I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA2
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO: PA-01-01
VERSIÓN: 2.0
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 11
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: 9º
Periodo: 2º GUIA 2
Docente: Duración: 12
Área: Matemática Asignatura: Matemática
ESTÁNDAR: *Identifica diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
*Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
*Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano
cartesiano situaciones de variación.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas por medio de sistemas de ecuaciones lineales.
EJE(S) TEMÁTICO(S). ECUACIÓN LINEAL -FUNCIÓN AFÍN –FUNCIÓN LINEAL
PENDIENTE DE UNA RECTA - RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2,3X3 -DETERMINANTES -MATRIZ -
REGLA DE CRAMER REGLA DE SARRUS
ORIENTACIONES
1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía
(seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente
atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo.
leer comprensivamente, orden , pulcritud.) 5) Se valorarán todos los momentos de la guía
EXPLORACIÓN
Cambie el cuadro con las incógnitas (???) por uno de los tres que están a la derecha (a ,b, c):
01. 02.
03. 04.
CONCEPTUALIZACIÓN
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales.
Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número de
ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.
Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en
tres variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que es uno
3x3.
Ejemplo 1
dimensión 2x2; HAY DOS ECUACIONES Y DOS VARIABLES
Ejemplo 2
dimension 2x3; HAY DOS ECUACIONES Y TRES VARIABLES
8y2x
4yx2
2zy2x
1zyx
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Ejemplo 3
dimensión 3x3; HAY TRES ECUACIONES Y TRES VARIABLES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma:
a x + b y = c
a’x + b’y = c’
donde a, b, c, a’, b’ y c’ son números conocidos: x e y son las incógnitas.
Una solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las
dos ecuaciones. Si un sistema tiene solución, se llama compatible o consistente; y, si no la tiene, incompatible o
inconsistente, Si tiene infinitas soluciones se llama consistente dependiente..
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
TIPOS DE SOLUCIÓN
Consideremos un sistema como el siguiente:
SISTEMA COMPATIBLE (Si admite soluciones)
La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o
equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
1cb2a
10cba
0cba2
Si admite un número finito de soluciones; en el
caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
si el sistema es determinado solo tendrá una
solución. Su representación gráfica son dos rectas
que se cortan en un punto; los valores de x e y de
ese punto son la solución al sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas es compatible determinado cuando:
Por ejemplo, dado el sistema:
Podemos ver, que: Lo que da lugar a
que las dos rectas se corten en un punto.
El sistema admite un número infinito de soluciones; su
representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las
dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede
considerar como redundante: cualquier punto de la recta
es solución del sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es
indeterminado si:
Por ejemplo con el sistema:
Se puede ver:
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Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo
tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior,
asignando valores a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución
del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.
SISTEMA INCOMPATIBLE
El sistema no admite ninguna solución.
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - MÉTODO GRÁFICO.
Para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos:
1) Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2) Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes.
3) Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4) Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos:
Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1).
Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).
En este caso, su representación gráfica son dos rectas
paralelas y no tienen ningún punto en común porque
no se cortan. El cumplimiento de una de las
ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y
por lo tanto no tienen ninguna solución en común.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas es incompatible si:
Por ejemplo, dado el sistema:
Se puede ver que:
La igualdad:
Determina la proporcionalidad.
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EJEMPLO
Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
SOLUCIÓN 1)Se despejan los valores de X en cada
ecuación.
.
.
2) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN
Tenemos que resolver el sistema: esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas
dadas, de las cuales se conoce su ecuación.
1)Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso
elegimos y):
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son,
2)por lo tanto igualamos y resolvemos : Luego:
Ahora sí, podemos asegurar que:
x= 4 e y = 2
3) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN.
Tenemos que resolver el sistema: Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso
elegimos y en la primera ecuación): Y la reemplazamos en la otra ecuación:
2)Hacemos una tabla para cada ecuación.
3)Luego, representamos los valores obtenidos en un par de eje
cartesianos. En el eje horizontal (eje de las abscisas) represento los
valores de X, y en el eje vertical (eje de ordenadas) represento los
valores de Y
Desde el punto de intersección de las dos representaciones graficas de
las funciones trazamos rectas perpendiculares a cada uno de los ejes.
Por lo tanto al observar el gráfico se observa que :
X = 2 y Y = 3 es la solución
3) Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones
(elegimos la segunda): Operamos para hallar el valor de y:
y = 2.
4)Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):
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Operamos para despejar la única variable existente ahora:
4) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN
Tenemos que resolver el sistema: El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas
aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad
no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se
obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
Con lo que obtenemos:
Y la sumamos la primera obteniéndose:
-7y = -14
y = 2
EJERCICIO: Resuelve por este método el siguiente ejercicios
5) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES
CONCEPTO DE MATRIZ
Se denomina matriz a todo conjunto de números o un arreglo de a x n números ordenados dispuestos en forma
rectangular, formando filas y columnas. a x n
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento . Un elemento se distingue de otro por la
posición que ocupa, es decir, la f i la y la columna a la que pertenece.
