de estabilidad en locomoción cuadrúpeda
hacia situaciones de caminado dinámico como en [13], pero este tipo de condiciones de
operación no se consideran dentro del presente trabajo.
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Figura 2.7: Secuencia de caminado con equilibrio estático para robots cuadrúpedos
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Modelos neurofisiológicos del sistema
locomotor en animales
En este caṕıtulo se menciona el modelo descriptivo del sistema neuronal en ani-
males. Ésto permite una mejor comprensión de los principios neurofisiológicos que rigen
al caminado en sistemas biológicos. Se mencionan las caracteŕısticas desde el punto de
vista externo del sistema de locomoción. Posteriormente se hace referencia al modelo de
Hodgkin-Huxley, en el cual varios autores se basado para desarrollar distintas propues-
tas de modelos neuronales para la representación del sistema de caminado. Al término del
caṕıtulo se describe el concepto de CPG (Central Pattern Generator) ó Generador Central
de Patrones , el cual permite modelar el principio neurofisiológico actualmente aceptado
en la generación de movimientos ŕıtmicos en animales.
3.1 Neurofisioloǵıa de la locomoción en animales
Una de las áreas de conocimiento que ha inspirado soluciones a problemas en el áreade robótica es la asociada a la Bioloǵıa. Ejemplos basados en la morfoloǵıa y estructura
de las patas en robots caminantes saltan a la vista (ver Figura 2.1). También ha influido
en algunos diseños de la estructura misma del robot, en tales caso se usa el término de
biomórfico para identificar dichas soluciones. En otros casos la influencia no es visible
en la forma del robot, sino en su comportamiento. Aqúı los conocimientos de ramas de
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la bioloǵıa como el estudio del comportamiento animal (etoloǵıa), son utilizados para la
programación de las plataformas, en especial en el caso de sistemas de robots cooperantes.
Si bien, el sistema de locomoción con patas se ha visto inspirado desde un principio
por los animales, dicha influencia es principalmente en el tipo de secuencias que se desean
que emulen las maquinas. No ha sido sino desde la década de los 90 que se han iniciado
estudios relevantes en identificar el modelo biológico que opera en animales para generar
dichas secuencias. Dada la naturaleza de como está constituido f́ısicamente el sistema que
controla el caminado en seres vivos, tales modelos reciben el adjetivo de neurofisiol ógicos.
Los especialistas del área han logrado proponer una serie de modelos que a pesar de las
diferencias entre los mismos, existe un componente común nada despreciable. A continua-
ción se enumeran una serie de planteamientos comunes entre los diferentes modelos:
• El sistema de locomoción se encuentra realimentado localmente, bien por sensores
de tacto, presión, músculos, etc.
• El procesamiento y la generación de señales motoras son procesos altamente paralelos
y de muy baja frecuencia.
• El cerebro solo se encarga de generar predicciones de movimiento y efectuar control
feedforward .
• Las células musculares solas pueden oscilar: comportamiento miogénico.
• Las células de mismo tipo al conectarse oscilan coordinadamente: comportamiento
electrot´ onico.
• Es un modelo probabiĺıstico: es más efectivo ensayar y errar muchas veces en un
tiempo pequeño, que el modelado exacto. durante un largo peŕıodo de tiempo.
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Existen algunos casos donde las caracteŕısticas de generación automática de movi-
mientos coordinados de un grupo de músculos es evidente, como los procesos de digestión,
latido del corazón, respiración. Todos ellos son posibles sin la necesidad de intervención
directa de una unidad de procesamiento compleja como lo es el cerebro. Si se observa
el proceso de locomoción con patas, se aprecia su naturaleza oscilatoria. Ello ha hecho
pensar la existencia de una estructura semejante a la antes descrita donde buena parte
del proceso de generación de trayectorias y control de las mismas se efectúe de manera
local.
En lo que respecta a la estructura f́ısica dentro de los animales encargada del
proceso de coordinación de la locomoción, se han identificado al arreglo de neuronas
transmisoras y elementos neuromotores (conexión entre neuronas y músculos) como el
componente de mayor importancia. Debido a la disposición de las mismas como un sistema
interconectado hace que se les identifique como redes neuronales . Uno de los primeros y
más difundidos modelos descriptivos de la fisioloǵıa de las neuronas en animales es el
propuesto por Hodgkin-Huxley [24].
