GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
“HIDRÁULICA GENERAL”
TRABAJO PRÁCTICO N° 2: APLICACIONES
DEL TEOREMA DE BERNOULLI
MATERIAL PREPARADO POR:
ING. PATRICIA S. INFANTE, PROF. ADJUNTO
PAULA A. ACOSTA, AYUD. DE SEGUNDA
AÑO: 2002
FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo
HIDRÁULICA GENERAL
3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 2 DE 25.
EJERCICIO Nº1
En un canal rectangular de ancho b la ley de variación de la velocidad en la altura de agua es lineal. La altura aguas arriba es h1. Se coloca en el mismo una grada (o escalón) de subida, calcular la altura de agua aguas abajo h2, recordando que se produce un movimiento permanente variado. Utilizar el coeficiente α. DATOS: h1 = 1.5 m a=0.30m b = 3 m v = 1.8 h1 - 1.2 z [m/s]
g
U
2
21
1α g
U
2
22
2α
B2
B1 h1 h2
a Cálculo del caudal Q. dq = v * dz
∫== 1h
0dz*v
b
( )q h z dz h dz z dz h zzh h h h
h
= − = − = −∫ ∫ ∫18 12 18 12 18 12210 10 0 1 0
2
0
1 1 1 1
1
. . . * . * . * . *
q h h hm
ms
m
ms= − = =18
12
212 2 71
212
12
3 3
..
. .
Cálculo de la velocidad media U en la sección 1.
UQ
b h
m
sm m
m
s11
3
81
3 1518= = =
*
.
* ..
Cálculo del coeficiente de velocidad de la sección 1 (α1).
ξηα ++= 31 ∫Ω ωω
=α d*vU*
1 33
Q q bm
msm
m
s= = =* . * .2 7 3 81
3 3
Plano de referencia
FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo
HIDRÁULICA GENERAL
3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 3 DE 25.
∫Ω ωω
=β d*vU*
1 22
∫∫∫ωω
==ωω
=β 1h
0
22
10 2
2
10 2
2
1 dz*vU*h
1dz*b*
U
v
h*b
1d*
U
v1
( ) 221
21
221
2 z2.1z*h*2.1*8.1*2h8.1z2.1h8.1v +−=−=
+−=
+/
/−= 31
331
21
1210
32
0
2
10
21
121
1 3
2.1*2.1*8.18.1
*
1
32.1
2*2.1*8.1*2*8.1
*
111
1 hhhhU
zzhzh
hU
hhhβ
( )∫∫ −=ωω
=αω 1h
0
313
110 3
3
1 dz*bz2.1h8.1U*h*b
1d*
U
v1
( ) 332221
231
331
3 z2.1z*2.1*h*8.1*3z*2.1*h*8.1*3h8.1z2.1h8.1v −+−=−=
( ) ( )[ ]∫ −+−+= 1
0
332211
231
131
1 2.1*2.1**8.1*32.1**8.1*38.1*
1 hzzhzhh
hUα
[ ]16.23
2.1*
3
2.1*8.1*3*
2
2.1*8.1*38.1
*
131
3134
1
334
1
234
1
234
13
121
1U
hhhhh
hU=
−+−
/== ////α
3111 101083.0*325.131 −=−−=η−−α=ξ
Cálculo del Bernoulli de la sección 2 (B2) y la altura h2. B1 = B2 + a
m71.1m706.1msg
8.1*25.1m5.1
g2
UhB
221
111 ≅=+=α+=
m41.1aBB 12 =−= g
UhB
2
22
222 α+=
La altura crítica es:
m906.0ms81.9
sm7.2
g
qh 3
32
262
3
2
c ===
En el planteo hay dos incógnitas (h2 y U2) y una sola ecuación, de modo que para resolverla es necesario encontrar otra segunda ecuación que haga determinado el sistema. Para lo cual se usa la ecuación de la continuidad en movimiento permanente variado. El escalón de subida en el fondo del canal implica una singularidad, lo que significa que el movimiento que se produce allí es movimiento
083.11 =β
25.11 =α
001.01 =ξ
083.0083.01083.11 11 =η⇒=−=−β=η
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HIDRÁULICA GENERAL
3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 4 DE 25.
permanente variado, de modo que se puede usar la ecuación de continuidad del MPV como segunda ecuación para hacer determinado el sistema. Esta ecuación es: U4 η = cte ∴ U1
4 η1 = U24 η2 ∴ η2 = η1 (U1/U2)
4 Luego como ξ ≈ 0 ∴ α2 = 1+3η2 Aplicando el método de aproximaciones sucesivas, se hacen tanteos para obtener h2 y α2. Se usan valores de h2 por encima y por debajo de hc. Los mismos se ordenan a través de una tabla de cálculo.
h2 U2=Q/bh2 ηηηη=ηηηη1(U1/U2)4 αααα2=1+3ηηηη2 B2=h2+αααα2U2
2/2g OBSERVACIONES
1.10 1.05 0.75 0.77 0.78
2.455 2.571 3.60 3.506 3.462
0.024 0.020 0.005 0.005 0.006
1.072 1.060 1.016 1.017 1.018
1.429 1.407 1.421 1.408 1.402
hR
hT
Se han encontrado dos valores de h2 que cumplen el valor de B2, uno es mayor que hc y el otro es menor. Régimen de escurrimiento aguas arriba y aguas abajo. Se calcula el número de Froude para saber si es régimen de RÍO o de TORRENTE.