LUEGO
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
Y finalmente hallar el valor de x:
POR ULTIMO Reemplazamos el valor de x obtenido en
alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la
primera):
Hallamos la respuesta x= 4, y = 2,
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El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de
dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3...
El conjunto de matrices de a f i las y n columnas se denota por A m x n o (a i j ) , y un e lemento cualquiera de la
misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a i j .
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en
ambas, son iguales.
DETERMINANTES 2X2
Sabemos que un determinante se representa como:
dc
ba Este se calcula de la siguiente manera: det = a·d – b·c
Sea el sistema:
a1x + b1y = c1
a2x + b2 y = c2
El valor de x está dado por:
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x e
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y
EJEMPLO. Resolver el sistema:
414
56
620
54110
52
34
518
322
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x
214
28
14
4472
14
182
224
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y
El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}
ACTIVIDAD.
CONSULTA Y ESTUDIA LA REGLA DE CRAMER
Teoría y ejercicios. Prepare exposición,
Regla de Sarrus para calcular un determinante asociado a una matriz de orden 3x3. Teoría y ejercicioS
Prepare exposición.
SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES.
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con
las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema.
Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones representan rectas, las ecuaciones lineales con tres
variables: Ax + By +Cz = D , representan planos. Para representar un plano se necesitan tres puntos que no estén en
la misma recta. Y estos se determinan encontrando tres soluciones. Representar gráficamente la ecuación
4x + 3y + 2z = 12
PRACTICA: Resuelve, por determinantes:
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Solución: Buscamos tres triplas que satisfagan la ecuación.
Las triplas más fáciles de encontrar son las correspondientes a los puntos de intersección del plano con cada uno de los
ejes. Estas se obtienen al hacer que dos de las tres variables sean cero y resolviendo la ecuación para la otra.
Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos el plano determinado por la ecuación 4x + 3y + 2z = 0. Todos los
puntos que pertenezcan a este plano son soluciones de la ecuación.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3
Se llaman así porque están compuestos por 3 ecuaciones y con 3 incógnitas.
Ejemplo:
x + y + z = 1
x + y + 2z = 2
2x + y + z = 3
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:
1) Resolución de la primera ecuación para x se tiene
x = 5 + 2z - 3y, y conectar esta en la tercera
ecuación de rendimiento y en segundo lugar
2) Resolución de la primera de estas ecuaciones para los
rendimientos y = 2 + 3 z, y conectar esta en los
rendimientos segunda ecuación z = 2.
Ahora tenemos:
3)Sustituyendo z = 2 en la segunda ecuación se obtiene
y = 8, y la sustitución z = 2 y = 8 en el rendimiento de la
primera ecuación x = −15.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es el único punto
(x, y, z) = (−15, 8,2)
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DETERMINANTE DE ORDEN 3X3
=
= a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a 1 2 a 2 3 a 3 1 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 - a 1 3 a 2 2 a 3 1 - a 1 2 a 2 1 a 3 3 - a 1 1 a 2 3 a 3 2 .
= 3 · 2 · 4 + 2 · ( -5) · ( -2) + 1 · 0 · 1 - - 1 · 2 · ( -2) - 2 · 0 · 4 - 3 · ( -5) · 1
=
= 24 + 20 + 0 - ( -4) - 0 - ( -15) = 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos
aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?
Tenemos que determinar:
3)Cuáles son las incógnitas. 4)Qué relación hay entre ellas.
En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos
x al número de conejos e y al número de patos: y
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza.
Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:
x + y = 18. Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos
por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52: 4x + 2y = 52. La cuestión es:
qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el
valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos que clase de sistema es, y si admite
solución o no, podemos ver que: . Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única
solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:
sumamos las dos ecuaciones:
Podemos comprobar estos resultados en el
enunciado del problema para comprobar
que son correctos.
Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la
primera ecuación, tenemos:
entonces
con lo que ya tenemos la solución del problema:
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1)Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio la regla de Cramer
a) 2x + 5y = 4 b) 3x – 5y = 9 c) x + 4y = 5
3x + 2y = -5 x + 2y = -4 4x – 7y = -26
2 A un fabricante de ropa le han pedido 5 pantalones, 3 sacos, 12 camisas y 16 corbatas. El precio de cada pantalón
es de $65, el de un saco $72. el de una camisa $44 y el de cada corbata $20.
a) Expresa mediante una matriz fila el pedido de ropa.
3.- Calcula los determinantes de cada una de las siguientes matrices:
-3 2 -1 4 9 1
a) 4 -5 8 b) 7 9 -2
9 -2 3 -5 3 2
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
1)Buscar en el diccionario el significado de:
a)sistema, lineal, incompatible, compatible, sustitución,
igualación, reducción, sustitución, matriz, determinante,
cofactor,
2)Resuelve utilizando los métodos de Igualación, Sustitución,
Reducción y Determinantes:
1) 3x + 2y = 21 2) 5x – y = 11 3) x + y = 11 4)
4x + 5y = 3 5) 4(x + 2) = -6y 6) 3x + y = 7
x + 2y = 0 2x – y = 1 5x – y = 22
6x – 10y = 1 3(y + 2x) = 0 6x + 2y = 3
7)
2 5
3 2 7
x y
y x
8)
2 3 23
5 6 17
x y
x y
9)
3 7 9
5 2 23
y x
x y
10)
6 8 20
5 3 8
x y
y x
3) Resolver los siguientes determinantes
225
134A
74
10
12
B
65
43
21
A
43
21
20
B
11A
3
2
1
B
032
751B
4)Resuelve el sistema de ecuaciones:
Soluciona los siguientes problemas.
