Universidad Boliviana
Universidad Mayor de San Andrรฉs
Facultad de Tecnologรญa
Departamento de Materias Bรกsicas
รrea: MATEMATICAS
GUIA DE PRACTICAS
CALCULO II
MAT 102
GESTION I/2021
P รก g i n a 2 | 22
VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
1. Hallar el valor de 7 11 5M x y z= โ + , si a b= , donde ( )2 ,3 1, 3a x z y x z= โ โ + y
( )3,2 3 , 5b x z y z x y z= โ + โ + + Rpta. 48M =
2. Sean los vectores ๐ด = (1, 1) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (1, โ1), calcular el coseno del รกngulo formado
entre los vectores ๏ฟฝโ๏ฟฝ e ๏ฟฝโโ๏ฟฝ que satisfacen las ecuaciones: 2๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ด โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
Rpta. cos ๐ = โ4
5
3. Calcular โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ +๏ฟฝโ๏ฟฝโ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2โ , si โ๐ดโ = 1; โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 3 si el รกngulo entre los vectores ๐ด y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ es
igual a 2
3๐.
4. Demostrar vectorialmente que el segmento que une los puntos medios de los lados de
un triรกngulo es paralelo y tiene la mitad de la longitud del tercer lado.
5. Sea ( )1,4,3A = , ( ), , 4B b a= โ , para que los valores de ๐ y ๐ ; vector A es
perpendicular con B sรญ 36B = . Rpta. 2, 2a b= =
6. Sean cosa i sen j = + y cos2 2
b i sen j
= + + +
dos vectores demostrar que
son ortogonales.
7. Sabiendo que โ๐ดโ = 6 y โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 10 determinar los valores de K para que los vectores
๐ด + ๐พ๏ฟฝโโ๏ฟฝ y ๐ด โ ๐พ๏ฟฝโโ๏ฟฝ sean ortogonales
8. Hallar la ecuaciรณn del plano que contiene al eje Y y forma un รกngulo ๐
3, con el eje X
positivo.
9. Determinar los vectores ๐ด = (๐, โ6, 5) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (๐, ๐, 1) tal que ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ (๐ด ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๐ด) sea
mรญnimo, es decir el valor de ๐. Rpta. ๐ = 3
10. Un vector ๐ด forma con los ejes coordenados ๐, ๐ los รกngulos 60ยฐ y 120ยฐ
respectivamente. Calcular las componentes de ๐ด sabiendo que โ๐ดโ = 2.
Rpta. ๐ด = (1, โ1, ยฑโ2)
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11. El รกngulo entre los vectores ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ es de 45ยฐ, si el mรณdulo de ๏ฟฝโโ๏ฟฝ es 3. Hallar el mรณdulo
de ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ para que el vector ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ forme 30ยฐ con ๏ฟฝโโ๏ฟฝ. Rpta. โ๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ =3
2(โ2 + โ6)
12. Si el รกngulo entre los vectores ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ es de 30ยฐ y estos son vectores tales que โ๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ =
โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 2, demostrar que (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) + โ(๏ฟฝโโโ๏ฟฝ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) ร (๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)โ = 4.
13. Dados los vectores ๐ด, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ฆ ๐ถ, que satisfacen la ecuaciรณn ๐ด + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ + ๐ถ = 0โโ, y sabiendo que
โ๐ดโ = 3, โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 3 y โ๐ถโ = 4. Calcular ๐ด = ๐ด โโโโ ๐ ๐ตโโโโ + ๐ต โโโโ ๐ ๐ถ + ๐ด โโโโ ๐ ๐ถ.
14. Con los vectores ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (1,2, โ3); ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (2, โ1,1) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (โ1,1, โ1), demostrar que:
(๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
15. Si โ๐ดโ = 3, โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 3 y el angulo entre estos vectores es 30โ, calcular el รกrea del
paralelogramo determinado por los vectores, calcular el รกrea del paralelogramo
determinado por los vectores ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 2๐ดโโโโโโ โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, que es uno de sus lados y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ด + 2๐ตโโโโโโ , que
es una diagonal.
16. Calcular el รกngulo ๐ฝ entre la diagonal y una arista del cubo, si tal arista mide ๐ข unidades.
Rpta. ๐ฝ = ๐ด๐๐ cos (1
โ3)
17. Hallar el รกngulo ๐ entre las diagonales de dos caras de un cubo. Utilice vectores, la arista
del cubo es igual a ๐. Rpta. ๐ = 60ยฐ
18. Dados los puntos ๐ด(2,3,1), ๐ต(4, ๐, โ2) y ๐ถ(2,1,3), calcular el valor de ๐ para que el
volumen del paralelepรญpedo sea 4. Los lados estรกn determinados por los vectores
๐๐ด ; ๐๐ต ๐ฆ ๐๐ถ, siendo ๐(0,0,0) el origen de coordenadas. Rpta. ๐ = 11
19. Calcular el รกrea de un paralelogramo de lados adyacentes, dados por los vectores ๐ด =
3๏ฟฝโโโ๏ฟฝ โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ; ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 5๏ฟฝโโโ๏ฟฝ + 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ, si โ๏ฟฝโโโ๏ฟฝโ = โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ = 1 y el รกngulo entre ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ es 30ยฐ.
Rpta. ๐ด = 8(๐ข2)
20. Calcular el รกrea del tetraedro cuyos vรฉrtices estรกn en los puntos ( )2, 1,1A โ , ( )5,5, 4B ,
( )3, 2,1C y ( )4,1,3D Rpta. 23 u
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GEOMETRรA ANALรTICA SOLIDA
1. Hallar la ecuaciรณn de la recta que pasa por el punto A(1,3,2), es paralelo al plano ๐ =
(1,4,0) + ๐(1,1,1) + ๐ (0,1,2), ๐ , ๐ โ โ y forma un angulo de 60ยฐ con ๐ = (1, โ2,3) +
๐ก(0,1,0) t โ โ. Rpta. ๐ = (1,3, โ2) + ๐ก(3 ยฑ 2โ2, 2 ยฑ โ2, 1)
2. Encontrar un punto del plano ๐ โถ ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง โ 3 = 0 que este mas cerca al punto
๐(2, โ1, โ1). Rpta. ๐ (3,0,0)
3. Dado el triรกngulo de vรฉrtices A(4, โ1, โ3); B(โ2,2, โ3); C(โ1,4,2). Hallar los
vรฉrtices Aโฒ, Bโฒ, Cโฒ del triรกngulo de proyecciรณn sobre el plano ๐: ๐ฅ + 2๐ฆ โ ๐ง + 1 = 0.
Rpta. ๐ดโฒ(3, โ3, โ2); ๐ตโฒ(โ2,2,3); ๐ถโฒ(โ3,0, โ2)
4. Hallar la ecuaciรณn cartesiana del plano que pasa por (1,2, โ2) y es ortogonal a los planos
๐: ๐ฅ โ ๐ฆ = 4 ; ๐: ๐ฅ + ๐ง = 6 Rpta. ๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง โ 6 = 0
5. Hallar la ecuaciรณn del plano que pasa por los puntos ๐ด(1,0, โ1) ; ๐ต(2,0,2) y formar un
รกngulo de 60ยฐ con el plano de ecuaciรณn 2๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง + 6 = 0.