Cálculo de h*g
U
b
hb*g
U
B*g
UFr =
×=
Ω=
a) Aguas Arriba
RIO147.0m5.1*g
s/m8.1Fr ⇒⟨==
b) Aguas Abajo
TORRENTE128,1m77,0*g
s/m506,3Fr
RIO180.0m05.1*g
s/m571,2Fr
⇒⟩==
⇒⟨==
28.1Frm77.0h
80.0Frm05.1h
T
R
=⇒==⇒=
O sea que aguas debajo del escalón puede producirse un escurrimiento de Río o uno de Torrente, de qué depende que se produzca uno ú otro, de las condiciones aguas abajo del canal (sobre todo de la pendiente de fondo). Cálculo de los valores críticos:
m359.1h2
3
g2
hgh
g2
UhB
s
m98.2
91.0*3
1.8Um91.0h c
cc
2c
cccc ==××+=+=⇒==⇒=
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 5 DE 25.
Trazado de la curva de Energía. Derivando la función Bernoulli respecto de la altura de agua se obtiene:
bU
g
11
dh
dB
dh
dUU2*
g2
11
dh
dB
2
Ω−=
+=
dh
dU
dh
dU
Udh
d
dh
dU0
dh
dQ
*UQ
ΩΩ
−=
Ω+Ω==
Ω=
pero B
gUc
Ω=
interpretación gráfica
cc
cc
cc
ccc
hh
hB
g
hgh
g
uhB
2
3
2
2
*
2
2
−+=
+=+=
ccc
cc
cc
c
ghug
huh
hbgb
u
gb
Qh
=⇒=
//
== //
223
322
2
2
32
2
• Energía mínima, escalón máximo • B1 - Bc = amáx Dibujar a escala a:
g
Qh
g
uhB
22 2
22
ω+=+=
EJERCICIO Nº2 Dada la siguiente ley de variación de velocidad en función de la profundidad, v = 2 – (2/3 z2) y la altura del tirante de agua 1.50 m. Calcular el caudal, la velocidad media y los coeficientes de velocidad.
2c
2
U
U1
dh
dB −=
22
2 1
2 hgb
QhB +=
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 6 DE 25.
∫ ∫∫ ∫
−==== 1
0
50.1
0
2 *3
22***
hdzbzdzbvdvdQQ
ωω
ms
mzzq
b
Q/25.2
3*
3
2*2
350.1
0
350.1
0=−==
hb*=ω hbUUQ *** == ω
s
m
m
ms
m
h
qUhUq 50.1
50.1
/25.2*
3
===∴=
Cálculo de los coeficientes de velocidad:
ξηα ++= 31 ∫Ω= ωω
α dvU
**
1 33
1−= βη ∫Ω= ωω
β dvU
**
1 2
2
∫∫ /
−/
==h
dzbzUhb
dU
v0
32
30 3
3
*3
22
**
1*
1 ωω
ωα
dzzzzhU
dzzzzhU
hh
∫∫
−+−=
−+−=0
642
30
64223
3 27
8
3
888
*
1
27
8
9
4*2*3
3
2*2*32
*
1α
−+−=
−+−/
/=
///642
3
674523
35.1*
189
85.1*
15
85.1*
3
88
5.1
1
727
8
53
8
388
*
1 hhhh
hUα
∫∫∫∫
−====hh
dzzUh
dzvUh
dzbU
v
hbd
U
v0
22
20
2
20 2
2
0 2
2
*3
22
*
1*
*
1**
*
1*
1 ωωω
ωβ
∫∫
+−=
+−=hh
dzzzUh
dzzzUh 0
42
20
42
2*
9
4
3
84
*
1*
9
4
3
2*2*24
*
1β
2497.11 =α
v
h=1.5m
z
b
ΩΩΩΩ
dz
z
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 7 DE 25.
+−=
+−
/=
//42
2
4523
25.1*
45
45.1*
9
84
5.1
1
59
4
33
84
*
1 hhh
hUβ
1−= βη
0143.01088.0*32497.131 −=−−=−−= ηαξ
EJERCICIO Nº3 En una tubería circular se conoce, según una sección cualquiera, la ley de variación de la velocidad. Calcular los coeficientes de velocidad. e e v R r R dr r
( )22
2
máx rRR
vv −=
Velocidad media:
Ω= Q
U ∫Ω= ωdvQ *
( ) ωdrRR
vQ 22
2
máx −= ∫Ω 2* rπω = drrd *2πω =
( ) ( )drrrRR
vdrrrR
R
vQ
RR 32
02
máx22
0 2
máx *2*2 −=−= ∫∫
ππ
2máx4
2
máx42
2
2
máx
4
*2
4
1
2
1*2
42
*2R
vR
R
vRRR
R
vQ
πππ=
−=
−=
r
RvQU M
π2
* 2
=Ω
=
2Mv
U =
Cálculo de los coeficientes de velocidad:
ξηα ++= 31 ∫Ω= ωω
α dvU
**
1 33
088.11 =β
0143.0−=ξ
088.0=η
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 8 DE 25.
