Incrementos y diferenciales
Unincremento es la variaciónde unamagnitud , entredos valoresdeterminados .
Ejemplo :Cuando la variable x pasa de1a1.5 decimosque la variable x seincremento en0.5
∆ x=x2−x1Para funciones multivariables tenemos:∆ z=f ( x+∆ x , y+∆ y ,…. )−f ( x , y… .. )
Sí w=f ( x , y , z ,u…. ) , y ∆ x ,∆ y ,∆ z ,∆u….sonincrementos de x , y , z , u , ..las diferencialesde las variblesindependientes x , y , z , u ,…. son :
dx=∆ x ,dy=∆ y ,dz=∆ z ,du=∆u……….la diferencialtotal de la variables w es :
dw=∂w∂ x
dx+ ∂ w∂ y
dy+ ∂w∂ z
dz+ ∂w∂u
du…
dw=f x ( x , y , z , u…)dx+ f y ( x , y , z , u…)dy +f z ( x , y , z , u…)dy+ f u ( x , y , z , u…)du+…
Ejemplo1. Ladiferencial totaldz para z=x2 y+ y es :
dz= ∂ z∂ x
dx+ ∂ z∂ y
dy
dz= (2xy )dx+(x2+1 )dy
Ejemplo2. Ladiferencial total paraw=senxy+x2 y−2 z
dw=∂w∂ x
dx+ ∂ w∂ y
dy+ ∂w∂ z
dz
dw=( ycosxy+2xy )dx+(xcosxy+ x2 )dy−2dz
Ejemplo3. Estimar el cambio de z=x3 y−x y2+ y cuando ( x , y ) se desplazadesdeel punto (1,0 )hasta el punto (1.01,0.97 )dz= (3x2 y− y2 )dx+(x3−2 xy+1 )dy
remplazando ( x , y ) por (1,1 ) , dx=0.01 y dy=−0.03
dz=(3 (1 ) (1 )−(12 ))0.01+((13 )−2 (1 ) (1 )+1 ) (−0.03 )dz= (3−1 )0.01−(1−2+1 ) (−0.03 )
dz=∆ z=0.02
Ejemplo 4.Sehanmedido las dimensiones deunacajarectangular como (15,20 ,50 )conunacota deerror de ±1.0mm. Estimarmediante dV el error propagado y el
error relativo alcalcular el volumende la cajaencent imetros .El voumende lacaja esV=xyz
dV=∂V∂ x
dx+ ∂V∂ y
dy+ ∂V∂z
dz
dV= yzdx+xzdy+xydzComo0.1mm=0.01cm, vemosquedx=dy=dz=±0.01
Error propagado es apro ximadamentedV=(20 ) (50 ) (±0.01 )+ (15 ) (50 ) (±0.01 )+(15 ) (20 ) (±0.01 )
dV=±20.5cm3Comoel valor del volumen es
V= (15 ) (20 ) (50 )=15000cm3
el error relativo∆Vv
=dVV
= 20.515000
=0.0014=0.14%
Reglade la cadena−DerivadaimplicitaSeaw=f ( x , y )una funcióndiferenciable de xe y .
