5/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad
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Unidad de Aprendizaje N 1: Lmite y continuidad de funciones de una variable real.
Aprendizajes Esperados
Resuelve problemas de lmites y comportamiento grfico a partir de la teora de lmites y el empleo de
sus teoremas, integrando diversas variables, a travs de soluciones de ejercicios y problemas.
Gua N1 de trabajo en Aula
Tema: Lmite de funciones de una variable real.Docente:
Luis Orellana
Objetivo:
Calcula lmites, aplicando teoremas y propiedades que permitan salvarlas indeterminaciones.
Interpreta grficamente el clculo algebraico de una funcin en un punto. Asocia asntotas verticales, horizontales y oblicuas , de funciones en
forma analtica y comprueba su respuesta dibujando la curva y susasntotas.
Determina continuidad de una funcin en un punto y/o en un intervalo
Material especfico Calculadora; Software Graficador
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REA ELECTRICIDAD, ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN
Asignatura: MATEMTICA APLICADA II
Cdigo: EEMA01
2
Lmites de funciones:
NOCIN INTUITIVA DE LMITE.
Situacin 1. Considera un resorte colgado por uno de sus extremos en una barra y con un pesopen el
otro extremo. Se sabe que el resorte se rompe si el peso p es igual o mayor que 5 kilos. Supongamos
que deseamos determinar la longitud mximalque se estira el resorte sin romperse. Para resolver esta
cuestin realizaremos el experimento de cambiar el peso p colocado en el extremo libre del resorte de
manera creciente y medir la longitud l que se estira con cada peso, como se observa en la figura.
Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar pesos cada vez ms
pequeos para no llegar al mximo de los 5 kilos y que no se rompa el resorte. Registrando las
longitudes sucesivas del resorte, debemos de poder determinar la longitud mxima L a la cual se
aproxima l cuando el peso p se aproxima a su valor mximo de 5 kilos. Simblicamente escribimos:
l L, cuandop 5
Situacin 2. Considera la funcin 2 1f x x , Qu ocurre con f x cuando x se acerca a 3?
Recuerda:
Acercarse a un valor, esto se hace desde la izquierda y desde derecha, es decir:
Desde la izquierda desde la derecha
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REA ELECTRICIDAD, ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN
Asignatura: MATEMTICA APLICADA II
Cdigo: EEMA01
3
Si los valores que toma la variable x, seacercan a 3 por la derecha, se observa que los
valores de f(x) se acercan a 7. Del mismo
modo si x se acerca a 3 por la izquierda, los
valores de f(x) se acercan tambin a 7.
La respuesta a la pregunta es: f(x) se acerca a 7
cuando x se acerca a 3. Esto se expresa diciendo
que el lmite de f(x) es 7 cuando x se acerca a 3
Lo anterior se refuerza con la siguiente tabla de valores para la funcin 2 1f x x
Situacin 3 Se tiene la funcin 2 3 2
2
x xf x
x
A qu valor se aproxima f x :
a) cuando x e acerca a 3 (completa las tablas, usa calculadora)
X se acerca a 3 desde la izquierda
X 2,80 2,88 2,91 2,92 2.93 2,94 2,95 2,98 2,99
f(x)
X se acerca a 3 desde la derecha
X 3,01 3,02 3,03 3,04 3.05 3,06 3,07 3,08 3,1
f(x)
X 0 1 2 2,5 2,6 2,8 2,9 2,95 2,99
f(x) 1 3 5 6 6,2 6,6 6,8 6,9 6,98
X se acerca a 3 desde la izquierda
X 3,01 3,05 3,1 3,2 3,4 3,8 4 5 6
f(x) 7,02 7,1 7,2 7,4 7,8 8,6 9 11 13
X se acerca a 3 desde l a derecha
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REA ELECTRICIDAD, ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN
Asignatura: MATEMTICA APLICADA II
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4
Podemos observar que f(x) se aproxima a 2 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa
diciendo que el lmite de f(x) es 2 cuando x se acerca a 3. Sin embargo este resultado se puede obtener
reemplazando directamente en la funcin el valor al cual se acerca x, es decir, para x=3 tenemos
2
2
3 2
2
3 3 3 2 23 2
3 2 1
x xf x
x
f ( )
b) Cuando x se acerca a 2 (completa las tablas, usa calculadora)
X se acerca a 2 desde la izquierda
X 1,8 1,81 1,85 1,87 1,89 1,93 1,95 1,97 1,99
f(x)
X se acerca a 2 desde la derecha
X 2,01 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1
f(x)
Podemos observar que f(x) se aproxima a 1 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa
diciendo: que el lmite de f(x) es 1 cuando x se acerca a 2
Lo anterior se puede expresar diciendo:
El lmite de la funcin f(x) es 1 cuando x tiende a 2.
