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Page 1: Geometría Analítica (La Recta)

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Geometría AnalíticaGeometría AnalíticaLA RECTALA RECTA

1. DEFINICIÓN

2. ECUACIONES DE LA RECTA

3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

4. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

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En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección.

En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos colineales de un plano. La ordenada de cada punto que la conforma está relacionada con su respectiva abscisa mediante una ecuación de primer grado con dos variables x e y.

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LA RECTALA RECTA

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Podemos determinar la ecuación de la recta si se conocen algunas condiciones. A continuación estudiaremos algunas de estas ecuaciones:

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LA RECTALA RECTA

ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTEEs la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y un punto P(x0; y0) perteneciente a ella.

0 0

y y m x x

ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGENEs la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y el punto de corte con el eje Y (0; b) (ordenada en el origen).

y mx b

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LA RECTALA RECTA

Ax By C 0

ECUACIÓN GENERALSe denomina ecuación general de la recta a la expresión: 

Donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos.

Dada la ecuación general de la recta, se presentan los siguientes casos:

Si A = 0 y B ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje X.Si A ≠ 0 y B = 0, entonces la recta es paralela al eje Y.

Su pendiente es y su ordenada en el origen es

A

mB

C

bB

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01. Escribe (en cuanto sea posible) las formas general, punto – pendiente y pendiente – ordenada en el origen de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:

La pendiente es -2 y pasa por el punto P(2; -3).

Pasa por los puntos (-1; -5) y (3; 6).

La pendiente es -2/3 y la ordenada en el origen es 1.

02. Halla la pendiente y la intersección con los ejes de la recta definida por la ecuación L: 5x + 2y – 8 = 0.

03. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; -3) y tiene la misma pendiente que la recta L: 3x + 4y = 10.  

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04. Si se conoce que la ecuación general de una recta es 2px + 3qy = 3 y además que contiene a los puntos P (3; 1) y Q (-6; -3), determina el ángulo de inclinación de dicha recta.

05. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 2) y forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de 12u2 de área.  

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LA RECTALA RECTA

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia del punto P (x0; y0) a la recta L de ecuación: Ax + By + C = 0 se calcula empleando la expresión:

0 0

2 2

Ax By Cd P;L

A B

d

P(x0; y0)

L: A

x + B

y + C

= 0

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06. Halla la distancia de P(–3; 4) a la recta: 2x + 3y = 4.

07. Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta L: 2x – 3y + 9 = 0

08. Determina el valor de “a” para que la distancia del origen a la recta: x + ay – 7 = 0 sea 2. 

09. La pendiente de una recta es -3. Halla su ecuación si su distancia al origen es 2.

10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 1), tal que la distancia de esta recta al punto (-1; 1) sea igual a

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EJERCICIOSEJERCICIOS

2 2

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LA RECTALA RECTA

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Los ángulos formados por dos rectas secantes se pueden calcular cuando se conoce el valor de la pendiente de cada recta. Los ángulos son medidos en sentido anti horario, de manera que se pueda distinguir el lado inicial y el lado final de cada ángulo.

XX

YY

θ

α1

2 1θ α α

2 1tgθ tg α α

2 1

2 1

tgα tgαtgθ

1 tgα .tgα

2 1

2 1

m mm

1 m .m

α2

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11. Halla el ángulo que forman las rectas que tienen por

ecuaciones:

L1: 3x + 4y – 12 = 0; L2: 6x + 8y + 1 = 0

L1: 2x + 3y – 5 = 0; L2: 3x - 2y + 10 = 0

12. Dadas las rectas L1: 3x + y – 1 = 0 y L2: 2x + my -8 = 0,

determina el valor de m para que formen un ángulo de 45°.

13. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto

P(4;10) y forma un ángulo de 45° con la recta 2y – 3x = 0.

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LA RECTALA RECTA

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Sean dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente, si se cumple que:

mm11 = m = m22, entonces las , entonces las rectas son paralelas.rectas son paralelas.

mm11.m.m22 = -1, entonces las = -1, entonces las rectas son rectas son

perpendiculares.perpendiculares.

XX

YY

α α

XX

YY

βα

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14. Escribe la ecuación de una recta que pase por el punto (-1; 3) y sea paralela a la recta: 2x + y = 10.

15. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es:

16. Encuentra la ecuación de una recta que pase por el punto (4; -2) y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-1; 4) y (2; 3).

17. Escribe la ecuación de una recta que pase por el punto (2; -3) y sea perpendicular a la recta 4y - x = 20.

18. Escribe la ecuación de una recta que pase por el punto (-1; 2) y sea perpendicular a la recta 7x – 8y = 24.

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19. Encuentra la ecuación de la recta que pase por el punto deintersección de las rectas: L1: 6x – 2y + 8 = 0 con L2: 4x – 6y + 3 = 0, y que sea perpendicular a L3: 5x + 2y + 6 = 0.

20. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(17; 12) y es perpendicular a la recta de L: 5x + 12y – 60 = 0. Determina las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halla la distancia de P a dicha recta.

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