República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de IngenieríaMatemática ISemana 2: 17/09/2007 al 21/09/2007
Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 2Continuación tema 1.1. Funciones
1. La siguiente función esta definida por:
f(x) = x² - 9 x - 3
Determine: a) Dominio,b) contradominio de f(x) , y c) Dibuje su gráfica
Respuesta (a) :Cálculo del dominio; por ser función polinómica está definido para todo x que pertenece a los Reales, excepto para x=3
Numerador : x² - 9 implica x Є R
Denominador : x – 3 ≠ 0 entonces
Por lo tanto Domf (x) = R - {3}
Respuesta (b): El contradominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales excepto 6
Respuesta (c ) : Grafica de f(x)
Nota: en x=3, por no estar definida f(x) es ese punto
f(x) =x²- 9 x- 3
f(x) = (x+3) . (x-3) (x+3)
f(x) = x+3 si x ≠ 3
X ≠ 3
x -3 0y 0 3
1
X= -3 entoncesf(x) = x +3 f(x) = -3 + 3 = 0
x = 0f(0) = 0+3 = 3
Igualmente, se puede verificar de la siguiente forma:x = -3
f(-3) = (-3)² - 9 = 9 - 9 = 0 -3 - 3 - 6
x = 0
F(0) = 0²- 9 = - 9 = 3 0 - 3 -3
2. Dada la función f(x) = √ x-4 Determine : a)Dominio b)rangoRespuesta (a): Cálculo de dominio
X - 4 ≥ 0 Dom f(x) = [4,00+]
Respuesta (b) rango [0 , ∞ +)
x 4 6 8y 0 1.4 2
X ≥ 4
2
x = 4f(x) = √ x-4 f(x) = √ 4-4 = 0
x = 6f(x) = √ x-4 f(x) = √ 6-4 = 1.4x = 8f(x) = √ x-4 f(x) = √ 8-4 = √4 = 2
3. Dada la función :
a. Represente gráficamente
b. Di Domf(x) y Contf(x)
c. Determine si es uno a uno
d. Estudie simetria
e. Dé intervalos de crecimiento y decrecimiento
f. Restringiendo el dominio defina una función uno a uno con la misma regla de
correspondencia.
g. De la gráfica, de la función uno a uno.
h. A partir de la gráfica de f(x) obtenga la gráfica de
Solución.
a. Represente gráficamente
3
0,0 4,0
b. Domf(x) = (- ∞, - 1] U [1, +∞) = ; Contf(x) = (- ∞, 0]
c. Función no uno a uno
d. Simétrica respecto al eje y. Función par:
e. Función creciente en (- ∞, -1); Función decreciente en (1, + ∞)
f. Función uno a uno:
g. Gráfica de la función uno a uno de f(x):
h. A partir de la gráfica f(x), obtenga la gráfica g(x).
f x( ) := - x 2 - 1
g x( ) := x 2 + 2 x - 1ê
êúú
Partiendo de la gráfica de f(x) se tiene:
4
Gráfica de f(x) desplazada 1 hacia arriba:
f x( ) := - x 2 - 1 + 1
Gráfica de :
5
Para definir la función uno a uno, se tiene:
Definición:
4. A partir de la gráfica de obtener la gráfica de: ; ;
Solución
6
5. Si f y g son dos funciones tales que, (f o g)(x) = x y (g o f)(x) = x, entonces f y g son funciones inversas. Demuestre esto para las siguientes funciones:
f(x) = 2x – 3yg(x) = (x+3)/2
Resp.
(f o g)(x) = 2((x+3)/2)-3= (2x + 6)/2 – 3= 2x/2 + 6/2 – 3= x
7
Por otro lado(g o f)(x) = ((2x-3)+3)/2
= (2x-3+3)/2= 2x/2= x
6. Para las siguiente funciones f y g. Determine el dominio de la función compuesta
Resp.
7. Una fábrica A paga a sus viajantes 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 500 euros. Otra fábrica B paga 1,5 euros por artículo y 300 euros fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la fábrica B para ganar más dinero que el de la fábrica A?
La cantidad que obtiene el viajante de la fábrica A se calcula así:(I)
La cantidad que obtiene el viajante de la fábrica B se obtiene de:
(II)
Resolviendo (II)>(I) Respondo a la pregunta formulada:
>
Es decir, que vendiendo más de 400 artículos, el viajante B gana más dinero.
