Guiomar Mora de Reyes [email protected]
Margarita Mónica Rey Perdomo [email protected]
Bibiana Cristina Robles Rodríguez [email protected]
CUARTA EDICIÓN PRELIMINAR Bogotá, D.C., enero de 2003
Precálculo una nueva visión
Cuarta Edición Preliminar
© Guiomar Mora de Reyes, Margarita Mónica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodríguez
© Escuela Colombiana de Ingeniería Avenida 13 Nº 205-59
(Autopista Norte kilómetro 13, costado occidental) Fax 6762655 Bogotá
www.escuelaing.edu.co
ISBN 958-8060-26-5
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita de la Escuela Colombiana de Ingeniería
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Cuando hace algún tiempo, varios profesores de matemáticas de primer semestre tomamos la decisión de escribir una guía de precálculo, lo hicimos pensando en que tanto profesores como alumnos pudieran realizar un seguimiento ordenado de los temas, tal como se habían diseñado los cursos, sin necesidad de apegarse al libro adoptado como texto. La decisión no fue fácil. Como siempre, los arúspices de catástrofes nos decían que esa tarea era una pérdida de tiempo, ya que había numerosos libros, nacionales y extranjeros, que cubrían los mismos temas, aunque en diferente orden. Pero eso era precisamente lo que no nos dejaba tranquilos: que algunos profesores se dedicaran a seguir el texto escogido como guía, sin tener en cuenta el trabajo realizado por los coordinadores de la materia en el ordenamiento de los temas. Finalmente, este año se nos aprobó la idea de trabajar en la guía. El grupo se integró con la matemática de la Universidad de Los Andes Guiomar Mora de Reyes y las ingenieras de la Escuela Colombiana de Ingeniería Margarita Mónica Rey Perdomo y Bibiana Cristina Robles Rodríguez (Electricista la una e Industrial la otra), aparte del que escribe esta nota, Ingeniero Civil, pero también con el hobby de las matemáticas desde que era estudiante de la Universidad Nacional hace muchos años. Por cosas del destino, debí retirarme del grupo para atender otras responsabilidades dentro de la Escuela, pero estuve siempre cerca de ellas, apoyándolas en su trabajo intenso y continuo, para hoy, con gran satisfacción y algo de tristeza, apreciar el impresionante resultado de la dedicación y amor puestos en el desarrollo de este libro. Espero verlo impreso pronto en la misma forma como quedó el original, en la cual se destacan los puntos importantes que hay que recordar en cada tema y se hace hincapié sobre los errores que siempre cometen los estudiantes para que no reincidan en ellos. Sólo me queda felicitar a estas tres profesoras que, con ahínco y dedicación, acaban de terminar la primera edición de Precálculo, Una nueva visión, que será el texto para los estudiantes del primer semestre de la Escuela Colombiana de Ingeniería y guía para los profesores que dictan la materia. Ojalá les sirva de ejemplo a otros docentes, que todavía dudan si valdrá la pena escribir un libro de texto, a pesar de los muchos que ya existen en el mercado.
RICARDO QUINTANA SIGHINOLFI
Santafé de Bogotá, 25 de julio de 2000
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I. INTRODUCCIÓN A LA PRIMERA VERSIÓN
PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN es una propuesta para el estudio de Precálculo
diseñado con el ánimo de cubrir los temas de la Aritmética y del Álgebra desde una
perspectiva más moderna.
Aunque la rigidez de los conceptos matemáticos podría absorber cualquier estructura
innovadora, siempre es posible encontrar un camino que permita cumplir con el objetivo del
aprendizaje a partir de los recursos que el entorno nos brinda a la luz de un nuevo milenio.
Si bien los temas tratados en un libro de texto de matemáticas son los mismos que en su
momento cientos de generaciones han tenido a su alcance, las condiciones de los últimos
años exigen una presentación diferente, mucho más dinámica, con ayudas visuales
contextualizadas que ofrezcan al estudiante un sentido de pertenencia a través del
descubrimiento y la creación del conocimiento.
Más que un fin, las matemáticas son un medio de aprendizaje de las diferentes disciplinas y
profesiones. Este libro nace como inquietud de un grupo interdisciplinario en una escuela de
ingeniería en donde más que transmisión de teoría debe imprimirse en el alumno una
inmensa inconformidad que lleve a construir desde el análisis de una situación real.
La vivencia como profesores y estudiantes; como padres e hijos, como profesionales en el
campo laboral y académico nos ha formado con una capacidad de adaptación participativa
aceptando los cambios impuestos por la sociedad, pero con la mayor objetividad, con la
mente abierta y con una actitud de entrega que hace del día a día un nuevo reto de
aprendizaje y de aporte permanente. No hubiéramos concebido un proyecto que ignorara el
v
cambio de percepción en que nos hemos visto involucrados y por supuesto, la visión que del
mundo tienen los jóvenes a quienes finalmente va dirigido el resultado de este gran esfuerzo.
Cada tema en este libro ha sido desarrollado sacando el mayor provecho posible de los
recursos que aunque limitados nos han permitido delinear una primera aproximación de lo
que algún día esperamos cubra las necesidades de una importante población. Estas
necesidades, más que una simple imposición académica, deben entenderse como una
exigencia del mundo moderno que se alimenta de los grandes adelantos científicos y
tecnológicos. Aunque la infraestructura a que se tiene acceso en una sociedad como la
nuestra es bastante modesta, los medios de información nos saturan diariamente de
contenidos que deben recibirse con una actitud analítica dando lugar a la sana discusión.
La ambientación – gran innovación en este trabajo –, se ha concebido como ayuda visual
para que el estudiante haga una interpretación correcta en cuanto a los conocimientos
adquiridos que son necesarios para afrontar un nuevo tópico, la intención con que debe
estudiarse y las recomendaciones pertinentes que deben tenerse en cuenta. Una llamada de
atención como las utilizadas aquí no pretenden crear un “trauma psicológico” en el lector,
sino hacer un alto en el camino para darle a ciertos temas la importancia formal que merece,
así como recordar el cuidado con que deben manejarse los elementos teóricos en los que se
basa el concepto matemático estudiado.
Al estudiante le recomendamos leer entre líneas, sin perder detalle. La lectura ordenada
traerá los mejores resultados, ya que el programa se ha estructurado de manera progresiva
con un desarrollo en espiral. Cuando se plantee una pregunta, interróguese el por qué, el
para qué, hable con su profesor y con sus compañeros, y siempre que estudie, utilice su
cuaderno como si se tratara del diario de un viaje del cual es necesario tener los mejores
recuerdos para contárselos “a los nietos”. Si usted como aprendiz cree que el libro merece
una recomendación, una corrección, un nuevo aporte, no dude en hacérnoslo saber. Muchas
ideas de este libro han nacido como resultado de una clase, de una conversación con otros
profesores, con monitores, con amigos y con muchas otras personas a quienes la vida nos
ha dado la dicha de conocer, y a quienes hoy hacemos público nuestro agradecimiento.
El profesor que recomiende este libro a sus estudiantes como texto para su curso de
Precálculo debe saber que no todos los temas que se encuentran en un libro tradicional son
tratados en éste, ya que en la primera versión se cubren los requisitos mínimos que deben
dominarse antes de enfrentarse a un ciclo de Cálculo. En una edición posterior, seguramente
vi
se considerarán más ampliamente todos estos temas ausentes, por lo cual agradecemos los
aportes que a bien el maestro nos haga llegar.
El uso de la tecnología es un ingrediente definitivo para la realización de un curso moderno,
y aunque el tiempo no nos lo ha permitido para esta primera entrega, sabemos que es
posible alcanzar grandes logros con la ayuda de medios interactivos, puesto que ya hemos
vivido la experiencia de dirigir el aprendizaje con calculadoras y con software especializado,
lo que nos ha dado las herramientas para entregar un material que de ser utilizado con todas
las facilidades requeridas, permitirían concluir este curso con un alcance verdaderamente
actual.
Esta primera etapa es un resultado importante, pero sabemos que falta casi todo por hacer.
Queremos agradecer a nuestras familias por su paciencia, a los buenos amigos y
compañeros por su permanente motivación y ayuda desinteresada. Por supuesto también
agradecemos inmensamente a todas las personas que con sus palabras y actitudes
hubieran querido vernos desistir de nuestra idea, porque con ello nos brindaron cada día un
nuevo motivo para continuar.
II. INTRODUCCIÓN A LA SEGUNDA VERSIÓN
La primera versión de PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN marcó una etapa importante en
el camino que venía recorriendo, desde hacía cinco semestres, la coordinación de Primer
Semestre de la ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA, y en particular, la coordinación
de Precálculo, a cargo de Guiomar Mora. Durante este tiempo, se recogió suficiente
información para desarrollar un primer bosquejo de este enfoque que pretende ante todo dar
solución a las necesidades encontradas en los estudiantes que comienzan su estudio
profesional en esta institución.
Esta segunda versión responde a las inquietudes generadas durante el segundo semestre
de 2000, por parte de los estudiantes y de los profesores que han seguido el estudio de la
asignatura con la ayuda de la primera presentación del texto. Si bien no incluye cambios
sustanciales en el desarrollo de los temas, sí se han hecho las correcciones de errores
tipográficos que se han encontrado y que son tan comunes en las primeras versiones.
Igualmente, se han revisado todos los ejercicios propuestos, se han incluido nuevos y se han
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reordenado de acuerdo con el grado de dificultad. Hacia el final del texto se ofrece además,
la respuesta para todos y cada uno de ellos.
Para el semestre anterior, el libro se dividió en una primera parte que abarcaba los temas de
Aritmética y de Álgebra y una segunda parte dedicada a Trigonometría. La segunda versión
aparece en un solo tomo que inicia en el estudio de los Sistemas Numéricos, en el Capítulo
I, y alcanza el Capítulo XXII, con las Funciones Inversas Trigonométricas. Una próxima
versión muy seguramente tratará temas aún no estudiados o dará profundidad a algunos que
por la limitación del tiempo, y por no ser prioridad para el pensum de la Escuela, no han sido
considerados.
Vale resaltar que el trabajo de las autoras no se ha limitado a la propuesta del estudio de los
temas y de la estructuración del libro, sino que ellas también se han hecho cargo de la
digitación, de la diagramación, y del diseño en general. Todo ello se logró con el uso de las
herramientas ofrecidas por Windows 98 y Windows 2000, las cuales son compatibles con
Winplot, programa ofrecido por R. Parris del Exeter College.
Nuevamente, agradecemos la oportunidad de compartir esta propuesta cuya razón de ser
radica en la discusión que alrededor de ella se genera, puesto que cada idea se convierte en
el inicio de una nueva obra.
A nuestras familias, a nuestros amigos, y aquellas personas de cuya compañía nos hemos
privado para dedicarnos a sacar adelante esta producción, extendemos sentidas excusas y
un inmenso gracias por su comprensión. Este logro también es suyo.
IIIIII.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN AA LLAA TTEERRCCEERRAA VVEERRSSIIÓÓNN
Algunos se preguntarán: Tercera Versión Preliminar?. Sí. Por mucho tiempo nosotras
tampoco lo creímos. Nuestros amigos y familiares se negaban a creer que aún nos quedaran
fuerzas para dejarlos a ellos y entregarnos de lleno a revisar, corregir y completar lo escrito
en el período intermedio del año anterior y en el inicio de éste. Pero de cualquier forma, esto
se convirtió en una necesidad cuando vimos que a lo largo del último año de trabajo,
nuestros estudiantes iniciaron un proceso como nunca lo habíamos visto en otros grupos.
Tal vez los impregnamos de todo lo que para nosotros ha sido producir un libro como el que
hoy está en sus manos.
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Ya en las horas de cierre de la edición, contábamos los meses que llevábamos en esta
travesía que por mucho tiempo fue tan sólo una ilusión, pero que cada día vemos
materializada, y por fortuna, para nosotras, en mejor forma. Detrás de estas páginas hay
días enteros de trabajo dedicados exclusivamente a leer, a conversar, a discutir, a
contemplar estudiantes en sus procesos de aprendizaje y aprendiendo con ellos nuevas
formas de visualizar temas que desde siempre nos enseñaron a ver como recetas
necesarias para lograr un plato no precisamente exquisito, pero sí suficiente para satisfacer
el gusto de los profesores y de los padres.
Entregada la Segunda Versión Preliminar, solicitamos atentamente a todos aquellos
profesores que utilizaron el libro como texto en sus clases, que nos dieran a conocer las
observaciones e inquietudes que a juicio de ellos eran útiles para el mejoramiento del libro.
Por nuestra parte, con nuestros estudiantes, el trabajo diario buscando errores, encontrando
nuevas formas de estudio, nuevas formas de exponer los temas fue definitivo para presentar
hoy este resultado. Vale decir que en este año estuvimos especialmente atentas a todo
aquello que en clase exponíamos cuando la inspiración nos visitaba, pero que antes no
consignábamos con el mismo cuidado ni en el momento oportuno, permitiendo que grandes
aportes se perdieran o que el esfuerzo para reconstruirlos fuera mayor.
Debemos reconocer de manera muy especial todas aquellas observaciones, llamadas de
atención e ideas que por parte del Doctor Álvaro Enrique Pachón nos esperaban diariamente
cuando se escapaba de su Decanatura y nos visitaba en nuestra oficina. Gracias a él,
descubrimos errores que pudimos corregir para esta versión y maduramos muchas de las
ideas que necesitaban de un ambiente propicio o de un cómplice que nos hiciera saber que
nuestro trabajo no era producto de un sueño o de una locura. Su apoyo permanente se
convirtió en motivación para llegar hasta aquí, pues en no pocas ocasiones hubiéramos
querido abandonar todo para recuperar nuestras familias y nuestros antiguos pasatiempos.
Aún falta mucho por hacer, pero lo que nos propusimos con los capítulos iniciales, lo
logramos. Claro, todo es susceptible de mejorar y desde ya estamos trabajando para que la
Cuarta Versión así lo demuestre.
Luego de un año de trabajo, que comprendió mucho más que la producción de esta edición,
sentimos que hemos cumplido con el compromiso que siempre nos ha unido, que nos ha
marcado y que nos ha enseñado que hay que pensar en futuro, que es un reto que se
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construye día a día y que ese es nuestro verdadero deber: descubrir lo que la vida quiere de
nosotras y hacer todo por hacerlo lo mejor posible, aunque mañana a la vida se le ocurra
otra cosa.
Quizá parezca falta de modestia, pero siempre hemos abrigado la esperanza de ver a
muchos jóvenes que viven su aprendizaje con la misma alegría que les puede causar una
serie de televisión o una carrera de Fórmula 1 con Juan Pablo Montoya arrancando en la
Pole Position. Bueno, quizá seamos simples ilusas… pero ya hemos visto los primeros y
aunque no sean muchos, ya constituyen razón suficiente para continuar.
A la Escuela Colombiana de Ingeniería, en particular a su Decanatura de Ciencias Básicas, y
a la Coordinación de Primer Semestre, y a todas aquellas personas que con su paciencia,
compañía y apoyo nos han acompañado en este año, a aquellas personas que nos abrían la
puerta para salir a altas horas de noche de la sede de la ECI, a todas aquellas personas que
nos esperaban hasta tarde en casa, sólo nos resta decirles: MUCHAS GRACIAS.
Guiomar Mora de Reyes
Margarita Mónica Rey Perdomo
Bibiana Cristina Robles Rodríguez
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CCCOOONNNVVVEEENNNCCCIIIOOONNNEEESSS
Durante el estudio del Precálculo con este texto, el lector se encontrará con una serie de figuras y dibujos, que para que logren su objetivo, es necesario que entienda:
i Antes de iniciar el estudio de un tema se requiere conocer el nivel de conocimientos, habilidades y destrezas de los estudiantes, para que tanto profesores como estudiantes, seamos conscientes de los puntos en los que se necesita un mayor énfasis.
j RECUERDE QUE… Antes de iniciar la sección, es importante revisar “la agenda” y recordar lo visto anteriormente, bien sea en capítulos anteriores o en el Colegio.
ALTO!!! No debe seguir la lectura sin antes asimilar una idea que si bien ya fue expuesta, es necesario reforzar. Es frecuente encontrar en este tipo de avisos, señales de aceptación o de rechazo:
Lo que se cataloga como incorrecto se resalta con una “equis”: El procedimiento o la interpretación correcta se confirma con un:
Aparece cuando se hace una pregunta cuya respuesta no es inmediata. Generalmente luego de trabajar ejemplos con algunas características particulares, se plantea un ejercicio que aparenta ser de mayor nivel y merece un tiempo para solucionarlo. Después se comprueba que no es tan complicado como parecía.
)
E
xi
Siempre está apuntando a un detalle en especial.
o Los anteojos reclaman especial atención hacia el detalle al que se está apuntando.
Ejemplo 1 Cuando se plantea un ejercicio como ejemplo, debe culminar con una solución. Para expresar que hemos llegado a “la meta”, se dibuja una bandera, así:
Con este símbolo hacemos referencia al ahorro de espacio que pretendemos hacer en el libro, como contribución a la conservación del medio ambiente. Esto, debido a que en ocasiones es preferible evitar el uso de papel escribiendo procedimientos que el estudiante puede desarrollar permitiendo con ellos que ejercite sus habilidades operativas. &
Ejercicios 1.1
En una sección de ejercicios se encuentran varias convenciones:
Significa que los ejercicios que se encuentran a continuación, consisten en expresiones verbales. Más que un simple trabajo operativo, exige redactar ideas ya sea para explicar una situación o para expresar con palabras lo que se presenta en forma gráfica o algebraica.
La sección de ejercicios que inicia con este icono, requiere una mayor habilidad operativa.
Los ejercicios de esta sección son de mayor nivel que los anteriores, pero las probabilidades de éxito están al alcance de la mayoría.
Estos ejercicios requieren una mayor asimilación de los conocimientos y la habilidad adquirida por los ejercicios iniciales. La sección de ejercicios que inicia con este icono, generalmente se ubica en la parte final de una sección.
V Un ejercicio que esté antecedido por este símbolo, se deberá resolver con la ayuda de la calculadora.
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ÍNDICE GENERAL CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.1 Introducción 21.2 Actividad de Diagnóstico Números Naturales 31.3 Conjunto de los Números Naturales 31.4 Sistema Numérico de los Naturales 51.5 Subconjuntos Especiales en los Naturales 61.6 Orden de las Operaciones 81.7 Conjunto de los Números Enteros 101.8 Sistema Numérico de los Enteros 121.9 Conjunto de los Números Racionales 201.10 Sistema Numérico de los Racionales. 241.11 Números Decimales 261.12 Razones y Proporciones 321.13 Regla de Tres 321.14 Porcentaje 361.15 Conjunto de los Números Irracionales 381.16 Conjunto de los Números Reales 401.17 Sistema Numérico de los Números Reales 401.18 Recta Numérica 421.19 Relaciones de Orden en los Reales 431.20 Notación de Intervalos 451.21 Otros Conjuntos Numéricos 47Ejercicios de Recapitulación 47
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
2.1 Actividad de Diagnóstico 542.2 Conceptos Básicos 552.3 Valor Numérico de una Expresión Algebraica 562.4 Simplificación de Expresiones Algebraicas 572.5 Productos Notables 602.6 Relaciones entre Expresiones Algebraicas. 642.7 Lenguaje Algebraico 66Ejercicios de Recapitulación 69
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON
POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
3.1 Actividad Diagnóstica 743.2 Ecuaciones de Primer Grado en una Variable 743.3 Cómo Resolver una Ecuación. 75
3.4 Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Grado 803.5 Ecuaciones Lineales en Dos Variables 853.6 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones
Lineales en Dos Variables por Sustitución 86
3.7 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Igualación
86
3.8 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Reducción
87
3.9 Inecuaciones de Primer Grado en Una Variable 90Ejercicios de Recapitulación 100
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
4.1 Introducción 1064.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 1084.3 Simetrías en el Plano Cartesiano 1094.4. Representación en el Plano Cartesiano de Puntos a
partir de las Características de sus Coordenadas 112
4.5. Representación Gráfica de Expresiones Algebraicas en el Plano Cartesiano
113
Ejercicios de Recapitulación 115 CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
5.1 Introducción 1205.2 Ecuaciones de las Forma y = mx 1215.3 Ecuaciones de las Forma y = mx + b 1305.4 Rectas Verticales 1365.5 Función Lineal 1375.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables:
Solución por el Método Gráfico 144
5.7 Aplicaciones 1455.8 Solución de Inecuaciones Lineales por el Método
Gráfico 148
Ejercicios de Recapitulación 150 CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
6.1 Actividad Diagnóstica 1566.2 Valor Absoluto a partir de la Interpretación
Geométrica 156
6.3 Ecuaciones Lineales con Valor Absoluto 1636.4 Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto 1716.5 Función Valor Absoluto 176Ejercicios de Recapitulación 182
CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN
7.1 Introducción 1887.2 Factorización 1897.3 Estrategias para Factorizar 189Ejercicios de Recapitulación 194
CAPÍTULO VIII RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE
POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
8.1 Introducción. 1988.2 Definición de Ecuación Cuadrática 1988.3 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por
Factorización 199
8.4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas Completando el Cuadrado
203
8.5 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por las Fórmula Cuadrática
206
8.6 Tipos de Solución de una Ecuación Cuadrática 2088.7 ¿Cómo Expresar una Ecuación Cuadrática como
Producto de Factores Lineales? 209
8.8 Proceso de Reversibilidad 209Ejercicios de Recapitulación 212
CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN
UNA VARIABLE
9.1 Introducción 2169.2 Solución Algebraica 2169.3 Inecuaciones con Valor Absoluto 219Ejercicios de Recapitulación 220
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
10.1 Introducción 22210.2 Ecuaciones de las Forma y= x2 22210.3 Ecuaciones de las Forma y= ax2 22310.4 Ecuaciones de las Forma y = x2 + k 22410.5 Ecuaciones de las Forma y = (x – h) 2 22610.6 Ecuaciones de las Forma y = a(x – h) 2+ k 227Ejercicios de Recapitulación 228
CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO
LINEALES CON DOS VARIABLES
11.1 Introducción 23611.2 Solución Algebraica 23611.3 Interpretación Gráfica 238Ejercicios de Recapitulación 240
CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.1 Introducción 24212.2 Simplificación de Fracciones Algebraicas 24212.3 Operaciones entre Fracciones Algebraicas 24412.4 División de Polinomios 246Ejercicios de Recapitulación 248
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES
ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
13.1 Introducción 25213.2 Solución Algebraica de Ecuaciones 25213.3 Solución Algebraica de Inecuaciones 25513.4 Tablas de Signos 25713.5 Inecuaciones con Fracciones y Valor Absoluto 25913.6 Solución de Sistemas de Ecuaciones 260Ejercicios de Recapitulación 262
CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES
14.1 Introducción 26614.2 Exponentes Racionales 26714.3 Ecuaciones Irracionales en una Variable 269Ejercicios de Recapitulación 271
CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
15.1 Introducción 27415.2 Ecuaciones Exponenciales 27415.3 Logaritmos 27615.4 Ecuaciones con Logaritmos 277Ejercicios de Recapitulación 279
� CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
16.1 Introducción 28216.2 Distancia entre dos Puntos en Plano Cartesiano 28316.3 Circunferencia Unitaria 28316.4 Longitudes de Arco 28416.5 Función Coordenada 28516.6 Función Coordenada par Arcos Especiales 28816.7 Función Coordenada para Múltiplos de Arcos
Especiales 291
16.8 Arcos de Referencia 295Ejercicios de Recapitulación 296
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
17.1 Introducción 30017.2 Función y = sen ( s ) 30317.3 Función y = Asen ( x ) 30717.4 Función y = sen ( x ) + D 31117.5 Función y = sen ( x + C ) 31417.6 Función y = sen ( Bx ) 31717.7 Función y = Asen ( Bx + C ) + D 31917.8 Función y = cos ( x ) 32417.9 Función y = tan ( x ) 32917.10 Función y = cot ( x ) 33117.11 Función y = csc ( x ) 33117.12 Función y = sec ( x ) 333Ejercicios de Recapitulación 334
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON
FUNCIONES CIRCULARES
18.1 Introducción 33818.2 Relaciones de Igualdad en una Variable 33818.3 Relaciones de Igualdad en dos Variables 34118.4 Funciones Circulares para Arcos Dobles y Arcos
Medios 344
18.5 Ecuaciones Trigonométricas. 345Ejercicios de Recapitulación 347
CAPÍTULO XIX RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
19.1 Introducción 35019.2 Definición de las razones Trigonométricas 35119.3 Razones Trigonométricas en el Contexto de un
Sistema de Coordenadas 354
19.4 Aplicaciones en Triángulos Rectángulos 35719.5 Ley de Senos y Ley de Cosenos 36019.6 Problemas de Navegación 365Ejercicios de Recapitulación 367
CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMÉTRICAS
20.1 Introducción 37420.2 Funciones Inversas: Definición 374Ejercicios de Recapitulación 377
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 379
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Uno debe aprender haciendo las cosas: Puesto que aunque uno cree que las sabe hacer, no está seguro hasta que trata” Sófocles
CAPÍTULO I
SISTEMAS NUMÉRICOS
1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS
NATURALES 1.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 1.4 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES 1.5 SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS
NATURALES 1.6 ORDEN DE LAS OPERACIONES 1.7 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 1.8 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS 1.9 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 1.10 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES 1.11 NÚMEROS DECIMALES 1.12 RAZONES Y PROPORCIONES 1.13 REGLA DE TRES 1.14 PORCENTAJE 1.15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES 1.16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 1.17 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES 1.18 RECTA NUMÉRICA 1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES 1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS 1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
CAPÍTULO I
SISTEMAS NUMÉRICOS
1.1 INTRODUCCIÓN Para iniciar el curso de precálculo es necesario aclarar la diferencia entre conjuntos numéricos, sistemas numéricos y sistemas de numeración.1 Los conjuntos numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase. Entre los más comunes, están los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. El sistema más conocido es el formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones de orden entre sus elementos.
Por su parte, los sistemas de numeración son listas de instrucciones o algoritmos para simbolizar los elementos de un conjunto numérico. Es la forma como se simboliza o como se escribe el conjunto numérico dependiendo de la cultura. Ejemplo de estos sistemas es el conjunto de números naturales, que toma diferente forma de acuerdo con la cultura: En la cultura Árabe, se simboliza como 1, 2, 3, 4… que conforma el llamado sistema de numeración decimal. En la cultura romana, se simboliza como I, II, III, IV… y conforma el sistema de numeración romana.
Y Un buen desempeño en precálculo depende en gran parte del correcto uso de los sistemas numéricos, del vocabulario asociado a ellos, de sus operaciones y aplicaciones. Por esta razón, se iniciará este curso con una revisión de los sistemas numéricos.
1 GALLEGO GIRÓN, Gustavo. “Conjuntos numéricos y dificultades de aprendizaje en las matemáticas”.
2 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
1.2 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS NATURALES
i Completar las siguientes proposiciones: 1. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, son llamados _________________ 2. Los números 3,6,9,12,… son _________________ de 3. 3. Los números 1,2,3,4,6,12 son _________________ de 12. 4. Los números 2,3,5,7,11,… son llamados números _________________ 5. Los números 2,4,6,8,10,… son números _________________ 6. Nuestro sistema de numeración es el _________________ 7. Los números 1,3,5,7,9,11,… son números _________________ 8. En 532, el dígito 5 se encuentra en la posición de las _________________ 9. 169 es el _________________ de 13. 10. 27 es el _________________ de 9 11. 64 es el _________________ de 4 12. El más pequeño de los números naturales es el _________________
Encontrar los números naturales que cumplen las siguientes condiciones: 13. Son divisores de 96. 14. Son múltiplos de 7, menores que 100 y
mayores que 65. 15. Los divisores comunes de 24, 36 y 18. 16. Cuatro múltiplos comunes de 9,18 y 36. 17. La suma de los divisores de 36. 18. Son factores primos del número 12.168. 19. El número de divisores de 68. 20. La diferencia entre $5 millones y $350.482. 21. Son números primos entre 100 y 120.
Encontrar: 22. Mínimo común múltiplo de 38, 120 y 45. 23. Máximo común divisor de 18, 48 y 72.
Efectuar las siguientes operaciones: 24. 24634 ÷−×+ 25. ( ){ } ( ) 36183235 ×÷−−+× 26. ( )64325 ×++ 27. )([ ] 13628 −×+÷
i
1.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES La historia de la humanidad muestra que las diferentes culturas han buscado relacionar su entorno a partir de símbolos que con el tiempo han dado lugar al conjunto de los números naturales. En el sistema decimal se simboliza:
j i
{ },...,,,, 54321=N
Se puede observar cómo en este conjunto no existe el cero (0), pues este elemento no es tan viejo como se cree, e incluso no es aceptado por algunas escuelas de matemáticos como
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
elemento de los números naturales y desde el punto de vista físico no existe, pues sería aceptar la existencia del vacío absoluto. Se dice que nuestro sistema es “decimal”, palabra que se deriva del latín décima, que significa diez o diezmo. En este sistema, el cero (0) sí existe no como elemento de los números naturales, sino como símbolo, por lo cual se recurre a él para representar por ejemplo el número diez (10). Los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, son llamados dígitos. La combinación de éstos permite representar cualquier elemento de los diferentes conjuntos numéricos en el sistema decimal. El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil… Además, 10 unidades conforman 1 decena, 10 decenas forman una centena, y así sucesivamente. Ejemplo 1 El dígito 3 en el número 13, indica que se tienen 3 unidades y 1 decena.
El número 236 indica que se tienen 6 unidades, 3 decenas y 2 centenas.
2.379 = 9107100310002 +×+×+× ó
2.379 = 9107103102 23 +×+×+×
2.379 = 9732 ×××
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:
A excepción del 1, todos tienen antecesor y sucesor.
No existe un último número natural. Esta última característica implica que para todo número natural, siempre será posible encontrar un número mayor. Jamás se encontrará “el mayor de todos los números naturales”. Un conjunto del cual no se conoce el número exacto de elementos por no conocer dónde comienza o cuál es su fin, se dice que es “infinito”. Para simbolizar esta característica se utiliza el símbolo . ∞
El conjunto de los números naturales
tiene INFINITOS ( )∞ elementos.
INFINITO ( )∞ es el último elemento del conjunto de los números
naturales.
4 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
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1.4 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES En el conjunto de los números naturales están definidas las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
SUMA: Se simboliza como ba + . Los términos a y b que intervienen en esta operación, son llamados sumandos, y el resultado que se obtiene, ba + , es llamado total, suma o resultado.
RESTA: Se simboliza como ba − . El término a es llamado minuendo, y el término b, sustraendo. En los números naturales no siempre es posible realizar esta operación, ya que se requiere que el minuendo sea mayor que el sustraendo.
El resultado de no existe en los naturales, porque no hay un número natural c tal que c + 9 sea igual a 5.
95 −
MULTIPLICACIÓN: Se simboliza como ba × , que es equivalente a decir:
veces abbbbb +++++ ...
Como se puede observar la multiplicación es una suma abreviada en donde a y b cumplen el papel de factores, y ba × es el producto.
DIVISIÓN Se simboliza como ba ÷ , donde a es el dividendo, b es el divisor y ba ÷ es
el cociente. La división de dos números naturales “a entre b” equivale a encontrar un número tal que Nc ∈ abc =× .
La división no siempre da como resultado un número natural. Así, no existe en los naturales, porque no existe un número natural c tal que
49 ÷94 =×c .
POTENCIACION Se simboliza como , y es equivalente a: ba
veces baaaaa ××××× ...
y se lee “a elevado a la b”, en donde a es la base y b es el exponente.
RADICACIÓN: Se simboliza n a . Donde n es el índice y a es la cantidad subradical.
Esta es una de las operaciones inversas de la potenciación, ya que ésta permite determinar la base, conociendo el resultado y el exponente. Es decir, ban
= es equivalente a . abn =
La radicación es otra operación entre naturales cuyo resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 5 no está definida en los naturales porque no existe un número natural a tal que . 52 =a
LOGARITMACIÓN: Se simboliza como , donde a es la base y b es el argumento.
Esta es otra operación inversa de la potenciación. En este caso, se determina el exponente al que está elevado un número si ya se conoce el resultado. Es decir,
es equivalente a .
balog
cba =log bac =
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.5 SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS NATURALES Dentro del conjunto de los números naturales es posible encontrar elementos que por sus características particulares conforman subconjuntos especiales, como son:
NÚMEROS PARES: Un número natural a es par si se cumple que c2a =÷ con Nc ∈
{ },...,,,, 108642=P .
NÚMEROS IMPARES: Un número natural es impar si tiene un antecesor par y un
sucesor par.
{ }...,,,, 97531=I
MÚLTIPLO: Dado , se dice que c es múltiplo de a y múltiplo de b. cba =×
DIVISOR: Dados , si , ,a b c N∈ cba =× , se dice que a es divisor de c y b es divisor de c. Puede decirse también que c es divisible por a y que c es divisible por b.
Cuando se presenta un caso como 49 ÷ , señalado anteriormente, en el que se decía que su resultado no correspondía a un número natural, puede definirse además del dividendo 9 y del divisor 4, un residuo igual a 1. La forma de definir este último término puede verse en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2 Determinar el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo de la siguiente división: 435 ÷ Es claro que el resultado o cociente de la división es un número que no pertenece al conjunto de números naturales, porque no existe un número Na ∈ tal que . Sin embargo, si se suma hasta encontrar el número que se acerque más 35, se llegaría a 32 luego de sumar 8 veces 4. Lo que falta para llegar a 35 es 3. Se dice entonces que 3 es el residuo de esta división. Esta operación se simboliza así.
354 =×a444 +++ ...
35 4 3 8
DIVIDENDO
COCIENTE DIVISOR
RESIDUO
NÚMERO PRIMO: Se dice que un número natural a es primo si y sólo si tiene únicamente dos divisores distintos: el mismo número y el uno.
Descomponer un número en sus factores primos es expresarlo en el mayor
número de factores primos entre sí. Para descomponer un número en factores primos, es aconsejable seguir un orden: divisiones sucesivas por números primos de menor a mayor, empezando por el 2.
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Ejemplo 3 Descomponer 224 y 504 en factores primos.
224 112 56 28 14 7 1
2 2 2 2 2 7
504252126632171
2 2 2 3 3 7
72224 5 ×= 732504 23 ××=
El procedimiento utilizado para la descomposición en factores primos de un número natural, da lugar a dos conceptos cuya aplicación es de gran utilidad en los procesos de amplificación de expresiones aritméticas, y más adelante, de expresiones algebraicas.:
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más números naturales es el múltiplo más pequeño y común a los números dados. Se simboliza como m.c.m. Para encontrar este número, se debe:
Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor
exponente. Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de: 40, 15, 12, 4:
40 20 10 5 1
2 2 2 5
1551
3 5
12631
2 2 3
4 2 1
2 2
5240 3 ×= 5315 ×= 3212 2 ×= 224 =
m.c.m. es igual a 1205323 =××
MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos o más números naturales es el mayor divisor común a los números dados. Se simboliza como M.C.D. Para encontrar este número, se debe:
Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo 5 Encontrar el M.C.D. de: 24, 30, 18:
24 12 6 3 1
2 2 2 3
301551
2 3 5
18 9 3 1
2 3 3
3224 3 ×= 53230 ××= 23218 ×=
M.C.D. es igual a 632 =×
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.6 ORDEN DE LAS OPERACIONES Con cierta frecuencia se deben efectuar operaciones entre números con signos de agrupación tales como: paréntesis (…), […] , llaves o corchetes {…} ó barras de fracción –, los cuales pueden presentarse independientes o anidados, es decir, cuando se presentan un par de paréntesis dentro de otros. En este caso, se establece un orden y se deben trabajar desde el paréntesis interno hasta el externo, como se ve en los ejemplos siguientes: Si la expresión no tiene signos de agrupación la prioridad de las operaciones es la siguiente, empezando siempre de izquierda a derecha:
Exponentes y raíces
Multiplicaciones y divisiones.
Sumas y restas Ejemplo 6 Efectuar la siguiente operación: ( ) [ ]2 8 5 2 3 4 2+ − − −
El ejercicio presenta dos tipos de paréntesis pero no están anidados. La forma de resolver la expresión es encontrar el valor de las operaciones involucrada en cada paréntesis y luego realizar las operaciones de izquierda a derecha de acuerdo con la prioridad establecida, así:
( ) [ ]2 8 5 2 3 4 2+ − − − =
( ) [ ]2 3 2 3 2+ −
Ahora, dado que no hay exponentes ni raíces, se deben resolver los productos: = ( ) [ ]2 3 2 3 2+ −
= ( )2 6 6+ −
= 8 6−
= 2
Ejemplo 7 Efectuar la siguiente operación: ( )( )2 3 4 7 5 3+ − − + El ejercicio aquí propuesto sí presenta paréntesis anidados, por lo cual se procede resolviendo primero los más internos:
= ( )2 3 4 7 5 3⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= ( )( )2 3 4 2 3+ − + = ( )2 3 5+ = 2 15+
= 17
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Ejemplo 8 Efectuar la siguiente operación: 2318 ÷÷ Como la expresión dada no presenta signos de agrupación, se debe resolver en estricto orden de izquierda a derecha, así:
6318 =÷ Y este resultado, debe dividirse entre 2:
326 =÷
Ejemplo 9 Efectuar la siguiente operación: 3224315 +−×− Si se realiza la operación en orden de lectura occidental, el resultado es:
54224315 3 =+−×− Si se desarrolla la operación en orden de lectura oriental, el resultado es:
3224315 3 =+−×− Si se efectúa la operación teniendo en cuenta las prioridades establecidas, el nuevo resultado es:
9224315 3 =+−×−
Como se observa, se presentan diferencias significativas. De ahí la necesidad de establecer un orden de prioridades, ya que la introducción de los paréntesis no soluciona del todo el problema.
V
Si se desea hacer uso de una calculadora, es necesario ante todo, establecer el orden en que trabaja:
Orden de lectura occidental
Orden de prioridades llamado “orden algebraico” o “lógica algebraica”.
Ejercicios 1.1
Simplificar:
1. ( ) ( ) ( )[ ]231427250 −+−+−+ 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }10123816+21346250 −−+−+−−+ 3. ( )[ ] ( ) 1578911 +−÷−+
Hallar el M.C.D. de: 4. 18,12, 6 5. 22, 33, 44 6. 30, 42, 54 7. 54, 76,114, 234 8. 425, 800, 950
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Hallar el m.c.m. de: 9. 5, 10, 40, 80 10. 8, 10,15, 32 11. 16, 54, 114
Completar la siguiente tabla con expresiones equivalentes: 12. Potencia Radical Logaritmo
3225 = 51253 = 382 =log 62554 = 114 = 8192 = 864 = 3100010 =log
En la expresión 7 colocar paréntesis de manera que su resultado sea: 24102
175 15
0. 7352 ×× 21. 523 10271030 ×=×
÷−+×
13. 17 14. 10 15. 28 16. 22 17. 40
Decir si es verdadero o falso y justifique su respuesta:
es c . 18. uadrado perfecto es múltiplo de
289 19. y
El M.C.D. de es 125
35 ×2
1 .7 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números naturales no permitió representar todas las situaciones de la humanidad como las temperaturas “bajo cero”, profundidades bajo el nivel del mar, pérdidas de dinero, entre otras, y fue necesario ampliar la cantidad de símbolos para representar situaciones cotidianas. Por esta razón aparece históricamente el conjunto de los enteros, el cual está formado por los números naturales negativos (opuestos de los números naturales), el cero y los naturales.
{ },...,,,,,,..., 3210123 −−−=Ζ
Los elementos de un conjunto numérico pueden ser representados sobre una recta en la que cada elemento tiene asociado un punto, y se le llama recta numérica. En ésta recta se ubica arbitrariamente un punto que corresponda al cero (0) que toma el nombre de punto de origen, y otro cualquiera a la derecha para representar el uno . La longitud del segmento entre y es la que determina la escala unidad.
(1)0 1
wjx
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La escala unidad puede interpretarse como la distancia que hay entre dos enteros consecutivos cualesquiera. Al repetir dicha escala hacia la derecha permite ubicar los puntos correspondientes a los enteros positivos, y, repitiéndola hacia la izquierda del 0 se localizan los puntos correspondientes a los enteros negativos.
adEscalaUnid
PositivosNegativos
0 1-1-2 2
El número entero 2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la derecha del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él. El número entero –2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la izquierda del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él.
En conclusión, un número entero positivo, se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la derecha a partir del cero tantas unidades como lo indique el número. De manera similar, un número entero negativo se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la izquierda a partir del cero tantas unidades como el número indique. Como para representar en la recta numérica el número 2 fue necesario avanzar 2 unidades a la derecha del cero y para llegar al –2 se retrocedieron 2 unidades desde el mismo punto, se dice que –2 es el opuesto de 2 y viceversa. Aquí cobra sentido lo dicho anteriormente acerca de incluir en los enteros: los naturales y sus opuestos. Lo que significa que el opuesto de un entero positivo es un entero negativo, y el opuesto de un entero negativo es un entero positivo.
Sin embargo, surge una inquietud: Si el cero es el número que se toma como referencia, pero el cero es un entero, cuál es el opuesto del cero?
nde
2 unidades a la derecha
adEscalaUnid
adEscalaUnid
0 1-1-2 2
adEscalaUnidadEscalaUnid
0 1-1-2 2
2 unidades a la izquierda
E
E
Dado que el cero es siempre el punto de partida para avanzar tantas unidades como sea necesario, si se parte de éste no es necesario desplazarse a la derecha para llegar a él. De la misma manera, no esecesario desplazarse hacia la izquierda para llegar al “opuesto”, puesto que jamás se hizo esplazamiento alguno para llegar a su correspondiente número positivo. Se puede stablecer entonces que el opuesto del cero es él mismo.
)
SCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 11
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Ejemplo 10 El opuesto de 3 es 3−
El opuesto de -4 es 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
Antes de introducir el estudio del Sistema Numérico de los Enteros, vale la pena resumir las características de los enteros como conjunto numérico:
No existe un último elemento.
No existe un primer elemento.
Todos tienen un antecesor.
Todos tienen un sucesor.
Todos los elementos tienen un opuesto.
El opuesto del cero (0) es el mismo cero (0).
Así como se estableció que el conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos se puede decir lo mismo del conjunto de los números enteros, puesto que no se puede conocer el número exacto de elementos que lo conforma. En el conjunto de los números enteros también es posible diferenciar subconjuntos formados por elementos que comparten características particulares. Pueden considerarse por ejemplo, los números pares, los impares, los múltiplos y los divisores conservando la definición presentada para ellos dentro de los naturales, pero ampliando su acción sobre todos los elementos del conjunto de los números enteros. Sólo hay un subconjunto con aplicación exclusiva dentro de los enteros positivos y es el de los números primos.
1.8 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS Las operaciones definidas para los números naturales son válidas en el conjunto de los enteros, pero se presentan situaciones adicionales al incluir el cero y los negativos.
La suma de dos números enteros está definida para cualquier par de elementos del conjunto y su resultado es un número entero.
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Ejemplo 11 Sumar 2 y 3: Se sabe que . Para confirmar el resultado se puede usar la representación de la suma en la recta numérica así:
532 =+
Se toma el cero nuevamente como número referencia; como el primer termino de la suma es 2, se debe avanzar dos unidades a la derecha de él, y luego 3 unidades adicionales hacia la derecha, dado que el segundo término es 3 (positivo). unidades 3unidades 2
532 =+
-2 -1 0 1 2 4 5 6 73 8
El resultado 5 se puede ver en la recta numérica contando las unidades que hay entre el cero y el punto final después de los desplazamientos que representan la operación.
Ejemplo 12
Sumar 3 y –5: En este caso se suma un entero negativo a uno positivo, lo que en la recta numérica se representa desplazándose desde el cero 3 unidades hacia la derecha (avance) y luego desplazándose 5 unidades hacia la izquierda (retroceso) puesto que el segundo término, –5, es negativo.
( ) 253 −=−+
-4 -3 -2 -1 0 2 3 4 51
unidades 3
unidades 5
6
El punto final se ubica 2 unidades a la izquierda del punto cero (0), lo que indica que el resultado de sumar 3+(–5) es –2.
Ejemplo 13 Sumar –7 y 4
El punto final después de los desplazamientos es –3, por lo tanto –7+4= –3 347 −=+−
-8 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2-3
unidades 4
unidades 7
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
La resta entre dos números enteros puede expresarse como la suma del primer entero con el opuesto del segundo. Su resultado es un número entero.
( )baba −+=−
En la expresión 8–2 el signo “–“ representa la operación resta entre 8 y 2.
En la expresión –5 el signo “–“ representa el opuesto de 5.
En la expresión –2+8 el signo “–“ representa el opuesto de 2. Por lo tanto la operación indica que al opuesto de 2 se le debe sumar 8.
Se debe tener especial cuidado con el uso de las calculadoras ya que hay
algunas que diferencian el “–“ de el opuesto de un número (número negativo) y el “–“ de la operación resta; y, hay otras que no lo hacen.
La multiplicación de dos enteros da como resultado otro número entero. En los
siguientes ejemplos se retomará la suma abreviada, establecida en los números naturales, para concluir qué ocurre en diferentes casos.
Ejemplo 14
Multiplicar 3 por 4 se puede escribir 43× lo que es igual a decir 3 veces 4, o sea 4+4+4. Se puede representar en la recta numérica así:
1244443 =++=×
-2 -1 13 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
Ejemplo 15
Ahora si se quiere multiplicar 3 por –4 es sumar 3 veces –4.
( ) ( ) ( ) ( ) 1244443 −=−+−+−=−×
-14 -13 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-12
Ejemplo 16
¿Qué pasa si lo que se quiere hacer es multiplicar 43×− ? No tiene sentido hablar de “sumar –3 veces 4”. En este caso, el signo “–“ significa el opuesto de . 43× Ya se vio en el ejemplo 10, 1243 =× , y como el opuesto de 12 es –12, el resultado de
es –12. 43×−
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Ejemplo 17
Y ahora, qué resultado se obtendrá al multiplicar 43 −×− ?. Aplicando el mismo razonamiento del ejemplo 12 se tiene que 43 −×− es el opuesto de
. Como el resultado de 43 −× 43 −× es –12 y el opuesto de –12 es 12, entonces 1243 =−×− .
La multiplicación en los enteros da lugar a la definición de las siguientes propiedades:
El producto de dos números con signos iguales, es un número positivo. Ver ejemplos 10 y 13.
El producto de dos números con signos diferentes, es un número negativo. Ver
ejemplos 11 y 12.
Propiedad multiplicativa del cero (0): Para cualquier entero a, se tiene que al sumar a veces 0 el resultado es 0 . Por lo tanto:
00 =×a
La división entre dos números enteros ba ÷ equivale a encontrar un número c tal que
. abc =×
Para resolver , debe encontrarse un número entero que multiplicado por 2 de cómo resultado 6. Ese número es el 3.
26 ÷
Si se quiere dividir el cero (0) entre un número entero a, debería hacerse el mismo razonamiento: ¿cuál es el número que multiplicado por a da como resultado cero (0)? Por supuesto, el único que cumple con esta condición es el cero (0). Por lo tanto,
0 0a÷ =
Puede seguirse el mismo procedimiento para resolver por ejemplo ? … Claro: basta encontrar un número entero que al ser
multiplicado por cero (0) de 3, pero… cuál es ese número?. De acuerdo con la propiedad multiplicativa del cero, ese número no existe. Se dice entonces que la división por cero no está definida.
E
)
03 ÷
Ahora, existe un número entero que multiplicado por 0 de 0?. Sí: el 3, el 5, el –3, el 8.432, entre muchos otros. Como puede observarse, no es un único número el que cumple con la condición. Por lo tanto, la operación 00 ÷ no está determinada.
La potenciación, tal como se definió en los números naturales, ,
con el cero y los enteros negativos como nuevos elementos, puede presentar la siguientes situaciones, dependiendo de la posición que éstos ocupen:
ba = veces b
aaaaa ××××× ...
Un entero negativo elevado a una potencia par es positivo. Un entero negativo elevado a una potencia impar es negativo.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 15
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
( )33 22 −=− = ( ) 82 3 −=− ( ) 1622 44 =−=−
Un entero elevado a un número negativo es el recíproco de éste número elevado a la
potencia dada positiva. Simbólicamente puede expresarse como: Si, ( )
333 110
aaaa =÷=≠ −,
Cabe anotar que este resultado no siempre pertenece al conjunto de los enteros. Ejemplo 18 Con base en la definición, escribir y 35 − 25 −
− sin exponentes negativos:
33
155
−=
22
155
−− = −
o El signo negativo no está elevado a la potencia –2.
Cero elevado a un número entero positivo da como resultado cero. +∈= Znn ,00
Un entero diferente de cero elevado a la cero es uno, lo que simbólicamente, puede
expresarse como: Si 0≠a , entonces, 10=a
Operaciones entre potencias: Algunas operaciones aplicadas a potencias tienen
formas equivalentes, pero antes de enunciarlas es necesario llamar la atención sobre las situaciones arriba mencionadas, ya que puede ocurrir que la potencia no esté definida en el conjunto de los enteros.
En el cuadro que se muestra a continuación se presentan las operaciones que se establecen para potencias, y las condiciones que deben cumplirse para que su forma equivalente esté definida en el conjunto de los enteros. Sean ,, Znmb,a, ∈
Operación Condiciones
mnmn aaa +=× Si y están definidos. na ma
( )nnn baba ×=× Si y están definidos. na ma
mnm
na
aa −= 0≠a
n
n
n
ba
ba ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= 0≠b
( ) nmmn aa ×= 0≠a
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Cero elevado a la cero no está determinado.
10 1 1
10 00 0
00
−= = =
Como se vio, en la definición de la división, este cociente no está determinado.
Ejemplo 19 Encontrar el resultado de:
1. 2562222 85353 ===× + 2. 55555 123
2
3=== − 3. 933
33 246
4
6=== −
4. ( ) ( ) 144124343 2222 ==×=× 5. 27326
26 33
3
3==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= 6. ( ) 6422 623 ==
7. ( ) 51222 932
== 8. 3
31 10
00
−= = no está definido
9. no está determinado. 34 00 −×
124822 23 =+=+ 52323 2222 ==+ +
81
212 3
3 ==− 822 33 −=−=−
( ) 115213 00 ==+ ( ) 11213213 000 +=+=+
( ) ( ) 1132 22 =−=− ( ) 943232 222 −=−=− Ejemplo 20 Expresar en potencias de 2 y de 3 la siguiente expresión ( ) ( )34 246 ×
( ) ( ) ( ) ( )32434 23232246 ××××=×
( ) ( ) ( ) ( ) 34 33 46 24 2 3 2 3× = × × ×
( ) ( ) ( ) 713394433344 3232323232 ×=×××=×××=
En la radicación se pueden presentar las siguientes situaciones:
Si la cantidad subradical es cero y 1>∈ nNn , , el resultado es cero.
00 =n porque 00000
veces=××××
n...
Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es impar, está definida la raíz, aunque su resultado no siempre está en el conjunto de los enteros.
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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es par, no está definida la raíz.
n a con no está definida. −∈ Zn
2164 = porque 1624 =
4 16− no está definida porque no hay un entero que elevado a la 4 dé –16.
24 −=−
( ) 42 2 =− y 44 −≠
Operaciones entre radicales:
Operación Restricciones
nnn baba ×=×
n
nn
b
aba
= Siempre y cuando esté definida la
operación de raíz.
Ejemplo 21 Encontrar el resultado de:
1. 4168282 ==×=× 2. 243
12
3
12===
3. 22222 2222222423216 −××+×=−+
24
4244
2222222
2222222 22222
=
−+=
×−××+×=
−××+×=
38 −×− no está definida
( ) ( ) 243838 =−×−=−×− porque la raíz cuadrada de un número
negativo NO está definida.
743169169 =+=+=+ 525169 ==+
La logaritmación en los enteros se define de la misma forma como se presentó para el
conjunto de los números naturales, como propiedad inversa de la potenciación. Ejemplo 22 Encontrar el valor de: ? =82log
382 =log porque 823 =
18 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
En el ejemplo anterior no se presenta problema alguno porque si bien involucraba números enteros, tanto el 8 como el 2 son enteros positivos. Sin embargo, si se trata de un argumento entero negativo o cero, el logaritmo no está definido. Tampoco se definen los logaritmos para bases negativas. Ejemplo 23 Encontrar el valor de: 1. ? =−1255log
1255−log no está definido, porque no existe un entero n tal que 1255 −=n
2. ? =− 273log
273−log no está definido porque no existe un n tal que ( ) 273 =− n
Ejercicios 1.2
Simplificar:
( )( ) ( ) ( )( )57278461432 −−−+−+−− 2. ( ) ( )( ) ( )30253027 −−−−−−−− 1.
ncia: Escribir en forma de pote 3. ( )( )( )( )( )( )( )2222222 −−−−−−− 4. ( )( )( )( )( )24242 ×−×−−×−×−
42424 ×
5. ( )( )( )( )( )55533 −−− 6. ( )( )( )( )7777 −−−−
iciones e o úmeros es:
M ero. 9. Menor que cero.
s?
CuCuál e
Determinar si los siguientes números son positivos o negativos, sin efectuar cálculos:
( ) 2 ( ) 35− ( ) 4−−
Escribir los siguientes dos términos de cada una de las secuencias dadas: 18. − 5, − 11, − 17, − 23 19. 8, 5, 2, − 1 20. 1, − 3, 9, − 27 21. − 2, 8, − 32, 128
Bajo qué cond l pr ducto de dos n 7. ayor que cero. 8. Igual a c
Responder justificando la respuesta: 10. Cuál es el más pequeño de los enteros no negativo11. Cuál es el entero positivo más pequeño?
. Cuál es el entero positivo más grande? 1213. ál es el entero negativo más pequeño?
. s el entero negativo más grande? 14
15. 5− 16. − 17. 5
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 19
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.9 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Se presenta otro conjunto numérico que al igual que los dos primeros, los naturales y los enteros, surgen por la necesidad de representar situaciones cotidianas: “Yo no puedo comer una torta entera… me como una porción de ella”; “no me quedo en un parqueadero durante 2 horas exactas para poder justificar el pago … el cobro se hace por hora o fracción”; en el automovilismo, las carreras se ganan por diferencias de tiempo de fracciones de segundo…. Todas estas expresiones, porción, fracción, fracciones, hacen referencia a algo más pequeño que una unidad.
Algo más pequeño que una unidad? Acaso se está volviendo atrás?… Si
Ss
r
E
qL
PdccC Dq
Yp
P
m
2
E
)
ya se vio que se pueden representar muchos números sobre una “recta numérica”, por qué conformarse con uno sólo?… o peor aún… con menos de uno??????
í. Como se ve, es una necesidad humana y por lo tanto, requiere una representación imbólica, con base en los elementos de los conjuntos ya conocidos.
&
Para representar las porciones de torta, por ejemplo, debe tomarse como base el número de partes en que se divide y las que se consumen. De esta forma, si se tiene una torta que viene dividida en 10 porciones y sólo hay 7 personas que consumen una porción cada una, se construye una expresión como:
Partes que se consumen 107
Partes en que se divide
n general, una representación de la forma +∈ Zbaba ,, es llamada fracción. El número
ue representa a se conoce como numerador y el representado por b como denominador. a notación
ba es equivalente a . ba ÷
ero sólo funciona con una torta dividida en 10 porciones? Porque la misma torta puede venir ividida en 20 porciones, lo que significa que para que las 7 personas consuman la misma antidad y no se sientan “engañadas” deberían comerse cada una 2 porciones, onsumiéndose 14 porciones en total. Es válido? Cómo puede justificarse este cambio? ómo explicar que es correcto?
ado que las personas están consumiendo lo mismo cuando comen 7 porciones de las 10 en ue se divide la torta inicialmente y cuando consumen 14 si se divide en 20, se dice que
107 y
2014 son fracciones equivalentes
únicamente existen estas dos? Puedo construir otras a partir de la primera fracción? Y a artir de una fracción diferente a
107 también se pueden encontrar fracciones equivalentes?
rimero es interesante ver qué relación existe entre 107 y
2014 . Como se ve, 14 resulta de
ultiplicar 7 (el numerador) por 2, mientras que 20 es el resultado de multiplicar 10 (el
0 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
denominador) por 2. De la misma forma puede encontrarse fracciones equivalentes al multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Por ejemplo, si se multiplica 7 por 5 y 10 por 5 se encuentra otra fracción equivalente a la primera y estaría representando una situación eventual en la que la torta se divide en 50 partes de las cuales los 7 comensales consumen 35:
7 5 35 7 35es a 10 5 50 5 50
equivalente×= ⇒
×
Este proceso de multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se conoce con el nombre de amplificación de fracciones. Hasta ahora se ha trabajado con partes de una torta, pero no es posible hablar de partes de una hora, partes de una pulgada o simplemente partes de una unidad?. Sí. El siguiente ejemplo muestra el manejo de una fracción, cuando se quiere amplificar, independiente que se refiera a tortas o no. Ejemplo 24
Encontrar expresiones equivalentes a 53 por amplificación:
2012
4543
53 =
××=
3018
6563
53 =
××=
159
3533
53 =
××=
5030
105103
53 =
××=
5030
159
3018
2012 === , son expresiones equivalentes para
53 aunque no son las únicas, pues en la
medida en que se cambia el número por el que se multiplica se obtiene una nueva fracción equivalente.
Por otra parte, si no se multiplica sino que se divide tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se dice que se está simplificando la fracción. Una fracción está en su forma más simple cuando el único factor común del numerador y del denominador es el uno (1), lo que significa que son primos entre sí. A éstas fracciones se les conoce como irreducibles. En este libro siempre que se hable de simplificar, se buscará la fracción equivalente que sea irreducible. Ejemplo 25 Encontrar expresiones equivalentes a
3216 por simplificación:
168
232216
3216 =
÷÷= ó
84
432416
3216 =
÷÷=
42
832816
3216 =
÷÷= ó
21
16321616
3216 =
÷÷=
Como se observa se tienen varias expresiones para 21
42
84
3216 === . en donde
21 es
irreducible.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 21
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Amplificar genera infinitas fracciones equivalentes. Simplificar genera finitas fracciones equivalentes.
Ahora, así como se utilizó la recta numérica para representar los números enteros, pueden representarse las fracciones sobre ella? No es tan difícil como parece. Primero es necesario dividir la escala unidad en tantas partes como lo indique el denominador y avanzar tantas partes como diga el numerador. Para el caso de
107 , se divide la escala unidad en 10 partes y avanza desde el cero a la
derecha 7 partes. Finalmente se asocia la fracción con un punto sobre la recta numérica que se ubica a siete décimos de unidad desde el cero (0). El punto corresponde entonces al número
107 .
unidad la de
107
unidad Escala0-1 1 2
Casos como este en que se representan partes de la unidad, es decir donde el denominador es mayor que el numerador son conocidas como fracciones propias. Por ser equivalentes
107 y
2014 , puede decirse que ambas son fracciones propias?. En ese
caso cómo se visualiza su equivalencia? Efectivamente, son fracciones propias. Como se observa en el gráfico anterior, el punto asociado queda ubicado entre el 0 y el 1, y por ser equivalentes debe esperarse el mismo resultado para
2014 :
unidad la de 2014
unidad la de 107
0 1
Si se quiere representar una fracción cuyo numerador es mayor al denominador, por ejemplo,
38 , cómo utilizar la recta numérica?:
partes 8
1 2 30-1
o La escala unidad está dividida en tres partes.
22 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Como se ve, al punto final se ha llegado luego de avanzar 2 unidades completas y 2 partes de la unidad (que ya se ha dividido en tres) a la derecha del cero (0). Los fracciones que representan más de la unidad, es decir donde el numerador es mayor que el denominador son conocidas como fracciones impropias Cómo simbolizar esta nueva situación? Las fracciones impropias se pueden representar también como números mixtos que para el caso de
38 corresponde a
322 :
322
38 =
432 =
432 +
432 =
432×
Quiere decir que una fracción con denominador 1 como es
15 , es una fracción impropia? Y si
equivale a decir , no se está hablando de un entero? 15 ÷ Correcto. Finalmente se trata de tomar un conjunto de unidades “divididas en una sola parte”. Por lo tanto, se entiende que todos los enteros están incluidos dentro del conjunto de las fracciones:
155 =
Retomando la definición de fracción, por qué se impone la condición de ser a y b enteros positivos? Puede ocurrir que uno de ellos sea negativo?… en ese caso, a qué corresponde? Qué representa? De la misma forma como en el conjunto numérico de los enteros se mostraba cada número negativo como el opuesto de un número positivo, y viceversa, puede encontrarse un opuesto sobre una recta numérica para cada fracción. El conjunto conformado por todas las fracciones y sus respectivos opuestos es llamado Conjunto de los números racionales. Ejemplo 26 Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de
23−
El opuesto de 23− es
23
4-4 27−
25− -2
23− -1
21− 0
21 1
23 2
25 3
27-3
Un número racional es aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero. Escrito en notación de conjuntos se puede expresar como:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≠∈∈= 0y bZbZa
baQ ,
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 23
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Toda fracción lleva implícita una división, por lo tanto, de acuerdo con lo establecido en los enteros, es válido afirmar que:
03 NO está definido
00 NO está determinado 0
30 =
Para el conjunto de los racionales también se destacan características especiales, como son:
No existe un último elemento.
No existe un primer elemento.
Ninguno tiene un antecesor
Ninguno tiene un sucesor.
Entre dos racionales siempre existirá otro racional. Esta característica se conoce con el nombre de densidad.
1.10 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES
La suma y la resta se define para dos situaciones:
Para racionales con igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Para racionales con diferente denominador, se debe buscar un común denominador
(mínimo común múltiplo de los denominadores) y luego amplificar cada una de las fracciones y seguir el procedimiento seguido con racionales con igual denominador.
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=+
55
32
33
51
32
51
1513
1510
153
32
51 =+=+
83
32
51 =+
813
8103
32
51 =+=+
La multiplicación se define como el producto de los numeradores para el nuevo
numerador y el producto de los denominadores para el nuevo denominador.
La multiplicación de dos fracciones debe interpretarse como una fracción de fracción, así:
25
1251
15
215
21 =
××=×=×
Por lo cual en este caso podría decirse que “ cinco medios ” equivale a tener “la mitad de 5” .
De la misma manera, para encontrar los 32 de 12, debe multiplicarse 12
32 × :
818
324
112
3212
32 ===×=×
Fracción recíproca es la que se obtiene al transponer numerador y denominador. Así, la fracción recíproca de
32 es
23 .
24 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La división es el producto de la fracción que se va a dividir (dividendo) por la recíproca de la fracción por la que se divide (divisor).
Debe resaltarse que en este sistema numérico, las operaciones ya mencionadas dan como resultado otro número racional.
La potenciación y la radicación conservan en los números racionales las propiedades definidas en el sistema numérico de los enteros.
Se define raíz n-ésima de un número “a” como: nn aa1
= , con n entero positivo mayor que 1. El conjunto de todos los números de la forma
n1 constituyen un subconjunto de
los racionales Q.
Aparece de esta forma una extensión de las potencias a exponentes racionales, donde las propiedades ya conocidas son válidas.
¿Tendrá sentido hablar en forma general de exponentes de la forma p , con p y q enteros, q ≠ 0?
A
Ejerc
1. (13. [
5. (
7. −
10. 1
ESCUE
E
qLa respuesta es afirmativa puesto que algebraicamente puede interpretarse como:
( ) ( )qqpqp
qp
aaaa ===× 11
p
demás: pq
pq
pqq
p
aaaa ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛===
× )( 11
)
o Siempre que
( )q pq aa y
exista.
Sean +∈ Zqp,
( ) q pqpqp
qp
aaaa −−×−−
===11
Sean +∈ Zqp,
q pqp
aa−−
= Es incorrecto porque no es > 1 qZq −⇒∉− +
icios 1.3
Resolver y simplificar:
) ( )( )54224 −÷× 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( 218694210549 +÷×+÷−+÷− ) ( ) ( )] ( )132257263833 ÷÷÷÷÷ 4. ( ) ( ) ( )15827348536 ÷÷÷×÷
) ( ) ( )( ) 65954332 ÷+÷−÷×÷ ( ) 6. 61
21
32
25
23 −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
151
53
31
311 8.
( )812
5146+−− 9. ( )1
4313
41 −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
248
1215
40 −− 11. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ×⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
14190
451
18011 12. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
13610
325
LA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 25
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
13. ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−
8102 14. ( ) ( ) 52
10151 −××⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −×− 15.
156
25 ×
16. 303
204
125 ×× 17. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ÷÷⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
52
58
325 18.
158
54
21
23
21
÷
+
19.
41
31
21 +
20. 10
10001
1001
101 ++
21.
3221
31
31 21
−+
22. 154
32
53 534 +− 23.
2
538 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − 24. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+×
−−
−
−×
−
34362
492
71
11
11
11
11
61
31
61
51
25.
411
4231
−+
+ 26.
6
21 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
27.
813
1251
++
+
28. 5461
11513
22
×−×
×+× 29. ( )( )( )( )33
22
256
459
−
− 30. ( )( ) ( )4253 777 −××−
1.11 NÚMEROS DECIMALES
J El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que
de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil…
10 unidades conforman 1 decena, 10 decenas forman una centena, y
así sucesivamente. Cuando se estudiaron los naturales se estableció un significado para cada uno de los dígitos que componen un número, dependiendo de la posición que ocupe en él. En un número como 425, puede decirse que hay 425 unidades, o puede decirse que hay 5 unidades y 42 decenas o puede decirse que se tienen 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Pero así como una decena está compuesta por 10 unidades, cómo expresar una unidad que se divide en 10 partes? Más aún, cómo expresar cada una de esas 10 partes de la unidad? Esta situación se asemeja a la presentada en la definición de fracción. Entonces no es más lógico utilizar esta simbología para representar las partes de la unidad? Sí. Esa simbología es aplicable, pero también es posible extender el concepto de posición para encontrar una forma equivalente a tales fracciones. Antes de continuar es importante presentar un concepto particular:
s
Fracción decimal es una fracción o un número racional cuyo denominador es una potencia de diez. Las siguientes son fracciones decimales:
.;;;10000
731000235
1001
100122;;
1045
104
26 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Como se ve, 104 es una fracción propia, lo que significa que es menor que la unidad.
Entonces para hablar en términos de “posición”, con base en unidades o decenas, por ejemplo, se utiliza una coma (,)1 que indica que a la izquierda de ella se muestran las partes enteras, mientras que a la derecha está la parte decimal. De esta forma,
104 se escribe en notación decimal, como: 0,4; así mismo
1001 se escribe 0,01.
Se entiende entonces que no hay partes enteras, pero que se tienen 4 partes de una unidad entera en el primer caso y 1 centésima parte de una unidad en el segundo. Cuando se tomó como ejemplo el número 425, se estaba expresando un número con unidades enteras. Pero cuando se tienen además partes de unidad, dado que son más pequeñas que la unidad, es necesario separarlas de la parte entera con una coma (,). Para decir entonces que además de las 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas se tienen 7 décimas partes de la unidad se escribe: 425,7. Esto puede interpretarse como:
425 enteros y 107 de unidad
que recordando la notación de números mixtos se escribiría:
107425 .
Bueno, pero si se hace tanto énfasis en la posición, por qué se llaman números decimales? Tiene algo que ver con lo dicho acerca de los
Lnd
Ce
P
1
E
E
árabes en la sección 1.1.? Acaso no se parece más a lo dicho del diezmo o del diez del que se habló en 1.3? Por qué el 10 es tan importante si hasta el momento sólo aparece cuando se habla de algo más pequeño que la unidad?)
a verdad es que el 10 resultó ser más importante de lo que se pensaba, porque todo úmero es susceptible de expresarse “en términos de 10”. Iniciando con las unidades, las ecenas y las centenas:
Unidades de mil 3101010101000 =××=
Centenas 2101010100 =×= Decenas 11010 = Unidades 0101 =
omo es de suponerse, las cifras decimales pueden expresarse mediante el uso de xponentes negativos, así:
Décimas 11010 −=, Centésimas 210010 −=, Milésimas 3100010 −=,
ero se justifica este uso de potencias? Es más: Puede soportarse de alguna forma?
La coma es utilizada para separar las cifras decimales en el sistema americano, que es el adoptado por los países latinos. En el sistema
inglés, se utiliza para ello el punto.
SCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 27
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Por supuesto: Recordando las operaciones entre potencias se sabe que: mn
m
na
aa −=
Si se tiene a = 10, n=3 y m=5, entonces:
10011010
1010
1000001000 253
5
3==== −−
Hasta aquí, se han expresado unos pocos números. Cómo expresar entonces todos los números? Primero, sería interesante retomar el número 425 del que se decía representaba 425 unidades, ó 5 unidades y 42 decenas ó 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Con esta última interpretación podría decirse que una forma de expresar el número es la siguiente:
425520400 =++
que escrito de otra forma puede ser:
425151021004 =×+×+× .
Pero con la ayuda de las potencias de 10, esta última forma es equivalente a:
425105102104 012 =×+×+× .
Ejemplo 27 Expresar en potencias de 10: 328, 0,86 y 25,03
( ) ( ) ( )2 1328 3 10 2 10 8 10= × + × + × 0
2
2
,,
( ) ( ) ( )0 10 86 0 10 8 10 6 10, − −= × + × + ×
( ) ( ) ( ) ( )1 0 125 03 2 10 5 10 0 10 3 10, − −= × + × + × + ×
Aunque los decimales no constituyen un Sistema Numérico como los naturales, los enteros o los racionales, sí conforman un subconjunto de estos últimos Las operaciones definidas para los racionales son válidas para los decimales, pero requieren un tratamiento cuidadoso: Suma: Al sumar, debe tenerse especial cuidado con la posición que ocupa cada dígito, de manera que se sumen enteros con enteros y decimales con decimales: Ejemplo 28 Sumar 3 65 y 23
⇔=+ 83865233 ,,, 83865233
,,,
+ o Se suman 3 centésimas con 0 centésimas, 2
décimas con 6 décimas y 3 enteros con 5.
Para la resta también se tiene en cuenta la posición de cada dígito y se manejan los signos como se estableció en los enteros.
28 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 29 Restar y 15 de 2,091 ,638 de 12
⇔=− 912091215 ,, 9120912
15
,,−
⇔−=− 37312638 ,, 373
12638
,
,
−−
La multiplicación de decimales debe realizarse como si se tratara de enteros pero en el resultado se coloca la coma contando de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales tengan el multiplicando y el multiplicador. En otras palabras, el número de cifras decimales del resultado o producto es igual a la suma de las cifras decimales de sus factores. El manejo de signos es igual que en los enteros. Ejemplo 30 Multiplicar 0,39 por ,051−
⇔=×− -0,40950,39- ,051
40950513
549390051
,
,,
−
×−
El procedimiento para dividir decimales debe iniciarse igualando la cantidad de cifras decimales con ceros. Una vez iguales el número de decimales, se eliminan las comas y se divide como si fueran enteros. Si el residuo no es cero se dice que la división no es exacta y si se continúa dividiendo, se obtienen cifras decimales colocando una coma en el cociente y agregando un cero al residuo. Se divide nuevamente y el número obtenido corresponderá al dígito de las décimas. Si se quiere obtener más números decimales, se coloca un cero a la derecha del nuevo residuo y se procede a la división hasta alcanzar el número de decimales deseado o hasta que el residuo sea cero. Ejemplo 31 Dividir 1,64 entre 0,5
5016450641 ÷⇔÷ ,,
164 50
0400400
100140
150
−
−
− 3,28
o El cero de la derecha de 140 se agrega para encontrar las décimas y el de 400 para encontrar las centésimas del resultado.
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de un número racional, se encuentra la expresión decimal del número dado, presentándose las siguientes situaciones:
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 29
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
División exacta, cuando el residuo es cero después de un número finito de pasos: ...,250
41 =
División no exacta con cifras repetitivas en el cociente. 8 11428571428577
, .= ..
El conjunto de cifras que se repiten se llama período y los decimales que tienen esta situación se llaman decimales periódicos. Para el caso del ejemplo anterior, el período se identifica con una barra horizontal, así:
1428571571428571428178 ,..., ==
Ejercicios 1.4
Resolver y simplificar: 1. ( ) ( 20300091583613618 ,,,, ÷−+ ) 2. ( ) ( )52348 ,, −×− 3.
80860,
,−
4. ( ) ( ) 957900103010401010
00103
0104
,,,,,
,,++
++ 5. ( )030050
52002500150,,
,,−×
××− , 6. ( )402011 ,, +
7. ( ) ( )384216183
010503250,,,
,,,−+×÷×
8.
Completar la siguiente tabla, dando la respuesta con aproximación a las milésimas:
a B a + b a − b a × b a ÷ b
3,42 8,95
0,63 9,08
20 3,18
78,01 2,94
10,43 7,5
3,14 9,03
66,5 31,02
30,01 49,3
Expresar en forma decimal e identificar el período:
43 10.
716 11.
99233 12.
33349 13.
610 14.
320 9.
Teniendo en cuenta que manejar muchas cifras decimales no es conveniente dependiendo del contexto en el que se esté trabajando, existen métodos para manejar cifras que permiten expresar un número haciendo uso únicamente de aquellas cifras que son representativas. A ichas cifras se les conoce con el nombre de cifras significativas. d
30 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
El primer método consiste en truncar las cifras hasta una determinada posición. En este caso, el número se escribe con las cifras decimales hasta la posición requerida. El segundo método es el de aproximación a determinada posición, caso en el cual la última cifra que se escribe no se encuentra de forma inmediata. Si se requiere expresar un número aproximándolo a una cierta posición, antes de escribirlo se debe analizar la cifra que le sigue a su derecha. Si este número es menor que 5, la última cifra es la que ocupa el lugar requerido, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5, la última cifra del número será el dígito de la posición sumado en uno. Los computadores y demás herramientas tecnológicas utilizan siempre el método de aproximación. Ejemplo 32
Expresar el racional 37
de acuerdo con la condición dada:
1. Como un decimal: El resultado es un decimal periódico: 3 0 428571
7,=
2. Como un decimal truncando a las centésimas: Como la cifra de las centésimas es 2, el decimal truncado es: 3 0 42
7,=
3. Como un decimal con aproximación a las centésimas: Dado que 8, la cifra de la posición de las milésimas es un número mayor que 5, el resultado aproximado del cociente es: 3 0 43
7,= . Esto se entiende si se tiene en cuenta
que 10 milésimas forman 1 centésima. Por lo tanto, el 2 de la posición de las centésimas se aproxima a 3.
Otra forma de manejar un número con muchas cifras decimales, cuando por razones del contexto en que se encuentra todas ellas son significativas, es utilizando la notación científica. Con ella, un número se expresa a partir del número diferente de cero que se encuentra más a la izquierda, escribiéndolo como una unidad, convirtiendo todas las demás cifras en decimales. En realidad el procedimiento que se ha llevado a cabo es correr la coma unas posiciones. Para que el número no pierda su significado, este número resultante se debe multiplicar por una potencia de 10 elevado a un exponente igual al número de posiciones que se ha “corrido” la coma. Este exponente debe ser negativo porque el número original es menor que la unidad. Vale decir que este procedimiento también se puede aplicar a números enteros con muchas cifras significativas caso en el cual se sigue el mismo procedimiento descrito en el párrafo anterior, pero el exponente del 10 debe llevar signo positivo por tratarse de un número mayor que la unidad. Ejemplo 33
1. Un electrón posee una carga de 0,00000000048 unidades electrostáticas. La carga representada en notación científica es de: que es un número más fácil de manejar, ya que el manejo de los 9 ceros decimales puede generar errores operativos.
104 8 10, −×
2. La distancia del Sol a Plutón es de 5.895.000.000 Km. Esta distancia puede escribirse
como Km. 95 895 10, ×
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 31
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.12 RAZONES Y PROPORCIONES Razón es el cociente entre dos números que se comparan. El numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente. Se representa:
ba ó a : b y se lee: “a es a b”
Ejemplo 34 Si se dice que Ana María hace por semana 30 ejercicios de Precálculo y Clara Eugenia hace 45, la razón de problemas es de:
32
4530 =
Lo que significa que la razón de problemas es de 32
Proporción es la igualdad entre dos expresiones que tienen la misma razón. Se representa como:
dc
ba = y se lee: “a es a b como c es a d”
En esta proporción, a y d se denominan extremos, y b y c, medios.
1.13 REGLA DE TRES Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas aumenta la otra ó cuando al disminuir una, se disminuye la otra, manteniendo la misma razón. Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas disminuye la otra. La regla de tres es un método para encontrar una cantidad desconocida a partir de magnitudes proporcionales, es decir encontrar el cuarto término de una proporción si se conocen los otros tres. Se establecen dos tipos de regla de tres:
Regla de tres simple, cuando se busca una cantidad desconocida a partir de una proporción. Puede ser directa, si las magnitudes son directamente proporcionales o inversa, si las magnitudes son inversamente proporcionales.
Regla de tres compuesta cuando se busca una cantidad desconocida a partir de más de dos proporciones.
Ejemplo 35 Si Cristina gastó 2 horas resolviendo 10 problemas de precálculo, cuánto tiempo gastará en resolver 40 problemas que se encontró en un libro de la biblioteca?
32 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Se establece lo siguiente:
Tiempo (horas) Cantidad de problemas resueltos
2 10 ? 40
Al comparar las magnitudes se encuentra que a más problemas, Cristina gastará más tiempo. Por lo tanto, las magnitudes son directamente proporcionales. El razonamiento es:
Si gasta dos horas en hacer 10 problemas, para hacer un problema gastará: horas
51102 =÷
Para hacer 40 problemas gastará: horas84051 =×
Lo anterior se puede resumir en: horas810
240 =×=?
Ejemplo 36
t Para arreglar un jardín, 2 personas gastan 10 días. Si hacemos el mismo trabajo con 6 personas, cuántos días gastarán?
Se establece lo siguiente:
Personas Tiempo (días)
2 10 6 ?
Al comparar las magnitudes se encuentra que a más personas trabajando, se requerirán menos días, por lo tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Se hace el siguiente razonamiento:
Si 2 personas hacen la obra en 10 días, una persona gastará dos veces más de tiempo: días20102 =×
Ahora seis personas gastarán 6 veces menos:
días31días
62días
620620 33 ===÷
Lo anterior se puede resumir en: días31días
310
6102 3==×=?
Ejemplo 37
Carlos Daniel ha programado sus vacaciones de 45 días en la finca y para ello ha comprado 21 litros de aceite para el consumo de 15 lámparas. Al cabo de 20 días se hace necesario aumentar el número de lámparas en 6.Cuántos litros adicionales de aceite deberá comprar para mantener todas las lámparas funcionando durante las vacaciones?
Se establece lo siguiente:
v
Lámparas Tiempo (días) Cantidad (litros)
15 45 21 6 45 – 20 =25 ?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 33
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Esta situación nos permite ver que hay más de una proporción por lo tanto se trata de una regla de tres compuesta, el análisis se efectúa descomponiendo en reglas de tres simples así:
Inicialmente se hará el análisis para dos magnitudes: las lámparas y el consumo de aceite, manteniendo constante el número de días.
Lámparas Tiempo (días) Cantidad (litros)
15 45 21 6 45 ?
Más lámparas consumirán más cantidad, menos lámparas consumirán menos. Por lo tanto, es relación directa.
Cantidad de aceite para 6 lámparas542
15216 =×=
El siguiente análisis se hará para el número de días y la cantidad de aceite consumida por las 6 lámparas:
Lámparas Tiempo (días) Cantidad (litros)
6 45 542
6 25 ?
En más días se requerirá más aceite, en menos días se requerirá menos aceite, por lo tanto es una relación directa.
Cantidad de aceite por día para 6 lámparas3
1445
54225
=×
=
Lo anterior se puede resumir en: litros3
144515
25216 =×××=?
