Introducción
• En el curso de resistencia de materiales,
se trabajó con secciones estructurales
relativamente simples las cuales, en la
practica, podrían formarse a partir de
láminas o por el proceso de extrusión (no
hay cambios en la sección transversal).
Introducción
• Mientras estas secciones existen como
miembros estructurales, estas son
frecuentemente usadas para dar rigidez a
formas estructurales más complejas como
fuselajes, alas y estabilizadores.
• Las alas de las aeronaves están construidas por
varias compartimentos de celda.
Introducción
• Así, la sección de un ala con dos spar (vigas principales)
podría tomar la siguiente forma:
Dar rigidez a la
piel.
Secciones angulares forman las pestañas
de los spar.
Cell
comparment
Cada sección del ala es
cubierta por una piel
delgada.
La piel es
reforzada por los
stringer Z, C o T.
Porque?
• El análisis de una sección de este tipo sería
complicado y tedioso a menos que se hagan
algunas suposiciones y simplificaciones.
• Generalmente, el número y la naturaleza de
estas suposiciones y simplificaciones
determinan la precisión y grado de complejidad
del análisis; cuanto más complejo el análisis,
mayor precisión se obtiene.
Porque?
• Estimaciones de las cargas.
• Estimaciones de las resistencias de los
materiales que componen la estructura.
• En algunos casos los puntos de aplicación
de las cargas deben también estimarse.
Introducción
Grado de simplificación
Situación particular de
aplicación
Que debemos
tener en cuenta
Rapidez
Simplicidad
Extrema precisión
Introducción
Secciones
estructurales complejas
Idealización
Modelos mecánicos
Simplicidad
en el análisis
Comportamiento, bajo ciertas condiciones
de carga, de la misma forma o de una
forma muy cercana a la estructura real.
Se requieren diferentes modelos de una
misma estructura para simular el
comportamiento real bajo diferentes
sistemas de carga.
Principio
Stringers y las pestañas de los spar
tienen secciones transversales
pequeñas Comparadas
Sección
transversal
completa.
Por lo tanto, la variación en el esfuerzo a lo largo de la sección
transversal de un stringer debido a, digamos, la flexión del ala
sería pequeña.
Principio
• Adicionalmente, la diferencia entre las
distancias de los centroides de los stringer y la
piel adyacente del eje de la sección del ala es
pequeña.
• Sería razonable asumir, por lo tanto, que el
esfuerzo directo es constante sobre el área
transversal de los stringers.
• Revestimiento:
– El revestimiento solo soportará esfuerzos
cortantes.
– El esfuerzo axial que soportará el
revestimiento será tenido en cuenta
añadiendo áreas a los larguerillos.
– El esfuerzo cortante se distribuye
uniformemente a través del espesor del
recubrimiento.
Principio
• Entonces se reemplazan los stringers y las pestañas de
los spar por concentraciones de área, conocidas como
booms, sobre las cuales el esfuerzo directo es
constante y están localizados a lo largo de la línea
media de la piel como muestra la siguiente figura.
Principio
• En un ala o fuse-laje de seccióntransversal co-mo la mostradainicialmente, los stringers y las pestañas de los spar resisten la mayoría de los esfuerzos directos mientras que la piel es más efectiva resistiendo esfuerzos cortantes, aunque también resiste una parte de los esfuerzos directos.
Principio
• La idealización
mostrada en la
figura, puede
ser llevada más allá
asumiendo que todos los esfuerzos
directos son resistidos por los booms
mientras que la piel sólo es efectiva
resistiendo esfuerzos cortantes.
1. The longitudinal stiffeners and spar flanges carry only
axial stresses.
2. The web, skin and spars webs carry only shear
stresses.
3. The axial stress is constant over the cross section of
each longitudinal stiffener.
4. The shearing stress is uniform through the thickness of
the webs.
5. Transverse frames and ribs are rigid within their own
planes and have no rigidity normal to their plane.
Take into account this points to understand the
idealization principle.
Summary
The direct stresses are
calculated at the centroid of
these booms and are
assumed to have constant
stress through their cross-
section.
The stiffeners are represented by circles
called booms, which have a concentrated
mass in the plane of the skin.
Shear stresses are
assumed uniform through
the thickness of the skins
and webs.
• Must be considered, force (stress) equilibrium and compatibility
(displacement).
IDEALISED SHEET TO SUPPORT
TENSILE LOAD P
tD = Actual skin thickness t, if skin resists totally
direct load
tD = Percentage of t, if partially resists applied
load
tD = 0 if skin only able to resist shear load
Idealización de un panel
• Suponga que se desea idealizar el panel que se muestra
en la siguiente figura a la izquierda en una combinación
de booms que resistan esfuerzos directos y piel que
resista esfuerzos cortantes solamente como se muestra
en el lado derecho de la figura.