Tambin podemos escribir 1 x 2f ( x ) ,cuando (Se lee: f(x) tiende a 1 cuando x tiende a 2).
21
xlim f ( x )
(esto se lee: El lmite cuando x tiende a 2 de f(x) es 1)
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5
Pero si queremos reemplazar el valor de x directamente en la funcin (como el caso anterior), esto no es
posible, no podemos obtener un valor para f(x) cuando x = 2, la funcin no est definida para el valor 2,
observa:
2 23 2 2 3 2 2 0
2 22 2 2 0
x xf x f ( ) f ( )
x
El resultado0
0se conoce como indeterminado, para salvar la indeterminacin en expresiones
racionales aplicaremos teoremas de lmites de funciones junto con algebra bsica.
Recuerda los siguientes teoremas:
1)0x x
Si lim f ( x )
, entonces es nico
2)0
0 0,x xlim x x x
3)0
0,
x x
lim k k k , x
4) 0 0
0x x x xlim k f ( x ) k lim f ( x ) con k
5) 0 0 0x x x x x x
lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )
siempre y cuando no aparezca la
indeterminacin -
6) 0 0 0x x x x x xlim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) siempre y cuando no aparezca la
indeterminacin 0
7) 0
0
0
x x
x x
x x
lim f ( x )f ( x )
limg( x ) lim g( x )
siempre y cuando no aparezca la indeterminacin
0o
0
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6
8) 0 0
nn
x x x xlim f ( x ) lim f ( x ) con n 0
siempre y cuando tenga sentido las potencias
que aparecen
9)n n
x a x alim f ( x ) lim f ( x )
siempre y cuando tenga sentido las potencias que aparecen
10) x x
0
0 0
lim g( x )g( x )
x x x xlim f ( x ) lim f ( x )
siempre y cuando tenga sentido las potencias que
aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0 0, 0 o 1
11)0 0x x x x
lim f ( x ) lim f ( x )
Lmites de las funciones trigonomtricas y sus inversas.
Si y = f(x) representa a una funcin trigonomtrica o a una funcin trigonomtrica inversa, con las
restricciones adecuadas se verifica:0
0x xlim f ( x ) f ( x )
Recuerde que el dominio de las funciones senx y cosxes todo , el dominio de tanx y secx es
n / n2
el dominio de cotx y cscx es n / n
A partir de las grficas de las funciones trigonomtricas podemos deducir que ellas son continuas en
todo su dominio, de manera que si x0 pertenece al dominio de la funcincorrespondiente, entonces
se tiene:
00x xlim senx sen x
0 0x xlim cosx cos x
0
0x xlim tanx tan x
0
0x xlim cotx cot x
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7
0
0x xlim secx sec x
0
0x xlim cscx csc x
Por otra parte, si x0no pertenece al dominio de la funcin entonces el lmite no existe.
Como una aplicacin de lo anterior tenemos, por ejemplo, que
0xlim sen x sen
4
24x
lim cos x cos
3
33x
lim tan x tan
6
36x
lim cot x cot
4
24x
lim s ec x sec
3
2
31
2xlim csc x csc
Por otra parte,
2x
lim tan x
no existe (vea la grfica dey= tanx) pero s podemos decir que
2 2x x
lim tan x y lim tan x
Tambin tenemos que:
x x
lim csc x y lim csc x
Teorema:0
1x
sen xlim
x
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Lmites de las funciones logartmicas y exponenciales.
Funcin logartmica y su inversa
Lafuncin logartmica, naci del estudio de la relacin entre las progresiones aritmtica y geomtrica,
durante el siglo XVII fue analizada a partir de la serie obtenida por la integracin de:1
1 x
John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Jean Bernoulli mostraron que la funcin logartmica es
la inversa de la funcin exponencial. Ya en el ao de 1742 el matemtico William Jones (1675--1749)
haba dado una sistemtica descripcin en estos trminos.