Ejercicios 1.5
Resolver los siguientes problemas: 1. Industrias ACME tiene 120 empleados, incluyendo 15 supervisores. ¿Cuál es la razón
entre los supervisores y el resto de los empleados? 2. Leyendo 8 páginas diarias de un libro se gastan 60 días en leerlo
completamente. Si leemos 12 páginas diarias, ¿cuántos días necesitamos para leerlo?
3. En un dibujo, un insecto mide 1/2 pulgada de largo y una etiqueta dice “aumentado 12
veces". ¿Cuál es la longitud real del insecto?
4. Catorce camellos caminando catorce kilómetros diarios consumen ocho litros de agua. Cuánta agua consumirán veinte camellos caminando veintitrés kilómetros diarios?
5. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días.
¿Cuántos litros diarios podrá suministrar a 40 familias durante 200 días?
34 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
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6. Con 15kg. de hierro se han hecho 420 puntillas de 4 pulgadas. ¿Cuántas puntillas de 3 pulgadas y del mismo diámetro se hubiesen podido hacer con la misma cantidad de hierro?
7. Dos recogedores de café se demoran 6 horas para recoger 5 cargas. Para recoger igual
cantidad y trabajando al mismo ritmo. ¿Cuánto se demoran 5 trabajadores?. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a. Entre más trabajadores más tiempo. b. Entre menos trabajadores menos tiempo. c. Entre menos trabajadores igual tiempo. d. Entre más trabajadores menos tiempo.
8. En un salón de clases hay 36 estudiantes, de los cuales 20 son hombres y 6 son zurdos.
a. ¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres? b. ¿Qué porcentaje de estudiantes son zurdos? c. ¿Cuántos hombres más que mujeres hay en el salón? d. ¿Cuál es la razón entre zurdos y derechos?
9. Con un grifo que tiene un caudal de 14 litros por minuto, se han empleado 48 horas en llenar
un depósito. ¿Cuánto tiempo se emplearía para llenar el mismo depósito sí su caudal fuera de 32 litros por minuto?
10. Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar cierto trabajo. ¿Cuánto tiempo hubiesen
empleado para hacer el mismo trabajo 6 obreros? 11. Para empapelar 6 habitaciones se emplearon 96 rollos de 7m. de largo por 45cm de
ancho. ¿Cuántos rollos de papel de 8m. de largo y 50cm de ancho se necesitarán para empapelar 4 habitaciones de las mismas dimensiones que las anteriores?
12. Para vaciar un estanque se hacen 54 viajes, utilizando un balde de 10 litros. ¿Cuántos
viajes deberán hacerse utilizando dos baldes de 6 litros? 13. Para preparar 1 litro de un farmacéutico especifico se precisa mezclar 250cm3 de A, 470cm3
de B y 280cm3 de C. ¿Qué cantidad debe tomarse de cada disolución para obtener 200cm3 del farmacéutico específico considerado respectivamente?
14.
10 hombres se demoran 8 días para hacer 3/5 de un puente. Si se retiran 8 trabajadores. ¿Cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? 4
15. Con el dinero de la venta de 300 metros de tela a $7.500 cada uno, se pagaron los jornales de 24 obreros que trabajaron 9 horas durante 45 días. ¿Qué cantidad de dinero se necesitará para pagar a 30 obreros que han trabajado durante 8 horas diarias un numero de días igual a los 7/9 de 45?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 35
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.14 PORCENTAJE En la vida cotidiana, hablar de “porcentaje” o de “por ciento” hace parte del lenguaje común. En los almacenes, en los periódicos, en las noticias, es fácil encontrarse frases como las siguientes:
“Hoy, descuentos del 50% por liquidación total” “Por compras superiores a $50.000, reciba un 20% de
Lp
…p
P$dAs E S$ L Q Le
Cpr
3
%
descuento”. “A partir del 1º de enero, el salario mínimo subirá un 12%”.
)a palabra “porcentaje” significa “por ciento” y expresiones como las antes mencionadas ueden leerse e interpretarse como:
Ejemplo Lectura Interpretación Hoy descuentos del 50%
or liquidación total… Hoy, descuentos del cincuenta por ciento por liquidación total
…por estar en proceso de liquidación total en el almacén, por cada $100 que usted compre, paga únicamente $50
or compras superiores a 50.000, reciba un 20% de escuento.
Por compras superiores a 50.000 pesos, reciba un 20 por ciento de descuento.
Si usted hace compras por las cuales deba pagar más $50.000, por cada $100 que registre su cuenta, usted pagará $20 menos.
partir del 1º de enero, el alario mínimo subirá un 12%.
A partir del 1º de enero, el salario mínimo subirá un 12 por ciento.
Por cada $100 pagados en un salario mínimo, el año siguiente se pagarán $112.
jemplo 38
i mi salario mensual en el presente año es de $1.852.000 y me hacen un aumento de éste a 2.222.400, cuál fue el porcentaje de aumento?
a cantidad que me aumentaron fue de 40037000085214002222 .$..$..$ =−
ué porcentaje de mi antiguo salario es $370.400?
a idea es conocer “cuánto salario me aumentaron por cada $100 de mi antiguo salario”. De sta forma se establece una regla de tres como las vistas en la sección anterior.
Dinero Porcentaje
$1.852.000 100% $370.400 ?
omparando las magnitudes se debe entender que a más dinero, corresponderá más orcentaje. lo que significa que las magnitudes son directamente proporcionales. El azonamiento es:
Si mi salario anterior, $1.852.000, corresponde al 100%, a cuánto corresponderá un 1%
1520181000008521 .$..$ =÷
Ahora lo que se debe saber es cuántas veces está $18.520 en los $370.400:
%..$ 2052018400370 =÷
Estos procedimientos pueden desarrollarse en una forma directa así:
%..$
.$? 20
0008521100000370
=×
=
6 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 39 Si pagué $5.000 por concepto de intereses sobre una deuda por la que se cobra el 2.5% de interés, cuál es el valor de la deuda? En este caso, se puede establecer una regla de tres de la siguiente forma:
Dinero Porcentaje
$5.000 2.5% ? 100%
El planteamiento se puede interpretar como: si $5.000 corresponde al 2.5%, a cuánto
corresponderá el 100%?. Si se resuelve en forma resumida, se encuentra que:
00020052
1000005 .$.
.$? =×=
Ejercicios 1.6
Realizar los siguientes ejercicios: 1. Tenía $60 y gasté $55,20. ¿Qué porcentaje he ahorrado? 2. Si me rebajan el sueldo en un 20%, quedo ganando $1.040.000 mensual. ¿Cuánto
ganaba? 3. Mi finca tiene 480 hectáreas. El 35% de la mitad de mi finca la tengo sembrada de caña y el
resto de la finca de frutas menores. ¿Cuántas hectáreas tengo sembradas con frutas menores?
4. Con los $80.000 que tenía compré un vestido de $40.000; zapatos por valor de $30.000 y
camisas con el resto. ¿Qué porcentaje de mi dinero gasté en cada cosa? 5. Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el gobierno autorizó un alza del
15% en los pasajes aéreos.
Ruta Precio Actual Aumento Nuevo Precio
Bogotá-Medellín-Bogotá $345.800 Bogotá-Sta. Marta-Bogotá $423.352
Cali-San Andrés-Cali $525.890 Cartagena-Montería-Cartagena $285.165
6. El mes pasado la administración de un almacén de ropa disminuyó los precios de sus
existencias en un 10%. Este mes aumentó los precios en un 10%. ¿Cuánto pagaríamos este mes por un abrigo que tenía un costo de $75.000 antes de la disminución de precios del mes pasado?
7. En examen de inglés tiene 120 preguntas. Se necesita una calificación del 70% para aprobar. ¿Si Diana obtuvo 80 puntos, aprobó el examen?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 37
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
8. Un vendedor de lotes recibe el 6% de comisión sobre los precios de venta. Si un lote es vendido en $ 38 millones, ¿cuál es la comisión?
9. Si una jarra tiene 100 ml. de agua y se encuentra al 20% de su capacidad, ¿Cuánta agua
habrá en la jarra cuando esté con el 80% de su capacidad?
hhh10. Un ganadero vendió el 36% de sus reses y le
quedaron 160. ¿Cuantas tenía? 11. Es correcto decir que:
%%%
yx
yx =
1.15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Hasta el momento, todos los conjuntos numéricos estudiados han seguido una secuencia lógica: Los naturales hacen parte de los números enteros y constituyeron la base para su definición. De la misma manera, los números racionales se definieron con base en los números enteros y por supuesto, éstos últimos están contenidos en los primeros.
Sin embargo, el estudio de la geometría permitió encontrar situaciones en las que los números ya conocidos no permitían representar medidas reales. Tal es el caso de la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 ó el perímetro de una circunferencia, entre otras. Dado que era evidente su existencia, era necesario definir un nuevo conjunto de números que abarcara todos aquellos elementos cuyas características no permitían incluirlos en los conjuntos anteriores.
G Así como fue posible expresar todo racional como decimal periódico, como por ejemplo,
1428571571428571428178 ,..., == , no podía negarse la existencia de que por la
simple variación de uno de los dígitos, se trataba de un número diferente al ya encontrado. Por su parte, dentro de los números negativos, era posible ubicar cualquier decimal no periódico como . De esta forma se entendió que si hasta el momento se podía asociar un punto sobre la recta numérica a los ya conocidos, había muchos puntos sobre la recta a los cuales aún no se les asociaba número alguno.
..., 57114385714281
235642588997842,−
Todos estos nuevos elementos fueron agrupados en un gran conjunto de números llamados números irracionales que puede entenderse como el conjunto de todos aquellos números que no son racionales, es decir, los decimales no periódicos. Con estas condiciones, se logró encontrar valores aproximados para algunos números irracionales. Los números irracionales más conocidos son:
23731...1,414213562 = ..., 897932384614159265353=π
…= 8459052.71828182e
Otros ejemplos de números irracionales son:
3753 3 π
−− ,,,
38 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Sin embargo, lograr la ubicación precisa de estos números no es tan sencilla. En algunos casos, con ayuda de herramientas geométricas, es posible encontrar el punto sobre la recta numérica asociado a un racional. Este es el caso de 2 .
J El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo con la de su hipotenusa, así:
1
12
Ejemplo 40 Ubicar 2 en la recta numérica. Dado que al formar un triángulo rectángulo con catetos unitarios, el segmento que une los extremos de los catetos, corresponde a su hipotenusa, cuya longitud es igual a 2 . Con esta referencia, se ubica una unidad sobre la recta numérica, luego se levanta una perpendicular de longitud una unidad. Finalmente con un compás se toma la medida de la hipotenusa y se genera un segmento de circunferencia haciendo centro en O. En el punto donde el segmento de circunferencia corta la recta numérica, se encuentra 2 .
1 2
1
0 2
Aunque muchos números irracionales resultan de operaciones con radicales de números enteros, no todas las raíces de estos números son irracionales. Por ejemplo, 39 = ó 39 −= Como se puede ver, tanto 3 como -3 son números enteros y por lo tanto, son números racionales.
Ejercicios 1.7
Ubicar en la recta numérica: 1. 3=M 2. 5=N 3. 24 − 4. 53−
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 39
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Una vez estudiados los números racionales y los números irracionales, estableciendo que un racional no puede ser irracional y viceversa, puede introducirse un nuevo conjunto numérico que contiene tanto a los racionales como a los irracionales, que se conoce con el nombre de Conjunto de los Números Reales y que se representa como ℜ .
1.17 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES Las operaciones de suma y multiplicación definidas para todos los conjuntos ya estudiados, cumplen en los Reales con las siguientes propiedades o axiomas. Para todo real a, b, c, se tiene:
Propiedad Suma Multiplicación
Clausurativa ℜ∈+ ba ℜ∈× ba Conmutativa abba +=+ abba ×=× Asociativa ( ) ( )cbacba ++=++ ( ) ( )cbacba ××=×× Identidad aaa =+=+ 00 aaa =×=× 11
Inverso ( ) ( ) 0=+−=−+ aaaa 111 =×=× aaa
a
Distributiva ( ) acabcba +=+
La propiedad conmutativa cambia el orden de los elementos. La propiedad asociativa cambia la forma de agrupación. Las propiedades asociativa y distributiva requieren de tres elementos
para su aplicación
El elemento identidad es único en el conjunto de los Reales. Existe un inverso aditivo y un inverso multiplicativo para cada elemento
del conjunto de los Reales.
El único real que no tiene inverso multiplicativo es el cero ( 0 ). El inverso multiplicativo se conoce con el nombre de recíproco.
Toda esta teoría acerca de las propiedades que se cumplen en el Sistema de Números Reales, adquieren sentido más adelante, en el estudio del Álgebra, cuya estructura se establecerá con base en ellas. Ejercicios 1.8
Completar la siguiente tabla:
1. Número Inverso Aditivo Inverso Multiplicativo
0
1
− 4,3
22
53−
40 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Determinar, justifique su respuesta:
2. Cuál es el inverso multiplicativo de 32− ? 3. A qué sistema (s) numérico(s) pertenece el número 240 ? 4. 887065 ,, es un número racional? 5. Cuál es el recíproco de 40%? 6. Cuál es el inverso aditivo de π ? 7. Es
722−π positivo, negativo o cero?
8. El número cuantas veces es el número 502 ,− 502 ,− ?
Marque con una X los conjuntos a los que pertenecen cada uno de los números dados:
9. Número ℕ ℤ ℚ I ℝ
1,25
– 21
2−
54
73
4−
π
3 8−
53 +
Para cada una de las siguientes afirmaciones, diga si es falsa o verdadera, y justifique su respuesta:
10. Algunos racionales son decimales infinitos no periódicos. 11. El cociente entre dos números reales es un número racional. 12. Existen algunos números que no son ni enteros ni racionales. 13. Si a, b y c son reales, entonces:
ca
ba
cba +=+
2
14. 0,025 y − 40 son recíprocos. 15. Los números irracionales negativos no son números reales. 16. El 0 es un número racional. 17. ( )( )2223 es un racional. 18.
5642 está entre
76 y
87
19. 3 y 33 son recíprocos.
20. Todo entero es número racional.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 41
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
1.18 RECTA NUMÉRICA La recta numérica mencionada como ayuda para representar los elementos de los conjuntos de números trabajados anteriormente, puede ser utilizada de la misma forma para representar los números reales. Si bien hasta ahora se asociaba a cada elemento de dichos conjuntos un punto sobre la recta, a partir de las características de los números reales, es posible asociar a cada punto sobre la recta un número real. Ejemplo 41 La siguiente ilustración muestra la representación gráfica en una recta numérica del siguiente conjunto: { }10
21
34 ,,,−π−
34−
21
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
10−π
0
Ejemplo 42 Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de cada uno de los elementos del conjunto del ejemplo anterior: El conjunto de los opuestos de los elementos del conjunto dado, expresado en el mismo orden en que se ha presentado el conjunto anterior, es:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−π 10
21
34 ,,,
34
21−
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
10− π
0
Ejercicios 1.9
Localizar en una recta numérica los siguientes números:
1. 27=A ;
511=B ;
43−=C ;
35−=D ;
613−=E
2. %35=F3π−=G
312=H 82,=I 333,−=J
Analizar y resolver el siguiente problema:
3. Un saltamontes brinca a lo largo de una recta numérica como sigue: comienza en 0, salta hacia la derecha una unidad, luego hacia la izquierda dos unidades, luego hacia la derecha tres unidades, luego hacia la izquierda cuatro unidades, derecha cinco unidades y así sucesivamente. Dónde se encontrará después de:
a. 15 saltos? b. 2.000 saltos? c. 2.001 saltos? e. En cuál salto tocará el número +100?
d. n saltos? f. Tocará alguna vez el saltamontes
todos los enteros?
42 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES Vista la representación gráfica de los números reales en la recta numérica, y distinguiendo en ella dos grandes intervalos separados por el cero (0), en adelante será utilizada constantemente para representar situaciones en las que se involucran relaciones de orden entre expresiones. Conocidas las propiedades de la multiplicación y de la suma en el conjunto de los números enteros y racionales, es posible generalizarlos al conjunto de los reales, a saber:
si ó si −+ ℜ∈⇒ℜ∈ -a a +− ℜ∈−⇒ℜ∈ a a
si ( ) ℜ∈×ℜ∈+⇒ℜ∈ℜ∈ +++ bababa y y
Para dos números reales a y b cualesquiera, se cumple una y sólo una de las siguientes situaciones. Esta característica se conoce como el Principio de la tricotomía:
“a es igual a b”, “a es menor que b” ó “a es mayor que b” Cada una de estas situaciones puede interpretarse a partir de su ubicación en la recta numérica de la siguiente manera: Para dos números reales diferentes a, b, ubicados en la recta, se cumple que:
ó a está a la izquierda de b, lo que significa que “a es menor que b”.
a b
ó a está a la derecha de b, lo que significa que “a es mayor que b”. b a
En el conjunto de los números reales, se dice que “a es menor que b” si y sólo si b – a es positivo y se simboliza ( ) 0 a >−⇔<ℜ∈∀ abbba ,, ó si existe un real 0≠c tal que bca =+ Dado que en los reales puede identificarse un orden, se establecen las siguientes propiedades: Propiedad transitiva: Para todo a, b, c, que pertenece a los reales, con a < b y b < c, se cumple a < c.
a<b
a cb
b<c
a<c
Propiedad de orden en la adición: Para todo real a, b, c,
Si a < b, entonces, a + c < b + c. c
a a+cb
c
b+c
43 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Propiedad de orden en la multiplicación: Para todo real a, b, c,
Si a < b, y c > 0, entonces, ac < bc.
c veces a
a axcb
c veces b
bxc
Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc.
Si a < b, y b < c entonces a < b< c, es decir b está entre a y c.
2 < 5 –3 < 0
(2)(– 3) > (5)(–3)
2 < 5 –3 < 0
(2)(–3) < (5)(–3)
Existen otras propiedades a las que no se les da un nombre especial, pero se usan frecuentemente y se cumplen si cambiamos el sentido de las desigualdades.
Si a < b, y c < d, entonces, a + c < b + d.
Si 0 < a < b, y 0 < c < d, entonces ac < bd.
Si a < b, y ab > 0, entonces ba11 > .
A manera de ejercicio, se recomienda realizar la interpretación geométrica de las propiedades. Ejemplo 43
2 < 5 (2)(5) > 0 .
21 > 5
1
2 < 5 (2)(5) > 0 .
21 < 5
1
Si 0 , entonces ba <≤ 22 ba <
Ejemplo 44
0 ≤ 4 < 7
22 74 <
16 < 49
047 ≤−<−
( ) ( ) 22 47 −<−
49 < 16
, >Si a y a entonces 0 0 >> b b ba < .
44 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 1.10
Utilizar los símbolos ”<,>,=” según convenga: 1.
3 5
– 1 5
– 1 – 5
21− – 1
38 3
1
2448 3
2
18− 410
– 10,5 – 3,02
132 + 15
25
76
54 + 70
117
48
51252 +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
234
10135×
−+×
1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS Así como se establece una relación de orden entre dos puntos, es posible definir un conjunto de puntos que por sus características conforman un segmento de recta sobre la recta numérica. Estas características pueden ser descritas en forma verbal, numérica, algebraica ó ráfica.1 g
La forma verbal consiste en una frase que describe las características de todos los puntos en cuestión, haciendo uso del lenguaje común. La forma numérica se relaciona con la llamada notación de intervalos. La forma algebraica se estudiará cuidadosamente en el siguiente capítulo y desde allí se construirán los conceptos del álgebra y de la trigonometría que nos
cuparán más adelante. o
jemplo 45 E En la siguiente tabla se presentan conjuntos de puntos, en notación de intervalos a partir de
ón verbal. una expresiExpresión Verbal Notación de In rvalos te
Números reales entre y –2 3 ( )32;− Números reales entre –2 y 3, inclusive [ ]32;− Números reales entre y inclusive –2 3 ( ]32;− Números reales entre –2 inclusive y 3 [ )32;−
1 STEWART, James. Cálculo, Conceptos y Contextos. “En época más reciente, se ha ampliado la regla de tres (interpretación numérica, geométrica y algebraica) para convertirse en la regla de cuatro al hacer hincapié también en el punto de vista verbal o descriptivo”.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 45
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
Por convención, los paréntesis redondos ( ), indican que los puntos extremos no hacen parte del conjunto. Los paréntesis cuadrados [ ] indican que los extremos sí hacen parte del conjunto. Es importante recalcar que en la notación de un intervalo puede usarse combinación de paréntesis.
Cuando uno de los extremos de los intervalos es ó −∞ ∞ , se utiliza paréntesis redondo, ya que éste no es un número específico.
( ]3−−∞; [ ]3−−∞;
En notación de intervalos el número menor se escribe siempre a la izquierda. [ ]51;− [ 15 −; ]
Ejemplo 46 Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones:
Intervalo Representación Gráfica Notación Tipo
( )21;− Abierto
( )∞− ;3 Abierto
( )2:−∞ Abierto
[ ]13 −− ; Cerrado
[ )41 : Semiabierto
⎥⎦⎤⎜
⎝⎛
49
21 ; Semiabierto
( )01;− ∪ ( ]20; Unión de Intervalos
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 1 2 3 40
0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-4 -3 -2 2 3 4
Ejercicios 1.11
Representar sobre una recta numérica los siguientes intervalos: 1. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
43
41 ; 2. [ ] 52 ;− 3. ( ]13 :−
4. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −∞−
25; 5. [ ]33 ;
0 -1 1
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
46 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Encontrar el intervalo que está representado en cada una de las siguientes rectas numéricas:
10. 11.
6.
10
7.
10
8.
10
9.
10
Representar sobre una recta numérica los siguientes conjuntos:
[ ] ( ]5;23;1 ∪ [ ] ( ]5;23;1 ∩ 12. ( ] ( ]311 ;; ∪∞−
[ ] [ )8323 ;; ∩− 14. ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ 1
43
43
32 ;; ∪ 15. [ ] { }1223 =− xx∩; 13.
1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS Existen otros conjuntos numéricos que por el alcance que se ha definido para este libro de precálculo, no serán estudiados. Sin embargo se hace necesaria su mención, dado que
ueden tener aplicación más adelante. p Los conjuntos numéricos a los cuales se hace referencia se generan para dar solución a un número real que elevado al cuadrado sea igual a –1. y para resaltar su carácter de “no real” se conocen con el nombre de los números imaginarios. Estos, junto con los números
ales dan lugar a los llamados números complejos, re
CAPITULACIÓN EJERCICIOS DE RE
464, 812, 870 2. 98, 284, 392, 1176 3. 36; 84; 120
12, 24, 60 5. 96, 102, 192, 306
egundo.
e los tres números.
Hallar el M.C.D. de: 1.
Hallar el m.c.m. de:
4.
Con los números 38, 108 y 120 encontrar: 6. ro y un múltiplo del sUn divisor del primer núme7. El máximo común divisor d
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 47
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
8. El mínimo común múltiplo 9. Tres divisores comunes de los tres números. 0. Dos múltiplos comunes de los números.
s verdadero o falso y justifique su respuesta:
3. Al descomp 54 en factores primos, se obtienen 2 factores. 14. 200 tiene divisores.
1
Decir si e 11. 555 23 =− 12. 5.000 se puede expresa
oner el número r como 34 25 x
112
Simplificar: 15. ( ) ( ) ( )( ) ( )212601307154 ÷−÷+÷÷÷ 5 16. ( ) ( ) ( ) ( )( )97363512 ÷−÷÷−÷
17.
72423 ÷
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛ −+
910
2768141032 18.
⎝⎠⎝ 9327 306
285
43 ++
19. ( )3212 ×⎟⎞⎜⎛ −×− 20.
6 ⎠⎝
31
51
76
53
11
42
−
+
21. ⎟⎠
⎜⎝
×÷53
3 ⎞⎛
−+
65
28
4121
41
22.
41
2
21
−+
125 +
23. ⎭⎬⎫⎧
⎥⎦⎤⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −÷⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +÷÷
31
32
31
21
41
21 23+ ⎩
⎨ ⎢⎣ 24. +22 21
25. ( ) ( )14965 15 33333 ×÷×× 26. ( )446 − 27. ( )340 × 28. ( ) 423 125 + 2529. ( ) 32 − 30. ( ) 1739 32 +÷ 31. ( )( )[ ] ( )( )[ ]2332 4825 +−−÷+−− 32. ( ) ( ) ) ( ) 240 22222 −− −−+−−−−
33.
( ) (3 −− 1
50020125 −+ 34. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )253 23
2612
×
×× 523
35. 422010
36. 2 37. ( )( ) ( )92 −− ( )
[ ]43
1
02727 34
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
− 38. 222 43 ⎥⎦⎢⎣ +
( )2
9. ( )
72 +
31
21
32636
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛÷ 40. 33 2
831024
87 ÷ 41.
( )
1
1
112
11 5353
531
−
−
−−−
−− ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
42.
Simplificar y dar el resultado expresado en potencias:
( ) ( ) ( )( )[ ]35 2 +−
43. 458 233 ÷−−
⎟⎞⎜⎛−÷⎤⎡
+−⎟⎞⎜⎛−⎟⎞⎜⎛− 41718
52144.
⎠⎝⎥⎦
⎢⎣ ⎠⎝⎠⎝ 348343 ( )( )6234
45. 3002
532
32
32
32
32
32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛÷⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
46. 7654
326
322
324
32 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
8
48 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO
Versión 3 UNA NUEVA VISIÓNSimplificar:
( ) ( ) ( )3
33333
333 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 47.
Realizar los siguientes eje ios: rcic 48. Encontrar el recíproco de 322 + 49. ¿Es posible que un número sea io recíproco? Por qué?
Cusu prop
50. ál es el decimal que representa 91
71 + ?
Decir a que es cada una de la guientes expresiones, a∈ℜ
.
igual s si 51
00 52.
a0 53.
0a 54. 0a 55. a0
o o falso espuesta:
r
Decir si es verdade y justifique su r
56. 16 23=×
33 2525 +=+ 9169 +=+ 57. ×( ) 22 434 58. 3( )
( ) ( ) 34123412 +×+× 60.
=59. 5
4
3333
3333 =++
61. 30 03 =
6 42− 64. ( ) 15 0 −=− .
62.842 66 =+ 63. ( )42 =−
65 34
3 14 −=−
.
Resolver los siguientes problemas:
66 Cuál es el 45% de los 12
240?
Con los números forme dos fracciones diferentes de tal forma que cada una de ellas sea menor qu
7 de
67. 2, 4, 5, 8 e la unidad y la diferencia entre ellas sea máxima.
68. e
70. 200ses. Vendieron 75 el primer mes, 130 el
1. 21 0,18 metros s la altura de la escalera en centímetros?
Un almacén tiene el 20% de descuento en todas sus existencias. ¿Quéconveniente para un cliente, que se aplique 15% por IVA antes o ddescuento?
es lo más spués del
69. En una calle de Bogotá, el periódico El Espectador descubrió un hueco de
forma cúbica. El lado del cubo mide dos (2) metros. Si un centímetro cúbico de tierra pesa (2) gramos, ¿Cuánto pesa la tierra que hay en el hueco?
Los empleados de una tienda de bicicletas establecieron como meta de ventas bicicletas nuevas en un período de tres me
segundo mes, y 125 el tercer mes. ¿Qué porcentaje de su meta alcanzaron?
Una escalera tiene escalones, cada escalón tiene de altura. ¿Cuál e7
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 49
CAPÍTULO I
SISTEMAS NUMÉRICOS39 4
¿Cuántas pueden
3. 50 excursionistas llevan provisiones para 20 días a razón de 3
p?
4. Una seño enía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó
72. Si 5 personas pueden sostenerse durante 28 días con $1.540.000. sostenerse en las mismas condiciones con $1.320.000 durante 60 días?
7
=
raciones diarias. Si las raciones se disminuyen a la tercera arte y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres
7 ra t3
2 para 2
un pastel y 413 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche quedaron?
En una casa el techo es de dos aguas. Si la inclinación de 5. (2) un lado es de 60 grados y la
76.
pasado: El 25% de las mujeres de la ciudad se casaron con hombres de la ciudad, cuales correspondían al de los 1250 hombres que habitaban en la ciudad.
Asumiendo que no
77.
staurante a razón de $1.800 la libra. Si se desperdició
8. Si al pagar una cuota de $15.000 se rebaja el 5% de su valor, cuánto se deberá pagar?
9. Qué es mayor el 40% de 120 o el 30% de 150.
80. 1. Una población de 1.500 habitantes ve aumentado su censo de población durante dos
2. Un comerciante compró 15 libros a $35.000 cada uno. Habiéndose deteriorado 9 de
stos el 10% salió defectuoso. En total que porcentaje salió defectuoso?
5. Para construir 180 m de un canal para aguas lluvias, 15 obreros han trabajado durante
6. Qué es más rentable: invertir $4'800.000 al 7,5% anual o comprar con el mismo dinero una casa de recreo que se puede alquilar por $20.000 mensuales?
7otra es de 70 grados y un gallo que se encuentra en la unión de las dos aguas del tejado pone un huevo, hacia qué lado del tejado caerá el huevo?
En una pequeña ciudad, con el "boom" del petróleo se presentó la siguiente situación al añolos 2,4%
hubo bigamia, cuántas mujeres vivían en la ciudad?
Un pescador recogió 72 libras de pescado en 6 horas. Decidió cortar el pescado en filetes y venderlo a un
reun sexto del total del pescado y el pescador demoró 2 horas en cortarlo. ¿Cuánto dinero ganó por hora?
7 7
Dos descuentos sucesivos del 10% y del 20% equivalen a una solo de cuánto?
8años consecutivos en un 8% y 4,94% respectivamente. Cuántos habitantes tiene al cabo de los dos años? Cuál es el porcentaje de aumento acumulado?
8ellos, tuvo que venderlos a $24.200 cada uno. A cómo tiene que vender los restantes para no perder?
83. En un despacho de 120 repuestos el 5% salieron defectuosos, en el segundo despacho
de 80 repue 84. Tengo 2 tíos paternos y tres tías paternas. ¿Cuántos hijos tuvieron mis abuelos
paternos?
812 días a razón de 10 horas por día; para construir 600m del mismo canal trabajando 8 horas diarias 32 obreros cuántos días se requerirán?
8
50 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO
Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN87.
de Enero, Cuáles serán las dos fechas más próximas en que
. Un árbol en un año pasa de x cm de altura a y cm de altura. Cuál es el porcentaje de
. Una torre de 25,05m de longitud da una sombra de 33,40m. Cuál será la longitud de la
90.
% del tercer tercio (40%), cuanto debe obtener en el próximo examen que vale el 20% para obtener en definitiva del semestre 3,3. Dar la respuesta
91. 0 viviendas. Se llama a un fabricante de números para que ponga
número a todas las viviendas (del 1 al 100). ¿Cuántos números 9 deberá fabricar para
. Se desea dividir tres varillas de 36, 72, 96 cm en pedazos iguales y de la mayor
93.
3 aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 ¿volverán a salir juntos? (El año no es bisiesto).
88
kl m
crecimiento en centímetros?
89sombra a la misma hora. de una persona cuya estatura es de 1,80m?
Si la nota de Precálculo en el primer tercio (30%) es 3,5 y en el segundo tercio (30%) es de 4,0 y lleva 2,5 en el 80
con tres cifras decimales).
En una calle hay 10
realizar su trabajo?
92longitud posible. ¿De qué longitud debe ser cada pedazo?
Treinta hom es se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo
han hecho
br
11ían
d 94.
os, ¿cuántos tienen 4 caras pintadas?, ¿cuántos 3?, ¿cuántos 2?, ¿cuántos 1?,
95.
3 de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, podr
terminar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible cuántos
Un cubo de madera se pinta y luego se divide en 27 cubos iguales. De estos nuevos cub
ías más necesitarán?
¿Cuántos quedan sin pintar?
Un auto recorre un día los 85 de la distancia entre dos ciudades y al día siguiente los
3de lo que le falta por llegar. Si aún está a 160 km. de su destino, ¿cuál es la distancia
. ¿Cuántos animales tengo, si se sabe que todos menos dos son perros, todos menos
. Se podrían dividir 3 varillas de 20, 24, 30 m en pedazos de 4 metros de longitud sin que
98.
que le queda al 1,5% y el resto al 10%. ¿Cuánto recibe al cabo de 2 años 5 meses por
2
entre las dos ciudades? ¿Cuántos kilómetros recorrió cada día?
96dos son gatos y todos menos dos son loros?
97sobre ni falte nada de cada varilla.
Ernesto recibe una herencia de $60.000. Invierte la mitad al 8%, la tercera parte de lo
concepto de intereses? ( las tasas de intereses son mensuales y el interés es simple ).
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 51
CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS
99. Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de $80 la docena, o un número na ¿Cuál es la menor suma de dinero
100. pciones:
18 meses con cuotas de $15.200 cada una 2 años con cuotas de $14.850 mensuales.
c. uotas trimestrales de . C p
01.
02.
entándolos en un 20%. ¿Qué descuento hace, en realidad, sobre los precios originales?
103. La tabla de multiplica proporciona un interesante estudio de patrones, para ello
observémosla:
5 × 9 = 45
105. Un proyecto tiene una duración de tres años. El primer año da una pérdida de $80.000, el segundo año la pérdida disminuyó en $50.000 y el tercer año da una utilidad de $120.000. Determine si el proyecto da pérdida o ganancia y de cuánto.
exacto de docenas de lápices de $60 la docenecesaria? Para cancelar un crédito nos presentan tres o
a. b.
1 año con con cuál opción
$48.200agamos menos dinero?
1
Alvaro el negociante, vende en $68’500.000 una casa que le había costado $57'100.000 ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia?
1 Un comerciante con el fin de atraer clientela, anuncia conceder en sus ventas un 20% de descuento; pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios en ellos marcados, aum
ción del 9
1 × 9 = 9 2 × 9 = 18 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36
6 × 9 = 54 7 × 9 = 63 8 × 9 = 72 9 × 9 = 81
a. Qué patrones puede encontrar? b. Qué sucederá si se continúa la tabla en dos líneas más? Se encuentran nuevos
patrones? Cuáles? Pruebe todos los anteriores patrones 104. Tres cajas contienen 160 libras, 200 libras y 64 libras de jabón en bloques,
respectivamente. Cada bloque de jabón tiene el mismo peso y el mayor posible. Cuánto pesa cada bloque?. Cuántos bloques hay en cada caja?
52 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Todo debe simplificarse hasta donde sea posible, pero nada más” Albert Einstein
CAPÍTULO II
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
2.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS 2.3 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA 2.4 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS 2.5 PRODUCTOS NOTABLES 2.6 RELACIONES ENTRE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS. 2.7 LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
CAPÍTULO II
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
2.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO
i En la siguiente tabla, marcar con una X en la(s) casilla(s) correspondiente(s) el tipo de expresión al que pertenece:
Expresión Aritmética Algebraica Polinomial
4123 ÷+ 622 −+ xx
yy π−3 25 ww −+
( ) 53231 ×+−
233
216
61 zz −
xx 2−
( ) ( )82 loglog + 35 22 ×
xx 21 33 ×+ yyyz 22 −+
424 3223 +−+ yxyx ( ) 323 xx +
232 6523 xxxxx −+−+− ¿Cuáles fueron los criterios tenidos en cuenta para la clasificación de las expresiones? Aritméticas Algebraicas Polinomiales
¿Por qué una expresión puede clasificarse en más de un tipo?
54 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para las expresiones identificadas como polinomiales en la tabla, determinar:
Expresión Polinomial Número de Términos
Grado del Polinomio
Conjunto al que pertenecen los Coeficientes
Cantidad de Términos
Semejantes
2.2 CONCEPTOS BÁSICOS EXPRESIÓN ARITMÉTICA. Cualquier combinación de números y signos de agrupación u operación. VARIABLE. Símbolo, usualmente una letra, que representa cualquier elemento de un conjunto de referencia dado. En este texto, mientras no se especifique lo contrario, se asume que el conjunto de referencia es el de los números ℜ. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Cualquier combinación de números reales y letras unidos por operadores aritméticos. Las expresiones separadas por los signos de suma o resta son llamadas términos. Cada término está conformado por un número real llamado coeficiente, y una parte literal, formada por una o más variables. La parte variable puede tener exponentes reales.
En el término , el coeficiente es 1. 23 xy
El exponente de la variable en el término es 1. x2
El término 6 tiene como parte variable . 0x
TÉRMINOS SEMEJANTES. Son aquellos que tienen la misma parte literal con igual exponente. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ESPECIALES: POLINOMIO. Combinación de números, variables con exponentes enteros no negativos
y signos de agrupación u operación. El grado del polinomio está determinado por el mayor exponente de la variable en que está dado. La forma general para un polinomio de grado n en una variable es:
01
12
21
1 axaxaxaxa nn
nn
nn +++++ −
−−
− ... , donde los coeficientes an son números reales,
y an≠0, con . { }0∪+∈ Zn
A a0 se le da el nombre de término independiente.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 55
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Según el número de términos, un polinomio recibe nombres especiales, así: Monomio. Es aquel que tiene un solo término.
Binomio. Es aquel que tiene dos términos no semejantes.
Trinomio. Es aquel que tiene tres términos no semejantes.
FRACCIÓN ALGEBRAICA. Cociente o razón entre dos polinomios, donde el polinomio
del denominador es de grado > 0.También se conoce como expresión racional. El capítulo XIV cubre este tema con detalle.
Ejercicios 2.1
En los ejercicios 1 a 10, decir si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justificar la respuesta.
1. Los términos y son semejantes. _________________ 32xyab xaby 23
2. Las expresiones x1 y x son términos semejantes. _________________
3. 353 12 ++ −ww es una expresión algebraica. _________________
4. Toda expresión algebraica es un polinomio. _________________ 5. es un trinomio. _________________ 132 ++ yy6. La expresión es un monomio. _________________ ( 13 +xx )
7. 2
3+x
es un polinomio de grado 1. _________________
8. 5
3237 23 +−+ xxx es una fracción algebraica. _________________
9. Un polinomio de grado 3 tiene cuatro términos. _________________ 10. 3z + π es un polinomio. _________________ 11. y son términos semejantes. _________________ 543 ba 453 ba
2.3 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
j
7 por 5 puede escribirse:
57 × 57 ⋅
( )57 ( ) 57 ( )( )57
7 por x puede escribirse:
x7 x⋅7
( )x7 ( )x7 ( )( )x7
y por x puede escribirse:
yx
xy ⋅ ( )xy
( ) xy ( )( )xy
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.
56 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 1
( ) xxxx 233 100 +++ − cuando 21=x
Reemplazando x por el valor dado, se tiene:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−
212
21
213
213
100
Efectuando las operaciones indicadas, se tiene:
( ) 712113 =+++
Ejemplo 2 23323 ++− yyxyx cuando 3
31 −=−= yx ;
Reemplazando x y y por los valores dados, se tiene:
( ) ( ) ( ) 2333313
31 3
23+−+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
Efectuando las operaciones indicadas, se tiene: ( ) ( ) ( ) 23327
913
271 +−+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− = 293
91 +−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
= 491 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =
9361− =
935−
Ejercicios 2.2
Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: 1. , cuando y ba −2 3=a 2−=b . 2. , cuando ( 22 2 +−+ xxx ) 3−=x
3. 1
234
−+−
xxxx cuando 1−=x 4. si 23 24 ++ xx 2=x
5. si 23 24 ++ xx 2−=x
Resolver los siguientes ejercicios:
a e conclusión? 6. ¿Qué se puede concluir de los ejercicios 4 y 5?. ¿Por qué se llega sa Si y son enteros y es entero impar, qué se puede decir de ? 7. x y
2xy ( )2xy
2.4 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Simplificar una expresión algebraica es convertirla en la expresión equivalente más simple. A partir de este punto y hasta el capítulo XIII, las expresiones algebraicas que se estudiarán erán polinomios. s
Al simplificar una expresión algebraica pueden presentarse situaciones que llevan a aplicar
l menos uno de los siguientes procesos: a
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 57
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Agrupar términos semejantes.
jemplo 3
implificar 74396 −−+− xxx
−+−−= xxx : 73 −+ Propiedad Distributiva
4136 2 −−= xx Propiedad Clausurativa
de paréntesis entre otro, se
debe aplicar la propiedad distributiva de adentro hacia fuera.
jemplo 4
implificar 1−−−− mmmm
1−−−− mmm
E
2S
74396 2 −−+− xxx Propiedad Conmutativa73496 2
( )496 2 +−= xx
propiedad distributiva en caso de encontrar signos de agrupación tales como
( ) [ ] { },, ó ⎯. En caso de tener paréntesis anidados, un par Aplicar la
E
( )[ ]{ }S
( )[ ]{ }m ][{ }+−−−= mmmm[ ] }1−−= mm
la adición y Distributiva m
1= Inverso Aditivo.
1 P. Distributiva. + Inverso Aditivo. { 0
P. Modulativa de{ }1−−= mm
1+− m P. Distributiva. =
Ejercicios 2.3
Simplificar las siguientes expresiones dando el resultando en forma de polinomio 1. ( )( )( )( )[ ]32683232 +−−−+−−+−− xxxxxx 2. ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )6−+−−+−++−− xxyzx 53832 +
3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xyxz 2352 +−+−−−+−−−−− . y5 4 ( ) ( )153524 2323 +−−++−+ xxxxxx . ( ) ( )265765 2323 +++−−+− yyyyyy
Encontrar el polinomio que resulta de:
3
5
6. Sumar los siguientes polinomios: b a 32 c −− ; a 2c b5 −+ y c b 423 +− a7. Restar el segundo polinomio del primero: dba 245 −− ; cba 242 −− 8.
y + ; 3x 2 yxy −− ; 22 23 yxyx −+ . Restar 253 3 +− xx de cero.
Restar la suma de los dos últimos polinomios, de la suma de los dos primeros: 22 42 xx − 2yy − ; xy 22
9
En la multiplicación de expresiones algebraicas pueden presentarse dos tipossituaciones: la primera, en donde todos los factores son monomios, y la segunda cuan
enos uno de los factores es un polinomio. m
58 G. MORA – M. M. REY – B. C. RO
:
de do al
BLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para el primer caso, el resultado de la multiplicación se encuentra aplicando las propiedades de la multiplicación y las de la potenciación en números reales. Ejemplo 5 Simplificar ( )5333 3 xyyx −−
( )5333 3 xyyx −− ( )( ) ( )53333 yyxx−−= P. Asociativa y Conmutativa
( ) ( )53333 yyxx= P. Opuesto Aditivo
( ) ( )531333 ++= yx P. Potencias
8427 yx=
Cuando se presenta el segundo caso, es decir, cuando al menos uno de los factores es un polinomio, debe multiplicarse aplicando sucesivamente la propiedad distributiva de los reales, como se ve en los ejemplos siguientes: Ejemplo 6 Simplificar: ( )xyy 242 +
( ) ( ) ( )xyyyxyy 2242242 +=+ P.Distributiva
P. de las Potencias yxy 48 2 +=
Ejemplo 7
Simplificar: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ aaa 3
419
43
161 2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ aaa 3
419
43
161 2 ( )aaaaa 39
43
161
419
43
161 22 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= P.Distributiva
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= aaaaaaa 393
433
161
419
41
43
41
161 22 P.Distributiva
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= 3
22 27
49
163
49
163
641 aaaaa Operaciones
32
2 274
9163
49
163
641 aaaaa −−−++= P.Distributiva
327641 a−= Agrupación de términos semejantes
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 59
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Ejercicios 2.4
Simplificar las siguientes expresiones: 1. ( ) ( )yzyxxy 453 23 −− 2. ( )( )3223 532 baba − 3. ( ) 322 2xx−
4. ( ) ( ) ( )cabcab 23322 2 5. ( ) ( )422332 cbab 6. ( ) ( ) ( )322632 yxyx −−−
7. ( ) ( )43532 324 −+++− aaaaa 8. ( )( ) ( )42213 22 ++−+ xxxx 9. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +− 534342 2
41
53
32 zxyyxxyyx
10. ( ) ( )( )baabaa 24333 −+ 11. ( )( )4532 45 yxyx 12. ( )( )725 43
61 aaa −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
13. ( )( )22 232 nmnmnm +−+ 14. ( )( )yxyxyyx +++ 22 6
2.5 PRODUCTOS NOTABLES Existen productos de binomios de uso tan frecuente, que se han creado esquemas de solución de fácil nemotecnia. Tales métodos de solución establecen una relación de igualdad tal que su aplicación es válida tanto para encontrar el resultado del producto, como para realizar el proceso inverso de encontrar los factores que dan lugar a una expresión polinomial. A este tipo de productos se les conoce con el nombre de productos notables. Cuadrado de un binomio: se presentan dos situaciones
El cuadrado de una suma: expresado ( ) 222 2 bababa ++=+
( )2ba + ( )( ) ( ) ( )babbaababa +++=++=
2222 2 bababbaaba ++=+++= El cuadrado de una diferencia: expresado como ( ) 222 2 bababa +−=−
( )2ba − ( )( ) ( ) ( )babbaababa −−−=−−= 2222 2 bababbaaba +−=+−−=
La suma por la diferencia de términos iguales: se representa como ( )( ) 22 bababa −=−+
( )( ) ( ) ( ) 2222 babbaabababbaababa −=−+−=−+−=−+
Si y representan las áreas de dos cuadrados de lado a y b respectivamente
que representa?
2a 2b22 ba −
60 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para interpretar la situación, se utiliza la siguiente gráfica:
a - b
a
ba
b
a - b
B
A
Como puede verse, representa el área no sombreada, y corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos A y B:
22 ba −
( ) ( ) ( )( babababababa +−=−+−=− 22 ) Cubo de un binomio: se presentan dos situaciones
El cubo de una suma: se expresa ( ) 32233 33 babbaaba +++=+
( )3ba + ( )( ) ( )( )222 2 bababababa +++=++=
( ) ( )2222 22 bababbabaa +++++= 322223 22 babbaabbaa +++++=
3223 33 babbaa +++= El cubo de una diferencia: expresado ( ) 32233 33 babbaaba −+−=−
( )3ba − ( )( ) ( )( )222 2 bababababa +−−=−−=
( ) ( )2222 22 bababbabaa +−−+−= 322223 22 babbaabbaa −+−+−=
3223 33 babbaa −+−=
La suma de cubos: expresado ( )( ) 3322 babababa +=+−+
( )( )22 bababa +−+ ( ) ( )2222 bababbabaa +−++−= 33322223 bababbaabbaa +=+−++−=
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 61
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
La diferencia de cubos: expresado ( )( ) 3322 babababa −=++−
( )( )22 bababa ++− ( ) ( )2222 bababbabaa ++−++= 33322223 bababbaabbaa −=−−−++=
Ejemplo 8 Encontrar el polinomio equivalente a ( )232 −a
( ) ( ) ( )( ) ( )9124
33222322
222
+−=
+−=−
aa
aaa
Ejemplo 9
Desarrollar el producto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− yxyx
23
23
( )
22
22
49
23
23
23
yx
yxyxyx
−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Ejemplo 10 Simplificar la expresión ( ) ( )( )232312 2 −+−− xxx
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
545
49144
49144
2311222232312
2
22
22
22222
+−−=
+−+−=
−−+−=
−−+−=−+−−
xx
xxx
xxx
xxxxxx
( ) 222 2 bababa +±=± ( ) 222 baba ±=±
(a ) 32233 33 babbaab ±+±=± ( ) 333 baba ±=±
( )( ) 3322 babababa ±=+± ∓ 2 ) 332 babab ±=+ ( )( ∓2aba ± Los productos notables no solamente facilitan las operaciones algebraicas sino que además son útiles para operaciones aritméticas. Para ilustrarlo se presentan los siguientes ejemplos.
62 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 11 Encontrar el valor de
228 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
( ) ( )
8412
4848
2282828 222
−=
+−=
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
Ejemplo 12 Encontrar el valor de ( )2325
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
6251056250001500090
25253002300
2530032522
22
...
=++=
++=
+=
Ejercicios 2.5
Expresar en forma de polinomio: )
1. ( )( 1212 +− xx 2. ( )[ ]224 xy −+ 3. ( )[ ] ( )[ ]22 +−++ baba
4. ( )[ ]232 −− yx 5. ( )33−x 6. ( )[ ]312 +−x
yx , si
Encontrar el valor de: 7. 22 − m y y x , m
myx =+≠=− 01
Mostrar que:
8. ( )( )1++ x
413
21 23422 ++=
+−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ xxxxxxx
9. 123 +++⎞⎜⎛ ++ xxxxxxx
)( ) ( )2yxxyy −−=− 4
512
4222 +=−⎟⎠⎝
10. (x −
11. Si 100 ≠≠≠= bcbcb
ba ,,, ,entonces : 11 +=− bac
1−b
12. ( )( )2233 babababa ++−=− Ayuda: Interpretarlo geométricamente
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 63
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
2.6 RELACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Dos expresiones alg aicas edebr pu en relacion sím os:
cuación. Cuando la relación de igualdad entre dos
capítulo no es encontrar la solución de una ecuación; tan sólo
e hacen verdadera la ecuación se denominan solución de la ecuación o to de estos valores, se denomina conjunto solución.
arse por medio de los bol
IGUAL = DIFERENTE ≠ MENOR < MAYOR > MAYOR O IGUAL ≥ MENOR O IGUAL ≤
Una igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en l conjunto de referencia, se denomina ee
expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia, la ecuación toma el nombre de identidad. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen verdadera la gualdad. El objetivo de esteise pretende verificar si un valor asignado a las variables permite que se cumpla la relación de igualdad numérica o no. Los valores qu raíces. El conjun Ejemplo 13 = 2 es una solución de la ecuación 512 =−x ? x
Para saberlo, se reemplaza el va lalor de variable en la expresión dada:
( ) 5122 =− 514 =− 53 = lo cual es falso
Como se llega a una proposdada.
ición falsa, se concluye que 2 no es solución para la ecuación
2 =
Ahora, qué sucede si x = 3?
( )3 − 51 516 =− 55 = lo cual es verdadero
Así se llega a u an proposición verdadera, por lo tanto 3 si es solución de la ecuación.
x =2 es una solución de xx 7344 +−−=+
())( 2332422 2 −−+
412 +−
variable puede tomar valores que hacen que la relación de igualdad sea hacen verdadera.
Ejemplo 14
( ) xxxx 3 22
( ) )()( 2724 2 += ( ) 161662 −=
1212 = lo cual es verdadero
Por lo tanto 2 es solución de la ecuación. Se observa que lafalsa y otros que la
64 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 2.6
Para cada una de las siguientes ecuaciones verifique si los valores que toma la
;
variable son solución de la ecuación. 1. x1235 =−x ; 2= 3=x 2. xx −=+ 38 ; 2=x 2=x
. ( ) ( )xx 213127 −−=− ; 1−=x ;
; −
32 4. xx 816 =+ ; 21=x 2 =x ; 4−=x ; =x
022 =−+ xx ; 0=x
4
. ; 1=x ; 25 −=x 6. 21
15 =
+−
xx ; 0=x ; 11=x
Explicar qué ocurre cuando x toma el valor de –1 en la ecuación del ejercicio 6. ¿Qué se
7. puede concluir?
Al considerar los signos de orden <, >, ≤, ≥ entre dos expresiones algebraicas, puede definirse una inecuación como una relación válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia. Como en el caso de la relación de igualdad, el objetivo en este momento es saber si un valor
variables permite cumplir con la relación de orden o no. No se buscará aún ecuación.
jemplo 15 Ver
asignado a las solución para la in E
ificar si 21=x es solución de ( )321<−x −x
em lazan x po el valo R p do r r dado ⎟
⎠⎞<− 3
2121 ⎜
⎝⎛ −
21
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−<−
252
21
521 −<− lo cual es falso
Por lo tanto, puede decirse que para la inecuación, 21 no es solución.
hora s x = 6 t emos
A i en :
( )36216 −<− 65 < lo cual es verdadero. Lo anterior nos lleva a precisar que la expresión ( )321 −<− xx es una inecuación ya que hay
na desigualdad es una relación válida para todos los valores de las variables en el onjunto de referencia.
valores que hacen verdadera la relación de orden y otros que la hacen falsa. Uc
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 65
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Ejercicios 2.7
Para cada una de las siguientes inecuaciones verificar si los valores de la variable dados hacen verdadera o falsa la inecuación:
1. ( ) 11512 −==+<+ xxxx ;; 2. ( )
321213 =−=+>+− xxxx ;;
( ) 2000502350 ,;;,, −==≤−+ xxxxx 4.
21
3. 230333 −==−−>+− xx
xx
xx ;;
. ( ) 020305 22 ,;,; −==+−<− xxxxx 5
2.7 LENGUAJE ALGEBRAICO Antes de pretender encontrar la solución de problemas, es necesario identificar los elementos que intervienen en ellos y el papel que juegan en el problema. En términos generales, un lenguaje es un conjunto de símbolos que, organizados de acuerdo con unas reglas previamente establecidas, permite la comunicación entre dos partes. El lenguaje algebraico es una de las herramientas que permite representar matemáticamente
je eficaz que se utiliza para describir metría, física, ciencias y en general el
un
na
esquema la situación planteada.
la situación planteada qué es conocido y qué es desconocido, para así lograr una asignación adecuada de las incognitas.
E 16
un problema planteado. El álgebra es un lenguasituaciones que se presentan en la aritmética, geom do a nuestro alrededor. U simbolización algebraica correcta depende de:
Un buen conocimiento del idioma en que está escrito el texto.
La comprensión del entorno en que tiene lugar la situación planteada.
Dar un uso adecuado a la aritmética.
De ser posible representar con un dibujo, gráfica o Identificar en
jemplo Enunciado Expresión algebraica
8 más un número ó Sea x un número:
Un número sumado a 8 x+8
Un número más 8 ó
n úmero incrementado en 8 ó
8 sumado a un número 8
U n+x
66 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 17
Enunciado Expresión al ebraicg a
8 veces un número Sea x un número: x8
Ejemplo 18
Enunciado Expresión algebraica
3 veces un número menos 2 ó
Restar del triple de un número ó 2
El triple de un número, menos 2 ó
un
Sea x un número:
23 −x La diferencia entre el triple de número y 2.
El triple de: un número menos 2 ó
Tres veces la diferencia entre un
número y 2. ( )3 2−x
El cubo de un número menos 2. 23 −x
Ejemplo 19
Situación Planteada Expresión Al ebrag ica
Un número par. Sea x un número entero: x2
Un número impar. Sea x un número entero: 12 +x
Ejemplo 20
Situación Planteada Expresión Algebraica
Un número non aumentado en 15 ( ) 1512 ++x
donde x es un número entero. Ejemplo 21
Situación Planteada Expresión Algebraica
De las utilidades que produce un pozo petrolero
el 15% por regalías
x total utilidades Un pueblo recibe
x10015
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 67
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Ejemplo 22
Situación Planteada Expresión Algebraica
A un número de dos cifras
nm +10 donde (m = decenas; n = unidades)
m y n son dígitos:
Se le invierten las cifras mn +10 En los ejemplos anteriores se describieron situaciones mediante textos. Sin embargo, es
rarse con situaciones descritas en forma gráfica. Para ilustrar algunas de el ejemplo 37 de la sección 1.19.
Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones:
posible encontellas, se retomará Ejemplo 23
Representación Gráfica Expresión Algebraica
21 <<− x
3−>x
2<x
13 −≤≤− x
41 <≤ x
4
921 ≤< x
01 <<− x
-4 -3 -2 1 2 3 40
ó 20 ≤< x
Ejercicios 2.8
Expresar algebraicamente, utilizando x para las cantidades desconocidas:
6. La diferencia entre el cuadrado de un número y el doble del mismo.
1. disminuido en un número. 45
2. 55 restado de un número.
3. El doble de un número más nueve.
4. El cuadrado de la suma de un número más 10 veces el mismo número.
5. El producto de un número por el mismo número disminuido en tres.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-4 -3 -2 -1 1
2 3 40
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
-4 -3 -2 -1 1 2 3 40
68 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
7. El producto entre 3 menos que el doble de un número y 3 más que el doble del mismo número.
8. El producto de un número por 3 veces el mismo número.
9. La suma del menor y el mayor de tres impares consecutivos.
10. La suma de los cuadrados de dos números enteros pares consecutivos.
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:
)
1. (n
pp −1 si y 20,=p 100=n 2. yxyx 335
32 3 +− si
23=x y 2=y
3. si ( ) 22 232 yyxyx −−− 51,−=x y 30,=y 4. si 32nmmn + 2−=m y 3−=n
Si m es entero impar y n es entero par, a qué subconjunto de los enteros pertenece: 5.
a. nm + b. nm − c. mmm +×
Simplificar las siguientes expresiones: 6. ( ) ( ) 54 322 yxxyx −−− 7. ( ) 5222 ab−− 8. ( ) ( )42342 32 baab
9. ( ) ( ) ( )423322 32 bcabccab − 10. ( ) ( ) ( )222232 2 acbcaab 11. ( ) ( )(3222 32 ) 432cbaab −−
12. ( ) ( )2323 ba −− 13.
a
( )( )32222 ba +−− ( ) ( ) ( )22 14. 3243 65 xyyx −−−− ( ) ( )423 9
614 bbb −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4
2
23
2
254
bba
baba 16. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +− aaa 3
419
43
161 2 15.
Simplificar las siguientes expresiones
( ) ( )4832965 2324 +−+−+− xxxxxx 17. ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]xxzzxxz 2522431 +−−−++−−−−− 18.
19. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]wyyzy −+−−−−++−−−− 253 20. ( ) ( )[ ] ( )[ ] zzywwzw 2322532 −+−−−−−−−−−−
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )3411523 −−−−−+−−+−− zwzwz
ignos de interrogación escribir expresiones algebraicas que mantengan
21.
En lugar de sla igualdad:
22. ( ) ( )?xxxxx +−=−+− 332233 22 23. ( ) ( )?xxxxx +−=+−− 12382123 22
. ( ) ( )?xxxxx −+=−−+ 10653106 22 24
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 69
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Enco io quntrar el polinom e resulta de:
5. 2 Sumar 2
92
65y con 2 53 xyx +−
41
31
23 2 +− yxy y restarla de la suma de xyyx 122 22 +−
939 con
21
23
9227 2 −−+ yxy
451
ocidas:
28.
nos el
ero.
Tres veces la diferencia entre 30 y un número.
Dos tercios de la suma de un número y tres séptimos de otro.
los siguientes enunciados, escriba una expresión
5. que el numerador.
La ivos pares,
es 6, el número mayor es x. ¿Cuál es el número
ivo par?
ero x.
enos que la mitad del número a?
3. El triple de
Expresar algebraicamente, considerando x y y como las cantidades descon 26. El producto de 9 por el doble de un número.
27. La diferencia entre el cuadrado de un número y el cuadrado de otro número.
Un tercio de la cuarta parte de un número.
29. La suma de los cuadrados de dos impares consecutivos, mecuadrado del entero que está entre ellos.
30. Un número disminuido en la mitad del cuadrado del mismo núm
31.
32.
Para cada uno deusando p para designar un número.
33. 30 superior al número.
34. Un número multiplicado por si mismo.
El denominador de una fracción es 3 unidades mayor3
36. suma de los cuadrados de dos números enteros consecutcuadrado de la suma de los 2 enteros consecutivos.
Represente los números requeridos en términos de variables: 37. La diferencia de dos números
38. Si a es un número entero par, ¿cuál es el siguiente entero consecut
39. El recíproco de un núm
40. ¿Qué número es dos unidades m
41. 5 veces un número x.
42. El doble de a, aumentado en 5.
4 a aumentado en 3
El 6% de
2 .
44. impuesto sobre x dólares.
70 G. MORA – M. M. REY – B.
5973
algebraica
menos el
menor?
C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO
Versión 3 UNA NUEVA VISIÓNTraducir los siguientes enunciados a expresiones algebraicas:
El núme45. ro de grados de una temperatura que es 50 grados más elevada que otra de t grados.
46. metros de una longitud que es 120 metros más corta que otra de d metros
t
lenta que otra de r m/s.
49. El número de metros de una distancia que está 10 decámetros más distante que
alto que otro de z pisos.
52. La diferencia cuando t se resta de 8.
53. 5 y a se divide por b.
alo de tiempo que es 1 minuto más corto que t segundos.
55. El número de metros cuadrados de una área que es 30 metros cuadrados mayor cuadrados.
l
multiplica este producto por 2 y se obtiene 30.
. Se suma 7 a un número, después se resta 4 de la suma y se obtiene 5.
El .
El número de .
ra de p 47. El número de metros de una longitud que es 50 metros más pequeña que ometros.
48. El número de metros por segundo (m/s) de una velocidad que es 20 m/s más
otra de d metros.
50. El número de pisos de un edificio que es 8 pisos más
51. Un precio en dólares que es 5 dólares más caro que la mitad de otro de p dólares.
El cociente cuando la suma de
54. El número de segundos de un interv
que otra de a metros
56. E número a supera en 6 al número b.
57. El número a es 10 unidades menor que el numero b
58. x es la mitad de y.
Si n, m, r y s representan un número, expresar algebraicamente:
59. Se multiplica un número por 3, se suma 8 al producto y se obtiene 23.
60. Se multiplica un número por 9 y se obtiene 45.
61. Se multiplica un número por 3, después se
62
ghjk
63. producto de m y n dividido entre 3 veces su diferencia
64. El cociente de 3 veces la diferencia de r y s entre el duplo de su suma.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 71
CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
¿Qué expresión representa la siguiente situación? :
s 12 unidades menos que la tercera parte del producto de los números.
66. umentado en 2, es lo mismo que el número aumentado en 8.
68. La suma de un número y 3 al multiplicarla por 2 nos da 14.
9. El producto de dos números pares consecutivos es 24 unidades menor que 12 veces el siguiente número par.
70. Si al doble de un número se le agrega 7 el resultado se resta de 60, al resultado le faltan 7 para ser igual a 10 veces el número.
65. El doble de la suma de dos enteros pares consecutivos e
El triple de un número a
67. Cuando un número se suma a sí mismo el resultado es igual a cuando el número se multiplica por sí mismo.
6
, y
72 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida”
Pitágoras
CAPÍTULO III
ECUACIONES E INECUACIONES CON
POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA
VARIABLE 3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. 3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO 3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN
3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN
3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN
3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE.
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
CAPÍTULO III
ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
En este capítulo se estudiará el procedimiento para resolver relaciones de igualdad y de orden de polinomios de primer grado en una variable. Teniendo como conjunto de referencia los reales.
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA
i Cómo estamos de conceptos? 1. Dar tres ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable. 2. Qué es resolver una ecuación? 3. Qué diferencia existe entre ecuación e identidad? 4. Qué significa conjunto solución?
3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Una expresión de la forma con a y b ∈ ℜ y ba +x 0a ≠ es un polinomio de primer grado en una variable . ( )x Una relación de igualdad de la forma 0ba =+x es una ecuación de primer grado en una variable ó también conocida como ecuación lineal. Esta forma es conocida como la forma estándar.
( ) 75234 −−−+ xxx
Es una expresión algebraica ó un polinomio de primer grado
( ) 075234 =−−−+ xxx
Es una relación de igualdad ó una ecuación de primer grado
Resolver una ecuación es encontrar los valores del conjunto de referencia que puede tomar la variable para que sea verdadera la relación de igualdad. Los valores que cumplen la relación de igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el conjunto formado por éstas soluciones o raíces se llama conjunto solución.
74 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las propiedades de los reales y las propiedades de las igualdades, que se enuncian a continuación: Propiedad de la suma: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca +=+ Propiedad de la multiplicación: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca ×=× Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 042 =+x
42 +x = 0 Ecuación dada.
( )442 −++x = ( )40 −+ Propiedad de la suma en igualdades
02 +x = 4− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.x2 = 4− Propiedad de la identidad de la suma.
( )x221 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ = ( )4
21 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.
x1 = 24− Propiedad del inverso multiplicativo.
x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones
Como es posible cometer errores aritméticos o algebraicos al encontrar el valor de x, siempre se debe verificar la validez del valor encontrado por lo tanto:
( ) 422 +− = 0 44 +− = 0 0 = 0
Como x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz única de
la ecuación y { }2− es el conjunto solución el cual se puede escribir { }2C.S. −= .
Toda ecuación de la forma 0a0ba ≠=+x tiene una y sólo una solución
ab−=x
Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 084 =+x
84 +x = 0 Ecuación dada.
( )884 −++x = ( )80 −+ Propiedad de la suma en igualdades
04 +x = 8− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 75
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
( )x441 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ = ( )8
41 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.
x1 = 48− Propiedad del inverso multiplicativo.
x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones
Verificando la validez del valor encontrado se tiene:
( ) 824 +− = 0 88 +− = 0 0 = 0
x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad dada, lo que significa que es la solución o raíz
única de la ecuación . Por lo tanto, { }2C.S. −= . En los dos ejemplos anteriores se ha llegado a una misma respuesta por lo que se dice que
y son ecuaciones equivalentes. En general, se tiene que dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución son llamadas ecuaciones equivalentes.
042 =+x 084 =+x
Continuando con la solución de ecuaciones, vale llamar la atención con respecto a las situaciones presentadas hasta el momento. En la vida cotidiana, no siempre se presentan ecuaciones de la forma . Puede ocurrir que la relación se establece entre dos expresiones de grado 1, como se muestra en los siguientes ejemplos.
0ba =+x
Ejemplo 3
Encontrar el conjunto solución de 1243 −=+ xx 43 +x = 12 −x Ecuación dada.
( )443 −++x = ( )412 −+−x Propiedad de la suma en igualdades
03 +x = 52 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.
x3 = 52 −x Propiedad de la identidad de la suma.
( )xx 23 −+ = ( ) 522 −−+ xx Propiedad de la suma en igualdades
x = 5− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.
Encontrado un valor real para la variable, debe verificarse que hace verdadera la relación dada:
43 +x = 12 −x Ecuación dada.
( ) 453 +− = ( ) 152 −− Se reemplaza x por el valor encontrado.
415 +− = 110 −−
11− = 11−
Al comprobar que x = -5 hace verdadera la relación de igualdad inicialmente dada, puede aceptarse que éste valor es la solución o raíz de la ecuación. Es decir que . { }5C.S −=.
76 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de ( ) ( )6523 −=+ xx
( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.
63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.
( )663 −++x = ( )6305 −+−x Propiedad de la suma en igualdades
03 +x = 365 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.
x3 = 365 −x Propiedad de la identidad de la suma.
( ) xx 35 +− = ( ) 3655 −+− xx Propiedad de la suma en igualdades
x2− = 36− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.
( x221 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − ) = ( )36
21 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − Propiedad de la multiplicación en igualdades
x1 = 236 Propiedad de la multiplicación en igualdades
x = 18 Propiedad del elemento identidad en la multiplicación. Se debe verificar que el valor encontrado hace verdadera la relación dada:
( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.
( )( )2183 + = ( )( )6185 − Se reemplaza x por el valor encontrado.
( )203 = ( )125
60 = 60 Como x = 18 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz de la ecuación y { }18 es el conjunto solución. Para resolver una ecuación, no es indispensable realizar todos los pasos que se han seguido en este ejemplo, pero por ahora sí aclaran el porqué de lo que se hace mecánicamente. Algunos pueden suprimirse ya que es posible hacerlos mentalmente.
( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.
63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.
( )663 −++x = ( )6305 −+−x Propiedad de la suma en igualdades
x3 = 365 −x Propiedad de la suma en igualdades, inverso aditivo, agrupación de términos semejantes e identidad de la suma.
x = 18 Propiedad de la multiplicación en igualdades, inverso multiplicativo elemento identidad en la multiplicación.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 77
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Hasta el momento, los casos presentados han permitido llegar a un valor para la variable. Sin embargo, es posible encontrar otras situaciones cuyo resultado antes de causar sorpresa, debe llevar a un cuidadoso análisis para interpretarlas correctamente, como se verá en los siguientes ejemplos. Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de ( ) xxx 21422 −+=+
( )22 +x = xx 214 −+ Ecuación dada ( )22 +x = 12 +x Agrupación de términos semejantes.
42 +x = 12 +x Propiedad distributiva. ( )442 −++x = ( )412 −++x Propiedad de la suma en igualdades.
02 +x = 32 −x Propiedad inverso aditivo y agrupación de términos semejantes. x2 = 32 −x Propiedad del elemento identidad de la adición.
( )xx 22 −+ = ( )xx 232 −+− Propiedad de la suma en igualdades. 0 = 30 − Propiedad del inverso aditivo. 0 = 3−
Como se ha llegado a una expresión diferente de x = d que era lo que se buscaba, no es de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación, la cual es: Como se partió de que hay solución es decir que existe un valor para x y se llegó a una contradicción, lo que sucede es que el supuesto de que existe solución es falso, por lo tanto no hay solución y el conjunto solución es ∅ .
Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de ( ) 12315639 +−+−=+− yyy
( )39 +−y = 123156 +−+− yy Ecuación dada ( )39 +−y = 279 +− y Agrupación de términos semejantes.
279 +− y = 279 +− y Propiedad distributiva. ( )yy 9279 ++− = ( )yy 9279 ++− Propiedad de la suma en igualdades.
27 = 27 Propiedad del inverso y elemento identidad de la suma. Se ha llegado a una expresión diferente de y = d que era lo que se buscaba. No es tampoco de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación: Puede observarse que las expresiones a cada lado de la igualdad son iguales, lo que nos lleva a decir que cualquier valor que tome y en el conjunto de referencia hará verdadera la
igualdad, por lo tanto hay infinitas soluciones y el conjunto solución es ℜ .
78 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Cuando el conjunto solución es igual al conjunto de referencia, se dice que la relación de igualdad es una identidad. Siendo el conjunto de referencia los reales, se obtendrán infinitas soluciones. Ejemplo 7
EE
E
E
) Encontrar el conjunto solución de xx 100828 ,, −=
Método de Solución 1 Método de Solución 2
828, = xx 100,−
828, = xx 100,− 1002880 = xx
10010−
828, = x900, ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛100288100 = ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − xx
10010100
900828
,, = x 2880 = xx 10100 −
32 = x 2880 = x90 288 = x9 32 = x
{ }32C.S. =
jemplo 8 ncontrar el conjunto solución de
25
3123 xx −=−−
Método de Solución 1 Método de Solución 2
3123 −− x = 2
5 x− 3
123 −− x = 25 x−
31
323 +− x = 22
5 x− ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
31236 x = ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
256 x
232 xx +− = 3
1025 − 2418 +− x = x315 −
63
64 xx +− = 6
206
15 − x420 − = x315 −
6x− = 6
5− 1520 − = xx 43 +−
x = 5 5 = x
{ }5C.S. =
SCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 79
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Una expresión de la forma ba +x toma un valor numérico diferente
dependiendo del valor que se le dé a la variable.
Una expresión de la forma 0ba =+x se hace verdadera para un único valor de la variable. Para cualquier otro valor de x, la expresión se hace falsa.
Ejercicios 3.1
Encontrar el conjunto solución: 1. 58612 −=− xx 2. tt 5115 −=−
3. 32176 −=+ aa 4. 887424280 ,,, += bb
5. ( ) ( 632135 +−−=+− yy ) 6. ( ) aaa 21803152 +=++
7. 3
2475
dd −=+ 8. 4
53653
82 −−=+− xx
9. ( ) ( )8623
272312
31 −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−− yyy 10. ( ) ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=−+− ccc 10
21
52454810
11. 64
34 +=+ xx 12. ( ) xxx 103169862143 ,,,,,, +−=−−
13. ( ) ( ) xxx 32316 +−−=− 14. ( ) ( )[ ]xxx 686324 −−−=−
3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Todo lo anterior cobra sentido si se aplica a situaciones cotidianas o reales, ya que resolver una ecuación puede prestarse para mecanizar su manejo matemático y algebraico, lo cual no es el objetivo de este curso. Conocer métodos de solución no es suficiente si no se tiene n correcto planteamiento de la situación. u
Pero… Cómo lograr un correcto planteamiento de la situación? Existen muchos modelos, pero el más aceptado es el propuesto en 1945 por George Polya y presentado en su libro How to solve it”, el cual ha sido traducido a quince idiomas. “
A continuación, se presenta el modelo general. Es necesario tener en cuenta que no siempre un problema genera el planteamiento de una ecuación. En ocasiones, puede llegarse a una inecuación, o a un sistema de ecuaciones, entre otros, temas concernientes a secciones
osteriores. p Aplicando nuevamente una analogía con el idioma español, las ecuaciones resultan de
raciones con el verbo ser. Antes de continuar, es importante recordar la sección 3.6. o
80 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
George Polya (1888 – 1985)
MÉTODO DE POLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS1
1. COMPRENDER EL PROBLEMA
Cuál es la incógnita? Cuáles son los datos? Cuál es la condición? Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Es suficiente? Redundante? Contradictoria?
2. CONCEBIR UN PLAN
Se conoce un problema semejante? Se ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? Se conoce un problema relacionado con éste? Se conoce algún teorema que pueda ser útil? Mirar atentamente la incógnita y tratar de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. Encontrado un problema relacionado al que se presenta, puede utilizarse? Podría utilizarse su resultado? Podría emplearse su método? Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? Podría enunciarse el problema de otra forma? Podría plantearse en forma diferente nuevamente? Referirse a las definiciones. Si no se puede resolver el problema propuesto, tratar de resolver primero algún problema similar. Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? Un problema más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolverse una parte del problema? Considerar sólo una parte de la condición; descartar la otra parte; en qué medida la incógnita queda ahora determinada? En qué forma puede variar? Puede deducirse algún elemento útil de los datos? Puede pensarse en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? Puede cambiarse la incógnita? Puede cambiarse la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? Se han empleado todos los datos? Se han empleado todas las condiciones? Se han considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?
3. EJECUCIÓN DEL PLAN
Al ejecutar el plan de la solución, comprobar cada uno de los pasos. Puede verse claramente que el paso es correcto? Puede demostrarse?
4. VISIÓN RETROSPECTIVA Puede verificarse el resultado? Puede verificarse el razonamiento? Puede obtenerse el resultado en forma diferente? Puede verse de golpe? Puede emplearse el resultado o el método en algún otro problema?
1 POLYA, George. “How to solve it“.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 81
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 9
En el puente pasado, los 18
de los alumnos de primer semestre
trabajaron en el proyecto de análisis geométrico, los
5
139
6
del resto
estudiaron para el examen de Precálculo y 56 se fueron de rumba. ¿Cuántos alumnos son de primer semestre y cuántos se dedicaron a cada actividad?
Alumnos de primer semestre : x Alumnos que trabajaron en el proyecto de A.G. : x
185
Alumnos que quedaron : xx185−
Alumnos que estudiaron Precálculo : ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − xx
185
139
Alumnos que se fueron de rumba : 56
Total alumnos Sem = Trabajan en el proyecto + Estudian Precálculo + Se van de rumba
x = x185 + ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − xx
185
139 + 56
x = 56265
139
185 +−+ xxx
x23452 = 56
x = 252 Como x representa el total de alumnos, se tiene ya la respuesta a la primera pregunta: el total de alumnos del primer semestre es de 252 Los alumnos que trabajaron en el proyecto de geométrico x
185 = ( ) 70252
185
=
Los alumnos que estudiaron Precálculo ( ) 126252185252
139 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
Alumnos que se fueron de rumba 56 Ejemplo 10
Cecilia recibió $435.0000 por trabajar 52 horas en una sala de prematuros. Si después de 40 horas su tarifa es de 1,5 veces cada hora, ¿Cuál es el valor de una hora no extra?
Horas trabajadas 52Total horas extras 124052 =− Valor hora normal (no extra) x Valor hora extra x51,
Dinero recibido = Dinero por trabajo de 40 horas + Dinero por 12 horas extras. Dinero recibido = Número de horas × Valor hora + Número de horas × Valor hora 435.000 = 40 x + ( )x5112 ,
82 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Por lo tanto ( )
x
x
xx
xx
=
=
+=
+=
5007
58000435
1840000435
511240000435
.
.
.
,. Siendo x el valor de la hora no extra, se tendrá que Cecilia gana por hora normal $7.500 Verificación del resultado: Valor hora extra de Cecilia: 25011
250075007 ... =+
Cecilia trabaja 40 horas cada una a $7.500, entonces recibe 000300$5007$40 .. =× 12 horas extras cada una a $11.250 recibe 000135$25011$12 .. =× Total recibido 000435$ .
Ejemplo 11
Fernando va a un restaurante en el cual se debe pagar de impuesto el 16% de lo que se consuma y la propina que se incluye en la cuenta es del 10%. Si él tiene $315.000 de cupo disponible en su tarjeta, cuánto puede ser el valor del consumo? o
Valor del consumo: x Pago por impuesto x
10016
Pago por propina x10010
Dinero disponible = Valor consumo + Pago por impuesto + Pago por propina.
x
x
x
xxx
=
=
=
++=
000250$126
00050031$
12600050031$10010
10016000315$
.
.`
.`
.
El valor del consumo de Fernando en el restaurante puede ser de $250.000. Ejercicios 3.2
Encontrar la ecuación que representa las siguientes situaciones: 1.
2.
3. 14
4.
5. 6 8%5%
La suma de dos números enteros consecutivos es . –17
La suma de tres números enteros consecutivos es 75.
El mayor de dos números enteros consecutivos impares es igual a menos un tercio del menor de ellos.
La suma de tres números enteros pares consecutivos es mas el mayor de ellos. –98
Cuántos litros de agua deben agregarse a litros de una solución de sal al y agua para producir una solución al de sal?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 83
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Resolver los siguientes problemas:
6. En una Feria del Libro se vendieron 600 libros, algunos en ediciones de bolsillo a $3,50 cada uno y el resto empastados a $5,00 cada uno. El ingreso total fue equivalente al del año anterior cuando se vendió el mismo número de libros a un precio promedio de $4,00 por libro. ¿Cuántos libros se vendieron de cada precio?
7. 43 de un número menos
52 de ese mismo número es igual a 7. ¿Cuál es el número?
8. Dividir $4.725 en tres partes, de tal manera que la segunda sea $150 más que la primera y la tercera $525 menos que la segunda.
9. El 30% de un fondo se invierte al 5% anual. El resto se invierte al 4% anual. ¿Cuánto está invertido en cada caso si el interés total es $860?
10. La diferencia entre el 60% y el 40% de un número es 126. Hallar el número.
11. Para el examen de historia, Pancho estudió dos horas mas que Luis. Juntos estudiaron una hora menos que cuatro veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas horas estudió cada uno?
12. En el momento de escribir este problema, mi edad más el triple de la edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos tres. ¿Sabes cuántos años tengo?.
13. Un tercio de la suma de tres números enteros múltiplos de 5 consecutivos es 90. Encuentre estos números.
14.
Juan compró un sombrero que le costó $40.000, el mismo día gastó 2/7 de lo que tenía inicialmente. Al otro día gastó 2/3 de lo que le quedaba. Si al final
uedó con $125.000, ¿Cuánto tenía inicialmente? q
15. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora va a alcanzar a otro que va adelante 4 horas y está volando a una velocidad de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?
16. La cantidad que un trabajador lleva a su casa es $492, después de haber deducido un total de 40% del pago bruto. ¿Cuál es su sueldo bruto?
17. El costo de instalar material aislante en una casa es de $1080. Los costos actuales de calefacción son en promedio $60 mensuales. Se espera que el material aislante reduzca ese costo en un 10%. ¿Cuántos meses necesita para recuperar el costo de material?
18. Un trasatlántico que tiene 800m de longitud excede en 744 a los 8/9 del ancho. ¿Cuánto mide el ancho?
20.
del punto de apoyo y la menor a 8 pies del mismo. Encuentre los valores de las cargas.
Resolver los siguientes problemas: 19. Cuál fracción representa a 3, 4545...?
Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio, cuando una carga de 400 lb se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo y dos cargas que difieren entre sí en 150 lb se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 12 pies
T
84 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Hasta el momento se han estudiado ecuaciones en una variable cuyo conjunto solución si existe, corresponde a un único valor. Sin embargo, es posible establecer ecuaciones en dos variables, cuya forma general es:
0cba =++ yx , con 0 y ≠ℜ∈ acba ,,., Una ecuación de esta forma tiene infinitas soluciones, dependiendo del valor real que tome una de las variables, la otra tomará un valor real que permita cumplir con la ecuación. Ejemplo 12 Encontrar soluciones para la ecuación 0123 =−− yx Como puede verse, es necesario encontrar valores para x y para y para que se cumpla la ecuación. La manera más fácil de encontrar estas parejas de valores es dar un valor para cualquiera de las variables y encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, si 0=x , se tiene que ( ) 01203 =−− y . Esto significa que y debe tomara el valor de 2
1− .
Ahora, si , si , se tiene que 0=y ( ) 01023 =−−x . Por lo que x debe tomara el valor de 3
1 .
Repitiendo el proceso para diferentes valores de x ó de y, se encontrarán parejas como las que se muestran en la siguiente tabla:
X y
0 21−
1 1
2 25
-1 -2
31− 1
31 0
Podría encontrarse infinitas parejas de valores reales para las variables x ó y, de tal forma que el conjunto solución de la ecuación corresponde a las parejas de la forma ( ){ }0123 =−+ yxyx , . Por lo tanto:
C.S.= ( ){ }0123 =−+ yxyx ,
Cuando se tiene un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables es llamado sistema de ecuaciones y su forma general es:
ℜ∈⎩⎨⎧
=++=++
fe,d, c, b, a,0fed0cba
yxyx
El conjunto solución para un sistema de estas características estará formado por aquellos valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones, por lo tanto serán parejas de elementos de la forma ( ) . yx ,
En este capítulo se ilustrarán los métodos de solución algebraica de dos ecuaciones lineales en dos variables. Existen tres métodos de solución algebraica conocidos con los nombres de sustitución, igualación y reducción o de suma y resta.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 85
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN
Este método como su nombre lo sugiere consiste en reemplazar el valor de una variable en una de las ecuaciones por el valor que la variable tiene en la otra ecuación. Este método es eficiente cuando en una de las ecuaciones dadas una de las variables tiene como coeficiente la unidad. El siguiente ejemplo ilustra este método: Ejemplo 13
Encontrar el conjunto solución de ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+
1
635
yx
yx
En la segunda ecuación la variable x tiene coeficiente 1, lo cual fácilmente permite establecer:
yxyx +−=⇔−=− 11 sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se tiene:
( ) 6315635 =++−⇒=+ yyyx La situación ahora es una ecuación lineal en una sola variable que puede resolverse así:
( )81111863556315 =⇒=⇒=++−⇒=++− yyyyyy
Teniendo el valor de y, puede encontrarse el valor de x tomando cualquiera de las ecuaciones y sustituyendo y por su valor
831
8111
8111 =⇒−=⇒−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⇒−=− xxxyx
Por último, se verifica que realmente estos valores son solución del sistema:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+
1
635
yx
yx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⇔1
811
83
68113
835
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=+⇔
1811
83
6833
815
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=⇔
188
6848
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=⇔
11
66
Como se observa, los valores encontrados hacen verdadera cada una de las ecuaciones,
por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
811
83 ,
3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN
Este método consiste en despejar de cada ecuación la misma variable y utilizar el principio de transitividad: si y ba = c ac b =⇒= Nuevamente se ilustra el método con un ejemplo:
86 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+
74
73
yx
yx
Se procede de la siguiente forma:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+
74
73
yx
yx
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
−=⇔
yx
yx
47
37
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
−=⇔
yx
yx
47
37
Por el principio de transitividad, se tiene que:
yy 4737 +−=−
Esto lleva a resolver una ecuación lineal en una variable:
yyyy =⇔=⇔+−=− 27144737 Conociendo el valor de y se encuentra el valor de x sustituyendo y en cualquiera de las ecuaciones:
( ) 18772474 =⇔−=−⇔=+−⇔=+− xxxyx Ahora se verifica la validez de los valores de x y y encontrados
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+
74
73
yx
yx ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+⇔
7241
7231
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+⇔
781
761
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
77
77
Los valores de las variables hacen verdadera cada una de las ecuaciones por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es ( ){ }21,
3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN
Este método se basa en la siguiente propiedad:
Toda ecuación se puede sumar con otra ecuación sin modificar el conjunto solución. El método se estudiará con el siguiente ejemplo: Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de
⎪
⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
162
14
yx
yx
En el sistema planteado, al multiplicar la primera ecuación por 2 y aplicar la mencionada propiedad, se elimina la variable y y el problema se convierte en una ecuación lineal en una variable.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
162
14
yx
yx
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+⇔
162
228
yx
yx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 87
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ahora:
2
189162
228
=
=⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
x
xyx
yx
Teniendo ya el valor de x, se utiliza cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de y:
( ) 71421622162 −=⇔=−⇔=−⇔=− yyyyx Finalmente, se verifica que los valores de x y y satisfagan las dos ecuaciones
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
162
14
yx
yx ( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−
=−+⇔
16722
1724
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−⇔
16142
178
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
1616
11
Los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones. Por lo tanto el conjunto solución es . ( ){ }72 −,
En la ilustración de los tres métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables siempre se encontró que el conjunto solución tenía como único elemento una pareja del plano cartesiano. Esta situación lleva a plantear la siguiente pregunta: ¿Pueden presentarse las mismas alternativas que cuando se resolvieron sistemas lineales en una variable?. Es decir, ¿puede suceder que no exista solución o que haya infinitas soluciones? La respuesta es afirmativa para ambos interrogantes. Un ejemplo presentará cada una de las situaciones. Es importante resaltar que no importa el método escogido para resolver el sistema, la situación algebraica que nos lleva a establecer la cantidad de soluciones es la misma. Ejemplo 16 Encontrar el conjunto solución de
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=−
562
13
yx
yx
Utilizando el método de reducción o de suma y resta, se multiplica la primera ecuación por 2:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=−
562
13
yx
yx
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=−⇔
562
262
yx
yx
70
700562
262
=
=+=+−
=−
yxyx
yx
Como es falso que 0 = 7, se concluye como en el caso de las ecuaciones lineales que no hay solución. Por lo tanto el conjunto solución es ∅
Un sistema de ecuaciones que no tiene solución se dice que es un sistema inconsistente.
88 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 17 Encontrar el conjunto solución de
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=−
yx
yx
3
622
Utilizando el método de sustitución, se obtiene:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=⇔=−
=−
33
622
yxyx
yx ( ) 0062626232 =⇒=−+⇒=−+⇒ yyyy
0 = 0 es verdadero. Se concluye entonces que existen infinitas soluciones .
Decir “infinitas soluciones” puede interpretarse como que cualquier pareja ( x, y) puede ser solución para el sistema. Pero la verdad es que sólo puede serlo mientras cumpla con la condición exigida por las ecuaciones dadas.
Si se toma la primera ecuación 3622622 −=⇒−=⇒=− xyxyyx se entiende que las parejas son de la forma . La condición de x como número real hace que infinitas parejas constituyan la solución final.
( 3−xx , )
C.S. = ( ){ }3−= xyyx , , ó
C.S. = ( ){ }3−xx ,
Un sistema como este, con infinitas soluciones se dice que es un sistema dependiente. Ejercicios 3.3
Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos: Igualación, Sustitución, Reducción.
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
207
14910
y x
yx2.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
303
2024
yx
yx3.
46
98
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
−=−
yx
yx4.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
−=+−
1985
381610
zw
zw
5. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
−=+
846
347
ba
ba6.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
1224
32
yx
yx7.
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
−=
642
12
xy
xy8.
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=−
642
42
xy
yx
9. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=−
42
221
xy
yx 10.
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
=+
1264
632
yx
yx11.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=+
052
32
yx
yx12.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
+
=+
−+
321
2
43
42
2
yxyx
yx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 89
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
s Determinar i emas ca, ninguna solución o infinitas solucione
⎪⎨⎧
33128
2
yx
x
los sts:
siguientes si tienen solución úni
13. =− 83y
14. ⎪⎩ =+− ⎪⎩
⎪⎨⎧ =− 3124 yx
15. =+ 3
31 yx ⎪⎩
−−= 1025 yx
Si los siguientes sistemas tienen infinitas soluciones, encuentre 3 de ellas:
⎧ =− 1539 yx ⎧ =+ 132 yx
0. La edad de un padre con la de su hijo suma 90 años. Si el hijo nació cuando el padre ten
⎪⎨⎧ −=+ 2052 yx
16. ⎪⎩
⎪⎨
=− 1026
yx 17.
⎪⎩
⎪⎨
=+ 264 yx
Resolver los siguientes problemas:
18. El triple de la suma de dos números es 1.350 y el doble de su diferencia es 700. Hallar los números.
19. La suma de dos núme excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. Hallar los números.
ros
2ía 36 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?
21. Dos números suman 4
245 . Si restamos 81 al mayor y sumamos
81 al menor, obtenemos
dos cantidades iguales. ¿Cuáles son dichos números?
22.
La edad de Pedro y la de Juan suma 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años, y la de Pedro y la de Enrique 12 años. Hallar las tres edades.
La suma de tres números es igual a ; dos veces la suma del menor y el mediano es o
sobrepasa en 4 unidades al duplo del mayor. ¿Cuáles son esos números?
Analizar y resolver los siguientes problemas:
Un saco y un pantalón valen $75; el pantalón y su chaleco $51; y el saco y el chaleco, $66. ¿Cuánto vale cada pieza?
23.
24. 33inferior en 9 unidades al triple del número mayor; y el triple del menor, mas el median
3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE. En esta sección estudiaremos las ex resp iones que llevadas a su forma más simple se
resentan como: 0ba ≥+x , 0ba ≤+x , 0bap <+x ó 0ba >+x , y que se conocen con el nombre de inecuaciones lineales en una variable. Tal como se estableció en el capítulo 2, el conjunto de referencia es el conjunto de los números reales. De esta forma, el conjunto solución de una inecuación es un conjunto de puntos que conforman un intervalo en ℜ .
90 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
j
Para todo ℜ∈ℜ∈ ba , se tiene: “a es menor que b “ si y solo si b – a es positivo.
Dado que en los reales se puede identificar un orden, pueden establecerse las siguientes propiedades:
Propiedad de la tricotomía Propiedad de orden de la adición. Propiedad de orden de la multiplicación
Aquellos puntos sobre la recta numérica que se encuentran a la derecha de cero (0), son positivos y los que se encuentran a su izquierda son negativos.
Una inecuación es una relación de orden válida para algunos valores de la variables en el conjunto de referencia.
De la misma manera como el cero (0) divide la recta numérica en dos grandes subconjuntos, los números positivos y los negativos, cualquier otro número real define dos intervalos de puntos, pero los elementos de estos dos intervalos no son todos positivos o todos negativos. Por ejemplo: Si tomamos , encontramos que se definen dos conjuntos de puntos: 5−=x Las expresiones y 5−<x 5−>x son inecuaciones lineales en una variable.
…5−>x5−<x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
o El intervalo ( ) ∞− ;5contiene elementos tanto positivos como negativos.
…
Todos los puntos a la izquierda de –5, conforman el intervalo ( )5−−∞; y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que 055 <+⇔−< xx . Por su parte, todos los puntos a la derecha de –5, conforman el intervalo ( )∞− ;5 y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que 055 >+⇔−> xx . La expresión final corresponde a una inecuación de la forma 0ba >+x , en donde 1a = y
. Como se vio, el punto que definió los dos intervalos en la recta numérica fue 5b = 5−=x .
E
)
¿Por qué justamente 5−=x y no cualquier otro real?
Se toma porque es en este punto en donde 5−=x 05 =+x y a la derecha de 5−=x siempre se cumple que , mientras que a la izquierda de este punto siempre 05 >+x 05 <+x El método de analizar los intervalos sobre la recta numérica determinados por los puntos donde la inecuación se hace cero es conocido con el nombre de puntos divisorios. Para solucionar una inecuación lineal podemos realizar entonces un análisis sobre la recta numérica, o un desarrollo algebraico.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 91
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 18 Encontrar el conjunto solución para 04 >+x . Método 1: Haciendo un análisis sobre la recta numérica: Para dar solución a esta inecuación se debe encontrar el punto donde 4+x es igual a cero, que es en . Como la condición es que 4−=x 4+x debe ser estrictamente mayor que cero, éste punto no debe incluirse en la solución. El punto que se acaba de encontrar define dos conjuntos de puntos: el intervalo ( )4−−∞; y el intervalo . ( )∞− ;4
Cualquier punto sobre la recta numérica a la izquierda de 4− es decir los ( )4−−∞∈ ,x
cumple con la condición de ser menor que 4− , lo cual significa que si ( ) 0444 <+⇔−<⇒−−∞∈ xxx , . Dado que se busca los valores de x que hagan
cierta la inecuación , se concluye que ninguno de estos valores satisface la inecuación dada.
04 >+x
Los puntos a la derecha de 4− , es decir, los correspondientes al intervalo ( ) ,
cumplen con la condición ∞− ;4
044 >+⇔−> xx , por lo tanto el conjunto de puntos de este intervalo corresponde a la solución de la inecuación que se quería resolver.
La conclusión final es que el conjunto solución para la inecuación es el intervalo . ( )∞− ;4
Método 2: Mediante análisis algebraico: Si queremos encontrar la solución de manera algebraicamente, tendremos que transformar la inecuación dada en expresiones equivalentes mediante la utilización de las propiedades de orden de los reales:
4+x > 0 Inecuación dada ( )44 −++x > ( )40 −+ Propiedad de orden de la suma
0+x > 4− Propiedad del inverso aditivo x > 4− Propiedad del elemento identidad de la suma
De esta forma, se ha llegado a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Para representar el conjunto solución puede utilizarse una de las siguientes notaciones: Notación de conjunto: { }4−>ℜ∈ xxx , Notación de intervalo: ( )∞− ,4
Representación gráfica:
-4 -3 -2 -1 1 2 30 Por último, debe comprobarse la solución de la inecuación. Como no es posible tomar todos y cada uno de los puntos del intervalo, puesto que se tendría que hacer infinidad de verificaciones, bastará tomar algunos puntos que no pertenezcan al intervalo solución, buscando llegar a una contradicción. Para este caso, podemos tomar
29105 −==−= xxx ,, :
92 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
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Si ( ) ( ) 01045455 >−⇒>+−⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual es falso. Por lo tanto, −5 no es solución para la inecuación dada. Si ( ) ( ) 06041041010 >−⇒>+−⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual es falso. Por lo tanto, −10 no es solución para la inecuación dada. Si ( ) 0
2104
294
29
29 >−⇒>+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⇒∞−∉−⇒−= ;x , lo cual también es falso. Por lo tanto,
29− no es solución para la inecuación dada.
Seguramente, si se reemplaza el valor de x por cualquier otro valor perteneciente a ( )4−−∞; , llegamos a otra contradicción. De aquí se puede concluir que efectivamente este intervalo no es solución para la inecuación. Puede comprobarse también para uno o para varios puntos del intervalo del conjunto solución con lo que debe llegarse a una afirmación verdadera. Por ejemplo, : 0=x Si , resultado que sí es verdadero. Esto lleva a concluir que el intervalo ( sí es la solución buscada.
( ) ( ) 04040400 >⇒>+⇒∞−∈⇒= ;x)∞− ,4
Ejemplo 19 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 03 ≥− x : Método 1: Análisis sobre la recta numérica: De acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior, si queremos recurrir al análisis gráfico, primero debemos hallar el punto en donde 03 =− x que es en 3=x :
… …1 2 3 4 5 60
3<x 3>x Como buscamos los puntos que cumplen con ser 03 >− x ó que cumplen con ser 03 =− x , el punto divisorio debemos incluirla en la solución. 3=x Los puntos a la izquierda de 3=x forman el intervalo ( )3,−∞ y cumplen con la condición
que es equivalente a decir , lo que a su vez es equivalente a decir . Por lo tanto, este intervalo es la solución que buscamos.
3<x x>3 03 >− x
Aunque podemos hacer un análisis similar para los puntos que se ubican a la derecha de
, ya no es necesario, porque llegaremos a que estos puntos cumplen con 3=x 03 <− x que no es lo que nos piden. Finalmente, la solución estará dada por:
C.S. ( ]3;−∞
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 93
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Método 2: Análisis algebraico:
x−3 ≤ 0 Inecuación dada ( ) x−−+ 33 ≤ ( )30 −+ Propiedad de orden de la suma
x−0 ≤ 3− Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma x− ≤ 3− Propiedad del elemento identidad de la suma x ≥ 3 Propiedad de orden de la multiplicación
Escribiendo este resultado en notación de intervalo se tiene [ )∞⇔≥ ;33x Hemos llegado así a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Gráficamente la solución podemos representarla como sigue:
1 2 3 4 5 60
Ejemplo 20 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 023 ≤− x , Método 1: Análisis gráfico: El análisis sobre la recta numérica requiere inicialmente ubicar el punto en donde . A partir de dicho punto, puede hacerse un procedimiento similar al desarrollado en los ejemplos anteriores:
023 =− x
23
−2 −1 1 2 3 4 50
23>x2
3<x
…… Si ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞∈ ;23x entonces x puede ser igual a 2, verifiquemos en la inecuación dada : 023 ≤− x
( ) 583423 −=−=− y como , podemos afirmar que este punto forma parte del conjunto solución.
05 ≤−
Si ⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ ∞−∈
23;x entonces x puede ser igual a 0, verifiquemos en la inecuación dada 023 ≤− x
( ) 303023 =−=− y como no es cierto, podemos afirmar que este punto no forma parte del conjunto solución
03 ≤
De lo anterior podemos concluir que: C.S. ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞;23 .
Este procedimiento, aunque parte del análisis del punto divisorio, no implica un desarrollo algebraico para llegar a la solución, sino la verificación de la validez de la inecuación para puntos tomados de manera arbitraria de cualquiera de los intervalos candidatos a ser solución. De esta forma, si llegamos a una contradicción, se rechaza el intervalo evaluado, o por el contrario, si tomamos un elemento llegando a una afirmación válida, aceptamos el intervalo involucrado.
94 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La exactitud en el resultado depende en gran parte de la solución de la ecuación y del buen manejo en el cálculo del valor numérico de la inecuación en los puntos que se toman de prueba para la confirmación del intervalo solución.
Método 2: Análisis algebraico: Si resolvemos la inecuación algebraicamente se tiene:
x23 − ≤ 0 Inecuación dada ( ) x233 −−+ ≤ ( )30 −+ Propiedad de orden de la suma
x20 − ≤ 3− Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma x2− ≤ 3− Propiedad del elemento identidad de la suma
( )x221 −− ≥ ( )3
21 −− Propiedad de orden de la multiplicación
x ≥ 23 Propiedad del inverso multiplicativo
C.S. en notación de intervalo ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞;23
La representación gráfica de la solución será:
23
-2 -1 1 2 3 40
Ejemplo 21 Encontrar el conjunto solución de 32 ≤+x analizando la recta numérica. Como la inecuación dada no está en la forma 0ba ≥+x , 0ba ≤+x , ó 0ba <+x 0ba >+x , debemos primero hacer la transformación a una de estas formas:
0103232 ≤−⇔≤−+⇔≤+ xxx Ahora sí podemos hacer el análisis sobre la recta numérica. El punto donde se hace cero la expresión lineal es en 1=x Por lo tanto se tiene gráficamente:
-2 -1 1 2 3 40 … …
1<x 1=x 1>x 01<−x 1=x 01>−x
C.S. ( ]1;−∞
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 95
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 22 Encontrar algebraicamente el conjunto solución para 7487 −<− xx
87 −x < 74 −x Inecuación dada ( )xx 487 −− < ( )xx 474 −− Propiedad de orden de la suma
83 −x < 70 − Propiedad del inverso aditivo 883 +−x < 870 +− Propiedad de orden de la suma 03 +x < 1 Propiedad del inverso aditivo x3 < 1 Propiedad del elemento identidad de la suma
x331 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ < 1
31 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ Propiedad de orden de la multiplicación
x < 31 Propiedad del inverso multiplicativo y elemento
identidad de la multiplicación El conjunto solución puede ser expresado utilizando las diferentes notaciones:
Notación de conjunto: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <ℜ∈
31xxx ,
Notación de intervalo: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−
31,
Se puede representar también gráficamente:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Para comprobar la solución de la inecuación tomaremos un punto que no pertenezcan al intervalo solución para llegar a una contradicción. Para este caso, puede tomarse:
( ) ( ) 317148171Si311 −<−⇒−<−⇒=⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−∉ x;
lo cual es falso. Por lo tanto, 1 no es solución para la inecuación, y ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞∈ ;311 .
Podemos comprobar también para un punto del conjunto solución con lo que debemos llegar a una afirmación verdadera:
( ) ( ) 787048070Si310 −<−⇒−<−⇒=⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−∈ x;
De esta forma, podemos aceptar el conjunto solución encontrado. Ejemplo 23 Hallar algebraicamente el conjunto solución de: ( )343 −>− mm
m−3 > ( )34 −m Inecuación dada m−3 > 124 −m Propiedad distributiva mm +−3 > mm +− 124 Propiedad de orden de la suma 3 > 125 −m Agrupación de términos semejantes y elemento identidad de la
suma 123 + > 12125 +−m Propiedad de orden de la suma 15 > m5 Propiedad del inverso aditivo
96 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
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1551 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ > m5
51 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ Propiedad de orden de la multiplicación
3 > m Propiedad del inverso multiplicativo m < 3
El conjunto solución es: { }3<ℜ∈ mmm , Gráficamente el conjunto solución es:
-1 0 1 2 3 4 5 6 La verificación del conjunto solución se deja como ejercicio al estudiante.
j La solución de una inecuación lineal es un conjunto de puntos de la recta
numérica que corresponde a un intervalo.
De la teoría de conjuntos, se sabe que si A y B son conjuntos cualesquiera, se definen las siguientes operaciones:
{ }BxAxxBA ∈∈= ó∪ { }BxAxxBA ∈∈= y∩
Las inecuaciones compuestas son aquellas formadas por la combinación de dos inecuaciones mediante los conectores y ú o. Si dos inecuaciones están unidas con el conector o, el conjunto solución será la unión de las respectivas soluciones. Si las inecuaciones están unidas con el conector y, el conjunto solución será la intersección de los dos conjuntos soluciones. Ejemplo 24 Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 03 <+−x ó 352 ≥−x
3+−x < 0 Ó 52 −x ≥ 3 x− < 3− Ó x2 ≥ 8 x > 3 Ó x ≥ 4
( )∞,3 ∪ [ )∞,4
∪
C.S. = ( )∞,3
-1 0 -2 1 2 3 4 5 6
0-2 -1 1 2 3 4 5 6
-1 0-2 1 2 3 4 5 6
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 97
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 25
Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 554 ≥+x y 243 ≤−x
54 +x ≥ 5 y 43 −x ≤ 2 x4 ≥ 0 y x3 ≤ 6 x ≥ 0 y x ≤ 2
[ )∞,0 ∩ ( ] 2,−∞
∩
C.S. = [ ]20,
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
0-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
En algunos casos, una inecuación compuesta conectada con la palabra y puede ser resuelta de una forma más corta: Ejemplo 26
Cuál es el conjunto solución de 654 +<− t y 2165 ≤+t ?
Las dos inecuaciones que se presentan pueden resumirse en una sola así: 21654 ≤+<− t . La solución obviamente es equivalente.
4− < 65 +t ≤ 21 Inecuación dada ( )64 −+− < ( )665 −++t ≤ ( )621 −+ Propiedad de orden en la suma
10− < t5 ≤ 15 Agrupación de términos semejantes ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
5110 < ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛515t ≤ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛5115 Propiedad de orden en la multiplicación
2− < t ≤ 3 Propiedad del inverso multiplicativo
La solución expresada en notación de intervalo es: ( ]32,−
Ejemplo 27 Encontrar la solución para la siguiente inecuación: 7273 ≤−<− x
3− < x27 − ≤ 7 Inecuación dada ( )73 −+− < ( )727 −+− x ≤ ( )77 −+ Propiedad de orden de la suma
10− < x2− ≤ 0 Agrupación de términos semejantes ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
2110
> ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−
212x ≥ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
210 Propiedad de orden de la multiplicación
5 > x ≥ 0 Propiedad del inverso multiplicativo
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60
o El sentido de las desigualdades cambia.
98 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para representar gráficamente la solución 05 ≥> x Decir representa Decir 0≥x representa x>5
Por lo tanto
0 -2 -1 1 2 3 4 5 6
0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
El intervalo [ )50, es la solución de la inecuación 7273 ≤−<− x La validez de la solución debe ser verificada. Para ello, puede tomarse un punto dentro del intervalo solución para llegar a una expresión verdadera, o un punto por fuera de este intervalo que lleve a una contradicción.
[ ) ( ) 75371273501 ≤<−⇔≤−<−⇒∈ ; Para establecer la contradicción, se recomienda tomar un punto a la izquierda y otro a la derecha del mismo intervalo: [ ) ( ) 79371273501 ≤<−⇒≤−−<−⇒∉− ;
[ ) ( ) 73375273505 ≤−<−⇒≤−<−⇒∉ ; o Se presentan
contradicciones.
Con puntos a la derecha y a la izquierda del intervalo solución, se llega a contradicciones, lo cual permite aceptar el conjunto encontrado.
Ejercicios 3.4
1. x
2. y
3. q π
4. d
5.
6. z
7. 7
w 9
Expresar el enunciado en forma de desigualdad:
es negativo.
es no negativo.
es menor ó igual que .
está entre 4 y 2.
t no es menor que 5.
El negativo de no es mayor que 3.
y o, . El cociente de p q es, cuando much
El recíproco de es, cuando menos . 8.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 99
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Encontrar el conjunto solución de las siguiente s:
8<+ xx
s inecuacione 9. +532 10.
31
4353 xxx −+<−
11. 232 ≥−− x 12. ( ) ( )53334 −−<− xx ó 6
35
23 ⎜⎝4
7 <⎟⎠⎞⎛ −− xx
13. ( ) ( )236532 −−>+−− xxx y ( ) ( )43 xx +<− 2
212 14. ( )[
362
43 xx +<− ] ( )23 −−≥ xx ó 2534 +−−− x
613
482 +≤ x,
, 15. ( ) ( )xx 25231376120 ,,,, −≤−− y 4, 16. 10324 ≤−< x
17. 53213 >−≥ x 18. 1534 −>+≥ x
19. 2317
41 −≤+ xx 20. 7
5323 <−≤ x
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Encontrar el conjunto solución de las siguien e
tes cuaciones:
1. 524
106 ww −=− 2. 9
265
−−=−
yy
3. 5
20685
14 −=+− aa 4. 30
8− 1015
635
76 =−−+ xxx
5. ( ) ( ) ( )734321 −−=++ ccc . 27506 − 6. ( ) 31
32 4445 −=−+ ww
7. 34
321
5 −=+ xx 8. ( ) y17461737651,834 ,,, −=−− y 4,
9. ( ) ( ) ab1b2 −=−−− x , con a, b, constanta x es. 10. 3
2265
24 −=−+ xx
6:00 a.m, una barredora de nieve sale de un pueblo, viajando a velocidad constante.
las 8:00 a.m, un automóvil comienza a viajar a una velocidad de 30 km/h y alcanza a la ba to
12.
n grupo de 14 amigos decidieron ir a un concierto. Dos de ellos no agar el costo del boleto, así que los otros pagaron cada uno,
Resolver los siguientes problemas:
11. A lasA
s después. Calcular la velocidad de la barredora. rredora 30 minu
U
3
podían psu boleto y 4 pesos más. ¿Cuánto costaba cada boleto?
13. La edad de David es 4 años menos que el triple de la de su hermanita Consuelo. La mitad de la edad de Consuelo es 3 años menos que el doble de la de David. Si ambos nacieron bajo el mismo signo zodiacal, se diría entonces que son gemelos?.
14. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
100 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
15. Una mujer de negocios desea invertir $30.000 en dos fondos diferentes que producen ganancias anuales del 13% y 15 1/2%, respectivamente. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo para obtener una ganancia de $4.350 después de un año?
Se desea construir un silo grande para grano
R en agua tranqu luego rema corrie
encontrar:
16. que tenga la forma de un cilindro circular
17. ranjero desea cercar un terreno rectangular y planea usar 180 pies de material y e los lados del rectángulo.
itud del lado paralelo a la orilla del río
El doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. lan
18.
o puede remar en un bote a una velocidad de 5 millas/hora ila. Si rema contra la corriente durante 15 minutos y
nte abajo y regresa al punto de partida en 12 minutos,
19. uánto los peces?
ué edad tiene Matilde, que nació cuando Rosa tenía
21.
go $232.
23. ace 15 años la edad de Ricardo e su hijo.
24.
25. I asistieron 600 personas.
premier?
26.
27. rtida de la siguiente manera: el menor recibe ierta cantidad, el segundo recibe $6.746 más que el primero, el mayor recibe $5.200 más
q Si el monto total de la herencia fue de $431.000 y se entregaron $123.000 a to recibe el hijo menor?
con una semiesfera unida a la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies, pero la altura no se ha determinado aún. Encontrar la altura total que debe tener el silo para que su capacidad sea de 11.250π pies3.
Un gparte de la orilla de un río en vez de cercar en uno dEncontrar el área del rectángulo formado si la longes:
a. b. La mitad de c. La misma lo
longitud de un lado adyacente. gitud de un lado adyacente.
Un muchach
a. La velocidad de la corriente.
b. La distancia total que recorrió.
Una pecera con sus peces vale $260 y la pecera $20 más que los peces. ¿Cuánto vale la pecera y c
20. Cuando Rosa nació, María tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Elsa, que tiene 50 años. Q11 años?
Si a un número le añado 2, le resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 132. ¿Cuál es el número?
22. Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de $86; entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté $20 a un amigo. Si ahora ten¿Cuánto tenía al principio?
La edad actual de Ricardo es el doble de la de su hijo. Hera el triple de la del hijo. Encuentre la edad actual de Ricardo y la d
El largo de un rectángulo es tres veces su ancho. El perímetro tieque el largo. Encontrar las dimensiones del rectángulo.
A la presentación de la película Bichos I
ne 68 centímetros más
El costo de las boletas para adulto era de $5.000 mientras que los niños pagaron solo $2.000 Si la taquilla de cine recibió $2.400.000, ¿Cuántos niños asistieron a la
El mayor de dos números es 6 veces el menor, la resta del mayor menos el menor es 312,5. Encontrar los números.
Tres hermanos reciben una herencia repa
eqcue el segundo. un asilo, ¿cuán
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 101
CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES
CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO28.
Pensando en viajar en un año, queremos invertir un capital de $240.000 en un certificado de ahorro que produce el 9% anual y el resto en unos bonos que producen el 12% anual. ¿Cuánto debe invertirse en
29. nes por un total de $10.000. En una obtuvo una
30. resto en un fondo de inversión que produce el 8%
31. ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la s caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la bos?
gulo tien yx 52
cada uno, para obtener una ganancia del 100% sobre todo el capital durante un año?
Un corredor de bolsa realizó dos inversio
Putilidad del 10%, pero en la otro tuvo una pérdida del 12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?
Una persona desea invertir $20.000. Piensa depositar una parte en una cuenta de ahorros que produce 5% de interés simple y elde interés simple ¿De qué cantidad debe ser cada inversión para obtener una ganancia de 7% después de un año?
Dos cubos son tales que el lado de uno dediferencia de las áreas de una de ladiferencia de los volúmenes de los cu
Solucionar los siguientes problemas:
32. choSi un rectán e de an − unidades y tiene un área de 22 10116 yxyx −− unidade adrad Cuál es el perímetro del rectángulo?
22 2
34.
s. El $80.000 más que el coche, y sus arreos $25.000 coche. ¿Cuánto pagué por cada uno?
conjunto solu
35. 3− 36.
s cu as, ¿
33. ba + , si 2=ab y ( ) ba 10=+
Pagué $325.000 por un caballo, un coche y sus arreo caballo costómenos que el
Encontrar el ción de:
422 ≤+ dd 232 ≥−− x 37. 23
38.
952 −<− xx
7332 ≤+x 39. 12 ≤π+x 40. ( ) 3322 >−− xx
41.
−
zf
2+ ( ) 213 <+− xx 42. 223 ≤−x ó 953
>+− x 43. 153 >+x y 52 ≤+ x
44. 07 ≤+x y 53−
212 <−x
Pepe tiene en total 11 sobrinos, jugando con el número de niños y niñas, puede escribir una ecuación: Tres veces el número de niños, menos la
Resolver los siguientes problemas:
45.
diferencia del número de niñas menos el de niños más el doble del número de niños es igual a 3. ¿Cuántas sobrinas y sobrinos tiene Pepe?
102 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
46. Una biblioteca alquila libros que tienen un cargo fijo para los primeros tres días y un cargo adicional por cada día extra. Tomas pagó 27 centavos por un libro que usó durante 7 días mientras que Rosa pagó 21 centavos por otro que uso 5 días. Hallar el cargo fijo y el
47. ecenas se aumentan en 4 y las
48. tubos, de los cuales unos tienen 3,6m. de
49. s fue de $256. Encontrar los gastos de
50. le costaron y las ovejas ganando el 30%, si recibió $875 por todos los animales,
cuánto pagó inicialmente por cada una de ellas?
Un un médico que va a caballo 6Km. adelante. El primero recorre 13,5Km/h y el segundo 9Km/h. Al cabo de cuánto tiempo alcanzará aquél a
52.
53. r B es
54. 33m
56. ma de sus cifras es 6 y que leído al
cargo por cada día extra
Un número consta de dos cifras cuya suma es 14. Si las dunidades se disminuyen en 4, se obtiene el mismo número con las cifras en orden inverso. Hallar el número.
Una tubería de 50,4m. de largo se compone de 19largo y los otros 1,8m. Cuántos tubos hay de cada clase?
Los gastos de reparación de un taller fueron en un mes 3/16 de los gastos totales y éste fue 3/4 de los ingresos. La ganancia neta del mereparación, el gasto total y los ingresos totales.
Un campesino compró 10 vacas y 50 ovejas por $750. Vendió las vacas ganando 10% de lo que
51. hombre parte en una bicicleta tras
éste?
Resolver los siguientes problemas:
Tres pescadores, preguntados qué han cogido, responden: "cogimos 19 pescados y uno a ″de nosotros cogió 4 más que cad uno de sus dos compañeros . Cuántos cogió cada
uno?
Tres aldeas A, B, C, están situadas formando un triángulo. La distancia de A a B pasando por C es 114Km., la de A a C pasando po 118,5Km. y la de B a C pasando por A es 121,5Km.. Encontrar las distancias en línea recta de A a B, de B a C y de C a A.
ulo es El perímetro de un triáng .. El lado mayor es 5/6 de la suma de los otros dos y a la diferencia de estos le falta 1m para ser 1/5 del menor. Encontrar la medida de los tres lados.
55. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma del mayor y el mediano es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110°. Hallar los ángulos.
Hallar un número entre 300 y 400 sabiendo que la surevés es
10741 del número primitivo.
La suma de las tres cifras de un número es 6. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y
57. la cifra de las decenas, el cociente es 41, y si al número se le
añade 198, las cifras se invierten. Hallar el número.
. Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes. Cuando tú tengas la que yo tengo, nuestras edades sumarán 81 años. ¿Cuántos años tenemos actualmente?
58
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 103
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Uno encuentra a veces, lo que no está buscando” Alexander Fleming
CAPÍTULO IV
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4.1 INTRODUCCIÓN 4.2 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 4.3 SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO 4.4 REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO
DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS
4.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
CAPÍTULO IV
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4.1 INTRODUCCIÓN Las situaciones reales no siempre traen consigo la información necesaria para ser traducidas a una expresión algebraica que permita encontrar su solución. Con mucha frecuencia lo que se tiene son datos que representados gráficamente de manera conveniente llevan a establecer posibles formas de solución no necesariamente mediante expresiones algebraicas. Ejemplo 1 La empresa Espectáculos y Cía S. en C. está programando su próximo concierto. Con el fin de escoger el lugar de presentación, el Departamento de Logística recogió la siguiente información acerca de la asistencia a los conciertos más recientes dirigidos a la población juvenil:
Concierto No. Artista Asistencia (No. personas) 1 Gloria Steffan 60.000 2 Ricky Martín 35.000 3 Gilberto Santarosa 45.000 4 Andrés Cepeda 20.000 5 Megadeth 50.000 6 Shakira 80.000
Para el análisis de los datos, cada uno de los miembros de departamento realizó una representación diferente, las cuales permitirían tomar decisiones en la junta.
010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.000
Glo
riaSt
effa
n
Ric
kyM
artin
Gilb
erto
San
taro
sa
And
rés
Cep
eda
Meg
adet
h
Sha
kira
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 106
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
12%
16%7%17%
27%21%
Gloria Steffan Ricky Martin Gilberto SantarosaAndrés Cepeda Megadeth Shakira
010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.00090.000
0 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo 2 Carlos Andrés y Daniel Felipe, estudian en la universidad y trabajan de martes a sábado en un bar en la Zona Rosa. A su trabajo deben llegar por tarde a las 8:00 p.m. El siguiente gráfico ilustra las horas de llegada de cada uno de ellos:
07:26
07:40
07:55
08:09
08:24
0 1 2 3 4 5
Día laboral
6
Carlos Andrés Daniel Felipe
Observando la gráfica responder las siguientes preguntas:
¿Alguno ha llegado tarde al trabajo? Si así ha sido, ¿quién?
¿Han llegado a la misma hora algún día? ¿En caso afirmativo, cuándo?
Quién ha sido el que más temprano ha llegado? ¿Qué día? ¿A qué hora? Existen muchos sistemas de referencia en el área de las matemáticas y de la ingeniería, como son: sistema de coordenada cartesianas o rectangulares, sistema de información geográfica, sistema de coordenadas polares, sistema de aeronavegación, entre otros. Para esta primera parte del curso, se estudiará el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 107
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4.2
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Un par de rectas numéricas que se cortan perpendicularmente, como se muestran a continuación, forman un sistema de coordenadas cartesianas1. Cada una de estas rectas se representa como una flecha que apunta hacia el sentido positivo de los reales. Se dice además que es éste el sentido del eje. Ejemplos de sistemas de coordenadas cartesianas son: Por convención, éste último es el que se utiliza para representaciones matemáticas, llamando al eje horizontal “eje x”, al eje vertical, “eje y”, al punto de corte de las dos rectas, “origen” y a cada una de las áreas delimitadas por dichos ejes, “cuadrantes”. El sentido del eje horizontal es hacia la derecha y el del eje vertical es hacia arriba. Por estándar, cada cuadrante tiene asignado un orden específico, así:
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Cuadrante I Cuadrante II
Cuadrante III Cuadrante IV
La forma geométrica más simple que es posible representar en un plano cartesiano es un punto. Sin embargo, de acuerdo con el grosor del lápiz con que se dibuje o de acuerdo con la agudeza visual que se disponga, un punto puede convertirse a su vez en un conjunto de puntos. Para evitar confusiones, es necesario precisar su ubicación. En un plano cartesiano, un punto puede ser referenciado mediante una pareja o par ordenado, el cual a su vez tiene un orden: la primera componente corresponde a su relación con el eje horizontal y se conoce como abscisa, y la segunda componente a su relación con el eje vertical y se conoce como ordenada.
1 En honor a René Descartes, filósofo y matemático francés. (1.565 – 1.650)
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 108
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para encontrar las coordenadas de un punto cualquiera en el plano, se trazan líneas paralelas a los ejes x e y que pasen por el punto en cuestión. El punto por el cual la línea vertical corta al eje horizontal, corresponderá a su abscisa x. El punto de corte del eje y con la línea horizontal, corresponderá el valor de la ordenada y. Su notación es: ( x, y ). Ejemplo 3 Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano
, ( )02 ,=A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
21
,B , ( )13 −,−=C , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
413
27
,D
4.3
,
, F ( )30 −= ,E ( )31 −= ,
FE
C
A
BD
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO Cuando en un plano cartesiano se presentan varios puntos o conjuntos de puntos, puede establecerse entre ellos cierto tipo de relaciones: Una de estas relaciones y quizá por naturaleza la más fácil de establecer es la simetría. De manera intuitiva, cada persona tiene un sentido de la simetría por cuanto puede decirse que por el centro de nuestro cuerpo pasa un “eje imaginario” y que el hombro izquierdo está a la misma distancia del eje que el hombro derecho. Si se estiran los dos brazos a los lados, la uña del dedo medio del brazo derecho quedaría a una distancia de ese eje imaginario igual a la distancia que habría entre la uña del dedo medio izquierdo y el mismo eje. A menos que se descubriera una diferencia de longitud de los brazos, esta situación debe ser normal para todos. En términos formales, se diría entonces el hombro derecho es simétrico al hombro izquierdo con respecto al eje imaginario que pasa por el centro del cuerpo2. De la misma en un plano cartesiano pueden establecerse diferentes clases de simetrías con respecto a diferentes ejes o a diferentes puntos. Las que más se reconocen son entre otras:
Simetría axial respecto al eje y. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje y es de la forma (– a,b).
2 La imagen fue tomada de www.geocities.com/gabilago/99/
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 109
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Simetría axial respecto al eje x. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje x es de la forma (a,– b).
Simetría central. Respecto al punto (0,0): Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al origen es de la forma (– a,– b).
Simetría axial. Respecto a la recta y = x: Para un punto de coordenadas ( a, b ) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto a la recta y = x es de la forma ( b, a ).
En general, es posible establecer simetrías teniendo como referencia cualquier punto o cualquier eje sobre ele plano cartesiano. Ejemplo 4
Determinar los tipos de simetría para el punto A que se presentan en la siguiente gráfica
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
E
DC
B A
y
x
Como se observa el punto B es el simétrico de A respecto al eje y Como se observa el punto C es el simétrico de A respecto al origen Como se observa el punto D es el simétrico de A respecto al eje x
Como se observa el punto E es el simétrico de A respecto a la recta y = x
Ejemplo 5
En cuáles de las siguientes gráficas puede establecerse simetría axial o central? Definir el eje o el punto de simetría. 1.
2. 3. 4. y
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
Las gráficas 1 y 3 presentan una simetría axial con respecto al eje y y al eje x respectivamente. Por su parte, la gráfica 2 presenta una simetría central con respecto al origen. La gráfica 4 muestra una simetría con respecto a la recta L.
y
x-1 1 2 3 4
-2
-1
1
2 L
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 110
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 4.1 1. Si el eje y es eje de simetría, cuáles son:
a. Las coordenadas del punto simétrico a ? ( )73,
b. Las coordenadas del punto simétrico al punto ? ( )ba,
c. Las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo si se tiene el siguiente gráfico?
2. Si el eje x es el eje de simetría encontrar
gráficamente la figura simétrica a la dada en el siguiente sistema de coordenadas.
3. Si se sabe que la siguiente representación gráfica
tiene una simetría central respecto del punto ( )00, , completar la gráfica.
4. Responder las siguientes preguntas:
a. Determinar las coordenadas del punto que resulta de aplicar a una reflexión respecto a la recta
( 32,− )xy = .
b. Determine las coordenadas del punto que resulta de aplicar a ( )11,− una simetría respecto al punto ( )00,
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4-3-2-1
1234
A
B
C
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6-5-4-3-2-1
12345
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3-2
-1
1
2
34
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 111
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4.4 REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS
En general, en el plano cartesiano se representan gráficamente puntos que cumplen con ciertas condiciones dadas. Así como se ha trabajado con anterioridad con la regla de cuatro, tales condiciones pueden ser expresadas además en forma verbal, numérica, o algebraica. El ejemplo siguiente permitirá ver la correspondencia entre estas cuatro formas:
Forma Verbal Forma Numérica Forma Algebraica Forma Gráfica
Un punto ( )yx , cuya abscisa sea igual a 3 su ordenada tenga el mismo valor.
( )33 ,A = 3 con == xxy ,
El punto cuya
ordenada valga
( yx , )
25− y
sea la mitad de la abscisa.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
25
5 ,B 5 con 21 == xxy ,
Un punto cuya abscisa sea igual a 2 y cuya ordenada sea el doble del valor de la abscisa más cinco unidades.
( yx , )
( )92 ,=C 2 con 52 =+= xxy ,
El punto que cumpla con que su ordenada es igual a -8 y su abscisa es la raíz cúbica de la ordenada.
( yx , )
( )82 −−= ,D 8 con 3 −== yyx ,
El punto cuya abscisa tenga como valor el doble producto de la ordenada menos 2 unidades, y su ordenada sea 4.
( yx , )
( )46 ,=E 4 con 22 ==− yxy ,
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
A
B
C
D
E
Ejercicios 4.2
Resolver los siguientes ejercicios: 1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:
a. ( )03;−=A b. ( )117 −= ;B c. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
34
43 ;C d. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= 3
25 ;D
e. ( )820 +−= ;E f. ( )2−π= ;F g. ( )24 ;−=G h. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −π−= 2
2;H
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 112
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
2. Localizar en el plano cartesiano los puntos:
a. Con abscisa 4 y ordenada 2.
b. Con abscisa −2 y ordenada 0.
c. Con abscisa 5 y la misma ordenada del punto (3;−4).
d. Con la misma abscisa que el punto (–4;0) y ordenada –5.
e. Los puntos donde el valor absoluto de la componente x y de la componente y son iguales.
f. La coordenada x y la coordenada y, son el inverso aditivo uno del otro.
g. La abscisa es el cuadrado de la ordenada.
h. La diferencia entre la abscisa y la ordenada es 1.
i. ( ){ }1y2 =≤ yxyx /, 3. Con los siguientes puntos representados en el sistema de coordenadas elabore la tabla
de valores y encuentre la ecuación que los genera
x y
-4 -2 2 4 6 8
-4-2
2468
101214161820
4.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO
En la sección anterior se expresaron en diferentes formas las condiciones que permitían representar un punto específico. Sin embargo, en algunas ocasiones se pueden representar varios puntos a partir de la relación que se pueda establecer entre sus coordenadas. Estas relaciones pueden ser de orden o de igualdad. Finalmente, todos los puntos cuyas coordenadas cumplan con la relación darán origen a una gráfica con características especiales, deducibles generalmente a partir de la expresión algebraica de la relación. Dada una relación algebraica entre dos variables, deberá entenderse que las variables corresponden a las coordenadas de los puntos, por lo que para representar dichos puntos basta con darle valores arbitrarios a una de las variables y encontrar el valor de la otra. De esta forma se hallarán algunos puntos que permitirán fácilmente deducir todos los demás puntos de coordenadas reales que cumplen con la relación dada.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 113
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 6 y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4Representar en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas cumplen con: 01 =−+− yx Los puntos que cumplen con esta relación satisfacen una relación equivalente como:
101 +=⇔=−+− xyyx Esta nueva expresión permite encontrar las coordenadas de los puntos que conforman su representación, dando a x cualquier valor real y hallando el correspondiente valor para y, así: Sea
211
23
21 −=⇒+−=⇒= yyx
La gráfica muestra algunos puntos que cumplen con la relación. Ejemplo 7 Representar en el plano cartesiano todos los puntos cuyas coordenadas cumplen con:
22 += xy La expresión algebraica dice que el valor de y se encontrará dando valores reales a x multiplicándolos por 2 y al resultado sumarle 2 unidades. Dado que es imposible hacer el ejercicio para todos los reales, bastará con encontrar algunos valores. Por ejemplo:
Cuando x tiene un valor de 2, y valdrá 6. Si x toma el valor de 3, y tomará el valor de 8.
De esta forma, se puede realizar una tabla de valores que correspondería a la forma numérica de 22 += xy
x y 0 2 2 6 -2 -2 -4 -6 -3 -4
Al graficar los puntos y unirlos mediante una línea recta pueden encontrarse todos los puntos que cumplen con la relación inicialmente mostrada mediante la expresión algebraica . 22 += xy
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8y
x
Como se pudo observar, tanto en el ejemplo 6 como en el 7, expresiones de la forma
con y 0 ,=++ CByAx 0≠ℜ∈ BCBA ,,, baxy += ,con ℜ∈ba , , dan lugar a líneas rectas en el plano cartesiano. La primera forma es conocida como forma general, forma estándar ó forma canónica.
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 8 Representar en el plano cartesiano los puntos tales que 12 +≥+ yyx Para representar gráficamente la inecuación dada, primero se localizan los puntos que cumplen con la igualdad
12 +=+ yyx .
x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4-3-2
1234 y
-1
Estos puntos dividen el plano en dos semiplanos. Luego, se remplazan las coordenadas de un punto cualquiera en la expresión original, y si se encuentra una desigualdad en el mismo sentido, significa que todos los puntos del semiplano al que pertenece el punto de prueba satisfacen con la inecuación. Si la prueba arroja una contradicción, ningún punto de dicho semiplano hará verdadera la inecuación. EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 1. Representar en un plano cartesiano la información contenida en la siguiente tabla.
x y 5 2 8 5 9 6 11 8 15 12
2. Representar en un sistema de coordenadas los puntos ( )yx , que cumplen con que la
ordenada es el triple de la abscisa aumentada en una unidad.
3. Si se tiene que complete la siguiente tabla de valores: 32 −= xy
x y 2 3 4 5 6 7
4. Representar gráficamente el conjunto de parejas cuyas componentes son enteros
positivos menores de once y mayores que cero y cuya diferencia entre abscisa y ordenada es un número par.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 115
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
5. Encontrar las coordenadas del punto simétrico respecto al eje y, eje x y origen para cada uno de los siguientes puntos:
a. ( )12 −− ; b. ( )11 −; c. ( )03; d. ( )00; e. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
350;
6. Si el punto ( está en el tercer cuadrante, indique en que cuadrante se encuentran
los siguientes puntos: )ba ;
a. ( )ba −; b. ( )ba −− ; c. ( )ba ;−
d. ( )ab ; e. ( )ab- ; f. ( )aa ;−
7. Suponga que cada punto del plano se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 unidades
hacia arriba determine:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
A
B
C
a. Donde queda ahora el punto ( )35. ? b. Si se tiene el triángulo ABC que se observa en
el siguiente sistema de coordenadas donde queda el nuevo triángulo?
8. Representar en el plano cartesiano el siguiente conjunto “los puntos cuya abscisa es un
número real entre –2 y 4 y la ordenada es la abscisa disminuida en 1” 9. Determine que tipo de movimientos realizó y en que cantidad de unidades para obtener:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-6-5-4-3-2-1
123456 f
g
h
a. La gráfica g a partir de la f.
b. La gráfica h a partir de la g
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 116
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
10. En el siguiente gráfico
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4a. Relacionar tres puntos que pertenecen a la gráfica b. De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el interior de la gráfica
c. De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el exterior de la gráfica.
11. Determine las características de la abscisa y la
ordenada de la parte sombreada en el siguiente sistema de coordenadas
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
12. En el pasado festival de cometas, un grupo de estudiantes preparó como posible diseño de un afiche el esquema básico representado en un plano cartesiano como se ilustra. Deseando darle movilidad estudiaron dos tipos de simetría, realice el diseño si:
a. Se usa una simetría respecto al eje y b. Se usa una simetría respecto al
origen
5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 117
CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Llenar los espacios en blanco justificando su respuesta.
13. Si ( )ba; es un punto en el segundo cuadrante, entonces ( )ba −; es un punto del _______________________ . cuadrante.
14. Si la gráfica de una ecuación contiene el punto ( )32; y es simétrica con respecto al eje
x, la gráfica también contiene el punto _______________________ . 15. Si el punto ( )24; pertenece a una gráfica que es simétrica respecto al origen (impar), el
punto _______________________ . también lo está. 16. Si xy > 0 , el (los) punto(s) ( )yx ; está(n) en el cuadrante _____________________. 17. Qué diferencia hay entre ( )ba; y { }ba; _______________________ .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 118
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“A partir de los griegos, quien habla de matemáticas habla de demostración” N. Bourbaki
CAPÍTULO V
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
5.1 INTRODUCCIÓN 5.2 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx 5.3 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b 5.4 RECTAS VERTICALES 5.5 FUNCIÓN LINEAL 5.6 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN DOS
VARIABLES: SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO 5.7 APLICACIONES 5.8 SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL
MÉTODO GRÁFICO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CAPÍTULO V
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
5.1 INTRODUCCIÓN
j
La representación gráfica más simple en el plano cartesiano es la de un punto.
Un punto en el plano se simboliza mediante sus coordenadas: ( ) . yx ,
Dos puntos en un mismo plano determinan una recta.
Para representar expresiones algebraicas en el plano cartesiano, basta
con darle valores arbitrarios a la variable x y así encontrar el valor de y. Este método es conocido como tabulación.
En relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas en dos
variables, x y y, la variable independiente es x y la variable dependiente es y.
Tres puntos sobre una misma recta, se dice que son colineales.
Una recta en el plano cartesiano puede presentar cualquiera de las siguientes formas:
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 y
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 120
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 y
A partir de lo estudiando en el capítulo anterior, puede decirse que éstas corresponden a representaciones gráficas de expresiones algebraicas, cuyas características aún no se conocen. Cabe la pregunta: ¿Tienen algo en común tales expresiones? ¿Qué las diferencia? Para dar respuesta a estas inquietudes, se debe estudiar con detenimiento cada una de las secciones que se presentan a continuación.
5.2 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx Las ecuaciones de la forma xy m= , ℜ∈m son expresiones algebraicas de primer grado o lineales, llamadas así porque en el plano cartesiano representan una línea recta. El análisis para este tipo de ecuaciones comienza con la forma más simple, haciendo 1m = , con la cual se obtiene xy = , cuya gráfica se presenta a continuación:
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 x y
0 0 2 2 -1 -1 -4 -4 3 3
En forma numérica, la tabla de valores correspondiente permite ver que todos estos puntos sobre la recta son de la forma ( ) . xx ,
Como puede verse, la expresión da lugar a puntos en el plano cartesiano con igual valor para la abscisa y para la ordenada, y la unión de todos los puntos que presentan esta característica forman una línea recta como la que se muestra en la gráfica.
Si ahora se analiza la recta, qué conclusiones pueden sacarse?
A todo valor de , le corresponde uno y sólo un valor de y. ℜ∈x
Siempre que aumenta el valor de la abscisa, el valor de la ordenada aumenta.
La recta bisecta el primero y el tercer cuadrante.
Se presenta una simetría central respecto del origen.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
121
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Continuando el análisis, se estudia ahora el comportamiento de las rectas cuando m toma valores positivos mayores a la unidad. Para ello se observan las gráficas de y
de
xyxy 3 2 == ,
xy23
= . .
x
y
y=x
y=3/2x Tomando como referencia la recta correspondiente a xy = , se observa que: y=3x
Todas las líneas tienen en común el
punto . ( )00,
Cada recta tiene una inclinación
diferente.
A mayor valor de m, la recta se acerca más al eje y.
y=2x
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
El paso siguiente es analizar las gráficas cuando m varía entre 0 y 1. Las gráficas de xy32= y
de xy31= permiten ver que:
xy=1/3x
y y=x y=2/3x
Cada recta tiene una inclinación diferente.
A menor valor de m, la recta se acerca
más el eje x.
Todas las líneas tienen en común el punto ( )00, .
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
En todas estas situaciones se encuentra que la gran diferencia radica en la inclinación de cada una de las rectas, concepto que se asocia con la palabra “pendiente”. Para hablar en términos cotidianos, la pendiente puede relacionarse con la inclinación de un puente, de una vía, de una montaña o de una rampa. En todos estos casos, se están
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 122
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
uniendo dos puntos separados por una distancia horizontal y por una altura. Se dice que una montaña por ejemplo es más pendiente con respecto a otra, si a partir de una misma distancia horizontal, los puntos que une están separados por una altura mayor. La primera montaña es más inclinada y por lo tanto, su pendiente es mayor1. Al ver la situación sobre el plano cartesiano, puede interpretarse como la cantidad de unidades desplazadas en sentido vertical a partir de una misma distancia horizontal.
1 2 3 4 5 6
1.3u
-1
1
2
3
45
6
7
8
9
1.0u
-1 1 2 3 4-1
1
2
3
45
6
7
8
9
3u
1u
De manera general, la pendiente entre dos puntos cualesquiera sobre una recta puede determinarse por la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. A partir de la gráfica de y tomando cuatro puntos sobre ella, puede comprobarse que: xy 2=
1 Fotos extraídas de www.deporteweb.com/xtremos/alta.html.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
123
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre 2:1.
Pto. 1
Pto.2 D.V. D.H. D.V.
D.H.
C D 2 und. arrb 1 und.der. 212 =
C A 4 und. abj 2 und. izq. 224 =
A D 6 und. arrb 3 und.der. 236 =
C B 2 und. abj 1 und. izq. 212 =
B
y = 2xy
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 D
C
A
Los desplazamientos del punto 1 al punto 2 se hacen Ó ambos en el mismo sentido de los ejes así :
Vertical (D.V) arriba (arrb) Horizontal (D.H) derecha (der)
Ó los desplazamientos se hacen ambos en sentido contrario a los ejes, así:
Vertical (D.V) abajo (abj) Horizontal (D.H) izquierda(izq)
Comparada la razón con el coeficiente de x de la recta dibujada se encuentra que es
exactamente el mismo valor. Por lo tanto, la pendiente de la recta xy 2= es 2.
¿A qué conclusiones se llegará al comparar la recta xy = con la recta xy −= ? Con base en la gráfica de las rectas, puede decirse que:
La recta xy −= bisecta los cuadrantes II y IV.
La recta xy −= es la simétrica con respecto al eje x de la recta xy =
La recta xy −= es también simétrica con respecto al eje y a la recta xy =
Únicamente tienen en común el punto (0,0).
Las rectas tienen diferente inclinación. En la recta xy −= , se tiene que a mayor
valor de x, menor valor de y.
-4
x
y y=x
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
y= –x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 124
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
¿Qué se puede decir si se consideran diferentes rectas con ? 0m <
x
y
y= –1/3x
y= –x
Todas las rectas tienen inclinación diferente.
y= –2/3x
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
y= –2x
A menor valor de m se acercan más al eje y.
Todas tienen un punto común que es
el (0,0).
Los puntos de todas las gráficas se ubican en los cuadrantes II y en el IV.
Ahora, si se analiza el concepto de pendiente dado anteriormente en una recta con estas características, qué se puede generalizar? Es posible analizar estas rectas a partir de desplazamientos? Que diferencia hay? En la siguiente gráfica se estudiará la situación. y
x
A
y= –x
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
E
D
B
C
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
125
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Pto.
1 Pto.
2 D.V. D.H. D.V. D.H.
A B 1und abj. 1und. der
111 =
B D 3und abj. 3und. der
133 =
E D 2und arrb. 2und. izq 122 =
D C 2und arrb. 2und. izq 122 =
Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre la misma: 1:1. Para desplazarse del punto 1 al punto 2 debe hacerse uno de los movimientos en el sentido del eje y el otro en sentido contrario, así:
Horizontal (D.H) derecha (der) Vertical (D.V) abajo (abj)
Horizontal (D.H) izquierda (izq) Vertical (D.V) arriba (arr)
Cuando los desplazamientos son en sentido contrario uno del otro, se dice que la pendiente es negativa. Se observa ahora que si se toma el opuesto aditivo de la razón este valor coincide con el valor de m.
En términos generales puede decirse que las representaciones gráficas de expresiones de la forma xy m= son líneas rectas con pendiente igual al valor de m con las siguientes características:
Todas son rectas que pasan por el origen ( )00,
El valor de m corresponde al valor de la pendiente
Si su pendiente es positiva y a mayor valor de m la recta se encuentra más cerca del eje y.
1m >
Si , la pendiente es positiva y a menor valor de m, la recta se acerca más al eje x. 1m0 <<
Si , la pendiente es negativa y al aumentar el valor de la pendiente y acercarse a 0, la recta se acerca al eje x.
0m1 <<−
Si su pendiente es negativa y a menor valor de m la recta se encuentra más cerca del eje y.
1m −<
Ejemplo 1 Dibujar la recta correspondiente a xy 4−= . Antes de pretender hacer cualquier esbozo, debe hacerse el análisis de las características de la expresión:
Cumple con la forma xy m= , por lo tanto es una recta.
Debe pasar por el punto ( ) . 00 ,
El valor de . Su pendiente por lo tanto es negativa, por lo cual debe estar más cerca del eje y que la recta
4m −=xy −=
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 126
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La recta necesita dos puntos para ser representada gráficamente. El primer punto A es el conocido . Para encontrar el segundo punto B que permita trazar la recta, debe hacerse dos desplazamientos: uno en sentido vertical y otro en sentido horizontal, uno de ellos en el sentido del eje y otro en sentido contrario, determinados a partir de la siguiente proporción:
( 00 , )
14
4horizontal entodesplazami de unidades cantidad
vertical entodesplazami de unidades cantidad−=−=
Por tratarse de proporciones, podría aceptarse igualmente: =−=−624
28
La gráfica es entonces:
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
Hasta el momento, el trabajo se ha limitado a valores de m enteros. Pero, de qué manera pueden variar las generalizaciones ya aceptadas si m toma un valor racional? Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de xy
43=
La recta es de la forma xy m= , por lo tanto la recta que pasa por ( )00 ,
La pendiente es positiva.
Ambos desplazamientos deben ir en sentido de los ejes o ambos en sentido contrario a los ejes.
3 unidades de desplazamiento vertical. 4 unidades de desplazamiento horizontal.
-3
-2
-1
1
2
3
4
y=– 4x
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y=3/4x
x
y
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
127
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejemplo 3 Es posible encontrar la ecuación de una recta de la forma xy m= que pase por los puntos A y B mostrados en el siguiente gráfico?
Conocidos dos puntos de la recta, se pueden establecer los desplazamientos vertical y horizontal que se deben realizar para ir de un punto a otro, y por supuesto, determinar la razón entre estos desplazamientos. De esta forma, puede afirmarse que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:
23−==
..
..HDVDm
)
x
y
B
A
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1-1
1
2
3
4
5
6
7
E
)
Vale decir que el signo negativo se debe a que uno de los desplazamientos debe hacerse en el sentido del eje y el otro en el sentido opuesto. La siguiente condición que debe cumplirse para que la recta sea de la forma y = mx es que pase por origen, entonces ahora se pregunta: ¿Pasa esta recta por el origen? Si es así, cómo comprobarlo?
Si la recta pasa por el origen, la razón de los desplazamientos vertical y horizontal desde A o desde B hasta el punto debe ser la misma: ( 00 ,
23−=m
Tomando el punto A como punto de partida, se debe hacer dos desplazamientos para llegar al origen: 4 unidades a la derecha (sentido de los ejes) y 6 unidades hacia abajo (sentido contrario al eje). Por lo tanto:
23
46 −=−=m
Esto significa que efectivamente la pendiente es de la forma xy m= , y su pendiente es:
23−=m . Por lo tanto su forma algebraica es:
y = 23− x
Ejemplo 4 Qué características tendrá una recta de la forma xy m= cuando m ? 0=
Ya que es de la forma xy m= , debe ser una recta que pasa por el punto (0,0).
¿Qué significa la pendiente ? 0m =
De acuerdo con la definición de pendiente:
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 128
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ℜ∈=== cc ,00horizontal entodesplazami de unidades cantidadvertical entodesplazami de unidades cantidadm
Lo que significa que no importa cuántas unidades se desplace en dirección horizontal, ni el sentido de dicho desplazamiento, pues no habrá desplazamiento vertical. Entonces la recta coincidirá con el eje de las x.
En general, dados dos puntos cualesquiera ( )11 yxA ,= y ( )22 yxB ,= , la pendiente de la recta que pasa por ellos estará dada por la razón entre el número de unidades de desplazamiento vertical y de desplazamiento horizontal que se requiere para ir de uno de ellos al otro. Cómo establecer dichos desplazamientos?
x
y B=(x2,y2)
y2-y1
x2-x1
A=(x1,y1)
Del gráfico se puede observar que verticalmente, para ir de A a B se debe realizar un desplazamiento de unidades hacia arriba, mientras que el desplazamiento horizontal debe ser de
( )12 yy −
( )12 xx − unidades hacia la derecha. En forma algebraica, la pendiente se expresa como:
12
12
xxyy
m−
−=
La razón por la cual se relaciona la pendiente con la letra m, es por la palabra francesa “monter” que significa inclinación.
Ejercicios 5.1
Encontrar la ecuación para cada caso:
1. Las cuatro rectas que pasan por el origen y por los puntos ( ) ( ) ( )31211121
1 ,,,,,,, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ráfica.
De ene pendiente negativa.
.
5. a recta que se encuentre en la región del ejercicio anterior y a partir de ella
. Señalar la región que contiene rectas cuya pendiente es mayor a 3 y pasan por el
origen.
Describir el proceso que se debe seguir para: 2. Determinar la pendiente de una recta a partir de su g 3. terminar que una recta ti
En el plano cartesiano:
4 Señalar la región que contiene rectas que pasan por el origen y cuya pendiente es menor que 1.
Escoger unencontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es la mitad de la pendiente de la recta escogida.
6
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
129
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
5.3 ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b Las expresiones de la forma bm += xy con ℜ∈bm, deben guardar similitud con las ecuaciones de la forma xy m= estudiadas en la sección anterior. Cabe preguntar: ¿Qué incidencia tiene el real ? b Con la ayuda visual que proporciona la representación gráfica, se iniciará el estudio con las ecuaciones de rectas que presentan la forma b+= xy .
y=x
y=x+5/2
y=x –7/2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5
0.51.01.52.02.53.0
y=x –2
y=x+1
Todas tienen pendiente positiva.
La razón de los desplazamientos entre dos puntos que pertenecen a una misma recta es la misma para todas las rectas, lo que indica que tienen la misma pendiente y por lo tanto se dice que son paralelas.
Sólo xy = pasa por el origen.
Las rectas con cortan al eje x y al eje y en puntos distintos. 0b ≠
El corte con el eje y coincide con el valor de b.
Las rectas con , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta
0b >
xy = .
Las rectas con , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta
0b <
xy = .
De la misma forma, estudiando las ecuaciones de la forma b+−= xy puede extraerse la siguiente información:
Todas tienen pendiente negativa.
La razón de los desplazamientos entre dos puntos que pertenecen a una misma recta es la misma para todas las rectas, lo que indica que tienen la misma pendiente y por lo tanto se dice que son paralelas.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 130
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
y= –x –2
y= –x – 7/2
y= –x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5
0.51.01.52.02.53.0
x
Sólo xy −= pasa por el origen.
Las rectas con cortan al eje x y al eje y en puntos distintos.
0b ≠ y= –x+5/2
El corte con el eje y coincide con el valor de b.
Las rectas con , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta
0b >
xy −= . y = –x+1
Las rectas con , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta
0b <
xy −= .
En ambos casos, con y con 1m = 1m −= , b indica el punto de corte de la recta con el eje y. Esta característica le da a b el nombre de intercepto-y u ordenada al origen, ya que la coordenada del punto es de la forma ( )b0 , .
En cada uno de los grupos, las rectas tienen la misma pendiente, lo cual indica que son paralelas.
Lo anterior se generaliza en el siguiente teorema: Teorema 1: Dos o más rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
En cuanto al corte con el eje x, vale decir que tiene un nombre generalizado: intercepto-x o abscisa al origen ya que su coordenada es de la forma ( )0,x
Los siguientes ejemplos, permitirá entender de qué manera se pueden generalizar los conceptos vistos hasta el momento en esta sección: Ejemplo 5
Dadas las siguientes rectas, decir cuáles de ellas son paralelas.
Si se observa cada una de las rectas, se han establecido desplazamientos entre cualesquier par de puntos sobre ellas.
L
J
N
De esta forma, se encuentra que para las rectas H,L, y J, la razón entre los desplazamientos verticales y horizontales es de 2:1, y mientras uno de los desplazamientos se hace en sentido de los ejes, el otro se hace en sentido opuesto. Por lo tanto, estas tres rectas son paralelas.
M
2
1
1
2
2 3
23
4
6
9
4
H
Por su parte, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal entre dos puntos cualesquiera sobre las rectas M, y N, es de 3:1, ambos en el sentido de los ejes, por lo cual se puede afirmar que estas dos últimas rectas también son paralelas entre sí.
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131
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejemplo 6 Graficar y encontrar las coordenadas del punto de corte con el eje x.
12 += xy
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 Qué se sabe?
=
La pendiente es m . 2
El intercepto y es en 1. Como la pendiente es positiva, ambos desplazamientos son en el mismo sentido. El valor de 2 indica que la razón entre los desplazamientos es entonces de 2 a 1. El intercepto y en 1 hace que la recta pase por el punto . ( )10 ,
Si se quiere determinar las coordenadas del punto de corte con el eje x, puede seguirse dos métodos:
1. Por desplazamientos: Si se tiene en cuenta que la razón de los desplazamientos entre dos puntos cualesquiera es de 2 a 1, y se sabe que la recta pasa por el punto , puede hacerse un desplazamiento de una unidad hacia abajo hasta encontrar el eje x, y de media unidad a la izquierda para encontrar el punto que coincide con el punto de corte, cuyas coordenadas son:
( )10 ,
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − 0
21 , .
2. Algebraicamente: En el punto de corte con el eje x, el valor de la ordenada es 0. La situación se reduce a resolver una ecuación lineal en una variable, así:
21120 −=⇔+= xx
Ejemplo 7
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas ( )12 , y . ( )30 ,
Ya se conoce el valor de b de la ecuación.
Para calcular la pendiente m, se recurrirá a los desplazamientos desde un punto hasta el otro:
o Intercepto y
122 ==
..
..HDVD
x
y
2und 2und
-1 1 2 3 -1
1
2
3
4 Sólo uno de los desplazamientos se realiza en el sentido del eje, por lo tanto, la pendiente será negativa.
La ecuación de la recta es de la forma bm += xy
Si m = −1 y b = 3, se tiene:
y = –1x+3 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 132
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 8
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: ( )11, y . ( )23 ,−
x
y
1 und.
4 und.
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3 Pendiente m =
41=
..
..HDVD negativa.
La ecuación debe ser de la forma: b
41 +−= xy
)
Intercepto y:
E
)
Es claro que el método de los desplazamientos aunque es bastante práctico en muchas ocasiones, no siempre permiten llegar fácilmente a la solución. En ocasiones es necesario recurrir al uso de herramientas geométricas o al método algebraico para resolver este tipo de situaciones: Cómo proceder? Mediante el uso de herramientas de la Geometría, es muy útil establecer semejanza de triángulos, y hacer uso de las proporciones así: Si para llegar del punto : al punto ( 23 ,− ( ) se realiza un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha, para llegar del mismo punto
11,
( )23 ,− hasta el eje y se deben avanzar 3 unidades en el mismo sentido. Para conservar la misma proporción, cuántas unidades es necesario desplazar hacia abajo?
341 ?−=−=m
Efectivamente: es necesario bajar
43 de unidad, lo que significa que se cruza el eje y por el
punto 45 ya que
45
43
2 =− .
-4 -2 2 4
1
2
x
y
43
45
Conocido el valor del intercepto y la ecuación de la recta es 45
4+−=
xy
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133
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
El intercepto y también se puede obtener algebraicamente dado que se conocen dos puntos de la recta. Ambos deben cumplir con la ecuación, por lo cual cualquiera de ellos puede reemplazarse en la expresión:
b41 +−= xy
( ) b1411 +−=
b45 =
Ahora sí, puede concluirse que la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( y es:
)11, ( )23 ,−
45
41 +−= xy
Ejemplo 9 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )4
)3 , y
por . ( 11, y
2 und.
3 und.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
Pendiente: m =23=
..
..HDVD positiva.
Conocida la pendiente, se establece la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal desde un punto conocido hasta el punto que coincida con el eje y:
123 2
3
=
)
.
Esto significa que al desplazarse una unidad a la izquierda desde el punto , se debe desplazar ( 11,
23 de
unidad para llegar al intercepto y. De esta forma, la
ecuación determinada es: 21
23 −= xy
Ejemplo 10 Qué características tendrá una recta de la forma bm += xy , con y ? 0m = 0b ≠
En el ejemplo 4, se analizó la recta xy m= , con m , y se encontró que correspondía a una recta sobre el eje de las x. Si b hace que la recta se traslade verticalmente, para este caso, la recta horizontal, se trasladará b unidades hacia arriba si b es positivo, o b unidades hacia abajo, si b es negativo.
0=
Por lo tanto se puede concluir que la recta es paralela al eje x y con intercepto y en b. La expresión algebraica de la recta es b=y
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 134
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 11 Dada la representación gráfica del siguiente conjunto de rectas, encontrar la ecuación de cada una de ellas y resaltar sus características comunes: y
x
y4
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2 y3
y2
y1
Para la recta y1: 3
13m ===
..
..HDVD y 232b 1 −=⇒−= xy
Para la recta y2:
31m −==
..
..HDVD y 2
31
2b 2 −−=⇒−= xy
Para la recta y3: 5
15m −=−==
..
..HDVD y 252b 3 −−=⇒−= xy
Para la recta y4:
21m ==
..
..HDVD y 2
21
2b 4 −=⇒−= xy
Si bien las rectas tienen diferentes pendientes, todas tienen el mismo intercepto y. Es decir, el punto (0,–2) es común para las cuatro rectas.
Hasta el momento se han estudiado rectas que comparten las mismas características como la de tener la misma pendiente o el mismo intercepto y. En general cualquier conjunto de rectas que tengan una característica en común se conoce con el nombre de familia de rectas. Ejercicios 5.2
Sea D la recta con ecuación 53 +−= xy . Encontrar la ecuación de las siguientes rectas y graficarlas en un plano cartesiano.
1. La recta paralela a D que pasa por el punto ( )02, .
2. La traslación 2 unidades arriba de la recta D.
3. La traslación 3 unidades a la izquierda de la recta D.
Encontrar la ecuación de l s rectas para cada e los siguientes ejercicios:
4.
a uno d
La recta pasa por el punto ( )21 , y tiene pendiente 43− . Cuáles son las coordenadas del
5.
corte con el eje x? Cuáles s s coordenadas del punto de corte con el eje y?
La recta pasa por el punto
on la
( )42,− y por el punto al que se llega al desplazarse 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo.
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135
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
6. La recta corta al eje x en –2 y al eje y en 3.
7. La recta tiene pendiente 72 y que cruza al eje x en –5.
3 −,P8. La recta une los puntos ) 5 y ( ( )74,Q
9. cta que pasa por ( )23 −,P y es paralela a la recta 532La re =+ yx .
Encontrar la pendiente de las rectas que cumplan con las condiciones dadas:
10. La recta que s sigui
a. ( ) (
pasa por lo entes puntos:
( )32 ,,− c. 451 ,, b.
( ) (362 ,,
d. ( )54 ,,−
11. :
a.
La ecuación de la recta es la siguiente
0734 =+− yx b. 1−−= xy
Realizar los siguientes ejercicios:
12. e la recta 0123 =+− yx 13. c
Encontrar las coordenadas de tres puntos que se encuentre sobr
En ontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )33,− y que sea:
a. Paralela a la recta con ecuación 52 += xy
b. Paralela a la recta que pasa por los puntos ( )21,− y ( )13 −,
5.4 RECTAS VERTICALES En la sección 6.1. se presentaron los entes tipos de recta que se pueden encontrar. Los dos primeros orresponden a expresiones de la forma m
difer y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
c b+= xy . La tercera, es una recta de la forma b=y . La cuarta recta, qué expresión algebraica la representará? Si se pretende desplazarse desde un punto sobre la recta a otro a recta, se tend
cualquiera ubicado a d unidades sobre lrá:
0HD=
.., razón no definida. (Ver sección 1.8) dVD ..
P rse entonces que la pendiente no está
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
uede deci definida para este tipo de rectas.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 136
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La pendiente de una recta vertical es indefinida ó no esta definida
Hay muchos otros autores que dicen que la pendiente de una recta vertical es indeterminada, por lo tanto se puede utilizar este término.
a son
untos cuya abscisa siempre es 2. Es deci ordenadas son de la forma (2,y). Esto nos todo valo y, que escrito en términos de ecuación,
2
Sin embargo, la característica general de todos los puntos que se ubican sobre la rectp r, sus coper afirmar que x es igual a 2 para s:
mite r dee
=x
cta paralela al eje y que corta al eje x en un punto c, es de la forma c
En general, toda re
=x 0=Si c , la recta coincide con el eje y.
Ejercicios 5.3
Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )32 , y que:
Es paralela al eje de las y.
. La recta 5=x tiene un único corte con el eje y.
La ecuación 0=y es la ecuación para el eje y.
a 2
1. Es paralela al de las x. 2. eje
Decir si es falso o verdadero.:
3
4.
5. El punto ( )32, está sobre la rect =x .
El eje se encuentra incluido en la región que contiene las rectas cuya pendiente es 6. ymayor a 3.
5.5
En =y
Para todo valor de x existe uno y sólo un valor correspondiente en y. Se dice que una
l.
F en matemát cepto de lineal tiene un s cho más a ado en e urso pues será objeto de estudio en c p
a expres bm += xy , puede escribirse también de la forma ( ) bm += xxf , dada la
l valor de x.
FUNCIÓN LINEAL
las secciones 5.2 a 5.3 se estudiaron las características de las rectas que tienen la forma bm +x , y en todas ellas se observó que:
expresión que cumpl n esta característica, es una función y en e or tener como representación gráfica una recta, recibe el nombre de función linea
e co ste caso, p
ormalmentemplio, pero no será tratosteriores.
ión
icas, el con ignificado muste c ursos
Lcondición de función, en donde los valores de y dependen de
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137
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 138
( ) =xf
se lee “f de x es igual a”
( ) =xf
se lee “f, factor de x, es igual a”
A este concepto se encuentran asociados os conceptos: otr
Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que la función esté definida.
Codominio: Conjunto de va ede tomar la variable dependiente y. Imagen: Es el valor que toma la función
lores que pu
( )xf para un valor x del dominio.
Rango: Es el conjunto de imágenes de la función. También es conocorrido.
cido como
En una funci f x el valor es dan origen a
Si x1, < x2,, y f (x1) < f (x2), se dice que la función es creciente.
Si x1, ≠ x2, y f (x1) = f (x2), se dice que la función es constante.
es uno a uno si a cada elemento del rango le corresponde uno y sólo un
Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función, si x1, ≠ x2, y f ó inyectiva.
jemplo 12
ea ( )
re
( ) e a mayor valor de ón de la forma bm += xx , puede suceder qude y aumente, disminuya o se mantenga constante. Estas situacionlos siguientes conceptos:
Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función:
Si x1, < x2, y f (x1) > f (x2), se dice que la función es decreciente.
Una función
e l dominio, lo qu or en e
lemento de e f malm te se scribe:
(x1) ≠ f (x
2), se dice que la función es uno a uno
E
52 −= xxf . Determinar: ( )3f , ⎟⎞⎜⎛⎠⎝
2f , S33
( )32,f − , ( )h+xf .
o que ( ) Dad ( ) 352532352 −=−=−=⇒−= )f(f xx
Para dar respuesta a
33
⎟⎞⎜⎛ 2f , ⎠⎝ 3 99333 ⎠⎝⎠⎝
41545222 −=−=−⎟⎞⎜⎛=⎟⎞⎜⎛f
Para, ( )32,f − , ( ) ( )3
6195364532
323 ,,,, −=−−=−−=− 2f
Por último ( ) ( ) 5h32
32
5h32
h −+=−+=+ xxxf
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejem opl 13
ráfica representa una función. Los puntos l ienen coordenadas de la forma ))(,( xfx . A
ella, encontrar los valores de:
3)( xf
sca el
La gsiguiente de ta gráficapartir de 1. )(2f 2. )(0f 3. )( 2−f 4. 5−=)( xf . = 5
6. 0=)( xf
Para los numerales 1, 2 y 3, se bu punto sobre la recta dada cuyas abscisas coincidan con 2, 0 y –2 respectivamente, y a partir de ellos se lee el valor de su ordenada. Verbalmente equivale a preguntar: ¿Cuál es la imagen de la función en 2=x , 0=x ó 2−=x , respectivamente?
or lo tanto 42 −=)(f , 0P 20 −=)(f , 2 =− )(f
los numerales 4, 5 y 6 es equivalente a preguntar: ¿Cuáles son los valores e x es son respectivamente: -5, 3 ó 0 ?. Para ello se deben ubicar sobre la
s puntos de éstos se lee la abscisa correspondiente cada uno de ellos.
l enunciado de E
d , cuyas imágenrecta lo cuya ordenada sea -5, 3 ó 0 y desa
De donde se obtiene 53 −=)(f , 35 =− )(f , 02 =− )(f Ejemplo 14
a
( )Dad2
=xg , determinar si es función lineal.