Idealización de un panel
Espesor de la piel que resiste
esfuerzos directos 𝑡𝐷 es igual al
espesor real 𝑡. Figura idealizada, 𝑡𝐷 = 0.
Suponer que la distribución de esfuerzos en el panel
real varía desde un valor desconocido 𝜎1 a un valor
desconocido 𝜎2.
Idealización de un panel
• Claramente, el análisis debería predecir los
valores extremos 𝜎1 y 𝜎2, mas la distribución de
esfuerzos directos se pierde.
• Dado que la carga que produce los esfuerzos
directos en la estructura real y en la idealizada
debe ser la misma, se calculan los momentos
para obtener expresiones para las áreas de los
booms 𝐵1 y 𝐵2.
Idealización de un panel
• Obteniendo las cargas a lo largo del eje z:
• Tomando momentos alrededor de un plano neutral se obtiene:
Idealización de un panel
• De donde se obtiene:
𝐵1 =𝑡𝐷𝑏
62 +𝜎2𝜎1
• De forma similar se obtiene para 𝐵2
𝐵2 =𝑡𝐷𝑏
62 +𝜎1𝜎2
PARA LA CLASE DEL MIERCOLES EN PAREJAS CON LAS
ECUACIONES OBTENIDAS DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES
ECUACIONES SON VALIDAS.
Idealización de un panel
• En estas ecuaciones, si no se conoce la relación de 𝜎1 y
𝜎2, puede asumirse. La distribución directa de esfuerzos
para este panel es causada por la combinación de carga
axial y momento flector.
• Para carga axial solamente, 𝜎1 𝜎2 = 1 y 𝐵1 = 𝐵2 = 𝑡𝐷𝑏 2; para momento flector solamente, 𝜎1 𝜎2 = −1 y
𝐵1 = 𝐵2 = 𝑡𝐷𝑏 6 . Por lo que se requieren diferentes
idealizaciones para la misma estructura para diferentes
condiciones de carga.
Idealización de un panel
• Ejemplo: Parte de una sección de un ala tiene la forma
mostrada en la figura, en la cual, los spars están
conectados a la piel del ala mediante secciones
angulares de 300 mm² cada una. Idealice la sección en
un arreglo de booms que soporten esfuerzos directos y
de páneles que sólo soporten esfuerzos cortantes
apropiados para resistir
momentos flectores en un
plano vertical. Posicione
los booms en las uniones
piel/spars.
Idealización de un panel
• Solución:
1. Como quedaría la sección idealizada?
2. En esta sección, por simetría, se tiene que 𝐵1 = 𝐵6,𝐵2 = 𝐵5 y 𝐵3 = 𝐵4.
3. Dado que se requiere que la sección resista momentos
flectores en un plano vertical, el esfuerzo directo en
cualquier sección del ala es directamente proporcional
a su distancia del eje horizontal de simetría.
Idealización de un panel
• Además, la distribución del esfuerzo directo en
todos los paneles será lineal, por lo que las
ecuaciones vistas anteriormente pueden ser
empleadas. Adicionalmente, además de la
contribución de los paneles adyacentes, los
booms incluyen las pestañas de los “spars
flanges” existentes.
Idealización de un panel
• Tenemos entonces:
𝐵1 = 300 +3 × 400
62 +𝜎6𝜎1+2 × 600
62 +𝜎2𝜎1
𝐵1 = 300 +3 × 400
62 − 1 +
2 × 600
62 +150
200
𝐵1 = 𝐵6 = 1050 𝑚𝑚2
Área del spar capContribución de área de las dos pieles
adyacentes
????
Idealización de un panel
• Además se tiene:
𝐵2 = 2 × 300 +2 × 600
62 +𝜎1𝜎2+2.5 × 300
62 +𝜎5𝜎2+1.5 × 600
62 +𝜎3𝜎2
𝐵2 = 2 × 300 +2 × 600
62 +200
150+2.5 × 300
62 − 1 +
1.5 × 600
62 +100
150
𝐵2 = 𝐵5 = 1791.67 𝑚𝑚2
De acuerdo al análisis realizado para B1 en parejas
discuta y entregue las áreas de idealización B2 y B3.
????mm
Idealización de un panel
• Finalmente se tiene:
𝐵3 = 300 +1.5 × 600
62 +𝜎2𝜎3+2 × 200
62 +𝜎4𝜎3
𝐵3 = 300 +1.5 × 600
62 +150
100+2 × 200
62 − 1
𝐵3 = 𝐵4 = 891.667 𝑚𝑚2
Efecto de la idealización en el análisis
de vigas de sección abierta y cerrada
• Generalmente, en cualquier idealización,diferentes condiciones de carga requierendiferentes idealizaciones de la mismaestructura.