3.2 Modelo descriptivo de Hodgkin-Huxley
Hodgkin y Huxley realizaron experimentos con neuronas gigantes de calamares e
identificaron la presencia de tres tipos principales de corrientes i ónicas: Sodio, Potasio y
una corriente de fuga que consiste principalmente en iones de Cloro. El flujo de tales iones
a través de la membrana celular es controlada por voltaje de manera independiente para
cada canal.
En la Figura 3.2 se muestra el esquemático equivalente para el modelo. El capacitor
C representa a la membrana celular semipermeable. Dado el transporte activo de iones a
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Figura 3.1: Diagrama esquemático del modelo Hodgkin-Huxley
través de la membrana celular, existe una diferencia en la concentración de iones dentro
y fuera de la célula. El potencial de Nernst 1 se representa por una bateŕıa. Planteando
las ecuaciones correspondientes a la ley de conservación de la carga para una sección de
la membrana celular, nos queda que la corriente I (t) se separa en una corriente que carga
a C y otro componente I k que se distribuye entre los canales iónicos. Por lo tanto:
I (t) = I c(t) +k
I k(t) (3.1)
En el modelo estándar de Hodgkin-Huxley solo existen 3 tipos de canales iónicos:
un canal de sodio (Na), un canal de potasio (K) y un canal de fuga denotado como una
resistencia R. Utilizando la definición de corriente para un capacitor, I c puede ser escrita
de la forma:
C du
dt = I (t) −
k
I k(t) (3.2)
1Es el nivel de potencial a través de la membrana celular que se opone exactamente a la difusión deun ion en particular a través de dicha membrana.
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Como se señalo antes, el modelo Hodgkin-Huxley describe tres tipos de canales,
los cuales pueden ser representados por su resistencia o por su conductancia. El canal de
fuga es descrito por una conductancia independiente del voltaje gL = 1R ; la conductancia
de los demás canales iónicos son dependiente del voltaje de la membrana celular y del
tiempo. La máxima corriente que puede circular por los canales K y Na ocurren con
los valores máximos de conductancia gK y gNa, respectivamente. Sin embargo existe una
probabilidad de que algunos de los canales estén bloqueados. La probabilidad de bloqueo
de cada canal se describe con tres variables extras m, n y h. La acción conjunta de m y
n controla al canal Na+ y la variable h lo hace con el canal de K +. El modelo especı́fico
propuesto por Hodgkin-Huxley para los tres canales es:
I k = gNam3h(u − E Na) + gK n
4(u − E K ) + gL(u − E L) (3.3)
Los términos E Na y E K son los potenciales inversos, los cuales junto con las con-
ductancias son valores emṕıricos. Los valores inicialmente reportados por Hodgkin-Huxley
se muestran en la Tabla 3.1 Las variables m, n y h evolucionan de acuerdo a las siguientes
x E x gxNa 115 mV 120 mS/cm2
K -12 mV 36 mS/cm2
L 10.6 mV 0.3 mS/cm2
Tabla 3.1: Parámetros del Modelo Hodgkin-Huxley
ecuaciones diferenciales
ṁ = αm(u)(1 − m) − β m(u)mṅ = αn(u)(1 − n) − β n(u)n
ḣ = αh(u)(1 − h) − β h(u)h(3.4)
donde las funciones que describen a α y a β que se muestran en la tabla 3.2,
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x αx (u/mV) β x(u/mV)n (0,1 − 0,01u)/(e1−0,1u − 1) 0,125e−u/80
m 2,5 − 0,1u/(e2,5−0,1u − 1) 4e−u/18
h 0,07e−u/20 1/(e3−0,1u + 1)
Tabla 3.2:
son funciones emṕıricas en función del potencial eléctrico u para ajustarse a los datos
experimentales del axón gigante del calamar.