) es función lineal, debe determinarse si cumple con ser de la forma
( )
3−x
ara saber si g ( xP
g ( x ) = mx + b:
( )22222
−=−=⇔= xxx gg
e esta form
33x
a, g( x ) es una función lineal con
13−x
D21m = y
2 Ejemplo 15
3b −=
eterminar dominio y rango para la funD ción ( ) 3−=xh .
Para determinar el dominio, es necesario encontrar los valores que puede tomar la
enido, mientras no se diga lo contrario, x es un número real. En este caso, as mencionadas en capítulo 1 para h (x).
conjunto de los números reales.
5+x
variable x. Como se ha convno se genera ningún tipo de indeterminació lPor consiguiente, el dominio lo constituye el
n como
Sabiendo que para cualquier valor de ( ) ℜ∈ℜ∈ xx h , , el rango es el conjunto de los reales.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6-5-4-3-2-1
123456
x
y
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139
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
140 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Determinar dominio y rango para la función
Ejemplo 16
( ) 6=xg .
nción es entonces el conjunto de los números reales.
l rango de la función correspon toma la variable y. En este caso, x, y siemp rá 6. Por lo
Ejemplo 17 Determinar si las funciones ( )
a variable no tiene restricción alguna, lo que significa que puede tomar cualquier valor real. L
El dominio de la fu E de a aquellos valores quepara cualquier valor que tome re se tanto, el rango de la función es: { }6
121 += xxg y ( ) 24 −−= xxh son crecientes, d s o
constantes.
im dada, ( )
ecreciente
Para la era f pr unción 1
21 += xxg ,
s ase pueden tomar dos punto rbitrarios sobre la recta, por ejemplo, ⎟
⎠2, , ⎞⎜
⎝⎛ −= 11M
y ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
49
25 ,A , y analizar:
Como
251 <− , es ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛<−
251 gg ?
ue efectivamente Viendo q49
21 < , puede
gurarse que la función es creciente. ase
ismo análisis para la segunda ( )
0 −= ,S
Dado que –1 < 0: Es ( )1−h menor, mayor o igual a ( )0h ? Como se puede ver, ( ) ( )01 hh >− , por lo cuafunción es decreciente.
x
y
-2.5
Se continúa el mfun 24 −−= xxh
ción:
Si los puntos ( )21,−=P )2 pertenecen a la recta, se pregunta:
y (
l, la
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
-0.75 -0.50 -0.25
0.25
0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
141
Ejemplo 18
Sea la recta ( ) 131 += xxf :
2 ¿Para qué valores de x es f ( x ) > 0?
x ) > 1?
x.
e requiere
1. ¿Para qué valores de x es f ( x ) = 0?
.
3. ¿Para qu f ( é valores de x es
La primera pregunta lleva a encontrar el punto de corte con el eje
En la gráfica puede verse claramcorresponde al punto x = –3. Pero si se
ente qu
exactitud, se recurre al álgebra:
31310 −=⇔+= xx
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
La segunda pregunta, puede respond ermina para qué valores de x, la recta stá por encima del eje x.
erse si se dete Observando la representación gráfica, se encuentra que corresponde al intervalo ( )∞− ;3 . Existe un procedimiento algebraico que permita llegar a la misma respuesta? Efectivamente, como se vio en la sección 3.9, se establece una inecuación de primer grado en una variable:
301 −>⇔>+ xx
nte queda una pregunta por responder: ¿Para qué valores de x, f ( x ) > 1?. Para braico:
sí como para dar respuesta a la preg s valores de x, para los cuales la recta está por encima del eje x ue para cualquier punto e la re sob e su ordenada es mayor que 0, en este caso se deben buscar los valores de x, pa que se ene que la ordenada es mayor que 1.
l procedimiento algebraico que permite solucionar el problema es:
3
1
Finalmeresolverla, pude seguirse un procedimiento gráfico o un procedimiento alge A unta 2 se buscaron lo
, dado q d cta re este ejra los
ti A partir de la gráfica se puede co alores de x que satisfacen f ( x ) > 1 son
( )∞∈ ,0x .
ncluir que los v
E
003
113
>⇔>⇔>+ xxx
11
d rma Da a una función de la fo ( ) bmxxfy +== , cuya representación es una recta, en
rminos generales puede presentar cambios si alguno de los elementos que la determinan – modificado, como se muestra en el siguiente ejemplo:
tésu pendiente o su intercepto– es
3y
x
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CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejemplo 19
. Se suma 2 a la función.
lgebraicamente, significa que:
32 +=xxf Gráficamente, se traduce en una trahacia arriba. Puede relacionarse el si2, con el sentido del eje. Si tuviera sitraslación sería en el sentido contrario el mismo.
. La función se multiplica por 2 De manera algebraica se expresa como:
Sea la función ( ) 12 += xxf . Determinar los cambios en el plano cartesiano que pueden ocurrir cuando: 1 A
( ) ( ) 2122 ++=+ x
slación vertical gno positivo del gno negativo, la d
2
( ) ( )2 +=+=xf
ca representa una traslación del 2 y una rotación de la recta debida iente.
. A la variable x se le suma Aunque gráficamente puede entenderse como unatraslación vertical de 4 unidades hacia arriba, espreciso notar que en realidad lo que ha ocurrido es un
zamiento horizontal de dos unidades hacia la ca el intercepto y, se aprecia
icho desplazamiento. El manejo ebraifica:
( ) 52 +=++= xxf
24122 xx lo que en la gráfiintercepto y hastaal cambio de pend
3 2 unidades.
desplaizquierda. Si se ubiinmediatamente dalg co permite encontrar la razón de esta nueva rá g
2 (2 x ) 12+
-1 1 2 3
-2-1
123456
7
x
y
f(x)=2x+1y1=f(x)+2
-1 1 2 3
-2-1
123456
7
x
y
f(x)=2x+1
y2=2f(x)
-3 -2 -1 1 2 3
-2-1
123456
7
x
y
f(x)=
y3=f(x+2)
2x+1
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 142
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ej 5.ercicios 4
e te pr n Cuáles d las siguien s ex esio es re
=y
pres ? entan una función lineal 1. 32 +− x 2. 4=y 3. 5=x 4.
2+= xy
22 −x 6.
1
5. =y 23−= xy 7.
52
−+
valor de cada función dado
3= , 2−=x 9.
=xxy
Encontrar el el valor de x:
8. x27 −= xy , 43 −−= xy ,54= ,x
32−=x
0. ( )4231 −= xxf , 2−=x , 0=x ,
21=x ,
32=x 11. ( ) 230 +−= xx ,g , 050,−=x , 030,=x
s funciones y determinar: dominio, rango, comportamiento (creciente o decreciente), puntos de corte con el eje x y con el eje y,
s
1
Hacer la gráfica de las siguiente
( )xf 0> y en dónde es ( ) 0<xf . y determinar para qué valores e 12. ( )
72
53 −−= xxh 13. ( )
32
14. ( )
11 +−= xxf
23−= xxg 15. 2
432 += yx 1
16. 1032 =+ yx 17. Halle la función lineal ( )xf tal que ( )1 −=f 4 y ( ) 20 =f
Utilizando la siguiente gráfica2:
18. Encontrar la gráfica de la función ( )
19. unción
xy f31 =
Dibujar la gráfica f de la
f(x)
y
x
( )xy f−=2
20. Si para ( )xf el punto de corte en es punto de corte en x es 5, dibujar la gr
y 2 y el áfica
de ( ) 23 += xy f
21. Determinar los puntos ( )yx , del plano que cumple ( ) 14 −= xy f
22. Determinar los puntos ( )yx , del plano que cumple ( )25 −= xy f
x 23. Determinar en la gráfica los valores de para los cuales ( ) 0<xf
24. Si 12 <<− x , qué valores toma ( )xf . Señalar los puntos sobre la gráfica.
2 Adaptado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag. 50
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
143
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
5.6 SISTEM S VARIABLES: RÁFICO
A DE ECUACIONES LINEALES EN DOSOLUCIÓN POR MÉTODO G Una ecuación lineal en dos variables
bm1
1
1
1bc
ba
0 +−=⇔ xy
,,,,,, ℜ∈cbacba
únicamente un punto en común.
Coincidentes: Todos su En el capítulo 3 se estudiar ra resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables si existía una solución única;
es.
ema⎪⎩
⎪⎨⎧
,,,, 1111111 bcbacba ≠ℜ∈=+ yx
representa en el sistema de coordenadas cartesianas una recta. Por consiguiente, un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables representa dos rectas en el plano
⎪⎧ =+ 111 cba yx
⎪⎩⎨
=+222111
222 cba yx
Dos rectas en el plano pueden ser:
Secantes: Si tienen
Paralelas: No tienen ningún punto en común.
s puntos son comunes.
on los métodos algebraicos pallegando por ellos a determinar
infinitas soluciones o ninguna solución. Si se recurre al análisis del tipo de recta que representa en el plano se puede llegar a las mismas conclusiones. Los métodos algebraicos son útiles para verificar la solución gráfica y determinar con exactitud el punto de corte de las rectas en el caso de ser secant
Ejemplo 20 Determinar el conjunto solución del sist
−=− 143xy
=− 62yx
( )⎧ 1
( )⎪
⎪⎨
−=
−=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=−
2143
132
143
62
xy
xy
xy
yx
Las rectas (1) y (2) tienen diferente pendiente, lo que significa que so es. Si tuvieran el mismo intercepto-y inmediatamente se conoce de intersección. Pero como éste no es el caso, es necesario utilizar uno métodos algebrai os que ya se conocen. La situación se puede visualizar en la representación gráfica.
uiere conocer las coordenadas
recurre a uno de los tres cos vistos en el capítulo 3.
ndo el método de igualación:
⎩n secant
ría su puntode los c
Si se reqp
del unto común, se
métodos algebrai
Utiliza
522=⇔ x 1433
21 −=− xx
54−=y 14
5223 ⇔−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=y
C.S.=⎭⎬⎩⎨ ⎠⎝ 55⎫⎧ ⎟⎞⎜⎛ − 422 ,
-1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2y
x
X–2y=6
Y–3x= –14
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 144
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 21
sistema ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=−
31510
232
yx
yx
−Encontrar el conjunto del
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩⎨
−=−
−=−
51
32
32
32
31510
232
xy
xy
yx
yx
Ambas rectas tienen la misma pendiente, pero su intercepto-y es diferente. Por lo tanto, son paralelas no coincidentes. El conjunto solución es entonces:
Ejemplo 22
Resolver e
⎪⎧
C.S.=
∅
l sistema ⎪⎩
⎪⎨ −
=3
332 yx
⎧ =+ 32 yx
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+−=⇔
⎪⎩⇔
⎪
⎪⎨
⎧
−=
=+
32
32
2
2
33
32
32
xy
xy
x
xyx
yx
Las dos ec presentan la m recta, por lo tanto, son cir, existen infinit solución que en nos de conjunto solución se exp
C.S. = ( )
⎪⎨⎧
−=
=+
3
3
y
y
⎩
uaciones re isma os puntos térmi
coincidentes. Es deresa:
{ } ( ){ }ℜ∈+−⇔ℜ∈+−= xxxxxyyx 3232 ,,,
on coincidentes, como en el caso su conjunto solución se expresa
.S. = ( )
Cuando dos rectas sdel ejemplo anterior,como:
C { }ℜ∈+−= xxyyx ,, 32
C.S.= ∞
C.S. = ( ){ }ℜ∈+− xxx 32, C.S.= ℜ
5.7 APLICACIONES
Se necesita alquilar un l. Mi carrito Ltda. cobra un cargo fijo de $10.000,oo más $800,oo por kilómetro recorrid in kilómetro recorrido. Cuántos
co q smo en ambas compañías?
En términos generales se define el co
Costo de alquiler = Cargo fijo + Costo variable
Una situación puede expresarse algebraicamente mediante un sistema de ecuaciones. Ejemplo 23
automóvio. Limous
kilómetros deben re rrerse para
as S.A. cobra $1.200,oo por ue el costo de alquiler se el mi
sto de alquiler como:
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
145
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
tidad de kilómeLos costos variables dependen de la can tros x rec
El plan de cobro de Mi carrito Ltda. es:
Para Limousinas S.A. se define el plan de cobro como:
E Costo alquiler = $1.200x
unidalas x representa kilómetros recorridos, el eje Apréciese que para elaborar la gráfica es c adecuada, que permita ubicar suficientes puntos.
ue la representación gráfica de las nciones a las que se dio origen es la ostrada en la gráfica, vale decir que para
de recorrer “kilómetros
ndo se presenta un caso como éste, las divisiones en cada eje pueden llevar una escala
a y no necesariamente igual a la del otro
Observando la gráfica, se encuentra que entre 20 y 30km. existe un kilometraje que hace
sea el mismo para ambas compañías.
ara encontrar el número exacto de kilómetros, la única opción es acudir al álgebra para
⎪⎨⎧ +=
⇔⎩ xy
xy
xAlquilerC
AlquC
2001
80000010
20012 .
.
..
.
El conjunto solución es x = 25km.
orridos por el cliente.
))) c
Costo alquiler = $10.000 + $800x
Es claro que no se trata de las mismas des en cada uno de los ejes. Mientras el eje de
y representa dinero en pesos ($).
onveniente trabajar con una escala
Aunq
10 20 30
fumefectos no se puede considerar la parte negativa del eje horizontal, puesto que se estaría hablandonegativos” lo cual no tiene sentido. Cua
propieje.
que el costo de alquiler Presolver el siguiente sistema:
+= xiler 800000101 .
⎪⎩ =⎪⎪⎨⎧
=
40-50
50100150200250300350400450500550600
Limousinas S.A.
Mi carrito Ltda.
y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 146
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 5.5
Rep el c
1. ⎨⎪⎨⎧ =+ 01218 xy
8. e gastos fijos anuales de $20 millones. El costo de
fabricación de una silla es de $20.000
a. as por
b. Si fabricara 10.000 sillas anuales. ¿Cuál es el costo por silla?
c. ¿Cuántas debe fabricar pa por silla?
John es dueño de un restaurante de comida rápida, llamado John’s. En su restaurante, él vende a sus clientes, por $1.200, un combo consistente en seis gaseosas y dos hamburguesas. En otro restaurante, Jairo’s, el dueño propone otro negocio similar: una gaseosa y una hamburguesa por $4003.
a. Explicar por qué la relación entre el precio posible de la gaseosa (llámelo x) y el precio posible de la hamburguesa (llámelo y) en el restaurante John’s es:
6003
resentar los siguientes sistemas gráficamente y encontrar algebraicamente onjunto solución:
⎪⎩ =+ 64x y2.
⎪⎩⎨
=− 30117 yx3.
⎪⎩⎨
=+ 5813 yx4.
⎪⎩ =+− 191614 xy⎪⎧ =− 123 xy
⎪⎧ =+ 31223 yx ⎪⎧ =+ 1549 yx
5. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+
153
951419
yx
yx 6.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=+
1756
121232
xy
xy 7.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+−
245
21110
yx
yx
Una microempresa que fabrica sillas tien
Escribir la expresión para calcular el costo total p de manufactura de las sillaño.
ra reducir el costo total de producción a $18.000 9.
+−= xy
100 200 300 400 500 600
400
200
300
100
500
600
700 Y
X
3 Tomado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag.64.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
147
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
b. Explicar por qué en el caso del restaurante Jairo’s la relación es: 400+−= xy
En la siguiente figura se encuentran las gráficas de la relación entre los precios de la gaseosa y de la hamburgu
c. esa tanto de John’s, como en Jairo’s. Identificar la gráfica
de cada restaurante y justifique su elección.
d. Explicar por qué en el restaurante John’s no es posible que la gaseosa valga $200 y la hamburguesa $300. Proponer un precio de gaseosa y hamburguesa que sea posible en John’s, de acuerdo,al negocio que éste restaurante propone. Haga lo
n ejemplo de un precio de gaseosa y de hamburguesa que no sea posible en John’s y una pareja de precios que no funcione con el negocio de Jairo’s. Explicar.
mismo con Jairo’s.
e. Dar u
f. Encontrar el único valor de la gaseosa y de la hamburguesa que son posibles al mismo tiempo en John’s y Jairo’s. Resolver esto (con las ecuaciones) y justificar la respuesta gráficamente.
5.8 SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO GRÁFICO En la sección 5.5 se estudiaron casos particulares de funciones y se determinaro ellas
rísticas propias: su dominio y rango, el valor de la imagen para un valor específico x del dominio, si eran crecientes o decrecientes, y se insistió en el análisis gráfico de cada una de las situaciones.
n en caracte
En el ejemplo 18, dada ( ) 13
+= xxf se preguntaba cuándo es 1 ( ) 0>xf y cuándo es ( ) 1>xf .
de otra forma, puede considerarse una función ( ) 0=xg y una función tar: ¿Cuándo es
Visto este caso ( ) 1=x , y pregunh ( ) ( )xgxf > ó ( ) ( )xhxf > ?. La pregunta así formulada es
ciones en allí su análisis. Esto ervirá de base para resolver inecuaciones lineales mediante su representación gráfica.
1−x , encontrar los valores de para los cuales se cumple que ( )xgxf >)( El primer paso para resolver una inecuación, es encontrar el punto en el cual se cumple que el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho, es decir, encontrar el punto para el cual las dos funciones 2 +−= xxf )( y 1
equivale sentada e jemplo mencionado y por lo tanto llevará a la misma respuesta.
nte a la pre n el e
Ahora, qué pasa si se quiere comparar dos funciones lineales de la forma bxy += m con
0bm, ≠ ? En el capítulo 3 se describieron tres métodos algebraicos para encontrar respuesta a un sistema de ecuaci s en dos variables. En la anterior sección 5.6 se amplió el
ma visualizando las fun el plan siano e iniciandoones lineale
tes
o carte
Ejemplo 24 Dadas 32 +−= xxf )( y =xg )( x
3 −= xxg )( , son iguales:
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 148
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Los métodos algebraicos permiten encontrar que
( ) ( )34
132 =⇔−=+−⇔= xxxxgxf
En la grá serva que efectivamente en el punto de coordfica se ob enada
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
s ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 33
, ocurre el
se ava
x
⎞⎛ 14
corte de las dos rectas. Ahora se debe establecer: si nza hacia la derecha sobre el eje
luego del punto 3
x), ya que mientras más se avanza hacia la derecha, para un mismo valor la imagen g(x), es mayor que el valor de la imagen f(x). o en forma
4 , cuál de las dos rectas está “po encima” de la otra?. Se ve entoncesr
que es la recta g(de x, el valor dealgebraica: ( )xfxg >)( . Como lo que se pregunta es cuándo ( ) , es nexgxf >)( cesario mirar
n el intervalo e ⎟⎠
⎜⎝
∞−3
;
intervalo el valor de la imagen f(x), es mayor que el va gen g(x). lo que equivale a escribir: ( )xgxf >)( . Por lo tanto, el conjunto solución buscado es:
⎟⎜ . Así se puede observar que para cualquier valor de x en este
⎞⎛ 4
lor de la ima
C.S. = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞−
34
;
cuales se cumple que 2 x
Ejemplo 25 Encontrar los valores de x para los 233 −−≤+ x . Al ver la expresión escrita en esta forma algebraica, puede establec funcio ciendo por ejemplo
erse una comparación denes ha : ( ) 32 += xxj y ( ) 23 −−= xxl , con
e se hizo en el ejemplo ior: lo cual se puede
desarrollar un análisis similar al qu Observando la gráfica, inmediatamente se encuentra el punto de corte de las dos rectas:
anter
( )11,− . A la izquierdapunto –1 sobre el eje x, se tiene que los valores de l(x) son mayores que los valores de j(x), mientras que a la derecha
(x) son mayores que los valores de l(x), e:
del
de –1, los valores de jlo que significa qu
( ) ( ) 1−<⇔< xxlxj De esta forma, el conjunto solución es:
C.S.= ( )1−−∞ ;
-5-4-3-2-1
123456
x
y
f(x)g(x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6-5-4-3-2-1
123456 y
j(x)
l(x)
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
149
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejercicios 5.6
Encontrar gráficamente el conjunto solución de: 1. 122 −>+ xx 2. 313 −<− xx 5
3.
21
43 x
x ≤− 4. 35 +−≥− xx
2
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
s:
. ( )12, y ( )3 pasa por
Clasificar los siguientes pares de rectas en paralelas u oblicua 1 ( )25 −,Re pasa p rcta L1 que o 3, q, recta L2 ue y ( )27,
2. ( )72, y or Recta D1 que pasa por ( )15, , recta D2 que pasa p ( )34, ( )50, y
3. Recta E1 que pasa por ( )64, y ( )46, , recta E2 que pasa por ( )13,− y ( )83,
. Recta F1 que pasa por ( )72, y ( )15, , 4 recta F2 que pasa por ( )74, y ( )50,
Encontrar la información requerida:
. e pasa por
5 La ecuación de la recta qu ( )32 −, y es paralela a la recta que une ( )14, y ( )22,− .
6. de recta que une los puntos A y B
( )43,− ( )11−= ,B b.
La pendiente del segmento
a. =A ( )31,−=A ( )00,=B c. ( )53,=A ( )21,=B d. ( )32,=A ( )52,=B e. ( )62,=A ( )63,=B
. El valor de x, si la pendiente de la recta que une a 7 ( ) 12, con ( )7,x es 3
. La ecuación de las rectas mo grá
8
stradas en la siguientefica:
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
2
3
4
j(x)
h(x)g(x)
f(x)
y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 150
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Analizar y encontrar: 9. Si ( )ba, es un punto que está sobre una recta con pendiente
43 entonces,
( )3 está sobre la misma recta?
ción de la recta que tiene pendiente
el punto
b4a ++ ,
10. La ecua21 y corte con el eje y en –5
p, si se sabe que la pendiente de una recta es 11. El valor de 56− y pasa por ( )p,6 y ( )3,p
De a 12. Hallar las
13. Decir si son fa
cuerdo con la gráfica:
coordenadas del punto A.
lsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:
0 1 2 53 4
y =3x /2
A
y =x /2
P
A
y=x/2
y=x/4
4
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
151
CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
a. La ordenada de A es 3.
.
diente de la t r que
b. El punto ( )3010, está en el segmento OA
c. La pen rec a OP es meno2
d. recta OA es menor que la de OP.
specto del eje x diente
1 .
La pendiente de la
e. La ordenada de P es mayor que 2.
f. ecta simétrica de OA reLa r tiene pen23−
4.
Hallar el valor de 1 k, para que la recta ( ) sea paralela a la recta 0181kk =−−+ yx
a. b. 23
0734 =++ yx . 15. Encontrar los cortes con los ejes x y y de:
4=y −= xy c. xy 32 −= d. 062 =+− yx
pendiente de la recta que pasa por el origen y P(x,y) es 2 y la recta que pasa por ( )10,
s de m la recta es:
aralela al eje y. c. Pasa por el origen.
18. El punto ada está sobre la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el )2 . Calcula o P.
Analizar y resolver: 16. La
y P(x,y) es 1. Encontrar x y y. 17. Dada la ecuación ( ) ( ) 5m1m21m −=−+− yx , encontrar para qué valore
a. Paral je x. b. Pela al e
de ordenP 10punto (7 −, r la abscisa del punt
19. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )12,A = y ( )43, . Después
a dicha recta.
ificar la respuesta:
20. Si pendiente es negativa.
21. La recta xy 3−= pasa por el origen.
22. La recta ( ) 8−=xf es paralela al eje y.
23. La recta ( ) 4+−= xxg tiene pendiente –1.
24. Todas las funciones cuya gráfica es una recta son funciones lineales.
25. Para trazar una recta no es suficiente ubicar dos puntos.
26. Las rectas tienen longitud infinita.
27. La recta que pasa por los puntos
=Bhallar x, para que el punto ( )8−= x,P también pertenezca
Decir si las siguientes afirmacio son f as o verdaderas. Justnes als
una recta está inclinada a la derecha, su
( )14, y ( )83, − tiene pendiente – 1.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 152
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
De acue si las siguientes afirma
28. ( )1xf es la longitud
rdo con la gráfica presentada a continuación, decirciones son verdaderas o falsas:
A
G
B
H C
D
f(x2)
F x1 x2
1
x3
E
de AD . 29. ( )3xf es la longitud de EF .
12 ng d de AB . itud de 30. ( ) ( )xx ff − es la lo itu GH . 31. La pendiente es la long
32. La pendiente es lACBC . 33. La pendiente es ( )
2
2xxf .
34. La pendiente es ( ) ( )12
12
xxxx
−− ff
Una tienda de video ofrece dos planes de alquiler de película
. s. Si la persona paga $9.000
$1.300
ega por primera vez a la tienda
c.
d. uiladas para el cual en los dos , ¿cuál es ese valor y cuánto hay
que pagar?
e. Hacer un comentario sobre cuál plan es mejor?
35de afiliación al club de video, el alquiler por película le cuesta $800. Si la persona no quiere afiliarse al club, alquilar la película le cuesta .
a. Representar gráficamente la variación de costos de los dos planes con respecto al número de películas.
b. Cuántas películas puede alquilar una persona que llcon $15.000?. ¿Cuántas, otra que llega con $25.000?
¿Cuánto cuesta alquilar 10 películas en cada plan?
¿Es posible que haya un número de películas alqplanes se pague lo mismo?. ¿Por qué? Si lo hay
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
153
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“El que pregunta es ignorante por unos minutos; el que no lo hace lo será toda la vida” Proverbio Japonés
CAPÍTULO VI
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
VALOR ABSOLUTO
6.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO 6.2 VALOR ABSOLUTO A PARTIR DE LA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 6.3 ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO 6.4 INECUACIONES LINEALES CON VALOR
ABSOLUTO. 6.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
CAPÍTULO VI
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
6.1 ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO
i Represente gráficamente: 1. Los puntos sobre la recta numérica que se ubican a más de 3 unidades del punto –1.
2. Los puntos sobre la recta numérica ubicados a menos de 35 de unidad del punto
31 .
3. Los puntos que se encuentren a una distancia de –3 unidades del punto –2. 4. Los puntos cuya distancia a –4 sea un número no negativo 5. Los puntos cuya distancia al origen sea mayor que cero.
Resolver:
. Determine la distancia entre – 1,5 y – 4,5 6
7. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en 38 .?
6.2 VALOR ABSOLUTO A PARTIR DE LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Este es un concepto al que se recurre con mucha frecuencia en la vida diaria en una forma muy intuitiva. Para formalizarlo, se analizará una situación real, a la que se le han adicionado ciertos rasgos onvenientes: c
15
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 6Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
En la ciudad de Bogotá hay un sistema de nomenclatura para calles y carreras. Existe una calle cero (0), a partir de la cual se enumeran todas las calles y se asume que las calles de la derecha son “las del norte”, y las de la izquierda, “las del sur” y que la numeración avanza de 1 en 1 (no existe por ejemplo la calle 68B). Alberto, Mauricio y Augusto son tres estudiantes de la Escuela Colombiana de Ingeniería que viven en la ciudad de Bogotá en la calle cero (0), en la Av. Caracas con calle 72 y en la Av. Caracas con calle 35 sur respectivamente. Surgen las siguientes preguntas: ¿Cuántas calles debe desplazarse cada uno de los estudiantes para llegar a la sede de su universidad ubicada en la calle 205 sobre la Autopista Norte? ¿Cuántas calles debe recorrer cada uno de ellos para regresar a su casa saliendo de la ECI? Cuál es la similitud entre la distancia recorrida desde la casa y la ECI, y la recorrida desde la ECI a la casa? Cuál es la diferencia? Cómo responder a la primera pregunta? Debe analizarse cada caso aisladamente: Teniendo en cuenta que la Caracas se convierte más adelante en la Autopista Norte, Alberto debe desplazarse hacia la derecha un total de 205 calles, que en este momento se convierten en “unidades de desplazamiento” para ir hasta la sede de su universidad. Mauricio seguramente no debe “regresar” hasta la calle cero (0) contando 72 calles en sentido Norte-Sur, para a partir de allí comenzar a contar 205 unidades de desplazamiento en sentido Sur-Norte. Mauricio hace el siguiente cálculo: 205 – 72 = 133, y concluye que debe recorrer 133 calles. Finalmente, Augusto dice: “Recorro 35 calles hacia el norte para llegar a la calle cero (0), y luego las 205 calles que faltan para llegar a la Escuela”, con los cual se desplazaría 35 + 205 =240 calles. Para responder las siguientes preguntas, Alberto, Mauricio y Augusto dan una única respuesta: “La distancia recorrida será la misma pero en sentido contrario” Con esta idea en mente, puede analizarse una situación similar a partir de una recta numérica ( Av. Caracas – Autopista ), y de unos puntos xi (calles), cuyos valores negativos representan las calles al sur, mientras que los valores positivos representan las calles al norte. La primera situación en la cual se daba el desplazamiento desde la calle cero (0) hasta la 205 puede asimilarse a la medida de la distancia entre el punto y el punto . 2051 =x 02 =x Gráficamente, puede entenderse como:
205
0 205
Cómo puede representarse gráficamente la distancia desde el punto hasta el punto .?
351 −=x02 =x
35
−35 0
Si Alberto decide invitar a sus compañeros a estudiar en su casa en la calle 72, cuál debe ser el desplazamiento que deben realizar Mauricio y Augusto desde sus respectivas casas?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 157
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Podría decirse que el punto de referencia calle cero (0), es reemplazado por otro punto . Qué representaría en términos de distancia? Cómo puede representarse
gráficamente la distancia desde cualquier punto x0722 ≠=x
1 hasta el punto ? 722 =x Cómo cambia la situación cuando y el punto de referencia es cualquier punto x721 =x 2? La inquietud final debe ser: “Existe un concepto matemático que permita representar todas estas situaciones analizadas?” La respuesta es afirmativa. Dicho concepto es el valor absoluto. Sin embargo, para definirlo, primero debe recordarse que:
J Todo número real tiene un opuesto aditivo que se encuentra ubicado a
la misma distancia del real cero ( 0 ), el cual corresponde a su simétrico.
La distancia entre dos puntos es una longitud y por lo tanto es siempre positiva.
La distancia entre los puntos A y B denotada ( )BAd , , es la misma que
hay entre B y A la cual se expresa ( )ABd , .
Ejemplo 1 ( )52,d
( ) 32552 =−=,d
325 =−
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
Ejemplo 2
( ) 341 =−−−
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
( )14 −− ,d
( ) ( ) 34114 =−−−=−− ,d Ejemplo 3 ( )23,−d
( ) ( ) 53223 =−−=− ,d
( ) 532
=−−
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
( ) 743 =−−
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
Ejemplo 4 ( )43 −,d
( ) ( ) 74343 =−−=−,d
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 158
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Es importante anotar que para encontrar la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica se debe tomar el mayor valor y restar el menor para así garantizar que la operación dé como resultado un número positivo. Ahora sí, se define VALOR ABSOLUTO de un número real x como la distancia que hay en la recta numérica entre el punto x y el cero ( 0 ). Se representa x ó abs ( x ), ésta última notación utilizada en calculadoras o computadores.
A partir de esta definición surgen varias inquietudes:
Es posible definir la distancia desde un punto x1 a otro punto x2, con ? 02 ≠x
Puede recurrirse al Valor Absoluto para lograr esa definición?
Qué pasa si x1 ó x2 son números negativos? El valor absoluto de un número puede asimilarse a la situación del estudiante que vive en la calle 0, quien debe desplazarse 205 unidades hasta la ECI. Si quisiera desplazarse hasta la calle 205 sur, el desplazamiento sería idéntico en magnitud, pero en sentido contrario. En general, la distancia desde un punto cualquiera x1 hasta un punto de referencia x2 se representa como:
21 xx − Por lo tanto, cuando x2 = 0, se tiene que: 11 0 xx =− Para Augusto, quien vive en la calle 35 sur, y se desplaza hasta la 205, la distancia que recorre es:
( ) 24035205 =−− De forma general, la distancia desde cualquier punto x hasta el punto 72 se denota: 72−x , mientras que la distancia hasta el punto –35 desde cualquier otro punto, se representaría como ( ) 3535 +=−− xx . Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las posibles situaciones que se pueden presentar al trabajar con el valor absoluto. Ejemplo 5 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 4 unidades del origen. El punto de referencia es el punto 0: unidades 4unidades 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
Por lo cual al hacer el análisis se encuentran dos puntos sobre la recta que cumplen con la condición requerida: −4 y 4.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 159
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
El ejemplo anterior, como se presenta, es la interpretación gráfica de una expresión verbal. Como ya se ha visto en secciones anteriores, debería existir una expresión algebraica correspondiente. Por tratarse de una distancia, la expresión algebraica incluirá el simbolo valor absoluto. Dicha expresión es: 40 =−x la cual es equivalente a 4=x . Dado que corresponde a una ecuación, puede concluirse que el conjunto solución de 4=x es { }44,−
Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de 5≤x . Como se vio en el ejemplo anterior, la inecuación es equivalente a 50 ≤−x , es decir, nuevamente el punto de referencia es el cero (0), y se puede expresar verbalmente como “El conjunto de todos los reales cuya distancia a cero es igual o menor que 5 unidades” . Siguiendo la misma metodología, para encontrar gráficamente la situación, se ubican los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a cero es igual a 5 unidades, y luego se ubican los puntos que están a menos de 5 unidades del cero. unidades 5unidades 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 0
De la representación gráfica se puede concluir que los valores que satisfacen la situación son aquellos que cumplan simultáneamente con las inecuaciones 5y5 <−> xx . Vale decir que tanto 5≤x , como 5y5 <−> xx son expresiones algebraicas equivalentes cuya representación gráfica es la mostrada. Por lo tanto el conjunto solución de la inecuación 5≤x es [ ) ( ] [ ]5555 ,,, −=−∞∞− ∩ . También puede afirmarse que el conjunto solución de 5y5 <−> xx es [ ) ( ] [ ]5555 ,,, −=−∞∞− ∩
Ejemplo 7 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 3. El punto de referencia en este caso es el 3 y desde él se contarán 4 unidades a la derecha y a la izquierda para encontrar los puntos cuya distancia a 3 es exactamente igual a 4 unidades, luego de lo cual será inmediato encontrar los puntos que se encuentran a más de 4 unidades de 3:
10 -4 -6 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 90
A más de 4 unidades … A más de 4 unidades…
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 160
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Si se quiere escribir en términos de una expresión algebraica, se tiene: 43 >−x la cual es equivalente a 1ó743ó43 −<>⇔−<−>− xxxx , y cuyo conjunto solución es:
C.S. ( ) ( )∞−−∞ ;; 71 ∪
Ejemplo 8 Interpretar verbalmente la situación mostrada en la siguiente gráfica, y encontrar la expresión algebraica correspondiente.
2-6 -8 -7 -5 -4 -3 -2 -1 1 3 4 0
Por ser sólidos los puntos –6 y 2 en los extremos, se entiende que se trata de un intervalo cerrado. El punto de referencia no está establecido. Sin embargo, si se quiere encontrar un punto cuya distancia a los extremos sea la misma, debe determinarse el punto medio del intervalo. En este caso es fácil contar las unidades entre los extremos: 8 unidades. El punto medio quedará 4
28 = unidades a la derecha de –6 y 4 unidades a la izquierda de 2.
Implícitamente se están realizando las operaciones aritméticas de suma y de resta de la forma como fueron estudiadas en el capítulo 1. Si el punto medio es el correcto, al sumar 4 unidades a –6 y al restar 4 unidades de 2 debe llegarse al mismo resultado que corresponderá al punto de referencia:
246 −=+− y 242 −=−
Por lo tanto, volviendo a la gráfica sobre la recta numérica se tiene:
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
Si el punto de referencia es –2, la expresión verbal que representa la gráfica será: “Los puntos cuya distancia a –2 es menor o igual que 4 unidades”, lo que algebraicamente se representa como:
En términos de valor absoluto: ( ) 4242 ≤+⇔≤−− xx
En términos de inecuación: 262y 6 ≤≤−⇔≤−≥ xxx
Ejercicios 6.1
Resolver en estricto orden los siguientes ejercicios:
Sobre la recta numérica indicar todos los puntos que están a una distancia de unidades del origen.
1. 3
.
Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 2
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 161
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
3. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al origen es menor que 3. 4. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:
a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto 5. Indicar sobre la recta numérica todos los puntos que están a una distancia de 3
unidades del punto 5. 6. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 7. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 3
unidades 8. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:
a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto 9. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia a –2 sea mayor que 4. 10. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 11. Marcar sobre la recta numérica todos los puntos cuya doble distancia a 5 es de 3
unidades. 12. Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior. 13. Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya doble distancia al punto 5 es menor
que 3. 14. Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de:
a. Conjuntos b. Intervalos c. Inecuación d. Valor Absoluto
Expresar verbalmente en términos de distancia el significado de:
216. 13 >+x 215 <−x 17. 50 << x 15.
Encuentre la expresión c on valor absoluto que corresponda a las siguientes
8.
9.
20.
representaciones gráficas: 1
-1 1 0
0-1 5
1
-10 20
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 162
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
21.
22.
.
n cada caso cta numérica los pu e satisfacen las
23
Marcar e sobre una re ntos qusiguientes condiciones:
24. 4<x 3 − 25. 21 ≤<− x 26. 42 <x
. 27 {x la distancia de x a 1 es mayor o igual a }3 28. 312 >+x
. Qué significa
Expresar en palabras : 29 31 <+x
0. Cuál es el mínimo valor que puede tomar 3 1+x y por qué?
. Para qué valores de x, 31 31 <+x
6.3 ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO A partir de la in pre ón geométrica de la distancia entre dos puntos sobnumérica se pued ge ralizar la expresión algebraica del valor absoluto de acu
ter taci re la recta e ne erdo con el
ui
ara dos pun s:
>− x
En cuyo ca
sig ente análisis. P tos 1x y 2x sobre la recta numérica se presentan tres situacione
Caso 1. Que 2x esté a la derecha de 1x , es decir, 12 ⇔> xxx 012
so la distancia en términos de valor absoluto se expresa 1212 xxxx −=−
Caso 2. Que 2x esté a la izquierda de 1x , es decir, 0212 <−⇔< xxxx
1
En este caso distancia en términos de a la valor absoluto se expres 2x ,. 121 xxx −=−
Sabiendo que ( )1221 xxxx −−=− , se puede decir que ( )1221 xxxx −−=− .
-2 20
-2 4 0
-4 0 2
x1 x2
x2 x1
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 163
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Caso 3. Que 2x sea igu 0212 =−⇔= xxxx debido a que la distancia entre los dos puntos es cero (0)
De lo anterior se puede concluir
al a 1x , es decir, 1
( )
⎧
<−=−>−−
0 Si 0 Si 00Si
1212
12
1212
xxxxxxxxx
njunto s
⎪⎩
⎪⎨
−−=− 12
xxx
Ejemplo 9 Ejemplo 9 Encontrar el co olución para Encontrar el co olución para njunto s 42+x
=
a expr
Método 1: L esión 42 =+x es equivalente a ( ) 42 =−−x , de donde se deduce que el punto de
ferencia es −2. plicando lo estudiado en la sección anterior se tiene que se desea encontrar todos los
reApuntos sobre la recta numérica cuya distancia a −2 es de 4 unidades. 44
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4A partir de la gráfica se obtiene que los valores de x que satisfacen la ecuación son
2ó6 =−= xx , por lo tanto el conjunto solución de 42 =+x es { }26 ,−
Método 2: Otro método que nos ayuda a simplificar ejercicios mas elaborados es el de la sustitución algebraica, el cual se utilizará a continuación:
La ecuación 42 =+x es equivalente a ( ) 402 =−+x por lo tanto si se sustituye 2+x por tra variable, la cual en este caso será o z , el nuevo punto de referencia será el origen y el roblema se reduce a encontrar los valores de p z que satisfacen la expresión, 40 =−z , es
ya distan
Los valores 4ó4−= zz son sol de
decir, encontrar lo valores re la recta numéri cia al origen es 4.
sob ca cu 4
4
− 5 − 4 − 3 − 0 1 2−2 1 3 4 5 6
= ución 4=z . En este punto se hace necesario reemplazar nuevamente z por x rdar que el objetivo es encontrar los valores de
2+ ya que debemos recox , no los de z , para lo cual se tiene:
Si 4−=z ó 4=z 2
⇒
4−=+x 4 ó 2 =+x 24 −−=x ó 24 −=x 6−=x ó 2=x
{ }6− ∪ { }2 C.S.= { }26 ,−
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 10
ncontrar el conjunto solución para
E 1282 =−x La expresión 1282 =−x puede expresarse en forma verbal como: “Todos los nú ales
umeros re
cuyo doble valor dista 12 nidades del punto 8”
ero también 8− está a 12 nidades del origen”. De esta forma, puede tomarse un v, tal que 82
P puede leerse “El conjunto de números reales x para los cuales 2 xu −= xv en
121282 =⇒=− vx
Si 12−=v ó 12=v 82
⇒12−=−x 128ó 2 =−x
42 −=x 20ó 2 =x 2−=x ó 10=x
{ }2− ∪ { }10 C.S.= { }102 ,−
Ejemplo 11 Encontrar el conjunto solución de
23 −=−x
a expresión L 23 −=−x se puede leer como “Todos los puntos sobre la recta numérica cuya que como se ha venido
trabajando desde el inicio del capítulo se sabe que la distancia na longitud, por lo tno puede ser negativa.
distancia a 3 es igual a 2− unidades”. Pero, ésto no tiene sentido ya es u anto
En conclusión el conjunto solución de la expresión 23 −=−x es ∅
En general, siempre que se busque la solución a una expresión de la forma cba =+x , puede
currir que:
lución debe encontrarse haciendo: ax + b = c ó ax + b = – c c < 0 ay solu ón en los Reales por tratarse de una distancia.
Ejemplo 12
o
Si c > 0, su so Si , no h ci
Encontrar el conjunto solución para 123 −=− xx En este caso, la relación de igualdad no se establece entre un valor absoluto y un número real. La expresión 2x – 1 puede tomar valores positivos o negativos dependiendo del valor de x, por lo cual no se
-12 -1 -8 -6 -4 -2 0 2 40 6 8 10 12
E
)
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 165
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
puede aplicar la metodol riores. Deben estudiarse las situaciones que establece
ogía utilizada en los ejemplos antela definición del valor absoluto:
( ) <− 03 Si x⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−>−−
=−3
03 Si 00 3Si 3
3x
xxx
x
Caso 1
Si 03 ≥− x , entonces: 33−x −= x . Por lo tanto, debe resolverse: 23 1−=− xx 03 ≥, si − x
Si 3−x debe ser 3≥x . 0≥
Ahora, resolviendo: 23 1−=− xx 2−=x
PERO 2−=x no cumple con o igual a 3, por lo tanto, el conjser mayor unto solu ra este primer cío: ción pa caso, es va
C.S.∅
Caso 2
Si , entonces:03 <− x ( )33 −−=− xx . Por lo ,tanto el problema es resolver:
( ) 1−23 xx 03=−− , si <− x
Si 03 <− , entonces debe cumplirse que 3x <x
Ahora se resuelve: ( ) 13 −−− x 2= x
3 4=x
34=x cumple con ser menor que . Por lo tanto, el conjunto solución para el caso 3
2, es { }34
C.S. = { } { }34
34 =∅ ∪
Ejemplo 13 Encontrar el conjunto solución de 543 xx
n este caso, el valor absoluto es igual a x – 5 y ésta expresión no es mayor que cero para do valor de x. Entonces, es necesario usar la definición de valor absoluto para encontrar el
onjunto solución:
−=+ Etoc
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Caso 1
Si , entonces:043 ≥+ x 4343 +=+ xx . Por lo tanto, el problema es resolver:
543 −=+ xx , si 043 ≥+x
La condición implica que 043 ≥+x34−≥x
Ahora sí se puede resolver 543 −=+ xx
29−=x
29−=x es solución siempre que cumpla con ser
34−≥x . PERO como no se
cumple esta condición, el conjunto solución para este primer caso, es vacío.
Caso 2
Si , entonces:043 <+ x ( )4343 +−=+ xx . Ahora el problema es resolver:
( ) 543 −=+− xx , si 043 <+x
Debe cumplirse que 043 <+x , por lo cual: 34−<x
Ahora sí se puede resolver ( ) 543 −=+− xx
41=x
41=x es solución siempre que cumpla con ser
34−<x . PERO para este segundo
caso, tampoco se cumple la condición, por lo que su solución es vacía.
C.S. = ∅=∅∅ ∪
Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de 72 −=+ xx Si en el ejemplo anterior la relación de igualdad se estableció entre un valor absoluto y una expresión de la forma ,en este caso, la relación se establece entre dos valores absolutos. Por un momento se tendría la tentación de suponer que por tratarse de un valor absoluto, se puede considerar como un real positivo. Sin embargo, la expresión
bax +
7−x no representa un único real positivo. Puede ser cualquiera, dependiendo del valor que tome la variable x. Por esta razón, el análisis debe hacerse teniendo en cuenta cada uno de los casos correspondientes a los dos valores absolutos: Retomando la interpretación geométrica que se realizó en el inicio del capítulo, esta expresión representa los puntos x que se encuentran a la misma distancia tanto del punto –2 como del punto 7, ó si se quiere, puede leerse como los puntos de la forma 2+x cuya distancia hasta el origen es exactamente igual a la distancia que hay entre los puntos de la forma y el punto cero (0). 7−x De acuerdo con esta última interpretación, se entiende que el punto x que hace que
es el punto –2 y que todos los puntos que se encuentren a su derecha, hacen de una expresión positiva. Por su parte, el punto x que hace que es el punto 7 y
02 =+x2+x 07 =−x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 167
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
por supuesto, todos los puntos que se encuentren a la derecha de éste último, harán de una expresión positiva. 7−x
( )2202 +−=+⇒<+ xxx
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
2202 +=+⇒>+ xxx
( )7707 −−=−⇒<− xxx … …
7707 −=−⇒>− xxx
… … Analizando cada uno de los intervalos generados en la recta numérica, se encuentran tres situaciones :
En , 2−<x ( ) ( )77y22 −−=−+−=+ xxxx por lo tanto, en este intervalo, la expresión original se convierte en: ( ) ( ) 7272 −=⇔−−=+− xx , que como es falso, se dice que en este intervalo la solución es vacía: C.S1 =∅
En ( ) 72 ,− ( )77y22 −−=−+=+ xxxx , entonces, la solución corresponderá a:
( )25
527−2 =⇔=⇔−=+ xxxx . Como 25 se encuentra en el intervalo que se está
analizando, se concluye que C.S2 = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
25
Para 7>x 77y22 −=−+=+ xxxx , por lo que se tiene que , que es una contradicción. El conjunto solución nuevamente es
vacío: C.S7272 −=⇔−=+ xx
3 =∅ El conjunto solución de 72 −=+ xx se obtiene uniendo las soluciones encontradas en cada uno de los intervalos estudiados.
C.S. = C.S1 C.S∪ 2 C.S∪ 3=∅ ∪ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
25
∪ ∅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
25
4,5 unid. de distancia4,5 unid. de distancia
1098-2 -1 1 2 3 4 5 6 70
25
-3 -4 -5 -6 11
Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de 936 −= xx Método 1: Utilizando la definición de valor absoluto se tienen que estudiar cuatro casos: Caso 1 Si 936093 y 06 −=⇒≥−≥ xxxx Por lo tanto si ∴−=⇒≥ 33 xx El conjunto solución es ∅
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Caso 2 Si ( ) 936936093 y 06 −=⇔−−=−⇒<−< xxxxxx Por lo tanto si ∴−=⇒< 30 xx El conjunto solución es { }3− Caso 3 Si ( )936093 y 06 −−=⇒<−≥ xxxx Por lo tanto si ∴=⇒<≤ 130 xx El conjunto solución es { }1 Caso 4 Si ( )936936093 y 06 −−=⇔−=−⇒≥−< xxxxxx Por lo tanto si 3 y 0 ≥< xx El conjunto solución es ∅ De donde se obtiene que el C.S. = { } { } { }1313 ,−=∅−∅ ∪∪∪ Método 2: Si se hiciera el análisis gráfico como se desarrolló el ejemplo anterior, se llegaría a tres situaciones. Cuál es la que se obvia en este caso? Por qué? La intersección entre el intervalo 0<x y el intervalo es vacía, porque los valores x que permiten cumplir con están a la izquierda del cero (0), mientras que los valores de x que hacen están a la derecha de 3. De esta forma, jamás habrá puntos en común.
3 ≥x06 <x
093 >−x
Además del uso de la definición y del análisis gráfico, existen teoremas que ayudan a agilizar el proceso de solución, pero mientras no se tenga una capacidad de análisis lógico como la que se logra con los métodos anteriores, puede llevar a una mecanización que no beneficia el desarrollo de las habilidades que en este momento se pretende desarrollar en el estudiante. A continuación se enumeran los teoremas mencionados, pero se omite su demostración por las razones expuestas. Para todo par de números reales a y b, se cumplen los siguientes teoremas: Teorema 1 baba ×=×
Teorema 2 0b si ba
ba
≠= ,
Teorema 3 b aba +≤+ . Esta propiedad se conoce con el nombre de
desigualdad del triángulo. Teorema 4 222 aaa == Teorema 5 ( )dcba ó dcbadc y b, a, dcba +−=++=+⇒ℜ∈+=+ xxxxxx , Ejemplo 16 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de 1084 =−x Por el Teorema 1 se tiene que: ( ) 2424241084 −=−=−=− xxxx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 169
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Continuando el procedimiento algebraico, se tiene:
25
21024 =−⇔=− xx
La solución de esta última expresión equivale a:
Si ⇒=−25
2x ó 21
25
2 −=⇔−
=− xx
ó 29
25
2 =⇔=− xx
C.S. = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
29
21
,
Ejemplo 17 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de:
123 −=− xx . Aplicando el Teorema 5, dado que en 123 −=− xx , los coeficientes de la variable y los términos independientes, 3,2,1, son números reales, entonces se puede establecer que:
Si ⇒−=− 123 xx ó 21
123 =⇔−=− xxx
ó ( )43
123 =⇔−−=− xxx
C.S. = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
43
21
,
Interpretando la solución de manera gráfica, se confirma la solución:
Ejercicios 6.2
3d2
3d1
2 1 1
43
32
d2
d1
Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 523 =+x 2. xx −= 47 3. 023 =+x
4. 3412 +=− xx 5. xx 3523 −=− 6. 1321
23 −=− xx
7. 2522515150 ,,,, +=− xx
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 8. 53 =−− x 9. 2− 3
del valor absoluto, demo
0.
32 =−++ xx
Utilizando la
s propiedades strar:
1 xx =− 11. Si 50352155 ,, <−⇒<− xx 2. Para todo a y b1 baba −≤−ℜ∈ ,
6.4 INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO.
A partir de la interpretación del Valor Absoluto en términos de una distan
cia, la expresión dc <− re a cuya distancia a
es menor que d, y su representación en la recta numérica corresponde a:
l conjunto de puntos que satisfacen la inecuación, escrita en términos de intervalo, es:
l con ción de:
x presenta geométricamente los puntos x sobre la recta numéricc
E( )dcdc +− ; .
c-d c+d c
dd
Ejemplo 18 Encontrar e junto solu 32 <−x
ca, se serva que la solución corresponde a los puntos que se ubican a menos de 3 unidades del
ecir, los que se encuentran dentro del intervalo:
Método 1:
Habiendo estudiado este tipo de inecuaciones desde su interpretación geométriobpunto 2, es d ( ) ( )513232 ;; −=+− .
uto, debe llegarse a la m
aso 1: Si 2 ≥−x ó Si 02
Método 2: Por defini
ción de valor absol isma solución:
C20 ⇔≥ x
Caso 2: 2<⇔<− xx
2≥x
[ )∞,2 ∩
<x
y
32 <−x 5
( )5
ó
2<x
( )2,−∞ ∩
y
( ) 3< 3
2−− x2 <+−x1
<−x
1−>x (,−∞ )∞− ,1
C.S. Caso 1 = [ )52, C.S. Caso 2 =ó ( )21,−
C.S. = [ ) ( ) ( )512152 ,,, −=−∪
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 171
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Para solucionar de forma algebraica un caso como el que aquí se presenta, se puede hacer
ado que el conj
uso de un teorema, que en realidad es la formalización de ocesos geométricos anteriores:
los pr
D unto de puntos que satisfacen la inecuación dc <−x , escrita en términos de intervalo, es: ( )dcdc +− ; , la inecuación que representa dicha solución es:
dcxddcxdc <−<−⇔+<<− , siempre que 0>d Esto permite presentar el siguiente teorema, que permitirá llegar a la solución de
m del buen manejo perativo.
i 0d , dc y >ℜ∈ , y ,
inecuaciones edia alge donde el ndente procesos braicos, éxito depeo Teorema 6 S dc <−x entonces, dcd <−<− x
jemplo 19
so del Teorema 6 ón de:
E
aciendo u , encontrar el conjunto soluci 32 <−x
ado que 3 > 0, puede aplicarse el anterior teorema:
H D
⇒< 3 − 3 < x
Inecuación dada
− 3 + 2 < x − 2 + 2 < 3 + 2 dad de orden de la suma −1 < x < 5
C.S. = ( −1, 5 )
jemplo 20
− 2x − 2 < 3
− 3 < x − 2 < 3
Propie
E
allar el conjunto solución para: H 652x
a 6:
<+− Puesto que 6 > 0, puede aplicarse el teorem
652 <+−< 6652 −⇒<+− xx
( ) )5 Propiedad de orden de la suma ( ) (655256 −+<−++−<−+− x1211 <−<− x ción de términos Agrupa
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −>−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
2112
21
2111 x ción
Propiedad de orden de la multiplica
22
−>> x
. =
111
o El sentido de las desigualdades cambia.
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
211
21 , C.S
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 172
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 21 Cuál es el conjunto solución de 25 −<−x ?
252 −<−< x
−2 NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar.
Al no tener en cuenta esta condición, se estaría aceptando que 2 < −2 lo cual es FALSO.
Teniendo en cuenta que el es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consigui lor real que se le asigne a la variable hace que
valor absoluto ente, ningún va
x 5x
C.S. = ∅
− sea negativo. Por lo tanto:
Otra opción para llegar a la s ción n de valor g l ndría
olu:.
, es utilizar la definicióabsoluto, se ún a cual se te
Caso 1:≥⇔≥− xx 5<
Si 505 Ó
Caso 2: Si 05 ⇔<− x x
5≥x Y 25 −<−x 5<x y ( ) 2−<−− x 5
5≥x Y 3<x 5<x y ( ) 2 5 >−x
5<x y 7>x [ )∞,5 ∩ ( )3,−∞ Ó
( )5,−∞ ∩ ( )∞,7 C.S. Caso 1 = ∅ ∪ C.S. Caso 2 = ∅
C. S. = ∅=∅∅ ∪
La otra forma de inecuación que aún no se ha analizado, es aquella de la forma dc >−x .
omo ya se vio en el inicio del capítulo, geométricamente corresponde a los puntos x cuya istancia a c es mayor a d. En la recta numérica, dicha situación puede visualizarse como:
El conjunto s intervalos
] [ )∞+−∞− , lo que en términos de inecuación es equivalente a:
c >
Cd
solución para este caso, son los puntos que se ubican en lo( ;; dcdc ∪
dcxdcddx xcx −−<−⇔+>< ó , siempre que 0>
sta solución la presenta el siguiente Teorema:
eorema 7 Si 0ddc >ℜ∈ ,, ,
− ó d La forma general de e T dc >−x , entonces: dcódc −<−>− xx
dd
c c-d c+d
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 173
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 2 2 Encontrar el conjunto solución de 3
32 >+x :
Método 1: En términos de distancia, esta expresión corresponde a “los puntos x sobre la recta numérica
ue están a unidades del punto q más de 3 32
− ”. Su interpretación permite encontrar
eométricamente la solución
étodo 2: Como 3 > 0, puede aplicarse el Teorema
g : M
2, entonces: 332ó3
3−<+> x
2+x
323ó
32 −−<x
3 −>x
33−<> xx
C.S =
11ó7
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −∞−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞
311
37 ,, ∪
jemplo 23
Encontrar el conjunto solución de
E
65
3−>−x 11
615
31ó
615
31 <−−>− xx
61− NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar.
Teniendo en soluto es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consig cualquier v lor real que se le asigne a la variable x hace que
cuenta que el valor abuiente, a
5− sea ositivo y 31 x todo número positivo es mayor
que
p
6
C
1− . Por lo tanto:
.S. =ℜ
-6 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 532
37
3 − 11
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 174
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Otra r a la soluci n, es utilizar la valor absoluto, gún la cual se tendría:
opción para llega ó definición dese
Caso Si
1: 15≥⇔ x 05
31 ≥−x
ó Si Caso 2:
150531 <⇔<− xx
15≥x Y 63 15151 −>−x
65
31 −>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −− x 1<x Y
15≥x Y 63>x 291 15<x Y 6
11 − 53
>+− x
2
29>x Y 61 − 313
>− x
[ )∞,15 ∩ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞,
229
2−>− x 31
231<x
Ó
⎟⎜⎛ ∞− 31, ⎠⎝ 2⎞( )15,−∞ ∩
C.S. Caso 1 = [ )∞,15 ó C.S. Caso 2 = ( )15,−∞
C. S. = ( ) [ ) ℜ=∞−∞ ,, 1515 ∪
Ejemplo 24
Existe d conjunto solución de:
iferencia entre el 540 <+< x y el de 54 <+x
de las dos situaciones:
Para determinar si existe diferencia o no, se recurrirá a la interpretación geométrica
54 <+ enor a 5.
x representa todos los valores de x cuya distancia al punto – 4 es m
C.S. = ( –9, 1)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 0
54 <+< x representa los puntos sobre la recta real cuya distancia a – 4 es menor que 5 y
ayor que 0, por lo cual el punto x = – 4 no hace parte del conjunto solución.
-9 -8 -7 -6 -5
0
m
-4 -3 -2 -1 1 2 3 0
C.S. = ( ) ( )1449 ,, −−− ∪
Como se observa, efectivamente hay una diferencia entre las dos situaciones, ya quprimera incluye en su solución el punto – 4, mientras que en la segunda este punto no h
.
e la ace
parte de la solución
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 175
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Ej 6.e 3 rcicios
Encontrar el con ción de las si uaciones:
1.
Encontrar el con to solución de las si s inecuaciones:
1.
junjunto solu guienteguientes inec
323 <−x 2. 285 <− x 3. 726 ≥− x 4. 2532 ≥− x
5. xx −<+ 423 6. 0≤−x 7. 1238
≥− x 8. xx 238 ≥−
6.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Hasta el momento, se ha estudiado el concepto de valor absoluto en una variable. Si una expresión con valor absoluto se i posible representar esta relación en un plano cartesiano. La forma más simple de esta expresión es:
guala a otra variable, esxy = , que de acuerdo
on las formas equivalentes ya conocidas, se tiene que es igual a: c
⎪⎩⎨
<−=
0 si xx , ⎪⎧ ≥
=0 si xx
xy,
n su representación gráfica, se encuentran dos ituaciones:
Es
0 si ≥= xxy , y 0 si <−= xxy , Se trata entonces de dos segmentos de recta: una ara los reales positivos y cero y otra para los ales negativos:
pre
Observando las gráficas, se aprecia que para los 0≥x , la representación gráfica es la misma de xy = . Para los 0<x , la gráfica de xy = es la
simétrica de xy = con respe e , que corresponde a la función
cto al ej xxy −= , y que resulta de
reflejar la parte de la gráfica de xy = que queda bajo del eje y. Elpor de punto 0 cide con el
tercepto x de las funciones ( )0, coin
in xy = y xy −= . Se observa que para cada valor de x en los reales, hay un único valor de y, lo que lleva a concluir que
x= es una función.
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
y
-2
-1
1
2
3
4 – x x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 176
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Las definicio snes e tablecidas para la función lineal, también son aplicables a esta función
valor absoluto:
Dominio: Son todos los ℜ∈x .
Rango: [ )∞;0
No es una función uno a uno, puesto que, a excepción del cero (0), a un mismo elemento del rango le corresponden dos elementos diferentes del dominio.
Es creciente en el intervalo ( )∞;0 y decreciente en ( )0;−∞ .
Es simétrica respecto al eje y.
omo esta, en la que para diferentes intervalos del dominio, se define de anera diferente, es llamada función a trozos.
era puede obtenerse la gráfica de
Una función cm
bm += xy ? Por medio de un ejemplo Ahora, de qué manse entenderá: Ejemplo 25 Esbozar la gráfica de 12 += xy El valor absoluto se le aplica a la función 12 += xy , por lo cual debe ser ésta la base para la epresentacr
ión gráfica.
se dibuja la recta correspondiente a 12 += xy y en el exión de la parte de la recta cuyos valores de y son
bsérvese que en el punto
Para aplicar el procedimiento anterior,intercepto-x de la función se efectúa reflnegativos.
O ⎟⎞⎜
⎝⎛ − 01 , tiene lugar la
unión de las rectas 12⎠2
+= xy y ( )1212 +−=−−= xxy . efinirse como: Por lo tanto, la gráfica total puede d
( )⎪⎪⎩
⎧
−<+−
−≥+
21 xsi 12
21 xsi 12
,
,
x
x
⎪⎪⎨=+= 12xy
Algebraicamente el miento equivalente puede entenderse comoprocedi :
2Est punto na tres aciones:
1−=⇔=+ 01 xx
e
2
x
y
–2x–1
-3 -2 -1 1 2
1
2
3 2x+1
determi situ
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 177
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
En el intervalo ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞− ;
21 , 12 += xy toma valores positivos, es decir, 012 >+= xy .
Entre ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −∞−
21; , 12 += xy alores negativos, es decir, 12toma v 0<+= xy
En
.
2
ca que el 1−=x el valor de la función es exactamente igual a cero, lo que signifi
punto de reflexión es en ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − 0
21 , p lores deara los va x en el intervalo ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −∞−
21; . Se genera
entonces una nueva recta correspondiente a la función ( )12 +−= xy .
eva a definir la función Este análisis ll 12 += xy como:
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<++−
≥++⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<++−
=++
>++
=+=012 si 12
012 si 12
012 si 12
012 si 12
012 si 12
12xx
xx
xx
xx
xx
xy,
,
,
,
entre la función
Ejemplo 26
Existe diferencia 1+= xy y la función 1+= xy ?
l
tiva m = 1 tercepto-y en 1 e tercepto-x en –1. La función es positiva en el intervalo
¿ La primera función puede representarse gráficamente siguie do os pasos establecidos en el ejemplo anterior: La recta de 1+= xy es u recta con pendiente posi
n
na línea e inin ( )∞− ;1 . En ( )1−−∞; , la función es
rvalo donde se genera la simetría respecto al eje x, gr
negativa, por lo cual es en este intecambiando la función por 1−−= xy . La áfica resultante es:
Para establecer si existen realmente diferencias entre las dos funciones, se debe graficar 1+= xy y compararla con la primera: Se estudiará la función con detalle, pala incidencia de sumar una constaalor absoluto, para lo cual se recurrirá a la efinición:
ra observar nte a la función
vd
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥=
0 si
0 si
x
xx
,
Si se compara la nueva fu
−=
x
xy
,
nción con la definición dada para xy = ,
⎪⎩
⎪⎨⎧
<+−
≥+⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
<+−
==+=0 si 1
0 si 1
0 si 1
0 si 11xx
xx
xx
xxy,
,
⎧ + 0 si 1 xx ,
y=x+1 y= – x –1
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
>
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 178
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
hacia arriba, dando lugar
una nueva recta con ecuación 1se encuentra que para los 0≥x , la recta y = x se trasladó 1 unidada += xy . Para los x negativos la función resultante es
a de la función y = –x trasladada 1 unidad hacia arriba.
e s
ida en el valor bsoluto hace que la función se traslade erticalmente, que para el caso que se estudia orresponde a 1 unidad hacia arriba, valor que oincide con el valor de la constante.
cartesiae representan
gráficas diferentes.
demás, se encuentra que el rango para
1+−= xy , que corresponde a la rect La gráfica que se establece es la qu e presenta a continuación:
n conclusión, la constante no inclu
179
Eavcc
Para dar respuesta a la pregunta, se dibu s funciones sobrepuestas en el mismo plano no,
esta forma pued u
jan las do
y de e asegurarse q
A 1+= xy es [ )∞, y para la función 0 1+= xy es [ )∞,1 .
7 acer un análisis detallado de la función
Ejemplo 2
H 3521 +−= xy , a partir de su representación gráfica.
n paso a paso, utilizando dos métodos:
aso 1:
raficar la función
Para comenzar se va a graficar la funció
Método 1:
P G 5
21 −= xy
y
x
y=x+1 y= – x +1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
y=|x|+1
y=|x+1|
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
y
x
-10 -5 5 10 15 20
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
ar la función
180
Paso 2:
Grafic 521 xy
ca que la y no toma valores
−= . El valor
absoluto indinegativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función 5
21 −= xy y se
refleja con respecto al eje x.
la función
-10 -5 5 10 15 20
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 y
x
5 10 15 20 -1
123456789
x
y Paso 3:
raficar 3521 +−= xy . Ahora se toma la
nción
G
fu 521 −= xy y se traslada 3 unidades hacia
rriba.
aso 1:
raficar la función
a Método 2:
P G xy
21=
Paso 2: Graficar la función xy 1=
2valor absoluto indica que
la y no toma valores negativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función
. El
xy21= y se refleja con
respecto al eje x.
-10 -5 5 10
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 y
x
-10 -5 5 10
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 y
x
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Paso 3:
5
5 10 15 20-1
123456789
x
y
Graficar la función 521 −= xy , para lo cual
es de gran utilidad expresarla de la forma ( )10
21 −= xy . Lo anterior indica que la
n funció xy21= se traslada hacia la derecha
aso 4:
raficar la
10 unidades.
-10 -5 5 10 15 20
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4
y
P G función 35
21 +−= xy . Ahora se toma la
función 521 −= xy y se traslada 3 unidades hacia
rriba. a Los dos métodos llevan a la misma g ca, en el segundo se trabaja la traslación horizontal utilizando una trasformación algebraica de la ecu ón de la función. A partir de la gráfica se pue siguiente análisis detallado de la función
ráfiaci
de hacer el35
21 +−= xy :
Dominio ℜ
Rango [ )∞,3
La función es creciente en el intervalo ( )∞,10
La función es decreciente en el intervalo ( )10,−∞
ínimo de la función es 3 y lo toma x=10.
donde la función sea máxima.
El valor mcuando
No se puede determinar un punto de coordenadas
La función es positiva es decir 0>y para todo ℜ∈x
x
La función no toma valores negativos ni cero.
No es una función uno a uno porque para dos valores distintos de x la ordenada toma el mis
mo valor
5 10 15 20 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 181
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Ejercicios 6.4
Esbozar las siguientes gráficas:
Esbozar las siguientes gráficas:
1. 1. 12
+= xy 1 2. 12 −= xy
Comparar las gráficas y establecer semejanzas y diferencias con xy = :
3. x− y = 4. xy −=
Representar gráficamente:
5. 22 −−= xy 6. 24
+−= xy 3 7. 153 +−= xy , 8. 231 −−= xy
. 9 xy 52.−−=
a 211
Encontrar el valor de la función par =−== xxx ,, :
10. ( ) 23 −= xxf 11. ( ) xx −−= 4g
r el rango de las siguientes funcio
Determina nes:
12. 2+= xy 13. 2+−= xy
Para cada una de las siguientes funciones indicar intervalos donde la función es
creciente y donde es decreciente:
23 −= xy 14. 15. 3+−= xy
16.
Indicar los puntos donde cada una de la siguientes funciones es máxima y mínima:
23 +−= xy 17. xy52=
31 −−
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
y resolver:
G. Encontrar cada uno de las siguientes medidas, si
rAnaliza 1. Considerar los segmentos de línea determinados por los puntos A , D, E, F, , B, C
( )BCd = 21 , ( )DEd = ( )EFd =
43
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
A B C D E F G
0
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 182
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
a. (A )Bd b. ( )CEd c. ( )DBd
d. ( )GEd e. ( )GAd f. ( )CDd
n valor 2. trar uEncon para x tal que ( )AB d que d tenga igual longitu ( )BCd
a. A =
2 B = 2 C = b. A = 1 x
43 B = x C = 2 c. A = x B = 3 C = 5
Calcular:
23 − 4. 25 − 5. 47 −+ 6. 3.35
7. )
11 −
( 63 −× 8. 5− ( )26 −÷− 9. 47 +− 10. π−4
11 4−π 12. 25 −− 13. 76 − 14. . 371 −.
15. 41 ×− 16. 25
números mixtos:
Efectuar las operaciones, expresando la respuesta en
9325 32322838 −+− 18. 17. 1111 −−++ 19.
32
32
345 −++−
Decir cuáles enunciados son ertos para todos los números enteros a b y c, e
. abba + abba
2
ci , ilustrar los que son falsos con un ejemplo que pruebe la falsedad:
=+20 21. −=− 22. baba +=+
. ( ) ( )cbacba −−=−− 4. 2 bab −= 23 a −
Resolver cada uno de s siguie :
. s sig
lo ntes ejercicios 25 Hallar la distancia recta e uientes puntos: sobre la ntre lo ( )ABd
A 3 0 4 5 −2 −B 7 4 5 − 1 8 −
26. Hallar el conjunto de todos los números reales, cuya distancia del número A es la que se
27.
indica:
A d (A,B)
-9 es igual a 2 -5 es mayor o igual a 3 2 es menor o igual a 1 5 es menor que 7
Si es cierto que 25=+ BA , 85=++ BCA , cuál será el valor de:
a. AB +
0 es mayor que 3
b. ( )CBA ++ c. ( ) CBA ++
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 183
CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO
Resolver: 28. Pedro se encuentra de visita en la ciudad de Medellín y se enferma. Como no conoce la
ad entra a un superme encontró en su ca un do por la droguería El empleado le respon uería está a
300m. a la derecha de aquí entre la peluque la droguería es de 200m. stancia que tie r Pedro para ir a la peluqu
, Teresa, Eliana y Natalia viven e Real. Teresa vive a una milla y media de donde vive Greg ve a milla y media de donde vive Teresa. Natalia
Natalia de Gregorio? (
e:
ciud rcado qumás
e se mino, y le pregunta a emplea cercana. de: “la peluq
, y la distancia ría yCuál es la di
ne q eue recorr ería?
29. Gregorio en la callorio; Eliana vi
vive a medio camino entre Eliana y Teresa. ¿Qué tan lejos viveHay dos posibles soluciones)
Encontrar el conjunto solución d 30. 512 =+x 31. 021 =−x
532. 123 −=− xx
33. 83 ≥+z 34. 13 ≤−x 35. 237 <−− xx
6. 17 ≤− x 37. 3
21 <−a 38. 22
3 5321 ≥+ x
9. 3 121 <−++ xx 40. 1032 <2 +− xx
Representar gráficamente sin tabular las siguiente función:
1.
4 23 −−−= xy
A partir de la siguiente gráfica:
2. Determinar las ecuaciones de las rectas 321 yyy ,, .
3. Determinar la función ( )xf que asocia las rectas 1y y 2y .
4. Encontrar los puntos de corte de
4
4 4 ( )xf con 3y .
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
Y2 x
Y3
Y1
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 184
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Encontrar la expresión de las funciones s: 45. 46.
47.
Encontrar la expresión de las funciones tan las siguientes gráficas: 45. 46.
47.
que represenque representan las siguientes gráfica
48. 48.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
-1 1 2 3 4 -1
1
2
3
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1 y
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-3 -2 -1
1 2 3 4 y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 185
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Amas la vida? Entonces no malgastes el tiempo porque es el elemento del que esta hecha la vida” Benjamin Franklin
CAPÍTULO VII
FACTORIZACIÓN
7.1 INTRODUCCIÓN 7.2 FACTORIZACIÓN 7.3 ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN
CAPÍTULO VII
FACTORIZACIÓN
7.1 INTRODUCCIÓN La multiplicación de expresiones algebraicas se presentó en el Capítulo II como una aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 1
( ) xxxx 4222 2 −=− Propiedad distributiva Ejemplo 2 ( )( ) ( ) ( )52552 +−+=+− xxxxx Propiedad distributiva
10252 −−+= xxx Propiedad distributiva 1032 −+= xx Agrupación de términos
En el Capítulo II, se presentaron los productos notables como productos de ciertos binomios de uso tan frecuente en matemáticas que es útil recordar las relaciones de igualdad en ambos sentidos.
PRODUCTOS NOTABLES
j ( ) 222 bab2aba ++=+
( ) 222 bab2aba +−=−
( )( ) 22 bababa −=−+
( ) 32233 bab3ba3aba +++=+ ( ) 32233 bab3ba3aba −+−=− ( )( ) 3322 babababa +=+−+ ( )( ) 3322 babababa −=++−
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 188
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
7.2 FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir una expresión como un producto de otras, es decir, es el proceso contrario de la multiplicación. La factorización implica encontrar el máximo número de factores primos dentro del conjunto de los enteros. Ejemplo 3 Factorizar 24 El número 24 puede expresarse de diferentes formas:
3224642412224 3 ×=⇔×=⇔×=
Las dos primeras expresiones corresponden a una descomposición en factores. La tercera sí es una factorización, puesto que aquí 24 está representado en el producto de sus factores primos.
7.3 ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR El objetivo de esta sección es proponer estrategias para reforzar las habilidades en la técnica de factorización, herramienta de uso permanente en cualquier proceso matemático. Cuando se desea factorizar una expresión polinomial es recomendable seguir los siguientes pasos: Paso 1: Buscar el máximo factor común para todos los términos. Si lo hay, aplicar la
propiedad distributiva. Paso 2: Verificar si uno de los factores obtenidos en el paso anterior es:
Un binomio: Si cumple con las características para ser un producto notable, aplíquese la relación de igualdad. En ocasiones, este paso debe repetirse hasta que se llegue al máximo número de factores primos en los enteros.
Si no es un producto notable, el polinomio dado ya ha sido factorizado.
Un trinomio: Determinar si es de la forma: 22 2 baba +± Si cumple, aplíquese el producto notable correspondiente.
Un trinomio que cumple con esta característica se le da el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
cba 2 ++ xx . Aplíquese la técnica según sea a = 1 o a ≠1.
Si no cumple con ninguna de las dos formas, el polinomio ya ha quedado factorizado.
De más de tres términos: Agruparlos convenientemente y analizar la
posibilidad de repetir el proceso para cada uno de las nuevas agrupaciones.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 189
CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN
Una expresión de la forma es factorizable en los enteros si existe d y e enteros que multiplicados den c y sumados den b. Si existen,
cb2 ++ xx
( )( edcb2 ++=++ xxxx )
j Una expresión de la forma , se transforma en una expresión de la forma anterior multiplicando y dividiendo por a.
cba 2 ++ xx
( ) ( )( ) ( )( )
agafa
acaabacba
22 ++
=++
=++xxxxxx
Para este caso, el producto de f y g es ca y su suma es b.
Ejemplo 4 Factorizar. 2515 x−
Paso 1: Existe un factor común: 5.
( )22 35515 xx −=− Paso 2: El segundo factor es un binomio pero no corresponde a ningún producto notable.
Luego, la factorización en los enteros ha terminado.
Ejemplo 5 Factorizar: 21625 y−
Paso 1: No existe un factor común para los dos términos. Paso 2: Se trata de un binomio. Debe determinarse si es una diferencia de cuadrados o
de cubos.
En este caso se tiene una diferencia de cuadrados, por lo tanto:
( ) ( )( )yyyy 4545451625 222 +−=−=−
Ninguno de los binomos resultantes es factorizable en los enteros, lo cual permite asegurar que el binomio presentado ha quedado completamente factorizado.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 190
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 6
Factorizar la siguiente expresión: 44 644 yx − Paso 1: 4 es factor común de los dos términos. Entonces:
( )4444 164644 yxyx −=−
Paso 2: El binomio de esta primera factorización es una diferencia de cuadrados. Se tiene:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]2222222244 44444164 yxyxyxyx −+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
El tercer factor es nuevamente una diferencia de cuadrados factorizable en los enteros. Por lo tanto,
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] yxyxyxyxyx 2244444 222222 −++=−+
Ninguno de los factores de este último paso es factorizable en los enteros, por lo que se puede decir que el polinomio ha sido factorizado en su totalidad.
Ejemplo 7
Factorizar 66 72964 yx − Paso 1: Los términos no tienen un factor común. Paso 2: Asociando la expresión con los productos notables se tienen dos opciones:
Opción 1: Diferencia de cuadrados:
( ) ( ) ( )( )3333232366 27827827872964 yxyxyxyx −+=−=−
Ambos factores son productos notables, una suma de cubos y una diferencia de cubos. Entonces:
( )( )( )( )2222 9643296432 yxyxyxyxyxyx ++−+−+=
Aquí termina la factorización.
Opción 2: Al trabajar el binomio como una diferencia de cubos, se tiene:
( ) ( ) ( )( )4224223232 8136169494 yyxxyxyx ++−=− ( )( )( )4224 8136163232 yyxxyxyx +++−=
Como puede verse, las dos opciones son alternativas de solución, pero en el rigor de la definición, la opción correcta es la primera porque da un mayor número de factores.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 191
CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN
Ejemplo 8 Factorizar: 25102 −−− xx ( )25102510 22 ++−=−−− xxxx El polinomio entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces puede factorizarse totalmente como:
( ) ( 22 52510 +−=++− xxx ) Ejemplo 9 Factorizar: xxx 882 23 ++
Paso 1: El mayor factor común del trinomio es 2x. Entonces:
( )442882 223 ++=++ xxxxxx
Paso 2: El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorización final será:
( )223 22882 +=++ xxxxx Ejemplo 10 Factorizar: 1522 −− xx Este es un trinomio de la forma y no es cuadrado perfecto. Por lo tanto, su factorización es:
cb2 ++ xx
( )( 351522 +−=−− xxxx ) Ejemplo 11 Factorizar completamente: 4129 2 ++ aa Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma . cba 2 ++ xx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22
2 2323239
69699
3691294129 +=++=++
=++
=++ aaaaaaaaa
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 12 Factorizar: baab 815206 +−− Agrupando convenientemente, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5243524523208156815206 −+=−+−=−+−=+−− babbabaabbaab . Ejemplo 13
Factorizar la siguiente expresión: 11025 2 ++ xx Luego de una rápida inspección, puede rescribirse la ecuación de manera que se llegue a una forma ya conocida, así:
( ) ( ) 1525 2 ++ xx
Ahora puede hacerse uso de una variable auxiliar: Sea , con la cual, la ecuación será equivalente a: xu 5=
( )22 112 +=++ uuu
Recuperando el valor inicial:
( ) ( )22 151 +=+ xu
Queda factorizado completamente Ejemplo 14
Factorizar la siguiente expresión: 94129 22 −+− nmnm Si se agrupan los términos:
( ) ( ) ( )( ) (( )32332392394129 222 −−+−=−−=−+− nmnmnmnmnm )
Queda totalmente factorizado. Ejemplo 15 Factorizar la expresión 12 ++ xx Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma ., en donde y cb2 ++ xx 1b = 1c = Por lo tanto se deben encontrar dos números que multiplicados den 1 y sumados den 1. Estas condiciones no se cumplen con dos números enteros. En conclusión, la expresión no es factorizable en los enteros.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 193
CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Qué polinomio genera la siguiente factorización? )
Factorizar en los enteros:
2.