8. Dadas dos funciones definidas en los reales por y determinar g(x)/f(x), e igualmente su dominio:
H(x)= , para calcular el dominio de h(x) se debe considerar que el término
debe ser mayor o igual que cero; y que el término debe ser diferente de cero.
8
por lo que el Df= , ya que fuera de este intervalo la
función es menor que cero.
Para tenemos que debe ser diferente de cero, pues se trata del denominador; por tanto:
0 . El dominio de h(x) es la intersección de ambos dominios; es
decir DH(x)= -{- },{ }
9. Hallar el dominio y el rango de la función dada:
Solución
El dominio de esta función es igual al dominio del denominador menos los puntos donde este se anula
Pero x esta en el domino del denominador
Luego el dominio del denominador es
= 2 x -4 =4 x2 = 8 x = 2 ; x = -2
Por tanto, Dom(Y) = (- 2 ,2 ]
Rango:
En está igualdad despejamos x en términos de y.
-2 = (1+2y)2= +2
x2 -4 = + 4
=
9
De ésta igualdad se obtiene que y en el despeje debemos tener también
que pero (y>0 y 1+2y 0 )
ó
(y < 0 y 1+2y 0)
y>0 y 2y -1 y - ½
solución : (0, + )
ó
y < 0 y y
solución : (- -1/2]
Rango (y) = (- , -1/2] U (0, + )
10. En las siguientes funciones determine si es par o impar ó ninguna de las dos.
a) f(x) = x2 (4 - x2 )
b) f(x) =
Una función es par si f(x) = f(-x) y es impar si f(-x) = - f(x)
a) f(x) = x2 (4 -x2 )
sustituyendo x = - x en a se obtiene f(-x) = (-x)2 (4-(-x)2 )
f(-x) = x2 (4-x2) entonces la función es par porque f(x) = f(-x)
b) f(X) =
sustituyendo x = -x en b se obtiene:
f(-x) = entonces f(x) f(-x) no es par
ahora veremos si es impar; debe cumplir que f(-x) = - f(x)
f(-x) =
-f(x) = -
= - - = - la función es impar.
11. Graficar la siguiente función: Hallar el dominio, rango, asuntotas e
intersecciones
10
Solución
Intersecciones
- Intersecciones con el eje y.
Hacemos
- Intersecciones con x
Hacemos
Asintotas
- Asintotas Verticales: Para obtener las asintotas verticales, se despeja y en función de x. Se
buscan todos los valores de x para los cuales el denominador se anula. Si a es uno de estos
valores, la recta vertical por (a, 0) es una asintota vertical.
- Asintotas Horizontales: Para obtener las asintotas horizontales, se despeja x en función de
y. Se buscan todos los valores de y para los cuales el denominador se anula. Si b es uno de
estos valores, la recta horizontal por (0, b) es una asintota horizontal.
Para este ejemplo en específico seria:
- Asintota vertical: para que el denominador sea cero debe cumplirse alguna de las 2
opciones:
despejando x de las 2 ecuaciones se tiene que:
Luego realizamos el cementerio para hacer un bosquejo de la función
-∞ 2 0 2 +∞
x - - + +
11
x-2 - - - +
x+2 - + + +
- + - +
Luego graficamos la función y queda de la siguiente manera:
Cálculo del dominio: generalmente cuando se habla de plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las x, y que nos generan una asociación en el eje de las y.Para este ejemplo en específico seria:
Dominio
Cálculo del Rango: Son todos los valores que pueden tomar la función o valores en el eje de las Y.Para este ejemplo en específico seria:
Rango:
12. Para la función: , hallar el dominio, rango, asintotas, intersecciones y graficar.
Solución
Intersecciones
- Intersecciones con el eje y.
Hacemos
12
- Intersecciones con x
Hacemos
Asintotas
- Asintota vertical: para que el denominador sea cero debe cumplirse lo siguiente:
despejando x se tiene que:
- Asintota horizontal se despeja x en función de y
para que el denominador sea cero debe cumplirse lo siguiente:
despejando y se tiene que:
Luego realizamos el cementerio para hacer un bosquejo de la función
-∞ ½ 1 +∞
1-2x - + +
x-1 - - +
+ - +
Luego graficamos la función y queda de la siguiente manera:
13
Dominio
Dominio
Rango
Rango
14
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