Las tres ecuaciones 3.4 pueden ser reescritas de la siguiente forma
ẋ = − 1
τ x(u)(x − x0(u)) (3.5)
donde x corresponde a m, n o h. Para un valor fijo de voltaje u, la variable x
converge eventualmente al valor de x0(u) con una constante de tiempo τ x(u). Los valores de
x0(u) y τ x(u) pueden ser despejados de las ecuaciones 3.4. En la Figura 3.2 se muestran las
gráficas de las funciones x0(u) y τ x(u) utilizando los valores emṕıricos de Hodgkin-Huxley
Figura 3.2: Función de equilibrio X 0(u) y Constante de tiempo τ (u) en modelo Hodgkin-Huxley
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3.2.1 Dinámica del modelo Hodgkin-Huxley
Aqúı se mencionan los aspectos más relevantes de la dinámica del modelo de
Hodgkin-Huxley. En la Figura 3.2 se observa que conforme aumenta el potencial u, se
incrementan m y n a la vez que h disminuye. Por lo tanto, si alguna señal externa provo-
ca un aumento en el voltaje de la membrana celular, la conductancia del canal de sodio
aumenta debido al incremento de m. Como consecuencia, aumenta el flujo de iones de
sodio hacia el interior de la célula incrementando aun más el potencial interno. Si esta
realimentación positiva es lo suficientemente grande se inicia un potencial de acci´ on .
Como ejemplo de esta situación tenemos el caso de generación de un pulso cuando
el modelo es excitado con una corriente externa I durante un tiempo breve. En la Figura
3.2.1 se muestra el pulso generado para una entrada excitatoria aplicada en justo t
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una entrada de corriente constante mayor a un valor de umbral, a la salida del sistema
se observa un tren de pulsos a una tasa de repetición τ s constante. Cuando se excita el
modelo con dos pulsos consecutivos de corriente de igual magnitud, existe un periodo
mı́nimo de separación tgap, debajo del cual la salida obtenida es un solo pulso en lugar
de dos. Éste fenómeno de enmascaramiento temporal se debe principalmente a que justo
después del primer pico de salida, los canales de iones están todos abiertos por lo que la
resistencia de la membrana es mucho menor que en el caso de reposo y la corriente que
circula es máxima. Ésto causa una hiper polarización en el potencial de la membrana,
provocando que el umbral de disparo sea mucho mayor que en reposo.
Actualmente existen distintos modelos de neuronas que realizan una descripción de
las neuronas biológicas funcionalmente equivalente al propuesto inicialmente por Hodgkin-
Huxley. Un modelo que se presenta como una extensión lógica del original son las Spiking
Neural Networks (SNN). Otro tipo de implementación dinámicamente equivalente, el cual
mantiene el enfoque de representación de las neuronas como integradores con fuga y posee
variables de constantes de tiempo asociadas a la permitividad de la membrana célula, son
las redes recurrentes de tiempo continuo conocidas como CTRNNs, cuyo uso ha sido
popularizado gracias al trabajo de Chiel-Beer [15][16]. Se han realizado estudios sobre
la dinámica del modelo de Hodgkin-Huxley en el campo de la matemática de sistemas
dinámicos, hasta utilizando métodos de análisis propios de teoŕıa de caos. Sin embargo
este tipo de consideraciones escapan a los objetivos del presente trabajo.
3.3 CPG: Central Pattern Generator
Para el acto de caminar, saltar o correr los animales requieren de la activación
progresiva y coordinada de grupos de músculos. Existen dos modelos iniciales propuestos
por los neurofisiólogos que trataban de describir de manera intuitiva como el sistema
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nervioso lograba controlar alternadamente la contracción de los músculos extensores y
flexores. En uno de los modelos se sugeŕıa que los receptores de los sensores monitoreaban
continuamente el estado de las articulaciones, activando reflejos en momentos espećıficos
para aśı lograr el movimiento deseado. En el otro caso se sugiere la existencia de un
sistema o circuito oscilador en la espina dorsal o en el ganglio central que provee de las
señales de temporización esenciales para la activación de los músculos consiguiendo aśı el
movimiento repetitivo deseado (Marder2001[25][26]). El primer mecanismo se denomina
cadena de reflejos y el último generador central de patrones (CPG).
Actualmente se define como CPG a un circuito capaz de producir patrones motores
ŕıtmicos en ausencia de est́ımulo externo, bien sea proveniente de una entrada sensorial o de
una señal descendente de algún sistema de control superior. Es decir, un CPG está presente
cuando la existencia de un comportamiento ŕıtmico no depende de los centros periféricos
o centrales del animal, aunque las señales de tales centros alteren los patrones motores
producidos por el CPG. Existen varios trabajos que estudian el efecto de la realimentación
de los sistemas perif́ericos, al modular la respuesta del generador central de patrones
[6][11][27][28].