Rpta. 21๐ฅ + (40 ยฑ 3โ170)๐ฆ โ 7๐ง โ 28 = 0
6. Determinar el valor de ๐ de manera que los puntos ๐(1,2, โ1) ; ๐(0,1,5) ;
๐ (โ1,2, โ1) y ๐(๐, 1,3) estรฉn en un mismo plano. Rpta. ๐ = 2
7. Encontrar un punto simรฉtrico Q del punto ๐ด (4,1,6) en relaciรณn a la recta formada por
los planos ๐ฅ โ ๐ฆ โ 4๐ง + 12 = 0 y 2๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง + 3 = 0.
8. Determinar la distancia mรญnima que se tiene entre el punto ๐(1,2, โ1) y el plano 2๐ฅ โ
๐ฆ + 3๐ง โ 6 = 0 Rpta. ๐ =9
14โ14
9. Hallar la ecuaciรณn del plano que pasa por el punto ๐(2,1,1) y que haga un รกngulo de
๐ด๐๐ cos (2
3) radianes con el plano 2๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง โ 3 = 0 y que sea perpendicular al
plano coordenado Y-Z. Rpta. 4๐ฆ โ 3๐ง โ 1 = 0
10. Hallar la ecuaciรณn de la esfera tangente a la recta ๐ฟ โถ ๐ฅโ1
1 =
๐ฆโ2
โ1; ๐ง = 2 cuyo centro es
๐ถ(2,4,6). Rpta. ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 โ 4๐ฅ โ 8๐ฆ โ 12๐ง + 40 = 0
11. Hallar la ecuaciรณn de la esfera cuyo radio ๐ = 3, que es tangente al plano ๐ฅ + 2๐ฆ +
2๐ง + 3 = 0 ๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐ ๐(1,1, โ3). Rpta. (๐ฅ โ 2)2 + (๐ฆ โ 3)2 + (๐ง + 5)2 = 9
12. Hallar el radio ๐ de la esfera ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 = ๐ 2, para que sea tangente al plano ๐ฅ +
๐ฆ + ๐ง โ 6 = 0. Rpta. ๐ = 2โ3
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13. Hallar la ecuaciรณn de la esfera que pasa por el punto P(-1,6,-3) y es tangente al plano
4๐ฅ + 4๐ฆ + 7๐ง โ 96 = 0 en el punto (7,3,8).
14. Determinar la ecuaciรณn de la esfera de centro ๐ถ(1,2,3) y es tangente a la traza de un
plano con el plano coordenado ๐ โ ๐ que tiene ecuaciรณn ๐ฅ + ๐ฆ = 3.
Rpta. ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 โ 2๐ฅ โ 4๐ฆ โ 6๐ง + 5 = 0
15. Encontrar la ecuaciรณn de la superficie esfรฉrica que pasa por los puntos A(โ1,2,5)
, B(4,3, โ7) , C(8,2,2) y D(โ4,3, โ3). Rpta. ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 โ 4๐ฅ + 2๐ง โ 44 = 0
16. Una esfera tiene su centro en la intersecciรณn del plano ๐: x + y + z โ 5 = 0 con la recta
๐ฟ: x โ 1 = y โ 2 = z โ 2 y pasa por el punto P(โ1,1,4, ). Encontrar la ecuaciรณn de la
esfera. Rpta. ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 โ 2๐ฅ โ 4๐ฆ โ 4๐ง = 0
17. Hallar del plano tangente a la (๐ฅ โ 3)2 + (๐ฆ โ 1)2 + (๐ง + 2)2 = 24, en el punto
(โ1,3,0). Rpta. 2๐ฅ โ ๐ฆ โ ๐ง + 5 = 0
18. Transformar las siguientes ecuaciones rectangulares de superficies a coordenadas
esfรฉricas y graficar: a) ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4, b) ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ ๐ง2 = 0
Rpta. 2cscr = , 3
4 4
= =
19. Transformar las siguientes ecuaciones rectangulares de superficies a coordenadas
cilรญndricas y graficar: a) ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 = 4, b) ๐ฅ2 โ ๐ง2 = 4
Rpta. 24z r= โ , 2 2cos 4z r = โ
20. Hallar una ecuaciรณn en coordenadas rectangulares para la ecuaciรณn dada en coordenadas
cilรญndricas y graficarlas: a) 3
= , b) csc =
Rpta. 2 2 23 3 0x y z+ โ = ,
2 2 1x y+ =
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FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
1. Dada la curva C : ( )( ) cos , , tf t t sent e= , determine el punto en el cual la tangente es
paralela al plano P : 3 4 0x y+ โ = . Rpta. 63 1
, ,2 2
e
2. Sea la curva ๐(๐ก) = (2๐ก, ๐ก2, ln ๐ก) defina para ๐ก > 0, hallar la longitud de arco ๐ฟ entre
los puntos (2,1,0) y (4,4, ln 2). Rpta. ๐ฟ = 3 + ln 2
3. Sea ๐ถ la curva definida por la funciรณn vectorial ๐ถ: ๐(๐ก) = (๐ก, ๐ก2,2
3๐ก3) encuentre la
longitud de la curva desde ๐ด(0,0,0) hasta ๐ต(3,9,18). Rpta. ๐ = 21(๐ข)
4. Calcular la longitud de arco de la curva ๐(๐ก) = (๐โ๐ก cos ๐ก , ๐โ๐ก sen ๐ก) en 0 โค ๐ก โค 2.
5. Encontrar la longitud de curva de la funciรณn ( ) ( )( )( ) cos sen , sen cosf t a t t t a t t t= + โ ,
0a , para. 0,2t Rpta. 22L a=
6. Hallar la longitud de curva para ๐(๐ก)โโ โโ โโ โโ โ = (2๐ก, ๐ก2, ln ๐ก), para ๐ก โ [1, ๐].
7. Hallar la longitud de curva de la funciรณn ๐(๐ก)โโ โโ โโ โโ โ = (8๐ก3, 12๐ก2, 3๐ก4), para ๐ก โ [0, โ2].
Rpta. ๐ฟ = โ2(๐2 โ 1)
8. Sean las curvas: ( )
( )
ln 21
2
2
: ( ) 2 cos , ,3 ;0 2
: ( ) 1, ,3 3
t
C f t t sent t
C g t t t t
= = + +
, ยฟCuรกnto debe incrementarse
t para que la longitud de arco de la curva 1C sea igual a 11 desde el instante en que
2C interseca a 1C ? Rpta. ln 2
9. Hallar el vector normal unitario para cualquier valor de ๐ก de la funciรณn vectorial ๐(๐ก) =
(cos3 ๐ก , sen3 ๐ก , cos 2๐ก). Rpta. ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(๐ก) = (sen ๐ก , cos ๐ก , 0)
10. Hallar el vector normal unitario para cualquier valor de ๐ก de la funciรณn vectorial ๐(๐ก) =
(cos3 ๐ก , cos2 ๐ก โ sen2 ๐ก , sen3 ๐ก). Rpta. ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(๐ก) = (sen ๐ก , 0, cos ๐ก)
11. Dada la curva ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๐ก) = (๐ก, ln sec ๐ก , ln[sec ๐ก + tan ๐ก]), hallar los vectores unitarios
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐ก), ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(๐ก) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐ก) para ๐ก = 0.