1. ( )( 134 −+ xx
a3a2 +x 3. m4m −x
4. 2 5.
8
24. ( ) ( )252 ++ x 25.
2 69 uvvu + 1824 +x
6. 2100 x− 7. 499 2 −x
8. 2516 2 −x 9. 22 254 yx −
10. 1449 2 −x 11. 41610 2 ++ x x
12. 40142 ++ xx 13. 24112 +− xx
14. 48142 +− xx 15. 63162 +− xx
16. xx −− 562 17. 3616 22 yxyx −+
18. 22 406 yxyx −− 19. 481622 +− xyyx
20. 321422 −− xyyx 21. 20155 2 −+ xx
22. 40162 2 −+ xx 23. yxyyx 72182 +− 3 +xx ( ) ( )x y yxx +−+
22mmm −
( )2b− 2xx +−
34. 3b− 35.
36. 37.
y
26. 13 −x 27. 6 −34 8
28. 728 64 yxyx − 29. 610001 x+
30. 281415 xx −+ 31. +216 a
32. x34 201515 33. 55 nm + 322 aba +− 3242 −+ xx
1272 ++ rr 255816 2 yxyx ++
2
434 baa ++
cdan 222 −− 244 bab ++
2aba +− 2254910116 maxxma −−+−−
yxax 22 32 −− ) ( )24 yxxyxyx ++−+−
( ) ( )142 2 +x
)22y −−−+− ( )( )25353 yxyxyxyx +−−+−
6+
58. 96 22 +−+ yxx 59.
38. 9b224 39. bnbmnama 155124 22 −−+
40. 66 64729 nm − 41. cnda 222 −+−
42. 222 69 mnnma −−− 43. 20317 2 −+ xx
44. b2 92416 45. 27135225125 23 −+− xxx 46. yxyx −+− 33 47. 222
48. xyayaxyx 223 3223 −++ 49. 8442 1691261 baba +− 50. xyyxx 3092549 224 +−− 51. y+( ) ( )(2 129
52. ( )( ) 5214252 2 −−+− xxxx 53. bbxaxax 22 23 −++−
54. y( ) (2 551716 55. 4( )( )4
56. 2023 22+− yxxy 57. 82742 22 ++ baabb9a6a3
21
161 zyx +
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 194
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
60. 835 2 −− xx 61. 2422 −+ xx
62. 652 −− xx 63. 102 2 −+ xx
64. 968 2 −+ xx 65. 273310 xx −+
66. 363 yxa + 67. 44 273 ya −
68. 242 cba − 69. 222 9zyx −
70. 8444 dcba − 71. 36 12854 yx −
72. ( ) 18 3 −abc 73. 3410 8 zyy −
74. 42 −x 75. 36122 ++ xx
76. 242312 2 −+ xx 77. aaxax 1408530 2 −+
78. ( ) ( ) 122 −+−+ yxyx 79. ( ) ( )222 1311110 −+−− xx 80. xzxyx ++4 81. ( ) 22 bay −+
82. 222 2 baabxx +− 83. ( ) ( )22 222 +−+ yyx
84. 2bdabdbcdabc +++ 85. 682 2 ++ xx
86. ( ) ( )1122 ++++ xxxa 87. ( ) ( )bacba +++ 14
88. 223 18248 xyyxx +− 89. cxcxcx ++ 23 1025
90. tabbtata 235 2 ++ 91. aaxax 442 ++
92. ( ) ( )224 +++ xax 93. 583 2 ++ xx
94. 94
4
2−x 95.
251
25100
2++ xx
96. 010060090 2 ,,, +− xx 97. 29262 2 +− xx
98. 33 64125 sr − 99. 262 +− xx
100. 8126 23 −+− xxx 101. 1222 −++ xyyx
102. 4224 25yyxx ++ 103. 422 −− xx
104. 2222 4444 dcdcbaba −−−++ 105. 94261449 22 +++++ yxxyyx
106. 64223 6128 yxyyxx −+− 107. 64240300125 23 −+− yyy
108. zzzz 27279 234 +++ 109. ( ) ( ) 1121 22 ++++ xaxa
Factorizar en los reales: 110. 3322 +− yy 1
11. 142 −x
112. 808 2 −x
Factorizar las siguie iones:
13. bbb nn 656 112 −+ ++ 114.
ntes expres
8149
210 xn ba − 115. 55 33 ++++ xxx nn 1
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 195
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Aquel que ama la práctica sin la teoría es como el marinero que aborda un barco sin un timón y una brújula, y nunca sabe donde puede naufragar” Leonardo Da Vinci
CAPÍTULO VIII
RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE
SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
8.1 INTRODUCCIÓN 8.2 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA 8.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR
FACTORIZACIÓN 8.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
COMPLETANDO EL CUADRADO 8.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR
LA FÓRMULA CUADRÁTICA 8.6 TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
CUADRÁTICA 8.7 ¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
COMO PRODUCTO DE FACTORES LINEALES? 8.8 PROCESO DE REVERSIBILIDAD EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
CAPÍTULO VIII
RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
8.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma con y llamadas polinomios de grado dos o polinomios cuadráticos.
cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, 0a ≠
Tal como en el caso lineal, con expresiones de estas características puede establecerse relaciones de igualdad (ecuaciones) ó de orden (inecuaciones). Éstas últimas se estudiarán en capítulos posteriores. Antes de iniciar el estudio detallado de solución para estas situaciones debe recordarse:
j
Factorizar una expresión es descomponerla en factores. En el capítulo anterior, se trabajaron los diferentes métodos para factorizar expresiones de la forma con cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, y . 0a ≠
Resolver una ecuación ó una inecuación es encontrar los valores que la variable puede tomar en el conjunto de referencia para hacer verdadera la relación dada.
Las soluciones de una ecuación reciben el nombre de raíces, y el conjunto de ellas, conjunto solución.
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución
8.2 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Si se tiene en su forma más simple una expresión de la forma con cba 2 ++ xx ℜ∈c b, a, y , se habla de una ecuación cuadrática.
0a ≠
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 198
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 1 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas? ¿Por qué?
a. 05 3 2 =+π+ xx
Es una ecuación cuadrática ya que es de la forma con 0cba 2 =++ xx ℜ∈c b, a, y 0a ≠
b. ( ) 0
235 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −− xx
Es una ecuación cuadrática ya que tiene dos factores lineales y el producto de ellas es un polinomio de grado 2
( ) 0
215
2130
2155
230
235
230
235 22 =+−⇔=+−−⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −− xxxxxxxxxx
c. ( )( )( ) 01231 =−++ xxx
No es ecuación cuadrática ya que es el producto de tres factores lineales por lo tanto al efectuar el producto se obtiene un polinomio de grado tres.
d. xx 321 2 −=
Es ecuación cuadrática ya que es equivalente a 03
21 2 =+ xx y tiene como mayor
exponente de la variable dos. El hecho de no tener término independiente no es razón para dejar de ser cuadrática.
e. 052 =−x
No es ecuación cuadrática ya que no tiene término de la forma con 2ax 0a ≠
f. ( ) 325
21 =−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − xx
Sí es ecuación cuadrática, ya que es el producto de dos factores lineales.
8.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Para resolver ecuaciones cuadráticas es decir, ecuaciones de la forma , existen varios métodos, uno de los cuales es la factorización, cuando la expresión cuadrática es factorizable en los enteros.
0cba 2 =++ xx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 199
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
En el capítulo anterior se presentó la factorización como una herramienta para expresar polinomios equivalentes en el conjunto de los enteros cuyo resultado se presentaba como el producto de dos factores lineales. Para resolver la ecuación por este método, se hace uso de la siguiente propiedad: Propiedad del cero en los reales: Para todo 0b a ba, =×ℜ∈ , , sí y sólo si ó 0a = 0b =
Para ilustrar el método de la factorización para solución de ecuaciones cuadráticas, se recurrirá a un ejemplo: Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 042 =−x Existen dos métodos para resolver este tipo de ecuaciones: Método 1 Usando la factorización:
( )( ) 022042 =+−⇔=− xxx Por la propiedad del cero en los reales, se tiene que:
( )( ) ( ) ( ) -2 xó202 ó02022 ==⇔=+=−⇒=+− xxxxx Verificando la validez de las soluciones:
( ) 000422 2 =⇔=−⇒=x ( ) 000422 2 =⇔=−−⇒−=x
Se concluye que el conjunto solución es: { }22,−
Método 2 Por propiedad de la suma en igualdades:
42 =⇔ x042 =−x
2x
) De esta forma obtenemos el valor para . Pero el objetivo del ejemplo es encontrar los valores de x en los reales que satisfacen la ecuación cuadrática.
La situacióresultado 4
200
E
n en este momento es: ¿qué números reales elevados al cuadrado dan como ?
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La respuesta es: “existen dos números: 2 y –2”. Por consiguiente:
242 ±=⇒= xx
El conjunto solución por este método es el mismo que arrojó el método 1.
El razonamiento del método 2 permite generalizar: Una expresión de la forma y .a=2x aa ±=⇒≥ x0 y por las propiedades de la potenciación definidas en el Capítulo I, se puede afirmar que si a < 0 no hay solución. Las dos posibles respuestas para x permiten asociar la expresión a±=x con un concepto ya estudiado en el capítulo 2: el valor absoluto. Efectivamente:
aa =⇔±= xx Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de: . 01682 =+− xx
( ) 040168 22 =−⇔=+− xxx La factorización está completa en los enteros, pero aún no se conocen los valores de x que dan solución a la ecuación. Cómo encontrarlos?
Ahora la situación consiste en encontrar los números reales que al ser elevados al cuadrado den como resultado cero “0”. E
)
De el Capítulo I, se recuerda que por las propiedades de la potenciación, cero “0” elevado a cualquier entero positivo, es cero “0”. Por consiguiente, ( ) . ( ) 40404 2 =⇒=−⇒=− xxx .
Entonces, el conjunto solución es:
C.S. = { }4
Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de 0122 =−+ xx
( )( ) 0340122 =−+⇔=−+ xxxx Factorización 03ó04 =−=+ xx Propiedad del cero en los reales 3ó4 =−= xx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 201
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Verificar si son o no soluciones Para , 4−=x 0122 =−+ xx ( ) ( ) 01244 2 =−−+−⇒
00012416 =⇔=−−⇒
Para , 3=x 0122 =−+ xx ( ) ( ) 01233 2 =−+⇒
0001239 =⇔=−+⇒
La ecuación se cumple para los dos valores de la variable, por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es { }34,−
Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución para: ( )( ) 423 −=+− xx
( )( ) ( ) ( ) 42ó43423 −=+−=−⇔−=+− xxxx
E
Nl producto debe ser igual 0 para aplicar la propiedad del cero en los reales:. o existe la propiedad del –4. ( )( ) 0246423 22 =−−⇔−=−−⇔−=+− xxxxxx
( )( ) 01ó02012 =+=−⇔=+−⇔ xxxx
C.S. = { }21,− Ejercicios 8.1
Encontrar por factorización el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
or factorización el conjunto soluci ntes ecuaciones:
. 08116 4 =−x 6. 045 24 =+− xx
. ¿Qué se puede concluir respecto al grado del polinomio en los ejercicios anteriores?
1. 0962 =++ xx 2. 062 2 =−+ yy
3. 01692 =−w 4. 03072 =−+ xx
Encontrar p ón de las siguie 5 7
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 202
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
8.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO Completar el cuadrado es un método algebraico que permite convertir un trinomio en una expresión que contiene dentro de sus términos un trinomio cuadrado perfecto. Este proceso se lleva a cabo sobre trinomios de grado 2, es decir, sobre polinomios de la forma . Pueden presentarse dos situaciones: cba 2 ++ xx Caso 1: Cuando a = 1. Ejemplo 6 Completar cuadrados en la siguiente expresión: 1362 ++ xx Puede apreciarse que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, puesto que el coeficiente del segundo término, 6, no corresponde al doble de la raíz cuadrada del término independiente, 13. Recordando la propiedad del inverso aditivo definida en el Capítulo I, se puede sumar y restar un mismo término a una expresión algebraica sin alterarla. En particular, puede sumarse y restarse un término igual a la mitad del coeficiente de x, así:
0
2222
26
26136136
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+++⇔++ xxxx
Reordenando los términos de la nueva expresión, se tiene:
( ) 432613
266 2
2
perfecto cuadrado trinomio
22 ++⇔⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++ xxx
Se dice que se ha completado el cuadrado ya que la expresión equivalente se compone de dos términos, uno de los cuales es trinomio cuadrado perfecto. Caso 2: Cuando a ≠ 1. Ejemplo 7 Completar cuadrados en la siguiente expresión: 342 2 −+ xx Como no es un trinomio cuadrado perfecto, el procedimiento más conveniente es agrupar los términos en x, para conformar con ellos el trinomio cuadrado perfecto. Para mayor facilidad, se factoriza el coeficiente del término de esta forma: 2x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 203
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
( ) 322342 22 −+⇔−+ xxxx
Ahora sí se procede a completar el cuadrado:
( ) ( ) ( )123122322 22 −−++⇔−+ xxxx
o El 1 que se sumó para completar el cuadrado, está afectado por el factor 2.
El término que debe sumarse y restarse al trinomio de la forma para completar el cuadrado, resulta de encontrar el término independiente que junto con conforme el trinomio cuadrado perfecto que sea equivalente a .
cb2 ++ xx
xx b2 +
( )222 d1db +=++ xxx Sabiendo que , entonces, ( )( )d12b =
2bd = .
Ya conocida la forma de completar cuadrados en un trinomio, de qué manera puede utilizarse esta herramienta para resolver una ecuación cuadrática? Ejemplo 8 Encontrar el conjunto solución de: 0522 =−− xx Para encontrar las soluciones, dado que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, se procede a completar el cuadrado:
( ) ( ) 052052052 222 =−−⇔=−−⇔=−− xxxxxx
( ) ( ) ( ) 6106101512 222 =−⇔=−−⇔=−−+−⇔ xxxx Teniendo en cuenta lo estudiado en la sección 8.3,
( ) 616161 2 ±=−⇔=−⇔=− xxx 61ó61 −=+=⇒ xx
Finalmente, se verifican las soluciones: Para 61+=x :
( ) ( ) 0561261612
=−+−+⇒+=x 00056226621 =⇔=−−−++⇒
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 204
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para la segunda solución, 61−=x :
( ) ( ) 0561261612
=−−−−⇒−=x
00056226621 =⇔=−+−+−⇒ Como los dos valores de x hacen válida la ecuación, el conjunto solución es: { }6161 −+ , .
Ejemplo 9 Completando el cuadrado, encontrar el conjunto solución de: 123 2 =+ xx Nótese que el coeficiente de es diferente de 1, por lo tanto: 2x
31
321
323123 222 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +⇔=+ xxxxxx
94
31
91
31
91
32 22 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +⇔+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⇔ xxx
32
31
32
31
94
31 ±−=⇔±=+⇔=+⇔ xxx
1ó
31 −== xx
C.S. = { }
311,−
La verificación de las soluciones se deja como ejercicio para el lector.
Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución completando el cuadrado: 964 2 =+− xx De la misma forma como se procedió en el ejemplo anterior:
49
239
234964 222 −=−⇔=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⇔=+− xxxxxx
1627
43
169
49
169
23 22 −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⇔+−=+−⇔ xxx
E
)
Dado que cualquier real elevado al cuadrado es un número positivo, no es posible encontrar valores de x en los reales que satisfagan la ecuación cuadrática dada. Luego, el conjunto solución es:
C.S. = ∅
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 205
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Ejercicios 8.2
Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. 0582 =+− xx 2. 023 2 =−+ xx 3. 01062 2 =++− xx
4. 05231 2 =−+ xx 5. 0654 2 =+− xx
8.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA Si bien la factorización y el método de completar cuadrados permite encontrar soluciones para ecuaciones cuadráticas, existe un tercer método que no requiere procedimientos algebraicos, puesto que se reduce a la aplicación de una fórmula general deducida luego de ompletar cuadrados en la forma canónica, , llegando a lo siguiente: 0cba 2 =++ xxc
a2ac4bb 2 −±−=x
o 2a divide a los dos términos del numerador.
jemplo 11 E
Cuál es el conjunto solución de ? Utilizar la fórmula cuadrática. 0684 2 =+− xx¿ Para utilizar correctamente la fórmula cuadrática, es recomendable identificar los valores de ada constante: c
6c8b4a =−== ;;
D
e donde:
( ) ( ) ( )( )( ) 8
3288
9664842
64488 2−±=⇔−±=⇔
−−±−−= xxx
La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los reales, como se vio en el
apítulo I. Por lo tanto, se concluye que en los reales, el conjunto solución es: C
C.S. = ∅
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 206
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 12
Utilizando la fórmula cuadrática, encontrar el conjunto solución de: 0643 2 =−+ xx Se identifican las constantes:
6c4b3a −=== ;; Aplicando la fórmula cuadrática:
( ) ( ) ( )( )( ) 6
8846
7216432
63444 2±−=⇔+±−=⇔
−−±−= xxx
3222
62224 ±−=⇔±−= xx
Si se verifican las soluciones se encontrará que efectivamente el conjunto solución es
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−−−
3222
3222
, .
A partir de este ejemplo, las soluciones deben ser verificadas por el estudiante, con el fin de reforzar sus habilidades aritméticas.
&
El ahorro de espacio en la edición de este libro es una contribución a la conservación del medio ambiente.
Ejemplo 13
Hallar el conjunto solución de utilizando para ello la fórmula cuadratica. 0962 =++ xx Valor de las constantes:
9c6b1a === ;;
( ) ( ) ( )( )( ) 2
062
3636612
91466 2±−=⇔−±−=⇔
−±−= xxx
3−=x
El conjunto solución es: { }3− Ejercicios 8.3
Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática:
1. 3279 2 =− aa 2. 0161088 2 =−+ xx 3. 082010 2 =+− xx
4. 0203
21
43 2 =−− xx 5. ( )( ) ( )( )
45511235 −=+−+−+ mmmm 6. ( )( ) 204362 −=+− ww
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 207
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
8.6 TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Al resolver ecuaciones cuadráticas se puede llegar a tener como conjunto solución, conjuntos con 2 elementos, con un único elemento o con ningún elemento. Los tres ejemplos de la sección anterior mostraron cómo la expresión subradical de la fórmula cuadrática, , es la que determina la cantidad de soluciones. De este hecho, deriva su nombre: discriminante, cuyo símbolo es ∆ (letra griega delta)
ac4b2 −
En general:
Si , se tienen dos soluciones reales distintas. 0ac4b2 >−
Si , no hay solución en los reales. 0ac4b2 <−
Si , existen dos soluciones iguales. Se dice que la ecuación tiene una única solución real de multiplicidad 2.
0ac4b2 =−
Ejemplo 14 Sin resolver la ecuación determinar cuántas soluciones tiene la ecuación: 231 pp −=
Para determinar la cantidad de soluciones en los reales se analizará el discriminante, para facilidad reescribamos la ecuación en su forma canónica.
01331 22 =−+⇔−= pppp ( ) ( )( ) 131211341ac4b 22 =+=−−=−
Como 13>0 se puede concluir que la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes . Ejemplo 15 Determinar si , tiene solución en los reales. 0342 2 =+− xx Para dar solución basta con analizar el discriminante:
( ) ( )( ) 0824163244 2 <−=−=−− Siendo negativo el discriminante, puede afirmarse que la ecuación dada no tiene solución en los reales.
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
8.7 ¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMO PRODUCTO DE FACTORES LINEALES?
Si bien puede solucionarse una ecuación por fórmula cuadrática o completando cuadrados, la utilidad de estos métodos va mucho más allá, puesto que ambos permiten expresar una ecuación cuadrática como un producto de factores lineales (factorización). Para visualizarlo, se presenta el siguiente ejemplo. Ejemplo 16 Expresar como un producto de factores lineales: 0262 =−+ xx Puede seguirse cualquiera de los dos caminos: En este ejemplo se trabajará completando cuadrados:
( ) 9296026 22 =−++⇔=−+ xxxx
( ) 113113113 2 ±=+⇔=+⇔=+⇔ xxx Esta última expresión genera las siguientes situaciones:
113113 +−=⇔=+ xx
0113 =−+⇔ x ó
113113 −−=⇔−=+ xx
0113 =++⇔ x
La propiedad del cero ha sido trabajada hasta el momento en un solo sentido es decir:
0b a ba, =×ℜ∈∀ , , 0b ó 0a ==⇒ Pero el recíproco de este teorema también es válido. Luego:
0b ó 0a si ba, ==ℜ∈∀ , 0b a =×⇒
Retomando el ejemplo puede concluirse que: Como 0113 =−+x ó 0113 =++x , por la propiedad anterior, se tiene que:
( )( ) 0113113 =++−+ xx
8.8 PROCESO DE REVERSIBILIDAD Hasta el momento, el proceso algebraico ha sido estudiado partiendo de una ecuación dada hasta llegar a una solución. ¿Existirán métodos para encontrar la ecuación, conociendo las soluciones?. La respuesta es sí. El ejemplo siguiente mostrará uno ellos.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 209
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Ejemplo 17 Encontrar la ecuación cuadrática cuyas raíces son 6 y – 4. Haciendo r1 = 6 y r2 = – 4, la ecuación cuadrática buscada debe ser equivalente a:
( ) ( )( ) 046a =−−− xx
Desarrollando el producto:
( ) ( )( ) ( ) 0242a046a 2 =−−⇔=−−− xxxx Por definición, . Por lo tanto, el coeficiente del término podría tener infinidad de valores posibles, lo que llevaría a concluir que existe un número infinito de ecuaciones cuadráticas con las mismas raíces o soluciones.
0aya ≠ℜ∈ 2x
De acuerdo con lo visto en la secciones 10.3 y 10.4, una ecuación de la forma siempre puede expresarse como:
0cba 2 =++ xx
( )( ) 0rra0
ac
aba0cba 21
22 =−−⇔=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⇔=++ xxxxxx
( ) ( )( ) 0rrrr0rrrra 2121
22112
2 =++−⇔=+−−⇔ xxaxxx donde r1 y r2 son las raíces o soluciones. Al comparar el coeficiente del término en x y el término independiente se tiene:
abrr y
acrr 2121 −=+=× .
Ejemplo 18 Para ilustrar este método se utilizará la misma ecuación del ejemplo 17. Aplicando las conclusiones del nuevo método, se tiene:
( )( ) ( )1ac24
ac46
acrr 21 =−⇔=−⇔=×
y ( ) ( )2
ab2
ab46rr 21 −=⇔−=−+=+
Cómo interpretar los resultados de ( ) ( )2y1 ? Así: debe entenderse como la razón que hay entre el término independiente de la cuadrática y el coeficiente del término en , lo que significa según el concepto de razones y proporciones que
( )12x
318
5120
248
124
ac −=−=−=−= . Es importante resaltar que éstas no son las
únicas equivalencias.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 210
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Por su parte, , es la razón entre el opuesto del coeficiente en x y el coeficiente del término
en , lo que permite establecer entre otras proporciones:
( )2
2x3132
510
24
12
ab ====− .
Como se desea encontrar la ecuación en la forma canónica , se debe escoger: 0cba 2 =++ xx
02422421
12
aby
124
ac 2 =−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba
048424842
24
aby
248
ac 2 =−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba
0832
318
32
31
aby8
ac 2
3132
31
=−−⇒−=−==⇒=−−= xxcba
Por éste método se llega a la misma conclusión del ejemplo 17: Existen infinitas ecuaciones que cumplen con las condiciones dadas, lo que confirma la definición de ecuaciones equivalentes propuesta en el Capítulo 3.
Ejercicios 8.4
Determinar la cantidad de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sin resolverlas:
Expresar como el producto de factores lineale
4. 02 = 5.
1. 0223 2 =−− xx 2. xx 62152 −=+
3. 025102 =+− xx
s:
142 +− dd 223
2 xx =+
053 2 =−x
rar una ecuación cuadrática que soluciones:
.
6.
Encont tenga como
31
y27
− 8. 2
51±− 7
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 211
CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS
DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLEEJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Resolver los siguientes ejercicios: 1. Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de: 01032 =−− xx 2. Determinar todos los valores de d de modo que las ecuaciones tengan dos raíces
iguales:
a. ( ) 0862 =+++ dxdx b. ( ) 07620 2 =++− ddxx 3. Determinar la otra raíz de: ( ) ( ) 0393 2 =−++− kxxk , si se conoce que una de sus
soluciones es 2.
. cuadrado de un número y el triple del mismo número es 10. Hallar el
. eros consecutivos, enteros, positivos, sabiendo que la suma de sus drados es 85.
7.
5cm y su área superficial es de
n número positivo tal que su cuadrado menos cinco veces el número, sea
. ulo, sabiendo que las longitudes de sus lados
en 2 unidades, la superficie se multiplica por 4.
1. uadrados es
s 9,800mP
2, y el largo excede en 70m el ancho.
3. cho, y la diagonal mide 13cm. Encontrar
de un triángulo rectángulo, sabiendo que difieren entre sí en 7m y que el área es 30m2.
Resolver los siguientes problemas: 4. Encontrar dos números enteros consecutivos cuyo producto es 156.
La suma del 5número.
Encontrar dos núm6cua
La tapa de una caja es un rectángulo con dimensiones en centímetros de x y x + 2, si la altura de la caja es de236cm cuadrados, calcule el valor de x.
Encontrar u8.
=
igual a 14.
Hallar los lados de un triángulo rectáng9son tres números pares consecutivos.
Si cada lado de un cuadrado se incrementa10. Encontrar la longitud original de los lados.
Hallar dos números enteros pares consecutivos tales que la suma de sus c1123 unidades más grande que el cuadrado del entero que está entre ellos.
La superficie de un terreno rectangular e12. Encontrar las dimensiones del terreno.
El largo de un rectángulo es 7cm mayor que el an1las dimensiones del rectángulo.
Encontrar los catetos14.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 212
Edición Preliminar PRECÁLCULO
Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN15. El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas es igual a 3cm3
224π . ¿Cuál es
el volumen de la esfera más pequeña si se sabe que su radio es 2cm. menor que el radio de la grande?
16. Las dimensiones de un cuadro son 1411× cm. El área del marco es 31 del área del
cuadro. ¿Cuál es el ancho del marco? 17. Un grupo de 180 hombres, está colocado en filas. Si el número de hombres en cada fila es
de 8 más que el número de filas. Cuántas filas hay? Cuántos hombres por fila? 18.
Un jardín rectangular de 40 metros por 30 metros tiene dos caminos que se cruzan entre sí ( ver gráfico)
Si el ancho de cada camino es x metros y el área cubierta por los dos caminos es de 325 metros cuadrados, calcular el ancho de cada camino.
19. Una caña de bambú tiene una altura de 10 pies. Se rompe y el extremo caído toca el
suelo a 3 pies de la base del bambú. Qué altura tiene la parte del bambú que queda en pie?
20. Un tronco recto sobresale 10cm de la superficie de un estanque. Si se inclina a la
derecha desaparece a 21cm del punto en donde emergía. Calcular la profundidad del agua.
21. Normalmente, el tamaño de la pantalla de un televisor corresponde a la longitud de su
diagonal. Si la pantalla de un televisor tiene 3,4 pulgadas más de largo que de ancho, y el tamaño de la pantalla es de 19 pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones de la pantalla?
22.
Un reloj tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo encima. Hallar las dimensiones del rectángulo si el perímetro y el área del reloj
son7
142cm y
7184
cm2 respectivamente. Usar π como 722 .
3
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 213
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 NA NUEVA VISIÓN
“La intuición de un instante vale a veces por la experiencia de toda una vida” Oliver Wendell Holmes
CAPÍTULO IX
INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE
9.1 INTRODUCCIÓN 9.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE
CAPÍTULO IX
INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE
9.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma , llamadas inecuaciones, es importante recordar que expresiones relacionadas con los símbolos se manejan igual.
0a y cb,a,cba 2 ≠ℜ∈<+ xx
≤≥>< ,,,
j
El producto de dos números reales con signos iguales es positivo El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo Relaciones de orden en los reales Capítulo I Resolver una inecuación es encontrar los valores de la variable que hacen verdadera la relación de orden dada. Las diferentes formas de escribir intervalos Capítulo I. Teoremas Capítulo VI
9.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA Resolver inecuaciones de grado dos involucra la factorización como aspecto fundamental. No siempre las inecuaciones de grado dos vienen expresadas en su forma más simple, por lo tanto para resolverlas primero se deben simplificar
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 216
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 0882 2 >++ xx
( ) 04420882 22 >++⇔>++ xxxx Factorización Producto notable ( ) 022 2 >+⇔ x Propiedad orden en la multiplicación ( ) 02 2 >+⇔ x Teniendo en cuenta que todo real elevado al cuadrado es positivo, pero que la inecuación no incluye la posibilidad del cero, se puede concluir que el conjunto solución corresponde a:
C.S. = ( ) ( ) { }222 −−ℜ∞−−−∞ ó;; ∪
Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 01072 <++ xx
( )( ) 02501072 <++⇔<++ xxxx Factorización Por propiedades de los reales, el producto de dos reales con signos diferentes es negativo , porlo tanto se presentan las siguientes dos situaciones:
Caso 1 Caso 2
El primer factor positivo y el segundo negativo
El primer factor negativo y el segundo positivo
05 >+x 5−>x ( )∞− ,5
y y ∩
02 <+x 2−<x
( )2−−∞,
05 <+x 5−<x ( )5−−∞,
y y ∩
02 >+x 2−>x
( )∞− ,2
C.S. Caso 1 = ( ) 25 −− ,
C.S Caso 2.= ∅
C.S.= ( )25 −− , = ∪ ∅ ( )25 −− , Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de ( ) 53 2 −<+x Antes de iniciar cualquier proceso algebraico, nótese que el miembro de la izquierda para cualquier valor de x será siempre positivo ó cero. Por lo tanto, jamás será menor de –5. El conjunto solución para esta inecuación es entonces: ∅
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 217
CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE
Ejemplo 4 Cuál es el conjunto solución de ( )( ) 343 >+− xx Si bien se plantea una inecuación, nótese que el miembro de la derecha es diferente de cero.
( )( )( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<+<−
>+>−⇒>+−
3433
3433343
xx
xxxx
La propiedad del producto se define con respecto a cero.
( )( ) 015312343 22 >−+⇔>−+⇔>+− xxxxxx
02
6112
611 >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−⇔ xx
Una vez se tiene el miembro de la derecha igual a cero, se puede aplicar la
mencionada propiedad del producto.
⇒>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−− 02
611x2
611+−>x y 02
611 >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−x2
611−−>x Caso 1
C.S. = ⎟⎟⎠
⎞
⎝∞+− ;
2611
⎜⎜⎛
⇒<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−− 02
611x2
611+−<x y ⇒<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−− 02
611x2
611−−<x Caso 2
C.S. = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∞−2
611;
C.S. = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∞− ;;2
6112
611 ∪
Ejercicios 9.1
Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
1. 0442 >++ xx 2. 0322 <−− xx 3. 32 2 <xx − 4. 1072 −> xx
5. x 0925 2 <− 6. 92 <x 7. 092 >−− x 8. 0832 <++ xx
9. 096 10. 1062 ≤++ xx 2 >+− xx 11. ( )( ) 335 <+− xx 12. 0372 2 <++ xx
conjunto solución de:
124 22 −>+ xxx
Encontrar el 13.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 218
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La solución de
este tipo de inecuaciones se ilustra con un ejemplo.
Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución 4122 ≤++ xx
El primer paso es aplicar la definición de va luto, que da lugar a dos situaciones:
lor abso
Caso1 Si 0122 ≥++ xx , entonces ++ xx 4≤122
y 4122 ≤++ xx 02 −xx 3 ≤2 +
( )( )1 03 ≤−x+x
y ( ) 03 ≤+x 3−≤x y ( ) 01 ≥−x
1≥x ó ( ) 03 ≥+x 3−≥x
1 ≤−x 1
y ( ) 0
≤x ( ]3−−∞; ∩ [ )∞;1 ∪ [ )∞− ;3 ∩ ( ]1;−∞ ∅ ∪ [ ]13;−
0122 ≥++ xx
1 ≥+x
ℜ ∩
( ) 02
ℜ∈x
[ ]13;−
C.S. Caso 1= [ ]13− ;
Caso2
Si 0122 <++ xx , entonces: ( ) 412 ≤++ x 2− x
01 <+ xx ( ) 01 2 <+x
∅ y uación, ya que
sulte, al ser interceptada con evamente ∅ .
22 + 4122 −≥++ xx es necesario resolver esta inecNo
cualquier soluci que re∅ da como resultado nu
ón
C.S. Caso 2 = ∅
La solución final corresponde a la unió os solucio
C.S. =
n de las d nes:
[ ] [ ]1313 ;; −=∅− ∪
Ejercicios 9.2
o ón :
e Encontrar l c injunto soluc de
1. 032 <−+ xx 2. 122 <+ xx 3. 312 ≤−x 4. 152 ≥−− xx 5. 442 −≥− xx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 219
CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE
CIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULA
Hallar el conjunto sol
0+ xx 3. 0 4. 42 ≥x
. 162 ≤x 6. ( ) 042 2 ≤−− x 7.
ución de: 1. ≤xx 82 ≤ 2. 52 232 <+− xx
5 55
22−> xx
. ( ) ( )8 4842262 −−<+−− yyyy
1m3m 2 +−−= xxxf ra los cuales ( )xf corte en untos distintos el eje x y ca corte al semieje
negativ e 10. Sea ( mxf
a. La parábola no corte el eje x y abra hacia abajo.
l eje x y abra hacia arriba.
222
Realizar los siguientes ejercicios: 9. Se de m .Hallar los valores de m pa
dos p tal que el eje de simetría de la gráfifine ( ) ( )
o d las x.
) ( ) ( )2m2m2 ++++= xx Hallar el valor de m tal que:
b. La parábola sea tangente a
c. La parábola corte al eje x en dos os. punt 11. Par valores de x es xx <2 ? a qué 12. Si 42 ≥x es necesariamente verdadero que 2≥x ? 13. Si 12 ≤x es necesariamente verdadero que 1≤x ? 14. De un ejemplo de una inecuación cuyo conjunto solución sea ( ) ( )∞−∞ ;; 52 ∪
15. Encontrar el valor de b para que la función 12b2 2 ++= xxy . tenga 2 cortes con el eje x.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 220
PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN
“No existe en el mundo nada más poderoso que una idea a la que le ha llegado su tiempo” Victor Hugo
CAPÍTULO X
FUNCIÓN CUADRÁTICA
10.1 INTRODUCCIÓN 10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2 10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k 10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO X
FUNCIÓN CUADRÁTICA
10.1 INTRODUCCIÓN Una expresión de la forma es una relación de igualdad entre expresiones en dos variables. En el presente capítulo, se llevará a cabo un análisis similar al desarrollado en el Capítulo V para expresiones de la forma
cba 2 ++= xxy
bm += xy .
10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 La gráfica representa la expresión . 2xy =
Un análisis detallado permite concluir:
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
x
y y=x2
Es una línea curva.
Se presenta una simetría axial con respecto al eje y. A cada valor de y, corresponden dos valores de x, por lo que se puede decir que no es uno a uno.
La curva es tangente al eje x.
Para cada valor de x, existe uno y sólo un valor de y, por lo tanto puede afirmarse que se trata de una función, cuyo dominio y rango son, respectivamente, los reales y los reales positivos y el cero.
Para los valores de x > 0, la función es creciente. Para los valores de x < 0, la función es decreciente. Cuando x = 0, y = 0.
La función tiene en x = 0 un valor mínimo y = 0. El punto de la gráfica correspondiente a estos valores , se le conoce con el nombre de vértice. ( 00 ,
La curva abre hacia arriba, por lo que se dice que es cóncava hacia arriba.
El eje de simetría pasa por el vértice de la gráfica, y tiene como ecuación x = 0. A una función que presenta estas características se le da el nombre de parábola.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 222
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2
El coeficiente de debe ser un real diferente de cero para que tenga las características de una función cuadrática. Nótese que si a = 0, se obtiene la función constante y = 0.
2x
Para analizar la incidencia que tiene sobre la gráfica el cambio de este coeficiente, se hará una comparación de las nuevas parábolas con la función inicial . 2xy =
Cuando el coeficiente de toma un valor mayor a 1, todas las características descritas para
se conservan en cada una de las parábolas dibujadas.
2x
2xy =
2ax=
Al aumentar el valor de la constante a, los brazos de la parábola se acercan más al eje de las y. A este cambio se le llama dilatación y para los casos analizados se dice que la dilatación disminuye.
-2 -1 1 2
1
2
3
y=3x2
y=2x2
x
y
y=x2
-2 -1 1 2
1
2
3
Si se comparan ahora la representación gráfica de y las gráficas de con
2xy =
y( )10a ;∈ , puede concluirse que: y=x2
y=1/3x2
y=1/2x2
x
y
La dilatación aumenta en la medida en que disminuye el valor de la constante a.
Todas las demás características mencionadas hasta el momento, se mantienen.
Para corroborar lo dicho, se presenta la gráfica correspondiente:
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 223
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
Qué sucederá cuando el coeficiente a toma valores negativos?
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
y= –2x2y= – x2
y= –1/3x2
x
y
Para este conjunto de parábolas, el vértice corresponde al punto máximo de la función. El rango por lo tanto es el intervalo . Se dice entonces que son cóncavas hacia abajo. ( ]0,−∞
Como puede observarse, para cualquier valor de a, se encuentra que la gráfica de es la simétrica de con respecto al eje x.
2axy −=2axy =
10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k
Las funciones de la forma , pueden presentar dos situaciones: ka 2 += xy
Si la ecuación de la función queda de la forma 1a = k2 += xy
Para estudiar este caso se usará como referencia la gráfica de la función 2xy =
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
y
y=x2+1/2
y=x2+2
y=x2-1/3
y=x2
y=x2-1
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 224
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Comparando las gráficas se observa que:
Si k > 0, la parábola tiene una traslación de k unidades hacia arriba,
alejándose del eje x, lo que significa que la nueva curva no tiene corte con el eje x.
2xy =
Si k < 0, se traslada hacia abajo k unidades del eje x haciendo que la nueva
parábola corte al eje x en dos puntos diferentes.
2xy =
Por consiguiente, las características generales de la función son las mismas de , pero cambia el rango y las coordenadas del vértice, así:
k2 += xy2xy =
Rango: [ )∞;k
Coordenadas del vértice: ( )k0 ,
Si la ecuación de la función queda de la forma y su
comportamiento se estudiará con el siguiente ejemplo: 0a y 1a ≠≠ ka 2 += xy
Ejemplo 1
Representar gráficamente la función 321 2 −= xy
Se procede a analizar la ecuación que se pide graficar:
Por tratarse de una expresión en dos variables de grado 2, para x, su representación gráfica es una parábola.
El coeficiente del término en es positivo, por lo tanto es cóncava hacia arriba.
Además, por ser menor que uno, se dice que es más dilatada que la función . 2x
2xy =
El término independiente – 3 hace que la parábola 221
xy = se desplace hacia abajo 3
unidades.
Esta información es suficiente para esbozar la gráfica:
y
x
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 225
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
Para una mejor aproximación de la gráfica, es aconsejable encontrar los cortes con el eje x, para lo cual se resuelve la ecuación siguiente:
6321
0 2 ±=⇒−= xx
Entonces, los puntos de corte con el eje x tienen coordenadas ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ 06y06 ,, y por ello
son llamados ceros de la función, ya que para obtenerlos se hizo y = 0.
En conclusión para las funciones de la forma se tiene que varia la dilatación, el rango y las coordenadas del vértice con respecto a la función
ka 2 += xy2xy =
10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 Al comparar las gráficas de esta forma con la original , se encuentra que: 2xy =
El conjunto de gráficas de la izquierda, son de la forma ( )2h−= xy con h, real negativo. Respecto de , las parábolas se han desplazado h unidades hacia la izquierda, cambiando su eje de simetría a la recta con ecuación x = h. Las coordenadas de su vértice son ahora
2xy =
( )0h , .
El conjunto de gráficas de la derecha, tienen la forma ( )2h−= xy con h, mayor que cero. Las parábolas se han desplazado h unidades hacia la derecha con respecto a Su eje de simetría es la recta con ecuación x = h y las coordenadas del vértice son .
2xy =
( )0h ,
-4 -3 -2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
y=(x+5/2)2
y=(x+1)2 y=x2
y
x
-1 1 2 3 4 -1
1
2
3
4
y=(x–7/2)2
y=(x–2)2 y=x2
y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 226
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k Hasta el momento se ha estudiado la forma de graficar una función cuadrática a partir de las expresiones y ka 2 += xy ( )2h−= xy . Para el estudio de la representación gráfica de las parábolas de la forma se tienen los siguientes ejemplos. ( ) kha 2 +−= xy Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de 242 2 −+= xxy Para poder graficar la parábola, debe transformase su ecuación a la forma teniendo en cuenta para ello lo visto en el Capítulo VIII.
( ) kha 2 +−= xy
( ) ( ) 22122222242 222 −−++=⇔−+=⇔−+= xxyxxyxxy
( )
k
2
ha
412 −+=⇔
−x
xy
Esta expresión que es equivalente a la que se debe graficar, da la información necesaria para elaborar la gráfica correspondiente:
a > 0, entonces es cóncava hacia arriba.
a = 2: más cerca al eje y que . 2xy =
h = –1, por lo tanto, la traslación horizontal de es de 1 unidad hacia la izquierda. 22 xy =
k = – 4, traslada hacia abajo 4 unidades a la función ( )212 += xy .
La gráfica será:
-3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
En forma general, una expresión de la forma , es equivalente a
. Esta forma es conveniente no sólo para definir las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría x = h, sino que permite también hacer un análisis del
comportamiento de la gráfica sin necesidad de esbozar la gráfica. El siguiente ejemplo muestra el proceso:
0a c,ba 2 ≠++= xxy
( ) kha 2 +−= xy( kh , )
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 227
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 3
Dada la ecuación 31
45
22
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= xy , analizar:
Análisis de la función
Dominio ℜ Por definición, no tiene restricciones.
Concavidad Abajo Coeficiente del término en es menor que cero.
2x
Coordenadas del vértice ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
31
45
, Porque h =45
− y k =31
Rango ⎥⎦
⎤⎜⎜⎝
⎛∞−
31
; Por el tipo de concavidad, el vértice es el punto máximo de la función.
Ecuación eje de simetría 4
5−=x Determinado por el valor de la abscisa
del vértice. Intervalos donde es creciente ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∞−
45
; Por la concavidad, es de la abscisa del vértice hacia la izquierda.
Intervalos donde es decreciente ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞− ,
45
Por el tipo de concavidad, es desde la coordenada x del vértice hacia la derecha.
Corte con el eje y 2467
−=y Valor de la función cuando x = 0.
Corte(s) con el eje x 12
6215 ±−=x
Valores de x para los cuales la función es igual a cero.
Intervalos donde y > 0 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +−−−
126215
126215
; Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.
Intervalos donde y < 0 ⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−∞− ;;
126215
126215
∪
Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Realizar los siguientes ejercicios:
1. Si , encuentre: 22 −= xxf )( ( ) ( ) ( ) ( )130 −− afafff . Graficar las siguientes funciones: 2
a. b.
( ) ( )( )22 −−= xxxf ( ) ( )1+= xxxf
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 228
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
3. Sea ( )xf una función cuadrática. Si se sabe que la suma de las raíces de la ecuación : es − 2 y el producto de las mismas es 5: ( ) 0=xf
a. Encontrar la ecuación de la parábola, si se sabe que la ordenada al origen es – 5.
b. Exprese ( )xf como producto de factores.
c. Hacer la gráfica. 4. Determinar la función cuadrática y dibuje la gráfica de:
a. La parábola que corta el eje de las x en los puntos x=1 y x = 4 y corta al eje y en y = 3.
b. Parábola con vértice en x = – 2 y corta al eje y en y = – 5.
c. Parábola con vértice en ( )32 , y corta al eje y en y = 7 5. Sea la función ( ) 42
31 2 +−= xxxf . Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones
es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:
a. La función crece en el intervalo ( )∞,0 . b. La función decrece en el intervalo ( )3,−∞
c. La gráfica abre hacia arriba. d. El valor mínimo de ( )xf es 4.
e. No hay interseptos en el eje x f. La gráfica pasa por el punto ( )133,−
6. Una de las ecuaciones siguientes describe la gráfica. Cuál es? Por qué?
y
xa. 22 −−= xxy
b. 22 xxy −+=
c. 22 xxy −+−=
d. 2232 xxy −−=
7. Determinar el valor de las constantes a, b, c, k, h según el caso si:
a. La gráfica de pasa por el punto 2axy = ( )21−, .
b. La gráfica de tiene su vértice en ca 2 += xy ( )40, y pasa por el punto ( )53 −, .
c. La gráfica de pasa por el punto ( ) k2 2 +−= xy ( )125 −, .
d. La gráfica de pasa por el punto ( ) 5h 2 +−= xy ( )63, .
e. La gráfica de 25a8 2 +−= xxy , tiene el vértice en ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ 2
41 , .
f. La función , tiene como ordenada al origen 2 y el eje x es tangente a la parábola.
( ) c2a 2 +−= xxxf
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 229
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
Encontrar la ecuación de las parábolas que se encuentran a continuación. 8. 9.
10. 11.
12. 13.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4 y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
1
2
3
4y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4 y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
1
2
3
4
5y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 230
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
14. Para cada una de las anteriores gráficas, llene el siguiente cuadro.
Grá
fica
6
Grá
fica
5
Grá
fica
4
Grá
fica
3
Grá
fica
2
Grá
fica
1
Coo
rden
adas
del
vér
tice
Ecu
ació
n ej
e de
sim
etría
Coo
rden
adas
cor
te e
je x
Coo
rden
adas
cor
te e
je y
Coo
rden
adas
pun
to m
áxim
o
Coo
rden
adas
pun
to m
ínim
o
Dom
inio
Ran
go
Ecu
ació
n de
la fo
rma
2y=
de
y y
a (x
–h)
+k
Ecu
ació
n la
fo
rma
= a
x2 +bx+
c
Ecu
ació
n de
la fo
rma
= a
(x–r
1)(x
- r2)
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 231
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
15. La siguiente es la gráfica de una función ( )xy f= de grado 2. A partir de ella determinar y justificar:
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2 y
x
a. ( )2−f
b. Los valores de x tal que ( ) 0=xf
c. ( )0f
d. El vértice de la parábola
e. Graficar ( ) ( ) 4+= xx fg
f. Encontrar la ecuación de g( x ) y las
g. coordenadas del vértice?
h. Graficar . ( ) ( )2−= xx fh
i. Encontrar la ecuación de h(x) y las coordenadas del vértice?
j. Graficar y encontrar la ecuación de ( ) ( ) 21 ++= xx fj . Cuál será el nuevo vértice?
16. Un crucero sale del puerto de Miami rumbo al este a una velocidad constante de 5
nudos. A las cinco de la tarde, el crucero se encuentra a 5 millas náuticas al sur de un yate que se mueve hacia el sur a una velocidad constante de 10 nudos. En qué momento están más cercanas las dos embarcaciones?
i 17. El departamento de ventas de una empresa ha determinado que en promedio se venden 600 raquetas de tenis mensualmente a un precio unitario de $350.000,oo. También ha determinado que por cada reducción de $5.000,oo en el precio se venden 50 raquetas más al mes. Con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo?
18. El Golden Gate enmarca la entrada de la bahía de San Francisco. Sus torres de 746
pies de altura. Están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro; el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Encontrar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 232
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
19. Un industrial requiere tornillos para efectos de ensamblar un producto que está fabricando. Tiene dos opciones:
Mandarlos a hacer en la fábrica “ Su Repuesto S.A.”,que le cobrará $4 por el cuadrado
del número de piezas que encargue y le ofrece una rebaja de $100 por cada pieza.
Fabricarlos el mismo. En tal caso debe comprar la máquina de hacer tornillos la cual vale $1.000.000 y hacer la pieza. Esto requiere la contratación de personal y el pago de materiales de fabricación. Esto último implica que fabricar cada pieza le costará $30.
x xa. ¿Qué le aconseja usted al industrial que haga? ¿Por
qué?
b. Suponga que usted debe fijar los precios en “Su Repuesto S.A.“ ¿Cómo lo haría para que le compraran cantidades inferiores a 1.000 tornillos?
c. ¿Cuál debería ser el descuento por pieza en “Su Repuesto S.A.” y cual el costo por
pieza en la fábrica del interesado, para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A” cantidades inferiores a 800 tornillos.?
d. ¿Cuál debería ser el costo por el cuadrado de piezas en “Su Repuesto S.A.” y cuál
el costo por pieza en la fábrica para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A.”, cantidades inferiores a 800 tornillos?
e. Considere las dos nuevas fórmulas de precios de “Su Repuesto S.A.” obtenidas en c
y d. ¿Cuál es más conveniente para “Su Repuesto S.A:” 20. Juan quiere comprarle un lote a Pedro. Pedro le vende a Juan el lote y el alambre de
púas para cercarlo. El alambre de púas mide 20m.y, cualesquiera que sean las dimensiones del lote que Pedro escoja, el lote tiene que estar cercado por los 20m. de alambre. El lote tiene que tener una forma rectangular y Juan puede escoger las dimensiones del lote. A Juan le interesa que el lote tenga la mayor área posible y a Pedro la menor área. Suponer que un lado del lote se llama x, y el otro se llama y.
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35
-10
10
20
30
40
y3 a. Cuál de las gráficas representa el
comportamiento del lado llamado y del lote con respecto al lado x? Justificar la respuesta y explicar por qué tiene ese comportamiento.
y2
y1
y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 233
CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA
b. Cuál de las gráficas representa el
comportamiento del área del lote con respecto al lado x ?. Justificar la respuesta.
-5 5 10 15
-30
-20
-10
10
20
30y
y6
y4
c. Explicar por qué el área tiene ese comportamiento.
d. Cuáles son las dimensiones posibles del lote?. Por qué?
e. Cuáles son las áreas posibles del lote? Por qué?
f. Qué dimensiones le interesan a Juan? y5
x
g. Qué dimensiones le interesan a Pedro?
21.
Efectuar el siguiente análisis:
Cuál es la relación entre la gráfica de en un plano y la de en la recta real.
42 −= xy 042 >−x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 234
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“La cultura no consiste sólo en dictar las reglas, sino también en mejorar las costumbres” Johanng Herder
CAPÍTULO XI
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
CON DOS VARIABLES
11.1 INTRODUCCIÓN 11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES
)
CAPÍTULO XI
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
CON DOS VARIABLES
11.1 INTRODUCCIÓN Cuando se habla de un sistema de ecuaciones, se hace referencia a un conjunto de dos o más ecuaciones. En este capítulo se estudiarán sistemas de ecuaciones con dos variables en donde al menos una de ellas es de grado dos, así:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
yxx
yxx
222
2
112
1
cba
cba 0aaccbbaa 21112121 ≠ℜ∈ ,,,,,,,
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=++
yx
yxx
22
112
1
ba
cba ℜ∈,, 22 ba
Aunque existen muchas ecuaciones de grado dos, no todas ellas son objeto de estudio para este curso, puesto que el enfoque que se maneja en este nivel es el del Álgebra de funciones.
11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA En el Capítulo III se estudiaron tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción, método de sustitución, y método de igualación. De estos tres se aconseja utilizar cualquiera de los dos últimos para encontrar la solución de los sistemas de este capítulo. La solución para un sistema de ecuaciones en dos variables consiste en parejas que satisfacen las dos ecuaciones.
( yx ,
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 236
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 1
Encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: ⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+−−=
102
142
xy
xxy
Por el método de igualación: 102142 +=+−− xxx
09609610214 222 =++⇔=−−−⇔+=+−− xxxxxxx
( ) 303 2 −=⇒=+⇔ xx
Ya se sabe que la solución para el sistema tiene un valor para x. ¿Cuál será el valor correspondiente para y?
El valor de y puede encontrarse reemplazando el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. Como se tiene en el sistema una ecuación lineal, es más práctico utilizarla:
( ) 410323 =⇒+−=⇒−= yyx Como siempre, el proceso debe terminar con la verificación de la solución en las dos ecuaciones:
C.S. = ( ){ }43,−
Ejemplo 2
Hallar el conjunto solución de: ⎪⎩
⎪⎨⎧
++−=
=+−
463
442
2
2
xxy
yxx
Por igualación: 463442 22 ++−=+− xxxx
( ) 0250105 2 =−⇔=− xxxx
( ) 02ó05 =−=⇒ xx
2ó0 ==⇒ xx
Si x = 0: . Lo que significa que la pareja es solución del sistema.
( ) ( ) yy =⇒=+−⇒ 440402 2 ( 40, )
Si x = 2: . Lo que implica que la pareja también es solución para el sistema.
( ) ( ) yy =⇒=+−⇒ 442422 2 ( )42,
C.S. = ( ) ( ){ }4240 ,,,
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 237
CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES
Ejercicios 11.1
Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas:
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
yxx
yxx
46
17
2
2
2. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+
=−−
yxx
yxx2
2
62
5233.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
=+−
yxx
yxx
201
51
52
2
2
4. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=
−=
273
3
2 xxy
xy5.
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−−
=+−
yx
yx
534
532
2
2
11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA
n un sistema de la forma E
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=++
yxx
yxx
222
2
112
1
cba
cba 0aaccbbaa 21112121 ≠ℜ∈ ,,,,,,,
cada una de las ecuaciones representa una parábola en un sistema de coordenadas ectangulares o cartesianas. r
Qué situaciones pueden presentarse cuando se tienen dos parábolas en un mismo plano? ¿
as dos parábolas pueden ser: L
Tangentes, cuando tienen un solo punto en común.
Secantes: Las parábolas tienen dos puntos en común.
Coincidentes: Todos los puntos de las parábolas coinciden.
Disyuntas: No tienen puntos en común. La solución algebraica de un sistema de ecuaciones indica el número de intersecciones
ntre las dos gráficas. e
or otra parte, un sistema de la forma P
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=++
yx
yxx
22
112
1
ba
cba 0acy b,a,b,a 112211 ≠ℜ∈ ,
representa la intersección entre una parábola y una recta. ¿Qué situaciones pueden
ncontrarse? e A excepción de la total coincidencia de puntos, las tres opciones restantes sí pueden tener ugar en un mismo plano cartesiano. l
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 238
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 3
¿Cuál es el conjunto solución para el siguiente sistema de ecuaciones? ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+−−=
1
3131 2
xy
xy
La primera es la ecuación de una parábola cóncava hacia abajo, con vértice en y con dilatación de
( )31,
31 . La segunda ecuación es una recta con pendiente positiva igual a 1 e
intercepto-y en –1. Por consiguiente, su representación gráfica es:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
Como puede observarse, las dos gráficas se cortan en dos puntos, por lo cual se dice que son secantes. Desafortunadamente, la representación no da con exactitud las coordenadas de los puntos. Pero, puede recurrirse al álgebra para encontrarlos. y= –1/3( x–1 )2+3
( ) ( ) 1231241231131
31 222 +−=+−⇔−=+−−⇔−=+−− xxxxxxxx
y=x–1y
x
2531ó
25310
25310112 −−=+−=⇔=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ±−−⇔=−+⇔ xxxxx
Si 2
531−−=x2
53312
531 −−=⇔−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=⇒ yy
Si 2
531+−=x2
53312
531 +−=⇔−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=⇒ yy
C.S. =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−2
5332
531-2
5332
53-1- ,,,
Ejercicios 11.2
Para el siguiente sistema de ecuaciones algebraica y gráficamente:
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−=
−=
762
2
2
2
xxy
xy
1. Encontrar el conjunto solución 2. Hacer la Representación gráfica 3. Para qué valores de x es la primera función menor que la segunda? 4. Para qué valores de x es la segunda función mayor que 0?
Para qué valores de es la primera función menor que cero? 5. x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 239
CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Encontrar las ecuaciones correspondientes a cada uno de los sistemas representados y determinar algebraicamente los puntos de corte:
. .
.
4.
5. πcm2. Hallar el radio de cada círculo si entre sus centros hay una separación de 8cm.
6. llar el número si la cifra de las unidades es dos unidades mayor que la de las decenas.
7.
radero, en línea recta, la distancia se acorta en 20 m. ¿Qué longitud tienen las aceras?
1
2
3
El área combinada de dos círculos tangentes exteriormente es 34
La suma de los cuadrados de las dos cifras de un número es 34. Ha
Dos aceras forman un ángulo recto en un punto R. En el extremo de una de las aceras, se ubica un puesto de flores y en el extremo de la otra el paradero. La longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar directamente del puesto de flores al pa
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6
f(x)
g(x)
y
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
l(x)
m(x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-5-4-3-2-1
1234567 y
j(x)l(x)
x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 -1
123456789
1011
k(x)
h(x)
y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 240
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Azar es una palabra vacía de sentido; nada puede existir sin causa” Voltaire
CAPÍTULO XII
FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.1 INTRODUCCIÓN 12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES
ALGEBRAICAS 12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS
CAPÍTULO XII
FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.1 INTRODUCCIÓN
j
Una expresión de la forma ba donde a y b son polinomios y b ≠ 0, se llama
fracción algebraica o expresión racional en una variable. Como la variable representa números reales, en éstas expresiones las propiedades de los números racionales se deberán tener en cuenta para el trabajo que se realice con ellas.
Fracción Irreductible: si a y b son primos entre sí, es decir, no tienen factores comunes.
12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar una fracción es encontrar la expresión equivalente más simple. El camino que permite llegar a dicha expresión es la factorización. Ejemplo 1
Simplificar 2
234
618126
xxxx +−
Cuando el denominador de una fracción es una expresión no constante, es indispensable encontrar aquellos valores de la variable para los cuales la expresión es cero, para evitar que la fracción no esté definida. ¿Cuándo el denominador de la fracción dada es cero?
006 2 =⇔= xx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 242
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para x ≠ 0, 2
234
618126
xxxx +− está definida.
Ahora, simplificando:
( )0si32
6
326
618126 2
2
22
2
234≠+−=
+−=+− xxx
x
xxx
xxxx
Ejemplo 2 Simplificar
bdbcadacbdadbcac
+++−−+
326362
Se analiza primero el denominador:
( ) ( ) ( )( )dcbadcbdcabdbcadac ++=+++=+++ 32332326 La fracción no está definida cuando:
3ó
203ó02 dcbadcba −=−=⇔=+=+
Ahora, se factoriza para simplificar:
( ) ( )( )( )dcba
badbacbdbcadacbdadbcac
+++−+
=+++
−−+32
232326
362
( )( )( )( ) 3
y2
si3
33223 dcba
dcdc
dcbabadc
−≠−≠+
−=+++−
= , Ejercicios 12.1
Simplificar:
1. yx
yxyx2
332
2
108 − 2. 2
32
5
1510
x
xyx
−
− 3. xy
xyyx7
2114 32
−−
4. 23
252423
yx
yxyxyx −+ 5. 22
3223
12
2436
yx
yxyx
−
−−
6. ¿Qué valores de a no son válidos para:
Analizar:
2−a
? 2142
++−
aaa
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 243
CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS Con las fracciones algebraicas se puede efectuar las mismas operaciones que se desarrollaban con las fracciones aritméticas, cumpliendo con las mismas reglas. Para sumar o restar se debe trabajar con fracciones que tengan el mismo denominador.
De no ser así, se debe buscar el mínimo común denominador, producto de los factores comunes y no comunes tomados con su mayor exponente.
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores
entre sí. Para dividir, se puede multiplicar por la fracción recíproca del divisor o multiplicar en
cruz el dividendo y el divisor. Una fracción cuyo numerador o denominador son a su vez fracciones, se denominan fracciones complejas. Ejemplo 3
Simplificar 12
8512
63
++
+−
ww
ww
Antes de iniciar, se puede encontrar una fracción equivalente y analizar los valores para los cuales puede darse lugar a una expresión indefinida:
( )( )
( )( )12
8125126123
1285
1263
++++−+
⇔
++
+−
wwww
wwww
ww
ww
Cuando se tiene: ( ) 012 =+ww
( ) ( ) 0120012 =+=⇔=+ wówww Por lo tanto, la expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que:
210 −≠≠ wyw
Retomando:
( )( )
( )( )
( )( ) 518
381256123
128125
126123
+=
++−+
=
++++−+
wwwww
wwww
wwww
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 244
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Esta nueva fracción genera otra restricción para w:
1850518 −≠⇔≠+ ww
La expresión original, 185
210
5183
1285
1263
−−≠∀+
=
++
+−
,,ww
ww
ww .
Ejemplo 4
Simplificar: ( )392
23
2
2
2
2
+÷
−
−×−
−aba
aabab
bbaa
Por definición de división de fracciones vista en la sección 1.10,
( )( )
aab
aabab
bbaa
aba
aabab
bbaa 3
92
23
392
23
2
2
2
2
2
2
2
2 +×
−
−×−
−=+
÷−
−×−
−
Por factorización: ( ) ( )( )
( )( )( )
( )a
abaa
babbbaa
aab
aabab
bbaa 3
332
233
92
23
2
2
2
2 +×
+−−
×−−
=+
×−
−×−
−
Se establecen las restricciones:
0320 ≠±≠≠≠ aabb ;;; Simplificando: ( )
( )( )
( )( )( )
aab
aabab
bbaa 3
332
23 +
×+−
−×
−− abba =××=
11
11
La fracción más simple equivalente es: ab, con 0320 ≠±≠≠≠ aabb ;;; Ejercicios 12.2
Simplificar: 1. ( )142 234
−+− aaaa2 2a
2. ( 2323
63182
234−−−− aa
aaaa ) 3. ( )( 212
3
345+−−+− aa
aaaa )
4. zxyyzx 2114
yzxzxy3
22
30
23 189÷ 5.
baba
baba
633
622
−+×
+− 6. 62
492
−÷+− x
xx
7. 23
651562
2
2
2
−+
++×+−
xxxxx
23103 +− xxx 8. ( )( )
( )( )( ) 1
14332
1221
−+÷
−−−−
×+−−−
aa
aaaa
aaaa 9. ( ) xyyxyyx
yx3
13
19
3922
22
−−
+−
−
10. 1
2332
321
231
+−+
++
−
yxyx
yxyx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 245
CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
j a es divisible por b si y sólo si existe un número 0≠c tal que c × b = a
Si a no es divisible por b, existe un número 0≠c y un número d tal que
bdc
ba +=
La división de polinomios
qp está definida cuando el grado del polinomio dividendo p es
mayor o igual al grado del polinomio divisor q. Si p es divisible por q, existe un polinomio s tal que sqp ×= . Si no lo es, entonces
rsqp +×= , donde r es el residuo de la división. La división puede presentarse en diferentes formas:
p q ⇔ q p ⇔
qp ⇔÷ qp
Para efectuar divisiones entre polinomios, los polinomios deben ordenarse de mayor a menor respecto de una variable. En el polinomio dividendo debe colocarse ceros en los términos que no aparezcan explícitos. El proceso de división termina cuando el residuo es de grado menor que el grado del divisor. Ejemplo 5
Encontrar una expresión equivalente 52
102 2
+−+
xxx por medio de la división:
Antes de comenzar, es necesario encontrar los valores de x para los cuales no es posible hacer la división. Se observa que la fracción no está definida para
25−=x
102 2 −+ xx 52 +x
( )( )
0104104
52 2
−−−−−
+−
xxxx 2−x
Por lo tanto, 252
102 2−=
+−+ x
xxx , para
25−≠x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 246
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 6 Efectuar:
4462 3
+−+
xxx
La división no es posible para 4−=x
4602 23 −++ xxx 4+x
15615238
438328
68
82
2
2
23
−−−
−+
+−
−−
x
xxx
xx
xx 3882 2 +− xx
Por lo tanto, 4
15638824
462 23
+−++−=
+−+
xxx
xxx , para 4−≠x
Si se calculara el valor numérico del polinomio del numerador para x = –4, qué se obtiene?
( ) ( ) 15642412844642462 33 −=−−−=−−+−⇒−+⇒ xx
El resultado coincide con el residuo de la división. Siempre ocurre lo mismo?
Tev E
1.
3.
5.
7.
8.
ES
E
)
Se podría verificar con otras divisiones cuyo divisor sea de la forma x – a, y siempre se obtendrá que el residuo es el valor numérico del polinomio evaluado en a. Este hecho se formaliza con el siguiente teorema:
eorema del Residuo: Si un polinomio se divide por x – a, el residuo es igual al polinomio aluado en a.
jercicios 12.3
Encontrar el cociente y el residuo que resulta de dividir:
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +÷+−+
32299 23 yyyy 2. ( ) ( )1354 224 +−÷−+− xxxxx
( ) ( )yxyxyyx +÷++ 22 6 4. ( ) ( )32876 23 +÷+++ xxxx
32 por 282 23 +−−− x xxx 6. 13 por 3753 223 +−−−− x x xxx
Responder:
Qué polinomio tiene como cociente , residuo , cuando se divide por
io se debe dividir el cociente de entre para
baba −+23 a
ba −2 ?
Por qué om
2
polin 1243 23 −−+ xxx 3+xobtener 2−x ?
CUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 247
CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS
9. Hallar el residuo de dividir 32 24 22 234 ++−− xxxx por 2−x
10. Encuentre una expresión equivalente para la fracción algebraica 32
16322
23
−+
+−+
xxxxx
13. 2 n
11. Sea P(x) = 25869 2345 ++−− xxxx encuentre P(3)
12. Demostra es divisible po ) cuando P(x) = 1075 24 −+− xxx y D(x) = 2−x .
Cuando
r que P(x) r D(x
25 −+ xx se divide por x + el residuo es – 8. Cuáles son los valores posibles
14. Si P(x) = 32 ++− xx Q(x) = 324 +− xx , hallar P (– x) y Q (–x).
de n?
EJERC RECAPITULACIÓN ICIOS DE
Simplificar:
1. 3
345
661812
xxxx
−
−+ 2. ( )( )31432
+−+ aa 2
2462−+
aaaa
3. xxx
xxx6254
81623
234
++
++ 4. 52
413
6+
−− r
rr
r
5. ( )213
913
2+
−+ xx
6. 4
2
3215
36
tt
tt
t−+++
7. ( )23
1−xxx
2 232
572 +−
++x
8. aaaa
242025
2
2
−
++÷
9.
aaa
164125
4
2
−
++
xxxxx 3
28
22
2+
+−
+ 10.
37
1
31
++
+
++
xxx
xx 25 + x
)11. ( ) (( )ax
axaax3
323 2
++−+ 2
12. ( ) ( )( )ax
axax2
22 23
++++
13. ( )5222
++− aaa
aa 45 14. ( )23 −aa
15.
432
34−−
aaa
189
24832
34
+−
−−+
pp
ppp 16. 23 −pba
ba
−+
+−
1
1b
aba −
17.
ba
ab11 +
ba −
18. 22
11xy
xy
−
22yx −
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 248
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
19. ( )x
x
x
−
−+1
51
1
20.
22 rs
22r srs
sr
−
+
21. ( )( )32643
345+−−+− aaaaa 22.
a( )babababa −−+−
2
32234 242
23. ( ) ( )( )
ba2
( )( )183324122
234+−−−+ aaaaa
2333 2
++−+
xaxaax 24.
4a
. 25 ( ) ( ) ( )( )( ) 33292 −
132332 +−−− ssss
26. ÷+−+
×−− ssssss
11
11
11
2
2
2
2
2 ++
−−−+−
−+++ xx
xxxxxx
xx
27.
a. x 10k +− sea divisible entre 3
4 +
Determinar el valor de k, tal que:
x x k 23 + +x . 32b. 3k4k x x −− sea divisible entre 1−x
.
. Encontrar una expresión equivalente para
Analizar:
28222 −x
4243 23
+
++−
xxxx
y Julio, e atemáticas Básicas de la E.C.I. deben simplificar la
29. Jairo, Javiersiguiente ex
studiantes de Mpresión:
xxx − 1xx −− 281 sabiend−2
o que 10 ≠≠ xx ,
Para realizar la operación sucedi :ó lo si
Jairo utilizó como denominador
guiente
( )( )xxx −− 11
como denominador Javier utilizó ( )1−xx
Julio utilizó como denominador ( )1−x
Sin efectuar la operación, decir si se obtiene el mismo resultado en los tres casos, justificar la respuesta.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 249
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Nada tan peligroso como un un consejo seguido de un mal ejemplo” Antonio Machado
CAPÍTULO XIII
RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS
EN UNA VARIABLE
13.1 INTRODUCCIÓN 13.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES 13.3 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES 13.4 TABLAS DE SIGNOS 13.5 INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR
ABSOLUTO 13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
CAPÍTULO XIII
RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS
EN UNA VARIABLE
13.1 INTRODUCCIÓN Así como se ha trabajado con las expresiones lineales y cuadráticas, puede también establecerse relaciones de orden y de igualdad con fracciones algebraicas. Todas las propiedades de la suma y de la multiplicación presentadas en el Capítulo III para ecuaciones e inecuaciones, tienen validez en la solución de fracciones algebraicas. La única novedad presentada en este caso, es la restricción en los denominadores, cuyo valor debe ser diferente de cero.
13.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de: 02105
2=+−
ww
Analizando los denominadores, puede verse que las fracciones son válidas cuando . 0≠w A continuación, se encuentra el mínimo común denominador de las fracciones, , y se convierten –o se amplifican– todas las fracciones al común denominador :
2w
0210502105021052
2
2
2
222=+−⇔=+−⇔=+−
www
ww
ww
www
0510202105 22
2=+−⇔=+−⇔ ww
www
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 252
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Resolviendo la ecuación cuadrática con ayuda de los métodos estudiados en el capítulo 10, se tiene:
02
1552
15505102 2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⇔=+− wwww
Por la propiedad del cero en los reales, puede concluirse que:
2155ó
2155 −=+= ww
Como ninguno de los valores encontrados para w son restricciones para la fracción, el conjunto que forman estos dos valores es el conjunto solución.
Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de:
54
51
−=
−−
xxx .
Las fracciones están definidas para: 5≠x Ahora, se resuelve, teniendo en cuenta que dos fracciones son iguales, cuando tienen el mismo numerador y denominador:
5415
451 =⇔=−⇔
−=
−− xx
xxx
Pero ésta solución de la ecuación coincide con la restricción inicial, por lo cual el conjunto solución es vacío.
Ejemplo 3
Encontrar el conjunto solución de la siguiente ecuación:16102
68 2
2
+−=
−+
− xxx
xxx
Al factorizar el denominador de la derecha, pueden conocerse las restricciones para esta fracción:
( )( 2816102 −−=+− xxxx ) Las fracciones son indefinidas si: 8=x ó 2=x . Por lo tanto, puede decirse que la ecuación está definida para { }28,−ℜ .
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 253
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
Resolviendo la ecuación:
( ) ( )( )( ) ( )( )2828
862
161026
8
2
2
2
−−=
−−
−+−⇔
+−=
−+
− xxx
xx
xxx
xxx
xxx
( ) ( ) 04844862862 222 =−⇔=−+−⇔=−+− xxxxxxxxx
12=x
La solución no coincide con ninguna de las restricciones, por lo tanto, C.S. = { }12 Ejemplo 4 ¿Cuál es el conjunto solución de x
xx 2
12=
+
Para la fracción no existen restricciones porque no existe un real que al ser elevado al cuadrado sea un número negativo.
( ) xxxxxxxxxx
x +=⇔+=⇔+=⇔=+
3322
20221221
( )
21ó012020 223 −==⇒+=⇔+= xxxxxx
Como no existen reales tales que 212 −=x , y no hay restricciones, la solución es:
C.S. = { }0
Ejercicios 13.1
Encontrar el conjunto solución de:
1. 133
652
23
3−
=−
−+ xxx
2. 118
1212 =−
+ss
3. 2
52
44
72 −
=+
−− yyy
4. ( )
021
31
22
=−−
+− xx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 254
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
13.3 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES
ba puede expresarse como ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ba 1 para todo 0≠b
El producto de dos números de igual signo es positivo. El producto de dos números de signos diferentes es negativo.
Se dice que una inecuación con fracciones algebraicas se encuentra en su forma estándar cuando está relacionada con cero:
0<qp , donde p y q son polinomios 0≠q .
Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de 0
31 <−x
Está en la forma estándar, por lo tanto, puede trabajarse inmediatamente:
Se analizan las restricciones:
31
303−
⇒=⇔=−x
xx está definida 3≠ℜ∈∀ xx ,
El numerador es positivo, lo que implica que 03 <−x para que la fracción sea negativa.
Su solución será: 3<x
Expresada en forma de conjunto: ( )3;−∞
Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de: 0
11
2<
+x
Restricciones: . Lo que significa que no hay restricciones. 101 22 −=⇔=+ xx
El numerador es un número positivo y el denominador es positivo para todo real x. Por consiguiente, la fracción nunca puede ser negativa. El conjunto solución será: . ∅
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 255
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 0
13 >
−+
xx
Primero, se analizan las restricciones para que la fracción esté definida.
101 =⇔=− xx
Entonces, el conjunto solución no incluye el 1.
303013 −>⇔>+⇔>
−+ xx
xx
La primera relación de equivalencia es resultado de aplicar la propiedad de orden de la multiplicación con el término 1−x . Sin embargo, 1−x puede tomar valores positivos o negativos. Para 01>−x es válido, pero si , por una de las propiedades de las desigualdades, se presentaría
01<−x03 <+x .
013 >
−+
xx
El cociente de dos reales es positivo cuando las dos expresiones son positivas o cuando ambas son
negativas.
01>−x 1>x y 03 >+x
3−>x
( )∞;1 ∩ ( )∞− ;3 Caso 1
C.S. Caso 1 = ( )∞;1
01<−x 1<x y 03 <+x
3−<x
( )1;−∞ ∩ ( )3−−∞; Caso 2
C.S. Caso 2 = ( )3−−∞;
C.S. = ( ) ( )∞−−∞ ;; 13 ∪
Gráficamente la solución puede representarse como:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 256
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de 1
452≤
−−
pp
Restricciones: 404 =⇔=− pp
( )
04
4520
4452
01452
1452
≤−
+−−⇔≤
−−−−
⇔≤−−−
⇔≤−−
ppp
ppp
pp
pp
oPropiedad distributiva: el signo de 4 cambia.
041≤
−−
⇔pp
Esta última inecuación merece un análisis similar al desarrollado para el caso anterior Caso 1:
( ] ( ) ∅=∞−∞⇒>−≤− ;; 4104y01 ∩pp
Caso 2:
[ ) ( ) [ )414104y01 ;,; =−∞∞⇒<−≥− ∩pp
C.S. = [ ) [ )4141 ;; =∅ ∪
13.4 TABLAS DE SIGNOS Cuando se desea solucionar inecuaciones que involucran más de dos casos, puede recurrirse a la llamada tabla de signos, método abreviado del análisis. A continuación, se ilustrará el método mediante un ejemplo: Ejemplo 9
Encontrar el conjunto solución de: 04
62≥
−−+
xxx
La fracción está definida para 4≠x , por lo cual, desde ya se distinguen dos intervalos de estudio para la fracción: ( ) ( )∞∪−∞ ;; 44 . Para que la fracción sea mayor o igual a cero, debe cumplirse una de dos situaciones:
Que el numerador sea igual a cero o positivo y el denominador sea positivo ó
Que el numerador sea igual a cero o negativo y el denominador sea negativo
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 257
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
Caso 1: Cuando el numerador es igual a cero o positivo y el denominador es positivo:
04062 >−≥−+ xyxx La primera inecuación es equivalente a: ( )( ) 023 ≥−+ xx . Esto genera a su vez otras dos situaciones:
Que los dos factores sean positivos o alguno de los dos sea cero ó
Que los dos factores sean negativos o alguno de los dos sea cero
02y03ó02y03 ≤−≤+≥−≥+ xxxx Caso 2: Cuando el numerador es igual a cero o negativo y el denominador es negativo:
04062 <−≤−+ xyxx La primera inecuación es equivalente a ( )( ) 023 ≤−+ xx y genera nuevamente dos situaciones:
Que el primer factor sea positivo ó cero y el segundo factor sea negativo ó
Que el primer factor sea negativo ó cero el segundo factor sea positivo
02y03ó02y03 >−≤+<−≥+ xxxx Todo esto puede sintetizarse sobre la recta real en la siguiente forma:
– + + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
+
( )4−x
( )3+x
( )2−x
( )( )4
23−
−+x
xx
–– – + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
– – + + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
+– – + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
El resultado que muestra la última recta, debe interpretarse como que la fracción es mayor o igual a cero en los intervalos [ ] ( )∞− ;; 423 ∪
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 258
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 13.2
Encontrar el conjunto solución de:
1. 073 ≥−
x+x 2. 0
83 >
−+
xx 3. 2
810 <
x+x+ 4. 0
432
2
2≤
−
−+
xxx
5. ( )
02
12<
+x 6.
xxx 1
312 −≥
−− 7. 0
232
2
2≤
−+
−−
xxxx 8.
( )( )( ) 02
312≤
−
−+
xxx
13.5 INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR ABSOLUTO
jemplo 10 E
Encontrar el conjunto solución de 352
<−
xx
Restricciones en la fracción: 0=x
Por la definición de valor absoluto se presentan dos casos:
aso 1: C Si 352052 <−⇒≥−
xx
xx
Con lo visto en secciones anteriores, puede encontrarse que: 052 ≥−
xx en ( ) ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞∞− ;;250 ∪ y
que 352 <−x
x en ( ) ( )∞−−∞ ;; 05 ∪ .
C.S. Caso 1= ( ) ( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞−∞−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞−∞−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞∞− ;;;;;;
255
255
250 ∪∪∩∪
aso 2: C Cuando 352052 −>−⇒<−
xx
xx
Entonces: 052 <−
xx en: ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
250; y 352 −>−
xx en ( ) ( )∞−∞ ;; 10 ∪
C.S. Caso 2 = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
251;
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 259
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
La solución final de la inecuación es:
C.S.= ( ) ⎟⎞⎜⎛⎟⎞
⎜⎛ ⎟⎞⎢
⎡ ∞−∞−= 5155 ;;; ∪∪ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎣ 22
C.S.= ( ) ( )∞−−∞ ;; 15 ∪
jemplo 11
ncontrar el conjunto solución de
E E
22 − x
Restricción para la fracción x = 2
12 ≥−x
( ) 222222 −−− xx
n verdadera, independiente del valor de la variable x se puede concluir que el C.S. =
11111212 ≥⇔≥−⇔≥−⇔≥− xx
Como se ha llegado a una ex ópresi
{ }2−ℜ
Ejercicios 13.3
Encontrar el conj e:
.
unto solución d
63 >−x
4. 1 03
>−x
1123
4 ≥+x
2. 213
3 ≥+
−x
3. 1
13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables cuando por lo menos una de ellas es una fracción algebraica, consiste como en todos los casos anteriores, en encontrar los alores de las variables que hacen verdadera las dos ecuacionv es. Los métodos de solución on los mismos aprendidos para resolver sistemas lineales.
Ejemplo 12
Encontrar el conjunto solución para el sistema
s
⎪⎪⎩
−=− 532yx
Como en toda situación algebraica que involucra fracciones a
⎪⎪⎨
⎧ =+ 511yx
lgebraicas se debe analizar los valores para los cuales no están definidas las fracciones.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 260
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
s dos ecuaciones se presentan las mismas restricciones 0y0 yx
étodo 1
Ahora se resuelve el sistema por el método de reducción
== Para la
M
⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
−=−
−=−−
⇔
⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=+
532
1022
532
511
yx
yx
yx
yxyy
y=⇒=⇒−=−⇒
31
155155
⎪⎩
Para encontrar el valor de x, puede utilizarse cualquiera de las dos ecuaciones:
xxxxyx
=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+2121531511511
1
3
De lo que se puede concluir que ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
31
21 , es la solución del sistema, ya que ninguno de estos
alores hace indeterminadas las fracciones.