La existencia de circuitos generadores centrales de patrones fue demostrada a través
de experimentos que mostraban que movimientos ŕıtmicos eran producidos aún después
de que la realimentación proveniente de las piernas era removida. Este tipo de patr ón
motor se denomina ficticio puesto que no genera ningún movimiento, pero si se conectase
la salida del circuito del CPG a las neuronas motoras, su efecto seŕıa el de movimiento
ŕıtmico.
Se han identificado dos estrategias para la generación de comportamientos ŕıtmicos
en las neuronas. Algunos de estos comportamientos son manejados por neuronas que son
osciladores, y actúan como marcapasos. Este tipo de neuronas son similares a las presentes
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en el corazón, y tienen una combinación espećıfica de canales de iones dependientes de
voltaje, que causa que se disparen ŕıtmicamente en ausencia de señal de excitación externa.
Dicho comportamiento se puede asociar a uno de naturaleza miogénica. La dinámica del
comportamiento básico es semejante a la descrita para el modelo de neuronas de Hodgkin-
Huxley, con la importante salvedad de que este último requiere de una señal de activación
externa para la generación de una salida ŕıtmica.
Otro tipo de comportamiento rı́tmico resulta de la interacción sináptica entre neu-
ronas que no son ŕıtmicamente activas, tal como ocurre en las células con comportamiento
electrotónico. En este caso los ritmos son considerados como un comportamiento emer-
gente del circuito, resultante de las propiedades individuales de las neuronas y de las
interacciones entre las neuronas presentes en el circuito. En ambos casos la temporización
espećıfica de los elementos del circuito es consecuencia de la conexión sináptica de las
neuronas.
Todos los circuitos generadores de patrones están sujetos a la modulación median-
te neurotransmisores y hormonas, que pueden alterar la frecuencia y la intensidad de los
patrones motores producidos al actuar sobre un subgrupo espećıfico de neuronas del cir-
cuito CPG. Este fenómeno de neuromodulación juega un rol importante en el proceso de
adaptación de los patrones básicos de locomoción a las diferentes condiciones bajo la cual
se desenvuelve el organismo. Por ejemplo, de esta manera es posible modificar el modo de
caminado a fin poder lidiar con las irregularidades del terreno, o también obtener ritmos
motores que no están preprogramados en el sistema neuronal, como seŕıan bailar o escalar.
Las caracteŕısticas antes descritas para el CPG destacan la importancia de dos
aspectos fundamentales en el proceso de generación de señales de control durante la lo-
comoción con patas. Primero está la generación independiente de señales oscilatorias, las
cuales controlan a los actuadores a fin de obtener un movimiento preprogramado. Da-
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Análisis comparativo de modelos de CPG
En el presente caṕıtulo se efectúa una análisis comparativo entre los distintos
enfoques utilizados por varios autores en el modelado de CPG para locomoción en robots
con patas. Se detallan las distintas arquitecturas estudiadas, a la vez que se identifican
que caracteŕısticas propias de los sistemas biológicos son incorporadas en los modelos. Se
analizan las metodoloǵıas descritas por los autores de tales modelos de CPG en locomoción
de robots. Empleando tales metodoloǵıas se efectúan pruebas de simulación y se analizan
los resultados obtenidos. Partiendo de ello se identifican las ventajas y desventajas relativas
de cada alternativa para la sı́ntesis de un modelo de caminado en robots cuadrúpedos.
El primer modelo estudiado es el propuesto por Chiel y Beer [15][16], donde se
menciona el uso de redes neuronales recurrentes para replicar la naturaleza oscilatoria del
CPG. En el estudio del modelo de osciladores acoplados, denominado ACPO y descrito
por J. Buchli y A. J. Ijspeert en [18], se identifica un enfoque más anaĺıtico de la dinámica
del sistema oscilador, a la vez que se detallan las ventajas para el control de transici ón
entre diferentes movimientos rı́tmicos preprogramados. Por último se estudia el concepto
de Dynamic Neural Networks, descrito en el trabajo de P. Zegers [ 29][30], que incorpora
la idea de neuromodulación descrita en el caṕıtulo anterior.