1−= βη ∫Ω= ωω
β dvU
**
1 2
2
( )∫∫∫ /−//
/
===/
/ΩΩ
RM
M
drrrRR
v
vR
dvU
dU
v0
22
4
2
2
22
2
22
2
*2
2*
1
*
1*
1 ππ
ωω
ωω
β
( ) ( )
/+////−//
/=+−=+−=
////
/
/∫∫ 6242
2
82
82
8 6424
2
60
5324
60
4224
6
RRRR
R
RdrrrRrR
RrdrrrRR
R
RRβ
13
41 −=−= βη
( )∫∫∫ /−//
/
===/
/ΩΩ
R M
M
drrrRR
v
vR
dvU
dU
v0
322
6
3
32
3
33
3
*2
8*
1
*
1*
1 ππ
ωω
ωω
α
( ) ( )∫∫ −+−=−=RR
drrrrRrrRrRR
rdrrRR 0
642246
80
322
833
1616α
24
3*16
24
312181216
8
1
6
3
4
3
2
116
863
43
2
16 862
446
2
8=
−+−=
−+−=
/−//+//−///
=//
//
///
/
RRR
RRR
R
Rα
13
1*3231 −−=−−= ηαξ
EJERCICIO Nº4 (propuesto) Realizar el Ejercicio Nº 2 para v = 1.5 – (1.2 z). EJERCICIO Nº5 (propuesto) En un canal rectangular de ancho b, escurre agua con Movimiento Permanente (MP), se conoce el ancho en una sección Ω1-1, la ley de variación de la velocidad y la altura de agua sobre el fondo. Aguas abajo existe un escalón de fondo de subida, de altura “e”. Se desea calcular la altura de agua sobre fondo h2 en una sección Ω2-2, ubicada aguas abajo del escalón. Representar para Q cte., h-B y el escalón en MP. DATOS: h1 = 1.5 m v = 1.8 h1 - 1.2 z [m/s] e = 0.30 m b = 3 m
0=ξ
2=α
3
4
6
8 ==β
3
1=η
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 9 DE 25.
EJERCICIO Nº6
En un canal rectangular se conoce en una sección 1-1, la ley de variación de velocidades, dada por la expresión siguiente:
2
3
22 yu −= [m/s]
contando desde la superficie libre. La profundidad en la sección 1-1 es h1= 1,5 m. Se pide calcular la profundidad en otra sección 2, en la que el fondo ha subido 0,4 m.
Distribución de velocidades
2
3
22 yux −== donde hy =
Procedimiento 1) Cálculo del caudal
Tendremos que calcular el gasto, que es el volumen líquido que pasa por una sección en la unidad de tiempo.
Sección 1-1 Sección 2-2
hT
hR
h1
g
U
2
21
1 =αg
U RR 2
2
=α
g
UTT 2
2
=α
Torrente
Río
a a
h u 0
0,5 1
1,5
2 1,83 1,33 0,5
u[m/s]
2
1
1 0
1,5
1,5
0,5
0,5
h[m]
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HOJA Nº 10 DE 25.
hbUUQ ⋅⋅=Ω⋅=
hUb
Qq ⋅==
ms
myydyydhudqq
h h 125,2
9
22
3
22
35,1
0
5,1
0
35,1
0
2
0 0
=−=
−=⋅== ∫∫ ∫
2) Cálculo de la velocidad media
s
m
mms
m
h
qQU 5,1
5,1
125,2
3
===Ω
=
3) Determinación de los coeficientes de velocidad
∫Ω
Ω⋅Ω
=0
33
1du
Uα
2
3
22 yu −=
donde dhbd ⋅=Ω
223 UqbUUhbU ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅Ω
2497,127
8
3
888
5,125,2
1
3
22
11 5,1
0
6422
5,1
0
32
20
32
=
−+−⋅
=
−⋅
=⋅⋅⋅⋅
= ∫∫∫ dyyyydyyUq
dhbuUqb
h
α
∫Ω
Ω⋅Ω
=0
22
1du
Uβ
0889,19
4
3
84
5,125,2
1
3
22
11 5,1
0
425,1
0
22
0
2 =
+−⋅
=
−⋅
=⋅⋅⋅⋅
= ∫∫∫ dyyydyyUq
dhbuUqb
h
β
⇒
0889,010889,11 =−=−= βη ⇒ ξηα ++= 31 ⇒ 017,00889,0312497,131 =⋅−−=−−= ηαξ ⇒
Por lo tanto, por ser ξ tan pequeño se puede despreciar y adoptar
267,131 =+= ηα ⇒ 4) Cálculo de Bernoulli
g
UhB
2
21
111 α+=
( )mmm
g
smmB 646,1115,0267,15,1
2
/5,1267,15,1
2
1 =⋅+=⋅+= ⇒
mmmaBB 246,14,0646,112 =−=−= ⇒
dh dΩ
b
η=0,0889 ξ=0,017
α=1,267
β=1,0889
B1=1,646m
B2= 1,246m
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 11 DE 25.
