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NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

DIVISIBILIDAD ENTRE 2, 3 y 5

PROBLEMA: Establece las reglas de divisibilidad entre 2, 3 y 5 basado en los números son 20, 24 y 45.

Vemos que 20 es divisible entre 2 y entre 5, porque al hacer la división esta es exacta:20 ÷ 2 = 10 y sobra 020 ÷ 5 = 4 y sobra 0

El 24 es divisible entre 2 y entre 3 pero no entre 5El 45 es divisible entre 3 y entre 5 pero no entre 2.

REGLAS“Un número es divisible entre 2 cuando termina en 0, o, en cifra par” El 20 y el 24“Un número es divisible entre 3 cuando la suma de las cifras que lo forman se puede dividir entre 3” El 45 porque 4 + 5 = 9 y 9 se puede dividir entre 3 exactamente.“Un número es divisible entre 5 cuando termina en 0 o en 5” El 20 y el 45

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa la siguiente tabla escribiendo la palabra Sí, según sea el número divisible entre lo que se indica.

NÚMERO DIVISIBLE ENTRE 2

DIVISIBLE ENTRE 3

DIVISIBLE ENTRE 5

81214101821303554

100

47

BLOQUE 2

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85NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

2.- Completa la siguiente tabla escribiendo la palabra Sí o No, según sea o no el número divisible en lo que se indica y contesta las preguntas.

NÚMERO

DIVISIBLE ENTRE 1

DIVISIBLE ENTRE 2

DIVISIBLE

ENTRE 3

DIVISIBLE ENTRE

4

DIVISIBLE ENTRE EL MISMO

1015147

16233251115013

3.- Observa que en la tabla anterior hay números que solo son divisibles entre 1 y entre ellos mismos. Por esa razón a estos se les llama números primos.A los otros números que no son primos se les llama números compuestos.

Completa la siguiente tabla como en los ejemplos:

NÚMERO DIVISIBLE ENTRE PRIMO COMPUESTO1 1 Sí3 1 y 3 Sí5 1 y 5 Sí8 1, 2, 4 y 8 Sí

14162022232425262728

48

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29

4.- Observa que realizando la factorización total del número, podemos fácilmente saber si este es número primo o número compuesto. Para factorizarlo completamente vamos sacando mitad, tercera, quinta, etcétera, de la siguiente manera:

FACTORIZACIÓN TOTAL DE LOS NÚMEROS 48 Y 31

48 2 31 3124 2 112 2 6 2 3 3 Factorización: 31 x 1 1 Solo 2 factores por eso

es primo.

Factorización: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 1 Como el 24 tiene más de dos factores entonces el número es compuesto.

Factoriza, encontrando todos los factores primos de los siguientes números. Ejemplo:

6 2 8 10 123 31

6 = 2 x 3

3 5 14 16

15 1 20 22

40 100 50 13

49

Empezamos sacando mitad, luego tercera, luego quinta, etcétera hasta llegar a 1.Mitad se indica con el 2.Tercera se indica con el 3.Quinta se indica con el 5.Séptima se indica con el 7.

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NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

PROBLEMA: El director de la escuela se reúne cada 6 días con las secretarias y cada 8 días con los profesores de la escuela. Si hoy es lunes y se reunió con ambos, dentro de cuántos días volverá a reunirse con ellos el mismo día.Para resolver este problema utilizamos el mínimo común múltiplo, m. c. m.

Para encontrar el m. c. m, escribimos todos los múltiplos del 6 y del 8, multiplicando ambos números por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…

Enseguida subrayamos los múltiplos comunes, es decir, los números que son múltiplos del 6 y también del 8. Vemos que los múltiplos comunes son el 24 y el 48 y que de estos dos, el menor es el 24, por lo tanto el mínimo común múltiplo es el 24.

Por lo tanto si hoy coincidió la reunión, dentro de 24 días será un mismo día.

Se llama mínimo común múltiplo, al número menor, sin contar el cero, que es múltiplo de todos los números a los que podemos considerar.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de manera más rápida lo hacemos de la siguiente manera. Ejemplo: Encontrar el mínimo común múltiplo de 6 y 8.

Vamos encontrando los factores primos comunes de ambos números hasta llegar a 1.

