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tema1TRAZADOS
FUNDAMENTALES EN EL PLANO
1º BACHILLERATO
•perpendicularidad•paralelismo•operaciones con segmentos, proporcionalidad, sección áurea.•operaciones con ángulos.•circunferencia: arco capaz, rectificación, rectas y puntos notables, potencia, eje radical
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Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad.
¿Cuántos?: existen muchos lugares geométricos. Su conocimiento es fundamental para estudiar la geometría.
CONOCER MÁS...
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la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento
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Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
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Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
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Multiplicar entre si dos segmentos. Fig. 103
Construir un ángulo cualquiera transportando sobre uno de los lados sucesivamente la unidad y uno de los segmentos. Sobre el otro lado transportar el otro segmento dado, uniendo los puntos BC. Por D, trazar una paralela a B C, determinando el punto E. El segmento BE es el producto de los dos segmentos dados.
A
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Dividir entre sí dos segmentos. Fig. 104.
Trazar un ángulo cualquiera, transportando sobre uno de sus lados a partir del vértice, el segmento dado como dividendo. Sobre el otro lado del ángulo, transportar sucesivamente el divisor y la unidad, uniendo los extremos BC del dividendo y divisor. Trazar una paralela a este segmento por el punto D, obteniendo el punto E. El segmento B E es el cociente entre los segmentos dados.
• Proporcionalidad: Teorema de la altura
En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa
1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD
2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F.
El segmento x = AF es la media media proporcional buscada
a x
x b=
Dados dos segmentos que sumados constituyen la hipotenusa de un triángulo rectángulo
A
x
a
B-CE
b
D r
F
C b D
A a B
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• Proporcionalidad: Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella
1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro el mayor de ellos.
2. Por el punto D se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada
a x
x b=
a
b
A-C
x
E D
F
C Db
B r
A a B
Dada la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo
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Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97.
Sobre el segmento suma A C (S), sitúese el segmento diferencia A D (D) con orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A B Y B C.
RAZONAMIENTO
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Según la construcción, la mitad del segmento S - D es el segmento menor, puesto que
S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2
Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia
RAZONAMIENTO
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ALICACIONES DE LO ANTERIOR
Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig. 98
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Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos
Tomando como diámetro la
diferencia de segmentos M N conocida, trazar una circunferencia así como una tangente (perpendicular a M N), por uno de los extremos M del diámetro, transportando sobre la misma la longitud A M de la media proporcional conocida. La recta que une el extremo A con el centro O de la circunferencia queda interceptada por la misma en los puntos B y C, siendo A C y A B los segmentos pedidos.
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• Sección áurea de un segmento:
Definición:
Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que:
La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b
a x
x b=
Dados un segmento b = AC
b
ax
BA C
A C
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Dado un segmento, hallar su división áurea
Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado
1. Por B se traza la perpendicular a r
2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco
3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco
4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea
• Sección áurea de un segmento
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HALLAR UN SEGMENTO CUYA DIVISION AUREA ES UN SEGMENTO DADO.
1. Dado el segmento AB.
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2. Por uno de los extremos B, se traza una recta r perpendicular al segmento.
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3. Se halla el punto medio C del segmento AB trazando su mediatriz, y con centro en B y radio BC se decribe un arco hasta cortar a r en el punto D
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4.se une el punto D con el extremo A, y con centro en B y radio DB se describe un arco hasta cortar a la prolongación de la recta AD en el punto E
A B
rC
DE
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5. Con centro en A y radio AE se traza otro arco hasta cortar la prolongación del segmento AB en F. AF es el segmento c uya parte aurea es AB
A B
rC
DE
F
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definiciones
Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con el origen común. Las semirrectas se llaman lados y el punto vértice.
Ángulo agudo es el que mide menos de 90 ºÁngulo recto es el que mide 90°Ángulo obtuso es el que mide más 90°Ángulo llano es el que mide 180° Ángulo cóncavo es el menor de los dos ángulos que determinan los dos lados del mismo Ángulo convexo es el mayor de los dos ángulos que determinan los dos ladosSean dos rectas concurrentes r y s y una secante tÁngulos externos: 1, 2, 7 y 8. Ángulos internos: 3, 4, 5 y 6. Ángulos adyacentes externos: 1-2 y 7-8. Ángulos adyacentes internos: 3-4 y 5-6. Ángulos alternos externos: 1-7 y 2-8. Ángulos alternos internos: 3-5 y 4-6. Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que divide a éste en dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo: es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Ángulos suplementarios: son los que suman 180 ºÁngulos complementarios: son los que suman 90º.