5) Determinación de la altura en la sección 2-2
Como el escalón es una singularidad, se origina en la transición, un movimiento permanentemente variado, donde la ecuación de continuidad:
.4422
411
4 cteUUUU nn =⋅=⋅=⋅=⋅ ηηηη
Con esta ecuación, entonces, podemos calcular el valor de η2
42
42
4
42
411
2
4500,05,10889,0
UUU
U=⋅=
⋅=
ηη
De esta manera, la altura h2 se calcula por tanteos hasta conseguir el Bernoulli correspondiente a la sección 2-2.
mg
UhB 246,1
2
22
222 =+= α
h2 h
qU =2
42
45,0
U=η 22 31 ηα +=
g
U
2
22
g
U
2
22
2α B2 ∆
0,60 3,75 0,00228 1,0068 0,7167 0,7216 1,3216 0,0759 0,67 3,36 0,00354 1,0106 0,5748 0,5809 1,2509 0,0052
0,68 3,31 0,00375 1,0113 0,5580 0,5643 1,2443 -0,0014
0,69 3,26 0,00398 1,0119 0,5420 0,5484 1,2384 -0,0073 0,70 3,21 0,00422 1,0126 0,5266 0,5332 1,2332 -0,0125 0,80 2,81 0,00719 1,0216 0,4032 0,4119 1,2119 -0,0338 0,90 2,50 0,01152 1,0346 0,3186 0,3296 1,2296 -0,0161 0,92 2,45 0,01258 1,0377 0,3049 0,3164 1,2364 -0,0093 0,93 2,42 0,01313 1,0394 0,2983 0,3101 1,2401 -0,0056
0,94 2,39 0,01371 1,0411 0,2920 0,3040 1,2440 -0,0017
1,00 2,25 0,01756 1,0527 0,2580 0,2716 1,2716 0,0259 1,10 2,05 0,02571 1,0771 0,2132 0,2297 1,3297 0,0840
Como se observa, hay dos valores que verifican o convergen al valor de B2. El valor a adoptar, dependerá de las condiciones de aguas abajo. Por ejemplo, si estamos en régimen sub-crítico o de río, entonces tendremos la altura h2, será
la más alta, es decir 0,94 m para nuestro caso, en tanto que si el régimen es super-crítico o de torrente, la altura h2 será la menor, o sea 0,68 m. Nota: Que α2 sea menor que α1, significa que la distribución de velocidades es más uniforme en la sección 1-1, que en la 2-2. Al aumentar α crece la distribución parabólica, y por dicha razón ξ → 0, o sea que hemos supuesto bien. Al acelerarse la corriente α → 1, ello ocurre cuando hay una rápida aceleración en las zonas cercanas al escurrimiento crítico, y también cuando se presentan tirantes chicos y velocidades grandes. 6) Escurrimiento crítico
Para encontrar la ecuación de mínimo Bernoulli, o sea la mínima energía por unidad de peso, o gasto constante, bastará con igualar a cero su derivada primera.
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HIDRÁULICA GENERAL
3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 12 DE 25.
g
UhB
2
2
α+=
012
21 =+=+=
dh
dU
g
U
dh
dU
g
U
dh
dB ( 1 )
Si ahora derivamos la ecuación de la continuidad UQ ⋅Ω=
0=Ω+Ω=dh
dU
dh
dU
dh
dQ ⇒
dh
dU
dh
dU ΩΩ
−=
Además dhbd ⋅=Ω ⇒ bU
dh
dU
Ω−=
Reemplazando este valor en la ( 1 )
0112
=Ω⋅⋅−=
Ω
−+=g
bUb
U
g
U
dh
dB ⇒
bg
U cc
Ω⋅=
Si reemplazamos U en ⇒b
gUQ c
ccc
Ω⋅×Ω=⋅Ω= ⇒
b
gQ c
c
Ω⋅×Ω=
Esta última ecuación revela que para una sección dada la velocidad crítica es función del caudal, es decir que queda definida la sección crítica para cada caudal y forma de sección transversal.
En cuanto a la altura de velocidad crítica será:
b2g2b
g
g2U c
c2c Ω
=
Ω⋅
=
y la energía mínima será: b2
hBc cc
Ω+=
El Bernoulli mínimo separa las corrientes en dos grupos: a) Ríos: donde la altura de agua es mayor que la altura crítica (hc) b) Torrentes: donde la altura de escurrimiento es menor que la altura crítica
El tránsito de una corriente a otra es a través de una sección crítica, por lo tanto el escurrimiento que se verifica con un Bernoulli mínimo es un escurrimiento crítico y la profundidad de agua es la altura crítica (hc) y la velocidad es la velocidad crítica (Uc).