6 8 2 Mitad de 6 es 3 y mitad de 8 es 4.3 4 2 Mitad de 4 es 2. Como el 3 no tiene mitad, así lo dejamos.1 2 2 Mitad de 2 es 1. Como el 3 no tiene mitad, otra vez lo dejamos.

1 3 Tercera de 3 es 1.

Factores primos: 2 x 2 x 2 x 3 = 24 2³ x 3 = 24 m. c. m.

ACTIVIDADES DE CLASE

50

1.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 4 y 8.

2.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 8 y 12.

3.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 6 y 18.

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51

4.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 15 y 20.

5.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 4 y 16.

6.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 8 y 40.

7.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 25 y 30.

8.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 7 y 14.

9.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 3 y 4.

10.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 16, 12 y 8.

11.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 6, 4 y 9.

12.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 24, 48 y 36.

13.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 15, 5 y 4.

14.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 5, 10 y 15.

15.- Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 9, 2 y 3.

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16.- Resuelve los siguientes problemas con el m. c. m.

52

1.- En la escuela hay un comité de deportes y otro de limpieza escolar. El de deportes se reúne cada 5 días y el de limpieza cada 4 días. Si hoy miércoles se reunieron los dos comités, ¿dentro de cuántos días se volverán a reunir el mismo día? __________________

2.- Mi abuelita María viene a visitarnos cada 4 días y mi tía Carmelita lo hace cada 9 días. Si hoy domingo coincidieron las dos en mi casa, dentro de ¿cuánto tiempo volverán a venir un mismo día a visitarnos? __________________

3.- Mi profesor de matemáticas se lastimó la rodilla y el doctor le recetó unas pastillas de paracetamol para que se las tomara cada 6 horas y otras pastillas con diclofenaco para tomarlas cada 8 horas. Si hoy se toma las dos pastillas al mismo tiempo, ¿cuántas horas tienen que pasar para que coincida la otra toma? _______

4.- El profesor de matemáticas se enfermó de la garganta y el médico le recetó un jarabe simicof para tomarlo cada 4 horas, unas pastillas tylex flu para cada 8 horas y unas pastillas floxtab cada 12 horas. Si hoy se toma las tres pastillas al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que coincida la otra toma? ______________

5.- Para pedir por la lluvia, José y Jesús van a caminar en la misma carretera de Santa Bárbara a Chihuahua. José caminará 18 kilómetros diarios y Jesús 20 kilómetros diarios. El día en que coincidan en una misma distancia recorrida realizarán una ceremonia. ¿Cuántos kilómetros tendrán que recorrer para al mismo tiempo hacer el pedimento a Dios? ________________

6.- El doctor Fructuoso iba a Segórachi cada 15 días a realizar consultas. El forestal Javier lo hacía cada 30 días y las brigadas contra el paludismo lo hacían cada 80 días. Si un 16 de septiembre coincidieron los tres en Segórachi, ¿cuántos días tendrán que pasar para que vuelvan a ir un mismo día? ________________

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR

PROBLEMA: Un carpintero quiere cortar dos tiras de madera, una de 250 cm de largo y otra de 200 cm, en pedazos que queden lo más corto posible. ¿Cuántos pedazos saldrán y cuánto medirá cada pedazo?

Para resolver este problema lo hacemos encontrando los divisores de cada número. Los divisores de un número son aquellos que lo dividen exactamente.

Divisores de 250: (1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250)Divisores de 200: (1, 2, 4, 5, 10, 20, 40, 50, 100, 200) M. C. D = 50

Enseguida señalamos los divisores que son comunes, es decir, que son divisores de los dos y ubicamos el mayor de todos, que en este caso es el 50, llamado máximo común divisor. El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor que los divide exactamente. Por lo tanto cada pedazo de madera debe medir 50 cm y nos saldrán 9 pedazos.

Una manera más rápida de encontrar el máximo común divisor es la siguiente:

250 200 2125 100 5 25 20 5 5 4 2 x 5 x 5 = 50

M. C. D = 50

Resultados del problema: Cada pedazo medirá 50 cm (M. C. D) Saldrán 9 pedazos: 5 + 4 (Los dos números de abajo)

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Encuentra todos los divisores de cada pareja de números, encierra el que sea su máximo común divisor y escríbelo donde corresponda.

