Gonzalo Maureira Len. Profesor de Matemticas y Licenciado en
Educacin.
Diapositiva 2
Objetivos. Comprender el origen y significado de la
Trigonometra. Identificar las razones Trigonomtricas presentes en
los tringulos rectngulos. Realizar diversos ejercicios aplicando
los conceptos trigonomtricos enseados.
Diapositiva 3
Trigonometra Matemticas. lgebra. Geometra. Trigonometra.
Aritmtica. La trigonometra es una rama de las matemticas, cuyo
significado es la medicin de los tringulos, en base a las
proporciones de sus lados y ngulos.
Diapositiva 4
La historia de la trigonometra comienza en primera parte con
los Babilonios y los Egipcios, para ser continuada por Indes y
Griegos. Estos ltimos establecieron la medida de los ngulos en
grados, minutos y segundos. Trigonometra
Diapositiva 5
Para ser ms precisos, la trigonometra estudia la relacin
existente entre los ngulos y los lados del tringulo.
Diapositiva 6
Para resolver problemas relacionados con trigonometra se deben
manipular adecuadamente las razones trigonomtricas, denominadas
por: Trigonometra Seno Coseno Tangente Cosecante Secante
Cotangente
Diapositiva 7
Para trabajar en trigonometra se debe tener algn tringulo
rectngulo que cumpla con: Trigonometra
Diapositiva 8
Trigonometra
Diapositiva 9
Ejercicios En los siguientes tringulos rectngulos, calcula las
seis razones trigonomtricas para sus ngulos agudos.
Diapositiva 10
En un tringulo, las medidas de sus ngulos son , . Adems, se
cumple que. Determinar las razones trigonomtricas restantes.
Ejercicios
Diapositiva 11
Resolver un tringulo equivale a determinar el valor de los tres
ngulos y los tres lados. A continuacin se dan los tres mnimos que
necesitars para resolver cada tringulo. Ejercicios
Diapositiva 12
Manuel, un astrnomo principiante, midi el ngulo que se muestra
en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros
de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es
6380 km, qu resultado obtuvo Manuel? Ejercicios
Diapositiva 13
Determina el ngulo de inclinacin mnimo necesario para que el
avin de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro.
Ejercicios
Diapositiva 14
ngulos de Elevacin y Depresin ngulos de Elevacin: ngulos de
Elevacin: Si un objeto esta por encima de la horizontal (nivel del
ojo), se llama ngulo de elevacin al ngulo formado por una lnea
horizontal y la lnea visual hacia el objeto.
Diapositiva 15
Un rbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de largo.
Encontrar el ngulo de elevacin del sol en ese momento. ngulos de
Elevacin y Depresin Desde un punto a nivel del suelo y a 135 metros
de la base de una torre, el ngulo de elevacin a la parte ms alta de
la torre es de 57. Calcular la altura de la torre.
Diapositiva 16
ngulos de Elevacin y Depresin ngulos de Depresin: Si un objeto
esta por debajo de la horizontal, se llama ngulo de depresin al
ngulo formado por una lnea horizontal y la lnea visual hacia el
objeto.
Diapositiva 17
Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es
de 120 metros, el ngulo de depresin de una embarcacin es de 15. A
qu distancia del faro est la embarcacin ? ngulos de Elevacin y
Depresin Cul es la altura del puente que cruza un ro de 35 metros
de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del
mismo pero del lado opuesto con un ngulo de depresin de 15?
Diapositiva 18
Desde un faro, ubicado en la cima de un cerro, se observa un
barco con un ngulo de depresin de 30. Calcular la altura del cerro
con el faro incluido. Ejercicios
Diapositiva 19
El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ngulo de
70 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con
respecto al suelo, si el cordel mide 45 m. y el extremo de la
cuerda se sostiene a 1 m. del suelo. Ejercicios 70 1 metro x 45
metros
Diapositiva 20
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que
est situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La
parte superior con un ngulo de 40 grados y la parte inferior con un
ngulo de depresin de 67 grados. Determine la altura del edificio
sealado. Ejercicios Sobre un plano horizontal, un mstil est sujeto
por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos.
Los ngulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 35
grados y 55 grados. Si la distancia entre sus bases es de 50 m.
cunto cable se ha gastado?, cul es la altura a la cual estn sujetos
los cables?.
Diapositiva 21
Ejercicios Eda observa la estatua del Cristo Blanco con un
ngulo de elevacin de 53, sabiendo que se encuentra a una distancia
horizontal visual de 6 metros. Calcular la altura del Cristo
Blanco.
Diapositiva 22
Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared
vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de
la base de la pared. Si el ngulo que forma sta con el piso es de 43
A qu altura de la pared llega la escalera? Calcule el ancho de una
calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado
de la misma bajo un ngulo de depresin de 60 grados con respecto a
la horizontal. Ejercicios
Diapositiva 23
Control Determine el otro ngulo y calcule las razones
trigonomtricas de ambos ngulos encontrados. Desde la parte alta de
una torre de 120m de altura, el ngulo de depresin hacia un objeto
que est frente a la base de la torre es de 24. Qu tan lejos est el
objeto del pie de la torre ? A qu distancia del observador est el
objeto ?
Diapositiva 24
Sistema - radin 1 180 2 360
Diapositiva 25
Circunferencia Goniomtrica.
Diapositiva 26
Regla Nemotcnica.
Diapositiva 27
Ejercicios Determina la altura de un rbol, sabiendo que su
sombra mide 15 m cuando el ngulo de elevacin del sol es de. A qu
altura se encuentra un volantn, si el ngulo que forma el hilo con
la base del piso es de y el hilo desplegado tiene una longitud de
20 metros. Calcular el rea y permetro de la figura si y. Desde lo
alto de un cerro, de 70 metros de altura, se observa una casa con
un ngulo de depresin de. Calcular la distancia entre la base de la
casa y el cerro, y entre la punta del cerro con la casa
Diapositiva 28
Determina la altura de un rbol, sabiendo que su sombra mide 15
m cuando el ngulo de elevacin del sol es de
Diapositiva 29
Ejercicios Una chimenea tiene 30 metros de altura ms que otra.
Un observador que est a 10 metros de distancia de la ms baja
observa que sus cspides estn en una recta inclinada respecto del
suelo con un ngulo de. Hallar las alturas de las chimeneas y la
distancia entre el observador y la chimenea mas alta. Dos postes de
18 y 12 metros de altura, y la recta que los une en sus puntos ms
altos forma un ngulo de con el suelo. Determinar la distancia que
los separa (distancia entre postes).
Diapositiva 30
Ejercicios Un cable est sujeto a lo alto de una antena de radio
y a un punto en el suelo, que est a 40 metros de la base de la
antena. Si el alambre forma un ngulo de con el suelo, encuentre la
longitud del cable.