Download ppt - Geometría Analítica en el Espacio Material Didáctico Innovador Colaboradores: Dra. Martha Guadalupe Canales Leyva M.I. Rocío Patricia Rivas Llanas Ing

Geometría Analítica en el EspacioMaterial Didáctico Innovador

Colaboradores:

Dra. Martha Guadalupe Canales Leyva

M.I. Rocío Patricia Rivas Llanas

Ing. Berenice Franco Estrada

Ing. Carlos Alfonso Gameros Morales

M.I. José Lino Carrillo

M.C. Claudio Hiram Carmona Jurado

15/09/2010 1

3.1 Recta en el espacioRECTARECTA Una recta es un conjunto de punto alineados en una cierta dirección.

PUNTOS COLINEALESPUNTOS COLINEALES Si dos o más puntos se encuentran en una recta se le dice que son colineales.

PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTALa pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) esta dada por:

Si x2- x1=0 y y2 ≠ y1 , entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.Para cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir con su ecuación de la forma pendiente- ordenada:pendiente- ordenada:

y =mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada (valor de y en e punto en que se cruza el eje y). Tal ecuación define a la recta sobre el origen.

15/09/2010 2

3.1 Recta en el espacioLA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE UN PUNTO Y SU PENDIENTELA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE UN PUNTO Y SU PENDIENTELa ecuación de una recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente m en la forma

punto- pendiente punto- pendiente es:y – y1 = m ( x – x1)

x

y

(x1,y1)

bLL

15/09/2010 3

3.1 Recta en el espacioLA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS DE LA RECTALA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS DE LA RECTALos puntos P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) se encuentran en la recta LL, donde su pendiente

esta dada por la ecuación:

Entonces la ecuación de una recta dados dos de sus puntos será:

x

y

(x2,y2)

LL

(x1,y1)

15/09/2010 4

3.1 Recta en el espacio

kzzjyyixxv )()()( 121212

15/09/2010 5

3.1 Recta en el espacioPara el caso de conocer dos puntos en el espacio tridimensional, los cuales son parte de una recta L, entonces se representan de la siguiente manera:

Estos puntos representan dos vectores de posición y .Del punto P al punto Q se encuentra un vector :

x

y

z

Q P

L

0

15/09/2010 6

3.1 Recta en el espacioExiste un segmento en la recta LL que se encuentra entre los puntos P y Q donde se unen dichos puntos como se puede observar en la grafica siguiente:

x

y

z

Q P L

v

0

15/09/2010 7

3.1 Recta en el espacioDe lo antes expuesto tenemos los siguientes planteamientos.

Existe un vector de posición del origen al punto Q expresado .Existe una vector de posición desde el origen al punto P expresado .Existe un vector v que se encuentra entre los puntos P y Q , donde v es parte de la

recta que une a los puntos P y Q.Por lo anterior se define el vector v que une los puntos P y Q se obtiene restando a

los vectores de y :

Por lo tanto el vector v queda definido como :

Consultar el grafico.

15/09/2010 8

3.1 Recta en el espacioEjemplo:Ejemplo:Sean los puntos sobre una recta P=(1, -1, 2), Q=(-2, 4, 1) , para encontrar el vector entre ambos puntos se realizan las siguientes operaciones:• Calculamos el vector por la formula siguiente:

• Desarrollando los datos:

• Expresando las operaciones con los componentes i, j, k:v=(x2-x1)ii +(y2-y1)jj +(z2-z1)kk

• Sustituyendo los valores:v=(-2-1)ii + (4-(-1))jj+(1-2)kk

•El vector v entre P y Q es:v=-3ii + 5j j -1kk

15/09/2010 9

3.1 Recta en el espacioEjemplo: Ejemplo: Representación grafica de la recta definida anteriormente•El vector v=-3ii + 5j j -1kk

𝑥

𝑦

𝑧

𝑄 𝑃

𝒗

𝐿 0

15/09/2010 10

3.1.1 Ecuación vectorial de la recta

•Se tienen dos puntos P y Q en el espacio tridimensional P=(x1,y1,z1) y Q=(x2,y2,z2) sobre una recta L.•Un vector colineal a L es .•Sea v un vector que pasa por P y Q definido por:

v=(x2-x1)i +( y2-, y1)j+( z2- z1)k•Sea otro punto R= (x, y, z) sobre la recta L con su correspondiente vector de posición .• es colineal al vector v.• es colineal a entonces el vector v es colineal a = tv .•Entonces