Divisores de 12: (___, ___, ___, ___, ___, ___)Divisores de 8: (___, ___, ___, ___) M. C. D = _____

Divisores de 10: (___, ___, ___, ___)Divisores de 6: (___, ___, ___, ___) M. C. D = _____

Divisores de 18: (___, ___, ___, ___, ___, ___)Divisores de 24: (___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___) M. C. D = _____

53

Empezamos sacando mitad (2) a los dos números, porque los dos tienen mitad. Si solo uno tuviera mitad, no lo haríamos.

Luego vemos que el 125 y el 100 tienen quinta, entonces sacamos quinta a ambos y lo indicamos con el divisor común 5.

Luego vemos que el 25 y el 20 tienen quinta, entonces sacamos quinta a ambos y lo indicamos con el divisor común 5.

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Divisores de 20: (___, ___, ___, ___, ___, ___)Divisores de 30: (___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___) M. C. D = _____2.- Encuentra el máximo común divisor de cada conjunto de números.

4 8 12 16 6 10

M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____

20 40 24 12 30 20

M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____

18 24 6 8 60 75

M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____

60 40 20 30 50 10 60 75 45

M. C. D = ____ M. C. D = ____ M. C. D = ____

3.- Resuelve los siguientes problemas.

54

1.- Un carpintero desea cortar dos tiras de madera, una de 180 cm de largo y otra de 90 cm en pedazos que queden lo más grande que se pueda. ¿Cuánto medirá cada pedazo? _________

¿Cuántos pedazos saldrán? _________

2.- Otro carpintero va a cortar dos tiras de madera, una de 80 cm de largo y otra de 60 cm, en pedazos que queden lo más grande que se pueda. ¿Cuánto medirá cada pedazo? _________

¿Cuántos pedazos saldrán? _________

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55

3.- En el pueblo de Bahuichivo hay tres tambos que contienen gasolina, cuyas capacidades son de 200 litros, 300 litros y 100 litros. Su contenido piensa distribuirse en garrafones iguales pero que cada uno contenga la mayor cantidad posible. Encuentra la cantidad de gasolina que debe contener cada garrafón y el número de garrafones que se necesitan.

4.- En una colecta de la escuela se juntaron 80 litros de aceite en el grupo de primero A y 60 kilos de frijol en el primero B. Se van a regalar a hogares humildes en cantidades iguales y que cada hogar reciba un producto con la mayor cantidad posible. Encuentra la cantidad que recibirá cada hogar y el número de hogares que se beneficiarán.

5.- Para la piñata de mi hermana mi mamá compró 40 paletas, 80 chicles y 50 duvalines. ¿Cuántos dulces de cada uno necesita poner en cada bolsita si desea que vaya la misma cantidad de cada clase de dulce? _____________

6.- En la tienda, Don Tino le pidió a Ponchito que acomodara en cajas 60 bolsas de jabón y 50 latas de atún, de modo que en cada caja quede el mismo número de bolsas de jabón y de latas de atún y además el mayor número posible. Encuentra el número de bolsas de jabón de cada caja y el número de cajas que se necesitan.

7.- Mi maestra de artes nos pidió 60 bolitas rojas y 70 bolitas amarillas para hacer el mayor número de pulseras iguales sin que nos sobre ninguna bolita.¿Cuántas bolitas de cada color llevarán cada una de las pulseras? ____________

¿Cuántas pulseras podremos hacer? ____

8.- En la dulcería hacen bolsas colocando la misma cantidad de dulces. Si tienen 16 paletas, 32 caramelos y 28 chocolates, ¿cuántos dulces de cada clase deben colocar en cada bolsa? ___________

¿Cuántas bolsas se pueden hacer? _____

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PATRONES Y ECUACIONES• Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

SUMA DE FRACCIONES Y DECIMALES

PROBLEMA: En la fiesta de Raúl se compraron dos pizzas de las cuales 34 se les

repartió a los niños y 1.20 pizza fue para los adultos. ¿Qué cantidad de pizza fue repartida en total?

Para resolver el problema convertimos la fracción 34 a número decimal.