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4.1 Modelo de Chiel-Beer usando CTRNN
En el trabajo realizado por Chiel y Beer, se hace uso de las redes neuronales
recurrentes en tiempo continuo, mejor conocidas como CTRNN por siglas en inglés (Con-
tinuous Recurrent Neural Networks). Estas redes neuronales se basan en nodos básicos o
neuronas cuya función de estado se encuentra descrita por la Ecuación 4.1:
τ i ẏi = −yi +
M j=i w
jiσ(y j + θ j) + I i, i = 1, · · · , M (4.1)
En la Ecuación 4.1 se tiene que yi ∈ es la salida de la neurona i-ésima. La
constante de tiempo asociada a la permitividad de la membrana celular se representa
como τ ∈ , mientras que los pesos de las conexiones sinápticas entre las neuronas de la
red están representados por wij ∈ . La variable θ j corresponde al punto de operación de
cada nodo. El término I i es la entrada externa al sistema, que se mantiene en cero cuando
se desea obtener la respuesta natural del sistema. La funci ón kernel de transferencia de
cada neurona es la sigmoide loǵıstica estándar:
σ(x) = 1
1 + e−x (4.2)
Existen varios aspectos importantes de este modelo particular de redes neurona-les. Los autores argumentan que posee una explicación plausible desde el punto de vista
biológico, ya que el estado de la neurona y se puede asociar al potencial eléctrico de la
membrana de la neurona, tal como ocurre en el modelo Hodgkin-Huxley. La función σ(x)
representa un promedio de corto plazo de la frecuencia de disparo de la neurona, y el
peso de autoconexión wii se puede interpretar como una conductancia activa no lineal.
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Desde el punto de vista matemático, se puede considerar que la Ecuación 4.1 describe la
evolución temporal de la variable de estado y de la neurona i-ésima. Ahora bien, el estado
total del sistema con N nodos queda descrito por el vector de estado Y sis, con una función
de transición de estados F (Y, I ) no lineal, como se muestra en la Ecuación 4.3.
Y = [y1, y2, y3, · · · yN −1]T
Ẏ = F (Y, I )(4.3)
Los esquemas de conexión de las neuronas en redes de este tipo suelen ser con un
alto número de interconexiones bidireccionales entre los nodos. Debido a que se necesita
al menos una señal de referencia de ángulo por cada uno de los motores en un robot con
patas de 3 GDL, las CTRNN que pueden revestir cierto interés son aquellas que tienen
en su estructura como mı́nimo 3 nodos. También son útiles aquellas con mas neuronas,
bastando con emplear un subespacio del vector de salida quedando un total de N − 3
neuronas sin salida directa, pero que incrementan el orden del sistema. En la Figura 4.1
se muestran varios ejemplos de CTRNN:
Figura 4.1: Ejemplos de CTRNN interconectadas
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4.1.1 Arquitectura de CPG basado CTRNN
La arquitectura descrita a continuación corresponde a un esquema de interconexión
completa entre todos los nodos, lo cual incluye todas las posibles arquitecturas de tamaño
N . Este tipo de redes continuas no son tan costosas desde el punto de vista computacional.
A pesar de su aparente simplicidad, se ha demostrado que las CTRNN se pueden utilizar
como aproximadores universales de sistemas dinámicos[31]. El número total de parámetros
requeridos para describir una red totalmente interconectada con N elementos son N 2 +
2N . En [15][16], los autores describen el uso de algoritmos genéticos para la śıntesis de
dichos parámetros, en redes neuronales con un total de 3, 4 y 5 neuronas las cuales
posteriormente analizaron a fin de identificar la presencia de módulos dinámicos básicos
para comportamientos oscilatorios.
El modelo de cuerpo empleado es de tipo insecto, donde se analiza el movimiento
de una sola pata para el proceso de locomoción. La pata es controlada por tres efectores,
uno especifica el estado de la pata y los otros dos trabajan de manera antagónica e indican
el torque de giro de la pata. Esto da como resultado que la red neuronal tenga un mı́nimo
de 3 neuronas para modelar el CPG correspondiente a dicha estructura mecánica. En la
Figura 4.2 se muestra el modelo mecánico utilizado, ası́ como la arquitectura de la red de
3 nodos totalmente interconectada.
La neurona FT (Foot) controla el posicionamiento vertical de la pata. Cuando FT
es mayor a 0.5 la pata se encuentra apoyada sobre el piso, y se levanta en el caso contrario.