Sí x=g ( t ) e y=h (t ) sonfunciones derivables de t entonc es :dwdt
=∂w∂x
dxdt
+ ∂w∂ y
dydt
Ejemplo5.Sea w=x2 y− y2 , donde x=sent , y=et
Calculardwdt
Cuandot=0
Por la reglade la cadenatenemos :dwdt
=∂w∂x
dxdt
+ ∂w∂ y
dydt
dwdt
=2 xy (cos t )+ (x2−2 y )e t
Remplazando t=o , x=0e y=1dwdt
=0−2=−2
Ejemplo6.Dos cuerpos semueven por trayectoriascuyas ecuacionesparamétricas son :
Primer cuerpo{x1=4cos ty1=2 sent
Segundocuerpo{x1=2 sen2 ty1=3cos2 t
¿ A queritmo está cambiando la distancia entreellos cuando t=π?Aplicandola ecuacióndedistancia entre2 puntos
s=√(x2−x1 )2+( y2− y1)2
cuando t=π , tenemos x1=−4 , y1=0 , x2=0 , y2=3 , entonces :
s=√(0+4 )2+ (3−0 )2=5Cuando t=π las derivadas parciales de s son :
∂s∂ x1
=−(x2−x1)
√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2=−15
(0+4 )=−45
∂s∂ y1
=−( y2− y1 )
√ (x2−x1)2+( y2− y1 )2
=−15
(3−0 )=−35
∂s∂ x2
=(x2−x1)
√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2=−15
(0+4 )=45
∂s∂ y2
=( y2− y1 )
√ (x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2=−15
(3−0 )=35
Cuando t=π , las derivadasde x1 , y1, x2e y2 son :
d x1dt
=−4 sent=0d y1dt
=2cos vt=−2
d x2dt
=4 cos2 t=4d y2dt
=−6 sen2 t=0
Por tanto ,dsdt
=
∂s∂ x1
∗d x1
dt+
∂s∂ y1
∗d y1
dt+
∂ s∂ x2
∗d x2
dt+
∂ s∂ y2
∗d y2
dtdsdt
=−45
(0 )+−35
(−2 )+ 45
(4 )+35
(0 )
dsdt
=225
Ejemplo7.hallar∂ w∂s
y∂w∂t
para w=2 xycon x=s2+t 2e y= st
Sustituyendo x e y obtenemosw=2 xy
w=2 ( s2+t 2 )( st )
w=2( s3
t+st )⇒ { ∂ w
∂s=2( 3 s
2
t+t)=6 s
2+2 t 2
t
∂w∂ t
=2(−s3
t 2+s)=2 s t
2−2 s3
t2
Ejemplo8.Dadow=xy+ yz+xzCalcular ∂w∂s
y∂w∂t
Cuando s=1 y t=2π
Sí x=s cost , y=s sent y z=t∂w∂s
=∂w∂x
∂x∂ s
+ ∂ w∂ y
∂ y∂ s
+ ∂w∂ z
∂ z∂ s
∂w∂s
=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )+ ( y+ x ) (0 )
∂w∂s
=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )
Cuando s=1 y t=2 π , x=1, y=0 y z=2 π remplazando∂w∂s
=(0+2π ) (cos2 π )+(1+2π ) ( sen2π )
∂w∂s
=(2 π ) (1 )+ (1+2π ) (0 )=2 π
∂w∂ t
=∂w∂x
∂x∂ t
+ ∂ w∂ y
∂ y∂ t
+ ∂w∂ z
∂ z∂t
∂w∂s
=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )+ ( y+ x ) (0 )
∂w∂s
=( y+z ) (−s sent )+( x+z ) ( scost )+( y+x)(1)
Cuando s=1 y t=2 π , x=1, y=0 y z=2 π remplazando∂w∂ t
=(0+2π ) (0 )+(1+2 π ) (1 )+(0+1)(1)
∂w∂s
=0+1+2π+1=2+2π
sí laecuación F ( x , y )=0define implicitamente a y como funciónderivable de x entonces :
dydx
=−F x ( x , y )F y ( x , y )
,Fx (x , y)≠0
Ejemplo 9.Hallardydx
,dado que y3+ y2−5 y−x2+4=0
Definiendo la funciónF tenemos :
F ( x , y )= y3+ y2−5 y−x2+4F x (x , y )=−2 x y F y ( x , y )=3 y2+2 y−5
dydx
=−F x ( x , y )F y ( x , y )
=−(−2 x )3 y2+2 y−5
= 2x3 y2+2 y−5
Ejemplo10.Hallar∂ z∂x
y∂ z∂ y
, sabiendoque 3x2 z−x2 y2+2 x3+3 yz−5=0
F ( x , y , z )=3 x2 z−x2 y2+2x3+3 yz−5F x (x , y , z )=6xz−2x y2
F y ( x , y , z )=−2 x2 y+3 z
F z ( x , y , z )=3 x2+6 z2+3 y∂ z∂ x
=−Fx
F z
=−6 xz−2 x y2
3 x2+6 z2+3 y= 2 x y2−6 xz3 x2+6 z2+3 y
∂ z∂ y
=−F y
F z
=−−2x2 y+3 z3 x2+6 z2+3 y
= 2 x2 y−3 z3 x2+6 z2+3 y
Ejercicios1. Hallar la diferencial total
A . z=3 x2 y3B . z= x2
yC . z= −1
x2+ y2D .z=ex seny
2.Calcular∆ z entre f (1,2 ) y f (1.05,2 .1 )
A . f ( x , y )=9−x2− y2B . f (x , y )=√ x2+ y2C . f ( x , y )=x seny
3. Al construir unconocircular rectode alturah=6 y radior=3 , secometen errores∆ r y ∆henel radio yen la altura , respectivamente .Completelatabla paramostrar la relaciónentre ∆V y dV paralos error es especificados .