34=3x 254 x25

= 75100 El número decimal es 0.75

O también podemos realizar la división: 0 . 7 54 3 . 0 - 2 8 Sumamos las cantidades: 0.75 + 1.20 = 1.95 2 0 - 2 0 0. 7 5

0 + 1. 2 01. 9 5

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa la siguiente tabla como en el ejemplo.

OPERACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES RESULTADO910

+13.75=¿0.9 + 13.75 14.65

46100

+8.14=¿

3251000

0.673=¿

72100

+0.35=¿

56

Los puntos se alinean uno debajo del otro

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52+2.25=¿

94+3.20=¿

34+1.25+ 2

8+0.68=¿

2.- Resuelve las siguientes sumas. Alinea los puntos uno debajo del otro.

3.24 + 7.62 + 14.56 = ____________

19.9 + 35.3 + 28.4 = _____________

53 67100 + 41.45 + 15.99 + 6

35100 = ___________

510

+ 15100

+0.432=¿

3.- Resuelve los siguientes problemas.

57

1.- María Elena fue al supermercado y compró los siguientes productos: jabón $24.90, huevos $37.50, café $42.35, jugo $7.50 y leche $12.00. ¿Cuánto pagó en total? ______________

2.- Iván, Alonso, Fernando y Gerardo quieren comprar juntos un libro para colorear que cuesta $76.75 Si tienen

$15.30, $16.75, $17 90100 , y $18.85

respectivamente, ¿cuánto dinero les falta para completar el precio del libro?.............................................. (____)

a) $ 7.95b) $ 8.05c) $ 8.95d) $ 12.15

3.- La maestra nos pidió un listón para pegarlo en el perímetro del siguiente triángulo. ¿De qué medida debemos comprar el listón? ________________

17.8 cm

152 cm

19.3 cm

4.- Omar compró un kilo de manzanas en

$23.75, un litro de aceite en $28 35100 y un

kilo de frijol en $26.80

¿Cuánto pagó en total? ______________

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con fracciones en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

PROBLEMA: Amada y Martha toman 14 de leche cada una. ¿Cuánto toman en total entre

las dos?

2 x 14 = Esto significa 2 veces

14 , o sea,

14+ 14 =

24 =

12

14x2=¿ Esto significa

14de2=2

4=12 El signo “por” significa “de”

Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador, y ambos resultados nos dan el numerador y el denominador, respectivamente. EJEMPLOS:

114 x

35=3320

=1 1320

12 x 8 =

82=4 2

34 x 5 =

114 x

51 =

554

=13 34

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea necesario o convierte a enteros.

12 x

1100

=¿ 46 x

1100

=¿ 158 x

1100

=¿

12 de

48=¿

18 x

34=¿

23 x

79=¿

58

1 + 1

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57 x

15=¿

67 de

23=¿ 2 35 x

49=¿

78 x

2449

=¿ 920 x

1118

=¿ 815 de

56=¿

2.- Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea necesario.

5 x 17=¿ 6 x

19=¿ 7 x 3 19 =

12 x 5 =

14 x 20 =

13 x 12 =

12de200=¿

14de 40=¿

15de100=¿

59

1.- En el grupo de 1° A están inscritos 48

alumnos, de los cuáles, 13 viajan en camión

urbano a la escuela. ¿Cuántos alumnos utilizan el camión? _____________

3.- De los 36 alumnos del grupo “C” solo

asistieron 56 . ¿Qué cantidad del grupo

asistió? _______________

5.- De los 35 470 aficionados que asistieron

al Estadio Azteca, 35 le van al equipo de

Chivas. ¿Cuántos le van al Chivas? _____________

7.- De los $14 325.00 que tiene el papá de

Alonso le da 23 para que haga un viaje de

estudios. ¿Qué cantidad le queda a su papá? ______________

2.- El papá del niño Raúl mide 74metros

de altura. Si Raúl mide 13 de la altura de

su papá. ¿Cuál es la altura de Raúl? _______________

4.- El kilo de frijol cuesta $29.00

¿Cuál es el precio de 34 de kilo?

_______

6.- De una cubeta de pintura cuya

capacidad es de 18 12 litros, se han

vendido 45 partes. ¿Qué cantidad de

pintura se ha vendido? ___________

8.- Peso 74 12 kg, de los cuáles tengo 120

de sobrepeso. ¿Cuánto es lo que debo

3.- Resuelve los siguientes problemas.