Rpta. ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(0) = 1
โ2(1,0,1), ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(0) = (0, โ1,0) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(0) =
1
โ2(โ1,0,1)
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12. Encontrar los vectores unitarios ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐ก), ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(๐ก) ๐ฆ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐ก) en la curva ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๐ก) = (๐ก sen ๐ก , 1 โ
cos ๐ก , 4 sen๐ก
2) para ๐ก = ๐.
Rpta. ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐) = (1,0,0), ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ(๐) =โ2
2(0, โ1, โ1) y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐) =
โ2
2(0,1, โ1)
13. Sea la curva alabeada C: {๐ฅ = ๐๐ก๐ ๐๐(2๐ก)
๐ฆ = ๐๐กcos (2๐ก)
๐ง = 2๐๐ก
para un punto P(0, 1, 2), hallar las rectas
tangente, normal, binormal , planos osculador, plano rectificante y plano normal.
14. Si ๐(๐ก)โโ โโ โโ โโ โ = (๐ก, ln (sec(๐ก) + ๐ก๐(๐ก), ln(๐ ๐๐๐ก)), hallar el plano normal y la recta tangente
para t = 0.
15. Una curva se mueve en la trayectoria ๐ฅ = ๐๐ก; ๐ฆ = ๐โ๐ก; ๐ง = โ2๐ก hallar la curvatura y
torsiรณn de la trayectoria
16. Hallar el plano osculador de la curva descrita ๐(๐ก)โโ โโ โโ โโ โ = (๐ก โ๐ก3
3, ๐ก2, ๐ก +
๐ก3
3), en ๐ก = 1.
17. Hallar la curvatura y la torsiรณn, para la curva :C 4 3
( ) cos ,1 sen , cosf s s s ss s
= โ โ
, en
s = ,siendo s la longitud de arco. Rpta. 1, 0
18. Dada la curva parametrizada por ๐(๐ก)โโ โโ โโ โโ โ = (๐ก โ ๐ ๐๐(๐ก), 1 โ cos(๐ก) , 4 ๐ ๐๐๐ก
2), hallar la
curvatura y torsiรณn de la curva en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo
al plano ๐ง = 1.
19. Hallar la curvatura y la torsiรณn, para la curva C descrita por
4 3( ) cos ,1 sen , cos
5 5f s s s s
= โ โ
, siendo s la longitud de arco de la curva ยฟsobre que
superficie se encuentra la curva C ? Rpta. 1, 0, 3 4 0x z+ =
20. Dada la curva que resulta de la intersecciรณn del cilindro ๐ฆ = ๐ฅ2 con el plano ๐ง = 2๐ฅ,
determinar los vectores del triedro mรณvil โจ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ, ๏ฟฝโโ๏ฟฝโฉ en el punto ๐(1,1,2).
Rpta. โจ1
3(1,2,2),
1
3โ5(โ2,5, โ4),
1
โ5(โ2,0,1)โฉ
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DERIVADA PARCIALES
Hallar las derivadas parciales ๐๐/๐๐ฅ y ๐๐/๐๐ฆ.
1. a) 4 2 2 4( , ) 4f x y x x y y= โ + Rpta: 3 24 8x
f
xxy=
โ
, 3 24 8y x y
f
y= โ
b) ( , )x
f x y xyy
= + Rpta: 1
y
f
xy= +
,
2
xx
y y
f=
+
c) 3 2 2( , ) 3 4 3 7 8f x y x x y xy x y= โ + + โ
Rpta: 2 2 79 8 3x yf
xx y
+
โ += , 2 864x
fy
yx
+
= โ โ
2. a) 3 2 2( , ) 4f x y y x y= + + Rpta:
2 2
xf
x x y=
+
, 2
2 212
yy
x
f
y y
= +
+
b) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐ฆ
๐ฅ ln๐ฅ2
๐ฆ Rpta: ๐๐/๐๐ฆ = ๐
๐ฆ
๐ฅ (๐ฆ ln๐ฅ2
๐ฆโ ๐ฅ)/๐ฅ๐ฆ
c) ( , ) arctan1
x yf x y
xy
+=
โ Rpta:
2
1
1x x
f
=
+
,
2
1
1y y
f
=
+
3. Hallar f
z
si: a) ( )( , , ) 4 ln 2f x y z xyz xyz= + b) ( , , )
z
xf x y z
y
=
Rpta: a) 1
4f
xyz z
= +
, b) ln
z
x x
y
f
z y
=
4. Hallar u
z
si: a)
2 2 2
1u
x y z=
+ + , b)
y
zu x=
Rpta: a) ๐๐ข
๐๐ง= โ๐ง(๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2)โ
3
2 , b) 2
lnyu
xu
z z
= โ
5. Hallar f
y
si ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ๐๐ฅ๐ฆ๐ง + ๐๐๐๐ก๐
3๐ฅ๐ฆ
๐ง2 Rpta: ๐๐/๐๐ฆ = ๐ฅ๐ง๐๐ฅ๐ฆ๐ง +3๐ฅ๐ง2
๐ง4+9๐ฅ2๐ฆ2
6. Hallar ๐๐/๐๐ฅ y ๐๐/๐๐ฆ si ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ln ๐ ๐๐๐ก๐๐ก
Rpta: ๐๐/๐๐ฅ = โ ln ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐/๐๐ฆ = ln ๐ ๐๐๐ฆ
7. Dada lnr t
u sent r
= + verificar que ๐ก๐๐ข
๐๐ก+ ๐
๐๐ข
๐๐= 0
8. Si y z x
ux x y
= + + , probar que 0u u u
x y zx y z
+ + =
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INCREMENTO Y DIFERENCIAL
1. Si ๐(๐ฅ,๐ฆ) = 3๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ โ ๐ฆ2, โ๐ฅ = 0.03 ๐ฆ โ๐ฆ = 0.02. Encontrar el incremento y el
diferencial total de ๐ en el punto (1, 4). Rpta: 0.5111
2. Si ( , )
xy
x yf e= , 0,15x = y 0,1y = encontrar el incremento y el diferencial total de
๐ en el punto (1, 1). Rpta: 0.25๐
3. Hallar el valor aproximado de:
a) โ1.023 + 1.973 b) 2
3 4
1.03
0,98 1,05 Rpta. 2,95 ; 1,055
4. Hallar el valor aproximado de:
a) ๐ ๐๐ 29ยฐ โ ๐ก๐ 46ยฐ b) 0.971.05 Rpta. 0,502 ; 0,97
5. Los lados de un paralelepรญpedo rectangular miden 3, 4, 5 pies con un error posible de
1
16 pulgada. Use diferenciales para estimar el error mรกximo en el valor calculado de
a) el รกrea de la superficie del paralelepรญpedo; b) el volumen de este cuerpo.
Rpta. 21
pie4
; 347pie
192
6. Usar la diferencial total para encontrar el mรกximo error al calcular la longitud de
hipotenusa del triรกngulo rectรกngulo si los catetos son 6๐๐ข๐ ๐ฆ 8 ๐๐ข๐ respectivamente.
Tambiรฉn encontrar el porcentaje aproximado. Rpta. 0.14 ๐๐ข๐ 1.4 %.