Para el caso de una sección rectangular:
3ccc
cccc hgbhghb
bg
hbUQ ⋅⋅=⋅⋅⋅=Ω⋅
⋅⋅=⋅×Ω=
si 3chg
b
Qq ⋅== ⇒ 3
2
g
qhc = ⇒
( )m
sm
smhc 8021,0
/81,9
/25,23
2
22
==
7) Curva de energía
La ecuación Ω⋅⋅−=
g
bU
dh
dB 2
1 nos da la derivada del Bernoulli respecto a la altura, pero
como:
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 13 DE 25.
bg
U cc
Ω⋅= ⇒ 2
c
2
UU
1dhdB −=
Por otra parte es fácil de apreciar que hb
=Ω , por lo que Uc será mayor que U cuando la
altura sea mayor que la crítica, y Uc será menor que U si h es menor que hc. Por lo tanto la derivada del Bernoulli (tangente de la función Bernoulli en un punto) será
positiva en los ríos y negativa en los torrentes. Podemos representar gráficamente la variación de la suma de Bernoulli con la profundidad.
Se ve que la curva tiene 2 asíntotas hB =' y g
UB
2''
2
= . Donde B’ nos da una recta a 45°
en tanto que B” nos da una hipérbola equilátera ya que:
22
2
22
2
2
22 1.
1
2222 hcte
hg
q
hbg
Q
g
Q
g
U ⋅==⋅⋅
=Ω⋅
=
8) Representación gráfica
Realizamos la siguiente tabla de valores.
h b Ω q Ω
== Q
h
qU
g
U
2
2
g
UhB
2
2
+=
0,1 1 0,1 2,25 22,50 25,80 25,9028 0,2 1 0,2 2,25 11,25 6,45 6,6507 0,3 1 0,3 2,25 7,50 2,87 3,1670 0,4 1 0,4 2,25 5,63 1,61 2,0127 0,5 1 0,5 2,25 4,50 1,03 1,5321 0,6 1 0,6 2,25 3,75 0,72 1,3167 0,7 1 0,7 2,25 3,21 0,53 1,2266 0,8 1 0,8 2,25 2,81 0,40 1,2032 0,9 1 0,9 2,25 2,50 0,32 1,2186 1 1 1 2,25 2,25 0,26 1,2580
1,1 1 1,1 2,25 2,05 0,21 1,3132
CONCLUSIONES Para un Q determinado el agua podrá escurrir con distintas energías, pero nunca con una
menor que la crítica Bc. Podemos decir que Bc es el mínimo valor de energía que permite el escurrimiento. El escalón límite es B1-Bc
Cuando se proyecta un canal la sección normal de escurrimiento debe estar alejada de las condiciones de crisis, ya que se pueden originar cambios de regímenes que generan ondas de traslación cuya altura es de la envergadura de la altura de agua.
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HOJA Nº 14 DE 25.
EJERCICIO Nº7
Los tanques de la figura están conectados por una tubería de 1220m de longitud y 0,25 m de diámetro. El nivel del recipiente del tanque inferior está a 37 m por encima del nivel del tanque inferior. El gasto que transporta la tubería es de 0,128 m3/s. Determinar: 1. Pérdida de carga total. 2. La presión que existe en la sección a la mitad de la tubería, si dicha sección se encuentra a la misma
elevación que el nivel del tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se pierde desde el tanque superior hasta dicha sección.
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HOJA Nº 15 DE 25.
1) Considerando que α1 = α2 = 1, la ecuación de la energía (1) se puede aplicar entre los tanques 1 y 2,
con el plano de referencia coincidiendo con la superficie libre del tanque 2:
∑+++=++ r
22
22
2
21
11
1 hg2
UPz
g2UP
z αγ
αγ
(1)
∑+++=++ 2
10000037 rh ⇒ mhr 37
2
1=∑ La pérdida de carga total que se puede producir
es de 37m. 2) La velocidad media en el tubo vale
( ) sm
607,2m0491,0s
m128,0
m25,04
sm
128,0QU
2
3
2
3
===Ω
=π
De la misma forma la ecuación de la energía (1) aplicada entre el tanque 1 y la sección 3 (con la pérdida disponible de la mitad que la anterior ∆hr = 18,50 m), permite calcular la presión P3 como sigue:
m
s
ms
mP
5,1881,92
607,2
00037
2
2
3 +⋅
++=++γ
⇒ 223 m/N9.177
kg1N8.9
mkg
153,18P =×=
Esta presión, obviamente, cambia si cambiamos z3.
1
2
3 z3 = ? P3 = ? z2 = 0
V2 = 0 P2 = 0
L = 1220m D = 0,25m
z1 = 37m V1 = 0 P1 = atm.=0
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HOJA Nº 16 DE 25.
EJERCICIO Nº8
El ancho de un canal rectangular abierto se reduce de 1,8 a 1,5 m y el fondo se eleva en 30 cm, de la primera a la segunda sección. El tirante en la primera sección es de 1,2 m y la caída de nivel piezométrico es de 0,08 m. Determinar el caudal de agua en el canal, despreciando las pérdidas de energía.
g2U
hB21
1f1 +=
ff BeB 12 =+ g
Uhe
g
Uh
22
21
1
22
2 +=++ ⇒ ( )g
UUehh
2
21
22
21
−=+−
g2U
hB22
2f2 +=
Además ∆++= 21 heh ⇒ ( ) ∆=+− ehh 21 ⇒ ∆=−g
UU
2
21
22 (1)
Calculando h2, podemos encontrar la relación entre U1 y U2 usando la ecuación de continuidad: mmmmehh 82,030,008,020,112 =−−=−∆−=
2211 Ω=Ω= UUQ ⇒ 2211
2221 570,0
8,12,1
5,182,0U
mm
mmU
bh
bhUU ⋅=
⋅⋅==
en (1) ( ) ∆=⋅− gUU 257,0 22
22 ⇒
s
mm
s
m
U 525,157,01
08,081,92
2
2
2 =−
⋅⋅=
Una vez conocida la velocidad podemos calcular el caudal.