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DIVISIÓN DE FRACCIONES

PROBLEMA: ¿Cuál es el resultado de la operación 64÷ 32?

Para dividir dos fracciones, se divide el numerador entre el numerador y el denominador entre el denominador, y ambos resultados se escriben en el numerador y el denominador respectivamente.

64 ÷ 32 = 22

=1

Como no siempre los numeradores o denominadores van a ser divisibles, vemos que la división nos resulta lo mismo si seguimos el siguiente procedimiento cruzado:

64÷ 32=6 x 24 x3

=1212

=1 Numerador por denominador igual a numerador. 64÷ 32=1212

Denominador por numerador igual a denominador.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Resuelve las siguientes divisiones.

48÷ 21=¿

219÷ 73=¿

1618÷ 49=¿

60

1.- En el grupo de 1° A están inscritos 48

alumnos, de los cuáles, 13 viajan en camión

urbano a la escuela. ¿Cuántos alumnos utilizan el camión? _____________

3.- De los 36 alumnos del grupo “C” solo

asistieron 56 . ¿Qué cantidad del grupo

asistió? _______________

5.- De los 35 470 aficionados que asistieron

al Estadio Azteca, 35 le van al equipo de

Chivas. ¿Cuántos le van al Chivas? _____________

7.- De los $14 325.00 que tiene el papá de

Alonso le da 23 para que haga un viaje de

estudios. ¿Qué cantidad le queda a su papá? ______________

2.- El papá del niño Raúl mide 74metros

de altura. Si Raúl mide 13 de la altura de

su papá. ¿Cuál es la altura de Raúl? _______________

4.- El kilo de frijol cuesta $29.00

¿Cuál es el precio de 34 de kilo?

_______

6.- De una cubeta de pintura cuya

capacidad es de 18 12 litros, se han

vendido 45 partes. ¿Qué cantidad de

pintura se ha vendido? ___________

8.- Peso 74 12 kg, de los cuáles tengo 120

de sobrepeso. ¿Cuánto es lo que debo

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164÷2=¿

24÷ 24=¿ 3 34

÷ 52=¿

12÷ 12=¿

52÷ 34=¿

37÷ 45=¿

5÷ 35=¿ 30÷ 56

=¿ 120÷ 12=¿

2.- Resuelve las siguientes divisiones y enseguida los problemas que se te presentan.

334 ÷

34 =

50100

÷ 410

=¿

405÷ 2010

=¿ 510÷ 510

=¿

1005÷ 205

=¿ 252÷ 14=¿

20100

÷5 = 80 12÷5 12=¿

61

1.- Un camión recorre 90 12kmen 4 12

horas.

¿Qué distancia recorre en una hora?

2.- Pinturas Romex vendió 358 litros de pintura

envasada en botellas de 14 de litro. ¿Cuántas

botellas utilizó?

3.- Una caja de zapatos tiene un volumen de 121000 de m³. Si el área de la base es de

3100 de

m², ¿cuánto mide de altura?.... (____)

a¿ 410m b)

4100 m c)

9500 m d)

21500

m

4.- A Rosa le regalaron 16 de un pastel y en su

casa lo dividió ese pedazo en 3 partes iguales para darles a su mamá y a su hermana.¿Cuánto le tocó a cada una?.................... (____)

a¿ 118 b)

116 c)

112 d)

19

5.- Un camión recorre 96 28kmen 1 14

horas.

¿Qué distancia puede recorrer en una hora?_______________

6.- Un rectángulo tiene 5010m ² de área. Si de largo

mide 25m, ¿cuánto mide de ancho? ___________

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FIGURAS Y CUERPOS• Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

PROBLEMA: Traza la mediatriz al segmento AB.La mediatriz es la perpendicular que cruza a un segmento por su punto medio.

ACTIVIDADES DE CLASE

62

154cm

285cm

Mediatriz

D

C

BA

TRAZO DE LA MEDIATRIZ• Se abre el compás más de la mitad de lo que mide el segmento AB.• Haciendo centro en los extremos del segmento AB se trazan dos arcos en ambos lados del segmento, que se crucen, para encontrar los puntos C y D.• Se unen los puntos C y D para que nos resulte la perpendicular mediatriz.

