8/16/2019 Grupo 1 Informe de Ecuaciones Diferenciales 3
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CURSO: Ecuaciones Diferenciales
PROFESOR: Castro Vidal Raul Pedro
ESTUDIANTES:
Rios Molina Michael Edwin
Basilio Villar Daniel Shamir
Principe Torres Andres
Valladares Pachas Luigi rlando
Tru!illo Le"ameta #uiller Al$erto
C%digo&'(')**+)),
C%digo&'(')**+((-
C%digo&'(')*'+*+.
C%digo&'(')*'+'-)
C%digo&'(')**+''(
FECHA:
')/+./*+'-
HORA:
'+&)+ a0m0 1 '&++ p0m0
2016
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Ejercici! " #$%ic#ci&e!
Ejercici 1'( )1*:
A2
y ( x )=e− x+ x−1 y ' ( x )=e− x+1
y ( x )+ y ' ( x )=e− x+ x−1−e− x+1= x
y (0 )=e−0+0−1=1−1=0
B2
y ( x )= A e5 x
+B e−2 x
−0.5e x
y' ( x )=5 A e5 x−2 B e−2 x−0.5 e x
y left (x right ) =25 A {e} ^ {5 x} +4 B {e} ^ {- 2 x} - 0.5 {e} ^ {x}
→ y ( x ) - 3 y ' ( x ) - 10 y ( x )
25 A e5 x+4 B e−2 x−0.5 e x−15 A e5 x+6 e−2 x+1,5 e x−10 A e5 x−10B e−2 x+5 e x
e x+5 e x=6 e x
C2 y ( x)=!"# (3 x )+6#i$(3 x)
y' ( x )−24 #i$ (3 x )+1!"#(3 x )
y ( x )= - %2 !"# {left (3 x right ) - 54} #i$ {(3 x )}
→ y ( x )+& y ( x )= - %2 !"# {left (3 x right ) - 54 #i$ {left (3 x right ) +%2 !"# {left (3 x right ) +5
y (0 )=!"# (3.0 )+6#i$ (3.0 )=
D2
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y ( x )=c1e−2 x+c2 e
x+c3 e3 x
y ' ( x )=−2c1 e−2 x+c2 e
x+3 c3e3 x
y left (x right ) =4 {!} r#' {1} {e} ^ {- 2 x} + {!} r#' {2} {e} ^ {x} + {& !} r#' {3} {e} ^ {3
y ' left (x right ) = {- !} r# {1} {e} ^ {- 2 x} + {!} r# {2} {e} ^ {x} +2% {!} r# {3} {e}
y ' ( x ) -2y ( x ) - 5 y ' ( x )+6 y =0
→− c1 e−2 x+c2 e
x+2% c3 e3 x− c1e
−2 x−c2 e x−1 c3 e
3 x+10 c1e−2 x−5 c2 e
x−15 c3 e3 x+6 c1 e
−2 x+6
¿0
E2
v ( x , y)=e2 x− y !"#( y−2 x)
dv ( x , y )dx
=2e2 x− y !"# ( y−2 x )+2 e2 x− y #i$( y−2 x )
( y−2 x )−¿e2 x− y #i$ ( y−2 x)dv ( x , y )
dy =−e2 x− y !"#¿
dv ( x , y )dxdy
=−4 e2 x− y #i$ ( y−2 x)
d2
v( x , y )
d x2 =e
2 x− y
!"# ( y−2 x )+4 e2 x− y
#i$( y−2 x )+4 e2 x− y
#i$( y−2 x)−4 e2 x− y
!"# ( y−2 x )
¿ e2 x− y #i$ ( y−2 x)
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( y−2 x )+¿e2 x− y #i$( y−2 x )+e2 x− y #i$( y−2 x )−e2 x− y !"# ( y−2 x )d
2v( x , y)
d y2 =e2 x− y !"#¿
¿2 e2 x− y #i$( y−2 x )
d2
v( x , y)
d x2 +4
d2
v ( x , y)dxdy +4
d2
v ( x , y )
d y2 = e
2 x− y
#i$ ( y−2 x)−16e2 x− y
#i$ ( y−2 x )
+ e2 x− y #i$ ( y−2 x )=0
Ejercici 2'+:
Datos&
PV3&
3 y ( x −1)dx+( x *+ y−3 x)dy=0
y (0 )=1
Resoluci%n&
4os dice 5ue es una ecuaci%n e6acta entonces se cumple&
d Ø
dx = M … …(1);
d Ø
dy = N … …(2)
De donde sa$emos por ecuaci%n e6acta&
M ( x , y )dx+ N ( x , y)dy=0