•Veamos las siguientes gráficas:

15/09/2010 11


En las tres graficas se representa los casos de la posición relativa de los puntos P, Q y R.

x

y

z

0

P

Q

R

x

y

z

0

P

Q

R

x

y

z

0

P

Q

R

15/09/2010 12


Ejemplo. Ejemplo. Encuentre la ecuación vectorial de la recta Encuentre la ecuación vectorial de la recta LL que pasa por los puntos que pasa por los puntos PP=(-4,-2,7) y =(-4,-2,7) y QQ=(1,-3,4).=(1,-3,4).

Calculamos v que es un vector paralelo a LL, entonces:

v = (1 - (-4)) ii + (-3 - (-2)) jj + (1 - 7) kk = 5i -j -6k

Considerando un punto sobre la recta RR=(x, y, z), obtenemos la Ecuación Vectorial de la recta:

OR= xii + yjj + zkk= OP + tv = (-4i -2j +7k) + t t (5i -j -6k)

15/09/2010 13

3.1.2 Ecuaciones paramétricas de la recta

•Sea ecuación vectorial de la recta L es aquella planteada según lo antes visto, sustituyendo a :

•Y también considere .•Al sustituir en la primera ecuación queda•Si expresamos en función de sus componentes queda:

xi + yj + zk = = x1i + y1j + z1k + t (x2-x1)i + t (y2-y1)j + t(z2-z1)k

De la expresión anterior obtenemos , al agrupar componente por componente, las ecuaciones paramétricas de una recta:ecuaciones paramétricas de una recta:

x= x1 + t(x2-x1)y= y1 + t(y2-y1)z= z1 + t(z2-z1)

15/09/2010 14

3.1.2 Ecuaciones paramétricas de la recta

Ejemplo. Ejemplo. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los puntos P=(3,1,5) y Q=(4,-2,1).puntos P=(3,1,5) y Q=(4,-2,1).

Para poder obtener las ecuaciones paramétricas necesitamos primero obtener la ecuación vectorial a partir de P y Q, obteniendo:

v = (4 - 3)ii + (-2 - 1)jj + (1 - 5)kk = i -3j -4k

Ahora para obtener las ecuaciones paramétricas desarrollamos los componentes:

x = x1 + t (x2- x1) x = 3 + ty = y1 + t (y2 - y1) y = 1 - 3tz = z1 + t (z2 - z1) z = 5 - 4t

15/09/2010 15

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta

A continuación en cada una de las componentes de las ecuaciones paramétricas tenemos :

x= x1 + t (x2-x1)Donde (x2-x1) = a

y= y1 + t (y2-y1)Donde (y2-y1) = b

z= z1 + t (z2-z1)Donde (z2-z1) = c

Se despejan en cada expresión la constante t y se igualan, así tenemos:

Por lo que estas expresiones definen las ecuaciones simétricas de la recta.Los elementos a, b, c son los números directores del vector v considerando a, b, c ≠ 0.

15/09/2010 16


Ejemplo. Tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta LL y el punto PP= (3, 1 ,5) del ejemplo anterior :

x = 3 + ty = 1 - 3tz = 5 - 4t

Calculamos los números directores del vector v como sigue:x2 - x1= a 4 - 3 =1 y2 - y1= b -2 - 1= -3z2 - z1= c 1 - 5 = -4

con lo que obtenemos a=1, b= -3 y c= -4

Considerando que PP=(x1,y1, z1) = (3, 1 ,5) entonces obtenemos las EcuacionesSimétricas de la recta LL:

15/09/2010 17

3.1.3 Ecuaciones simétricas de la recta (anotación)

NotaNota:Tanto las ecuaciones paramétricas como simétricas de una recta no son no son únicasúnicas, para observar esto, se toman otros dos puntos arbitrarios sobre la recta y calcular la mencionadas ecuaciones.