Sección 1 Sección 2
h1 h2
b1 b2
∆
e
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HOJA Nº 17 DE 25.
s
m
s
mmmUbhUQ
3
22222 876,1525,15,182,0 =⋅⋅==Ω= ⇒ s
mQ
3
88,1=
EJERCICIO Nº9
El agua fluye en un canal rectangular de 3 m de ancho, tal como lo muestra la figura. Sin considerar las pérdidas, calcular el tirante en la sección 2.
21 BB =
g
Uh
g
Uhz
22
22
2
21
11 +=++
2211 UUQ Ω=Ω= ⇒ 12
1
2
112 U
h
h
hb
UhbU =
⋅⋅
=
g
Uh
h
hg
Uhz
22
2
12
1
2
21
11
+=++
( )22
2
2
2
2
2
2
2,1
81,92
9,4
81,92
9,42,14,2
h
m
s
ms
m
h
s
ms
m
mm⋅
+=⋅
++ º
h2 = -0,5714 m
22
3
2
76,182,4
h
mhm += ⇒ 076,182,4 32
232 =+⋅− mhmh h2 = 0,6496 m
h2 = 4,7417 m La raíz negativa del polinomio de tercer grado no tiene significado físico, la altura menor corresponde al régimen de torrente y la altura mayor al régimen de río.
U1 = 4,9 m/s h1 = 1,2 m z1 = 2,4 m
U1
h2
h1
z1
U2
b
h
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HOJA Nº 18 DE 25.
EJERCICIO Nº10
Si la distribución de velocidades en un conducto circular está dada por: n
R
r
v
v
−= 10
donde R
es el radio de la conducción, y v0 es la velocidad en el centro del mismo. Calcular el caudal y la velocidad media U, como funciones de v0 y n.
∫ Ω⋅= dvQ
donde 0
n
vRr
1v
−= y drrd ⋅⋅=Ω π2
( ) =
+−⋅=
+−⋅=
−⋅=⋅⋅
−=+++
∫∫ n
2n2
0
R
0
2n
n
2
0
R
0n
1n
0
R
0
n
0 R2nR
2R
v22n
rR1
2r
v2drRr
rv2dr2Rr
1vQ ππππ
( ) ( ) ( )2
02
0
n2n2
0 R2n
nv
2n222n
Rv22n
R2
Rv2
+⋅=
+−+⋅⋅=
+−⋅=
−+
πππ ⇒ ( )2
0 R2n
nvQ
+⋅= π
( ) 02
20
2v
2nn
R2n
Rnv
RQQ
U+
=⋅⋅+⋅⋅⋅
==Ω
=π
ππ
⇒ 0v2n
nU
+=
EJERCICIO Nº11
Un canal de sección rectangular tiene un estrechamiento como el de la figura. Conociendo h1 = 0,8 m y b =2 m, calcular la altura h2 en el estrechamiento para un caudal de 1m3/s.
R
r
dr
dΩ
Sección 1 Sección 2 b
h1
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HOJA Nº 19 DE 25.
g
UhB
2
21
11 +=
g
UhB
2
22
22 += ⇒ 12 BB =
s
m
mms
m
bh
QU 625,0
28,0
13
11 =
⋅== ⇒ m
s
ms
m
mB 820,081,92
625,08,0
2
2
1 =⋅
+= ⇒ mB 82,02 =
Por la ecuación de continuidad 2211 Ω=Ω= UUQ ⇒ 2
112 Ω
Ω=
UU
gbh
bhUgbh
gbh
bhUh
g
UhB
2
2
2
1
2 22
22
21
21
212
32
2
22
1112
22
22
+=
+=+= ⇒ 2
121
212
322
22
22 22 bhUgbhBgbh +=⋅
y como 12 bb = ⇒ 022 21
21
222
322 =+⋅−⋅ hUhgBhgb
mh 11664,02 −=
025,009,1662,19 22
32 =+⋅−⋅ hh mh 8,02 =
mh 13655,02 =
La raíz negativa no tiene significado físico, mientras que de las positivas la mayor corresponde al régimen de río y la menor al régimen de torrente. EJERCICIO Nº12
Un canal de gran ancho, y con una altura de agua h = 2,4 m, presenta la siguiente ley de
variación de velocidades: h
yv 2,16,0 += v(m/s) y h(m)
Según esta misma ecuación la velocidad superficial es de 1,8 m/s y la de fondo 0,6 m/s. Calcular:
1. El caudal por unidad de ancho q 2. La velocidad media U 3. El Bernoulli medio Bm
1) El caudal por unidad de ancho q
∫∫∫ ⋅=
⋅⋅=
⋅== dyv
b
dybv
b
dv
bQ
qω
hhhyh
ydyyh
dydyh
yq
hhh
hh
4,18,06,03
22,16,0
2,16,02,16,0
00
2/32/10
0
2/12/1
0
5,0
=+=+=+=
+= ∫ ∫∫
⇒ hq 4,1=
( ) ms
mq
⋅=⋅=
3
4,2 36,34,24,1 ⇒ ms
mq
⋅=
3
36,3
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HOJA Nº 20 DE 25.