1) Para llevar 4 docenas de huevos y 3 libras de
mantequilla, Angélica debe pagar$14.100; pero si
lleva solo 3 docenas de huevos y una libra de
mantequilla, el valor será de $ 8.700. Ella desea saber
cuánto vale una docena de huevos y una libra de
mantequilla (resolver por el método de eliminación).
2) El departamento de Educación Física del colegio
compró 18 balones para las prácticas de fútbol y de
voleibol, por un valor de $ 864.000. ¿Cuántos
balones de cada deporte de compraron si un balón de
fútbol cuesta $ 50.000 y uno de voleibol $
44.000.(Resolver por el método de sustitución.
3)En los grados 9A y 9B de un colegio mixto, la
distribución entre estudiantes hombres y mujeres es a
si:
9A: 2x +3y = 30 9B: x +5y =
36
En este caso, x representa el número de hombres y, y
el número de mujeres. ¿Cuántos estudiantes varones
hay en total? ¿Y cuantas mujeres?
4) En un centro educativo el terreno disponible parar
las prácticas deportivas es de forma rectangular y
tiene un perímetro de 800 metros. Si el largo
equivale al doble de su ancho disminuido en 50
metros. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
5) Hallar dos números cuyo cociente sea 4/5 y su
producto 80. Solución: (8, 10) y (-8, -10).
6) Hallar dos números cuya suma es 40 y su
producto 256. Solución: (8, 32).
7) Don Renato tiene 37 animales entre conejos y
gallinas, que sumando sus patas nos dan 100.
¿Cuantos conejos y gallinas tiene?
8) Si al numerador de una fracción le sumas 4 y al
denominador le restas 2,la fracción equivale a 2, y si
al Numerador le restas 3 y al denominador le sumas
4,la fracción equivale a 3/11 m. halla la fracción.
9) En la siguiente figura los lados a y b suman 30 cm,
los lados by c suman 41 y los lados a y c suman
37.¿Cuánto mide cada lado del triángulo?
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SOCIALIZACIÓN
1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas.
3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes.
5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado
COMPROMISO
1)CONSULTA Y ESTUDIA LA REGLA DE CRAMER
Teoría y ejercicios. Prepare exposición,
Regla de Sarrus para calcular un determinante asociado a
una matriz de orden 3x3. Teoría y ejercicioS
Prepare exposición.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los
diferentes métodos.
a) 4 2
10 2 13
x y
x y
b)
2 5 0
3 2 19
x y
x y
c)
4 13 3
2 5 13
x y
x y
d)
6 1
3 2 12
x y
y x
e)
2 2 3
6 7 10
x y
x y
f)
12 5
13 7
x y
x y
g)
2 3 6
3 2 1
x y
x y
h)
5 3 0
8 29
x y
x y
Resuelve los sistemas de ecuaciones:
1) 2)
9) La edad de Claudia excede en 4 años la edad de Andrea. Si
ambas edades suman 32.Hallar las edades de Claudia y Andrea
1) Encuentra dos números enteros tales que su suma
sea 85 y su diferencia 21.
2) Si la suma de la cifra de las decenas y la cifra de las
unidades de un número es 17, y si a este número se le
resta 9, las cifras se invierten. ¿Cuál es el número?
3) Dos números están en la relación ¾ .Si el menor de
ellos se disminuye en 5 y el mayor en 5, entonces la
relación entre ellos es 2/3. Halla los números.
4) L a suma de tres números positivos es 50. Si el
menor de ellos es cuatro veces la suma del intermedio
y del mayor, y además el mayor es igual a la suma de
los otros dos, halla los números.
5) Dentro de 6 años la edad de julio será los 2/3 de la
edad de Pablo. Hace 5 años la edad de Julio era 3/10
de la edad de Pablo. ¿Cuál es la edad actual de cada
uno de ellos?
6) El perímetro de un triángulo isósceles es 21 cm. La
base del triángulo es 6 unidades más larga que
cualquiera de sus lados iguales. ¿Cual es la longitud de
cada lado?
7) Un tren parte de una estación hacia el este. Una hora
más tarde, un segundo tren viajando a una velocidad
mayor que el primero en 10 km/h, parte de la misma
estación en dirección oeste. Tres horas después de la
salida del primer tren, los dos se encuentran a 330km
uno del otro. ¿Cuál es le velocidad de desplazamiento
de cada tren si esta es constante y el viaje de los dos
trenes es sin escala?
8) Dos ángulos suplementarios son tales que la medida
de uno de ellos es 20º menos que el triplo del segundo.
¿Cuál es la medida de cada ángulo?
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
ALEXANDRA URIBE
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
04 04
2014
06 04 2015 10 04 -2015
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