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Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Solución:
a)
Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria.
b)
c)
d)
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e)
f)
g)
h)
Las demás se resuelven de la misma forma.
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Solución:
a)
b)
Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.
c)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
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Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.
Solución:
De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.
Dado los valores del enunciado para .
Solución:
a)
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b)
c)
d)
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e)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.
f)
g)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.
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h)
i)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.
j)
k) J
Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.
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Solución:
Solución:
6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
nksksksks 32
116)12*104()10(412
565202
sssk
ksks
6202
)110(101240
2)110(10
12)4(101032
10
1
10
1
i
i
iks
iksksksksks
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7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
nksksksks 32
344
nksks
2471
n
i
iks
Calculemos la sumatoria:
49424942
2472
2472
1
2
2
1
kknsnknknsn
nnksn
nnksniks
n
i
Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.
38234
4
knksnksks
Reemplazando, 1349438 nn
8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
nksksksks 32
2700
200
100
51
50
1
i
i
iks
iks
Calculemos la sumatoria:
200127550
2002
1505050
50
1
ks
ksiksi
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29005050100
29002
1100100100
2900
2700
100
1
200
50
1
100
1
100
51
ks
ks
iks
iksiksiks
i
iii
Tomado las dos ecuaciones;
200127550 ks (1)
29005050100 ks (2)
2*(1) - (2) 40029001275*25050 k
5,211
25002500sk
k
9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
nksksksks 32
3
360000
360000
40
31
40
1
i
i
iks
iks
Calculemos la sumatoria:
36000082040
3600002
1404040
40
1
ks
ksiksi
24000046530
1200002
1303030360000
12000030
1
360000
40
1
40
31
ks
ks
iksiksiksiii
Tomado las dos ecuaciones;
36000082040 ks (3)
24000046530 ks (4)
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3*(3) –4* (4) 240000*4360000*3465*43*820 k
4900200
120000600
sk
k
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
r
raraararara
nn
i
in
11 1
0
2
472954
6
3
ar
ar
Resolviendo:
1623
4729
54
4729
54
54
3
63
3
ar
r
rr
ra
n
i
in
i
ira00 2
316
Solución:
Considere que,
Para r<1.
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Ahora, debemos calcular:
Solución:
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
r
raraararara
nn
i
in
11 1
0
2
320
406
3
ar
ar
Resolviendo:
528
32040
32040
40
3
3
63
3
arr
r
rr
ra
El décimo termino es igual a 25602*5 99 ar
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11
00
2135
2121
525
n
nn
i
in
i
ira
Solución:
Usando que,
Simplificar y calcular.
Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadorafacilmente.
Pero sabemos que,
Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.
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Resover (ultimo),
Si consideramos, a=2 y b=1
La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.
Solución:
a)
b)
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c)
d)
Solución:
a)
b)
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c)
Solución:
Usando que,
a)
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b)
c)
d)
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Solución:
a)
kxkk
k kxx
kkxkxk
k kxx
kxk
xk k
xx
77327
0
77223
737227
0
77223
73227
0
77223
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 11x , basta igualar el
exponente del kx 7 a 11.
4117
kk
Entonces, para 4k encontraremos el coeficiente que acompaña a 11x .
334247
113342474747342
47
Coef
xx
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b)
3254272
27
0
2727
223
254327227
0
2727
223
27223127
0
2727
223
kkxk
k kxx
kxk
xk
k kxx
kx
k
xk kx
x
3754272
27
0
2727
223
kxk
k kxx
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 2x , basta igualar el
exponente de 3754 k
x
a 2.
24
23
754
k
k
Entonces, para 24k encontraremos el coeficiente que acompaña a 2x .
322427
324*75424272
2427
Coef
x
c) Es análogo a los dos anteriores.
d)
kxkr
k krr
x
krkx
r
k krr
x
214
0
4421
4124
0
4421
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al rx 2 , basta igualar el
exponente de kx2 a 2r.
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rkrk
22
Entonces, para rk encontraremos el coeficiente que acompaña a rx 2 .
rrr
Coef
rxrrr
14
214
19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de
a) 106
3
aa
kakk
k kaa
kkakak
k kaa
kak
ak kaa
210103610
0
101063
10310610
0
101063
103610
0
101063
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 106
3
aa ,
basta tomar el 5k , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el 5k .