étodo 2
dar solución al sistema de ecuaciones puede también utilizarse dos variables auxiliares, sí:
v M Paraa
yx, con lo cual se tendría el siguiente sistema equivalente: mz 11 == ,Sean:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+⇔
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=+
532
5
532
511
mz
mz
yx
yx
ado que el coeficiente de m es 1, fácilmente por sustitución se llega a la solución buscada: D
32
1132 ==⇔== yxmz ,;
ebe verificarse la solución antes de dar la respuesta. D Ejercicios 13.4
Encontrar el conjunto solución de los siguiente as:
1.
s sistem
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
−−
=+
+−
32
71
6
22
41
3
yx
yx 2.
⎪⎩=− 1
yx⎪
⎪⎪⎨
⎧ −=+
54
232yx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 261
CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Encontrar el conjunto solución de:
1. ( )
( ) 286 −x32
7231231
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−− xx
2. 1649
23
28
88
52 +=+−+
−+
−xxx
x
x
3.
2
( ) ⎟⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−−−
232
23
12
13
10
132
32
2
2
xx
x
x
xxx 4.
⎠
( )babababa −++−b2baa −
++=−++ xxxx , a, b, constantes.
5. ( )cbaabc ++−= x , a, b, c, 6. ( )
1cabcab
−++ xxx
constantes. ( )nm2
p
nmnm312 +
=+−
+, m, n, p, constantes.
7. s paréntesis:
pp2 x
Resolver sin quitar lo
⎟⎞⎜⎛=+⎟⎞⎜⎛ 542 xx
8.
⎠⎝ −⎠⎝ − 11 xx43
541
1 2 −−=
−+−
+ xxxx
xx
9. 422 2 −−+ nnn
10. 412 =+−n 764978 222 −−−++ xxxxx
11.
2522 −−−=− xxx
12
2 = 1+
y
rar el conj e las siguiente s:
12.
Encont unto solución d s inecuacione
132 ≤+x 13. 052 <−x 14. 3x 02 23≤++ xxx 15.
1 2− x1−x12 <−x
16.
− x
023 ≥−x 17. 1−x
03 <− 18. 2 − x ( )
012< 19.
3+x c241−
≥
20.
c 373 −
09652<
+
−+−
xxxx 21.
124 2 +
( )( )0
21<
−+ xx 22. 3 − x
12
34 >− 23. 1 ++ xx
013 <+
4.
x
21
1 <−x
25. 01
2 >+
−x
26. 68 <−+x 27. 2
3x0
1≥
+x
r tabla de s ción de las sig nes:
(
1−x
o Encontrar p ignos el conjunto solu uientes inecuacio
28. )( ) 010
42>
++−
xx 29. x ( )( )
)( )( 022
≥−+ 30.
11
−+
xxxx ( ) 053
112 ≤+
++ x
xx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 262
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Resolver los siguientes problemas
La suma de un número y su inverso multiplicativo es . Hallar el número. 31. 5
ndrés y Carlos pueden hacer un trabajo juntos en 12 días. Cuánto requierel ce
33.
ara repartir la propaganda de su
34. 3 horas y mediando juntas?
32. A cada uno
s más que para hacer eCarlos?
trabajo separadamente sabiendo que Andrés necesita 1,5 ve
Paula necesita 45 minutos pnuevo supermercado. Sin embargo, si le ayuda su hermana Diana, sólo utilizarán 20 minutos. Cuánto tardaría Diana en entregar el pedido sola?
Una bomba puede vaciar una cisterna en . Otra la vacía encuánto tiempo v ciarán la cisterna trabajaa
35. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre
equivale a los 103 del número intermedio
36. La diferencia de dos números naturales es 8 y la de sus recíprocos es 772 .
los números?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
#
4 horas . En
el menor
Cuáles son
$
263
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Los golpes de la adversidad son muy amargos pero nunca estériles” Joseph E. Renan
CAPÍTULO XIV
EXPONENTES RACIONALES
14.1 INTRODUCCIÓN 14.2 EXPONENTES RACIONALES 14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES
CAPÍTULO XIV
EXPONENTES RACIONALES
14.1 INTRODUCCIÓN En el Capítulo II, se estableció que la diferencia entre expresión algebraica y polinomio, está en el conjunto numérico al cual pertenecen los exponentes de la parte variable. A partir del Capítulo III hasta el XIII, se trabajó con álgebra en polinomios. En el presente capítulo se estudiará el álgebra en expresiones algebraicas.
Znmba ∈ℜ∈∀ ,, , se cumple que: nmnm bbb +=× ( ) nmmn bb =
( )nnn abba =× bb =2 Si : 0≠b
mnm
nb
bb −=
n
n
n
ba
ba
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
Si 0≠a :
nn
aa 1=−
10 =a
j Siempre que las raíces estén definidas, para a y b reales, n entero positivo, mayor que 1, se tiene que:
nnn abba =
nn
n
ba
b
a= , 0≠b
ZpyZqsiaa qp
q p ∈∈= +
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 266
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
14.2 EXPONENTES RACIONALES
La definición ZpyZq,asiaaq pq
p
∈∈ℜ∈= + es una herramienta importante que permite encontrar expresiones equivalentes que llevan a simplificar expresiones algebraicas. Ejemplo 1
Encontrar una expresión equivalente para 0236 472 ≥× yyxyx ,
yxyxyxyx 472472 236236 =× Propiedad de los radicales.
8672 yx= Propiedades de las potencias.
862332 yx= Descomposición en factores primos.
( ) 21
862332 yx= Definición de raíz.
28
26
22
23
32 yx= Propiedad de las potencias.
( ) ( ) 4323
32 yx= Simplificación de fracciones. ( )( ) 43322 yx= Definición de raíz. 4326 yx= Agrupación de términos. ¿Por qué y debe ser ≥ 0? En el Capítulo I se estableció que la raíz cuadrada está definida para números mayores o iguales a cero.
Ejemplo 2
Indicar las restricciones para x y y en 32
6
38⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−yx
Involucra una raíz cúbica, que está definida para todo real, por lo cual no hay restricción.
Hay una fracción cuyo denominador es una variable. Por lo tanto se requiere que , lo que implica que y = 0 es la restricción. 06 ≠−y
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 267
CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES
Para que esté definida la expresión dada, la única restricción es para y, que debe ser diferente de cero.
o Válida ya que x – 1≠ 0.
Ejemplo 3
¿En dónde está definida la expresión 112
−−
xx ?
Por definición de fracción, 101 ≠⇔≠− xx .
Por definición de raíz cuadrada:
( )( ) ( ) 1010
1110
112
−≥⇔≥+⇔≥−
+−⇔≥
−− xx
xxx
xx
La expresión está definida en [ ) ( )∞− 111 ∪; . Ejercicios 14.1
Indicar restricciones – si las hay – y simplificar:
1.
3
31
23
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−y
y 2. ( ) 222 −−− + yx
3. xxxxxx 333
279
107
41 ++ 4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]231
2
32
231
2
4
2431331
+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−
−
x
xxxx
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2212
21
221
2
94
8942132294
+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+−+
−
x
xxxx 6.
( )( ) 2
124
31
36
−
−
yx
yx
7. ( ) ( )( )54322341 −−−− − xxyxy 8. ( )( ) ( ) ( )( ) 5
38105
4132
43
1 −−−−−−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ xyxxy
9.
323
141
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
÷⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
zyx
z
xy 10. ( )yx
yx5
2323−
−−
11. ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )221
21
31
221
32
21
23
3232132
23
2323123
+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
−+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
−−
x
xx
x
xx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 268
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE Una ecuación irracional es una ecuación cuya variable se encuentra dentro de un radical. En esta sección se trabajará únicamente con raíces con índice 2 o raíces cuadradas.
jaaa ∀=2
axaax ±=⇒≥= 02 , ℜ∉⇒<= xaax 02 , . Es decir, no hay solución en los reales.
o
x = 2 no es equivalente a 42 =x
Si se eleva al cuadrado a ambos lados de la igualdad, se tiene: 2ó242 −==⇒= xxx
Si bien se tiene que x = 2, aparece una nueva solución x = – 2, llamada “ solución extraña ”.
Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de: 1359 2 −=−− xx
La expresión involucra una raíz cuadrada, primero es necesario establecer las restricciones para la variable x.
35
95
95059 22 ≥⇔≥⇔≥⇔≥− xxxx
Entonces, la ecuación está definida para 35ó
35 −≤≥ xx .
Se procede ahora a resolver la ecuación:
xxxx 31591359 22 +−=−⇔−=−− Propiedad de la suma en igualdades.
( )22
2 3159 xx +−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⇒ Elevando al cuadrado.
16959 22 +−=−⇒ xxx Producto notable y propiedades de las
potencias.
x66 −=−⇒ Agrupación de términos.
x=⇒ 1 Propiedad de la multiplicación en igualdades
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 269
CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES
Por último, se verifica si la solución pertenece al conjunto en donde la ecuación está definida:
35ó
35 −≤≥ xx
Como351≥ , puede concluirse que:
C.S.= { }1 Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de 927114 −=− xx
Restricciones:
29092y
4110114 <⇒<−<⇒<− xxxx
Por lo tanto, ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−∉
29;x .
Solucionando algebraicamente:
( )
47215
43094
9249114
92711422
=
=
−=−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
x
x
xx
xx
⇒>29
47215 C.S. = { }
47215
Ejercicios 14.2
Encontrar el conjunto solución de:
1. 1
214−
=−−+x
xx 2. 0122428-18 =+−−− xxx
3. 131
42
+
+=+
−
xx
xx 4.
3493462 −
=−−+x
xx
5. 02217 =+−−++ xxx 6. 232109 −=+−+ xxx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 270
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
7. Considerar la ecuación . ¿Para qué valores de c las soluciones r082 =+− cxx 1 y r2 de la ecuación cumplen ? 343 21 =− rr
8. En un trapecio ABCD, las bases AB y CD son perpendiculares a AD; además DC es
8cm mayor que BC y 4cm menor que AB. Hallar las longitudes de los lados si el perímetro es 38cm.
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Simplificar:
1. ( )ba
ba++ −1
2. ( ) 12222 −++ yxyx
3. 33
31
248 a
a 4.
4
315
221
221
−
−−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
aaxa
ax
xa
5. 54
3 3105 125 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ zyx 6. 4
8
4
x
xxx ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
rar el conjunto solución de:
7.
Encont
27
= 43 −x 8. 123 +−=+ aa
9. 34 −
=− ww
74 ++ ww 10. 56235 −=−+− zzz
11. xxx +=−− 532
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 271
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Satúrate completamente de la materia… y espera” Lloyd Morgan
CAPÍTULO XV
EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
15.1 INTRODUCCIÓN 15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES 15.3 LOGARITMOS 15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
CAPÍTULO XV
EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
15.1 INTRODUCCIÓN Existe en matemáticas otro tipo de expresión relacionada con la potenciación pero no considerada algebraica porque la variable aparece en el exponente de la potencia. Su forma general es , siendo c una expresión algebraica en términos de la variable x con
ca
0≠ℜ∈ aa ,
Puesto que , una expresión algebraica en x representa un real, por lo tanto todas las propiedades de la potenciación son aplicables para este tipo de expresiones.
ℜ∈x
15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación donde las variables se encuentren en el exponente, es llamada ecuación exponencial.
j
010 ≠= aa ,
00 no está determinado
En este tipo de ecuaciones se establece una propiedad adicional para las potencias, siempre y cuando ellas estén definidas:
vuaa vu =⇔= . La solución de ecuaciones exponenciales se ilustrará con ayuda de un ejemplo:
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 274
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 1 Hallar el conjunto solución de: 1255 =x
( ) 3551255 3 =⇔=⇔= xxx El conjunto solución para la ecuación será: { }3
En este punto, ya debe ser una costumbre verificar la solución de la ecuación antes de determinar el conjunto solución.
Se espera que el estudiante haya adquirido una gran habilidad operativa.
E
D
C
E
1
4
E
&
jemplo 2eterminar el conjunto solución de: 82212
=−+x
xx
x
Como el exponente es una fracción, exige que el denominador no sea cero. Por lo tanto, la ecuación está definida para todo x ≠ 0.
Resolviendo:
31222822 31212
=−++⇔=⇔=−++−+
xxxx
xx
xx
xx
x
1312312 =⇔=+⇔=+⇔ xxx
xx
omo la solución x = 1 no es una restricción, el conjunto solución es: { }1
mnmn aaaa +=+ , si n ≠ m nmn aaa 2=+ , si n = m
a mnmn aa +=+
jercicios 15.1
Resolver las siguientes ecuaciones:
. xx 255 32
=− 2. ( ) ( ) 02521 =−+ −− xxx 3. 212 13 =−x
. 00805 13 ,=−x 5. 132508 −= xx ,
SCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 275
CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
15.3 LOGARITMOS
j bacb =⇔=log 010 >
ca ≠> baa ,,
tmos cuyo argumento b es un entero negativo o cero, no está
Los logaritmos para bases negativas no están definidos.
Los logaridefinido.
Dado que la logaritmación es una de las operaciones inversas de la potenciación, sus
apropiedades se deducen partir de las definidas para los exponentes. Para todo 100 ≠>>ℜ∈ aanman ,;,,,, :
Propiedad del producto: ( ) nmmn logloglog += .
Propiedad del cociente:
m
aaa
nmnm
aaa logloglog −=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ .
Propiedad de la potencia: ( ) ( )mnm n loglog = .
on la definición, se establecen otras propiedades:
0>= xxa xa ,log
os
o de Bringgs. Se acostumbra denotarlos como: loglog = , sin hacer explícita la base.
o e ≈ 2.7183..., conocidos como logaritmos naturales. Se simboliza como: lnlog =e .
jemplo 3
s propiedades de los logaritmos, encontrar una expresión equivalente para:
⎠⎝
aa
C base en
( ) xa xa =log .
L logaritmos más utilizados son:
Logaritmos de base 10, conocidos como logari unes, decimales, vulgarestmos com10
Logaritmos en base e, número irracional de valor aproximad
E Utilizando la
⎟⎟⎠
Lo primero que se d
⎞⎜⎜⎝
⎛13
49 2x
e sentido la expresión. Por lo tanto:
log
ebe encontrar es el conjunto en el cual tien
00049049 22
2≠⇔>⇔>⇔> xxx
x 13
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 276
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
De lo anterior se concluye que la expresión ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛13
49 2xlog tiene sentido 0≠ℜ∈∀ xx ,
A continuación se utilizan las propiedades de los logaritmos para encontrar un expresión
equivalente a la dada:
( ) ( ) 137213713
713
49 2222
loglogloglogloglog −=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xxxx
( ) 132721372 loglogloglogloglog −+=−+= xx
Ejemplo 4 Encontrar una expresión equivalente a ( )[ ]3exln
Restricciones:
( ) 000e0e 3333 >⇔>⇔>⇔> xxxx La expresión está definida para 0>x
( ) ( ) [ ] ( ) xxxxx lnlnlnlnlnln 3313e3e3e 3 +=+=+==
15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS La utilización de los logaritmos es una herramienta que ayuda a resolver ecuaciones con exponenciales y logaritmos, para cuya solución se hace uso de las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 5 Establecer el conjunto solución de: ( ) 31 3
4 =+xlog
Restricciones:
( ) 10101 3 −>⇔>+⇔>+ xxx La ecuación está definida para todo ( )∞−∈ ;1x .
Propiedad de las potencias en logaritmos. ( ) ( ) 31331 43
4 =+⇔=+ xx loglog
( ) 114 =+⇔ xlog Propiedad de la multiplicación en igualdades.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 277
CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
141 +=⇔ x Definición de logaritmo.
x=⇔ 3 Agrupación de términos.
3=x es solución de la ecuación ya que 3 ( )∞−∈ ;1 , por lo que se puede concluir: C.S.= { }3 .
Ejemplo 6
Encontrar el conjunto solución de 6423
77 loglog =x .
La ecuación está definida para todo x > 0
( ) 5126464646423 32
323
7777 =⇔=⇔=⇔=⇔= xxxxx loglogloglog Como 512 > 0, el conjunto solución es { }512
Ejemplo 7 Encontrar el conjunto solución para: . ( )( ) ( 32 xx loglog = )
La ecuación está definida para todo x > 0.
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 033 2232 =−⇔=⇔= xxxxxx loglogloglogloglog
( ) ( )( ) 3ó003 ==⇒=−⇔ xxxx loglogloglog
Si 1100 0 =⇔=⇔= xxxlog
Si 0001103 3 .log =⇔=⇔= xxx Las soluciones x = 1 y x = 1.000, son positivas, por lo cual el conjunto solución es:
C.S. = { }00011 .,
( nma +log ) no tiene expresión equivalente.
( ) nmnm aaa logloglog +=+
( )nma −log no tiene expresión equivalente.
( ) nmnm aaa logloglog −=−
yx
yx
a
a
a
aloglog
loglog
= yx
yx
a
a =loglog
( ) xx aa loglog 22 = ( ) ( )22 xx aa loglog =
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 278
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 15.2
Simplificar las siguientes expresiones usando las propiedades de los logaritmos: 1. 324log 2. ( ) ( )xx ee 22 1 lnln −+
3. 10099
9998
43
32
21 logloglogloglog +++++ ... 4. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + b
ccbaa xx loglog
Teniendo pp , encontrar:
5. p 6.
862 173 2 .log.log == ByA
Blog ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ B
p
3log
⎠⎝ A
iones:
Resolver las siguientes ecuac
7. ( ) 2216 88 =−+ xloglog 8. ( ) ( ) 25735 =−+x lolog 5 −xg
9. ( ) ( ) 2163 22
2 =−−+− xxx loglog 10. ( )22 xx loglog =
11. ( ) ( ) 40112 logloglog =+++− xx 12. ( )( ) = 0248 xlogloglog
3. ( ) ( ) 053212 2 =−+−− xxx loglog 14. 344 xx loglog = 1
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
conjunto so
3+ ++ xx
Encontrar el lución de:
1. =22 222 2. 31−−
+x
x 2
12 2142 = 3. 2
533 =− −xx
4. xxx e3e =+ ln 5. =x 4e− x
7.
32 ee 6. 3310 10 =xlog
21134 =−x 8. 0224 −+x loglog =xln 9.
. ( ) xxx=−
ln52 11. xlnlnln
( ) xxx lnlnln =
=+ 327 12. ( )⎪
⎪⎪⎨
⎧
−=+
=−
=−
14
243
12
5
23
zx
zy
yx
log
rar el conjunto solu s inecua
+− 14.
10⎪⎩− 5
Encont ción de las siguiente ciones:
( ) 25231 −<+xlog 15. 2433 >− xlog 13. 323 22 < xx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 279
CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS
Demostrar:
16. xx bb loglog −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ 1 17. ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−−
−+ 121
1 2
2
2xx
xx
xx loglog
Analizar: 18. Encontrar el error en la siguiente dem
ostración:
3 > 2
212
213 1010 loglog >
2
221 ⎟
⎠⎞
⎝>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ loglog 10
310
1⎜⎛
2
2 ⎟⎠
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
3
211 ⎞
41
81 >
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 280
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“La mayoría de las personas gastan más tiempo y energía en hablar de los problemas que en afrontarlos” Henry Ford
CAPÍTULO XVI
FUNCIÓN COORDENADA
16.1 INTRODUCCIÓN 16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
CARTESIANO 16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA 16.4 LONGITUDES DE ARCO 16.5 FUNCIÓN COORDENADA 16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS
ESPECIALES 16.7 FUNCIÓN COORDENADA PARA MÚLTIPLOS DE
ARCOS ESPECIALES 16.8 ARCOS DE REFERENCIA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
CAPÍTULO XVI
FUNCIÓN COORDENADA
16.1 INTRODUCCIÓN Antes de definir la función coordenada es preciso establecer las expresiones algebraicas correspondientes a dos conceptos geométricos:
La distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano La circunferencia unitaria.
j
Un punto en el plano cartesiano se representa como una pareja ordenada ( x, y ).
Dos puntos en un mismo plano determinan una recta.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de las magnitudes de los catetos.
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos
equidistantes de un punto fijo llamado centro.
El radio es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto sobre ella.
La cuerda es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera
sobre la circunferencia. Si la cuerda contiene el centro de la circunferencia, se llama diámetro.
Un arco es una parte continua de una circunferencia.
La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es una
constante llamada I∈π .La longitud de una circunferencia (perímetro) es igual a rπ2
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 282
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
A=( x1, y1 )
B=( x2, y2 )
⎥ y1 – y2⎪
⎥ x1 – x2⎪
d
x
y Dados dos puntos cualesquiera ( )11 yxA ,= y ( )22 yxB ,= , la distancia d entre ellos puede
deducirse a partir de un análisis gráfico: Si se traza una paralela al eje x que pase por el punto B, una paralela al eje y que pase por el punto A y si se unen los puntos A y B mediante un segmento de recta, se da lugar a un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa corresponde al segmento de magnitud d, y cuyos catetos son de magnitud 21 yy − y de 21 xx − .
Por el teorema de Pitágoras y por las propiedades del valor absoluto estudiadas en el capitulo 4, se concluye que:
( ) ( ) ( ) ( )221
221
221
221
2 xxyydxxyyd −+−±=⇔−+−=
Dado que d es una magnitud, se tiene que
( ) ( )2212
21 xxyyd −+−=
16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA Considerando una circunferencia con centro en O = ( )00, y radio 1, un punto A = (
(-1,0) (1,0)
(0,–1)
(0,1)
y
x
A=( x, y )
O=(0,0)
d
)yx , del plano se encuentra sobre la circunferencia si d (O,A) = 1
( ) ( ) ( ) 2222 00 yxyxAOd +=−+−=,
22222 11 yxyx +=⇔+= Por lo tanto la ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es . Esta circunferencia es llamada circunferencia unitaria
122 =+ yx
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 283
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
16.4 LONGITUDES DE ARCO
P
- s
s
y
x(1,0)(-1,0)
(0,-1)
(0,1)
Q
La longitud de un arco, por ser longitud, es una cantidad positiva. Sin embargo, el signo más ( + ) y el signo menos ( – ) se utilizan para identificar el sentido en que se mide: Signo ( + ): Cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto ( )01, y el punto P es s. Signo ( – ): Cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto ( )01, y el punto Q es –s.
Si un arco se genera a partir del punto ( )01, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se dice que el arco está en su forma estándar. Si se recorre la circunferencia en el sentido contrario a las manecillas del reloj, partiendo del punto ( 1, 0 ), hasta completar una vuelta, la longitud del arco recorrido es π2 , ya que dicha magnitud corresponde al perímetro de la circunferencia de radio 1. Si se realiza el mismo recorrido pero en el sentido de las manecillas del reloj, la longitud del arco se representa como . π−2 Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el arco del círculo unitario en un cuadrante? Si la longitud de arco al dar una vuelta completa es de π2 y se tienen 4 cuadrantes cada uno
de los arcos medirá 22
142 π=π=π
Puede existir un arco de longitud π3 ?
)
La respuesta es afirmativa, puesto que π+π=π 23 lo que significa que un arco de longitud π3 se obtiene al dar una vuelta completa ( y media vuelta más )π2 ( )π en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
Ejempl ¿En qué
Tomando
284
E
o 2
cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 4
1233π ?
el arco dado y expresándolo en términos de vueltas completas:
( )4
21544
3084
1233 π+π=π+π=π
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Lo anterior indica que un arco de longitud 4
1233π corresponde a dar 154 vueltas completas
en sentido contrario a las manecillas del reloj y 4π de vuelta más, por lo tanto el punto final
del arco se encuentra en el primer cuadrante.
Ejemplo 3
¿En qué cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 5 ? E
)
Si una vuelta completa equivale a una longitud de arco de π2 y
se tiene: 14163,≈π
Una vuelta completa ( )π2 equivale a un arco de longitud aproximada de 6,2832
Tres cuartos de vuelta ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ equivale a una longitud de arco aproximada de 4,7124 π
23
Como se tiene que 4,7124 < 5 < 6,2832 se puede concluir que el arco de longitud 5 tiene punto terminal en el cuarto cuadrante.
Puede observarse entonces que no es necesario expresar todo arco en términos de π , para ubicarlos sobre el círculo unitario. De la misma forma, cualquier número real tiene asociada una longitud de arco.
16.5 FUNCIÓN COORDENADA Si a cada longitud de arco medido en su forma estándar sobre la circunferencia unitaria se le asigna el punto de coordenadas ( )yx , correspondiente al punto final del arco, se tiene una función que se conoce con el nombre de función coordenada y cuya representación simbólica es:
( ) ( )yxs ,coor =
De acuerdo con la conclusión de la sección anterior, a cualquier número real le corresponde una longitud de arco sobre la circunferencia unitaria, por lo tanto se puede establecer que el dominio de la función coordenada es el conjunto de los números reales . ℜ
Como la función coordenada se define sobre la circunferencia unitaria, los puntos
terminales del arco ( )yx , , deben cumplir con la condición . El rango de la función coordenada es por lo tanto,
122 =+ yx
( ){ }122 =+ yxyx ,
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 285
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
A un punto sobre la circunferencia unitaria en una vuelta le corresponden dos longitudes de arco.
s2
s1
y
x(1,0)(-1,0)
(0,-1)
(0,1)
PPor ejemplo, en la figura se observa que P es el punto terminal del arco s 1 medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj y del arco s 2 medido en el sentido de las manecillas. Dado que ( ) ( )21 ss coorcoor = y s 1 ≠ s 2, se dice que la función coordenada no es uno a uno.
En la gráfica que se muestra a continuación, puede verse que:
( ) ( ) ( )π+== 2121 sss coorcoorcoor , lo cual podría ser igual a:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )π+=π+=π+=π+ 236224 1111 ssss coorcoorcoorcoor
Cada una de estas expresiones involucra un número natural que multiplica a π2
s2
s1 P
y
x
Podría encontrarse un número entero negativo cumpliendo estas funciones? Si así fuera, cómo puede interpretarse?
s3
s1 P
y
x
Con lo visto anteriormente, puede suponerse que por llevar un signo negativo, debe tratarse de un arco medido en el sentido de las manecillas del reloj. El arco s 3 en la gráfica cumple que:
( ) ( )13 ss coorcoor = lo cual significa que en términos de s 1,
13 2 ss +π−= por lo tanto:
( ) ( )( ) ( )π−=−π−= 22 113 sss coorcoorcoor
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 286
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Así mismo, cada vez que se aumente una vuelta en el sentido de las manecillas, se obtendrá un número entero negativo multiplicando a π2 . Este análisis permite generalizar para cualquier arco s, y cualquier entero k:
( ) ( )( )ss +π= 2kcoorcoor En general, cualquier función que cumple con que ( ) ( )tkff += xx , se dice que es una función periódica, y que tiene período t. La función coordenada tiene entonces un período de π2 . Ejemplo 4 Determinar ( ) ( ) ( )π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π 2
23
20 coor,coor,coor,coor,coor .
a. ( ) ( )010 ,coor = b. ( )102
,coor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π c. ( ) ( )01 ,coor −=π
d. ( )102
3 −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,coor e. ( ) ( )012 ,coor =π
Ejemplo 5 Encontrar el valor de ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
211coor
( )10
234
23
211 −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,coorcoorcoor
: Ejemplo 6 Hallar ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
251coor ?
Se observa que :
El arco dado es negativo lo que indica que éste se tomará a partir del punto ( )01 , en sentido de las manecillas del reloj.
El arco de ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=π+π=π
23122
2324
251 , lo que significa que el arco
251π− se obtiene al dar
12 vueltas completas en el sentido de las manecillas del reloj más ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
23 , por lo tanto el
arco tiene su punto final sobre el eje y en su parte positiva, lo que lleva a establecer que
( 102
51 ,coor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π− )
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 287
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
Ejercicios 16.1
Encontrar el valor de la longitud del arco sobre el círculo unitario para:
1. 214+π vueltas 2. 4
2+π vueltas
3. 32
3 +π vueltas en sentido contrario a las manecillas del reloj
Analizar:
Cuál es el dominio y el rango de la función coordenada? 4.
. coor(t) y coor(-t) si t ∈ R
6.
Qué relación hay entre ? 5
Hallar:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
25coor 7. 8. ( )π−5coor ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21861coor
En qué cuadrante está la imagen de 9. ( )2coor 10. ( )73.coor − 11. ⎟
⎠⎜⎝
16coor ⎞⎛ −3
12. ⎟⎠⎞⎜
⎝ 3coor
3.
⎛14
1 ( )3−coor 14. ( )17,coor − 15. ( )4coor 16. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
29coor
16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS ESPECIALES
j
En una circunferencia, cualquier diámetro es eje de simetría. de la circunferencia unitaria con r = 1 y centro en La ecuación ( )00, es
Un punto sobre la circunferencia tiene coord
122 =+ yx
enadas ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−1 xx ,
en el cuadrante I o en el cuadrante
⎞⎛ 2 si está
II, y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 21 xx , si está en el
tremos
Cuerdas que subtienden arcos congruentes son congruentes.
cuadrante III o en el cuadrante IV. Simetrías en el plano. Sección 5.3 Cuerda de una circunferencia es un segmento que tiene sus ex
en dos puntos de ella.
Encontrar las coordenadas de los arcos , ,ππ2
2y
2, fue fácil. Pero, cómo encontrar las
coordenadas de arcos de longitud diferente?
3ππ
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 288
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Los arcos de longitud 6
ó34
πππ , se consideran arcos especiales gracias a que su ubicación
exacta en la circunferencia unitaria es relativamente fácil, ya que surgen cuando se inscribe un polígono de 4, 6 o 3 lados de forma conveniente, así:
x 4π
y 6
π
3π
y
x
6π
−
x
y
Cuál es el valor de ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
4coor ?
En primer lugar, a partir de lo visto en la sección 18.5, se sabe que la longitud de un arco que cubre un cuadrante es
2π . Un arco de longitud ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=π
221
4 por lo tanto el punto terminal P
del arco de longitud 4π se encuentra en el punto medio del arco que cubre el primer
cuadrante. Puede entonces establecerse que:
Por la simetría del círculo el punto P tiene como coordenadas ( ) ( )xxyx ,, = .
Como P se encuentra sobre el circulo unitario se tiene que : 122 =+ yx Lo anterior lleva a:
22
21
211211 222222 ±=⇒±=⇒=⇒=⇒=+⇒=+ xxxxxxyx
Como el punto P se encuentra en el primer cuadrante el valor de x es positivo lo que implica que de las soluciones obtenidas anteriormente, se descarta el
valor de 22−=x .
Luego, el valor de la abscisa del punto P es 22 .
Para encontrar el valor de la ordenada:
Como
21
142
122
1 222
22 ±=⇒=+⇒=+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒=+ yyyyx
4π
4π
y= x
P x
y
Nuevamente por estar P en el primer cuadrante se descarta el valor negativo de y,.
obteniendo para la ordenada de P el valor de 22 , concluyendo que ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
4,coor
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 289
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
Ahora, cómo se podrá encontrar ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
3coor ?
Sea ( )01,=R ; ( )yxQ ,= , el punto terminal del arco
3π . P es
el punto terminal del arco 3
2π . Entonces, ( )yx ,coor −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
32
por la simetría del círculo respecto al eje y. El arco es igual al arco por lo cual sus cuerdas son iguales. Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, se tiene que:
3π
3π
R
y
x
P Q
( ) ( )Q,PdR,Qd =
( ) ( ) ( )( ) ( 2222 01 yyxxyx −+−−=−+− )
( ) ( ) ( ) 022442101 22
1
222222 =−+⇔=++−⇔++=+− xxxyxxxxyx
( ) ( )( ) 1ó210121220122 2 −==⇒=+−⇔=−+⇔ xxxxxx
Como el punto ( yx ,coor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
3) se encuentra ubicado en el primer cuadrante el valor de x debe
ser positivo, por lo tanto se descarta el valor negativo obtenido como solución de la ecuación. Ahora para encontrar el valor de y puede usarse el hecho de que el punto se encuentra sobre la circunferencia unitaria por lo cual.
411
2111 22222 −=⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=⇒−= yyxy
23
43
432 ±=⇒±=⇒=⇒ yyy
Nuevamente como ( yx ,coor =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
3) está en el primer cuadrante el valor de y debe ser positivo
por lo tanto se descarta la solución negativa.
Lo anterior lleva a concluir que ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
23
21
3,coor .
QP RQ
o Porque se está trabajando en el círculo unidad.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 290
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Cómo encontrar ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
6coor con un procedimiento
similar al anterior?
3π
6π
S
R
Q
P
y
x
6π−
De acuerdo con la gráfica, se debe encontrar el valor de la abscisa y la ordenada del punto Q, que es el punto terminal del arco ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
6.
Sea ( )yxQ ,= y su simétrico con respecto al eje x, ( )yxR −= , . Como entonces es ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
3 y dado que es ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
3 puede
concluirse que ( ) ( )QPdRQd ,, = .
= + mQRmQR mQS mSR
mPQ
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222222 21421210 yyxyyyxyyxyyxx +−+=⇔+−+−=⇔−+−=−−+−
( ) ( )( )21ó1012101220224124 22
1
222 =−=⇒=−+⇔=−+⇔=−+⇔+=−+⇔ yyyyyyyyyxyy
Como el punto Q se encuentra en el primer cuadrante, el valor de y es positivo. Por lo tanto, de las dos soluciones de la ecuación sólo es válido para la ordenada de Q el valor
21 .
Para encontrar el valor de la abscisa, se reemplaza en la ecuación de la circunferencia
unitaria el valor de y: 23
4111
21 222 ±=⇔−=⇔=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+ xxx . Nuevamente, como Q está en
el primer cuadrante el valor de x buscado es23 . Por lo tanto, podemos concluir que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
23
6,coor
16.7 FUNCIÓN COORDENADA PARA MÚLTIPLOS DE ARCOS ESPECIALES Una vez hallados los valores de la función coordenada para arcos especiales en el primer cuadrante, es fácil encontrar la función coordenada para los múltiplos de dichos arcos aplicando las simetrías de la circunferencia. Si se divide el arco correspondiente a media circunferencia, en cuatro partes iguales, cada arco medirá
4π . Para el primer arco, se hallaron las coordenadas en la sección anterior y se
encontró que ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
4,coor . Con base en éste se determinarán las coordenadas de los
arcos múltiplos impares de 4π :
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 291
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
43
11 ,,coor yx , puesto que el
punto ( )11 yx , es el simétrico del punto
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
22 , respecto del eje y.
(x3,y3) (x2,y2)
y
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
22
22 ,
(x1,y1)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
45
22 ,,coor yx , ya que éste
es el punto simétrico de ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
22 , con
respecto al punto ( )00, .
)Puesto que el punto es el simétrico
del punto
( 33 yx ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛ respecto del eje x, ⎝ 2
222 ,
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
47
33 ,,coor yx .
Las coordenadas de los arcos múltiplos pares de
4π , coinciden con las coordenadas de
los cortes de la circunferencia con los ejes x e y. De esta forma, se tiene que:
( )1024
2 ,coorcoor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ; ( ) ( )01
44 ,coorcoor ; −=π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
( 10
23
46 −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,coorcoor ) ; ( ) ( )012
48 ,coorcoor =π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
Ejemplo 7 Encontrar ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
415coor .
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
415coor puede expresarse como ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
47
472
415 coorcoorcoor por la periodicidad de la
función coordenada. Por lo tanto, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
22
22
415 ,coor
. Ejemplo 8 Determinar ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
45coor :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
22
22
43
45 ,coorcoor
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 292
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Los arcos múltiplos de 6π pueden determinarse con un procedimiento similar al desarrollado
para encontrar los arcos múltiplos de 4π . Gráficamente, se puede visualizar:
D
C
B
A
W
VU
T
S
R Q
P
y
x
6π
Al observar la gráfica anterior se tiene que la circunferencia unitaria se encuentra dividida en
12 arcos iguales por lo tanto la medida de cada arco tendrá una medida igual a 612
2 π=
π
Conocido el valor ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π=
21
23
6,coorPcoor , se analizan las simetrías sobre la
circunferencia y se tiene:
Simetría Longitud del arco
Punto de Referencia
Punto d e análisis Tipo Arco Longitud Valor de la Función
Coordenada
S Axial: Con respecto al eje y. AS 65π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
23
65 ,coor
T Central: Con respecto al punto ( )00, . AT 6
7π ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
23
67 ,coor
W Axial: con respecto al eje x. AW 611π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
23
611 ,coor
P
Q Axial: Con respecto a la recta xy = . AQ 36
2 π=π ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
23
21
3,coor
R Axial: Con respecto al eje y. AR 32
64 π=π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
23
21
32 ,coor
U Central: Con respecto al punto ( )00, . AU 3
46
8 π=π ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,,coor
23
21
34 Q
V Axial: Con respecto al eje x. AV 35
610 π=π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,,coor
23
21
35
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 293
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
Para los puntos que se encuentran sobre los ejes se tiene:
B: ( )1026
3 ,coorcoor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π C: ( ) ( )01
66 ,coorcoor −=π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
D: ( )102
36
9 −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ,coorcoor A: ( ) ( ) ( )0102
612 ,coorcoorcoor ==π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
Ejemplo 9
Calcular el valor de ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
367coor .
Dado que la función coordenada tiene período π2 , se establece:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
23
21
33211
322
367 ,coorcoorcoorcoor
Ejemplo 10 Encontrar ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
643coor .
Por la periodicidad de la función coordenada: ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
67
676
643 coorcoorcoor
El arco
67π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante y es el simétrico de
6π con respecto
al punto ( )00, . En consecuencia, las coordenadas de 6
7π serán los opuestos aditivos de las
coordenadas del punto terminal del arco 6π , es decir ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
23
643 ,coor
Ejemplo 11 Determinar el arco de referencia para ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
435coor y para ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
639coor .
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
43
4324
435 coorcoorcoor . Pero el arco
43π no se ubica en el primer cuadrante.
Es el simétrico con respecto al eje y del arco 4π . Lo que significa que para determinar las
coordenadas del arco 4
35π se toma como referencia el arco 4π .
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
2213
639 coorcoorcoor . En este caso, no hay arco de referencia, puesto que
se trata de un arco con punto terminal sobre el eje y.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 294
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 12 Encontrar el valor de ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
31861coor
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−π−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
23
21
332310
31861 ,coorcoorcoor
Ejemplo 13 Determinar ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
89coor , si se sabe que ( )380920
8,;,coor =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
El punto terminal del arco ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
89 se encuentra en el segundo cuadrante y es el simétrico de
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
8. En consecuencia, ( )380920
89 ,;,coor −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π− .
16.8 ARCOS DE REFERENCIA Los arcos del primer cuadrante a los cuales se recurre para analizar los arcos de otros cuadrantes a partir de las simetrías, son llamados arcos de referencia. Para determinar el arco de referencia, se halla el arco en sentido positivo entre el punto terminal del arco y el punto más próximo de corte entre el círculo unitario y el eje horizontal. Los arcos de referencia se representarán como sr.
sr s s
sr
sr
s s
sr
Para arcos en el primer cuadrante, el arco de referencia es el mismo arco: .. ssr =
Para arcos en el segundo cuadrante, . ssr −π=
Para arcos en el tercer cuadrante, . π−= ssr
Para arcos en el cuarto cuadrante, . ssr −π= 2
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 295
CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA
Ejemplo 14 Determinar el arco de referencia de
67π .
El arco de
67π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante, por lo cual el arco de referencia
será:
667 π=π−π=rs
Ejemplo 15
Cual es el arco de referencia de un arco de longitud 5?
Como se vio en el ejemplo 3 de la sección 18.4, un arco de longitud 5 termina en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, su arco de referencia se calcula como:
281528652 .. ≈−≈−π=sr
Ejercicios 16.2
En cada caso encuentre el par ordenado y represente el arco correspondiente en la circunferencia unitaria.
1. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
613coor 2. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
4coor 3. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
49coor 4. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
65coor
5. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
37coor 6. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
427coor 7. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
613coor 8. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
319coor
Sabiendo que ( ) ( )960; ,3105
2 ,π ≅coor , determinar s si: ( ) ( )960;310 ,, s −−≅coor9. ( ) ( )960;310 ,,s −≅ coor 10. 11. ( ) ( )960;310 ,, s −=coor
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Analizar:
1. El punto ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
32
31 , pertenece al rango de la función coordenada? Justificar.
2. Cuál es el valor de α con 02 <α≤π− tal que ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=α
67coorcoor .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 296
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Para qué valor de s con π≤≤ 20 les se cump : 3. ( ) ( )xxs ,r = 4. coo ( ) ( )x 5. ( ) ( )xxs ,coor −=
si es verdade 6.
xs −= ,coor
Diga ro o falso y por qué:
( ) ( )012 ;coor =π ( ) ( )yx −−=π+α ,coor 8. ( )xy ,coor =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ α−π
2 7.
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
665 coorcoor ( ) ( )yx ,r =π−α 200 10. 9. coo
11. Si ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−=π−α⎟⎠
α1313
, entonces 3
;coor,coor ⎞⎛⎞⎜⎝⎛−= 511
15
1311 ;
)
( Si ( ) ts coorcoor represe s puntosnta la distancia entre lo ( ) ( )ts coorcoor entrey , encu :
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
313
427 coorcoor 12. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
6coor 13. ( )
35coor ( )π2coor 14. πcoor
( ) Si ⎟⎞⎠⎝
=1312
13,coor , deter in
.
⎜⎛− 5 ms ar:
15 ( ) s−πcoor 16. ( ) s+πcoor 17. ( ) s−coor 18. ( ) 2 s+πcoor 19. ( ) 2 s−πcoor
Encontrar el valor de a si:
.
20 ( ) ( )aas ,coor 2= y s está en el III cuadrante. 21. ( ) ⎟
⎠⎜⎝
=aa
s ,coor y s está en el I cuadrante. ⎞⎛ 43
Analiza 22. En una prueb ó determinar el cuadrante en que estaba ubicado un arco de
longitud scribió lo siguiente:
ea
r:
a se pidi5 y un estudiante e S
21,57
π aproximadamente
Ahora 5715,
es 3,18
Por lo tanto el arco de longitud 5 está en el tercer cuadrante.
Qué nota le pondría usted y por qué?
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 297
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo infinitamente pequeño, para sentir la presencia de Dios” Pitágoras
CAPÍTULO XVII
FUNCIÓN CIRCULAR
17.1 INTRODUCCIÓN 17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) 17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x) 17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D 17.5 FUNCIÓN y=sen( x + C ) 17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) 17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D 17.8 FUNCIÓN y = cos (x) 17.9 FUNCIÓN y = tan (x) 17.10 FUNCIÓN y = cot (x) 17.11 FUNCIÓN y = csc ( x ) 17.12 FUNCIÓN y = sec ( x ) EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
CAPÍTULO XVII
FUNCIÓN CIRCULAR
17.1 INTRODUCCIÓN Una vez estudiada la función coordenada, es posible establecer relaciones entre un arco dado y una de las coordenadas de su punto terminal o entre el arco dado y relaciones aritméticas de dichas coordenadas. como se muestra a continuación:
Seno: Si se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( ) bs =sen , si ( ) ( )bas ,coor =
Coseno: Cuando se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de
la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( ) as =cos , si ( ) ( )bas ,coor =
Tangente: Asociando al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( )
abs =tan , si ( ) ( ) 0con ≠= abas ,coor
Cosecante: Relación entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco
de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( )b
s 1=csc , si ( ) ( ) 0con ≠= bbas ,coor
Secante: Correspondencia entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor
recíproco de la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( )a
s 1=sec , si ( ) ( ) 0con ≠= abas ,coor
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 300
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
( )
bas =cot , si ( ) ( ) 0coor ≠= bbas ,
Tal como ocurrió en la Función Coordenada, donde a cada arco se le asocia una y sólo una pareja sobre la circunferencia unitaria, cada una de las seis relaciones anteriores, conserva la condición de un único valor asociado a un arco dado, lo cual permite concluir que todas ellas son funciones y que por estar definidas con relación a las longitudes de arco del círculo unitario – que son en realidad números reales –, son denominadas funciones circulares. Definidas estas funciones, puede decirse que un punto sobre la circunferencia unitaria, cuyas coordenadas son ( )yx , , es posible expresarlo como ( ) ( )( )ss sen,cos , y la correspondiente ecuación de la circunferencia se expresaría como:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 111 222222 =+⇔=+⇔=+ ssssyx sencossencos
o Es la función cos y la función sen las que están elevadas a la 2. No es el arco s.
La ecuación a la que se ha llegado, es conocida con el nombre de Identidad Pitagórica. Ejemplo 1 Encontrar el valor de ( )ssen , si ( ) ( ) 0y
54 <= ss sencos .
Sabiendo que s es un arco sobre la circunferencia unitaria, es posible establecer:
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−±=⇔=+ sssss 222 11 cosensencos
( ) ( )53
541
2±=⇔⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−±= ss sensen
Como ( ) ( )530 −=⇒< ss sensen
Ejemplo 2 Si ( ) ( ) 0y
54 <−= ss cossen Encontrar el valor de: las cinco relaciones ( )scos , ( )stan , ( )scot ,
( )ssec , ( )scsc
( ) ( ) ( ) ( )53
5411
22 ±=⇔⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−±=⇔−±= ssss coscossencos
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 301
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Como ( ) ( )530 −=⇒< ss coscos ; ( )
34
5354
=−
−=stan ; ( )
43
5453
=−
−=scot ;
( )
351
53
−=−
=ssec ; ( )451
54
−=−
=scsc
Ejercicios 17.1
Encontrar el valor de:
1. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
43sen 2. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
37cos 3. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
65cot
4. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
35sec 5. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
67tan 6. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
413csc
Simplificar las siguientes expresiones:
7.
⎟⎞⎜⎛ π+⎟⎞⎜⎛ π csccot ⎠⎝⎠⎝ 46
8. ( ) ⎟⎠
⎜⎝
−4
302 cotsec ⎞⎛ π
9. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
6
642
tan
cotcsc 10.
⎟⎞⎜⎛ π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
432
2
22
sen
cossen
⎠⎝ 2
nte en el cual es ple con:
ra Determinar el cuad tá el punto terminal del arco que cum 11. ( ) ( ) 0y0 >< ss tan sen 12. ( ) ( ) 0y0 >< ss csccot
función: Encontrar el valor de la
13. Si ( ) ( ) 0y23 >= ss sencos , cuál es el valor de ( )stan ?
Si
14. ( )2
3y23 π<<π−= sssen , cuál es el valor de ( )ssec ?
Encontrar s cel valor de la seis rela iones entre las coordenadas del punto terminal del arco s
15. Se sabe que ( )
103=ssen y ( ) 0<scos .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 302
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) Un punto sobre la gráfica de la función ( )sy sen= tiene la forma: ( )( )ss sen, Da o que la función seno se define a partir de la función coordenada, las características de esta nueva función se establecen a partir de las características de la ya conocida.
d
er real puede representar una
Rango: De acuerdo con la
Dominio: Son todos los números reales, ya que cualqui
longitud de arco.
definición de la función seno,
( ) bs =sen , si ( ) ( )bas ,= coor
cuadrantes: Nuevamente, se analizará la función coordenada para deducir el comportamiento de la segunda componente, la orde
b debe tomar valores que cumplan con 122 =+ ba , de lo cual se deduce que [ ]11;−∈b .
Comportamiento de la función seno en cada uno de los
nada, en cada uno de los cuadrantes:
OLOMBIANA DE INGENIERÍA 303
Cuadrante Longitud de arco entre…
Signo de la ordenada
Intervalo al q rtenece la ue peordena T ipo de función
I ⎟⎞⎜⎛ π0,⎠⎝ 2 Positivo ( )10, Creciente
II ⎟⎞⎜⎛ ππ ,⎠⎝ 2 Positivo ( )10, Decreciente
III ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ
23, Negativo ( )01;− D ecreciente
IV ⎟⎞⎜⎛ ππ 23 , Negativo ⎠⎝ 2 ( )01;− Creciente
Va seno re l
lor de la función para arcos con punto terminal sob os ejes:
Longit arco Valor de la Fu oordenada ud de nción c Valor de la Función Seno
0 ( )01, 0
2π ( )10, 1
π ( )01,− 0
2 3π ( )10 −, −1
( )2π 01, 0 Para representar gráficamente en el plano cartesiano la información anterior, se debe considerar que sobre el eje horizontal se tomarán las longitudes de arco s y sobre el eje vertical se tomarán los valores de ( )ssen . Por lo tanto se debe escoger una escala en oncordancia con los datos que se tienen: para el eje horizontal en múltiplos y submúltiplos e π , y, para el eje vertical en unidades.
cd
ESCUELA C
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
–2
–1
1
2
x
y
1 2 3 4 5 6 –2 –1–3 –4 –5 –6 –7 La información anterior es suficiente para esbozar la gráfica de la función seno en un
en qué intervalos es negativa, cuándo crece o decrece la función, pero no se sabe con exactitud cuál es la trayectoria de línea que une todos los puntos que pertenecen a la función.
s valores de la función coordenada para los arcos especiales, vistos en la ección 18.6, puede establecerse el valor de la función seno para los mismos, como se ve a
sistema de coordenadas cartesianas?. No. La información que se tiene no es suficiente para hacer una aproximación de la función seno, ya que se sabe en qué intervalos la función es positiva y yla
s
( )ssen
π/2 π 3π/2 2π
-1
1 Positiva y creciente
Positiva y decreciente
Negativa y decreciente
Negativa y creciente
Se puede recurrir a la información de las coordenadas de los arcos especiales, para solucionar esta situación? Recordando loscontinuación:
Longit arco Valor de la enada Valor de la ción Seno ud de Función coord Fun
6π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛21
23 ,
21
4π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
22 ,
22
3π ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛23
21 ,
23
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 304
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Si se adicionan estos puntos a la información ya conocida en el intervalo ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
20; , se tendría
una mejor aproximación al comportamiento real de la función, pero aún no es suficiente para esbozarla completamente.
La experiencia ha permitido establecer que una primera tendencia del estudiante es la de unir cada pareja de puntos conocidos mediante un segmento de recta, o con segmentos de recta, según el número de puntos con que se cuenta. Pero no es posible unirlos con una línea recta dado que la razón entre los desplazamientos verticales y los horizontales para tres puntos cualesquiera no es constante.
Si se prueba con una línea poligonal para unir los puntos conocidos, se estaría suponiendo que la función seno está definida con ecuaciones de rectas diferentes para cada subintervalo de su dominio, lo cual sería una función definida a trozos.
212 −
12π
⎛
π/6 π /4 π /3 π /2
23
1.0
22
y
x
21
La única posibilidad es unir los puntos mediante una línea curva suave como la que se muestra en la gráfica. Para representar la función en el intervalo ( )π20; puede hacerse uso de las simetrías en la circunferencia, dando origen a la siguiente representación.
π/2 π 3 π /2 2 π
-1
1
s
sen(s) Esta gráfica de la función seno en el intervalo [ ]π20; , que corresponde a un período de la función, representa su ciclo fundamental. Entre 0 y π la función es cóncava hacia abajo o cóncava, y entre y la función es cóncava hacia arriba o convexa. El punto donde cambia la concavidad, , se llama punto de inflexión.
π π2π
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 305
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Sin embargo, como el dominio de la función son todos los reales y la función tiene período , su representación gráfica es: π2
Ciclo Fundamental
s
sen(s)
1
1
4π 6π 2π−2π −4π
A una función que presenta un comportamiento como el aquí mostrado, se conoce con el nombre de curva sinusoidal u onda sinusoidal dado que se asemeja a una onda. Con esta gráfica se confirma otras características de la función seno:
Periodicidad: Dado que la función seno es una de las componentes de una función periódica, se cumple que: ( ) ( )( ) Zkkss ∈π+= ,sensen 2 .
Amplitud: Si se analizan las dos regiones del plano a las que da lugar el eje x, es decir,
la región de los valores positivos y la de los valores negativos para la función, y se analizan de manera aislada, se encuentra que la máxima distancia posible entre el eje x y la función, es exactamente igual tanto en la región positiva como en la negativa. A esa máxima distancia se le conoce con el nombre de amplitud.
La función corta al eje horizontal en más de un punto es decir ( ) 0=ssen si y solo si
{ } { }Zkkxxxs ∈π=ℜ∈=π±π±π±π±π±π±∈ ,,...,,,,, y654320
La función corta el eje vertical en ( )00. .
La función no es uno a uno ya que para dos elementos diferentes del dominio existe un mismo valor de ( )ssen .Por ejemplo:
21
611
65
6=π−=π=π sensensen
La función es simétrica respecto al origen, lo cual se expresa matemáticamente como:
( ) ( ) ℜ∈−=− sss todo parasensen
Una función que presenta esta característica es llamada función impar.
La función tiene valores máximos en:
{ } { }Zkksss ∈π+π==πππ−π−∈ ,,...,,,... 222
522
32
7
La función tiene valores mínimos en:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈π+π==ππππ−π−∈ Zkksss ,,...,,,,... 2
23
211
27
23
225
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 306
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x)
j
En las funciones de la forma ba += xy , la constante a acerca o aleja la recta del eje y.
En las funciones de la forma , la constante a acerca o aleja
los brazos de la parábola del eje de simetría. cba 2 ++= xxy
En su forma general la función seno se presenta como ( ) DCBA ++= xy sen , donde A, B, C, D, son números reales y A, B ≠ 0. A continuación se efectuará un análisis del efecto de las constantes en la gráfica a partir de ( )xy sen= , tal como se trabajó con las funciones lineales y cuadráticas. Para comenzar al análisis, se estudiará la incidencia de la constante A en los siguientes casos:
Cuando 1>A
Si se grafican en un mismo plano cartesiano funciones de la forma ( )xy senA= con A>1, y se comparan con la representación de ( )xy sen= para el ciclo fundamental de la función, puede observarse que:
y=2sen x
π/2 π 3π/2 2π
–3
–2
–1
1
2
3
y=sen x
y
y=3sen x
x
Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal: crece y decrece en los mismos intervalos de xy sen= ,
Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.
Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal la ordenada cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, mayor valor de y; mientras que en la parte negativa el valor de y disminuye a medida que aumenta el valor de A. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una dilatación vertical de la función.
La dilatación vertical a la que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 307
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Función Amplitud Rango xy sen= 1 [ ]11;−
xy sen2= 2 [ ]22;− xy sen3= 3 [ ]33;−
Cuando 0<A<1
Siguiendo la misma metodología, se compararán las funciones de la forma ( )xy senA= con la función ( )xy sen= para establecer sus semejanzas y diferencias:
y=¼ sen x
y=sen x
y=½ sen x
x π/2 π 3π/2 2π
–1
1
y
Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal creciendo y decreciendo en los mismos intervalos en que crece y decrece, respectivamente, xy sen=
Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.
Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal, la ordenada
cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, el valor de y es menor que en xy sen= , mientras que en la parte negativa el valor de y es mayor que el valor de la función xy sen= cuando el valor de A es menor que 1. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una contracción vertical de . xy sen=
El cambio vertical al que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:
Función Amplitud Rango xy sen= 1 [ ] 11;−
xy sen21=
21 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
21
21 ;
xy sen41=
41 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
41
41 ;
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 308
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Cuando A = –1
Si A= –1, se obtiene una gráfica simétrica, con respecto al eje de las x, a . Este cambio da lugar a que:
xy sen=
π/2 π 3π/2 2π
–1
1
x
y
y= – sen(x)
y=sen(x)
Los cortes con los ejes se mantienen.
El ciclo fundamental es igual.
La amplitud no cambia.
El rango de la función es el mismo.
En el valor de x para el cual se tenía un punto máximo en la primera función, se tiene ahora en la segunda, un punto mínimo, y viceversa.
Los intervalos en donde la función xy sen= crece, decrece la función , pero los intervalos de decrecimiento de la primera, coinciden con los intervalos de crecimiento de la segunda.
xy sen−=
Cuando A < 0
-
Y = – 1/2sen(x) π/2 π 3π/2 2π
−2
−1
1
2
x
y
y= – 2sen(x)
y= – sen(x)
La gráfica permite ver que en general, la función de la forma , con A < 0 cambia los intervalos de crecimiento y decrecimiento con respecto a la función
.
xy senA=
xy sen=
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 309
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Las funciones con , la función se contrae verticalmente. 0A1 <<−
Las funciones con , la función se dilata verticalmente. 1A −<
Estudiados todos los posibles valores para la constante 0A ≠ , puede concluirse que:
Las funciones con 1A > presentan una dilatación con respecto a la función . xy sen=
Las funciones con 1A < presentan una contracción con respecto a la función original.
El rango de la función está definido en el intervalo [ ]AA ,− .
El valor máximo de la función es A .
El valor mínimo de la función es A− .
El ciclo fundamental es 2π.
Los cortes con el eje x están en 0, π y 2π, y corta al eje y en x = 0. Ejercicios 17.2
Hacer la gráfica de las siguientes funciones: 1. ( )xy sen
23= 2. ( )xy sen
32= 3. ( )xy sen
23−=
4. ( )xy sen2−= 5. ( )xy sen3=
Determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente
, intervalos donde la
función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para:
.
( )xy sen5−= ( )xy sen2= 7. 6
2
Para las siguientes gráficas encuentre l x esión algebraica:
.
9.
a e pr 8
xπ/2 π 3π/2 2π
-3 -2 -1
1 2 3 y
π/2 π 3π/2 2π
-3-2-1
123 y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 310
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D
j En las funciones de la forma b+= xy , y la constante b produce
una traslación vertical de la función así: b2 += xy
Hacia arriba si b > 0
Hacia abajo si b < 0
Hasta el momento se ha realizado un estudio de la función ( )xy sen= con la misma metodología con la que se analizaron las funciones lineal y cuadrática, y con la ayuda de su representación gráfica ha sido posible llegar a conclusiones generales similares. Es de esperarse entonces que tal como sucedió con las funciones anteriores, la función seno sufra una traslación vertical cuando a ella se suma una constante. El análisis gráfico permite establecer el comportamiento que presenta la función ante este nuevo cambio:
π/2 3π /2
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
y=sen(x)-1/2
y=sen(x)+1
y=sen(x)+2
y=sen(x)
y=sen(x)-2
y
x
π 2π
Efectivamente, la suma de una constante positiva, permite que la función original ( )xy sen= se traslade hacia arriba, mientras que una constante negativa sumada a la función hace que ella se traslade verticalmente hacia abajo. Esta traslación debe producir un cambio en las características de la función. En cuáles? De que forma? El análisis para el ciclo fundamental de la función arroja que:
Por tratarse de una traslación vertical de todos los puntos de ( )xy sen= , mantiene su comportamiento de onda sinusoidal.
La nueva función crece y decrece en los mismos intervalos en que lo hacía la primera función.
Los puntos de corte con el eje x necesariamente cambian por la traslación vertical a la que fueron sometidos. Igual sucede con el punto de corte con el eje y.
Respecto de la función ( )xy sen= , no se presenta ningún tipo de dilatación, lo que significa que la nueva función tiene la misma amplitud.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 311
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Los puntos máximos y mínimos de la nueva función están a D unidades de los máximos y mínimos de la función original.
El último cambio que se debe resaltar es el que se presenta en el conjunto de imágenes de la nueva función. El nuevo rango está entre [ ]DD ++− 11 ; .
Ejemplo 3 Determinar las características de la función ( )
21+= xy sen .
La constante
21=D hace que la función ( )xy sen= se traslade media unidad hacia arriba.
Los intervalos de crecimiento de la función están en ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π 2
23eny
20 ;; .
El intervalo de decrecimiento de la función está en ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ
23
2; .
Dado que no se presenta dilatación alguna, la amplitud es igual a 1.
Los puntos de corte con el eje x y con el eje y, así como los valores máximos y mínimos de la función merecen un cálculo más cuidadoso:
La función corta el eje x cuando su valor es igual a 0:
( ) ( ) ZkkxZkkxxx ∈π+π=∈π+π=⇔−=⇔+= ,,sensen 26
11ó26
721
210
Como se está trabajando en el intervalo [ ]π20; , los valores de x son
611ó
67 π=π= xx .
El corte con el eje y se tiene cuando x = 0:
( )21
210
210 =⇔+=⇔+= yyy sen .
El valor máximo de la función ( )21+= xy sen está en
2π=x , lo que significa que:
23
211
21
2=⇔+=⇔+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π= yyy sen .
El valor mínimo de la función ( )21+= xy sen está en
23π=x , lo cual implica que:
21
211
21
23 −=⇔+−=⇔+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π= yyy sen
Con los puntos máximos y mínimos es posible definir el rango de la función como
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
23
21 ; .
El resultado de este análisis se plasma en la siguiente gráfica:
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 312
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
π/6 π/2 π 7π /6 11π /6 2π
-1.
Ejemplo 4
Para qué valores de D la gráfica de la función no toca el eje x ?
( ) Dxy += sen
5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
y=sen(x)+1/2
y
x
E
)
Para que la función no toque el eje x, es necesario que se cumpla:
Si la traslación vertical es hacia arriba, el punto mínimo debe ser mayor que cero ( )0 Pero como se sabe que el punto mínimo debe estar en
23π=x , se tiene que:
1010
23 >⇔>+−⇔>+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π DDDsen
Si la traslación vertical es hacia abajo, el punto máximo debe ser menor que cero (0):
Sabiendo que el punto máximo debe estar en
2π=x , se tiene que:
1010
2−<⇔<+⇔<+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π DDD`sen
Ejercicios 17.3
Hacer la gráfica de las siguientes funciones:
1. ( ) 3−= xy sen 2. ( ) 2+= xy sen
3. ( ) 5223 ,sen −= xy 4. ( ) 251 +−= xy sen,
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 313
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Dibujar la gráfica y determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para:
5. ( ) 3
23 +−= xy sen
Para la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica:
.
on
reciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero para dos ciclos de la función:
7.
6
π/2 π 3π/2 2π
x0.5
2.5y
Determinar algebraicamente los puntos de corte con el eje x y cel eje y, y establecer rango, amplitud, coordenadas de los puntosmáximos y mínimos, intervalos donde la función es c
( ) 5250 .sen. += xy
7.5 FUNCIÓN y=sen( x + C )
1
j
la gráfica de 2xy = : h unidades a la derecha, si h > 0 h unidades a la izquierda, si h < 0
La epresentación gráfica de una func r ión de la forma ( )2hxy −= resulta de una traslación horizontal de
Hasta el momento se ha presentado una similitud en el efecto geométrico que sobre la representación gráfica de una función lineal, cuadrática o seno causa la adición de una constante que se suma o se multiplica a la función base. El nuevo efecto que se estudiará es l que se presenta cuando una constante es sumada a la variable independiente, antes de
ara apreciar con detalle el efecto de tal constante, se presenta a continuación la presentación gráfica de funciones de la forma
eaplicar la función base. Pre ( )Cxy += sen , con C > 0.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 314
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
En cada una de las funciones mostradas se muestra un corrimiento horizontal de la
rte con el eje x y la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la función se encuentran ahora C unidades a la izquierda de los pun spondientes a
función ( )xy sen= de C unidades hacia la izquierda.
Los puntos de cotos corre
la función ( )xy sen= .
El corte con el eje y ocurre en el punto correspond alor de iente al v ( )Csen .
La amplitud, o y el período de la función el rang ( )xy sen= se conservan en las nuevas funciones ( )C+= xsen .
r hacia derecha, y que se mantengan todas las características de la función original excepto sus
utilizado sobre el eje horizontal una escala de
y
Cuando la constante C es negativa, se espera que el corrimiento horizontal tenga lugalapuntos de corte con los ejes x e y, y las abscisas de sus puntos máximos y mínimos.
uiente gráfica, en la cual se ha12π ,
res, este corrimiento horizontal es llamado desfase.
La sig
c onfirma las anteriores apreciaciones:
y=sen(x+π/3)y=sen(x+π/4)
y=sen(x+π/12)
y=sen(x)
y
x12π
y=sen(x–π/3)
y=sen(x–π/4)
y=sen(x)
y
x
y=sen(x–π/12)
En funciones circula
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 315
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Ejemplo 5 Graficar la función ( ) 22 +π−= xy sen correspondiente al ciclo fundamental, determine con exactitud los cortes con el eje x La función dada está de la forma ( ) DCA +−= xy sen . Como se vio anteriormente, la constante A que multiplica la función seno produce una modificación de la amplitud de la curva, la constante D produce una traslación de 2 unidades hacia arriba y la constante C hace que se resente una traslación horizontal de p π unidades a la derecha. Por lo tanto la representación ráfica del ciclo fundamental es:
ara determinar con exactitud los puntos de corte con el eje x se debe recurrir al álgebra teniendo en cuenta qu
g
3π/2 2π 5π/2 3π
xπ/2 π
−1
1
2
3
4
y=sen(x)y=2sen(x- π)+2
Cortes con los ejes: P
e estos cortes tienen lugar cuando 0=y , por lo tanto:
( ) ( ) ( )π−=−⇔π−=−⇔+π− xxx sensensen 12222 =0
Los arco s el seno es igual a –1 son todos aquellos
La expresión algebraica a la que se llegó, debe interpretarse como: ¿Para qué arcos la función seno tiene como valor –1?
s para los cualeiguales a Zkk2
23 ∈π+π , , lo que puede escribirse como:
E
)
{ },...,....,.2
132
3SCk22
5k22
3 ππ−=⇒π+π=⇔π+π=π− xx
Pero como sólo se re
,,2
92
52
πππ
ren los valores de x en el intervalo quie [ ]π+ππ 2, el único valor para el corte con el eje x es
25π
.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 316
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 17.4
Hacer la gráfica del ciclo fundamental de ones:
.
las siguientes funci
⎟⎞⎜⎛ π−= xy sen 2. 1 1⎠⎝ 2 3 ⎠⎝
2 −⎟⎞⎜⎛ π+= xy sen
3. 5262
1 .sen +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−x 4. =y ( ) 250 −π+−= xy sen.
fica y determin ordenada mos y mínimos, i rvalos donde la función es cre nte y donde es decreciente, intervalos
para:
Hacer la gránte
ar rango, amplitud, co s de los puntos máxicie
donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero
5. ( )( )xy = sen+32 6. ( )( )211 +−= xy sen 7.
21
23
43 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ += xy sen
ara la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica:
8.
P
17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) Una última constante y su efecto sobre la función base ( )xy sen= es el objeto de estudio de
una nuevesta sección. La constante B afecta r que toma la variable, ge a función que depende del valor de B, así: Cuando 0 < B < 1,
el valo nerando
En general, respecto de la función ( )xy sen= , una función de la forma ( )Bxy sen= , con 1≠B , onserva su misma amplitud y su mismo rango, variando el período. Este cambio conlleva un ambio en las abscisas de sus puntos de corte con el eje x y de sus puntos máximos y ínimos. Por supuesto, cambia también su ciclo fundamental.
ccm
x
-2
-1
1
y
–π/6
2π 4π
-1
1
x
y=sen(1/2x)
y=sen(x)
y
2π 4π 6π
-1
1
x
y=sen(1/3x)
y=sen(x)
y
Ciclo fundamental Ciclo fundamental
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 317
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Las gráficas permiten ver que sien B<1, el ciclo fundamen medida que disminuye el valor de , el ciclo fundamental se hace más largo.
Compara ción
do alarga, y a
tal se B
ndo la fun ⎟⎞⎜⎛= xy 1sen con la función origin⎠⎝ 2
al, ( )xsen se encuentra que la y =
nueva función hace 2
ciclo, e la función base hace su ciclo fu mental. La
función
1 s qu mientra todo nda
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= xy
21sen hace su ciclo comp en el intervalo leto [ )π40;
Por su parte la función ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= xy31sen recorre en el intervalo [ )π20; tan sólo
31 de su ciclo
ndamental, necesitando el intervalo fu [ )π60; para completar su ciclo.
n las gráficas se obse un valor de B > 1, la longitud del intervalo dond
Cuando B > 1 E rva, que para e lafunción hace su ciclo fundamental se acorta con respecto a la longitud del ciclo de ( )xy sen= , y a mayor valor de B, menor es la longitud del intervalo. Dicho de otra form intervalo [
a, en el )π20; las funciones de la forma ( )Bxy sen= hacen tantos ciclos como lo indique la constante B.
De lo anterior, puede d el valor de la constante B y la longitud del inte ntal de la función base
educirse que hay una rel rsa ervalo del ciclo fundame
ación inve ntre ( )xy sen= , lo que
se simb
E
matemáticamente oliza como:
l período de la función ( )Bxy sen= es 02 >BB
,
e valores no positivos?
Si B tomara el valor de ce
π
P urrir que B tom
ro, se obtendría la función ual coincidiría con el eje x y no correspondería a una función de
razón por la que en la sección 19.3 se restringe el estudio de ( )BxAy sen= para funciones con B ≠ 0.
situación diferente que conviene analizar a partir de un ejemplo:
uede oc
( ) 00 == seny , lactipo sinusoidal, sino a una función lineal constante. Es esta la
Si B < 0, se tiene una
π/2 π 3π/2 2π
-1
1
y=sen(2x)
y=sen(x)y
ππ/2 3π/2 2π
-1
1y=sen(3x)
y=sen(x)y
Ciclo fundamental Ciclo fundamental
E
)
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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 6
nalizar la función ( )−= . A xy sen
En este caso, B = –1. Como se sabe, la función seno es impar, se cumple que:
( ) ( )xx sensen −=− Por lo tanto, la gráfica de la función tendrá las características de las funciones ( )xAy sen= , con 0<A , que fueron estudiadas en la sección 19.3 y que para este caso particular dio como
gráfica simétrica respecto al eje x de la función ( )xy sen=
. resultado una
Ejemplo 7 Representar gráficamente la función ( ) xy 2−= sen
la función
Obsérvese que entre 0 y 2π
( )x2−= sen hace dos ciclos que orresponden a los ciclos que haría la
función
yc
( )xy 2sen= pero que se presentan reflejados con respecto al eje x.
π 2π
Ejercicios 17.5
Hacer la gráfica del ciclo fundamental de las siguientes funciones:
( )xy 3sen= 2. 1. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= xy
41sen
3. ( )xy π= sen 4. ( )xy 150,sen=
17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D Para graficar una función de la forma ( ) DCBxAy ++= sen debe tenerse en cuenta que cada ufuncióna de las constantes estudiadas causaba un efecto geométrico sobre la gráfica de la
n ( )xy sen= . Pero cua ón la influencia de todas ellas, es necesario tran nte en la cual la incidencia
sea sobre la función sen ( x ). Con la ayuda del álgebra, la expresión debe e
ndo se presentan en una misma funcisformar la expresión inicial en una equivale
de cada constante ransformarse n:t
( ) DBCxBAy +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=⇔++ sen
DCBxAy = sen
-1
1y=sen(-2x)
y=sen(x)
y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 319
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Ejemplo 8 Graficar en el intervalo [ )π20; : ( ) 13
21 +π−= xy sen
La expresión equivalente que permite graficar la función a partir de ( )xy sen= es:
( ) 1
33
2113 +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⇔+π−= xyx sensen
Detalla entra q
21y
ndo la expresión, se encu ue:
La amplitud es igual a
21 .
El desfase es de 3π a la derecha.
Hay 3 ciclos en un intervalo 2π, lo que equivale a decir que el período es igual a 32π .
Tiene una traslación vertical de 1 unidad en el sentido del eje y.
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π
0.5
1.0
1.5
2.0
y=1/2sen(3x–π)+1
y
x
Ciclo f l undamenta
Ejemplo 9
( )2+π= xy sen Hacer la gráfica de la función Al transfo uación a su forma equivalente, se obtiene: rmar la ec
( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
π+π⇔+π= 22 xyxy sensen
=
No hay que sorprenderse: las constantes B y C pueden tomar cualquier valor real, y tanto π como
π2 lo son. Para efectuar la representación
gráfica, es recomendable modificar la escala sobre el eje x.
E
)
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 320
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
-0.6 0.6 1.3 1.9 2.5 3.2
Ejemplo 10
Hacer la gráfica de 132
2 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +− xsen , y un análisis detallado en el ciclo π=y fundamental.
Para
on
hacer una aproximación de la gráfica de a función es necesario expresar la función en una forma equivalente que permita establecer la incidencia directa de cada una de las
stantes:
l
c
13
22121
322 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−=⇔−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−= xyxy sensen
Por ser una función seno presenta una forma sinusoidal y se encuentra definida para
iente A que multiplica la función seno produce una dilatación vertical en la
ime
cal de una unidad hacia abajo de la función.
te
todo número real.
El coeficfunción modifica o la amplitud a dos unidades, y el valor negativo de dica que se presenta una s tría de la función base respecto del eje x .
La constante D indica que hay una traslación v ti
nd A, in
er
La constan2
indica una variación en el período de la función 1=B ( )xy sen= co tente nsis
en efectuar 21 ciclo en un intervalo de longitud π2
La constante 32π=C indica que la función tiene un corrimiento horizontal de
32π a l
izquierda.
a
sta información ya es suficiente para realizar la siguiente gráfica:
E
Ciclo fundamental
–1
1 y
x
y=sen(πx+2)
-π -2π/3 π/3 π 5π/3 7π/3 3π 10π/3 4π
-1
-2
-3
1
x
yy= - 2sen(1/2x+π/3)-1
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 321
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Una vez dibujada la función puede realizarse un análisis más detallado:
ngo de la función es [ ]13;−
El ciclo fund
El ra
amental se encuentra en el intervalo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ππ−
310
32 ; .
El corte con el eje y cam r exacto debe recurrirse al álgebra
así: bia. Para encontrar el valo
13
2132
02132
2 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=⇒−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−=⇒−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−= sensensen yyxy
131232 −−=⇒−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒ yy
Debido al corrimiento horizontal, los cortes con el eje x también n cambiado. Con haayuda del álgebra se encontrarán los valores exactos:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=−⇒−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−=
⎠⎝ 32211
3220
32xx sensen
Aquí debe preguntarse: ¿Para qué arcos e la función seno igual a
⇒−⎟⎞⎜⎛ π+−= 12 xy sen
s2
− ?
Lo aprendido ra arcos en el tercero y en e En el tercero
1
en el capítulo anterior, permite responder inmediatamente: pal cuarto cuadrante así:
será cuando el arco es igual a Z∈π+π kk26
7 por lo tanto se tiene:
6k125
262632π+π⇔π+π+ k1272k27 =⇔π+π+π−=π−=⇔π+π=π+ xxxx
2k2
67
3
{ },...,,,,...,, ππππ−π−∈⇒∈π+π=⇔329
317
35
37
319k
3k125 xZx
En el cuarto cuadrante el arco será Z∈π+π kk211 por lo tanto se tiene: 6
6k129
26k12112
2k2
611
32k2
611
32π+π=⇔π+π+π−=⇔π+π+π−=⇔π+π=π+ xxxx
{ },...,,,, ππππ−π∈ 11735x
i s s puntos de corte con el eje x, en el ciclo fundamental, se deben m d n el intervalo del
cicl
...,−⇒∈π+π=⇔ kk43 Zx
e quiere determinar loS
to ar e los dos conjuntos anteriores, aquellos valores que se encuentran eental, que para nuestro caso son: o fundam { }π3;
Las coordenadas de los puntos máximos y mínimos pueden determinarse algeb
e:
π5 . 3
raicamente así:
El valor máximo de la función es 1, por lo que se debe cumplir qu
Zxxx ∈π+π=π+⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=−⇒−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−= kk2
23
323211
3221 ,sensen
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 322
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
{ },...,,...,3
193
73
53
k127k22
332
πππ−∈⇒π+π=⇒π+π+π−=⇒ xxx . Lo que significa que en
el ciclo fundamental, el valor de x para el punto máximo es { }3
7π .
ínimo de la función, que como ya se sabe es –1, puede ubicarse El valor del pun men:
to
Z∈π+=+⇒⎟⎠
⎜⎝
+=⇒−⎟⎠
⎜⎝
+−=− kk223232
1132
23 ,sensen xxx ππ⎞⎛ π⎞⎛ π
{ },...,3
13π
Pero como se ne valor del punto mínimo en el ciclo fundamental, dicho r
,...,33
113
k12k2232
ππ−∈⇒π+π=⇒π+π+π−=⇒ xxx
cesita el valocorresponde a: { }
3π
ntal puede diferenciarse la concavidad en dos intervalos:
cóncava hacia arriba en el intervalo En el ciclo fundame
La gráfica es ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ππ−
34
32 ; .
En el intervalo ⎟⎞⎢⎡ ππ 104 ; la gráfica es cóncav
⎠⎣ 33a hacia abajo.
Ejercicios 17.6
Hacer la gráfi
ca de las siguientes funciones
1. ⎟⎠
⎜=y sen 2. ⎞⎛ π−x ⎝ 32
( ) 12 +π−= xy sen 3. ⎟⎠
⎜⎝ 222 xy sen ⎞⎛ π−=
4. ( )π−=y sen2 5. +x ⎟⎠
⎜⎝
+−=5
3xy sen 6. ⎞⎛ π ( )π+π= xy 22 sen
7. ⎟⎞⎜⎛ −π−= xy 1 sen
Escribir una ecuación de una función seno que tenga las siguientes características:
Período
⎠⎝ 32
8. Período π2 Amplitud 4 Desfase 0
32π Amplitud 7 Desfase 3
π a la izquierda.
Encontrar la ecuación que representa la siguiente gráfica
.
9.
10
–1
y xπ/12
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 323
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Sea 36
32 +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−= xy sen : y 122 −⎟⎞⎜⎛ π−−= xy sen : para cada una
3 ⎠⎝ de ellas
fase, traslación vertical 11. Determinar amplitud, período, des 12. Hacer la gráfica para ⎥⎦⎢⎣ 66
3. Determinar el intervalo del ciclo fundamental
Encontrar algebraicamente
s
15. Las coordena ximos y mínimos 16. Los valores d
⎤⎡ ππ− 1311 ,
1
14. Los puntos de corte con los eje
das de los má
onde la función es mayor que cero
17.8 FUNCIÓ yN = cos (x)
⎟⎜=⎟⎜ ,coor ; ⎟⎟⎜⎝
=⎟⎠
⎜ 226,coor
j
⎟⎞
⎜⎛⎞⎛ π 22
⎠⎝⎠⎝ 224 ⎠
⎞⎜⎛⎞⎛ π 13
⎝
⎟⎟⎠
⎞23, ⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
21
3coor ( )10
2,coor =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π ( ) ( )010 ,coor =
Dominio de la función coordenada es ℜ El rango de la función coordenada es ( ){ }122 =+ yxyx ,
a presenta simetrías con respecto a los ejes x e La función coordenada xyy, al origen y a la rect =
e período 2π. La función coordenada tien En la sección 19.1, se definió coseno como: ( ) ( ) ( )basas ,coorcos == si . El conjunto de puntos tales que ( ) ( ){ }xyyx cos, = representa una función, ya que para cada arco x, existe no y sólo un valor de y.
onocidos los valores del coseno para
a ue se tiene lugar, es posible presentar algunos puntos en el plano
carte Tal como se trabaj función os estos p en unirse med a curva ave dando luga una c ma sinusoidal.
u Clos arcos especiales en el primer cuadrante, y con base en las simetrías qre
siano:
ó en la seno, todurva de for
untos deb iante una línesu r a
π/2 π 3π /2 2 π
-1
1cos(x)
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 324
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 325
Efectuando un detal estos p nan l es carac cas para la función co
análisis lado de seno.
untos, se determi as siguientterísti
Cuadrante Longitud de arco entre…
Signo de la abscisa
Intervalo al que pertenece la abscisa Tipo de función
I ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
20, Positivo ( )10, Decreciente
II ⎟⎠
⎜⎝⎛ π,
2 Negativo ⎞π ( )01,− Decreciente
III ⎟⎞⎜⎛ ππ 3, ⎠⎝ 2 Negativo ( )01;− Creciente
IV ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ 2
23 , Positivo ( )10; Creciente
Por tratarse de una función con período igual a 2π, puede extenderse su representación para ualquier valor de x en los reales.
cluirse lo siguiente:
ignifica que es esta
c -4π -2π 2π 4π 6π
1
-1
x
cos(x)
Ciclo fu damental n
Al observar la gráfica anterior puede con
La función coseno presenta una simetría respecto del eje y, lo suna función par, y se simboliza:
que
( ) ( )xx −= coscos
El rango es el mismo que la función seno es decir el intervalo
Tiene una amplitud igual a 1.