7. La gravedad especifica s de un objeto estรก dada por la formula ๐ = ๐ด
(๐ดโ๐), donde A es
el nรบmero de libras del peso del objeto en el aire y W es el nรบmero de libras del peso
del objeto en el agua. Si el peso del objeto del aire es 20๐๐ con posible error de
0.02 ๐๐ encontrar el mรกximo error posible al calcular s a partir de estas medidas.
Tambiรฉn encontrar el mรกximo error relativo posible. Rpta. 7
1600; 0.18%
8. Las dimensiones de una caja son 10๐๐ข๐, 12๐๐ข๐ y 15๐๐ข๐ y las mediciones tienen un
posible error de 0.02pul. Encontrar aproximadamente el mรกximo error si el volumen
de la caja se calcula a partir de las mediciones dadas. Tambiรฉn encontrar el error
porcentaje aproximado. Rpta: 18,6 ๐๐๐3
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DERIVACION PARCIAL DE FUNCION COMPUESTA
En los siguientes ejercicios, hallar du
dt
1. 2u xy y= โ , donde tx eโ= , y sent= Rpta: 2 2 cos cost tdue sen t e sent t t
dt
โ โ= โ + โ
2. ๐ข = ๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2, donde ๐ฅ = ๐ก๐๐๐ ๐ก ๐ฆ ๐ฆ = ๐ก๐ ๐๐๐ก.
Rpta: ๐๐ข
๐๐ก= 2๐ก + 2๐ก๐ ๐๐๐ก + 2๐ก2๐๐๐ 2๐ก
3. ๐ข = ๐ฆ๐๐ฅ + ๐ฅ๐๐ฆ, donde ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ก y ๐ฆ = ๐ ๐๐๐ก.
Rpta: ๐๐ข
๐๐ก= ๐๐ฅ(๐๐๐ ๐ก โ ๐ฆ๐ ๐๐๐ก) + ๐๐ฆ(๐ฅ๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐๐๐ก)
4. ๐ข = ๐๐๐๐ก๐ (๐ฆ
๐ฅ) ; ๐ฅ = ๐๐๐ก y ๐ฆ = ๐๐ก Rpta:
๐๐ข
๐๐ก=
๐ก๐ฅ๐๐กโ๐ฆ
๐ก๐ฅ๐ก+๐ก๐ฆ2
Hallar ๐๐
๐๐ ๐ฆ
๐๐
๐๐ en los siguientes ejercicios 5, 6, 7 y 8:
5. ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = ๐ฅ๐ฆ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฆ๐ฆ donde ๐ฅ = 3๐ โ ๐ก ๐ฆ ๐ฆ = ๐ + 2๐ก
6. ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = ๐๐ฆ
๐ฅ ; ๐ฅ = 2๐๐๐๐ โ ๐ก ๐ฆ ๐ฆ = 4๐๐ ๐๐๐ก
7. ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = ๐๐๐๐ ๐๐ (3๐ฅ + ๐ฆ) ; ๐ฅ = ๐2๐๐ก ๐ฆ ๐ฆ = ๐ ๐๐๐๐ก
8. ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = ๐ฅ2๐ฆ๐ง ; ๐ฅ =๐
๐ก ; ๐ฆ = ๐๐๐ก ๐ฆ ๐ง = ๐๐โ๐ก
9. Si ๐ง = ๐(๐ข โ ๐ฃ, ๐ฃ โ ๐ข), demuestre que ๐๐ง
๐๐ข+
๐๐ง
๐๐ฃ= 0
10. Si 2 2( , )z xy f x y= + , demostrar que 2 2z z
y x y xx y
โ = โ
11. Demuestre que ๐ฆ๐ง๐ฅ โ ๐ฅ๐ฆ๐ฅ๐ฆ = 0 si ๐ง = ๐(๐ฅ2 + ๐ฆ2)
12. Demuestre que ๐ฅ2๐ง๐ฅ โ ๐ฅ๐ฆ๐ง๐ฆ + ๐ฆ2 = 0 si ๐ง =๐ฆ2
3๐ฅ+ ๐(๐ฅ,๐ฆ)
DERIVACION IMPLICITA
1. Si ( , ) 0f x z y zโ โ = , define en forma implรญcita a z como funciรณn de x y y ,
hallar z z
x y
+
Rpta: 1
2. Hallar z
x
y
z
y
, si
ze xyz= Rpta: z
yz
e xyโ,
z
xz
e xyโ
3. Hallar z
x
y
z
y
, si
2 2 23 3 4 15 0x y z xy z+ + โ + โ = Rpta:3๐ฅโ6๐ฆโ4๐ง
2๐ง+4๐ฅ ;
3๐ฅโ2๐ฆ
2๐ง+4๐ง
P รก g i n a 11 | 22
4. Hallar z
x
y
z
y
, si ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ๐ง๐๐๐ 3๐ฅ๐ง = 5 Rpta:
3๐ฅโ6๐ฆโ4๐ง
๐ฅ๐ฆ2โ3๐ฅ๐ฆ๐ก๐3๐ฅ๐ง
5. Sea la funciรณn z dada por la ecuaciรณn ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 = ๐(๐ฅโ๐๐ง,๐ฆโ๐) donde f es una
funciรณn diferenciable cualquiera y a, b, c, constante demostrar, que (๐๐ฆ โ ๐๐ฆ)๐ง๐ฅ +
(๐๐ง โ ๐๐ฅ)๐ฆ = ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
6. Demostrar que la funciรณn z, determinada por la ecuaciรณn, donde F es una funciรณn
diferenciable cualquiera de dos argumentos, satisface la ecuaciรณn ๐๐ง๐ฅ + ๐๐ง๐ฆ = 1
7. ๐น(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = 0. Demostrar que ๐ฅ๐ง๐ฅ , + ๐ฆ๐ง๐ฆ = ๐ง
8. Si ๐ es una funciรณn diferenciable de ๐ฅ ๐ฆ ๐ฆ, ๐ฆ ๐ข = ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง), ๐ฅ = ๐๐๐๐ ๐, ๐ฆ =
๐๐๐๐ ๐ Demuestre que ๐๐ข
๐๐ฅ=
๐๐ข
๐๐cos ๐ โ
๐๐ข
๐๐
๐ ๐๐ ๐
๐ ;
๐๐ข
๐๐ฆ=
๐๐ข
๐๐๐ ๐๐ ๐ +
๐๐ข
๐๐
cos ๐
๐
9. hallar el jacobiano en el sistema de coordenadas cilรญndrica ๐ฅ = ๐๐๐๐ ๐ , ๐ฆ =