15/09/2010 18


EjemploEjemploDe las ecuaciones paramétricas anteriores:

x = 3 + ty = 1 - 3tz = 5 - 4t

Tomamos otro punto mas sobre la recta LL, supongamos un punto cuando tt=2, obtenemos un nuevo punto (5, -5, -3) con el cual sustituiremos a PP y volveremos a elegir QQ=(4, -2, 1) del ejemplo anterior. Ahora buscamos nuevamente a el vector v:

v = (4 - 5)i + (-2 -(-5))j + (1 – (-3))k = -i + 3j +4k

A partir de nuestros puntos PP , QQ y el vector v podemos obtener nuevas ecuaciones nuevas ecuaciones para la misma recta, en puntos distintos:

x = 5 - ty = -5+3tz = -3 +4t

15/09/2010 19

3.1.4 Distancia de un punto a una rectaLa distancia D de un punto Q a una recta L es la longitud que se encuentra trazada perpendicularmente desde dicha recta hasta el punto.

Sea un punto P sobre la recta LDados los vectores se relacionan por la siguiente formula distancia D:

Donde v es la proyeccion de PQDonde x v es el producto vectorial entre los vectores.

P

90°

Q

𝑃𝑄ሬሬሬሬሬԦ L

v

D

15/09/2010 20

3.1.4 Distancia de un punto a una rectaEjemplo. Calcular la distancia que existe entre los puntos P=(3, 1, 5) y Q=(1, 4, 2) síP se encuentra en la recta para la cual el vector v = i - 3j - 4k es paralelo.

Primero obtenemos a el vector PQ:

PQ = (1-3)i + (4-1)j + (2-5)k = -2i +3j -3kDespués obtenemos la norma del producto cruz de los vectores || PQ x v ||:

i j k PQ x v = -2 3 -3 = 3 -3 i - -2 -3 j + -2 3 k

1 -3 -4 -3 -4 1 -4 1 -3

= (-12 - 9)i - (8 - (-3))j + (6 – 3)k = -21i -11j + 3k

|| PQ x v || = √ (-21)2 + (-11)2 + (3)2 = 23.89 ≈ 23.9

|| v ||= √(1)2 + (-3)2 + (-4)2 =5.1

D = || PQ x v || = 23.9 = 4.68|| v || 5.1

15/09/2010 21

3.2 Plano en el espacio

Sean dos puntos P y Q en el espacio y que define una recta y además el vector normal n=(a,b,c) ≠ 0 a la recta , entonces el conjunto de todos los puntos para los que se cumpla n=0 constituyen un plano (simbolizado como π) en R3.

𝑃𝑄ሬሬሬሬሬԦ π

Q

n

P

90°

15/09/2010 22

3.2 Plano en el espacioVector Normal a un plano

Es aquel vector perpendicular (ortogonal) a una recta que se encuentra en un plano en el espacio tridimensional y se le llama vector normal vector normal simbolizado como n.

𝑃𝑄ሬሬሬሬሬԦ π

Q

n

P

90°

15/09/2010 23

3.2.1 Ecuación Cartesiana del PlanoSean dos puntos sobre un plano P=(x0,y0,z0) y Q=(x, y, z) donde P es punto fijo en el plano vector normal n:

Entre los puntos P y Q , se encuentra un vector que se obtiene de la forma siguiente :

PQ= (x-x0)i +(y-y0) j + (z-z0)k

El vector normal n , el cual tiene como componentes n=ai+ bj+ ck y dado que el vector es perpendicula a n entonces n=0 por lo tanto:

Si

A esta expresión se le conoce la ecuación cartesiana del plano:

15/09/2010 24

3.2.1 Ecuación Cartesiana del PlanoEjemplo. Encuentre un plano π que pasa por el punto (2, 5, 1) y que tiene un vector normal n = i -2j +3k.Entonces, sí n = ai + bj + ck tenemos que a = 1, b = -2 y c = 3, y considerando que

d = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = OP· n = 0,entonces obtenemos:

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0(x-2) - 2(y-5) + 3(z-1) = 0

y

d = ax + by + cz (Ecuación Cartesiana del plano)

y así obtenemos:x -2y + 3z = -5

15/09/2010 25

3.2.2 Plano en el espacio (anotación)

Tres puntos no colineales determinan un plano ya que forman dichos puntos dos vectores no paralelos que se intersectan en un punto.