Euler defini las dos funciones as:
1
1 1
n
x n
n n
xe lim y log x lim n x
n
Esto fue presentado as en el libroIntroduction in Analysis Infinitorumpublicado en1748.
-2
-1
0
1
2
-4 -2 2 4x
y = ex
y = lnx
y = x
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9
De las grficas de estas funciones podemos deducir que ellas son continuas en todo su dominio, de
manera que si x0pertenece al dominio de la funcin correspondiente, entonces se tiene:
0
0
0
0x x
xx
x x
lim ln x ln x
lim e e
y en general:
0
0
0
0a ax x
xx
x x
lim log x log x
lim a a
Basado en lo anterior tenemos:
Teorema Si y = f(x) representa a una funcin logartmica o a una funcin exponencial, con las
restricciones adecuadas se verifica:0
0x xlim f ( x ) f ( x )
.
Otros dos teoremas importantes son:
Teorema:0
1x
x
alim ln a
x
Teorema:0
1
x
ln( a x ) ln alim
x a
Para encontrar el valor de un lmite es necesario tener presente:
a) Evaluar el lmite en su valor de tendencia, si es posible encontrar un resultado, de ser as, este es
el valor del lmite
b) Si al evaluar el lmite se obtiene alguna de las formas indeterminadas como:
0 00 ; ; 0 ; - ; 1 ; 0 ;0
entonces debemos aplicar el siguiente teorema:
Teorema:Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a 0x y si
f ( x ) g( x ) en la vecindad de x0excepto en x = 0x
0x xSi lim f ( x )
0x xentonces lim g( x )
En otras palabras, lo que est diciendo el teorema es que no importa lo que pase en 0x , si las
funciones coinciden para valores cercanos a 0x los lmites indicados son iguales.
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10
Propiedades de los lmites al infinito
1. Si k es una constante entonces lim
x
k ky. lim
x
k k
2. Si n es un nmero natural par entonces lim
nx
x y lim
nx
x
3. Si n es un nmero natural impar entonces lim
nx
x y lim
nx
x
4. Si m es un nmero natural par entonces lim
mx
x
5. Si m es un nmero natural impar entonces lim
mx
x y lim
mx
x
6. Si k es un nmero racional positivo y res un nmero real arbitrario entonces lim 0
kx
r
x y
lim 0
kx
r
xsiempre que x k est definido.
Todo lo referente a las propiedades de los lmites vistas anteriormente es vlido si escribimos
+ o - en lugar de x0. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.
Lmites al infinito de funciones polinomiales
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de l las dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = an xn + an-1 x
n-1 + + a1 x + a0 (con andiferente de 0)
entonces
n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + + a x + a = lim a x x x
y tambin
n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + + a x + a = lim a x x x
Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = an xn + an-1 x
n-1 + + a1x + a0(con andistinto de 0) y q(x)
= bm xm + bm-1 x
m-1 + + b1x + b0(con bmdistinto de 0) entonces
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11
n n-1 n
n n-1 1 0 n
n n-1 n
n n-1 1 0 n
a x + a x + + a x + a a xlim = lim
x + b x + + b x + b x x x
b b
y adems
n n-1 n
n n-1 1 0 n
n n-1 n
n n-1 1 0 n
a x + a x + + a x + a a xlim = lim
x + b x + + b x + b x x xb b
Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los lmites al infinito de un
polinomio basta considerar solo el trmino de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los
lmites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los
trminos de mayor grado de ambos polinomios.
Ejercicios resueltos:
1)2
21
7 4 11lim ?
5 2 3x
x x
x x
Solucin: Evaluando nuestro lmite, tenemos:
2 2
2 21
7 4 11 7(1) 4(1) 11 0lim
5 2 3 5(1) 2(1) 3 0x
x x
x x
; En este caso tenemos un lmite de la forma0
0,
debemos buscar un arreglo para la funcin utilizando: factorizacin, simplificacin y trabajo
algebraico. Es decir:
Sabemos que2
2
( 1)7 4 11
5 2 3
xx x
x x
(7 11)
( 1)
x
x
7 11
5 3(5 3)
x
xx
Siempre quex sea distinto de3
5
De esta manera, segn el teorema visto en el punto b)
2
21 1
7 4 11 7 11 7 1 11 18 9lim lim
5 2 3 5 3 5 1 3 8 4x x
x x x
x x x
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12
2)3 2
24
3 3 4lim ?