Las otras dos neuronas motoras son BS (Backward Swing) y FS (Forward Swing). Cuando
el pie está arriba, las salidas de BS y FS escalan los torques m áximos torques de la pata;
cuando el pie esta apoyado, estas salidas escalan la máxima fuerza del pie aplicada al
cuerpo.
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Figura 4.2: Arquitectura de CPG basada en CTRNNs
La desventaja del enfoque descrito en el trabajo de Chiel y Beer, est á en que no se
toma en consideración la existencia de conexiones entre los distintos CPG que controlan
a cada una de las patas, de manera tal que se coordinen los movimientos de las mismas y
aśı obtener un caminado controlado.
4.1.2 Metodoloǵıa para śıntesis de CPGs utilizando CTRNN
A fin de modelar un CPG para locomoción en robots es necesario obtener un siste-
ma cuya salida posea ciertas caracteŕısticas espaciales y temporales. Para la arquitectura
descrita previamente, Chiel y Beer obtuvieron mediante AGs un set de soluciones v álidas
para su modelo de cuerpo con una pata simple. En la Ecuación 4.1 se tiene la transición
de estados, donde el gradiente del estado de cada neurona viene dado en funci ón de los
estados de toda la red y de las entradas externas. Todo el análisis aqúı descrito se basa
en la respuesta natural del sistema, es decir para una entrada externa nula.
La resolución numérica de las ecuaciones diferenciales se realizó utilizando el méto-
do de Euler con un paso igual a 0,1. A fin de validar la implementación del modelo de red
CTRNN empleada en el presente trabajo, se procedió a replicar los resultados obtenidos
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por Chiel y Beer para la red con 3 nodos. En la Figura 4.3 están graficadas las formas de
ondas de los estados de las neuronas, con los valores de τ , wii y θ citados en [15][16]. Éstos
parámetros se muestran en la Tabla 4.1, y corresponden a la mejor solución sintetizada
mediante algoritmos genéticos en los dos trabajos previamente enumerados.
Tau(τ ) Bias (θ) ωFT → ωFS → ωBS →FT 7.2777 -9.5733 -3.209000 15.546400 11.594100FS 2.3042 12.3221 -12.919000 -12.697000 1.562800BS 2.9261 -7.0150 6.167400 13.606400 -3.227800
Tabla 4.1: Valores de parámetros para CTRNN
Figura 4.3: Salidas de CTRNN de Chiel-Beer. Euler = 0.1
En la Figura 4.3 se observa la evolución temporal del sistema con señales de entrada
iguales a cero (I i = 0) para todos los nodos, y que parte de condiciones iniciales de
reposo. El sistema va convergiendo progresivamente a una respuesta con comportamientooscilatorio sostenido. Este tipo de análisis permite identificar la respuesta del sistema
ante una condición inicial dada, pero resulta necesario ampliar el estudio de la red a fin
de caracterizar su respuesta ante distintas condiciones iniciales.
Se tiene que debido a la naturaleza continua de la ecuación que rige la evolución
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temporal de los estados en cada neurona, siempre estará definido el campo de velocidad
o gradiente de estado asociado a cualquier estado de la red. Partiendo de ésto, a con-
tinuación se introduce el uso de la visualización en un plano del gradiente de estados,
sobre el cual se superponen las distintas trayectorias resultantes para diferentes condicio-
nes iniciales. Como el sistema completo posee 3 nodos, por lo cual su espacio de salida
es tridimensional, las gráficas obtenidas se pueden interpretar como proyecciones en un
plano de las trayectorias tridimensionales. Dicho plano se construye sobre un espacio de
salida dado por 2 de los 3 nodos de la red completa.
Figura 4.4: Vista 2D de salida de CTRNN de 3 nodos
En la Figura 4.4 se muestra la evolución espacial de los estados del sistema descrito
por los parámetros mostrados en la Tabla 4.1 para distintas condiciones iniciales. El plano
de proyección corresponde a las salidas de las neuronas FT y BS. Se puede apreciar que
el sistema eventualmente cae dentro de un ciclo lı́mite fijo, el cual está directamente aso-
ciado al comportamiento oscilatorio ilustrado en la Figura 4.3. Estudios previos sobre la
dinámica de sistemas implementados mediante CTRNN señalan que los mismos exhiben
diferentes tipos de comportamientos. En el caso espećıfico de una red con 3 nodos, se
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tiene que el sistema completo puede ser de naturaleza estable u oscilatoria; esta clasifi-
cación se basa en la eventual convergencia del sistema a un punto de equilibrio o a un
ciclo oscilatorio respectivamente. Las configuraciones estables pueden ser de dos tipos a
su vez: monoestable o biestable; el fenómeno en el cual la naturaleza de un nodo pasa
de ser monoestable a biestable se denomina bifurcación. La bifurcación puede obtenerse
controlando las entradas al mismo.