P

QR

0

x

y

z

π

15/09/2010 26

3.2.3 Planos Paralelos

Cuando tenemos la posición de varios planos en el espacio se definen dependiendo de la posición en que se encuentran entre ellos. Analicemos los siguientes casos.

Caso 1:Caso 1: Cuando los dos Planos son Paralelos, los planos no tienen ninguna coincidencia entre sí; supongamos dos planos π1, π2 que son paralelos, para lo cual se sus vectores normales n1 (para π1 ) y n2 (para π2) cumplen con la siguiente expresión:

n1 x n2 =0

π1

π2

15/09/2010 27

3.2.3 Planos ParalelosEjemplo: Ejemplo:

Demuestre que los planos π1 : 2x – y + 4z = 3 y π2 : 6x – 3y + 12z = 9 son paralelos.Solución:

Como el producto cruz de los vectores normales de los planos es cero, por lo tanto,

ambos planos son paralelos. Nótese que n2 = 3n1..

0

6624241212

)1)(6()3)(2()4)(6()12)(2()4)(3()12)(1(

1236

412

123642 Sea

21

21

21

21

21

nn

kjinn

kjinn

kji

nn

kjinykjin

15/09/2010 28

3.2.4 Intersección de Planos

Caso 2Caso 2: Cuando dos planos se intersectanintersectan definen una recta entonces los planos π1, π2, se pueden plantear en un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, ya que cada plano se expresa π1=a1x+b1y+c1z=d1 y π2,=a2x+b2y+c2z=d2.

π1

π2

15/09/2010 29

3.2.4 Intersección de Planos Ejemplo: Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1 : 2x – y + 4z = 1 y π2 : – x + 2y – 4z = 2Solución:

tztytx

tz

tzzyzx

RRR

RRR

,,

:ónintersecci de recta la de aparamétricción representa una obtiene se , doSustituyen

,,

10

01

10

21

20

21

20

21

2421

21

2421

1412

35

34

34

34

35

34

34

34

35

34

34

34

35

34

21

21

25

23

21

21

25

23

21

21

21

21

1221

232

21121

15/09/2010 30

3.2.5 Angulo DiedroEl ángulo diedro entre dos planos (π1 y π2) es aquel ángulo agudo que se encuentra entre los dos vectores normales (n1 y n2) de los planos π1 y π2.Donde [ 0,90°] , donde es un intervalo cerrado, cerrado.

La formula es la siguiente:

π1

π2

n1

n2

15/09/2010 31

3.2.5 Angulo DiedroEjemplo: Ejemplo: Encuentre el ángulo diedro entre los planos π 1: 3x – y – 4z = 8 y π 2: 2x – 3y + 4z = 7 Solución:

planos. ambos entre 75.23º7º180º-104.7

entonces agudo, ángulo elser debe planos dos entre diedro ángulo el Como

º77.1042926

7cos

valoreslos sustituyen Se

29)4()3()2(

26)4()1()3(

7)4)(4()3)(1()2)(3(

:Donde

432normal vector el obtiene se plano dely

43normal vector el obtiene se plano Del

cos

1

2222

2221

21

22

11

21

211

n

n

nn

kjin

kjin

nn

nn

15/09/2010 32

3.2.6 Distancia de un punto a un plano

15/09/2010 33

La distancia DD entre un punto Q=(x0,y0,z0) al el plano π=ax+by+cz+d=0 se calcula con:

Si tenemos al punto P =(x1,y1,z1) cualquier punto en el plano así como al vector normal n=ai+bj+ ck, la distancia DD, es igual a la longitud de la proyección ortogonal de sobre el vector n.

P

90°

Q

D n

90°

π

3.2.6 Distancia de un punto a un planoDonde

Sabemos que:

Entonces, la distancia DD entre un punto P=(x0,y0,z0) y el plano ax + by +cz + d=0 es :

15/09/2010 34

3.2.6 Distancia de un punto a un planoEjemplo: Ejemplo: Encuentre la distancia del punto P = ( 2,-1, 6 ) al π : 2x – y + z = 3

Solución:

6

8

)1()1()2(

3)6)(1()1)(1()2)(2(

valoreslos sustituyen se

3;1;1;2 valoreslosobtienen se 32 plano dely

6;1;2)6,1,2(),(

222

0000,00

222

000

DD

dcbazyx

zyxzyxPdondecba

dczbyaxD

15/09/2010 35