∆ r ∆ h dV o ds ∆V o ∆s∆V−dV
o∆ s−ds
0.1 0.10.1 -0.1
0.001 0.002-0.0001 0.0002
5. Elradio r y la alturahdeuncilindro circular recto sem idencon erroresmáximos posiblesdel 4% y del2%respectivamente .Estimar la cota deerror
porcentual queresulta parael volumen .
6. La potenciaeléctrica viene dada por : p=E2
Rendonde Ees el voltaje y
Res la resistencia. Aproximar elmáximo porcentaje deerror posible alca lcular la potencia paraunvoltaje de200voltios y unaresistenciade4.000 ohmios , si los posibles errores en lasmedidasde E y R son de2%
y 3%respectivamente .
7.Dosresistencias conectadasen paralelo producenunaresistenciatotal R
dada por1R
= 1R1
+ 1R2
Aproximar el cambiode R cuando R1 crecede10a10,5ohmios y R2decrece
de15 a13 ohnios.
8. El períodoT deun péndulo de longitud Les T=2π √ Lg,donde g denota
la aceleraciónde la gravedad .Un péndulo se llevadesdeun lugar donde
g=32,09 piess2
aotro donde g=32.34 pies
s2. Debidoal cambiode
temperat ura , lalongitud del péndulo cambiade2.5 a2.48 pies . Aproximar elcambio quesufre el períododel péndulo.
9.Hallardwdt
aplicando lareglade lacadena
A . {w=x2+ y2
x=e t
y=e−t
B . {w=√x2+ y2
x=sen ty=et
C . {w=¿ yx
x=cos ty=sent
D .{w=xyzx=t2
y=2tz=e−t
E . {w=xy coszx=ty=t 2
z=arccos t
F . {w=cos ( x− y )x=t 2
y=1
10.Hallard2wdt 2
sí {w=arctan (2 xy )x=cos ty=sentt=0
11.Hallardydx
por derivaciónimplicita
A . x2−3xy+ y2−2x+ y−5=0B . sen x+sec xy−3=0C .∈√ x2+ y2+xy=4
D .x
x2+ y2− y2=6
12.Hallar las derivadas parci ales dew
A . xyz+ xzw− yzw+W 2=5b . x2+ y2+z2+6 xw−8w2=513.Sí θ el ángulo entre los dos lados iguales deun triánguloisósceles , ysea x lalongi tud deestos lados .Sí x está creciendo arazón de0.5metros
por hora yθ está creciendoarazón deπ90
radianes por hora , calcular el
r itmo decrecimientodel área cuando x=6 y θ= π4.
14. Elradio deuncilindrocircular recto está creciendoarazón de6 pulgadasporminuto, y su alturad ecrecearazón de4 pulgadas porminuto .¿Cuál eselritmode cambiode suvolumen y de suárea cuando elradio es de12 pulgadas
y su alturade36 pulgadas?15.Sí w=f ( x , y ) , donde x=rcosθ , y=rsenθ, Demostrar
A .∂w∂ x
=∂w∂r
∗cosθ−∂w∂θ
senθr
B .∂w∂ y
=∂w∂r
∗senθ−∂w∂θcosθr
C .( ∂ w∂ x )2
+( ∂ w∂ y )2
=( ∂w∂r )2
+( 1r2 )( ∂w∂θ )2