๐๐ ๐๐ ๐ ๐ฆ ๐ง = ๐ง
10. Para el sistema
2 2 2x y u
xy v
+ =
=, determinar:
,
,
x yJ
u v
Rpta: 2 2
1
2 u v+
11. Determinar ๐ข๐ฅ , ๐ข๐ฆ, ๐ฃ๐ฅ ๐ฆ ๐ฃ๐ฆ en el sistema 1
x y u v
xu yv
+ = +
+ =
Rpta: ๐ข๐ฅ =๐ข+๐ฆ
๐ฆโ๐ฅ ; ๐ข๐ฆ =
๐ฃ+๐ฆ
๐ฆโ๐ฅ ; ๐ฃ๐ฅ =
๐ข+๐ฃ
๐ฅโ๐ฆ y ๐ฃ๐ฆ =
๐ฃ+๐ฅ
๐ฅโ๐ฆ
12. Del sistema de ecuaciรณn, determinar ๐ข๐ฅ, ๐ข๐ฆ, ๐ฃ๐ฅ ๐ฆ ๐ฃ๐ฆ
2 1
21
u v
u v
xe uv
uye
v
+
+
+ =
+ =+
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1. Hallar ๐๐ฆ
๐๐ก y
๐2๐ฆ
๐๐ฅ2 si ln(๐ฅ2 + ๐ฆ2) = ๐๐๐๐ก๐(๐ฆ
๐ฅ)
2. Demostrar para la curva de 2ยฐ orden
๐๐ฅ2 + 2๐๐ฅ๐ฆ + ๐๐ฆ2 + 2๐๐ฅ + 2๐๐ฆ + ๐ = 0 se verifica la igualdad: ๐3
๐๐ฅ3[๐ฆ๐]โ
2
3 = 0
3. Hallar ๐๐
๐๐ฅ2 ๐ฆ ๐๐
๐๐ฅ๐ฆ2 ๐ ๐ ๐(๐ฅ,๐ฆ) = ๐๐ฅ๐ ๐๐๐ฆ + ๐๐๐ฅ๐ฆ
Rpta: ๐๐ฅ๐ ๐๐๐ฆ โ1
2 ; ๐๐ฆ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐๐ฅ๐ ๐๐๐ฆ
4. Hallar ๐(๐ฅ,๐ง) ๐ฆ ๐(๐ฆ,๐ง) ๐ ๐ ๐(๐ฅ,๐ฆ,๐ง) = ๐ฆ๐๐ง + ๐ง๐๐ฆ + ๐๐ง Rpta: 0 ; ๐๐ฆ
P รก g i n a 12 | 22
5. Si ( ) ( )( )1
z x y x yy = + + โ , mostrar
2 22
2 2
z zy
x y y y
=
6. Demostrar que 2 2lnu x y= + satisface la ecuaciรณn
๐๐ข
๐๐ฅ2+
๐๐ข
๐๐ฆ2
7. Demostrar que ๐ข = ๐โ๐ฅ๐๐๐ ๐ฆ + ๐โ๐ฅ cos ๐ฅ satisface la ecuaciรณn ๐๐ข
๐๐ฅ2 +๐๐ข
๐๐ฆ2
8. Demostrar que 2 2 2
1u
x y z=
+ + satisface la ecuaciรณn
2 2 2
2 2 20
u u u
x y z
+ + =
9. Demostrar que ๐ข =๐ฅ๐ฆ
๐ฅ+๐ฆ satisface la ecuaciรณn
๐ฅ2๐๐ข
๐๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ๐๐ข
๐๐ฅ๐๐ฆ+ ๐ฆ2 ๐๐ข
๐๐ง2
10. Dadas ๐ง = ๐ข (๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ+๐๐ฆ๐ฆ๐๐ข
๐๐ฅ๐๐ฆ= 0. Hallar los valores constantes a y b tales que
๐๐ง
๐๐ฅ๐๐ฆโ
๐๐ง
๐๐ฅโ
๐๐ง
๐๐ฆ+๐ง= 0 Rpta: ๐ = ๐ = 1
Hallar la derivada parcial de segundo orden de:
11. ๐ข = ๐(๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2) Rpta: ๐2๐ง
๐๐ฅ2 = 2๐๐ฅ(๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2) +44๐ฅ2๐๐ฅ๐ฅ(๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2)
; ๐2๐ โ ๐๐ฅ๐๐ฆ = 4๐ฅ๐๐ฅ๐ฅ(๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2)
12. ๐ข = ๐(๐ฅ,๐ฅ
๐ฆ) Rpta: ๐2๐|๐๐ฅ2 = ๐๐๐ฅ๐ฅ (๐ฅ,
๐ฅ
๐ฆ) +
2
๐ฆ๐น๐ฅ๐ฆ (๐ฅ,
๐ฅ
๐ฆ ) +
1
๐ฆ2 ๐๐ฆ๐ฆ(๐ฅ,๐ฅ
๐ฆ)
13. Demuestre que ๐ข๐ฅ๐ฅ โ 2๐ข๐ฅ๐ฆ + ๐ข๐ฆ๐ฆ = 0 si ๐ฅ๐(๐ฅ + ๐ฆ) + ๐ฆ๐(๐ฅ + ๐ฆ)
14. Hallar ๐ง๐ฅ๐ฆ si ๐น(๐ฅ + ๐ง, 2๐ฅ + 2๐ฆ) = 0
15. Hallar ๐ง๐ฅ๐ฆ si ๐น(๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง, ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2) = 0
16. Hallar 2
2
z
x
,
2z
x y
si ( )2 2 ,z f y x y x= โ โ
DERIVADAS DIRECCIONALES
1. Dado la funciรณn 3 2 2 3( , ) 3 4f x y x x y xy y= โ + + , hallar la derivada direccional en
el punto ( )2,1 , en la direcciรณn 6
= Rpta:
4 3 7
2
+
2. Encontrar la derivada direccional de la funciรณn ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐ฅ2 + 5๐ฆ2 en la
direcciรณn del vector unitario ๐ขโ = ๐๐๐
๐
4 ๐โ + ๐ ๐๐
๐
4 ๐โ Rpta: 2โ2๐ฅ + 5โ2๐ฆ
3. Encontrar la derivada direccional de la funciรณn f(x,y)= ๐ฅ2-4y en el punto P(-2,2)
en la direcciรณn del vector unitario ๐ขโ = ๐๐๐
๐
3 ๐โ + ๐ ๐๐
๐
3 ๐โ
P รก g i n a 13 | 22
4. Mostrar que la derivada direccional de 2 3( , , )f x y z xz y= + en el punto ( )1,1, 2 en
la direcciรณn 1 2
5 5i j+ es 2 3
5. Hallar la derivada direccional de la funciรณn f(x,y)= ๐ฅ2-๐ฅ๐ฆ + 2๐ฆ2 en el punto
P(1,2) y en la direcciรณn que forma con el eje OX un รกngulo de 60ยฐ Rpta: -9โ3/2
6. Hallar la derivada direccional de la funciรณn ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ3 + 2๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ2+1 en el
punto M(1,2), en la direcciรณn que va este al punto N(4,6) Rpta:1
7. El potencial elรฉctrico es V volts en cualquier punto (x,y) en el plano xy y
v=๐2๐ฅ๐๐๐ 2๐ฆ.