4x
x x x
x x
Solucin:
Tenemos un lmite de la forma0
0, luego arreglamos:
3 2 2 2
2
3 3 4 ( 4)( 1) 1
4 ( 4)
x x x x x x x x
x x x x x
3 2 2 2
24 4
3 3 4 1 4 4 1 21lim lim4 4 4x x
x x x x x
x x x
Luego:3 2
24
3 3 4 21lim
4 4x
x x x
x x
3)2
3 5 1lim ?
2x
x x
x
Solucin:
Tenemos un lmite de la forma 00
, luego arreglamos:
2 2
3 5 1 3 5 1 3 5 1
2 2 3 5 1
3 5 1
( 2) 3 5 1
x x x x x x
x x x x
x x
x x x
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Cdigo: EEMA01
13
3 5 1
( 2) 3 5 1
2 4( 2) 3 5 1
2( 2)
( 2) 3 5 1
2
3 5 1
x x
x x x
xx x x
x
x x x
x x
2 2
3 5 1 2lim lim
2 3 5 1
2
3(2) 5 (2) 1
21
1 1
x x
x x
x x x
4)2
31
1lim ?
1x
x
x
Solucin:
Tenemos un lmite de la forma0
0, luego arreglamos:
2
3 2 2
1 ( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x
2
3 2 21 1
1 1 1 1 2 2lim lim
1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 3x x
x x
x x x
Luego2
31
1 2lim
1 3x
x
x
5)364
8lim ?
4x
x
x
Solucin:
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14
6 3 6 23
2 2 23
2
2 2 2 2
;
2 2 4 2 4 2 2 2 48lim lim lim lim 3
4 2 2 2 2 2u u u u
u x x u u x x u
u u u u uu
u u u u
Luego364
8lim 3
4x
x
x
6) 0
lim ?x
x
sen x
00
lim0x
x
sen x ; es una indeterminacin
Solucin:
0 0
0
1 1lim lim 1
limx x
x
x
sen x sen xsen x
x x
0
( )aplica propiedad: lim 1
x
sen xse
x
Luego 0
lim 1x
x
sen x
7)
0
5lim ?
2x
sen x
x
Solucin:
0 0 0
(5 ) 5 (5 ) 5 ( ) 5lim lim lim2 2 5 2 2x x y
sen x sen x sen y
x x y Luego 0(5 ) 5
lim 2 2x
sen x
x
8)0
( )lim ?x
tg x
x
Solucin:
0 0 0 0
0 0 0
( )
( ) 0 ( ) ( ) 1cos( )lim lim lim lim
0 cos( )
( ) 1 ( ) 1lim lim lim 1cos( ) cos( )
x x x x
x x x
sen x
tg x tg x sen xx
x x x x x
sen x sen xx x x x
Luego0
( )lim 1x
tg x
x
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15
9)0
(3 )lim ?
(2 )x
x sen x
x sen x
Solucin:
0
0
(3 ) (3 ) (3 )1 1 3 1 3(3 ) 0 (3 ) 3 3lim ( )
(5 )(5 ) (5 )(5 ) 0 (5 )1 51 1 5
55
(3 )1 3
1 3 2 13lim(5 ) 1 5 6 3
1 55
x
x
sen x sen x sen xx xx sen x x sen x x x xf x
sen xsen x sen xx sen x x sen xx x
xx x
sen x
xsen x
x
Luego0
(3 ) 1lim
(5 ) 3xx sen x
x sen x
10)( ) ( )
lim ?x a
sen x sen a
x a
Solucin:
2 cos 2 cos( ) ( ) 2 2 2 2lim lim lim cos( )
12 2
2 2
x a x a x a
x a x a x a x a
sen sensen x sen aa
x a x ax a
Se aplica
Luego( ) ( )
lim cos( )x a
sen x sen aa
x a
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16
Ejercicios propuestos.
1.22
1lim
1x
x
x
R:1
3 2.2
22
4lim
5 6x
x
x x
R:1
2
3.2
21
3 2lim
4 3x
x x
x x
R:1
2 4. 20
2lim
4x
x
x
R:1
2
5.20
2lim
2x
x
x
R: 0 6.3
4 12lim
3x
x
x
R: 4
7.3
1
1lim
1x
x
x
R: 3 8.