• En el ejemplo anterior, la carga es aplicadaen un plano vertical. Sin embargo, si lacarga hubiese sido aplicada en un planohorizontal, la distribución de esfuerzos en lospaneles de la sección habría sido diferente,lo que hubiera conllevado a diferentesvalores de área para los booms.
Efecto de la idealización en el análisis
de vigas de sección abierta y cerrada
• Suponga que la sección de una viga
abierta o cerrada se somete a unas
cargas de flexión o cortante dadas y que
ya se realizó la idealización requerida. El
análisis de esas secciones usualmente
involucra la determinación de la posición
del eje neutro y el cálculo de las pro-
piedades de la sección.
• La posición del eje neutro se deriva de la
condición de que la carga resultante en la
sección transversal de la viga es cero, es
decir:
𝐴
𝜎𝑧 𝑑𝐴 = 0
Flexión de vigas de sección abierta
y cerrada
• La ecuación que se ha trabajado hasta el momento para
calcular el esfuerzo flector (𝜎 = 𝑀𝑐/𝐼) aplica para el
cálculo en secciones idealizadas.
• Las coordenadas (𝑥, 𝑦) de puntos en la sección
transversal son referidas a ejes que tienen su origen en
el centroide del área que soporta el esfuerzo directo.
Además, los momentos de inercia son calculados
solamente para el área que soporta los esfuerzos
directos.
Flexión de vigas de sección abierta
y cerrada
• En el caso en que la sección transversal de la
viga haya sido idealizada completamente en
booms que soportan esfuerzos directos y
paneles que sólo soportan esfuerzos cortantes,
la distribución de esfuerzos directos consiste en
una serie de esfuerzos directos concentrados en
los centroides de las áreas boom.
Flexión de vigas de sección abierta y
cerrada
• Ejemplo: La sección del fuselaje mostrada en la figura
es sometida a un momento flector de 100 kN·m aplicado
en el plano vertical de simetría. Si la sección ha sido
completamente idealizada en una combi-
nación de booms que so-
portan esfuerzos directos
y paneles que sólo sopor-
tan esfuerzos cortantes,
determine el esfuerzo di-
recto sobre cada boom.
• La sección tiene un eje de simetría 𝐶𝑦 y soporta
un momento flector 𝑀𝑥 = 100 𝑘𝑁.
• Para calcular los esfuerzos producidos sobre
cada boom se puede aplicar la ecuación que ya
conocemos para esfuerzos flectores:
𝜎𝑧 =𝑀𝑥
𝐼𝑥𝑥𝑦
Consideraciones iniciales
Flexión de vigas de sección abierta
y cerrada
• El origen de los ejes 𝐶𝑥𝑦 coincide con la
posición del centroide del área que soporta los
esfuerzos directos, en este caso, es el centroide
de las áreas boom.
• Para calcular los esfuerzos sobre cada área
boom, se requiere el momento de inercia de
cada área, para ello, se requiere saber la
posición del centroide del área que soporta los
esfuerzos directos.
Flexión de vigas de sección abierta y
cerrada
• Recordar que la posición del centroide
para áreas compuestas está dado por:
𝑥 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖𝐴𝑖 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖
𝑦 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖𝐴𝑖 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖
• Se tiene entonces:
6 × 640 + 6 × 600 + 2 × 620 + 2 × 850 𝑦= 640 × 1200 + 2 × 600 × 1140 + 2 × 600 × 960 + 2 × 600 × 768 + 2× 620 × 565 + 2 × 640 × 336 + 2 × 640 × 144 + 2 × 850 × 38
𝑦 = 540 𝑚𝑚
Flexión de vigas de sección abierta y
cerrada
• Para calcular el momento de área del área que
soporta los esfuerzos directos, se calcula la
siguiente tabla:
Flexión de vigas de sección abierta
y cerrada
• De la columna 4 se calcula el momento de
inercia del área:
𝐼𝑥𝑥 =
𝑖=1
𝑛
∆𝐼𝑥𝑥𝑖 = 1855 × 106 𝑚𝑚4
Flexión de vigas de sección abierta y
cerrada
• Una vez se tiene el momento de área de la
sección, se calculan los esfuerzos por momento
flector:
𝜎𝑧 =𝑀𝑥
𝐼𝑥𝑥𝑦
• Idealize the box section shown in figure into an arrangement of
direct stress carrying booms positioned at the four corners and
panels which are assumed to carry only shear stresses. Determine
the boom areas.
1 2
34
50 x 38 x 8 mm
Quiz individual