8. La distancia se mide en pies. Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el
punto (0,๐/4) en la direcciรณn del vector unitario ๐ขโ = ๐๐๐
๐
3 ๐โ + ๐ ๐๐
๐
3 ๐โ. Hallar la
direcciรณn y la magnitud de la mรกxima rapidez de cambio de V en (0,๐/4)
Rpta: -1, -j, 2
GRADIENTE, DIVERGENCIA ROTOR
1. Siendo f(x,y,z)=2๐ฅ๐ง4 โ ๐ฅ2๐ฆ, hallar โf en el punto (2,-2,-1) Rpta:10๐ โ 4 ๐ โ 16 ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2โ93
2. Siendo ๏ฟฝโ๏ฟฝ=2๐ฅ2๐ โ 3๐ฆ๐ง๐ = ๐ฅ๐ง2๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ฆ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = 2๐ง โ ๐ฅ4๐ฆ, โ๐๐๐๐๐ ๏ฟฝโ๏ฟฝ*๐ปf y ๏ฟฝโ๏ฟฝx๐ปf en
el punto (1,-1,1) Rpta: 5, 7๐ +9๐+๏ฟฝโโ๏ฟฝ
3. Si 3 3 3( , , )f x y z x y z= + + , ( , , ) xz yz xyg x y z e e e= + + , hallar ( ) f g , en el punto
( )1,0,2โ Rpta: ( )2 216 31 ,14,24 2
2 7e eโ โ+ โ
4. Demuรฉstrese que ๐ป(๐
๐) =
g๐ปfโf๐ปg
๐2 ; ๐ โ 0
5. Demuรฉstrese que โ2(fg)=fโ2g+2๐ปf*๐ปg+gโ2f
EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ๐ โ = ๐ฅ๐ โ + ๐ฆ๐ โ + ๐ง๐ โ:
6. Demuรฉstrese que:
a) ๐ป โฅ ๐ โฅ3= 3 โฅ ๐ โฅ ๐ b) ๐ปf (๐)= fโ( ๐) ๐ โฅ ๐ โฅ
7. Demuรฉstrese que:
a) โ2(lnโฅ ๐ โฅ)=1/โฅ ๐ โฅ2 b) ๐ป โ (โฅ ๐ โฅ3= 6 โฅ ๐ โฅ3
8. Demuรฉstrese Div [โฅ ๐ โฅ ๐บ๐๐๐(1 โฅ ๐ โฅ3)]=3โฅ ๐ โฅ4
P รก g i n a 14 | 22
En cada ejercicio, hallar el plano tangente y la recta normal
1. 2 2 2 17x y z+ + = en ( )2, 2,2P โ . Rpta: 2 3 172x y zโ + =
2. ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 1 3 10x y zโ + โ + โ = en ( )3,3,5P . Rpta: 11x y z+ + = , 3 3 5x y zโ = โ = โ
3. 2 6xyz = en ( )3, 2,1P . Rpta: 2 3 12 24x y z+ + = , 3 2 1
2 3 12
x y zโ โ โ= =
4. xyzx y z e+ + = en ( )0,0,1P . Rpta: 1x y z+ + = , 1x y z= = โ
5. mostrar que la ecuaciรณn de la recta tangente a la cuadrรกtica a๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + ๐๐ง2=d en el punto
๐0(๐ฅ0, ๐ฆ0, ๐ง0) estรก dado por ๐๐ฅ0๐ฅ + ๐๐ฆ0๐ฆ + ๐๐ง0๐ง = ๐
6. Mostrar que la ecuaciรณn del plano tangente al elipsoide 2 2 2
2 2 21
x
a b
y z
c+ + = , en cualquier
punto suyo ( )0 0 0, ,M x y z tiene la siguiente forma: 0 0
2
0
2 21
x
a b
x y y z z
c+ + =
7. Determine las ecuaciones paramรฉtricas de la recta tangente a la curva de intersecciรณn del
paraboloide 2 2z yx= + y el elipsoide
2 2 2 94 yx z+ + = en el punto ( )1,1,2โ
Rpta: 1 10x t= โ โ , 1 16y t= โ , 2 12z t= โ
8. Hallar el valor de k para que en todo punto de la intersecciรณn de las dos esferas
( )2 2 2 4x k y zโ + + = y ( )
22 21 1y zx + โ + = , los planos tangentes sean perpendiculares uno al
otro. Rpta:
2k =
Determina mรกximos, mรญnimos y puntos de silla de las siguientes superficies:
1. 3 34 3z x y xy= + + โ Rpta. Mรญnimo local ( )1,1 , Punto de Silla: ( )0,0
2. 2 2z x xy y y= + + + Rpta. Mรญnimo 1 2
,3 3
โ
3. ( )( )1z x y xy= โ โ Rpta. Punto de Silla: ( )1,1 , ( )1, 1โ โ
4. ๐ง = ๐ฅ๐ฆ + 5๐ฅ2 โ 2๐ฆ2 โ 4๐ฅ โ 4 Rpta. Mรกximo en (4
9,
2
8, โ
3
9)
5. 2 2 2 2( )y xz x ye โ += Rpta. Mรญnimo ( )0,0 , Punto de Silla: ( )1,0
P รก g i n a 15 | 22
6. ๐ง = 5๐ฅ๐ฆ + 7๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 6๐ฆ + 2 Rpta. Punto de silla (6
5,
69
25, โ
112
25)
7. ( )z senx seny sen x y= + + + ; 0 2x , 0 2y Rpta. Punto Crรญtico (๐
3 ,
๐
3)
8. 2 2 cosz y y x= โ Rpta. Mรญnimo ( ) ( ) ( )0,1 ; , 1 ; 2 ,1 โ , Punto de Silla: 3
,0 ; ,02 2
Encuentre los mรกximos y mรญnimos de la funciรณn sujeta a las restricciones dadas:
9. 2 2( , )f x y y x= โ , 2 211
4x y+ = Rpta. Mรกximo ( )0, 1 , Mรญnimo ( )2,0
10. 2 2 2( , , )f x y z x y z= + + , 4 4 4 1x y z+ + = Rpta. Mรกximo 3 , Mรญnimo 1
11. ( , , ) 2 2f x y z x y z= + + , 2 2 2 9x y z+ + = Rpta. Mรกximo ( )2, 2,1 , Mรญnimo ( )2, 2, 1โ โ โ
12. ( , , , )f x y z t x y z t= + + + , 2 2 2 2 1x y z t+ + + = Rpta. Mรกximo
1 1 1 1, , ,
2 2 2 2
Determinar los extremos condicionales de las funciones dadas
1. ๐ง = ๐ฅ๐ฆ, si ๐ฅ + ๐ฆ = 1 Rpta. ๐๐๐๐ฅ=f(1
2,
1
2) =
1
4
2. ๐ง = ๐ฅ๐ฆ, si ๐ฅ = ๐ฆ Rpta. ๐๐๐๐=f(0,0) = 0
3. ๐ง = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 , si ๐ฅ + ๐ฆ = 2 Rpta ๐๐๐๐=f(1,1) = 2
4. ๐ง = 25 โ ๐ฅ2 + ๐ฆ2 si ๐ฅ2+๐ฆ2 โ 4๐ฆ = 0 Rpta. ๐๐๐๐=f(0,4) = 9 ๐๐๐๐ฅ = ๐(0,0) = 25
5. ๐ง = ๐ฅ + 2๐ฆ ๐ ๐ ๐ฅ2+๐ฆ2=5 Rpta. ๐๐๐๐ฅ=f(1,2) = 5; ๐๐๐๐ = ๐(โ1, โ2) = โ5
6. z=๐ฅ2+๐ฆ2 ๐ ๐ ๐ฅ2+๐ฆ2=1 Rpta. Puntos crรญticos: (0,ยฑ1) ; ( ยฑ1,0)
7. z=๐๐๐ 2๐ฅ+๐๐๐ 2๐ฆ ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐ฆ =๐
4 Rpta. ๐๐๐๐ฅ=f(โ
๐
8,
๐
8) = 1,71
8. ๐ข = ๐ฅ โ 2๐ฆ + 2๐ง ๐ ๐ ๐ฅ2+๐ฆ2-๐ง2=1 Rpta. Punto crรญtico= (1
3, โ
2
3,
2
3)
P รก g i n a 16 | 22
PROBLEMAS DE PLANTEO
1. Encuentre un punto en la superficie 25xyz = en el primer octante que 3 5 9Q x y z= + +
sea mรญnimo. Rpta. 5
5,3,3
2. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular limitada por el plano ๐ฅ
๐+
๐ฆ
๐+
๐ง
๐= 1 y los
planos coordenados de modo que tenga el mayor volumen posible Rpta. ๐๐๐๐ฅ=8๐๐๐
3โ3(๐ข3)
3. Diseรฑar una caja rectangular sin tapa y sin fondo debe tener un volumen de V ๐๐๐๐ 3.
Determine las dimensiones de la caja para que el รกrea superficial sea mรญnima.