2) La velocidad media U
s
m
mms
m
h
q
bh
bqQU 4,1
4,2
36,33
=⋅==⋅⋅=
Ω= ⇒
s
mU 4,1=
3) El Bernoulli medio Bm
g
UhBm
2
2
α+=
=⋅
=⋅⋅⋅
=ΩΩ
= ∫∫∫Ω
h
0
33
h
0
333
3
dyvUh1
dybvUhb
1d
Uv1α
=
+⋅+⋅+=
+⋅
= ∫∫ dyyh
yh
yh
dyh
y
Uh
hh
0
2/32/3
2/12/1
0
32/1
3
728,144,16,03
2,136,03216,02,16,0
1
=+++⋅
=h
yh
yh
yh
yUh 0
2/52/3
22/32/13 5
2728,1
2
1592,2
3
2296,1216,0
1
332/5
2/322/3
2/13
0672,30672,3
16912,0296,1864,0216,0
1
Uh
Uhh
hh
hh
hh
Uh=
⋅=
+++⋅
=
⇒ 118,14,1
0672,30672,333
==U
α
m
s
ms
m
mg
UhBm 512,2
81,92
4,1118,14,2
22
2
2
=⋅
+=+= α ⇒ mBm 512,2=
EJERCICIO Nº13
El agua fluye por una canalización abierta con un escalón de fondo de 0,15 m y un ancho constante. Las velocidades medias son U1 = 3 m/s y U2 = 4,5 m/s. Calcular las alturas de agua h1 y h2 para el movimiento permanente variado que se produce, suponiendo que no hay pérdida de energía en el escalón de fondo
eg2
Uh
g2U
hB22
2
21
1 ++=+= (1)
Por la ecuación de continuidad:
bhUbhU 2211 = ⇒ 21
21 h
U
Uh = y 1
2
12 h
U
Uh =
h1
e
h2 U1 U2
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 21 DE 25.
Reemplazando el valor obtenido de h1 en (1)
eg
Uh
U
U
g
Uh ++=+
22
22
12
121
1 ⇒ eg
UU
U
Uh +
−=
−
21
21
22
2
11
⇒
m170,2
sm
3sm
5,4
sm
5,4
s
m81,92
m15,0s
m81,92
sm
3sm
5,4
UUU
g2eg2UU
h
2
2
22
12
221
22
1 =−
×⋅
⋅+
−
=−
×⋅+−
=
⇒ mh 17,21 = Conociendo h1, se puede calcular h2 a partir de la ecuación de continuidad.
mm
s
ms
m
hU
Uh 447,117,2
5,4
3
12
12 === ⇒ mh 45,12 =
EJERCICIO Nº14
Calcular los coeficientes α,β,η y ξ, y determinar la energía de la corriente de las siguientes características.
Determinación del caudal y de la velocidad media
=−⋅=⋅
−=Ω⋅== ∫ ∫∫h
0
2h
0 2y
51
yh5,0bdyby51
h5,0dvdqQ
( )s
mmmhb
hhb
322
22
88,22,155
2
5
2
102=⋅=⋅=
−= ⇒
s
mQ
3
88,2=
s
m
mms
mQ
U 48,02,15
88,23
=⋅
=Ω
= ⇒ s
mU 48,0=
b
h dy yhv
5
15,0 −=
mh 2,1= mb 5=
yhv5
15,0 −=
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 22 DE 25.
Cálculo de los coeficientes de velocidad (αααα,ββββ,ηηηη y ξξξξ)
=⋅
−⋅
=ΩΩ
= ∫∫h
0
3
33
3dyby
51
h21
hbU1
dvU
1α
=−+⋅−⋅=
−⋅⋅+⋅⋅−= ∫hh yyhyh
yh
hUdyyyhyhh
hU0
43223
30
32233 4125
1
350
3
220
3
8
1
125
1
25
1
2
13
5
1
4
13
8
11
0625,148,0
2,1068,0068,0
500150
3
40
3
8
13
3
34444
3=
==
−+−=
U
hhhhh
hU ⇒ 0625,1=α
=⋅
−⋅
=ΩΩ
= ∫∫h
0
2
32
2dyby
51
h21
hbU1
dvU
1β
=+⋅−⋅=
+⋅⋅−= ∫hh yyh
yh
hUdyyyhh
hU0
322
20
222 325
1
254
1
25
1
5
1
2
12
4
11
0208,148,0
2,1163,0163,0
75104
12
2
2333
3=
==
+−=
U
hhhh
hU ⇒ 0208,1=β
0208,010208,11 =−=−= βη ⇒ 0208,0=η
ξηα ++= 31 ⇒ 0001,00208,0310625,131 =⋅−−=−−= ηαζ ⇒ 0001,0=ξ
Cálculo del Bernoulli
m
s
ms
m
mg
UhB 212,1
81,92
48,00625,12,1
22
2
2
=⋅
+=+= α ⇒ mB 212,1=
EJERCICIO Nº15
Determinar U y los coeficientes de velocidad (α,β,η y ξ) en un conducto cilíndrico con distribución de velocidad:
−=
2
2
max R
r1vv
vmax
r
R
R R
dr
dΩ
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3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 23 DE 25.