9.- Encuentra el área del triángulo. 10.- Los electricistas utilizaron un cable de

cobre de 368 metros de largo dividiéndolo en

partes de 12metro cada una.

¿Cuántas partes sacaron?_______________

7.- Tengo un lazo que mide 408 metros de largo.

Si lo divido en partes de 64 metros de largo cada

una. ¿Cuántas partes me resultan? _________

8.- La manguera que usamos en casa, medía 202 metros de largo y mi abuelito la cortó en

pedazos que miden 204 metros cada uno.

Page 17: Guía de clase primero bloque 2

1.- Dados los siguientes segmentos traza a cada uno su perpendicular mediatriz, utilizando para ello el compás y la regla.

2.- En los siguientes dibujos traza la mediatriz al segmento que forma parte de cada dibujo. Ilumina los dibujos a tu gusto.

3.- Resuelve los siguientes problemas.

63

1.- Traza la mediatriz a un segmento de 4.5 cm de longitud y tocando un punto de dicha mediatriz, completa un triángulo de tal forma que los otros dos lados midan 5 cm cada uno.

2.- Traza la mediatriz a un segmento de 3 cm de longitud y enseguida de esto, dibuja un rombo cuyos lados midan 4 cm.

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LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

PROBLEMA: Traza la bisectriz a un ángulo de 45°La bisectriz es el segmento de recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

ACTIVIDADES DE CLASE1.- Traza la bisectriz a cada uno de los siguientes ángulos.

64

Corte 4Corte 3Corte 1

Vértice

3.- Traza la mediatriz a cada uno de los lados de los siguientes triángulos y escribe lo que observas como resultado de los trazos.

Bisectriz

TRAZO DE LA BISECTRIZ• Apoyamos el compás en el vértice del ángulo y trazamos dos arcos que corten a las dos rectas que forman el ángulo. • Apoyamos el compás en donde se cortaron cada uno de los lados que forman el ángulo y trazamos dos arcos que se corten dentro del espacio que comprende el ángulo.• Trazamos la recta que vaya del vértice del ángulo al punto donde se cruzaron los arcos.

Corte 2

Page 19: Guía de clase primero bloque 2

2.- Traza las bisectrices a los ángulos internos de las siguientes figuras y determina en cuál de ellas las bisectrices son las diagonales de la misma.

3.- Traza al ángulo AOB y al COD su bisectriz.

4.- Traza las tres bisectrices del siguiente triángulo y escribe lo que observas como resultado de su trazo.

65

O

B

A OC

D

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5.- Los siguientes dibujos representan a una fuente de agua y a un terreno respectivamente. Traza una bisectriz en cada uno, de tal forma, que queden divididos en dos partes iguales.

MEDIDA• Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

PERÍMETROS Y ÁREAS

El perímetro de una figura se mide con unidades lineales: kilómetro (km), metro (m), decímetro (dm), centímetro (cm), etc. 1 kilómetro tiene 1 000 metros, 1 metro tiene 100 centímetros. Cuando no se especifica la unidad con la que se mide una figura, entonces esta se representa en unidades y se hace con el símbolo “u”.

Para encontrar el perímetro de una figura se suman lo que miden cada uno de sus lados. Si la figura es regular se multiplica lo que mide un lado por el número de lados que tiene la figura: Triángulo: Lado por 3 (3L) Cuadrado: Lado por 4 (4L)

Pentágono: Lado por 5 (5L) Hexágono: Lado por 6 (6L)

66

Page 21: Guía de clase primero bloque 2

La superficie de una figura se mide con unidades cuadradas: metro cuadrado (m²), decímetro cuadrado (dm²), centímetro cuadrado (cm²). El área es la medida de la superficie. La superficie tiene 2 dimensiones que son largo y ancho.1 metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 metro por cada lado.

PROBLEMA: Encuentra el perímetro y el área de las siguientes figuras.

CUADRADO RECTÁNGULO TRIÁNGULO

P = 8 x 4 = 32 u P = (2 x 8) + (2 x 13) P = 8 + 8 + 11.3 = 27.3 u P = 16 + 26 = 32 u

A = L x L ó L² A = b x h ó bh A= b xh2 ó

bh2

A = 8 x 8 = 8² A = 13 x 8 A = 8 x82

A = 64 u² A = 104 u² A = 642

A = 32 u²

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Traza a la figura A su simétrica de acuerdo al eje de simetría que se da y encuentra lo que miden de perímetro y de área cada una de las figuras.