Éste tipo de representación se puede ampliar hacia sistemas con mayor numero
de neuronas, obteniéndose una proyección de la trayectoria en un espacio N-dimensional
sobre un plano arbitrario. Los resultados que se muestran a continuación corresponden a
de trayectorias de redes con 3 neuronas, sobre el plano descrito por los vectores de salida
de las neuronas 1 y 2. Los puntos correspondientes a las condiciones iniciales se obtuvieron
de un arreglo equiespaciado de valores en el rango de −20 hasta 20, con saltos de 4 para
las neuronas 1 y 2, manteniendo en cero (0) el valor de la neurona 3. Los parámetros de
la red se obtuvieron de manera emṕırica, ya que las redes aśı sintetizadas son empleadas
con fines ilustrativos. La simulación de la red se efectuó utilizando la técnica de Euler,
con un paso de iteración igual a 0,1. Para las gráficas de intensidad de campo, se calcula
el módulo del vector gradiente en el plano de visualización.
En la configuración monoestable, se puede identificar mediante inspección directa
de las Figuras 4.5 y 4.6, el estado de equilibrio final del sistema al cual converge inde-
pendientemente del estado inicial; situación semejante ocurre al observar la gráfica de
intensidad del campo (Figura 4.7). Sin embargo este tipo de configuración reviste poco
interés para la generación de comportamientos rı́tmicos que puedan resultar útiles en lo-
comoción de robots con patas. Podŕıan ser utilizados en esquemas de control donde se
desee bloquear algunos de los actuadores en particular, o hacer que el sistema sea mono-
estable pero al modificar las entradas del mismo se produzca una bifurcaci ón volviéndolo
biestable o inclusive oscilatorio.
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Figura 4.5: Vista 3D de campo atractor. Configuración monoestable
Figura 4.6: Vista 2D de campo atractor. Configuración monoestable
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Figura 4.7: Intensidad de campo atractor. Configuración monoestable
Figura 4.8: Vista 3D de campo atractor. Configuración biestable
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Para la configuración tipo biestable, las gráficas del campo atractor ofrecen infor-
mación inmediata sobre los dos estados finales de equilibrio del sistema (Figura 4.8 y 4.9).
En la gráfica de intensidad del campo (Figura 4.10) se pueden identificar posibles regiones
de equilibrio las cuales corresponden a las áreas con valores mı́nimos de gradiente en el
plano; pero no es posible extraer de manera directa información alguna sobre las trayec-
torias que recorren los estados del sistema antes de converger a los puntos estables. Cabe
señalar que esta imprecisión en la determinación de los estados de equilibrio mediante el
gráfico de intensidad es consecuencia de que el mismo es una representación en un espacio
de dimensión inferior a la de salida del sistema.
Figura 4.9: Vista 2D de campo atractor. Configuración biestable
El comportamiento que encierra mayor importancia en la śıntesis de generadores
de caminado mediante el uso de CTRNN es la de tipo oscilatoria. En las Figuras 4.11 y
4.12 es posible identificar el ciclo ĺımite al cual converge eventualmente el sistema. Para
la gráfica de intensidad mostrada en la Figura4.13 no resulta directa la identificación de
dicho ciclo ĺımite. Un fenómeno observable en la Figura 4.11, es que dependiendo del
estado del cual parta el sistema, la fase final de la señal oscilatoria variará.
El fenómeno de desfase dependiente del punto inicial representa un problema im-
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Figura 4.10: Intensidad de campo atractor. Configuración biestable
Figura 4.11: Vista 3D de campo atractor. Configuración oscilador
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Figura 4.12: Vista 2D de campo atractor. Configuración oscilador
Figura 4.13: Intensidad de campo atractor. Configuración oscilador
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portante al momento de sinteti