Entonces, el término central es igual a:
5185
105185
1053565
1010*2105103565
10
a
b) 5
25
54
xx
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kxkk
k kxx
kxk
kxk
k kxx
kxk
xk kxx
255
54
255
0
55
25
54
55
54
255
0
55
25
54
5
54
255
0
55
25
54
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 5
25
54
xx
,
basta tomar el 2k y el 3k , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo.
Entonces, el término central es igual a:
c) 24xbxa , con ba 0
kxbkxak k
xbxa
kxbkxak k
xbxa
2424
0
2424
2424
0
2424
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio
24xbxa , basta tomar el 12k , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo
el termino central el 12k .
Entonces, el término central es igual a:
11035
5
2425
12
543
25
353
542
25
25
3*2535
543
25
352*25
25
542
25
25
min
xx
xx
xxoTer
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661224
1224121224
min
xbxa
xbxaoTer
20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.
a)
9
31
2
23
xx
kxk
kk
kxx
kxk
kkx
k
kxx
k
kxk
xkxx
3189
0
9
23
319
9
31
2
23
2189
0
9
23
319
9
31
2
23
9
0
9
2
233
199
31
2
23
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio
9
31
2
23
xx
,
basta igualar a cero el exponente de kx 318 , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero.
60318
kk
Entonces, el término independiente es:
3
36
696
61
69
23
31
69
6*31823
31
69
depen)Termino(in
x
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a) n
xx
3
21
n
k
knxkknn
xx
n
k
knxkxkknn
xx
n
k
knxk
xknn
xx
3
0
33133
21
3
0
32133
21
3
0
32133
21
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n
xx
3
21
,
basta igualar a cero el exponente de knx 33 , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero.
nkkn
033
Entonces, el término independiente es:
n
nnn
nn
xnn
13
13
depen)Termino(in 33
21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.
n
xxx
3
21
2653
Solución:
n
k
knxkknn
k
knxkknn
xxx
n
k
knxkxkkn
xn
xxx
n
k
knxk
xkn
xn
xxx
3
0
331233
0
65331333
21
2653
3
0
3213
26533
21
2653
3
0
3213
26533
21
2653
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Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n
xxx
3
21
2653
, basta igualar a cero el exponente de 6533 knx y el de
knx 33 , pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x.
Para la primera sumatoria:
365
06533
nk
kn
Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe.
Para la segunda sumatoria:
nkkn
033
Entonces, el término independiente es:
n
nnn
nn
xnn
123
123
depen)Termino(in 33
Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.
22. Calcular el coeficiente de 2x en el desarrollo de x: 28
2122
xxx
28
0
45812828
2122
28
0
4561282
28
2122
28
0
25621282
28
2122
28
0
28221282
28
2122
k
kxkkx
xx
k
kxkk
xx
xx
k
kxkxkk
xx
xx
k
kx
k
xkx
xxx
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Como nos piden encontrar el coeficiente de 2x del binomio 28
2122
xxx , basta
igualar a -2 el exponente de kx 458 , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente
152458
kk
Entonces, el coeficiente de 2x
1528
1528
11528
min
2
15*45815
Coef
x
xoTer
23. Determinar el valor de a para los coeficientes de 7x y 6x en el desarrollo de:
325 axax sean iguales.
Solución:
5
0
858
5
0
71512
5
0
6256
5
0
535
5
0
558
5
0
5512
5
0
556
5
0
55
5
0
5538212263325
5
0
5532325
3223
k
kakxkk
kakxkk
kakxkk
kakxk
k
kakxk
ak
kakxk
xak
kakxk
axk
kakxk
x
k
kakxk
axaaxxaxax
k
kakxk
axaxax
- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para 7x y 6x .
- Como nos piden encontrar el coeficiente de 6x del binomio 325 axax , basta
igualar a 6 el exponente de 3kx , 2kx , 1kx y kx , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
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363
kk
23535
35
1 aaCoef
Segunda sumaria
462
kk
245
64645
62 aaCoef
Tercera sumaria
561
kk
255
125755
123 aaCoef
Cuarta sumaria
6k
No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.