FIGURA A FIGURA A´Perímetro de A = _____ u

Perímetro de A´ = _____

Área de A = ______ u²

Área de A´ = ______

¿Cómo son el perímetro y el área de dos figuras simétricas? _________________

67

Para encontrar el área de un triángulo, el resultado de multiplicar la base por la altura se divide entre dos, porque un triángulo es la mitad de un cuadrilátero.

Page 22: Guía de clase primero bloque 2

2.- En el siguiente dibujo se ha reproducido al doble la figura B en la figura B´. Encuentra el perímetro y el área de ambas figuras.

FIGURA B FIGURA B´Perímetro de B = _________

Perímetro de B´ = ________

Área de B = _________

Área de B´ = _________

¿Cuánto aumentó de tamaño la figura B? ________________________

¿Qué sucedió con el perímetro? ______________________________________________

¿Qué sucedió con el área? __________________________________________________

3.- Encuentra el perímetro y el área de las siguientes figuras y escribe tus observaciones. FIGURA C FIGURA C´

4.- En las siguientes composiciones de figuras se encuentran dibujados tres cuadrados sobre los lados de cada triángulo rectángulo. Encuentra el área de cada uno de los cuadrados según las dimensiones que se señalan.

68

5

5 4 u

4 u

3

3

10 u

C

A

B

68

32

60

F

D

E

Observaciones: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________P = ________ P = _________

A = ________ A = _________

Page 23: Guía de clase primero bloque 2

Área de A = __________

Área de B = __________

Área de C = __________ Área de D = ______ Área de E = _______

Área de F = _______

¿Qué observas si sumas en cada caso el área de los dos cuadrados más pequeños en relación con el cuadrado más grande? _________________________________________

5.- Escribe el área dentro de cada una de las partes que forman los siguientes modelos geométricos y encuentra también el área total de cada modelo.

Área total = ______ u²

Área total = ______________

ÁREA DEL TRAPECIO

PROBLEMA: Deduce y memoriza la fórmula del área del trapecio.

Si unimos dos trapecios iguales formamos un romboide, como se ilustra enseguida.

Observa que coinciden la altura del trapecio y la del romboide.Observa que se debe sumar la base mayor del trapecio y la base menor para obtener la base del romboide.El área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.

69

5

+3

60

+

90

90 + 60

5

5 + 3

5 + 3

+3

Page 24: Guía de clase primero bloque 2

Por lo tanto el área de un trapecio se expresa: Base mayor, más base menor, por altura entre dos.

El área del trapecio se simboliza de la siguiente manera: A=(B+b ) x h

2 ó A =

(B+b ) h2

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Observa el siguiente trapecio:

¿Cuál es su área? _______________

2.- Completa la siguiente tabla:

BASEMAYOR

BASEMENO

RALTURA

ÁREA DELTRAPECIO (cm²)

9 5 4

12 10 2.5

4.3 2.7 3.6

50 40 18

3.- Encuentra el área en cm² de las siguientes figuras.

70

30 m

15 m

13.5 m

A = ________

A = ________ A = ________

Page 25: Guía de clase primero bloque 2

4.- Encuentra el área de las siguientes figuras suponiendo que las distancias indicadas son de 1 cm.

ÁREA DEL PENTÁGONO, HEXÁGONO Y OCTÁGONO

PROBLEMA: Deduce la fórmula del área de un pentágono.

Si dividimos una figura regular en triángulos, nos resultan triángulos iguales.

71

A = ________

A = ________A = ________

A = ________ A = ________

A = ________ A = ________

Page 26: Guía de clase primero bloque 2

Observa que se debe encontrar el área de 5 triángulos para encontrar el área del pentágono.Observa que en todos los casos en que encontramos el área de un triángulo, es la misma base y la misma altura.El área de un triángulo se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo el resultado entre dos.Por lo tanto el área de un pentágono se expresa: Perímetro por apotema entre dos.