2
22
4lim
3 2x
x
x x
R: 4
9.2
25
11 30lim
2 35x
x x
x x
R:
1
12 10.2
22
5 13 6lim
4 9 2x
x x
x x
R: 1
11.0
lim1 1x
x
x
R: 2 12.2
0
1 1limx
x
x
R:
13.3
3lim4 13x
xx
R: -8 14.0
5lim1 1x
xx
R: 10
15.0
4 2lim
9 3x
x
x
R:3
2 16.2
1
1 1lim
1x
x x
x
R:1
2
17.3 2
3 2
8 4 6lim
2 3 3x
x x x
x x
R: 4 18.3 2
3 2
4 5 6lim
6 2x
x x
x x x
R:2
3
19.
4 2
25
4 45
lim 5x
x x
x
R: 14 20.
3 2
53
21 38 29 40
lim 3 5y
y y y
y
R:
232
9
21.
2 2
23
4 4 9lim
2 3x
x x x
x x
R: 6 22.
22
2lim
4x
x
x
R: 0
23.1
lim 1 3xx
R: 2 24.
1
lim 5tt
e
R: 6
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Asignatura: MATEMTICA APLICADA II
Cdigo: EEMA01
17
25. lim 2xx
R: 0 26.1
0
2lim
x
xx
e
e
R: 0
27. cos
0lim 1 sen
ecx
xx
R: e 28.
3lim 1
x
x x
R: 4e
29.2
23
9lim
6x
x
x x
R:5
6 30.
1
2
1lim
1
x
x
x
x
R: 0
31.0
lim 1 2xx
x
R:2
e
1 32. 2
1lim ln 2
xx x x
R: -2
33. 1
0lim 1 senxx
tgx
R: e-1 34.2
0lim 1 3 xx
x
R: e-6
35.
2
2
2
1lim
2
x
x
x
x
R: e3 36.
1
0
1
1
senx
x
tgxlim
senx
R: 1
37. lim
x
x
x a
x a
R: e2a 38.2
2
4 5lim
2 5 1x
x x
x x
R:1
2
39.
2
4
3lim
3x
x x
x x x
R: 0 40.0
lim3x
tgx senx
sen x
R:1
2
41. lim secx
x x
R: - 42.0
2lim
3x
sen x
sen x R:
2
3
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Asntotas de funciones de una variable real
Uno de los temas ms interesantes del estudio del anlisis de funciones, es la representacin de
funciones de una variable. Y entre los clculos que se entienden necesario para recopilar datos
suficientes para la representacin se encuentra el clculo de las asntotasde la funcin
Definicin
Se denomina asntota de la grfica de una funcin, a una recta a la que se aproximacontinuamente la grfica de tal funcin; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, amedida que se extienden indefinidamente.
Existen tres tipos de asntotas: Vertical; Horizontal y Oblicuas, como se muestran en las grficas
anteriores
Clculo de asntotas:
1) Asntota Vertical. Una recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin y f ( x ) si
Se cumple alguno de los siguientes postulados.
x a x alim f ( x ) lim f ( x )
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2) Asntota Horizontal. Una recta y b es una asntota horizontal de la grfica de la funcin
y f ( x ) si
Se cumple alguno de los siguientes postulados.
x xlim f ( x ) b lim f ( x ) b
Ejemplo1. Encontrar las asntotas vertical y horizontal de la grfica2
1
xf ( x )
x
Solucin:
En general, las asntotas verticales de una funcin son los puntos donde el denominador escero, y en esta funcin es en el puntox = 1. Entonces:
1
2 2 1 2
1 1 1 0x
x
limx
luego enx = 1 tenemos asntota vertical
Asntota Horizontal.
1
1
2 2 22
11 1 0
1
xx x
x
xlim lim
x
x
luego eny = 2 tenemos asntota horizontal
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=195/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad
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Ejemplo 2. Encontrar las asntotas vertical y horizontal de la grfica2
8
4f ( x )
x
Solucin:
a) Asntota Vertical.
Veamos para que valores el denominador es cero.
2 24 0 4 4 2x x x x
Entonces en 2 2yx x tenemos posibles asntotas verticales, aplicando definicin
tenemos:
Para 2x tenemos.