Le damos forma 7 nos sale&
3 y ( x −1)+( x *+ y−3 x ) dydx=0
M ( x , y )=3 y ( x −1)
N ( x , y )= x *+ y−3 x
Reempla"ando en 8'2&
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d Ø
dx =3 x2 y−3 y
d Ø =(3 x2 y−3 y ) dx
∫d Ø =∫ (3 x2 y−3 y ) dx
Ø = yx3−3 yx+h( y)
Reempla"ando en 8'2 en 8*2&
d Ø
dy = x3+ y−3 x
d Ø =( x3+ y−3 x ) dy
∫d Ø =∫ ( x3+ y−3 x ) dy
Ø = yx3+4 y −3 xy
3gualando nos 5ueda el 9alor de h872&
yx3−3 xy+h ( y )= yx3+4 y −3 xy
h( y )=4 y
Entonces la ecuaci%n nos 5uedar:a&
Ø = yx3−3 yx+4 y
Ahora reempla"amos el 9alor inicial y (0)=1
Entonces&
Ø =(0 )−(0 )+4
Ø =4
Reempla"ando la ecuaci%n seria&
yx3−3 yx+4 y2−4=0
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Ejercici 2'+6:
(2+ y2+2 x ) dx+2 ydy=0
'ro0 Compro$amos si es una ED E;ACTA&
dM
dy =2 y 7
dM
dx =0
4o es e6acta0
*do0 Buscamos el factor integrante 72> tal 5ue
df ( x , y )dx
= M ( x , y) 7df ( x , y )
dy = N ( x , y )
.to0 Buscamos f 86>72
(¿2 e x+ y2e x+2 x e x )dxdf ( x , y )=∫ ¿
f ( x , y )= y2e x+2 x e x+g( y)
Deri9amos f86>72 en funci%n de
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df ( x , y )dy
=2 y e x+g ´ ( y ) > perodf ( x , y )
dy = N ( x , y )
2 y e x+g ´ ( y )=2 y e x
g ´ ( y )=0
g ( y )=c
Por lo tanto&
f ( x , y )= y2e x+2 x e x+c
Ejercici 2',-:
6 y2
dx− x (2 x3+ y ) dy=0
6 y2
dx= x (2 x3+ y ) dy
6 y2 dx
dy=2 x4+ xy ?
dx
dy= x @
x ´ − x .1
6 y = x4
.
1
3 y 2
x ´ .1
x4−
1
x3 .
1
6 y=
1
3 y2 …………….(1)
acemos cam$io de 9aria$le&
z=1
x3
z ´ =−3 x ´
x4
00en 8'2
− z ´ .1
3− z .
1
6 y=
1
3 y2
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z ´ + z .1
2 y=−1
y2
… … … …(2)
P ( y )=1
2 y 7Q ( y )=
−1
y2
Aplicamos la soluci%n general de EDL de 'er rden
y=e−∫ P ( X ) dx . [∫e∫ P ( x ) dx Q ( x ) dx+c ]
Reempla"amos nuestros datos de 8*2&
z=e−∫ 1
2 ydy
.[∫e∫1
2 ydy
.−1
y2
dy+c ]
M ( x , y )=2 x53 y
−43 + x−4 /3 y2/3; N ( x , y )=− x
3 y
−%3 −2 x−1/3 y−1 /3
f ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx+g( y )
f ( x , y )=3
4 x
/3 y−4 /3+
−31
x−1/3
y2 /3
N ( x , y )=d ( f ( x , y ) )
dy =− x
3 y
−%3 −2 x
−13 y
−13 +g ' ( y)
− x
3 y−%3 −2 x−1 /3 y−1/ 3=− x
3 y−%3 −2 x
−13 y
−13 +g ' ( y)
'
g ' ( y)=0 g( y )=c
f ( x , y )=34
x
3 y−43 −3 x
−13 y
2
3+c
Ejercici 2'1+1:
Y ’ ’ ’=2( y ’ ’−1)ctgx
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acemos un cam$io de 9aria$le&
Y ’ ’= z … .(1)
Y ’ ’ ’= z ’ …(2)
Reempla"ando 8'2 7 8*2 en la ecuacion
Z ’=2( z−1)ctgx
dz
dx=2( z−1)ctgx
1
( z−1)
∫¿dz=∫ ctgxdx12¿
z−1=c1 sex
Reempla"ando 8'2 en la ecuaci%n&
y ’ ’−1=c 1 sex
acemos un nue9o cam$io de 9aria$le&
Y ’=!