Determinación de la velocidad media
=−⋅=
−⋅=⋅
−=Ω⋅== ∫∫ ∫∫
R
0
4
2
2
max
R
02
3
max
h
02
2
max 4r
R1
2r
v2drRr
rv2drr2Rr
1vdvdqQ πππ
4R
v24
R2
Rv2
2
max
22
max ⋅=
−⋅= ππ ⇒
2
RvQ
2max⋅
=π
2
v
R2
RvQU max
2
2max ⋅
=⋅
⋅=
Ω=
ππ
⇒ 2
vU max=
Cálculo de los coeficientes de velocidad
∫∫∫ =⋅
−+−=⋅
−=Ω
Ω=
R
06
6
4
4
2
23max3
max2
h
0
3
2
2
max3max
2
33
3drr
R
r
R
r3
R
r312v
vR
8drr2
R
r1v
vR
2dv
U
1 ππ
ππ
α
=−+−=
−+−= ∫
RR r
R
r
R
r
R
r
Rdr
R
r
R
r
R
rr
R0
8
6
6
4
4
2
2
20
6
7
4
5
2
3
2 8
1
6
3
4
3
2
1633
16
8
16
8
1
6
3
4
3
2
16 2222
2=
−+−= RRR
R
R ⇒ 2=α
∫∫∫ =⋅
+−=⋅
−=Ω
Ω=
R
04
4
2
22max2
max2
h
0
2
2
2
max2max
2
22
2drr
R
r
R
r212v
vR
4drr2
R
r1v
vR
2dv
U
1 ππ
ππ
β
6
8
6
1
22
8
6
1
4
2
2
82
8 222
20
6
4
4
2
2
20
4
5
2
3
2=
+−=+−=
+−= ∫ R
RR
R
r
R
r
R
r
Rdr
R
r
R
rr
R
RR
⇒ 3
4=β
3
11
3
41 =−=−= βη ⇒
3
1=η
ξηα ++= 31 ⇒ 03
131231 =−−=−−= ηαζ ⇒ 0=ξ
EJERCICIO Nº16
Un tubería vertical de 1,8 m de diámetro y 22 m de longitud tiene una altura de presión en el extremo superior de 5,6 m de columna de agua. Cuando el caudal es tal que la velocidad media vale 5 m/s, despreciando las pérdidas de energía, hallar la altura de presión en el extremo inferior de la tubería cuando el flujo sea hacia abajo y hacia arriba.
FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo
HIDRÁULICA GENERAL
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 24 DE 25.
g
Upz
g
Upz BB
BAA
A 22
22
++=++γγ
y como 22BA UU = ⇒
γγB
BA
A
pz
pz +=+
mmmzp
zp
AB
BA 6,2706,522 =−+=−+=
γγ
EJERCICIO Nº17
Suponiendo un canal rectangular abierto donde la velocidad en la superficie es el doble que en el fondo del canal. La velocidad varía linealmente de arriba hacia abajo. Hallar los coeficientes de velocidad α,β,η y ξ.
La distribución de velocidades sigue la ley:
+=+=hy
1VyhV
Vv
Con esta fórmula se pueden calcular el caudal Q y la velocidad media U
2hbV3
2h
hbV2y
h1
ybVdybhy
1VdvQh
0
2h
0
⋅⋅⋅=
+⋅=+⋅=⋅
+=Ω⋅= ∫∫Ω
⇒ 2
hbV3Q
⋅⋅⋅=
D = 1,8m L = 22m P/γ = 5,6m U = 5m L
B
A
dy
V b
h v
y
2V
D
FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo
HIDRÁULICA GENERAL
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI
HOJA Nº 25 DE 25.
V23
hb2hbV3Q
U =⋅⋅
⋅⋅⋅=Ω
= ⇒ V23
U =
Cálculo de los coeficientes de velocidad
=
+⋅++=⋅
+⋅
=ΩΩ
= ∫∫∫h
0
33
22
h
0
33
33
33
3dyy
h
1y
h
13y
h1
31h27
8dyb
hy
1VhbV3
2dv
U
1α
4
15
27
8
4
1
2
3
27
8
4
1
3
3
2
3
27
8
0
4
3
3
2
2
=
+++=+++= hhhhh
y
h
y
h
y
hy
h
h
⇒ 9
10=α
=
+⋅+=⋅
+⋅
=ΩΩ
= ∫∫∫h
0
22
h
0
22
22
22
2dyy
h1
yh1
21h94
dybhy
1VhbV3
2dv
U1β
3
7
9
4
3
1
9
4
3
1
2
2
9
4
0
3
2
2
=
++=++= hhhh
y
h
y
hy
h
h
⇒ 27
28=β
27
11
27
281 =−=−= βη ⇒
27
1=η
ξηα ++= 31 ⇒ 027
131
9
1031 =−−=−−= ηαζ ⇒ 0=ξ
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