2 22
8 8 8
4 2 4 0xlim
x
Para 2x tenemos.
2 22
8 8 8
4 2 4 0xlim
x ( )
luego en 2x tenemosasntota vertical
luego en 2x tenemosasntota vertical
b) Asntota Horizontal.
Debemos analizar que ocurre cuando la variable se va alinfinito, luego
2 2
8 8 80
4 4xlim
x ( )
luego en 0x
tenemos
asntota horizontal
2
8
4f ( x )
x
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3) Asntota Oblicua.
La recta de ecuaciny= mx+ b(m 0) ser una asntota oblicua si:
0xlim f ( x ) ( mx b )
Los valores de my de bse calculan con las
frmulas: ;
Si el grado del numerador de una funcin racional difiere delgrado del denominador en 1, la
grfica tiene una Asntota Oblicua o Inclinada
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 Hallar la asntota oblicua a la grfica de la funcin22
3
xf ( x )
x
Solucin: Debemos encontrar los valores de m y b, aplicando definicin se tiene:
2
2
2
12
21
22 2 23 2
33 1 01
x
x x xx
xxxlim lim lim
x x xx
; luego m=2
Por otro lado.
2 2 2 2 1
1
2 2 2 3 2 2 6 6 6 62 6
33 3 3 3 1 01
x
x x x x xx
x x x( x ) x x x xlim x lim lim lim lim
x x x x
x
Luego b=-6
De donde la ecuacin de la asntota ser 2 6y x , como se muestra en la grfica siguiente
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Ejemplo 2. Hallar la asntota oblicua a la grfica de la funcin2 2 2
1
x xf ( x )
x
Solucin: Buscamos m y b, aplicando definicin:
2
2
2
12 2
2 1
2 2 2 21
2 2 1 0 01 11 1 0
1
x
x x xx
x xx xx x xlim lim lim
x x x
x
entonces m=1
Luego.
2 2 2 1
1
21
2 2 2 2 2 1 01 1
11 1 1 1 01
x
x x x xx
x x x x x x x xlim x lim lim limx x x
x
de donde. 1b La ecuacin de la asntota oblicua es 1y x , como se muestra en la grfica
22
3
xf ( x )
x
2 6y x
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Ejercicios propuestos
Determinar las asntotas de las siguientes funciones:
1)23 2
2
x xf ( x )
x
2)
2
4 2
2
xf ( x )
x x
3)
3
1
xf ( x )
x
4)
2 1xf ( x )
x
5)
2 1
3
xf ( x )
x
6)2
2
2 3
1
xf ( x )
x
7)2
4
4
xf ( x )
x
8)2 5
2 4
xf ( x )
x
9)2
2
xf ( x )
x x
10)
2
2
1
1
( x )f ( x )
x
2 2 2
1
x xf ( x )
x
1y x
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=195/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad
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Soluciones.
Ejercicio Asntotas Verticales Asntotas Horizontales Asntotas Oblicuas1 2x No Tiene 3 8y x 2 0x ; 2x 0y No Tiene3 1x No Tiene No Tiene4 0x No Tiene y x 5 3x No Tiene 3y x 6 No Tiene 2y No Tiene
7 2x ; 2x 0y No Tiene
8 2x No Tiene 12 1y x 9 1x ; En 0x No Tiene 1y No Tiene
10 No Tiene 2y No Tiene
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=195/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad
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Continuidad de Funciones de una Variable Real.
Observa las siguientes grficas:
1)
f ( a ) no est
definida, sin
embargo
x alim f ( x ) L
, si
existe
2)
f ( a ) est definida,
sin embargo
x alim f ( x )
no existe,
3)
Elx alim f ( x ) L
, si
existe, f ( a ) est
definida, sin
embargo
x alim f ( x ) f ( a )
4)
f ( a ) est definida, y
existe elx alim f ( x ) L
y adems ambos son
iguales.
x alim f ( x) f ( a )
Podemos darnos cuenta que en las tres primeras grficas la funcin no es continua, sin embargo la
grfica 4 representa una funcin continua.
Se dice que una funcin es continua si su grfica se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel
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Ejercicios resueltos
Ejemplo 1. Considere la funcin2 2
2
x xf ( x )
x
, estudiar la continuidad en: 3x y 2x
Solucin.
Para 3x tenemos.