[ ]11,− .
Tiene período π2 .
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Estas tres últimas características las presenta la función seno, por lo que podría preguntarse: qué ocurriría si se comparan las gráficas de las dos funciones?
¿
y=sen x
s(x)
( )
x
La gráfica permite apreciar que la nueva función ( )xy cos+ corresponde a una traslación horizontal o desfase de 2
π unidades a la izquierda de la función ( )xy sen= . Es decir, que
( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+==
2xxy sencos .
Se dice entonces que ⎟
⎠⎜⎝
+=2
xy sen es cofunción de ⎞⎛ π ( )xy cos= .
Ahora, con las similitudes que presentan ambas funciones, podría pen que una onstante que se multiplique o se adicione a la nueva función tendrá la misma incidencia en función base como ocurrió en la función
sarsecla ( )xy sen= ?
uego de haber est funciones de diversa índole, y haber encontrado efectos similares on la adición de con ntes, no habría razón para dudarlo. Sin embargo, un ejemplo ustrará la situación:
L udiado
stacil
y=co
y
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
–1
1
π/2 π 3π/2 2π
-1
1y
1/2cos(x)
cos(x)
x
cos(x)+3/2
π/2 π 3π/2 2π-1
1
2
cos(x)
y
x
π/2 π 2π
-2
-1
1
2 y
2cos(x)
cos(x)
x
3π/2
π/2 π 2π
-1
1 – cos(x)
cos(x)
y
x
3π/2
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 326
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
-π/3 π 5π/3 2π
-1
1
x
ycos(x+π/3)
cos(x)
2π/3
x
cos(x–π/3)cos(x)
π/2 π 2π
-1
1
3π/2
y
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 327
Todas las representa geométrico de las constantes en la fun n seno que fueron
jemplo 11
razar la gráfica de
ciones anteriores permiten constatar que el efecto ción coseno es el mismo que se produce en la funció
estudiadas detalladamente en las secciones 19.3 a 19.6. E T 1215 +⎟⎞⎜⎛ π+= xy cos correspondiente al ciclo fundamental.
322 ⎠⎝
Una expresión equivalente para la función dada es:
132
1322 ⎟
⎠⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝⎟
⎠⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
xyxy coscos
Esta nueva expresión permite desarrollar un análisis completo de la función que permita acer una primera aproximación a la gráfica:
415215 +⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ π+=⇔+⎞⎛ ⎞⎛ π+= 2
h La amplitud es de 2
de la función que corresponde a:
5
e presenta un corrimiento vertical de 1 unidad hacia arriba. S
a amplitud y el corrimiento vertical determinan el rangoL
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++−
27
231
251
25 ;; .
l ciclo fundamental se inicia en E
34π− .
a longitud del intervalo para trazar el ciclo fundamental es de L π4 .
sta información es suficiente para esbozar la gráfica: E
y
x
π/2 π 3π/2 2ππ 2π 3π 4π
-1
1 cos(x)cos(1/2x)
-1
1
x
ycos(2x)
cos(x)
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 328
Ejemplo 12 Pareje
D
a la función del ejemplo anterior, determinar: dominio, coordenadas de los cortes con el x y con el eje y, intervalos donde la función es creciente y decreciente.
ominio: Por tratarse de la gráfica del ciclo fundamental, el dominio es: ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ππ−
38
34 ; .
Cortes con el s cuales y = 0: eje x: Para determinarlos, deben encontrarse los puntos en lo
52
32
21 −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+⇔=⎟
⎠⎞⎛ ⎟
⎠⎞π+⎞⎛ π xcos
Esto lleva a buscar los arcos para los cuales el coseno es igual a
121
251
32
21
250 −⎜
⎝⎜⎝⎛⇔+⎟
⎠⎜⎝
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ += xx coscos
32
52− . Sin embargo, no
r lo o, p ciones tri ricas o a calculador
: Para determinarlo, se busca el valor de la función para x = 0:
hay múltiplo de arcos especiales cuyo coseno se valor. Po tant ara encontrarel valor exacto se debe recurrir a tablas de fun gonomét as.
a este
Corte con el eje y
( )411
21
251
32
251
320
21
2−=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −=⇔+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⇔+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+= yyyy coscos
Intervalo donde la función es cre
5 ⎛
ciente: En ⎟
⎠⎞⎛ ππ
382 .
e la función es de
⎜⎝ 3
;
dIntervalo don creciente: En ⎟⎠⎞π−
334 ; . ⎜
⎝⎛ π2
Ejercicios 17.7
ráfica de las s cio s para Hacer g iguientes fun ne la [ ]ππ−∈ 2 ,x 2
1. ( ) 12 +xcos 2. =y ( ) 1
21 +−= xy cos 3. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
23 xy cos
4. ( )xπ= 231 cos 5. y 1
3250 +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−−= xy cos,
-4π/3 -π/3 2π/3 5π/3 8π/3
-1.5
1.0
3.5
x
y
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Escribir una ecuación de una función coseno que tenga las siguientes características:
Período
6.32π Amplitud 7 Desfase
3π−
gráfica:
Encontrar la e representa la siguiente ecuación qu
7.
Sea 122 −⎟⎞⎜⎛ π−−= xy cos : para cada una de ellas 3 ⎠⎝
Determinar amplitud, período, desfase, traslación vertical
. Determinar el intervalo del ciclo fundamental
1 de corte con los ejes
12.
. Los valores donde la función es mayor que cero en el ciclo fundamental.
8.
9. Hacer la gráfica para [ ]ππ− 2,
10
Encuentre algebraicamente
1. Los punto
Las coorde
s
nadas de los máximos y mínimos
13
17.9 FUNCIÓN y = tan (x)
jpara el mismo arco. Se simboliza:
( )
Tangente: Asocia al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada
abs =tan , si ( ) ( ) 0≠= abas ,coor
Para representar g áficamente ésta relación se utilizará el mismo método de las relaciones anteriores, ubicando en un sistema de coordenadas cartesianas los valores orrespondientes al conjunto: ( )
r
c ( ){ }Zkk2
∈π+π≠xx . Es importante resaltar que
la restricción para x se debe a que la función para arcos sobre la circunferencia unitaria cuyo
=yyx tan,
π/12
−5
5 y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 329
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
valor sea igual a π+π k2
con Z∈k , corresp n cociente con denominador igual a cero,
lo que significa que la tangente no está definida para esos valores de x.
onde a u
Efectuando un análisis de los valores de la función para arcos cercanos a 2π , pero menores
ue él, se tiene que el valor de b se acerca a 1 y el valor de a se acerca a cero, lo que implica ue el valor del cociente toma valores positivos cada ás grandes, sin que sea posible eterminar un valor máximo para la función. Por otro lado, el valor del cociente
qq vez md
ab para los
rcos mayores a 2π , pero cercanos a él, es cada vez menor y negativo, sin que se pueda
eterminar un valor mínimo para la función.
a representación gráfica de la función
a
d L ( )xy tan= puede iniciarse tomando el valor de los rcos especiales en el primer cuadrante, y sus simétricos. Para visualizar los arcos en los uales no está definida la función, se utiliza una línea discontinua paralela al eje y enominada asíntota.
b
El dominio de la función es
acd
1
2 Al unir mediante una curva suave los puntos, se o serva que:
La gráfica no es de tipo sinusoidal,
El período es π .
{ }Zxxx ∈π+π≠∧ℜ∈ kk2
,
El rango de la función son todos los reales.
La función siempre es creciente.
x se dan para valores de Zkk Los puntos de corte con el eje ∈π=x
La función no tiene máximos ni mínimos.
Presenta una simetría respecto al punto ( 0, 0 ), que como se dijo para la función seno, ue la tangente es una función impar, y se simboliza como: significa q ( ) ( )xx tantan −=− ,
e pertenece al dominio de la función. para todo x qu
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
-3
-2
-1
3 y=tan(x)
y
x
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 330
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
17.10 FUNCIÓN y = cot (x)
Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ord
jenada de la función coordenada para
el mismo ar
co. Se simboliza:
( )bs =cot , si a ( ) ( ) 0≠bb, = ascoor
Para representar gráficamente ( )xy cot= pueden tomarse los valores de la función para los arcos especiales del primer cuadrante y sus simétricos.
s necesario además determinar los valores de os cuales la función cotangente no stá definida. Para ello, se busca b que cumpla con:
Zkk0
E x para le
∈π=⇔= xb
on lo que se determinarán las rectas asíntotas de la función.
a representación gráfica es:
c L
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
-6-5-4-3-2-1
123456
x
y
y=cot(x)
17.11 FUNCIÓN y = csc ( x )
j Cosecante: Rela sobre la circunferencia unitaria y el
función coordenada para el mismo ción entre un arco s
valor recíproco de la ordenada de laarco. Se simboliza:
( ) bs 1=c , si cs ( ) ( )bas ,coor = con 0≠b
Para h función debe determinarse el comportamiento general de acer la gráfica de esta
( )xy c= y los arcos para los cuales no está definida la función: cs
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 331
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Los arcos para los cuales b es cero dete inan las rectas asíntotas:
Zkk0
rm
∈π=⇔= ,sb
portamiento de la función en cad
Com a cuadrante: Primer cuadrante: ⎥⎦
⎜⎝
∈2
0,s : Para los valores de s en este intervalo, b toma un val
muy cercano a cero y aumenta hasta uno. Por lo tanto, para el cociente
⎤⎛ π or
b no hay un
valor máximo mientras que el mínimo valor es uno, lo que implica que todos los valores son positivos.
1
Segundo cuadrante: Cuando ⎟⎞⎜⎛ ππ∈ ,s ,: b toma un valor muy cercano a uno y
disminuye aproximándose a cero, por lo tanto el cociente⎠2⎝
b
ente.
1 toma valores cercanos a
uno y aumenta indefinidam
Tercer cuadrante: En este intervalo, ⎥⎦⎤⎜
⎝⎛ ππ∈
23,s , y b toma un valor muy cercano a
cero y disminuye hasta menos uno, por lo tanto para el cocienteb1 , los valores son
negativos y a mayor valor de s, la función cosecante aumenta hasta llegar a – 1.
Cuarto cuadrante: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ∈ 2
23 ,s y b toma un valor muy cercano a -1 aumentando hasta
cero, por lo tanto para el cocienteb1 , los valores son negativos y a mayor valor de s
la cosecante disminuye.
e acuerdo con la gráfica puede establecerse que el dominio de la función es:
1
2
-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
-4
-3
-2
-1
3
4
x
y
y=csc(x)
y=sen(x)
D
{ }Zxx ∈π=− kk , , y que el rango esℜ ( ] [ )∞−−∞ . A fun
;; 11 ∪
ción l igual que la ( )xy sen= para esta nueva función se cumple que ( ) ( )xx csccsc −=− , por es también una funcl ue ión impar.
o que se dice q
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 332
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
17.12 FUNCIÓN y = sec ( x )
j ( )
Secante: Co s sobre la circunferencia unitaria y el valor recí ón coordenada para el mismo arco. Se simboliza:
rrespondencia entre un arco proco de la abscisa de la funci
a , si s 1=sec ( ) ( )bas ,coor = con 0≠a
La gráfica de la función ( )xy sec= se obtiene haciendo uso del val
alesor de a en la función
oordenada, ubicando las asíntotas en los arcos para los cu a = 0:
c
Zkk2
0 ∈π+π=⇔= ,sa
ediante un procedimiento similar al que se ha llevado a cabo para graficar las funciones nteriores, se llega a la siguiente gráfica.
Ma
servarse que el dominio de la función es Puede ob { }π+π=−ℜ kxx2 , mientras que el rango es
( ] [ )∞−∞ ;; 11 ∪ . −
Si se analiza el comportamiento de l cia que para a función, se apre ( )xy sec= hay una imetría axial con respecto al eje y, lo que indica que esta función es par y cumple con:
s
( ) ( )xsec
al como sucedió con las funciones
xsec =−
T ( )xy sen= e ( )xy cos= , esta nueva función y la función
( )xy = cofunciones ya que la gráfica de la función secante es un corrimiento horizontal de csc
2π a la
(
izquierda de la función cosecante, lo que simboliza como:
) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=
2xcsc πxsec
-2π -3π/2 -π -π/2
1
π/2 π 3π/2 2π
-4
-3
-2
-1
2
3
4
y=cos(x)
y=sec(x)y
x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 333
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Completar la ente tabla según la función sea creciente o decreciente, s intervalos da nar la variación del valor de la funció
1.
sigui en lodos y determi n:
Intervalo Función Compor miento ta Desde Hasta
θsen θcos θtan θsec θcsc
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
20,
θcot θsen θcos θtan θsec θcsc
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ ,
2
θcot θsen θcos θtan θsec θcsc
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ
23,
θcot θsen θcos θtan θsec θcsc
⎟⎠⎞ππ 2
2,⎜
⎝⎛ 3
θcot
etar la siguiente tabla según la función sea par o impar, y encontrar el rango
Complde la función y los valores máximos y mínimos para cada un
a de ellas.
2. Función Par / Impar Rango Período Valor máximo Valor mínimo
θsen θcos θtan θsec θcsc θcot
3. Encontrar el valor positivo más pequeño de s, que cumple con 23−=ssen .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 334
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Encontrar el valor de:
4. ⎟⎠
⎜⎝
−−3
1 tan ⎞⎛ π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+
341 tan
5. ⎟⎠⎞⎜⎛ π⎟⎞⎜⎛ ⎟⎞⎜⎛ π−⎟⎞⎜⎛ π
3ttancsc 6. ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ 46
coπ
π+⎟⎠⎞π+π
222
7
cos
tancossen
⎜⎝⎛ −
7.3434
sencoscos 8. ππ−ππsen
2 3
41 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π− tan
ir
rt Dibujar a pa de c yos x ó de sen x determine el rango:
xy cos1−= 3
10. ⎟⎠⎞−=
421 3 xy cos ⎜
⎝⎛ π 11. ( ) 22 +π+x 9. 2 5=y cos
12. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+
2 2 xcos 13. =y ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=
42
21 xy cos 14. xy cos−= 2
15. xy cos2−= 16. ⎟⎠2 ⎞⎜
⎝⎛ π−+= 22 xy sen
ud, períod se, y dibujar:
Indicar amplit o, desfa
17. ⎟⎞⎠
⎜⎝⎛ π−=
23 xy sen 18. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=
4 xy cos 19. ( )xy 3sen= 20. ( )π+−= xy 3 2 sen
21. ( )π+= 82 2 xy cos 22. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−=
53 xy sen 23. ( )xy π= 6 sen 24. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π= xy
2
41 cos
mplitud, el d ejes x y y de las siguientes funcione
s: Determinar el período, la a esfase, el punto de corte con los
25. ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝
=2
y ⎤⎡ ⎟⎞⎜⎛ − 12 xsen 26. ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ 44⎤⎡ ⎟⎞⎜⎛+= xy 1 41 cos 27. ( )⎤⎡ π−+= xy 1 2 cos 28. ⎥⎦⎢⎣2
(xy sen1= )2
29. 32
2 −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= xy cos 30. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
223 xy sen = 31. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=
42 5 xy cos 32. ( )xy 32 sen=
. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
4 xsen 34. π=y ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
23 2 xy cos 35. π ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=
33 xy sen 36π . ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=
232 xy sen
. 38.
33
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=
321
21 xy cos 39. ( )π+= xy 3 cos 37 ( )
211 −⎤
⎢⎣⎡ π−= xy cos
Mostrar gráficamente
.
2 ⎥⎦
40 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+−π
2 xcos 41. =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
2xx cossen ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=⎟
⎠⎞π
2 xxx sensencos
icas:
42. Período = π ; Amplitud =
⎜⎝⎛ −−=
2
Escribir una ecuación de una sinusoide que tenga las siguientes característ
21 ; Desfase = π.
Encontrar todos los cortes con el eje x de las siguientes funciones: 43. ( )
21−= xxg sen 44. ( ) ( )2+= xxr sen
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 335
CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR
Encontrar el corte con el eje y de las s es funciones: iguient 45. ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+=
43 xx senf 46. ( )
2)cos(g π−
=xx
pondiente a las siguientes gráficas:
Definir la función trigonométrica corres 47.
π/6 π/3 π/2 2π/3
-1
48.
x
1 y
x
-π/3 -π/6 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 -0.5
0.5y
49.
1
1 2
-1
x
y
50.
x -0.5
0.5
1 2
1.0 y
justificar cada respuesta:
2.
Analizar las siguientes preguntas y 51. Cuáles funciones trigonométrica s?s son cofuncione5 Para qu x en el ciclo fundamental, la función é valores de ( )
n ( )xy sen= ?
53. Cuál es el dominio y el período de la función tangente?
Realizar los siguientes ejercicios: 54. Esbozar la gráfica de la función
xy cos= es mayor que la funció
( )π+π−= 2 3 xy cos . 55. Sea ( ) xsenxxf cos= . Es ésta una función par, impar o ninguna de ellas?
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 336
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“La experiencia del mundo no consiste en el número de cosas que se han visto, sino en el número de cosas sobre las que se ha reflexionado con fruto” Leibniz
CAPÍTULO XVIII
EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
18.1 INTRODUCCIÓN 18.2 RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE 18.3 RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES 18.4 FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES
Y ARCOS MEDIOS 18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
CAPÍTULO XVIII
EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
18.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de este capítulo será el estudio de las relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas que involucran funciones circulares en una y dos variables.
j
Ecuación: Una relación de igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia.
Identidad: Cuando la relación de igualdad entre dos expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia.
Si ( ) ( ) ( ) ( ) bsasbas ==⇒= sencos,coor y
Identidad Pitagórica: 122 =+ xx sencos
18.2 RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE En el Capítulo XVII, se definieron seis funciones circulares a partir de la abscisa y la ordenada de un punto sobre la circunferencia unitaria, siendo seno y coseno las funciones básicas, puesto que las otras cuatro pueden definirse a partir de ellas así:
( ) ( )( ) ( ) 0≠== xxx
abx cos,
cossentan
( ) ( )( ) ( ) 0≠== xxx
bax sen,
sencoscot
( ) ( ) ( ) 011 ≠== xxb
x sen,sen
csc
( ) ( ) ( ) 011 ≠== xxa
x cos,cos
sec
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 338
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
De la identidad pitagórica básica se deducen otras dos identidades haciendo uso de estas nuevas definiciones para las funciones circulares, como se muestra a continuación:
( )xxtanxxx
xxxxx 222
22
2
2
222 10si11 seccos
coscos
sen
cos
cossencos =+⇔≠=+⇔=+
( )xxxxx
xxxxx 222
22
2
2
222 10sen si11 csccot
sensen
sen
sen
cossencos =+⇔≠=+⇔=+
Con estas dos identidades, se completan las identidades trigonométricas básicas en una variable necesarias para la verificación de identidades, la solución de ecuaciones y la transformación a expresiones trigonométricas equivalentes útiles para el estudio de niveles de cálculo más avanzados. Ejemplo 1 Verificar la siguiente identidad: ( ) ( ) ( )
( )ααα
=αcsc
cottansen
Antes de pretender verificar una identidad, deben establecerse los valores para los
cuales no está definida. En este caso, la identidad no es válida para α si: ( ) ( ) π=α=α⇔=απ=απ=α⇔=α ó00
23ó
20 sencsc y
Por lo tanto, la identidad dada es válida para todo Z∈π≠α k2
k , .
Para comprobar la identidad, se parte de uno de sus dos lados, y utilizando las
identidades básicas y las herramientas del álgebra puede llegarse a expresiones equivalentes hasta encontrar la expresión que coincida con el lado no trabajado. Para este caso se tiene:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )α=
α
=
α
αα
=α
αα⇒
ααα sen
sensen
tantan
csccottan
csccottan
11
1
1
Ejemplo 2 Comprobar la siguiente identidad: ( )( ) ( )( ) xxx 211 sencoscos =+− ( )
Dado que tanto el seno como el coseno son funciones definidas para todos los reales, no hay ninguna restricción, lo que significa que la identidad es válida para todos los Reales.
Identificando el producto notable en el lado izquierdo de la identidad, se tiene:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )xxxx 22111 sencoscoscos =−=+−
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 339
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
Ejemplo 3
Para qué valores de x en el intervalo [ ]π20; se cumple que: ( ) ( )xx sencos =− 21
Para hallar la solución, primero es necesario estudiar las restricciones para los valores de x a que se tiene lugar por la presencia de la raíz cuadrada:
( ) ( )( ) ( )( ) 01101 2 ≥+−⇔≥− xxx coscoscos
( ) ( ) ( ) ( ) 01010101 ≤+≤−≥+≥−⇒ xyxóxyx coscoscoscos
( ) ( ) ℜ=∅∅ℜℜ⇒ ∩∪∩ Lo que lleva a concluir que por esta primera razón, no existe ningún tipo de restricción para x.
En cuanto a la verificación de la identidad:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥===−
0si
0si1 22
xx
xxxxx
sen,sen
sen,sensensencos
En consecuencia, ( ) [ ]π∈⇔≥ ;sen 00 xx .
De acuerdo con lo anterior, se tiene que en el intervalo [ ]π20; , ( ) ( )xx sencos =− 21 es una
identidad para [ π∈ ;0x ] Ejercicios 18.1
Demostrar las siguientes identidades:
1. 11
+−=
+−
AA
AAAA
tantan
cscseccscsec 2. xx
xxx cotsec
sencostan +=+ 3. 121 2
2
2−=+ x
xx csc
sencos
4. xxx 244 21 sensencos −=− 5. xx
xx
tantan
cotcot
+−=
+−
11
11 6. x
xxx csc
tansensec =+
+1
7. xxx 244 21 secsectan −=−8. sec
xxxx 2424 tantansec +=− 9. ( )
tttt
sensentansec
−+=+
112
10. ( ) 1322 =+ xx cossen 11. tt
tt
cotcsccos
sen+=
−1 12. x
xxx sec
coscotcsc =+
+1
Mostrar que l as siguientes ecuaciones no son identidades. Encontrar un
3. 12 22 =−+ xxx coscossen 14. 022 =− xx tantan 15.
contraejemplo. 1
BBBB cotcoscot − sen
BBBB coscotcotcos +=
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 340
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
18.3 RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES En esta sección se trabajará con funciones circulares que involucran dos variables, entendiéndose por esto la suma o la diferencia de dos longitudes de arco. Se empezará este análisis con la función coseno para la suma de dos arcos. Con ayuda de una construcción geométrica, se visualizará la suma de dos arcos consecutivos s1 y s2 cuyos puntos terminales tienen como coordenadas respectivamente
y ( ) ( )( 111 ssP sen,cos= )( ) ( )( )21212 ssssP ++= sen,cos .
s3= - s2
s2
s1 x
y
P3
P2 P1
P0 Con un arco auxiliar s3 = –s2 con punto inicial en y punto terminal en ( )0,10 =P
( ) ( )( ) ( ) ( )( )22223 s,ss,sP sencossencos −=−−=
puede establecerse, por la fórmula de distancia, que:
( ) ( 1320 PPdPPd ,, = ) , lo que es equivalente a decir que:
( ) ( )( ) ( )( )2210221120 ssssPPd +−++−= sencos,
( ) ( ) ( ) ( )21212
22120 21 ssssssPPd +++++−= sencoscos,
)
( )
12
1222
12
1222 22 ssssssss sensensensencoscoscoscos ++++−=
o Identidad Pitagórica.
( ) ( 2120 22 ssPPd +−= cos,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2122
1213 ssssPPd sensencoscos, −−+−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )121213 222 ssssPPd sensencoscos, +−= Por lo que:
( )2122 ss +− cos = ( ) ( ) ( ) ( )1212 222 ssss sensencoscos +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos −=+ El valor de la función coseno para la diferencia de dos arcos, puede encontrarse reemplazando el valor de s1 por –s1en la expresión anterior, así:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )12121212 ssssssss −−=−+=− sensencoscoscoscos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos +=−
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 341
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
Ejemplo 4 Encontrar una expresión para ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π s
2cos
( ) ( ) ( ) ( )sssss sensensensencoscoscos =+=π+π=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −π 0
222
Ejemplo 5 Encontrar una expresión equivalente para ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π s
2sen
Por el ejemplo anterior, ( )ss sencos =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π
2.
ssss coscoscossen =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +π−π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π−π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π
22222
Esta identidad es útil para encontrar el valor de la función seno para la suma de dos arcos:
12121212 22ssssssss sencoscossensensencoscos +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −π
El seno de la diferencia de dos arcos puede encontrarse haciendo nuevamente
( )1212 ssss −−=+ :
( ) ( )( ) 12121212 ssssssss sencoscossensensen −=−−=+ Las seis identidades encontradas son utilizadas con mucha frecuencia para encontrar el valor de las funciones circulares para arcos que sin ser especiales pueden expresarse como la suma o la diferencia de otros arcos cuyo valor en la función sí es conocido. Ejemplo 6
Hallar 12πcos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−π=π
22
23
22
21
43434312sensencoscoscoscos
462
46
42
12+=+=πcos
( ) ( ) ( )1212 ssss coscoscos ±=±
( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sensencoscoscos ∓=±
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 342
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 7 Hallar el valor de ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
1213sen
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−π=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
34
4434
434
1213 cossencossensensen
4
2642
46
21
22
22
23 +−=+−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( ) ( ) ( )1212 ssss sensensen ±=±
( ) ( ) ( ) ( ) ( )121212 ssssss sencoscossensen ±=±
Ejemplo 8 Encontrar una expresión equivalente para ( )21 ss +tan
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2121
1221
21
2121 ssss
ssssssssss
sensencoscoscossencossen
cossen
tan−+
=++
=+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )21
21
21
21
2
2
1
1
21
2121
21
1221
11
11
ssss
ssssss
ss
ssssss
ssssss
tantantantan
coscossensencossen
cossen
coscossensencoscos
coscoscossencossen
−+
=−
+=
−
+
=
Ejemplo 9 Encontrar una expresión equivalente para ( )21 ss −tan
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )21
21
21
212121 11 ss
ssss
sssssstantantantan
tantantantan
tantan+
−=
−−−+
=−+=−
o La tangente es una función impar .
Ejercicios 18.2
Probar las siguientes identidades:
1. BABA
BABABABA
tantantantan
sensencoscossencoscossen
−+=
−+
1 2. vx
vxvxxv
cotcotcotcot
tantantantan
+−=
+−
11
3. ( )xxx 488 cossensen =+ 1 42−
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 343
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
iones. Justificar la respuesta:
)
Decir si son falsas o s
verdaderas las siguientes expre
4. Si x – y = π, entonces: ( ( ) 42 =−+ yx sensen 2− yx coscos
. 5 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π+⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
+π
+ xxx3
22 222 coscoscos es independiente del valor de x.
rar el valor de
⎠⎝ 3
Encont
6. ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 12
7. ⎞⎛ π7
sen ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 12
tan ⎞⎛ π7
Encontrar el valor de las funciones seno, coseno y tangente, cuando el arco es:
. 1s−π 9. 12 s−π 10. 1s+π
8
18.4 FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES Y ARCOS MEDIOS
En esta sección se estudiarán identidades en las que se presenta como única variable un
rco, para cuyo doble valor o para cuyo valor medio se hallarán las funciones circulares. Se e éstas son el resultado de aplicar las identidades estudiadas en la sección
nterior, en donde se involucraban dos variables.
xx cossen22 =+=+=
( ) ( ) ( )
aobservará qua
( )x2sen
( ) ( ) xxxxxxx sencoscossensensen( )x2cos
( )xxxxx 222 sencoscoscos −=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) xxxxxxxx 22222 2112 sensensensencoscoscos −=−−=−=+=
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 12 −xs 21 222 =−−==+= xxxx cocoscoscoscos
( ) ( xx sensen 22 =
2 2− xxx sencos
) ( ) ( ) xxx += sensen 2
( ) ( )xx coscos 22 = ( ) ( )xxx += coscos 2
⎟⎟⎠
⎞x
( ) ( )xx 221 sen−=
⎜⎜⎝
⎛
21
sen
2cos
o x es la mitad de 2x.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 344
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La identidad podría expresarse como:
( ) ( ) ( )22222
2 22 sssss cossen
cossensen
−±=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇔
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇔⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
111scos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛x
21
cos
( ) ( ) ( )2222
12
2 22 =⇔=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⇔−⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
=s coscoscos 11 ++⎞⎛⎞⎛ sssss coscoscos
( )( )
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
= ss 22
sensen
⎞⎛s 1sen ( )( ) sss
ss
scoscossen
sensensen
21
22==
Ejercicios 18.3
Encontrar una expresión equivalente pa
tan
ra:
1. ( )x2 2. ⎟⎜⎝ 2
verdaderas o fals siguien s: Justificar la respuesta.
3.
⎟⎞
⎜⎛
x1
tan ⎠
Decir si son as las tes expresione
aa cossenaa cossen 33
− es un número real a∀ . 4. ( ) xxx seccsccsc21
2 =
5. an xxx 43 ttantan =+ 6. AA
AA
cossen
cossen
=55
22α
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α sensen 8. x
x
xcos
sen
sen2
6
62
21
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π++
7.
18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
l propósito de esta sección es encontrar los vE alores de la variable para los cuales se
nerales, para resolver una ecuación trigonométrica se utilizan las das en la sección anterior.
cumple una relación de igualdad que involucra funciones circulares. Es necesario tener en cuenta que la solución de una ecuación está sujeta al intervalo en el cual se presenta la
cuación, dada la periodicidad de las funciones. e En términos geherramientas del álgebra y las identidades trigo étrica
nom s estudia
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 345
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
l conjunto solución en el intervalo
Ejemplo 10 Encontrar e [ ]π20 ; de 012 =+xsen . Esta ecuación es e con el eje x de la función 12 += xy sen scan los valores de x tales que:
quivalente a decir: “encontrar los puntos de corte ”.De la misma forma como en el Capítulo 17,: se bu
⎭⎩
⎬⎫
⎨⎧ ππ
∈⇔−=⇔=+6
116
721
012 ,sensen xxx
Una fo nte que sirve para simbolizar los valores de x cu plen ccondición dada es:
rma equivale que m on la
⎟⎜⎛
−⎜⎜⎝
⎛−−= −
21 1 arcsensen xx ⎟
⎞⎟⎟⎞ 11
⎠⎝⎠ 22⎜=⇔=⇔ senx
xx
sen11 =−
xx arcsensen =−1
sen
( )xx
cscsen
=1
Ejemplo 11
n 2
estricciones para : puede tomar cualquier valor, ya que tanto el coseno y el seno
02320322032 222 =−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx sensensensensencos
E contrar el conjunto solución de 032 =+ xx sencos .
R x xestán definidos para todos los reales.
( )( )
221
02
4212=−=⇔=
−+xóx
xxsensen
sensen
o la nueva notación, puede escribirse como: Usand
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈π+π
=π+π
=∈⇒⎟⎟⎠
⎞⎛Zkkxókxxx ,2
611
26
711
=xsen
El conjunto solución es entonces:
.S. =
⎜⎜⎝
−=⇔−= xx arcsensen22
∅=⇔ C.S.4
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈π+π
=π+π
=∈ Zkkxkxxx ,26
112
67
C ó
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 346
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejercicios 18.4
Encontrar el conj e las siguientes ecuaciones:
0122 =−−+ xxx sensensen , para
unto solución d 1. 23 π<≤ 20 x
2.
α−=α sensen 12 2 , para π<α≤ 20 3. 242 −α=α−α⋅α sencsccscsen , para π<α≤ 20 4. 0222232223 2 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +αα⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +α sencossesen
Representar en el círculo trigonométrico las soluciones entre 0 y 2π
6. 033 =
2− αn
5. 032 =−− ttt cossencos +⋅ xxx sensencos
8. 12 =θ−θ cossen 12 2 =+ xx coscos 7.
CAPITULACIÓN EJERCICIOS DE RE
tidades:
1.
n Verificar las siguientes ide
xxxx tansensentan −
xxxx sentantansen += 2. 1
64=⎟
⎠⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ xx cottan
3.
2332⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ xx cscsen
xxxx
cossencos − 33
4. x2cos
5.
xxsen
sencos+=
−1 xxx 266 31 sencossen −=+
xxx cossentan
xxx coscos−
=−
+2 1
6. sen 2
( ) ( ) 144 =+− xxxx cotcsccotcsc
7. ttt
csccossen
21
=+
+ tt sencos1 + 8. xx sencos
=+1
xx coscos −− 11
9.xx sensen ++ 11
xx cossen=
−1 10. xx
xx
xcsc
sencos
cossen
21
1=
++
+
. ( )xxx 4881 42 cossensen =+− 12. xxxx 22222 sencotsencos −⋅=
.
11
vxvx cotcottantan +=
+ 11 14.
vxxv cotcottantan −−
BABA
BABABAB
tantantantan
sensencoscossencos
−
+=
−
+
1
) 222 baxbx +=+ cossen
13A cossen
15. ( ) (2 axbxa +− sencos
16. ( )( ) ( )( ) α=−αα++α+α cotcossencoscoscsc 112- 224
αα cos
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 347
CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
Simplificar:
17. 12 co 4
2 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
πxs
Falso. Justifique
entonces: CBA tantantan
Diga si es Verdadero o su respuesta. 18. Si π=++ CBA , CBA tantantan=++ 19. Si yx coscos = , entonces, x = y. 20. c
1= 22.
122 =+ tt tanse
21. ( )2+ xx cossen 2=α+α cossen para cualquier ángulo α .
Resolver la ecuación:
2 − 24. ( )
23. xx 22 cossen = ( ) xxx 2421222 cossensen =+−+ .
5. 022 =−xx sencos 2 xx sencos 26. 0=+−−2 xx cot xx csctansec
x tantan 32 = 28. 27. x ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+=⎟
⎠⎜⎜⎝
⎛ π−
2123 xx tantan ⎟
⎞
29. 1−=xn se
Encontrar el valor de:
30. ( )
5225 x− si ux sen5= 31.
92 −x
x si ux sec3= 32. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
212n
sen si n ∈ Z
Encontrar los factores que se obtienen al resolver la ecuación: 33. 16 2 =θ−θ sensen .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 348
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“La deseperanza está fundada en lo que sabemos, que es nada, y la esperanza sobre lo que ignoramos, que es todo” Maeterinck
CAPÍTULO XIX
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
19.1 INTRODUCCIÓN 19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS 19.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CONTEXTO
DE UN SISTEMA DE COORDENADAS 19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS 19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CAPÍTULO XIX
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
19.1 INTRODUCCIÓN
j
Ángulo es la región comprendida entre dos semirectas que tienen el mismo punto inicial llamado vértice.
Un ángulo se identifica:
Utilizando una letra del alfabeto griego. Mediante tres puntos.
Un ángulo es positivo si el giro se realiza en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Un ángulo es negativo si el giro se realiza en sentido de las manecillas
del reloj.
La unidad de medida de un ángulo puede expresarse en grados sexagesimales o en radianes.
• Un grado es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de longitud
3601 de la circunferencia.
• Un radián es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de circunferencia igual al radio de ella.
R
P
Q
α
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 350
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
En una circunferencia unitaria:
Si s = 2π y θ = 360o :
π=
θ
2360
so
j
rs
=θ , la medida en radianes de un ángulo θ es un número real que no
tiene unidades y resulta de la razón entre s y r, que debe estar en la misma unidad de medida.
θ1
Ps
19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como se vio en los capítulos anteriores, las funciones circulares se definen a partir de las medidas de los arcos sobre la circunferencia unitaria. Las razones trigonométricas surgen por la relación entre las medidas de los lados y de los ángulos en un triángulo. rectángulo. En el presente capítulo se estudiarán las razones trigonométricas a partir de su relación con las funciones circulares y su aplicación en situaciones que involucran triángulos. Teniendo en cuenta que existe una relación entre la longitud del arco sobre la circunferencia unitaria y el ángulo central, y que a partir de ello se definieron relaciones entre las coordenadas de su punto terminal, es posible establecer una relación entre las funciones y las razones trigonométricas encontrando la semejanza que existe entre las funciones circulares y los lados de un triángulo, como se explica a continuación. Representando en un plano cartesiano una circunferencia de radio 1 y una de radio r, centradas en el origen, se establece que:
El punto B, que se ubica sobre la circunferencia unitaria, tiene coordenadas
y punto Q, ubicado sobre la circunferencia de radio r, tiene coordenadas
( ) ( ) ( )( )1111 ssensyxB ,cos, ==
( ) ( ) ( )( )2222 srsryxQ sen,cos, == .
x
O PA
θ
B
s1
s2
Q
y
1
r
El ángulo central θ para el arco con punto final B sobre la circunferencia unitaria es el mismo que para el arco con punto final Q sobre la circunferencia de radio r
Los triángulos OBA y OQP Por semejanza de triángulos se tiene:
rxx 21
1=
ryy 21
1=
2
2
1
1xy
xy
=
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 351
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
De acuerdo con las relaciones establecidas, pueden definirse las razones trigonométricas en circunferencias de radio r, teniendo como base la circunferencia unitaria y el valor del radio r. Vale decir que dado que r representa una distancia, su valor es positivo, por lo que la razón no sufre otra modificación diferente a la causada por el nuevo radio.
Circunferencia unitaria Circunferencia de radio r
( ) yy
==θ1
sen ( )ry
=θsen
( ) xx
==θ1
cos ( )rx
=θcos
( ) 0≠=θ xxy
,tan ( ) 0≠==θ xxy
rxry
tan
( ) 0≠=θ yyx
,cot ( ) 0≠==θ yyx
ryrx
cot
( ) 01
≠=θ xx
,sec ( ) 0≠=θ xxr
sec
( ) 01
≠=θ yy
,csc ( ) 0≠=θ yyr
csc
θ α
Para establecer las relaciones trigonométricas para ángulos mayores a 90 o puede recurrirse al ángulo de referencia de la misma forma
como se trabajaron los arcos mayores a 2π
=−
en la sección 18.8. El
ángulo de referencia para un ángulo θ > 90 o es el ángulo positivo α menor que 90 o formado por el lado final del ángulo y el eje x. El valor de las razones para θ está determinado por el valor de las razones del ángulo de referencia y por el cuadrante donde se ubica el lado terminal del ángulo, ya que de su posición dependerá el signo de la relación analizada. Ejemplo 1 Encontrar el valor del coseno para un ángulo de 120 o.
120 o>90 o
El ángulo de referencia es igual a: 180 ooo 60120
Dado que ( )21
60 =ocos , y que el lado final del ángulo de 120 o se ubica en el segundo
cuadrante, entonces ( )21
120 −=ocos .
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 352
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 2 Encontrar las seis razones trigonométricas para el ángulo de 315o.
θ
α
Ángulo de referencia: ooo 45315360 =−
( ) ( )2
145315 == oo coscos
( ) ( )2
145315 −=−= oo sensen
( ) ( ) 145315 −=−= oo tantan
( ) ( ) ( ) 21
45
1
315
1315
2
1−=−
−==
ooo
sensencsc
( ) ( ) ( ) 21
45
1
315
1315
2
1====
ooo
coscossec
( ) ( ) ( ) 145
1
315
1315 −=
−==
ooo
tantancot
Ejemplo 3
θ
α
Encontrar el valor del coseno de ( )0240−=θ
Ángulo de referencia:
( ) ( )
21
60240
=
−=− coscos
Ejercicios 19.1
Relacionar con el ángulo de referencia: 1. ( )o144 cos 2. ( )o126 cos 3. ( )o210 sen 4. ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
811
sen 5. ( )o120 cos
6. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
1012
sen 7. ( )o288 sen 8. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
187
cos 9. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π
54
tan 10. ( )o126tan
Explicar: 11. Existe un número real tal que 7 9=tsen
tre las seis razones trigonométricas si se tiene que:
?
Encuen
12. 2
−=x 13. 31
cos =xcsc 41
=xtan 14.
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 353
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
da una de s:
15.
Completar ca las siguientes expresione
( )26
== cossen1π 16. ( )
22
4==
πsencos 17. ( ) ( )sensen =θ+π
18. 19. ( ) ( )coscos =θ− ( )cossen =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ θ+π
2 20. ( ) 0
43
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ πcossen
1. ( ) 03
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+ coscos 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICA19.3 S EN EL CONTEXTO DE UN
ial con el eje x. Un ángulo así dispuesto, se ónica.
l segmento OQ y el segmento
el alor de las coordenadas del punto P.
la hipotenusa, la cual puede i te la aplicación del Teorema de Pitágoras.
razones par θ si un punto P, ubicado sobre su lado terminal tiene
SISTEMA DE COORDENADAS Cuando se busca representar un ángulo en un sistema cartesiano, se hace coincidir su értice con el origen del sistema y su lado inicv
dice que se encuentra en posición can
Si el ángulo θ está en su posición canónica, su lado nicial corresponde ai
OP es su lado final. Al descomponer el punto P en sus coordenadas, puede construirse un triángulo rectángulo de
ipotenusa r y cuyos catetos tienen como longitud hv
Esta situación permite definir las razones trigonométricas para un ángulo θ como la razón
ntre las longitudes de los lados adyacente y opuesto, yecalcularse med an Ejemplo 4 Encontrar las seis a coordenadas ( )32 ,
( )32 ⇒=P , 32 == yx
Por lo tanto: 139 = 4 +=r
( )13
=θsen3 ( )
3=θcsc 13
( )13
2=θcos ( )
213
=θsec
( )23
=θtan ( )32
=θcot
x Q O
θ r y
P=(x,y)
-1 1 2 3 -1
1 2 3 (2,3)
θ x
y
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 354
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Ejemplo 5 Si el lado terminal del á
x4−= , encontrar las seisngulo θ se encuentra en el segundo cuadrante, sobre la recta
y razones t
θ está en el cuadrante II, la abscisa de P es egativa, y su ordenada debe satisfacer la condición:
rigonométricas para θ . Se ubica un punto P sobre el lado terminal de θ. Dado que n
xy 4−= . Sea x = –1:
( )17116 =+=⇒ r
.
4141Si =⇒−−=⇒−= yyx
El valor de las seis razones será:
( ) ( )17
4=α=θ sensen ( ) ( )
417
=α=θ csccsc
( ) ( )17
1−=α−=θ coscos ( ) ( ) 17sec −=α−=θ sec
) 4−=α ( ) ( )41
−=α−=θ cotcot ( ) (−=θ tantan
Ejemplo 6 Si
32=θcos , encontrar θsen y θtan .
que el lado terminal del ángulo está en el
cuad te I o en el IV. El coseno de θ es positivo, lo que indica
ran
2=x y 5233 222 ±=⇒+=⇒= yyr
Si el lado terminal cue n el
ntra e cuadrante I, el valor del seno del ángulo es de θ se en
positivo. Es decir, 35=θsen y
25=θtan .
Si el lado terminal de θ se encuentra en el cuadrante IV, el valor del seno del s
el seno y la tangente del ángulo serán respectivamente:
ángulo e
negativo, y35−= y θsen
25−=θtan .
ncontrar las seis razones trigonométricas de un ángulo
Ejemplo 7 E θ , si su lado terminal está en el uadrante III, y sobre una recta paralela a la recta 0272c =+− xy .
θ α
P
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 355
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si el lado terminal de θ está sobre una recta paralela a , un punto P sobre su lado terminal debe pertenecer a la recta que pasa por el origen y cuya pendiente es
0272 =+− xy
27 . Es decir, la ecuación
de la recta que contiene el lado terminal de θ es xy
27= .
xy27
=
α
θ
Por estar en el cuadrante III, la abscisa y la ordenada de P deben ser negativas. Cuando x = – 2 en xy
27= ,
el valor de la ordenada corresponde a 7−=y . Con estas coordenadas, el valor de r será: 53494 =+=r .
( ) ( )537−=α−=θ sensen ( ) ( )
753−=α=θ csccsc
( ) ( )532−=α−=θ coscos ( ) ( )
253−=α−=θ secsec
( ) ( )27=α=θ tantan ( ) ( )
72=α=θ cotcot
Ejercicios 19.2
Encontrar el cuadrante en que se encuentra el ángulo si se cumplen las condiciones dadas:
1. 0y0 >β<β costan 2. y 00 <β>β ta
4. nsec
0>
3. 0y0 >β<β secsen φsen 0 y <φcot
s trigonométricas si se sabe que el punto P esta sobre el lado terminal del áng
.
Encontrar las seis razoneulo.
( )23 −,P 6. ( )17,P 7. ( )33,−P 8. ( )815 −− ,P
Encontrar las seis razones trigonométricas si el lado terminal cumple con las
Esta so
5
condiciones dada
s:
9. bre la recta xy4
= 10. Es paralela a 3 la recta 152 =−− yx
rar el
e la siguiente expresión: Encont valor d 11.
αααα
cossencossen
+− sí
52=αtan y α esta en el tercer cuadrante.
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19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
j
Hay dos tipos de triángulos rectángulos especiales: Isósceles: Tiene catetos de igual longitud y sus ángulos agudos
son de 45º.
Si la longitud de sus catetos es l, su hipotenusa es l
El triángulo rectángulo de ángulos 30º, 60º, 90º que resulta de dividir un triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales.
Si la longitud de la hipotenusa es l, la longitud del cateto opuesto
al ángulo de 60º es l23 , y la del cateto adyacente es
2l
Hasta el momento se ha construido la teoría de la trigonometría a partir de un sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, una vez se establecen las razones trigonométricas para cualquier tipo de triángulo, es posible analizar situaciones cotidianas que involucran distancias y alturas desconocidas o ángulos entre las proyecciones de un punto sobre ejes imaginarios. Ejemplo 8 Una escalera de 3,5m.de largo está recostada contra un muro vertical, con su extremo superior en el muro a una distancia de 2,5m. del suelo. Una señora de 1,80m. de estatura, camina por la acera donde está la escalera, manteniendo una distancia de 1,5m. del muro. ¿Podrá pasar por debajo de la escalera sin golpearse con ésta?
3,5m.
α
1,5m.
1,8m
d
2,5m.
El ángulo α es fijo, por lo tanto:
75
5352 ==α,,sen
Como este valor no corresponde a uno conocido, se recurre a la calculadora para encontrar que el valor del ángulo α = 45.58o.
La distancia entre el muro y el pie de la escalera será:
.,,,
tan,,tan m452
021m52m52m52 ==
α=⇒=α d
d
La distancia del pie de a escalera al sitio por donde pasa la señora será:
95051m45251 ,,.,, =−=−d
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 357
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
El espacio entre la escalera y el piso por donde pasa la señora: ( )( ) .,,*,.tan
.tan m97095002151
51==−α=⇒
−=α dhd
h
Como la señora mide 1,80m., se concluye que no puede pasar por una altura de 0,97m.
Ejemplo 9 Para definir un partido de fútbol en la eliminatoria mundialista, se dio lugar al cobro de tiros desde el punto de pena máxima. En la quinta oportunidad para el equipo local, y estando la serie empatada, el cobrador disparó, enviando el balón justo al palo horizontal del arco. Cómo puede expresarse la dirección que llevaba el balón en el momento del disparo? Dado que el balón tomó una trayectoria desde el pie del jugador y hacia el arco que se encuentra al frente, y desde el piso tomando altura hasta el horizontal, la situación se traduce en una elevación del objeto, el cual puede esquematizarse como:
θ
Al ángulo θ se le conoce como ángulo de elevación. Si el locutor permanece en la cabina de transmisión atento a la jugada para narrar con emoción el resultado, debe fijar su mirada con un ángulo fijo. A éste ángulo α formado por la línea de la visual con respecto al horizontal, se le conoce con el nombre de ángulo de depresión.
α
Ejemplo 10 Desde la ventana de su apartamento, a 80m. de altura desde el piso, una madre observa a su hijo jugar en el parque. Unos minutos más tarde, se asoma y lo ve caminando hacia el edificio. En la primera ocasión, el ángulo de observación fue de 30º, y en la segunda, fue de 60º. Qué distancia ha recorrido el niño durante ese tiempo?
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 358
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
La primera vez que la mamá observa el niño, éste se encuentra a una distancia d del edificio y por ángulos alternos internos, se deduce que el ángulo que involucra la distancia d con el edificio es de 30º. Por lo tanto, se tiene:
x
d
60o
30o
AD d1
C
B
80m
.tan
tan m3808030
808030
31
=⇒=⇒=⇒= dddd o
o
La segunda vez que la mamá observa al niño, el ángulo es de 60º. Por lo tanto:
.tan
tan m3
3803
8060
808060 =⇒=⇒=⇒= xdxx o
o
La distancia recorrida es:
.m3
31603
380380 111 =⇒−=⇒−= ddxdd Ejemplo 11 Un hombre parado en la azotea de un edificio de 120m. de altura, observa el sol con un ángulo de 45º. Cuál será la sombra que proyecta el edificio?
El ángulo A es de 45º.
La longitud de la sombra x es:
1120
45
12012045 =⇒=⇒= xxx o
o
tantan
m120=x Ejercicios 19.3
1.
37°
2.
Resolver los siguientes problemas, aproximar las respuestas a las décimas:
Una escalera de 25 metros de largo está reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de con el suelo, ¿A qué altura del edificio llega la escalera?
Desde lo alto de una montaña de 3.000 metros de altura se observan dos pueblos (A y B), situados en el llano, con ángulos de depresión de 60º y 45º respectivamente. A qué distancia está un pueblo de otro? (Los pueblos están alineados con el pie de la montaña).
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 359
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
3. Un globo de aire caliente se mantiene a una altura de 800 metros y pasa directamente por encima de un observador. Después de dos minutos, el observador ve el globo con un ángulo de elevación de 70°. Calcular la velocidad del globo en km/h, considerando despreciable la altura del observador.
4. Una rampa de 30 metros tiene que ser construida de tal manera que suba 5m sobre el nivel del suelo ¿Qué ángulo debe tener la rampa con el suelo?
5. Dos cables tensores que mantienen en equilibrio una estructura, parten del mismo punto de apoyo. El tensor que se encuentra a la izquierda del punto de apoyo mide 75 metros y forma un ángulo de 26° con el piso. El tensor de la derecha del punto de apoyo mide 60 metros y forma un ángulo de 20° con el piso. ¿Cuál es la distancia que hay entre los extremos superiores de los tensores?
6. Un salvavidas se encuentra en una torre que tiene 20m de altura, y desde allí observa con un ángulo de 35° a un turista que necesita ayuda. ¿Qué distancia tiene que recorrer desde la base de la torre para auxiliarlo?
7. Una fotógrafa desea tomarle una foto a una vasija que mide 4 pies de altura y que se encuentra en un pedestal de 3 pies de altura. Ella desea colocar la cámara en un punto sobre el piso, de manera que los ángulos subtendidos por la vasija y el pedestal sean idénticos. A qué distancia desde la base del pedestal se debe colocar la cámara?
8. Un topógrafo desea medir la altura de una torre de energía situada al otro lado de un río. Para ello, coloca su teodolito en un punto P, de manera que la horizontal coincide con el pie de la torre y el ángulo al extremo superior de la torre es de 20°. Camina 50m. en línea recta hacia el pie de la torre, desde donde mide un segundo ángulo de 28° hacia el mismo punto de observación. ¿Cuál es la distancia desde el primer punto de observación hasta el pie de la torre? ¿Cuál es la altura de la torre de energía?
9. Un hombre de pie, situado a 5 metros de la pared de un galería de arte, observa la parte superior de uno de los cuadros con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 15°. ¿Cuáles son las dimensiones del cuadro si se sabe que el ancho del cuadro es la mitad de su longitud?
10. Dos hombres a una distancia de 600 metros observan un globo en el cielo, situado entre ambos, los respectivos ángulos de elevación del globo son 75° y 48° respectivamente. Encontrar la altura del globo, asumir que la altura de los observadores es despreciable.
19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS
j
Se sabe que dos triángulos son congruentes cuando tienen iguales:
Sus tres lados: LLL Dos lados y el ángulo entre ellos: LAL Dos ángulos y el lado entre ellos: ALA
Si sólo se conocen los tres ángulos de un triángulo, es imposible determinar las longitudes de los lados. Podría encontrarse un triángulo semejante, que tenga la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
En todo triángulo, el lado de mayor longitud se opone al ángulo de mayor medida.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 360
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
En las situaciones analizadas en la sección anterior, se construyeron triángulos rectángulos cuya solución mediante el análisis de sus ángulos y sus catetos, llevaron a la definición total del problema. En casos en los cuales se involucran triángulos no rectángulos, es necesario apelar a procedimientos en los cuales se relacionen los lados y los ángulos de los triángulos, como lo hacen las llamadas ley de senos y ley de cosenos. La ley de senos permite afirmar que la razón entre el seno de cualquier ángulo y la longitud del lado opuesto es siempre constante.
Para el triángulo ABC:
Sea h su altura desde A. En el triángulo ACD puede observarse que:
γsen=⇒=γsen bhbh
En el triángulo ABD: β=⇒=β sensen ch
ch
Igualando las dos expresiones:
bc
cb β=
γ⇔β=γ
sensensensen
A
βD
α
γ
C Ba
bc
y
x
Para el ángulo α en el centro del sistema de coordenadas:
Aβα
γ
C
B
ab
c
y
x
Si se traza la altura h desde C y se hace el razonamiento anterior, se llega a que:
baβ
=α sensen
En general, puede afirmarse que:
cbaγ
=β
=α sensensen
Ejemplo 12 Un árbol tiene una inclinación de 25º y está siendo sujetado por un cable desde un punto a 12m. de la base del árbol a su parte más alta. Si el ángulo de elevación del cable es de 20º, ¿Cuál es el tamaño del árbol y cuál es la mínima distancia desde el piso hasta su punto más alto?
CA
B
C20º
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CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para calcular el tamaño del árbol CB:
En el triángulo ABC:
DCA
BEC: Posición original del árbol. BD: Perpendicular al piso.
E
20º
1152590 =+=
4520115180 =−−=
Ángulo C: C ooo
Ángulo B: B oooo
( )..
sen
sensensen m80545
201212
4520 =⇒=⇒= lll o
ooo
Para calcular la distancia mínima del piso hasta el punto más alto del árbol BD:
En el triángulo CBD 652590 =−=
Ángulo C: C ooo
.,sen.,.,
sen m25565m805m805
65 =⇒=⇒= BDBDBD oo La ley de cosenos es aplicable cuando:
Se conocen los tres lados del triángulo Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
La demostración se deja como ejercicio para el estudiante, recordando que se deben estudiar dos casos:
Si el triángulo tiene ángulo obtuso. Si el triángulo dado tiene sus 3 ángulos agudos:
D α
γ
m A
C
b
n
h a
β B
Algebraicamente, la ley de cosenos puede expresarse como:
α−+= coscbcba 2222
Ejemplo 13 Un investigador debe viajar a dos pueblos desde la ciudad en la que se encuentra. Al preguntar sobre la ruta que debe seguir, le dicen que puede dirigirse al pueblo A recorriendo 7km., y desde allí pasar al pueblo B, o recorrer 4km. hacia B y desde allí tomar la ruta que lo
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 362
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
lleva al pueblo A. Si las carreteras que llevan a A y a B forman entre sí un ángulo de 137º, a qué distancia en línea recta se encuentran los dos pueblos? Como se conoce la longitud de dos lados y el ángulo ente ellos, puede aplicarse la ley de cosenos:
Ciudad
?
4km.
7km.
A
B
γ−+= cosabbac 2222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )oc 13747247 222 cos−+=
o El coseno del ángulo es negativo.
.km.2910≅c
Ejercicios 19.4
Encontrar las medidas de los ángulos y los lados desconocidos con aproximación a las centésimas:
=γ
635 ==
1. ocb 9161112917 ,;,;, =α== 2. ocb 993412714 ,;,;, =γ== 3. ;
6.
ooa 268354835 ,,;, =α= 4. oob 796339386 ,;,;, =γ=β= 5. 4345 ===α cbo ;; = cba ;;
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 363
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver los siguientes problemas aproximando las respuestas a las centésimas:
Un aeroplano vuela de la ciudad de Bogotá, a la ciudad de Medellín. Cuando el aeroplano llega al aeropuerto de Medellín, se desvía a causa de la espesa niebla hacia Cali. Determínese el áng α que el piloto tiene que
7.
ulo girar para seguir su curso desde m, y
. 300 pies n a lo lejos. Las
líneas de visión de los fotógrafos hacia el león y entre sí forman un triángulo. Calcular la distancia que hay entre el león y cada uno de los fotógraf
. s agudos de 34°
o
2. Se desea na C situada a 12km de A
3. Una valla forma un áng 15 metros
14.
18 pies de largo. El ángul resió desde la cabeza del hombre
Medellín. La distancia entre Bogotá y Medellín es 195km; entre Medellín y Cali es 112kentre Cali y Bogotá es 106km.
Dos fotógrafos que están a de distancia entre sí, ven un leó8
os.
Un paralelogramo tiene ángulo . La diagonal opuesta a esos ángulos 9
60o
León
75o
Fotógrafo 1 Fotógrafo 2
mide D pulgadas. Un lado del paralelogramo adyacente al ángulo de 34° mide 20 pulgadasy el otro lado adyacente mide 39 pulgadas. Hallar D, la diagonal del paralelogramo.
10. Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agud
miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo. 11. Los lados de un paralelogramo miden 5cm y 12cm y forman entre sí un ángulo de 36°.
Hallar la medida de las diagonales. 1 medir la distancia entre dos colinas A y B ; desde una tercera coli
, se pueden medir los ángulos A y C, que son 46° y 38°.
ulo de 80° con el piso y está sostenida por una viga de 1
B
A
C46o 38o
12 Km
de longitud. La viga va desde el borde de la valla hasta el piso formando un ángulo de 53° con éste. Calcular la distancia que hay entre la base de la valla y la base de la viga.
Un hombre de 5 pies y 9 pulgadas de alto, se para en un andén inclinado. Un poste de luz situado sobre el mismo andén más arriba que el hombre, hace que el hombre proyecte una sombra de o de dep nhasta la punta de su sombra es de 31°. Encontrar la pendiente del andén. (AYUDA: Una pulgada equivale a 2,54cm. y un pie equivale a 30,48cm.
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 364
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
15. e
alta que la primera es vista con un ángulo de depresión de 60° desde el helicóptero, y con un ángulo de elevación de 15° desde la cima de la primera montaña. Determinar la distancia entre las cimas de las montañas, y la altura de la segunda montaña.
Un helicóptero vuela a una altura de 1500m. sobre la cima de una montaña de 2800m. daltura. La cima de otra montaña cercana y más
19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN Es común encontrar problemas de navegación aérea o marítima donde es muy útil el uso de
erramientas trigonométri el sistema de referencia no es el plano artesiano sino un sistema de coordenadas similares generado por la línea Norte.
En estas situaciones, la dirección de la nav mina azimut y se indica respecto de la irección norte o sur así:
que significa que su desplazamiento se realiza a lo largo de un rayo que forma un ángulo θ las manecillas del reloj, con respecto a la línea norte. Su representación
jemplo 14
Representa mente:
N 40o E, ο W,
h cas, pero en dondec N S
e se denod
N θο E, loen el sentido de ráfica será en este caso: g
E
r gráfica
S 60ο E, S 30
O E
40o
ESCUELA COLOMBIANA DE I
30o
S
60o
S
NGENIERÍA 3
65CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo 15 Un barco navega . entre las ciudades A y B con rumbo . Desde la ciudad B se
ntes de hacer cualquier aplicación de algún concepto trigonométrico, es necesario hacer rmita vi se
uiere encontrar:
ca, muestra un triángulo no rectángulo, del cual se conocen dos lados. Con la ión trar el valor del ángulo comprendido entre dichos
Por alternos internos.
s lados que lo comprenden, se procede a aplicar la s:
400km N 65º Odirige a otra ciudad C con rumbo N 30º E distante 250km. Calcular la distancia entre A y C, y el rumbo que debe tomar el barco si el regreso lo hace directo entre las dos ciudades. Auna abstracción de la situación, que pe sualizar la información conocida y la que q
La gráfiinformac dada es posible enconlados.
o65=β
?β
C
θ2 θ1
bN30o
ooo 3065180 −−=α o85=α
Con el valor de α, y conocidos los doley de coseno
( ) ( ) ( )( ) ( )ob 854002502400250 222 cos−+=
., km84452=
b
Para hallar el ángulo CBA puede aplicarse la ley de senos:
( ) 5499674085km250km82452km ,sensen, =α⇔=α⇔=o
o=α
8245285 ,sen
sensen α o250
33 El ángulo C puede expresarse como:
E
β
α
N65oO
C
γ
B
25 m.0k
400km.β
A
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 366
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
21 θ+θ=C y c oooo CC 628533180 =⇔−−=omo : Por alternos internos, 1 =θ
Por lo tanto, o32=θ y el
o30
2 ángulo de rumbo será: ooo 14832180 =−
El rumbo entonces será:
S 58o E
Ejercicios 19.5
Resolver los siguientes problemas aproximando a las unidades:
Un estudiante para ir a su casa que queda a 200km al este de la escuela tiene la oportunidad de escoger entre dos modos de viajar: Puede salir de inmediato en un bus que va a razón de 45km por hora y que pasa por un pueblo vecino, o puede esperar un
1.
a
te de un trasatlántico,
. s de radio cuyo alcance es de 322km. Uno de los barcos se
encuentra a 250km y N 42°40’ E de una estación costera, y el otro se encuentra a 265km y N 45°10’ W de la misma estación. ¿Pueden los dos barcos comunicarse entre sí
hora e ir directamente en automóvil a razón de 60km por hora. Si el pueblo vecino queda en la dirección N 55° E de la escuela y N 72° W de su casa, de qué modo gastará menos tiempo y cuál es la diferencia con el tiempo que hubiera necesitado del otro modo?
Un buque de la guardia costera se encuentra a 6 millas náuticas al es2.en el momento en que reciben una llamada de auxilio de un yate. Para socorrerlo, el buque navega con rumbo N 50° W a 10 nudos y el trasatlántico navega con dirección N 40°E a 7 nudos. Cuál de ellos llegará primero al yate y en qué tiempo?
Dos barcos tienen equipo3
directamente por radio?
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Hallar el va d cot,sec,, , a iguientes g
0° 2. 45° 3. 90° 4. 150° 5. 225°
9. 315° 10. 360°
rigonométricas de θ si θ está en la
l de θ
lor e csc par los s án ulos: 1.
6. 240° 7. 270° 8. 300°
trar lo ones tEncon s valores de las seis razposición:
11. El punto P (4,−3) está en el lado terminal de θ
12. El punto P (−8, −15) está en el lado terminal de θ13. El punto P (−1,2) está en el lado terminal de θ 14. El punto P (2,3) está en el lado terminal de θ
El punto15. P (−4,5) está en el lado terminal de θ 16. El punto P (2, −1) está en el lado terminal de θ 17. El punto P (−2, −5) está en el lado termina
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 367
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
18. El lado terminal de θ está en el cuadrante II y es paralelo a la línea que pasa por los
19. te I y cae sobre una recta con pendiente puntos A(1,4) y B(3, −2) El lado terminal de n θ está en el cuadra
34
21. θ pasa por el punto (−3,5) 2. El lado final de θ está en el segundo cuadrante y pasa por el punto donde se intersectan
las23. El drante y pasa p c
20. El lado terminal biseca al III cuadrante. El lado terminal de
2
dos funciones 22 2 y 9 xyxy =−= lado final de θ está en el primer cua or la interse ción de
xyx
y 4y1 == .
or el punto ( )00 yx , donde 00x y y son reales Si el lado final de un ángulo α pasa ppositivos, es verdadero o falso
00 yx +25. 1=αtan
lo complementario de
0y−=αsen 24.
26. El lado final del ángu α pasa por ( )00 yx , . 27. ( )π−α= cot
29. sen 30. El valor de cos α si tan α = m, 1. Si
αcot
28. El á n el cuarto cuadrante.
Calcular:
ngulo α está e
α, si cos α = 1 –m2. ,
322 ba
b
+=ϑsen , con a2 + b2 ≠0, cuáles serán los valores de las otras razones
cas? Por q quiere que a +
calcula do ángul hallar: (L puede ser con decimal
2 cos
trigonométri ué se re 2 b2 ≠0?
Sin usar dora y utilies)
zan os cono scido a re spuesta no
3 . o75 33. ( )o15csc 34. ( )o135 35. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
45sen cos
36. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π
1223sec 37. ( )o15cos 38. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π
47cot 39. ( ) ( )oo60 225tan+tan
40. ( )o285 41. tan ( )o165cos 42. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π12
cos 43. ( )o120−sec
l ángulo de referencia:
4.
Expresar en términos de 4 ( )o35−tan 45. ( )o80−sec 46. ( )o45−tan 47. ( )o75−cot 48. ( )o50−csc 49. ( )o60−sec
50. 1=o
Expresar
51. cot x 52. La cot x en función del sen x
Demostrar sin usar calculadora:
77771313 ooo csctantancos
El cos x en función de la
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 368
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Encontrar las otras razones trigonométrica
.
s si:
53 ( ) ( )( )22=ϑcos 54.
222 nmnm ++22
22
nmnm
+
−=θcos 2 nm +
55. ( ) ℜ∈
−=xg 17 x
x,
sen235.
a.
ar Encontr
⎟⎞⎜⎛ πg mayor valor y el menor valor b. Encontrar el
de ( )xg . ⎠⎝ 6
s ejercicios: Resolver los siguiente 56. Encontrar el rango de f (x) si ( ) ℜ∈= xxxf ,sen 2 .
57. La función ( )tttttf
csctancossen +=
2es par, impar o ninguna de las dos?.
58. Si 54=αsen , qué diferencia α2sen
s de β se c
hay ent nre α y 2 se
59. Para que valore umple β+=β 21 tansec
60. Si 53y
22 == xz sensen , encuentre el valor de ( )zx −cos
0ya=αsen61. Si 45≤α< , encuentre α2tan
V ciendo
62.
65. 66. 9560 ===α cb ;;
s
68.
61,7° 1,5 metros
69. 135 pies
la cúspide de la estructura es 50°20’. Calcule la altura de la torre.
70.
se tiempo.
Encontrar las medidas que faltan de los ángulos y de los lados del triángulo haaproximación a las décimas:
510120 ===α bao ;; 63. 58030 ==β=α aoo ;; 64. 66040 ==β=α boo ;;
4830 ===α bao ;; o
V Resolver los siguientes problemas. Dar la respuesta con aproximación a lacentésimas:
67. Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agudo
miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo.
Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación al extremo superior del asta de una bandera es de . La observación se hace desde una altura sobre el nivel del piso y a una distancia de 10 metros del asta. En estas condiciones determínese la altura del asta.
Un punto en el suelo se encuentra a de la base de una torre. El ángulo de elevación de dicho punto a
Desde la azotea de un edificio que ve hacia el mar, una persona observa un bote que navega directamente hacia ella. Si la persona se encuentra a 100 pies sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión al bote cambia de 25° a 40° durante el período de observación, hallar la distancia aproximada que ha recorrido el bote durante e
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 369
CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ROBLES 370
una
72. stancia aproximada del pie de la
escalera al muro. Si la distancia del pie de la escalera a la pared aumenta 3 pies ¿Qué
73.
4. Desde un punto A, que está a 8,2 metros sobre el piso, el ángulo de elevación a la parte
5. Alberto, Bernardo y Carlos están considerando la compra de un equipo de
ue une la casa de Bernardo con la de Alberto es de 55°. Puede con el equipo cada uno de los
76. ción es de 20°,
los cables que la sostienen forman cada uno 40° con el mástil. Halle la longitud de los
77.
itar una barranca entre T y C, el mapa dice que hay que caminar 315,3 hacia el N 10° 24' W y después 260 metros hacia el lugar del tesoro. Si el descubridor
20° al este
79. ra de una colina que forma un
ángulo de 30° con la horizontal. Determinar la longitud mínima del cable de retensión oste
0. Calcular los lados de un paralelogramo, si se conoce que una diagonal mide 96cm y los
ángulos que forma con los lados so
1. Dos barcos que disponen de un radioteléfono con un alcance máximo de 194km, parten del mismo puerto; el primero en dirección 50° al oeste del norte con una velocidad de 140km/h y el segundo viaja en dirección N 18° E con una velocidad de 176km/h. ¿Podrán los barcos comunicarse directamente al cabo d hora?
71. Desde un punto P sobre un terreno horizontal, el ángulo de elevación a la punta de
torre es de 26°50’. Desde un punto ubicado 25 metros más cerca de la torre, en la misma línea que P y la base de la torre, el ángulo de elevación es 53°30’. Calcule la altura aproximada de la torre.
Una escalera de 20 pies de longitud está apoyada contra el muro de una construcción, yel ángulo que forma con el piso es de 22°. Calcule la di
altura aproximada baja el extremo superior de la escalera en el muro?
Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, sobre el terreno horizontal a 110km de distancia al punto Q, directamente abajo del globo, cambia de 19°20’ a 31°50’ ¿Qué ascenso aproximado alcanza el globo durante esas observaciones?.
7superior de un edificio es 31°20’, y el ángulo de depresión a la base de construcción es 12°50’. Calcule la altura aproximada del edificio.
7comunicaciones con un alcance de 200 metros. Bernardo vive al otro lado de la carrilera que pasa entre su casa y las de Alberto y Carlos. Los muchachos encuentran que la distancia entre la casa de Alberto y Carlos es de 175 metros; el ángulo opuesto a la línea que une la casa de Carlos y Bernardo es de 76° y el opuesto a la línea q
muchachos comunicarse con los otros dos?
Al instalar una antena de 155 metros sobre un terreno inclinado (la inclina
cables, teniendo en cuenta que la antena es vertical.
Un viejo mapa señala un tesoro enterrado en un punto C, ubicado al N 70° 18’ W, de cierto árbol T. Para evmetrosdel mapa ha estudiado trigonometría, iría a buscar el tesoro? Por qué?
78. Dos aviones parten desde el mismo punto, el uno hacia el oeste y el otro a del norte, el primero con una velocidad de 280 km/h y el segundo a 350 km/h. ¿A qué distancia se encuentran el uno del otro al cabo de dos horas de vuelo.
Un poste vertical de 10m. de altura se encuentra en la lade
necesario para unir la parte superior del poste con un punto situado 20m. abajo del psobre la colina.
8n: 40° y 35°.
8
e una
G. MORA – M. M. REY – B. C.
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
82. Cuando se ve la cima de una montaña desde un punto P en el suelo, el ángulo de
elevación es de α. Desde un punto Q que está d unidades más cerca de la montaña, el ángulo de elevación aumenta a β unidades. Muestre que la altura h de la montaña es:
( )
xyh
−βα
=sen
sensend
. Un lado de una casa de planta cuadrada mide 54,7m y su frente esta hacia el oriente.
a longitud de la tubería y al ángulo que forma con el lado oriental de la casa.
84. e tránsito aéreo, la avioneta recorrió una
distancia de 72km con un curso de 118°, después tomó un curso de 150° durante 58km, cuando perdió contacto con la torre de control del aeropuerto. En qué dirección y a qué distancia del aeropuerto debería iniciarse la búsqueda?
85. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero a una velocidad de 240 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de 2 horas de vuelo.
86. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y
que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380 km/h y 420 km/h, respectivamente.
83Una tubería de agua va por debajo de la casa desde un punto que esta a 13m al sur de la esquina noroccidental hasta un punto que está a 12m del norte de la esquina suroccidental. Hallar l
Una avioneta pequeña se ha extraviado después de abandonar el aeropuerto Bonilla Aragón. De acuerdo con los controles d
α β
h
T
P Qd
x y
h
R
a
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 371
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
“Para desembarcar en la isla de la sabiduría hay que navegar por un océano de aflicciones” Sócrates
CAPÍTULO XX
FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
20.1 INTRODUCCIÓN 20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
CAPÍTULO XX
FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
20.1 INTRODUCCIÓN
j
Todas las funciones circulares son periódicas. Seno y Coseno tienen período 2π, para todo x real.
( ) ( ) Zxx ∈=π+ kk2 ,sensen ( ) ( ) Zxx ∈=π+ kk2 coscos
Las funciones Secante y Cosecante tienen período 2π. ( ) ( ) π+π≠∈=π+ k
2kk2 xZxx ,secsec
( ) ( ) π≠∈=π+ kkk2 xZxx ,csccsc Las funciones Tangente y Cotangente tienen período π.
( ) ( ) π+π≠∈=π+ k2
kk xZxx ,tantan
( ) ( ) π≠∈=π+ kkk xZxx ,cotcot
20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN
En los capítulos anteriores, los análisis llevaban casi siempre a encontrar el valor de una función, dado un arco o un ángulo conocido. En algunas ocasiones, en la solución de ecuaciones trigonométricas o el análisis gráfico de funciones, era necesario encontrar el valor del arco o del ángulo para el cual se conocía el valor de una función. El concepto que se maneja cuando se sigue este camino contrario, es el de la relación inversa o simplemente inversa. El que las funciones circulares sean periódicas, implica que ninguna de estas funciones sea 1 a 1. Por lo tanto, la inversa de ellas no es función. Por ejemplo si se sabe, que ( ) 1=θsen , el ángulo θ puede ser
,...,,,...,,,2
112
72
32
132
92
52
π−π−π−ππππ ó . Matemáticamente, como se vio en la sección 20.5, se
expresa así: ( ) Z∈π+π=θ⇒θ=⇔=θ kk2
211 arcsensen
Lo que significa que no hay un único valor de θ donde 1=θsen . Ahora, surge la pregunta: ¿existe algún procedimiento que permita establecer una “función inversa”? Si se restringe el dominio para el valor de los arcos o de los ángulos, de manera
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 374
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
que para dos valores del dominio no sea posible encontrar un mismo valor de la función, ¿se lograría la esperada función inversa, en donde el arco x esté en función del valor y? Para ello, es conveniente observar la gráfica de xy sen= .
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π /2
-1
1
x
y Si se observa la función seno en el intervalo
22π≤≤π− x , se aprecia que sí es 1 a
1, por lo que su inversa sería función, y aunque existen muchos otros intervalos en los cuales sucede lo mismo, por costumbre se ha determinado este intervalo para definir la función inversa del seno.
Dada la situación anterior, es conveniente establecer para el trabajo matemático una diferenciación estándar en la escritura con el fin de distinguir la inversa de la función inversa:
es la función inversa, lo que implica que debe trabajarse con dominio en el intervalo:
xy =Arcsen
22π≤≤π− x .
xy =arcsen es la relación inversa, cuyo dominio son todos los reales. Tal como se trabajó en la sección 20.5, otra forma de expresar la inversa es usar el superíndice –1 en la función, así:
Función inversa: . xy =−1Sen
Relación inversa: . xy =−1sen
Un análisis similar permite establecer las restricciones de dominio para las funciones inversas de las demás funciones circulares.
o El –1 no tiene el mismo sentido con que se venía trabajando desde álgebra. Es decir:
xx
SenSen 11 ≠−
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-1
1
cos(x)Para el coseno: Se define:
xy =cosArc para π≤≤ x0
y
x
-π -π/2 π/2 π
-2
-1
1
2 tan(x) y
x
Para la tangente:
xy =tanArc se define para
22π≤≤π− x
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 375
CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo 1
Encontrar ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22cosArc y ( )11 −−Tan
x=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22cosArc .
Como 4
0 π=⇒π≤≤ xx
. ( ) x=−− 11Tan
Como 422π−=⇒π<<π− xx
Ejemplo 2
Encontrar el valor de ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛23cosArcsen
62
3 π=⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xxcosArc ya que π≤≤ x0
21
6=π⇒ sen
Ejemplo 3 Calcular ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
178
135 ArcsencosArcsen
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
178
135 ArcsencosArcsen presenta la forma de:
( ) βα−βα=β−α sencoscossensen en donde α=
135cosArc y β=
178senArc
Esta expresión puede desarrollarse de dos formas diferentes: Método 1: Por Pitágoras, se tiene que:
De α=135cosArc :
( ) ( ) 12144513 22 =⇒=⇒=− ccc
5
13
α c
Y, de β=178senArc :
( ) ( ) 15225817 22 =⇒=⇒−= bbb
b
17
β
8
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 376
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
Método 2: Dado que , entonces: 122 =+ xx sencos
122 =α+α sencos
1312
1691441
135 222
=α⇒=α⇒=α+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⇒ sensensen
Por otro lado, 11781 2222 =β+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⇒=β+β cossencos
1715
2892252 =β⇒=β⇒ coscos
Por último, se desarrolla el seno de la diferencia de los ángulos α y β:
βα−βα=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − sencoscossenArcsencosArcsen
178
135
221140
22140
221180
178
135
1715
1312
=−=
−= **
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN
Determinar el valor exacto de las funciones, referidas a un ángulo en posición normal:
1. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
341Tancos 2. ( )31−Cotsen 3. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
321Sentan
4. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
7101Cotsec 5. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
351Tansen
s identidades:
( ) ( )xx 11 −− −=− TanTan 7. ( ) ( )xx 11 −− −=− SenSen
las ecuaciones dadas pueden ser identidades por sustitución de
Verificar las siguiente 6.
Deter siminar2
x 11 −− −=− SenSen
1=x
y de 90,=x
8. )x( ) ( 9. ( ) ( )xx 11
2−− −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π= SenCos
10. ( ) ( )xx −= −− 11 Cos 11. ( ) ( ) ( )xxx 111 22 −−− = CosSenSen Cos
presión da valores exacto le.
Evaluar la ex da. Obtener los s cuan bdo sea posi
12. ⎟⎠⎝ 2⎞⎜⎛ −− 1 1Cos 13. ( )1 1−Coscos 14. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−
351 cosCos
15. )2(Arctansen 16. ⎟⎠⎞⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
41 ⎜
⎝⎛ Arcsentan 17. ⎟
⎠⎞⎟
⎠⎞
13 1Coscos ⎜⎝⎛ ⎜
⎝⎛ −− 1
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 377
CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
18. ⎟⎠⎞1Sen ⎜
⎝⎛ −−
21
19. ( )11−Sen 20. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
231Sen
21. ( )01−Sen 22. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
231Cos 23. ( )2 Arccotsen
24. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
31 1Coscos 25. ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4231Sentan 26.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−
42
1
x
xSenSen
27. ( ) ⎟⎠⎞⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
542 11 SenTantan . ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
43
54 11 TanSencos 9. ⎜
⎝⎛ + − 28 2 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛53
21 ArccosArcsencos
30. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+
3xArctan cos
1. Mostrar que
Realizar la siguiente demostración:
3 [ ]10 1 ,,CosSen ∈∀−= xxx
Resolver las siguientes ecuaciones 32.