28
212230210
255
12245
6235
321
6
6
6
6
aCoef
aaaCoef
aaaCoef
CoefCoefCoefCoef
- Como nos piden encontrar el coeficiente de 7x del binomio 325 axax , basta
igualar a 7 el exponente de 3kx , 2kx , 1kx y kx , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
473
kk
aaCoef
4545
45
1
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Segunda sumaria
572
kk
aaCoef
55
65655
62
Tercera sumaria
671
kk
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
Cuarta sumaria
7k
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
aCoefaaCoef
aaCoef
CoefCoefCoef
7
7
7
7
65
55
645
21
Ahora, igualando el 7Coef a 6Coef .
0188 2
76
aaaa
CoefCoef
Es decir, para 81
0 21 aa los coeficientes de 7x y 6x son iguales.
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24. Hallar el coeficiente de 7x en el desarrollo de: nxx 321
Desarrollo:
ik
i
kn
k
kn
ik
i
kn
k
kn
kkn
k
kn
n
k
knkn
xik
xkn
xx
xik
xkn
xx
xxkn
xx
xxkn
xx
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
22
111
111
1111
1111
Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.
Como nos piden encontrar el coeficiente de 7x del polinomio nxx 321 , basta
igualar a 7 el exponente de ikx 2 , de esa manera conoceremos los posibles valores que pueden tomar k e i.
72 ik
Con las siguientes restricciones,
nki 0
Ahora,
70 ik Debido a que ki
51 ik Debido a que ki
32 ik Debido a que ki
13 ik Este caso cumple con nki 0
14 ik Debido a que nki 0
Luego, la única solución es con 13 ik
n
k
ikk
i
knx
ik
kn
xx0
2
0
2 111
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13
3
113
33
ncoef
ncoef
25.
i)
144
0
144
k kk
Desarrollo:
423423
0
423423
0
423423
0
423
0
2423
11423
11423423
k
k
kk
kk
k
k
kk
ii)
1012
0
10121
k
k
k
Desarrollo:
01012
1
111012
1
1110121012
1
1012
0
10121012
0
10121012
0
1012
0
k
k
k
k
kk
kk
k
k
k
kk
iii)
144
0
144
k kk
Desarrollo:
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
144
1
144
1
144
1
144
1
144
1
1143!1!144
11144!1!144
144!1!144
144!!144144
k
k
k
kk
kk
kk
kk
kkk
kk
144
1
144
1
144
1
144
1
1143
144
1143!1!143
144
1143!1144!143
1143!1!144
k
k
k
k
k
kk
kk
kk
143
143
143143
0
143
0
2144
11144
11143
144
143144
143143
142143
2143
1143
0143
144
kk
k
k
k
k
iv)
1998
0
1998
211
k kkk
Desarrollo:
Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.
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1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
1998
0
22000
200019991
!22000!2!2000
200019991
!221998!2!2000
200019991
200019991
!1998!2!2000
2000199920001999
!1998!!1998
211
20001999200019991998
2111998
211
k
k
k
k
k
kk
k
kk
kk
kk
kkkk
kkkkkk
20002000
19992000
52000
42000
32000
22000
200019991
Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis.
12000
020002000
200019991
12000
02000
20002000
19992000
22000
12000
02000
200019991
12000
12000
02000
02000
20002000
32000
22000
200019991
2000
0
0
0
k k
2001220001999
1
12000
02000
220001999
1
12000
02000
1120001999
1
12000
02000
112000
200019991
2000
2000
2000
20002000
0
kk
k k
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26. Determine:
i) 7a en nnan
kk 62
1
Desarrollo:
Partamos con algo conocido,
nnk
nnk
n
k
n
k
2
1
1
2
21
Sumemos a toda la ecuación 5n.
nnk
nnk
nnk
nnnnk
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
652
652
6152
552
2
1
2
11
2
11
2
1
Por enunciado,
1952
652
7
1
2
1
aka
annk
k
n
kk
n
k
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
ii) 7t en 723
yx
x
37
77
7727
31
77
72317
7
0
72317
0
7723
xtyx
xt
k
yx
k
xk
t
kkt
k
yx
k
xk ky
xx
k
iii) 5t en
20
23
25
34
x
x
15115
325
54
520
520
23
25
5
345
20
20
23
25
3420
20
0
20
23
25
3420
0
2020
23
25
34
5
5
xt
x
xt
k
x
kx
kt
kkt
k
x
kx
k kx
x
k
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile
iv) 5t en 122 yx
7255
12
512255
12
12212
12
0
12212
0
12122
7
5
xyt
xyt
kxkyk
t
kktkxky
k kyx
k