1) Existe 3f ( )? Evaluando23 3 2 4
3 43 2 1
f ( )
, vemos que est definido y su valor es 4
2) Existe l3x
lim f ( x )
?Debemos calcular el lmite2
3
2
2x
x xlim
x
2 2
3
2 3 3 2 44
2 3 2 1x
x xlim
x
, de donde
34
xlim f ( x )
Definicin
Una funcin f ( x )es continua en un punto x a de su dominio si y solo si cumple las siguientes
tres condiciones
1)Existe f ( a ); f ( x )est definida para x a
2)Existe elx alim f ( x )
3)Entoncesx alim f ( x ) f ( a )
Si una de las condiciones anteriores no se cumple, diremos que la funcin es discontinua
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=195/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad
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3) Tenemos que 3 4f ( ) y3
4xlim f ( x )
, luego
33
xf ( ) lim f ( x )
, luego se cumple la tercera
condicin, por lo que la funcin es continua en 3x
Para 2x tenemos.
1) Existe 2f ( )? Evaluando22 2 2 0
22 2 0
f ( )
, esto es indeterminado, luego 2f ( )no existe
Como no cumple con el punto 1 de la definicin, entonces la funcin es discontinua en 2x
Ejemplo 2. Considere la siguiente funcin:
2 2 3
1
x x
f ( x ) x
si x 1
3 si x=1
estudiar la continuidad en 1x
Solucin: Aplicando definicin.
1) Existe 1f ( ) ? Si 1 3f ( ) (cumple la primera condicin)
2) Existe l1x
lim f ( x )
?Debemos calcular el lmite
2
1 1 1
2 3 1 33 4
1 1x x x
x x ( x )( x )lim lim lim( x )
x x
, Existe el lmite (cumple con la
segunda condicin)
3) De lo anterior se tiene que 1 3f ( ) y1
4xlim f ( x )
, luego
11
xf ( ) lim f ( x )
( no se
cumple la tercera condicin), por lo que f ( x )es discontinua en 1x .
Este tipo de discontinuidad se llama Evitable o Reparable, ya que podemos redefinir la
funcin de la siguiente manera.
2 2 3
1
x x
g( x ) x
si x 1
4 si x=1
Tomando 1 4f ( ) se cumple la tercera condicin
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28
11 4
xf ( ) lim f ( x )
, por lo que f ( x ) es continua en 1x
Ejemplo 3Sea la funcin definida por partes3
2x+2 si -3 x -1h ( x )2x-1 si 0 x
Es la funcin h ( x ) continua en todo su dominio?
Solucin:
En este caso el dominio de la funcin est formado por la unin de dos intervalos [-3, -1][0, 3], no hay
un valor que corte este dominio. La funcin est compuesta por dos segmentos de recta y las rectas son
continuas en su dominio (ver grfica ms abajo). Por lo tanto la funcinh ( x )
es continua en todo sudominio.
Luego:
Definicin: Una funcin es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es para todos los valores de
x a,b , es decir para todos los valores del intervalo. Una funcin es continua en unintervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y adems,
x a x alim f ( x ) f ( a ) lim f ( x ) f ( b )
y
Es decir, es continua por la derecha en a, y continua por la izquierda en b.
2 2y x
2 1y x
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Ejercicios Propuestos.
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones
1.1
f ( x )x
2.
2
2
2 3
4 3
x xf ( x )
x x
3.
2
2
3 2
4 4
x xf ( x )
x x
4.
29
1
x si x 1f ( x )
x si x >1
5.
2
2
3 1
2
x +2 si x
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Respuesta ejercicios propuestos.
1) Discontinua en x=0 no evitable de salto infinito
2) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el lmite
Para x=3 presenta discontinuidad no evitable de salto infinito
3) Discontinua en x=2 no evitable de salto infinito
4) Discontinua en x=1 no evitable de salto finito
5) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el lmite
Para x=-3 presenta discontinuidad no evitable de salto finito
6)
Para x=0 presenta discontinuidad no evitable de salto finitoPara x=3 la funcin es continua
7) 1a
8) 2a ; b=-1
Bibliografa
Clculo Trascendentes Tempranas. James Stewart
Cuarta edicin. THOMSON LEARNING
ISBN 970-686-127-0
Clculo 1 de una variable. Ron Larson
Novena edicin McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
ISBN 978-607-15-0273-5