Rpta. Minimizar ( )2S z x y= + sujeto a V xyz=
4. Determinar el radio y la altura del cilindro de mรกximo volumen que puede inscribirse en
una esfera de radio a . Rpta. 2
3r a= ,
2
3h a=
5. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular que se pueda inscribir en la octava parte
de la esfera ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 de manera que su volumen sea mรกximo. Rpta: ๐๐๐๐ฅ =๐3
3โ3(๐ข3)
6. Hallar el paralelepรญpedo rectangular de volumen dado V que tenga la menor รกrea posible.
7. Calcular los puntos mรกs prรณximos de la superficie ๐ฆ2 โ ๐ฅ๐ง = ๐ฆ al origen.
Rpta: ๐๐๐๐ = 1 ๐๐๐๐ ๐0(0,1,0); ๐๐๐๐ = 0 ๐๐๐๐ ๐1(0,0,0)
8. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular de volumen mรกximo inscrito en el primer
octante de la esfera ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 = 27. Rpta: ๐๐๐๐ฅ = 27๐ข3
9. Un recipiente se construye con un cilindro recto de radio 5 ๐๐๐๐ y con tapas en forma de
cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es ๐ ๐๐๐๐ ๐รบ๐๐๐๐๐ , halle la altura ๐ป
del cilindro y la altura โ de cada una de las tapas cรณnicas de manera que el รกrea se la
superficie total sea menor posible. Rpta. 2 5h = , 4 5
25 3
VH
= โ
10. Dados los puntos A(14) y B(3,0) en la elipse 2๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 18, hallar el tercer punto C tal
que el รกrea del triรกngulo ABC sea la mayor posible. Rpta: ๐ถ(โโ6, โโ6)
11. Hallar la mรญnima distancia entre parรกbola ๐ฆ2 = ๐ฅ, la recta ๐ฆ = ๐ฅ + 2. Rpta: ๐๐๐๐ =7โ2
8
12. ยฟCuรกl es el volumen del mรกximo paralelepรญpedo rectangular que se puede inscribir en el
elipsoide ๐ฅ2
9+
๐ฆ2
16+
๐ง2
36= 1
P รก g i n a 17 | 22
13. Un granjero planea cercar 7200 ๐2 de terreno que tiene la forma rectangular, uno de sus
lados limita con un rio. Sรญ solo debe cercar los tres lados no adyacentes al rio, ยฟCuรกl es la
menor cantidad de cerco necesario para completar el trabajo? Rpta. 240๐
14. ยฟCuรกles deben ser las dimensiones para que una baรฑera rectangular abierta de una
capacidad dada โVโ para que su superficie sea mรญnima?
15. Hallar un punto P0 en el primer octante del elipsoide ๐ฅ2
16+
๐ฆ2
9+
๐ง2
4= 1 en el que el plano
tenga forma con los planos coordenados un tetraedro de volumen mรญnimo.
Rpta: ๐0 (4
โ3,
3
โ3,
2
โ3)
16. Determinar las dimensiones de los lados de un triรกngulo, si su perรญmetro es P, de manera
que su รกrea se mรกxima. ๐ด ๐๐๐ฅ = โ3๐2
36
17. Hallar las dimensiones de una baรฑera semicilรญndrica abierta de superficie S, de manera
que su volumen sea mรกximo. ๐ ๐๐๐ฅ =๐
3โ
๐
3๐
18. Hallar los semiejes de la curva 3๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ + 5๐ฆ2 = 1 Rpta: โ4ยฑโ2
14
19. El plano 2 2x y z+ + = al interceptar al paraboloide 2 2z x y= + forma una elipse.
Encuentre los puntos de la elipse que son mรกs cercanos y los mรกs lejanos al origen.
Rpta. Mas cercano 1 1 1
, ,2 2 2
, mรกs lejano ( )1, 1,2โ โ
20. Trazar un plano de modo que pase por el punto ( ), ,a b c y que el volumen del tetraedro
recortado por dicho plano del triedro coordenado sea el menor posible. Rpta. 3x y z
a b c+ + =
P รก g i n a 18 | 22
INTEGRALES DOBLES
Calcule las siguientes integrales iteradas
1. ( )2
3 5
3 42
ydy x y dx
โ โ+ Rpta. 50.4
2. 2 2
3
1 0
x
xy dydx Rpta. 42
3. 22 4
2 2
0 0
y
x y dydxโ
+ Rpta. 4
3
4. 21
0 0
xy
ye dxdy Rpta. 1
2
5.
2
2
2 3
0 4
xe
xxdydx
โ Rpta. 43 25
2 6e โ
6. ( )
2 2 22 4
0 0
x x ye dxdy
โ โ +
Rpta. ( )414
e โโ
7. 1 3
0 2
xx y
xe dydx+
Rpta. 4 31 1 1
4 3 12e eโ +
8. 2 20
a a
x
xdydx
x y+
Rpta. ( ) 212 1
2aโ
Calcule ( , )R
f x y dxdy para las siguientes reglas ( , )f x y y sobre R :
9. ( )1
4 2( , ) 1f x y xโ
= โ ; ( )1
, 0 ,02
R x y x y x
=
Rpta. 12
10. ( , )f x y x= ; ( ) 2, 0 4 ,0 2R x y x y y= โ Rpta. 16
3
11. 2
( , )4
senxf x y
sen y=
โ; ( ), 0 ,0
2R x y x y x
=
Rpta. 1
ln32
12. ( , ) secf x y y= ; ( ), 0 1,arctan4
R x y x x y
=
13. 1
22
0cos 1 cos
arcsenyx xdxdy
+ Rpta. ( )12 2 1
3โ
14. Sea 4
1
senxa dx
x= , calcular en funciรณn de a , el valor de:
1 2 1 4 3 4
0 1 0 2 0 1y y
senx senx senxdxdy dxdy dxdy
x x x+ ++ + Rpta. cos4 cos1 aโ + +
P รก g i n a 19 | 22
ORDEN DE INTEGRACIรN
Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integraciรณn
1. ( )
4 2
23 1
1dx dy
x y+ Rpta. ln 25
2. 2
1 1
20 0 1
xdx dy
y+ Rpta. 12
3. 2
2
1 20 1
x
x
xdx dy
y+ Rpta. 1
24
4. 21 2
0 2
y
xdx e dy Rpta. ( )41
14
e โ
5. ( )2
3 5
3 42
ydy x y dx
โ โ+ Rpta. 50.4
6. 21 1
2 2
0 01
x
dx x y dyโ
โ โ Rpta. 6
Invertir el orden de integraciรณn en:
7. 1 2 2
0 0 1 0( , ) ( , )
x x
f x y dxdy f x y dxdyโ +
+ Rpta. 1 2
0 2( , )
y
yf x y dxdy
โ
โ
8. 0 2 4 4
5 4 0 4( , ) ( , )
x x
x xf x y dxdy f x y dxdy
+ โ
โ โ โ โ โ+ Rpta.