El área del pentágono se simboliza de la siguiente manera: A=P x a2 ó A=Pa

2El perímetro son los lados de los cinco triángulos.La apotema es igual a la altura de cada uno de los triángulos.Esta misma fórmula se usa en el hexágono, el heptágono, el octágono, etcétera.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Con base en los datos de las siguientes figuras encuentra su área.

. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

FACTOR CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

PROBLEMA: Los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente. Si dibujamos otro triángulo a escala de éste, que el lado correspondiente a 3 centímetros mide 6 cm. ¿Cuánto deben medir los otros lados?

La razón es triángulo grande a triángulo chico.

72

6 cm3 cm

45 m

5 cm

4 cm

5.5 cm

3.4 cm

16 cm

10

40 m

A = ________

A = ________

A = ________

A = ________

Page 27: Guía de clase primero bloque 2

La razón es 63 que es lo mismo que 6 a 3.

El factor constante es 2 porque la figura original

aumenta al doble: 63 = 2 6 es el doble de 3.

Si la constante es 2, entonces multiplicando los otroslados por 2, encontramos lo que medirán.

4 x 2 = 8 cm 5 x 2 = 10 cm

Esto es lo mismo que 4 x 63 =

243

=8

¿Cuál será la constante en un triángulo, si el lado que mide 4 cm se amplía a 6 cm?

Dividimos la razón 64 para encontrar la constante que es 1.5

Para encontrar la medida de los otros lados, se multiplica cada uno por 1.5 ó por 64

5 x 64=304

=7.5 que será la medida del otro lado. 5 x 1.5 = 7.5

La constante se puede expresar con decimal o con entero.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Reproduce a la derecha los siguientes dibujos de tal manera que el que mide 4

unidades mida 8, es decir que la constante sea 84 que es igual a 2, o sea el doble.

2.- Reproduce la siguiente figura a escala, de tal manera que el lado correspondiente al

que mide 3 unidades mida 6 unidades. Esto es, que su factor constante sea 63=2

73

5 cm4 cm

El 3 se multiplicó por 2 para que nos diera 6

Page 28: Guía de clase primero bloque 2

Si el factor constante es 2 significa que el lado que mide 4 unidades medirá 4 x ___ = ___

Si el factor constante es 63 significa que la figura _____________ su tamaño.

¿En que se parecen las dos figuras que se dibujaron? __________________________

¿Cuáles de los siguientes factores constantes son los que producen una ampliación de la

figura original? 42, 21, 27, 105, 73, 110000

, 64, 12 : _____________________________

Esto es porque el numerador es ___________ que el denominador.

3.- Completa la siguiente tabla.

ESCALAFACTOR CONSTANTE

FRACCIONARIOFACTOR CONSTANTE DECIMAL O ENTERO

SE AMPLÍAO SE REDUCE

1 a 2 12

0.5 Se reduce

1 a 3

1 a 5

2 a 8

3 a 10

2 a 1 21

2

8 a 2

15 a 3

16 a 4

10 a 5

4.- Resuelve los siguientes problemas.

1.- El ancho y el largo de un rectángulo miden 4 y 8 cm respectivamente. Si en un rectángulo hecho a escala de éste, el lado correspondiente a 4 cm mide 12 cm,

¿Cuánto debe medir el largo? __________ ¿Cuál es el factor constante? ________

74

Page 29: Guía de clase primero bloque 2

2.- Los lados de un cuadrado miden 16 cm. Si se hace otro a escala con un factor

constate de 153 , ¿cuánto debe medir por lado el nuevo cuadrado? __________

3.- En una prueba me dan 4 puntos por cada 6 preguntas que contesto bien y 8 puntos por cada 12 preguntas bien contestadas. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ……………………………………………. (____)

a) 86 b) 1.5 c) 0.5 d) 0.25

4.- Aplicando el factor constante de proporcionalidad encuentra las medidas que se piden en las siguientes parejas de figuras como en el ejemplo:

7.2 y a son lados correspondientes.6 y 9 son lados correspondientes.

b = _______ e = ________ x = _______

75

x

1212

6e

63

4

a

b

5

63

7.2

96

La razón o la escala es 96

El factor constante es 96=1.5

Para encontrar la medida de “a” multiplicamos 7.2 x 1.5 = 10.8

a mide 10.8