Y ’ ’=! ’
" ’−1=c 1 sex
d!
dx =(c1 se x2+1)
d!=(c1 se x2+1)dx
∫d!=∫(c1 se x2+1)dx
" =c 1∫ (se x2 ) dx+∫ dx
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" =c 1( x
2−
se2 x
4 )+ x+c 2
Y ’=c 1 x
2 −
c 1 se 2 x
4 + x+c 2
dydx=
c 1 x2 −
c 1 se 2 x4 +
x+c 2
dy=(c 1 x
2 −
c 1 se2 x
4 + x+c 2)dx
∫dy=∫( c1 x2 −
c1 se2 x
4 + x+c 2)dx
y=(c 12 )(
x2
2 )−c 14 (−!"#2 x
2 )+ x
2 +c 2 x+c 3
y=c 1 x
4 +
!"#2 xc1
+
x
2 +c 2 x+c 3
Ejercici 2'1,6:
Determine # (t ) para t >0
igura '0 Circuito del e!ercico *0'-0
Reduciendo el circuito aplicando e5ui9alente The9enin&
$th= $ 1. $ 2
$ 1+ $ 2
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Luego en t+># c=0 #
$ 1. #%
$ 1+ $ 2=
$ 1. $ 2
$ 1+ $ 2. & .
d#c
dt +#c
$ 1. #%
$ 1+ $ 2−#c=
$ 1. $ 2
$ 1+ $ 2. & .
d#c
dt
d#c
$ 1.#%
$ 1+ $ 2−#c
= dt
$ 1. $ 2
$ 1+ $ 2. &
∫ d#c $ 1. #%
$ 1+ $ 2−#c
=∫ dt $ 1. $ 2
$ 1+ $ 2. &
l$|#c− $ 1. #% $ 1+ $ 2|= −t $ 1. $ 2 $ 1+ $ 2
. &
+(
l$|#c− $ 1.#%
$ 1+ $ 2(
|= −t $ 1. $ 2
$ 1+ $ 2. &
el$|#c−
$1. #%
$ 1+ $ 2( |
=e
−t $1. $2
$ 1+ $2.&
#c− $ 1.#%
$ 1+ $ 2(
=e
−t $1. $ 2
$1+ $ 2.&
#c=( e−t . ( $ 1+ $2 )
$ 1. $2.& + $ 1. #%
$1+ $ 2
Valor inicial# c=0
Valor final $ 1. #%
$ 1+ $ 2 entonces( =
− $ 1.#% $ 1+ $ 2
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Por lo tanto #c= $ 1. #%
$ 1+ $ 2(1−e
−t . ( $ 1+ $2) $ 1. $ 2.& )
Ejercici 2'1,,:
Determinar ) ( t ) para t >0
Figura 2. Circuito del ejercicio 2.!!
Reduciendo el circuito aplicando e"ui#alente $%e#enin
40=40∗*1+#c
40=40∗*1+20 *
#c=20*
Carga &nal en t'()40+10 *
3 V
Luego en t'(
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*or +irc%%o,)
#c=−20 *
Luego por $%e#enin)
*or +irc%%o,)
10 *=20∗& .d#c
dt
+#c
(10 *−#c) .dt =20∗&.d#c
−dt 20 &
= d#c
#c−10 *
∫ −dt 20&
=∫ d#c#c−10 *
Reempla-ando #c=−20 * )
∫−3 dt 40 &
=∫ d#c#c
−3 t 40&
=l$|#c( |
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(e−3t 40 & =#c
Entonce #c=20# cuando t'(/ 0'2(
20e−3 t 40& =#c ,& =1 +
) (t )=−e−3 t 40
Ejercici 2'1,.:
*ara el circuito/ determine * ( t ) para t >0 .
Figura 1. Circuito del ejercicio 2.!
E"ui#alente de Norton ante de t'()
%∗=.* (t )+1∗d*
dt
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56−.* (t )=d*
dt
−dt = d*
(* (t )−% )
∫−dt =∫ d*
(* ( t )−% )
−t =l$|* ( t )−%|−(
( e− t +%=* ( t )
- =−% / cuando t tiende al meno in&nito
* ( t )=% (1−e− t )
E"ui#alente de Norton depu3 de t'()
%∗6=%. * (t )+1∗d*
dt
42−%.* (t )=d*
dt
−dt = d*
% (* (t )−6 )
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∫−dt =∫ d*% (* ( t )−6 )
−% t = l$|* ( t )−6|−(
( e
−% t
+6=* ( t )
Cuando t =0 / * ( t )=% / entonce - =1
* ( t )=e−% t +6
Ejercici 2'1,-:
*ara el circuito/ determine * ( t ) para t >0 .
Figura 4. Circuito del ejercicio 2.!5
Cuando t =0, * (t )=0
E"ui#alente de $%e#enin)
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