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propiedades
Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son igualesLos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales
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ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.
Un ángulo rectilíneo es el formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva
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Bisectriz de un ángulo mixtilíneo
Sea la recta r y el arco de centro O (fig. 30):
1. Por un punto B de la recta se traza una perpendicular, llevando sobre ella divisiones iguales: 1,2,3, etc., y trazando paralelas a r.
2.- Por un punto e del arco se traza el radio correspondiente, llevando sobre él divisiones iguales a las anteriores: 1, 2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos.
3 .-Los puntos de intersección de la paralela 1 con el arco 1, de la paralela 2 con el arco 2, de la paralela 3 con el arco 3, etc., nos determinan la bisectriz del ángulo mixtilíneo.
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Bisectriz de un ángulo curvilíneo
Sean los arcos de centros 01 y O2 (fig. 31):
1.- Por los puntos arbitrarios B y C de los arcos se trazan sendos radios, llevando sobre ellos divisiones iguales: 1,2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos.
2 .-Los puntos de intersección de los arcos correspondientes nos determinan la bisectriz del ángulo curvilíneo.
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Construcción de ángulos con el compás CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS
Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón
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circunferencia
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DEFINICIONES en la circunferencia
Circunferencia es el lugar geométrico o conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Arco es un segmento de circunferencia.
Círculo es la parte de plano interior a la circunferencia.
Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios (fig. 34).
Segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco
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RECTAS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Radio (rJ: es el segmento DA de la recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia (fig. 35).
Diámetro (d): es el segmento que une los puntos B y C intersección de la circunferencia con cualquier recta que pasa por el centro.
Cuerda (e): segmento DE que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Tangente (t): es la recta que tiene un solo punto común F con la circunferencia.
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Ángulos en la circunferencia
Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.
El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.
La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.
La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.
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Enlace de interés
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm
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Arco capaz.Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos
La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro
Se llama arco capaz de un ángulo@ dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo @.
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Dado el segmento AB y el angulo @
A B
@
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Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@
A B
@@
90-@
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A B
@@
90-@
o´
o´´
Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado
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APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO
Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a.
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC
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Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a.
A B
A
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Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
A B
A
A BA
90-A
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Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
A B
A
A BA
90-A
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Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
B C
A
B CA
90-AA
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2Trazados fundamentales en el
plano7
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATOHallar los puntos desde donde se ven dos segmentos bajo dos ángulos conocidos
• Arco capaz (II)
Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados
1. Se dibuja el arco capaz de respecto de AB
2. Se dibuja el arco capaz de respecto de BC
3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo y BC con un ángulo
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2Trazados fundamentales en el
plano8
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATORectificación de arcos de circunferencia
• Rectificación de arcos de circunferencia
Rectificación de un arco menor de 90º
1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales
2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro
3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E
Rectificación de un arco de 90º
1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia.
2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC
3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia
4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º
E
D
F
C
O
B
A
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2Trazados fundamentales en el
plano9
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATORectificación de la semicircunferencia y la circunferencia
• Rectificación de circunferenciasRectificación de una semicircunferencia
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia.
2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A
3. El segmento FG es la solución buscada
Rectificación de una circunferencia
1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales
2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo
F
O DC
GA
B
E
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
Concepto de potencia
Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los pun tos de la circunferencia, determina una constante PA . PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
Esta constante K es la misma para todas las rectas que par tiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.
Potencia de un punto respecto de unacircunferencia
En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)
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2Trazados fundamentales en el
plano10
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATOPotencia de un punto respecto de una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias
• Potencia de un punto
Definición: Potencia de un punto
Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante
Definición: Eje radical
Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas
p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14),
se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias:
MA x MB = MC x MD
El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.
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2Trazados fundamentales en el
plano11
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATOEje radical de dos circunferencias
• Eje radical de dos circunferenciasPropiedad:
Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias
El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias
Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferenciasEje radical de dos circunferencias exteriores: 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s
B
A
r s
D
C
O
e
E
A
e
e
B
A
O1 O2
O1 2O
1O O2
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2Trazados fundamentales en el
plano12
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATOCentro radical de tres circunferencias
• Centro radical de tres circunferenciasDefinición: Centro radical
Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias
1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2
2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical
Enlace de interés
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Potencia_punto_respecto_circunferencia/Potencia_de_un_punto_respecto_circunferencia.htm
ES MUY RECOMENDABLE VISITAR LA SIGUIENTE DIRECCIÓN PARA COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA Y EJE RADICAL