211 −−
23 1 π=− xSen 33. ( )
212 2 ArcsenArcsen =− xx
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 378
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 379
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO I – SISTEMAS NUMÉRICOS Actividad Diagnóstico
1. Dígitos 2. Múltiplos 3. Divisores 4. Primos 5. Pares 6. Decimal 7. Impares 8. Centenas 9. Cuadrado 10. Triple 11. Cubo 12. 1
13. { },32,48,968,12,16,241,2,3,4,6, 14. { }1,9870,77,84,9 15. { }1,2,3,6
16. { }14436,72,108, 17. 91 18. 2, 3 y 13
19. 6 20. 4´649.518 21. 101,103,107,109,113 22. 6.840 23. 6 24. 20 25. 5 26. 59 27. 2
Ejercicios 1.1
1. 259 2. 2.507 3. 4 4. 6 5. 11 6. 6 7. 2 8. 25 9. 80 10. 480 11. 8.208
12. 3225 = 2325 = 5322 =log
12553 = 51255 = 31255 =log
823 = 283 = 382 =log
62554 = 56254 = 46255 =log
8192 = 981 = 2819 =log
6482 = 864 = 2648 =log
1000103 = 1010003 = 3100010 =log
13. ( ) ( ) 241027 ÷−+× 14. ( )[ ] 241027 ÷−+× 15. ( )[ ] 241027 ÷−+×
16. ( ) ( )241027 ÷−+× 17. ( )[ ] 241027 ÷−+× 18. Verdadero
19. Falso 20. Verdadero 21. Verdadero
Ejercicios 1.2
1. – 87 2. – 52 3. 72− 4. 152− 5. 32 53 ×− 6. 47
7. 0>× ba si 0>a y 0>b , ó, 0<a y 0<b 8. 0=× ba si 0=a ó 0=b , ó, 0=a y 0=b 9. 0<× ba si 0>a y 0<b , ó, 0<a y 0>b
10. 0 11. 1 12. No existe 13. No existe 14. –1
15. Positivo. Todo número negativo elevado a una potencia par es positivo. 16. Positivo. Todo número negativo elevado a una potencia impar es negativo y el negativo de un número
negativo es positivo.
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 380
17. Negativo. Todo número negativo elevado a una potencia par es positivo, y el opuesto de un número positivo es negativo.
18. – 29, – 35 19. – 4, – 7 20. 81, – 243 21. – 512, 2048
Ejercicios 1.3
1. 5
62− 2.
10
57 3.
8
9 4. 1 5.
27
26 6. 0
7. 15
52− 8.
20
3− 9. 0 10.
12
11 11.
4
1 12.
39
2312−
13. 2
5 14. 4− 15. 1 16.
120
1 17.
12
25− 18.
9
20
19. 3
10 20.
10000
111 21.
12
29 22.
5
31 23.
25
1849 24.
343
5
25. 22
31 26.
64
1 27.
58
183 28.
98
13 29.
12
5 30. 217−
Ejercicios 1.4
1. 35763, 2. 20,85 3. –1,075 4. 341 5. 0,0625 6. 1,57351936 7. 10
8. A B a ++++ b a −−−− b a ×××× b a ÷÷÷÷ b
3,42 8,95 12,37 –5,53 30,609 0,382
0,63 9,08 9,71 –8,45 5,7204 0,06939
20 3,18 23,18 16,82 63,6 6,289308
78,01 2,94 80,95 75,07 229,3494 26,534014
10,43 7,5 17,93 2,93 78,225 1,390667
3,14 9,03 12,17 –5,89 28,3542 0,347730
66,5 31,02 97,52 35,48 2062,83 2,143778
30,01 49,3 79,31 –19,29 1479,493 0,608722
9. 0,75 10. 2857142, 11. 352, 12. 1470, 13. 61, 14. 66,
Ejercicios 1.5
1. 7
1 2. días 40 3. pulg
24
1 4. Lt
493818
5. Lt 855 6. puntillas560 7. horas
522 7.a. Falso
7.b. Falso 7.c. Falso 7.d. Verdadero 8.a. 4
5
8.b. %,616 8.c. 4 hombres 8.d. 5
1 9. horas 21
10. horas 32 11. Rollos 5250 12. viajes 45 13. 333 cm 56cm 94cm 50 ,,
14. días 3226 15. 44449441$ ,.'
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 381
1 20 5
2
Ejercicios 1.6
1. 8% 2. $1’300.000 3. 396 Ha. 4. 50%, 37,5%, 12,5% 5.
Ruta Precio Actual Aumento Nuevo Precio
Bogotá-Medellín-Bogotá $345.800 $51.870 $397.670
Bogotá-Sta.Marta-Bogotá $423.352 $63.503 $486.855
Cali-San Andrés-Cali $525.890 $78.884 $604,744
Cartagena-Montería-Cartagena $285.165 $42.775 $327.940
6. $74.250 7. Perdió 8. 0002802$ .' 9. ml 400 10. reses 250 11. No es correcto
Ejercicios 1.7
1.
2.
3. 4. Ejercicios 1.8
1. Número Inverso Aditivo Inverso Multiplicativo
0 No tiene No tiene 1 − 1 1 − 4,3 4,3 4310−
22 − 22 221
53− 53 35−
2. 2
3− 3. ℜ,, QZ 4. No 5. No tiene, ℜ∉% 6. π− 7. Negativo 8. 3 veces
1 2 3 40 24−
1
2
53− 52− 5−–6 0–1 1
555
0
3
1
32
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 382
9. Número ℕℕℕℕ ℤℤℤℤ ℚℚℚℚ IIII ℝℝℝℝ 1,25 X X
– 21 X X X
2− X X
54 X X X X
7
3 X X
4−
π X X
3 8− X X X
53 + X X
10. Falso 11. Falso 12. Verdadero 13. Falso 14. Falso 15. Falso 16. Verdadero 17. Verdadero 18. Falso 19. Verdadero 20. Verdadero
Ejercicios 1.9
1.
2.
3.a. 8 3.b. –1.000 3.c. 1001
3.d. Si n es par caerá en 2
n− , si n es impar caerá en 2
1+n 3.e. 199 3.f. No.
Ejercicios 1.10
1.
53 < 51 <− 51 −>− 12
1−>−
3
1
3
8> 3
24
48<
4
10
2
18<− 023510 ,, −<−
15
251
3
2=+
70
117
7
6
5
4<+
234
10135
4
8
5
1252×
−+×=+
−+
Ejercicios 1.11
1.
2.
3.
4.
5.
6. [ ) 2ó2 −≥∞− x; 7. [ ) ( ] 41 ó 25 ó4125 ≤<−−<≤−−−− xx;; U
-3 -2 -1 1 2 3 4
E D C B A
0
-4 -3 -2 -1 1 2 3
J G H I
0
-2 -1 1 2 0
-2 -1 1 2 3 4 5 0
-3 -2 -1 1 0
-4 -3 -2 -1 1 0
-3 -2 -1 1 2 3 0
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 383
8. ( ) ( ) 222 ≠∞−∞ x,;; U 9. ( ) 33 <−∞ x,;
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Ejercicios de Recapitulación
1. 58 2. 2 3. 12 4. 120 5. 9.792 6. 2 y 216 7. 2 8. 20.520 9. 1, 2 y – 2 10. 20.520 y 41.040 11. Falso 12. Verdadero
13. Verdadero 14. Falso 15. 7544 16.
24
49− 17.
9
38− 18.
70
79
19. 9
2 20. 4 21.
3
64 22.
9
59 23. 5 24. 14
25. 27 26. 16 27. 0 28. 501 29. – 288 30. 20
31. 49633− 32.
4
101 33. 53− 34. 72 35. 55 36. – 162
37. 8 38. 7411 + 39. 3
2 40.
3
56 41.
15
1 42.
75
23
11
×
43. 323 × 44. 32 27
× 45. 12
12
3
2 46.
4
7
3
2 47. 33 48.
322
1
+
49. Si es el 1 50. 0,253968
51. Indeterminado 52. 0 53. Indefinida
54. Si adoindetermin es0 0aa ⇒= , si 10 0 =⇒≠ aa
55. Si 000 =⇒> aa , si indefinido es 00 aa ⇒< , si adoindetermin es00 aa ⇒=
56. Falso 57. Verdadero 58. Falso 59. Falso 60. Falso 61. Falso
62. Falso 63. Falso 64. Falso 65. Falso 66. 63 67. 82y
54
68. El cliente finalmente paga lo mismo 69. Un hueco no contiene tierra 70. %165
71. 378 cm 72. 2 personas 73. 50 días
74. 1212 75. No hay huevo que caiga 76. 120 mujeres
77. $13.500/h 78. $14.250 79. Mayor el 40% de 120
80. 28% de descuento 81. 1.700 habitantes, %,313 82. $51.200
83. 7% 84. 6 hijos 85. 23 días 10,5 horas
86. Mejor invertir el dinero al 7,5% 87. El 11 de febrero y el 23 de marzo 88. ( )%100
−x
xy
89. 2,40 m 90. 3,125 91. 20 92. 12 cm 93. 4 días 94. No hay, 8, 12, 6, 1 95. 1.280 km 96. 3 animales 97. No 98. $131.950 99. $240 100. Opción C 101. 19,96% 102. 4% 103.a. A medida que aumenta en 1 el multiplicando, disminuye 1 unidad la cifra de las unidades en el resultado. La
cifra de las decenas es 1 unidad menor que el multiplicando. 103.b. La cifra de las decenas es siempre 9. No se mantiene. 104. 8 libras. 20, 25 y 8 bloques 105. Ganancia de $10.000
-1 1 2 3 4 5 0
-3 -2 -1 1 2 3 0
-1 1 2 3 0
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
1 0 2/3 3/4
-3 -2 -1 1 2 0 1/2
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 384
CAPÍTULO II – INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
Actividad Diagnóstico
Expresión Aritmética Algebraica Polinomial
4123 ÷+ X
622 −+ xx X X
yy π−3 X X
25 ww −+ X
( ) 5323
1×+− X
23
3
2
16
6
1zz − X X
x
x 2− X
( ) ( )82 loglog + X
35 22 × X
xx 21 33 ×+ X
yyyz 22 −+ X X
424 3223 +−+ yxyx X X
( ) 323 xx + X X
232 6523 xxxxx −+−+− X X
���� Aritméticas: Que representen números, es decir cantidades especificas. ���� Algebraicas: Que tengan variables. ���� Polinomiales: Que tengan variables como base y el exponente sea un número entero positivo. Una expresión puede clasificarse en más de un tipo ya que todo polinomio es una expresión algebraica.
Expresión Polinomial Número de Términos
Grado del Polinomio
Conjunto al que pertenecen los
Coeficientes
Cantidad de Términos
Semejantes
622 −+ xx 3 2 ℜ,Z 0
yy π−3 2 3 ℜ 0
23
3
2
16
6
1zz − 2 3 ℜ 0
yyyz 22 −+ 3 2 ℜ,Z 0
424 3223 +−+ yxyx 4 Depende ℜ,Z 0
( ) 323 xx + 1 5 ℜ,, ZN 0
232 6523 xxxxx −+−+− 6 3 ℜ,Z 4
Ejercicios 2.1
1. Verdadera 2. Falsa 3. Verdadera 4. Falsa 5. Falsa 6. Verdadera 7. Falsa 8. Falsa 9. Verdadera 10. Verdadera 11. Falsa
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 385
Ejercicios 2.2
1. 11 2. 16 3. 2
3− 4. 30 5. 30
6. La respuesta es igual ya que los exponentes de las variables son pares 7. Es positivo Ejercicios 2.3
1. 32449 −− x 2. yzx ++−− 742 3. yxz 610 −++ 4. 665 23 +−− xxx
5. 912 2 −− y 6. ca −6 7. cda 223 +− 8. 232 yxy +−
9. 253 3 −+− xx Ejercicios 2.4
1. zyx 5360 2. 45150 ba−
3. 88 x− 4. 10748 cba
5. 48264 cba 6. 1212 yx
7. 543 4 +− aa 8. 8202296 2345 ++−+− xxxxx
9. 57356733
4
6
1
5
2zyxyxyx +− 10. ba 62
11. 7720 yx 12. 142a−
13. 3223236 nmnnmm +++ 14. 322223 76 yyxxyyxyx ++++
Ejercicios 2.5
1. 14 2 −x 2. 224161648 xxyxyy +−+−+ 3. 4422 −−− bba
4. 91264422 ++−+− yxyxyx 5. 27279 23 −+− xxx 6. 133 23 −+− xxx
7. 1 Ejercicios 2.6
1. No, Si 2. No, Si 3. No, Si 4. No, No, Si
5. No, Si, Si 6. No, Si, No 7. Se genera una indeterminación
Ejercicios 2.7 1. Si, Si 2. Si, No 3. No, No 4. No, Si 5. No, No
Ejercicios 2.8
1. x−45 2. 55−x 3. 92 +x 4. ( )210 xx +
5. ( )3−xx 6. xx 22 − 7. ( )( )3232 +− xx 8. ( )xx 3
9. ( ) ( )5212 +++ xx 10. ( ) ( )22 222 ++ xx
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 386
Ejercicios de Recapitulación 1. 040 , 2. 8 3. 873 , 4. 102−
5. Impar, Impar, Par 6. 3620 yx− 7. 105102 ba 8. 161146 32 ba
9. 151110648 cba− 10. 6884 cba 11. 1271212 cba 12. 6213 ba
13. 4661 yx− 14. 96b 15. 4
10
b
a 16.
64
11728 3 +a
17. 417925 234 −+−− xxxx 18. xz 51 ++− 19. wzy +−−
20. zyw 24 ++ 21. 185 +− z 22. 22 −x
23. 82 +− x 24. 53 +x 25. 18067
917
54111
4517 22 −+−− xyyx
26. x29 × 27. 22 yx − 28.
x
4
1
3
1
29. ( ) ( ) ( )222 223212 +−
+++ xxx 30. 2
2
1xx − 31. ( )x−303
32.
+ yx7
3
3
2 33. 30+p 34. pp ×
35. 3+p
p 36. ( ) ( )[ ] ( )[ ]222 222222 ++−++ xxxx
37. yyx ,6=− 38. 2+a 39. x1
40. 22
−a
41. x5 42. 52 +a
43. 3
23 +a 44. x
100
6 45. t+o50
46. 120−d 47. 50−p 48. 20−r
49. 100+d 50. 8+z 51. 52
+p
52. t−8 53. b
a+5 54. 60−t
55. 30+a 56. 6+= ba 57. 10−= ba
58. 2
yx = 59. 2383 =+m 60. 459 =m
61. ( ) 3023 =m 62. ( ) 547 =−+m 63. ( )nm
mn
−3
64. ( )( )sr
sr
+−
2
3 65. ( )( ) ( )( ) 12222
3
12222 −+=++ xxxx 66. 823 +=+ xx
67. xxxx =+ 68. ( ) 1423 =+x 69. ( ) ( ) 244212222 −+=+ xxx
70. ( ) 7107260 −=+− xx
CAPÍTULO III – ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINO MIOS DE PRIMER GRADO
Ejercicios 3.1
1.
1417
2.
51
3. { }5− 4. { }52− 5. { }41− 6. { }50 7.
−
1345
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 387
8.
1759
9.
718 10.
4029 11. ∅ 12. ∅ 13. ℜ 14. ℜ
Ejercicios 3.2
1. ( ) 171 −=++ xx 2. ( ) ( ) 7521 =++++ xxx
3. ( )123
11432 +−=+ xx 4. xx 29466 +−=+
5. ( ) ( )60506080 += x,, 6. empastados 200 bolsillo de ediciones 400
7. 20 8. 127518001650
9. 00014$0006$ .. 10. 630 11. 30m3h30mh1 12. 39 años 13. 959085 14. aprox000581$ .
15. minutos 24 horas 6 16. 820$ 17. meses180 18. m63
19. 11
38 20. libras24090 y
Ejercicios 3.3
1.
=−=
61
186
61
82yx ,
2. { }68 −== yx , 3.
−=−= 43
2
13yx ,
4. ( ){ }1985 +− zwzw , 5.
−==
26
37
13
5ba ,
6. ∅
7. ∅ 8. ∅ 9. ( ){ }42 −= xyyx ,
10. ( )
+−= 23
2xyyx ,
11. ∅ 12. { }18 −== yx ,
13. No hay solución. 14. Una única solución. 15. Infinitas soluciones. 16. Cualquier punto de la forma ( )53 −xx, .
17.
+−3
1
3
2 forma la de puntoCualquier xx ,
18. 50400 , 19. 2080 , 20. 27 Hijo. 63 :Padre
21. 2
61 menor y
4
123 Mayor
22. 23. $21 chaleco y $45 saco $30, Pantalon 24. 8 Enrique y 5 Juan 4, Pedro 25. 8 y 1015 , Ejercicios 3.4
1. 0<x 2. 0≥y 3. π≤q 4. 42 << d
5. 5≥t 6. 3≤−z 7. 7≤q
p 8. g
w<
1
9. ( )∞− ,3 10.
∞−3164
, 11.
−∞−3
4, 12.
∞−
1357,
13. ∅ 14. ℜ 15.
−−
5125 ;, 16.
−−32
38
,
17. ( ]84, 18.
−−31
2, 19. [ )∞,108 20. [ ]199,
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 388
Ejercicios de Recapitulación
1.
32 2.
−
712 3. { }3 4.
−
1031 5. { }2 6. { }9−
7. { }5 8. { }9 9.
≠ ba
b-a
a, 10. { }11 11. h
km6 12. $24
13. Si 14. 22 , 42, y 24 años 15. $12.000 y $18.000
16. 55 pies 17. 222p3600p2592p 4050 18. millas
9
10 millas/h,
9
5
19. peces $120 pecera $140 20. 13 años 21. 105 22. $212 23. 30 y 60 años 24. 13,6 cm y 40,8 cm 25. 200 niños 26. 62,5 y 375 27. $96.436
28. No es posible 29. $7.000 al 12% y $3.000 al 10% 30. $6.667 al 5% y $13.333 al 8%
31. 23.382 unidades cúbicas 32. yx
yxyx52
30622022
−−− 33. 6
34. $90.000 coche, $170.000 caballo y $65.000 los arreos 35.
∞,25 36.
−∞−3
4,
37.
∞,1315 38. ( ]6,−∞ 39.
−∞−2
1 π,
40.
∞−5
7, 41. ( )∞− ,1 42.
∞−34
,
43.
− 33
4, 44. ∅
45. sobrinas 9 sobrinos, 2 46. 030 : adicional 150 :fijo ,, 47. 59 48. 1,8m de 10 y m63 de tubos 9 , 49. 024ingresos$1 $768, totales gastos $144, reparacion Gastos 50. Vacas $50, Ovejas $5 51. minutos20hora1 52. 559 ,, pescados 53. 58,5km A a C de y 55,5km C a B de 63km, : B a A De
54. m 9 pequeno el y m5
59 mediano m,
5
61 Mayor 55. OOO 456570 ,,
56. 321 57. 123 58. 27 años y 36 años
CAPÍTULO IV – SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejercicios 4.1
1.a. ( )73 ,− 1.b. ( )ba ,− 1.c. ( ) ( )3316 ,, −−( )41 −− ,
2.
3.
4.a. ( )23 −− ,
4.b. ( )11 −,
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7
-6-5-4-3-2-1
12345
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 389
Ejercicios 4.2 1.
D
H F
G
E
C
B A
2.a.
y
x
2.b.
x
y
2.c.
y
x
2.d.
x
y
2.e.
x
y
2.f.
x
y
2.g.
x
y
2.h.
y
x
2.i.
x
y
3.
x y -1 3 0 5 1 7 3 11 5 15 7 19
Zxxy ∈+= ,52
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 390
Ejercicios de Recapitulación
1.
2.
3.
4.
2 4 6 8 10
2 4 6 8
10
x
y
5.a. ( ) ( ) ( )121212 ,,, −−
5.b. ( ) ( ) ( )111111 ,,, −−−
5.c. ( ) ( ) ( )030303 ,,, −−
5.d. ( ) ( ) ( )000000 ,,,
5.e.
−
−
3
50
3
50
3
50 ,,,
6.a. II cuadrante
6.b. I cuadrante
6.c. IV cuadrante
6.d. III cuadrante
6.e. IV cuadrante
6.f. IV cuadrante
7.a. ( )68 , 7.b.
8.
9.a. Traslación hacia abajo de 3 unidades y traslación de dos unidades a la izquierda
9.b. Reflexión sobre el eje x 10.a. Entre otros
( ) ( ) ( )311102 ,,, −−−
10.b. Entre otros ( ) ( )2211 ,, −−
10.c. Entre otros ( ) ( )1420 ,, −− 11. Para abscisa reales entre – 1 y
2 inclusive y para la ordenada reales entre – 3 y 1 inclusive
12.a.
12.b.
2 4 6 8 10 12 14 16
2
4
6
8
10
12
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3 x y 2 1 3 6 4 13 5 22 6 33 7 46
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 391
13. Tercer
14. ( )32 −;
15. ( )24 −− ; 16. Primero y Tercero y
x
17. La primera es una pareja del plano si se esta en dos dimensiones ó un intervalo si se esta en una dimensión y
el segundo es un conjunto con dos elementos
CAPÍTULO V – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejercicios 5.1
1. xy2
1= , xy = , xy 2= xy 3=
2. Si la recta es de la forma xy a= , al moverse a partir de ( )00, a otro punto sobre la recta, se determinan las unidades de desplazamiento horizontal y las unidades de desplazamiento en sentido vertical, la pendiente se calcula hallando la razón entre el desplazamiento vertical y el movimiento horizontal. El signo de la pendiente es positivo si ambos movimientos se hacen en el sentido de los ejes, o ambos en sentido contrario; la pendiente es negativa si un movimiento es en el sentido del eje y el otro en sentido contrario.
3. La pendiente es negativa cuando el desplazamiento horizontal se hace en el sentido del eje y el
desplazamiento vertical en sentido contrario al eje, ó, viceversa. 4.
x
y=x y
5.
a<1
y=(a/2)x
x
y
6.
x
y
y=3x
Ejercicios 5.2
1.
y= – 3x+6
x
y
2.
y= – 3x+7
x
y
3.
x
y
y= –3x–4
b
-b
a
(a,-b)
(a,b) y
x
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 392
4. 4
11
4
3+−= xy
Corte eje x
0
311 ,
Corte eje y
4110,
5. 3
2
3
5+−= xy 6. 3
2
3+= xy 7.
7
10
7
2+= xy
8. 4112 −= xy 9. xy3
2−= 10.a.
3
8− 10.b. 2
10.c. 11− 10.d. Cero 11.a. 3
4 11.b. 1−
12. ( )21, ,
2
10, , ( )11 −− , 13.a. 92 += xy 13.b.
4
3
4
3+−= xy
Ejercicios 5.3
1. 3=y 2. 2=x 3. Falso. La recta 5=x no corta al eje y.
4. Falso. Es la ecuación del eje x. 5. Verdadero
6. Falso. No esta incluido porque el desplazamiento horizontal entre dos puntos cualesquiera de la recta es cero por lo tanto la pendiente no está definida.
Ejercicios 5.4
1. 2. 8. 16 y 19 − 9. 2 y
5
32 −− 10. 12
5-y
2
1
4
3
4
7−−− ,,
11. 9911 y 0152 ,,
3. 4.
12. 21
10e,decrecient −ℜℜ ,,
∞−
−∞−− ,,,,21
10
21
10
7
2
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
13. 32
e,decrecient,,ℜℜ
∞
∞− ,,,,3
2
3
2
3
1
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
14. 3creciente,,,ℜℜ
( ) ( )332
3,,,, ∞−∞−
-1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 393
15. 3creciente,,,ℜℜ ( ) ( )338 ,,,, −∞∞−
16. 5e,decrecient,,ℜℜ
( ) ( )∞∞− ,,,, 553
10
x
1 2 3 4 5 6 7 -1
1
2
3
4
5 y
17. 26 +−= xy
18.
19.
20.
21.
f(x)–1
f(x) x
y
22.
f(x-2) f(x) x
y
23.
f(x)
x
y
24.
x
f(x)
y
-1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2 y
x
3f(x) f(x)
x
y 3b
b
– f(x)
-b
f(x) x
y
b
x
y
f(x)+2
f(x)
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 394
Ejercicios 5.5
1.
7
8
14
17,
2.
187
127
17
91,
3.
−2
155 ,
4.
−
2
1
4
3,
5.
−61
570
61
115,
6. ( ){ }37 −,
7. ( ){ }22 ,
8.a xP 0002000000020 ... += 8.b 00022$ . 8.c formahay No
9.f ahamburgues la $300 y gaseosala 100 $
Ejercicios 5.6
1.
2.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3-2-1
1234567
-1 1 2 3 4 5
-2-1
1234567
Y=3X-1
Y=3X-5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
x
y y
x
-1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
1 2 3 4 5 6
-10 -8 -6 -4 -2
2 4 y
x
-2 -1 1 2 3
-3
-2 -1
1 2
3
x
y
-4 -3 -2 -1 1 -2
2
4 6 8
10
x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
y
-1 1 2 3 -1
1
2
3
x
y
-1 1 2 3 -1
1
2
3
x
y
-1 1 2 3 -1
1
2
3
x
y
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 395
3.
4.
Ejercicios de Recapitulación
1. Paralelas 2. Oblicuas 3. Oblicuas 4. Oblicuas 5. 3
8
6
1−−= xy
6.a. 4
5− 6.b. 3− 6.c.
2
3 6.d. No esta definida 6.e. 0
7. 4=x 8. ( ) 13
1+−= xxf , ( ) 1
2
3−= xxg , ( ) 3=xh , ( ) 2
5
2−= xxi 9. Si
10. 52
1−= xy 11. 21=p 12. ( )12 ,A = 13.a. Verdadero
13.b. Falso 13.c. Falso 13.d. Falso 13.e. Verdadero
13.f. Verdadero 14. 4=k 15.a. No hay corte con el eje x; ( )40, 15.b.
0
32
, ; ( )20 −,
15.c.
0
3
2, ; ( )20 , 15.d. ( )03 ,− ; ( )60 , 16. ( )21,=P 17.a. 1m =
17.b. 21
m = 17.c. 5m = 18. 11 19. 53 −= xy ; 1−=x
20. Falso 21. Verdadero 22. Falso 23. Verdadero
24. Verdadero 25. Falso 26. Verdadero 27. Verdadero
28. Verdadero 29. Falso 30. Falso 31. Falso
32. Verdadero 33. Falso 34. Verdadero
16.a
16.b 19 ó 20 $25.000, con y peliculas 11 ó 7 $15.000, Con
16.c $13.000 2, Plan 17.000 $, 1 Plan
16.d $23.400 valen que peliculas 18 Si
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
Y=X/2
Y=3/4X-1
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4 Y=5X-3
Y=-X+3
-5 5 10 15 20 25
5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
x
y
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 396
CAPÍTULO VI –ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GR ADO CON VALOR ABSOLUTO
Actividad Diagnóstica 1.
2.
3.
4.
5.
6. 3 unidades 7. No
Ejercicios 6.1
1.
2. 330 =⇔=− xx
3.
4.a. { }3y3 −>< xxx 4.b. ( )33;− 4.c. 33 <<− x 4.d. 3<X
5.
6. 35 =−x
7.
8.a. { }82 << xx 8.b. ( )82; 8.c. 82 << x 8.d. 35 <−X
9.
10. 42 >+x
11.
12. 352 =−x
13.
14.a.
><
2
7y
2
13xxx
14.b.
2
13
2
7;
14.c. 2
13
2
7<< x
14.d. 352 <−X
15. Los puntos cuya distancia a –3 es mayor a
2
1unidad.
16. Los puntos cuya quíntuple distancia a 1 es menor que 2 unidades.
17. Los puntos cuya distancia al origen es positiva y menor que 5.
18. 3=x 19. 32 ≤−x 20. 64 ≤+x
21. 2>x 22. 31 >−x 23. No hay expresión.
24.
25.
26.
27.
28.
29. Los puntos cuya distancia a 1− es menor que 3
30. El mínimo valor que puede tomar 1+x es
cero, porque es una distancia
31. Los puntos cuya distancia a 1− es menor que 3, por lo
tanto { }24 <<− xx ó ( )24;−
-3 -2 -1 1 2 3 0
-2 -1 0 1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3 0
-3 -2 -1 1 2 3 0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 0
0 5 7/2 13/2
1 2 3 4 5 6 7 8 0
1 2 3 4 5 6 7 8 0
0 5 7/2 13/2
-1 1 2 3 4 5 6 7 0
-2 -1 1 2 3 0
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 397
Ejercicios 6.2
1.
−
3
71, 2.
−
2
1
3
2, 3. { }2− 4.
−−
312, 5.
5
82,
6.
13
120, 7.
−− 5
73 , 8. ∅ 9. ∅
Ejercicios 6.3
1.
−35
31
, 2.
87
83
, 3.
∞
−∞− ,,2
1321
U 4. [ )∞
−∞− ,, 43
8U
5.
−3
17, 6. { }0 7. [ ]22,− 8. [ )∞
∞− ,, 858
U
Ejercicios 6.4
. 1.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
1
2
3
x
y
2.
-2 -1 1 2 3
1 2
3 4 5
x
y
3. Es la misma
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1 2
3 4 5
x
y
4. xy −= es la simétrica con respecto al eje x de xy ==== . Tienen un punto en común ( )00 , y difieren en
el rango Gráfica Punto 4
x -4 -2 2 4
-4
-2
2
4 y
5.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
2 3 4 5 6 y
1 x
6.
2
8/3
x
y
7.
1
1
2
x
2/7
y
8.
2 4 6 8 10 12
-3
-2
-1
1 y
x
9.
-3 -2 -1 1 2 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 x y
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 398
10. 451 ,, − 11. 635 ,, 12. [ )∞,2
13. ( ]0,−∞ 14.
∞−
∞3
2:decre
3
2:crec ,, 15. ( ) [ )∞∞ -3,:decre ,-3-:crec
16. 3
2 minimo tiene, no maximo 17. tiene no minimo
6
5 maximo
Ejercicios de Recapitulación
1.a. 2 1.b. 4
7 1.c.
2
3 1.d.
4
7
1.e. 6 1.f. 1 2.a. 2
7 2.b.
8
11
2.c. 1 3. 1 4. 3 5. 11
6. 15
2 7. –15 8. –3 9. 11
10. π−4 11. π−4 12. 3 13. 1
14. 713 ,− 15. 4 16. 2
5 17.
90
229
18. 3
5 19.
3
29− 20. Verdadero 21. Falso
22. Falso 23. Falso 24. Falso 25. 4, 6, 5, 12, 4
26. { }711 −− , , ( ] [ )∞−−−∞ ;; 28 U , [ ]31; , ( )122;− ,
( ) ( )∞−−∞ ;; 33 U 27.a. 25 27.b. 85
27.c. 85 28. 100m ó 500m 29. 2,25 millas ó 0,75 millas
30. { }32 −, 31. { }10 32.
−
34
2,
33. ( ] [ )∞−−∞ ,, 511 U 34. [ ]42, 35.
29
45
,
36. [ ]2418,
37.
−
316
54 ,
38. ∅
39. ( )53,−
40. ( ] [ )∞−−∞ ,, 78 U
41. 42. 41 += xy
22 +−= xy
13
13 −−= xy
43. ( )
−<+−≥+−
=1si4
1si2
xx
xxxf ó
( ) 31 ++−= xxf
44.
−4
1
4
15, y
−2
5
2
9,
45. 1−= xy
46. 2−= xy
47. 1+−= xy
48. 23 −+= xy
-2 2 4 6
-4 -3 -2
-1
1 x
y
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 399
CAPITULO VII – FACTORIZACIÓN
Ejercicios de Recapitulación
1. 34 2 −−−−−−−− xx 2. ( )32a +x 3. ( )4m −x 4. ( )vuuv 233 + 5. ( )346 +x 6. ( )( )xx −+ 1010 7. ( )( )7373 −+ xx 8. ( )( )5454 −+ xx 9. ( )( )yxyx 5252 −+ 10. ( )( )549 −+ xx 11. ( )24852 2 ++ xx 12. ( )( )410 ++ xx
13. ( )( )38 −− xx 14. ( )( )68 −− xx 15. ( )( )79 −− xx 16. ( )( )78 +− xx 17. ( )( )yxyx 218 −+ 18. ( )( )yxyx 410 +− 19. ( )( )412 −− xyxy 20. ( )( )216 +− xyxy 21. ( )( )145 −+ xx 22. ( )( )2102 −+ xx 23. ( )( )126 −− xxy 24. ( )( )532 ++ xx 25. ( )( )yxyx −+ 26. ( )( )11 2 ++− xxx 27. ( )1432 22 −− mmm
28. ( )( )( )( )22222 424222 yxyxyxyxyxyxyx +−++−+
29. ( )( )110100110 242 +−+ xxx 30. ( )( )xx 4325 +−
31. ( )( )baba −−++ 2424 32. ( )4335 22 +− xxx
33. ( )( )432234 nmnnmnmmnm +−+−+ 34. ( )( )22 babababa ++++− 35. ( )( )48 −+ xx 36. ( )( )43 ++ rr
37. 2
54
+
yx 38. ( )( )2222 332332 babababa +−++
39. ( )( )nmba 354 2 +−
40. ( )( )( )( )2222 4694692323 nmnmnmnmnmnm +−++−+ 41. ( )( )dcnadcna −−−++− 42. ( )( )nmbanmba 3232 −−++++ 43. ( )( )475 −+ xx 44. ( )234 ba −
45. ( )335 −x 46. ( )( )122 +++− yxyxyx 47. ( )( )15341534 ++−−−− mxamxa 48. ( )( )xaxxyy 3222 −−+ 49. No es factorizable en los enteros. 50. ( )( )yxxyxx 357357 22 +−−+
51. ( )25 yx − 52. ( )( )( )12214254 2 +−+− xxxx
53. ( )( )22 axbx −− 54. ( )( )( )yyy +−+ 2212
55. ( )( ) ( )( )252553 2 −++++− yxyxyxyx 56. ( )( )2534 −− xyxy
57. ( )( )2943 ++ abab 58. ( )( )33 +−++ yxyx
59.
+−
+ ba
baaaba
a
zyzyxx
zyx 64
32232
2422
1
60. ( )( )851 −+ xx 61. ( )( )46 −+ xx 62. ( )( )16 +− xx 63. ( )( )252 −+ xx 64. ( )( )3432 −+ xx 65. ( )( )xx −+ 527
66. ( )( )22422 yyaxxayax +−+ 67. ( )( )2222 333 yaya +−
68. ( )( )cabcab +− 22 69. ( )( )zxyzxy 33 +−
70. ( )( )( )422222 dcbacdabcdab ++− 71. ( )( )2242 16129432 yyxxyx ++−
72. ( )( )12412 222 ++− abccbaabc 73. ( )( )22424 422 zzyyzyy ++− 74. ( )( )22 +− xx
75. ( )26+x 76. ( )( )3483 −+ xx 77. ( )( )7645 −+ xxa
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 400
78. ( )( )43 −+++ yxyx 79. ( )( )833 22 −− xx 80. ( )zyx ++4
81. ( )( )baybay ++−+ 82. ( )2abx − 83. ( )( )( )1122 +−+ xxy 84. ( )( )dcdab ++ 85. ( )( )132 ++ xx 86. ( )( )11 +++ aaxx 87. ( )( )14++ cba 88. ( )2322 yxx + 89. ( )215 +xcx
90. ( )22 baat + 91. ( )22+xa 92. ( )( )ax ++ 42
93. ( )( )153 ++ xx 94.
+
−3
2
23
2
2
xx 95. ( ) 22100
1+x ó ( ) 22
25
1+x
96. ( )213100
1−x 97. ( )232 −x
98. ( )( )22 16202545 srsrsr ++− 99. No es factorizable en los enteros
100. ( )32−x 101. ( )( )11 ++−+ yxyx 102. No es factorizable en los enteros 103. No es factorizable en los enteros 104. ( )( )dcbadcba 2222 −−++++ 105. ( )237 ++ yx
106. ( ) 32 yx − 107. ( )345 −y
108. ( )33+zz 109. ( )21++ aax
110. 2
3
−y 111.
+
− 1414 xx
112.
+
− 10108 xx 113. ( )( )2332 −+ nn bbb
114.
−
+
97
97 55
xn
xn b
ab
a 115. ( )( )51 3 ++ xx n
CAPÍTULO VIII – RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLIN OMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Ejercicios 8.1
1. { }3− 2.
−
2
1
3
2, 3. { }1313 ,−
4. { }310 ,− 5.
−
2
3
2
3, 6. { }2112 ,,,−−
7. El grado define el máximo número de posibles raíces.
Ejercicios 8.2
1.
+− 114114 , 2.
−
3
21,
3.
+−2
293
2
293,
4.
+−−− 623623 ,
5. ∅
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 401
Ejercicios 8.3
1.
+−6
939
6
939, 2.
+−−−2
2310
2
2310,
3.
+−5
55
5
55, 4.
+−
15
70
3
1
15
70
3
1,
5.
−
2
1
2
3, 6.
− 2
3
1,
Ejercicios 8.4
1. Tiene 2 soluciones reales diferentes 2. Ninguna solución en los reales
3. Tiene una sola solución real
4. 02
22
2
22=
−−
+− dd
5. 02
102
2
102=
−−
+− xx 6. 0
3
5
3
5=
+
− xx
7. La ecuación cuadrática cuyas soluciones son 2
7=x y
3
1−=x es 07196 2 =−− xx
8. La ecuación cuadrática cuyas soluciones son 2
51+−=x y
2
51−=x es 012 =−+ xx
Ejercicios de Recapitulación 1. { }52 ,− 2.a. 18ó2 == dd
2.b. 9
85410ó
9
85410 −=
+= dd 3.
2
12 −=r
4. –13 y –12 ó 12 y 13 5. –5 y 2
6. 6 y 7 7. 6 cm
8. 7 9. 6, 8, 10
10. 2 u 11. –12 y –10 ó 10 y 12
12. 70m x 140m 13. 12cm x 5cm
14. 5m y 12m 15. 3und3
32 ππππ
16. 0,35cm 17. 10 filas, 18 hombres c/fila
18. 5 m 19. 20
91pies
20. 17,05cm 21. Largo:11,63 plg., Ancho: 15,03 plg.
22. 4cm x 5cm ó 7,36 cm x 0,68 cm
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 402
CAPÍTULO IX – INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARI ABLE
Ejercicios 9.1
1. ( ) ( )∞−−−∞ ,, 22 U 2. ( )31,− 3.
−2
31, 4. ( ) ( )∞−∞ ,, 52 U
5.
−5
3
5
3, 6. (((( ))))33 ,−−−− 7. ∅ 8. ∅
9. { }3− 10. ∅ 11.
+− 191191 , 12.
−−2
13 ,
13. ℜℜℜℜ Ejercicios 9.2
1. ∅∅∅∅ 2.
+−−
−−− 211121 ,, U
3. [ ]22 ,− 4. ( ] [ )∞
+−−∞− ,,, 3
2
171
2
1712 UU
5. ℜℜℜℜ Ejercicios 8.1 Ejercicios de Recapitulación
1. [ ]80 , 2. [ ]05 ,− 3. ( )21, 4. ( ] [ )∞−−∞ ,, 22 U
5. [ ]44 ,− 6. ℜℜℜℜ 7.
++− 255255 ,
8.
+20
5
21416, 9.
530 << m 10.a ( )0,−∞∈m 10.b
32=m
10.c ( )
∞−∞− ,,3
22 U 11. ( )10 ,
12. Falso. También puede ser 2−≤x 13. Falso. Es 11 ≤≤− x
14. 5153 ,, ≥−x 15.
∞
−∞− ,, 6464 U
CAPÍTULO X – FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejercicios de Recapitulación
1. 12272 22 −−−− aaa ,,, 2.a.
2.b.
3.a. ( ) 522 −−−= xxxf 3.b. No se puede. 3.c.
2 4
-6
-4
-2
2 x
y
-4 -2 2
2
4
6
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 y
x
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 403
4.a. ( ) 34
15
4
3 2 +−= xxxf
4.c. ( ) 32 2 +−= xy
5.a. Falso
5.b. Verdadero
5.c. Verdadero
5.d. Falso
5.e. Verdadero
5.f. Verdadero
6. La c
4.b. Hay infinidad de parábolas que cumplen con esta condición.
7.a. 22 xy −= 7.b. 42 +−= xy 7.c. ( ) 212 2 −−= xy 7.d. ( ) ( ) 5452 22 +−=+−= xyóxy 7.e. 4=a
7.f. 22
1 == ca 8. 12 −= xy
9. ( )21−= xy
10. 22 xy = 11. 12 2 +−= xy 12. ( ) 213
1 2 −−−= xy
13. ( ) 123 2 ++= xy
14.
Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3
Coordenadas del vértice ( )10 −, ( )01, ( )00 ,
Ecuación eje de simetría 0=x 1=x 0=x
Coordenadas corte eje x ( ) ( )01y01 ,,− ( )01, ( )00 ,
Coordenadas corte eje y ( )10 −, ( )10 , ( )00 ,
Coordenadas punto máximo No aplica No aplica No aplica
Coordenadas punto mínimo ( )10 −, ( )01, ( )00 ,
Dominio ℜ ℜ ℜ
Rango [ )∞− ,1 [ )∞,0 [ )∞,0
Ecuación de la forma
( ) kha 2 +−= xy ( ) 10 2 −−= xy ( ) 01 2 +−= xy ( ) 002 2 +−= xy
Ecuación de la forma
cba 2 ++= xxy 12 −= xy 122 +−= xxy 22 xy =
Ecuación de la forma ( )( )21 rra −−= xxy ( )( )11 +−= xxy ( )( )11 −−= xxy ( )( )002 −−= xxy
Coordenadas del vértice ( )10 , ( )21 −, ( )12 ,−
Ecuación eje de simetría 0=x 1=x 2−=x
Coordenadas corte eje x
− 0
2
2y0
2
2,, No hay No hay
Coordenadas corte eje y ( )10 ,
−3
70 , ( )130 ,
Coordenadas punto máximo ( )10 , ( )21 −, No aplica
Coordenadas punto mínimo No aplica No aplica ( )12 ,−
Dominio ℜ ℜ ℜ
Rango ( ]1,−∞ ( ]2−−∞ , [ )∞,1
-2 -1 1 2 3 4 5 6 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2 -1
1 2 3 4 5 6 y
x
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 404
Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Ecuación de la forma
( ) kha 2 +−= xy ( ) 102 2 +−−= xy ( ) 21
3
1 2 −−−= xy ( ) 123 2 ++= xy
Ecuación de la forma
cba 2 ++= xxy 12 2 +−= xy 3
7
3
2
3
1 2 −−−= xxy 13123 2 ++= xxy
Ecuación de la forma ( )( )21 rra −−= xxy
+
−−=
2
2
2
22 xxy No aplica No aplica
15.a. 0 15.b. 22 ,− 15.c. 4− 15.d. ( )40 −,
15.e.
-3 -2 -1 1 2 3 -1
1
2
3
4
5 y
x
15.g.
-2 -1 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 y
x
15.f. ( ) 2xxg =
15.h. ( ) ( ) ( )4242 2 −−−= ,,xxh
16. 245 : 17. 000205.$ 18. pies3119 ,
20.a. 3y
20.b. 4y
20.f. 55 × 20.g. Hay muchas posibilidades
CAPÍTULO XI – SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES
Ejercicios 11.1
1. ( ){ }313 ,
2.
+−−
−−+6
29176
2916
29176
291 ,,,
3. ∅∅∅∅ 4.
−−−
+−+3
135
3
134
3
135
3
134,,,
5. ( ){ }53 ,
Ejercicios 11.2
1. ( ) ( ){ }7311 ,,,−− 2. 3. ( )31,−
4.
+−2
233
2
233,
5.
− 22 ,
X
Y
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 405
Ejercicios de Recapitulación
1. ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 532523134 2 −+=+=−−− xxgxxf,,,
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1012239
82
3
123 22 +−−=+−=
xxkxxh,,,
3. ( ) ( ) 633333 2 +−==
−
xxmxl,,,
4. ( ) ( ) ( ) ( ) 533
13
3
4
3
11573 2 −−=+−=
−− xxlxxj,,,
5. cm 3 y cm 5 6. 35 7. m69679 y m3120 ,,
CAPÍTULO XII – FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejercicios 12.1
1. 0 y 0 para 54 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−− yxxy 2. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− xyx
3. 0 y 0 para 23 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−− yxxy 4. 0 y 0 para 1 2 ≠≠≠≠≠≠≠≠−−−−++++ yxxx 5. 0 y 0 para 23 ≠≠≠≠≠≠≠≠++++ yxyx 6. 2 2 ,1 Para ≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠ aaa , Ejercicios 12.2
1. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− aaa 2. 0 para 23 ≠≠≠≠−−−− aa
3. 0 para 42 ≠≠≠≠++++−−−− aa 4. 0 para 4
32
4
≠zyxz
y,,
5. baba 2 y 3 para 61 ≠−≠ 6. (((( )))) 04 para
24
94811 2≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠
++++−−−−−−−−−−−−
xxxx
xx,
7. 2
1
3
123 para
3
3≠≠≠≠≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠≠≠≠≠
−−−−++++
xxxxx
x,,, 8.
( )( )( )( ) 41 para
14
32≠±≠
+−
−−aa
aa
aa,
9. ( )( )0ypara
333
96927
3
22223
≠±≠
+−−+−+
yyx
xyyxyxxyxyyxx
10. 2
3
53
2 para
32
1 yx
yx
yx
yx−−−−≠≠≠≠−−−−≠≠≠≠≠≠≠≠
++++,,
Ejercicios 12.3
1. 4 :Residuo 339 :Cociente 2 −+ yy 2. 3682 :Residuo 31124 :Cociente2 −++ xxx
3. 232 5 :Residuo 6 :Cociente yyyyxy −+− 4. 2 :Residuo 23 :Cociente 2 +− xx
5. 1 :Residuo 12 :Cociente 2 −− xx 6. 72 :Residuo 43 :Cociente −+ xx
7. ababbabaa ++−−+ 22234 526
8. 2+x 9. 3 10. 32
13712
2 −+
++−
xx
xx
11. 1532 13. 2 y 3 14. 3 y 3 242 +−+−− xxxx
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 406
Ejercicios de Recapitulación
1. 1320 Para 2 +−−≠ xxx 2. aa 40 Para ≠
3. ( )
6
14
41 y 06 Para
++
−−≠x
xxx , 4. ( )( )5213
34
2
5- y
3
1 Para
+−≠
rrr
r
5. ( )213
76
3
1 Para
+
−−≠
x
xx 6.
4
23 1520 Para
t
tttt
++−≠
7. ( )22
23
32
63661018
2
3 y 0 Para
−
+−−≠
xx
xxxx 8.
255
2 4,-2,,0 Para
+±±≠
a
aa
9. x
xx
120 y 2 Para
−−≠ 10.
710
15723 - y 1 Para
2
2
++
++−≠
xx
xxx
11. 2a6a2a3-3a Para −−+≠ xxx 12. ( )( )1a2a2-2a Para +++≠ xxx
13. aaa 5 0 Para 3 +≠ 14. aa 2 0 Para −≠
15. 3
422 y 3 Para
2
−++
±≠p
ppp , 16.
( )a
baba
−−≠±≠ 0b y 0b Para ,
17. baa −≠≠ 0b y 0 Para 18. yx
yxyxyx
+++
≠≠22
0 y 0 Para
19. ( )
( ) ( )xx
xxx
−+
+−−≠
11
541 y 0 Para
2 20. ( )( )srsr
rssr
+−≠≠ 0 y 0 Para
21. 125 0 Para +−≠ aa 22. ( )( )10 y 0 Para −−−≠≠ bababa
23. ( )
23
33
3
2 - Para
++
≠x
xaxx 24. aa 6 0 Para ≠
25. 13 s y21 Para ±≠≠−≠ ss , 26. 1
16
24
3
++
−
xx
x
27.a 12
17 27.b 72 ±
28. ( )( )2223 2 +−+ xxx 29. Da la misma respuesta
CAPÍTULO XIII – RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRA ICAS EN UNA VARIABLE
Ejercicios 13.1
1. { }3
13 y
2
53 si3 ,−≠x 2. { } 18 y 0 si 636 ≠s,
3. 2 si 9
5±≠
y 4. 1 si 2
13 ≠
x,
Ejercicios 13.2
1. ( ) [ ) 7 si 37 −≠∞−−∞ x,, U 2. ( ) ( ) 8 si 83 ≠∞−−∞ x,, U
3. ( ) ( ) 8 si 68 −≠∞−−−∞ x,, U 4. [ ) [ ) 2 si 2123 ±≠−− x,, U
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 407
5. 2 si −≠∅ x 6. 3 y 0 si 32
3
2
3≠
−∞− x,, U
7. ( ] ( ] 1 y 2 si 3112 −≠−− x,, U 8. [ ) 2 si 322
1≠∞
− x,, U
Ejercicios 13.3
1. 32
32
322
−
−− ,, U 2.
61
31-
31
65
−− ,, U
3. 9100
31
− ,, U 4. { }3−ℜ
Ejercicios 13.4
1. 21 si 7
1
2
47 −≠≠
yx, 2. 00 si
5
11
7
22 ≠≠
−− yx,
Ejercicios de Recapitulación
1.
≠
3
4 si
7
18x, 2.
≠ 8 si
97
744x,
3.
≠≠
3
2 y 1 si 0 xx, 4. { }ba y ba si b3 −≠≠,
5. ( )
( )( )
≠
++++
0c y ba, si abc1cba
abcabc 2, 6.
≠≠≠
+-nm y 0p 0 si
r
nm,, x
7.
≠ 1 si
3
4x, 8. ∅
9. { }2n si 1 ±≠, 10. { }17 si 5 −±≠ ,, x
11. { }0y2 si 2 ≠−≠ yy ,, 12. [ ) 1 si 14 ≠− x,
13. 0 si 2
50 ≠
x, 14. ( ] ( ) 1 si 101 ±≠∞− x,, U
15. ( ) ( ) 0 si 10 ≠∞−∞ x,, U 16. ( ] 1 si 13
2≠∞
∞− x,, U
17. ( ) 2 si 2 ≠−∞ x, 18. 3 si ≠∅ x
19. 3
7y
2
3 si
4
7
14
31
2
3≠
∞
c,, U 20. ( ) 2 y 3
2
3 si 32 ,, −≠x
21. ( ) ( ) 2 y 13 si 321 −≠∞− ,,, xU 22. ( ) ( ) 2 y 1 si 1123 −−≠−−− x,, U
23. 3
1 y 0 si 0
3
1−≠
− x, 24. 1 si 2
3
2
1≠
∞
∞− x,, U
25. 1 si −≠∅ x 26. 3 si 5
26
7
10,- ≠
∞
∞ x,U
27. { }1−ℜ 28. ( ) ( ) 10 si 2410 −≠∞−− x,, U
29. ( ] [ ) 2 y 1 si 112 ≠−−−∞ x,, U 30. 1 si 2
1
3
5−≠
∞−
−∞− x,, U
31. 2
215 y
2
215 −+ 32. Carlos 20 días, Andrés 30 días
33. 36 minutos 34. 1 hora 52 minutos
35. { }
−−
3
1
3
2
3
5 ó 654 ,,,, 36. 22 y 24
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 408
CAPÍTULO XIV - EXPONENTES RACIONALES Ejercicios 14.1
1. 211
0 Si yy −> , 2. 22
220 y 0 Si
xy
yxyx
+≠≠ ,
3. 0 para 6077 2
7
≥xx 4. 34
32
31
4
2413
2
222
+
−
+
−
x
xxx
5.
( )23
94
1812
2 +
+−
x
x 6. 10 y 0 Si ,≠≠ yx
7. 1063
25
5
5
00 Sixy
yxyx
−≠> ,, 8.
+>> 54
29
2103
10 y 0 Si xyy
xyx ,
9. 10
30 y 00 Si
y
zxxyz ,, ≠≠> 10.
90 y 0 Si
5 xyyx ,≠≠
11. ( ) ( ) 3
2
32236
19623
32 Si
23
++
−−−≠−≥xx
xxx ,,
Ejercicios 14.2
1. { }1 si 5 ≥x 2. { }2 si 4 ≥x 3. { }0 si 25 ≥x 4.
≥
4
3 si 3 x
5. { }1 si 2 ≥x 6. { }2 si 6 ≥x 7. 15=c 8. 4
15
2
33
2
17
2
41 ó 313517 ,,,,,,
Ejercicios de Recapitulación .
1. ba
1 , -ba Si
+≠ 2. 1 , 0 y 0 Si ≠≠ yx 3. 1 , 0a Si ≠ 4.
4
34
x , 0 y 0a Sia
x >>
5. 5 4484 5 zyx 6. 820 Si ,≥x 7.
3
4 si
3
32≥
x 8. { } 2 si 6 ≥a
9. { } 0 si 64 ≥w 10. { } 5 si 9 ≥z 11. { } 3 si 4 ≥x
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 409
CAPÍTULO XV - EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS Ejercicios 15.1
1. { }13 −, 2. { }4 3. { }0 4.
−
3
2 5.
9
2
Ejercicios 15.2
1. 2
5 2. 1 3. 2− 4.
c
axlog 5. 431,
6. 7052 , 7. 6=x 8. 6=x 9. 2 ó 5 == xx 10. 100 ó 1 == xx
11. 3=x 12. 16=x 13. soluciónhay No 14. 4141 === xxx ,,
Ejercicios de Recapitulación.
1. { }1− 2.
2
1 3.
+
3
265
log
log 4. { }3
5. { }4 6. { }33 7. { }10 , 8. { }1
9. { }e 10.
+ 5e 11. { }63 12. { }432 −=== zyx ,,
13.
∞−2
5, 14. ( )∞,2 15. ( )∞
−∞− ,, 32
3U
18. El error está en la segunda línea ya que no se cambió el sentido de la desigualdad.
CAPÍTULO XVI - FUNCIÓN COORDENADA
Ejercicios 16.1
1. ππππ10
2. 2
17 ππππ 3.
2
15 ππππ
4. ( )
=+ℜ 1 :Rango : Dominio 22 yxyx ,
5. La abscisa es igual y la ordenada es el opuesto aditivo. 6. ( )10 , 7. ( )01 ,− 8. ( )10 ,
9. II cuadrante. 10. II cuadrante 11. I cuadrante
12. III cuadrante. 13. III cuadrante 14. IV cuadrante
15. III cuadrante 16. III cuadrante
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 410
Ejercicios 16.2
1.
2
1
2
3, 2.
−
2
2
2
2, 3.
2
2
2
2,
4.
−−
2
1
2
3, 5.
2
3
2
1, 6.
−
2
2
2
2,
7.
−
2
1
2
3, 8.
2
3
2
1, 9.
5
3 ππππ
10. 5
7 ππππ 11. 5
8 ππππ
Ejercicios de Recapitulación
1. No pertenece
2. 6
5 ππππ− 3. 4
5ó
4
ππππππππ
4. 4
7ó
4
3 ππππππππ 5.
4
7ó
4
3 ππππππππ
6. Verdadero
7. Verdadero 8. Verdadero 9. Verdadero 10. Falso 11. Verdadero, ya que a pesar de
que la hipótesis es falsa 12. 2
13. 2
14. 2
1324
++
15.
13
12
13
5,
16.
−13
12
13
5, 17.
−−13
12
13
5, 18.
−13
12
13
5,
19.
−−13
12
13
5, 20.
5
1− 21. 5
CAPÍTULO XVII - FUNCIÓN CIRCULAR Ejercicios 17.1
1. 2
2 2. 21 3. 3− 4. 2
5. 3
3− 6. 2 7. 23 +
8. 1−
9. 362 + 10. 2 11. III Cuadrante 12. II Cuadrante
13. 3
3 14. 2− 15.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )31
310
103
10
1
10
3
−==
−=−=
−==
ss
ss
ss
ctgcsc
sectan
cossen
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 411
Ejercicios 17.2
1. 2.
3. 4.
5. 6. xy sen2= , Rango: [ ]22 ;−
Amplitud: 2 ,Coord. Pto. Máximo:
π2
2,
Coord. Pto. Mínimo:
−π2
2
3,
Creciente:
ππ
π2
2
3
20 ,, U
Decreciente:
ππ2
3
2, , y > 0: ( )π,0
y < 0: ( )ππ 2, ,y = 0: ππ 20 ,,
7. xy sen2
5−= , Rango:
−2
5
2
5; , Amplitud:
2
5, Coord. Pto. Máximo:
π2
5
2
3,
Coord. Pto. Mínimo:
−π2
5
2, , Creciente:
ππ2
3
2, , Decreciente:
ππ
π2
2
3
20 ,, U
y > 0: ( )ππ 2, , y < 0: ( )π,0 , y = 0: ππ 20 ,, 8. xy sen3= 9. xy sen2−=
ππππ/2 ππππ 3ππππ /2 2ππππ
-1.0
-0.5
0.5
1.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-2.0-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.52.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-2.0-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.52.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 412
Ejercicios 17.3
1. 2.
3.
4.
5. Rango: [ ]5451 .;. , Amplitud: 1.5
Coord. Pto. Máximo:
2
9
2
3,
ππππ
Coord. Pto. Mínimo:
π
23
2,
Creciente:
2
3
2
ππππππππ,
Decreciente:
ππππππππππππ
22
3
20 ,
,, U
y > 0: ( )ππππ20 , , y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x
6. ( ) 502 .+−= xseny 7. No hay cortes con el eje x, corta al eje y en 2.5, el rango es : [[[[ ]]]]32; Amplitud: 0.5
Coord. Pto. Máximo:
3
2,
ππππ, Coord. Pto. Mínimo:
2
2
3,
ππππ Creciente
ππππππππππππ
22
3
20 ,
,, U
Decreciente: :
2
3
2
ππππππππ, , y > 0: (((( ))))π20, y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ
-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5
0.51.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0-0.5
0.51.01.52.02.53.03.54.0
ππππ/2 ππππ 3ππππ/2 2ππππ-1.0-0.5
0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 413
Ejercicios 17.4
1. 2.
3.
4.
5. Coord. Pto. Máximo:
8
2,
ππππ
Coord. Pto. Mínimo:
4
2
3,
ππππ
Decreciente:
2
3
2
ππππππππ, , Creciente:
ππππππππππππ
22
3
20 ,
,, U
y > 0: ( )ππππ20 , , y < 0: Para ningún valor de x y = 0: Para ningún valor de x Rango: [ ]84 ; , Amplitud: 2
6. Coord. Pto. Máximo:
2
1
2,
ππππ
Coord. Pto. Mínimo:
−2
3
2
3,
ππππ
Decreciente:
2
3
2
ππππππππ, , Creciente:
ππππππππππππ
22
3
20 ,
,, U
y > 0:
6
5
6
ππππππππ, , y < 0:
ππππππππππππ
26
5
60 ,, U
y = 0: 6
5
6
ππππππππ == xx
Rango:
−2
1
2
3; , Amplitud: 1
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π 5π/25π/25π/25π/2
−π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2
−3.0−3.0−3.0−3.0
−2.0−2.0−2.0−2.0
−1.0−1.0−1.0−1.0
1.01.01.01.0
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.51.01.01.01.01.51.51.51.52.02.02.02.02.52.52.52.53.03.03.03.03.53.53.53.54.04.04.04.04.54.54.54.5
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ
−3.5−3.5−3.5−3.5−3.0−3.0−3.0−3.0−2.5−2.5−2.5−2.5−2.0−2.0−2.0−2.0−1.5−1.5−1.5−1.5−1.0−1.0−1.0−1.0−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.5
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
1.01.01.01.02.02.02.02.03.03.03.03.04.04.04.04.05.05.05.05.06.06.06.06.07.07.07.07.08.08.08.08.0
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−1.5−1.5−1.5−1.5
−1.0−1.0−1.0−1.0
−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.5
1.01.01.01.0
1.51.51.51.5
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 414
7. Coord. Pto. Máximo:
−4
1
2
3,
ππππ
Coord. Pto. Mínimo:
−−4
5
2
33,
ππππ
Decreciente:
−−2
33
2
3 ππππππππ,
Creciente:
−π−π
−π
232
233
23
23 ,, U
y = 0: Los valores se obtienen usando calculadora
Rango:
−4
1
4
5; , Amplitud:
4
3
8.
−=6
2ππππ
xy sen
Ejercicios 17.5
1. 2.
3.
4.
5.
−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444 5555
−1.5−1.5−1.5−1.5
−1.0−1.0−1.0−1.0
−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.5
π/6π/6π/6π/6 π/3π/3π/3π/3 π/2π/2π/2π/2 2π/32π/32π/32π/3
−1−1−1−1
1111
ππππ 2π2π2π2π 3π3π3π3π 4π4π4π4π 5π5π5π5π 6π6π6π6π 7π7π7π7π 8π8π8π8π
−1−1−1−1
1111
ππππ
−1−1−1−1
1111
0.50.50.50.5 1.01.01.01.0 1.51.51.51.5 2.02.02.02.0
−1−1−1−1
1111
10π/310π/310π/310π/3 20π/320π/320π/320π/3 10π10π10π10π 40π/340π/340π/340π/3
−1−1−1−1
1111
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 415
Ejercicios 17.6
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8. ( )xsenyóxy 44 −== sen
9. ( ) ( )π+−=π+= xsenyóxy 3737 sen
10. 22
32 −
π+= xy sen
11. Para la función 36
32 +
π−= xy sen :Amplitud: 32 , Período : ππππ2 , Desfase: derecha la a 6
π,
Traslación vertical: x eje del arriba unidades 3
Para la función 13
22 −
π−−= xseny : Amplitud: 2 , Período : ππππ , Desfase: derecha la a 6
π
Traslación vertical: x eje del abajo unidad 1
2π/32π/32π/32π/3 4π/34π/34π/34π/3 2π2π2π2π 8π/38π/38π/38π/3 10π/310π/310π/310π/3 4π4π4π4π 14π/314π/314π/314π/3
−1−1−1−1
1111
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−1−1−1−1
1111
2222
π/4π/4π/4π/4 π/2π/2π/2π/2 3π/43π/43π/43π/4 ππππ 5π/45π/45π/45π/4 3π/23π/23π/23π/2
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
−π/15−π/15−π/15−π/15 π/15π/15π/15π/152π/152π/152π/152π/15π/5π/5π/5π/54π/154π/154π/154π/15π/3π/3π/3π/3 2π/52π/52π/52π/57π/157π/157π/157π/158π/158π/158π/158π/153π/53π/53π/53π/52π/32π/32π/32π/3
−1−1−1−1
1111
−π/3−π/3−π/3−π/3 π/3π/3π/3π/3 2π/32π/32π/32π/3 ππππ 4π/34π/34π/34π/3 5π/35π/35π/35π/3 2π2π2π2π 7π/37π/37π/37π/3
−1−1−1−1
1111
−0.5−0.5−0.5−0.5 0.50.50.50.5
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 416
12.
13. menterespectiva6
7
66
13
6
ππ
ππ,,
14. Para la primera función :
Cortes en el eje x : Zxx ∈π+π=π+π= k conk26
11yk2
2
3, Corte con el eje y : 33 +−=y
Para la segunda función :
Cortes en el eje x : Zxx ∈π+π=π+π= k conk12
13yk
4
3, Corte con el eje y : 13 −=y
15. Para la primera función en el ciclo fundamental: Máximo
+π323
3
2, , Mínimo:
+−π332
3
5,
Para la segunda función en el ciclo fundamental Máximo
π1
12
11, , Mínimo
−π3
12
5,
16. Para la primera función en el ciclo fundamental
ππ
ππ6
13
6
11
2
3
6,, U
Para la segunda función en el ciclo fundamental
ππ12
13
4
3,
Ejercicios 17.7
1.
2.
3.
4.
5.
6. ( )π+= xy 37 cos
7.
π+=
435 xy cos
8. π== Período2Amplitud ;
abajo1 Vert.Trasl.6
Desfase =π= ;
−π−π−π−π ππππ 2π2π2π2π−1−1−1−1
1111222233334444
555566667777
−5π/3−5π/3−5π/3−5π/3−4π/3−4π/3−4π/3−4π/3−π−π−π−π−2π/3−2π/3−2π/3−2π/3−π/3−π/3−π/3−π/3 π/3π/3π/3π/32π/32π/32π/32π/3 ππππ 4π/34π/34π/34π/35π/35π/35π/35π/3 2π2π2π2π
−3−3−3−3
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
−π π 2π−1
1
2
3
x
y
−π π 2π
−1
1
2
x
y
−π π 2π
−4−3−2−1
123
x
y
−π π 2π
−0.8
−0.4
0.4x
y
−π π 2π
−1
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 417
9.
10.
ππ
67
6,
11. Cortes con el eje x:
Zkkx ∈π+π= ,2
Zkkx ∈π+π= ,6
5
Cortes con el eje y: 2−=y
12. Máximos: Zkkx ∈π+π= ,33
2
Mínimos: Zkkx ∈π+π= ,6
13.
ππ
65
2,
Ejercicios de Recapitulación
1. Intervalo Función Comportamiento Desde Hasta
ππππ2
0 ,
θθθθsen Creciente 0 1
θθθθcos Decreciente 1 0
θθθθtan Creciente 0 Indeterminado
θθθθsec Creciente 1 Indeterminado
θθθθcsc Decreciente Indeterminado 1
θθθθcot Decreciente Indeterminado 0
ππππππππ
,2
θθθθsen Decreciente 1 0
θθθθcos Decreciente 0 – 1
θθθθtan Creciente Indeterminado 0
θθθθsec Creciente Indeterminado – 1
θθθθcsc Creciente 1 Indeterminado
θθθθcot Decreciente 0 Indeterminado
ππππππππ2
3,
θθθθsen Decreciente 0 – 1
θθθθcos Creciente –1 0
θθθθtan Creciente 0 Indeterminado
θθθθsec Decreciente –1 Indeterminado
θθθθcsc Creciente Indeterminado –1
θθθθcot Decreciente Indeterminado 0
ππππππππ
22
3,
θθθθsen Creciente –1 0
θθθθcos Creciente 0 1
θθθθtan Creciente Indeterminado 0
θθθθsec Decreciente Indeterminado 1
θθθθcsc Decreciente –1 Indeterminado
θθθθcot Decreciente 0 Indeterminado
2. Función Par / Impar Rango Período Valor máximo Valor mínimo
θsen Impar [ ]11 ,− π2 1 –1
θcos Par [ ]11 ,− π2 1 –1
θtan Impar ℜ π No existe No existe
θsec Par ( ] [ )∞−−∞ ,, 11 U π2 No existe No existe
θcsc Impar ( ] [ )∞−−∞ ,, 11 U π2 No existe No existe
θcot Impar ℜ π No existe No existe
−π π 2π
−3
−2
−1
1x
y
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 418
3. 3
4π 4. 1
5. 33
6. –1 7.
462 − 8.
262 −
9.
Rango:
−
31
31 .
10.
Rango: [ ]33,−
11.
Rango: [ ]73,−
12.
Rango: [ ]22,− 13.
Rango:
−
21
21 ,
14. Rango: [ ]31,
15. 16. Rango : [ ]40,
Rango: [ ]22.−
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−1−1−1−1
1111
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π 5π/25π/25π/25π/2 3π3π3π3π 7π/27π/27π/27π/2 4π4π4π4π
−3−3−3−3
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
3333
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−3−3−3−3−2−2−2−2−1−1−1−1
1111222233334444555566667777
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−3−3−3−3
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
3333
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.5
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.51.01.01.01.01.51.51.51.52.02.02.02.02.52.52.52.53.03.03.03.03.53.53.53.5
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−1.5−1.5−1.5−1.5
−1.0−1.0−1.0−1.0
−0.5−0.5−0.5−0.5
0.50.50.50.5
1.01.01.01.0
1.51.51.51.5
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
1.01.01.01.0
2.02.02.02.0
3.03.03.03.0
4.04.04.04.0
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 419
17. Amplitud: 3 Período: π2 Desfase: 2
π
18. Amplitud: 1 Período: π2 Desfase: 4
π−
19. Amplitud: 1 Período: 3
2 π Desfase: tiene no
20. Amplitud: 2 Período: 3
2 π Desfase:
3
π−
21. Amplitud: 2 Período: π Desfase: π−4
22. Amplitud: 1 Período: 3
2 π Desfase:
15
π−
23. Amplitud: 6 Período: 2 Desfase: No tiene
24. Amplitud: 4
1 Período: 4 Desfase: No tiene
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−3.0−3.0−3.0−3.0
−2.0−2.0−2.0−2.0
−1.0−1.0−1.0−1.0
1.01.01.01.0
2.02.02.02.0
3.03.03.03.0
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2 2π2π2π2π
−1.0−1.0−1.0−1.0
1.01.01.01.0
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2
−1.0−1.0−1.0−1.0
1.01.01.01.0
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
−π−π−π−π −π/2−π/2−π/2−π/2 π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
−4π/5−4π/5−4π/5−4π/5 −2π/5−2π/5−2π/5−2π/5 2π/52π/52π/52π/5 4π/54π/54π/54π/5 6π/56π/56π/56π/5 8π/58π/58π/58π/5
−1−1−1−1
1111
−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444
−6−6−6−6−5−5−5−5−4−4−4−4−3−3−3−3−2−2−2−2−1−1−1−1
111122223333444455556666
−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222 3333 4444
−0.50−0.50−0.50−0.50
−0.25−0.25−0.25−0.25
0.250.250.250.25
0.500.500.500.50
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 420
25. Período: π , Amplitud: 1, Desfase:2
1
Corte con eje x:
∈+π
= Zxx k2
1k
Corte con eje y: ( )( )10 sen−,
26. Período: π8 ,Amplitud: 4
1, Desfase: No tiene
Corte con eje x: No tiene
Corte con eje y: 4
5
27. Período: π4 , Amplitud: 1, Desfase: π Corte con eje x: No hay Corte con eje y: 2
28. Período: π2 , Amplitud: 2
1, Desfase: No tiene
Corte con eje x: { }Zxx ∈π= kk
Corte con eje y: 0 29. Período: π4 , Amplitud: 2, Desfase: No tiene
Corte con eje x: No tiene Corte con eje y: 1−
30. Período: π , Amplitud: 3, Desfase: 4
π
Corte con eje x:
∈π
+π
= Zxx k2
k
4
Corte con eje y: 3−
31. Período: π Amplitud: 5 Desfase: 8
π−
Corte con eje x:
∈π+π
= Zxx kk8
U
∈π+π= Zxx kk
85
Corte con eje y: 2
25
32. Período: π3
2, Amplitud: 2, Desfase: No tiene
Corte con eje x:
∈π
= Zk3
kxx
Corte con eje y: 0
33. Período: π2 , Amplitud: 1, Desfase: 4
π−
Corte con eje x:
∈π
−π= Zxx k4
k
Corte con eje y: 2
2
34. Período: 3
2 π, Amplitud: 2, Desfase:
6
π
Corte con eje x:
∈π+π
= Zxx k3
k
Corte con eje y: 0
35. Período: π2 , Amplitud: 3, Desfase: 3
π izq
Corte con eje x:
∈π
−π= Zxx k3
k
Corte con eje y: 2
33
36. Período: 3
2 π, Amplitud: 2, Desfase:
6
π
Corte con eje x:
∈π+π
= Zxx k6
k3
Corte con eje y: 0
37. Período: π2 , Amplitud: 3, Desfase: π−
Corte con eje x:
∈π
−π= Zxx k2
k
Corte con eje y: 3−
38. Período: π4 , Amplitud: 2
1. Desfase:
3
2 π
Corte con eje x:
∈π
+π= Zxx k4
5k2
Corte con eje y: 4
1
39. Período: π4 , Amplitud: 1, Desfase: π
Corte con eje x:
∈π+π
=
∈π+π
= ZxxZxx kk43
13kk4
3
5U
Corte con eje y: 2
1−
42. ( )π−= 222
1xseny ó ( )π−−= 22
2
1xseny 43. Zkkx ∈−π= ,2
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 421
44. Zk2k ∈−π=x 45.
2
230 ,
46. ( )10 −, 47. ( )xy 3cos=
48.
π+−=
42
3
2
1 xseny 49.
π+π=
2xy cos
50. 2
1
22
1+
π+π= xy cos 51. El seno y el coseno, así como la secante y la
cosecante
52.
π
π
π2
4
5
40 ,, U
53. Dominio: ℜ Rango:
∈π+π
=−ℜ Zkkxx2
54.
CAPÍTULO XVIII - EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCI ONES CIRCULARES
Ejercicios 18.2
1. Verdadero 2. Verdadero 3. 4
62 + 4. 32 −−
5. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos −− 6. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos −− 7. ( ) ( ) ( )111 ssssen tancos−− Ejercicios 18.3
1. ( )
( )x
x
21
2
tan
tan
− 2.
( )( )x
x
sen
cos−1 3. Falso 4. Verdadero
5. Falso 6. Falso 7. Falso 8. Verdadero Ejercicios 18.4
1.
6
11
2
3
6
7 ππππππππππππππππ ,,, 2.
2
3
6
5
6
ππππππππππππ,, 3.
6
5
6
ππππππππ, 4.
4
7
4
5
3
2
3
ππππππππππππππππ,,,
π/2π/2π/2π/2 ππππ 3π/23π/23π/23π/2
−3−3−3−3
−2−2−2−2
−1−1−1−1
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 422
5.
6. . 7. 8.
Ejercicios de Recapitulación
17. ( ) ( )xx sencos2 18. 222
para Verdaderoππππππππππππ ≠≠≠ CBA
19. Falso 20. Falso 21. Falso 22. Falso
23. Zxxx ∈π=π+π=π+π= ncon , n ó n26
5ón26
24. Zx ∈++++= ncon , n24
3 ó n2
4ón2
6
7ón2
6
7ππππ
ππππππππππππππππ
ππππππππππππ
25. Zx ∈++= ncon , nón2
ón4
ππππππππππππππππ
ππππ
26. Zx ∈+= ncon , n4
ππππππππ
27. Zx ∈++= ncon , nón6
5ón
6ππππππππ
ππππππππππππ
CAPÍTULO XIX - FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios 19.1
1.
− o36cos 2.
− o54cos 3.
− o30sen 4.
−8
3 ππππsen
5.
− o60cos 6.
−5
ππππsen 7.
− o72sen 8.
18
7 ππππcos
9.
−5
ππππtan 10.
− o54tan 11. ( ) 11 que yaNo, <<− xsen
12. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−=−==
−=−==
3
32
3
32
32
1
2
3
cuadrante segundo el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=−=−=
=−=−=
3
32
3
32
32
1
2
3
cuadrante tercer el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen
13. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
===
===
84
233
88
322
31
cuadrante primer el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−==−=
−=−==
838
83
8
8
3
8
3
1
cuadrante segundo el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen
-1 1
-1
1
-1 1
-1
1
-1
1
-1
1
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 423
14. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
===
===
44
1717
4
1
17
174
17
17
cuadrante primer el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=−=−=
=−=−=
44
1717
4
1
17
174
17
17
cuadrante tercer el En
xxx
xxx
ctgseccsc
tancossen
15. Entre otros 3
ππππ 16. Entre otros 4
ππππ 17. θ− 18. θ
19. θ 20. Entre otros 4
3π 21. Entre otros 3
ππππ
Ejercicios 19.2
1. IV cuadrante. 2. IV cuadrante 3. IV cuadrante 4. II cuadrante
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23
313
213
32
13133
13132 −=α=α−=α−=α=α−=α ctgseccsctancossen
6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 775025
71
1027
102 =α=α=α=α=α=α ctgseccsctancossen
7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12212
2
2
2−=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα ctgseccsctancossen
8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8
151517
817
158
1715
178 −=α−=α−=α=α−=α−=α ctgseccsctan,cos,sen
9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
4
4
5
3
5
4
3
5
4
5
3 ====== αααααααααααααααααααααααα ctgseccsctancossen
10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25
229
229
52
29295
29292 −=α−=α=α−=α−=α=α ctgseccsctancossen
11. 7
3−
Ejercicios 19.3
1. 15m 2. m310000003 −. 3. 9 km/h 4. '369 o
5. 123,8m 6. 28,6m 7. p73 8. 158,5m y 57,7m
9. 1,5m 10. 513,55m Ejercicios 19.4
1. oo 66511629 ,,, === γγγγββββa 2. triangulo de dposibilidahay No 3. 237940557 ,,, === bcoββββ
4. 6943313544 ,, === acoαααα 5. oo 88524982 ,,, === γγγγββββa 6. ooo 309060 === ββββλλλλαααα
7. o
16154, 8. p4367p8409 ,, 9. 26.05 pulgadas
10. 22.99 cm 45.51 cm 11. 8.48 cm 16.31 cm 12. km 437.=AB 13. m1411, 14.
o1115, 15. m963000 m46776 ,,
Ejercicios 19.5
1. En automovil,
0,6h 2. El buque. Llega
a 28 minutos 3. No se pueden
comunicar
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES 424
Ejercicios de Recapitulación
1. definida No 1 definida, No , 2. 122 ,, 3. definida Nodefinida No1 ,,
4. 33
322 −− ,, 5. 122 ,, −− 6.
3
32
3
32,, −−
7. 0definida No1 ,,− 8. 3
32
3
32−− ,, 9. 122 −− ,,
10. definida No 1, definida, No
11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
4
4
5
3
5
4
3
5
4
5
3 −==−=−==−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15
8
8
17
15
17
8
15
17
8
17
15 =−=−==−=−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25
1
5
22
5
1
5
2 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα tancossentancossen
14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
2
2
13
3
13
2
3
13
132
13
133====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4
4
41
5
41
4
5
41
414
41
415−=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22
55
2
1
5
52
5
5−==−=−==−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
2
2
29
5
29
2
5
29
2
29
5 =−=−==−=−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
110
3
103
10
1
10
3 =−===−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
3
3
5
4
5
3
4
5
3
5
4 ====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12212
1
2
1 =−=−==−=−= αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
21. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
3
3
34
5
34
3
5
34
3
34
5 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
22. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
313
6
3932
13
13
39
6 −=−==−=−== αααααααααααααααααααααααα otseccsctancossen
23. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
117
4
174
17
1
17
4 ====== αααααααααααααααααααααααα cotseccsctancossen
24. Falso 25. Falso 26. Falso 27. Verdadero
28. Falso 29. 22 mm − 30.
1
1
2 +m
31.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=+
=+
=
=
+
=
+
=
ba
a
ba
b
ba
ab
ba
a
ba
b
ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ
ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ
cotseccsc
tancossen
2222
2222
32. 4
26 − 33. 26 + 34. 2
2− 35.
2
2−
Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 425
36. 26 − 37. 4
26 + 38. 2− 39. 13 +
40. 32 −− 41. 4
26 +− 42.
4
62 + 43. 2−
44. o35tan− 45. o80sec 46. o45tan− 47. o75cot−
48. o50csc− 49. o60sec 50. 1 51. 52. 53.
54.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−=−
+=
+=
−=
+=
mn
nm
nm
nm
mn
nm
nm
mn
nm
mn
2
2
22
22
22
22
22
2222
θθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
cotsec
csctansen
55. a) 4 55. b)5
17 Menor
2
17Mayor 56. [ ]10 ,
57. Par 58. Diferentes 59. 22
ππππββββππππ <<−
60. 10
27 61. 2
2
21
12
a
aa
−
− 62. 86436623 ,,, === coo γγγγββββ
63. 498970 ,, === cboγγγγ 64. 864480 ,, ≅≅= caoγγγγ 65. 2115135514 ,,, === coo γγγγββββ
66. oo 903087 === γγγγββββ,a 67. cm5145cm9922 ,, 68. m0720 ,
69. p78162 , 70. p2895 , 71. m2120 , 72. piso al cae se p,5418 , 73. Km729 , 74. m1230 , 75. comunicar pueden se no Carlos y Bernardo 76. m155m30291, 77. irian No 78. Km251035 , 79. m4626 , 80. cm0157cm8863 ,,
81. pueden Si 83. o0353Km2636 ,, 84. Km77402 ,
85. o4924 ,
CAPÍTULO XX - FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios de Recapitulación
1. 5
3 2. 10
10 3. 5
52 4. 10
149 5. 34
345
8. Si Si 9. Si Si 10. No No 11. No No 12. 3
2 ππππ
13. 1 14. 3
ππππ 15. 5
52 16. 15
15 17. 13
1−
18. 6
ππππ− 19. 2ππππ 20.
3
ππππ− 21. 0 22. 6
5 ππππ
23. 5
5 24. 3
1 25. 32 −− 26.
42 +x
x 27. 2−
28. 0 29. 10
27 30.
12
31
2 +
−
x
x 32. 21 33.
222 ±