22 4
3 2( , )
y
yf x y dxdy
โ
โ โ
9. 23
4 5 254
0 0 4 0
xx
xdxdy xdxdyโ
+ Rpta. 25
10. 2 4 2
2 2 2 20 22 2
y
y y
y ydxdy dxdy
x y x y+
+ + Rpta. 5
ln2
INTEGRALES EN COORDENADAS POLARES
Aplicando Coordenadas polares, calcular:
1. ( )2 2
2 2
0 0ln 1
R R x
x y dxdyโ
+ + Rpta. ( ) ( )2 2 21 ln 14
R R R + + โ
2. 2 2
2 2
1
1R
x ydxdy
x y
โ โ
+ + , donde: ( ) 2 2, 1, 0, 0R x y x y x y= + Rpta. ( )2
4
โ
3. arctanR
ydxdy
x , donde: ( ) 2 2, 1 9, 33
xR x y x y y x
= +
Rpta. 21
6
4. 2
2 22 4
0 0
xx ye dxdy
โโ โ
Rpta. ( )414
e โโ
5. 2 216R
x y dxdyโ โ , si R es la regiรณn limitada 2 2 4 0x y y+ โ = Rpta.
64
3
6. 2 2x y
R
e dxdy+
, donde: ( ) 2 2, 1R x y x y= + Rpta. ( )1e โ
P รก g i n a 20 | 22
7. R
xydxdy , donde R es la regiรณn en el primer cuadrante acotado por la elipse
2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = Rpta. 2 2
8
a b
8. ( )2 2
R
x y dxdyโ , si R es la regiรณn limitada por: 2 2 4x y+ = ,
2 2 9x y+ = , 1xy = ,
4xy = con 0 x y Rpta. 64
3
TRANSFORMACIONES EN INTEGRALES DOBLES
Emplee las transformaciones indicadas para calcular la integral:
1. 1 1
0 0
yx
x ye dydxโ
+
, Sugerencia: u x y= + , y uv= Rpta. 1
2
e โ
2. cosR
x ydxdy
x y
โ
+ , donde R es la regiรณn limitada por: 1x y+ = , 0x = , 0y = Rpta.
1
2sen
3. 2x y
R
e dxdy+
, donde R es la regiรณn limitada por: 2 4x y+ = , 2 0x yโ = y el eje X.
Sugerencia: Use la transformaciรณn: 2 2x u v= + , y uv= Rpta. 23 e+
4. ( )2 cos
R
y xydxdy
x , si R es la regiรณn limitada por: 2x y= ,
2y x= , 2 4x y= ,
2 4y x= .
Sugerencia: Use la transformaciรณn: 2x u v= , 2y uv= Rpta.
cos4 cos16 cos4 cos1
12 3
โ โ+
5. R
ydxdy , donde R es la regiรณn limitada por: 252
yy
x e= โ + , 2
y
x y e= + , 25y
x y e+ = + ,
2
2
yy
x e+ = , Sugerencia: 2
2
yy
u x e= + โ , 2
y
v x y e= โ โ Rpta.500
9
6. 2 2
R
x y dxdy+ , donde R es la regiรณn en el plano XY, limitado por: 2 2 4x y+ = ,
2 2 9x y+ = Rpta.38
3
P รก g i n a 21 | 22
AREAS DE FIGURAS PLANAS
Calcule el รกrea de la regiรณn limitada por las curvas:
1) y x= , 24 4 1y x= + Rpta.
1
12
2) 2 16 8y x= โ , 2 28 4y x= + Rpta.
326
3
3) 3 2y x x= โ , 36y x x= โ Rpta. 16
4) y x= , lny x= , 1y = , 0y = Rpta. 3
2eโ
5) 4xy = , 8xy = , 3 15xy = ,
3 5xy = Rpta. ln9
6) ( ) 2 2, 0 , cos 24
R x y x x y x x
= +
Rpta. 2 31
2 32 192
+ โ
VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES
1) Calcular el volumen del cilindro limitado por las superficies: 2 2 2x y r+ = , z h= , 0z =
Rpta. 2r h
2) Calcule el volumen del solido limitado por la parte del cilindro 2 2 16x y+ = para 0x
, 0y los planos coordenados y el plano 2 2 8z y x+ โ = Rpta. ( ) 332 16 u+
3) Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados
y el plano 2 6 0x y z+ + โ = Rpta. 318 u
4) Calcule el volumen del solido limitado por superiormente por el paraboloide
2 24 2z x y= โ โ e inferiormente por el plano XY Rpta. 34 2 u
5) Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por las superficies:
2 1x z+ = , x y= , 2x y= Rpta. 4
8 15
โ
6) Calcule el volumen del solido limitado por superiormente por la grรกfica 2 21 4z x y= โ โ
e inferiormente por la grรกfica de 2 24 4 1x y z+ โ = Rpta. 35
16
u
P รก g i n a 22 | 22
CENTRO DE MASA Y MOVIMIENTOS DE INERCIA
1) Encuentre el centro de masa de una lรกmina en funciรณn de densidad y la forma de la
regiรณn limitada por las curvas: y x= , 0y = , 4x = , :ctte Rpta. 12 3
,5 4
2) Encuentre el centro de masa de una lรกmina en funciรณn de densidad y la forma de la
regiรณn limitada por las curvas: x y a+ = , 0x = , 0y = , xy = Rpta. 2 2
,9 9
a a
3) Encuentre el centroide con densidad constante, en la regiรณn del primer cuadrante entre:
0x = , 1x = y entre 2y x x= โ , 2 4y x= Rpta. 43 59
,70 70
4) Encuentre el centroide con densidad constante, en el รกrea del primer cuadrante acotada
por la curva 3y x= y la recta 4y x= Rpta. 16 64
,15 21
5) Encuentre la masa de un plato cuadrado de lado a , si su densidad es proporcional al
cuadrado de la distancia desde un vรฉrtice. Rpta. 42
3
ka
6) Encuentre la masa de un disco circular de radio a , si la densidad es proporcional al
cuadrado de la distancia desde un punto sobre la circunferencia al centro. Rpta. 4
4
k a
7) Calcule el momento de inercia del circulo ( ) ( )2 2 22x a y b aโ + โ = , respecto al eje Y.
Rpta. 43 a
8) Calcule el momento de inercia de la elipse 2 2
2 21
x y
a b+ = , respecto al eje de coordenadas.
Rpta. ( )2 2
4
aa b
+
9) Halle el momento polar de inercia de la regiรณn F en el plano XY limitado por
2 2 1x yโ = , 2 2 9x yโ = , 2xy = , 4xy = , la densidad 1 = . Sugerencia, hacer:
2 2u x y= โ , 2v xy= . Rpta. 8
10) Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipรฉrbola 4xy = y la
recta 5x y+ = , con respecto a la recta y x= . Sugerencia: la distancia desde el punto
( ),x y a la recta y x= es igual a 2
x yd
โ= . Rpta.
316ln 2 9
8โ